01多项式的概念

4.1 整式第 2 课时多项式一、新课导入古希腊的欧几里得在《几何原本》中表述“如果将几个偶数相加，那么它们的和是偶数”，只能用极其冗长繁杂的原始定义加上文字语言来说明.教师：怎样用数学语言简单的描述这句话？师生活动：教师提问，学生思考，教师引出后续探究.二、探究新知知识点一：含字母式子的书写及意义观察：这些式子可以怎么分类？分别填入下面的框中.师生活动：教师提问，先由小组讨论，学生可以畅所欲言，然后请小组代表回答，教师对学生的回答予以恰当的评价与鼓励，并适时加以引导.教师：那像右边框中的数，我们可以统称为什么呢？我们一起来学习.探究：这些式子有什么特点？师生活动：通过色彩变化予以提示，引导学生说出自己的想法，适时更正，最后教师总结：都可以看作几个单项式的和.引出多项式的概念：多项式：几个单项式的和叫做多项式.回顾导入：现在，我们可以用字母来表示这些偶数.如果我们把第一个偶数表示为2a1，第二个偶数表示为2a2，第三个偶数表示为，那么第n个偶数可以表示为_____，它们的和用式子表示就是.师生活动：学生先独立解答，然后同桌交流，学生代表回答，教师指导更正.定义总结1.每个单项式叫做多项式的项.2.不含字母的项叫做常数项.3.每一项次数是几就叫做几次项.4.次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.5.多项式没有系数，但它的每一项有系数，系数也包含符号.师生活动：教师讲述概念，并引导学生回答右边多项式与这个概念如何对应.例题精析例1 用多项式填空，并指出它们的项和次数. (1) 一个长方形相邻两条边的长分别为a，b，则这个长方形的周长为.(2) m 为一个有期数，m 的立方与2 的差为.(3) 某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放a 辆. 为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收b 辆. 第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为.(4) 现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18 个相同的正方形和8 个相同的等边三角形围成. 如果其中正方形和等边三角形的边长都为a，等边三角形的高为b，那么这个印章的表面积答，锻炼由数学的思维与语言分析问题.通过师生合作，一起引出多项式的概念.设计意图：与导入的知识相联系，体验多项式在实际应用中的巧妙与简便，培养学生用数学的语言解析问题的能力.也让学生通过练习巩固刚才所学的知识，并且为本课时后面的知识点讲解做铺垫.设计意图：逐步解析多项式的每一部分的知识点，形成完整的知识体系，结合右边的例子，实现讲练结合，这种直观的方式便于学生理解，也能培养学生的应用能力.为 .问题：你能完成下面的表格吗？师生活动：学生先独立解答，然后同桌交流，学生代表上台板书，教师指导更正.再由教师引导学生进行总结：一个多项式的最高次项可以不唯一.例题精析例2 若多项式x|a|+1y3- (a- 1)x + x2是五次三项式，求a的值.师生活动：学生先独立解答，然后请学生代表上台板书，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知.练一练1.关于x、y的多项式-3kxy + 3y- 8x + 1 (k为常数) 不含二次项，则k =.2. (x + 3) a y b + 12ab2- 5是关于a、b的四次三项式，最高次项的系数为2，则x =，y =.师生活动：学生先独立解答，然后请学生代表上台板书，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知.知识点二：整式定义总结：单项式与多项式统称为整式.三、当堂练习例题精析例3填序号：① 3、① x + y、① -47a3b、①S=12ah、①2x-3y+45、①1a.单项式有：；多项式有：；整式有：.师生活动：学生先独立解答，再让小组讨论，然后由小组代表发言，老师给予适当正向的评价，并适时加以引导与更正.练一练3. 下列式子中，整式有个.①-14x2、②-2x + y、③xy2-12x2、④1y、⑤3x-12、⑥1ab-x、⑦0、⑧2xπ.师生活动：学生先独立思考，然后请学生代表回答，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知.三、当堂练习1. 下列说法正确的是( )A.整式就是多项式B. π 是单项式C. x4 + 2x3是七次二项式D.3x-15是单项式2. 多项式12x|m|- (m- 4)x + 7 是四次三项式，则m的值是( )A. 4B. -2C. -4D. 4 或-43.一个花坛的形状如图所示，其两端是半径相等的半圆，求：(1) 花坛的周长L；(2) 花坛的面积S.设计意图：让学生通过辨别的方式，巩固所学的知识，思考多种情况，检验知识的理解中是否有遗漏，起到查漏补缺的作用.设计意图：让学生通过练习巩固刚才所学的知识.设计意图：通过练习题进一步巩固对多项式与整式的知识的学习与掌握.设计意图：通过练习题将多项式的知识与实际结合，感悟多项式在几何中的应用，加强应用意识.教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.1.注重结合，形成完整的知识体系。

01多项式的概念多项式的概念一、代数式的有关概念.1•代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子•单独的一个数或者一个字母也是代数式.2•代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值.求代数式的值可以直接代入、计算•如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值.3•代数式的分类2 •整式的有关概念二、单项式1•单项式的概念：数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式，包括以下几类：⑴单独的一个数，如56;⑵单独的一个字母，如a；⑶数与字母的乘积，女口3b;⑷字母与字母的乘积，女口abc。

⑸【注意事项】是数，不是字母；②分母不能包含字母2.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

【注意事项】单独一个非零数的次数是0。

如5的次数是03.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。

【注意事项】①单个字母的系数是 1.如：a的系数是1;②单项式的系数包括它前面的符号，如的系数是 .三、多项式：几个单项式的和，叫做多项式1•多项式的概念：几个单项式的和叫做哦多项式。

2.多项式的次数：在一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。

3.多项式的项数：多项式中单项式的个数叫做多项式的项数。

4•多项式的降幂排列与升幂排列把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式技这个字母升幂排列，给出一个多项式，要会根据要求对它进行降幂排列或升幂排列.四、同类项1•概念：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项•几个常数项也是同类项2•合并同类项⑴概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.一个多项式合并后含有几项,这个多项式就叫做几项式•⑵法则归纳：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变.⑶注意事项：①如果多项式中项数较多、较复杂时，可在同类项上标注记号，便于认清同类项，做到不遗漏、不重复•②所有常数项都是同类项，都可进行合并【例题1】说出下列单项式中各字母的的次数和系数⑴5ax2y⑶7ax⑸ xlGyS 4 (2)4x (4)6abcy3 (6)xy5 2【例题2】指出下列多项式的项数、次数⑴曲3ab ba 1 224x3y 12 (4h b c 7ab x 2⑶:焰莖:” 7hxy2 7Li2x3by【例题3】⑴如果门住是关于x、y的单项式，且系数为2,次数为3，则a、b分别是多少? ⑵如果多项式' 的次数为4次，且有三项，则m为多少？22⑶如果多项式扎Ik 2Z 工上不含xy的项，求：k 1的值⑸设多项式是关于x、y的系数为1的五次多项式，求：m n' 是六次多项式，且单项式xyz的次数与该多项式的次数相62同，求：m n的值【例题4】⑴将多项式先按字母x升幂排列，再按x降幂排列⑵将多项式. 先按字母x升幂排列，再按x降幂排列⑶将多项式x x脑§先按字母x升幂排列⑷将多项式Ik IOx g先按字母x升幂排列，再按x降幂排列⑸将多项式3x2 y2必y先按字母x升幂排列，再按x降幂排列⑹将多项式6匕x乱先按字母x升幂排列，再按x降幂排列【例题5】合并同类项(1)5x 3x 6 7x i2x lOx 2x 3x 7 lOx(2)2a Sab ah 肚J6fib 5b 8nh⑶ lQx 13x 2 3x 4x 3 x[*轉*轉***榊][1 悴*紳*祕艸]llnb 2a2b2 ab 3a2l)2 46222⑸伽3ab 3ba Sab®2x 7 x 6 3x 4x⑺3y 5x By ⑻ 22471r. 3n p HI p n 32222(9J3x 4x 7 :k 2x 1 0u)3xy 7xy【例题6】⑴设5“⑵设2;：inj 12匸1乩芒 2 皿讹2he与港二lh细】1是同类项，求：m,n,p的值与mab的和是单项式，求：m,n的值⑶单项式12x 1432y 1汕与ab合并后结果为a2b4,求：|徐：刘的值224n⑷如果单项式牡…小与5ab都是五次多项式，求：m,n的值⑸如果门川：-1、与ab13|4n| 是同类项，且m,n互为负倒数，求：门心：3讣让4) rn H的值44⑹要使多项式H XJ 3rixy2 2x3 xy2 y不含三次项，求：2川：〕ii的值⑺已知32HI 15"l：Jri K与对是同类项，求：的值78。

高等代数 北大三版第一章 多项式教学目的：1．了解多项式的概念，多项式的运算及运算律。

2．会求多项式的最大公因式及各数域上的因式分解。

3．了解多项式与对称多项式的概念。

教学重点与难点：1．整除理论。

2．有理数域上的因式分解。

§1． 数域代数性质：关于数的加减乘除等运算性质 引入：关于数的范围的讨论定义：设P 是一些复数组成的集合，其中包括0和1，如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P 中的数，那么称P 为一个数域。

另一说法： 如果包含0和1 的一个数集P ，对于加减乘除（除数不为0）运算都是封闭的，那么称P 为一个数域。

例： 1．Q R C Z W 2Z （前3个是，后3个不是） 2．R * C + }0{ +C （均不是）3．},|2{1Q b a b a P ∈+=＝)2(Q 是 证明封闭 }|2{2N n n P ∈= 不是4．},,|{, (31)10+++++∈∈=N m n Z a P j n mnn b i b b b a a a ππππ 是 重要结论： 最小数域为有理数域 （任何数域包含有理数域）§2．一元多项式一． 一元多项式的概念定义：设n 是一非负整数，x 是一个符号（文字），形式表达式：01111...a x a x a x a n n n n ++++-- 其中P n i a i ∈=)...0(。

称为系数在数域P 中的一元多项式。

（数域P 上的一元多项式）① 记 )(x f ＝01111...a x a x a x a n n n n ++++--＝i ni i x a ∑=0)(x g ＝01111...b x b x b x b m m m m ++++--＝j mj j x b ∑=0② 其中ini i xa ∑=0称为)(x f 的i 次项 i a 为i 次项系数。

③ 0≠n a ，则n n x a 为)(x f 的首项 n a 为首项系数，n 为)(x f 的次数。