2015合工大数二答案

学年第 二 学期 课程名称 高等数学（下）一、填空题（每小题3分，满分15分） 1．设函数ln(32)xy z x y e =-+，则(1,0)dz =3144dx dy -。

2．=⎰⎰dy yydx x sin 0ππ2。

3．设V 为柱体：10,122≤≤≤+z y x ，则=⎰⎰⎰υυd e z(1)e π-。

4．设()1f x x =+，ππ≤≤-x ，则其以2π为周期的傅立叶级数在点x π=处收敛于1。

二、选择题（每小题3分，共15分） 1．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,,),(2222,y x y x y x xy y x f 则（ .C ）.A ),(lim 0y x f y x →→存在 .B ),(y x f 在点(0,0)处连续.C )0,0(),0,0(y x f f ''都存在 .D ),(y x f 在点(0,0)处可微2．曲线⎩⎨⎧=-+=+-632,922222z y x z e x y 在点(3,0,2)处的切线方程为（.B ） .A 32x y z -==- .B 326yx z -==- .C 32214x y z --==- .D {3(2)0x z y -=--= 3．设L 为圆周,122=+y x 则⎰=+Lds y x)(33（ .A ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 34．设常数0a >，则级数1111(1)ln n an n n∞++=-∑（ .C ）。

.A 发散 .B 条件收敛 .C 绝对收敛 .D 敛散性与a 有关。

三、设),)((2xy y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂。

（本题10分）解：122()zx y f yf x∂=-+∂， 2121111222122(2())22()[2()][2()]z x y f yf f x y x y f xf f y y x f xf x y y∂∂=-+=-+---+++-+∂∂∂ 221111222224()2()f x y f x y f xyf f =---+-++ 四（10分）、求函数)1(),(-=y x y x f 在由上半圆周)0(322≥=+y y x 与x 轴所围成的闭区域D 上的最大值和最小值。

2015年考研数学（二）试题答案速查一、选择题（1）D （2）B （3）A （4）C （5）D （6）B （7）D （8）A 二、填空题（9）48 （10）)1()2(ln 2−−n n n （11）2 （12）2e 2e x x −+（13）1(d 2d )3x y −+ （14）21 三、解答题 （15）111,,23a b k =−=−=−. （16）8πA =. （17）1)1,0(−=−f 为极小值. （18）π245−. （19）零点个数为2． （20）还需冷却30min. （21）略.（22）（Ⅰ）0a =.（Ⅱ）312111211−⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭X .（23）（Ⅰ）4,5a b ==.（Ⅱ）1231100101,010011005−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P AP .2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】D ．【解答】因为12lim 1x x →+∞=且112<，故2+∞⎰发散，不选A ． 同理2ln ln2ln2d x ,x x x x+∞=+∞⎰，故2ln d x x x +∞⎰发散，不选B ．221d lnln ln x x x x +∞+∞=⎰，故21d ln x x x +∞⎰发散，不选C ．故选择D ．（2）【答案】B ．【解答】20sin ()lim(1)e x x tt t f x x→=+=,0x ≠，显然0)(=x x f 在处没有定义．因为1)(lim 0=→x f x ，所以0=x 为可去间断点，故选择B ．（3）【答案】A ．【解答】当0,()0x f x '=；10()(0)1(0)lim lim cos x x f x f f x x x αβ++−+→→−'==， 当1α>时，(0)0f +'=存在，且0)0(='f . 当0x >时，1111()cossin f x xx x xααβββαβ−−−'=+， 若0)(='x x f 在处连续，则1,10ααβ>−−>，即1αβ−>，故选择A ．（4）【答案】C ．【解答】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号，因此，由)(x f ''的图形可得，曲线)(x f y =存在两个拐点，故选C ． （5）【答案】D ．【解答】令,.x y u y v x +=⎧⎪⎨=⎪⎩得,11u uv x y v v ==++，故2(1)(,)1u v f u v v −=+. 2221211f u(v )f u ,u v v (v )∂−∂−==∂+∂+,所以21,01111−=∂∂=∂∂====v u v u vf u f，故选择D ．（6）【答案】B ．【解答】如图，利用极坐标cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，对于积分区域D ，ππ,43θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再由244cos sin 1xy r θθ==，解得212sin 2r θ=； 222cos sin 1xy r θθ==，解得21sin 2r θ=； 故可得答案B ．（7）【答案】D ．【解答】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−⎝⎭⎝⎭A b ， 由()(,)3r r =<A A b 得12,12a a d d ====或同时或，故选D ． （8）【答案】A ．【解答】由题意知T200010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭P AP ，又100001010⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪−⎝⎭Q P PC ，T T T 200()010001⎛⎫ ⎪==− ⎪ ⎪⎝⎭Q AQ C P AP C ，故选择A ．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】48．【解答】2222d 333(1)1d 1y t t x t +==++，2222d d ()d d d 12(1)d d d yy t x t t x x t==+，得212d 48d t y x ==．（10）【答案】)1()2(ln 2−−n n n ．【解答】+⋅⋅=n x n n x C x f )2(ln 2)(20)(+⋅⋅⋅−11)2(ln 22n x nx C 22)2(ln 22−⋅⋅⋅n x n C ， 所以，=)0()(n f)1()2(ln 2−−n n n ．（11）【答案】2．x【解答】由22()()d ()d x x x xf t t x f t t ϕ==⎰⎰，得2220()()d 2()x 'x f t t x f x ϕ=+⎰，再由(1)1(1)5,ϕϕ'==，得10()d 1f t t =⎰，解得(1)2f =． （12）【答案】2e2e xx −+．【解答】由题可知特征方程为220λλ+−=，特征根121,2λλ==−，所以通解为212e e x x y C C −=+，再有0)0(,3)0(='=y y ，得122,1C C ==，所以2()e 2e x x y x −=+．（13）【答案】1(d 2d )3x y −+．【解答】当00x ,y ==时解得0z =，对该式两边分别对,x y 求偏导得，2323(3e )e x y z x y z zxy yz x++++∂+=−−∂， 2323(3e )2e x y z x y z zxy xz y ++++∂+=−−∂，将)0,0,0(带入得(0,0)d z =1(d 2d )3x y −+． （14）【答案】21．【解答】由矩阵A 的特征值为221,,−，由21B A A λλλ=−+可知矩阵B 的特征值分别为3，7，1，由行列式与特征值的关系可得，37121=⨯⨯=B ．三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分） 解：由题可知极限3ln(1)sin lim1x x a x bx xkx →+++=．而，原式2333330()()236limx x x x x a x o x bx x o x kx →⎡⎤⎡⎤+−+++−+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=23330(1)()()23lim x a aa xb x x o x kx →++−++=． 要使得该极限值为1，必有10,0,23a a a b k +=−==，所以111,,23a b k =−=−=−．（16）（本题满分10分）解：由旋转体的体积公式可得，ππ22222210ππ()d π(sin )d 4A V f x x A x x ===⎰⎰， π2202π()d 2πV xf x x A ==⎰，由21V V =，解得8πA =．（17）（本题满分10分）解：(,)2(1)e xxyf x y y ''=+，两边对y 积分得 221(,)2()e ()(2)e ()2x x x f x y y y x y y x φφ'=++=++，又 (,0)(1)e xx f x x '=+，故()(1)e xx x φ=+． 所以，221(,)2()e ()(2)e (1)e 2x x x x f x y y y x y y x φ'=++=+++，两边对x 积分得， 2(,)(2)e e (1)d x x f x y y y x x =+++⎰2(2)e e (1)e ()x x x y y x C y =+++−+2(2)e e ()xxy y x C y =+++．由 2(0,)2f y y y =+，得()0C y =，2(,)(2)e e x xf x y y y x =++.令 0,0.x yf f '=⎧⎪⎨'=⎪⎩解得0,1.x y =⎧⎨=−⎩ 且有2(2)e 2e e ,2(1)e ,2e x x x x x xxxy yy f y y x f y f ''''''=+++=+=， 当1,0−==y x 时，2)1,0(,0)1,0(,1)1,0(=−''==−''==−''=yy xy xxf C f B f A ， 因为0,02>>−A B AC ,故存在极小值，且1)1,0(−=−f 为极小值．（18）（本题满分10分）解：由条件可知积分区域关于y 轴对称，所以由二重积分的对称性可知，d d 0Dxy x y =⎰⎰，所以2()d d d d D Dx x y x y x x y +=⎰⎰⎰⎰．而π222402d d 2sin 2cos d 5Dx x t t t ⋅−⎰⎰⎰π22021π2π22sin d 522545u t u u =−=⋅−=−⎰．（19）（本题满分10分）解：因为2221)12(121)(x x x x x x f +−=+++−='， 令()0f x '=，得12x =为其驻点． 当1(,),()2x f x ∈−∞时单调递减，当1(,),()2x f x ∈+∞时单调递增． 故)21(f 是唯一的极小值，也是最小值．又121()2f t t =+⎰111224=+t t t ⎛⎫− ⎪⎝⎭⎰⎰⎰．在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭<1122t t <⎰⎰，从而0)21(<f ．又21lim ()lim[]x x x f x t t →+∞→+∞=+⎰⎰211lim[]x x t t →+∞=−⎰⎰.考虑2lim x x t =+∞，所以lim ()x f x →+∞=+∞．而+∞=−∞→)(lim x f x ，所以函数()f x 在区间1,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上各有一个零点，故零点个数为2．（20）(本题满分11分)解：设t 时刻物体温度为)(t x ，比例常数为)0(,>k k ，介质温度为m ，则d ()()e d kt xk x m x t C m t−=−−⇒=+． 又(0)12020x ,m ,==得100C =，即()100e 20ktx t −=+．又(30)30,x =得ln10,30k =即ln1030()10020t x t −=+． 所以，当21x =时60t =. 603030(min)−=，故还需冷却30min ．（21）（本题满分11分）证明：根据题意得点))(,(b f b 处的切线方程为))(()(b x b f b f y −'=−．令0y =，得0()()f b x b f b =−'，因为0)(>'x f ，所以)(x f 递增，又 因为()0,f a =得()0f b >，又0)(>'b f ，所以b b f b f b x <'−=)()(0． 又)()(0b f b f a b a x '−−=−，在),(b a 上利用拉格朗日中值定理得， ()()(),(,)f b f a f a b b aξξ−'=∈−，所以0()()()()f b f b x a f f b ξ−=−'')()()()()(b f f f b f b f '''−'=ξξ． 再由()0f x ''>，可知()f x '单调递增．所以()()f b f ξ''>，可得0x a >．从而结论得证．（22）（本题满分11分）解：（I ）由3=A O ，得31011001a a a a=−==A ，故可得0a =．（II ）由条件22−−+=X XA AX AXA E ，可知222()()()()A −−−=−−=X E AX E A E A X E A E ．所以1212121()()[()()]()E A −−−−=−−=−−=−−X E A E A E A E A A ．因为2011111112−⎛⎫ ⎪−−=− ⎪ ⎪−−⎝⎭E A A ，利用初等变换可得21312()111211−−⎛⎫ ⎪−−=− ⎪ ⎪−⎝⎭E A A ，所以312111211−⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭X ．（23）（本题满分11分）解：（Ⅰ）因为,A B 相似，所以()()tr tr =A B 且=A B ，即31123a b a b +=++⎧⎨−=⎩①② 联合①②两式，解得45a b =⎧⎨=⎩． （Ⅱ）因为,A B 相似，所以21200(1)(5)031b λλλλλλλ−−=−=−=−−−−E A E B ， 得矩阵A 的特征值为11λ=（二重），25λ=.当11λ=时，解方程组()−=0E A x ，得基础解系为T T12(2,1,0),(3,0,1)==−ξξ， 当25λ=时，解方程组(5)−=0E A x ，得基础解系为T3(1,1,1)=−−ξ．令可逆矩阵123231(,,)101011−−⎛⎫⎪==− ⎪⎪⎝⎭P ξξξ,使得1100010005−⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ．。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、下列反常积分中收敛的是（）（A）2+∞⎰（B ）2ln xdx x+∞⎰(C)21ln dx x x+∞⎰(D)2xx dx e +∞⎰【答案】(D)【考点】反常积分的收敛性 【难易度】★★ 【详解】（A）2+∞==+∞⎰，发散，（B ）222ln 1(ln )2x dx x x +∞+∞==+∞⎰，发散（C ）221ln ln ln dx x x x +∞+∞==+∞⎰，发散 （D ）当x 足够大时，21x x e x <，221dx x +∞⎰收敛，2x x dx e+∞⎰收敛 2、函数20sin ()lim(1)x tt tf x x→=+在(,)-∞+∞内（）（A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】(B)【考点】极限的计算 【难易度】★★【详解】当0x ≠时，22sin sin 0sin sin ()=lim(1)lim(1)x x t x x tt x tt t ttf x e xx→→+=+=3、设函数1cos ,0()0,0x x f x xx αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>，若()f x '在0x =处连续，则（） （A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【考点】导数的定义、连续的定义 【难易度】★★★【详解】100()(0)1(0)=limlim cos x x f x f f x x xαβ-→→-'=存在 所以10α->，且(0)=0f '1111()=cossin f x x x x x ααβββαβ---'+ 由0lim ()(0)0x f x f →''==，得10αβ-->，1αβ->4、设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】C【考点】拐点的定义 【难易度】★★★【详解】由图易知，拐点为原点和与x 正半轴的交点，所以拐点数为2 5、设函数(u v)f ，满足22(,)y f x y x y x+=-，则11u v f u ==∂∂与11u v fv ==∂∂依次是（） （A ）12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12【答案】(C)【考点】链式求导法则 【难易度】★★【详解】法一：,y u x y v x =+=，所以,11u uvx y v v ==++所以222222(1)(,)(1)(1)1u u v u v f u v v v v -=-=+++ 2(1)1f u v u v ∂-=∂+，222(1)fu v v ∂-=∂+ 110u v f u ==∂=∂，1112u v fv==∂=-∂ 法二：22(,)x f x y x y y+=-（1）（1）式对x 求导得，22f y f x u x v ∂∂-=∂∂（2） （1）式对y 求导得，12f f y u x v∂∂+=-∂∂（3） 由1,1u v ==，得12x y ==，代入（2）（3）解得110u v f u ==∂=∂，1112u v fv==∂=-∂ 6、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y =围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（B）24(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★ 【详解】由y x =得，4πθ=由y =得，3πθ=由21xy =得，22cos sin 1,r r θθ==由41xy =得，24cos sin 1,r r θθ==所以34(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr ππθθθ=⎰⎰⎰7、设矩阵A=211112a 14a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，b=21d d ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（）（A ）,a d ∉Ω∉Ω (B),a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【考点】线性方程组 【难易度】★★【详解】[]()()()()2211111111,12011114001212A b a d a d a d a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦Ax b =有无穷多解⇔R(A)=R(A,b)<31212a a d d ⇔====或且或.8、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（ ）(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++ 【答案】(A) 【考点】二次型 【难易度】★★★【详解】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-且：200010001T P AP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦100200001,()010010001T T T Q P PC Q AQ C P AP C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以222123()2T T T f x Ax y Q AA y y y y ===-+，故选(A)二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、设2231arctan ,3t x t d y dx y t t==⎧=⎨=+⎩则 【答案】48【考点】复合函数的求导法则 【难易度】★★【详解】2222333(1)11dy dy dt t t dx dx dtt +===++， 22222212(1)12(1)11d dy d y t t dt dx t t dx dx t ⎛⎫⎪+⎝⎭===++， 因此，212121448t d y dx==⋅⋅=.10、函数2()2xf x x =在0x =处的n 阶导数()(0)n f =【答案】2(1)(ln 2)n n n --【考点】高阶导数；莱布尼兹公式：()()0()()nn kn k k n k uv C u v -==∑ 【难易度】★★ 【详解】()()()2()2n n x fx x =⋅()(0)n f ⇒()()(2)222(1)222(ln 2)2n x x n n x x n n C x --==-''==⋅⋅⋅2(1)(ln2)n n n -=-.11、设函数()f x 连续，2()(),x x xf t dt ϕ=⎰若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f =【答案】2【考点】变限积分求导 【难易度】★★ 【详解】2220()()()()2()x x x xf t dt x f t dt x x f x ϕϕ'=⇒=+⋅⋅⎰⎰1(1)()2(1)(1)2(1)5(1)2f t dt f f f ϕϕ'=+=+=⇒=⎰.12、设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x = 【答案】【考点】【难易度】★★【详解】微分方程的通解是212x x y c e c e -=+则12(0)33y c c ==+=，12(0)020y c c '==-+=，121,2c c ⇒==22x x y e e -⇒=+.13、若函数(,)z z x y =由方程231x y ze xyz +++=确定，则(0,0)dz =【答案】1233dx dy --【考点】隐函数求导法则 【难易度】★★★ 【详解】,0z zdz dx dy x x y∂∂=+=∂∂0y =0z = 两边对x 求导23(31)0x y zz zeyz xy x x++∂∂⋅+++=∂∂ 代入0,0x y ==01|3x z x =∂=-∂ 两边对y 求导23(32)0x y zz zexz xy y y++∂∂⋅+++=∂∂ 代入0,0x y ==02|3y z y =∂⇒=-∂(0,0)12|33dz dx dy ⇒=--.14、设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B =【答案】21【考点】矩阵的特征值 【难易度】★★【详解】A 的特征值为2，-2,1，又由于2B A A E =-+，因此矩阵B 的特征值为3,7,1，因此矩阵B 的行列式的值为21三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求,,a b k 的值。

2015年合肥⾼考数学（⽂科）⼆模试题答案 2015年⾼三第⼆次教学质量检测数学试卷答案 ⼀、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C A C B D D A ⼆、填空题 11. . 12. . 13.600. 14. . 15.②③. 三、解答题: 16.解(Ⅰ) , 在中, ,得 .……6分 (Ⅱ) ,由正弦定理得 , 即 ,得 或 , 由知A 为锐⾓, .……12分⾼三数学(⽂)试题答案第2页(共4页) 17.解(Ⅰ)平均值为 . ………6分 (Ⅱ)基本事件有10种,满⾜条件的基本事件有6种 由古典概型可得 .……12分 18.解(Ⅰ) 即 , ⼜ , ,即 ,所以数列是公⽐为2的等⽐数列. ⼜ . ………6分 (Ⅱ)依题意 , , 那么, ,两式相减得 故 . ………12分 19.解(Ⅰ)在长⽅体ABCD-A1B1C1D1中,CD⊥平⾯BCC1B1 ∴CD⊥BE, ………3分 ⼜∵E 为线段CC1的中点,由已知得∽ ∴ ,⾼三数学(⽂)试题答案第3页(共4页) ∴ , 故BE⊥B1C, 且 ∴BE⊥平⾯B1CD, ⼜平⾯ ∴平⾯平⾯B1CD. ………7分 (Ⅱ)取线段A1B1的中点 M,线段BB1的中点 N, 连结C1M, C1N, MN,易得C1N∥BE, MN∥A1B, ⼜ , , 平⾯C1MN∥平⾯A1BE,故点P 为线段MN 上的动点,且C1P∥⾯A1BE. 要使得线段C1P 长度最⼩,则C1P MN. 在中,C1M =C1N= ,MN= ,易得C1P= . ………13分 20.解(Ⅰ)当时, , 由 ,得或 ∴在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数. ∴的极⼩值为 , 的极⼤值为 . ………6分 (Ⅱ)由 得或 ( ) 易得在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数;⾼三数学(⽂)试题答案第4页(共4页) ①当时, ,此时在上为减函数, 在上为增函数 ②当时, ,此时在[0,3]上为减函数, . ………13分 21.解(Ⅰ) , ,由向量的坐标运算可得 代⼊椭圆⽅程可得 ,得 ,即离⼼率 . ………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ,可得 ,点 , , 当△PAB ⾯积取最⼤值时,动点P 离直线AB 的距离最远 设直线为椭圆E 的⼀条切线,且∥AB 由 即 ,此时直线与直线AB 之间的距离即为动点P 到直线AB 的最远距离 ⼜直线AB: ,由两平⾏线间距离公式得 此时 因此椭圆E 的⽅程为 . ………13分⾼考语⽂考点⾼考数学考点⾼考英语考点⾼考理综考点⾼考⽂综考点⾼考语⽂复习资料⾼考数学复习资料⾼考英语复习资料⾼考理综复习资料⾼考⽂综复习资料⾼考语⽂模拟试题⾼考数学模拟试题⾼考英语模拟试题⾼考理综模拟试题⾼考⽂综模拟试题⾼考语⽂历年真题⾼考数学历年真题⾼考英语历年真题⾼考理综历年真题⾼考⽂综历年真题⾼考备考辅导；⾼考⾷谱⼤全；⾼考前必须做的事。

2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=｛-2，-1,0,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B= （A ）｛－1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝2.若a 为实数且（2+ai ）（a -2i ）=－4i ，则a =（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。

以下结论不正确的是（A ）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ）2007年我国治理二氧化硫排放显现（C ）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4.等比数列｛a n ｝满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 = （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）845.设函数f (x )=⎩⎨⎧≥++-1,2,1),2(log 112x x x x ＜，则f (－2)+ f (log 212) =（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）126.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则 截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为（A ）81 （B ）71 （C ）61（D ）517.过三点A （1,3），B （4,2），C （1,7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN=（A ）26 （B ）8 （C ）46 （D ）10 8.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》 中的“更相减损术”。

执行该程序框图，若输入a,b 分别为14,18， 则输出的a= （A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）149.已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体 积的最大值为36，则球O 的表面积为（A ）36π （B ）64π （C ）144π （D ）256π10.如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与 DA 运动，∠BOP=x 。

一、填空题（每小题3分，共15分） 1、极限2sin 0lim(13)x x x →+= ．2、设2arctan()y x x =，则y ' ． 3、设()f x 的一个原函数为2x e-，则()________xf x dx '=⎰．4、曲线xe y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r eθ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、当1x →-时，31x +与3(1)x +为（）(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（ ）(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -3、设()f x 在0x =处连续，且0()lim 11cos x f x x→=-，则在点0x =处（ ）． (A) (0)f '不存在 (B) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f '存在，且(0)0f '≠ (D) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是（ ）(A)1+∞⎰(B)111sin dx x -⎰ (C)221ln dx x x+∞⎰(D) 2x xe dx +∞--∞⎰5、曲线2211x x e y e--+=-（）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++L ． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +---→． 3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x '． 4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩求22d d ,d d y yx x ． 5、2arctan x dx x ⎰． ６、设2ln(1)0()101x x f x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪+⎩，求20(1)f x dx -⎰． 四、（本题满分10分）设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩⎰ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2xe y =，切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11ln ≥+xx . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ'=．。

一、填空题（每小题3分，共15分）1、椭球面∑：222216x y z ++=在点0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________． 2、设曲线L 的方程为221x y +=，则2[()]Lx y y ds +-=⎰．3、设()21,0,1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于 ．4、微分方程220y y y '''++=的通解为 ．5、设23(,,)2f x y z x y z =++，则(1,1,1)grad f =u u u u u r．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设222zx y ze ++=,则11x y dz===( ))(A 2(dx dy)-+ )(B 22(z 1)e (z 1)e z zdx dy --+++)(C 22dx dy + )(D 22dx dy -+2、二次积分2(,)dx f x y dy ⎰化为极坐标下累次积分为（ ）drr F d D drr F d C drr F d B dr r F d A ),(2)(),()(),()(),()(cos 202cos 2022cos 20cos 200θθθθθθθθθπθππθππθπ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（ ）．（A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线1121410214x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（ ） )(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交5、设曲面∑的方程为222,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦限的部分，则下列结论不正确．．．的是（ ）．（A ）0xdS ∑=⎰⎰ （B ）0zdS ∑=⎰⎰（C ）1224zdS z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ （D ）22x dS y dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰三、（本题满分10分）设(,)sin xz f xy y y=+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ∂∂∂∂∂． 四、（本题满分12分）求22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ：2214y x +≤上的最大值和最小值.五、（本题满分10分）计算二重积分：2D I y xd σ=-⎰⎰，其中:11,02D x y -≤≤≤≤．六、（本题满分12分）已知积分22(5())()xx Ly yef x dx e f x dy ---+⎰与路径无关,且6(0)5f =.求()f x ,并计算(2,3)22(1,0)(5())()x x I y ye f x dx e f x dy --=-+⎰.七、（本题满分12分）计算积分2232222()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdyI x y z ∑+-++=++⎰⎰，其中∑是上半球面z =，取上侧．八、（本题满分10分）．求幂级数∑∞=---12112)1(n n n x n 的收敛域及和函数，并求数项级数∑∞=---1112)1(n n n 的和．九、（本题满分4分）设0(1,2,3,...)n u n ≠=,且lim1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？。

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

∫√x+∞2dx =2√x|2+∞=+∞；∫lnx x+∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞；∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞； ∫xe +∞2dx =−∫x +∞2de −x=−xe −x |2+∞+∫e −x+∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x +βx α−β−1sin 1x ,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x ={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。

2021 考研数学二真题及答案一、选择题:18小题,每题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 以下反常积分收敛的是 ( )(A)2+∞⎰(B)2ln x dx x+∞⎰(C)21ln dx x x +∞⎰ (D)2x x dx e +∞⎰【答案】(D) 【解析】(1)x x xdx x e e-=-+⎰，那么 2222(1)3lim (1)3x x x x xdx x e e x e e e+∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰.(2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x →=+ 在(,)-∞+∞内 ( )(A) 连续 (B) 有可去连续点(C) 有跳跃连续点 (D) 有无穷连续点 【答案】(B)【解析】220sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x tt t f x e e x→→=+==，0x ≠，故()f x 有可去连续点0x =.(3)设函数()1cos ,00,0x x x f x x αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,假设()'f x 在0x =处连续那么:( )(A)0αβ-> (B)01αβ<-≤(C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'=()1001cos10lim lim cosx x x x f x x x αβαβ++-+→→-'== 0x >时，()()()11111cos1sin f x x x x x x ααβββαβ-+'=+-- 1111cossin x x x x ααβββαβ---=+()f x '在0x =处连续那么：()()10100lim cos 0x f f x x αβ+--+→''===得10α->()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭得：10αβ-->，答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如下图，那么曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.那么拐点个数为2个。

一、填空题（每小题3分，共15分） 1、椭球面∑：222216x y z ++=在点0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________．2、设曲线L 的方程为221x y +=，则2[()]Lx y y ds +-=⎰ ．3、设()21,0,1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于 ． 4、微分方程220y y y '''++=的通解为 ． 5、设23(,,)2f x y z x y z =++，则(1,1,1)grad f = ．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设222z x y ze ++=,则11x y dz ===( )2、二次积分20(,)dx f x y dy ⎰ 化为极坐标下累次积分为（ ）3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（ ）．（A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线1121410214x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（ ）)(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交5、设曲面∑的方程为222,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦限的部分，则下列结论不正确．．．的是（ ）．（A ）0xdS ∑=⎰⎰ （B ）0zdS ∑=⎰⎰（C ）1224z dS z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ （D ）22x dS y dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰三、（本题满分10分）设(,)sin xz f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂．四、（本题满分12分）求22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ：2214y x +≤上的最大值和最小值.五、（本题满分10分）计算二重积分：2DI y x d σ=-⎰⎰，其中:11,02D x y -≤≤≤≤．六、（本题满分12分）已知积分22(5())(x xLy ye f x dx e f x ---+⎰与路径无关,且6(0)5f = .求()f x ,并计算(2,3)22(1,0)(5())()x x I y ye f x dx e f x dy--=-+⎰.七、（本题满分12分）计算积分2232222()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy I x y z ∑+-++=++⎰⎰，其中∑是上半球面z =，取上侧．八、（本题满分10分）．求幂级数∑∞=---12112)1(n nn x n 的收敛域及和函数，并求数项级数∑∞=---1112)1(n n n 的和．九、（本题满分4分）设0(1,2,3,...)n u n ≠=,且lim 1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑是否收敛如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛。