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平稳随机过程的自相关矩阵及其性质.

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随机过程 第6章 平稳随机过程

随机过程 第6章 平稳随机过程
1 lim T 2T 1 2 1 [ B ( ) R ( ) ]d1 0 X 1 2T 2T
2T
其中 B( 1 ) E[ X (t ) X (t ) X (t 1 ) X (t 1 )]
当 X (t) 是实均方连续平稳过程时，充要条件为

T
T T
X (t ) d t X (t ) X (t ) d t
T
为该过程的时间均值和时间相关函数。
各态历经性
[定义] 设 { X (t), < t < } 为均方连续的平稳过程，若
1 T X (t ) E[ X (t )] , 即 l .i . m X (t ) d t mX T 2T T
故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与有 关，因此它是平稳随机序列。
例2 (例6.4)

设有状态连续、时间离散的随机过程 X (t) = sin(2t)，其中 为（0, 1）上均匀分布的随机变量，t 只取整数值 1, 2, ，试讨论随机过程X (t)的平稳性。
[解] E [ X (t )] E [sin( 2 t )]
大数定律（回顾）
设独立同分布的随机变量序列 {Xn , n = 1, 2, }， 具有 E[Xn] = m, D[Xn] = 2, ( n = 1, 2, )，则
1 lim P N N
Xk m 1 k 1
N
大数定律表明，随着时间的无限增长，随机过程的样本函数按时间 平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均。
例1 (例6.1)——白噪声

设 { Xn , n = 0, 1, 2, } 是实的互不相关随机变量 序列，且 E[Xn] = 0，D[Xn] = 2 ，试讨论随机序列的 平稳性 。

平稳随机过程及其遍历性

平稳随机过程及其遍历性
从概率密度函数的角度讲，高阶平稳一定低阶平稳
6
f X (x1, x2 , t1, t2 ) f X (x1, x2 , )
随机过程X(t)的自相关函数，自协方差函数都是 平稳的。
都与时间无关
RX (t1, t2 ) x1x2 f X (x1, x2;t2 t1)dx1dx2
x1x2
➢ 二阶平稳(n=2) 严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关。 n 2, t t1, t2 t1时，二维概率密度：
fX (x1, x2 ,t1,t2 ) f X (x1, x2,t1 t,t2 t)
fX (x1, x2 , 0,t2 t1) f X (x1, x2, )
平稳随机过程及其遍历性
随机过程可分为平稳与非平稳两大类, 严格地说, 所 有信号都就是非平稳得, 但就是, 平稳信号得分析要容 易得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程得 主要物理条件在时间得进程中不改变, 或变化极小, 可 以忽略, 则此信号可以认为就是平稳得、 如接收机得 噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度得变化, 使 得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间 后, 温度变化趋于稳定, 这时得噪声电压信号可以认为 就是平稳得。
或
X (很t) 小m，X 即使X (两t 者 )的 m相X 关程度较强，则 也不会
太大，所以K并X 不( )能准确表示关联程度的大小。为了消除
实际应用中,通过上式来判定过程得平稳性就是很不容易得,因此 在实际中往往不需要所有时间都平稳,只要观测得有限时间平稳 就行了。
3
f X (x1,, xn ,t1 t,,tn t) f X (x1,, xn ,t1,,tn )
(2) 特性 ➢ 一阶平稳(n=1) 严平稳随机过程得一维概率密度函数与时间无关 n 1, t t1 时,对于一维概率密度有: fX (x1, t1 t) f X (x1, t1) f X (x1, 0) f X (x1)

2.2 平稳随机过程

2.2 平稳随机过程
(2.2 - 1) 则称ξ(t) 是平稳随机过程。该定义说明，当取样点在时间轴 上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的， 具体到它的一维分布, 则与时间t无关， 而二维分布只与时间间 隔τ有关，即有
2016/9/6 1
第2章
随机过程 f1(x1, t1)=f1(x1) (2.2 - 2)
2016/9/6
16
第2章
随机过程
根据上述关系式及自相关函数R(τ)的性质，不难推演功 率谱密度Pξ(ω)有如下性质： （1） Pξ(ω)≥0，非负性； （2.2 - 20） （2）Pξ (-ω)= Pξ(ω)，偶函数。 （2.2 - 21）
因此， 可定义单边谱密度Pξ(ω)为
2 P ( ) P 1 ( ) 0
(2.2-15)
(2.2-16)
虽然式（2.2 - 15）给出了平稳随机过程ξ(t)的功率谱密度
Pξ(ω)，但我们很难直接用它来计算功率谱。那么，如何方便
地求功率谱Pξ(ω)呢？ 我们知道，确知的非周期功率信号的自 相关函数与其谱密度是一对傅氏变换关系。对于平稳随机过
程，也有类似的关系，即
j P ( ) R ( )e d
当均值为0时，有R(0)=σ2。
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第2章
随机过程
2.2.4平稳随机过程的功率谱密度
随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。我们
知道，随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。而对 于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为
Pf ( ) lim
T
FT ( ) T
平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有 用的特性， 称为“各态历经性”。这种平稳随机过程，它的 数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现 的数字特征（均为时间平均）来替代。也就是说，假设x(t)是 平稳随机过程ξ(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关 函数分别为

随机过程平稳性遍历性正交性不相关性和独立性

随机过程平稳性遍历性正交性不相关性和独立性
实际意义：
具有平稳性的随机信号能够保持一个规律的状态，具体到信号处理这就便 于我们检测系统是否混入干扰。平稳随机过程，它的统计特性不随时间的推移而 变化。
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2
随机过程的平稳性
平稳过程分为严平稳过程（Strictly Stationary）和弱平稳过程（weakly Stationary）。
• 严平稳过程
也称为狭义平稳过程，是在固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置 的概率分布相同的随机过程，随机过程的统计特性不随事件的推移而变化。
•宽平稳过程
数学期望和方差不随时间和位置变化的随机过程，即弱平稳过程的条件是： （1）均值函数在所有时间上恒为常数；（2）对于所有时间t和和时滞k，自协 方差相同。
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9
谢谢大家
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严严平稳过程平稳过程也也称为狭义平稳过程是在固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置称为狭义平稳过程是在固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置的概率分布相同的随机过程随机过程的统计特性不随事件的推移而变化的概率分布相同的随机过程随机过程的统计特性不随事件的推移而变化
随机过程
1 平稳性 2 遍历性 3 正交性、不相关性与独立性 4 正态随机过程的主要性质
3.独立性：就用他们的概率分布函数或密度来表达，联合分布等于他们各自 分布的乘积，独立的定义是F(x,y)F(x)F(y) ，就称独立。
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6
正交性、不相关性与独立性三者之间的关系
（1）X与Y独立,则X与Y一定不相关。例如：如果 F(x,y)F(x)F(y) ，则 E X ( t) Y ( t) E X ( t) E Y ( t) 即X,Y不相关。
交的随机过程才会不相关。

数据通信原理填空题汇总

数据通信原理填空题汇总

1.调制解调器的功能是通过数据传输网络发送或者接收模拟或数字信号。

3.方差σ2(t)表示随机过程在时刻t对于数学期望值a(t)的偏离程度，一般是时间函数。

4.如果将一个高斯过程加到一个线形网络上，则其输出端的随机过程是_高斯过程_。

6.在正交调幅（QAM）中，载波信号的_幅度和相位被改变。

7.码的检错和纠错能力是用信息量的冗余度来换取的。

8.对线性分组码，如果找到了码的生成矩阵，那么编码方法就完全确定了。

10.一个完整的DTE/DCE接口标准应包括四个特性，其中_电气特性_规定了DTE/DCE之间多条连线的连接方式、适用元件、传输速率以及阻抗等。

11.电路交换和分组交换，实时性较好的是分组交换_。

12.利用现有公用电话网进行数据传输的优点是_最简单，附加设备少、投资少、见效快和使用方便等。

14.运输层又称传送层，负责整个消息无差错的传递过程，它实现用户的端到端或进程之间的信息控制和信息交换_。

15.在我国现有的数据网中，_CHINAEDI提供了电子数据交换业务；__CHINAFAX__提供了新型的传真通信业务；__CHINAMAIL_提供了电子邮件功能；_CHINAFRN提供了便携终端用户间的通信；_CHINANET_是国际因特网在中国的延伸。

3.在异步传输通信中，为可靠传送一个汉字(2个字节)，采用无校验方式，停止信号长度为一个码元。

那么，其传输效率为80%_。

4.散弹噪声的平均值为零，幅度的概率密度函数为高斯或正态_分布。

5.为了反映随机过程不同时刻之间的内在统计特性，采用方差或协方差函数和相关函数R(t1,t2)。

7.在2PSK输出信号中存在倒相现象，其解决方法是采用相对调相_。

8.循环码任一许用码组经过循环移位后所得到的码组仍为它的一许用码组。

9.(7，4)汉明码能检出_2_个错误。

ITT(ITU-T)V.24建议中的100系列接口是DTE与调制解调器之间的接口。

12.报文交换方式的基本思想是存储-转发_。

随机数学 第9讲 第六章平稳过程(1)

随机数学 第9讲 第六章平稳过程(1)

2 C X (τ ) = COV [ X (t ), X (t − τ )] = RX (τ ) − mX
2 C X (0) = DX ( t ) = RX (0) − mX .
则称 { X ( t ), t ∈ T }为宽平稳过程 , 或广义平稳过程 . 以下讨论中，若没有特别说明，平稳即指宽平稳。
第六章 平稳过程随机过程 6.1 平稳过程概念 平稳过程是指过程的统计特性不随时间的推移而变 化的随机过程。 一般，为了便于研究，我们只考虑随机过程的数字 特征特性的平稳性，即有如下宽平稳过程的 定义：
注1 平稳过程数字特征的特点
(1) 平稳过程的所有样本曲 线都在水平直线
x(t ) = mX 上下波动 , 平均偏离度为 σ X .
平稳过程X(t) 的“平均功率”
此式表明:
自相关 (自协方差 )函数都在 τ = 0处取到最大值 .
RX (0) ≥ 0.
RX (−τ ) = RX (τ ) ,
2 证明： RX (0) = E[ X (t ) X (t )] = E X (t ) 2 = Ψ X ≥ 0.
e − λt ( λt ) , k = 0,1, 2, k!
k
若随机点在[0,t]内出现偶数次 ，则
若随机点在[0,t]内出现奇数次 ，则 X ( t ) = −1; （1）计算 mX ( t ) , C X ( t1 , t2 )
⎛ ( λt )0 ( λt )2 ( λt )4 ⎞ = e − λt ⎜ + + + ⎟ ⎜ 0! ⎟ 2! 4! ⎝ ⎠ λt − λt −2 λ t ⎞ 1+ e − λt ⎛ e + e ［0,t]内随机 = e ⎜ ⎟ = 2 2 ⎝ ⎠ 点出现奇数次

[理学]2平稳随机过程

[理学]2平稳随机过程

例2: 设X(t)=Asin(t+Θ)，Y(t)=Bsin(t+Θ-),A,B, ,
为常数，Θ在(0,2)上服从均匀分布，
证明: {X(t)},{Y(t)}是平稳相关的，并求RXY()。
解: 1.首先验证 X(t),Y(t)均为平稳过程.
2.考虑相关函数
RXY ( ) E[ X (t )Y (t )]
E[W(t)W(t+)]=E{[X(t)+Y(t)][X(t+)+Y(t+)]}
=E[X(t)X(t+)]+E[X(t)Y(t+)]+E[Y(t)X(t+)]+E[Y(t)Y(t+)] =Rx()+RxY()+RxY(-)+RY() 可见W(t)的自相关函数Rw(t,t+)只依赖于,所以 w(t)为平稳过程.
性质1. Rx(0)0； 证: Rx(0)=E[X2(t)]0 性质2. Rx()为偶函数，即Rx(-)=Rx()
证： Rx(-)=E[X(t)X(t-)]= E[X(t-)X(t)]= Rx()
性质3.|Rx()| Rx(0) 证：由柯西-施瓦兹不等式
| R X ( ) || E[ X ( t ) X ( t )] | E[ X 2 ( t )] E[ X 2 ( t )]
n
2
( 3) lim E ( X nYm ) E ( XY )
n m
证明：(1)由柯西-施瓦兹不等式
| E( X n ) E( X ) |2 | E( X n X ) |2 E[( X n X ) 2 ] 0 (n )
( 2) limE ( X n ) E ( X 2 )

第2章 平稳随机过程2

第2章 平稳随机过程2

2.4平稳过程相关函数的性质 2.4.1平稳过程自相关函数的性质1． 0)]([)0(22>==X X t X E R α2．)()(ττ-=X X R R ，自相关函数是偶函数。

)()(ττ-=X X K K ，自协方差函数是偶函数。

证明：3．)()0(τX X R R ≥，即自相关函数在0=τ时具有最大值。

同样)()0(τX X K K ≥，即自协方差也在0=τ时具有最大值。

证明：4．若随机过程)(t X 满足)()(T t X t X +=，称)(t X 是周期平稳过程，其中T 为过程的周期。

周期过程的自相关函数)(τX R 必为周期函数，且与周期过程的周期相同。

证明：5．若)(t X 含有一个周期分量，则)(τX R 也含有一个相同的周期分量。

设)()()(21t X t X t X +=，)(1t X 为周期分量，)()(11T t X t X +=，)(1t X 与)(2t X 相互独立。

))]()())(()([()]()([)(2121T t X T t X t X t X E T t X t X E T R X ++++++=++=+ττττ))]()()(([)]()([()(212211T t X T t X t X E T t X t X E T R X ++++++++++=ττττ )()(11ττX X R T R =+是周期分量。

6．若平稳过程中不含有任何周期分量，则有2)()(lim 11X X X m R R =∞=∞→ττ，0)()(lim 11=∞=∞→X X K Kττ证明：当τ增大时，)(t X 与)(τ+t X 的相关性会减弱，当∞→τ时，有)(t X 与)(τ+t X 相互独立，2)]([)]([lim )]()([lim )(lim X X m t X E t X E t X t X E R =+=+=∞→∞→∞→ττττττ7．2)()(11X X X m K R +=ττ 证明：2)()])()()([()(X X X X X m R m t X m t X E K -=-+-=τττ8.平稳过程的自相关函数必须满足0)(≥⎰+∞∞--ττωτd eR j X2.4.2相关系数与相关时间1．相关系数：22)()0()()(XXX XX X m R KK r στττ-==2．相关时间：当τ很大时，)(t X 与)(τ+t X 不相关。

4平稳随机过程

4平稳随机过程

AB 2 sin( t ) sin( t ) d 2 0
AB 2 1 [cos( ) cos( 2 t 2 )] d 0 2 2

F ( x1 , x 2 , , x k ) F ( x j )
可见，满足定义条件，故{Xn,n0}是严平稳时间序列。 因为XnU(0,1)，且相互独立，所以 E(Xn)=1/2，
1 1 nm n m 12 4 E( X n ) E( X n X m ) 1 E( X n )E( X m ) n m nm 4
(2) 由Cauchy-Schwarze不等式 { E[X(s)X(t)]}2 E[X2(s)]E[X2(t)]<+,
所以E[X(s)X(t)]存在。
在严平稳过程的定义中，令h=-s, 由定义(X(s),X(t))与 (X(0),X(t-s))同分布，即有E[X(s)X(t)]= E[X(0)X(t-s)] 即Rx(t,t+)=E[X(0)X()]=Rx() 所以，Rx(s,t)只依赖于t-s,而与s,tT的具体取值无关。 进而，Cx()=E{[X(t)-x][X(t+)-x]}=Rx()-x2只与有 关； x2=Cx(0)=Rx(0)-x2 为常数.
称{Xn}为宽平稳随机序列或宽平稳时间序列。
2．严平稳和宽平稳的关系
(1)．严平稳过程不一定是宽平稳过程,因为严平稳的过 程不一定是二阶矩过程,但当严平稳过程是二阶矩过 程时,则它一定是宽平稳过程。 (2)．宽平稳过程不一定是严平稳过程,但对于正态过程, 两者是等价的
4．{X(t)}为正态过程，则{X(t)}是严平稳过程{X(t)} 是宽平稳过程。
并求E(Xn)与E(Xn Xm),n、m=0,1,2,….

随机过程第五章 平稳随机过程

随机过程第五章 平稳随机过程


1,
0,
T st;
其他.
E{Y (s)Y (t)} E{E[Y (s)Y (t) ]}
st
1 P{ T s t } 1 ,
T 对于 t 的其它情形可做类似推理.
电子科技大学
随机二元传输过程是一个平稳过程,记τ=s－t,
其自相关函数为
0,


),
a;
0,
a
RX(t, t+τ)与 t 无关, 故X(t) 是宽平稳过程.
P128例12 泊松过程不是平稳过程，
是平稳增量过程.
电子科技大学
三、两种平稳性的关系
1）严平稳过程不一定是宽平稳的; 因宽平稳过程一定是二阶矩过程,而严平稳 过程未必是二阶矩过程. 2）宽平稳不一定 严平稳;
CX (s,t) RX (s,t) mX 2 RX () mX 2
电子科技大学
注 自协方差函数与自相关函数都仅依赖于t－s.
平稳过程在实际中是常见过程,如
照明电网中电压的波动过程; 电子系统中的随机噪声; 稳定气象条件下海域中一定点处的海浪高度 随时间的变化或随地点的变化(平稳随机场)； 卫星图片中相同条件下的灰度水平.
t 0,
随机变量与 随机过程》
其中X0 与N(t)相互独立，且
美 A.帕普
力斯，p303
C C
X0 ～ 1 1 C > 0,
2 2
电子科技大学
讨论｛X(t), t≥0｝的平稳性.
C
－C
解 因 X (t) X0(1)N(t) , t 0, mX (t) E[X(t)] E(X0 )E[(1)N(t)] 0, t 0

详解平稳随机过程

详解平稳随机过程
2) 对任意s, t∈T, RX(s, t)=RX(t－s)=RX(τ). 平稳过程. 称RX(τ)为{X(t),t∈T}的自相关函数. 其协方差函数为
常 数
称{X(t),t∈T}为宽(弱、广义)平稳过程,简称
C X ( s, t ) RX ( s, t ) m X RX ( ) m X
4) 对于正态过程, 宽平稳性与严平稳性等价.
注：利用均值函数与协方差函数也可讨论 随机过程的平稳性。
怎样理解平稳过程? 一般地说,当产生随机现象的一切主要 条件可看作不随时间的改变而改变时,可以 把由此形成的随机过程看做是平稳的. 科学技术中的许多过程都是平稳的.
Ex.1 设{ X (t ) ,t T }是相互独立同分布的随机变量序列，
RW ( t a , t a ) RW ( t a , t ) RW ( t , t a ) RW ( t , t )
2 [min( t a , t a ) min( t a , t ) min( t , t a ) min( t , t )] 2 {[ t a min( 0, )] [t min( a , )]
有相同的联合分布函数, 称{X(t ),t∈T}是严 (强、狭义)平稳过程. 有限维分布不随时 间的推移而改变.
注1 严平稳过程描述的物理系统的概率
特征不随时间的推移而改变.
例如:工作在稳定状态下的接收机, 其输出 噪声可认为是严平稳的随机过程; 刚接上电源时的输出噪声应认为是非平稳过程.
严平稳过程的一维分布与时间无关, 而二维分布仅与t1和t2的间隔有关, 与时间起 点无关. 二、宽平稳过程 1）实际问题中确定一个过程的有限维分布 函数族,进而判定过程的严平稳性十分困难； 2）部分随机过程(如正态过程)的概率特征 主要由一阶和二阶矩函数确定；

2.2.4平稳随机过程的相关性分析

2.2.4平稳随机过程的相关性分析
1 2 S X ( ) lim E[ X T ( ) ] T 2T
1 xT (t )的平均功率：w 2
1 2
2
1 2 E[ X T ( ) ] d Tlim 2T




S X ( ) d

1 对于平稳过程 : W E[ X (t )] RX (0) 2
证明 : 因为 : RXY ( ) RX (0) RY (0)
任何正数的几何平均值小 于等于它的算术平均值。
2
1 ab (a b) 2
RXY ( )
1 RX (0) RY (0) [ RX (0) RY (0)] 2
17
2 X
e (1 ) 0 e (1 ) 2 X
2 X
6

三、互相关函数性质
1 、R
XY
( ) RYX ( )
同理 : CXY ( ) CYX ( )
2
2、 互相关函数的幅度平方满足 : RXY ( ) RX (0) RY (0)
2 2 X RX (0) mX
2 X RX (0) RX ()
RX ( )
RX (0)
2 X
2 mX

3
例2.2.5 非周期平稳随机过程 X (t )的自相关函数 9 RX ( ) 16 , 求数学期望及方差 . 2 1 3
9 m RX () lim RX ( ) lim[16 ] 16 2 1 3


S X ( )d
12
维纳—辛钦定理
S X ( ) RX ( )e j d FT[ RX ( )]

理学第十一章平稳随机过程

理学第十一章平稳随机过程
(3) 对于正态过程而言, 宽平稳过程和严平稳过程 是等价的.
性质2 设 X(t),t T是一(宽)平稳过程，则
(1)均方值函数是一常数，且
2 X
E[ X 2 (t)] RX (0)
(2)方差函数是一常数，且
2 X
RX
(0)
2 X
(3) 协方差函数是时间差的函数，且
CX
(
)
RX
(
)
2 X
性质3 设 RX ( ) 是X (t),t T 平稳过程的相关函数，则
i, j1
i, j1
n
E[ X (ti ) X (t j )g(ti )g(t j )] i, j1
n
E[ X (ti )g(ti )]2 0 i 1
定义3 设 X (t),t T 和 {Y(t),t T}是两个平稳过程,
若对任意 t,t T ，都有,
RXY (t,t ) E[X (t)Y (t )] RXY ( )
(,)
b
X (t)dt l.i.m X (t)dt
a a
b
(P230)
性 设 X (t),t ,是 一个二阶矩过程, 且在
质3
[a,b]，c,d,,上均方可积, 则
b
b
E[a X (t)dt] a E( X (t))dt
E[ X (t)dt] E( X (t))dt
b
E(U 2)cost cost E(V 2)sint sin t
2[cost cost sint sin t ] 2 cos
且
E[ X 2 (t)] RX (t, t) 2
因而二阶矩过程 X (t)是平稳过程.
例 设 s(t) 是一周期为T的函数, 是在区间 (0,T )

平稳随机过程的自相关矩阵及其性质.16页文档

平稳随机过程的自相关矩阵及其性质.16页文档

平稳随机过程的自相关矩阵及其性质.
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬

平稳随机过程的自相关 矩阵及其性质

平稳随机过程的自相关 矩阵及其性质

平稳离散时间随机过程的相关矩阵R是非负定的，且
几乎总是正定的。 将观测向量u(n)元素倒排，定义向量 uB(n)= [u(n-M+1) u(n-M+2) … u(n)]T 这里，下标B表示对向量u(n)内各分量做反序排列，则 向量uB(n)的相关矩阵可以表示为
平稳离散时间随机过程的自相关矩阵R从M维扩展为 M+1维，有如下递推关系：
平稳随机过程的自相关 矩阵其性质
一、自相关矩阵的定义 对离散时间平稳随机过程，用M个时刻的随机变量 u(n),u(n-1), … u(n-M+1)构造随机向量 u(n)= [u(n) u(n-1) … u(n-M+1)]T (1) 随机过程u(n)的自相关矩阵定义为 R=E {u(n) uH(n) } (2) 考虑平稳条件，得其展开形式
其中，r(m)是随机过程u(n)的自相关函数， r(m)= R=E{u(n)u*(n-m) } 根据相关函数共轭对称性，上式又可重写为
因此，对于一个平稳随机过程，只需自相关函 数的,M个值就可以完全确定相关矩阵R。
二、自相关矩阵的基本性质 平稳离散时间随机过程的相关矩阵是Hermite 矩阵。 平稳离散时间随机过程的相关矩阵是Toeplitz矩阵。

【信号处理基础】第2章 离散时间平稳随机过程

【信号处理基础】第2章 离散时间平稳随机过程

当 k l n时，可以定义
方差
2 n var u n E u n
2
n
平均功率
P n E u n 2 r n, n
c n, n
如果随机过程
u n 均值为零，即
n 0时，则有
r n1, n2 c n1, n2 , P n
2n
即 n 0时，随机过程的相关函数和协方差函数相
同，随机过程的方差等于其平均功率。
分别对
u1, ,uM 可导的， 定义 p u1, ,uM ; n1, , nM
M F u1, ,uM ; n1, , nM u1 uM
为随机过程在 若联合概率密度函数满足
n1, , nM 时刻的联合概率密度函数。
p u1, ,uM ; n1, , nM p u1; n1 p uM ; nM
则称随机过程在这些时刻是相互统计独立的。
28
证明：随机变量
U和 V 统计不相关等价于
E UV E U E V
因 U ，V中一个均值为零，所以有
E UV 0
上式表明随机变量
U和 V相互正交。该结论反之亦然。
性质4如果两个高斯随机变量中有一个均值为零，则统计独立、不相关和正交三者等 价。
证明：由性质3知，不相关与正交等价，而由性质2知，当随机变量服从高斯分布时， 统计独立与不相关是等价的。所以，统计独立、不相关和正交三者等价。
U 、V 是相互统计独立的。
它们的联合概率
密度函数
p u, v 等于 U 的概率密度函数
p u 和 V 的概率密度
函数 p v之积，即
p u,v p u p v
由上式容易推导出
E UV E U E V
24
如果两个随机变量

3第二章平稳随机过程

3第二章平稳随机过程

例题3：
设S(t)是一周期为T的函数， θ在(0,T)上 均匀分布，称X(t)=S(t+θ)为随机相位周 期过程，讨论其平稳性。
例题4： 随机过程X(t)只取+I和 -I，且P{X(t)=+I} = P{X(t)= -I}=1/2，而正负号在( t, t+ τ) 的变化次数N(t,t+τ)是随机的，且事件 AK={N(t,t+τ)=k}的概率为
1 N
N l im P{|Nk1Xk
m|}1
随时间n的无限增长，随机过程的样本函数 按时间平均以越来越大的概率近似于该过程的 统计平均。也就是说，只要观测的时间足够长， 则随机过程的每个样本函数都能够“遍历”各 种可能的状态。
例题：
随机过程X(t)=acos(wt+θ ),a,w为常 数，θ 为(0,2π )上均匀分布的随机变量， 试分析X(t)集合平均和时间平均值、相 关函数和时间相关函数。
E| a bX(t)d|2 ta ba bR X(t1,t2)d1d t2t
结论：数学期望和积分可以交换秩序。
定理6.9
设{X(t),t∈T}为二阶矩过程在区间[a,b]上均方连 续，则
b
Y(t) X()d a
在均方意义下存在，且随机过程{Y(t), t∈T}在区 间[a,b]上均方可微，且有Y’(t)=X(t)。
具有各态历经性。
定义6.11
如果均方连续的平稳过程{X(t),t∈T} 的均值和相关函数都具有各态历经性， 则称该平稳过程为具有各态历经性或遍 历性。
定理6.10 设{X(t),-∞<t<∞}是均方连续的平稳过程，则它 的均值具有各态历经性的充要条件为
l T .i .m 2 1 T 2 2 T T ( 1 |2 T |)R [ X () |m X |2 ] d 0
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平稳随机过程的自相关矩阵及其性质
性质4 将观测向量u(n)元素倒排，定义向量
uB(n)= [u(n-M+1) u(n-M+2) … u(n)]T
这里，下标B表示对向量u(n)内各分量做反序排列， 则向量uB(n)的相关矩阵可以表示为
RB E u B n u B H n r (0) r * (1) r * ( M 1) r (1) r (0) r * ( M 2) r (0) r ( M 1) r ( M 2) RT C M M
平稳随机过程的自相关矩阵及其性质
性质3 平稳离散时间随机过程的相关矩阵R是非负定的，
且几乎总是正定的。 证明：设a∈Cm×1为任意非零向量，由于二次型
a H Ra a H E u (n) u H (n) a E a H u ( n) u H ( n) a E a u ( n ) a u ( n )
根据相关函数共轭对称性，即r(-m)=r* (m) ，上式又 可重写为
r (0) r ( 1) R r ( M 1) r (1) r (0) r ( M 2) r ( M 1) r ( M 2) r (0)
平稳随机过程的自相关矩阵及其性质
性质1 特征值λ1、λ2、·· M都是实数，且是非 ·、λ 负的。 性质2 对任意整数k>0，矩阵Rk的特征值为λk1、 λk2、·· kM。 ·、λ 性质3 若特征值λ1、λ2、·· M各不相同，则特 ·、λ 征向量q1、q2、·· M相互正交。 · 、q
平稳随机过程的自相关矩阵及其性质
因此，对于一个平稳随机过程，只需自相关函数r (m) 的M个值就可以完全确定相关矩阵R。
平稳随机过程的自相关矩阵及其性质 二、自相关矩阵的基本性质
性质1 平稳离散时间随机过程的相关矩阵是Hermite 矩阵， 即有
RH=R
性质2 平稳离散时间随机过程的相关矩阵是Toeplitz矩阵。 结论：如果离散时间随机过程是广义平稳的，则它的自 相光矩阵R一定是Toeplitz矩阵；反之，如果自相关矩阵R为 Toeplitz矩阵，则该离散时间随机过程一定是广义平稳的。
T
r (0) r (1) R r ( M 1)
r (1) r (0) r ( M 2)

r ( M 1) r ( M 2) C M M r (0)
平稳随机过程的自相关矩阵及其性质
其中，r(m)是随机过程u(n)的自相关函数，为 r(m)=E{u(n)u*(n-m) } 。
H H H H
E a u ( n)
H

2
0

平稳随机过程的自相关矩阵及其性质 故相关矩阵R总是非负定的。当且仅当 观测向量的每个随机变量间存在线性关系 时，等式成立，这种情况仅出现在随机过 程u(n) 是由K个纯复正弦信号之和组成。 实际中，由于不可避免地存在加性 噪声，故平稳离散时间随机过程的相关 矩阵几乎总是正定的。
平稳随机过程的自相关 矩阵及其性质
硕研2012-3 杨波
平稳随机过程的自相关矩阵及其性质
主要内容
一、自相关矩阵的定义 二、自相关矩阵的基本性质 三、自相关矩阵的特征值与特征向量的性质
平稳随机过程的自相关矩阵及其性质 一、自相关矩阵的定义
对离散时间平稳随机过程，用M个时刻的随机变量 u(n),u(n-1), … u(n-M+1)构造随机向量 u(n)= [u(n) u(n-1) … u(n-M+1)]T (1) u n u n 随机过程u(n)的自相关矩阵定义为 R= E{u(n) uH(n) } (2) 将式(1)代入(2)，并考虑平稳条件，得其展开形式
平稳随机过程的自相关矩阵及其性质 三、自相关矩阵的特征值与特征向量的性 质
对平稳随机过程的自相关矩阵R进行特征值分解， 设向量q1、q2、·· M 分别是特征值λ1、λ2、·· M · 、q ·、λ ������ 所对应的特征向量，即
Rqi i qi
i 1,, M
通过对自相关矩阵R进行特征值分解，可以得到随 机过程u (n) 的某些统计信息，这便是离散时间随机过 程的特征值分析方法，是统计信号处理的基础。 下面介绍自相关矩阵的特征值和特征向量的性质。

平稳随机过程的自相关矩阵及其性质
性质5 平稳离散时间随机过程的自相关矩阵R从M维扩 展为M+1维，有如下递推关系:
RM R M 1 H rB
或等价地,有
* rB r 0
r 0 r H R M 1 RM r
其中 r H r 1 r 2 r M T rB r M r M 1 r 1
tr ( R) Mr (0) i
i 1 M
性质6 Karhunen-Loeve展开
平稳随机过程的自相关矩阵及其性质
性质4 若特征值λ1、λ2、·· M各不相同，是相应的归 ·、λ 一化特征向量，即
1, q qi 0,
H i
i j i j
定义矩阵
Q q1
q2
பைடு நூலகம்
qM
diag 1
2
M
则矩阵是酉矩阵，且相关矩阵可对角化为
QH RQ
性质5 特征值之和等于相关矩阵的迹，即