九年级数学上册-一元二次方程的根与系数的关系教案新版新人教版

一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标（一）知识与技能掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．（二）过程与方法培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．（三）情感、态度与价值观1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：根与系数的关系及其推导．2．教学难点：正确理解根与系数的关系．3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．三、教学过程（一）明确目标一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．以上一名学生在板书，其它学生在练习本上推导．由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1我们就可把它写成x2+px+q=0．结论2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0；（3）2x2-9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0；（5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．3．一元二次方程根与系数关系的应用．（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要注意-b/a的负号。

一元二次方程的根与系数的关系——人教版九年级数学上册教案一、教学目标1.了解一元二次方程解的概念和性质，掌握求方程解的方法；2.学会熟练运用求根公式及应用一元二次方程解决实际问题；3.掌握一元二次方程根的数量及其相关系数的关系；4.培养分析、解决实际问题的能力和兴趣。

二、教学重点与难点1.教学重点：掌握一元二次方程根的数量及其相关系数的关系。

2.教学难点：能够运用一元二次方程解决实际问题。

三、教学过程1.复习回顾通过让学生进行口算或板书，回忆一元二次方程的定义和一些基本概念例如：二次项的系数、判别式等。

2.引入新知1.学生通过求解以下方程来感受一元二次方程根的划分：x2−2x+1=0，x2−2x+2=0，x2−2x+3=02.通过口算讨论发现，x2−2x+1=0这个方程有极特殊的一点，即方程的两根重合。

这便引出了一元二次方程解的概念和性质。

3.讨论不同的二次项系数对一元二次方程的根的影响。

4.讲解一元二次方程的解法，介绍求根公式并让学生观察、理解其含义。

3.例题讲解1.练习使用求根公式求解一元二次方程。

2.通过题目的加减乘除，让学生掌握如何将实际问题建立为一元二次方程，运用一元二次方程解决实际问题。

4.拓展练习通过配合精心设计的习题，引导学生总结一元二次方程根的数量和系数的关系。

5.归纳总结1.让学生回想本节课学过的知识点。

2.教师要求学生口头或书面介绍一元二次方程，比如：定义、图像、根的数量等方面的内容。

四、课后作业1.完成课本相关练习和拓展试题。

2.结合生活实际，自编3道一元二次方程及其解决实际问题的例题，写在作业本上。

五、教学反思在本节课的备课过程中，从实际出发，将一元二次方程的解和实际联系起来，让学生能够欣赏数学课程应用的实际面貌，从而激发学生的数学兴趣。

同时，在教学中也要注重实际情况的演示和练习，让学生能够充分接触到不同情境下使用一元二次方程等的运算过程，从而更加灵活地应用数学。

人教版数学九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》教案2一. 教材分析《一元二次方程的根与系数的关系》是人教版数学九年级上册的一节重要内容。

本节课主要让学生掌握一元二次方程的根与系数之间的关系，理解根的判别式、根与系数的关系，并能够运用这些知识解决实际问题。

教材通过引入二次方程的图像，帮助学生直观地理解根与系数之间的关系，为进一步学习一元二次方程的求解和应用打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次方程的求解方法，对二次方程有一定的认识。

但是，对于根与系数之间的关系，学生可能存在一定的困惑。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究，从而理解并掌握根与系数之间的关系。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的根与系数之间的关系，能够运用这些知识解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、思考、探究，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.教学难点：理解并掌握根的判别式，以及如何运用根与系数之间的关系解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入二次方程的图像，让学生直观地理解根与系数之间的关系。

2.问题驱动法：通过设置问题，引导学生观察、思考、探究，从而发现并掌握根与系数之间的关系。

3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作精神。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次方程的图像，帮助学生直观地理解根与系数之间的关系。

2.练习题：准备一些有关一元二次方程的根与系数之间的关系的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示二次方程的图像，引导学生观察并思考：二次方程的根与系数之间有什么关系？2.呈现（10分钟）给出一些一元二次方程的例子，让学生计算出它们的根，并记录根的值。

然后，引导学生观察根的值与系数之间的关系。

课新教课时间21.2.4 一元二次方程的根与系数关系课型题授教课媒体多媒体教知识1. 娴熟掌握一元二次方程的根与系数关系.技能2. 灵巧运用一元二次方程的根与系数关系解决实质问题.3. 提升学生综合运用基础知识剖析解决较复杂问题的能力.学过程.学生经历研究，试试发现韦达定理，感觉不完整概括考证以及演绎证明目方法情感培育学生察看，剖析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的踊跃性，激励学标态度生勇于研究的精神 .教课要点一元二次方程的根与系数关系教课难点对根与系数关系的理解和推导教课过程设计教课程序及教课内容师生行为设计企图一、复习引入导语：一元二次方程的根与系数有着亲密的关系，早在法国的优秀数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？二、研究新知1.课本思虑12化为一般形式21剖析：将（x- x ）（ x-x ）=0x -(x16 世纪教师出示问题，引创建问题情出课题学生初步了境，激发学生解本课所要研究的好奇心，求知问题欲+x )x+ x1x=022与 x2 +px+ q=0 对照 , 易知 p=-( x 1 +x 2)，q= x 1 x 2.即二次项系学生经过去括号、经过思虑问数是 1 的一元二次方程假如有实数根，则一次项系数等于两根归并获得一般形题，让学生知和的相反数，常数项等于两根之积.式的一元二次方道二次项系数2. 追踪练习程，教师合时点为 1 的一元二求以下方程的两根 x1、 x2.的和与积 .拨，剖析总结获得次方程的根与x2+3x+2=0； x 2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0结论 .系数关系，为3. 方程 2x2-3x+1=0 的两根的和、积与系数之间有近似的关系学生单独达成后边持续研究吗？稳固上诉知识做铺垫剖析：这个方程的二次项系数等于2，与上边情况有所不一样，求教师出示研究问出方程两根，再经过计算两根的和、积，查验上边的结论能否题，学生经过特别建立，若不建立，新的结论是什么？例子下手，再经过4. 一般的一元二次方程 ax 2+bx+c=0（ a ≠ 0）中的 a 不必定是 1， 一般形式推导证它的两根的和、积与系数之间有第 3 题中的关系吗？ 明，教师指引学生 剖析：利用求根公式，求出方程两根，再经过计算两根的和、 依据求根公式进行 积，获得方程的两个根x 1 、 x 2 和系数 a ， b ，c 的关系，即韦达研究、沟通，试试 定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两发现结论根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导获得，根与系数的关系由求根公式获得，所以，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.5. 追踪练习求以下方程的两根 x 1 、 x 2. 的和与积 .1 2 +7x+2=0；3x 2 2 -7x+2=0 2；学生独立解决，并○ 3x +7x-2=0; 3x ； 3x -7x-2=02 2 2 2沟通； 5x -1=4x +x ○ 5x-1=4x6. 拓展练习1 2+bx+c=0 的两个根是 -1 ， 3，则 ○ 已知一元二次方程 2xb= ,c= . 2 2+kx-2=0 的一个根是 1，则另一个根 ○ 已知对于 x 的方程 x是,k的值是 .先察看，试试采用 3 2适合方法解题，之○ 若对于 x 的一元二次方程 x +px+q=0 的两个根互为相反数， 则p= ;若两个根互为倒数，则 q= .后沟通，比较解法剖析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数 . 二次项系数是 1 时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程 的一次项系数和常数项 .学生试试概括，师4 生总结○ 两个根均为负数的一元二次方程是( )A.4x 2 +21x+5=0B.6x 2-13x-5=0 C.7x2-12x+5=02D.2x +15x-8=05）○ . 两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ A.4x 2 -3=0 B.-3x2+5x-4=02-4x-3=02=0D.2x +3 5 x- 66 2时方程有两个○ . 若对于 x 的一元二次方程 2x -3x+m=0, 当 m让学生经过研究问题， 体会从特别到一般的认知过程，领会数学结论确实定性加深对韦达定理的理解，培养学生的应企图识和能力经过学生亲身解题的感觉与经验，感觉数学的谨慎性和数学结论确实定性 .正根；当 m时方程有两个负根；当m 时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.剖析：依据方程的根的正负状况，联合根与系数关系，确立方程各项系数的符号，○ 6 中还需考虑 m 的值还得受根的鉴别式的限制 .学生独立达成，教三、讲堂训练师巡回检查，师生1. 达成课本练习 集体校正2. 增补练习：x 1 ，x 2 是方程 3x 2-2x-4=0 的两根，利用根与系数的关系求以下 各式的值：○1 1 1； ○22 23 224x 2 x 1x 1x 2x 1x 2 ○ x 1x 2 ； ○x 1 25 x 2 x 1 x 2；○ x 1x 2四、小结概括本节课应掌握：学生概括，总结阐1. 韦达定理二次项系数不是 1 的方程根与系数的关系述，领会，反省 . 2. 运用韦达定理时， 注意隐含条件： 二次项系数不为0，△≥ 0； 并做出笔录 .3. 韦达定理的应用常有题型：○1 不解方程，判断两个数是不是某一个一元二次方程的两根；○2 已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值；○3 由给出的两根知足的条件，确立字母系数的值；○4 判断两个根的符号；○ 5 不解方程求含有方程的两根的式子的值 .五、作业设计必做： P17：7选做：增补作业：已知一元二次方程 x 2+3x+1=0 的两个根是、 ，求的值 .进一步增强对所学知识的理解和掌握经过概括， 进一步理解韦达定理及其应用增强教课反省，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯， 加深认识，深入提升，形成学生自己的知识系统 .教 学反思公式法解一元二次方程（第 1 课时）教课目的：1.掌握公式法解一元二次方程的推导过程；2.掌握公式法解一元二次方程的公式并可以使用公式法解一元二次方程。

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．3．渗透由特殊到一般,再由一般到特殊的认识事物的规律．4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．重点根与系数的关系及其推导难点正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．一、复习引入1．已知方程x2－ax－3a＝0的一个根是6,则求a及另一个根的值．2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系,这种关系比较复杂,是否有更简洁的关系？3．由求根公式可知,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝－b＋b2－4ac2a ,x2＝－b－b2－4ac2a.观察两式右边,分母相同,分子是－b＋b2－4ac与－b－b2－4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程,并填写表格:方程x1x2x1＋x2x1·x2x2－2x＝0x2＋3x－4＝0x2－5x＋6＝0观察上面的表格,你能得到什么结论？(1)关于x的方程x2＋px＋q＝0(p,q为常数,p2－4q≥0)的两根x1,x2与系数p,q之间有什么关系？(2)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根x1,x2与系数a,b,c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程,并填写表格:方程x1x2x1＋x2x1·x22x2－7x－4＝03x2＋2x－5＝05x2－17x＋6＝0小结:(1)关于x的方程x2＋px＋q＝0(p,q为常数,p2－4q≥0)的两根x1,x2与系数p,q的关系是:x1＋x2＝－p,x1·x2＝q(注意:根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．)(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的方程,可以先将二次项系数化为1,再利用上面的结论．即:对于方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0) ∵a ≠0,∴x 2＋b a x ＋c a ＝0∴x 1＋x 2＝－b a ,x 1·x 2＝ca(可以利用求根公式给出证明)例1 不解方程,写出下列方程的两根和与两根积:(1)x 2－3x －1＝0 (2)2x 2＋3x －5＝0 (3)13x 2－2x ＝0 (4)2x 2＋6x ＝ 3 (5)x 2－1＝0 (6)x 2－2x ＋1＝0例2 不解方程,检验下列方程的解是否正确？ (1)x 2－22x ＋1＝0 (x 1＝2＋1,x 2＝2－1) (2)2x 2－3x －8＝0 (x 1＝7＋734,x 2＝5－734)例3 已知一元二次方程的两个根是－1和2,请你写出一个符合条件的方程．(你有几种方法？)例4 已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3,求另一根及k 的值．变式一:已知方程x 2－2kx －9＝0的两根互为相反数,求k ；变式二:已知方程2x 2－5x ＋k ＝0的两根互为倒数,求k. 三、课堂小结1．根与系数的关系．2．根与系数关系使用的前提是:(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零． 四、作业布置1．不解方程,写出下列方程的两根和与两根积．(1)x 2－5x －3＝0 (2)9x ＋2＝x 2 (3)6x 2－3x ＋2＝0(4)3x 2＋x ＋1＝02．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1,求另一根及m 的值．3．已知方程x 2＋bx ＋6＝0的一个根为－2,求另一根及b 的值.。

一元二次方程的根与系数的关系【教材分析】：本课是新人教版九上第15页，前面已经学习了一元二次方程的解法和根的判别式，是继续研究方程的根与系数的关系，这节知识对后续学习二次函数有很大的帮助，延伸到高中的数学教学也有广泛的应用。

它为进一步解决一元二次方程、二次函数以及相关的数学问题提供一些新的思路.但本课毕竟是第一课时，让学生体会公式基本内容，在头脑中形成积极印象很关键。

教学目标：1、理解根与系数关系的推导过程；2、掌握不解方程，应用根与系数关系解题的方法；3、体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路 教学重点：应用根与系数关系解决问题； 教学难点：根与系数关系的推导过程教学流程：预习，探究新知，分组讨论，矫正反馈，当堂测评，反思 教学过程： 一、预习：1、求出下列方程的两根，计算两根的和与两根的积，并观察两根的【设计意图】通过学生解方程求出方程的根，进一步熟悉一元二次方程的解法，同时，三个一元二次方程系数都为1,让学生从特殊的方程中观察两根的和、两根的积与方程的各项系数的关系。

让学生有一个初步的认识。

二、探究新知：x 1和x 2 是一元二次方程 ax 2 +bx +c =0 (a ≠0 )的两根，根据求根公式可知：a acb b x 2421-+-=，aacb b x 2422---=请同学们求出21x x +与21x x •的值，并观察它们与方程各项系数有何关系。

方程的两根与系数的关系：ab x x -=+21，ac x x =21分组讨论：1、两根的和与两根的各相同点与不同点是什么？ 2、特别要注意什么？【设计意图】学生在已有公式法解一元二次方程的知识基础上，可以最快速度说出x 1和x 2的值，接下来将字母系数表示的x 1和x 2的值代入相应的代数式x 1+x 2 和x 1x 2 得出根系关系的结论，凭借学生自己的现有能力可以解决证明过程.还可以让学生体会，数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的，数学中那一系列的字母并不是高不可攀. 例1：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根的和与积：（1）01562=--x x ；（2）09732=-+x x ；（3）2415x x =-学生分组讨论：怎样求出两根的和与积，分别是多少？最后教师板书过程。

一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．一、一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：() 当240b ac ->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：￥() 当240b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：() 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=-【例】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：() 22310x x -+=() 24912y y +=() 25(3)60x x +-=解：() 2 (3)42110∆=--⨯⨯=>，∴ 原方程有两个不相等的实数根．() 原方程可化为：241290y y -+=2 (12)4490∆=--⨯⨯=，∴ 原方程有两个相等的实数根．（() 原方程可化为：256150x x -+=2 (6)45152640∆=--⨯⨯=-<，∴ 原方程没有实数根．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【例】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：() 方程有两个不相等的实数根；() 方程有两个相等的实数根()方程有实数根；() 方程无实数根．解：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-() 141203k k ->⇒<； () 141203k k -=⇒=； &() 141203k k -≥⇒≥； () 141203k k -<⇒<． 【例】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．解：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+=由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-． 综上知：1,0x y =-=《二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：,22b b x x a a-+--==所以：1222b b b x x a a a-+--+=+=-，12244ac cx x a a⋅==== 定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0∆≥． >【例】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：() 2212x x +；()1211x x +； () 12(5)(5)x x --； () 12||x x -．分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-() 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=()121212112220072007x x x x x x +-+===- () 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-() 12||x x -====%说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【例】已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．() 方程两实根的积为；() 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．分析：() 由韦达定理即可求之；() 有两种可能，一是120x x =>，二是12x x -=，所以要分类讨论．解：() ∵方程两实根的积为 ~∴222121[(1)]4(1)034,412154k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨⎪=+=⎪⎩所以，当4k =时，方程两实根的积为．() 由12||x x =得知：①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故302k ∆=⇒=； ②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，由于302k ∆>⇒>，故1k =-不合题意，舍去．综上可得，32k =时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =．说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0∆≥． #【例】已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．() 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．() 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 解：() 假设存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立． ∵一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴2400(4)44(1)160k k k k k k ≠⎧⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎩，又12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴1212114x x k x x k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩}∴222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k <． ∴不存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．()∵222121212211212()44224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++ ∴ 要使其值是整数，只需1k +能被整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---． 说明：() 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．() 本题综合性较强，要学会对41k +为整数的分析方法． !组．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )．2k >．2,1k k <≠且 ．2k <．2,1k k >≠且．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( )．2．2-．12．92．已知菱形的边长为，两条对角线交于点，且、的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于()．3-．5．53-或．53-或^．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )．M ∆=．M ∆>．M ∆<．大小关系不能确定．若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则代数式1111b a a b --+--的值为( )．20-．2．220-或．220或．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 ．．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为，则k 的值是 ．．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p ，q ． $．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a ，b ，c ．．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于．您是否同意他的看法请您说明理由． ．若0n >，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求m n 的值．．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． () 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；() 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值． ．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长．() k 取何值时，方程存在两个正实数根 …()k 的值．组．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ． () 求k 的取值范围； () 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于．求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于．-() 求实数k 的取值范围； () 若1212x x =，求k 的值． 第三讲 一元二次方程根与系数的关系习题答案组． ． ． ． ．．2,a c b b c +=≠且 ． ． 或3-．1,3p q =-=-．3,3,0a b c ===．正确．．21(1)1650 (2)2m m ∆=+>=-．3(1) (2)22k k ≥=组．13(1)112k k <≠且() 不存在 ．1m = ()当3k =时，方程为310x +=，有实根；() 当3k ≠时，0∆>也有实根．．() 314k k ≥≠且 ； () 7k =．。

人教版数学九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计2一. 教材分析《一元二次方程的根与系数的关系》是初中数学九年级上册的教学内容，主要介绍了一元二次方程的根与系数之间的关系。

通过学习本节课，学生能够理解一元二次方程的根与系数之间的关系，掌握求解一元二次方程的方法，并能够运用根与系数的关系解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的基本概念和求解方法，具备一定的数学基础。

然而，对于根与系数之间的关系，学生可能存在一定的理解困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解并掌握根与系数之间的关系，并通过实例演示和练习巩固所学知识。

三. 教学目标1.理解一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.掌握求解一元二次方程的方法，并能够灵活运用。

3.能够运用根与系数的关系解决实际问题。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.教学难点：运用根与系数的关系解决实际问题。

五. 教学方法1.讲授法：通过讲解一元二次方程的根与系数之间的关系，引导学生理解和掌握。

2.实例演示法：通过具体的例题，演示一元二次方程的求解过程，并引导学生观察和总结根与系数之间的关系。

3.练习法：通过布置练习题，让学生巩固所学知识，并能够灵活运用。

六. 教学准备1.PPT课件：制作相关的PPT课件，展示一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.练习题：准备一些练习题，让学生进行操练和巩固。

七. 教学过程通过复习一元二次方程的定义和求解方法，引导学生回顾已学的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）讲解一元二次方程的根与系数之间的关系，引导学生理解和掌握。

通过具体的例题，演示一元二次方程的求解过程，并引导学生观察和总结根与系数之间的关系。

3.操练（10分钟）让学生进行一些相关的练习题，巩固所学知识，并能够灵活运用。

给予学生解答和指导，帮助其理解和掌握。

4.巩固（10分钟）通过一些综合性的题目，让学生运用根与系数的关系解决实际问题。

*22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学目标1．掌握一元二次方程根与系数的关系．2．能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数；根据方程求代数式的值．3．经历观察→发现→猜想→证明的思维过程，培养分析和解决问题的能力．教学重难点一元二次方程根与系数的关系．教学过程导入新课同学们，我们在前面学习过用公式法解一元二次方程，在那里，我们已经看出：一元二次方程的根由系数决定，这说明一元二次方程的根与系数有密切的关系，究竟有怎样的关系呢？今天我们一起来探索，好吗？推进新课一、合作探究(一)形如x2＋mx＋n＝0的方程的根与系数的关系活动1活动2(1)已知方程x2－4x－7＝0的根是x1和x2，则x1＋x2＝________，x1x2＝________；(2)已知方程x2＋3x－5＝0的根是x1和x2，则x1＋x2＝________，x1x2＝________.想一想：如果方程x2＋mx＋n＝0的根是x1和x2，则x1＋x2＝________，x1x2＝________.议一议：怎样证明你的结论成立呢？提示：运用求根公式证明．(二)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系想一想：如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是x1和x2，那么x1＋x2＝________，x1x2＝________.做一做：给出以上结论的证明．归纳：一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程有实数根，那么两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．二、应用迁移1．已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数已知方程x2－2x－c＝0的一个根是3，求方程的另一个根及c的值．分析：由一元二次方程的根与系数的关系可知方程的两根之和为2，由此可求另一根，c的值可根据两根之积求解．解：设方程的另一个根是x0，则3＋x0＝2.解之，得x0＝－1.∵3x0＝－c，∴3×(－1)＝－c.∴c＝3.故方程的另一个根是－1，c＝3.点拨：求c时可以根据一元二次方程的根与系数的关系求解，也可以直接把已知的方程的根代入方程求解．2．根据方程求代数式的值已知方程x2－5x－6＝0的根是x1和x2，求下列式子的值：(1)x 21＋x 22＋x 1x 2；(2)x 1x 2＋x 2x 1. 分析：先求出已知方程的两根之和与两根之积，然后把所求代数式转化为两根之和与两根之积的形式．解：由一元二次方程根与系数的关系知：x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝－6.(1)原式＝x 21＋x 22＋2x 1x 2－x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－x 1x 2＝52－(－6)＝31；(2)原式＝x 21＋x 22x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝52－2×(－6)－6＝－376. 三、巩固提高1．如果方程x 2－4x －6＝0的两个根分别是x 1和x 2，则x 1＋x 2＝________；x 1x 2＝________.2．已知方程x 2＋ax －6＝0的一个根是2，求方程的另一个根及a 的值．3．已知方程2x 2－4x －5＝0的两个根分别是x 1和x 2，求下列式子的值：(1)(x 1＋2)(x 2＋2)；(2)x 21－x 1x 2＋x 22.本课小结本节课应掌握：1．一元二次方程根与系数的关系．2．能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数；根据方程求代数式的值．课外拓展一、泥板上的方程从19世纪开始，考古学家在古巴比伦王国的遗址进行了挖掘，共挖出50万块写有文字的泥板，大的和一般教科书差不多大小，小的只有几平方厘米．在这50万块泥板中，大约有300块数学泥板．经数学家研究，在这些泥板上刻有一些二次方程题及其解法．例如有这样一道题：“如果某正方形的面积减去其边长得870，问边长是多少？”泥板上的解法是：取1的一半，得12；以12乘以12，得14；把14加在870上，得3 4814，它是592的平方，再加上12，得结果30.泥板上有好几道这种类型的问题，古巴比伦人都是以相同的步骤来解的，这说明古巴比伦人已经掌握了一些特殊的二次方程的解法了．以上面题目为例：如果设正方形的边长为x ，那么正方形的面积就是x 2，由“正方形的面积减去其边长得870”，可列出方程x 2－x ＝870.这种特殊方程就是x 2－px ＝q 或x 2－px －q ＝0.根据古巴比伦人的解题步骤可以得出：x＝(12)2＋870＋12.对于x 2－px ＝q 可以得到公式：x ＝(p 2)2＋q ＋p 2或写成x ＝p ＋p 2＋4q 2. 对于一般一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)来说有求根公式：x ＝－b ±b 2－4ac 2a，将两者对照不难发现，古巴比伦人会解的是a ＝1，b ＝－p ，c ＝－q 的特殊型二次方程，虽然只会求正根，但我们不能不佩服古巴比伦人在四千年前就能掌握这种解法．二、对二次三项式x 2－(a ＋b )x ＋ab ＝(x －a )(x －b )的运用把形如ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的多项式叫做x 的二次三项式，我们知道x 2－(a ＋b )x ＋ab ＝(x －a )(x －b )，那么x 2－(a ＋b )x ＋ab ＝0就可转化为(x －a )(x －b )＝0.【例1】 请你用上面的方法解下列方程．(1)x 2－3x －4＝0；(2)x 2－7x ＋6＝0；(3)x 2＋4x －5＝0.解：(1)∵－4＝－4×1，且－4＋1＝－3，∴x 2－3x －4＝(x －4)(x ＋1)．∴(x －4)(x ＋1)＝0.∴x －4＝0或x ＋1＝0.∴x 1＝4，x 2＝－1.(2)∵6＝(－1)×(－6)，且(－1)＋(－6)＝－7，∴x 2－7x ＋6＝(x －6)(x －1)．∴(x －6)(x －1)＝0.∴x －6＝0或x －1＝0.∴x 1＝6，x 2＝1.(3)∵－5＝－1×5，且－1＋5＝4，∴x 2＋4x －5＝(x ＋5)(x －1)．∴(x ＋5)(x －1)＝0.∴x ＋5＝0或x －1＝0.∴x 1＝－5，x 2＝1.三、利用一元二次方程的根进行因式分解对于系数复杂的二次三项式ax 2＋bx ＋c ，在分解因式时，可先求出方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解，然后写成ax 2＋bx ＋c ＝a (x －x 1)(x －x 2)的形式．【例2】 在实数范围内因式分解：x 2－6x －2.解：设x 2－6x －2＝0，这里a ＝1，b ＝－6，c ＝－2，∴x ＝6±(－6)2－4×1×(－2)2＝3±11. ∴x 1＝3＋11，x 2＝3－11.∴x 2－6x －2＝(x －3＋11)(x －3－11)．。

*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．探索一元二次方程的根与系数的关系．2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题．一、情境导入一般地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为已知常数，p 2－4q ≥0)，试用求根公式求出它的两个解x 1、x 2，算一算x 1＋x 2、x 1·x 2的值，你能得出什么结果？二、合作探究探究点：一元二次方程根与系数的关系【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值已知m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两实数根，则1m ＋1n的值为( )A ．－1 B.12 C ．－12D ．1解析：根据根与系数的关系，可以求出m ＋n 和mn 的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两实数根，所以m ＋n ＝12，mn ＝－1，1m ＋1n ＝n ＋mmn ＝12－1＝－12.故选C. 方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0.【类型二】根据方程的根确定一元二次方程已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是( ) A ．x 2－6x ＋8＝0 B ．x 2＋9x －1＝0 C ．x 2－x －6＝0 D ．x 2＋x －20＝0解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1·x 2＝－20.如果令方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，a ＝1，则－b ＝－1，c ＝－20.∴方程为x 2＋x －20＝0.故选D.方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项．【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解(2014·云南曲靖)已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为________．解析：设另一根为x1，则由根与系数的关系得x1＋4＝3，∴x1＝－1.故答案为x＝－1.方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决．【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数(2014·山东烟台)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是( )A．－1或5 B．1C．5 D．－1解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决．设方程两根为x1，x2，由题意，得x21＋x22＝5.∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5.∵x1＋x2＝a，x 1x2＝2a，∴a2－2×2a＝5.解得a1＝5，a2＝－1.又∵Δ＝a2－8a，当a＝5时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去a＝5.当a＝－1时，Δ>0，此时方程有两实数根．所以取a＝－1.故选D.方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件Δ≥0，导致解答不全面．【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．解：(1)根据题意，得Δ＝(2a)2－4×a(a－6)＝24a≥0.解得a≥0.又∵a－6≠0，∴a≠6.由根与系数关系得：x1＋x2＝－2aa－6，x1x2＝aa－6.由－x1＋x1x2＝4＋x2得x1＋x2＋4＝x1x2，∴－2aa－6＋4＝aa－6，解得a＝24.经检验a＝24是方程－2aa－6＋4＝aa－6的解．即存在a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立．(2)原式＝x1＋x2＋x1x2＋1＝－2aa－6＋aa－6＋1＝66－a为负整数，则6－a为－1或－2，－3，－6.解得a＝7或8，9，12.三、板书设计教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件.教师寄语同学们，生活让人快乐，学习让人更快乐。