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石墨烯电阻率和热导率石墨烯是一种由碳原子形成的单层薄膜，具有非常高的强度、导电性和热导率。
它的独特性质使其成为材料科学领域的热点之一。
在本文中，我们将重点讨论石墨烯的电阻率和热导率的特性。
首先，我们来看一下石墨烯的电阻率。
电阻率是描述材料电阻能力的量，它与材料的电导率成反比。
对于大多数材料来说，电阻率是与温度呈正相关的。
然而，石墨烯是一种特殊的材料，它的电子输运行为与传统材料有很大不同。
石墨烯的电子输运是由其特殊的带电载流子行为驱动的。
石墨烯中的电子具有质量非常小的二维费米子行为，类似于相对论性粒子。
这意味着石墨烯中的电子在低能量下表现出非常高的电导率。
实际上，石墨烯的电导率可以达到3.28×105 S/m，是铜的200倍。
这种高导电性是由于石墨烯中的电子在平面中的传输速度非常快，而且几乎没有散射。
石墨烯的高电导率使其在电子器件中具有巨大的潜力。
石墨烯的高电导率意味着它可以传输更多的电荷，并且可以实现更高的工作电流密度。
这使石墨烯成为高频率电子器件和高速电子通信中的理想材料。
此外，石墨烯的电导率还使其在电磁屏蔽、导电涂层和传感器等领域有广泛的应用。
接下来，我们来讨论石墨烯的热导率。
石墨烯的热导率非常高，理论上可以达到5300 W/m·K。
这种高热导率是由于石墨烯中的碳原子只在二维平面上排列，形成了高度有序的晶格结构。
这种结构使石墨烯中的声子（热传导的主要载体）具有非常长的自由路径，并且几乎没有散射。
石墨烯的高热导率使其成为高效的热管理材料。
它可以在非常短的时间内将热量从一个区域传导到另一个区域，使设备保持较低的温度。
这种特性使石墨烯在电子器件的散热和热管理中有广泛的应用。
此外，石墨烯的高热导率还有助于制备高性能的热界面材料和热传导纳米材料。
石墨烯的电阻率和热导率在很大程度上受其纯度和晶格结构的影响。
较高纯度的石墨烯具有更好的电导性和热导性能。
目前，石墨烯的制备技术正在不断改进，石墨烯的纯度和晶格结构也在逐渐提高。
石墨烯理论（中）值得注意，Dirac点必须是偶数个，这时Hall电导才会呈整数量子化；如果有奇数个Dirac 点，则会出现半整数量子化，而具有时间反演对称性的晶格系统保证了Dirac点是成对出现（Nielssen提出的“费米子加倍定理”）。
*费米子加倍定理：一个局域自由费米子晶格系统，若其作用量具有手征性以及平移对称性则费米子数会加倍。
我们不妨先考察量子场论中自由费米子作用量现在将d维空间连续费米子场引入到离散晶格系统（表示晶格格点），作用量变为为晶格常数，为晶格键方向上的单位矢量。
计算动量空间上系统的Green函数动量限制在Brillouin区中离散化，在离散取值附近展开Green函数，Green函数的极点代表粒子激发，我们会发现只有在Brillouin区顶点上的位置时Green函数才会得到与连续时候一致，并且这时候发现Brillouin区并不只包含一个费米子极点，计算每个顶点上对应的每个动量分量都会得到一个费米子传播函数，譬如一维晶格Brillouin区上有两个顶点上的费米子（注意这时符号改变，正好会消除手征反常）；四维晶格格点中，动量分量取值，共十六个费米子。
对于d维空间晶格，则有个费米子。
因此在理想离散晶格中费米子数目成倍增加。
2.石墨烯中的量子自旋Hall效应最初量子自旋Hall效应的构造是C.L.Kane和Mele的从石墨烯结构引入了次邻近格点间电子的内禀自旋轨道耦合，和的Dirac点因为自旋轨道耦合会打开体能隙，此时体态就变成了绝缘体;假设自旋守恒，Kane-Mele模型为不难发现这个模型正是前面讨论过的Haldane模型的叠加，其中自旋向上和自旋向下的电子分别处于一个Haldane模型晶格中，跃迁矩阵元互为共轭。
以为基，则哈密顿量是两个自旋部分的直和计算半有限系统会出现两条手征边缘态，穿过费米能级的四条边缘态，分别代表两个边缘上的上下自旋。
石墨烯系统里的自旋轨道耦合作用是个复杂的事情，一方面碳原子质量数小，因此自旋耦合轨道作用比较弱。
石墨烯以及导热性质的有关介绍石墨烯( Graphene)又叫单层石墨，是构造其他石墨材料的最基本的材料单元。
石墨稀是由sp2碳原子以蜂窝状晶格构成的二维单原子层结构。
每个碳原子周围有３个碳原子成键，键角120°；每个碳原子均为sp2杂化，并贡献剩余一个p轨道上的电子形成大π键。
在石墨烯中，碳原子在不停的振动，振动的幅度有可能超过其厚度。
其中最重要的石墨烯的晶格振动，不仅仅影响石墨烯的形貌特征，还影响的石墨烯的力学性质、输运特性、热学性质和光电性质。
对石墨烯的热学性质的影响主要是由于石墨烯晶格振动。
根据有关资料的显示，对石墨烯晶格振动的研究可利用价力场方法。
在价力场方法中，石墨烯内所有原子间的相互作用力可以分为键的伸缩力和键的弯曲力。
从经典的热学理论出发，对石墨烯的导热系数进行研究。
一、以下是石墨烯薄片的热通量有关的表达式:上面理论计算的导热系数主要由石墨烯的声子频率、声子的支数和声子的作用过程等决定。
从得出的结果出可以得出以下的图表：从图中看出来石墨烯的导热系数随温度的增加而减小。
在同一温度下，导热系数随石墨烯的宽度的增加而增加。
由经典的热传导理论可知，随着温度的升高，晶格振动加强，声子运动剧烈，热流中的声子数目也增加。
声子间的相互作用或碰撞更加频繁，原子偏离对平衡位置的振幅增大，引起的声子散射加剧，使导热载体(声子)的平均自由程减小。
这是石墨烯的导热系数随温度升高而降低的主要原因。
对于石墨烯，电子的运动对导热也有一定的贡献，但在高温情况下，晶格振动对石墨烯的导热贡献是主要的，起主导作用。
二、石墨烯的导热系数经验公式式中 Xg 是温度系数，L 是单层石墨烯的中间部分与散热片之间的距离，h 是单层石墨烯厚度，d 为单层石墨烯的宽度，δf 是G 峰位移，δP是样品的热功率的变化。
从经验公式可以看出，石墨烯的导热系不同宽度的石墨烯薄片的导热系数与温度的关系数主要受3个因数的影响: 单层石墨烯的尺寸效应，温度，石墨烯生长的基底材料。
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石墨烯（Graphene）是一种由碳原子以sp2杂化方式形成的蜂窝状平面薄膜，是一种只有一个原子层厚度的准二维材料，所以又叫做单原子层石墨。
英国曼彻斯特大学物理学家安德烈·盖姆和康斯坦丁·诺沃肖洛夫，用微机械剥离法成功从石墨中分离出石墨烯，因此共同获得2010年诺贝尔物理学奖。
石墨烯常见的粉体生产的方法为机械剥离法、氧化还原法、SiC外延生长法，薄膜生产方法为化学气相沉积法（CVD）。
[1] 由于其十分良好的强度、柔韧、导电、导热、光学特性，在物理学、材料学、电子信息、计算机、航空航天等领域都得到了长足的发展。
作为目前发现的最薄、强度最大、导电导热性能最强的一种新型纳米材料，石墨烯被称为“黑金”，是“新材料之王”，科学家甚至预言石墨烯将“彻底改变21世纪”。
极有可能掀起一场席卷全球的颠覆性新技术新产业革命。
中文名石墨烯外文名Graphene 发现时间2004年主要制备方法机械剥离法、气相沉积法、氧化还原法、SiC外延法主要分类单层、双层、少层、多层（厚层）基本特性强度柔韧性、导热导电、光学性质应用领域物理、材料、电子信息、计算机等目录1 研究历史2 理化性质? 物理性质? 化学性质3 制备方法? 粉体生产方法? 薄膜生产方法4 主要分类? 单层石墨烯? 双层石墨烯? 少层石墨烯? 多层石墨烯5 主要应用? 基础研究? 晶体管? 柔性显示屏? 新能源电池? 航空航天? 感光元件? 复合材料6 发展前景? 中国? 美国? 欧洲? 韩国? 西班牙? 日本研究历史编辑实际上石墨烯本来就存在于自然界，只是难以剥离出单层结构。
石墨烯一层层叠起来就是石墨，厚1毫米的石墨大约包含300万层石墨烯。
cvd 铜箔连续生长石墨烯理论说明1. 引言1.1 概述在过去几十年中，石墨烯作为一种具有出色的物理和化学特性的二维材料，在科学界引起了巨大的关注。
它具有高导电性、高透明性、稳定性等优点，可以应用于电子器件、能源储存、催化和生物医学等领域。
尽管石墨烯的制备方法有很多种，但化学气相沉积（CVD）是一种最常用且有效的方法之一。
本文将重点介绍CVD铜箔连续生长石墨烯的理论说明。
首先，我们将介绍CVD 方法及其在石墨烯生长中的应用。
然后，我们将探讨铜箔作为衬底材料的优势以及该材料对石墨烯生长的影响。
最后，我们将详细解析石墨烯生长的机制，并分析其中涉及的关键因素。
1.2 文章结构本文共分为五个主要部分。
本引言部分是第一部分，主要对全文进行概述和总体框架的介绍。
接下来第二部分将详细讲解CVD铜箔连续生长石墨烯的理论说明。
第三部分将介绍我们的实验设计以及对实验结果的详细分析和讨论。
第四部分将解释和讨论实验结果，同时探讨CVD铜箔连续生长石墨烯所具有的优势和挑战。
最后，第五部分是结论部分，总结全文内容，并对未来研究方向进行展望。
1.3 目的本文的主要目的是通过理论说明和实验结果分析，深入了解CVD铜箔连续生长石墨烯的过程以及其中涉及的关键因素。
通过对铜箔作为衬底材料的优势进行探讨，希望能够进一步推动石墨烯在各领域中的应用。
此外，本文还旨在总结目前CVD方法制备石墨烯所面临的挑战，并提出未来研究方向，为相关领域的学者提供参考和启示。
以上就是“1. 引言”部分内容的详细描述，请按需使用。
2. CVD铜箔连续生长石墨烯理论说明:2.1 CVD方法介绍:CVD（化学气相沉积）是一种常用的合成石墨烯的方法之一。
该方法基于在高温下通过加热并使其分解的碳源与金属衬底反应，从而在表面上连续生长单层或多层石墨烯薄膜。
CVD方法具有可扩展性、过程参数可调控以及高质量等优点，因此被广泛应用于石墨烯的制备。
2.2 铜箔作为衬底材料的优势:在CVD法中，铜箔是最常用的衬底材料之一。
石墨烯的导电原理
石墨烯是由碳原子按照六边形排列形成的单层二维晶体结构。
其导电原理可以从两个方面来解释。
首先，石墨烯的导电性主要源自碳原子的电子结构。
碳原子有四个价电子，而石墨烯中每个碳原子只与其周围三个碳原子形成共价键，剩余的一个价电子呈自由电子状态。
这些自由电子可以在石墨烯中自由移动，形成电流。
由于石墨烯是单层结构而无禁带宽度限制，其导电性非常高。
其次，石墨烯的导电性还与其特殊的带电载体输运机制有关。
在石墨烯中，由于强关联效应和零质量费米子特性，带电载体的输运表现出非常特殊的行为。
石墨烯的载流子（电子和空穴）被描述为狄拉克费米子，其运动方式类似于相对论性粒子，具有线性色散关系。
这种特殊的输运机制使得石墨烯在高速电子器件中具有优异的性能。
总结起来，石墨烯的导电原理可以归结为碳原子的电子结构和带电载体输运机制两个方面。
这使石墨烯成为一种极具潜力的材料，在电子器件、导电材料等领域具有广阔应用前景。
石墨烯以及导热性质的介绍文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]石墨烯以及导热性质的有关介绍石墨烯( Graphene)又叫单层石墨，是构造其他石墨材料的最基本的材料单元。
石墨稀是由ss2碳原子以蜂窝状晶格构成的二维单原子层结构。
每个碳原子周围有３个碳原子成键，键角120°；每个碳原子均为ss2杂化，并贡献剩余一个p轨道上的电子形成大π键。
在石墨烯中，碳原子在不停的振动，振动的幅度有可能超过其厚度。
其中最重要的石墨烯的晶格振动，不仅仅影响石墨烯的形貌特征，还影响的石墨烯的力学性质、输运特性、热学性质和光电性质。
对石墨烯的热学性质的影响主要是由于石墨烯晶格振动。
根据有关资料的显示，对石墨烯晶格振动的研究可利用价力场方法。
在价力场方法中，石墨烯内所有原子间的相互作用力可以分为键的伸缩力和键的弯曲力。
从经典的热学理论出发，对石墨烯的导热系数进行研究。
一、以下是石墨烯薄片的热通量有关的表达式:上面理论计算的导热系数主要由石墨烯的声子频率、声子的支数和声子的作用过程等决定。
从得出的结果出可以得出以下的图表：从图中看出来石墨烯的导热系数随温度的增加而减小。
在同一温度下，导热系数随石墨烯的宽度的增加而增加。
由经典的热传导理论可知，随着温度的升高，晶格振动加强，声子运动剧烈，热流中的声子数目也增加。
声子间的相互作用或碰撞更加频繁，原子偏离对平衡位置的振幅增大，引起的声子散射加剧，使导热载体(声子)的平均自由程减小。
这是石墨烯的导热系数随温度升高而降低的主要原因。
对于石墨烯，电子的运动对导热也有一定的贡献，但在高温情况下，晶格振动对石墨烯的导热贡献是主要的，起主导作用。
二、石墨烯的导热系数经验公式式中 Xg 是温度系数，L 是单层石墨烯的中间部分与散热片之间的距离，h 是单层石墨烯厚度，d 为单层石墨烯的宽度，δf 是G 峰位移，δP 是样品的热功率的变化。
从经验公式可以看出，石墨烯的导热系数主要受3不同宽度的石墨烯薄片的导热系个因数的影响: 单层石墨烯的尺寸效应，温度，石墨烯生长的基底材料。
石墨烯超导原理超导材料是一种具有零电阻和完全磁通排斥的材料，它们在电力输送、磁共振成像、磁悬浮列车等领域都有广泛应用。
然而，大多数超导材料都需要极低的温度才能实现超导状态，这限制了它们在实际应用中的应用范围。
近年来，石墨烯超导材料的研究引起了广泛关注，因为石墨烯具有优异的电子输运性质和独特的结构，可以在相对高的温度下实现超导状态。
石墨烯是一种由碳原子构成的单层二维材料，具有高度的机械强度、导电性和热导性。
石墨烯的导电性来源于其特殊的能带结构，其中价带和导带相交，形成了Dirac点。
在Dirac点附近，电子的能量与动量呈线性关系，称为Dirac色散关系。
这种线性色散关系使得石墨烯的电子具有类似于光子的行为，称为量子电子。
量子电子的存在使得石墨烯具有优异的输运性质，例如极高的电子迁移率和低电阻率。
石墨烯超导的实现需要在石墨烯中引入超导性质。
超导性质是由于电子在超导材料中形成了库珀对，这种电子对具有零自旋和相反的动量，可以在材料中形成一种相干态。
在超导材料中，库珀对可以通过库伦相互作用形成，因此需要在石墨烯中引入电子之间的相互作用。
石墨烯中的电子之间的相互作用可以通过引入掺杂原子或施加外部压力来实现。
掺杂原子可以引入额外的电子或空穴，从而增加电子之间的相互作用。
然而，掺杂也会引入杂质能级和缺陷，从而降低石墨烯的性能。
施加外部压力可以改变石墨烯的晶格结构和电子结构，从而改变电子之间的相互作用。
近年来，研究人员发现，在石墨烯表面添加超导金属如铝或铅可以实现石墨烯超导。
石墨烯超导的原理可以通过BCS理论进行解释。
BCS理论是描述超导现象的经典理论，它认为超导是由于电子在超导材料中形成了库珀对的相干态。
BCS理论中，库珀对的形成是由于电子之间的吸引力，这种吸引力是由于晶格中的声子引起的。
在石墨烯中，声子和电子之间的相互作用非常弱，因此需要引入外部超导金属来增加声子和电子之间的相互作用。
超导金属中的电子和声子之间的相互作用可以通过BCS理论进行描述，因此石墨烯超导的原理也可以用BCS理论进行解释。
石墨烯工作原理
石墨烯是由一个层层堆叠的碳原子组成的单层薄片材料。
它的结构类似于蜂窝，形成一个具有六个碳原子构成的六角形网格。
石墨烯的材料特性主要来源于其独特的结构和碳元素的电子性质。
石墨烯具有优异的机械性能，是最轻、最强和最硬的已知材料之一。
由于其单层结构，石墨烯具有非常高的比表面积，可以提供更多的反应和吸附活性位点。
此外，石墨烯具有优异的导电性和热导性，使其在电子器件和能量存储等领域具有巨大的应用潜力。
石墨烯的工作原理与其材料特性密切相关。
由于石墨烯具有单层结构，其表面的每个碳原子都暴露在外，可以与其他物质进行反应。
这使得石墨烯可以用于催化剂、传感器和吸附等应用。
石墨烯的高比表面积和可调控的能带结构还使其成为一种理想的电极材料，可以用于电池和超级电容器等能量转换和存储设备。
石墨烯的电子性质也对其工作原理起着关键作用。
石墨烯中的碳原子只有三个价电子，形成sp2杂化轨道。
这使得石墨烯中
的电子能量以锥形形式随动量变化，呈现出线性色散关系。
这种特殊的电子能带结构使得石墨烯可以表现出许多独特的电子输运性质，如高载流子迁移率和相对宽阔的能带。
这些特性使得石墨烯成为一种理想的材料用于高速电子器件。
总之，石墨烯的工作原理可以归结为其单层结构和碳元素的特
殊电子性质。
这些特性使得石墨烯在各种应用领域具有广泛的应用前景。
石墨烯超导石墨烯是一种二维材料，其独特的电子结构和物理性质引起了科学家们的广泛关注。
自从2004年Andrei Geim 和Konstantin Novoselov首次制备出单层石墨烯后，石墨烯已经成为材料科学和凝聚态物理学领域的一个热门研究方向。
在近年来的研究中，石墨烯的超导性质也逐渐被发现和探索，这一领域的成果得到了广泛的关注和认可。
超导是一种奇特的物理现象，在超导材料中，电阻为零，电流可以自由流动而不被阻碍。
这种电性质可以用超导临界温度Tc来描述，当温度低于Tc时，材料会表现出超导行为。
在经典的BCS理论中，超导是由超导电子对（Cooper pairs）的形成和运动所决定的。
超导电子对是由两个电子组成的，它们之间通过晶格振动（声子）的相互作用产生吸引力。
而这种相互作用需要材料具备良好的电子-声子偶合，才能够促进Cooper pair的形成和运动。
在石墨烯中，由于几何约束和层间距离的充足，电子-声子偶合非常弱，这导致了石墨烯的超导性质比较特殊。
对于单层石墨烯，由于它只有两条电子带（π带和π*带），且这两个带之间的能隙比较大，因此石墨烯的超导临界温度非常低。
早期的实验结果表明，单层石墨烯的Tc约为1-2K，而多层石墨烯或者石墨烯纳米带的Tc可以比单层石墨烯高出一个数量级。
这说明多层石墨烯和石墨烯纳米带中的电子-声子耦合比单层石墨烯强，因此它们的超导性质更加显著。
除了多层石墨烯和石墨烯纳米带，还有其他的方法可以提高石墨烯的超导临界温度。
例如，在石墨烯上添加掺杂原子（如硼）或者将石墨烯与其他超导材料组装成异质结构，都可以促进Cooper pair的形成和运动，从而增强石墨烯的超导性质。
此外，还有一些新型的超导机制在石墨烯中得到了探索，例如在石墨烯中形成拓扑超导态（topological superconductivity）和复合超导态（composite superconductivity）等。
石墨烯超导的研究不仅对于了解超导机制和石墨烯的物理性质具有重要的科学价值，还有一些应用前景。
石墨烯理论（中）值得注意，Dirac点必须是偶数个，这时Hall电导才会呈整数量子化；如果有奇数个Dirac 点，则会出现半整数量子化，而具有时间反演对称性的晶格系统保证了Dirac点是成对出现（Nielssen提出的“费米子加倍定理”）。
*费米子加倍定理：一个局域自由费米子晶格系统，若其作用量具有手征性以及平移对称性则费米子数会加倍。
我们不妨先考察量子场论中自由费米子作用量现在将d维空间连续费米子场引入到离散晶格系统（表示晶格格点），作用量变为为晶格常数，为晶格键方向上的单位矢量。
计算动量空间上系统的Green函数动量限制在Brillouin区中离散化，在离散取值附近展开Green函数，Green函数的极点代表粒子激发，我们会发现只有在Brillouin区顶点上的位置时Green 函数才会得到与连续时候一致，并且这时候发现Brillouin区并不只包含一个费米子极点，计算每个顶点上对应的每个动量分量都会得到一个费米子传播函数，譬如一维晶格Brillouin区上有两个顶点上的费米子（注意这时符号改变，正好会消除手征反常）；四维晶格格点中，动量分量取值，共十六个费米子。
对于d维空间晶格，则有个费米子。
因此在理想离散晶格中费米子数目成倍增加。
2.石墨烯中的量子自旋Hall效应最初量子自旋Hall效应的构造是C.L.Kane和Mele的从石墨烯结构引入了次邻近格点间电子的禀自旋轨道耦合，和的Dirac点因为自旋轨道耦合会打开体能隙，此时体态就变成了绝缘体;假设自旋守恒，Kane-Mele模型为不难发现这个模型正是前面讨论过的Haldane模型的叠加，其中自旋向上和自旋向下的电子分别处于一个Haldane模型晶格中，跃迁矩阵元互为共轭。
以为基，则哈密顿量是两个自旋部分的直和计算半有限系统会出现两条手征边缘态，穿过费米能级的四条边缘态，分别代表两个边缘上的上下自旋。
石墨烯系统里的自旋轨道耦合作用是个复杂的事情，一方面碳原子质量数小，因此自旋耦合轨道作用比较弱。
另一方面，多体格点系统里面，价电子自旋可以和本格点(on-site)碳原子，邻近原子间的价键轨道乃至次邻近的价键轨道动量进行耦合。
一般我们关心的是轨道上价电子输运性质，尤其是在Dirac点处低能电子受到这种弱的自旋轨道耦合作用影响产生的不同的电子结构性质;在Dirac点处的零能态因为时间反演对称性是Krames二重简并的。
在石墨烯平面系统中，价层原子轨道是形成的轨道，形成碳骨架的键是杂化轨道。
成分与三个成分之间有能量(键能)，还有价键轨道的能量。
紧束缚模型的哈密顿量里面的电子跃迁能量自然也需要考虑这些不同原子轨道、价键轨道间的跃迁能量。
从Thomas自旋轨道耦合项出发，由于自旋轨道耦合比较弱，我们可以将自旋耦合轨道作用项视为微扰项，可以在一个Brillouin区中考察Wannie表象下基态波函数完备集，两个顶点处也即Ferimi面附近的四重（包含了自旋简并）零能简并的轨道波函数（即A,B两个碳原子上的原子轨道组合成）与其他不与轨道简并的波函数（）进行简并微扰计算，到二级近似，当然也可以用Bloch表象波函数进行近似展开，那就是Dresselhaus计算石墨系统自旋耦合作用所采用的办法。
算出来在点的微扰矩阵元为：写出系统的低能有效自旋轨道耦合作用的哈密顿量这是个很有意思的结果，第一项是平庸的对角项耦合能量，可以忽略;微扰的一级项是较为常见的Rashba自旋轨道耦合项，来源于电子自旋与相应原子轨道动量耦合，在无外场时候这个项不重要；微扰二级项是所谓禀自旋耦合，由晶格对称性与碳原子轨道几何性质决定。
三个类似“自旋”的Pauli矩阵算符分别代表着电子真实自旋、石墨烯晶格结构（与A 和B原子轨道之间的耦合轨道运动自由度相关）的晶格赝自旋以及二重简并的谷自由度赝自旋（Brillouin区中包含和两个对称性不等价的简并能谷——二重谷简并) 。
石墨烯中的这两个谷由时间反演对称性相联系，这与电子自旋十分类似，所以石墨烯的谷自由度可视为赝自旋）以及真实的电子自旋，从构造上可以明显看出这个作用由晶格对称性和碳原子轨道几何性质所决定;这个项的出现在物理上的原因是轨道轨道之间混合的结果，换言之单纯的原子轨道混合对此没什么贡献，轨道混合才有净贡献，这一点也从Haldane模型的对这个禀自旋轨道耦合项写法中间接体现出来:跃迁格点间的两个键的单位矢量(从格点指向相邻的格点)叉乘后再和轨道上的电子自旋矢量点乘我们说过这个禀自旋轨道耦合将打开大小的能隙，这个能隙有多大？具体是需要去像上面那样微扰计算。
简便地估算我们可以选择简化的波函数。
前面第一节在二次量子化中对A，B原子的轨道进行叠加得到波函数，我们采用Nambu表象：。
是四分量波函数，这里我们不妨将之视为模恒定的包络函数；是A,B原子的处的波函数的模函数：为Brillouin区中等价于或者的另外三个顶点位置处的晶格动量，是从A到B 格点的基矢。
这样微扰矩阵元也可以得到相同结果。
简单地引入晶格间的Coulomb作用能，这时粗略估计得到能隙大小约为上面的估算并没有考虑电子间的长程Coulomb相互作用，在石墨烯中进一步计入Coulomb相互作用需要进行微扰计算。
现考虑无掺杂纯石墨烯晶格系统中的理想二维电子气体，引入Coulomb相互作用后变会变成某种Fermi液体系统哈密顿量为其中是电子密度算符石墨烯中的二维Coulomb相互作用电子液体理论和QED的情形很不同。
由于接近光速，因此认为Coulomb相互作用推迟效应很小几乎是瞬时。
而不想QED中光子是三维空间中传播，二维电子系统相互作用是限制于二维空间的，从哈密顿量可知Coulomb作用会破坏Lorentz对称。
正如同QED中l哈密顿量的两个参数是，二维电子系统理论也依赖于两个参数，并且在标度变化下不变。
以RG（重整化群）的语言来说，Coumlomb 作用是“临界变量”，与动能有关而不随标度变换改变。
在QED中的电磁作用耦合常数，在石墨烯二维电子系统中，能标下的耦合常数则是。
人们通常对Green函数微扰计算，对相互作用进行自能修正。
在Hartree-Fock近似下计算自能图，得到HF自能修正，是动量截断，依据Dirac方程的低能有效围而设定。
我们看到当，能谱将是对数发散的，因为二维电子系统的Coulomb作用是长程的因此有必要引入屏蔽来避免发散，我们在无规相位近似(RPA)下计算出极化函数是因此在情况下，零频极化率将消失，得到动态介电函数后将抵消掉原本真空Coulomb作用的发散源；这就是耦合常数重整化后得到计入真空极化屏蔽的耦合常数：。
以上是对于小耦合常数情形，而上面得到的结果有更深的含义。
原本长程Coulomb相互作用经过屏蔽后变成短程作用，Thomas-Fermi屏蔽长度为，为电子数密度，可以看到在二维电子系统中屏蔽长度很小。
弱的相互作用微扰过程中是稳定不会发散的，因此能谱在重整化群的标度变换下是不变的，重整化流方程：重整化群方程依赖于重整化参数的标度，依据原来未重整化的作用顶点，我们可单单以来表征标度特征。
在长波极限很小接近为零，从方程可知此即为重整化流的不动点（即重整化参数的鞍点）。
变小，微扰性质将更好。
这意味着即使在强关联作用情形，系统依旧会流向长波微扰极限。
这告诉人们是临界无关的。
因此一定动量截断，小的色散关系将由上面重整化群方程给出，得到关于Fermi速度在下的对数重整化。
临界无关的含有对数修正项且在低能标下依然存在，这时我们的系统在低能情形变成一种临界Fermi液体。
在能标截断下有，，解重整化方程得到重整化参数。
该结果与大N极限展开（N是电子规自由度，类似“味”）得到的结果相同。
我们把这些方法应用到自旋耦合轨道能的修正上去。
下面这个就是对具有自旋轨道耦合顶点项的传播子加上Coulomb作用的正规自能1PI图：重整化流方程：在能标的重整化为，选定一定截断有效作用，得到重整化自旋轨道耦合能，比较可知引入电子间相互作用后将会更明显地拉大能隙。
有界石墨烯晶格系统会产生两条无能隙螺旋边缘态，它们在边界上会形成一些没有“背散射”的导电通道（也就是不受杂质散射影响的理想导体）。
这是由于体态的非平庸拓扑性保护而对各种非磁性杂质具有鲁棒性。
考虑由于杂质导致的Krames对,之间的散射矩阵元。
对1/2自旋的电子时间反演算符为，其中是取复共轭操作算符，是自旋投影算符，且有。
非磁性杂质散射势满足，，Krames对之间，，即对于互为时间反演共轭的两个边缘态在保持时间反演对称的散射势下，其跃迁矩阵元为零。
也可以用Büttiker-Floquet 散射矩阵理论描述：考虑向左、向右运动的边缘态组成的入射态以及出射态, 时间反演对称将联系入射态和出射态，散射矩阵为，因此推得时间反演对称性使得, 这么一来，描述背向散射的矩阵元消失。
因此输运中是完美地穿过势垒，不存在非弹性背向散射。
很重要的一点情况是时间反演对称性依旧存在，而且在极化情况下自旋在方向是守恒的，也就是是个好量子数。
而当加入外电场(实际上材料也往往存在破坏自旋守恒的因素，譬如应变导致结构反演对称受破坏)，那么这时候一级作用——Rashba自旋轨道耦合也就起很大影响。
而由于不是守恒的好量子数，也就无法定义自旋流了也就不再有量子自旋Hall电导，因而不再处于QSH相。
然而值得庆幸的是，Rashba耦合项只是破坏空间反演对称性并没破坏时间反演对称性，那么作为边缘态出现的一对无质量Dirac费米子依旧会保留下来(这固然需要依据情况适当调节Fermi面与边缘态相交)。
当Rashba耦合能增大到比禀耦合能大时，这时候边缘态不再是无能隙的，即打开了整个系统的能隙，这是意味着这是个量子相变临界点。
相变后变成弱的时间反演对称保护的二维非平庸拓扑绝缘体相，只不过自旋不守恒而失去QSH相。
当系统进入拓扑平庸相的参数区，边缘态也不再具有鲁棒性(从能谱中可看到，当Fermi 面移动不与边缘态谱线相交时候就不再有无质量Dirac费米子出现，杂质的干扰可以把这种边缘态可以拉进体态中)。
综上所述，我们明白了具有时间反演对称性的二维系统绝缘体有两类:拓扑非平庸相和拓扑平庸的普通绝缘体相。
当然，要判断系统处于何种相就要计算自旋数之差，也就是拓扑不变量。
当哈密顿量存在时间反演对称性，系统不存在Hall电流而Hall电导为零。
因此不论系统是否具有其他的拓扑性质第一数都等于零，这样就不能用第一数来对具有时间反演对称性的系统进行拓扑分类。
然而量子自旋Hall系统却具有净自旋流输运：，自旋Hall电导为：。
于2006年，Liang Fu和Kane提出了用时间反演极化定义拓扑数的方法来刻画系统的拓扑序。
他们证明了拓扑数的数值等于系统在自旋泵送周期过程中，自旋反演极化在泵送起始点和终点上的差值，也就是自旋数，故而。
