倒计时抢分攻略之数学篇丨杭二中高三备课组组长孙惠华

2025届浙江省杭州第二中学高三下学期联考数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()()()1sin,13222,3100x x f x f x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，若函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,?··n a a a ，并记相应的极大值为12,,?··n b b b ，则()1niii a b =+∑的值为（ ）A ．5022449+B ．5022549+C ．4922449+D ．4922549+2．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A ．a b b a -<-B ．a b b a ->-C ．abe b e a -<- D ．abe b e a ->-3．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222233=，333388=，44441515=，55552424=，则按照以上规律，若10101010n n=具有“穿墙术”，则n =（ ） A ．48B ．63C ．99D ．1204．函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．5．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．6．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1B ．23-C ．13-D ．34-7．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（ ） A ．65x π=-B ．3x π=-C ．6x π=D ．3x π=8．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧9．已知()21AB =-，，()1,AC λ=，若10cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ） A ．-1B ．7C ．1D ．1或710．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A 5B 5C 10D 10 11．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( )A ．12πB ．16πC ．24πD ．48π12．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（ ）种. A ．360B ．240C ．150D ．120二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

杭州二中高三代数质量检测题（五）（2005年12月26日下午3：05－4:35） 命题：黄宗巧一、选择题：满分60分，共10小题，每小题6分.1.函数2sin 3cos 3y x x =--+的最小值为 ( )（A ）0 （B ） 2 （C ）1- （D ）14-2.某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合的抽取样本的方法是 ( )(A)简单随机抽样 (B)系统抽样 (C)分层抽样 (D)先从老年人中随机剔除1人，然后分层抽样 3.如果函数2log (2)3y x =+-的图象按a 平移得到2log y x =的图象,则a = ( ) （A ）(2,3) （B ）(2,3)- （C ）(2,3)-（D ）(2,3)--4.已知随机变量()~10,0.6B ξ，若8ξη+=，则,E D ηη分别是 ( )(A)6和2.4(B)2和2.4(C)2和5.6(D)6和5.6（文科．．）若函数(1)y f x =+的定义域是[2,3]-,则(1)y f x =-定义域是 ( ) （A ）[2,3]- （B ）[0,5] （C ）[1,4]- （D ）[3,2]-5．若b a ≠，ba b a m --=，ba b a n ++=，则m 、n 的大小关系是 （ ）（A ）n m = （B ）n m ≥ （C ）n m ≤ （D ）无法判断 6. 函数()212log 35y x ax =-+在[)+∞-,1上单调递减，则a 的取值范围是 （ ）（A ）(]6-∞-, （B ）[)06,- （C ）(]68--, （D ）[]68--, 7．已知()f x 为R 上的奇函数，且()()22+-=-x f x f ，()03=f .则()0=x f 在区间()100,内实根的个数最少是 （ ）（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 8.n S 是首项为1的等比数列{}n a 的前n 项和，若lim11nn nS S →∞=+, 则公比q 的范围是( )（A ）1≥q （B ）11≥-<q q 或 （C ）10<<q （D ）011≠≤<-q q 且（文科．．）已知两个等差数列{}{}、n n a b 满足121253()27n n a a a n n N b b b n *++++=∈++++， 则=66b a ( ) （A ）25 （B ） 2 （C ）1933 （D ）3163 9.函数()x x x f -++=863的值域是 （ ）（A ）[]3010, （B）（C ）[]810, （D ）[]304,10.已知全集{}4321,,,U =，则满足 {}1AB ⊂≠U C 的集合对A 、B 共有 （ ）（A ）24对 （B ）27对 （C ）37对 （D ）42对 二、填空题：满分30分，共6小题，每小题5分.11．已知点()()1,1,2,3A B ，O 为坐标原点，,OP OA AB R λλ=+∈， 若点P 在第四象 限内，则实数λ的取值范围是 .12．函数2log (y x =的反函数是 .13.若集合2{ln(1),}y y x ax x R R =-+∈=，则实数a 的取值范围是 . 14. 设甲射击一次，击中目标的概率是32.假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响，且连续2次未击中．．．目标，则停止射击.则甲恰好射击5次后，被中止射击的概率是 . 15.若关于x 的方程2ln 0x x a --=在区间[1,3]内恰有一个实根，则实数a 的取值范围是 .（文科．．）若关于x 的方程30x x a --=有三个不同的实根，则a 的取值范围是 . 16．给出下列四个命题：①设2()(0)f x ax bx c a =++≠，若12()()f x f x =12()x x ≠，则12()f x x c +=；②若偶函数()f x 在0x =处可导，则(0)0f '=； ③函数(1)y f x =+与(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称；④函数y =的最小值是 5.则其中错误的命题的序号是 .杭州二中高三代数质量检测题（五）答题卷班级 姓名 学号一．选择题：满分60分，共10小题，每小题6分.（11）11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（12） 222x x y -+=，[)0,x ∈+∞，（13）(][),22,-∞-+∞，（14）16243，（15）{22ln 2}(32ln3,1]--,文,99⎛- ⎝⎭（16）③ 三．解答题：满分60分，共4小题，每小题15分. 17.已知向量()()2sin ,cos ,3cos ,2cos m x x n x x ==，定义函数()()()log 10,1a f x m n a a =->≠，求函数()f x 的最小正周期、单调递增区间.解：.因为223sin cos 2cos 2cos 21m n x x x x x =+=++所以 ())log 2cos 2log 2sin 26aa f x x x x π⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ,故 22T ππ== , 令()2sin 206g x x π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则()g x 的单调递增的正值区间是(),126k k k Z ππππ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦，单调递减的正值区间是()5,612k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭ 则当01a <<时，函数()f x 的单调递增区间为()5,612k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭当1a >时，函数()f x 的单调递增区间为(),126k k k Z ππππ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦18．已知不等式22222322(32)log log 02020a a a a x a a -+-+-+<++对任意R ∈x 恒成立，试求实数a 的取值范围.解：令2232log 20a a t a -+=+，则210tx t -++<对任意R ∈x 恒成立则0t <，且()8410t t ∆=-+<，解得：2-<t所以41202302<++-<a a a ，解得()4 , 21 , 43⋃⎪⎭⎫⎝⎛-∈a ，19.已知f(x)=)(32432R x x ax x ∈-+在区间[－1，1]上是增函数.（1）求实数a 的值组成的集合A ；（2）设关于x 的方程f(x)=3312x x +的两个非零实根为x 1、x 2.是否存在实数m ，使得对任意a ∈A 及t ∈[－1，1],不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|恒成立？ 解：（2004福建文T22）（1）f ＇(x)=4+2,22x ax - ∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立. ① 设ϕ(x )=x 2－ax －2，方法一：ϕ(1)=1－a －2≤0，① ⇔ ⇔－1≤a ≤1，ϕ(－1)=1+a －2≤0.∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(-1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0∴A={a |－1≤a ≤1}.方法二：2a ≥0， 2a<0， ①⇔ 或ϕ(－1)=1+a －2≤0ϕ(1)=1－a －2≤0⇔ 0≤a ≤1 或 －1≤a ≤0 ⇔ －1≤a ≤1.∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(－1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0 ∴A={a |－1≤a ≤1}. （2）由,02,0,3123242332=--=+=-+ax x x x x x ax x 或得 ∵△=a 2+8>0∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，x 1+x 2=a ，x 1x 2=－2 从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a ， ∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3.要使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，当且仅当m 2+tm+1≥3即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ② 设g(t)=m 2+tm －2=mt+(m 2－2)，方法一：g(－1)=m 2－m －2≥0， ② ⇔g(1)=m 2+m －2≥0，⇔m ≥2或m ≤－2.方法二：当m=0时，②显然不成立；当m ≠0时， m>0， m<0， ②⇔ 或g(－1)=m 2－m －2≥0 g(1)=m 2+m －2≥0⇔ m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}. 20.已知数列{}n a 满足：212,n n n a a a n N *+=-+∈，且1(0,1)a a =∈.(1)用数学归纳法证明：01n a <<；（2）试求{}n a 的通项公式；（3）对于2,n n N *≥∈，求证：3332222121223112()()n n n n a a a a a a a a a a a n -+++-++++<.提示：（2）12211(1)(1),lg(1)2lg(1),1(1)n n n n n n a a a a a a -++-=--=-∴=-- （3）分析：由已知可得：1n n a a ->方法1：21112(0,1),20n n n n n a a a a a a a +-=∈->->，所以左边＝222211222311112231112(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2),n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n ----+-++-+-<-+-++-+-=+++<方法2：32241122(2)k k k k k k k a a a a a a a ++-=-=Q故：左边=13112n k n n k a a a a -=+-å2222411111110,;01,,n n n a a a a a a a a a a >>\><<\>\>Q Q故：左边1134311222n n k n k n k k aa a a a n --==<+-=+<邋方法3：由332231111(1)()(1)0n n n n n n n n a a a a a a a a ----+-+=-+-<又332311111(1)()()(1)0n n n n n a a a a a a a a a a +-+=-++-<累加可证方法4：对上面方法3的一种推广：对任意的*,p q N Î，3321p q p q a a a a +<+证明如下：若p q >，3322231()(1)p q p q q q p p a a a a a a a a +-+=-+- ,10p q p q a a >\>>>Q ，220q p a a \-<，故得证 若p q <，则332231()(1)p q p q p p q q a a a a a a a a +-+=-+-同理可证这样，利用上述命题，对左边各式进行任意组合，便可证明（文科．．）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和),2,1( 0 =>n S n .（1）求q 的取值范围；（2）设1223++-=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小. 解：(2005全国卷Ⅰ)（1）因为}{n a 是等比数列，.0,0,011≠>=>q S a S n 可得当;0,11>==na S q n 时1(1)11,0,0,(1,2,)11n nn a q q q S n q q--≠=>>=--当时即上式等价于不等式组：),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧<-<-n q q n① 或),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧>->-n q q n② 解①式得q>1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1<q<1. 综上，q 的取值范围是).,0()0,1(+∞⋃-（2）由2132n a n b a a ++=-得.)23(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-= 于是)123(2--=-q q S S T n n n ).2)(21(-+=q q S n又∵n S >0且－1<q <0或q >0当112q -<<-或2q >时0n n T S ->即n n T S >当122q -<<且q ≠0时，0n n T S -<即n n T S <当12q =-或q =2时，0n n T S -=即n n T S =。

杭州二中2010学年第一学期高二年级期末考试数学试卷（理）时间 90分钟 命题 陈洁 校对 张先军 审核 孙惠华注意：本试卷不得使用计算器，作图时必须使用尺规．一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.原点在直线l 上的射影是(2,1)P -，则直线l 的方程是A ．02=+y xB ．042=-+y xC ．052=+-y xD ．032=++y x 2．已知A B C 、、三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A B C 、、一定共面的是A ．OM OA OB OC =++ B ．2OM OA OB OC =--C ．1123OM OA OB OC =++D ．111333OM OA OB OC =++3．已知平面内两定点,A B 及动点P ，设命题甲是：“PA PB +是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆”，那么 A ．甲是乙成立的充分不必要条件 B ．甲是乙成立的必要不充分条件 C ．甲是乙成立的充要条件 D ．甲是乙成立的非充分非必要条件 4．命题：“若220(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是 A ．若0(,)a b a b R ≠≠∈，则220a b +≠B ．若0(,)a b a b R =≠∈，则220a b +≠C ．若0a ≠且0(,)b a b R ≠∈，则220a b +≠D ．若0a ≠或0(,)b a b R ≠∈，则220a b +≠5．已知βα,是两个不同平面，n m ,是直线，下列命题中不正确．．．的是 A ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥ B ．若//m α，n αβ=，则//m nC ．若m α⊥，m β⊥，则//αβD ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥6. 与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线,且经过点()32,3-的双曲线的方程为A.194422=-y x B ．194422=-x yC ．149422=-x yD ．149422=-y x 7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为12F F 、，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2||PF = A ．23 B ．3 C ．27 D ．48．点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与到直线1-=x 的距离和的最小值是B. C ．2 D ． 29. 已知四面体A BCD -的棱长均为2，其正视图是边长为2的等边三角形（如图，其中BC 为水平线），则其侧视图的面积是 A. 2 B. 22C. D.362 10.从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -与b a -的大小关系为 A ．MO MT b a ->- B.MO MT b a -=- C.MO MT b a -<- D.不确定二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11. 若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m = . 12．椭圆193622=+y x 的一条弦被点)2,4(A 平分,那么这条弦所在的直线方程是________. 13. 在正ABC ∆中, D E 、分别为AB AC 、的中点,则以B C 、为焦点且过点D E 、的双曲线的离心率为 . 14．若,x y 满足220,x y +-≤且220y x -≤，则z x y =+的最小值为 ．15．将边长为2，有一内角为60的菱形ABCD 沿较短．．对角线BD 折成四面体A BCD -，点E F 、 分别为AC BD 、的中点，则下列命题中正确的是 （将正确的命题序号全填上）： ①//EF AB ； ②EF 与异面直线AC 、BD 都垂直； ③当四面体ABCD的体积最大时，AC =； ④AC 垂直于截面BDE .杭州二中2010学年第一学期高二年级期末考试数学答题卷（理）一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是11． 12．13．14．15．三．解答题:本大题共4小题，共50分.16．（本小题满分12分）已知圆C ：22420(,0)x y tx y t R t t+--=∈≠与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点. （1）求证：OAB ∆的面积为定值；（2）设直线42+-=x y 与圆C 交于点M 、N ，若OM ON =，求圆C 的方程.17．（本小题满分12分）已知曲线C 的极坐标方程是22(13sin )4ρθ+=，直线l的参数方程是6x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()t 为参数.（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点M 为曲线C 上任一点，求M 到直线l 的距离的最大值.18．（本小题满分12分）如图，已知BCD ∆中，90BCD ∠=︒，AB ⊥平面BCD，2,BC CD ==AB E F =、分别为AC AD 、上的动点.（1）若AE AFEC FD =,求证：平面BEF ⊥平面ABC ； （2）若1AE EC =，2AFFD=，求平面BEF 与平面BCD 所成的锐二面角的大小.19．（本小题满分14分）过x 轴上动点(,0)A a 引抛物线21y x =+的两条切线AP 、AQ ，P 、Q 为切点,设切线AP 、AQ 的斜率分别为1k 和2k ． (1)求证：124k k =-；(2)求证：直线PQ 恒过定点，并求出此定点坐标； (3)设APQ ∆的面积为S ，当SPQ最小时，求AQ AP ⋅的值． 杭州二中2010学年第一学期高二年级期末考试数学答案（理）一．选择题：本大题共.11．32 12．280x y +-= 131 14．12- 15．②③④ 三．解答题:本大题共4小题，共50分.16．解：（1）由题意知，(2,0)A t ,4(0,)B t4|2||4|2121=⨯⨯=⨯=∴∆t tOB OA S OAB ，即OAB ∆的面积为定值． （2）,,CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN ． 21,2=∴-=oc MN k k ，∴直线OC 的方程是x y 21= t t 212=∴，解得：22-==t t 或 ①当2=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(，5=OC ， 此时C 到直线42+-=x y 的距离559<=d ，圆C 与直线42+-=x y 相交于两点．②当2-=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(--，5=OC ， 此时C 到直线42+-=x y 的距离559>=d , 圆C 与直线42+-=x y 不相交，2-=∴t 不符合题意舍去．∴圆C 的方程为5)1()2(22=-+-y x17．解：（1）22:1,4x C y += :260l x y +-=（2）设(2cos ,sin)M θθ，则M 到直线l 的距离d==∴当sin()14πθ+=-，即5,(4M πθ=时，max d ==18．（1）证明：AB ⊥平面BCD ，AB CD ∴⊥。

2025届杭州第二中学数学高三上期末考试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(,)34内增大时，（ ） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大2．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）A ．221111a b <++ B C ．2a ab <D ．()()22ln 1ln 1a b +>+3．已知符号函数sgnx 100010x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩，＞，，＜f （x ）是定义在R 上的减函数，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）（a ＞1），则（ ）A ．sgn [g （x ）]＝sgn xB ．sgn [g （x ）]＝﹣sgnxC ．sgn [g （x ）]＝sgn [f （x ）]D ．sgn [g （x ）]＝﹣sgn [f （x ）]4．已知f (x )=-1x x e e a+是定义在R 上的奇函数，则不等式f (x -3)<f (9-x 2)的解集为（ ）A ．(-2,6)B ．(-6,2)C ．(-4,3)D ．(-3,4)5．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ．12B ．35C ．710D ．456．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．7．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( ) A ．18种B ．36种C ．54种D ．72种8．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%），根据该图，以下结论一定正确的是（ ）A ．2019年该工厂的棉签产量最少B ．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C ．三年累计下来产量最多的是口罩D ．口罩的产量逐年增加9．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为A ．8B ．16C ．24D ．3610．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．2⎛ ⎝⎦B ．2⎫⎪⎪⎝⎭C ．3⎛ ⎝⎦D ．3⎫⎪⎪⎝⎭11．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：()0.675,0.989-，()1.102,0.010-，()2.899,1.024，()9.101,2.978，下列函数模型中拟合较好的是（ ）A ．3y x =B ．3x y =C ．()21y x =--D ．3log y x =12．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( )A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．1280二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

“3个二次”转化与变形的基本方法孙惠华【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2009(000)003【总页数】4页(P16-19)【关键词】变形技巧;函数思想方法;二次不等式;代数运算;不等式恒成立;二次方程;函数不等式;知识结构【作者】孙惠华【作者单位】杭州市第二中学,浙江杭州310053【正文语种】中文【中图分类】G633.62新课程的代数知识结构的新特点是体现在以函数思想为主线的代数体系，淡化了代数运算与变形技巧，注重函数思想方法的渗透及函数方法的应用意识的培养．二次函数、二次方程与二次不等式这3者之间有着不可分割的天然关系，它们不但是沟通低次与高次函数、方程、不等式的纽带与桥梁，更重要的是解决函数零点分布、不等式恒成立、函数不等式等问题必不可少的工具．可想而知，虽然高考中直接考查“3个二次”内容的题目不多，但是与它相关的内容却有较大的比重．因此在高考复习中，做好“3个二次”内容的复习是落实数学双基、确保数学高考成功的关键环节．1．1 考点回顾分析历年的高考试卷，笔者认为关于“3个二次”内容的考点归纳起来主要有以下几个方面：(1)直接考查二次函数的最值、图像问题；(2)直接考查二次方程的根的分布问题，构成变量的线性不等关系，与目标函数的最优解交汇；(3)直接考查含参数的二次不等式解的问题；(4)与不等式恒成立相关的二次函数的最值问题；(5)把“3个二次”作为解题工具的综合性问题,譬如导函数为二次函数的高次函数的问题.1.2 命题趋势新课程的高考命题注重函数思想的能力立意，以二次函数为基点的命题思维形式应值得关注.根据新课程的特点，命题的趋势主要表现在：(1)以二次函数的性质、图像、最值、二次不等式的解的形式为知识点的选择题、填空题；(2)以二次方程的根的分布为背景的变量范围问题、体现规划思想的小题；(3)含参变量的不等式恒成立的问题；(4)以二次函数在指定范围的最值、二次不等式、二次方程的根为基点设计综合性的大题，可以与任何组块的知识交汇，尤其是解析几何的最值问题．例1 已知关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围．分析首先要判断不等式的次数，然后才能确定解决问题的思路方法，即(a2-4)是否为零．解当a2-4gt;0时，不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不可能为空集．当a2-4=0时，若a=2，则(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解为x≥，不合题意；若a=-2，则(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解为φ.当a2-4lt;0时，如果不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集，则解得综上所述,a的取值范围-2≤alt;.点评本题易错解：由Δ=(a+2)2+4(a2-4)lt;0，解得-2lt;alt;．例2 若x1,x2是关于方程x2+ax+a-=0的2个实数根．(1)求实数a的取值集合A.(2)试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+4+6≥(x1-3x2)(x2-3x1)对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．分析先根据二次方程的解的存在性确定变量a的取值范围，再把不等式恒成立问题转化为二次函数的最值问题，最后根据一次函数的性质回归到解二次不等式．解 (1)由x2+ax+a-=0有2个实数根,可得即因此 A=(-∞,2-]∪[2+,+∞).(2)因为x1+x2=-a，x1x2=a-，所以f(a) =(x1-3x2)(x2-3x1)=16x1x2-3(x1+x2)2=-3a2+16a-8.又因为对称轴a=，所以因此,可把问题转化成对任意的t∈[-1,1]，不等式m2+tm+4+6≥6+4恒成立,即设g(t)=m2+tm，要使不等式m2+tm≥0对任意的t∈[-1,1]恒成立,只需点评本题融“3个二次”为一体，巧妙地考查以“3个二次”为基本功的代数综合性问题，涉及面广，方法基础，关键是各结合点的联系较为自然．例3 设f(x)=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f(0)gt;0,f(1)gt;0,求证：(1)agt;0且-2lt;lt;-1；(2)方程f(x)=0在(0，1)内有2个实根．分析根据二次函数确定不等关系，从不等式性质中推出所需的范围；对于第(2)小题，证明二次方程的根的分布范围，利用数形结合，对称轴在(0，1)之间，端点与顶点异号即可．解 (1)因为f(0)gt;0，f(1)gt;0,所以由条件a+b+c=0，消去b，得agt;cgt;0；由条件a+b+c=0，消去c，得故(2)抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点坐标为在-2lt;lt;-1的两边乘以-，得又因为f(0)gt;0,f(1)gt;0,而点评本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识.例4 已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,agt;0)，设方程f(x)=x的2个实数根为x1和x2.(1)若x1lt;2lt;x2lt;4，设函数f(x)的对称轴为x=x0，求证：x0gt;-1；(2)若|x1|lt;2,|x2-x1|=2，求b的取值范围.分析由于条件x1lt;2lt;x2lt;4实际上给出了f(x)=x的2个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.解设g(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+1，g(x)=0的2个根为x1和x2.(1)由agt;0及x1lt;2lt;x2lt;4，可得即因此两式相加得lt;1,所以x0gt;-1.(2)由可得因为x1x2=gt;0，所以x1,x2同号.因此|x1|lt;2，|x2-x1|=2等价于即点评在处理一元二次方程根的问题时，考察该方程所对应的二次函数图像特征的充要条件是解决问题的关键．例5 已知f(x)=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数，其图像交x轴于A,B,C这3个点.若点B坐标为(2,0)，且f(x)在[-1,0]和[4,5]上有相同的单调性，在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性.(1)求c的值.(2)在函数f(x)的图像上是否存在一点M(x0,y0)，使得f(x)在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)求|AC|的取值范围.分析由f(x)在[-1,0]和[0,2]上有相反的单调性，可知极值点必为0.利用导数的零点分布确定导函数的值域，从而判断与3b的关系．对于|AC|的长度可以利用函数零点的表示，转化为变量的函数，再求其值域．解(1)因为f(x)在[-1,0]和[0,2]上有相反的单调性，所以x=0是f(x)的一个极值点，故f ′(x)=0，即3ax2+2bx+c=0有一个解为x=0，得c=0.(2)因为f(x)交x轴于点B(2,0)，所以即令f ′(x)=0,则3ax2+2bx=0，解得由f(x)在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，得解得假设存在点M(x0,y0)，使得f(x)在点M的切线斜率为3b，则f ′(x0)=3b，即因为且-6≤≤-3，所以Δlt;0,故不存在点M(x0,y0)，使得f(x)在点M的切线斜率为3b.(3)依题意可令f(x) =a(x-α)(x-2)(x-β)=a[x3-(2+α+β)x2+(2α+2β+αβ)x-2αβ]，则因为所以当=-6时，|AC|max=4;当=-3时，|AC|min=3.故点评研究三次函数的基本出发点就是研究导函数的值域分布，利用二次函数或二次方程解决其单调性、极值点或斜率的范围等问题．精题集粹1．设bgt;0，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图像为下列之一，则a的值为A.1B.-1C.D.2．不等式ax2-x+2-agt;0对任意的a∈[0,1]恒成立，则x的取值范围是A.(-∞,2)B.(-∞,0)∪(1,2)C.(1，2)D.(-∞,0)3．若f(x)和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程x-f[g(x)]=0有实数解，则g[f(x)]不可能是A.x2+x-B.x2+x+C.x2-D.x2+4．已知向量a≠e，|e|=1，对任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，则A.a⊥e B．a⊥(a-e)C.e⊥(a-e) D．(a+e)⊥(a-e)5．对于一切实数x，如果二次函数f(x)=ax2+bx+c的值恒为非负数，那么当bgt;a时，代数式 f(1)的最小值为________．6．若函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在[0,2]上的最小值是3，则a的值为________．7．设f(x)=x2+bx+c(b,c为常数)，方程f(x)=x的2个实数根为x1,x2且满足x2-x1gt;1.若tlt;x1，试比较f(t)与x1的大小.8．已知函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立，且f(1)=0．(1)求f(x)的表达式；(2)如果m,n是方程af(x)=(a-1)x-2a-1(agt;0)的2个实根，且满足不等式试求实数a的取值范围．参考答案1．C 2．A 3．B 4．C5．3 6.a=1-或a=5+7．解设方程x2+(b-1)x+c=0的2个根为x1,x2，且x1lt;x2．令F(x)=x2+(b-1)x+c，对称轴方程为x=.由x2-x1gt;1，得所以因此函数f(x)在(-∞,x1)上是减函数，故8．解 (1)令x=1，y=0,则解得令y=0,则得(2)由m,n是方程af(x)=(a-1)x-2a-1,即ax2+x+1=0的2个实根，可得即又由可得即又因为所以。