(五年高考真题)2016届高考数学复习 第八章 第四节 空间中平行的判定与性质 理(全国通用)

考点36 空间中的平行关系1．(D ，广东，5分)若空间中四条两两不同的直线,1l 234,,,l l l 满足122334,//,,l l l l l l ⊥⊥则下列结论一定正确的是 ( )14.Al l ⊥ 41//.l l B 1.l C 与4l 既不垂直也不平行 1.D l 与4l 的位置关系不确定2．(A ，浙江，5分)若直线l 不平行于平面,α且,l α⊂/则( )A. α内的所有直线与l 异面B. α内不存在与l 平行的直线C.α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交3．(E ，浙江，5分)设βα,是两个不同的平面，l ,m 是两条不同的直线，且,L m αβ⊂⊂A.若,l β⊥则βα⊥B.若,βα⊥则m l ⊥C.若,//βl 则βα// D ．若,//βα则//l m4．(C ，浙江，5分)设m ，n 是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面 ( )A.若//,//,m n αα则n m //B.若,//,//βαm m 则βα//C.若,,//α⊥m n m 则α⊥n D ．若,,//βαα⊥m 则β⊥m5．(A ，福建，4分)如图，正方体1111ABCD A BC D -中，,2=AB 点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若 //EF 平面,1C AB 则线段EF 的长度等于______6．(D ，全国新课标，12分)如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD,E 为PD 的中点． (I)证明：PB//平面AEC; (Ⅱ)设,3,1==AD AP 三棱锥P-ABD 的体积,43=v 求A 到平面PBC 的距离，7．(D ，安徽，13分)如图，四棱锥P-ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为,172点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFHI 平面ABCD ，BC∥平面GEFH.(I)证明：GH∥EF;(Ⅱ)若EB=2，求四边形GEFH 的面积．8．(C ，江苏，14分)如图，在三棱锥S-ABC 中，平面⊥SAB 平面.,,AB AS BC AB SBC =⊥过A 作⊥AF ,SB 垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点，求证：(I)平面EFG∥平面ABC;().II BC SA ⊥9．(C ，山东，12分)如图，四棱锥ABCD P -中，⊥AB ,//,,CD AB PA AB AC ⊥N M G F E CD AB ,,,,,2= 分别为PC PD BC AB PB ,,,,的中点．(I)求证：//CE 平面;PAD(Ⅱ)求证：平面⊥EFG 平面.EMN10．(E ，广东，14分)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，,4==PC PD.3,6==BC AB(I)证明：BC∥平面PDA;(Ⅱ)证明：;BC PD ⊥(Ⅲ)求点C到平面PDA的距离．答案。

空间的平行关系探究点一线面平行的判定例1已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.变式迁移1在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面PAD.探究点二面面平行的判定例2在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.变式迁移2已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心．(1)求证：平面G1G2G3∥平面ABC；(2)求S△G1G2G3∶S△ABC.探究点三平行中的探索性问题例3如图所示，在四棱锥P—ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，AD ＝DC ＝12AB ，BC ⊥PC.(1)求证：PA ⊥BC ；(2)试在线段PB 上找一点M ，使CM ∥平面PAD ，并说明理由．变式迁移3如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO?转化与化归思想综合应用例 (12分)一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M 、N 分别是AB 、SC 的中点，P 是SD 上的一动点．(1)求证：BP ⊥AC ；(2)当点P 落在什么位置时，AP ∥平面SMC? (3)求三棱锥B —NMC 的体积．多角度审题 第(1)问的关键是根据三视图得到SD ⊥平面ABCD ，第(2)问是一个开放型问题，可有两种思维方式：一是猜想P 是SD 的中点，二是从结论“AP 平行于平面SMC ”出发找P 满足的条件．【答题模板】(1)证明 连接BD ，∵ABCD 为正方形， ∴BD ⊥AC ，又SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥AC ，∵BD ∩SD ＝D ，∴AC ⊥平面SDB ，∵BP ⊂平面SDB ， ∴AC ⊥BP ，即BP ⊥AC.[4分](2)解 取SD 的中点P ，连接PN ，AP ，MN.则PN ∥DC 且PN ＝12DC.[6分]∵底面ABCD 为正方形，∴AM ∥DC 且AM ＝12DC ，∴四边形AMNP 为平行四边形，∴AP ∥MN.又AP ⊄平面SMC ，MN ⊂平面SMC ，∴AP ∥平面SMC.[8分](3)解 V B —NMC ＝V N —MBC ＝13S △MBC ·12SD ＝13·12·BC·MB·12SD ＝16×1×12×12×2＝112.[12分]【突破思维障碍】1．本题综合考查三视图、体积计算及线面平行、垂直等位置关系，首先要根据三视图想象直观图，尤其是其中的平行、垂直及长度关系，第(1)问的关键是根据三视图得到SD ⊥平面ABCD ，第(2)问是一个开放型问题，开放型问题能充分考查学生的思维能力和创新精神，近年来在高考试题中频繁出现这类题目．结合空间平行关系，利用平行的性质，设计开放型试题是新课标高考命题的一个动向．2．线线平行与线面平行之间的转化体现了化归的思想方法．1.直线与平面平行的重要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质定理．2.平面与平面平行的重要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)利用结论：a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β.3.线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化：空间平行关系练习题(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.下列命题中真命题的个数为()①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．A.1 B．2 C．3 D．42.已知直线a、b、c和平面m，则直线a∥直线b的一个必要不充分的条件是()A.a⊥m且b⊥m B．a∥m且b∥mC.a∥c且b∥c D．a，b与m所成的角相等3.在空间中，下列命题正确的是()A.若a∥α，b∥a，则b∥αB.若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥αC.若α∥β，b∥α，则b∥βD.若α∥β，a⊂α，则a∥β4.设l1、l2是两条直线，α、β是两个平面，A为一点，有下列四个命题，其中正确命题的个数是()①若l1⊂α，l2∩α＝A，则l1与l2必为异面直线；②若l1∥α，l2∥l1，则l2∥α；③若l1⊂α，l2⊂β，l1∥β，l2∥α，则α∥β；④若α⊥β，l1⊂α，则l1⊥β.A.0 B．1 C．2 D．35.若直线a，b为异面直线，则分别经过直线a，b的平面中，相互平行的有()A.1对B．2对C.无数对D．1或2对二、填空题(每小题4分，共12分)6.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．,7.过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的有______条．8.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.三、解答题(共38分)9．(12分)如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点．求证：MN∥平面AA1C1C.10．(12分)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．11．(14分)如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE，且点F在CE上．(1)求证：AE⊥BE；(2)求三棱锥D—AEC的体积；(3)设点M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.空间的平行关系例1 解题导引 证明线面平行问题一般可考虑证线线平行或证面面平行，要充分利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化．证明如图所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN . ∵矩形ABCD 和矩形ABEF 全等且有公共边AB ，∴AE ＝BD . 又∵AP ＝DQ ，∴PE ＝QB ， 又∵PM ∥AB ∥QN ， ∴PM AB ＝EP EA ，QN DC ＝BQ BD ，∴PM AB ＝QN DC. ∴PM 綊QN ，∴四边形PQNM 为平行四边形， ∴PQ ∥MN又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .变式迁移1 证明 取PD 中点F ，连接AF 、NF 、NM . ∵M 、N 分别为AB 、PC 的中点，∴NF 綊12CD ，AM 綊12CD ，∴AM 綊NF .∴四边形AMNF 为平行四边形，∴MN ∥AF . 又AF ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ， ∴MN ∥平面P AD .例2 解题导引 面面平行的常用判断方法有：(1)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；关键是利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．证明 方法一如图所示，连接B 1D 1、B 1C .∵P 、N 分别是D 1C 1、B 1C 1的中点， ∴PN ∥B 1D 1. 又B 1D 1∥BD ，∴PN ∥BD .又PN ⊄面A 1BD ， ∴PN ∥平面A 1BD .同理MN ∥平面A 1BD .又PN ∩MN ＝N ， ∴平面MNP ∥平面A 1BD . 方法二如图所示，连接AC 1、AC .∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体， ∴AC ⊥BD .又CC 1⊥面ABCD ， BD ⊂面ABCD ，∴CC 1⊥BD ，∴BD ⊥面ACC 1， 又∵AC 1⊂面ACC 1，∴AC 1⊥BD . 同理可证AC 1⊥A 1B ， ∴AC 1⊥平面A 1BD .同理可证AC 1⊥平面PMN ， ∴平面PMN ∥平面A 1BD . 变式迁移2(1)证明 如图所示，连接PG 1、PG 2、PG 3并延长分别与边AB 、BC 、AC 交于点D 、E 、F ，连接DE 、EF 、FD ，则有PG 1∶PD ＝2∶3，PG 2∶PE ＝2∶3，∴G 1G 2∥DE .又G 1G 2不在平面ABC 内，DE 在平面ABC 内， ∴G 1G 2∥平面ABC . 同理G 2G 3∥平面ABC . 又因为G 1G 2∩G 2G 3＝G 2， ∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC .(2)解 由(1)知PG 1PD ＝PG 2PE ＝23，∴G 1G 2＝23DE .又DE ＝12AC ，∴G 1G 2＝13AC .同理G 2G 3＝13AB ，G 1G 3＝13BC .∴△G 1G 2G 3∽△CAB ，其相似比为1∶3， ∴S △G 1G 2G 3∶S △ABC ＝1∶9.例3 解题导引 近几年探索性问题在高考中时有出现，解答此类问题时先以特殊位置尝试探究，找到符合要求的点后再给出严格证明．(1)证明 连接AC ，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E .在四边形ABCD 中，AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AD ＝DC ， ∴四边形ADCE 为正方形． ∴∠ACD ＝∠ACE ＝45°.∵AE ＝CD ＝12AB ，∴BE ＝AE ＝CE .∴∠BCE ＝45°.∴∠ACB ＝∠ACE ＋∠BCE ＝45°＋45°＝90°. ∴AC ⊥BC .又∵BC ⊥PC ，AC ⊂平面P AC ，PC ⊂平面P AC ，AC ∩PC ＝C ， ∴BC ⊥平面P AC .∵P A ⊂平面P AC ，∴P A ⊥BC . (2)解 当M 为PB 的中点时，CM ∥平面P AD .取AP 的中点F ，连接CM ，FM ，DF .则FM 綊12AB .∵CD ∥AB ，CD ＝12AB ，∴FM 綊CD .∴四边形CDFM 为平行四边形．∴CM ∥DF . ∵DF ⊂平面P AD ，CM ⊄平面P AD ， ∴CM ∥平面P AD .变式迁移3 解 当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO . ∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥P A . ∵P 、O 为DD 1、DB 的中点， ∴D 1B ∥PO .又PO ∩P A ＝P ，D 1B ∩QB ＝B ，D 1B ∥平面P AO ，QB ∥平面P AO ， ∴平面D 1BQ ∥平面P AO .1．A [①、②、③错，④对．]2．D [注意命题之间的相互推出关系；易知选项D 中，若两直线平行，则其与m 所成的角相等，反之却不一定成立，故a 、b 与m 所成的角相等是两直线平行的必要不充分条件．]3．D [A 不正确，由直线与平面平行的判定定理的条件知缺少条件b ⊄α；B 不正确，由两个平面平行的判定定理的条件，因a 、b 未必相交，而可能为两条平行直线，则α、β未必平行；C 不正确，因有可能b ⊂β；D 正确，由两个平面平行的定义及直线与平面平行的定义知正确．]4．A [①错，l 1⊂α，l 2∩α＝A ，l 1与l 2可能相交． ②错，l 2有可能在平面α内． ③错，α有可能与β相交．④错，l 1有可能与平面β相交或平行或在平面内．] 5．A[如图，a ，b 为异面直线，过b 上一点作a ′∥a ，直线a ′，b 确定一个平面β，过a 上一点作b ′∥b ，b 与b ′确定一个平面α，则α∥β.因为α，β是惟一的，所以相互平行的平面仅有一对．]6．①③解析 ①∵面AB ∥面MNP ，∴AB ∥面MNP ， ②过N 作AB 的平行线交于底面正方形的中心O ， NO ⊄面MNP ，∴AB 与面MNP 不平行． ③易知AB ∥MP ， ∴AB ∥面MNP ；④过点P 作PC ∥AB ， ∵PC ⊄面MNP ，∴AB 与面MNP 不平行． 7.6解析 如图，EF ∥E 1F 1∥AB ， EE 1∥FF 1∥BB 1，F 1E ∥A 1D ， E 1F ∥B 1D ，∴EF 、E 1F 1、EE 1、FF 1、F 1E 、E 1F 都平行于平面ABB 1A 1，共6条． 8.223a 解析如图所示，连接AC ， 易知MN ∥平面ABCD ，又∵PQ 为平面ABCD 与平面MNQP 的交线， ∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC ，又∵AP ＝a3，∴DP AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23，∴PQ ＝23AC ＝223a . 9．证明 设A 1C 1中点为F ，连接NF ，FC ， ∵N 为A 1B 1中点，∴NF ∥B 1C 1，且NF ＝12B 1C 1，又由棱柱性质知B 1C 1綊BC ，(4分) 又M 是BC 的中点， ∴NF 綊MC ，∴四边形NFCM 为平行四边形．∴MN ∥CF ，(8分) 又CF ⊂平面AA 1C 1C ， MN ⊄平面AA 1C 1C ，∴MN ∥平面AA 1C 1C .(12分)10．解 在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE .证明如下：如图所示，分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连接B 1F ，EG ，BG ，CD 1，FG .因为A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，因此D 1C ∥A 1B .又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，所以EG ∥D 1C ，从而EG ∥A 1B .这说明A 1，B ，G ，E 四点共面，所以BG ⊂平面A 1BE .(6分)因为四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1都是正方形，F ，G 分别为C 1D 1和CD 的中点，所以FG ∥C 1C ∥B 1B ，且FG ＝C 1C ＝B 1B ，因此四边形B 1BGF 是平行四边形，所以B 1F ∥BG .而B 1F ⊄平面A 1BE ，BG ⊂平面A 1BE ，故B 1F ∥平面A 1BE .(12分)11．(1)证明 由AD ⊥平面ABE 及AD ∥BC ， 得BC ⊥平面ABE ，BC ⊥AE ，(1分)而BF ⊥平面ACE ，所以BF ⊥AE ，(2分) 又BC ∩BF ＝B ，所以AE ⊥平面BCE ， 又BE ⊂平面BCE ，故AE ⊥BE .(4分)(2)解 在△ABE 中，过点E 作EH ⊥AB 于点H ， 则EH ⊥平面ACD .由已知及(1)得EH ＝12AB ＝2，S △ADC ＝2 2.(6分)故V D —AEC ＝V E —ADC ＝13×22×2＝43.(8分)(3)解 在△ABE 中，过点M 作MG ∥AE 交BE 于点G ，在△BEC 中过点G 作GN ∥BC 交EC 于点N ，连接MN ，则由CN CE ＝BG BE ＝MB AB ＝13，得CN ＝13CE .由MG ∥AE ，AE ⊂平面ADE ，MG ⊄平面ADE ，则MG ∥平面ADE .(10分)再由GN ∥BC ，BC ∥AD ，AD ⊂平面ADE ，GN ⊄平面ADE ， 得GN ∥平面ADE ，所以平面MGN ∥平面ADE . 又MN ⊂平面MGN ，则MN ∥平面ADE .(12分)故当点N 为线段CE 上靠近点C 的一个三等分点时， MN ∥平面ADE .(14分)。

空间平行定理和判定定理好吧，今天咱们来聊聊空间平行定理和判定定理。

这两个名词听起来可能有点高大上，但其实它们和我们日常生活中的一些小道理息息相关。

想象一下你在画一个美丽的花园，花草树木各自成行，各自有序，嘿，这不就是在讲平行的概念吗？空间中的平行关系就像那条不变的法则，保证着我们的花园不会变得乱七八糟。

说到这，大家肯定都知道平行线吧。

它们就像两个最好的朋友，永远不会相遇，永远保持一定的距离，真是忠实的伙伴。

平行定理说的是，在空间中，如果一条直线和一组平行线相交，那么这条直线在这组平行线的另一侧，依旧不会相交。

就像是你的好朋友和他的女朋友，怎么也不会插足对方的关系。

想想我们身边的事，很多时候也是这样。

比如，你在一家咖啡馆里，看到两个人在交谈，旁边又有一对情侣。

虽然他们都在同一个空间里，但他们各自的事情并不会互相影响。

空间平行就像是在告诉我们，保持一定的距离，不要相互打扰，才能让大家都过得舒心。

再说说判定定理。

这个定理可有趣了，它告诉我们，如果有两条直线在空间里，一条直线与另外一条直线相交，且与两条平行线相交的话，那这两条直线肯定也是平行的。

哇，这不就是生活中的一些小法则吗？举个例子，你和朋友一起去看电影。

你们都有自己的喜好，比如你爱动作片，他偏爱爱情片。

虽然你们选择了不同的影片，但每个人都有自己的追求，谁也不会干扰谁，还是可以一起享受这段时间。

生活中有时候就是这么简单，只要保持着各自的爱好，距离感也能让关系更加美好。

空间平行定理和判定定理还教给我们一个很重要的道理，就是有些事情是不变的，就像数学中的那些规则。

比如说，早上出门的时候，路上的车总是井然有序，这和空间中的平行关系一样。

车流不息，却能保持各自的行驶轨迹，不会互相碰撞。

想想如果没有这个规则，那可真是一场灾难，谁都不想在路上与别的车争道啊。

平行就像是一种默契，让每个人都能在各自的轨道上前进。

其实生活中充满了平行的例子。

比如说，你和朋友约好了一起去爬山。

【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第8章第4节空间中的平行关系北师大版一、选择题1．下列命题中正确的个数是( )①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑤平行于同一平面的两直线可以相交．A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析] a∩α＝A时，a⃘α，故①错；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；l∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；l∥α，l与α无公共点，所以l与α内任一条直线都无公共点，④正确；长方体中的相交直线A1C1与B1D1都与面ABCD平行，所以⑤正确．2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )A．①③B．①④C．②③D．②④[答案] B[解析] ①由平面ABC∥平面MNP，可得AB∥平面MNP.④由AB∥CD，CD∥NP，得AB∥NP，所以AB∥平面MNP.3．若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，mα，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⃘α，则m∥α[答案] D[解析] 如图(1)，β∥α，mβ，nβ，有m∥α，n∥α，但m与n可以相交，故A 错；如图(2)，m∥n∥l，α∩β＝l，有m∥β，n∥β，故B错；如图(3)，α⊥β，α∩β＝l，mα，m∥l，故C错．D选项证明如下：α⊥β设交线为l，在α内作n⊥l，则n⊥β，∵m⊥β，∴m∥n，∵nα，m⃘α，∴m∥α.4．(文)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β[答案] C[解析] 若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，A错误；若m∥α，m∥β，则α与β可能平行也可能相交，B错误；若m∥n，m⊥α，则由线面垂直的性质定理可得n ⊥α，C正确；若m∥α，α⊥β，则m可能在β内可能平行，也可能垂直，D错误．(理)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若b⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β[解析] 本题考查了空间线面关系．若α∩β＝m ，l ∥m ，l ⃘α，l ⃘β，则A 错．垂直于同一直线的两平面平行，B 正确．当l ⊥α，l ∥β时α⊥β，C 错，若α⊥β，l ∥α，则l 与β关系不确定，D 错．5．(2015·聊城模拟)设a 、b 、c 表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是( )A ．⎭⎪⎬⎪⎫c ⊥αα∥β⇒c ⊥β B ．⎭⎪⎬⎪⎫b β，a ⊥b c 是a 在β内的射影⇒b ⊥c C ． ⎭⎪⎬⎪⎫b αc ⃘αb ∥c ⇒c ∥α D ． ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αb ⊥a ⇒b ⊥α [答案] D[解析] 由a ∥α，b ⊥α可得b 与α的位置关系有：b ∥α，b α，b 与α相交，所以D 不正确．6．(文)设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥l 1且n ∥l 2C ．m ∥β且n ∥βD ．m ∥β且n ∥l 2[答案] B[解析] 本小题主要考查线面平行、面面平行、充要条件等基础知识．易知选项A 、C 、D 推不出α∥β，只有B 可推出α∥β，且α∥β不一定推出B ， ∴B 项为α∥β的一个充分而不必要条件，选B ．(理)如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误．．的为( )B ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°[答案] C[解析] ∵截面PQMN 为正方形，∴PQ ∥MN ，PQ ∥平面DAC ．又∵平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，PQ 平面ABC ，∴PQ ∥AC ，同理可证QM ∥BD ．故选项A 、B 、D 正确，C 错误．二、填空题7．(文)棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C 、M 、D 1作正方体的截面，则截面的面积是________．[答案] 92[解析] 由面面平行的性质知截面与平面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线，所以截面是梯形CD 1MN ，易求其面积为92. (理)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．[答案] 2[解析] 本题考查线面平行．由EF ∥平面AB 1C ，EF 平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，知EF ∥AC ．所以由E 是中点知EF ＝12AC ＝ 2. 8．(文)在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．[答案] 平面ABC 与平面ABD[解析] 连BN 延长交CD 于点E ，连AM 并延长也与CD 交于E 点(因为E 为CD 中点)，又EMAM＝EN BN ＝12，故MN ∥AB ．所以MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD ． (理)过三棱柱ABC －A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．[答案] 6[解析] 过三棱柱ABC －A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．9．已知平面α∩β＝m ，直线n ∥α，n ∥β，则直线m 、n 的位置关系是________．[答案] m ∥n[解析] 在α内取点A ∉m ，则点A 与n 确定一平面θ，且θ∩α＝A ．同理可作平面γ且γ∩β＝B ．∵n ∥α，n ∥β，∴n ∥a ，n ∥B ．∴a ∥B ．∵a ⃘β，b β，∴a ∥β.∵a α，α∩β＝m ，∴a ∥m ，∴n ∥m .三、解答题10．(2014·某某高考)如图，四棱锥P －ABCD 的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明： GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．[解析] ∵BC ∥平面GEFH ，BC 平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，∴GH ∥BC ．同理可证EF ∥BC ，∴GH ∥EF .(2)连接AC ，BD 交于一点O ，BC 交EF 于K ，连接OP 、GK .因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可证PO ⊥BD ，又∵BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，∴PO ⊥平面ABCD ，又∵平面GEFH ⊥平面ABCD ，P O ⃘平面GEFH ，∴PO ∥平面GEFH .又∵平面GEFH ∩平面PBD ＝GK ，∴PO ∥GK ，且GK ⊥平面ABCD ，∴GK ⊥EF ，所以GK 是梯形GEFH 的高．∵AB ＝8，EB ＝2，∴EB AB ＝KB DB ＝14，∴KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点， 又∵PO ∥GK ，∴GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4. 又由已知得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6.∴GK ＝3.∴四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.一、选择题1．(文)设m ，l 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )A ．若l ⊥m ，m α，则l ⊥αB ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥αC ．若l ∥α，m α，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m [答案] B[解析] 两平行线中一条垂直于一个平面，另一条边垂直于这个平面，故选B ．(理)已知两条互不重合的直线m 、n ，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β；②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β；③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β；④若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β.其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [分析] 本题考查线面的位置关系．虽然是一道单选题，但更似一道多选题，对所述四个命题的判断有一个出错就不可能产生正确结果．[答案] B[解析] 命题①是正确的；命题②不正确，很容易找到反例；命题③也不正确，可以构造出α∥β的情形；命题④也不正确，可以构造出α⊥β的情形．2．(文)已知两条直线m 、n ，两个平面α、β.给出下面四个命题：①m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α；②α∥β，m α，n β⇒m ∥n ；③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α；④α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β.其中正确命题的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③ [答案] C[解析] 两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故①正确；两平面平行，分别在这两平面内的两直线可能平行，也可能异面，故②错；m ∥n ，m ∥α时，n ∥α或n α，故③错；由α∥β，m ⊥α得m ⊥β，由m ⊥β，n ∥m 得n ⊥β，故④正确．(理)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥mC ．AB ∥βD ．AC ⊥β[答案] D [解析] ∵m ∥α，m ∥β，α∩β＝l ，∴m ∥l .∵AB ∥l ，∴AB ∥m .故A 一定正确．∵AC ⊥l ，m ∥l ，∴AC ⊥m ，从而B 一定正确．∵A ∈α，AB ∥l ，l α，∴B ∈α.∴A B ⃘β，l β.∴AB ∥β.故C 也正确．∵AC ⊥l ，当点C 在平面α内时，AC ⊥β成立，当点C 不在平面α内时，AC ⊥β不成立，故D 不一定正确．二、填空题3．已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α；⑤ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑥ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α. 其中正确的命题是________(将正确命题的序号都填上)．[答案] ①④⑤⑥[解析] ②中a ，b 的位置可能相交、平行、异面；③中α、β的位置可能相交．4．(文)在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面PAO .[答案] Q 为CC 1的中点[解析] 当Q 为CC 1的中点时，QB ∥PA ．又D 1B ⃘平面PAO ，Q B ⃘平面PAO ，所以D 1B ∥平面PAO .QB ∥平面PAO ，又D 1B ∩QB ＝B ，所以平面D 1BQ ∥平面PAO .(理)如图所示，ABCD 是空间四边形，E ，F ，G ，H 分别是四边上的点，它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当EFGH 是菱形时，AE EB ＝________.[答案] m n[解析] 如图所示，设AE ＝a ，EB ＝b ，由EF ∥AC 可得EF ＝bm a ＋b . 同理EH ＝an a ＋b .∵EF ＝EH ， ∴bm a ＋b ＝an a ＋b ，于是a b ＝m n. 三、解答题5．(文)如图，若PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PCE[解析] 取PC 的中点M ，连接ME 、MF ，则FM ∥CD 且FM ＝12CD ．又∵AE ∥CD 且AE ＝12CD ，∴FM 綊AE ，即四边形AFME 是平行四边形．∴AF ∥ME ，又∵A F ⃘平面PCE ，EM 平面PCE ，∴AF ∥平面PCE .(理)如图，已知α∥β，异面直线AB ，CD 和平面α，β分别交于A ，B ，C ，D 四点，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：(1)E ，F ，G ，H 共面；(2)平面EFGH ∥平面α.[解析] (1)∵E ，H 分别是AB ，DA 的中点，∴EH 綊12BD ．同理，FG 綊12BD ，∴FG 綊EH . ∴四边形EFGH 是平行四边形，∴E ，F ，G ，H 共面．(2)平面ABD 和平面α有一个公共点A ，设两平面交于过点A 的直线AD ′.∵α∥β，∴AD ′∥BD ．又∵BD ∥EH ，∴EH ∥BD ∥AD ′.∴EH ∥平面α，同理，EF ∥平面α，又EH ∩EF ＝E ，EH 平面EFGH ，EF 平面EFGH ，∴平面EFGH ∥平面α.6．如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1；(2)求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积．[解析] (1)由题设知，BB 1綊DD 1， ∴BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1. 又B D ⃘平面CD 1B 1，∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C ．又A 1B ⃘平面CD 1B 1，∴A 1B ∥平面CD 1B 1.又∵BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高．又∵AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2， ∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1.又∵S △ABD ＝12×2×2＝1， ∴V 三棱柱ABD －A 1B 1D 1＝S △ABD ×A 1O ＝1.。

专题44 空间中的平行关系-【考情解读】1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；2.能运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的简单命题．【重点知识梳理】1．直线与平面平行的判定与性质2.面面平行的判定与性质考点一有关线面、面面平行的命题真假判断【例1】(1)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是() A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β(2)设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是()A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β规律方法线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现，处理方法是数形结合，画图或结合正方体等有关模型来解题．【变式探究】(1)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α(2)给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()A．3 B．2 C．1 D．0答案(1)D(2)C考点二直线与平面平行的判定与性质【例2】如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明 (1)如图，取BD 的中点O ，连接CO ，EO .由于CB ＝CD ，所以CO ⊥BD . 又EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ， CO ，EC ⊂平面EOC ， 所以BD ⊥平面EOC ，又EO ⊂平面EOC ，因此BD ⊥EO . 又O 为BD 的中点，所以BE ＝DE .法二 如图，延长AD ，BC 交于点F ，连接EF . 因为CB ＝CD ，∠BCD ＝120°，所以∠CBD ＝30°. 因为△ABD 为正三角形， 所以∠BAD ＝∠ABD ＝60°， ∠ABC ＝90°，因为∠AFB ＝30°，所以AB ＝12AF .又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点． 连接DM ，由于点M 是线段AE 的中点， 因此DM ∥EF .又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ， 所以DM ∥平面BEC .规律方法 判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．【变式探究】 如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求三棱锥A ′－MNC 的体积．(2)解 法一 连接BN ，如上图，由题意A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′，A ′N ⊂平面A ′B ′C ′，所以A ′N ⊥平面NBC .又A ′N ＝12B ′C ′＝1，故V A ′－MNC ＝V N －A ′MC ＝12V N －A ′BC ＝12V A ′－NBC ＝16.法二 V A ′－MNC ＝V A ′－NBC －V M －NBC ＝12V A ′－NBC ＝16.考点三 平面与平面平行的判定与性质【例3】 如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1； (2)求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积．规律方法 证明两个平面平行的方法有：(1)用定义，此类题目常用反证法来完成证明；(2)用判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；(4)借助“传递性”来完成：两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．【变式探究】 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.考点四平行关系中的探索性问题【例4】(2014·四川卷)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．规律方法解决探究性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在．而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．【变式探究】如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD ＝2，E为PC的中点．(1)求三棱锥A －PDE 的体积；(2)AC 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面EDM ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．【真题感悟】1.【2015高考新课标2，理19】（本题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；DD 1C 1A 1 EFA BCB 1（Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4515．2.【2015江苏高考，16】（本题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC ⊥，1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BC C B =11 .求证：（1）C C AA DE 11//平面；（2）11AB BC ⊥.【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】（1）由题意知，E 为1C B 的中点， 又D 为1AB 的中点，因此D //C E A ．又因为D E ⊄平面11C C AA ，C A ⊂平面11C C AA ， 所以D //E 平面11C C AA ．3.【2015高考安徽，理19】如图所示，在多面体111A B D DCBA ，四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F.（Ⅰ）证明：1//EF B C ；（Ⅱ）求二面角11E A D B --余弦值.【答案】（Ⅰ）1//EF B C ；1．（2014·安徽卷）如图1-5，四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，且AD ＝2BC .过A 1，C ，D 三点的平面记为α，BB 1与α的交点为Q .图1-5(1)证明：Q 为BB 1的中点；(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；(3)若AA 1＝4，CD ＝2，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角的大小．(2)如图1所示，连接QA ，QD .设AA 1＝h ，梯形ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V 上和V 下，BC ＝a ，则AD ＝2a .图1V 三棱锥Q -A 1AD ＝13×12·2a ·h ·d ＝13ahd ，V 四棱锥Q -ABCD＝13·a ＋2a 2·d ·⎝⎛⎭⎫12h ＝14ahd ，所以V 下＝V 三棱锥Q -A 1AD ＋V 四棱锥Q -ABCD ＝712ahd . 又V 四棱柱A 1B 1C 1D 1 -ABCD ＝32ahd ，所以V 上＝V 四棱柱A 1B 1C 1D 1 -ABCD －V 下＝32ahd －712ahd ＝1112ahd ，故V 上V 下＝117.从而可得C (2cos θ，2sin θ，0)，A 1⎝⎛⎭⎫4sin θ，0，4， 所以DC ＝(2cos θ，2sin θ，0)，DA 1→＝⎝⎛⎭⎫4sin θ，0，4. 设平面A 1DC 的法向量n ＝(x ，y ，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧DA 1→·n ＝4sin θx ＋4＝0，DC →·n ＝2x cos θ＋2y sin θ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－sin θ，y ＝cos θ， 所以n ＝(－sin θ，cos θ，1)．又因为平面ABCD 的法向量m ＝(0，0，1)， 所以cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝22，故平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为π4.2．（2014·北京卷）如图1-3，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点．在五棱锥P - ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H .(1)求证：AB ∥FG ；(2)若P A ⊥底面ABCDE ，且P A ＝AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长．图1-3解：(1)证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE . 又因为AB ⊄平面PDE ， 所以AB ∥平面PDE .因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ∩平面PDE ＝FG ， 所以AB ∥FG .(2)因为P A ⊥底面ABCDE ， 所以P A ⊥AB ，P A ⊥AE .建立空间直角坐标系Axyz ，如图所示，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (2，1，0)，P (0，0，2)，F (0，1，1)，BC →＝(1，1，0)．3．（2014·湖北卷）如图1-4，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．图1-4连接EM，FN，则由EF∥MN，且EF＝MN知四边形EFNM是平行四边形．连接GH，因为H，G是EF，MN的中点，所以GH＝ME＝2.在△GOH 中，GH 2＝4，OH 2＝1＋λ2－⎝⎛⎭⎫222＝λ2＋12，OG 2＝1＋(2－λ)2－⎝⎛⎭⎫222＝(2－λ)2＋12，由OG 2＋OH 2＝GH 2，得(2－λ)2＋12＋λ2＋12＝4，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)． 若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角， 则m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0， 即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22.故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．4．（2014·新课标全国卷Ⅱ）如图1-3，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D -AE -C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E -ACD 的体积．图1-3设B (m ，0，0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，可取n 1＝⎝⎛⎭⎫3m ，－1，3. 又n 2＝(1，0，0)为平面DAE 的法向量， 由题设易知|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即33＋4m 2＝12，解得m ＝32. 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E -ACD 的高为12.三棱锥E -ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38.5．（2014·山东卷）如图1-3所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点．图1-3(1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值． 17．解：(1)证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形， 且AB ＝2CD ，所以AB ∥DC ， 又M 是AB 的中点， 所以CD ∥MA 且CD ＝MA .连接AD 1.因为在四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中， CD ∥C 1D 1，CD ＝C 1D 1， 所以C 1D 1∥MA ，C 1D 1＝MA ， 所以四边形AMC 1D 1为平行四边形，因此，C 1M ∥D 1A .又C 1M ⊄平面A 1ADD 1，D 1A ⊂平面A 1ADD 1， 所以C 1M ∥平面A 1ADD 1.所以A (3，0，0)，B (0，1，0)，D 1(0，0，3)． 因此M ⎝⎛⎭⎫32，12，0，所以MD 1→＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，3，D 1C 1→＝MB →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0.设平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1C 1→＝0，n ·MD 1→＝0，得⎩⎨⎧3x －y ＝0，3x ＋y －2 3z ＝0，可得平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(1，3，1)． 又CD 1→＝(0，0，3)为平面ABCD 的一个法向量． 因此cos 〈CD 1→，n 〉＝CD 1→·n |CD 1→||n |＝55，所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为5 5.【押题专练】1．若直线ɑ平行于平面α，则下列结论错误的是()A．ɑ平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与ɑ平行C．直线ɑ上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与ɑ成90°角解析若直线ɑ平行于平面α，则α内既存在无数条直线与ɑ平行，也存在无数条直线与ɑ异面且垂直，所以A不正确，B，D正确，又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C正确．答案 A2．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．答案 D3．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β4．已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若α∥β，m∥n，m∥α，则n∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β5.在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°解析因为截面PQMN是正方形，所以MN∥QP，则MN∥平面ABC，由线面平行的性质知MN∥AC，则AC∥截面PQMN，同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，则AC⊥BD，故A、B正确．又因为BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确．答案 C6．设a ，b 是两条直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是 ( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α7．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是 ( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④解析 对于图形①：平面MNP 与AB 所在的对角面平行，即可得到AB ∥平面MNP ；对于图形④：AB ∥PN ，即可得到AB ∥平面MNP ；图形②，③都不可以，故选C.答案 C8．棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________．解析 由面面平行的性质知截面与面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线，所以截面是梯形CD 1MN ，易求其面积为92. 答案 929.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．10．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b ∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．11．如图，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1(请填上你认为正确的一个条件)．解析如图，连接FH，HN，FN，由题意知HN∥面B1BDD1，FH∥面B1BDD1.且HN∩FH＝H，∴面NHF∥面B1BDD1.∴当M在线段HF上运动时，有MN∥面B1BDD1.答案M∈线段HF12．如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.13．一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC的中点)．(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体A－CDEF的体积．14．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝AF＝4，现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置，使得A′C＝2 6.(1)求五棱锥A′－BCDFE的体积；(2)在线段A′C上是否存在一点M，使得BM∥平面A′EF？若存在，求A′M；若不存在，请说明理由．(2)线段A′C上存在点M，使得BM∥平面A′EF，此时A′M＝6 2.证明如下：连接OM，BD，BM，DM，且易知BD过O点．A′M＝62＝14A′C，HO＝14HC，所以OM∥A′H，又OM⊄平面A′EF，A′H⊂平面A′EF，所以OM∥平面A′EF，又BD∥EF，BD⊄平面A′EF，EF⊂平面A′EF，所以BD∥平面A′EF，又BD∩OM＝O，所以平面MBD∥平面A′EF，因为BM⊂平面MBD，所以BM∥平面A′EF.：。

1.一个正方体截去两个角后所得几何体的正(主)视图、侧(左)视图如图所示，则其俯视图为()解析由题意得正方体截去的两个角如图所示，故其俯视图应选C.答案 C2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为()答案 C3．某一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．54 B．58 C．60 D．63解析由三视图可知，该几何体是一个棱长为3的正方体截去一个长、宽、高分别为1，1，3的长方体，所以该几何体的表面积S表＝6×32＋2×1×3＝60.答案 C4．某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A．72πB．48πC．30πD．24π答案 C5.某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的表面积为()A．92＋24πB．82＋24πC．92＋14πD．82＋14π解析该几何体是个半圆柱与长方体的组合体，直观图如图，表面积为S＝5×4＋2×4×4＋2×4×5＋2π×5＋π×22＝92＋14π.答案 C6.四棱锥P -ABCD 的三视图如图所示，四棱锥P -ABCD 的五个顶点都在一个球面上，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为( )A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π设外接球的球心为O ，则O 也是正方体的中心，设EF 的中点为G ，连接OG ，OA ，AG .根据题意，直线EF 被球面所截得的线段长为22，即正方体的面对角线长也是22，可得AG ＝2＝22a ，所以正方体的棱长a ＝2，在Rt △OGA 中，OG ＝12a ＝1，AO ＝3，即四棱锥P -ABCD 的外接球半径R ＝3，从而得外接球表面积为4πR 2＝12π，故选A. 答案 A7．如图所示，在正四棱柱(侧面为矩形，底面为正方形的棱柱)ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 1，BC 1的中点，则以下结论中不成立的是( )A ．EF 与BB 1垂直B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与A 1C 1异面解析 连接B 1C ，AC ，则易知EF 是△ACB 1的中位线，因此EF ∥AC ∥A 1C 1，故选D.答案 D8．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是( )A ．0<θ<π2B ．0<θ≤π2C ．0≤θ≤π2D ．0<θ≤π3解析 当P 在D 1处时，CP 与BA 1所成角为0；当P 在A 处时，CP 与BA 1所成角为π3，∴0<θ≤π3.答案 D9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ；④若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β.其中正确命题的序号是( )A ．①和③B ．②和③C ．③和④D ．①和④答案 A10． a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出六个命题： ①⎩⎪⎨⎪⎧a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ；②⎩⎪⎨⎪⎧a ∥γ，b ∥γ⇒a ∥b ； ③⎩⎪⎨⎪⎧α∥c ，β∥c ⇒α∥β；④⎩⎪⎨⎪⎧α∥γ，β∥γ⇒α∥β； ⑤⎩⎪⎨⎪⎧α∥c ，a ∥c ⇒α∥a ；⑥⎩⎪⎨⎪⎧α∥γ，a ∥γ⇒a ∥α. 其中正确的命题是( )A ．①②③B ．①④⑤C ．①④D ．①③④解析 ①④正确．②错，a 、b 可能相交或异面．③错，α与β可能相交．⑤⑥错，a 可能在α内．答案 C11.正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．(2)设正三棱锥P -ABC 的内切球球心为O ，连接OP ，OA ，OB ，OC ，而O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r .∴V P ­ABC ＝V O ­PAB ＋V O ­PBC ＋V O ­PAC ＋V O ­ABC＝13S 侧·r ＋13S △ABC ·r ＝13S 表·r＝(32＋23)r .又V P ­ABC ＝13×12×32×(26)2×1＝23， ∴(32＋23)r ＝23，得r ＝2332＋23＝23（32－23）18－12＝6－2. ∴S 内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π.V 内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π.12．如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M ，N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的表面积与体积．解 设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为h ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋r ＋2r ＝（5＋2）×2，2πr l ＝π2，解得r ＝2，l ＝4 2.所以S ＝πrl ＋πr 2＝10π，h ＝l 2－r 2＝30，V ＝13πr 2h ＝230π3.13.在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD ⊥BC ，对角线BD ＝132，AC ＝32，求AC 和BD 所成的角．14．已知空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边BC ，CD 的中点．(1)求证：BC 与AD 是异面直线；(2)求证：EG 与FH 相交．证明 (1)假设BC 与AD 共面．不妨设它们所共平面为α，则B，C，A，D∈α.∴四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾，∴BC与AD是异面直线．(2)如图，连接AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，则EFGH为平行四边形．又EG，FH是▱EFGH的对角线，∴EG与HF相交．15．如图，圆O为三棱锥P－ABC的底面ABC的外接圆，AC是圆O的直径，PA⊥BC，点M是线段PA的中点．(1)求证：BC⊥PB；(2)设PA⊥AC，PA＝AC＝2，AB＝1，求三棱锥P－MBC的体积；(3)在△ABC内是否存在点N，使得MN∥平面PBC？请证明你的结论．(3)解如图，取AB的中点D，连接OD、MD、OM，则N为线段OD(除端点O、D外)上任意一点即可，理由如下：因为M、O、D分别是PA、AC、AB的中点，所以MD∥PB，MO∥PC.因为，MD⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，所以MD∥平面PBC，同理可得，MO∥平面PBC.因为MD、MO⊂平面MDO，MD∩MO＝M，所以平面MDO∥平面PBC，因为MN⊂平面MDO，故MN∥平面PBC.。