2013-2014中考数学专题复习学生版第二十一讲 矩形 菱形 正方形

中考数学总复习《矩形、菱形、正方形》专题测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________A组·考点过关1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD=60∘，AB=2则AC的长为（）第1题图A．6 B．5 C．4 D．32．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形3．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为边BC的中点，连接OE.若AC=6，BD=8，则OE的长为（）第3题图C．3 D．4A．2 B．524．在菱形ABCD中AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积为__.5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：____________________________，使得菱形ABCD为正方形.第5题图6．如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60∘，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为________cm.第6题图7．如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE=CF，求证：AF=DE.8．如图，点O是▱ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F.（1）求证：△ODE≅△OBF；（2）当EF⊥BD时DE=15cm，分别连接BE，DF.求此时四边形BEDF的周长. B组·素养提升9．[2024常州]如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边AB，CD 于点E，F.若AD=8，BE=10，则tan∠ABD=________.10．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC=90∘.（1）求证：AC=BD；（2）点E在BC边上，满足∠CEO=∠COE.若AB=6，BC=8，求CE的长及tan∠CEO的值.11．如图，在正方形ABCD中，点G是对角线BD上的一点（与点B，D不重合）GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足.连接EF，AG，并延长AG交EF于点H.（1）求证：∠DAG=∠EGH；（2）判断AH与EF是否垂直，并说明理由.参考答案A组·考点过关1．C 2．B 3．B4．245．AC=BD（答案不唯一）6．8√37．证明：∵四边形ABCD为矩形∴AB=CD，∠B=∠C=90∘.∵BE=CF∴BE+EF=CF+EF即BF=CE.在△ABF和△DCE中{AB=CD,∠B=∠C,BF=CE,∴△ABF≅△DCE(SAS)∴AF=DE.8．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//CB ∴∠OED=∠OFB.∵点O是▱ABCD对角线的交点∴OD=OB.在△ODE和△OBF中{∠OED=∠OFB,∠DOE=∠BOF, OD=OB,∴△ODE≅△OBF(AAS).（2）解：连接BE，DF，如答图.第8题答图由（1）得△ODE≌△OBF∴DE=BF.∵DE//BF∴四边形BEDF是平行四边形.∵EF⊥BD∴四边形BEDF是菱形∴DF=BF=BE=DE=15cm∴DF+BF+BE+DE=4DE=4×15=60(cm)∴四边形BEDF的周长为60cm.B组·素养提升9．1210．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∠ABC=90∘∴四边形ABCD是矩形∴AC=BD.（2）作OH⊥BC于点H，则∠OHE=∠OHC=90∘，如答图.第10题答图∵∠ABC=90∘，AB=6，BC=8∴AC=√AB2+BC2=√62+82=10∴OC=OA=12AC=5.∵∠CEO=∠COE∴CE=OC=5.∵OC=OA=12AC，OB=OD=12BD且AC=BD∴OC=OB∴HC=HB=12BC=4∴EH=CE−HC=5−4=1.∵OHHC=ABBC=tan∠ACB∴OH=ABBC⋅HC=68×4=3∴tan∠CEO=OHEH=31=3∴CE的长为5，tan∠CEO的值为3.11．（1）证明：在正方形ABCD中AD⊥CD，GE⊥CD∴AD//GE∴∠DAG=∠EGH.（2）解：AH⊥EF，理由如下:如答图，连接GC交EF于点O.第11题答图∵BD为正方形ABCD的对角线∴∠ADG=∠CDG=45∘.又∵DG=DG，AD=CD∴△ADG≅△CDG(SAS)∴∠DAG=∠DCG.在正方形ABCD中∠ECF=90∘.又∵GE⊥CD，GF⊥BC∴四边形FCEG是矩形∴OE=OC∴∠OEC=∠OCE∴∠DAG=∠OEC.由（1）得∠DAG=∠EGH∴∠EGH=∠OEC∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90∘∴∠GHE=90∘即AH⊥EF.。

第21讲平行四边形、矩形、菱形、正方形,知识清单梳理)平行四边形1．定义：两组对边分别__平行__的四边形叫做平行四边形．2．性质(1)边：对边__平行__且__相等__．(2)角：对角__相等__．(3)对角线：对角线互相平分．(4)对称性：__中心__对称．3．判定(1)两组对边分别__平行__的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别__相等__的四边形是平行四边形．(3)一组对边__平行__且__相等__的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别__相等__的四边形是平行四边形．(5)对角线互相__平分__的四边形是平行四边形．矩形1．定义：有一个角是__直角__的平行四边形叫做矩形．2．性质(1)边：对边__平行__且__相等__．(2)角：四个角都是__直角__．(3)对角线：对角线互相__平分__且__相等__．(4)对称性：__中心__对称和__轴__对称．3．判定(1)有__一__个角是__直角__的平行四边形是矩形．(2)有__三__个角是__直角__的四边形是矩形．(3)对角线__相等__的平行四边形是矩形．菱形1．定义：有一组__邻边相等__的平行四边形叫做菱形．2．性质(1)边：四边__相等__，对边平行．(2)角：对角__相等__．(3)对角线：对角线互相__垂直__、__平分__，且每一条对角线平分一组对角．(4)对称性：__中心__对称和__轴__对称．3．判定(1)有一组__邻边相等__的平行四边形是菱形．(2)四边__相等__的四边形是菱形．(3)对角线互相__垂直__的平行四边形是菱形．正方形1．定义：有一个角是__直角__，有一组邻边__相等__的平行四边形叫做正方形．2．性质(1)边：四边__相等__，对边平行．(2)角：四个角都是__直角__．(3)对角线：对角线互相__垂直__、__平分__、__相等__，每一条对角线平分一组对角．(4)对称性：__中心__对称和__轴__对称．3．判定(1)有一个角是__直角__、有一组邻边__相等__的平行四边形是正方形．(2)有一组邻边相等的__矩形__是正方形．(3)有一个角是直角的__菱形__是正方形．中点四边形1．顺次连接任意四边形各边中点，所得四边形是__平行四边__形．2．顺次连接平行四边形各边中点，所得四边形是__平行四边__形．3．顺次连接矩形各边中点，所得四边形是__菱__形．4．顺次连接菱形各边中点，所得四边形是__矩__形．5．顺次连接正方形各边中点，所得四边形是__正方__形．6．顺次连接等腰梯形各边中点，所得四边形是__菱__形．,云南省近五年高频考点题型示例)轴对称图形与中心对称图形【例1】(2019曲靖中考)平行四边形、矩形、菱形、正方形中是轴对称图形的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；矩形、菱形、正方形都是轴对称图形，故是轴对称图形的有3个．【答案】C平行四边形的性质和判定【例2】(2019昆明中考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝ODC．AD＝BC，AB∥CD D．AB＝CD，AD＝BC【解析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．【答案】C1．(2019曲靖中考)若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较大的内角是__120__°.2．(2019云南中考)如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝60°，M，N分别是AD，BC的中点，BC＝2CD.求证：(1)四边形MNCD是平行四边形；(2)BD＝3MN.证明：(1)∵ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵M，N分别是AD，BC的中点，∴MD＝NC，MD∥NC，∴四边形MNCD是平行四边形；(2)连接ND.∵四边形MNCD 是平行四边形， ∴MN ＝DC.∵N 是BC 的中点，∴BN ＝CN. ∵BC ＝2CD ，∠C ＝60°， ∴△NCD 是等边三角形． ∴ND ＝NC ，∠DNC ＝60°. ∵∠DNC 是△BND 的外角， ∴∠NBD ＋∠NDB＝∠DNC. ∵DN ＝NC ＝NB ，∴∠DBN ＝∠BDN＝12∠DNC＝30°，∴∠BDC ＝90°. ∵tan ∠DBC ＝DC DB ＝33，∴DB ＝3DC ＝3MN.3．(2019云南中考)如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是OA ，OC 的中点，求证：BE ＝DF.证明：连接BF ，DE.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD.∵E ，F 分别是OA ，OC 的中点． ∴OE ＝12OA ，OF ＝12OC ，∴OE ＝OF ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴BE ＝DF.矩形的性质和判定【例3】(2019云南中考)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，BE ∥AC ，CE ∥BD.(1)求tan ∠DBC 的值；(2)求证：四边形OBEC 是矩形．【解析】(1)由四边形ABCD 是菱形，得到对边平行，且BD 为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠BCD 的度数，即可求出tan ∠DBC 的值；(2)由四边形ABCD 是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC，∴∠ABC ＋∠BAD＝180°. ∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝12∠ABC＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan30°＝33； (2)∵BE∥AC，CE ∥BD ，∴四边形OBEC 是平行四边形． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，即∠BOC＝90°. ∴四边形OBEC 是矩形．4．(2019云南中考)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若E ，F 是AC 上的两个动点，分别从A ，C 两点以相同的速度向C ，A 运动，其速度为2 cm/s.(1)当E 与F 不重合时，四边形DEBF 是平行四边形吗？说明理由；(2)若BD ＝24 cm ，AC ＝32 cm ，当运动时间t 为何值时，以D ，E ，B ，F 为顶点的四边形是矩形？说明理由．解：(1)当E 与F 不重合时，四边形DEBF 是平行四边形．理由如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD.∵E ，F 两动点分别以相同的速度向C ，A 运动， ∴AE ＝CF ，∴OA －AE ＝OC －CF ， 即OE ＝OF ，∴BD ，EF 互相平分，∴四边形DEBF 是平行四边形； (2)∵四边形DEBF 是平行四边形， ∴当BD ＝EF 时，四边形DEBF 是矩形． ∵BD ＝24 cm ， ∴EF ＝24 cm ，∴OE ＝OF ＝12 cm ， ∵AC ＝32 cm ，∴OA ＝OC ＝16 cm ， ∴AE ＝4 cm 或28 cm ，∵E ，F 两动点的速度都是2 cm/s ， ∴t ＝2 s 或t ＝14 s ，∴当运动时间t ＝2 s 或14 s 时，以D ，E ，B ，F 为顶点的四边形是矩形．菱形的性质和判定【例4】(2019昆明中考)菱形的两条对角线分别为8，10，则菱形的面积为________．【解析】菱形的面积计算公式S ＝12ab(a ，b 为菱形的对角线长)，∴菱形的面积S ＝12×8×10＝40.【答案】405．(2019曲靖中考)菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为__20__．6．(2019云南中考)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 边上的中点． (1)求证：四边形BDEF 是菱形；(2)若AB ＝12 cm ，求菱形BDEF 的周长．解：(1)∵D，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点， ∴DE ∥AB ，EF ∥BC ，∴四边形BDEF 是平行四边形． 又∵DE＝12AB ，EF ＝12BC ，且AB ＝BC ，∴DE ＝EF ，∴四边形BDEF 是菱形；(2)∵AB＝12 cm ，F 为AB 的中点， ∴BF ＝6 cm ，∴菱形BDEF 的周长为6×4＝24 cm.7．(2019云南中考)如图，△ABC 是以BC 为底的等腰三角形，AD 是边BC 上的高，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点．(1)求证：四边形AEDF 是菱形；(2)如果四边形AEDF 的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF 的面积S. 解：(1)∵AD 是等腰△ABC 底边上的高， ∴D 是BC 边的中点．∵点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，∴四边形AEDF 是平行四边形．又AB ＝AC ， ∴DE ＝DF ，∴▱AEDF 是菱形；(2)连接EF 交AD 于O 点，设AO ＝x ，EO ＝y.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3.5，x 2＋y 2＝9，∴(x ＋y)2＝9＋2xy ，∴12.25＝9＋2xy ，∴2xy ＝3.25， ∴S ＝12·2x·2y＝2xy ＝3.25.正方形的性质和判定【例5】(2019昆明中考)已知：如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点．(1)求证：△ABM≌△DCM；(2)判断四边形MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论；(3)当AD∶AB＝________时，四边形MENF 是正方形(只写结论，不需证明)． 【解析】(1)根据矩形的性质可得AB ＝CD ，∠A ＝∠D＝90°，再根据M 是AD 的中点，可得AM ＝DM ，然后再利用SAS 证明△ABM≌△DCM ；(2)四边形MENF 是菱形．首先根据中位线的性质可证明NE∥MF，NE ＝MF ，可得四边形MENF 是平行四边形，再根据△ABM≌△DCM 可得BM ＝CM ，进而得ME ＝MF ，从而得到四边形MENF 是菱形；(3)当AD∶AB＝2∶1时，四边形MENF 是正方形，证明∠EMF＝90°，根据有一个角为直角的菱形是正方形得到结论．此题主要考查了矩形的性质、菱形的判定和正方形的判定，关键是掌握菱形和正方形的判定方法． 【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，∠A ＝∠D＝90°. 又∵M 是AD 的中点，∴AM ＝DM. 在△ABM 和△DCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠A ＝∠D＝90°，AM ＝DM ，∴△ABM ≌△DCM(SAS)； (2)四边形MENF 是菱形．证明如下： ∵E ，F ，N 分别是BM ，CM ，CB 的中点， ∴NE ∥MF ，NE ＝MF.∴四边形MENF 是平行四边形． 由(1)得BM ＝CM ，∴ME ＝MF. ∴四边形MENF 是菱形．(3)当AD∶AB＝2∶1时，四边形MENF 是正方形．理由：∵M 为AD 中点，∴AD ＝2AM. ∵AD ∶AB ＝2∶1，∴AM ＝AB. ∵∠A ＝90，∴∠ABM＝∠AMB＝45°. 同理∠DMC＝45°，∴∠EMF ＝180°－45°－45°＝90°. ∵四边形MENF 是菱形， ∴菱形MENF 是正方形．,近五年遗漏考点及社会热点与创新题)1.遗漏考点正方形的有关计算【例1】如图，正方形ABCD 中，AE ＝AB ，直线DE 交BC 于点F ，则∠BEF＝( )A．45° B．30°C．60° D．55°【解析】先设∠BAE＝x°，根据正方形性质推出AB＝AE＝AD，∠BAD＝90°，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．本题考查了三角形的内角和定理的运用、等腰三角形的性质的运用，正方形性质的应用及解此题的关键是如何把已知角与未知角结合起来，题目比较典型，但是难度较大．【答案】A【例2】如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为( )A．1 B. 2C．4－2 2 D．32－4【解析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD＝∠ADB＝45°，再求出∠DAE的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE＝∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD＝DE，然后求出正方形的对角线BD的长，再求出BE的长，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的22倍计算即可得解．【答案】C2．创新题【例3】一个四边形四条边依次为a，b，c，d且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形是________．【解析】a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，(a2－2ac＋c2)＋(b2－2bd＋d2)＝0，(a－c)2＋(b－d)2＝0，∴a－c＝0，b－d＝0，∴a＝c，b＝d.∴四边形是平行四边形．【答案】平行四边形,课内重难点真题精练及解题方法总结)1.(2019海南中考)如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABC的周长是( C )A．14 B．16 C．18 D．20【方法总结】掌握菱形的边、对角线的性质，四边相等，对角线互相平分且垂直，再应用勾股定理即可解决．(第1题图)(第2题图)2．(2019贵州中考)如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，且∠EAF＝45°，将△ABE 绕点A 顺时针旋转90°，使点E 落在点E′处，则下列判断不正确的是( D )A ．△AEE ′是等腰直角三角形B ．AF 垂直平分EE′C ．△E ′EC ∽△AFDD ．△AE ′F 是等腰三角形【方法总结】本题考查了旋转的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形、正方形的性质及相似三角形的判定等知识的综合应用．3．(2019曲靖中考)如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE ＝2，AE ＝3BE ，P 是AC 上一动点，则PB ＋PE 的最小值是__10__.【方法总结】本题考查了轴对称——最短路线问题及正方形的性质，解此题通常利用“两点之间，线段最短”的性质．4．(2019临沧中考)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60 cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4 cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2 cm/s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是t s(0＜t≤15)．过点D 作DF⊥BC 于点F ，连接DE ，EF.(1)求证：AE ＝DF ；(2)四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； (3)当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由． 解：(1)∵△ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝60°. ∴∠C ＝180°－∠B－∠A＝30°. 又∵DF⊥BC，CD ＝4t ，AE ＝2t. ∴在Rt △CDF 中，DF ＝12CD ＝2t ，∴DF ＝AE ；(2)∵DF∥AB，DF ＝AE ，∴四边形AEFD 是平行四边形，当AD ＝AE 时，四边形AEFD 是菱形， 即60－4t ＝2t ，解得t ＝10， 即当t ＝10时，▱AEFD 是菱形； (3)当t ＝152时，△DEF 是直角三角形(∠EDF＝90°)； 当t ＝12时，△DEF 是直角三角形(∠DEF ＝90°)．理由如下：①当∠EDF＝90°时，DE ∥BC.∴∠ADE ＝∠C＝30°，∴AD ＝2AE. 即60－4t ＝2×2t， 解得t ＝152，∴t ＝152时，∠EDF ＝90°. ②当∠DEF＝90°时，DE ⊥EF ，∵四边形AEFD 是平行四边形， ∴AD ∥EF ，∴DE ⊥AD ，∴△ADE 是直角三角形，∠ADE ＝90°. ∵∠A ＝60°，∴∠DEA ＝30°，∴AD ＝12AE.AD ＝AC －CD ＝60－4t ，AE ＝2t ，∴60－4t ＝t ，解得t ＝12.③∵四边形ADEF 是平行四边形， ∴AD ∥EF ，∴∠DFE 不可能为直角．综上所述，当t ＝152时，△DEF 是直角三角形(∠EDF＝90°)；当t ＝12时，△DEF 是直角三角形(∠DEF＝90°)．5．(2019曲靖中考)如图，在▱ABCD 中，F 是AD 的中点，延长BC 到点E ，使CE ＝12BC ，连接DE ，CF.(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形；(2)若AB ＝4，AD ＝6，∠B ＝60°，求DE 的长．解：(1)在▱ABCD 中， AD ∥BC ，且AD ＝BC. ∵F 是AD 的中点， ∴DF ＝12AD ＝12BC.又∵CE＝12BC ，∴DF ＝CE ，且DF∥CE，∴四边形CEDF 是平行四边形； (2)过点D 作DH⊥BE 于点H. 在▱ABCD 中，∵∠B ＝60°， ∴∠DCE ＝60°， ∴∠CDH ＝30°， ∵AB ＝4，∴CD ＝AB ＝4，∴CH ＝12CD ＝2，DH ＝2 3.在▱CEDF 中，CE ＝DF ＝12AD ＝3，则EH ＝1.∴在Rt △DHE 中，根据勾股定理知DE ＝（23）2＋1＝13.6．(2019贵州中考)如图，DB ∥AC ，且DB ＝12AC ，E 是AC 的中点．(1)求证：BC ＝DE ；(2)连接AD ，BE ，若要使四边形DBEA 是矩形，则应给△ABC 添加什么条件，为什么？解：(1)∵E 是AC 的中点， ∴EC ＝AE ＝12AC.∵DB ＝12AC ，∴DB ＝EC.又∵DB∥EC，∴四边形DBCE 是平行四边形． ∴BC ＝DE ；(2)添加AB ＝BC.∴四边形DBEA 是平行四边形． ∵BC ＝DE ，AB ＝BC ，∴AB ＝DE.∴▱DBEA 是矩形．【方法总结】掌握平行四边形、矩形的性质及判定方法． 请完成精练本第29页作业2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．甲、乙两人将分别标有2,3,5,6四个数字的小球放入一个不透明的袋子里并搅匀,这些小球除数字外都相同,然后两人玩“猜数字”游戏,甲先从袋中任意摸出一个小球,将小球上的数字记为x,再由乙猜这个小球上的数字,记为y.如果x,y满足|x-y|≤2,那么就称甲、乙两人“心领神会”,则两人“心领神会”的概率是( )A．12B．716C．58D．342．正六边形被三组平行线划分成小的正三角形，则图中全体正三角形的个数是( )A．24 B．36 C．38 D．763．为了响应学校“皖疆手拉手，书香飘校园”的爱心捐书活动，励志班的同学们积极捐书，其中该班雄鹰小组的同学们捐书册数分别是：5,7,,3,4,6x.已知他们的平均每人捐5本，则这组数据的众数、中位数和方差分别是（）A.5,5.5,10B.35,5,2C.55,5,3D.116,5.5,64．抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（-1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b=0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a=12；其中正确的有（）个．A.4B.3C.2D.15．选拔一名选手参加全国中学生男子百米比赛，我市四名中学生参加了训练，他们成绩的平均数x及其方差s2如表所示：如果选拔一名学生去参赛，应派（）去．A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．点P 的坐标是（m ，n ），从﹣5，﹣3，0，4，7这五个数中任取一个数作为m 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为n 的值，则点P （m ，n ）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是（ ） A ．25B ．15C ．14D ．127．如图，C 在AB 的延长线上，CE ⊥AF 于E ，交FB 于D ，若∠F=40°，∠C=20°，则∠FBA 的度数为( ).A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°8．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以点A ，点C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 、点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点D ，连接CD ．若AE ＝3，BC ＝8，则CD 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．下面的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知x+1x=6，则x 2+21x =（ ）A.38B.36C.34D.3211．如图，在平面直角坐标系中，∠α的一边与x 轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点A （1，2），那么sin α的值为（ ）B.12C.2 12．若关于x 的不等式组12x x k+≤⎧⎨≥⎩无解,则k 的值可以是（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．2二、填空题13．关于x 的一元二次方程x 2+4x ﹣k=0有实数根，则k 的取值范围是__________．14．函数6xy x =-中，自变量x 的取值范围是_______. 15．已知反比例函数的图象经过点（m ，6）和（﹣2，3），则m 的值为________．16．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D ，E 在⊙O 上，若∠AEC ＝40°，则∠BDC 的度数为_____．17．若（x+2）（x ﹣1）＝x 2+mx ﹣2，则m ＝_____．18．我县某楼盘准备以每平方米6500元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米5265元的均价开盘销售，则每次下调的百分率是_____． 三、解答题19．某中学为了丰富学生的业余爱好，决定开设以下活动项目：A ：书法；B ：绘画C ：象棋；D ：音乐．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行问卷调査，并将调査结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次调查的学生共有多少人？ （2）补全条形统计图；（3）九年级（1）班老师想从这四类活动项目中随机选取两类作为“五四青年节”表演项目，请用列表或画树状图的方法求恰好选中书法和绘画的概率20．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC 为78m ，从甲的顶部A 处测得乙的顶部D 处的俯角为48°，测得底部C 处的俯角为58°，求乙建筑物的高度CD.（结果取整数，参考数据:tan58°≈1.60,tan48°≈1.11）.21．如图，抛物线y ＝ax 2+32x+c （a≠0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．22．两个运输小队分别从两个仓库以相同的工作效率调运一批物资，两队同时开始工作．第二小队工作5天后，由于技术问题检修设备5天，为赶上进度，再次开工后他们将工作效率提高到原先的2倍，结果和第一小队同时完成任务．在两队调运物资的过程中，两个仓库物资的剩余量y t与第一小队工作时间x天的函数图像如图所示．（1）①求线段AC所表示的y与x之间的函数表达式；②求点F的坐标，并解释点F的实际意义．（2）如果第二小队没有检修设备，按原来的工作效率正常工作，那么他们完成任务的天数是天．23．某高速铁路位于某省南部，是国家“八纵八横”高速铁路网的重要连接通道，也是某省“三横五纵”高速铁路网的重要组成部分．东起日照，向西贯穿临沂、曲阜、济宁、菏泽，与郑徐客运专线兰考南站接轨．工程有一段在一条河边，且刚好为东西走向．B处是一个高铁维护站，如图①，现在想过B处在河上修一座桥，需要知道河宽，一测量员在河对岸的A处测得B在它的东北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进300米到达点C处，测得B在C的北偏西30度方向上．（1）求所测之处河的宽度；（结果保留的十分位）（2）除（1）的测量方案外，请你再设计一种测量河宽的方案，并在图②中画出图形．24．（111|2|2cos 453-︒⎛⎫-+- ⎪⎝⎭；（2）解分式方程：2133x x x =++25．已知： AB 为O 的直径，点D 、N 在O 上，连接AD 、BN 交于点F ，过点D 作O 的切线交BA 的延长于点C ，且CD BE ⊥于点E .(1)如图，求证：AB BF =；(2)如图，连接OD ，点G 在OD 上，连接BG ，若BG CD =，求证：ACD EBG ∠=∠；(3)如图，在(2)的条件下，作//AH BE 交O 于点H ，过点G 作MG BG ⊥交AH 于点M ，连接MB ，若8DG =， 25MB =，求线段MG 的长.【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．k≥﹣4 14．x≠615．-1 16．130°17．118．10%三、解答题19．（1）200，（2）见解析（3）1 6【解析】【分析】（1）根据D类的人数和所占的百分比即可得出答案；（2）首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中书法和绘画的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：（1）∵D类有40人，占20%，∴这次被调查的学生共有：40÷20%＝200（人）；（2）C项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人）；补充如图如下：（3）画树状图得：∵共有12种等可能的情况，恰好选中书法和绘画的有2种，∴恰好选中书法和绘画的概率是21 126．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．20．乙建筑物的高度CD约为38m.【解析】【分析】作AE⊥CD于E，根据正切的定义分别求出CE、DE，得到答案．【详解】解：如图，作AE⊥CD交CD的延长线于点E，则四边形ABCE是矩形.∴AE=BC=78在Rt△ACE中，tan58°=CE AE∴CE=AE ·tan58°≈78×1.60=124.8(m)在Rt△ADE中，tan48°=DE AE∴DE= AE ·tan48°≈78×1.11=86.58(m)∴CD=CE—DE=124.8—86.58≈38(m)即乙建筑物的高度CD约为38m.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 21．（1）y ＝﹣12x 2+32x+2（2）（32，4）或（32，52）或（32，﹣52）（3）（2，1） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组即可．（2）如图1中，分两种情形讨论①当CP ＝CD 时，②当DP ＝DC 时，分别求出点P 坐标即可． （3）如图2中，作CM ⊥EF 于M ，设2113,2,2222E a a F a a a ⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，），则2213112222222EF a a a a a ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，（0≤a≤4），根据S 四边形CDBF ＝S △BCD +S △CEF +S △BEF111,222BD OC EF CM EF BN =⋅+⋅+⋅构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）由题意3022,a c c ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩ 解得122.a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴二次函数的解析式为213222y x x =-++． （2）存在．如图1中，∵C （0，2），3,0,2D ⎛⎫⎪⎝⎭∴CD5.2=当CP ＝CD 时，13,42P ⎛⎫⎪⎝⎭，当DP ＝DC 时， 233535,,,.2222P P ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上所述，满足条件的点P 坐标为3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,.22⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）如图2中，作CM ⊥EF 于M ，∵B （4，0），C （0，2）， ∴直线BC 的解析式为122y x =-+，设2113,2,2222E a a F a a a ⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，），∴2213112222222EF a a a a a ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，（0≤a≤4）， ∵S 四边形CDBF ＝S △BCD +S △CEF +S △BEF 111,222BD OC EF CM EF BN =⋅+⋅+⋅ ()225111124222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 254,2a a =-++()21322a =--+，∴a ＝2时，四边形CDBF 的面积最大，最大值为132， ∴E （2，1）． 【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法，四边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．22．（1）①y ＝－30x ＋360．②点F 的坐标为（8，120）．点F 的实际意义是：第一小队工作8天后，两个仓库剩余的物资都为120 t ．（2）9． 【解析】 【分析】（1）①用待定系数法求解即可；②根据第一小队的工作效率求出第二小队再次开工后的工作效率，即可得到点F 的纵坐标，代入①中解析式即可求出点F 坐标，由题意可知点F 的实际意义是：第一小队工作8天后，两个仓库剩余的物资都为120 t ；（2）根据工作效率以及点F 的纵坐标，求出不检修设备的情况下还需要多少天完成任务，相加即可. 【详解】解：（1）解：①设AC 的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将（12，0），（0，360）代入y ＝kx ＋b ，可得30360k b =-⎧⎨=⎩，即y ＝－30x ＋360．②第一小队的工作效率为360÷12＝30（t ／天），第二小队再次开工后的工作效率为30×2＝60（t ／天），调运物资为60×2＝120（t ）， 即点E 的坐标为（10，120），所以点F 的纵坐标为120．将y ＝120代入y ＝－30x ＋360，可得x ＝8，即点F 的坐标为（8，120）． 点F 的实际意义是：第一小队工作8天后，两个仓库剩余的物资都为120 t ． （2）∵第二小队工作5天后，仓库剩余的物资为120 t ， ∴120÷30＝4（天）， 4+5=9（天），∴如果第二小队没有检修设备，按原来的工作效率正常工作，那么他们完成任务的天数是9天． 【点睛】本题考查了函数图像的识别以及一次函数的应用，根据函数图像得到必要信息是解题关键. 23．（1）所测之处江的宽度为190.5m ；（2）见解析. 【解析】 【分析】解：（1）过点B 作BF ⊥AC 于F ，根据题意得到∠EAB ＝45°，∠GCB ＝30°，AC ＝300m ，求得∠FBA ＝45°，∠CBF ＝30°，得到BF ＝AF ，解直角三角形即可得到结论；（2）构造相似三角形，根据相似三角形的性质得到方程即可得到结论．． 【详解】（1）过点B 作BF ⊥AC 于F ，由题意得：∠EAB ＝45°，∠GCB ＝30°，AC ＝300m ， ∴∠FBA ＝45°，∠CBF ＝30°， ∴BF ＝AF ，∴FC ＝300﹣AF ＝300﹣BF （m ）， 在Rt △BFC 中，tan ∠CBF ＝FCFB， ∴tan30°＝300BFBF-，300BFBF-=，解得：BF ﹣150（3m ）， 答：所测之处江的宽度为190.5m ；（2）①在河岸取点A ，使B 垂直于河岸，延长BA 至C ，测得AC 做记录，②从C 沿平行于河岸的方向走到D ，测得CD ，做记录，③B0与河岸交于E ，测AE ，做记录．根据△BAE ～△BCD ，得到比例线段，从而求出河宽AB ．【点睛】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能构造直角三角形，并能借助于解直角三角形的知识求解是关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．24．（11；（2）23x =. 【解析】【分析】（1）原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）原式＝2321-+-=； （2）去分母得：3x ＝2， 解得：23x =， 经检验23x =是分式方程的解． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．25．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）15MG =【解析】【分析】（1）连接OD ，可 知 OD CD ⊥,再根据平行的性质得出DAO ADO AFB ∠=∠=∠，即可解答（2）连接BD ，作DK AB ⊥于点K ，GL BE ⊥于点L ，证明四边形DGLE 为矩形，即可解答（3）连接OH 、DN 、AN 、BH ，作//DS BG 交BE 于点S ，再设DCO FBG α∠=∠=，得到90OAH OHA AMG α∠=∠=∠=︒-，再设O 半径为r ，8DG =，得到33NB r =-，根据勾股定理得出()()22222233AN AB BN r r =-=--，即可证明四边形AHBN 为矩形，即可解答【详解】（1）证明：连接OD .CD 为O 的切线，点D 在O 上∴OD CD ⊥BE CD ⊥∴90CDO CEB ∠=∠=︒∴//OD BFOA OD =∴DAO ADO ∠=∠∴DAO ADO AFB ∠=∠=∠∴AB BF =（2）证明：连接BD ，作DK AB ⊥于点K ，GL BE ⊥于点L .AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒BD AF ∴⊥AB BF =ABD FBD ∴∠=∠DK AB ⊥GL BE ⊥DK DE ∴=90ELG ODE DEL ∠=∠=∠=︒∴四边形DGLE 为矩形GL DE DK ∴==CD BG =CDK BGL ∴∆≅∆ACD EBG ∴∠=∠（3）连接OH 、DN 、AN 、BH ，作//DS BG 交BE 于点S .设DCO FBG α∠=∠=90COD CBE α∴∠=∠=︒-//DO BE OGB GBE α∴∠=∠=MG BG ⊥90MGB ∴∠=︒90MGO α∴∠=︒-////AH DO BE 90OAH ABE α∴∠=∠=︒-90AMG MGO α∠=∠=︒-OH OH =90OAH OHA AMG α∴∠=∠=∠=︒-//MG OH∴//AH DO ∴四边形为MHOG 平行四边形 MG OH ∴=.CDO BGM ∴∆≅∆25CO BM ∴== 设O 半径为r ，8DG =8MH OG r ∴==-25AC r =-在Rt MHB ∆中，()22222258BH BM MH r =-=--//DG BS //DS BG ∴四边形DGBS 为平行四边形8DG BS ∴== GB DS CD == 在Rt ANF ∆中，DN AD DF ==四边形ABND 为圆内接四边形180DAB DNB ∴∠+∠=︒ 180CAD DAB ∠+∠=︒CAD DNS ∴∠+∠ CAD SND ∴∆≅∆ 25NS CS r ∴==- 8BS = 33NB r =- AB 为O 的直径90ANB AHB ∴∠=∠=︒在Rt MHB ∆中，()()22222233AN AB BN r r =-=-- //AH BH 180HAN ANB ∴∠+∠=︒ 90HAN ANB AHB ∴∠=∠=∠=︒∴四边形AHBN 为矩形.AN BH ∴= ()()()2222258233r r r --=--115r ∴= 2552r =-（舍）15MG ∴= 【点睛】此题考查切线的性质，解直角三角形，矩形的判定与性质，解题关键在于作好辅助线2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若二次函数y=ax 2+bx+c （a ＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，则使函数值y ＞0成立的x 的取值范围是（ ）．A.x ＜﹣4或x ＞2B.﹣4≤x≤2C.x≤﹣4或x≥2D.﹣4＜x ＜2 2．地球上的海洋面积约三亿六千一百万平方千米，用科学记数法表示为（ ）平方千米．A ．361×106B ．36.1×107C ．3.61×108D ．0.361×1093．甲、乙两人将分别标有2,3,5,6四个数字的小球放入一个不透明的袋子里并搅匀,这些小球除数字外都相同,然后两人玩“猜数字”游戏,甲先从袋中任意摸出一个小球,将小球上的数字记为x,再由乙猜这个小球上的数字,记为y.如果x,y 满足|x-y|≤2,那么就称甲、乙两人“心领神会”,则两人“心领神会”的概率是( )A ．12B ．716C ．58D ．344．目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米，而我国能制造芯片的最小工艺水平是16纳米，已知1纳米＝10﹣9米，用科学记数法将16纳米表示为（ ）A ．1.6×10﹣9米B ．1.6×10﹣7米C ．1.6×10﹣8米D ．16×10﹣7米 5．在平面直角坐标系中，点A(﹣1，5)，将点A 向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到点A 1；点A 1关于y 轴与A 2对称，则A 2的坐标为( )A ．(2，﹣1)B ．(1，2)C ．(﹣1，2)D ．(﹣2，1)6．如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是（ ）A.55°B.60°C.65°D.70°7．如图，DC 是以AB 为直径的半圆上的弦，DM ⊥CD 交AB 于点M ，CN ⊥CD 交AB 于点N ．AB=10，CD=6．则四边形DMNC 的面积（ ）A ．等于24B ．最小为24C ．等于48D ．最大为488．如图，□DEFG 内接于ABC ∆，已知ADE ∆、EFC ∆、DBG ∆的面积为1、3、1，那么□DEFG 的面积为（ ）A ．4B ．C ．3D ．2 9．化简211x x x x -++的结果为（ ） A ．2x B ．1x x - C ．1x x + D ．1x x - 10．如图，AD 为等边△ABC 的高，E 、F 分别为线段AD 、AC 上的动点，且AE ＝CF ，当BF ＋CE 取得最小值时，∠AFB ＝A ．112.5°B ．105°C ．90°D ．82.5° 11．如图，O 与正八边形OABCDEFG 的边OA ，OG 分别相交于点M 、N ，则弧MN 所对的圆周角MPN ∠的大小为（ ）A ．30°B ．45︒C ．67.5︒D ．75︒ 12．已知抛物线2y ax bx c =++开口向下，与x 轴交于点(1,0)A -，顶点坐标为(1,)n ，与y 轴的交点在(0,2)，(0,3)之间（包含端点），则下列结论：①20a b +=；②213a -≤≤-；③对于任意实数m ，126a a -总成立； ④关于x 的方程21ax bx c n ++=-有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．已知关于x 的一元二次方程x 2+ax+b=0有一个非零根﹣b ，则a ﹣b 的值为________．。

第21讲平行四边形、矩形、菱形、正方形,知识清单梳理)平行四边形1．定义：两组对边分别__平行__的四边形叫做平行四边形．2．性质(1)边：对边__平行__且__相等__．(2)角：对角__相等__．(3)对角线：对角线互相平分．(4)对称性：__中心__对称．3．判定(1)两组对边分别__平行__的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别__相等__的四边形是平行四边形．(3)一组对边__平行__且__相等__的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别__相等__的四边形是平行四边形．(5)对角线互相__平分__的四边形是平行四边形．矩形1．定义：有一个角是__直角__的平行四边形叫做矩形．2．性质(1)边：对边__平行__且__相等__．(2)角：四个角都是__直角__．(3)对角线：对角线互相__平分__且__相等__．(4)对称性：__中心__对称和__轴__对称．3．判定(1)有__一__个角是__直角__的平行四边形是矩形．(2)有__三__个角是__直角__的四边形是矩形．(3)对角线__相等__的平行四边形是矩形．菱形1．定义：有一组__邻边相等__的平行四边形叫做菱形．2．性质(1)边：四边__相等__，对边平行．(2)角：对角__相等__．(3)对角线：对角线互相__垂直__、__平分__，且每一条对角线平分一组对角．(4)对称性：__中心__对称和__轴__对称．3．判定(1)有一组__邻边相等__的平行四边形是菱形．(2)四边__相等__的四边形是菱形．(3)对角线互相__垂直__的平行四边形是菱形．正方形1．定义：有一个角是__直角__，有一组邻边__相等__的平行四边形叫做正方形．2．性质(1)边：四边__相等__，对边平行．(2)角：四个角都是__直角__．(3)对角线：对角线互相__垂直__、__平分__、__相等__，每一条对角线平分一组对角．(4)对称性：__中心__对称和__轴__对称．3．判定(1)有一个角是__直角__、有一组邻边__相等__的平行四边形是正方形．(2)有一组邻边相等的__矩形__是正方形．(3)有一个角是直角的__菱形__是正方形．中点四边形1．顺次连接任意四边形各边中点，所得四边形是__平行四边__形．2．顺次连接平行四边形各边中点，所得四边形是__平行四边__形．3．顺次连接矩形各边中点，所得四边形是__菱__形．4．顺次连接菱形各边中点，所得四边形是__矩__形．5．顺次连接正方形各边中点，所得四边形是__正方__形．6．顺次连接等腰梯形各边中点，所得四边形是__菱__形．,云南省近五年高频考点题型示例)轴对称图形与中心对称图形【例1】(2017曲靖中考)平行四边形、矩形、菱形、正方形中是轴对称图形的有() A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；矩形、菱形、正方形都是轴对称图形，故是轴对称图形的有3个．【答案】C平行四边形的性质和判定【例2】(2014昆明中考)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列条件不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是( )A ．AB ∥CD ，AD ∥BC B ．OA ＝OC ，OB ＝OD C ．AD ＝BC ，AB ∥CD D ．AB ＝CD ，AD ＝BC【解析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 【答案】C1．(2015曲靖中考)若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较大的内角是__120__°.2．(2014云南中考)如图，在平行四边形ABCD 中，∠C ＝60°，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，BC ＝2CD.求证：(1)四边形MNCD 是平行四边形； (2)BD ＝3MN.证明：(1)∵ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC.∵M ，N 分别是AD ，BC 的中点， ∴MD ＝NC ，MD ∥NC ， ∴四边形MNCD 是平行四边形； (2)连接ND.∵四边形MNCD 是平行四边形， ∴MN ＝DC.∵N 是BC 的中点，∴BN ＝CN. ∵BC ＝2CD ，∠C ＝60°， ∴△NCD 是等边三角形． ∴ND ＝NC ，∠DNC ＝60°. ∵∠DNC 是△BND 的外角， ∴∠NBD ＋∠NDB ＝∠DNC. ∵DN ＝NC ＝NB ，∴∠DBN ＝∠BDN ＝12∠DNC ＝30°，∴∠BDC ＝90°. ∵tan ∠DBC ＝DC DB ＝33，∴DB ＝3DC ＝3MN.3．(2015云南中考)如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是OA ，OC 的中点，求证：BE ＝DF.证明：连接BF ，DE.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD.∵E ，F 分别是OA ，OC 的中点． ∴OE ＝12OA ，OF ＝12OC ，∴OE ＝OF ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴BE ＝DF.矩形的性质和判定【例3】(2016云南中考)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，BE ∥AC ，CE ∥BD.(1)求tan ∠DBC 的值；(2)求证：四边形OBEC 是矩形．【解析】(1)由四边形ABCD 是菱形，得到对边平行，且BD 为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠BCD 的度数，即可求出tan ∠DBC 的值；(2)由四边形ABCD 是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°. ∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan 30°＝33； (2)∵BE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴四边形OBEC 是平行四边形． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，即∠BOC ＝90°. ∴四边形OBEC 是矩形．4．(2016云南中考)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若E ，F 是AC 上的两个动点，分别从A ，C 两点以相同的速度向C ，A 运动，其速度为2 cm /s .(1)当E 与F 不重合时，四边形DEBF 是平行四边形吗？说明理由；(2)若BD ＝24 cm ，AC ＝32 cm ，当运动时间t 为何值时，以D ，E ，B ，F 为顶点的四边形是矩形？说明理由．解：(1)当E 与F 不重合时，四边形DEBF 是平行四边形．理由如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD.∵E ，F 两动点分别以相同的速度向C ，A 运动， ∴AE ＝CF ，∴OA －AE ＝OC －CF ， 即OE ＝OF ，∴BD ，EF 互相平分，∴四边形DEBF 是平行四边形； (2)∵四边形DEBF 是平行四边形，∴当BD ＝EF 时，四边形DEBF 是矩形． ∵BD ＝24 cm ， ∴EF ＝24 cm ，∴OE ＝OF ＝12 cm ， ∵AC ＝32 cm ，∴OA ＝OC ＝16 cm ， ∴AE ＝4 cm 或28 cm ，∵E ，F 两动点的速度都是2 cm /s ， ∴t ＝2 s 或t ＝14 s ，∴当运动时间t ＝2 s 或14 s 时，以D ，E ，B ，F 为顶点的四边形是矩形．菱形的性质和判定【例4】(2015昆明中考)菱形的两条对角线分别为8，10，则菱形的面积为________． 【解析】菱形的面积计算公式S ＝12ab(a ，b 为菱形的对角线长)，∴菱形的面积S ＝12×8×10＝40.【答案】405．(2016曲靖中考)菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为__20__．6．(2013云南中考)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 边上的中点．(1)求证：四边形BDEF 是菱形；(2)若AB ＝12 cm ，求菱形BDEF 的周长．解：(1)∵D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点， ∴DE ∥AB ，EF ∥BC ， ∴四边形BDEF 是平行四边形．又∵DE ＝12AB ，EF ＝12BC ，且AB ＝BC ，∴DE ＝EF ，∴四边形BDEF 是菱形；(2)∵AB ＝12 cm ，F 为AB 的中点， ∴BF ＝6 cm ，∴菱形BDEF 的周长为6×4＝24 cm .7．(2017云南中考)如图，△ABC 是以BC 为底的等腰三角形，AD 是边BC 上的高，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点．(1)求证：四边形AEDF 是菱形；(2)如果四边形AEDF 的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF 的面积S. 解：(1)∵AD 是等腰△ABC 底边上的高， ∴D 是BC 边的中点．∵点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，∴四边形AEDF 是平行四边形．又AB ＝AC ， ∴DE ＝DF ，∴▱AEDF 是菱形；(2)连接EF 交AD 于O 点，设AO ＝x ，EO ＝y.由题意得⎩⎨⎧x ＋y ＝3.5，x 2＋y 2＝9，∴(x ＋y)2＝9＋2xy ，∴12.25＝9＋2xy ，∴2xy ＝3.25， ∴S ＝12·2x·2y ＝2xy ＝3.25.正方形的性质和判定【例5】(2016昆明中考)已知：如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点．(1)求证：△ABM ≌△DCM ；(2)判断四边形MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论；(3)当AD ∶AB ＝________时，四边形MENF 是正方形(只写结论，不需证明)． 【解析】(1)根据矩形的性质可得AB ＝CD ，∠A ＝∠D ＝90°，再根据M 是AD 的中点，可得AM ＝DM ，然后再利用SAS 证明△ABM ≌△DCM ；(2)四边形MENF 是菱形．首先根据中位线的性质可证明NE ∥MF ，NE ＝MF ，可得四边形MENF 是平行四边形，再根据△ABM ≌△DCM 可得BM ＝CM ，进而得ME ＝MF ，从而得到四边形MENF 是菱形；(3)当AD ∶AB ＝2∶1时，四边形MENF 是正方形，证明∠EMF ＝90°，根据有一个角为直角的菱形是正方形得到结论．此题主要考查了矩形的性质、菱形的判定和正方形的判定，关键是掌握菱形和正方形的判定方法．【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，∠A ＝∠D ＝90°.又∵M 是AD 的中点，∴AM ＝DM. 在△ABM 和△DCM 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，∠A ＝∠D ＝90°，AM ＝DM ，∴△ABM ≌△DCM(SAS )； (2)四边形MENF 是菱形．证明如下：∵E ，F ，N 分别是BM ，CM ，CB 的中点， ∴NE ∥MF ，NE ＝MF.∴四边形MENF 是平行四边形． 由(1)得BM ＝CM ，∴ME ＝MF.∴四边形MENF 是菱形．(3)当AD ∶AB ＝2∶1时，四边形MENF 是正方形．理由：∵M 为AD 中点，∴AD ＝2AM.∵AD ∶AB ＝2∶1，∴AM ＝AB. ∵∠A ＝90，∴∠ABM ＝∠AMB ＝45°. 同理∠DMC ＝45°，∴∠EMF ＝180°－45°－45°＝90°. ∵四边形MENF 是菱形， ∴菱形MENF 是正方形．,近五年遗漏考点及社会热点与创新题)1.遗漏考点正方形的有关计算【例1】如图，正方形ABCD 中，AE ＝AB ，直线DE 交BC 于点F ，则∠BEF ＝( )A．45°B．30°C．60°D．55°【解析】先设∠BAE＝x°，根据正方形性质推出AB＝AE＝AD，∠BAD＝90°，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．本题考查了三角形的内角和定理的运用、等腰三角形的性质的运用，正方形性质的应用及解此题的关键是如何把已知角与未知角结合起来，题目比较典型，但是难度较大．【答案】A【例2】如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为()A．1 B. 2C．4－2 2 D．32－4【解析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD＝∠ADB＝45°，再求出∠DAE 的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE＝∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD＝DE，然后求出正方形的对角线BD的长，再求出BE的长，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的22倍计算即可得解．【答案】C2．创新题【例3】一个四边形四条边依次为a，b，c，d且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形是________．【解析】a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，(a2－2ac＋c2)＋(b2－2bd＋d2)＝0，(a－c)2＋(b－d)2＝0，∴a－c＝0，b－d＝0，∴a＝c，b＝d.∴四边形是平行四边形．【答案】平行四边形,课内重难点真题精练及解题方法总结)1.(2017海南中考)如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABC的周长是(C)A．14 B．16 C．18 D．20【方法总结】掌握菱形的边、对角线的性质，四边相等，对角线互相平分且垂直，再应用勾股定理即可解决．(第1题图)(第2题图)2．(2017贵州中考)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF ＝45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E′处，则下列判断不正确的是(D)A．△AEE′是等腰直角三角形B．AF垂直平分EE′C．△E′EC∽△AFDD ．△AE ′F 是等腰三角形【方法总结】本题考查了旋转的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形、正方形的性质及相似三角形的判定等知识的综合应用．3．(2016曲靖中考)如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE ＝2，AE ＝3BE ，P 是AC 上一动点，则PB ＋PE 的最小值是__10__.【方法总结】本题考查了轴对称——最短路线问题及正方形的性质，解此题通常利用“两点之间，线段最短”的性质．4．(2015临沧中考)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60 cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4 cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2 cm /s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是t s (0＜t ≤15)．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF.(1)求证：AE ＝DF ；(2)四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由；(3)当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．解：(1)∵△ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝60°.∴∠C ＝180°－∠B －∠A ＝30°.又∵DF ⊥BC ，CD ＝4t ，AE ＝2t.∴在Rt △CDF 中，DF ＝12CD ＝2t ， ∴DF ＝AE ；(2)∵DF ∥AB ，DF ＝AE ，∴四边形AEFD 是平行四边形，当AD ＝AE 时，四边形AEFD 是菱形，即60－4t ＝2t ，解得t ＝10，即当t ＝10时，▱AEFD 是菱形；(3)当t ＝152时，△DEF 是直角三角形(∠EDF ＝90°)； 当t ＝12时，△DEF 是直角三角形(∠DEF ＝90°)．理由如下：①当∠EDF ＝90°时，DE ∥BC.∴∠ADE ＝∠C ＝30°，∴AD ＝2AE.即60－4t ＝2×2t ，解得t ＝152，∴t ＝152时，∠EDF ＝90°. ②当∠DEF ＝90°时，DE ⊥EF ，∵四边形AEFD 是平行四边形，∴AD ∥EF ，∴DE ⊥AD ，∴△ADE 是直角三角形，∠ADE ＝90°.∵∠A ＝60°，∴∠DEA ＝30°，∴AD ＝12AE.AD ＝AC －CD ＝60－4t ，AE ＝2t ， ∴60－4t ＝t ，解得t ＝12.③∵四边形ADEF 是平行四边形，∴AD ∥EF ，∴∠DFE 不可能为直角．综上所述，当t ＝152时，△DEF 是直角三角形(∠EDF ＝90°)； 当t ＝12时，△DEF 是直角三角形(∠DEF ＝90°)．5．(2016曲靖中考)如图，在▱ABCD 中，F 是AD 的中点，延长BC 到点E ，使CE ＝12BC ，连接DE ，CF.(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形；(2)若AB ＝4，AD ＝6，∠B ＝60°，求DE 的长．解：(1)在▱ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝BC.∵F 是AD 的中点，∴DF ＝12AD ＝12BC. 又∵CE ＝12BC ，∴DF ＝CE ，且DF ∥CE ， ∴四边形CEDF 是平行四边形；(2)过点D 作DH ⊥BE 于点H.在▱ABCD 中，∵∠B ＝60°，∴∠DCE ＝60°，∴∠CDH ＝30°，∵AB ＝4，∴CD ＝AB ＝4，∴CH ＝12CD ＝2，DH ＝2 3. 在▱CEDF 中，CE ＝DF ＝12AD ＝3，则EH ＝1. ∴在Rt △DHE 中，根据勾股定理知DE ＝（23）2＋1＝13.6．(2017贵州中考)如图，DB ∥AC ，且DB ＝12AC ，E 是AC 的中点． (1)求证：BC ＝DE ；(2)连接AD ，BE ，若要使四边形DBEA 是矩形，则应给△ABC 添加什么条件，为什么？解：(1)∵E 是AC 的中点，∴EC ＝AE ＝12AC. ∵DB ＝12AC ，∴DB ＝EC. 又∵DB ∥EC ，∴四边形DBCE 是平行四边形．∴BC ＝DE ；(2)添加AB ＝BC.∴四边形DBEA 是平行四边形．∵BC ＝DE ，AB ＝BC ，∴AB ＝DE.∴▱DBEA 是矩形．【方法总结】掌握平行四边形、矩形的性质及判定方法． 请完成精练本第29页作业。