2019-2020学年高中数学课时分层作业17平面图形的面积简单几何体的体积

1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(B)A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π(方法1：割补法由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B. (方法2：估值法)由题意知，12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π，所以45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．故选B.2．(2018·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(C)A.13＋23πB.13＋23π C.13＋26π D ．1＋26π由三视图知，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×43π×(22)3＝13＋26π.故选C. 3．(2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为(B)A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3由等边△ABC 的面积为93可得34AB2＝93， 所以AB ＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝33AB ＝2 3. 设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R2－r2＝16－12＝2.所以三棱锥D-ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D-ABC 体积的最大值为13×93×6＝18 3. 4．(2018·长沙市一中二模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为(A)A ．8＋82＋4 6B ．8＋82＋2 6C ．2＋22＋ 6 D.12＋22＋64将三视图还原为空间几何体，如图，四面体D-ABC.因为S △ABC ＝12×2×4＝4， S △BCD ＝12×2×4＝4， S △DAC ＝12×43×22＝46， S △ABD ＝12×42×4＝8 2. 所以四面体的表面积为S ＝S △ABC ＋S △BCD ＋S △DAC ＋S △ABD ＝8＋82＋4 6.5．(2018·山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为 2＋π2.该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，所以V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2. 6．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为__402π__．如图，因为SA 与底面成45°角，所以△SAO 为等腰直角三角形．设OA ＝r ，则SO ＝r ，SA ＝SB ＝2r.在△SAB 中，cos ∠ASB ＝78，所以sin ∠ASB ＝158， 所以S △SAB ＝12SA·SB·sin ∠ASB ＝12(2r)2·158＝515， 解得r ＝210，所以SA ＝2r ＝45，即母线长l ＝45，所以S 圆锥侧＝πr·l ＝π×210×45＝402π.7．如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台．(1)求这个奖杯的体积(π取3.14)；(2)求这个奖杯的底座的侧面积．(1)球的体积V 球＝43πr3＝36π， 圆柱的体积V 圆柱＝Sh1＝64π，正四棱台的体积是V 正四棱台＝13h2(S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝336， 所以此几何体的体积是V ＝36π＋64π＋336＝100π＋336＝650(cm3)．(2)因为底座是正四棱台，所以它的斜高是h′＝－＋42＝5，所以它的侧面积是 S 侧＝4×12×(6＋12)×5＝180 (cm2)．8．(2018·惠州9月月考)若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为(A)A ．3B ．2 2C ．2 3D ．3 3此四棱锥为正四棱锥，设此四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则13a2h ＝9，则a2＝27h，再设其外接球的半径为R ，则在△COE 中，R2＝(h －R)2＋(22a)2， 所以R ＝h2＋12a22h ＝h 2＋a24h ＝h 2＋274h2. 设f(h)＝h 2＋274h2，则f′(h)＝12－272h3， 令f′(h)＝0，解得h ＝3，分析可知f(h)在h ＝3时有最小值，故选A.9．(2018·浙江卷)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 12.在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，所以AC ＝ 22＋22－－12＝2 3. 设CD ＝x ，则AD ＝23－x ，所以PD ＝23－x ，所以VP-BCD ＝13S △BCD·h≤13×12BC·CDsin 30°·PD ＝16×2x×12×(23－x) ＝16x(23－x)≤16(x ＋23－x 2)2 ＝16×(232)2＝12， 当且仅当x ＝23－x ，即x ＝3时取“＝”，此时PD ＝3，BD ＝1，PB ＝2，满足题意．10．(2018·全国卷Ⅰ选择题改编)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，求所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值．如图，连接OD ，交BC 于点G ，由题意，知OD ⊥BC ，OG ＝36BC. 设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ， 三棱锥的高h ＝DG2－OG2＝25－10x ＋x2－x2＝25－10x ，S △ABC ＝12×23x×3x ＝33x2， 则三棱锥的体积 V ＝13S △ABC·h ＝3x2·25－10x ＝3·25x4－10x5. 令f(x)＝25x4－10x5，x ∈(0，52)， 则f′(x)＝100x3－50x4.令f′(x)＝0得x ＝2.当x ∈(0,2)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x ∈(2，52)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减． 故当x ＝2时，f(x)取得最大值80，则V≤3×80＝415.所以三棱锥体积的最大值为415 cm3.。

《简单几何体的表面积与体积》说课稿各位老师，大家好：今天我说课的内容是《简单几何体的表面积与体积》。

本节位于必修课程主题三几何与代数对应立体几何初步这一单元。

本节之前从形的角度认识了空间几何体，接下来将从度量的角度进一步认识空间几何体。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学分析、教学评价等六方面加以分析和说明。

一、说教材分析。

1. 内容结构：2.内容分析：本节主要内容是简单几何体的表面积和体积的计算方法，是在前面学习了基本立体图形的分类、概念、结构特征、平面表示的基础上，从度量的角度进一步认识简单几何体．也是研究生产、生活中更复杂形状的物体的表面积和体积的基础。

本节内容包括棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积．3.育人价值：在实际教学过程中，在对简单几何体的表面积与体积公式的了解与使用公式解决简单的实际问题过程中，提高学生逻辑推理、数学运算、直观想象等素养和空间想象等能力，让学生体会数学来源于生活，激发学习激情。

二、说学情分析。

1.学生在小学、初中阶段已经学习了正方体、长方体、圆柱的表面积和体积以及圆锥体积的计算方法．2.通过之前的学习，学生已经熟悉一些平面图形和空间几何体的互化的思想，尤其是空间几何问题向平面问题的转化。

3.学习圆的面积公式时“分割、近似替代、求和、取极限”这种思想已有体现，现在需要学生进一步体会这种重要思想方法。

三、说教学目标。

目标：1）.掌握简单几何体的表面积和体积公式，并能利用这些公式解决简单的实际问题； 简单几何体的表面积和体积 柱体、椎体、台体的表面积和体积 球的表面积和体积（第三课时） 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积（第二课时） 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(第一课时) 球的体积球的表面积2）.柱体、锥体、台体、球的体积公式的推导过程，掌握探究过程中的类比、一般化与特殊化、极限等数学思想方法，并尝试使用这些数学思想方法进行数学学习．目标分析：（1）学生能结合基本立体图形的结构特征掌握简单几何体的表面积和体积公式；能从联系的角度认识柱体、锥体、台体的体积公式的联系。

§3 定积分的简单应用3．1 平面图形的面积3．2 简单几何体的体积 课时目标 进一步理解定积分的概念和性质，能用定积分求简单的平面曲线围成图形的面积；了解定积分在旋转体体积方面的应用．1．平面图形的面积表示一般地，设由曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面图形的面积为S ，则________________________．2．旋转体的体积旋转体可以看作由连续曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体的体积为V ＝ʃb a π[f (x )]2d x .一、选择题1．将由y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π，y ＝0所围图形的面积写成定积分形式为( )A ．ʃπ0cos x d xB ．ʃπ20cos x d x ＋|ʃππ2cos x d x | C ．ʃπ02sin x d x D ．ʃπ02|cos x |d x2．由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x及x 轴所围图形的面积为( ) A.154 B.174 C.12ln2 D ．2ln2 3．由曲线y ＝x 3、直线x ＝－2、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积是( )A ．ʃ2－2x 3d xB ．|ʃ2－2x 3d x |C ．ʃ2－2|x 3|d xD ．ʃ20x 3d x ＋ʃ0－2x 3d x4．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积是( )A ．ʃ20(x 2－1)d xB ．|ʃ20(x 2－1)d x |C ．ʃ20|x 2－1|d xD ．ʃ10(x 2－1)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x5．由y ＝x 2，x ＝0和y ＝1所围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积可以表示为( )A ．V ＝πʃ10(y )2d y ＝π2B ．V ＝πʃ10[12－(x 2)2]d x ＝45π C ．V ＝πʃ10(x 2)2d y ＝π5D ．V ＝πʃ10(12－x 2)d x ＝45π 6．由y ＝e －x ，x ＝0，x ＝1围成的平面区域绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为( )A.π2(1－e －2)B.π2C.π2(1－e)D.π2e －2 二、填空题7．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________．8．直线x ＝k 平分由y ＝x 2，y ＝0，x ＝1所围图形的面积，则k 的值为________．9．曲线y ＝2x，直线x ＝2，x ＝3与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积是________．三、解答题10．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围成的图形的面积．11.求由曲线y ＝4x －x 2和直线y ＝x 所围成的图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积．能力提升12．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112B.14C.13D.71213．在曲线y ＝x 2 (x ≥0)上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112.求切点A 的坐标以及切线方程．1．明确利用定积分求平面图形面积的步骤，会将曲线围成的曲边梯形的面积表示成定积分的形式，并能求出面积．求解时一般先画出草图，确定积分变量，求交点确定积分上、下限，再利用定积分求得面积．特别地要注意，当所围成的图形在x 轴下方时，求面积需对积分取绝对值．2．对求体积的有关问题，要结合函数的形式写清对应的定积分，然后求出所对应的体积．答 案知识梳理1．S ＝ʃb a f (x )d x －ʃb a g (x )d x作业设计1．B [定积分可正，可负，但不论图形在x 轴上方还是在x 轴下方面积都是正数，故选B.]2．D [所求面积ʃ2121x d x ＝ln x |212＝ln 2－ln 12＝2ln 2.] 3．C 4.C 5.B6．A [V ＝πʃ10(e－x )2d x ＝πʃ10e－2x d x ＝－π2e －2x |10＝π2(1－e －2)．] 7.193解析由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋4y ＝5x ，得x ＝1或x ＝4.所求面积为S ＝ʃ10(x 2＋4－5x )d x ＋ʃ41(5x －x 2－4)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋4x －52x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 2－13x 3－4x |41＝193. 8. 342解析 作平面图形，如右图所示．由题意，得ʃk 0x 2d x ＝12ʃ10x 2d x 即13x 3|k 0＝16x 3|10. ∴13k 3＝16，k ＝342. 9.23π解析 V ＝ʃ32π·(2x )2d x ＝－4πx |32＝23π. 10. 解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3， 解得x ＝0或x ＝3.∴S ＝ʃ30(x ＋3)d x －ʃ30(x 2－2x ＋3)d x＝ʃ30[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝ʃ30(－x 2＋3x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 2|30＝92. ∴所围成的图形的面积为92. 11．解 由y ＝4x －x 2得顶点P (2,4)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －x 2y ＝x ，得交点Q (3,3)，O (0,0)． 如图所示又由上图知V ＝π·ʃ30y 2d y ＋πʃ43(2＋4－y )2d y －πʃ40(2－4－y )2d y ＝π·13y 3|30＋π⎣⎢⎡⎦⎥⎤4y －834－y 32＋4y －12y 2|43－π⎣⎢⎡⎦⎥⎤4y ＋834－y 32＋4y －12y 2|40 ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫273＋4＋283＋4－72－16＋162＝272π. 12．A [由题可知y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为ʃ10(x 2－x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4|10 ＝13－14＝112.] 13．解 由题意可设切点A 的坐标为(x 0，x 20)，则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，可得切线与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.画出草图，可得曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 0x －x 20与x 轴所围图形如图所示． 故S ＝S 1＋S 2＝ʃx 020x 2d x ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0x 02x 2d x －x 0x 022x 0x －x 20d x ＝13x 3|x 020＋13x 3|x 0x 02－(x 0x 2－x 20x )|x 0x 02＝x 3012＝112， 解得x 0＝1，所以切点坐标为A (1,1)，所求切线方程为y ＝2x －1.。

课时分层作业(十七)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．若y ＝f (x )与y ＝g(x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( )A.⎠⎛a b[f (x )－g(x )]d x B.⎠⎛a b [g(x )－f (x )]d x C.⎠⎛a b |f (x )－g(x )|d x D.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b [f (x )－g (x )]dx C [当f (x )>g (x )时， 所求面积为⎠⎛a b[f (x )－g(x )]d x ；当f (x )≤g(x )时，所求面积为⎠⎛ab [g(x )－f (x )]d x .综上，所求面积为⎠⎛ab|f (x )－g(x )|d x .]2．由抛物线y ＝x 2介于(0,0)点及(2,4)点之间的一段弧绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为( )A.45π B.165π C.85πD.325πD [V ＝π⎠⎛02(x 2)2d x ＝π5x 5⎪⎪⎪20＝325π.]3．如图，阴影部分的面积是( )A ．23B ．2－ 3C ．323D ．353C [S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3－x 2| 1－3＝323.]4．由xy ＝4，x ＝1，x ＝4，y ＝0围成的平面区域绕x 轴旋转所得的旋转体的体积是( )A ．6πB ．12πC ．24πD ．3πB [因为xy ＝4，所以y ＝4x ， V ＝π⎠⎛14y 2d x ＝π⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2d x＝16π⎠⎛14x －2d x ＝－16πx －1⎪⎪⎪41＝－16π⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝12π.]5．如图所示，平面直角坐标系xOy 中，阴影部分是由抛物线y ＝x 2及线段OA 围成的封闭图形，现在在△OAB 内随机的取一点P ，则P 点恰好落在阴影内的概率为( )A.23B.43C.49D.29D [由题得直线OA 的方程为y ＝2x ，所以图中阴影部分的面积为⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 32|0＝4－83＝43. S △AB O ＝12×3×4＝6.所以P 点恰好落在阴影内的概率为436＝29.] 二、填空题6．由曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为________．⎠⎛01(x －x 3)d x [画出y ＝x 和y ＝x 3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1．因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 3)d x .]7．由曲线y ＝e x2，直线x ＝0，x ＝1以及x 轴所围成的图形绕着x 轴旋转一周形成的几何体的体积是________．π(e －1) [体积V ＝π⎠⎛01e x d x ＝π(e －1)．]8．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为________．163 [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －2，得其交点坐标为(4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x ⎪⎪⎪40＝23×8－12×16＋2×4＝163.]三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图像如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为274，求a 的值．[解] 由题图知方程f (x )＝0有三个实根，其中有两个相等的实根x 1＝x 2＝0，于是b ＝0，所以f (x )＝x 2(x ＋a )，有274＝∫－a 0[0－(x 3＋ax 2)]d x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 44＋ax 33|－a 0＝a 412，所以a ＝±3.又－a >0⇒a <0，得a ＝－3.10．设两抛物线y ＝－x 2＋2x ，y ＝x 2所围成的图形为M ，求： (1)M 的面积；(2)将M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积． [解] 如图，M 为图中阴影部分．(1)图中M 的面积为 ⎠⎛01[(－x 2＋2x )－x 2]d x ＝⎠⎛01(－2x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x 3＋x 2⎪⎪⎪1＝13. (2)M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为π⎠⎛01[(－x 2＋2x )2－(x 2)2]d x ＝π⎠⎛01(－4x 3＋4x 2)d x＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 4＋43x 3⎪⎪⎪1＝π3.[能力提升练]1．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.1623C [∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1．如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图像和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分)，即S ＝4－2⎠⎛02x24d x ＝4－2·x 312| 20＝4－43＝83.] 2．已知过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( )A ．y ＝axB ．y ＝±axC ．y ＝－axD ．y ＝－5axA [显然，直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－2ax ，得交点坐标为(0,0)，(2a ＋k,2ak ＋k 2)，所以图形面积S ＝∫2a ＋k[kx －(x 2－2ax )]d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2a 2x 2－x 33| 2a ＋k 0 ＝(k ＋2a )32－(2a ＋k )33 ＝(2a ＋k )36.又因为S ＝92a 3，所以(2a ＋k )36＝92a 3，解得k ＝a ，所以直线l 的方程为y ＝ax .故选A .]3．一个半径为1的球可以看成是由曲线y ＝1－x 2与x 轴所围成区域(半圆)绕x 轴旋转一周得到的，则球的体积为________．4．由x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0，y ＝cos x 四条曲线所围成的封闭图形的面积为________．3 [根据余弦函数的对称性可得，直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为2∫π30cos x d x ＝2sin x |π30＝ 3.]5．已知曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，求曲线C 的过点P 的切线l 与曲线C 围成的图形的面积．[解] 设切线l 与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，由于y ′＝6x 2－6x －2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧6x 20－6x 0－2＝y 0x 0－12，y 0＝2x 30－3x 20－2x 0＋1，解得x 0＝0，于是切线l 的斜率k ＝－2， 方程为y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝－2x ＋1．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，y ＝－2x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故切线l 与曲线C 围成图形的面积为即所求面积为2732.。

§3 定积分的简单应用3.1 平面图形的面积 3.2 简单几何体的体积学 习 目 标核 心 素 养1．会用定积分求平面图形的面积．(重点) 2．会用定积分求简单几何体的体积．(难点) 3.理解建立实际问题的积分模型的基本过程和方法．(重点、难点)1．借助定积分求平面图形的面积和几何体的体积,提升学生的直观想象和数学运算的核心素养. 2．通过建立实际问题的模型,培养了学生的数学建模的核心素养.1．当x∈[a ,b]时,若f(x)>0,由直线x ＝a,x ＝b(a≠b),y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛a bf(x)dx.2．当x∈[a ,b]时,若f(x)<0,由直线x ＝a,x ＝b(a≠b),y ＝0和曲线y ＝f(x)围成的曲边梯形的面积S ＝－⎠⎛a bf(x)dx.3．当x∈[a ,b]时,若f(x)>g(x)>0,由直线x ＝a,x ＝b(a≠b)和曲线y ＝f(x),y ＝g(x)围成的平面图形的面积S ＝⎠⎛a b[f(x)－g(x)]dx.(如图)4．旋转体可看作由连续曲线y ＝f(x),直线x ＝a,x ＝b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的几何体,该几何体的体积为V ＝⎠⎛abπ[f(x)]2dx.1．由y ＝x 2,x ＝1和y ＝0所围成的平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为( ) A.π6 B.π4 C.π5D.4π5 C [V ＝π⎠⎛01y 2dx ＝π⎠⎛01(x 2)2dx ＝π5x 5⎪⎪⎪1＝π5.] 2．直线y ＝x,x ＝1及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积是( ) A ．πB ．π3C ．13D ．1B [V ＝⎠⎛01πx 2dx ＝π3x 3|10＝π3.]3．由y ＝x 2,y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝________.14[图形如图所示,S ＝⎠⎛01x 2dx －⎠⎛0114x 2dx＝⎠⎛0134x 2dx＝14x 3⎪⎪⎪1＝14.]利用定积分求平面图形的面积【例1】 (1)求由直线y ＝x ＋3,曲线y ＝x 2－6x ＋13所围图形的面积S ； (2)求由曲线y ＝x 2,直线y ＝2x 和y ＝x 围成的图形的面积．思路探究：(1)作出两函数的图像,并求其交点坐标．确定积分区间,利用定积分求面积S.(2)求出三条曲线的不同的交点横坐标,将积分区间细化,分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和,注意在每个区间上被积函数均是由上减下．[解] (1)作出直线y ＝x ＋3,曲线y ＝x 2－6x ＋13的草图,所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－6x ＋13，y ＝x ＋3，得交点坐标为(2,5)和(5,8)．因此,所求图形的面积S ＝⎠⎛25(x ＋3)dx －⎠⎛25(x 2－6x ＋13)dx ＝⎠⎛25(－x 2＋7x －10)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋72x 2－10x ⎪⎪⎪52＝92. (2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 解出O,A,B 三点的横坐标分别是0,1,2．故所求的面积S ＝⎠⎛01(2x －x)dx ＋⎠⎛12(2x －x 2)dx＝x 22⎪⎪⎪1＋⎝⎛⎭⎪⎫x 2－x 33⎪⎪⎪21＝12－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－83－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝76. 法二：由于点D 的横坐标也是2, 故S ＝⎠⎛02(2x －x)dx －⎠⎛12(x 2－x)dx＝x 22⎪⎪⎪2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22⎪⎪⎪21＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12＝76.法三：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 2′＝y 2,⎝ ⎛⎭⎪⎫23y 32－y 24′＝y －y2.故所求的面积为S ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 2dy ＋⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 2dy＝14y 2⎪⎪⎪1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23y 32－y 24⎪⎪⎪41＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23×8－14×16－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－14＝76.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤1．画出图形；2．确定图形范围,通过解方程组求出交点的坐标,定出积分上、下限； 3．确定被积函数,特别要注意分清被积函数图像上、下位置； 4．写出平面图形面积的定积分表达式；5．运用微积分基本公式计算定积分,求出平面图形的面积．1．由抛物线y ＝x 2－x,直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( ) A ．53 B ．1 C ．52D ．23⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22B [由图可知,所求面积S ＝⎠⎛-10(x 2－x)dx ＋⎠⎛01(x －x 2)dx ＝⎪⎪⎪－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33⎪⎪⎪1＝56＋16＝1．]求简单几何体的体积【例2】 求由曲线y ＝12x 2与y ＝2x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．思路探究：所求旋转体的体积可由两个不同的旋转体的体积作差得到,再利用定积分求解即可． [解] 曲线y ＝12x 2与y ＝2x 所围成的平面图形如图阴影部分所示．设所求旋转体的体积为V,根据图像可以看出V 等于曲线y ＝2x,直线x ＝2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 1)减去曲线y ＝12x 2,直线x ＝2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 2)．V 1＝⎠⎛02π(2x)2dx ＝2π⎠⎛02xdx ＝2π·12x 2|20＝4π,V 2＝⎠⎛02π⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 22dx ＝π4⎠⎛02x 4dx ＝π4×15x 5|20＝8π5,所以V ＝V 1－V 2＝4π－8π5＝12π5.定积分求几何体体积的方法1．两个曲线围成的图形的面积旋转而成的图形的体积是两个体积的差,即V ＝π⎠⎛abf 2(x)dx －π⎠⎛a b g 2(x )dx,而不能写成V ＝π⎠⎛ab[f(x)－g(x)]2dx.2．求简单旋转体的体积时,首先要画出平面图形,分析旋转体的形状,再利用体积的定积分表达式V ＝π⎠⎛ab f 2(x )dx 求解．2．设平面图形由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的曲线y ＝sin x 及直线y ＝12,x＝π2围成,求此图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．[解] 先画草图．设f(x)＝sin x,x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2,g(x)＝12. 则f(x)与g(x)的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12. V ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫122dx＝⎠⎜⎜⎛π6π2π⎝⎛⎭⎪⎫1－cos 2x 2－14dx ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12cos 2x dx ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －14sin 2x ⎪⎪⎪⎪π2π6＝π212＋38π.定积分的综合应用[探究问题]1．设a ＞0,若曲线y ＝x 与直线x ＝a,y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2,试求a 的值． [提示] 由已知得S ＝⎠⎛axdx ＝23x 32| a 0＝23a 32＝a 2,所以a 12＝23,所以a ＝49.2．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c>0)围成图形的面积是23,试求c 的值．[提示] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝cx 3，得x ＝0或x ＝1c.∵0<x<1c时,x 2>cx 3,∴S＝⎠⎜⎛01c (x 2－cx 3)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14cx 4⎪⎪⎪⎪1c＝13c 3－14c 3＝112c 3＝23. ∴c 3＝18,∴c＝12.【例3】 在曲线y ＝x 2(x≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112,试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．思路探究：设出切点坐标,写出切线方程,利用定积分可列方程,解方程求得切点坐标,进一步求出切线方程．[解] 设切点A(x 0,x 20),切线斜率为k ＝2x 0, ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)． 令y ＝0,得x ＝x 02,如图,.∴112x 30＝112,x 0＝1．∴切点A 的坐标为(1,1),切线方程为y ＝2x －1．定积分求面积的易错点1．本例中求面积S 时,易错误地写成S ＝⎠⎛0x0[x 2－(2x 0x －x 20)]dx.错误原因是没能分割好图形．2．关于导数与积分的综合题,要充分利用导数的几何意义,求切线的斜率或方程,利用定积分的几何意义求面积,进而解决问题．3．如图,设点P 在曲线y ＝x 2上,从原点向A(2,4)移动,如果直线OP,曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1,S 2．(1)当S 1＝S 2时,求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时,求点P 的坐标和最小值．[解] (1)设点P 的横坐标为t(0<t<2),则P 点的坐标为(t,t 2), 直线OP 的方程为y ＝tx.S 1＝⎠⎛0t (tx －x 2)dx ＝16t 3,S 2＝⎠⎛t 2(x 2－tx)dx ＝83－2t ＋16t 3.因为S 1＝S 2,所以t ＝43,点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.(2)S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83,S′＝t 2－2, 令S′＝0得t 2－2＝0.因为0<t<2,所以t ＝2,当0<t<2时,S′<0；2<t<2时,S′>0. 所以,当t ＝2时,S 1＋S 2有最小值83－423,此时点P 的坐标为(2,2)．1．求定积分和利用定积分计算平面图形的面积是两个不同的概念,定积分是一个和式的极限,它可正、可负、可为零,而平面图形的面积在一定意义下总为正,特别是当曲线有一部分在x 轴下方时,计算平面图形的面积易出错．2．求解简单平面图形的面积,可直接运用定积分的几何意义．先确定积分上、下限,一般为两交点的横坐标(或纵坐标),再确定被积函数,一般是上方曲线与下方曲线对应函数的差．这样求平面图形的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)曲线y ＝sin x,x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2与x 轴围成的图形的面积为⎠⎜⎜⎛π23π2sin xdx.( )(2)曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2,y ＝0围成的图形的面积为⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛12(2－x)dx.(3)曲线y ＝3－x 2与直线y ＝－1围成的图形的面积为⎠⎛-22(4－x 2)dx.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√2．用S 表示图中阴影部分的面积,则S 的值是( )A.⎠⎛acf(x)dxB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a cf (x )dx C.⎠⎛a bf(x)dx ＋⎠⎛bcf(x)dxD.⎠⎛bcf(x)dx －⎠⎛abf(x)dxD [∵x∈[a ,b]时,f(x)<0,x∈[b ,c]时,f(x)>0, ∴阴影部分的面积 S ＝⎠⎛b cf(x)dx －⎠⎛abf(x)dx.]3．由y ＝x 2,y ＝x 所围成的图形绕y 轴旋转所得到的旋转体的体积V ＝________.π6 [V ＝π⎠⎛01(y －y 2)dy ＝π6.] 4．计算由曲线y 2＝x,y ＝x 2所围图形的面积S.[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x2得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1．因此,所求图形的面积为 S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD ＝⎠⎛1xdx －⎠⎛01x 2dx ＝23x 32⎪⎪⎪1－13x 3⎪⎪⎪1＝23－13＝13.。

课时分层作业(十七) 向量数乘运算及其几何意义(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题 1.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋8b －a －2b 等于( )A ．2a －bB ．2b －aC ．b －aD ．a －bB [原式＝13(a ＋4b －4a ＋2b )＝13(－3a ＋6b ) ＝－a ＋2b ＝2b －a .]2．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( )【导学号：84352203】①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n .A ．①④B ．①②C ．①③D ．③④B [①正确．②正确．③错误．由m a ＝m b 得m (a －b )＝0当m ＝0时也成立，推不出a ＝b .④错误．由m a ＝n a 得(m －n )a ＝0当a ＝0时也成立，推不出m ＝n .]3．若5AB →＋3CD →＝0，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形D ．等腰梯形D [由5AB →＋3CD →＝0知，AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，故此四边形为梯形，又|AD →|＝|BC →|，所以梯形ABCD 为等腰梯形．]4．已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( )【导学号：84352204】①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0； ③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)； ④已知梯形ABCD ，其中AB →＝a ，CD →＝b . A ．①②B ．①③C ．②D ．③④A [对于①，可解得a ＝27e ，b ＝－87e ，故a 与b 共线；对于②由于λ≠μ.故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0则由λa －μb ＝0得a ＝μλb ，故a 与b 共线；对于③，当x ＝y ＝0时，a 与b 不一定共线；对于④，梯形中没有条件AB ∥CD ，可能AC ∥BD ，故a 与b 不一定共线．]5．如图2­2­31，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →＝( )图2­2­31A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → D [EC →＝12AB →，CF →＝23CB →＝－23AD →，所以EF →＝EC →＋CF →＝12AB →－23AD →.]二、填空题6．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. －13 [由题意可以设a ＋λb ＝λ1(－b ＋3a )＝3λ1a －λ1b ， 因为a 与b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧1＝3λ1，λ＝－λ1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝13，λ＝－13.]7．若AP →＝tAB →(t ∈R )，O 为平面上任意一点，则OP →＝________.(用OA →，OB →表示)【导学号：84352205】(1－t )OA →＋tOB → [AP →＝tAB →，OP →－OA →＝t (OB →－OA →)，OP →＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →.]8．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →||BC →|＝________.2 [∵OA →－3OB →＋2OC →＝0，∴OB →－OA →＝2(OC →－OB →)，∴AB →＝2BC →， ∴|AB →||BC →|＝2.] 三、解答题9．如图2­2­32，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB ＝13OB ，DC 与OA 交点为E ，设OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →.【导学号：84352206】图2­2­32[解]∵AC ＝BA ，∴A 是BC 的中点，∴OA →＝12(OB →＋OC →)，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b . ∴DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .10．设两个非零向量e 1，e 2不共线，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.问：是否存在实数k ，使得A ，B ，D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．[解] 设存在k ∈R ，使得A ，B ，D 三点共线，∵DB →＝CB →－CD →＝(e 1＋3e 2)－(2e 1－e 2)＝－e 1＋4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2. 又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →＝λDB →， ∴2e 1＋k e 2＝λ(－e 1＋4e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝－λ，k ＝4λ，∴k ＝－8，∴存在k ＝－8，使得A ，B ，D 三点共线．[冲A 挑战练]1．设a ，b 都是非零向量．下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |C [a |a |，b |b |分别表示a ，b 的单位向量．对于A ，当a ＝－b 时，a |a |≠b|b |；对于B ，当a ∥b 时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |；对于C ，当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b|b |；对于D ，当a ∥b 且|a |＝|b |时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |.综上所述，使a |a |＝b|b |成立的条件是a ＝2b ，选C.]2．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则( )【导学号：84352207】A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上D [因为PA →＋PB →＋PC →＝AB →，所以PA →＋PC →＝AB →＋BP →＝AP →， 所以2AP →＋PA →＋PC →＝3AP →， 所以(AP →＋PA →)＋(AP →＋PC →)＝3AP →， 即AC →＝3AP →，所以点P 在AC 边上，且为AC 的三等分点．] 3．如图2­2­33所示，给出下列结论：图2­2­33①PQ →＝32a ＋32b ；②PT →＝－32a －32b ；③PS →＝32a －12b ；④PR →＝32a ＋b .其中正确结论的序号是________．①③ [设PQ →＝x ，PT →＝y ，则a ＝13x ＋13y ，b ＝13x －13y ，解得x ＝32a ＋32b ，y ＝32a －32b .即PQ →＝32a ＋32b ，PT →＝32a －32b ，PS →＝13x ＋23y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋32b ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －32b ＝32a －12b ， PR →＝23x ＋13y ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋32b ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －32b ＝32a ＋12b . 故①③正确，②④错误．]4．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为________．3 [∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心． ∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.]5．如图2­2­34，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，AB →＝a ，AC →＝b .图2­2­34(1)用a ，b 分别表示向量AE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线.【导学号：84352208】[解] (1)∵AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，∴AE →＝23AD →＝13(a ＋b )，∵AF →＝12AC →＝12b ，∴BF →＝AF →－AB →＝－a ＋12b .(2)证明：由(1)知BF →＝－a ＋12b ，BE →＝－23a ＋13b ＝23⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12b ，∴BE →＝23BF →.∴BE →与BF →共线．又BE ，BF 有公共点B ，∴B ，E ，F 三点共线．。

课时分层作业(十七） 基本不等式的证明(建议用时：6０分钟)[基础达标练]一、选择题1．设ｔ=a +2ｂ,s =a ＋b 2+1，则t 与s 的大小关系是( ）A ．s ≥tＢ．s >ｔC ．ｓ≤ｔ ﻩＤ.s 〈tＡ [∵b 2＋1≥２b ，∴a ＋2ｂ≤a +b 2+1.］2.下列不等式中正确的是( ）A.a ＋错误!≥4 ﻩB ．a 2＋b 2≥4ａｂC 。

错误!未定义书签。

≥错误! ﻩD ．x 2+错误!≥2错误!D ［ａ＜0，则a +错误!未定义书签。

≥４不成立，故A 错; ａ＝1,b =1，ａ2＋ｂ2＜4ab ,故B 错；ａ＝4,b =16,则错误!未定义书签。

<错误!未定义书签。

,故C 错；由基本不等式可知D 项正确．]3．已知a >0，b >0,则下列不等式中错误的是( )A.ab ≤错误!未定义书签。

2 ﻩB.ab ≤a 2＋b ２2C 。

错误!未定义书签。

≥错误!未定义书签。

D 。

错误!≤错误!未定义书签。

2D [由基本不等式知A 、C 正确,由重要不等式知B 正确，由错误!未定义书签。

≥ab 得,a ｂ≤错误!未定义书签。

2，∴错误!≥错误!２，故选D.］4．若a >ｂ>0，则下列不等式成立的是( ）A ．a ＞b ＞错误!未定义书签。

＞a ｂB ．a ＞错误!未定义书签。

>＼ｒ(a ｂ）＞bＣ．a >错误!未定义书签。

＞b >错误!未定义书签。

D.a >错误!未定义书签。

>错误!>bﻬB ［ａ＝错误!>错误!未定义书签。

＞错误!>错误!未定义书签。

＝ｂ，因此只有B 项正确.]5．若a ＞0,b ＞０,且a +ｂ＝4,则下列不等式恒成立的是( ）Ａ.错误!＞错误!未定义书签。

ﻩB 。

错误!+错误!未定义书签。

≤１C 。

错误!未定义书签。

≥2 Ｄ。

错误!未定义书签。

≤错误!D ［由ａ+ｂ=4，得错误!未定义书签。

课时分层作业(十七) 均值不等式(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( ) A ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一 B ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一 C ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一 D ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一A [正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，∴4＝a ＋b ≥2ab ，即ab ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立．又4＝cd ≤⎝⎛⎭⎪⎫c ＋d 22，∴c ＋d ≥4，当且仅当c ＝d ＝2时，等号成立．综上，ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值都为2.] 2．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－4B [∵x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2(x －1)·1x －1＋6＝8，当且仅当x ＝2时，取“＝”，∴log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3，∴y min ＝3.] 3．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则xyz的最大值为( ) A ．1 B ．3 C ． 3 D ．4A [xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立．] 4．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16D ．不存在B [直线AB 的方程为x ＋2y ＝3，因为点P 在直线AB 的方程x ＋2y ＝3上，2x>0,4y>0，所以2x＋4y＝2x＋22y≥22x ·22y ＝22x ＋2y＝223＝4 2.]5．下列函数中，最小值为4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin xC ．y ＝e x＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81C [A 选项中当x <0时，y <0，不符合题意，B 选项中令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，y ＝t ＋4t，最小值为－5.C 选项，y ＝e x ＋4e x ，e x>0，所以y ≥24＝4.当且仅当e x＝4e x ，即x ＝ln 2时等号成立，D 选项中，当0<x <1时，y <0，不符合题意．] 二、填空题6．设a >0，b >0，给出下列不等式： ①a 2＋1>a ；②⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4； ③(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6A ．其中恒成立的是________．(填序号)①②③ [由于a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，故①恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2，∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4，故②恒成立； 由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b ≥21ab，故(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，故③恒成立；当a ＝3时，a2＋9＝6a ，故④不能恒成立．]7．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．12 [由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．]8．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．1 760 [设水池的造价为y 元，长方体底面的一边长为x m ，由于底面积为4 m 2，所以另一边长为4xm ．那么y ＝120·4＋2·80·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2·4x＝480＋320⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥480＋320·2x ·4x＝1 760(元)．当x ＝2，即底为边长为2 m 的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．] 三、解答题9．(1)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值．[解] (1)∵x <3，∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号，∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x＝3xy，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 10．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[解] (1)法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.法二：因为x ＞0，y ＞0,2x ＋8y －xy ＝0，所以xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，所以xy ≥8xy ，所以xy ≥8，xy ≥64.当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立，所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[能力提升练]1．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a >0，b >0，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，G ＝f (ab )，H ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，G ，H 的大小关系是( )A ．A ≤G ≤HB ．A ≤H ≤GC ．G ≤H ≤AD ．H ≤G ≤AA [因为a >0，b >0，所以a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b 且f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为减函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，即A ≤G ≤H .] 2．若lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，则xy 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3xy ＝x ＋y ＋1，因为 x >0，y >0，所以 3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1， 所以 3xy －2xy －1≥0， 即 3(xy )2－2xy －1≥0， 所以(3xy ＋1)(xy －1)≥0， 所以xy ≥1，所以 xy ≥1， 当且仅当 x ＝y ＝1 时，等号成立，所以 xy 的最小值为1.]3．已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为________． 1 [因为log 2x ＋log 2y ＝log 22xy －1≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－1＝2－1＝1，当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2，y ＝1时等号成立， 所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1.]4．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a＋1b≥2，对满足条件的a ，b 恒成立的是________．(填序号) ①③④ [ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，故①正确；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ≤a ＋b ＋a ＋b ＝4，故a＋b ≤2，②不正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2×⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝2，故③正确；1a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋a b ≥12(2＋2)＝2，故④正确．]5．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N ＋)的函数关系式； (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？ [解] (1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元， 总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x ) ＝200＋12x (x ＋1)·16(万元)．∴y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤100x －200－12x (x ＋1)·16 ＝16(－2x 2＋23x －50)(x ∈N ＋)． (2)年平均利润为 y x ＝16⎝⎛⎭⎪⎫23－2x －50x ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x. 又x ∈N ＋， ∴x ＋25x≥2x ·25x＝10，当且仅当x ＝5时，等号成立，此时y x≤16×(23－20)＝48.∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元．。

课时分层作业(十七)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于( ) A ．2a －b B ．2b －a C ．b －aD ．a －bB [原式＝13(a ＋4b －4a ＋2b )＝13(－3a ＋6b ) ＝－a ＋2b ＝2b －a .]2．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( )①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n .A ．①④B ．①②C ．①③D ．③④B [①正确．②正确．③错误．由m a ＝m b 得m (a －b )＝0，当m ＝0时也成立，推不出a ＝b .④错误．由m a ＝n a 得(m －n )a ＝0，当a ＝0时也成立，推不出m ＝n .]3．在四边形ABCD 中，若AB →＝3a ，CD →＝－5a ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形D ．非等腰梯形C [由条件可知AB →＝－35CD →，∴AB ∥CD ，又因为|AD →|＝|BC →|，所以四边形为等腰梯形．]4．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A ．34AB →－14AC → B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC → D ．14AB →＋34AC →A [如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.]5．已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( )①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0； ③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)； ④已知梯形ABCD ，其中AB →＝a ，CD →＝b . A ．①② B ．①③ C ．② D ．③④A [对于①，可解得a ＝27e ，b ＝－87e ，故a 与b 共线；对于②，由于λ≠μ，故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0，则由λa －μb ＝0得a ＝μλb ，故a 与b 共线；对于③，当x ＝y ＝0时，a 与b 不一定共线；对于④，梯形中没有条件AB ∥CD ，可能AC ∥BD ，故a 与b 不一定共线．]二、填空题6．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝ ． －13 [由题意可以设a ＋λb ＝λ1(－b ＋3a )＝3λ1a －λ1b ， 因为a 与b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧1＝3λ1，λ＝－λ1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝13，λ＝－13.即λ＝－13.]7．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →||BC →|＝ ．2 [∵OA →－3OB →＋2OC →＝0，∴OB →－OA →＝2(OC →－OB →)，∴AB →＝2BC →， ∴|AB →||BC →|＝2.] 8．已知在△ABC 中，点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝ ．3 [∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴MB →＋MC →＝－MA →， 又由AB →＋AC →＝mAM →得(MB →＋MC →)－2MA →＝mAM →， 即－3MA →＝mAM →＝－mMA →，所以m ＝3.] 三、解答题9．如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB ＝13OB ，DC 与OA 交点为E ，设OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →.[解] ∵AC ＝BA ，∴A 是BC 的中点，∴OA →＝12(OB →＋OC →)，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b . ∴DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .10．设两个非零向量e 1，e 2不共线，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2. 问：是否存在实数k ，使得A ，B ，D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．[解] 设存在k ∈R ，使得A ，B ，D 三点共线，∵DB →＝CB →－CD →＝(e 1＋3e 2)－(2e 1－e 2)＝－e 1＋4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2， 又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →＝λDB →， ∴2e 1＋k e 2＝λ(－e 1＋4e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝－λ，k ＝4λ，∴k ＝－8， ∴存在k ＝－8，使得A ，B ，D 三点共线．[能力提升练]1．设a ，b 都是非零向量．下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |C [a |a |，b |b |分别表示a ，b 的单位向量．对于A ，当a ＝－b 时，a |a |≠b|b |；对于B ，当a ∥b 时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |；对于C ，当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b|b |；对于D ，当a ∥b 且|a |＝|b |时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |.综上所述，使a |a |＝b|b |成立的条件是a ＝2b ，选C.]2．如图，在△ABC 中，延长CB 到D ，使BD ＝BC ，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则t ＝λ－μ的最大值是 ．3 [AE →，AD →共线，则AE →＝kAD →(0≤k ≤1)，又B 是CD 的中点，则AD →＝2AB →－AC →，AE →＝2kAB →－kAC →，又AE →＝λAB →＋μAC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ，μ＝－k ，∴λ－μ＝3k ≤3，故最大值为3.]。

课时作业11柱、锥、台的侧面展开与面积
，高为3，则该圆锥的表面积为
＋32＝
解析：由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱
，垂足为E，则DE＝4，
×(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝＋22＝
＝92＋6
由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱截去一个三棱锥得到的，如图所示，
，则该几何体的表面积
由三视图知该几何体是平行六面体，且底面是边长为
＝2×3×6＋2×3×3＋2×3×3
2＝1
，各面均为等边三角形的四面体
的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何
SD⊥BC，交BC于点D
⎛⎫a3
画圆锥及内接圆柱的轴截面(如图所示)。