北师大版初三数学下册3.6-2直线与圆的位置关系(2)课件

O
A
C
B
能力提升
2.已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB 于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。 求证：⊙O与AC相切。 A 证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD 即圆心O到AC的距离 d = r ∴ AC是⊙O切线。
D E
B O C
归纳分析
第1题与第2题的证法有何不同?
O
A C
D A
B E
B O C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和 圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点 , 则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长 等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
课堂小结
通过本节课的学习，谈谈 你的收获？
当堂检测 6. （2014•临沂）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°， 以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂 足为E． （1）证明：DE为⊙O的切线； （2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积．
切线的判定方法有三种： ①直线与圆有唯一公共点； ②直线到圆心的距离等于该圆的半径； ③切线的判定定理．即 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线 是圆的切线
动手画图
问：如何过圆上一个已知点做圆的切线呢？
做一做：
已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．
O
A
吸纳新知
三角形与圆的位置关系

从一块三角形材料中,能否剪下一个圆,使其与各边 A A 都相切?
Cห้องสมุดไป่ตู้
D
探索新知
发现：(1)直线 l 经过半径OA的外端点A；
(2)直线l垂直于半径0A． 则:直线l与⊙O相切
l O
A
这样我们就得到了从位置上来判定直线是 圆的切线的方法——切线的判定定理．
探索新知
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。 切线需满足两条： ①经过半径外端； ②垂直于这条半径．
探索新知
直线何时变为切线
如图,AB是⊙O的直径,直线CD经过点A,CD与AB的 夹角为∠α,当CD绕点A旋转时, 1.随着∠α的变化,点O到CD的距离如何变化? 直线CD与⊙O的位置关系如何变化? 2.当∠α等于多少度时,点O到 CD的距离等于半径?此时,直线 CD与⊙O有怎样的位置关系? 为什么? 3.你能写出一个命题来表述这 个事实吗?
2.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 的内切圆,并说明它们内心的位置情况.
能力提升
例.已知:如图，A是⊙O外一点，AO的延长线交 ⊙O于点C，点B在圆上，且AB=BC，∠A=30°. 求证:直线AB是⊙O的切线 B
证明：连接OB ∵OB=OC，AB=BC，∠A=30° ∴∠OBC=∠C=∠A=30° ∴∠AOB=∠C+ ∠OBC =60° ∵∠ABO=180°-（∠AOB+∠A） =180°-（60°+30°） =90° ∴AB⊥OB ∴AB为⊙O的切线
直线与圆的位置关系量化
r O ┐d r
●
r O
●
●
O
l
d ┐
d
l
┐
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l 的距离为d,那么
l

d < r d = r d > r
直线和圆相交 直线和圆相切 直线和圆相离
1.当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方 向是什么方向？ 2.砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？
定理的几何符号表达：
∵ OA是半径，l⊥OA于A ∴ l是⊙O的切线。
O
l
r
A
跟踪练习 判 断 1. 过半径的外端的直线是圆的切线（× ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ × ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ）
l
O r A
O r A
l
O r A
l
两个条件,缺一不可
判定直线与圆相切有哪些方法？
当堂检测 3.（ 2014•玉林市）如图，直线MN与⊙O相切于点M， ME=EF且EF∥MN，则cos∠E= ．
4. （2014•湘潭）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，
PO=5，PA切⊙O于A点，则PA= .
当堂检测 5.（2014•山东枣庄）如图，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B， AO交⊙O于C，CD⊥OB于E，交⊙O于点D，连接OD．若 AB=12，AC=8． （1）求OD的长； （2）求CD的长．
北师大版数学九年级下册
第三章
圆
3.6 直线与圆的位置关系（2）
O (1)
l
O
(2)
O
l
(3)
l
(1) 当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆 相交 .
(2) 当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆 相切 .
这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点.
(3) 当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆 相离 .
I
● ● ●
B
I ● ┓ ┓
C
B
┓
C
假设符合条件的圆已作出,则它的圆心到三边的距 离相等.因此,圆心在这个三角形三个角的平分线上, 半径为圆心到三边的距离.
好好想一想
三角形与圆的位置关系
这样的圆可以作出几个?为什么? ∵直线BE和CF只有一个交点I, 并且点I到△ABC三边的距离相 等(为什么?), ∴和△ABC三边都相切的圆可 以作出一个,并且只能作一个. B
C
O
A
能力提升
1. 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB， CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连 接OC，只要证明AB⊥OC即可。 证明：连结OC ∵ ⊿OAB中， OA＝OB , CA＝CB, ∴ AB⊥OC。 ∵ OC是⊙O的半径 ∴ AB是⊙O的切线。
F I ●
●
A E
┓
C
这圆叫做三角形的内切圆.这个三角形叫做圆的外 切三角形 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫 做三角形的内心.
跟踪训练
三角形与圆的“切”关系 1.以边长为3,4,5的三角形的三个顶点为圆心,分别 作圆与对边相切,则这三个圆的半径分别是多少?
A A ┐
●
A
●
B
C
B
C
●
B
C
当堂检测 1.(2014.天津)如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切 点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（ ） A． 20° B． 25° C． 40° D． 50°
2.（2014•哈尔滨）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是 （ ） A． 30° B． 25° C． 20° D． 15°