五年级下册数学试题-奥数专题培优讲练：09消去法与换元法(5年级培优)教师版

第3讲巧解平均数问题（二）I 多个部分平均与全体平均方法和技巧（1）用“总数量÷总份数=平均数”直接求平均数。

（2）借助“整体思考法”巧解题。

（3）用“移多补少法”巧解题。

（4）借助“整数化”巧解题。

例题精讲A级基础点睛一、运用平均数的概念解题【例1】小张、小李两人的平均身高是1.70米，小李、小王两人的平均身高是1.74米，小王、小张两人的平均身高是1.60米。

问：小张、小李、小王三人的平均身高是多少米？分析与解小张+小李=1.70×2，小李+小王=1.74×2，小王+小张=1.60×2 上面三式相加得2×（小张+小李+小王）=1.70×2+1.74×2+1.60×2 即小张+小李+小王=（1.70×2+1.74×2+1.60×2）÷2故小张、小李、小王的平均身高为[（1.70×2+1.74×2+1.60×2）÷2] ÷3=1.68（米）答：小张、小李、小王三人的平均身高是1.68米。

做一做1 A，B，C，D四位小朋友在一次测验中，A，B，C三人的平均成绩是80分；B，C，D三人的平均成绩是85分；C，D，A三人的平均成绩是83分；D，A，B三人的平均成绩是82分。

问：A，B，C，D四人的平均成绩是多少分？二、“整体思考”巧解题【例2】赵、钱、孙、李四个小朋友，每两人合称一次体重，一共称了6次，其平均体重分别是34.5、33.5、36.0、35.0、37.5、36.5（单位：千克）。

问：这四位小朋友的平均体重是多少千克？分析与解1 依照例1的解法，每一个人与其他三个人都可以配对合称。

因此，在上面6个平均数中，每个人的体重都被计算了3次，详细地说，有（赵+钱）的体重=34.5×2………………………………………①（赵+孙）的体重=33.5×2………………………………………②（赵+李）的体重=36.0×2………………………………………③（钱+孙）的体重=35.0×2………………………………………④（钱+李）的体重=37.5×2………………………………………⑤（孙+李）的体重=36.5×2………………………………………⑥将上面6个式子相加，得（赵+钱+孙+李）的体重×3=6次平均体重分别乘2的和即（赵+钱+孙+李）的体重×3为34.5×2+33.5×2+36.0×2+35.0×2+37.5×2+36.5×2（赵+钱+孙+李）的体重为（34.5×2+33.5×2+36.0×2+35.0×2+37.5×2+36.5×2）÷3 故赵、钱、孙、李四人的平均体重为[ (34.5×2+33.5×2+36.0×2+35.0×2+37.5×2+36.5×2)÷3]÷4=35.5(千克)分析与解 2 求四个小朋友的平均体重，根据“总量÷总份数=平均数”，若能找到四个小朋友的总重量，问题即迎刃而解。

课堂目标：要求学生掌握用列表法、假设法等进行推理重点：列表法、假设法（例1、例2、例3、例4）难点：计算方法（例5）在日常生活中，有些问题常常要求我们通过对条件的认真分析后展开联想，从而推理出结果，而不是通过运算得出结论，这类问题称为逻辑推理问题。

解答这类问题的主要方法有假设法、列表法和计算法等。

排成一排的四张扑克牌，正好是四种花色都有，A、K、Q、J各一张。

已知：（1）A的左边第一张是红桃，右边第一张是J；（2）K在Q的左边；（3）黑桃的左边第一张是J，并且与方块不相邻。

那么这四张牌分别是黑桃________，红桃________，方块________，梅花________。

【知识点】逻辑推理【难度】A 【出处】底稿【分析】Q 、K 、A 、J 。

甲、乙、丙、丁、戊，五个人坐在同一排5个相邻的座位上看电影。

已知甲坐在离乙、丙距离相等的座位上，丁坐在离甲、丙距离相等的座位上，戊的左右两侧的邻座上分别坐着他的两个姐姐，那么戊的两个姐姐分别是谁？【分析】甲、乙。

有三位同学小明、小胖、小丁丁，每人都有两个外号，他们的外号有“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”。

此外我们还知道：（1）数学博士夸跳高冠军跳得高；（2）短跑健将请小画家画贺年卡；（3）跳高冠军和大作家常与小明一起去看电影；（4）数学博士和小画家很要好；（5）小胖向大作家借过书；（6）小丁丁下象棋常赢小胖和小画家。

你知道小明、小胖、小丁丁三人各有哪两个外号吗？【知识点】利用列表法进行推理【难度】B 【出处】底稿【分析】如下表所示，数学博士短跑健将跳高冠军小画家大作家歌唱家小明×××√×√小胖×√√×××小丁丁√×××√×李老师、王老师、张老师在语文、数学、社会、自然、音乐、美术六门功课中，每人分别都教两门，已知：（1）社会老师与数学老师是好朋友；（2）王老师最年轻；（3）自然老师比语文老师年纪大；（4）李老师常向自然老师和数学老师说天下大事；（5）王老师、音乐老师和语文老师常在一起下棋。

【备课说明】教学目标：掌握“加减消去法”和“代入消去法”，把两个或两个以上的未知量转化为一个未知量的关系。

重、难点：分析题目已知条件，列出等式关系，通过用“加减消去法”和“代入消去法”解决问题。

注意：上课老师需跟学生强调“加减消去法”必须是未知量前面数字相同的情况才能进行。

例1：减法消去法；例2：加法消去法；例3：涉及到三个未知量；例4：两个等式相加提取相同因数，再用“代入消去法”（整体代入）；例5：先把未知量前面数字变成相同后再进行“加减消去法”。

在很多数学应用题中，常给出两个或两个以上的未知量。

我们在思考时，可以通过对条件的比较，分析对应的未知量的变化情况，想办法消去其中的一个或几个未知量，只留下一个未知量，使题目变简单，问题从而得到解决。

小斌和小明去超市买文具。

小斌买了1支钢笔和4支水笔共用去18元；小明买了同样的1支钢笔和2支水笔共用去14元。

这种钢笔和水笔的单价各是多少元？解：1支钢笔的价钱+4支水笔的价钱=18元1支钢笔的价钱+2支水笔的价钱=14元水笔单价：()()()元2241418=-÷- 钢笔单价：()元102214=⨯-【答案】10；2 【难度】★ ★ 【出处】应用题训练营P48开学前，学校第一次购买了40张桌子和80把椅子，共付5600元；第二次又买了同样的30张桌子和80把椅子，共付4600元。

桌子和椅子的单价各是多少元？解：40张桌子+80把椅子=5600元30张桌子+80把椅子=4600元桌子单价：()()()元100304046005600=-÷-椅子单价：()()元2080301004600=÷⨯-【答案】100；20 【难度】★ ★ 【出处】应用题训练营P48丽丽买1支铅笔和2块橡皮共用去2元钱，已知1支铅笔比2块橡皮贵4角钱，求1支铅笔的价格是多少？【解析】有题可知，1支铅笔+2块橡皮= 20 角，1支铅笔-2块橡皮= 4 角。

课堂目标：1、记住用消去法、换元法解题的题型；2、掌握用消去法及换元法解决实际问题重点：消去法、换元法解题 难点：消去法解应用题的过程（消元的方法）换元法：有时候，题目中有两个有一定关联的数量，这两个数量给解题带来不便，我们要从中找到两种数量之间的联系，把两种数量转化成一种数量，从而帮助我们找到解题的方法。

消去法：在较复杂的应用题中，有的包含着两个或两个以上要求的量，解答时，先想法消去一个要求的量，再求出另一个量，然后求出消去的量。

这种方法叫做消去法。

解题方法：利用条件简化法，设法将其中的一个未知量消去，先求出另一个未知量，进而求出消去的未知量。

（等量代换、加减消元法、列表法）【换元法解应用题】一张桌子的价钱等于4把椅子的价钱，买1张桌子和12把椅子共付288元。

求：一张桌子和一把椅子各多少元？【答案】72元；18元 【知识点】换元法解题 【难度】A 【出处】小学数学拓展学案【分析】椅子：()18412288=+÷（元），桌子：72418=⨯（元）3张桌子价钱等于7把椅子价钱。

每把椅子36元，买2张桌子和7把椅子共付多少钱？【分析】42073623736=⨯+⨯÷⨯（元）小华买了3支铅笔和6张图画纸，共付了1.2元，每支铅笔比每张图画纸贵0.1元。

每张图画纸多少元？每支铅笔多少元？【答案】0.1元；0.2元 【知识点】等量代换 【难度】B 【出处】小学数学拓展学案【分析】()()1.06331.02.1=+÷⨯-（元）；2.01.01.0=+（元）。

学校买来8块大黑板和12块小黑板共用去300元，一块大黑板的价钱比两块小黑板还要贵2.5元。

大黑板每块多少钱？小黑板每块多少钱？【分析】()[]()5.2221282125.2300=÷+÷÷⨯+（元）；()1025.25.22=÷-（元）【消去法解应用题】光明小学买水壶4只、水桶5个，共付出150.5元；实验小学买同样的水壶4只、水桶8个，共付出182元。

新课程小学《数学培优、竞赛全程跟踪讲·学·练·考》五年级精练分册主编：杨跃目录上学期第一讲小数的巧算第二讲牛吃草问题第三讲多边形的面积3.1 面积计算3.2 等积变形3.3 列方程求面积第四讲图形的切拼第五讲列方程解应用题〈一〉第六讲逻辑推理第七讲抽屉原理下学期第八讲数的整除第九讲约数、倍数和最大公约数、最小公倍数9.1 约数和倍数9.2 最大公约数和最小公倍数第十讲质数、合数和分解质因数10.1 质数和合数10.2 分解质因数第十一讲奇数与偶数第十二讲带余除法12.1 一般余数问题12.2 同余数问题第十三讲完全平方数第十四讲分数14.1 分数的意义和性质14.2分数与小数的互化14.3 分数大小的比较第十五讲发现规律解数上学期第一讲小数的巧算[同步巩固演练]1、计算：7.93+(2.8-1.93)。

2、计算：7736－473+73。

3、计算：3.71-2.74＋4.7＋5.29－0.26＋6.3。

4、计算：34×25×6。

5、计算：8.25×18。

6、计算：8.4÷5÷8。

7、计算：49000÷125。

8、计算：（5.25＋0.125＋5.75）×8。

9、计算下面各题⑴2.56－（1.65－0.97）⑵4.74＋（1.26－0.77）⑶5.47－（1.47＋0.84）⑷9.9×9.9＋0.99⑸1.25×2.5×320010、计算：75×4.7＋159×2.5 11、计算：4.25×5.24＋1.52×2.51 12、计算：7142.85÷3.7÷2.7×1.7×0.7 13、计算：1.25×17.6＋36÷0.8＋2.64×12.514、计算：176.2＋348.3＋42.47＋252.5＋382.23 15、计算：(6.4×7.5×8.1)÷(3.2×2.5×2.7) 16、计算：15.37×7.88－9.37×7.38＋1.537×21.2－93.7×0.262 [能力拓展平台]1、C.DE×A.B=A.CDE 是用字母表示的一个小数乘法算式，题中每一个字母表示一个数字，如果A.CDE ＜C.DE ，求A.B 所表示的数。

【培优奥数专题】五年级下册数学-位值原理（解析版）一、知识点1、定义认识位值原理是一种将数字和数位结合起来表示数的记数法则2、表达形式完全拆分：d=10100+1000bcaabcd++部分拆分：d=1001000bc+abcd+a3、组数求和用完全拆分证明用数字组成的所有数之和一定是某个数的倍数例如：用数字a、b和c组成的６个无重复数字的三个数之和一定是222的倍数4、解题方法竖式谜法方程法二、学习目标1、我能够了解位值原理的定义，并能清楚表述数字与数位之间的关系。

2、我能够灵活运用竖式谜法和方程法解决位值原理的基本类型题。

三、课前练习1.489＝×100＋×10＋×1；【解答】4，8，92.235813＝×10000＋×100＋×1；【解答】23，58，133.3x＝×10000＋×100＋×1；6812y【解答】x12，68，3y4.c12＝×1000000＋×10000＋×100＋×1；34a56b【解答】a12，34，5b，c6四、典型例题思路点拨1.位值原理是一种将数字与数位结合起来表示数的记数法则。

它规定每一个数都是由数字与数位两部分共同组成的，记数时，同一个数字由于所在的数位不同，表示的数也不同。

如在十进制中“3”记在个位上表示3个1，在百位上就表示3个100。

2.也可以利用加减法竖式谜的方式来解题。

例题1（1）将一个小数的小数点向右移动两位之后得到一个四位整数，这个四位整数比原来的小数大1999.8。

原来的小数是。

【解答】因为小数点向右移动了两位，即扩大到原来的100倍，多了99倍。

则有：1999.8÷（100－1）＝20.20。

故原来的小数是20.20。

（2）把6写在某个四位数的左端得到一个五位数，把6写在这个数的右端也得到一个五位数，已知这两个五位数的差是32157。

课堂目标：1、理解求平均数的基本关系式；2、运用移多补少的思想解决实际问题；3、在路程不知道的情况下会求平均速度重点：平均数、总数、份数的求解（例1、例2、例3）；求平均速度（例4）；移多补少（例5） 难点：移多补少的思想、思维拓展平均数=总和÷个数；平均速度=总路程÷总时间平均数应用题的基本特点：把几个大小不等的数量，在总量不变的情况下，通过移多补少，使它们成为相等的几份，求其中的一份是多少。

解答这类题需要紧抓 “移多补少”的解题思路。

解题时关键要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”，然后用总数量除以总份数求出平均数。

菁英小学某班第一小队6个同学的身高和体重如下表： 编号一 二 三 四 五 六 身高（cm ）138 152 140 145 155 143 体重（千克） 33 41 38 44 43 35 问：（1）这6个同学的平均身高是多少厘米？（2）他们的平均体重是多少千克？【答案】（1）145.5厘米；39千克 【知识点】平均数 【难度】A 【出处】华师大一课一练【分析】（1）()5.1456143155145140152138=÷+++++（厘米）（2）()396354344384133=÷+++++（千克）某次数学竞赛共有10人获奖，他们的成绩分别是（分）：90、88、92、95、89、94、91、90、92、88，问这些学生的平均成绩是多少分？【分析】()9.901088929091948995928890=÷+++++++++（分）（上课老师注意给学生讲计算方法，准基数为90）有甲、乙、丙三名同学，他们两两合称体重分别是83千克、85千克、81千克。

这三名同学的平均体重是多少千克？【答案】41.5千克 【知识点】平均数 【难度】B 【出处】底稿【分析】5.4132)818583(=÷÷++（千克）。

甲、乙、丙、丁四个数的平均数是51，甲、乙、丙三个数的平均数为44，丙数和丁数的平均数是63，则丙数为多少？【分析】丁：72344451=⨯-⨯，则丙：5472263=-⨯修路队修两条公路，第一条路长900米，用10天修完；第二条路的长比第一条路的2倍多100米，用的时间是第一条的1.8倍。

第5讲 排列乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n 个步骤，其中，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么，完成这件事一共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法．加法原理：一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有2m 种不同的做法，则完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法．排列的定义：一般地，从n 个不同的元素中任取出m 个（m ≤n ）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的排列．从n 个不同元素中取出m 个（m ≤n ）元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，我们把它记作mn P 。

一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素（m ≤n ）排成一列的问题，可以看成是从n个不同元素中取出m 个，排在m 个不同的位置上的问题，而排列数m n P 就是所有可能排法的个数。

那么，每个排列共需要m 步，二每一步又有若干种不同的方法，排列数m n P 可以这样计算：第一步：先排第一个位置上的元素，可以从n 个元素中任选一个，有n 种不同的选法；第二步：排第二个位置上的元素．这时，由于第一个位置已用去了一个元素，只剩下（n-1）个不同的元素可供选择，共有（n-1）种不同的选法；第三步：排第三个位置上的元素，有（n-2）种不同的选法；…第m 步：排第m 个位置上的元素．由于前面已经排了（m-1）个位置，用去了（m-1）个元素．这样，第m 个位置上只能从剩下的[n-（m-1）]=（n-m+1）个元素中选择，有（n-m+1）种不同的选法．由乘法原理知，共有：n （n-1）（n-2）…（n-m+1）种不同的排法，即： ()()()121+-⋅⋅⋅--=m n n n n P m n这里，m ≤n ；且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．一般地，对于m=n 的情况，排列数公式变为()()()123121⨯⨯⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅--=m n n n n P m n表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．教学重点：培养学生的思维的有序性、全面性 教学难点：根据需要引导总结计算规律向日葵花盘中的数学奥妙向日葵中心种子的排列图案符合裴波那契数列，也就是1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144……序列中每个数字是前两个数字的综合。

目录第一讲分数乘法（乘法中的简算） (2)练习卷 (5)第二讲长方体和正方体（巧算表面积） (6)练习卷 (10)第三讲分数除法应用题……………………………………………11练习卷 (15)第四讲长方体和正方体（巧算体积） (16)练习卷 (20)第五讲较复杂的分数应用题（寻找不变量） (21)练习卷 (24)第六讲百分数（浓度问题） (25)练习卷 (28)综合演习（1）.................................................................. 29 综合演习（2） (31)第一讲 分数乘法例题讲学例1 （1）1514×19 （2） 27×2611【思路点拨】 观察这两道题中数的特点，第（1）题中的1514比1少151，可以把1514看作1-151，然后和19相乘，利用乘法分配律使计算简便；同样，第（2）题中27与2611中的分母26相差1，可以把27看作（26+1），然后和2611相乘，再运用乘法分配律使计算简便。

1有关的两数之差或和；或者把一个数拆分成与分数分母相关的和或差，最后用乘法分配律使计算简便。

同步精练1. 3613×35 2. 2322×103. 8×15144. 253×1265. 17×12116. 262524⨯例2 120001999199820001999-⨯⨯+【思路点拨】 仔细观察分子、分母中各数的特点，我们就会发现，分子1999+2000×1998=1999+2000×（1999-1）=1999+2000×1999-2000=2000×1999-1，这样就把分子转化成与分母完全相同的式子，结果自然就好计算了，试试吧！特点一般都能化成分子、分母能约分的情况，然后使计算简便。

同步精练1. 186548362361548362-⨯⨯+2. 120112010200920112010-⨯⨯+例3651541431321211⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 【思路点拨】 在这道题中，每个分数的分子都是1，分母是两个连续的自然数的乘积。