复合函数的中间变量为多元函数的求导法则

z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
z = f (u, v, t), u = ϕ(t),
v =ψ (t)
z = f (u, x, y), u = ϕ(x, y)
解 (1)
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
+
∂z ∂z ∂u = ∂x ∂u ∂x ∂z = ∂u ∂z = ∂u ∂z ∂z = ∂y ∂u
2 2 x2 + y2 +x4 sin2 y
x2 + y2 +z2
∂f ∂u ∂f ∂f ∂z ∂f ∂f ∂z = = + ⋅1 + ⋅0 + ∂y ∂y ∂x ∂z ∂y ∂y ∂z ∂y
= 2ye
x2 + y2 +z2
4
x2 + y2 +z2 x2 cos y ⋅ + 2ze
x2 + y2 + x4 sin2 y
y
∂z ∂u ∂z ∂v ∂z + = ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
注
设 u = ϕ( x, y)、 =ψ( x, y)及w = ω( x, y) 都在点 v
(x,y) 具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点 (u,v,w)有连续偏导数，则复合函数
z = f [ϕ(x, y),ψ (x, y),ω(x, y)]
= eu (sin v + y cos v) = ex+ y[sin( xy) + y cos(xy)]
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
= eu sin v ⋅1 + eu cos v ⋅ x

u
x
F (x , y)
z
v
y
定理 2 ：设 u = ( x , y ), v = ( x , y ) 在点 ( x , y ) 偏
导数存在，z = f ( u , v ) 在对应的点 ( u , v ) 处具有连续
偏导数，则复合函数 z = f [ ( x , y ) , ( x , y ) ] 在点
zx , zxx , z xy.
解：令 v = x y , 则 z u v , u (x , y) , v x y
u
y
z
v
x
z z u z v u y
x u x v x x
2z xy
{
u x
y
}
' y
1
2u , xy
2z x2
2u x2
例6：设 z y 2 ( x y) , 为可微函数，求证
连续偏导数，求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z, v xyz , 则 w f (u,v),
2w xz
f1 z
( yf2
yz f2), z
u
x
f1 f1(u, v), f2 f2(u, v), w
v
y z
f1 z
f1 u f1 v u z v z
f11 xyf12;
第四节：多元复合函数的求导法则
设 y f (u) , u (x) , 则 y f [ ( x) ] ,
d y d y du dx du dx
dy
du
du
y
u dx
x
dy
dx
设 z f ( u, v ) , u (x , y) , v (x , y) ,

导数存在，且可用下列公式计算
z
z
u
z
v
，
x u x v x
z y
z u
u y
z v
v y
.
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
例 1 设 z eu sin v ，而u xy，v x y ， 求 z 和z . x y
即 z f[(x ,y )x ,y ],令 vx, wy,
v 1, w 0,
x
x
zf uf, x u x x
v 0, w 1.
y
y
区
z f uf . y u y y
别 类 似
两者的区别
把 z f (u, x, y)
把复合函数zf[(x,y),x,y]中 的 u 及 y 看 作 不
中 的y看 作 不 变 而 对 x的 偏 导 数 变 而 对 x 的 偏 导 数
同理有 f2, f11, f22.
w x
f u f v
u x v x
f1yfz2 ;
2w xz
( z
f1
yzf2)
fz1yf2yzfz2;
f 1 z
fu1uzfv1vz f1 1xf1 y ;2
f 2 z
f2uf2v u z v z
f2 1xf2 y ;2
于是
2w xz
f11xfy12 yf2 y(f z 2 1xf2 y )2
连续偏导数，求 w 和 2w . x xz
（3）求抽象函数的二阶偏导数时要注意，对一 切一阶偏导数来说其结构图仍与原来函数的结 构图相同。

多元复合函数的求导法则为了简化讲解，假设我们有一个复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个一元函数，f(y)是一个多元函数。

我们希望计算该函数的导数。

下面是多元复合函数求导的三种基本法则。

法则一：链式法则链式法则是求导复合函数最常用的法则。

它可以帮助我们计算f(g(x))的导数。

根据链式法则，导数可以通过链式相乘的方式进行计算。

链式法则的公式为：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)其中f'(y)是f(y)对变量y的导数，g'(x)是g(x)对变量x的导数。

通过链式法则，我们可以将f(g(x))的导数转化为f'(g(x))和g'(x)的乘积。

法则二：导数反函数法则导数反函数法则是求导复合函数的另一种常用法则。

它适用于求导符合函数的反函数的导数。

设y=g(x)是一个可逆函数，且g'(x)≠0，则它的反函数x=g⁻¹(y)的导数可以通过导数的反函数进行计算。

导数反函数法则的公式为：(g⁻¹(y))'=1/(g'(x))其中g'(x)是g(x)对变量x的导数。

通过导数反函数法则，我们可以计算得到反函数的导数。

法则三：隐函数法则隐函数法则适用于求导复合函数中的隐式函数。

隐式函数是一种表示函数关系的方程，它的导数可以通过隐函数法则进行计算。

假设我们有一个隐函数F(x,y)=0，其中y=g(x)是一个表示x与y的关系的函数。

我们可以使用隐函数法则计算y的导数。

隐函数法则的公式为：(dy/dx) = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)其中(∂F/∂x)和(∂F/∂y)分别表示F(x,y)对变量x和y的偏导数。

通过隐函数法则，我们可以计算得到复合函数的导数。

综上所述，链式法则、导数反函数法则和隐函数法则是求导复合函数的三种基本法则。

这些法则能够帮助我们解决复杂的多元函数求导问题，提高计算效率。

多元复合函数的求导法则对于多元函数的复合函数，我们可以通过链式法则来求导。

设$z=f(u,v)$为一个二元函数，其中$u=u(x,y)$和$v=v(x,y)$。

我们希望求得 $z$ 对于 $x$ 和 $y$ 的偏导数 $\frac{\partialz}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

首先，我们可以使用全微分的概念来表示函数 $z$ 的微分 $dz$，即$dz = \frac{\partial z}{\partial u} du + \frac{\partialz}{\partial v} dv$。

然后，我们可以使用 $x$ 和 $y$ 对于 $u$ 和 $v$ 的偏导数来表示$du$ 和 $dv$，即 $du = \frac{\partial u}{\partial x} dx +\frac{\partial u}{\partial y} dy$ 和 $dv = \frac{\partialv}{\partial x} dx + \frac{\partial v}{\partial y} dy$。

将 $du$ 和 $dv$ 的表达式代入 $dz$ 的式子中，我们可以得到$$dz = \frac{\partial z}{\partial u} \left(\frac{\partialu}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy\right) +\frac{\partial z}{\partial v} \left(\frac{\partial v}{\partial x} dx + \frac{\partial v}{\partial y} dy\right)$$然后，我们可以根据函数 $z = f(u, v)$ 对于 $u$ 和 $v$ 的偏导数来化简上面的表达式。

假设 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 和$\frac{\partial z}{\partial v}$ 都存在，我们可以得到$$dz = \left(\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partialu}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partialv}{\partial x}\right) dx + \left(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\right) dy$$从上面的式子中我们可以看出 $\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}$ 和$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$。

dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
u
z
v
t
w
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
dt
2.上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况：
如果 u (x, y) 及 v ( x, y) 都在点( x, y) 具有对 x和y 的偏导数，且函数 z f (u,v) 在对应点 (u,v) 具有连续偏导数，
zv x x
dz 试问 dx 与
f x
是否相同？为什么？
z f (u,v, x), u (x), v ( x)
u
dz f du f dv f
zv x
dx u dx v dx x
不相同.
x
等式左端的z是作为一个自变量x的函数，
而等式右端最后一项 f 是作为u, v, x的三元函数，
一、链式法则
一元复合函数
定理
求导法则
如果函数u (t) 及v (t)都在点 t 可导，
函数 z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，
则复合函数z f [(t), (t)] 在对应点 t 可导，
且其导数可用下列公式计算
dz z du z dv z
dt u dt v dt
u vt
证 设 t 有增量 t，则 u (t t) (t), v (t t) (t); 由于函数z f (u,v) 在点
(u,v) 有连续偏导数，故可微，即
z z u z v o( ), ( (u)2 (v)2 )
复合结构如图示
u
x
z z u z v , z

口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
z z 例1. 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z z v 解: x v x
u
eu sin v
z y
eu cos v 1
z
u v yx y
z
u v
x
y x
y
又如, z f ( x, v) , v ( x, y )
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x z y
1 f1 f 2 2 f2
x
v
x y
z f 不同, 注意: 这里 与 x x z f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 x x
t
ve
t
t
cos t
u v t
e (cos t sin t ) cos t
t
t
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
例4. 设
f 具有二阶连续偏导数,
w 2 w w , f1 , f 2 求 , . x x z u v 解: 令 u x y z , v x y z , 则 w f (u, v) x y zx y z w yz f2 x ( x y z, x y z ) y z f2 2w x y x y f12 f 22 x z 2 2 f f f y ( x z ) f x y z f y f 2 11 , 引入记号 12 f1 ,22f12 , 为简便起见 u u v

第四节 多元复合函数的求导法则教学目的：使学生熟练掌握多元复合函数的求导法则；了解函数全微分形式不变性:。

教学重点：复合函数的中间变量均为多元函数的求导法则教学过程：一、 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理 1 如果函数 u=j(t)及 v=y(t)都在点 t 可导, 函数 z=f(u, v)在对应点(uv)具有连续偏导数, 则复合函数 z=f[j(t), y(t)]在点 t 可导, 且有dz z du z dv . dt u dt v dt 简要证明 1: 因为 z=f(u, v)具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有dz z du z dv . u v又因为 u=j(t)及 v=y(t)都可导, 因而可微, 即有du du dt , dv dv dt ,dtdt代入上式得dz z du dt z dv dt (z du z dv)dt , u dt v dt u dt v dt从而 dz z du z dv . dt u dt v dt简要证明 2: 当 t 取得增量 Dt 时, u、v 及 z 相应地也取得增量 Du、Dv 及 Dz . 由z=f(u, v)、u=j(t)及 v=y(t)的可微性, 有z z u z vo() z [du t o(t)] z [dv t o(t)]o()u vu dtv dt(z du z dv)t (z z)o(t)o() , u dt v dt u vz z du z dv (z z) o(t) o() , t u dt v dt u v t t 令 Dt®0, 上式两边取极限, 即得dz z du z dv . dt u dt v dt注:limt 0o() tlimt 0o() (u)2 (v)2 0t(du)2 (dv)2 0 . dt dt推广: 设 z=f (u, v, w), u=j(t), v=y(t), w=w(t), 则 z=f[j(t), y(t), w(t)]对1/1t 1/1的导数为:dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt上述 dz 称为全导数. dt 二、 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理 2 如果函数 u (x y) v (x y)都在点(x y)具有对 x 及 y 的偏导数 函数 z f(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数 z=f[j(x, y), y(x, y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有z z u z v , x u x v xz z u z v . y u y v y推广: 设 z=f(u, v, w ), u=j(x, y), v=y(x, y), w=w(x, y), 则z z u z v z w , x u x v x w xz z u z v z w . y u y v y w y讨论(1)设 z f(u v) u(x y) v(y)则z x？z y？提示 z z u x u xz z u z dv y u y v dy(2)设 z=f(u, x, y), 且 u=j(x, y), 则 z ？ z ？ x y提示z f u f , x u x xz yf uu yf y.这里 z 与 f 是不同的 z 是把复合函数 z f[ (x y) x y]中的 y 看作不x xx变而对 x 的偏导数 f 是把 f(u x y)中的 u 及 y 看作不变而 对 x 的偏导数 z 与xyf 也朋类似的区别 y三、复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形定理 3 如果函数 u (x y)在点(x y)具有对 x 及对 y 的偏导数 函数 v (y)在点y 可导 函数 z f(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数 z f[ (x y)(y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有z z u x u xz yz uu yz vdv dy例 1 设 z=eusin v, u=xy, v=x+y, 求 z 和 z . x y解 z z u z v x u x v x =eusin v y+eucos v 1 =ex y[y sin(x+y)+cos(x+y)], z z u z v y u y v y =eusin v x+eucos v 1 =exy[x sin(x+y)+cos(x+y)].例 2 设 u f (x, y, z) ex2 y2z2 , 而 z x2 sin y . 求 u 和 u . x y解 u f f z x x z x 2xex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 2xsin y 2x (1 2x2 sin2 y)ex2 y2 x4 sin2 y . u f f z y y z y 2yex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 x2 cos y 2( y x4 sin y cos y)ex2 y2 x4 sin2 y .例 3 设 z=uv+sin t , 而 u et, v=cos t. 求全导数 dz . dt解 dz z du z dv z dt u dt v dt t =v×et+u×(-sin t)+cos t =etcos t-e tsin t+cos t=et(cos t-sin t)+cos t .例 4 设 w=f(x+y+z, xyz), f 具有二阶连续偏导数, 求 w 及 2w . x xz解 令 u=x+y+z, v=xyz , 则 w=f(u, v).引入记号:f1f(u,v) u,f12f (u,v) uv;同理有f2 ,f11 ,f22 等.2w xz z(f1yzf2)f1 zyf2yzf2 z f11 xyf12 yf2 yzf21 xy2zf22 f11 y(x z) f12 yf2 xy2zf22 .注:f1 zf1 uu zf1 vv zf11xyf12,f2 zf2 uu zf2 vv zf21xyf22.例 5 设 u=f(x, y)的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换成极坐标系中的形式:(1) (u)2 (u)2 ; x y(2)2u x22u y2.解 由直角坐标与极坐标间的关系式得u=f(x, y)=f( cosθ, rsinθ)=F(r, θ)其中 x=rcosθ y=rsinθ x2 y2 arctan y x应用复合函数求导法则, 得u xu xu xu x u y 2u cosu ysin ,u yu yu yu y u x 2u sinu cos .两式平方后相加, 得(u x)2(u y)2(u)21 2(u )2.再求二阶偏导数, 得2u x2 (ux ) x (ux) x (ucosu sin )cos (ucosu sin ) s in 2u cos2 2 2u sin cos 2u sin 2 2 2 2同理可得u 2sin cos 2u sin2 .2u y22u 2sin222u sin cos 2u 2cos 2 2两式相加, 得u 2sin cos 2u cos2 .2u x22u y22u 21 1 22u 21 2[ (u )2u 2].全微分形式不变性: 设 z=f(u, v)具有连续偏导数, 则有全微分dz z du z dv . u v如果 z=f(u, v)具有连续偏导数, 而 u=j(x, y), v=y(x, y)也具有连续偏导数, 则 dz z dx z dy x y (z u z v)dx(z u z v)dy u x v x u y v y z (u dx u dy) z (v dx v dy) u x y v x y z du z dv . u v由此可见, 无论 z 是自变量 u、v 的函数或中间变量 u、v 的函数, 它的全微分形式 是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性.例 6 设 z=e usin v, u=x y, v=x+y, 利用全微分形式不变性求全微分.解 dz z du z dv = e usin vdu+ e ucos v dv u v = e usin v(y dx+x dy )+ e ucos v(dx+dy) =( ye usin v+ e ucos v)dx+(xe usin v+ e ucos v )dy =e xy [y sin(x+y)+cos(x+y)]dx+ e xy [x sin(x+y)+cos(x+y)]dy .（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

复合函数求导公式有哪些
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什幺，小编整理了
相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。

2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数
y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。

3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则
y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。

即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。

1 复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
例1.y=Ln(x),Y=Ln(u),U=x,
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x)]*(x)′=[1/Ln(x)]*(3x)。

（10-1）
1.1 多元复合函数的求导法则
证明 因为 z f (u ，v) 具有连续的偏导数，所以它是可微的，即有
dz z du z dv ． u v
又因为 u (t) 及 v (t) 都可导，因而可微，即有
以此代入 dz 的表达式中得
du du dt ， dv dv dt ，
dt
dt
1.1 多元复合函数的求导法则
例 4 设 u f (x ，y ，z) ex2 y2 z2 ， z x2 sin y ，求 u 和 u ． x y
解 u f f z 2xex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 2x sin y 2x(1 2x2 sin2 y)ex2 y2 x4 sin2 y ， x x z x
dz
z u
du dt
dt
z v
dv dt
dt
z u
du dt
z v
dv dt
dt
，
从而
dz z du z dv ． dt u dt v dt
1.1 多元复合函数的求导法则
推广 设 z f (u ，v ，w) ，u (t) ，v (t) ，w (t) ，则 z f [(t) ， (t) ，(t)] 对 t
6x(4x 2 y)(3x2 y )2 4x2y1 4(3x2 y2 )4x2 y ln(3x2 y2 ) ， z z u z v v uv1 2y uv ln u 2 y u y v y
2 y(4x 2 y)(3x2 y )2 4x2y1 2(3x2 y2 )4x2y ln(3x2 y2 ) ．
解 本例中的变量有函数 z ，中间变量u ，v ，自变量 x，y ，根据链式法则式（10-3），有 z z u z v eu sin v y eu cosv 1 x u x v x eu ( y sin v cos v) exy[ y sin(x y) cos(x y)]， z z u z v eu sin v x eu cos v 1 y u y v y eu (x sin v cos v) exy[x sin(x y) cos(x y)]．

z u
u y
z v
v y
eu sin v x eu cosv 1 eu (x sin v cosv).
例2 z (x2 y2 )sin(x3y) ,求 z 和 z . x y
例3 z f (xy, x ), f 可微,求 z 和 z .
特别一: z f (u, x, y) 其中 u ( x, y)
即 z f [( x, y), x, y], 令 v x, w y,
v 1, w 0,
x
x
z f u f , x u x x
两者的区别
v 0, w 1.
y
f (1,1) 2, f (1,1) 3, x f (x, f (x, x)).求
x
y
d 3(x) x 1.
dx
例8
设u

yf
(
x) y

xg (
y )求 x
2u x2
,
2u xy
及x 2u y 2u . x2 xy
二、小结
链式法则（分三种情况）
z ________________. y
2、设z

x2
ln(3 x y2

2 y) ,则z x
_______________；
z ________________. y
3、设z esint2t3 ,则dz ________________. dt
二、设z

v
ue u ,而u
et (cost sin t) cost.
例5 z=f (x2, e2x ), f 可微,求 dz . dx

3uv , u e , v sin t , 求 . dt z du z dv dz 解 dt u dt v dt
2 4 t
(2uv 3v 4 ) e t ( u2 12uv 3 )cos t
(2e t sin t 3sin4 t )e t (e 2t 12e t sin3 t )cos t .
链导法则
特例1 若 z = f (u , v)，而 u ( x ), v ( x ) 都在点 x 处可导, 函数 z = f (u , v)在相应点(u , v)处可微， 则复合函数 z f [ ( x ), ( x )] 在点 x 处可导， u 且 z x dz z du z dv 全导数 v
注意
情形(1) z f ( u, v , w ), u ( x , y ), v ( x , y ), w ( x , y ), 则 z u z v z w z x u
z
w
u
v
y
x y
z
z 是在 z f [ ( x , y ), x , y ] 中视 y 为常量，对 x 求偏导. x f 是在 z = f (u , x , y)中 视 u , y 为常量，对 x 求偏导. x
类似一元函数具有微分形式不变性，二元函数具有全微分 形式不变性. 设函数 z f ( u, v ), u ( x , y ), v ( x , y ) 均具有连续偏导数, 则复合函数 z f [ ( x , y ), ( x , y )] 的全微分为
z z dz dx dy x y z u z v z u z v dx dy u x v x u y v y z u u z v v dx dy dx dy u x y v x y

z z u z v vuv 1 uv x ln u y u y v y
xy ( x 2 y ) xy 1 x ( x 2 y ) xy ln( x 2 y ).
例2
求 zx , 解
z f ( x sin y, ye x ), 设 f (u, v)有连续偏导数,
证 设 x 获得 y) ( x, y),
v ( x x, y) ( x, y),
由于函数 z f ( u, v ) 在点( u, v ) 有连续偏导数
z z z u v 1 u 2 v , u v 当u 0 ，v 0 时， 1 0 ， 2 0 z z u z v u v 1 2 t u x v x x x
当各函数满足相应的条件时,有
z z u z v , x u x v x z z u z v , y u y v y z z u z v . t u t v t
例1 解
z x y
2
v


xy
z z , 求 , . x y
一定要注意, f1 和f 2 仍然是u、v 的函数,它们对x求
偏导数时仍需使用复合函数求导法则, 所以,
( f1) 2 xf11 sin yf12 , x
则
( f 2 ) 2 xf 21 sin yf 22 , x 2z 4 x 2 f11 4 x sin yf12 sin 2 yf 22 2 f1. 2 x
7.4 多元复合函数的求导法则
7.4.1 复合函数的中间变量均为 多元函数的情形
7.4.2
7.4.3 7.4.4 7.4.5
复合函数的中间变量均为 一元函数的情形 某些中间变量又是复合函 数中的自变量的情形

（整理）多元复合函数的求导法.多元复合函数的求导法在⼀元函数中，我们已经知道，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作⽤，对于多元函数来说也是如此。

下⾯我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。

我们先以⼆元函数为例：多元复合函数的求导公式链导公式：设均在(x,y)处可导,函数z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续的⼀阶偏导数,那末,复合函数在(x,y)处可导,且有链导公式：例题：求函数的⼀阶偏导数解答：令由于⽽由链导公式可得：其中上述公式可以推⼴到多元，在此不详述。

⼀个多元复合函数，其⼀阶偏导数的个数取决于此复合函数⾃变量的个数。

在⼀阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此⾃变量有关的中间变量的个数。

全导数由⼆元函数z=f(u,v)和两个⼀元函数复合起来的函数是x的⼀元函数.这时复合函数的导数就是⼀个⼀元函数的导数,称为全导数.此时的链导公式为:例题：设z=u2v，u=cosx，v=sinx，求解答：由全导数的链导公式得：将u=cosx，v=sinx代⼊上式，得：关于全导数的问题全导数实际上是⼀元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成⽽已。

多元函数的极值在⼀元函数中我们看到，利⽤函数的导数可以求得函数的极值，从⽽可以解决⼀些最⼤、最⼩值的应⽤问题。

多元函数也有类似的问题，这⾥我们只学习⼆元函数的极值问题。

⼆元函数极值的定义如果在(x0,y0)的某⼀去⼼邻域内的⼀切点(x,y)恒有等式：f(x,y)≤f(x0,y0) 成⽴，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极⼤值f(x0,y0)；如果恒有等式：f(x,y)≥f(x0,y0) 成⽴，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极⼩值f(x0,y0).极⼤值与极⼩值统称极值.使函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点.⼆元可导函数在(x0,y0)取得极值的条件是：.注意：此条件只是取得极值的必要条件。

凡是使的点(x,y)称为函数f(x,y)的驻点.可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不⼀定是极值点。

复合函数的求导法则是指对于一个复合函数而言，求导时
需要将自变量和函数进行分离，分别对自变量和函数求导，
再求和。

具体来说，复合函数的求导法则可以分为两种情况:
1. 直接求导法则
如果复合函数的内层函数是简单函数(即只包含一个自变
量的函数)，那么可以直接按照求导法则对内层函数进行求导，然后利用链式法则对外层函数进行求导。

例如，对于函数
f(x)=x^2+2x,求f(x)的导数，可以按照以下步骤进行:
f'(x) = (x^2 + 2x)' = (x^2)' + 2(x^2)'x = x^2 + 4x
其中，x^2的导数为2x,2x的导数为2,x的导数为1。

2. 间接求导法则
如果复合函数的内层函数是复合函数，那么需要先将内层
函数转化为简单函数，然后再按照求导法则对简单函数进行
求导。

例如，对于函数f(x)=sin(wx+b),求f(x)的导数，可
以按照以下步骤进行:
f'(x) = (sin(wx+b))' = (sin(wx+b))'w·cos(wx+b) + (sin(wx+b))'b·sin(wx+b) = w·cos(wx+b) + b·sin(wx+b)
其中，w为常数，表示角速度，cos(wx+b)为在wx+b方向
上的余弦函数，sin(wx+b)为在wx+b方向上的正弦函数。