【独家整理】近五年(2015-2019)全国各地区高考真题汇总——2019年江苏卷数学试题(精校解析

2020.2.15三角函数和数列高考题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.记为等差数列的前n项和．已知，，则A. B. C. D.2.关于函数有下述四个结论：是偶函数在区间单调递增在有4个零点的最大值为2其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.3.记为等差数列的前n项和．若，，则A. B. C. 10 D. 124.记为等差数列的前n项和．若，，则的公差为A. 1B. 2C. 4D. 85.已知曲线：，：，则下面结论正确的是A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线6.已知等差数列前9项的和为27，，则A. 100B. 99C. 98D. 977.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为A. 11B. 9C. 7D. 58.A. B. C. D.9.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米如图，米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛10.函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为A. ，B. ，C. ，D. ，二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）11.记为等比数列的前n项和．若，，则________．12.记为数列的前n项和，若，则_____．13.已知函数，则的最小值是______．14.设等比数列满足，，则的最大值为______．15.在平面四边形ABCD中，，，则AB的取值范围是________．16.函数的最小正周期是______．17.设等差数列的前n项和为，若，，则______，的最小值为______．18.已知数列是等差数列，是其前n项和若，则的值是____．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）19.的内角A，B，C的对边分别为a，b，设．求A；若，求sinC．20.在平面四边形ABCD中，，，，．求；若，求BC．21.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为．求sinBsinC；若，，求的周长．22.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．求角C的大小；若，的面积为，求的周长．23.为数列的前n项和，已知，求的通项公式；Ⅱ设，求数列的前n项和．2020.2.15三角函数和数列高考题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）24.记为等差数列的前n项和．已知，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基础题．根据题意，设等差数列的公差为d，则有，求出首项和公差，然后求出通项公式和前n项和即可．【解答】解：设等差数列的公差为d，由，，得，，，，故选：A．25.关于函数有下述四个结论：是偶函数在区间单调递增在有4个零点的最大值为2其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可．【解答】解：，则函数是偶函数，故正确；当时，，，则为减函数，故错误；当时，，由，得，即或，由是偶函数，得在上还有一个零点，即函数在有3个零点，故错误；当，时，取得最大值2，故正确，故正确是，故选C．26.记为等差数列的前n项和．若，，则A. B. C. 10 D. 12【答案】B【解析】解：为等差数列的前n项和，，，，把，代入得．故选：B．利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程，能求出的值．本题考查等差数列的第五项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．27.记为等差数列的前n项和．若，，则的公差为A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】本题主要考查等差数列公式及等差数列求和的基本量运算，属于简单题．利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出的公差．【解答】解：为等差数列的前n项和，设公差为d，，，解得，，的公差为4．故选C．28.已知曲线：，：，则下面结论正确的是A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数的图象变换、诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题．利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，即曲线，故选D．29.已知等差数列前9项的和为27，，则A. 100B. 99C. 98D. 97【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键，属于基础题．根据已知可得，进而求出公差，可得答案．【解答】解：设的公差为d，等差数列前9项的和为27，．，，又，，．故选C．30.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为A. 11B. 9C. 7D. 5【答案】B【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图象和性质的综合运用，属于中档题．根据已知可得为正奇数，且，结合为的零点，为图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合在上单调，可得的最大值．【解答】解：为的零点，为图象的对称轴，，即，，即，，即为正奇数，在上单调，则，即，解得：，当时，，，，，此时在不单调，不满足题意；当时，，，，，此时在单调，满足题意；故的最大值为9，故选B．31.A. B. C. D.【答案】D【解析】解：．故选：D．直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．32.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米如图，米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛【答案】B【解析】【分析】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则，解得，故米堆的体积为，斛米的体积约为立方，，故选：B．33.函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】解：由函数的部分图象，可得函数的周期为，，．再根据函数的图象以及五点法作图，可得，，即，由，，求得，，故的单调递减区间为，，故选：D．由周期求出，由五点法作图求出，可得的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得的减区间．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）34.记为等比数列的前n项和．若，，则________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查等比数列前n项和的计算，结合条件建立方程组求出q是解决本题的关键．根据等比数列的通项公式，建立方程求出q的值，结合等比数列的前n项和公式进行计算即可．【解答】解：在等比数列中，由，得，即，解得，则，故答案为．35.记为数列的前n项和，若，则_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了数列的递推公式和等比数列的求和公式，属于基础题．先根据数列的递推公式可得是以为首项，以2为公比的等比数列，再根据求和公式计算即可．【解答】解：为数列的前n项和，，当时，，解得，当时，，，由可得，，是以为首项，以2为公比的等比数列，，故答案为．36.已知函数，则的最小值是______．【答案】【解析】【分析】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．由题意可得是的一个周期，问题转化为在上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．【解答】解：由题意可得是的一个周期，故只需考虑在上的值域，先来求该函数在上的极值点，求导数可得，令可解得或，可得此时，或；的最小值只能在点，或和边界点中取到，计算可得，，，，函数的最小值为，故答案为：．37.设等比数列满足，，则的最大值为______．【答案】64【解析】【分析】本题考查数列的通项，数列与函数相结合，属于中档题．求出数列的公比与首项，化简，然后求解最值．【解答】解：等比数列满足，，设公比为q，可得，解得，，解得，则，当或时，取得最大值：，故答案为64．38.在平面四边形ABCD中，，，则AB的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】本题考查求AB的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题．【解答】如图所示，延长BA，CD交于点E，则在中，，，，设，，，，，，，，而，的取值范围是故答案为：39.函数的最小正周期是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了三角函数的图象与性质，关键是合理使用二倍角公式，属于基础题．用二倍角公式可得，然后用周期公式求出周期即可．【解答】解：，，的周期，故答案为．40.设等差数列的前n项和为，若，，则______，的最小值为______．【答案】0，【解析】【分析】本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的前n项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的前n项和公式、通项公式列出方程组，能求出，，由此能求出的的最小值．【解答】解：设等差数列的前n项和为，，，解得，，，，或时，取最小值为．故答案为0，．41.已知数列是等差数列，是其前n项和若，则的值是____．【答案】16【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题．设等差数列的首项为，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得的值．【解答】解：设等差数列的首项为，公差为d，则，解得．．故答案为16．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）42.的内角A，B，C的对边分别为a，b，设．求A；若，求sin C．【答案】解：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设．则，由正弦定理得：，，，．，，由正弦定理得，解得，，，．【解析】由正弦定理得：，再由余弦定理能求出A．由已知及正弦定理可得：，可解得C的值，由两角和的正弦函数公式即可得解．本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．43.在平面四边形ABCD中，，，，．求；若，求BC．【答案】解：，，，．由正弦定理得：，即，，，，．，，，．【解析】本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．由正弦定理得，求出，由此能求出；由，得，再由，利用余弦定理能求出BC．44.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为．求sin B sin C；若，，求的周长．【答案】解：由三角形的面积公式可得，，由正弦定理可得，，；，，，，，，，，，，，，，，周长．【解析】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，根据两角余弦公式可得，即可求出，再根据正弦定理可得，根据余弦定理即可求出，问题得以解决．45.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．求角C的大小；若，的面积为，求的周长．【答案】解：已知等式利用正弦定理化简得：，整理得：，，，，又，；由余弦定理得，，，，，，的周长为．【解析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sin C不为0求出cos C的值，即可确定出C的度数；利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出的值，即可求的周长．46.为数列的前n项和，已知，求的通项公式；Ⅱ设，求数列的前n项和．【答案】解：由，可知，两式相减得，即，，，，舍或，则是首项为3，公差的等差数列，的通项公式；Ⅱ，，数列的前n项和．【解析】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．根据数列的递推关系，利用作差法即可求的通项公式；Ⅱ求出，利用裂项法即可求数列的前n项和．。

【试题】2015～2019年全国卷高考真题分类_开放性试题（12分题）1．（2015·全国Ⅰ卷·41）阅读材料，完成下列要求。

（12分）材料有历史学者为说明近代以来科学技术在生产力发展中的作用，引用了如下公式：生产力=科学技术×（劳动力+劳动工具+劳动对象+生产管理）这一公式表明，科学技术有乘法效应，它能放大生产力诸要素。

——摘编自齐世荣总主编《世界史》运用世界近现代史的史实，对上述公式进行探讨。

（说明：可以就科学技术与公式中一个或多个要素之间的关系进行认证；也可以对公式进行修改、补充、否定或提出新公式，并加以论述，要求观点明确、史论结合、史实准确。

）41．（12分）评分说明：答案略。

表2 1950～2008年我国部分节假日一览表表241．（12分）评分说明：正确指出材料反映的一种变化趋势，如法定假日总天数从少到多，成为法定假日的传统节日种类增多，小长假出现和增多等，根据史实对变化趋势原因的说明充分恰当。

示例：趋势：改革开放后法定假日总天数从少到多。

（4分）原因：实行改革开放，社会、经济发展迅速；人民生活水平不断提高，休闲娱乐需求增加；增加假日成为促进经济发展的一种手段；政府更加注重民生。

（8分）（“示例”只作阅卷参考，不作为唯一标准答案。

）3．（2016·全国Ⅰ卷·41）阅读材料，完成下列要求。

（12分）材料人民订立契约建立国家，他们是国家的主人。

人民主权不可转让，也不可代表，议员不能是人民的代表，只能充当人民的“办事员”。

英国人“只有在选举国会议员的期间，才是自由的；议员一旦选出之后，他们就是奴隶，他们就等于零了”。

人民主权不可分割，否则主权者将被“弄成是一个支离破碎拼凑起来的怪物”。

——据卢梭《社会契约论》结合材料与所学世界史的相关知识，围绕“制度构想与实践”自行拟定一个具体的论题，并就所拟论题进行简要阐述（要求：明确写出所拟论题，阐述须有史实依据）。

2014年1卷17.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.2014年2卷17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：1231112n a a a ++<…+.2015年1卷(17)(本小题满分12分)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，(Ⅰ)求{a n }的通项公式：(Ⅱ)设，求数列}的前n 项和2015年2卷（4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 =（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84（16）设S n 是数列{a n }的前项和，且1111,n n n a a s s ++=-=，则S n =___________________．2016年1卷 （3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （ ）（A ）100（B ）99（C ）98（D ）97（15）设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 。

2016-217.（本小题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，.（I ）求111101b b b ，，；（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.2016-3（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（ ）（A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个（17）（本小题满分12分） 已知数列的前n 项和1n n S a λ=+，其中λ0. （I ）证明是等比数列，并求其通项公式 （II ）若53132S = ，求λ2017-14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．812．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的学最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A ．440B ．330C ．220D ．1102017-23.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk k S ==∑ ．2017-39．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．814．设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________．2018-14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5aA ．12-B ．10-C ．10D ．1214．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若21n n S a =+，则6S =_____________．2018-217．（12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．2018-317．（12分）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．2019-19．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．2019-219．（12分）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式.2019-35．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项为和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=A ． 16B ． 8C ．4D ． 214．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文数 一、选择题：每小题5分,共60分 1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合AB 中的元素个数为（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）22、已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =（A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)3、已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）（A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i + 4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）（A ）310 （B ）15 （C ）110 （D ）1205、已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）126、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛7、已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ）（A ） 172 （B ）192（C ）10 （D ）12 8、函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈（B）13 (2,2),44 k kk Zππ-+∈（C）13(,),44k k k Z-+∈（D）13(2,2),44k k k Z-+∈9、执行右面的程序框图，如果输入的0.01t=，则输出的n=（）（A）5（B）6（C）7 （D）810、已知函数1222,1()log(1),1x xf xx x-⎧-≤=⎨-+>⎩，且()3f a=-，则(6)f a-=（A）74-（B）54-（C）34-（D）14-11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r=( ) （A）1（B）2（C ）4（D ）812、设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4二、填空题：本大题共4小题,每小题5分13、数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .14.已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a = .15. 若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为 ．16.已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．三、解答题17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B =，且a = 求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为6，求该三棱锥的侧面积.19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.（I ）根据散点图判断，y a bx =+与y c x =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =- ，根据（II ）的结果回答下列问题：（i ）当年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？20. （本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（I ）求k 的取值范围；（II ）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .21. （本小题满分12分）设函数()2ln x f x e a x =-.（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（II ）证明：当0a >时()22ln f x a a a≥+.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图AB 是O 直径，AC 是O 切线，BC 交O 与点E .（I ）若D 为AC 中点，证明：DE 是O 切线； （II ）若3OA CE =，求ACB ∠的大小.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求12,C C 的极坐标方程.（II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12,0f x x x a a =+--> .（I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文答案一、 选择题（1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B（7）B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C二、 填空题（13）6 （14）1 （15）4 （16）三、 解答题17、解：（I ）由题设及正弦定理可得2b =2ac.又a=b ，可得cosB=2222a c b ac +-=14……6分 （II ）由（I ）知2b =2ac.因为B=o 90，由勾股定理得222a c =b +.故22a c =2ac +，的.所以△ABC 的面积为1. ……12分18、解：（I ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD.因为BE ⊥平面ABCD,所以AC ⊥BE,故AC ⊥平面BED.又AC ⊂平面AEC,所以平面AEC ⊥平面BED. ……5分 （II ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，又∠ABC=o 120 ，可得x ，GB=GD=2x .因为AE ⊥EC,所以在Rt △AEC 中，可的x . 由BE ⊥平面ABCD,知△EBG 为直角三角形，可得BE=2x . 由已知得，三棱锥E-ACD 的体积E ACD V -=13×12AC ·GD ·BE=3243x =. 故x =2 ……9分从而可得.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与 △ECD故三棱锥E-ACD 的侧面积为……12分19、解：（I ）由散点图可以判断，y 关于年宣传费x 的回归方程式类型.（II）令w =y 关于w 的线性回归方程式.由于28181()()108.8d=681.6()i ii ii w w y y w w ==--==-∑∑, 56368 6.8100.6c y d w =-=-⨯=，所以y 关于w 的线性回归方程为y=100.668w +,因此y 关于x 的回归方程为y 100.6=+（Ⅲ）（i ）由（II ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值y 100.6=+，年利润z 的预报值z=576.60.24966.32⨯-= ……9分（ii ）根据（II ）的结果知，年利润z 的预报值=-20.12x x +.13.6=6.82=，即x=46.24时，z取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. ……12分20、解：（I）由题设，可知直线l的方程为1y kx=+.因为l与C1.解得k所以k的取值范围为44(33+. ……5分（II）设()1122,,(,)M x y N x y.将1y kx=+代入方程22(2)(3)1x y-+-=，整理得22(1)4(1)70k x k x+-++=.所以1212224(1)7,11kx x x xk k++==++.1212OM ON c x y y⋅=+()()2121211k x x k x x=++++()24181k kk+=++.由题设可得()24181k kk+=++=12，解得k=1，所以l的方程是y=x+1.故圆心C在l上，所以2MN=. ……12分21、解：（I）()f x的定义域为()()20,,2(0)xaf x e xx'+∞=-〉.当a≤0时，()()f x f x''〉，没有零点；当0a〉时，因为2xe单调递增，ax-单调递减，所以()f x'在()0,+∞单调递增，又()0f a'〉，当b 满足0＜b ＜4a 且b＜14时，()0f b '〈，故当a ＜0时()f x '存在唯一零点. ……6分（II ）由（I ），可设()f x '在()0,+∞的唯一零点为0x ，当()00x x ∈，时，()f x '＜0； 当()0x x ∈+∞，时，()f x '＞0.故()f x 在()0+∞，单调递减，在()0x +∞，单调递增，所以0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x . 由于02020x a ex -=，所以()0002221212a f x ax a n a a n x a a=++≥+. 故当0a 〉时，()221f x a a n a≥+. ……12分 22、解：（I ）连接AE ，由已知得，AE ⊥BC,AC ⊥AB. 在Rt △AEC 中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE. 连结OE ，则∠OBE=∠OEB.又∠OED+∠ABC=o 90，所以∠DEC+∠OEB=o 90，故∠OED=o 90，DE 是O 的切线.……5分（II ）设CE=1，AE=x ，由已知得AB=23212x -由射影定理可得，2AE CE BE =⋅， 所以2212x x =-，即42120x x +-=.可得3x =ACB=60o .……10分 23、解：（I ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. ……5分（II ）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得12ρρ==.故12ρρ-=MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN ∆的面积为12. ……10分 24、解：（I ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +---＞. 当1x ≤-时，不等式化为40x -＞，无解；当11x -＜＜时，不等式化为320x -＞，解得213x ＜＜； 当1x ≥，不等式化为-x +2＞0，解得1≤x ＜2.所以()1f x >的解集为223xx ⎧⎫⎨⎬⎩⎭︱＜＜. ……5分 （II ）由题设可得，()12,1312,1,12,.x a x f x x a x a x a x a --⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++⎩＜＜所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个丁点分别为()()21,0,21,0,,13a A B a C a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭,△ABC 的面积为()2213a +.由题设得()2213a +＞6，故a ＞2. 所以a 的取值范围为()2+∞，. ……10分2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M N ，则P 的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．复数512ii=-A ．2i -B ．12i -C ． 2i -+D ．12i -+3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A ．3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+D ．||2x y -=4．椭圆221168x y +=的离心率为A ．13 B ．12C ．3D ．2 5．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 A ．120 B ． 720 C ． 1440 D ． 50406．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A ．13 B ．12C ．23D ．347．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ． 45-B ．35-C ．35D ．458．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧 视图可以为9．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为A ．18B ．24C ． 36D ． 4810．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为A ．1(,0)4-B ．1(0,)4C ．11(,)42D ．13(,)2411．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则 A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称12．已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a+b 与向量ka-b 垂直，则k=_____________．14．若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．15．ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________．16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =．（I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=（II ）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． （I ）证明：PA BD ⊥； （II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高． 19．（本小题满分12分） 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A 配方的频数分布表指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]频数8 20 42 22 8 B 配方的频数分布表指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]频数4 12 42 32 10 （I ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率； （II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．20．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上． （I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．21．（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（I ）求a ，b 的值；（II ）证明：当x>0，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根． （I ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．（I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求|AB|．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >． （I ）当a=1时，求不等式()32f x x ≥+的解集．（II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值．参考答案一、选择题（1）B （2）C （3）B （4）D （5）B （6）A （7）B （8）D （9）C （10）C （11）D （12）A 二、填空题（13）1 （14）-6 （15）4315 （16）31三、解答题 （17）解：（Ⅰ）因为.31)31(311n n n a =⨯=- ,2311311)311(31nn n S -=--= 所以,21nn a S --（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++= )21(n +++-=2)1(+-=n n所以}{n b 的通项公式为.2)1(+-=n n b n (18)解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=，由余弦定理得BD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD（Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E 。

2015年普通高等学校招生全国统一考试安徽理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至第4页。

全卷满分150分,考试时间120分钟。

考生注意事项:1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写,要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．,在试题卷、草稿纸．．．．．．．．上答题无效．．．．．。

4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。

参考公式:如果事件A与B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).标准差s=√1n [(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2],其中x=1n(x1+x2+…+x n).第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015安徽,理1)设i是虚数单位,则复数2i1−i在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B解析:由复数除法的运算法则可得,2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=2i−22=-1+i,对应点为(-1,1)在第二象限.故选B.2.(2015安徽,理2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()A.y=cos xB.y=sin xC.y=ln xD.y=x2+1答案:A解析:y=cos x是偶函数,其图象与x轴有无数个交点,因此选项A满足要求;y=sin x为奇函数;y=ln x既不是奇函数也不是偶函数;y=x2+1无零点,均不满足要求.故选A.3.(2015安徽,理3)设p:1<x<2,q:2x>1,则p是q成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由2x>1,得x>0,所以由p:1<x<2可以得到q:x>0成立,而由q:x>0不能得到p:1<x<2成立,因此p是q成立的充分不必要条件.故选A.4.(2015安徽,理4)下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为y=±2x 的是( ) A .x 2-y24=1 B .x 24-y 2=1 C .y 24-x 2=1D .y 2-x24=1答案:C解析:A,B 选项中双曲线的焦点在x 轴上,不符合要求.C,D 选项中双曲线的焦点在y 轴上,且双曲线y 24-x 2=1的渐近线方程为y=±2x ;双曲线y 2-x 24=1的渐近线方程为y=±12x ,故选C .5.(2015安徽,理5)已知m ,n 是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( ) A .若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 B .若m ,n 平行于同一平面,则m 与n 平行 C .若α,β不平行．．．,则在α内不存在．．．与β平行的直线 D .若m ,n 不平行．．．,则m 与n 不可能．．．垂直于同一平面 答案:D解析:A 选项α,β可能相交;B 选项m ,n 可能相交,也可能异面;C 选项若α与β相交,则在α内平行于它们交线的直线一定平行于β;由垂直于同一个平面的两条直线一定平行,可知D 选项正确.6.(2015安徽,理6)若样本数据x 1,x 2,…,x 10的标准差为8,则数据2x 1-1,2x 2-1,…,2x 10-1的标准差为( ) A .8 B .15 C .16 D .32 答案:C解析:设数据x 1,x 2,…,x 10的平均数为x ,标准差为s ,则2x 1-1,2x 2-1,…,2x 10-1的平均数为2x -1,方差为[(2x 1−1)−(2x−1)]2+[(2x 2−1)−(2x−1)]2+⋯+[(2x 10−1)−(2x−1)]210=4(x 1−x)2+4(x 2−x)2+⋯+4(x 10−x)210=4s 2,因此标准差为2s=2×8=16.故选C .7.(2015安徽,理7)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )A .1+√3B .2+√3C .1+2√2D .2√2答案:B 解析:该四面体的直观图如图所示,平面ABD ⊥平面BCD ,△ABD 与△BCD 为全等的等腰直角三角形,AB=AD=BC=CD=√2.取BD 的中点O ,连接AO ,CO ,则AO ⊥CO ,AO=CO=1,由勾股定理得AC=√2,因此△ABC 与△ACD 为全等的正三角形,由三角形面积公式得,S △ABC =S △ACD =√32,S △ABD =S △BCD =1,所以四面体的表面积为2+√3.8.(2015安徽,理8)△ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足AB⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +b ,则下列结论正确的是 ( )A .|b |=1B .a ⊥bC .a ·b =1D .(4a +b )⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案:D解析:在△ABC 中,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a +b )-2a =b ,所以|b |=2,故A 不正确;因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ,所以a =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,而AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,从而a ·b =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12×2×2×cos120°=-1,因此B,C 不正确;因为(4a +b )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4a +b )·b =4a ·b +b 2=-4+4=0,所以(4a +b )⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选D . 9.(2015安徽,理9)函数f (x )=ax+b(x+c)2的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A .a>0,b>0,c<0B .a<0,b>0,c>0C .a<0,b>0,c<0D .a<0,b<0,c<0答案:C解析:由图象知f (0)=bc 2>0,因此b>0.函数f (x )的定义域为(-∞,-c )∪(-c ,+∞),因此-c>0,c<0.而当x →+∞时,f (x )<0,可得a<0,故选C .10.(2015安徽,理10)已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A ,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=2π3时,函数f (x )取得最小值,则下列结论正确的是( )A .f (2)<f (-2)<f (0)B .f (0)<f (2)<f (-2)C .f (-2)<f (0)<f (2)D .f (2)<f (0)<f (-2) 答案:A解析:由周期T=2πω=π,得ω=2.当x=2π3时,f (x )取得最小值,所以4π3+φ=3π2+2k π,k ∈Z ,即φ=π6+2k π,k ∈Z ,所以f (x )=A sin (2x +π6).所以f (0)=A sinπ6=A 2>0,f (2)=A sin (4+π6)=√32A sin4+A 2cos4<0,f (-2)=A sin (−4+π6)=-√32A sin4+A 2cos4. 因为f (2)-f (-2)=√3A sin4<0,所以f (2)<f (-2).又f (-2)-f (0)=-A sin (4−π6)−A2 =-A [sin (4−π6)+12], 因为π<4-π6<π+π6<32π,所以sin (4−π6)>sin (π+π6)=-12, 即sin (4−π6)+12>0,所以f (-2)<f (0).综上,f (2)<f (-2)<f (0),故选A .第Ⅱ卷(非选择题共100分)考生注意事项:请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答,在试题卷上答题无效．．．．．．．．．. 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.(2015安徽,理11)(x 3+1x )7的展开式中x 5的系数是 .(用数字填写答案) 答案:35解析:通项公式T r+1=C 7r x 3(7-r )x -r =C 7r x 21-4r ,由21-4r=5,得r=4,所以x 5的系数为C 74=35.12.(2015安徽,理12)在极坐标系中,圆ρ=8sin θ上的点到直线θ=π3(ρ∈R )距离的最大值是 . 答案:6解析:圆ρ=8sin θ化为直角坐标方程为x 2+y 2=8y ,即x 2+(y-4)2=16.故其圆心为(0,4),半径r=4.直线θ=π3(ρ∈R )化为直角坐标方程为y=x tan π3=√3x.故圆心到直线y=√3x 的距离d=|√3×0−4|2=2.所以圆上的点到直线y=√3x 距离的最大值为d+r=6.13.(2015安徽,理13)执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的n 为 .答案:4解析:当a=1,n=1时,进入循环,a=1+11+1=32,n=2;此时|a-1.414|>0.005,继续循环,a=1+11+32=1+25=75,n=3;此时|a-1.414|>0.005,继续循环,a=1+11+75=1+512=1712,n=4;此时|a-1.414|≈0.003<0.005,退出循环,因此n 的值为4.14.(2015安徽,理14)已知数列{a n }是递增的等比数列,a 1+a 4=9,a 2a 3=8,则数列{a n }的前n 项和等于 . 答案:2n -1解析:设数列{a n }的公比为q ,由已知条件可得{a 1+a 1q 3=9,a 12q 3=8,解得{a 1=8,q =12或{a 1=1,q =2,因为{a n }是递增的等比数列,所以{a 1=1,q =2.所以{a n }是以1为首项,2为公比的等比数列,故S n =2n -1.15.(2015安徽,理15)设x 3+ax+b=0,其中a ,b 均为实数.下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是 .(写出所有正确条件的编号)①a=-3,b=-3;②a=-3,b=2;③a=-3,b>2;④a=0,b=2;⑤a=1,b=2. 答案:①③④⑤解析:方程仅有一个实根,则函数f (x )=x 3+ax+b 的图象与x 轴只有一个公共点.当a=-3时,f (x )=x 3-3x+b ,f'(x )=3x 2-3,由f'(x )=0,得x=±1,易知f (x )在x=-1处取极大值,在x=1处取极小值.当b=-3时,f (-1)=-1<0,f (1)=-5<0,满足题意,故①正确;当b=2时,f (-1)=4>0,f (1)=0,图象与x 轴有2个公共点,不满足题意,故②不正确;当b>2时,f (-1)=2+b>4,f (1)=-2+b>0,满足题意,故③正确;当a=0和a=1时,f'(x )=3x 2+a ≥0,f (x )在R 上为增函数,所以函数f (x )=x 3+ax+b 的图象与x 轴只有一个交点,故④⑤也满足题意.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.(本小题满分12分)(2015安徽,理16)在△ABC 中,∠A=3π4,AB=6,AC=3√2,点D 在BC 边上,AD=BD ,求AD 的长.解:设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos ∠BAC=(3√2)2+62-2×3√2×6×cos 3π4=18+36-(-36)=90,所以a=3√10. 又由正弦定理得sin B=bsin∠BACa=3√10=√1010, 由题设知0<B<π4,所以cos B=√1−sin 2B =√1−110=3√1010.在△ABD 中,由正弦定理得AD=AB·sinBsin(π−2B)=6sinB2sinBcosB =3cosB =√10.17.(本小题满分12分)(2015安徽,理17)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X 的分布列和均值(数学期望).解:(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ,P (A )=A 21A 31A 52=310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X=200)=A 22A 52=110, P (X=300)=A 33+C 21C 31A 22A 53=310,P (X=400)=1-P (X=200)-P (X=300)=1-110−310=610.故X 的分布列为EX=200×110+300×310+400×610=350.18.(本小题满分12分)(2015安徽,理18)设n ∈N *,x n 是曲线y=x 2n+2+1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标.(1)求数列{x n }的通项公式;(2)记T n =x 12x 32…x 2n−12,证明:T n ≥14n .(1)解:y'=(x 2n+2+1)'=(2n+2)x 2n+1,曲线y=x 2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2,从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).令y=0,解得切线与x 轴交点的横坐标x n =1-1n+1=nn+1. (2)证明:由题设和(1)中的计算结果知T n =x 12x 32…x 2n−12=(12)2(34)2…(2n−12n)2.当n=1时,T 1=14.当n ≥2时,因为x 2n−12=(2n−12n )2=(2n−1)2(2n)2>(2n−1)2−1(2n)2=2n−22n=n−1n,所以T n >(12)2×12×23×…×n−1n=14n .综上可得对任意的n ∈N *,均有T n ≥14n. 19.(本小题满分13分)(2015安徽,理19)如图所示,在多面体A 1B 1D 1DCBA 中,四边形AA 1B 1B ,ADD 1A 1,ABCD 均为正方形,E 为B 1D 1的中点,过A 1,D ,E 的平面交CD 1于F . (1)证明:EF ∥B 1C ;(2)求二面角E-A 1D-B 1的余弦值.(1)证明:由正方形的性质可知A 1B 1∥AB ∥DC ,且A 1B 1=AB=DC ,所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形.从而B 1C ∥A 1D ,又A 1D ⊂面A 1DE ,B 1C ⊄面A 1DE ,于是B 1C ∥面A 1DE.又B 1C ⊂面B 1CD 1,面A 1DE ∩面B 1CD 1=EF ,所以EF ∥B 1C. (2)解:因为四边形AA 1B 1B ,ADD 1A 1,ABCD 均为正方形,所以AA 1⊥AB ,AA 1⊥AD ,AB ⊥AD 且AA 1=AB=AD ,以A 为原点,分别以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴、y 轴和z 轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系,可得点的坐标A (0,0,0),B (1,0,0),D (0,1,0),A 1(0,0,1),B 1(1,0,1),D 1(0,1,1),而E 点为B 1D 1的中点,所以E 点的坐标为(0.5,0.5,1).设面A 1DE 的法向量n 1=(r 1,s 1,t 1),而该面上向量A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0.5,0.5,0),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1),由n 1⊥A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1⊥A 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得r 1,s 1,t 1应满足的方程组{0.5r 1+0.5s 1=0,s 1−t 1=0,(-1,1,1)为其一组解,所以可取n 1=(-1,1,1).设面A 1B 1CD 的法向量n 2=(r 2,s 2,t 2),而该面上向量A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1),由此同理可得n 2=(0,1,1).所以结合图形知二面角E-A 1D-B 1的余弦值为|n 1·n 2||n 1|·|n 2|=√3×√2=√63. 20.(本小题满分13分)(2015安徽,理20)设椭圆E 的方程为x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0),点O 为坐标原点,点A 的坐标为(a ,0),点B 的坐标为(0,b ),点M 在线段AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线OM 的斜率为√510.(1)求E 的离心率e ;(2)设点C 的坐标为(0,-b ),N 为线段AC 的中点,点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72,求E 的方程.解:(1)由题设条件知,点M 的坐标为(23a,13b),又k OM =√510,从而b 2a=√510, 进而得a=√5b ,c=√a 2−b 2=2b ,故e=ca=2√55. (2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB 的方程为√5b+yb =1,点N 的坐标为(√52b,−12b).设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为(x 1,72),则线段NS 的中点T 的坐标为(√54b +x 12,−14b +74).又点T 在直线AB 上,且k NS ·k AB =-1,从而有{ √54b+x 12√5b −14b+74b=1,72+12b 1−√52b =√5,解得b=3.所以a=3√5,故椭圆E 的方程为x 245+y 29=1.21.(本小题满分13分)(2015安徽,理21)设函数f (x )=x 2-ax+b.(1)讨论函数f (sin x )在(−π2,π2)内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;(2)记f 0(x )=x 2-a 0x+b 0,求函数|f (sin x )-f 0(sin x )|在[−π2,π2]上的最大值D ; (3)在(2)中,取a 0=b 0=0,求z=b-a 24满足条件D ≤1时的最大值.解:(1)f (sin x )=sin 2x-a sin x+b=sin x (sin x-a )+b ,-π2<x<π2.[f (sin x )]'=(2sin x-a )cos x ,-π2<x<π2.因为-π2<x<π2,所以cos x>0,-2<2sin x<2.①a ≤-2,b ∈R 时,函数f (sin x )单调递增,无极值. ②a ≥2,b ∈R 时,函数f (sin x )单调递减,无极值.③对于-2<a<2,在(−π2,π2)内存在唯一的x 0,使得2sin x 0=a.-π2<x ≤x 0时,函数f (sin x )单调递减;x 0≤x<π2时,函数f (sin x )单调递增.因此,-2<a<2,b ∈R 时,函数f (sin x )在x 0处有极小值f (sin x 0)=f (a2)=b-a 24.(2)-π2≤x ≤π2时,|f (sin x )-f 0(sin x )|=|(a 0-a )sin x+b-b 0|≤|a-a 0|+|b-b 0|, 当(a 0-a )(b-b 0)≥0时,取x=π2,等号成立. 当(a 0-a )(b-b 0)<0时,取x=-π2,等号成立.由此可知,|f (sin x )-f 0(sin x )|在[−π2,π2]上的最大值为D=|a-a 0|+|b-b 0|.(3)D ≤1,即为|a|+|b|≤1,此时0≤a 2≤1,-1≤b ≤1,从而z=b-a 24≤1. 取a=0,b=1,则|a|+|b|≤1,并且z=b-a 24=1.由此可知,z=b-a 24满足条件D ≤1的最大值为1.2015年普通高等学校招生全国统一考试北京理科数学本试卷共5页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题 共40分)一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)1.(2015北京,理1)复数i(2-i)=( )A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i 答案:A解析:i(2-i)=2i -i 2=2i -(-1)=1+2i .2.(2015北京,理2)若x ,y 满足{x −y ≤0,x +y ≤1,x ≥0,则z=x+2y 的最大值为( )A.0B.1C.32D.2答案:D解析:根据题意,由约束条件画出可行域如图阴影部分所示.目标函数z=x+2y ,即y=-12x+z2.由图可知当直线y=-12x+z2过点B (0,1)时,z 取最大值,且z max =0+2×1=2.3.(2015北京,理3)执行如图所示的程序框图,输出的结果为( )A.(-2,2)B.(-4,0)C.(-4,-4)D.(0,-8) 答案:B解析:x=1,y=1,k=0,进入循环:s=1-1=0,t=1+1=2,x=0,y=2,k=0+1=1<3;s=0-2=-2,t=0+2=2,x=-2,y=2,k=1+1=2<3;s=-2-2=-4,t=-2+2=0,x=-4,y=0,k=2+1=3≥3,跳出循环,输出(x ,y ),即(-4,0).4.(2015北京,理4)设α,β是两个不同的平面,m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B解析:充分性:若m ⊂α,m ∥β,则平面α和β可能平行也可能相交,所以充分性不成立;必要性:若α∥β,m ⊂α,则m ∥β,必要性成立.故“m ∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件,选B . 5.(2015北京,理5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )A.2+√5B.4+√5C.2+2√5D.5答案:C解析:由三视图还原几何体如图.∴S 表面积=S △BCD +2S △ACD +S △ABC=12×2×2+2×12×√5×1+12×2×√5=2+√5+√5=2+2√5.6.(2015北京,理6)设{a n }是等差数列.下列结论中正确的是 ( )A.若a 1+a 2>0,则a 2+a 3>0B.若a 1+a 3<0,则a 1+a 2<0C.若0<a 1<a 2,则a 2>√a 1a 3D.若a 1<0,则(a 2-a 1)(a 2-a 3)>0 答案:C解析:设等差数列公差为d.对于A 选项,a 1+a 2=2a 1+d>0, 而a 2+a 3=2a 1+3d 不一定大于0; 对于B 选项,a 1+a 3=2a 1+2d<0, a 1+a 2=2a 1+d 不一定小于0;对于C 选项,0<a 1<a 2,则公差d>0.所以a 2=a 1+a 32>√a 1a 3;对于D 选项,(a 2-a 1)(a 2-a 3)=-d 2≤0.故只有C 正确.7.(2015北京,理7)如图,函数f (x )的图象为折线ACB ,则不等式f (x )≥log 2(x+1)的解集是( )A.{x|-1<x ≤0}B.{x|-1≤x ≤1}C.{x|-1<x ≤1}D.{x|-1<x ≤2}答案:C解析:如图,作出函数f (x )与y=log 2(x+1)的图象.易知直线BC 的方程为y=-x+2,由{y =−x +2,y =log 2(x +1)得D 点坐标为(1,1).由图可知,当-1<x ≤1时,f (x )≥log 2(x+1),所以所求解集为{x|-1<x ≤1}.8.(2015北京,理8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 答案:D解析:对于选项A,从图中可以看出乙车的最高燃油效率大于5,故A 项错误;对于选项B,同样速度甲车消耗1升汽油行驶的路程比乙车、丙车的多,所以行驶相同路程,甲车油耗最少,故B 项错误;对于选项C,甲车以80千米/小时的速度行驶,1升汽油行驶10千米,所以行驶1小时,即行驶80千米,消耗8升汽油,故C 项错误;对于选项D,速度在80千米/小时以下时,相同条件下每消耗1升汽油,丙车行驶路程比乙车多,所以该市用丙车比用乙车更省油,故D 项正确.第二部分(非选择题 共110分)二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分.)9.(2015北京,理9)在(2+x )5的展开式中,x 3的系数为 .(用数字作答)答案:40解析:(2+x )5展开式的通项为T r+1=C 5r 25-r x r ,令r=3,得T 4=C 5322x 3=10×4x 3=40x 3,∴x 3的系数为40. 10.(2015北京,理10)已知双曲线x 2a 2-y 2=1(a>0)的一条渐近线为√3x+y=0,则a= .答案:√33解析:∵双曲线x 2a 2-y 2=1的渐近线方程为y=±xa ,即y±x a=0. 又a>0,∴1a =√3,∴a=√33.11.(2015北京,理11)在极坐标系中,点(2,π3)到直线ρ(cos θ+√3sin θ)=6的距离为 .答案:1解析:∵x=ρcos θ,y=ρsin θ,∴点(2,π3)的直角坐标为(2cos π3,2sin π3),即(1,√3). ∵ρ(cos θ+√3sin θ)=6,∴ρcos θ+√3ρsin θ=6, ∴x+√3y-6=0.∴点(1,√3)到直线x+√3y-6=0的距离d=|1+√3×√3−6|2=1.12.(2015北京,理12)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC = . 答案:1解析:在△ABC 中,由正弦定理知,sin2AsinC =2sinAcosA sinC=2cos A ·a c=2cos A×46=43cos A , 再根据余弦定理,得cos A=36+25−162×6×5=34,所以sin2AsinC =43×34=1.13.(2015北京,理13)在△ABC 中,点M ,N 满足AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ .若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x= ,y= . 答案:12-16解析:如图,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗=13AC⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴x=12,y=-16.14.(2015北京,理14)设函数f (x )={2x −a,x <1,4(x −a)(x −2a),x ≥1.①若a=1,则f (x )的最小值为 ;②若f (x )恰有2个零点,则实数a 的取值范围是 .答案:①-1 ②[12,1)∪[2,+∞)解析:①当a=1时,f (x )={2x −1,x <1,4(x −1)(x −2),x ≥1,当x<1时,2x -1∈(-1,1);当x ≥1时,4(x-1)(x-2)∈[-1,+∞). 故f (x )的最小值为-1.②若函数f (x )=2x -a 的图象在x<1时与x 轴有一个交点,则a>0,并且当x=1时,f (1)=2-a>0,所以0<a<2.同时函数f (x )=4(x-a )(x-2a )的图象在x ≥1时与x 轴有一个交点,所以{a <1,2a ≥1.故12≤a<1.若函数f (x )=2x -a 的图象在x<1时与x 轴没有交点,则函数f (x )=4(x-a )(x-2a )的图象在x ≥1时与x 轴有两个不同的交点,当a ≤0时,函数f (x )=2x -a 的图象与x 轴无交点,函数f (x )=4(x-a )(x-2a )的图象在x ≥1上与x 轴也无交点,不满足题意.当21-a ≤0,即a ≥2时,函数f (x )=4(x-a )(x-2a )的图象与x 轴的两个交点x 1=a ,x 2=2a 都满足题意.综上,a 的取值范围为[12,1)∪[2,+∞).三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 15.(本小题13分)(2015北京,理15)已知函数f (x )=√2sin x2cos x2−√2sin 2x2. (1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在区间[-π,0]上的最小值. 解:(1)因为f (x )=√22sin x-√22(1-cos x )=sin (x +π4)−√22, 所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为-π≤x ≤0,所以-3π4≤x+π4≤π4.当x+π4=-π2,即x=-3π4时,f (x )取得最小值. 所以f (x )在区间[-π,0]上的最小值为f (−3π4)=-1-√22. 16.(本小题13分)(2015北京,理16)A,B 两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:A组:10,11,12,13,14,15,16B组:12,13,15,16,17,14,a假设所有病人的康复时间相互独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙.(1)求甲的康复时间不少于14天的概率;(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(3)当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)解:设事件A i为“甲是A组的第i个人”,事件B i为“乙是B组的第i个人”,i=1,2, (7),i=1,2, (7)由题意可知P(A i)=P(B i)=17(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人,或者第6人,.或者第7人”,所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=37(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”,由题意知,C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.因此P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7 B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1).=1049(3)a=11或a=18.17.(本小题14分)(2015北京,理17)如图,在四棱锥A-EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF ⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点.(1)求证:AO⊥BE;(2)求二面角F-AE-B的余弦值;(3)若BE⊥平面AOC,求a的值.解:(1)因为△AEF是等边三角形,O为EF的中点,所以AO⊥EF.又因为平面AEF⊥平面EFCB,AO⊂平面AEF,所以AO⊥平面EFCB,所以AO⊥BE.(2)取BC 中点G ,连接OG. 由题设知EFCB 是等腰梯形, 所以OG ⊥EF .由(1)知AO ⊥平面EFCB , 又OG ⊂平面EFCB , 所以OA ⊥OG.如图建立空间直角坐标系O-xyz ,则E (a ,0,0),A (0,0,√3a ),B (2,√3(2-a ),0),EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,0,√3a ),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2,√3(a-2),0). 设平面AEB 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−ax +√3az =0,(a −2)x +√3(a −2)y =0.令z=1,则x=√3,y=-1. 于是n =(√3,-1,1).平面AEF 的法向量为p =(0,1,0). 所以cos <n ,p >=n·p|n||p|=-√55.由题知二面角F-AE-B 为钝角,所以它的余弦值为-√55. (3)因为BE ⊥平面AOC ,所以BE ⊥OC ,即BE⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 因为BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2,√3(a-2),0),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,√3(2-a ),0), 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2(a-2)-3(a-2)2. 由BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0及0<a<2,解得a=43. 18.(本小题13分)(2015北京,理18)已知函数f (x )=ln 1+x 1−x.(1)求曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线方程; (2)求证:当x ∈(0,1)时,f (x )>2(x +x 33);(3)设实数k 使得f (x )>k (x +x 33)对x ∈(0,1)恒成立,求k 的最大值.解:(1)因为f (x )=ln(1+x )-ln(1-x ),所以f'(x )=11+x+11−x,f'(0)=2.又因为f (0)=0,所以曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y=2x. (2)令g (x )=f (x )-2(x +x 33),则g'(x )=f'(x )-2(1+x 2)=2x 41−x 2.因为g'(x )>0(0<x<1),所以g (x )在区间(0,1)上单调递增. 所以g (x )>g (0)=0,x ∈(0,1), 即当x ∈(0,1)时,f (x )>2(x +x 33).(3)由(2)知,当k ≤2时,f (x )>k (x +x 33)对x ∈(0,1)恒成立.当k>2时,令h (x )=f (x )-k (x +x 33),则h'(x )=f'(x )-k (1+x 2)=kx 4−(k−2)1−x 2.所以当0<x<√k−2k4时,h'(x )<0,因此h (x )在区间(0,√k−2k4)上单调递减.当0<x<√k−2k4时,h (x )<h (0)=0,即f (x )<k (x +x 33).所以当k>2时,f (x )>k (x +x 33)并非对x ∈(0,1)恒成立.综上可知,k 的最大值为2.19.(本小题14分)(2015北京,理19)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,点P (0,1)和点A (m ,n )(m ≠0)都在椭圆C 上,直线P A 交x 轴于点M.(1)求椭圆C 的方程,并求点M 的坐标(用m ,n 表示);(2)设O 为原点,点B 与点A 关于x 轴对称,直线PB 交x 轴于点N.问:y 轴上是否存在点Q ,使得∠OQM=∠ONQ ?若存在,求点Q 的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)由题意得{b =1,ca =√22,a 2=b 2+c 2.解得a 2=2.故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1. 设M (x M ,0).因为m ≠0,所以-1<n<1. 直线P A 的方程为y-1=n−1mx ,所以x M =m1−n,即M (m1−n ,0).(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称,所以B (m ,-n ). 设N (x N ,0),则x N =m1+n .“存在点Q (0,y Q )使得∠OQM=∠ONQ ”等价于“存在点Q (0,y Q )使得|OM||OQ|=|OQ||ON|”,即y Q 满足y Q 2=|x M ||x N |.因为x M =m 1−n ,x N =m1+n ,m 22+n 2=1,所以y Q 2=|x M ||x N |=m 21−n 2=2.所以y Q =√2或y Q =-√2.故在y 轴上存在点Q ,使得∠OQM=∠ONQ ,点Q 的坐标为(0,√2)或(0,-√2).20.(本小题13分)(2015北京,理20)已知数列{a n }满足:a 1∈N *,a 1≤36,且a n+1={2a n ,a n ≤18,2a n −36,a n >18(n=1,2,…).记集合M={a n |n ∈N *}.(1)若a 1=6,写出集合M 的所有元素;(2)若集合M 存在一个元素是3的倍数,证明:M 的所有元素都是3的倍数; (3)求集合M 的元素个数的最大值. 解:(1)6,12,24.(2)因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设a k 是3的倍数.由a n+1={2a n ,a n ≤18,2a n −36,a n >18可归纳证明对任意n ≥k ,a n 是3的倍数.如果k=1,则M 的所有元素都是3的倍数.如果k>1,因为a k =2a k-1或a k =2a k-1-36,所以2a k-1是3的倍数,于是a k-1是3的倍数.类似可得,a k-2,…,a 1都是3的倍数,从而对任意n ≥1,a n 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数.(3)由a 1≤36,a n ={2a n−1,a n−1≤18,2a n−1−36,a n−1>18可归纳证明a n ≤36(n=2,3,…).因为a 1是正整数,a 2={2a 1,a 1≤18,2a 1−36,a 1>18,所以a 2是2的倍数.从而当n ≥3时,a n 是4的倍数.如果a 1是3的倍数,由(2)知对所有正整数n ,a n 是3的倍数. 因此当n ≥3时,a n ∈{12,24,36}. 这时M 的元素个数不超过5.如果a 1不是3的倍数,由(2)知对所有正整数n ,a n 不是3的倍数. 因此当n ≥3时,a n ∈{4,8,16,20,28,32}. 这时M 的元素个数不超过8.当a 1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素. 综上可知,集合M 的元素个数的最大值为8.2015年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(理工农医类)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015福建,理1)若集合A={i,i 2,i 3,i 4}(i 是虚数单位),B={1,-1},则A ∩B 等于( ) A.{-1} B.{1} C.{1,-1} D.⌀答案:C解析:A={i,-1,-i,1},B={1,-1},则A ∩B={1,-1}. 2.(2015福建,理2)下列函数为奇函数的是( )A.y=√xB.y=|sin x|C.y=cos xD.y=e x -e -x 答案:D解析:令y=f (x ),选项A,定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以为非奇非偶函数;选项B,f (-x )=|sin(-x )|=|sin x|=f (x ),为偶函数; 选项C,f (-x )=cos(-x )=cos x=f (x ),为偶函数; 选项D,f (-x )=e -x -e x =-(e x -e -x )=-f (x ),为奇函数.3.(2015福建,理3)若双曲线E :x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线E 上,且|PF 1|=3,则|PF 2|等于 ( ) A.11 B.9 C.5 D.3 答案:B解析:由双曲线的定义知,||PF 1|-|PF 2||=6.因为|PF 1|=3,所以|PF 2|=9.4.(2015福建,理4)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:根据上表可得回归直线方程y ^=b ^x+a ^,其中b ^=0.76,a ^=y −b ^x .据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( ) A.11.4万元 B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元 答案:B 解析:∵x =8.2+8.6+10+11.3+11.95=10,y =6.2+7.5+8+8.5+9.85=8,∴a ^=y -0.76x =8-0.76×10=0.4. ∴y ^=0.76x+0.4.当x=15时,y ^=0.76×15+0.4=11.8.5.(2015福建,理5)若变量x ,y 满足约束条件{x +2y ≥0,x −y ≤0,x −2y +2≥0,则z=2x-y 的最小值等于( )A.-52B.-2C.-32D.2答案:A解析:画出可行域,如图阴影部分所示.目标函数化为y=2x-z ,平移后在点A 处取得最小值, 由{x +2y =0,x −2y +2=0,得A (−1,12),所以z min =2×(-1)-12=-52.6.(2015福建,理6)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为( )A.2B.1C.0D.-1答案:C解析:第一次循环,S=cos π2=0,i=2,不满足判断框条件,进入循环体;第二次循环,S=cos 2π2=-1,i=3,不满足判断框条件,进入循环体; 第三次循环,S=-1+cos 3π2=-1,i=4,不满足判断框条件,进入循环体; 第四次循环,S=-1+cos 4π2=0,i=5,不满足判断框条件,进入循环体;第五次循环,S=cos 5π2=0,i=6,满足判断框条件,终止循环,输出S=0.7.(2015福建,理7)若l ,m 是两条不同的直线,m 垂直于平面α,则“l ⊥m ”是“l ∥α”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B解析:因为m ⊥α,若l ⊥m ,则l ∥α或l ⊂α,即l ⊥m l ∥α.若l ∥α,则l ⊥m ,即l ∥α⇒l ⊥m.所以“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要而不充分条件.8.(2015福建,理8)若a ,b 是函数f (x )=x 2-px+q (p>0,q>0)的两个不同的零点,且a ,b ,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案:D解析:由题意得{a +b =p >0,ab =q >0,则{a >0,b >0.不妨设a<b ,则-2,a ,b 成等差数列,a ,-2,b 成等比数列,即{−2+b =2a,ab =4,解得{a =1,b =4,∴{p =5,q =4.∴p+q=9. 9.(2015福建,理9)已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1t,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=t.若点P 是△ABC 所在平面内的一点,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |,则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值等于( ) A.13B.15C.19D.21答案:A 解析:以点A 为原点,AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,如图. 则A (0,0),B (1t ,0),C (0,t ),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=(1,0),AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=(0,1), ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=(1,0)+4(0,1)=(1,4), ∴点P 的坐标为(1,4),PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1t −1,−4),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,t-4), ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1-1t -4t+16=-(1t +4t)+17≤-4+17=13. 当且仅当1t=4t ,即t=12时取“=”,∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为13. 10.(2015福建,理10)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)=-1,其导函数f'(x )满足f'(x )>k>1,则下列结论中一定错误的是( ) A.f (1k )<1k B.f (1k )>1k−1 C.f (1k−1)<1k−1 D.f (1k−1)>kk−1答案:C解析:构造函数F (x )=f (x )-kx ,则F'(x )=f'(x )-k>0,∴函数F (x )在R 上为单调递增函数.∵1k−1>0,∴F (1k−1)>F (0).∵F (0)=f (0)=-1,∴f (1k−1)−kk−1>-1,即f (1k−1)>kk−1-1=1k−1,∴f (1k−1)>1k−1,故C 错误.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.(2015福建,理11)(x+2)5的展开式中,x 2的系数等于 .(用数字作答) 答案:80解析:通项公式为T r+1=C 5r x 5-r 2r,令5-r=2,得r=3.则x 2的系数为C 53·23=80. 12.(2015福建,理12)若锐角△ABC 的面积为10√3,且AB=5,AC=8,则BC 等于 . 答案:7解析:由S △ABC =12|AB|·|AC|·sin A=12×5×8·sin A=10√3,得sin A=√32.∵△ABC 为锐角三角形,∴A=60°.由余弦定理,得BC 2=AB 2+AC 2-2·AB ·AC ·cos60°=25+64-2×5×8×12=49,∴|BC|=7.13.(2015福建,理13)如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f (x )=x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 . 答案:512解析:∵S 阴影=∫21(4-x 2)d x=53,S 矩形ABCD =4,∴P=S 阴影S矩形ABCD=512.14.(2015福建,理14)若函数f (x )={−x +6,x ≤2,3+log a x,x >2(a>0,且a ≠1)的值域是[4,+∞),则实数a 的取值范围是 . 答案:(1,2]解析:∵当x ≤2时,f (x )∈[4,+∞),∴当x>2时,3+log a x 的值域为[4,+∞)的子集.∴{a >1,3+log a2≥4,解得1<a ≤2.15.(2015福建,理15)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *),其中x k (k=1,2,…,n )称为第k 位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组:{x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=0,x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=0,x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=0,其中运算 定义为:0 0=0,0 1=1,1 0=1,1 1=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k 等于 . 答案:5解析:若1≤k ≤3,则x 4=1,x 5=1,x 6=0,x 7=1,不满足x 4 x 5 x 6 x 7=0;若k=4,则二元码为1100101,不满足x 1 x 3 x 5 x 7=0;若k=5,则二元码为1101001,满足方程组,故k=5.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分)(2015福建,理16)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一.小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ,求X 的分布列和数学期望. 解:(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ,则P (A )=56×45×34=12.(2)依题意得,X 所有可能的取值是1,2,3. 又P (X=1)=16,P (X=2)=56×15=16,P (X=3)=56×45×1=23,所以X 的分布列为所以E (X )=1×16+2×16+3×23=52.17.(本小题满分13分)(2015福建,理17)如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.(1)求证:GF∥平面ADE;(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.(1)证法一:如图,取AE的中点H,连接HG,HD,又G是BE的中点,所以GH∥AB,且GH=1AB.2又F是CD的中点,所以DF=1CD.2由四边形ABCD是矩形,得AB∥CD,AB=CD,所以GH∥DF,且GH=DF,从而四边形HGFD是平行四边形,所以GF∥DH.又DH⊂平面ADE,GF⊄平面ADE,所以GF∥平面ADE.证法二:如图,取AB中点M,连接MG,MF.又G是BE的中点,可知GM∥AE.又AE⊂平面ADE,GM⊄平面ADE,所以GM∥平面ADE.在矩形ABCD中,由M,F分别是AB,CD的中点,得MF∥AD.又AD⊂平面ADE,MF⊄平面ADE,所以MF∥平面ADE.又因为GM∩MF=M,GM⊂平面GMF,MF⊂平面GMF,所以平面GMF∥平面ADE.因为GF⊂平面GMF.所以GF∥平面ADE.(2)解:如图,在平面BEC 内,过B 点作BQ ∥EC.因为BE ⊥CE ,所以BQ ⊥BE. 又因为AB ⊥平面BEC , 所以AB ⊥BE ,AB ⊥BQ.以B 为原点,分别以BE⃗⃗⃗⃗⃗ ,BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 则A (0,0,2),B (0,0,0),E (2,0,0),F (2,2,1).因为AB ⊥平面BEC ,所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)为平面BEC 的法向量. 设n =(x ,y ,z )为平面AEF 的法向量.又AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-2),AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,-1), 由{n ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{2x −2z =0,2x +2y −z =0,取z=2,得n =(2,-1,2).从而cos <n ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |n|·|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=43×2=23. 所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23.18.(本小题满分13分)(2015福建,理18)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点(0,√2),且离心率e=√22.(1)求椭圆E 的方程;(2)设直线l :x=my-1(m ∈R )交椭圆E 于A ,B 两点,判断点G (−94,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.(1)解:由已知,得{b =√2,c a =√22,a 2=b 2+c 2,解得{a =2,b =√2,c =√2.所以椭圆E 的方程为x 24+y 22=1.(2)解法一:设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 的中点为H (x 0,y 0).由{x =my −1,x 24+y 22=1得(m 2+2)y 2-2my-3=0,所以y 1+y 2=2m m 2+2,y 1y 2=-3m 2+2,从而y 0=mm 2+2. 所以|GH|2=(x 0+94)2+y 02=(my 0+54)2+y 02=(m 2+1)y 02+52my 0+2516.|AB|24=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)24=(1+m 2)(y 1−y 2)24=(1+m 2)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2]4=(1+m 2)(y 02-y 1y 2),故|GH|2-|AB|24=52my 0+(1+m 2)y 1y 2+2516=5m 22(m 2+2)−3(1+m 2)m 2+2+2516=17m 2+216(m 2+2)>0,所以|GH|>|AB|2.故点G (−94,0)在以AB 为直径的圆外. 解法二:设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则GA⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+94,y 1),GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+94,y 2). 由{x =my −1,x 24+y 22=1得(m 2+2)y 2-2my-3=0,所以y 1+y 2=2m m 2+2,y 1y 2=-3m 2+2,从而GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+94)(x 2+94)+y 1y 2 =(my 1+54)(my 2+54)+y 1y 2 =(m 2+1)y 1y 2+54m (y 1+y 2)+2516。

目录目录 (1)2019 年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷） (3)2019 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷） (6)2019 年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷） (10)2019 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷） (12)2019 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷） (16)2019 年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷） (19)2019 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷） (23)2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ） (27)2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ） (32)2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ） (36)2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷） (39)2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ） (43)2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ） (47)2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ） (51)2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ） (55)2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ） (59)参考答案 (63)2019 年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷） (63)2019 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷） (63)2019 年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷） (63)2019 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷） (64)2019 年普32.通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷） (64)2019 年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷） (64)2019 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷） (65)2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ） (65)2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ） (66)2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ） (66)2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷） (66)2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ） (67)2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ） (67)2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ） (67)2019 年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）1.（2019·大纲卷，1）下列关于膝跳反射的叙述，错误的是（）A.反射活动由一定的刺激引起B.反射活动中兴奋在突触处双向传递C.反射活动的发生需要反射弧结构完整D.反射活动中需要神经递质参与兴奋的传递2.（2019·大纲卷，2）下列关于叶绿体和线粒体的叙述，准确的是（）A.线粒体和叶绿体均含有少量的 DNAB.叶绿体在光下和黑暗中均能合成 ATPC.细胞生命活动所需的 ATP 均来自线粒体D.线粒体基质和叶绿体基质所含酶的种类相同3.（2019·大纲卷，3）一块农田中有豌豆、杂草、田鼠和土壤微生物等生物，其中属于竞争关系的是（）A.田鼠和杂草B.豌豆和杂草C.豌豆和其根中的根瘤菌D.细菌和其细胞内的噬菌体4.（2019·大纲卷，4）下列关于森林群落垂直结构的叙述，错误的是（）A.群落中的植物具有垂直分层现象B.群落中的动物具有垂直分层现象C.动物在群落中的垂直分层与植物的分层相关D.乔木层的疏密水准不会影响草本层的水平结构5.（2019·大纲卷，5）下列关于细菌的叙述，准确的是（）A.不同种类细菌的生长均需要相同碳源B.常用液体培养基分离获得细菌单菌落C.细菌大量培养过程中，芽孢形成于细菌生长的调整期D.培养基中含有高浓度 NaCl 有利于金黄色葡萄球菌的筛选31.（2019·大纲卷， 31）（11 分）金鱼藻是一种高等沉水植物，相关研究结果如下图所示（图中净光合速率是指实际光合速率与呼吸速率之差，以每克鲜重每小时释放 O2的微摩尔数表示）。

2015年普通高等学校招生全国统一考试文综答案（一卷）1-11：DBCAD CBACD B36【答案】（1）属于内陆盐湖，为高盐水域。

（3分）注入该湖的河水带来大量的营养物质，适合藻类等卤虫饵料的生长。

（3分）（2）运输成本高（需低温运输）；（2分）（主要用于喂养观赏鱼），市场需求量小。

（2分）（3）原因：海洋渔业产量减少；（2分）市场需求增大；（2分）近海水产养殖技术提高。

（2分）影响：对卤虫需求量增加，（促进了大盐湖卤虫产业发展）。

（2分）（4）赞成：卤虫资源丰富，市场需求大，经济价值高，技术成熟，增加就业等。

（4分）不赞成：让卤虫自然生长，维护生物链的稳定，保护湿地，保护生物多样性等。

37【答案】（1）青藏高原纬度低，海拔高，太阳辐射强；（3分）（东北高纬地区年平均气温低于—1℃～1℃，可以形成多年冻土。

）青藏高原气温年较差小，当年平均气温同为—1℃～1℃时，冬季气温高，冻结厚度薄，夏季全部融化，不能形成多年冻土。

（5分）（2）甲地年平均气温更接近0℃，受气温变化的影响，活动层更频繁地冻融，（冻结时体积膨胀，融化时体积收缩，）危害路基；（4分）甲地年平均气温高于五道梁，夏季活动层厚度较大，冬季有时不能完全冻结，影响路基稳定性。

（4分）（3）冬季。

（2分）依据：冬季气温低于地温，热棒蒸发段吸收冻土热量，（将液态物质汽化上升，与较冷的地上部分管壁接触，凝结，释放出潜热，）将冻土层中的热量传送至地上（大气）。

（3分）热棒倾斜设置的原因：使热棒能深入铁轨正下方，保护铁轨下的路基（多年冻土）。

（3分）42【答案】该峡谷地形复杂、植被茂密、人烟稀少，易迷路；（2分）海拔高、缺氧，易发高原反应；（2分）8月份降水多，易遭遇洪水；（2分）山高谷深，易遭遇崩塌、泥石流等地质灾害；（2分）河谷蚊虫较多，易受蚊虫侵扰。

（2分）43【答案】M城靠近河口，距海近，地势低平。

（4分）全流域径流均汇集到M城附近入海。

（2分）降水量大且集中。

目录2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅰ卷） (1)2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅱ卷） (11)2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅲ卷） (21)2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅰ卷） (32)2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅱ卷） (51)2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅲ卷） (59)2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（北京卷） (69)2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（天津卷） (78)2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（浙江卷） (89)2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅰ卷） (99)2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅱ卷） (110)2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅲ卷） (119)2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（北京卷） (130)2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（天津卷） (138)2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（浙江卷） (148)2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（山东卷） (158)2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅰ卷） (173)2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅱ卷） (186)2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅲ卷） (196)2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（北京卷） (206)2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（天津卷） (215)2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（山东卷） (226)2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅰ卷） (239)2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅱ卷） (251)2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（北京卷） (260)2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（天津卷） (269)2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（山东卷） (280)2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅰ卷） (292)2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅱ卷） (301)2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（北京卷） (310)2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（天津卷） (318)2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（山东卷） (330)绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅰ卷）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II ）英语注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分听力（共两节，满分30 分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5 小题；每小题 1.5 分，满分7.5 分）听下面5 段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例：How much is the shirt?A. ￡19.15.B. ￡9.18.C. ￡9.15.答案是C。

1.Where does the conversation probably take place?A. In a library.B. In a bookstore.C. In a classroom.2.How does the woman feel now?A. Relaxed.B. Excited.C. Tired.3.How much will the man pay?A. $20.B. $80.C. $100.4.What does the man tell Jane to do?A. Postpone his appointment.B.Meet Mr. Douglas.C.Return at 3 o ’ clock.5.Why would David quit his job?A. To go back to school.B. To start his own firm.C. To work for his friend. 第二节（共15 小题；每小题 1.5 分，满分22.5 分）近 5 年高考真题全国卷 II 英语试题（2015-2019）听下面 5 段对话或独白。

全国卷高考语文真题以及考点与答案解析汇编（2015-2019）文学类文本阅读高考大纲：阅读和鉴赏中外文学作品。

了解小说、散文、诗歌、戏剧等文学体裁的基本特征和主要表现手法。

阅读鉴赏文学作品，应注重价值判断和审美体验，感受形象，品味语言，领悟内涵，分析艺术表现力，理解作品反映的社会生活和情感世界，探索作品蕴涵的民族心理和人文精神。

1．理解B⑴理解文中重要词语的含义⑵理解文中重要句子的含意2．分析综合C⑴分析作品结构，概括作品主题⑵分析作品的体裁特征和表现手法3．鉴赏评价D⑴体会重要语句的丰富含意，品味精彩的语言表达艺术⑵鉴赏作品的文学形象，领悟作品的艺术魅力⑶评价作品表现出的价值判断和审美取向4．探究F⑴从不同角度和层面发掘作品的意蕴、民族心理和人文精神⑵探讨作者的创作背景和创作意图⑶对作品进行个性化阅读和有创意的解读（一）小说篇[典例](2019·全国卷Ⅰ)阅读下面的文字，完成1～3题。

理水(节选)鲁迅当两位大员回到京都的时候，别的考察员也大抵陆续回来了，只有禹还在外。

他们在家里休息了几天，水利局的同事们就在局里大排筵宴，替他们接风。

这一天真是车水马龙，不到黄昏时候，主客就全都到齐了，院子里却已经点起庭燎来，鼎中的牛肉香，一直透到门外虎贲的鼻子跟前，大家就一齐咽口水。

酒过三巡，大员们就讲了一些水乡沿途的风景，芦花似雪，泥水如金，黄鳝膏腴，青苔滑溜……等等。

微醺之后，才取出大家采集了来的民食来，都装着细巧的木匣子，盖上写着文字，有的是伏羲八卦体，有的是仓颉鬼哭体，大家就先来赏鉴这些字，争论得几乎打架之后，才决定以写着“国泰民安”的一块为第一，因为不但文字质朴难识，有上古淳厚之风，而且立言也很得体，可以宣付史馆的。

局外面也起了一阵喧嚷。

一群乞丐似的大汉，面目黧黑，衣服破旧，竟冲破了断绝交通的界线，闯到局里来了。

卫兵们大喝一声，连忙左右交叉了明晃晃的戈，挡住他们的去路。

“什么？——看明白！”当头是一条瘦长的莽汉，粗手粗脚的，怔了一下，大声说。

必修一1.（2015T1）下列关于淀粉、脂肪、蛋白质和核酸4 种生物分子的叙述,正确的是（）A. 都能被相应的酶水解B. 都是水溶性物质C. 都含 C、H、O、N 这4 种元素D. 都是人体细胞中的能源物质【答案】A2.（2016T4）蛋白质是决定生物体结构和功能的重要物质。

下列相关叙述错误．．的是A.细胞膜、细胞质基质中负责转运氨基酸的载体都是蛋白质B.氨基酸之间脱水缩合生成的H2O中，氢来自于氨基和羧基C.细胞内蛋白质发生水解时，通常需要另一种蛋白质的参与D.蛋白质的基本性质不仅与碳骨架有关，而且也与功能基团有关【答案】A考点：本题考查蛋白质的相关知识，意在考查考生理解所学知识的要点，把握知识间的内在联系的能力。

3.（2017T1）下列关于糖类化合物的叙述，正确的是A．葡萄糖、果糖、半乳糖都是还原糖，但元素组成不同B．淀粉、糖原、纤维素都是由葡萄糖聚合而成的多糖C．蔗糖、麦芽糖、乳糖都可与斐林试剂反应生成砖红色沉淀D．蔗糖是淀粉的水解产物之一，麦芽糖是纤维素的水解产物之一【答案】B4.（2017T3）下列关于肽和蛋白质的叙述，正确的是A．α - 鹅膏蕈碱是一种环状八肽，分子中含有8 个肽键B．蛋白质是由2 条或2 条以上多肽链构成的C．蛋白质变性是由于肽键的断裂造成的D．变性蛋白质不能与双缩脲试剂发生反应【答案】A【解析】环状八肽由8个氨基酸脱水缩合形成，肽键数与氨基酸数相等，都是8个，A正确；蛋白质具有多样性，可能由一条多肽链构成，也可能由2条或2条以上多肽链构成，B错误；蛋白质变性是指蛋白质的空间结构破坏，肽键没有断裂，C 错误；变性蛋白质含有肽键，可与双缩脲试剂发生紫色反应，D错误。

5.（2018T1）下列关于糖类的叙述，正确的是A．单糖可以被进一步水解为更简单的化合物B．构成淀粉、糖原和纤维素的单体均为果糖C．细胞识别与糖蛋白中蛋白质有关，与糖链无关D．糖类是大多数植物体干重中含量最多的化合物【答案】D6.（2018T2）脂质与人体健康息息相关，下列叙述错误的是A．分布在内脏器官周围的脂肪具有缓冲作用B．蛇毒中的磷脂酶因水解红细胞膜蛋白而导致溶血C．摄入过多的反式脂肪酸会增加动脉硬化的风险D．胆固醇既是细胞膜的重要组分，又参与血液中脂质的运输【答案】B7.（2018T3）下列关于DNA和RNA的叙述，正确的是A．原核细胞内DNA的合成都需要DNA片段作为引物B．真核细胞内DNA和RNA的合成都在细胞核内完成C．肺炎双球菌转化实验证实了细胞内的DNA和RNA都是遗传物质D．原核细胞和真核细胞中基因表达出蛋白质都需要DNA和RNA的参与【答案】D8.（2018T5）哺乳动物的催产素具有催产和排乳的作用，加压素具有升高血压和减少排尿的作用。

2015-2019≡角函数高考真题、选择题1、(2015全国1 卷2 题)Sin20°cos10°-cos160°Sin10o =( )(Bv (C)-14、(2016全国1卷12题)已知函数f (X) =Sin( X+ )^ 0^ J X=-E 为f (X)的零点2 42、(2015全国1卷8题)函数 f (X) = cos( )的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为(k「：-1,k二3), k Z4 41 3(B) (2k —,2k ),k Z4 41 3(D)(2k- —,2k ), k Z4 43、(2015全国2卷10题)如图，长方形ABCD的边AB=2，BC =1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BoP=X .将动P到A、B两点距离之和表示为X的函数f(x),则y = f(x)的图像大致为(Xπ,X —为4y=f(x)图像的对称轴且f(x)在任,竺单调,则技的最大值为(18 36 J(A) 11 (B) 9 (C) 7 (D) 55、(2016全国2卷7题)若将函数y=2sin 2x的图像向左平移1∏个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )(A) X 斗-∏ k∙ Z (B) x=k∏ 上2 6 2& (2016全国2卷9题)若cos -(A) 25 1(B) 1 (C)5 -k Z(C)J5，15 (D)7、(2016全国3卷5题) ,则X忙訂Z (D) X=Z」k Z2 127252cos ‘：亠2sin2：=64(A)—25 (B)48258、(2016全国3卷8题) 在厶ABC中,(A)迈(B)卫10 109、(2017年全国1卷9题)16(D)—25B= - , BC边上的高等于-BC ,则cosA=( 4 3(D)-辽10(C) 1(C)-卫10、『2 JV已知曲线C i : y =CoSX , O ：y =sin 2χ■2-,则下面结论正确的是()A .把G上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移才个单位长度，得到曲线C2B.把G上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移度，得到曲线C2C.把C l上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移三个单位长6度，得到曲线C2D .把G上各点的横坐标缩短到原来的 2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移度，得到曲线C2 .10、( 2017全国3卷6题)设函数f(x^cos(x π),则下列结论错误的是()3B. y =f (X)的图像关于直线A. f (x)的一个周期为-2πX哼对称—C. f(χ V)的一个零点为X=- D . f (x)在(∏, ∏单调递减611、(2018年全国1 ∙8)已知函数f X =2cos2χ-sin2x • 2 ,贝U ( )A. f X的最小正周期为π,最大值为3B. f X的最小正周期为π,最大值为4C. f (X )的最小正周期为2π,最大值为3 D . f (X )的最小正周期为2 π,最大值为412. (2018年全国1 • 11)已知角〉的顶点为坐标原点，始边与X轴的非负半轴重合，终边上有两点2A(1, a ), B (2 , b ),且cos2α =—,则a —b =( )3A. -B. -5C. 2-5 D . 15 5 513. (2018 年全国2 • 7).在厶ABC 中，CoSC=逅,BC =1 , AC =5 ,则AB=(2 5A . 4.2 B. .. 30 C. 29 D . 2 514. (2018年全国2 • 10)若f(x) =COSX-sinx在［0, a］是减函数，贝U a的最大值是(A. πB. πC.3πD.π42415. (2018年全国3 • 4) 若Sin「^—,则cos2 ：■=()3A 8r 778 A.-B.C. D.999916. (2018年全国3 • 6) 函数f (X)=tan X的最小正周期为 ( )1 tan2XMπ… πA.-B.-C. πD. 24217、(2018年全国3∙ 11) △ ABC的内角A , B , C的对边分别为a , b , C .若△ ABC的面积为2-CJl λJl fAA. -B. -C. —D.-2 3 4 6Sin X + X18、(2019年全国1 • 5)函数f(x)= ------------- 2在［—π,π］的图像大致为cos X 十X19、 (2019年全国1 ∙11)关于函数f(x) =sin∣x∣ |sin x|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间(-√:)单调递增2③f(x)在［-二，二］有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A.①②④B.②④C.①④D.①③20、 (2019年全国2 • 9)下列函数中，以二为周期且在区间(二,)单调递增的是2 4 2A. f (X)=∣COS 2x IB. f (X)=∣Sin 2x ∣C. f (X)= COS | X | D . f (X) = Sin | X |___ -JT21、(2019年全国2 • 10)已知α∈0,—」，2sin 2 α= coS∣2 贝α Sin α=()2A. 1B. §C.仝 D .空5 5 3 5二、填空题1、(2015全国1卷12题)在平面四边形ABCD中，∠ A= ∠ B= ∠ C=75 ° , BC=2 ,贝U AB的取值范围是_________ .4 5 2、(2016全国2卷13题)A ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若cosA=-, cosC -,5 13a =1 ,贝Ub =_____ .3、(2016全国3卷14题)函数y =sinx---3cosx的图像可由函数y=sinχ∙ ■■一3cosx的图像至少向右平移______________ 单位长度得到.函数2厂 3 （- 7r ］）的最大值是 ____________________.f （x ）=sin x +J 3cosx -一 X E ：0 二4f 2」5. （2018年全国 1 ∙16） △ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , C ,已知 bsinC +csin B =4asin BsinC ,b 2c 2 -a 2 -8 ,则△ ABC 的面积为 _______________ 。

2015—2019年新课标高考全国Ⅰ卷文科数学分类汇编第一部分 客观题专题一：函 数1.【2016课标1，文8】若0,01a b c >><<,则( ) A. log log a b c c < B.log log c c a b < C.cc ab < D. a bc c >2.【2016课标1，文9】函数22x y x e =-在[2,2]-的图象大致为（ ）3.【2017课标1，文8】函数sin 21cos xy x=-的部分图像大致为（ ）4.【2017课标1，文9】已知函数，则( )A.()f x 在（0,2）单调递增 C.()f x 的图像关于直线1x =对称B.()f x 在（0,2）单调递减 D.()f x 的图像关于点（1,0）对称5.【2018课标1，文12】设函数2,0()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6.【2018课标1，文13】已知函数22()log ()f x x a =+，若(3)1f =，则________．7. 【2019课标1，文3】已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（ ） A.a b c << B.a c b << C.c a b << D.b c a << 8.【2019课标1，文5】函数2sin ()cos x xf x x x +=+在[,]ππ-的图像大致为（ ）A. B. C. D.专题二：导数的应用1.【2015课标1，文14】已知函数3()1f x ax x =++的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，则a = .2.【2016课标1，文12】若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（ ）()ln ln(2)f x x x =+-(]1-∞，()0+∞，()10-，()0-∞，a =A.[1,1]-B. 1[1,]3-C. 11[,]33-D. 1[1,]3--3.【2017课标1，文14】曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为 . 4.【2018课标1，文6】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()f x 在点（0,0）处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．5. 【2019课标1，文13】曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为 .专题三：三角函数及解三角形(一)三角函数1.【2016课标1，文14】已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-=.2.【2016课标1，文6】若将函数 2sin(2)6y x π=+的图象向右平移的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )A.2sin(2)4y x π=+B.2sin(2)3y x π=+C.2sin(2)4y x π=-D.2sin(2)3y x π=- 3.【2017课标1，文15】已知(0,),tan 22παα∈=，则cos()4πα-= .4.【2018课标1，文8】已知函数，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为，最大值为4 5.【2018课标1，文11】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1,a )，B (2,b )，且2cos 23α=，则a b -=（ ） A ． B ． CD ．6.【2018课标1，文7】tan 255︒=（ ）A.2-2-+2 D.2+7．【2019课标1，文15】函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为___________． （二）解三角形1.【2016课标1，文4】 ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知22,cos 3a c A ===，则b =( )2.【2017课标1，文11】 ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，2,a c ==，则C=( )A.12π B. 6π C. 4π D. 3π 3.【2018课标1，文16】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2y x =-y x =-2y x =y x =()222cos sin 2f x x x =-+ππ2π2παx 151，，则ABC ∆的面积为________．4.【2019课标1，文11】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则bc=（ ）A.6B.5C.4D.3专题四：平面向量 1.【2016课标1，文13】设向量(,1),(1,2)a x x b =+=r r ，且a b ⊥r r，则x = .2.【2017课标1，文13】已知向量(1,2),(,1)a b m =-=r r ，若向量a b +r r与a r 垂直，则m = .3.【2018课标1，文7】在ABC ∆中，为边上的中线，为的中点，则（ ）A.B ． C.D ．4.【2019课标1，文8】已知非零向量a r ，b r 满足||2||a b =r r ，且()a b b -⊥rr v ，则a r 与b r 的夹角为（ ）A.6π B.3π C.23π D.56π专题五：数 列1.【2015课标1，文7】已知}{n a 是公差为1的等差数列，n S 为}{n a 的前n 项和，则84104,S S a ==（ ）A.172B. 192C.10D.122.【2015课标1，文13】在数列}{n a 中，112,2n n a a a +== , n S 为}{n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .3. 【2019课标1，文14】记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，334S =，则4S = .专题六：圆锥曲线1.【2016课标1,文15】设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于A ，B 两点，若AB =C 的面积为 .2.【2016课标1,文5】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A. 13 B. 12 C. 23 D.343.【2017课标1，文12】设A 、B 是椭圆22:13y x C m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M满足120AMB ∠=o，则 m 的取值范围是（ ）A.(0,1][9,)⋃+∞B.[9,)⋃+∞C.(0,1][4,)⋃+∞D.[4,)⋃+∞4.【2017课标1，文5】已知F 是双曲线22:13yC x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，且A 的坐标是(1,3)，则APF ∆面积为( )sin sin 4sin sin b C c B a B C +=2228b c a +-=AD BC E AD EB =u u u r3144AB AC -u u ur u u u r 1344AB AC -u u ur u u u r 3144AB AC +u u ur u u u r 1344AB AC +u u ur u u u rA. 13B. 12C. 23D. 325.【2018课标1,文4】已知椭圆222:14x y C a +=的一个焦点为（2,0），则C 的离心率（ ）A ．B ．C ．D ．6.【2018课标1,文15】直线与圆交于A ,B 两点，则AB =________．7. 【2019课标1,文10】双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线的倾斜角为130︒，则C 的离心率为（ ）A.2sin 40︒B.2cos40︒C.1sin 50︒ D.1cos50︒8.【2019课标1,文12】已知椭圆C 的焦点坐标为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为（ ）A. 2212x y +=B.22132x y += C.22143x y += D.22154x y += 专题七：立体几何1.【2016课标1，文11】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α⋂平面ABCD =m ，α⋂平面11ABB A =n ，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）A.3B. 2C. 3D. 132.【2016课标1，文7】如图，某几何体的三视图是三个半径相等 的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是( )A.17πB. 18πC. 20πD. 28π3.【2017课标1，文16】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，,SA AC SB BC ==，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为 .4.【2018课标1，文5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为12,O O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A ． B ． C ． D ．5.【2018课标1，文9】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ） A ． B ． C.3 D ．26.【2018课标1，文10】在长方体1111ABCD A B C D -中,2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为（ ）A.8B ．C ．D ．13122221y x =+22230x y y ++-=122π12π82π10π217256282837. 【2019课标1，文4】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51-（510.618-≈称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51- .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为cm 26，则其身高可能是（ ）A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm8.【2019课标1，文16】已知90ACB ∠=︒，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为 .专题八：概率与统计1.【2016课标1，文3】为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A. 13B.12 C. 23 D. 562.【2017课标1，文2】为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A ．12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数B ．12,,,n x x x ⋅⋅⋅的标准差 C. 12,,,n x x x ⋅⋅⋅的最大值 D ．12,,,n x x x ⋅⋅⋅ 的中位数.3.【2017课标1，文4】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ) A.14 B. 2π C. 12 D. 4π4.【2018 课标1文3】 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半5.【2019 课标1文6】某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,3,,1000L ，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ）.A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生专题九：程序框图1.【2016课标1，文10】执行如下的程序框图，如果输入的0,1,1x y n===，则输出的,x y满足（）A．2y x= B.3y x= C．4y x= D．5y x=（第1题）（第2题）2.【2017课标1，文10】下图程序框图为了求出满足100032n n->的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填（）A．1000,1A n n>=+ B．1000,2A n n>=+ C.1000,1A n n≤=+ D1000,2A n n≤=+3.【2019课标1，文9】右图是求112+12+2的程序框图，图中空白框中应填入（）A.12AA=+B.12AA=+C.112AA=+ D.112AA=+专题十：线性规划1.【2016课标1,文16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。