实际问题与二次函数 3 (2)

实际问题与二次函数【知识要点梳理】知识点1: 利用二次函数解决实际问题的一般步骤1.用二次函数知识解决实际问题的一般步骤:(1)仔细审题;(2)找出题中的变量和常量及它们之间的关系;(3)列函数解析式表示它们之间的关系;(4)借助函数的图象及其性质求解;(5)检验结果的合理性。

2.在实际问题中,有关用料最省、造价最低、利润最大等问题可以通过分析、联想,建立二次函数模型,转化为二次函数的最大值或最小值问题加以解答。

3.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是最低点。

当x=时，函数的最小值为。

当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是最高点。

当x=时，函数的最大值为。

知识点2:利用二次函数求几何图形面积的最大值问题利用图形的面积公式建立二次函数模型并求出表达式,再利用配方法或公式法求出二次函数的最值。

知识点3: 利用二次函数求最大利润问题利用“总利润=每件的利润×件数”建立二次函数模型并求出表达式,利用配方法或公式法求出二次函数的最大值,即最大利润。

知识点4: 利用二次函数解决抛物线型问题1.抛物线型建筑物问题:几种常见的抛物线型建筑物有拱形桥洞、隧道洞口、拱形门等.解决这类问题的关键是根据已知条件选择合理的位置建立直角坐标系,结合问题中的数据求出函数解析式,然后利用函数解析式解决问题。

2. 运动问题:(1)运动中的距离、时间、速度问题,这类问题多根据运动规律中的公式求解.(2)物体的运动路线(轨迹)问题,解决这类问题的图想方法是利用数形结合思想和函数思想,合理建立直角坐标系,根据已知数据,运用待定系数法求出运动轨迹(抛物线)的解析式,再利用二次函数的性质去分析、解决问题。

【知识点过关训练】知识点1: 利用二次函数求几何图形面积的最大值问题1. 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．2. 某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元。

实际问题与二次函数（知识讲解）【学习目标】1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．【要点梳理】要点一、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．特别说明：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.要点二、建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．特别说明：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：①首先必须了解二次函数的基本性质；②学会从实际问题中建立二次函数的模型；③借助二次函数的性质来解决实际问题.1．如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃ABCD，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米，设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x （m ），矩形苗圃ABCD 面积为y （2m ）．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)求所围矩形苗圃ABCD 的面积最大值； 【答案】(1)y ＝﹣2x 2＋18x (2)812m 2【分析】（1）设矩形苗圃ABCD 的一边AB 的长为x （m ），矩形苗圃ABCD 面积为y （2m ），则()182BC x =-，根据矩形的面积公式求解即可；（2）根据顶点坐标公式计算即可求解(1)解：设矩形苗圃ABCD 的一边AB 的长为x （m ），矩形苗圃ABCD 面积为y （2m ），则()182BC x =-，根据题意得：y ＝x （18﹣2x ）＝﹣2x 2＋18x ； (2)解：二次函数y ＝﹣2x 2＋18x （0＜x ＜9），∵a ＝﹣2＜0，∵二次函数图象开口向下， 且当x ＝﹣182(2)⨯-＝92时，y 取得最大值，最大值为y ＝92×（18﹣2×92）＝812（m 2）；【点拨】本题考查了一元二次函数的应用，用代数式表示出()182BC x =-是解题的关键． 举一反三：【变式1】 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长25m )的空地上修建一个矩形小花园ABCD ，小花园一边靠墙，另三边用总长40m 的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园AB 边的长为x m ，面积为ym 2．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）（1）2240y x x =-+.（7.520x ≤<）；（2）当x 为10m 时，小花园的面积最大，最大面积是2200m【分析】（1）首先根据矩形的性质，由花园的AB 边长为x m ，可得BC =(40-2x )m ，然后根据矩形面积即可求得y 与x 之间的函数关系式，又由墙长25m ，即可求得自变量的x 的范围；（2）用配方法求最大值解答问题． 解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∵AB =CD ，AD =BC ， ∵AB =x m ， ∵BC =(40-2x )m ，∵花园的面积为：y =AB •BC =x •(40-2x )=-2x 2+40x ， ∵40-2x ≤25，x +x <40， ∵x ≥7.5，x <20， ∵7.5≤x <20，∵y 与x 之间的函数关系式为：y =-2x 2+40x （7.5≤x <20）； （2）∵ 22(10)200y x =--+，(7.520x ≤<)∵ 当10x =时，max 200y =．答：当x 为10m 时，小花园的面积最大，最大面积是200m 2．【点拨】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出函数解析式．【变式2】 某数学实验小组为学校制作了一个如图所示的三棱锥模型P ﹣ABC ，已知三条侧棱P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且棱PB 与PC 的和为6米，PB ＝2P A ．现要给该模型的三个侧面（即Rt ∵P AB ，Rt ∵PBC ，Rt ∵P AC ）刷上油漆，已知每平方米需要刷0.5升油漆，油漆的单价为60元/升．（1）设P A 的长为x 米，三个侧面的面积之和为y 平方米，试求y （平方米）关于x （米）的函数关系式；（2）若油漆工的工时费为10元/平方米，该实验小组预算总费用为410元（即油漆费和工时费）．试通过计算判断完成该模型的油漆工作是否会超出预算？【答案】（1）y关于x的函数关系式为y=-2x2+9x；（2）完成该模型的油漆工作不会超出预算．【分析】（1）先根据P A的长为x米，PB=2P A，PB+PC=6米，求出PB=2x米，PC=（6-2x）米，然后根据三棱锥的侧面积等于三个直角三角形面积公之和列出函数解析式即可；（2）由（1）解析式，根据函数的性质求出最大面积，然后根据总费用=油漆费和工时费算出最大费用，然后与410比较即可．解：（1）∵P A=x米，PB=2P A，PB+PC=6米，∵PB=2x米，PC=（6-2x）米，由题意，得：y=12P A•PB+12P A•PC+12PB•PC=12x•2x+12x（6-2x）+12×2x（6-2x）=x2+3x-x2+6x-2x2=-2x2+9x，∵y关于x的函数关系式为y=-2x2+9x；（2）由（1）知，y=-2x2+9x=-2（x-94）2+818，∵-2＜0，∵当x=94时，y有最大值，最大值818，当y取得最大值时，需要总费用为：818×（0.5×60+10）=405（元），∵405＜410，∵完成该模型的油漆工作不会超出预算．【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，关键是根据等量关系列出函数关系式．2．如图，Rt ∵ABC 中，∵C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，P 点沿边AC 向C 以每秒3个单位长度的速度运动，Q 点沿边BC 向B 以每秒4个单位长度的速度运动，当P 、Q 到达终点C 、B 时，运动停止，设运动时间为t （s ）．（1）∵当运动停止时，t 的值为 ；∵设P 、C 之间的距离为y ，则y 与t 满足 关系（填“正比例函数”、“一次函数”或“二次函数”）；（2）设∵PCQ 的面积为S ．∵求S 的表达式（用含t 的式子表示）；∵求当t 为何值时，S 取得最大值，这个最大值是多少？【答案】（1）∵2；∵一次函数；（2）∵2612S t t =-+；∵1t =，面积最大为6 【分析】（1）∵根据P Q 、运动速度，以及AC 、BC 的长度，即可求解；∵求得y 与t 的关系式，即可求解；（2）∵求得线段PC 、CQ 的长度，即可求得S 的表达式；∵根据表达式可得S 与t 为二次函数的关系，根据二次函数的性质即可求解．解：（1）∵运动停止时，P Q 、分别到达终点C 点和B 点，632()t s =÷=故答案为2∵由题意可得：3AP t =，63PC AC AP t =-=-，即63y t =-，∵y 与t 满足一次函数的关系故答案为一次函数（2）∵由题意可得：3AP t =，4CQ t =63PC AC AP t =-=-∵PCQ 的面积2114(63)61222S PC CQ t t t t =⨯=⨯⨯-=-+ 故答案为：2612S t t =-+∵由二次函数的性质可得：60a =-<，开口向下，对称轴为1t = ∵当1t =时，S 取得最大值，最大值为6【点拨】此题考查了函数与几何的综合应用，涉及了正比例函数的性质，二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质，理解题意，找到题中的等量关系．举一反三：【变式1】 如图，在△ABC 中，△B =90°，AB =12cm ，BC =24cm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2cm /s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4cm /s 的速度移动，如果P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，设运动时间为ts ，（1）BP =_________cm ；BQ =_________cm ； （2）t 为何值时△PBQ 的面积为32cm 2（3）t 为何值时△PBQ 的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）12-2t ，4t ；（2）当t =2秒或4秒时，∵PBQ 的面积是32cm 2；（3）当t 为3时∵PBQ 的面积最大，最大面积是36cm 2．【分析】（1）根据题意得出即可；（2）根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可； （3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可． 解：（1）根据题意得：AP =2tcm ，BQ =4tcm ，所以BP =（12-2t ）cm ， 故答案为：12-2t ，4t ；（2）∵PBQ 的面积S =12×BP ×BQ=12×（12-2t ）×4t =-4t 2+24t =32， 解得：t =2或4，即当t =2秒或4秒时，∵PBQ 的面积是32cm 2； （3）由题意得：S =-4t 2+24t=-4（t -3）2+36，所以当t 为3时∵PBQ 的面积最大，最大面积是36cm 2．【点拨】本题考查了三角形的面积，二次函数的最值等知识点，能求出S 与x 的函数关系式是解此题的关键．【变式2】 如图（单位：m ），等腰直角三角形ABC 以2m/s 的速度沿直线l 向正方形移动，直到AB 与CD 重合．设s x 时，三角形与正方形重叠部分的面积为2m y ．（1）写出y 与x 的关系式；（2）当2x =，3.5时，y 分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？【答案】（1）22y x =；（2）8，24.5；（3）当重叠部分的面积是正方形的一半时，三角形移动了5s ．【分析】（1）根据题意可知，三角形与正方形重合部分是个等腰直角三角形，且直角边都是2x ，据此可得出y 、x 的函数关系式；（2）可将x 的值，代入（1）的函数关系式中，即可求得y 的值；（3）将正方形的面积的一半代入（1）的函数关系式中，即可求得x 的值．（其实此时AB 与DC 重合，也就是说等腰三角形运动的距离正好是正方形的边长10m ，因此x =5）解：（1）因为三角形与正方形重合部分是个等腰直角三角形，且直角边都是2x ，所以y =12×2x ×2x =2x 2；（2）在y =2x 2中，当x =2时，y =8； 当x =3.5时，y =24.5； （3）在y =2x 2中，因为当y =50时，2x 2=50， 所以x 2=25，解得x =5s （负值舍去）．即当重叠部分的面积是正方形的一半时，三角形移动了5s ．【点拨】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、平移的性质以及函数关系式等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键，求出y 与x 之间的函数解析式是解题的关键．3、某涵洞的横断面呈拋物线形，现测得底部的宽 1.6m AB =，涵洞顶部到底面的最大高度为2.4m.在如图所示的直角坐标系中，求抛物线所对应的二次函数的表达式．【答案】2154y x =-． 【分析】根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为2y ax =，根据 1.6AB m =，涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m ，那么A 点坐标应该是()0.8, 2.4--，利用待定系数法即可求解．解：设此抛物线所对应的函数表达式为：2y ax =，1.6AB m =，涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m ，A ∴点坐标应该是()0.8, 2.4--，把A 点代入得：22.4(0.8)a -=-⨯， 解得：154a =-， 故涵洞所在抛物线的函数表达式2154y x =-． 【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于结合题意列出式子求出解析式． 举一反三：【变式1】 如图∵，桥拱截面OBA 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA ＝8m ，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ．(1)按如图∵所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；(2)一只宽为1.2m 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O 点0.4m 时，桥下水位刚好在OA 处，有一名身高1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．【答案】(1)y =-14x 2+2x （0≤x ≤8）；(2)不会碰到头，理由见分析【分析】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B （4，4），先设抛物线的顶点式y =a （x -4）2+4，再根据图象过原点，求出a 的值即可；（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y 的值，然后和1.68比较即可． (1)解：如图∵，由题意得：水面宽OA 是8m ，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ，结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0）， 设二次函数的表达式为y =a （x -4）2+4， 将点O （0，0）代入函数表达式， 解得：a =-14，∵二次函数的表达式为y =-14（x -4）2+4，即y=-14x2+2x（0≤x≤8）；(2)解：工人不会碰到头，理由如下：∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，由题意得：工人距O点距离为0.4+12×1.2=1，∵将x=1代入y=-14x2+2x，解得：y=74=1.75，∵1.75m＞1.68m，∵此时工人不会碰到头．【点拨】本题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键．【变式2】漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA＝60米，在水面的跨度BC＝80米，桥面距水面的垂直距离OE＝7米，以桥面所在水平线为x 轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？【答案】（1）y＝﹣0.01x2+0.6x；（2）16米【分析】（1）根据题意，可以设出抛物线的解析式，然后根据题意可以得到点B的坐标和顶点的横坐标，从而可以求得该抛物线的解析式；（2）将（1）中的抛物线解析式化为顶点式，即可得到该函数的最大值，再根据OE＝7米，即可得到桥拱最高点到水面的距离是多少米．解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，由题意可得，点B （﹣10，﹣7），顶点的横坐标为30，∵100107302a b b a-=-⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得0.010.6a b =-⎧⎨=⎩， 即桥拱所在抛物线的函数关系表达式是y ＝﹣0.01x 2+0.6x ；（2）解：∵y ＝﹣0.01x 2+0.6x ＝﹣0.01（x ﹣30）2+9，∵当x ＝30时，y 取得最大值9，∵9+7＝16（米），∵桥拱最高点到水面的距离是16米．【点拨】此题考查二次函数的性质和最值问题，熟练掌握，即可解题.4、为了落实“乡村振兴战略”，我县出台了一系列惠农政策，使农民收入大幅度增加，某农业生产合作社将黑木耳生产加工后进行销售．已知黑木耳的成本价为每盒60元，经市场调查发现，黑木耳每天的销售量y （盒）与销售单价x （元/盒）满足如下关系式：201800y x =-+，设该农业生产合作社每天销售黑木耳的利润为w （元）．(1)求w 与x 之间的函数关系式；(2)若要使该农业生产合作社每天的销售利润为2500元且最大程度地减少库存，则黑木耳的销售单价为多少元？(3)若规定黑木耳的销售单价不低于76元，且每天的销售量不少于240盒，则每天销售黑木耳获得的最大利润是多少元？【答案】(1)2203000108000w x x =-+-；(2)黑木耳的销售单价为65元；(3)每天销售黑木耳获得的最大利润是4480元【分析】（1）根据题意，可以写出w 与x 之间的函数关系式；（2）根据“每天的销售利润为2500元”列出一元二次方程，求解即可；（3）根据题意，可以得到售价的取值范围，再根据（1）中的函数关系式和二次函数的性质，可以得到每天销售黑木耳获得的最大利润．(1)解：由题意可得，w与x之间的函数关系式为：w=y（x-60）=（-20x+1800）（x-60）=-20x2+3000x-108000，即w与x之间的函数关系式是w=-20x2+3000x-108000；(2)解：令-20x2+3000x-108000=2500，解得x1=85，x2=65，∵要最大程度的减少库存，∵x=65．答：黑木耳的销售单价为65元；(3)解：∵规定该黑木耳的销售单价不低于76元，且要完成每天不少于240千克的销售任务，∵76240xy≥⎧⎨≥⎩，即76201800240xx≥⎧⎨-+≥⎩．解得76≤x≤78，由（1）得，w=-20x2+3000x-108000=-20（x-75）2+4500，∵当x=76时，w取得最大值，此时w=4480，答：每天销售黑木耳获得的最大利润是4480元．【点拨】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．举一反三：【变式1】商店销售某种利润率为50%的商品，现在的售价为30元/千克，每天可卖100千克，现准备对价格进行调整，由实际销售经验可知，售价每涨1元销售量要少卖10千克，设涨价后的销专单价为x（元/千克），且物价局规定每千克的利润不低于12元且不高于18元．(1)该商品的购进价格是每千克多少元？(2)若商店某天的利润为750元，求售价为多少元？(3)求该商店每天销售这种商品的最大利润．【答案】(1)该商品的进价为20元；(2)商店某天的利润为750元，求售价为25元；(3)x＝32时，W有最大值960元．【分析】（1）设进价为a元，根据题意列出一元一次方程，故可求解；（2）根据题意列出一元二次方程，故可求解；（3）根据题意列出二次函数，根据函数的性质即可求解．(1)解：设进价为a元，∵利润率为50%，∵a（1+50%）＝30，解得：a＝20，所以该商品的进价为20元；(2)解：∵物价局规定每千克的利润不低于12元且不高于18元．∵12≤x﹣20≤18∵x的取值为32≤x≤38根据题意得：[100﹣10（x-30）]（x﹣20）＝750∵（400﹣10x）（x﹣20）＝750，解得：x1＝35，x2＝25（不合题意，舍去），∵x＝35，∵商店某天的利润为750元，求售价为35元；(3)解：设每天的利润为W，则W＝（400﹣10x）（x﹣20）＝﹣10x2+600x﹣8000＝﹣10（x﹣30）2+1000，∵12≤x﹣20≤18，∵32≤x≤38，∵-10＜0，抛物线开口向下，故x＞30时，y随x增大而减小，∵x＝32时，W有最大值960元．【点拨】此题主要考查二次函数、一元二次方程及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出函数或方程．【变式2】端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设猪肉粽每盒售价x元，y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）．(1)猪肉粽和豆沙粽每盒的进价分别为元和元；(2)若每盒利润率不超过50%，问猪肉粽价格为多少元时，商家每天获利1350元？(3)若x满足50≤x≤65，求商家每天的最大利润．【答案】(1)40；30(2)55元(3)1750元【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a−10）元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；（2）根据利润率得到x的取值范围，再根据每盒利润×销售量＝1350列出方程，解方程即可；（3）列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值．(1)解：设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a−10）元，则8000600010a a=-，解得a＝40，经检验a＝40是方程的解，∵猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，故答案为：40，30；(2)解：∵每盒利润率不超过50%，∵40≤x≤60，由题意得，（x−40）[100−2（x−50）]＝1350，整理得，x2−140x＋4675＝0，解得x1＝85（舍去），x2＝55．答：猪肉粽价格为55元时，商家每天获利1350元；(3)解：设商家的利润为y元，∵y＝x[100−2（x−50）]−40×[100−2（x−50）]＝−2x2＋280x−8000，配方得：y＝−2（x−70）2＋1800，∵x＜70时，y随x的增大而增大，∵当x＝65时，y取最大值，最大值为1750．答：最大利润为1750元．【点拨】本题考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式．5、图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向出击时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如下表所示．根据相关信息解答下列问题． 飞行时间/s t0 1 2 飞行高度/m h 0 15 20(1)求小球的飞行高度h （单位：m ）关于飞行时间t （单位：s ）的二次函数关系式；(2)小球从飞出到落地要用多少时间？(3)小球的飞行高度能否达到205m .？如果能，请求出相应的飞行时间；如果不能，请说明理由．【答案】(1)2520h t t =-+(2)4s (3)不能，理由见分析【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）令h =0即可求解；（3）令20.5h =，得到方程无解即可判断．(1)解：由题意可设h 关于t 的二次函数关系式为2h at bt =+，因为当1t =，2时，15h =，20，∵152042a b a b =+⎧⎨=+⎩， 解得：520a b =-⎧⎨=⎩． ∵h 关于t 的二次函数关系式为2520h t t =-+．(2)解：当0h =，25200t t -+=，解得：10t =，24t =．∵小球从飞出到落地所用的时间为4s ．(3)解：小球的飞行高度不能达到205m .．理由如下：当20.5h =时，252020.5t t -+=，方程即为252020.50t t -+=，∵()2Δ204520.50=--⨯⨯<，∵此方程无实数根． 即小球飞行的高度不能达到205m .． 【点拨】此题主要考查一元二次方程与二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意求出函数解析式，再根据题意进行解答．举一反三：【变式1】 2021年东京奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优异成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB 长为2米，跳板距水面CD 的高BC 为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k 米，现以CD 为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系．(1)当4k =时，求这条抛物线的解析式．(2)当4k =时，求运动员落水点与点C 的距离．(3)图中92CE =米，5CF =米，若跳水运动员在区域EF 内（含点E ，F ）入水时才能达到训练要求，求k 的取值范围．【答案】(1)y =-（x -3）2+4(2)5米(3)2745k ≤≤【分析】（1）根据抛物线顶点坐标M （3，4），可设抛物线解析为：y =a （x -3）2+4，将点A （2，3）代入可得；（2）在（1）中函数解析式中令y =0，求出x 即可；（3）若跳水运动员在区域EF 内（含点E ，F ）入水达到训练要求，则在函数y =a （x -3）2+k ，中，当92x =米，y >0，当5x =时，y =0，解不等式，即可求解． (1)解：如图，根据题意得：抛物线顶点坐标M （3，4），A （2，3）可设抛物线解析为：y =a （x -3）2+4，∵3=a （2-3）2+4，解得：a =-1，∵抛物线解析式为：y =-（x -3）2+4；(2)解：由题意可得：当y =0时， 0=-（x -3）2+4，解得：x 1=1，x 2=5，∵抛物线与x 轴交点为：（5，0），∵当k =4时，运动员落水点与点C 的距离为5米；(3)解：根据题意，抛物线解析式为：y =a （x -3）2+k ，将点A （2，3）代入得：a +k =3，即a =3-k ，若跳水运动员在区域EF 内（含点E ，F ）入水，当92x =时，29302y a k ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，即904a k +≥， ∵()9304k k -+≥，解得：275k ≤， 当5x =时，()2530y a k =-+≤，即40a k +≤，∵()430k k -+≤，解得：4k ≥，∵跳水运动员在区域EF 内（含点E ，F ）入水时才能达到训练要求，k 的取值范围为2745k ≤≤． 【点拨】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出二次函数解析式是解题基础，判断入水的位置对应的抛物线上点的坐标特点是解题关键．【变式2】 如图所示的是小青同学设计的一个动画示意图，某弹球P （看作一点）从数轴上表示﹣8的点A 处弹出后，呈抛物线y ＝﹣x 2﹣8x 状下落，落到数轴上后，该弹球继续呈现原抛物线状向右自由弹出，但是第二次弹出高度的最大值是第一次高度最大值的一半，第三次弹出的高度最大值是第二次高度最大值的一半，…，依次逐渐向右自由弹出．(1)根据题意建立平面直角坐标系，并计算弹球第一次弹出的最大高度．(2)当弹球P 在数轴上两个相邻落点之间的距离为4时，求此时下落的抛物线的解析式．【答案】(1)16(2)y ＝﹣（x ﹣2（x ﹣24）【分析】（1）根据题意建立坐标系，根据函数解析式求出最大值即可；（2）分别求出弹球第二次、第三次的解析式，以及落地见的距离，当落地之间距离为4时求出解析式即可．(1)解：根据弹球弹出的位置和函数解析式建立如图所示坐标系：∵抛物线解析式为y ＝﹣x 2﹣8x ＝﹣（x ﹣4）2+16，∵函数最大值为16，∵弹球第一次弹出的最大高度为16；(2)解：当y ＝0时，则﹣x 2﹣8x ＝0，解得：x 1＝0，x 2＝﹣8，∵第一次相邻两落点之间的距离为：|﹣8﹣0|＝8，设第二次弹出时，弹球下落的抛物线的解析式为y ＝﹣x （x ﹣b ），当x 2b =时，y ＝1612⨯=8，∵2b -⨯（2b -）＝8， 解得b ＝2b ＝﹣2，∵所求抛物线的解析式为y ＝﹣x （x ﹣2，∵第二次相邻两落点之间的距离为2设第三次弹出时，弹球下落的抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣2（x ﹣c ），当x 22c =时，y ＝16212⨯=4， 解得c ＝24或c ＝24（舍去），∵所求抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣2（x ﹣24），∵第三次相邻两落点之间的距离为24﹣2|＝4，∵相邻两落点之间的距离为4时，弹球下落抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣2（x ﹣24）．【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求出函数关系式是解题的关键．6、如图，从某建筑物的窗口A 处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），点A 离地面的高度为6米，抛物线的最高点P 到墙的垂直距离为2米，到地面的垂直距离为8米，如图建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)求水落地离墙的最远距离OB ．【答案】(1)21(2)82y x =--+(2)6米 【分析】（1）根据题意可知该抛物线顶点坐标，且经过点A （0，6），即可设抛物线的解析式为2(2)8y a x =-+，再将A （0，6）代入，求出a 即可；（2）对于该抛物线解析式，令y =0，求出x 的值即可．(1)解：由题意可知抛物线的顶点坐标为（2，8），且经过点A （0，6），∵设抛物线的解析式为2(2)8y a x =-+，把A （0，6）代入得486a +=，解得：12a =-， ∵21(2)82y x =--+． (2)解：令0y =，得()212802x --+=， 解得：16x =，22x =-（舍去），∵水落地离墙的最远距离为6米．【点拨】本题考查二次函数的实际应用．根据题意，利用待定系数法求出解析式是解答本题的关键．举一反三：【变式1】如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA ，O 恰好在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式可以用2y x bx c =-++表示，且抛物线经过点15,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，72,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭．请根据以上信息，解答下列问题：(1)求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA 的高度；(2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？【答案】(1)喷水装置OA 的高度为74米；(2)喷出的水流距水面的最大高度是114米；(3)水池的半径至少要11【分析】（1）将点B 、C 坐标代入y ＝﹣x 2+bx +c 列方程组求出b 、c 的值即可得解析式，令x ＝0可得y 的值，即喷水装置OA 的高度；（2）将抛物线解析式配方成顶点式即可得其最大值，即水流距水面的最大高度； （3）令y ＝0可得对应x 的值．(1)解：根据题意，将点B （12，52），C （2，74）代入y ＝﹣x 2+bx +c ， 得：22115()2227224b c b c ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，解得：274b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴y 与x 的函数关系式为：y ＝﹣x 2+2x +74，当x ＝0时，y ＝74，∴喷水装置OA 的高度为74米；(2)解：∵y ＝﹣x 2+2x +74＝﹣（x ﹣1）2+114，∴当x ＝1时，y 取得最大值114， 故喷出的水流距水面的最大高度是114米； (3)解：当y ＝0时，﹣x 2+2x +74＝0，解得：x 1＝1﹣112，x 2＝112∵x 1＝1110，不合题意，舍去， ∴x 2＝11 答：水池的半径至少要11【点拨】本题是二次函数的实际应用，掌握抛物线顶点、与x 轴交点、y 轴交点的实际意义是。

二次函数与实际问题一、引言二次函数是高中数学中非常重要的一部分，它在实际生活中有着广泛的应用。

本文旨在介绍二次函数的基本概念、性质以及如何应用到实际问题中。

二、二次函数的定义与性质1. 二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a,b,c为常数，x,y为自变量和因变量。

2. 二次函数的图像特征（1）对称轴：x=-b/2a（2）顶点：(-b/2a, c-b²/4a)（3）开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

（4）零点：即方程ax²+bx+c=0的解。

当b²-4ac>0时，有两个不相等实根；当b²-4ac=0时，有一个重根；当b²-4ac<0时，无实根。

3. 二次函数与一次函数、常数函数的比较（1）一次函数y=kx+b是一个斜率为k、截距为b的直线。

（2）常数函数y=c是一个水平直线，其值始终为c。

（3）与一次函数相比，二次函数具有更加复杂的图像特征；与常数函数相比，二次函数具有更加丰富的变化。

三、二次函数的应用1. 最值问题对于二次函数y=ax²+bx+c，当a>0时，其最小值为c-b²/4a，即顶点的纵坐标；当a<0时，其最大值为c-b²/4a。

2. 零点问题对于二次函数y=ax²+bx+c，求其零点即为求解方程ax²+bx+c=0的解。

可以使用求根公式或配方法等方式来求解。

3. 优化问题在实际生活中，很多问题都可以转化为求某个目标函数的最大值或最小值。

例如，在制作一个长方形纸箱时，如何使得纸箱的容积最大？假设纸箱长为x，宽为y，高为h，则容积V=xyh。

由于长和宽已知，因此我们只需要确定h的取值范围，并找出使得V最大的h即可。

由于纸箱需要稳定，在实际中我们还需要考虑其他因素（如纸板厚度等），从而确定出一个合适的取值范围。

二次函数与实际问题典型例题摘要：一、二次函数简介1.二次函数的定义2.二次函数的图像和性质二、二次函数与实际问题的联系1.实际问题中的二次函数模型2.二次函数在实际问题中的应用案例三、二次函数典型例题解析1.求解二次函数的顶点坐标2.求解二次函数的图像与x 轴的交点3.求解二次函数的最值问题4.二次函数在实际问题中的综合应用正文：二次函数与实际问题典型例题一、二次函数简介二次函数是数学中一种常见的函数形式，一般表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 为常数，x 为自变量。

二次函数的图像通常为抛物线，具有一定的对称性和顶点特征。

根据a 的值，二次函数可以分为开口向上或向下的两种情况，分别具有不同的性质。

二、二次函数与实际问题的联系1.实际问题中的二次函数模型在实际问题中，二次函数常常作为问题的数学模型出现。

例如，物体在重力作用下的自由落体运动、抛射物体的运动轨迹、电池的放电过程等都可以用二次函数来描述。

2.二次函数在实际问题中的应用案例（1）物体自由落体运动：假设物体从高度h 自由落下，空气阻力不计，仅受重力作用。

根据牛顿第二定律，物体下落的速度v 与时间t 的关系可以表示为v = gt - 1/2gt^2，其中g为重力加速度。

可以看出，这是一个开口向下的二次函数模型。

（2）抛射物体运动：假设一个物体在水平方向以初速度v0 抛出，仅受重力作用。

根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上的运动可以表示为h = v0t - 1/2gt^2，其中h为物体的高度，t为时间。

这也是一个开口向下的二次函数模型。

三、二次函数典型例题解析1.求解二次函数的顶点坐标顶点坐标是二次函数的一个重要特征，可以通过公式法或配方法求解。

例如，对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，顶点的x 坐标为x = -b/2a，y坐标为y = f(x) = c - b^2/4a。

2.求解二次函数的图像与x 轴的交点二次函数与x 轴的交点即为函数值为0 时的自变量解。

人教版义务教育课程标准教科书九年级数学下册实际问题与二次函数(第3课时)教学设计实际问题与二次函数（第3课时）教学过程设计问题与情境师生行为设计意图一、创设情境引出问题（本环节大约需要1分钟）同学们，你们知道世界上最早的石拱桥是哪一座吗（学生回答：赵州桥）其实，最早的石拱桥是位于我们漯河的小商桥！因为，在1982年的9月，桥梁专家茅以升曾派考察组进行了实地考察，认定小商桥的建造时间比赵州桥还要早！更令我们漯河人自豪的是，2003年3月29日，国家邮政局发行的《中国古桥—拱桥》邮票中，第2枚就是我们漯河的小商桥！结构独特的小商桥在桥拱的造型上就用到了我们的数学知识——美丽的抛物线，今天，我们就来学习抛物线在拱桥中的有关应用。

首先，请看由小商桥呈现的问题情境1。

（漯河小商桥图片）教师用满腔的热爱家乡之情去感染每一位学生，并引导学生观察桥拱的形状。

学生聆听并欣赏图片：教师关注：学生是否对教师提出的知识产生深厚的兴趣，注意力是否迅速集中，最后是否注意到了桥拱的形状。

通过学生的认知冲突，激发了学生的好奇心和学习的兴趣，同时为探究二次函数的实际应用提供了背景材料。

问题与情境师生行为设计意图二、解决问题做好铺垫（本环节大约需要5—6分钟）如图是小商桥的桥拱，把它的图形放在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为：y= 21218x-+(1) 拱桥的最高点离水面多少米(2) 拱桥的跨度是多少米(3) 若在跨度中心点O左右3米处各垂直竖立一根石柱支撑拱桥，则石柱有多高教师展示问题情境，并读题。

学生观看动画演示之后，先独立思考，自主解答，然后展示成果。

教师关注：（1）学生能否将问题中所求线段转化为求点的坐标；（2）学生的书写是否正确规范。

（1）初步感受用二次函数可以解决拱桥中一些简单的实际问题。

（2）渗透数形结合的数学思想；（3）为下一环节的探究新知做好铺垫。

问题与情境师生行为设计意图三、组织活动探究新知（本环节大约需要18分钟）活动（一）：自主探究温馨提示：可以自主探究，也可以参一：通过不同层次的引导，激励每一位学生都能积极主动的参与学习yyxA B XOA BC背景图片：（漯河彩虹桥）（课本P 25探究3）如图是抛物线形的拱桥，当水面在l 时，拱桥离水面2米，水面宽4米。

课题：22.3实际问题与二次函数(3)设计：如皋市石庄镇初级中学张小军教学目标1．利用实际问题中变量关系建立二次函数模型，并运用二次函数的知识解决实际问题．2．体会二次函数解决实际问题时，如何建立适当的坐标系从而使解题简便．重点难点重点：利用实际问题中变量关系建立二次函数模型难点：如何建立适当的坐标系使解题简便教法学法教法：借助于现代教育技术，创设“生活数学”情境，利用电子交互白板形成“抽象数学”，在师生互动中，促进“四基”的生成。

学法：自主探究、动手实践、合作交流、全面展示。

教学流程设计意图一、创设情境、引入课题以标题拱桥图片引入课题二、探究新知、解决问题：活动一探索抛物线形拱桥水面宽度问题，获得利用数学方法解决实际问题的经验下图是抛物线形拱桥，当拱高离水面2m时，水面宽4m．水面下降1m，水面宽度增加多少？归纳：遇到此类问题时，我们一般会怎么做？让学生经历从生活情境中抽象出数学模型的过程。

让学生经历探索抛物线形拱桥水面宽度问题，获得利用数学方法解决实际问题的经验．活动二进一步巩固解题方法，选择合适的坐标系，建立模型1．某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，如图所示，则厂门的高是多少？（水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1米）2．永和大桥(钢管混凝土拱桥)是南宁市的一标志性建筑，其拱桥图形为抛物线的一部分(如图)，在正常情况下，位于水面上的桥拱跨度为400 m，拱高为9m．（1）在所给的直角坐标系中假设抛物线的表达式为y=ax2+b，请你根据上述数据求出a，b的值，并写出抛物线的表达式；（2）七月份讯期将要来临，当江水位上涨后，位于水面上的桥拱跨度将会减小，当水位上涨3m时，位于水面上的桥拱跨度有多大?四、归纳小结通过本节课的学习你有什么收获？【检测反馈】1．如图，小红家门前有一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面1m，水面宽4 m，水面下降1 m时，水面宽度增加．2．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时，AB宽20m，水位上升到警戒线CD时，CD到拱桥顶E的距离仅为1m，这时水面宽度为10m ．（1）在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.3m的速度上升，从正常水位开始，持续多少小时到达警戒线？适时的归纳有利于学生知识网络的建构.通过综合练习，巩固学生对抛物线形拱桥水面宽度问题认识，提高学生解决此类问题的能力。