单项式多项式概念讲解

单项式和多项式相乘的概念单项式和多项式相乘的概念单项式的定义和特点•单项式是指只包含一个项的代数式。

•单项式由系数和一串变量的乘积构成，例如：5x、-3xy2、4x3。

•单项式的系数可以是实数、整数、分数、甚至是复数。

•变量的指数必须是非负整数，表示变量的幂次。

多项式的定义和特点•多项式是指由若干个单项式（可以是常数项）经过加法、减法运算得到的代数式。

•多项式可以有一个或多个变量，每个单项式可以有不同的系数和指数。

•多项式的系数可以是实数、整数、分数、甚至是复数。

•多项式的次数是指最高次单项式的次数，可以通过单项式的指数进行比较。

单项式和多项式相乘的规则•单项式和多项式相乘的结果仍然是一个多项式。

•单项式和最简单的多项式（只有一个项）相乘时，可以通过分配律进行展开。

•单项式和多项式相乘时，需要将单项式中的每一项与多项式中的每一项进行乘法运算，然后将结果相加得到最终结果。

相关概念•乘法的交换律：对于任意两个实数a和b，a * b = b * a。

在多项式的乘法中，可以任意调整单项式的顺序，不影响最终结果。

•乘法的结合律：对于任意三个实数a、b和c，(a * b) * c = a * (b * c)。

在多项式的乘法中，可以任意改变加法运算的顺序，不影响最终结果。

•幂的乘法：对于任意实数a和非负整数m、n，a^m * a^n = a^(m+n)。

在单项式和多项式相乘时，可以根据幂的乘法规则进行指数运算。

总结单项式和多项式相乘是代数学中重要的概念和计算方法。

通过理解单项式和多项式的定义和特点，以及相乘的规则和相关概念，我们可以进行多项式的展开和简化，进而解决各种与单项式和多项式相关的问题。

单项式和多项式相乘的应用场景•在代数学中，单项式和多项式相乘常常用于多项式的展开和简化，以及方程的求解和证明过程中的变换和化简。

•在物理学中，单项式和多项式相乘可用于计算物理量之间的关系和数学模型的建立。

•在经济学中，单项式和多项式相乘可用于计算成本、收益、利润等经济指标的计算和分析。

第六讲 单项式和多项式一、单项式：1、概念：数字与字母的乘积统称为单项式2、系数：单项式中的数字因数称为单项式3、次数：单项式中所有字母指数之和称为单项式的次数 特别注意：π属于数字，也就是单项式 例如：2R π系数是_____，次数是_____。

π2R 系数是_____，次数是_____。

372ab 系数是_____，次数是_____。

23b a -系数是_____，次数是_____ 53ab-系数是_____，次数是_____ 4、注意：（1） 书写单项式时数字写在字母的前面，而字母则一般按照字母表顺序排列 （2） 书写单项式相乘时，只写∙或不写，但不写× （3） 当单项式的系数是1或-1的时候，系数要省略不写 （4） 在单项式中只能写假分数，不能写带分数（5） 单独的一个数或字母也是单项式，如8，a 均为单项式 二、多项式1、概念：若干项单项式的和称为多项式2、项数：组成多项式的单项式的数量，称为项数3、次数：多项式中次数最大的单项式的次数称为多项式的次数例如：3263ab b a ab -+-项数是_____，各项分别是______________,次数是______4、常数项：多项式中数字项称为常数项5、同类项：所有字母相同，相同字母的指数也相同的两项称为同类项。

例如：b a 25-与27ba ，xyz 6与xyz 8-6、注意：（1） 每项组成多项式的单项式（也就是项）要包括前面的符号 （2） 注意多项式的次数与单项式的次数区别 （3） 多项式中没有了系数的概念 （4） 同类项并没有要求字母的顺序也相同 三、整式：单项式和多项式统称为整式。

基础题：1、找出7375624310332232+++--+-y x y xy y x x xy 中的同类项。

（1）24xy 与_____________是同类项； （2）32x 与_____________是同类项； （3）37y 与_____________是同类项。

单项式与多项式的概念1、单项式的有关概念（1）单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式。

单独的一个数或字母．．．．．．．．．也叫做单项式。

例如：a x abx n m a ,9,4,,,332-注意：单项式不含加减运算，只含字母与字母或字母的乘法〔包括乘方〕运算 （2）单项式的系数：单项式中数字因数叫做这个单项式的系数。

例如：单项式227,21xy y x -的系数分别是7,21-，当单项式系数是1或－1时，“1〞通常省略不写，如ab 就是ab ⋅1，系数是1；n -就是n ⋅-1，系数是－1.（3）单项式的次数〔指数〕：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

如x 4的次数是1，z y x 323的次数是2+3+1＝6；数学的次数是0，如3，－9等可以当作0次单项式。

一个单项式的次数是几就叫做几次单项式，如2231b a 中，a 与b 的指数和为4，那么2231b a 是四次单项式。

例1：指出以下各单项式的系数和次数7,,5,332322y x bc a ab a π- 提示：圆周率π是常数，当单项式中含有π时，π是单项式的系数，且在计算单项式的次数时应注意不要加上π的指数。

2、多项式的有关概念（1）多项式：几个单项式的和叫做多项式。

其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

如5232+-x x 是多项式，它的项分别是23x ，x 2-和5，其中5是常数项。

（2）多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。

如23224+-x y 的次为是3，即“32x 〞的次数。

一个多项式中含有几项，最高次数是几次就叫几次几项式。

如66234+-y y 叫做四次三项式。

在多项中，含有字母的项的次数是几次就叫做几次项。

如5232-+-b ab b a 中，b a 23就是它的三次项，二次项是ab 2-，一次项是b ，常数项是－5.〔3〕多项式的排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列叫降幂排列；反之，那么称为升幂排列。

第一节 单项式和多项式知识结构导图知识点一：单项式1.概念：式子x 3,m t xy a ---,6.2,,32它们都是数或字母的积，象这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

注意：单项式是一种特殊的式子，它包含一种运算、三种类型。

一种运算是指数与字母、字母与字母之间只能是乘法的一种运算，不能有加、减、除等运算符号；三种类型是指：一是数字与字母相乘组成的式子，如ab 2;二是字母与字母组成的式子，如3xy ;三是单独的一个数或字母，如m a ,2-，2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

注意：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。

如42x 的系数是2；3ab 的系数是31，2.7m 的系数是2.7。

（2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号，如－()xy 2的系数是－2（3）对于只含有字母因素的单项式，其系数是1或－1，不能认为是0，如－2xy 的系数是－1；2xy 的系数是1。

（4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。

如2πxy 的系数就是2π3单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

注意：（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。

如单项式z y x 342的次数是字母z y x ,,的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母Z 的指数是1而不是0.（2）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m 的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数。

（3）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。

如单项式－43242z y x 的次数是2＋3＋4=9而不是13次。

（4）单项式通常根据单项式的次数进行命名。

如x 6是一次单项式，xyz 2是三次单项式。

例题：下列说法正确的是( )A ．单项式23x -的系数是3-B ．单项式3242π2ab -的次数是7 C ．1x是单项式 D ．单项式可能不含有字母检测：1、判断下列各代数式是不是单项式？若是，写出它的系数与次数。

单项式、多项式讲义 知识点梳理概念：单项式：即由_____与______的乘积组成的代数式称为单项式。

单独_________或___________也是单项式，如a ，5。

一个单项式中，_____________的指数的和叫做这个单项式的次数；单项式中的数字因数称为这个单项式的________①圆周率π是常数； ②单项式次数只与字母指数有关。

书写要求：1.数字写在字母的前面，省略乘号。

[5a 、16xy ]2.单项式分母不能为字母。

（否则为分式，不为单项式）3.π是常数，所以应作为系数。

4.若系数是带分数，要化成假分数。

[x 27x 213＝] 5.但一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写。

如[（－1）ab ]写成[ －ab ]6.在单项式中字母不可以做分母,分子可以。

7.常数的次数为0。

多项式：几个单项式的和叫做多项式。

每个单项式叫做多项式的项.不含字母的项，叫做常数项。

个多项式含有几项，就叫几项式.多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数.特别注意： (2)多项式的每一项都包括它前面的符号。

典型例题例1判断下列各代数式哪些是单项式？(1)21+x ； (2)abc ； (3)b 2； (4)－5ab 2； (5)y ； (6)－xy 2； (7)－5。

变式：2x ,－4x , 31a ＋0.5b , 32xy, x 1,m ,－ab ,－21. 例2指出以下单项式的系数：3x 2,－0.6x 2y 3z ,a 2b ,－2.15ab 3,－m 3,0.12h .变式：下面各题的判断是否正确（1）－7xy 3的系数是7； （2）－x 2y 3与x 3没有系数；（3）－ab 3c 6的次数是0＋3＋6； （4）－a 3的系数是－1；（5）－32x 2y 3的次数是7； （6）2∏r 2h 的系数是2。

能力提升一、判断题．（对的打“∨”，错的打“×”）1．x 是单项式．（ ）2．6不是单项式．（ ）3．m 的系数是0，次数也是0．（ ）4．单项式4πxy 的系数是4π，次数是2．（ ） 二、填空题．5．x 2yz 的系数是________，次数是________．6．－372ab 的系数是______，次数是_______． 7．如果单项式－2x 2y n 与单项式a 4b 的次数相同，则n =________．8．写出系数为5，含有x 、y 、z 三个字母且次数为4的所有单项式，它们分别是____ ___．三、选择题．9．下列各式中单项式的个数是（ ）．3x ，x +1，－212，－1,0.72,42a x xy -． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个10．单项式－x 2yz 2的系数、次数分别是（ ）． 0.2 B ．0.4 C ．－1，5 D ．1，4典型例题例1：指出下列多项式的项和次数：(1)3x －1＋3x 2； (2)4x 3＋2x －2y 2。

单项式多项式概念讲解单项式与多项式的概念1、单项式的有关概念（1）单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式。

单独的一个数或字母．．．．．．．．．也叫做单项式。

例如：a x abx n m a ,9,4,,,332- 注意：单项式不含加减运算，只含字母与字母或字母的乘法（包括乘方）运算（2）单项式的系数：单项式中数字因数叫做这个单项式的系数。

例如：单项式227,21xy y x -的系数分别是7,21-，当单项式系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如ab 就是ab ⋅1，系数是1；n -就是n ⋅-1，系数是－1.（3）单项式的次数（指数）：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

如x 4的次数是1，z y x 323的次数是2+3+1＝6；数学的次数是0，如3，－9等可以当作0次单项式。

一个单项式的次数是几就叫做几次单项式，如2231b a 中，a 与b 的指数和为4，则2231b a 是四次单项式。

之，则称为升幂排列。

例 2 、已知多项式y x xy 514322--，试按下列要求将其重新排列（1）按字母x 作降幂排列；（2）按字母y 作升幂排列3、整式的概念单项式与多项式统称为整式判断一个式子是不是整式应注意几点（1）分母不含字母；（2）根号里面不含字母①单项式②多项式4、几种约定俗成的读与写 （1）字母与数字相乘，或字母与字母相乘，乘号不用“⨯”，而是用“⋅”，或省略不写，如“a 4乘以b ”可写成“b a ⋅4”或“ab 4”。

但数字与数字相乘一般用“⨯”，且不得省略，如“34⨯”不能简写成“43”或“34⋅”（2）字母与数字相乘，一般数字写在字母之前，如“n m 235”不要写成“352n m ”；系数为带分数的，一般写成假分数，如“213与2x 的积”写成“227x ”而不写成“2213x ”，以免造成混淆。

（3）多项式中，“a 与b 的差”是指“b a -”，而不是“a b -”“a 、b 的平方和”是指“22b a+”，而不是“2b a +” “a 与b 的平方的差”是指“2b a -”，而不是“22b a -”“a 与b 的差的立方”是指“3)(b a -”，而不是“3b a -”例1：指出下列各式中，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式？π2222222,5,52,71,19,3,,r R x x x x n m xy b a x y x -+--++-+例2、多项式5)13(72++-+x n kx xm 是关于x 的三次三项式，并且一次项系数为－7，求m+n-k 的值变式：已知多项式63512212--+-+x xy y x m 是六次四项式，单项式m n y x -523与该多项式的次数相同，那么m 、n 的值分别为（ ）A 、5，3B 、3，2C 、2，1D 、0，21例3、（1）某班共有x 个学生，其中女生人数占45%，用代数式表示该班的男生人数是（2）某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m ，那么该商品现在的价格是 元（结果用含m 的代数式表示）课堂训练1、多项式134223--y x x是几次几项式；并说出最高次项和常数项是什么？2、把多项式3322543y x xy y x -+-重新排列；（1）按y 的降幂排列；（2）按x 的升幂排列。

单项式与多项式讲义一、代数式的有关概念代数式：用大体的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，单唯一个数或一个字母也是代数式.说明：代数式书写时需注意：（1）数与字母、字母与字母相乘时乘号可省略不写，数字要写在字母前面，如12ab ；数字因数是1或－1时，“1”省略不写，如－mn ；（2）带分数与字母相乘时要化成假分数，如：ab 211要写成ab 23的形式； （3）除号要改写成份数线，如：a ÷b 要写成ba ； （4）书写单位时要把代数式用括号括起来，如（12ab ＋2R ）平方米. 代数式的系数：在代数式中，每一项字母前的数字因数叫做这一项的系数.二、整式的有关概念（1）单项式的概念：表示数与字母的积的代数式叫做单项式．单独的一个数或单独的一个字母也都是单项式（2）单项式次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做那个单项式的次数．（3）单项式的系数：单项式中的数字因数即为单项式的系数．（4）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．（5）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做那个多项式的次数．（6）多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项．每一个单项式确实是一项.（7）常数项的概念： 在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的常数项.（8）降幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按那个字母降幂排列．（9）升幂排列 ：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按那个字母升幂排列．（10）整式的概念： 单项式和多项式统称整式．例1. 用代数式表示：（1）把温度是t ℃的水加热到100℃，水温升高了___________℃.（2）一个两位数，个位数字是a ，十位数字是b ，那么那个两位数可表示为___________.（3）用含字母的代数式表示两个持续奇数为_______ ____.（4）假设正方体的棱长是a －1，那么正方体的表面积为___________.（5）如图，亮亮家装饰新家，他为自己的房间选了一款窗帘（上方阴影），请你帮他计算能够射进阳光的面积为___________米2.例2 判定以下各代数式，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式．(1)－3xy 2； (2)2x 3＋1； (3)21(x ＋y ＋1)； (4)－a 2； (5)0； (6)y x 2； (7)32xy ； (8)x 21； (9)x 2＋x 1－1； (10)11+x ；例3 指出以下各单项式的系数与次数：（1）;832ab （2）－mn 3; （3）3432y x π例4 假设－3axy m 是关于x 、y 的单项式，且系数为－6，次数为3，那么a ＝______，m ＝______．练习：一、下面各题的判定是不是正确（1）－7xy 3的系数是7； （ ） （2）－x 2y 3与x 3没有系数； （ ）（3）－ab 3c 6的次数是0＋3＋6； （ ） （4）－a 3的系数是－1； （ ）（5）－32x 2y 3的次数是7； （ ） （6）2πr 2h 的系数是2 （ ） 二、假设单项式-a 3b 2与-8a n b 3的次数相同，那么n=_______3、已知-9(m-2)a 3b |m|是关于a,b 的5次单项式，那么m=_________4、假设-mx m y n 是关于x 、y 的一个三次单项式，且系数为-2，那么m=_____,n=_______.例5 填空：（1）多项式2x 4-3x 5-2π4是 次 项式，最高次项的系数是，四次项的系数是 ，常数项是 ，补足缺项后按字母x 升幂排列得 ；（2）多项式a 3-3ab 2+3a 2b-b 3是 次项式，它的各项的次数都是，按字母b 降幂排列得 . 例6 用生活中的问题举例，说说以下代数式的实际意义.（）；（）；（）；（）1323120%)492222a ab x a a +--(π例7 说出以下各多项式别离是几回几项式．(1)3x －23； (2)a 2b ＋2a －3b －4； (3)2822+-x x ； (4)(a 3－b 3＋1)×35； (5)x 6－x 5＋3x 2－12x ＋a ； (6)2(xy ＋31x 3－y ＋π4)． 例8 将多项式3+6x 2y －2xy －5x 3y 2－4x 4y 先按字母x 升幂排列，再按x 降幂排列。

单项式和多项式的用法嘿，朋友！今天咱们来好好唠唠单项式和多项式这两个数学里超级有趣的概念，可别一听数学就皱眉头啊，这俩家伙在生活里的用处可大着呢！先来说说单项式吧。

单项式呢，就像是一个独立的小单元，它是由数字和字母的积组成的代数式。

比如说，3x，这就是一个单项式。

其中3是数字因数，叫做系数，x呢就是字母因数。

单项式有时候就像一个孤独的行者，自己带着自己的小世界。

我有个同学叫小李，有一次他去买文具。

他发现一支笔的单价是x 元，他想买3支，那这时候总价不就是3x元嘛。

你看，这个单项式3x 就这么简单地出现在了生活里。

这就好像你看到一个单独的东西，然后按照一定的规则（这里就是单价乘以数量）得出一个结果，这个结果就可以用单项式表示。

再比如说，正方形的边长是a，那它的面积就是a²，这也是一个单项式啊。

面积是一个单独的量，由边长这个字母按照乘方的规则得到。

你能想象到吧，单项式在这种计算单个量的时候是多么方便呀！单项式可不仅仅是这种简单的形式哦。

如果有-5xy这样的式子，它也是单项式呢。

这里面-5是系数，x和y是字母因数。

你看，就像一个小团队里有不同的成员（字母），但是它们整体组成了一个单项式。

那多项式又是啥呢？多项式就像是单项式组成的大家庭。

它是几个单项式的和。

比如说，2x + 3y，这就是一个多项式，它由单项式2x和3y 组成。

这就好比一群小伙伴，每个小伙伴都是一个单项式，然后他们凑在一起就成了多项式。

我给你讲个故事啊。

我邻居家的小孩子们在玩搭积木。

他们有两种不同形状的积木，一种是正方体形状的，假设边长为x，它的体积就是x³（这是个单项式哦），另一种是长方体形状的，长是y，宽是z，高是1，那体积就是yz（也是单项式）。

他们把几个正方体和长方体积木搭在一起，想要算出总体积。

这时候就可以用多项式x³+ yz来表示了。

是不是很神奇？多项式就像是把不同的东西（单项式）放在一起考虑的一个大概念。