解题后的反思

2009年广东省高中教师职务培训数学科第一次作业
袁智斌执笔
1、通过此次高中教师职务培训课程的学习，请结合你自己的教学
实际，对《普通高中数学课程标准（试验）》中的十大理念（或其中某个理念）的理解、认识与实践感悟，写一篇不少于两千字的新课程教学随笔或论文。

2、请你写一篇不少于两千字的教学设计或论文，重点研究《义务
教育数学课程标准》和《普通高中数学课程标准（试验）》实施过程中，如何开展教学才更利于在新课程下进行初高中数学教学的衔接。

3、请你对你所在的市县（区）的普通高中或重点选择你所熟悉的
一所高中进行实地调查研究其开展数学研究性学习的情况，自拟题目写出调研报告。

例二应该改成数列的问题
已知椭圆的右准线与轴相交于点E，过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于A、B两点，点C在右准线上，且BC平行于轴，求证直线AC 经过线段EF中点。

本题主要考察椭圆与直线的相交点和性质，对逻辑推理能力有较高的要求，这个题学生会想到先求直线AC的方程，后带入P点坐标，从而证明;也有学生会想到证明A、P、C三点共线，但计算时比较麻烦的。

解题后的反思
众所周知，学习数学主要在于数学技能的形成与能力的培养，这种能力的转化主要是通过解题来加以实现的。

那么在解题的过程中，要有效的培养解题的能力，除了审题之外，解题后的反思也是一个不可缺少的重要环节。

要引导学生摆脱学习数学的困境，尽快提高数学成绩，形成完善的数学思维，在教学中我一直注重的不仅仅是教会学生做题，更重要的是教会他们从做题中反思，不断的总结经验，发现规律，形成技巧。

因为解题本身不是学习的目的，而只是一种训练的手段，要不断的提高数学思维的能力，通过发现问题——解决问题——解题反思，让学生真正的喜欢学习数学，会学习数学，会运用数学。

那么，解题后应该从那些方面加以反思呢？我想从我粗浅的教学中谈几点看法。

一、思考思路是否正确
解题的第一步，就是要会审题。

学生解答一个问题的过程中，可能会出现这样或者那样的问题，因此在解答完一道题之后，就很有必要让学生审查自己的解题思路是否正确，对概念的理解，对题意的审查是否正确，有不有隐含条件没注意的，运算是否正确。

这样就基本上保证了学生对题目的理解，这也是解题的基本要求。

在训练中，可以对同类型的题进行一个变式，甚至于有意识的选用一些错解，错题，有隐含条件，学生容易忽略条件的题，同学生一起进行解答，然后加以反思，可使学生真正认识到解题后思考的重要。

例如，在讲“一元二次不等式的解法”中，一元二次不等式的解法是通过研究一元二次不等式与对应的二次函数和二次方程的根的关系而得到的，只要把不等式的二次项系数化为正，不等号右边化为零，然后对其进行因式分解，观察其根，如果不等式大于零就取两根之外，不等式小于零就取两根之间，同时注意端点值是否取得，从而得到不等式的解集。

有这一个例子：
解下列不等式：（1）-4x2+9x-2<0 （2）(1-x)(4x-3)≥0
解：（1）原不等式等价于：
4x2-9x+2>0
(x-2)(4x-1)>0
1}
∴原不等式的解集为{x|x>2或x<
4
（2）原不等式对应的方程(1-x)(4x-3)=0有两根：
3
x=1,或x=
4
3}
∴原不等式的解集为：{x|x≥1或x≤
4
解题后引导学生反思：为什么是这样解？这样解是正确的吗？符合我们的一元二次不等式的解法吗？学生通过反思就可以看出来，解不等式的时候，只有在二次项系数大于零的时候才是符合“不等式大于零就取两根之外，不等式小于零就取两根之间”的原则。

所以第二问的解法是有问题的。

学生通过反思，深化了一元二次不等式的解法，在以后的解题中就不会再出现同样的错误了。

这样就更加强了学生数学严密性能力的训练。

二、 思解题方法是否多样
数学里的题型是千变万化，但是万变不离其宗，这就重在考察学生思维的全面性、深刻性、和灵活性。

因此，一道题可能会有多种解法。

在解题时，如果学生只满足于一种解法，那么他对知识的掌握就不够透彻，不够灵活，面太窄，对同类型的题会解，稍稍变式一下可能就不知道从哪里下手了。

所以提倡一题多解，让学生站的高度更高，面更广，解题更灵活。

一个题解完之后，让学生再想想有不有其他的方法？哪一种方法更好？若是把题目中的某些条件再换一下，又如何求解呢？这样通过不同的角度来考察问题，帮助学生发现思维中的不足，来完善思维的严密性和逻辑性。

例如，等差数列{a n }中,147a +a +a =39，
36927a a a ++=，求数列{a n }的前9项的和9s 。

本题主要考察等差数列的前n 项和的求法。

这个题学生首先会想到要把数列的首项1a 和公差d 求出来，然后用等差数列的求和公式
来做，这样就涉及到解二元一次方程组的问题。

也有的学生在充分审题之后发现可以用条件本身包含的一些信息来做。

4a 是1a ，7a 的等差
中项，6a 是3a ，9a 的等差中项。

而前9项的和剩下的只需要加上
2a +5a +8a ，而5a 又是2a ，8a 的等差中项。

∵147a +a +a =39，
36927a a a ++= ∴34a =39，36a =27
∴4a =13，6a =9
∴5a =11
∴2a +5a +8a =33
即9s =1a +2a +3a +4a +5a +6a +7a +8a +9a
=(147a +a +a )+(369a a a ++)+(2a +5a +8a )
=39+27+33
=99
经过认真比较，找出隐含数列求和的第二定义，再利用等差中项就很容易解决了。

本题若按常规方法计算比较的复杂，若能另辟蹊径，就能一步到位。

三、 思规律的迁移
我们学会解题并不是只为解决这一种问题而已，对这一类型的题我们往往需要找出它的规律，并思考能否作一般的推广和迁移？如果将题目改变，又将怎样去分析问题和解决问题呢？所以，在解题之后进行反思，把解题过程中的经验，规律进行总结、提炼、总结、和、升华，再加以应用，就能触类旁通，真正提高解决问题的能力。

比如，在“三角恒等变换”这一章，和差化积和积化和差公式是解决三角恒等变换的重要手段，，它实质上是一种特殊的“因式分解”。

1、证明：sin77°-sin48°-sin103°+sin72°=sin 13°
证明：原式=（sin77°-sin103°）+( sin72°-sin48°)这里的和差化积是为了构造出特殊角：77°+103°=180°，72°+48°=120°。

2、证明cos2(α+β)+cos2(α-β)-cos2αcos2β=1
证明时把和差角化为单角2α，2β这时的和差化积是为了把和差角化为单角或特殊角。

由此学生可以再大量的解题后得出公式的应用规律：制造特殊角，制造单角，制造抵消项等等。

解题后如此反思对数学里重要的方法，公式，定理，定义等不断总结，把握内在联系，解题就会得心应手。

数学成绩的提高也指日可待。