重庆历年高考理科数学试题及答案汇编十一数列

2011年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2011•重庆）复数=（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】利用i的幂的运算法则，化简分子，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【解答】解：复数====故选C【点评】题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，是基础题．2．（3分）（2011•重庆）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】由x＜﹣1，知x2﹣1＞0，由x2﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．【解答】解：∵“x＜﹣1”⇒“x2﹣1＞0”，“x2﹣1＞0”⇒“x＜﹣1或x＞1”．∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用．3．（3分）（2011•重庆）已知，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．6【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】先将极限式通分化简，得到，分子分母同时除以x2，再取极限即可．【解答】解：原式==（分子分母同时除以x2）===2∴a=6故选：D．【点评】关于高中极限式的运算，一般要先化简再代值取极限，本题中运用到的分子分母同时除以某个数或某个式子，是极限运算中常用的计算技巧．4．（3分）（2011•重庆）（1+3x ）n （其中n ∈N 且n≥6）的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n=（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【考点】二项式系数的性质． 【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出展开式中x 5与x 6的系数，列出方程求出n ． 【解答】解：二项式展开式的通项为T r+1=3r C n r x r ∴展开式中x 5与x 6的系数分别是35C n 5，36C n 6 ∴35C n 5=36C n 6 解得n=7 故选B【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．5．（3分）（2011•重庆）下列区间中，函数f （x ）=|lg （2﹣x ）|在其上为增函数的是（ ） A ．（﹣∞，1]B ．C ．D ．（1，2）【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】根据零点分段法，我们易将函数f（x）=|lg（2﹣x）|的解析式化为分段函数的形式，再根据复合函数“同增异减”的原则我们易求出函数的单调区间进而得到结论．【解答】解：∵f（x）=|lg（2﹣x）|，∴f（x）=根据复合函数的单调性我们易得在区间（﹣∞，1]上单调递减在区间（1，2）上单调递增故选D【点评】本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据“同增异减”的原则确定每一段函数的单调性是解答本题的关键．6．（3分）（2011•重庆）△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（）A．B．C．1 D．【考点】余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】将（a+b）2﹣c2=4化为c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，再利用余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab 即可求得答案．【解答】解：∵△ABC的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，∴c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴2ab﹣4=﹣ab，∴ab=．故选：A．【点评】本题考查余弦定理，考查代换与运算的能力，属于基本知识的考查．7．（3分）（2011•重庆）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．5【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴=1∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）故选C【点评】本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．8．（3分）（2011•重庆）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．【考点】圆的标准方程；两点间的距离公式．【专题】数形结合；直线与圆．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=10，则圆心坐标为（1，3），半径为，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2，MB=，ME==，所以BD=2BE=2=2，又AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积S=AC•BD=×2×2=10．故选B．【点评】此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．9．（3分）（2011•重庆）高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A． B． C．1 D．【考点】点、线、面间的距离计算；球内接多面体．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意可知ABCD所在的圆是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，而球心到小圆圆心的距离为，则推出顶点S在球心距的垂直分的平面上，而顶点S到球心的距离为1，即可求出底面ABCD 的中心与顶点S之间的距离．【解答】解：由题意可知ABCD所在的圆是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，球心到小圆圆心的距离为，顶点S在球心距的垂直分的平面上，而顶点S到球心O 的距离为1，所以底面ABCD的中心O'与顶点S之间的距离为1 故选C【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，考查逻辑推理能力，计算能力，转化与划归的思想．10．（3分）（2011•重庆）设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（）A．﹣8 B．8 C．12 D．13【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】将一元二次方程的根的分布转化为确定相应的二次函数的图象来处理，根据图象可得到关于m和k的不等式组，此时不妨考虑利用不等式所表示的平面区域来解决，但须注意这不是线性规划问题，同时注意取整点．【解答】解：设f（x）=mx2﹣kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的图象恒过定点（0，2），因此要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内与x轴有两个不同的交点即由题意可以得到：必有，即，在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，如图所示，设z=m+k，则直线m+k﹣z=0经过图中的阴影中的整点（6，7）时，=13．z=m+k取得最小值，即zmin故选D．【点评】此题考查了二次函数与二次方程之间的联系，解答要注意几个关键点：（1）将一元二次方程根的分布转化一元二次函数的图象与x轴的交点来处理；（2）将根据不等式组求两个变量的最值问题处理为规划问题；（3）作出不等式表示的平面区域时注意各个不等式表示的公共区域；（4）不可忽视求得最优解是整点．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（3分）（2011•重庆）在等差数列{a n }中，a 3+a 7=37，则a 2+a 4+a 6+a 8= 74 ． 【考点】等差数列的性质． 【专题】计算题．【分析】根据等差数列的性质所有下标之和相同的两项之和相等，看出第三项与第七项的和等于第四项与第六项的和等于第二项与第八项的和，得到结果．【解答】解：等差数列{a n }中，a 3+a 7=37， ∵a 3+a 7=a 2+a 8=a 4+a 6=37 ∴a 2+a 4+a 6+a 8=37+37=74， 故答案为：74【点评】本题考查等差数列的性质，这是经常用到的一个性质的应用，注意解题要灵活，不要出现数字运算的错误是一个送分题目．12．（3分）（2011•重庆）已知单位向量，的夹角为60°，则|2﹣|=．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 【专题】计算题．【分析】利用向量模的平方等于向量的平方，将已知等式平方，利用向量的数量积公式及将已知条件代入，求出模．【解答】解：===5﹣4cos60°=3∴故答案为【点评】本题考查求向量的模常利用向量模的平方等于向量的平方、考查向量的数量积公式．13．（3分）（2011•重庆）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为．【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【专题】计算题．【分析】本题是一个n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，正面出现的次数比反面出现的次数多包括三种情况，正面出现4次，反面出现2次；正面出现5次，反面出现1次；正面出现6次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，写出概率，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，正面出现的次数比反面出现的次数多包括正面出现4次，反面出现2次；正面出现5次，反面出现1次；正面出现6次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，∴正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是++==故答案为：【点评】本题考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，考查互斥事件的概率，是一个基础题，解题的关键是看清题目所给的条件符合什么规律，在按照规律解题．14．（3分）（2011•重庆）已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为﹣．【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】由已知的等式变形后，记作①，利用同角三角函数间的基本关系列出关系式，记作②，再根据α为锐角，联立①②求出sinα和cosα的值，进而利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母，代入即可求出所求式子的值．【解答】解：由sinα=+cosα，得到sinα﹣cosα=①，又sin2α+cos2α=1②，且α∈（0，），联立①②解得：sinα=，cosα=，∴cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣，sin（α﹣）=（sinα﹣cosα）=，则==﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．15．（3分）（2011•重庆）动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点（2，0）．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】计算题；压轴题．【分析】先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦点必在动圆上，从而解决问题．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线方程为x+2=0，故圆心到直线x+2=0的距离即半径等于圆心到焦点F的距离，所以F在圆上．故答案为：（2，0）．【点评】主要考查知识点：抛物线，本小题主要考查圆与抛物线的综合、抛物线的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2011•重庆）设α∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）满足，求函数f（x）在上的最大值和最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】利用二倍角公式化简函数f（x），然后，求出a的值，进一步化简为f（x）=2sin（2x﹣），然后根据x的范围求出2x﹣，的范围，利用单调性求出函数的最大值和最小值．【解答】解：f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）=asinxcosx﹣cos2x+sin2x=由得解得a=2所以f（x）=2sin（2x﹣），所以x∈[]时2x﹣，f（x）是增函数，所以x∈[]时2x﹣，f（x）是减函数，函数f（x）在上的最大值是：f（）=2；又f（）=，f（）=；所以函数f（x）在上的最小值为：f（）=；【点评】本题是中档题，考查三角函数的化简，二倍角公式的应用，三角函数的求值，函数的单调性、最值，考查计算能力，常考题型．17．（13分）（2011•重庆）某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的ξ分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C222，得到概率．4（II）由题意知变量ξ的可能取值是1，2，3，结合变量对应的事件和第一问的做法写出变量对应的概率，写出分布列，做出变量的期望值．【解答】解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C2224∴根据等可能事件的概率公式得到P==（II）由题意知ξ的可能取值是1，2，3P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=∴ξ的分布列是：ξ 1 2 3P∴Eξ=【点评】本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．18．（13分）（2011•重庆）设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=﹣b，其中常数a，b∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（Ⅱ）设g（x）=f′（x）e﹣x．求函数g（x）的极值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；综合题；转化思想．【分析】（I）根据已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x），结合f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，计算出参数a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（II）根据g（x）=f′（x）e﹣1求出函数g（x）的解析式，然后求出g（x）的导数g'（x）的解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g（x）的极值．【解答】解：（I）∵f（x）=x3+ax2+bx+1∴f'（x）=3x2+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=﹣3令x=2，得f'（2）=12+4a+b=﹣b，因此12+4a+b=﹣b，解得a=﹣，因此f（x）=x3﹣x2﹣3x+1∴f（1）=﹣，又∵f'（1）=2×（﹣）=﹣3，故曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣）=﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1=0．（II）由（I）知g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x从而有g'（x）=（﹣3x2+9x）e﹣x令g'（x）=0，则x=0或x=3∵当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0，当x∈（0，3）时，g'（x）＞0，当x∈（3，+∞）时，g'（x）＜0，∴g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x在x=0时取极小值g（0）=﹣3，在x=3时取极大值g（3）=15e﹣3【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及方程组的求解等有关问题，属于中档题．19．（12分）（2011•重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积．（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；综合题；数形结合．【分析】（I）要求四面体ABCD的体积，必须确定它的高和底面，由已知，△ABC作为底面，高易作，根据线段的长度，即可求得四面体ABCD的体积；（Ⅱ）利用三垂线定理找出二面角C﹣AB﹣D的平面角，根据该角为60°，找到各边之间的关系，利用平移的方法找出异面直线AD 与BC所成角，解三角形，即可求得异面直线AD与BC所成角的余弦值．【解答】解：（I）设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC．故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=，在Rt△ABC中，因AC=2AF=2，AB=2BC，由勾股定理易知BC=，AB=．故四面体ABCD的体积V==．（II）设E为边AB的中点，则EF∥BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB，又由（I）有DF⊥平面ABC，故由三垂线定理知DE⊥AB，所以∠DEF为二面角C﹣AB﹣D的平面角，由题设知∠DEF=60°．设AD=a，则DF=AD•sin∠CAD=，在Rt△DEF中，EF=DF•cotDEF==，取BD的中点M，连EM，FM，由中位线定理得，∠MEF为异面直线AD，BC所成的角或其补角，EM=FM=，由余弦定理得cos∠MEF===．【点评】此题是个中档题．考查棱锥的体积公式和异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，找二面角的平面角时注意三垂线定理及其逆定理的应用，体现了数形结合和转化的思想．20．（12分）（2011•重庆）如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e=，一条准线的方程为x=2． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P 满足，其中M ，N 是椭圆上的点．直线OM 与ON 的斜率之积为﹣．问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|+|PF 2|为定值．若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的定义．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）根据离心率和准线方程求得a 和c ，则b 可得，则椭圆的方程可得．（Ⅱ）设出P ，M ，N 的坐标，根据题设等式建立等式，把M ，N 代入椭圆方程，整理求得x 2+2y 220+4（x 1x 2+2y 1y 2），设出直线OM ，ON 的斜率，利用题意可求得x 1x 2+2y 1y 2=0，进而求得x 2+2y 2的值，利用椭圆的定义可推断出|PF 1|+|PF 2|为定值求得c ，则两焦点坐标可得．【解答】解：（Ⅰ）由e==，=2，求得a=2，c=∴b==∴椭圆的方程为：（Ⅱ）设P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则由，得（x ，y ）=（x 1，y 1）+2（x 2，y 2）， 即x=x 1+2x 2，y=y 1+2y 2， ∵点M ，N 在椭圆上，所以，故x 2+2y 2=（x 12+4x 22+4x 1x 2）+2（y 12+4y 22+4y 1y 2）=20+4（x 1x 2+2y 1y 2） 设k 0M ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，根据题意可知k 0M k ON =﹣∴x 1x 2+2y 1y 2=0 ∴x 2+2y 2=20所以P 在椭圆上；设该椭圆的左，右焦点为F 1，F 2，由椭圆的定义可推断出|PF 1|+|PF 2|为定值，因为c=，则这两个焦点坐标是（﹣，0）（，0）【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．21．（12分）（2011•重庆）设实数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n+1=a n+1S n （n ∈N *）．（Ⅰ）若a 1，S 2，﹣2a 2成等比数列，求S 2和a 3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k ≤． 【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由题意，得S 22=﹣2S 2，由S 2是等比中项知S 2=﹣2，由此能求出S 2和a 3．（Ⅱ）由题设条件知S n +a n+1=a n+1S n ，S n ≠1，a n+1≠1，且，，由此能够证明对k≥3有0≤a n ﹣1≤． 【解答】解：（Ⅰ）由题意，得S 22=﹣2S 2， 由S 2是等比中项知S 2≠0，∴S 2=﹣2．由S 2+a 3=a 3S 2，解得． （Ⅱ）证明：因为S n+1=a 1+a 2+a 3+…+a n +a n+1=a n+1+S n ，由题设条件知S n +a n+1=a n+1S n ，∴S n ≠1，a n+1≠1，且，从而对k≥3 有a k ===①因，且， 要证，由①，只要证即证，即，此式明显成立，因此．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学一.填空题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分。

在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的1.在等差数列}{n a 中，52=a 则}{n a 的前5项和5S =A.7B.15C.20D.252.不等式0121≤+-x x 的解集为 A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121, 3.对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆 的位置关系一定是A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心 2.321⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项为 A.1635 B.835 C.435 D.105（5）设tan ,tan αβ是议程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3（6）设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,a c b c ⊥，则a b +=（A （B （C ） （D ）10（7）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“()f x 为[0，1]上的增函数”是“()f x 为[3，4]上的减函数”的（A ）既不充分也不必要的条件 （B ）充分而不必要的条件（C ）必要而不充分的条件 （D ）充要条件（8）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为,()f x ，且函数,(1)()y x f x =-的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f（B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f（C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -（D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f（9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a ，且长为a的棱异面，则a 的取值范围是（A） （B） （C） （D）（10）设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A B 所表示的平面图形的面积为（A ）34π （B ）35π （C ）47π （D ）2π二 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案分别填写在答题卡相应位置上（11）若1+i 2+i （）（）=a+bi ，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += ；（12）0= 。

重庆高考数学试题（理）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内表示复数(12)i i -的点位于（ ）.A 第一象限 .B 第二象限.C 第三象限 .D 第四象限2.对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列248.,,C a a a 成等比数列 239.,,D a a a 成等比数列3.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本的平均数 2.5x =， 3.5y =，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ）.0.4 2.3A y x =+ .2 2.4B y x =-.29.5C y x =-+ .0.3 4.4C y x =-+4.已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且()23a b c -⊥，则实数k=9.2A - .0B C.3 D. 1525.执行如题（5）图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是。

A ．12s > B.1224abc ≤≤ 35s > C. 710s > D.45s > 6.已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x >；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件 则下列命题为真命题的是（ ）.A p q ∧ .B p q ⌝∧⌝ .C p q ⌝∧ .D p q ∧⌝7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.54B.60C.66D.72 8.设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ） A.34 B.35 C.49D.39.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则 类节目不相邻的排法种数是（ ）A.72B.120C.144D.310.已知A B C ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ）A.8)(>+c b bcB.)(c a ac +C.126≤≤abcD. 1224abc ≤≤二、填空题 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。

2009年高考数学重庆卷 理科一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（ ）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离【测量目标】直线与圆的位置关系．【考查方式】给出直线和圆的方程，判断它们的位置关系． 【难易程度】容易. 【参考答案】B【试题解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+=的距离2d ==，而012<<，选B ． 2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz=（ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i --D ．2i -+【测量目标】复数代数形式的四则运算．【考查方式】给出复数的实部和虚部，计算求解． 【难易程度】容易. 【参考答案】A【试题解析】因为由条件知12i z =-+，则5i 5i(12i)5i 102i (12i)(12i)5z ---+===--+--，所以选A ．3．282()x x+的展开式中4x 的系数是（ ）A ．16B ．70C ．560D ．1120 【测量目标】二项式定理．【考查方式】给出二项式根据二项展开式的公式特点计算二项式系数． 【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】设含4x 的为第2816318821,C ()()C 2r rr r r r r r T x x x--++==，1634r -=， 所以4r =，故系数为：448C 21120=，选D ．4．已知1,6,()2==-=a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【测量目标】平面向量的夹角问题．【考查方式】给出两个向量的模和它们满足的关系式，求两向量的夹角． 【难易程度】容易. 【参考答案】C【试题解析】因为由条件得222,23cos 16cos αα-==+===⨯⨯所以g g g a b a a b a a b ，1πcos 23αα==所以，所以．5．不等式2313x x a a +---…对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1][4,)-∞-+∞ B ．(,2][5,)-∞-+∞C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞【测量目标】不等式恒成立问题．【考查方式】给出不等式及其恒成立的条件，求取值范围． 【难易程度】中等. 【参考答案】A【试题解析】因为2314313x x x x a a +--+---对剟对任意x 恒成立，所以2234340a a a a ---即厖，解得41a a -或厔．6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ） A ．891 B ．2591 C ．4891 D ．6091【测量目标】随机事件与概率．【考查方式】已知不同馅料汤圆的个数，由取法规则求概率． 【难易程度】中等. 【参考答案】C【试题解析】因为总的方法415C ,而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆．豆沙馅汤圆取得个数分别按1，1，2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为112121211654654654415C C C C C C C C C 48C 91⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． 7．设ABC △的三个内角,,A B C，向量,sin )A B =m，(cos )B A =n ，若1cos()A B =++m n ，则C =（ ） A ．π6 B ．π3C ．2π3 D ．5π6【测量目标】向量的坐标运算、三角函数．【考查方式】给出两向量及其坐标与三角形内角关系式，求未知角． 【难易程度】中等.【参考答案】C【试题解析】cos sin )1cos()A B A B A B A B =+=+=++m n g g g ，πA B C ++=1cos C C =-cos 1C C +=，π2sin16C +=（） π1sin(62C ⇒+=），由题π5π66C +=，即2π3C =． 8．已知22lim()21x x ax b x →∞--=+，其中,a b ∈R ，则a b -的值为（ ） A ．-6 B ．2- C ．2D ．6【测量目标】函数的极限．【考查方式】给出函数的极限，求其中的未知量． 【难易程度】中等. 【参考答案】D【试题解析】222lim 1x x ax ax bx bx →∞----+(2)()lim211x ba x ab x x→∞--+-==+．则20()2a ab -=⎧⎨-+=⎩，解得2,4a b ==-，故2(4)6a b -=--=．（删除）9．已知二面角l αβ--的大小为50︒，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是25︒的直线的条数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【测量目标】二面角、线面角．【考查方式】给出二面角的大小，求过空间中任意一点与两平面成固定角度的直线条数． 【难易程度】中等. 【参考答案】B【试题解析】AFE ∠是度数为50︒的二面角的一个平面角，FG AFE ∠为的平分线，当过P 的直线与FG 平行时，满足条件，当过点P 的直线与AD 平行，也是满足条件直线，与AD 直线类似，过点的直线与BE 平行也是满足条件得共有3条．10．已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）A．8)3B．C ．48(,)33D．4(3【测量目标】函数的周期性、函数图象的应用．【考查方式】给出函数及其周期，利用函数的图象判断取值范围． 【难易程度】较难. 【参考答案】B 【试题解析】第10题图因为当(1,1]x ∈-时，将函数化为方程2221(0)y x y m+=…，实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当(1,3]x ∈得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线3x y =与第二个椭圆222(4)1(0)y x y m -+=…相交，而与第二个半椭圆222(4)1(0)y x y m -+=…无公共点时，方程恰有5个实数解，将3xy =代入222(4)1(0)y x y m-+=…得 2222(91)721350m x m x m +-+=，令29(0)t m t =>则2(1)8150t x tx t +-+=．（步骤1）由2(8)415(1)0t t t ∆=-⨯+>，得15t >，由2915m >，且0m >得3m >．（步骤2） 同样由3x y =与第三个椭圆222(8)1(0)y x y m -+=…由0∆<可计算得m <综上知m ∈．（步骤3） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上． 11．若{}3A x x =∈<R ，{}21xB x =∈>R ，则A B = ．【测量目标】集合的基本运算．【考查方式】给出两个集合，求它们的交集． 【难易程度】中等. 【参考答案】（0，3）【试题解析】因为{}{}|33,|0,A x x B x x =-<<=>所以(0,3)A B =I . 12．若1()21x f x a =+-是奇函数，则a = ． 【测量目标】函数的奇偶性．【考查方式】给出函数的奇偶性，求其中的未知量． 【难易程度】中等. 【参考答案】12【试题解析】12()2112xxxf x a a --=+=+--，()()f x f x -=- 2112()2112211212x x x x x x a a a ⇒+=-+⇒=-=----故12a =． 13．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．【测量目标】排列组合及其应用．【考查方式】用排列组合求解概率问题． 【难易程度】中等. 【参考答案】36【试题解析】分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有21142122C C C A g g ；第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有33A 所以满足条件得分配的方案有2113421322C C C A 36A =g g g ． 14．设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，n *∈N ，则数列{}n b 的通项公式n b = ．【测量目标】等比数列的通项、等比数列的性质．【考查方式】给出数列的首项、第1n +项及两数列的关系式，求另一数列的通项公式． 【难易程度】较难. 【参考答案】21n +【试题解析】由条件得111222+12222111+1n n n n n n n n a a a b b a a a ++++++====---且14b =所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，则11422n n n b -+==g ．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F aPF F c=，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．【测量目标】双曲线的简单几何性质．【考查方式】给出点和双曲线方程的关系式，求其离心率． 【难易程度】较难.【参考答案】1)【试题解析】解法一：因为在12PF F △中，由正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F =．（步骤1）则由已知，得21a c P F P F =，即12aPF cPF =，且知点P 在双曲线的右支上， 设点00(,)x y 由焦点半径公式，得1020,PF a ex PF ex a =+=-则00()()a a ex c ex a +=-，（步骤2） 解得0()(1)()(1)a c a a e x e c a e e ++==--由双曲线的几何性质知0x a >则(1)(1)a e a e e +>-，整理得 2210,e e --<解得11(1,)e e <<∈+∞，又，故椭圆的离心率1)e ∈（步骤3） 解法二：由解析1知12cPF PF a=由双曲线的定义知 122PF PF a -=则222cPF PF a a-=即222a PF c a =-，（步骤1）由椭圆的几何性质知2PF c a >-，则22a c a c a>--，即2220c ac a --<， 所以2210,e e --<以下同解析1．（步骤2）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．设函数2πππ()sin()2cos 1468x x f x =--+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期．（Ⅱ）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值．【测量目标】三角函数定义域、值域.【考查方式】给出函数式，求其最小正周期；根据直线方程求解与函数关于直线对称的另一函数在区间内的最大值． 【难易程度】容易.【试题解析】（Ⅰ）()f x =πππππsincos cos sin cos 46464x x x --π3πcos 424x x -ππsin()43x -．（步骤1） 故()f x 的最小正周期为2ππ4T = =8．（步骤2）(Ⅱ)解法一：在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x -． 由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而ππ()(2)sin[(2)]43g x f x x =-=--πππsin[]243x =--ππcos()43x =+．（步骤3）当403x 剟时，πππ2π3433x +剟，因此()y g x =在区间4[0,]3上的最大值为max π3g ==（步骤4） 解法二：因区间4[0,]3关于1x =的对称区间为2[,2]3，且()y g x =与()y f x =的图象关于1x =对称，故()y g x =在4[0,]3上的最大值为()y f x =在2[,2]3上的最大值．（步骤1） 由（Ⅰ）知()f xππsin()43x -，当223x 剟时，ππππ6436x --剟， 因此()y g x =在4[0,]3上的最大值为max π62g ==．（步骤2）17．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和12，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中： （Ⅰ）两种大树各成活1株的概率； （Ⅱ）成活的株数ξ的分布列与期望．【测量目标】离散型随机变量的期望和方差． 【考查方式】给出事件的概率，由独立重复试验的概率公式求事件概率并求解随机变量的期望和方差．【难易程度】中等.【试题解析】设k A 表示甲种大树成活k 株，k ＝0，1，2，l B 表示乙种大树成活l 株，l ＝0，1，2，则k A ，l B 独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有 2221()C ()()33kkkk P A -=，2211()C ()()22llll P B -=．（步骤1）据此算得01()9P A = ， 14()9P A = ， 24()9P A =． 01()4P B = ， 11()2P B = ， 21()4P B =．（步骤2）(Ⅰ) 所求概率为1111412()()()929P A B P A P B ==⨯=．（步骤3） (Ⅱ) 解法一：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且0000111(0)()()()9436P P A B P A P B ξ====⨯=，（步骤4）011011411(1)()()92946P P A B P A B ξ==+=⨯+⨯=，（步骤5） 021*********(2)()()()949294P P A B P A B P A B ξ==++=⨯+⨯+⨯1336=，（步骤6）122141411(3)()()94923P P A B P A B ξ==+=⨯+⨯=．（步骤7） 22411(4)()949P P A B ξ===⨯=．（步骤8）综上知ξ有分布列（步骤9） 从而，ξ的期望为111311012343663639E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯73=（步骤10） 解法二：分布列的求法同上．令12ξξ，分别表示甲乙两种树成活的株数，则 1221(2,),(2,)32B B ξξ::，（步骤1） 故有122412,21332E E ξξ=⨯==⨯=， 从而知1273E E E ξξξ=+=．（步骤2）18．设函数2()(0)f x ax bx k k =++>在0x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若函数e ()()xg x f x =，讨论()g x 的单调性．【测量目标】利用倒数求函数的极值、曲线的切线方程、利用导数求函数的单调区间． 【考查方式】给出函数、其极值点的取值和某点的切线方程，求未知量；根据两函数的关系式讨论另一函数的单调性． 【难易程度】中等.【试题解析】（Ⅰ）因2()(0),()2f x ax bx k k f x ax b '=++>=+故．（步骤1）又()f x 在0x =处取得极值，故()0,f x '=从而0b =，（步骤2） 由曲线y =()f x 在(1,(1))f 处的切线与直线+210x y +=相互垂直可知该切线斜率为2，即(1)2f '=，有22a =，从而1a =．（步骤3）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2e ()(0)xg x k x k =>+， 222e (2)()(0)()x x x k g x k x k -+'=>+，（步骤5）令2()0,20g x x x k '=-+=有，（步骤6）（1） 当440k ∆=-<，即当1k >时，()0g x '>在R 上恒成立， 故函数()g x 在R 上为增函数．（步骤7）（2） 当440k ∆=-=，即当1k =时，222e (1)()0(1)()x x g x x x k -'=>≠+， 1k =时，()g x 在R 上为增函数．（步骤8） （3）440k ∆=->，即当01k <<时，方程220x x k -+=有两个不相等实根，11x =21x =（步骤9）当(,1()0,(),1x g x g x '∈-∞>-∞-是故在（上为增函数，当1x ∈-（时，()0,g x '<故()1g x +在（上为减函数，当1x ∈+∞（+）时，()0,g x '>故()1g x ∞在（+）上为增函数．（步骤10）19．如图，在四棱锥S ABCD -中，ADBC 且AD CD ⊥；平面CSD ⊥平面ABCD ，,22CS DS CS AD ⊥==；E 为BS 的中点，CE AS ==（Ⅰ）点A 到平面BCS 的距离；（Ⅱ）二面角E CD A --的大小．第19题图(1)【测量目标】二面角、空间立体几何中平行与垂直关系的综合问题．【考查方式】给出四棱锥及其线面关系，求点到平面的距离和二面角． 【难易程度】中等.【试题解析】解法一：（Ⅰ）因为ADBC ，且,BC BCS ⊂平面所以AD BCS 平面，从而A 点到平面BCS 的距离等于D 点到平面BCS 的距离．（步骤1）因为平面,CSD ABCD AD CD ⊥⊥平面，故AD CSD ⊥平面，从而AD SD ⊥，（步骤2）由ADBC ，得B C D S⊥，又由CS DS ⊥知DS BCS ⊥平面，从而DS 为点A 到平面BCS 的距离，（步骤3）因此在Rt ADS △中，DS ===（步骤4） (Ⅱ)如图，第19题图（Ⅱ）过E 点作,EG CD ⊥交CD 于点G ，又过G 点作GH CD ⊥，交AB 于H ，故EGH ∠为二面角E CD A --的平面角，记为θ，过E 点作EFBC ，交CS 于点F ，连结GF ，（步骤5）因平面ABCD CSD ⊥平面，GH CD ⊥，易知GH GF ⊥，故π2EGF θ=-∠．（步骤6）由于E 为BS 边中点，故112CF CS ==，在Rt CFE △中1EF ==，（步骤7） 因EF CSD ⊥平面，又EG CD ⊥，,故由三垂线定理的逆定理得FG CD ⊥，从而又可得CGF CSD △△:，（步骤8）因此GF CFDS CD=而在Rt CSD △中，CD ===（步骤9）故CF GF DS CD ===g ．（步骤10） 在Rt FEG △中，tan EFEGF FG==可得π3EGF ∠=，故所求二面角的大小为π6θ=．（步骤11） 解法二：（Ⅰ）如图，第19题图以()S O 为坐标原点，射线,OD OC 分别为x 轴，y 轴正向，建立空间坐标系，设(,,)A A A A x y z ，因为平面COD ABCD ⊥平面，AD CD ⊥，故AD COD ⊥平面．（步骤1）即点A 在xOz 平面上，因此0A y =，1A z AD ==uuu r，（步骤2）又22213,AA x AS x +===uu r1A ，）．（步骤3）因ADBC ，故BC ⊥平面CSD ，即BCS 与平面yOz 重合，从而点A 到平面BCS的距离为A x =（步骤4） (Ⅱ)易知(0,2,0)C，D ．因E 为BS 的中点．BCS △为直角三角形，知2BS CE ==uu r uur5）设(0,2,)B B z ，0B z >，则2A z =， 故(0,2,2)B ，所以(0,1,1)E ．（步骤6）在CD 上取点G ，设11(,,0)G x y ，使GE CD ⊥．由2,0)CD =-uu u r，11(,1,1)GE x y =--+uu u r ，0CD GE =uu u r uu u r g ．112(1)0y --= ①（步骤7）又点G 在直线CD 上，即CG CD u u u r u u u r，由CG =uuu r 11(,2,0)x y -，122y -=- ②（步骤8）联立①、②，解得,0)3G =，（步骤9） 故GE uu ur 1(,1)3=-．又由AD CD ⊥， 所以二面角E CD A --的平面角为向量GE uu u r 与向量DA uu u r所成的角，记此角为θ．（步骤10）因为GE uu u r，(0,0,1)DA =u u u r ，1DA =uu u r ，1GE DA =uu u r uu u r g ，所以cos GE DA GE DAθ==uu u r uu u r g uu u r uu u r g 故所求的二面角的大小为π6．（步骤11） 20．已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为3y =，离心率2e =，M 是椭圆上的动点．（Ⅰ）若,C D的坐标分别是(0,，求MC MD 的最大值；（Ⅱ）如图，点A 的坐标为(1,0)，B 是圆221x y +=上的点，N 是点M 在x 轴上的射影，点Q 满足条件：OQ OM ON =+，0QA BA =．求线段QB 的中点P 的轨迹方程．第20题图【测量目标】椭圆的标准方程和简单几何性质、基本不等式求最值、圆锥曲线中的轨迹问题． 【考查方式】给出椭圆的一条准线方程和离心率，利用基本不等式求最值；利用向量的坐标运算求点的轨迹方程． 【难易程度】较难.【试题解析】：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y 轴上，故设椭圆方程为22221x y b a+=(0)a b >>．设c =由准线方程y =得．由e =c a =，解得2,a c ==，从而1b =，椭圆方程为214x +=．（步骤1） 又易知,C D 两点是椭圆2214y x +=的焦点，所以，24MC MD a +==，（步骤2） 从而22242MC MD MC MD ⎛+⎫== ⎪⎝⎭…g ，（步骤3） 当且仅当MC MD =，即点M 的坐标为(1,0)±时上式取等号，MC MD g 的最大值为4．（步骤4）（II ）如图，第20题图设(,)M M M x y ，(,)B B B x y ，(,)Q Q Q x y ．因为(,0),M N x OM ON OQ +=，故2,Q M Q M x x y y ==，2222(2)4Q Q M M x y x y +=+=， ① （步骤5）因为0QA BA =， (1,)(1,)Q Q B B x y x y ----(1)(1)0Q B Q B x x y y =--+=所以 1Q B Q B B Q x x y y x x +=+-． ② （步骤6） 记P 点的坐标为(,)P P x y ，因为P 是BQ 的中点， 所以 2,2P Q B P Q B x x x y y y =+=+．（步骤7）又因为 221B B x y +=，结合①，②得22221(()())4B B Q B Q B x y x x y y +=+++22221(2())4Q B Q B Q B Q B x x y y x x y y =+++++1(52(1))4Q B x x =++-34P x =+．（步骤8） 故动点P 的估计方程为221()12x y -+=．（步骤9）21．设m 个不全相等的正数12,,,(7)m a a a m …依次围成一个圆圈．（Ⅰ）若2009m =，且1210,,,a a a 是公差为d 的等差数列，而120092008,,,,a a aa 是公比为q d =的等比数列；数列12,,,m a a a 的前n 项和()n S n m …满足：320092007115,12S S S a ==+，求通项()n a n m …；（Ⅱ）若每个数()n a n m …是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：2216712m m a a a a ma a a +++++>．【测量目标】等差等比数列的综合应用．【考查方式】给出条件，综合利用等差等比数列的相关知识求解． 【难易程度】较难.【试题解析】（I ）因1200920081006,,,,a a a a ⋅⋅⋅是公比为d 的等比数列，从而20091a a d =，220081a a d =， 由 200920071200820091212S Sa a a a =++=得，故 解得3d =或4d =-（舍去），因此3d =．（步骤1） 又 313315S a d =+=．解得12a =．（步骤2）从而当1005n …时，1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-；（步骤3） 当10062009n剟时，由1200920081006,,,,a a a a ⋅⋅⋅是公比为d 的等比数列得2009(1)201011(10062009)n n n a a d a d n---==剟．因此201031,100523,10062009n nn n a n --⎧=⎨⎩…剟．（步骤4）（II ）由题意222222222111112(1),,n n n m m m a a a n m a a a a a a -+-=<<==得111112(1),n n n m m m a a a n m a a a a a a -+-=<<⎧⎪=⎨⎪=⎩ ①②③（步骤5）有①得413456112211,,,a a a a a a a a a a ====， ④ （步骤6） 由①，②，③得21212()n n a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，故121n a a a ⋅⋅⋅=． ⑤ （步骤7） 又2131111(13)r r r r r r ra a a r m a a a a +++++===-剟，故有631(16)r r r a a r m a ++==-剟． ⑥ （步骤8）下面反证法证明：6m k =．若不然，设6,15m k p p =+其中剟．若取1p =即61m k =+，则由⑥得611m k a a a +==，而由③得11122,,m a aa a a a ==故（步骤9） 得21a =，由②得11m m a a a -=，从而661k m a a a -==，而162aa a =，121a a ==故，由④及⑥可推得1n a =（1nm 剟）与题设矛盾．（步骤10） 同理若p =2，3，4，5均可得1n a =（1n m 剟）与题设矛盾，因此6m k =为6的倍数，由均值不等式得21123612121211()()()6a a a a a a a a a a a a ++++=+++++…L ．（步骤11） 由上面三组数内必有一组不相等（否则1231a a a ===，从而451m a a a ====L 与题设矛盾），故等号不成立，从而12366a a a a ++++>L ，（步骤12） 又6m k =，由④和⑥得2222227712656()()m k k a a a a a a -++=++++++L L L L2216(1)()k a a =-+222123222123111(1)()6(1)k a a a k a a a =-+++++-…．（步骤13） 因此由⑤得221236712366(1)6m m a a a a a a k k m ma a a a +++++++>+-===L L L ．（步骤14）。

高考数列选择题部分（2016全国I ）（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）100（B ）99（C ）98（D ）97（2016上海）已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（）（A ）1a（C ）1a （2016（A ）（2016n ，a 2n ?1+a 2n （A （C （2016∈*N ，1n n B B +=若n d =A ．{}n S C ．{}n d 1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ） A 、-1B 、0 C 、1D 、62.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（） A ．6B ．7 C ．8D ．93.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列.下列结论中正确的是（）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a -->4.【2015高考浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（）A.140,0a d dS >>B.140,0a d dS <<C.140,0a d dS ><D.140,0a d dS <>1.【2014年重庆卷（理02）】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（）13.,,A a a a 24.,,C a a 2.【A ．5.【2014 ） A ．（2016（2016同的数组成，{}3,2，则k （2016（2016的值是▲. （20165.【2015}n a 的前n 6.【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 7.【2015高考广东，理10】在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a +=. 8.【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．9.【2015江苏高考，11】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为3.【2014年广东卷（理13）】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++=。

高考重庆卷（理工类）数学试题本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分 考试时间120分钟.第Ⅰ部分（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立，那幺 P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那幺n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k knn P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 函数)23(log 21-=x y 的定义域是（ ）A ．),1[+∞B ．),32(+∞ C ． ]1,32[ D ．]1,32(2.设复数1Z =+, 则22Z Z -= ( )A –3B 3C -3iD 3i 3.圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为：（ ）A 2BC 1 D4．不等式221x x +>+的解集是：（ ） A (1,0)(1,)-+∞ B (,1)(0,1)-∞- C (1,0)(0,1)- D (,1)(1,)-∞-+∞ 5．sin163sin 223sin 253sin313+= ( )A 12-B 12C D6．若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为：（ ）A 2B 4C 6D 12 7．一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（ ）A 0a <B 0a >C 1a <-D 1a > 8．设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为：（ ）A B C D 9． 若数列{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n项和0n S >成立的最大自然数n 是：（ ）A 4005B 4006C 4007D 400810．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：( )A 43B 53C 2D 7311．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（ ）A 110B 120C 140D 112012．若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的面积与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC 组成图形可能是：（ ）第Ⅱ部分（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13.若在5(1)ax +的展开式中3x 的系数为80-，则_______a =14．曲线23112224y x y x =-=-与在交点处切线的夹角是______（用幅度数作答）15．如图P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P 2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3、P 4、…..P n …,记纸板P n 的面积为n S ，则lim ______n x S →∞=16．对任意实数K ，直线：y kx b =+与椭圆：2cos (02)14sin x y θθπθ⎧=⎪≤≤⎨=+⎪⎩恰有一个公共点，则b 取值范围是_______________三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）求函数x x x x y 44cos cos sin 32sin -+=的取小正周期和取小值；并写出该函数在[0,]π上的单调递增区间18．（本小题满分12分）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为344地才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求： （1）ξ的概率的分布列及期望E ξ; (2 ) 停车时最多已通过3个路口的概率19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，,,//,PA ABCD AE PD EF CD AM EF ⊥⊥=底面(1) 证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线；(2) 若3PA AB =,求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值20．（本小题满分12分）设函数()(1)(),(1)f x x x x a a =-->(1) 求导数/()f x ; 并证明()f x 有两个不同的极值点12,x x ; (2) 若不等式12()()0f x f x +≤成立，求a 的取值范围D21．（本小题满分12分）设0p>是一常数，过点(2,0)Q p的直线与抛物线22y px=交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程22．（本小题满分14分）设数列{}n a满足1112,,(1,2,3.......)n nna a a na+==+=(1)证明na n 成立；(2)令1,2,3......)nb n==,判断1n nb b+与的大小，并说明理由。

绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷（理工农医类）数学试题卷(理工农医类)共5页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (K)=k m P k (1-P)n-k以R 为半径的球的体积V =43πR 3.一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数1+22i = (A)1+2i(B)1-2i(C)-1(D)3(2)设m,n 是整数，则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(3)圆O 1:x 2+y 2-2x =0和圆O 2:x 2+y 2-4y =0的位置关系是(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切(4)已知函数M ,最小值为m ,则mM的值为(A)14(B)12(5)已知随机变量ζ服从正态分布N (3,a 2),则P (3)ζ<＝ (A)15(B)14(C)13(D)12(6)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1,x 2∈R 有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1,,则下列说法一定正确的是(A)f (x )为奇函数 （B ）f (x )为偶函数 (C) f (x )+1为奇函数 （D ）f (x )+1为偶函数 (7)若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的比λ的值为 (A)－13(B) －15(C)15(D)13(8)已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e ,则双曲线方程为（A ）22x a －224y a =1(B)222215x y a a-=(C)222214x y b b-=(D)222215x y b b-=(9)如解（9）图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V 1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V 2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是 （A ）V 1=2V (B) V 2=2V （C ）V 1> V 2（D ）V 1< V 2(10)函数f(x)02x π≤≤) 的值域是（A ）[-2] (B)[-1,0] （C ）]（D ）]二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上 （11）设集合U ={1,2,3,4,5},A ={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则(A ⋃B)()C ⋂⋃ð= .（12）已知函数f(x)=(当x ≠0时) ，点在x =0处连续，则2221lim x an a n n→∞+=+ .(13)已知1249a=(a>0) ，则23log a= .(14)设S n=是等差数列{a n}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .（15）直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为 .(16)某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）.三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）设ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=60，c=3b.求：（Ⅰ）ac的值；（Ⅱ）cot B +cot C的值.（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立.求：（Ⅰ）打满3局比赛还未停止的概率；（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ的分别列与期望Eξ.（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）如题（19）图，在ABC 中，B=90,AC =152,D 、E 两点分别在AB 、AC 上.使 2AD AEDB EC==,DE=3.现将ABC 沿DE 折成直二角角，求： （Ⅰ）异面直线AD 与BC 的距离；（Ⅱ）二面角A-EC-B 的大小（用反三角函数表示）.（20）（本小题满分13分.（Ⅰ）小问5分.（Ⅱ）小问8分.）设函数2()(0),f x ax bx c a =++≠曲线y =f (x )通过点（0，2a +3），且在点（-1，f （-1））处的切线垂直于y 轴.（Ⅰ）用a 分别表示b 和c ；（Ⅱ）当bc 取得最小值时，求函数g (x )=-f (x )e -x的单调区间. （21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若2·1cos PM PN MPN-∠＝,求点P 的坐标.（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）设各项均为正数的数列{a n }满足321122,(N*)n a a a a aa n ++==∈.（Ⅰ）若214a =，求a 3，a 4，并猜想a 2cos 的值（不需证明）；（Ⅱ）记32(N*),n n n b a a a n b =∈≥若对n ≥2恒成立，求a 2的值及数列{b n }的通项公式.普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题（理工农医类）答案一、选择题：每小题5分，满分50分.（1）A （2）A （3）B （4）C （5）D（6）C（7）A （8）C （9）D （10）B 二、填空题：每小题4分，满分24分. （11）25，（12）13（13）3 （14）-72 （15）x-y+1=0 （16）216三、解答题：满分76分. （17）（本小题13分） 解：（Ⅰ）由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117()2,3329cc c c c +-= 故a c = （Ⅱ）解法一：cot cot B C +＝cos sin cos sin sin sin B C C BB C +＝sin()sin ,sin sin sin sin B C AB C B C+=由正弦定理和（Ⅰ）的结论得227sin 19··1sin sin sin 9·3cA aBC Abc c c ====故cot cot B C +=解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有22222271()cos 272c c c a c b B ac c c +-+-==故sin B ===同理可得22222271cos 2712233c c ca b cC ab c c +-+-===sinC=== 从而cos cos cot cot sin sin 9B C B C B C +=+== （18）（本小题13分）解：令,,k k k A B C 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜.（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为 12312333111()().224P AC B P B C A +=+= （Ⅱ）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，且 121222111(2)()(),222P P A A P B B ξ==+=+= 12312333111(3)()().224P P AC C P B C C ξ==+=+= 1234123444111(4)()().228P P AC B B P B C A A ξ==+=+= 123451234555111(5)()(),2216P P AC B A A P B C A B B ξ==+=+=123451234555111(6)()(),2216P P AC B A C P B C A B C ξ==+=+= 故有分布列从而111114723456248161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（局）. （19）（本小题13分）解法一：（Ⅰ）在答（19）图1中，因AD AEDB CE=，故BE ∥BC .又因B ＝90°，从而 AD ⊥DE .在第（19）图2中，因A -DE -B 是直二面角，AD ⊥DE ,故AD ⊥底面DBCE ，从而AD ⊥DB .而DB ⊥BC ,故DB 为异面直线AD 与BC 的公垂线. 下求DB 之长.在答（19）图1中，由2AD AE CB BC ==，得2.3DE AD BC AB == 又已知DE =3,从而39.22BC DE ==6.AB ===因1, 2.3DB DB AB =故＝ （Ⅱ）在第（19）图2中，过D 作DF ⊥CE ,交CE 的延长线于F ，连接AF .由（1）知，AD ⊥底面DBCE ,由三垂线定理知AF ⊥FC ,故∠AFD 为二面角A -BC -B 的平面 角.在底面DBCE 中，∠DEF =∠BCE ,11552,,322DB EC === 因此4sin .5DB BCE EC ==从而在Rt △DFE 中，DE =3,412sin sin 3.55DF DE DEF DE BCE ==== 在5Rt ,4,tan .3AD AFD AD AFD DF ∆===中 因此所求二面角A -EC -B 的大小为arctan 5.3解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）如答（19）图3.由（Ⅰ）知，以D 点为坐标原点，DB DE DA 、、的方向为x 、 y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A （0，0，4），9202C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，E （0，3，0）.302AD AD ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝-2，-，，＝（0，0，-4）.过D 作DF ⊥CE ,交CE 的延长线于F ，连接AF .设00(,,0),F x y 从而00(,,0),DF x y = 00(,3,0).EF x y DF CE =-⊥由，有0030,20.2DF CE x y =+=即 ① 又由003,.322x y CE EF -=得 ②联立①、②，解得00364836483648,.,,0,,4.252525252525x y F AF ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，得 因为36483(2)025252A F C E⎛⎫⎛⎫=--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故AF CE ⊥,又因DF CE ⊥,所以DFA ∠为所求的二面角A-EC-B 的平面角.因3648,,0,2525DF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有22364812,4,5DF AD ⎛⎫⎛⎫=-+== ⎪ ⎪所以5tan .3AD AFD DF ==因此所求二面角A-EC-B 的大小为5arctan .3(20)（本小题13分）解：(Ⅰ)因为2(),()2.f x ax bx c f x ax b '=++=+所以又因为曲线()y f x =通过点（0，2a +3）, 故(0)23,(0),2 3.f a f c c a =+==+而从而又曲线()y f x =在（-1，f (-1)）处的切线垂直于y 轴，故(1)0,f '-= 即-2a +b =0,因此b=2a .(Ⅱ)由(Ⅰ)得2392(23)4(),44bc a a a =+=+-故当34a =-时，bc 取得最小值-94. 此时有33,.22b c =-=从而233333(),(),42222f x x x f x x '=--+=--2333()()(),422xx g x f x c x x e --=-=+-所以23()(()()(4).4x xg x f x f x e x e --''=-=--令()0g x '=，解得122, 2.x x =-=当(,2),()0,()(,2)x g x g x x '∈-∞-<∈-∞-时故在上为减函数； 当(2,2)()0,()(2,).x g x g x x '∈->∈+∞时，故在上为减函数 当(2,)()0()(2,)x g x g x x '∈+∞<∈+∞时，，故在上为减函数.由此可见，函数()g x 的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）. (21)（本小题12分）解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2a =6的椭圆. 因此半焦距c =2，长半轴a =3，从而短半轴b =，所以椭圆的方程为221.95x y += (Ⅱ)由2,1cos PM PN MPN=-得cos 2.PM PN MPN PM PN =- ①因为cos 1,MPN P ≠不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形.在△PMN中，4,MN =由余弦定理有2222cos .MNPM PN PM PN MPN =+- ②将①代入②，得22242(2).PM PN PM PN =+--故点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2213x y -=上.由(Ⅰ)知，点P 的坐标又满足22195x y +=，所以 由方程组22225945,3 3.x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即P 点坐标为()22222222-、（-）、（-，-）. (22)(本小题12分)解：(Ⅰ)因2122,2,a a -==故 3423123824232,2.a a a a a a ---==== 由此有0223(2)(2)(2)(2)12342,2,2,2a a a a ----====，故猜想n a 的通项为1(2)*2(N ).n n a n --=∈（Ⅱ）令2log ,2.n S n n n n n x a S x n b ==表示的前项和，则 由题设知x 1=1且 *123(N );2n n n x x x n ++=+∈ ① 123(2).2n n S x x x n =+++≥≥ ② 因②式对n =2成立，有1213,12x x x ≤+=又得 21.2x ≥ ③ 下用反证法证明：2211..22x x ≤>假设 由①得21211312()(2).22n n n n n n x x x x x x ++++++=+++ 因此数列12n n x x ++是首项为22x +，公比为12的等比数列.故 *121111()(N ).222n n n x x x n +--=-∈ ④又由①知 211111311()2(),2222n x n n n n n x x x x x x x +++++-=--=-- 因此是112n n x x +-是首项为212x -，公比为-2的等比数列,所以 1*1211()(2)(N ).22n n n x x x n -+-=--∈ ⑤ 由④-⑤得 1*221511(2)()(2)(N ).222n n n S x x n --=+---∈ ⑥ 对n 求和得2*2215111(2)(2)(2)()(N ).2223n n x x x n ---=+---∈ ⑦ 由题设知21231,22k S x +≥>且由反证假设有 21*22221*22221121152)(2)()(N ).22341211151()(2)(2)2(N ).23244k k k k x x k x x x k ++++---≥∈+-≤+--<+∈（从而 即不等式22k +1＜22364112x x +-- 对k ∈N *恒成立.但这是不可能的，矛盾.因此x 2≤12,结合③式知x 2=12,因此a 2=2*2 将x 2=12代入⑦式得 S n =2－112n -(n ∈N*), 所以b n =2S n =22－112n -(n ∈N*)。

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={}1,2,3,B={}2,3，则A 、A=B B 、A ⋂B=∅C 、A ØBD 、B ØA 【答案】D考点：集合的关系..2．在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a =A 、-1B 、0C 、1D 、6 【答案】B 【解析】试题分析：由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B. 考点：等差数列的性质.3．重庆市2013年各月的平均气温（oC ）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是A 、19B 、20C 、21.5D 、23 【答案】B. 【解析】试题分析：从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.. 考点：茎叶图，中位数.4．“x>1”是“12log （x+2）<0”的A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件 【答案】B考点：充分必要条件.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A 、13π+B 、23π+ C 、 123π+ D 、223π+【答案】A 【解析】试题分析：这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，2111112(12)12323V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+，选A. 考点：组合体的体积.6．若非零向量a ，b 满足|a|22|b|，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 A 、4π B 、2πC 、34πD 、π【答案】A 【解析】试题分析：由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=r r r r r r r r ，即223cos 20a a b b θ--=r r r r ，所以222223()cos 20θ⨯--=，2cos θ=，4πθ=，选A. 考点：向量的夹角.7．执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K 的值为8，则判断框图可填入的条件是 A 、s ≤34 B 、s ≤56 C 、s ≤1112 D 、s ≤1524【答案】C考点：程序框图.8．已知直线l ：x+ay-1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=A 、2B 、42、6 D 、210【答案】C 【解析】试题分析：圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，2222(42)(11)46AB AC r =-=--+---=.选C.考点：直线与圆的位置关系.9．若tan α=2tan5π，则3cos()10sin()5παπα-=-A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C考点：两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.10．设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D.若D 到直线BC 的距离小于22a a b +围是A 、（-1,0）⋃（0,1）B 、（-∞，-1）⋃（1，+∞）C 、（2，0）⋃（02）D 、（-∞，2）⋃2，+∞） 【答案】A 【解析】试题分析：由题意22(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a-，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，由BD AC⊥得2201b b a a c x a c-⋅=---，解得42()b c x a c a -=-，所以4222()bc x a a b a c a c a -=<++=+-，所以42222b c a b a <-=221b a ⇒<01b a⇒<<，因此渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)-U ，选A. 考点：双曲线的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．设复数a+bi （a ，b ∈R ）的模为3，则（a+bi ）（a-bi ）=________. 【答案】3 【解析】试题分析：由3a bi +=得223a b +=，即223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.考点：复数的运算.12．532x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).【答案】52考点：二项式定理13．在V ABC 中，B=120o，2，A 的角平分线3则AC=_______.6 【解析】试题分析：由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠，即23sin ADB =∠2sin 2ADB ∠=，45ADB ∠=︒，从而15BAD DAC ∠=︒=∠，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒，2cos306AC AB =︒考点：解三角形（正弦定理，余弦定理）考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分. 14．如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.【答案】2考点：相交弦定理，切割线定理. 15．已知直线l 的参数方程为11x ty t=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______. 【答案】(2,)π 【解析】试题分析：直线l 的普通方程为2y x =+，由2cos 24ρθ=得222(cos sin )4ρθθ-=，直角坐标方程为224x y -=，把2y x =+代入双曲线方程解得2x =-，因此交点.为(2,0)-，其极坐标为(2,)π.考点：参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化. 16．若函数f （x ）=|x+1|+2|x-a|的最小值为5，则实数a=_______. 【答案】4a =或6a =-考点：绝对值的性质，分段函数.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（重庆卷，解析版）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内表示复数(12)i i -的点位于（ ）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限【答案】A 【解析】..∴2)2-1(A i i i 选对应第一象限+=2.对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 239.,,D a a a 成等比数列【答案】D 【解析】.∴D 选要求角码成等差3.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本的平均数 2.5x =， 3.5y =，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ）.0.4 2.3A y x =+ .2 2.4B y x =- .29.5C y x =-+ .0.3 4.4C y x =-+【答案】A 【解析】.∴)5.33(),(.,,0,A y x D C b a bx y 选，过中心点排除正相关则=∴>+=4.已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且()23a b c -⊥，则实数k=9.2A -.0B C.3 D. 152【答案】C 【解析】.∴3),42(3)32(2,32,0)3-2(∴⊥)3-2(C k k bc ac c b a c b a 选解得即即=+=+==5.执行如题（5）图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是。

A ．12s >B.1224abc ≤≤ 35s >C. 710s >D.45s >【答案】C【解析】.∴10787981091C S 选=•••=6.已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x>；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件 则下列命题为真命题的是（ ）.A p q ∧ .B p q ⌝∧⌝ .C p q ⌝∧ .D p q ∧⌝【答案】D 【解析】.∴,,D q p 选复合命题为真为假为真7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.54B.60C.66D.72 【答案】B 【解析】BS S S S S S 选，，，何体表的面积的上部棱锥后余下的几；截掉高为，高原三棱柱：底面三角形侧上下侧上下∴60s 2273392318152156344*3=++=+=•++===8.设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ）A.34B.35C.49D.3【答案】B 【解析】.,35,5,4,3,34∴,2-,49,3,,,22221B a c c b a b a b a c a n m ab mn b n m n m PF n PF m 选令解得则且设====∴=+====+>==9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则 类节目不相邻的排法种数是（ ）A.72B.120C.144D.3【答案】B【解析】解析完成时间2014-6-12qq373780592..120)A A A A A (A ∴A A A 2(2).A A (1),A 222212122333222212122333B 选共有个：歌舞中间有法：歌舞中间有一个，插空再排其它：先排歌舞有=+10.已知ABC ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ）A.8)(>+c b bcB.)(c a ac +C.126≤≤abcD. 1224abc ≤≤【答案】A【解析】2014-6-12qq373780592...8)(,82nC sinAsinBsi 8)(,]8,4[∈∴]2,1[∈4nC sinAsinBsi 2sin 21.1inC 8sinAsinBs ∴21inC 4sinAsinBs nA)sinBcosBsi cosAsinB 4sinAsinB(Ain 4sinBcosBs B in 4sinAcosAs cos2A)-sin2B(1cos2B)-in2A(1cos2Asin2B -sin2Acos2B -sin2B in2A 2B)sin(2A -sin2B in2A sin2C sin2B in2A ∴21-sin2C 21B)-A -sin(C sin2B sin2A C)B -sin(A sin2A 333222Δ22A c b bc R R bca c b bc A R R R C ab S s s s s ABC 所以，选别的选项可以不考虑成立对>+∴=≥==>+======+=+=+=+=++=+++=+=+=++二、填空题 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。

绝密*启用前2006 年一般高等学校招生全国一致考试(重庆卷 )数学试题卷（理工农医类）数学试题（理工农医类）共 5 页，满分 150 分。

考试时间120 分钟。

注意事项：1.答题前，务势必自己的姓名、准考据号填写在答题卡规定的地点上。

2.答选择题时，一定使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需变动，用橡皮擦擦洁净后，再选涂其余答案标号。

3.答非选择题时，一定使 0.5 毫米黑色墨水署名笔，将答案书写在答题止规定的地点上。

4.全部题目一定在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并回收。

参照公式：假如事件 A、B 互斥，那么P（A+B ）－P(A)+P(B).假如事件 A、B 互相独立，那么P(A·B)－ P(A) ·P(B)假如事件 A 在一次试验中发生的概率是P，那么 n 次独立事件重复试验中恰巧发生k 次的概率 P n(k) =C k n P k(1-P) n-k一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .(1) 已知会合 U={ 1,2,3,4,5,6,7} , A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(u A)∪(u B)=(A){1,6}(B){4,5}(C){1,2,3,4,5,7}(D){1,2,3,6,7}(2)在等差数列｛ a n｝中，若a4+a6=12,S n是数列｛a n｝的前n项和，则 S9的值为（ A） 48 (B)54(C)60(D)66(3)过坐标原点且与园 x2+y2-4 x+2y+5=0相切的直线的方程为2（ A）y=-3 x或y= 1x(B)y=3x 或 y=- 1 x 33（C）y=-3x 或 y=-1 x(D)y=3x 或 y=1 x33(4) 关于随意的直线l 与平平面α ,在平面 a 内必有直线 m,使 m 与 l(A) 平行（B ）订交(C) 垂直(D) 互为异面直线（5）若3 x1n 的睁开式中各项系数之和为64，则睁开式的常数项为x(A)-540(B)-162(c)162(D)540(6) 为了认识某地域高三学生的身体发育状况，抽查了该地域100 名年纪为17.5 岁－１８岁的男生体重 (kg) , 获得频次散布直方图以下：依据上图可得这100 名学生中体重在〔56.5,64.5 〕的学生人数是(A)20(B)30(C)40（ D） 50(7) 与向量a=7, 1, b1, 7的夹解相等，且模为 1 的向量是2222(A)4,3(B) 4 ,3或4, 3555555（ C）2 2,1（ D）2 2, 1 或 2 2 , 1 333333（８）将 5 名实习教师分派到高一年级的３个班实习，每班起码１名，最多２名，则不一样的分派方案有（ A）３０种（ B）９０种（ C）１８０种（ D）２７０种（９）以下图，单位圆中弧 AB的长为 x, f ( x)表示弧 AB与弦 AB所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f ( x)的图象是题（９）图（１０）若, , c ＞0 且 ( + + )+bc =4-2 3, 则 2 + + 的最小值为a b a a b ca b c（ A ） 3 -1(B)3 +1 (C) 23 +2(D) 23 -2一、填空题：本大题共 6 小题，共 24 分，把答案填写在答题卡相应地点上（ 11）复数复数1 2i2 的值是 _________.3 ilim13(2n 1)_________.(12)2n 2n 1n(13) 已知,3 ,， sin()=－ 3, sin412, 则 os=________.45134(14) 在数列｛ a n ｝中，若 a 1=1,a n+1=2a n +3 (n ≥ 1),则该数列的通项 a n =_________.(15) 设 a ＞0,n(x2- 2n+1)21,函数 f( x)=alg有最大值 .则不等式 log n (x -5x+7) ＞0 的解集为 _______.(16) 已知变量 x,y 知足拘束条件 1 ≤x+y ≤ 4,-2 ≤ x-y ≤＞2.若目标函数 z=ax+y(此中 a 0)仅在点(3,1) 处获得最大值，则 a 的取值范围为 ___________.二、解答题：本大题共６小题，共７６分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分 13 分）设函数 f(x)= 3 cos 2cos+sin rcos x+a(此中 ＞0,a R ),且 f(x)的图象在 y 轴右边的第一个x高点的横坐标为.6（Ⅰ）求 ω的值；（Ⅱ）假如 f(x)在区间, 5上的最小值为 3 ，求 a 的值 .3 6（１８）（本小题满分 13 分）某大厦的一部电梯从基层出发后只好在第18、 19、 20 层能够停靠 .若该电梯在基层载有 5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1，用 ξ 表示这 5 位乘客在第 203层下电梯的人数 .求：（Ⅰ）随机变量 ξ 的散布列； （Ⅱ）随机变量 ξ 的希望 .（１９）（本小题满分１３分）如图，在四棱锥 P － ABCD 中， PA 底面 ABCD ,DAB 为直角， AB ‖ CD,AD =CD=24B,E 、F 分别为 PC 、 CD 的中点 .（Ⅰ）试证： CD 平面 BEF;（Ⅱ）设 PA ＝ k ·AB,且二面角E-BD -C 的平面角大于30 ,求 k 的取值范围 .（ 20） (本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=( x 2+bx+c)c x ,此中 b,c R 为常数 . 图 (19)图（Ⅰ）若 b 2＞4(a -1),议论函数 f(x) 的单一性；（Ⅱ）若 b 2＜4(c-1),且 limf (x)c=4,试证：－ 6≤ b ≤ 2.nx(21)( 本小题满分 12 分 )已知定义域为 R 的函数 f(x)知足 f (f ( x)x 2x) f (x ) x 2x（Ⅰ）若 f(2)=3, 求 f(1); 又若 f(0)= a, 求 f(a);（Ⅱ）设有且仅有一个实数 x 0,使得 f( x 0)= x 0,求函数 f( x)的分析表达式 .(22)( 本小题满分 12 分 )2y 2 =1. 0＜b n ＜ 1,n=1,2..若椭圆 C 上有一点 P n 使 P n 到右准线 l n 的距已知一列椭圆 C n :x + b n2离 d.是｜ P n F n ｜与｜ P n C n ｜的等差中项，此中 F n 、C n 分别是 C n 的左、右焦点 .（Ⅰ）试证： b n ≤3(n ≥ 1);2（Ⅱ）取 b n ＝2n3，并用 S A 表示 P n F n G n 的面积，试n 2证： S 1＜ S 1 且 S n ＜S n+3 (n ≥ 3).图 (２２ )图2006 年一般高等学校招生全国一致考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）答案一、选择题：每题5 分，满分 50 分。

高考理科数学考试真题（重庆卷）参考答案1．A 【解析】复数(12)i i -=2i +，对应的点的坐标为(2,1)．2．D 【解析】由等比数列的性质得，23960a a a ⋅=≠，因此269,,a a a 一定成等比数列．3．A 【解析】由题意可知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C 、D ．且直线必过点(3,3.5)，代入A 、B 得A 正确．4．C 【解析】∵23(23,6)k -=--a b ，(23)-⊥a b c ，所以(23)-⋅a b c =2(23)60k --=。

解得3k =，选C5．C 【解析】当输出6k =时，98771109810s =⨯⨯⨯=， 结合题中的程序框图知，选C ． 6．D 【解析】依题意p 真，q 假，选D ．7．B 【解析】题中的几何体可看作是从直三棱柱111ABC A B C -中截去三棱锥111E A B C -后所剩余的部分，其中在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，4,3AB AC ==，则5BC =，ABC ∆的面积等于13462⨯⨯=．1AA ⊥平面ABC ，则直角梯形1ABEA 的面积等于12⨯（2+5）414⨯=，矩形11ACC A 的面积等于3515⨯=．过点E 作1EF AA ⊥于点F ，则4EF AB ==，1113A F B E BB BE ==-=．则15A E =，所以11A C E ∆的面积等于1153522⨯⨯=，直角梯形1BCC E 的面积等于12⨯（2+5）3552⨯=，该几何体的表面积为1535614156022++++=．8．B 【解析】由双曲线的定义得12||||||2PF PF a -=，又12||||3PF PF b +=，所以22221212(||||)(||||)94PF PF PF PF b a +--=-，即124||||9PF PF ab =，因此22949b a ab -=，即299()40b b aa--=，则（31b a +）（34ba -）=0，解得41(33b b a a ==-舍去），则双曲线的离心率53e ==． 9．B 【解析】依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为3334A A 144=，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为223223A A A 24=，因此满足题意的排法种数为144 - 24 =120．选B ．10．A 【解析】因为A B C π++=，由1sin 2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+得1sin 2sin 2sin 22A B C ++=， 即1sin[()()]sin[()()]sin 22A B A B A B A B C ++-++--+=， 整理得1sin sin sin 8A B C =， 又111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===， 因此322222211sin sin sin 864s a b c A B C a b c ==，由12s ≤≤得222311264a b c ≤≤，即8abc ≤≤C 、D 不一定成立．又0b c a +>>，因此()8bc b c bc a +>⋅≥，即()8bc b c +>，选项A 一定成立．又0a b c +>>，因此()8ab a b +>，显然不能得出()ab a b +>B 不一定成立．综上所述，选A ．11．{}7,9【解析】{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U =，{}4,6,7,9,10U A =，{}()7,9UA B ⋂=12．14-【解析】()22222221111()log (22log )log log (log )2244f x x x x x x =⋅+=+=+--≥．当且仅当21log 2x =-，即2x =时等号成立．13．4±【解析】由题意知圆心(1,)C a 到直线02=-+y ax 的距离等于，即=4a =±14．4【解析】依题意PACPBA ∆∆，则PA AB PB PC AC PA ==，即6986AB PBPB ==+， 解得3,4PB AB ==．15．【解析】l 和曲线C 的直角坐标方程为10x y -+=，24y x =，联立得2210x x -+=，解得1x =，则2y =，因此直线l 和曲线C 的公共点的直角坐标是(1,2)l 与曲线C 的公共点的极径=ρ16．1[1,]2-【解析】1115|21||2|||(|||2|)0|()(2)|2222x x x x x x x -++=-+-+++--+=≥，当且仅当12x =时取等号，因此函数|21||2|y x x =-++的最小值是52，所以215222a a ++≤，解得112a -≤≤，即实数a 的取值范围是1[1,]2-．17．【解析】：（I ）因()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期T π=，从而22Tπω==. 又因()f x 的图象关于直线3π=x 对称，所以2,0,1,2,,32k k ππϕπ⋅+=+=±±因22ππϕ-≤<得0k =所以2236πππϕ=-=-.（II ）由（I ）得22264f ααπ⎛⎫⎛⎫=⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 由263ππα<<得0,62ππα<-<所以cos 6πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭ 因此3cos sin sin 266πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ sin cos cos sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1142428⨯+= 18．【解析】：（Ⅰ）由古典概型中的概率计算公式知所求概率为334339584C C P C +== （Ⅱ）X 的所有可能值为1，2，3，且()()213111213454342363339917431,24284C C C C C C C C C P X P X C C +++======,()2127391312C C P X C ===. 故X 的分布列为从而()1712342841228E X =⨯+⨯+⨯=19．【解析】：（Ⅰ）如图，连结,AC BD ，因ABCD 为菱形，则ACBD O =，且AC BD ⊥，以O 为坐标原点，,,OA OB OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系o xyz -，因3BAD π∠=，故cossin1,66OA AB OB AB ππ=⋅==⋅=所以())()()()()0,0,0,,0,1,0,,0,1,0,3,1,0.O AB C OBBC ==--由1,22BM BC ==知，11,0444BM BC ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭从而3,04OM OB BM ⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭，即3,0.4M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C设()0,0,,0,P a a >，则()333,0,,,,.44AP a MP a ⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭因为MPAP ⊥， 故0,MP AP ⋅=即2304a -+=，所以22a a ==-（舍去），即2PO =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，33333,0,,,,,3,0,4AP MP CP ⎛⎫⎛⎫⎛=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎭, 设平面APM 的法向量为()1111,,n x yz =，平面PMC 的法向量为()2222,,n x y z =由0,0,n AP n MP ⋅=⋅=得111110230442z x y z ⎧+=⎪⎪⎪-+=⎪⎩故可取151,2,n⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭由220,0,n MP n CP ⋅=⋅=得222223044202x y z z -+=⎪⎪⎨+=故可取()21,2n =-从而法向量12,n n的夹角的余弦值为121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>==-⋅ 故所求二面角A PM C --. 20．【解析】：（Ⅰ）对()f x 求导得()2222x xf x ae be c -'=+-，由()f x '为偶函数，知()()f x f x ''-=，即()()2220x x a b e e --+=，因220xx ee -+>，所以a b =又()022f a b c '=+-，故1,1a b ==. （Ⅱ）当3c =时，()223xx f x ee x -=--，那么()22223310x x f x e e-'=+-≥=>故()f x 在R 上为增函数.（Ⅲ）由（Ⅰ）知()2222xx f x e e c -'=+-，而22224x x e e -+≥=，当0x =时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当4c <时，对任意()22,220x x x R f x e e c -'∈=+->，此时()f x 无极值； 当4c =时，对任意0,x ≠()222240x x f x e e -'=+->，此时()f x 无极值；当4c >时，令2xe t =，注意到方程220t c t +-=有两根，21,2160,4c c t ±-=>即()0f x '=有两个根111ln 2x t =或221ln 2x t =. 当12x x x <<时，()0f x '<；又当2x x >时，()0f x '>从而()f x 在2x x =处取得极小值.综上，若()f x 有极值，则c 的取值范围为()4,+∞. 21．【解析】：（Ⅰ）设()()12,0,,0F c F c -，其中222c a b =-，由12122F F DF =得1212222F F DF c == 从而122112122,222DF F S DF F F c ∆=⋅==故1c =. 从而122DF =，由112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此2322DF =. 所以12222a DF DF =+=，故2222,1a b a c ==-=因此，所求椭圆的标准方程为：2212x y +=（Ⅱ）如答（21）图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，()()111222,,,P x y P x y 是两个交点，120,0y y >>，11F P,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P 由圆和椭圆的对称性，易知2112,x x y y =-=，1212||PP x =，由（Ⅰ）知()()121,0,1,0F F -，所以()()111122111,,1,F P x y F P x y =+=--，再由11F P ⊥22F P 得()221110x y -++=，由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=，解得143x =-或10x =. 当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在. 当143x =-时，过12,P P 分别与11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C . 由11F P ,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P ，知21CP CP ⊥，又12||||CP CP =故圆C 的半径11213CP ===22．【解析】：（Ⅰ）解法一：232,1a a =再由题设条件知()()221111n n a a +-=-+ 从而(){}21n a-是首项为0公差为1的等差数列，故()21n a -=1n -，即()*1,n a n N =∈解法二：232,1a a =可写为1231,1,1,a a a ===.因此猜想1n a =. 下用数学归纳法证明上式： 当1n =时结论显然成立.假设n k =时结论成立，即1k a =.则1111k a +===这就是说，当1n k =+时结论成立.所以()*1,n a n N =∈（Ⅱ）解法一：设()1f x =，则()1n n a f a +=.令()c f c =，即1c =，解得14c =. 下用数学归纳法证明加强命题：2211n n a c a +<<<当1n =时，()()2310,01a f a f ====，所以23114a a <<<，结论成立. 假设n k =时结论成立，即2211k k a c a +<<<易知()f x 在(],1-∞上为减函数，从而()()()2121k c f c f a f a +=>>= 即2221k c a a +>>>再由()f x 在(],1-∞上为减函数得()()()22231k c f c f a f a a +=<<=<. 故231k c a +<<，因此2(1)2(1)11k k a c a +++<<<，这就是说，当1n k =+时结论成立. 综上，符合条件的c 存在，其中一个值为14c =.解法二：设()1f x =-，则()1n n a f a +=先证：01n a ≤≤()*n N ∈…………………………① 当1n =时，结论明显成立.假设n k =时结论成立，即01k a ≤≤易知()f x 在(],1-∞上为减函数，从而()()()01011k f f a f =≤≤=< 即101k a +≤≤这就是说，当1n k =+时结论成立，故①成立.再证：221n n a a +<()*n N ∈………………………………②当1n =时，()()2310,01a f a f ===，有23a a <，即当1n =时结论②成立 假设n k =时，结论成立，即221k k a a +< 由①及()f x 在(],1-∞上为减函数，得()()2122122k k k k a f a f a a +++=>=()()()()212221211k k k k a f a f a a +++++=<=这就是说，当1n k =+时②成立，所以②对一切*n N ∈成立.由②得21k a <，即()22222122k k k a a a +<-+因此214k a <又由①、②及()f x 在(],1-∞上为减函数得()()221n n f a f a +>，即2122n n a a ++>所以211,n a +>解得2114n a +>. 综上，由②③④知存在14c =使2211n n a c a +<<<对一切*n N ∈成立.。