01多项式的概念

4.1 整式第 2 课时多项式一、新课导入古希腊的欧几里得在《几何原本》中表述“如果将几个偶数相加，那么它们的和是偶数”，只能用极其冗长繁杂的原始定义加上文字语言来说明.教师：怎样用数学语言简单的描述这句话？师生活动：教师提问，学生思考，教师引出后续探究.二、探究新知知识点一：含字母式子的书写及意义观察：这些式子可以怎么分类？分别填入下面的框中.师生活动：教师提问，先由小组讨论，学生可以畅所欲言，然后请小组代表回答，教师对学生的回答予以恰当的评价与鼓励，并适时加以引导.教师：那像右边框中的数，我们可以统称为什么呢？我们一起来学习.探究：这些式子有什么特点？师生活动：通过色彩变化予以提示，引导学生说出自己的想法，适时更正，最后教师总结：都可以看作几个单项式的和.引出多项式的概念：多项式：几个单项式的和叫做多项式.回顾导入：现在，我们可以用字母来表示这些偶数.如果我们把第一个偶数表示为2a1，第二个偶数表示为2a2，第三个偶数表示为，那么第n个偶数可以表示为_____，它们的和用式子表示就是.师生活动：学生先独立解答，然后同桌交流，学生代表回答，教师指导更正.定义总结1.每个单项式叫做多项式的项.2.不含字母的项叫做常数项.3.每一项次数是几就叫做几次项.4.次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.5.多项式没有系数，但它的每一项有系数，系数也包含符号.师生活动：教师讲述概念，并引导学生回答右边多项式与这个概念如何对应.例题精析例1 用多项式填空，并指出它们的项和次数. (1) 一个长方形相邻两条边的长分别为a，b，则这个长方形的周长为.(2) m 为一个有期数，m 的立方与2 的差为.(3) 某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放a 辆. 为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收b 辆. 第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为.(4) 现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18 个相同的正方形和8 个相同的等边三角形围成. 如果其中正方形和等边三角形的边长都为a，等边三角形的高为b，那么这个印章的表面积答，锻炼由数学的思维与语言分析问题.通过师生合作，一起引出多项式的概念.设计意图：与导入的知识相联系，体验多项式在实际应用中的巧妙与简便，培养学生用数学的语言解析问题的能力.也让学生通过练习巩固刚才所学的知识，并且为本课时后面的知识点讲解做铺垫.设计意图：逐步解析多项式的每一部分的知识点，形成完整的知识体系，结合右边的例子，实现讲练结合，这种直观的方式便于学生理解，也能培养学生的应用能力.为 .问题：你能完成下面的表格吗？师生活动：学生先独立解答，然后同桌交流，学生代表上台板书，教师指导更正.再由教师引导学生进行总结：一个多项式的最高次项可以不唯一.例题精析例2 若多项式x|a|+1y3- (a- 1)x + x2是五次三项式，求a的值.师生活动：学生先独立解答，然后请学生代表上台板书，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知.练一练1.关于x、y的多项式-3kxy + 3y- 8x + 1 (k为常数) 不含二次项，则k =.2. (x + 3) a y b + 12ab2- 5是关于a、b的四次三项式，最高次项的系数为2，则x =，y =.师生活动：学生先独立解答，然后请学生代表上台板书，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知.知识点二：整式定义总结：单项式与多项式统称为整式.三、当堂练习例题精析例3填序号：① 3、① x + y、① -47a3b、①S=12ah、①2x-3y+45、①1a.单项式有：；多项式有：；整式有：.师生活动：学生先独立解答，再让小组讨论，然后由小组代表发言，老师给予适当正向的评价，并适时加以引导与更正.练一练3. 下列式子中，整式有个.①-14x2、②-2x + y、③xy2-12x2、④1y、⑤3x-12、⑥1ab-x、⑦0、⑧2xπ.师生活动：学生先独立思考，然后请学生代表回答，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知.三、当堂练习1. 下列说法正确的是( )A.整式就是多项式B. π 是单项式C. x4 + 2x3是七次二项式D.3x-15是单项式2. 多项式12x|m|- (m- 4)x + 7 是四次三项式，则m的值是( )A. 4B. -2C. -4D. 4 或-43.一个花坛的形状如图所示，其两端是半径相等的半圆，求：(1) 花坛的周长L；(2) 花坛的面积S.设计意图：让学生通过辨别的方式，巩固所学的知识，思考多种情况，检验知识的理解中是否有遗漏，起到查漏补缺的作用.设计意图：让学生通过练习巩固刚才所学的知识.设计意图：通过练习题进一步巩固对多项式与整式的知识的学习与掌握.设计意图：通过练习题将多项式的知识与实际结合，感悟多项式在几何中的应用，加强应用意识.教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.1.注重结合，形成完整的知识体系。

运算规律
1、加法交换律 2、加法结合律 3、乘法交换律 4、乘法结合律 5、乘法对加法的分配律 6、乘法消去律
定义 所有系数在数域K中的一元多项式全
体,称为数域K上的一元多项式环,记作 K[x], P称为K[x]的系数域.
练习：
设 f ( x), g( x),h( x) R[x] (1) 证明: 若 f 2( x) xg2( x) xh2( x), 则
一元多项式指只含一个变量. n是非负整数. 多项式常用f(x), g(x)等表示,或简记作f, g
设数域K上的多项式
f(x) = anxn+an-1xn-1++a1x+a0 ,
(1) an,an-1,,a1,a0称为f(x)的系数,系数全为0 的多项式称为零多项式,记作0.
(2) akxk (k=n,n-1,…,1,0)称为f(x)的k次项,ak称 为f(x)的k次项系数.
(3) 零次项a0也称为f(x)的常数项.
•(4) 若an0,称anxn为f(x)的首项,
an称为f(x)的首项系数, n 称为f(x)的次数,
常记作degf(x),或 f ( x).
(5) 非零常数是零次多项式. (6) 零多项式是唯一无法确定次数的多项式. (7) 只有f(x)0, degf(x)才有意义.
f(x)=2x2+3x-1,
) g(x)=x3+2x2-3x+2
.
2x5+3x4- x3
4x4+6x3-2x2
-6x3-9x2+3x
4x2+6x-2 .
f(x)g(x)=2x5+7x4- x3- 7x2+9x-2
一些性质

公式法
公式法是一种基于数学公式进行多项 式因式分解的方法。根据公式，我们 可以将多项式表示为几个整式的积的 形式。常用的公式包括平方差公式、 完全平方公式等。
例如，多项式$a^2 - b^2$可以分解 为$(a + b)(a - b)$，其中使用了平方 差公式。
十字相乘法
01
十字相乘法是一种通过将二次项 和常数项拆分成两个数的乘积， 然后交叉相乘得到一次项系数， 从而找到因式分解结果的方法。
02 多项式的加减法
同次多项式的加减法
同次多项式是指各个项的次数相同的 多项式，例如$2x^3 - 3x^3$。同次 多项式的加减法可以通过系数相加减 ，字母部分不变的方式进行计算。
计算方法：将同次多项式的系数进行 加减运算，例如$2x^3 - 3x^3 = (23)x^3 = -x^3$。
不同次多项式的加减法
解法
通过移项和合并同类项，将方程化为标准形式 ax+b=0，然后求解x=-b/a（当a≠0）。
3
实例
2x+5=0的解是x=-5/2。
一元二次方程的解法
01
定义
一元二次方程是只含有一个未知数，且该未知数的次数为2的方程。
02
解法
通过因式分解或配方法，将方程化为标准形式ax^2+bx+c=0，然后求
解x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a。
合并同类项
合并同类项是指将多项式中相同或相似项进行合并，例如 $2x^2 + 4x^2 + 6x^2$。合并同类项可以简化多项式，使 其更易于计算和理解。
计算方法：将多项式中相同或相似项的系数进行相加或相减 ，字母部分不变。例如$2x^2 + 4x^2 + 6x^2 = (2+4+6)x^2 = 12x^2$。

01多项式的概念多项式的概念一、代数式的有关概念.1•代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子•单独的一个数或者一个字母也是代数式.2•代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值.求代数式的值可以直接代入、计算•如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值.3•代数式的分类2 •整式的有关概念二、单项式1•单项式的概念：数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式，包括以下几类：⑴单独的一个数，如56;⑵单独的一个字母，如a；⑶数与字母的乘积，女口3b;⑷字母与字母的乘积，女口abc。

⑸【注意事项】是数，不是字母；②分母不能包含字母2.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

【注意事项】单独一个非零数的次数是0。

如5的次数是03.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。

【注意事项】①单个字母的系数是 1.如：a的系数是1;②单项式的系数包括它前面的符号，如的系数是 .三、多项式：几个单项式的和，叫做多项式1•多项式的概念：几个单项式的和叫做哦多项式。

2.多项式的次数：在一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。

3.多项式的项数：多项式中单项式的个数叫做多项式的项数。

4•多项式的降幂排列与升幂排列把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式技这个字母升幂排列，给出一个多项式，要会根据要求对它进行降幂排列或升幂排列.四、同类项1•概念：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项•几个常数项也是同类项2•合并同类项⑴概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.一个多项式合并后含有几项,这个多项式就叫做几项式•⑵法则归纳：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变.⑶注意事项：①如果多项式中项数较多、较复杂时，可在同类项上标注记号，便于认清同类项，做到不遗漏、不重复•②所有常数项都是同类项，都可进行合并【例题1】说出下列单项式中各字母的的次数和系数⑴5ax2y⑶7ax⑸ xlGyS 4 (2)4x (4)6abcy3 (6)xy5 2【例题2】指出下列多项式的项数、次数⑴曲3ab ba 1 224x3y 12 (4h b c 7ab x 2⑶:焰莖:” 7hxy2 7Li2x3by【例题3】⑴如果门住是关于x、y的单项式，且系数为2,次数为3，则a、b分别是多少? ⑵如果多项式' 的次数为4次，且有三项，则m为多少？22⑶如果多项式扎Ik 2Z 工上不含xy的项，求：k 1的值⑸设多项式是关于x、y的系数为1的五次多项式，求：m n' 是六次多项式，且单项式xyz的次数与该多项式的次数相62同，求：m n的值【例题4】⑴将多项式先按字母x升幂排列，再按x降幂排列⑵将多项式. 先按字母x升幂排列，再按x降幂排列⑶将多项式x x脑§先按字母x升幂排列⑷将多项式Ik IOx g先按字母x升幂排列，再按x降幂排列⑸将多项式3x2 y2必y先按字母x升幂排列，再按x降幂排列⑹将多项式6匕x乱先按字母x升幂排列，再按x降幂排列【例题5】合并同类项(1)5x 3x 6 7x i2x lOx 2x 3x 7 lOx(2)2a Sab ah 肚J6fib 5b 8nh⑶ lQx 13x 2 3x 4x 3 x[*轉*轉***榊][1 悴*紳*祕艸]llnb 2a2b2 ab 3a2l)2 46222⑸伽3ab 3ba Sab®2x 7 x 6 3x 4x⑺3y 5x By ⑻ 22471r. 3n p HI p n 32222(9J3x 4x 7 :k 2x 1 0u)3xy 7xy【例题6】⑴设5“⑵设2;：inj 12匸1乩芒 2 皿讹2he与港二lh细】1是同类项，求：m,n,p的值与mab的和是单项式，求：m,n的值⑶单项式12x 1432y 1汕与ab合并后结果为a2b4,求：|徐：刘的值224n⑷如果单项式牡…小与5ab都是五次多项式，求：m,n的值⑸如果门川：-1、与ab13|4n| 是同类项，且m,n互为负倒数，求：门心：3讣让4) rn H的值44⑹要使多项式H XJ 3rixy2 2x3 xy2 y不含三次项，求：2川：〕ii的值⑺已知32HI 15"l：Jri K与对是同类项，求：的值78。

结果：$= x^4 + 6x^3 + 4x^2 - 8x - 4$
多项式的除法运算
定义：多项式除以 除数 与被除数的每一项 分别相除，得到商 和余数
注意事项：除数不 能为0，否则无意 义
举例说明：多项式 除以单项式的具体 运算过程
多项式的代数式展开
第三章
代数式展开的概念
代数式展开是将多项式中的代数式按照一定的顺序进行展开，得到具体的数值或表达式。 代数式展开是多项式运算中的一种基本运算，是学习数学和其他学科的基础。 通过代数式展开，可以更好地理解多项式的结构和性质，掌握代数运算的技巧和方法。 代数式展开在解决实际问题中也有广泛应用，如求解方程、不等式、函数等。
多项式是由有限个 单项式通过加减运 算得到的代数式。
多项式的次数是所 有单项式中次数最 高的那一项的次数。
多项式中每一项的 系数不能为0。
多项式中单项式的 排列顺序不影响多 项式的值。
举例说明多项式的形式
二次多项式：ax² + bx + c
四次多项式：ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
三次多项式：ax³ + bx² + cx + d
任意次多项式：a_0 + a_1x + a_2x² + ... + a_nx^n
多项式的运算
第二章
多项式的加法运算
定义：将两个多项式的同类项的系数相加，得到新的多项式 举例：如 (2x^2 + 3x + 1) + (x^2 - 2x + 3) = 3x^2 + 1 注意事项：注意合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变 运算律：满足交换律和结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)

引导学生进一步探索多项式与多项式相乘的性质 和应用，例如在数学分析、物理和工程等领域中 的应用。
自主学习
鼓励学生自主探索和学习多项式与多项式相乘的 相关知识，培养自主学习和解决问题的能力。
3
实践应用
通过实际问题和项目，让学生将所学知识应用于 实际情境中，提高解决实际问题的能力。
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多项式的性质
总结词
多项式具有交换律、结合律和分配律等基本性质。
详细描述
多项式具有交换律，即多项式的加法或减法满足交换律，即顺序可以任意调换。多项式还具有结合律，即加法或 减法的结合顺序可以任意改变。此外，多项式还具有分配律，即多项式与单项式相乘时，可以将单项式分别与多 项式的各个单项式相乘。
03
多项式与多项式相乘说 课ppt课件
目录 CONTENT
• 引言 • 多项式的定义与性质 • 多项式相乘的规则与步骤 • 多项式相乘的应用与实例 • 教学方法与建议 • 总结与展望
01
引言
课程背景
数学是基础学科，多项式相乘 是数学中的基本运算之一。
多项式相乘在实际问题中有着 广泛的应用，如物理、工程、 经济等领域。
逐项相乘
将两个多项式的每一项分 别相乘，得到新的项。
合并同类项
将相同字母和相同字母的 指数相同的项进行合并。
举例说明多项式相乘的过程
举例1
$(2x + 3y) times (x - y)$
举例2
$(x^2 + 2x + 1) times (x + 1)$
举例3
$(x^2 - 2x + 1) times (x - 1)$
04
多项式相乘的应用与实例

高等代数 北大三版第一章 多项式教学目的：1．了解多项式的概念，多项式的运算及运算律。

2．会求多项式的最大公因式及各数域上的因式分解。

3．了解多项式与对称多项式的概念。

教学重点与难点：1．整除理论。

2．有理数域上的因式分解。

§1． 数域代数性质：关于数的加减乘除等运算性质 引入：关于数的范围的讨论定义：设P 是一些复数组成的集合，其中包括0和1，如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P 中的数，那么称P 为一个数域。

另一说法： 如果包含0和1 的一个数集P ，对于加减乘除（除数不为0）运算都是封闭的，那么称P 为一个数域。

例： 1．Q R C Z W 2Z （前3个是，后3个不是） 2．R * C + }0{ +C （均不是）3．},|2{1Q b a b a P ∈+=＝)2(Q 是 证明封闭 }|2{2N n n P ∈= 不是4．},,|{, (31)10+++++∈∈=N m n Z a P j n mnn b i b b b a a a ππππ 是 重要结论： 最小数域为有理数域 （任何数域包含有理数域）§2．一元多项式一． 一元多项式的概念定义：设n 是一非负整数，x 是一个符号（文字），形式表达式：01111...a x a x a x a n n n n ++++-- 其中P n i a i ∈=)...0(。

称为系数在数域P 中的一元多项式。

（数域P 上的一元多项式）① 记 )(x f ＝01111...a x a x a x a n n n n ++++--＝i ni i x a ∑=0)(x g ＝01111...b x b x b x b m m m m ++++--＝j mj j x b ∑=0② 其中ini i xa ∑=0称为)(x f 的i 次项 i a 为i 次项系数。

③ 0≠n a ，则n n x a 为)(x f 的首项 n a 为首项系数，n 为)(x f 的次数。

根的性质
多项式的根可以是实数、复数或分数，取决 于多项式的系数和指数。
根的求法
通过代入法或因式分解法等数学方法，可以 求出多项式的根。
多项式的因式分解
定义
因式分解是将一个多项式表示为几个整式的积的形式 。
因式分解的方法
包括提公因式法、分组分解法、十字相乘法、公式法 等。
因式分解的意义
因式分解有助于理解和分析多项式的结构，简化计算 和证明。
。
一次多项式的根（即解）是直线与$x$轴的交点，解的个数为1
03
或2。
二次多项式
01
二次多项式是只包含一个变量最高次幂为2的多项式，形如 $ax^2 + bx + c$，其中$a neq 0$。
02
二次多项式在平面坐标系中表示一个抛物线。
03
二次多项式的根的个数最多为2个，且一定是一对共轭复数 。
多项式的最大公因式
定义
最大公因式是指两个或多个多项式中共同的因 式中次数最高的一个。
最大公因式的求法
通过辗转相除法或分组法等数学方法，可以求 出多项式的最大公因式。
最大公因式的应用
最大公因式在简化多项式、解方程和证明等领域有广泛应用。
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多项式的根表示与坐标轴的交点，即曲线与坐标轴的交点。
微积分性质
多项式函数的积分也是多 项式函数。
多项式函数的导数仍然是 多项式函数。
多项式函数是可微的，即 其导数存在。
01
03 02
03
CATALOGUE
多项式的运算
多项式的运算
• 多项式是数学中一个基本概念， 通常表示为有限个单项式的代数 和。每个单项式由一个系数和一 个变量幂次相乘得到。例如，多 项式 (2x^3 + 3x^2 - 4x + 5) 包 含四个单项式。

01
在单项式之间进行加减法时，只需对系数进行加减运算，变量
保持不变。
运算优先级
02
在进行单项式之间的加减法时，应遵循数学中的运算优先级规
则，先进行乘除运算，再进行加减运算。
括号的作用
03
当单项式中包含括号时，应先计算括号内的内容，再进行加减
法运算。
多项式之间的加减法
逐项相加减
多项式之间的加减法需要逐项进 行，即对每个单项式分别进行加
单项式和多项式课件
• 单项式的定义和性质 • 多项式的定义和性质 • 单项式和多项式的加减法 • 单项式和多项式的乘除法 • 单项式和多项式的因式分解 • 单项式和多项式的应用
01
单项式的定义和性质
单项式的定义
单项式是数学中一个基本的代数 概念，它是由数字、字母通过有
限次乘法运算得到的代数式。
十字相乘法
适用于二次多项式的因式分解，通过十字相乘法 找到两个数，它们的和等于一次项系数，它们的 积等于常数项，从而将二次多项式分解为两个一 次多项式的乘积。
06
单项式和多项式的应用
在代数方程中的应用
单项式和多项式是代数方程的基 础，可以用来表示方程中的未知
数和已知数。
通过合并同类项，可以将代数方 程化简为更简单的形式，便于求
在实际生活中的应用
单项式和多项式可以用来描述实际生活中的各种现象，如时间、速度、距离等之间的关系。
在物理学中，单项式和多项式可以用来描述物理量之间的关系，如力、质量、加速度等。
在经济学中，单项式和多项式可以用来描述成本、收益、利润等之间的关系，以及建立经济 模型。
THANKS
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多项式的定义和性质
多项式的定义

Example 8.2 (P.5) f ( x) x 4 x 5x 2
3 2
find
Solution:
f ( 3)
1 + 1 4 3 7 5 21 16 2 48 46
3
f ( x ) ( x 2 7 x 16)( x 3) 46 f ( 3) 46
●
9
f ( x ) an x n an 1 x n 1 a1 x a0 q( x ) bn 1 x n 1 bn 2 x n 2 b1 x b0 f ( x ) q( x )( x ) r r f ( )
an bn 1 an 1 bn 2 bn 1 an 2 bn 3 bn 2 a1 b0 b1 a0 r b0 an bn 1 an 1 bn 1 bn 2 an 2 bn 2 bn 3 a1 b1 b0 a0 b0 r f ( )
整数环 整数总是可以比较大小 有些整数有整除关系 有素数和合数 整数有唯一素因数分解 整数有公因数和公倍数 整数有带余除法
多项式环F[x]
6
问题：整数环与多项式环中能否做除法？如何改进？ 例如:猴子分桃问题
三、带余除法
定理1 设f(x), g(x)∈F [x], g(x)≠0, 则∃唯一的 q(x), r(x)∈F[x], s.t. f (x) = q(x)g(x) + r(x) 其中，deg r(x) < deg g(x). (规定：deg 0= ∞) 证明思路：存在性:分情况讨论+对次数归纳；唯一性 注记： f (x)称为被除式, g(x)称为除式, q(x)称为商式(quotient) r(x)称为余式(remainder) 当r(x)=0时，称f(x)能被g(x)整除，记为g(x) | f(x).

高次多项式
总结词
复杂函数关系
详细描述
高次多项式的一般形式为 a_nx^n+a_(n-1)x^(n1)+...+a_1x+a_0，其中 n>2。它描 述的函数关系比一次和二次多项式更 为复杂，可以表示各种不同的数学关 系和物理现象。
04
多项式的因式分解
因式分解的定义与性质
总结词
理解因式分解的概念和性质是掌握因 式分解方法的基础。
02
多项式的表示方法
代数表示法
代数表示法是用字母和数字的组合来表示多项式，例如： $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$。这种表示方法可以清晰 地展示多项式的各项系数和指数，方便进行代数运算和解析 。
代数表示法的优点是简洁明了，易于理解和计算。它适用于 需要精确表达多项式数学关系的情况，如数学公式、定理证 明等。
表格表示法是将多项式的系数以表格的形式呈现出来，方便进行对比和查找。这 种表示方法适用于需要展示多项式系数的详细情况，如数据统计、表格报告等。
表格表示法的优点是详细全面，能够清晰地展示多项式的各项系数。它适用于需 要精确记录多项式系数的情况，如科学实验、工程设计等。
03
多项式的分类
一次多项式
总结词：线性关系
应用数学
在应用数学中，求根公式广泛 应用于物理、工程等领域。
06
多项式的应用
在数学中的应用
代数方程
多项式是代数方程的基本 组成部分，用于表示和解 决各种数学问题。
函数
多项式可以用来表示连续 函数，有助于理解函数的 性质和图像。
微积分
多项式在微积分中用于近 似复杂函数的积分和导数 。

整式学习本节先复习单项式的系数和次数、多项式的项等概念，为学习同类项的概念及合并同类项法则做好准备.主要包括 单项式的系数和次数,多项式的项和每项的系数.一单项式、多项式的概念及它们各自对应的系数，项这是本节的重点；【典例引路】中例2，【当堂检测】中第2题，【课时作业】中第3题。

二.正确的判断所给代数式的系数或项这是本节的难点;【典例引路】中例2，【当堂检测】中第3题，【课时作业】中第10题。

三．易错题目单项式的次数,多项式的次数是同学们易错的地方. 【典例引路】中例2，【基础练习】中第2题,【当堂检测】中第4题，【课时作业】中第9题。

知识点击一:单项式的概念及其次数与系数（1）单项式的定义：像 1.5V ，28n π，h r 231π等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式．注：①单独一个数与一个字母也是单项式．②形如21＋x 形式的代数式不是单项式．（2）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．注：单独一个数的次数是0次．（3）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数．注：①单个字母的系数为1；②单项式的系数包括符号．知识点击二:多项式的概念及其项数与次数（1）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．注：①多项式概念中的和指代数和，即省略了加号的和的形式．②多项式中不含字母的项叫做常数项．（2）多项式的次数：一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．（3）多项式的项数：多项式中单项式的个数叫做多项式的项数．知识点击三:整式的概念单项式和多项式统称为整式．区别是否整式：关键：分母中是否含有字母.针对性练习:一、判断题．（对的打“∨”，错的打“×”）1．x是单项式．（）2．6不是单项式．（）3．m的系数是0，次数也是0．（）【解答】1．∨ 2．× 3．× 4．∨类型之一:应用创新型例1.根据题意列出代数式，并判断是否为整式．3月12日是植树节，七年级一班和二班的同学参加了植树活动，一班种了a棵树，二班种的比一班的2倍多b棵，这两个班一共种了多少棵树？【解答】(2a+b+a) 棵, 是整式.类型之二:明辨是非型例2 判断下列各说法是否正确，错误的改正过来；（1）单项式的系数是，次数是2次．（）（2）单项式的次数是1次．（）（3）任何两个单项式的和是多项式．（）（4）是单项式．（）（5）不是单项式．（）（6）的系数是，次数是1次．（）（7）没有系数．（）（8）多项式是一次二项式．（）（9）是二次三项式．解：（1）错．的系数是－，次数是3次．（2）错．单项式的次数是3次．（3）错．任何两个单项式的和不一定是单项式；（4）错．是多项式．（5）错．是单项式．（6）对（7）错．的系数是1．（8）错．多项式是三次二项式．（9）对说明：单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，如 的次数是次．任何两个单项式的和不一定是多项式，如单项1与单项式的和为 ，而 为单项式． 可写成 ，因此多项式 是二次三项式．1.下列代数式分别有几项？每一项的系数分别是多少？2x －3y 4a 2－4ab +b 2 －31x 2y +2y －x 【解答】 2x －3y 有2项，每一项的系数分别是2，－3；4a 2－4ab +b 2有3项，每一项的系数分别是：4,－4,1. －31x 2y +2y －x 有3项，每一项的系数分别是－31，2，－1. 2．若－2a m ＋2b 4是7次单项式，则m ＝_______；【解析】:m+2+4=7,m=1;3．多项式x 2－3x －4共有_____项，次数是________．【解析】3,2;4．x 2yz 的系数是________，次数是________．【解析】1, 4.5．如果单项式－2x 2y n 与单项式a 4b 的次数相同，则n=________．【解析】3.6．写出系数为5，含有x 、y 、z •三个字母且次数为4•的所有单项式，•它们分别是_______．【解析】5xy 3，5x 2y 2，5x 3y1.代数式ab －mn －81πn 2+1是哪几项的和？每项的系数分别是什么？ 【解析】式子中数与字母的积为一项，如ab ，－mn ，每一项应包含它前面的符号.单独一个数或一个字母也是一项，字母前的数字因数是它的系数，如ab 的系数是1，－mn 的系数是－1，－81πn 2的系数是－81π，因为π是常数. 【解答】ab －mn －81πn 2+1分别是ab ，－mn ，－81πn 2，1四项的和， 每项的系数分别是1，－1，－81π，1. 2.下列代数式中，哪些是整式？单项式？多项式？ab ＋c ，ax 2＋bx ＋c ，－5，π，2y x －，12－x x 【解析】整式: ab ＋c ，ax 2＋bx ＋c ，－5，2y x －; 单项式: －5; 多项式: ab ＋c ，ax 2＋bx ＋c ，2y x －; 3.求下列各单项式的系数及次数：73xy ，－ab 2c 【解析】73xy 的系数及次数:73,2; －ab 2c 的系数及次数:－1,4; 4.说出下列多项式为几次几项式？ －31x －x 2y ＋2π，6x 3y 2－5＋xy 3－x 2 【解析】－31x －x 2y ＋2π，6x 3y 2－5＋xy 3－x 2 5.根据题意列出代数式，并判断是否为整式．①ab 两数的积除以ab 两数的和；②ab 两数的积的一半的平方；【解析】:①ab÷(a+b)=b a ab +;（2）(ab 21)2=2241b a ;例1、将多项式3+6x 2y －2xy －5x 3y 2－4x 4y 先按字母x 升幂排列，再按x 降幂排列。

用字母表示数的一些要求 1．省略上的要求 字母和数，字母和字母相乘时，可不写 “×”号，用“×”表示，也可以什么符号都不写，直接把 数或字母写在一起。 例如，a×b×c可写成a· b· c或abc； 7×x×y可写成7· x· y或7xy。 字母和1相乘时，可不写1。 例如，1×a就写成a，1×x就写成x。 2．顺序上的要求 字母和数相乘时，省略乘号，必须把数写 在字母的前面。例如，a×5要写成5· a或5a，不能写成5a。 字母和字母相乘时，习惯上按英文字母顺序写（不是必须这 样写）。例如x×a一般写成ax，3×b×a一般写成3ab。 3．写法上的要求 相同的字母相乘，要写成乘方的形式。例 如，a× a写成 2 a，x×x×x写成3 x， (a-b)×(a-b)写 2 2 a b 。 成 4.带分数与字母相乘，省略乘号后，要将带分数化为假分数。
2
（2）ab πr 2 100
000 400 π
课堂
小结
这节课的学习中，你有什么新的收获和 体会？
1. 多项式有关定义：
几个单项式的和叫做多项式.
多项式中，每个单项式叫做多项式的项.其中， 不含字母的项叫做常数项. 多项式里，次数最高的项的次数叫做多项式的 次数. 2. 单项式和多项式统称为整式.
布置
作业
1．必做题：教科书58~59页练习第1、2题. 59页习题2.1第2、3题. 2. 选做题： 教科书第60页第5、6题.
巩固与拓展
• 例1：判断： • ①多项式a3－a2ｂ＋ab2－b3的项为a3、a2ｂ、ab2、 b3，次数为12；（ ） • ②多项式3n4－2n2＋1的次数为4，常数项为1。 （ ） • 例2：指出下列多项式的项和次数： • (1)3x－1＋3x2； (2)4x3＋2x－2y2。 • 例3：指出下列多项式是几次几项式。 • (1)x3－x＋1； (2)x3－2x2y2＋3y2。 • 例4：已知代数式3xn－(m－1)x＋1是关于x的三次 二项式，求m、n的条件。

多项式
多项式是数学中的一个概念，它是一个由若干个单项式组成 的等式。例如，2x² + 3x + 4y²是一个二次多项式，因为它包 含两个变量的最高幂为2的单项式。
单项式与多项式的应用场景
代数
在代数中，单项式和多项式经常被用于表示和解决数学问题。例如，多项式可以用来解决 方程，而单项式可以用来表示一Βιβλιοθήκη 简单的数学关系。单项式与多项式
xx年xx月xx日
目 录
• 引言 • 单项式与多项式的定义及符号 • 单项式与多项式的运算 • 单项式与多项式的应用 • 单项式与多项式的关系 • 如何学习单项式与多项式
01
引言
定义与概念
单项式
在数学中，一个单项式是一个表示数量的简单形式，由一个 系数和一个变量的幂组成。例如，2x，3xy和4y²都是单项式 。
拓展数学视野
了解数学的历史、文化 和发展动态，拓展自己 的数学视野，增加数学 素养和人文素养。
THANKS
谢谢您的观看
些概念是数学中的基础。
02
解决问题
单项式和多项式可以帮助我们解决各种问题，从简单的代数问题到复
杂的科学问题。
03
发展思维
学习单项式和多项式可以发展我们的抽象思维和逻辑思维，这对我们
的学习和生活都有很大的帮助。
02
单项式与多项式的定义及符 号
单项式的定义及符号
定义
单项式是只由数字和字母乘积组成的代数式，其中数字因数叫做单项式的系 数，字母因数叫做单项式的次数。
降幂排列
将多项式按照次数从高到低的顺序排列，叫做降幂排列。例 如，$a^3 + 2a^2b + 3ab^2 + b^3$ 可以写成 $a^3 + 3ab^2 + 2a^2b + b^3$。

第二讲 多项式理论
题记: 克莱因评价高斯在数学中的地位：“我们会
得出这样一个数学场景，如果把18世纪的数学界 想象成为一系列高山峻岭，那么最后一个令人肃 然起敬的峰巅便是高斯，如果把18世纪的数学界 想象成为一条条江河，那么源头便是高斯，他是 那样一个广大丰富的区域中充满了生命的新元 素。”
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定理2：数域F上以标准形式给出的两个多项 式恒等的充要条件是这两个多项式的对应项 分别具有相同系数的同类项。
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8
定理3：数域F上以标准形式给出的两个多 项式，对于变数x的n+1个不同的值有相同 的取值，那么这两个多项式恒等。
定理2、定理3是“待定系数法”的理论依据。
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3、多项式的整除
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历史背景
16世纪的欧洲，资本主义迅速发展， 科学和技术迅猛发展。天文、航海、测绘、 造船等行业不断向数学提出新的课题。令 人头痛的问题是：星体的轨迹运算、船只 的位置确定、大地的形貌测绘、船舶的结 构设计等一系列课题中，人们遇到的数据 越来越庞杂，所需的计算越来越繁难，耗 费了科学家们宝贵的时间和精力。路在何 方？
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10
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11
因式分解的理论基础是因式定理
4、多项式的因式分解
中学教材规定：“把一个多项式化成
几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式
分解”。要求：“因式分解要进行到不能
再分解为止。”
高等代数中规定因式分解的涵义是：
“所谓因式分解是把数域F上的一个多项式
化成几个既约多项式乘积的形式。”
52
7、三角形代换法
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53
（三）三角方法的应用
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性
二项式定理展开的实例
展开式：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + ... + C(n,n)b^n 实例1：(2+3)^3 = 8^3 = 512 实例2：(2-3)^3 = (-1)^3 = -1 实例3：(2+3)^4 = 8^4 = 4096
04
多项式的概念
06
多项式与二项式定理的关系
二项式定理在多项式中的应用
二项式定理的定 义和性质
二项式定理在多 项式中的展开式
二项式定理在多 项式乘法中的应 用
二项式定理在多 项式除法中的应 用
多项式中的二项式定理实例
二项式定理的定义：一个多项式与另一个多项式的乘积，其中每个多项式 的次数不超过2
二项式定理的应用：在多项式中寻找规律，简化计算
多项式的次数和项数
多项式的次数：多项式中最高次 项的次数
例如：多项式x^3+2x^2-3x+1 的次数为3，项数为4
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多项式的项数：多项式中单项式 的个数
多项式的次数和项数是判断多项 式类型的重要依据
05
多项式的运算
多项式的加减法
定义：多项式相加或相减，合并同类项 法则：合并同类项，系数相加，字母和指数不变 例子：(x^2+2x-3) + (x^2-x+1) = 2x^2+x-2 注意事项：合并同类项时，要注意系数的符号，以及字母和指数的匹配
C(3,3)*b^3
整理展开后的多 项式：将计算得 到的各项按照一 定的顺序排列， 如按指数从大到
小的顺序排列
二项式定理展开的注意事项

《多项式》教学设计教学目标1．在现实情景中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感．2．在具体情景中理解多项式概念及其多项式项数和次数的确定．教学重、难点重点：多项式概念的理解和多项式项数和次数的确定．难点：多项式的次数与多项式的项的次数的区分．教学过程一、创设问题情境1．(出示投影l)一种窗户的下半部分是宽为x ，高为y 的长方形，上半部分是直径为x 的半圆，这种窗户的面积足多少?学生活动：学生独立完成上述问题，并将结果与同伴交流．教师活动：指定学生回答，并对其结果进行订正，并指出这个代数式不是单项式．2．(出示投影2) 下列代数式：yab a x x 2,,21,54,42--中，是单项式的，请说出它的系数和次数． 学生活动：学生相互讨论，互相交流．教师活动：指定学生回答，并对其结果进行订正．二、议一议，多项式的项、次数的概念1．教师提出以上问题中的代数式：54,812-+x x xy π 引导学生观察分析：这几个代数式与单项式不同，它们含有加减运算，可以把它们看作是几个单项式的和．2．师生共同归纳得出多项式概念．多项式的定义，几个单项式的代数和叫作多项式．其中的每个单项式叫做多项式的项，多项式中不含字母的项叫作常数项，多项式里次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数，如多项式281x xy π+称为二次二项式． 单项式和多项式统称为整式．三、做一做、巩固新知(出示投影3)说出下列多项式的次数．学生活动：学生独立完成上述三个问题，并将结果与同伴交流．教师活动：引导学生按照多项式相关概念解决．指定学生同答并给出其正确答案．32)1(-x 的次数是l ；47)2(2-+x x 的次数是2；96453)3(22-+-+-y x y xy x 的次数是2．四、随堂练习课本P68第2、3题．五、小结1．几个单项式的和叫作多项式，这个“和”指的是代数和，多项式比单项式多了加减运算。

2．次数最高项的次数叫作多项式的次数，这是对多项式的各项次数进行比较后作出的选择．六、作业1．课本P69习题2．3A 组第4题，8组第2题．2．选用课时作业设计．七、教后反思第二课时作业设计一、选择题．1.222R Rh ππ+是( )．A ．一次二项式B ．二次二项式C ．三次二项式D ．四次二项式2．下列说法正确的是( )．A ．代数式35,421y x y x ++都是多项式 323523+-⋅m m B 是三次三项式C ．多项式2232b ab a -+-的各项分别是223,2,b ab a 324237.p p p D -++-是三次四项式二、填空题．1．代数式754+-ac c ab 有 项，它们的系数分别是 ．2．一个关于y 的四次三项式不含二次项和三次项，最高项系数为,21一次项系数是-1，常数项为2的3次幂的相反数，则这个多项式是 .三、填表．。