第2讲 方程应用题

第二讲列简易方程解应用教学目标1、会解一元一次方程2、根据题意寻找等量关系的方法来构建方程知识点拨一、等式的基本性质1、等式的两边同时加上或减去同一个数，结果还是等式.2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，结果还是等式.二、解一元一次方程的基本步骤1、去括号；2、移项；3、未知数系数化为1，即求解。

三、列方程解应用题（一）、列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知数的值．这个含有未知数的等式就是方程．列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算．解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程．板块一、直接设未知数【巩固】(全国小学数学奥林匹克)一个半圆形区域的周长等于它的面积，这个半圆的半径是．(精确到0.01，π 3.14)【巩固】（第六届“迎春杯”刊赛试题）有一个五位数，在它后面写上一个7，得到一个六位数；在它前面例题33例题22例题精讲例题11长方形周长是66厘米，长比宽多3厘米，求长方形的长和宽各是多少厘米？用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计32块，缝制成一个足球，如图所示，每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间地与3个黑色皮块及3个白色皮块相邻接．问：这个足球上共有多少块白色皮块？(2003年全国小学数学奥林匹克)某八位数形如2abcdefg，它与3的乘积形如4abcdefg，则七位数abcdefg应是．写上一个7，也得到一个六位数．如果第二个六位数是第一个六位数的5倍，那么这个五位数是 ．【巩固】 已知三个连续奇数之和为75，求这三个数。

【巩固】 （20XX 年全国小学数学资优生水平测试）一人看见山上有一群羊，他自言自语到：“我如果有这些羊，再加上这些羊，然后加上这些羊的一半，又加上这些羊一半的一半，最后再加上我家里的那只，一共有100只羊”．山上的羊群共有______只．例题66例题55例题44有三个连续的整数，已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三倍的和是68，求这三个连续整数.兄弟二人共养鸭550只，当哥哥卖掉自己养鸭总数的一半，弟弟卖出70只时，两人余下的鸭只数相等，求兄弟两人原来各养鸭多少只？(清华附中培训试题)某班原分成两个小组活动，第一组26人，第二组22人，根据学校活动器材的数量，要将一组人数调整为二组人数的一半，应从一组调多少人到二组去？【巩固】 寒暑表上通常有两个刻度，摄氏度(记为℃)和华氏度(记为F 。

一元一次方程应用题共同点：1、方程只含有一个未知数；2、未知数的次数是1；3、等式两边都是整式.只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程一、工程问题1某管道由甲乙两个工程队单独施工分别要30天，20天铺完。

1.如果两队从两端同时施工，需要多少天铺完？2.已知甲队单独施工每天200元，乙队单独施工每天280元，那么怎样施工才能满足少花钱多办事的目的。

2一个水池安有甲乙丙三个水管，甲单独开12h注满水池，乙单独开8h注满,丙单独开24h可排掉满池的水，如果三管同开，多少小时后刚好把水池注满水？3某工人若每小时生产３８个零件，在规定时间内还有１５个不能完成；若每小时生产４２个，则可超额５个，问规定时间是多少？共生产多少个零件？4某工厂今年比去年增产６０％，达到生产３２０万件产品的目标，那么该工厂去年的年产量是多少？5某工程，甲单独完成续20天，乙单独完成续12天甲乙合干6天后，再由乙继续完成，乙再做几天可以完成全部工程?二．路程问题6甲乙两个人在400米的环形跑道上同时同点出发，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，乙跑几圈后，甲可超过乙一圈？7小王在400米的环形跑道上跑了一圈，从起点出发，最初跑了45秒，后来加速0.5米/秒，再花了20秒跑到终点，问小王最初跑的速度是多少？8小张骑车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进，已知两人在上午8点同时出发，到上午10点两人还相距36千米，到中午12点两人又相距36千米，求A、B两地间的路程。

9甲乙两站相距300km，一列慢车从甲站开往乙站，每小时行40km，一列快车从乙站开往甲站，每小时行80km，已知慢车先行1.5h，快车再开出，问快车开出多少小时后与慢车相遇？10甲乙两人在400米环形跑道上练习长跑，两人速度分别是200米/分和160米/分.（1）若两人从同一地点同时反向跑，多少分钟后两人第3次相遇？（2）若两人从同一地点同时同向跑，多少分钟后两人第2次相遇？11小张开车去火车站，如果速度为30千米/时,则早15分钟到达，如果18千米/时，则迟到5分，现在打算提前5分钟到达，那么他开车的速度是多少？12A、B两地相距49千米，某人步行从A地出发，分三段以不同速度走完全程，共用10小时。

解方程应用题（五）1、水果店运来一批苹果，第一天卖出总数的13，第二天卖出120千克，还剩下总数的49，这批水果有多少千克？2、修一条公路，已经修了全长的25，离中点还有7千米，这条公路全长为多少千米？3、五年级两个班参加植树时共种了248棵树，A班比B班的34少18棵，两个班各种了多少棵树？4、一捆电线长68米，已经用去的比还剩下的13少8米，还剩下多少米电线？5、一个水果店运来了一批水果，第一次运走了50千克，第二次运走了70千克，还剩下这批水果的14，这批水果有多少千克？6、某工厂生产机器，六月份上半月完成计划的25，下半月完成计划的34，结果超额完成了30台，这个月实际生产了多少台？7、小明三天看一本书，第一天看了全书的14，第二天看了余下的25，第二天比第一天多看了21页，这本书共有多少页？解方程应用题（六）1、小红课外书的册数是小明的45，如果小明给小红4本，那么两人的书同样多，小红原来有多少本书?2、修一条路，已修的是未修的12，如果再修150米，就可以完成这条路的一半，这条路长多少米？3、某车间男女工人人数比是2:5，现调走10名女工，现在男女人数之比是4:9，原来车间男女各有多少人？4、六年级某班有学生45人，抽出女生人数的15参加学校合唱队排练，剩下的男女生人数相等。

男、女生各有多少人？5、光明小学上学期视力合格的人数占全校人数的7,经过矫正后，本学期又有10，本学期有多少人视力合格？120人合格，使得合格的人数占全校人数的9106、有甲乙两桶油，甲桶装油10千克，如果从乙桶倒出1给甲桶，两桶油就一样3重，问乙桶原来装油多少千克？7、小李读一本书，已读和未读页数比是1:5，若再读30页，则已读和未读页数之比是3:5，求这本书共有多少页？。

初三数学第二讲（2）分式方程应用题分类一、【行程中的应用性问题】例1 甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？ 分析：等量关系：慢车用时=快车用时+ （小时）例2 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的速度．分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等．例3 A 、B 两地相距87千米，甲骑自行车从A 地出发向B 地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B 地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A 地驶来，两人在距离B 地45千米C 处相遇，求甲乙的速度。

分析：等量关系：甲用时间=乙用时间+ （小时）6030601.电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度.2.乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城.已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/时，结果两辆车同时到达C城.求两车的速度.3．天津市奥林匹克中心体育场——“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．设骑车同学的速度为x千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表．（要求：填上适当的代数式，完成表格）（Ⅱ）列出方程（组），并求出问题的解．二、【工程类应用性问题】例1 甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。

方程〔列方程解应用题〕【知识概述】列方程解应用题的关键是设未知数，根据题意找出等量关系。

列方程解应用题的一般步骤是：1、弄清题意，找出未知数，并用X表示；2、找出应用题题中数量间的相等关系，列方程；3、解方程；4、检验，写出答案。

例题精学例1 、光明小学买2张桌子和5把椅子共付220元，每张桌子的价格是每把椅子价格的3倍，每张桌子和每把椅子各多少元？【思路点拨】根据“每张桌子的价格是每把椅子价格的3倍”，设一份数为X，也就是设每把椅子X元，每张桌子的价格是每把椅子价格的3倍，是3X元，再根据“2张桌子和5把椅子共付220元”得到：2张桌子的钱数＋5把椅子的钱数=220元，根据这个等量关系列方程解答。

同步精练1、幼儿园买来花毛巾和白毛巾各40条，共用640元，已知花毛巾单价是白毛巾单价的3倍，一条花毛巾和一条白毛巾共多少元？2、买30千克精粉和70千克小米共付人民币312元，1千克精粉的价格是1千克小米价格的2倍，买精粉和小米各用多少元？3、买10个排球和4个篮球共付510元，每个篮球比每个排球贵5元，篮球和排球的单价各是多少元？例2 、有一群鸭，在河里的只数是岸上的3倍，如果有26只上岸，那么，岸上的鸭子就与河里的鸭子一样多，这群鸭子一共多少只？【思路点拨】根据“在河里的只数是岸上的3倍”，设岸上的鸭子有X只，河里的鸭子有3X只，再根据“如果有26只上岸，那么岸上的鸭子就与河里的鸭子一样多”，得到：河里的只数－26只=岸上的只数＋26只，根据这个等量关系列方程解答。

同步精练1、甲筐有梨400个，乙筐有梨240个，现在从两筐相等数目的梨，剩下的梨数，甲筐恰好是乙筐的5倍，求两筐所剩的梨数各多少？2、六〔1〕班与六〔2〕班原有图书一样多，后来六〔1〕班又买来新书38本，六〔2〕班从原有的图书中取出72本送给一年级同学，这时六〔1〕班的图书是六〔2〕班的3倍，两班原有图书各多少本？3、有甲乙两个班，如果从甲班调8个同学到乙班，则两个班人数相等，如果从乙班调8个同学到甲班，则甲班的人数就是乙班的2倍，甲乙两班各多少人？例3 、生产一批零件，原计划10天完成，实际每天比原计划多生产42个零件，结果提前3天完成任务，这批零件有多少个？【思路点拨】这道题的等量关系不明显，细心分析一下，就发现这批零件的总个数是一定的，因此这道题的等量关系是：计划每天生产零件的个数×计划的天数=实际每天生产零件的个数×实际的天数，设计划每天生产X个，列方程解答。

七年级一元一次方程应用题专项培优1.列方程解应用题的基本步骤“审”，“设”，“列”，“解”，“验”，“答”2.几类常见的应用题题型（1）和差倍分问题，（2）行程问题，（3）工程问题，（4）数字问题，（5）利润问题，（6）分配问题，（7）方案问题。

1.审：审清题意，分析题中的已知、所求审题仔细，看到一个应用题，先读题，找出关键句子，明确等量关系。

例：食堂运来150千克大米,比运来的面粉的3倍少30千克.食堂运来面粉多少千克?已知：大米150千克，比面粉的3倍少30千克所求：面粉？千克关键句子：比面粉的3倍少30千克等量关系：大米重量=面粉重量×3－30千克注意题目中出现的关键字“的”，“倍”，“多”，“少”，“比”，等。

2.设：设未知数，一般情况求什么设什么，七年级阶段比较特殊的有工程问题。

（我们一般把工程量看做整体1，后面会讲到）例：食堂运来150千克大米,比运来的面粉的3倍少30千克.食堂运来面粉多少千克?解：设食堂运来面粉x千克，得：3.列：找出等量关系，列出方程。

例：食堂运来150千克大米,比运来的面粉的3倍少30千克.食堂运来面粉多少千克?解：设食堂运来面粉x千克，得：等量关系：大米重量=面粉重量×3－30千克列出方程：150=3x－30注意：方程中不用带单位4.解：解列出的方程，求出未知数的值。

例：食堂运来150千克大米,比运来的面粉的3倍少30千克.食堂运来面粉多少千克?解：设食堂运来面粉x千克，得：等量关系：大米重量=面粉重量×3－30千克列出方程：150=3x－30解方程，得：x=60同样，这里我们求出的未知数的值不用带单位。

七年级阶段一元一次方程应用题的求解过程都相对简单，但我们还是要熟练解一元一次方程的基本方法。

5.验：检验所求的解是否符合题意。

一般没有做具体要求，我们先检查解的合理性，再将未知数带入方程检验。

例：食堂运来150千克大米,比运来的面粉的3倍少30千克.食堂运来面粉多少千克?解：设食堂运来面粉x千克，得：等量关系：大米重量=面粉重量×3－30千克列出方程：150=3x－30解方程，得：x=60检验：1.面粉60千克符合实际，2.3×60－30=1506.答：作答，注意答题的完整性，问什么打什么。

1专项二 方程解分数应用题例1、甲乙共有人民币440元，甲的钱数的21与乙的53钱数相等，甲乙两人各有多 少钱？1、甲乙两班共有84名学生，甲班人数的85与乙班的43共有57人，求甲乙两班各有 多少人？2、甲乙两个书架，甲书架的41相当于乙书架的52，甲书架比乙书架多存书120本， 两个书架原来各有多少本书？例2、 某学校五年级共有学生152名，选出男生的111乙和5名女生参加科技小组，剩下的男女人数刚好相等。

这个年级男女各有多少名？1、两根铁丝一共长33米，第一根铁丝用去32，第二根铁丝用去12米，第二根铁 丝剩下的长度是第一根剩下长度的21。

两根铁丝原来各长多少米？2、某班有学生56人，抽出男生人数的41和女生人数的51后，还剩43人，这个班有男女各有多少人？例3、两根绳子，一根长6米，另一根长8米，把两根绳子都剪去同样长的一部分后，短的一根剩下的长度是长的一根剩下的53。

两根绳子各减掉多少米？1、有两根铁丝，一根长12米，第二根长15米，两根铁丝各剪去同样长的一段后， 短的一根剩下的长度是长的一根剩下长度的32。

两根铁丝各剪去了多少米？例4、有甲乙两堆煤，原来甲堆煤的质量是乙堆的85，如果从乙堆运22吨煤到甲堆， 那么甲堆煤的质量就是乙堆的97。

原来甲乙两堆煤各有多少吨？1、有甲乙两个粮库，原来甲粮库的质量是乙粮库的75，如果从乙粮库调12吨到甲 粮库，那么甲粮库存粮的质量就是乙粮库的54，甲乙两个库原来各存粮多少吨？2、弟弟的存钱数是姐姐的32，如果姐姐给弟弟12元，那么弟弟的存钱数就是姐姐 的43。

姐弟两人原来各存钱多少元？2例5、糖果盒中奶糖占糖果总数的83乙，后来又放入20块奶糖，这时奶糖占糖果总 数的127。

这盒糖果中现在有多少块奶糖？1、口袋里有若干个球，其中红球占了总数的125，后来又放入了8个红球，这时红 球占总数的21，现在口袋里有多少个球？2、在操场做游戏的学生中，男生人数占做游戏总人数的73，后来从教室又有11名 同学参加游戏，这时男生人数占做游戏总人数的85。

1、果园里梨树和桃树共有365棵，桃树的棵树比梨树的2倍多5棵。

果园里梨树和桃树各有多少棵？2、两地间的路程是210千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，3.5小时相遇，甲车每小时行28千米。

乙车每小时行多少千米？3、甲、乙两地相距1296千米，一列快车从甲地开往乙地每小时行72千米，一列慢车从乙地去甲地每小时行54千米。

若两车同时发车，几小时后两车相距36千米？4、一个筑路队要筑1680米长的路。

已经筑了15天，平均每天筑60米。

其余的12天筑完，平均每天筑多少米？5、学校买来6张桌子和12把椅子，共付246元，每把椅子8元。

每张桌子多少元？6、菜场运来萝卜25筐，黄瓜32筐，共重1870千克。

已知每筐萝卜重30千克，黄瓜每筐重多少千克？7、去年小明比他爸爸小28岁，今年爸爸的年龄是小明的8倍，小明今年多少岁？8、甲、乙两堆煤共100吨，如从甲堆运出10吨给乙堆，这时甲堆煤的质量正好是乙堆煤质量的3倍，求甲、乙两堆煤原来各有多少吨?9、甲仓存粮32吨，乙仓存粮57吨，以后甲仓每天存人4吨，乙仓每天存人9吨，几天后乙仓存粮是甲仓的2倍?10、两根电线同样长短，将第一根剪去6米后，第二根长是第一根的3倍，原来两根电线各长多少米?11、一批香蕉，卖掉140千克后，原来香蕉的质量正好是剩下香蕉的5倍，这批香蕉共有多少千克?5、小明去爬山，上山花了45分钟，原路下山花了30分钟，上山每分钟比下山每分钟少走9米，求下山速度．6、甲、乙分别从相距18千米的A、B两地同时同向而行，乙在前甲在后．当甲追上乙时行了1．5小时．乙车每小时行48千米，求甲车速度．提示用方程解追及问题的等量关系一般有两个：(1)追上时快车行的路程—慢车行的路程=快车追慢车的路程；(2)追上时快车行的路程=慢车行的路程+快车追慢车的路程．7、甲、乙两车同时由A地到B地，甲车每小时行30千米，乙车每小时行45千米，乙车先出发2小时后甲车才出发，两车同时到达B地．求A、B两地的距离．8、师徒俩加工同一种零件，徒弟每小时加工12个，工作了3小时后，师傅开始工作，6小时后，两人加工的零件同样多，师傅每小时加工多少个零件．9、有甲、乙两桶油，甲桶油再注入15升后，两桶油质量相等；如乙桶油再注人145升，则乙桶油的质量是甲桶油的3倍，求原来两桶油各有多少升．2.去年小明比他爸爸小28岁，今年爸爸的年龄是小明的8倍。

方程应用题公式小学一、首先是审题，确定未知数审题，理解题意。

就是全面分析已知数与已知数、已知数与未知数的关系。

特别要把牵涉到的一些概念术语弄清，如同向、相向、增加到、增加了等，并确立未知数。

即用x表示所求的数量或有关的未知量。

在小学阶段同学们遇到的应用题并不十分复杂，一般只需要直接把要求的数量设为未知数，如：“学校图书馆里科技书的本数比文艺书的2倍多47本，科技书有本，文艺书有多少本?”在这道题目中只有“文艺书的数量”不知道，所以只要设“文艺书的数量”为未知数x就可以了。

二、找寻等量关系，列举方程就是关键“含有未知数的等式称为方程”，因而“等式”是列方程必不可少的条件。

所以寻找等量关系是解题的关键。

如上题中“科技书得本数比文艺书的2倍多47本”这是理解本题题目意思的关键。

仔细审题发现“文艺书本数的2倍加上47本就是科技书的本数”故本题的等量关系为：文艺书本数的2倍+47=科技书的本数。

上题中的方程可以列为：“2x+47=”三、解方程，谋出来未知数任于解方程时应当注意把等号对齐。

如：2x+47=2x+47-47=-47 ←应当将“2x”看作一个整体。

2x= 2x÷2=÷2 x=四、检验也就是列方程求解应用题中必不可少的检验并写出答案.检验时，一是要将所求得的未知数的值代入原方程，检验方程的解是否正确;二是检查所求得的未知数的值是否符合题意，不符合题意的要舍去，保留符合题意的解.1)将求出的方程的求解代入原方程中检验。

如果左右两边成正比，表明方程解恰当了。

例如上题的检验过程为：检验：把x=代入原方程。

左边=2×+47 右边==因为左边=右边，所以x=就是方程2x+47=的求解。

2)文艺书本数的2倍+47=科技书的本数将代入以上等式，等式设立。

故所求出的未知数的值合乎题意。

一、温故知新，欲进先退学生的心智过程通常就是循序渐进和螺旋式下降的，尤其就是七年级学生刚从小学入读初中，他们的抽象思维能力比较强，只有使学生踏进形象思维的峡谷，就可以逐步培育学生擅于分析问题和科学解决问题的能力.不管就是小学数学，还是初中数学，前后知识点之间都存有千丝万缕的联系，因此，我们可以在备考小学求解应用题，然后在导入代数法解题，最后通过两者比较得出结论列方程求解应用题的优越性.二、按部就班，立竿见影列方程求解应用题就是个系统工程，通常可以从以下四个步骤实行：其一，审题.审题就是列方程的前奏曲，必须把握住不好，因此，教师必须鼓励学生认真钻研题目，认知题意，从而充份利空用未知条件，为恰当解题打牢基础.其二，分析.所谓分析，就是使学生积极主动找寻题目中的条件和结论之间的本质联系，这就是解题的关键所在.其三，答疑.学生只有在基本把握住不好题目全局的基础上，就可以写下标准的答疑过程.其四，校验.这就是学生答疑回去后重要环节，如果不展开校验，那一定程度上影响了学生解题的正确率，因此，教师一定必须不懈努力培育学生展开检验税金答案的习惯.三、巧用图标，把握关系在列方程求解应用题的过程中，选准数量关系至关重要，而在分析数量关系时可以使学生使用线段图示法、表格法等去答疑问题.四、一题多解，拓宽视野从相同角度回去观测同一事物，往往可以产生理想的结果.其实，在列方程答疑的应用题时，有些学生无法把握住题目之中的数量关系.因此教师应擅于指导学生恰当找到实事求是的数量关系，这就是答疑应用题的关键所在.(一)审：读题。

第2讲 一元二次方程的实际问题⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩根与系数的关系问题变化率问题实际问题利润问题其他问题 2.1 根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．1．（2018•绥阳县一模）如果关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣7=0的两根分别为α，β，则α2+4α+β=（ ）A ．4B ．10C ．﹣4D ．﹣10【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣7=0的两根分别为α、β， ∴α2+3α=7，α+β=﹣3，)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21ac x x =21知识网络图知识概述小试牛刀∴α2+4α+β=（α2+3α）+（α+β）=7﹣3=4．故选：A．2.（2017秋•梁子湖区期末）已知关于x的方程2x2+kx﹣2k+1=0的实根的平方和为，则k的值为（）A．3B．11C．3或﹣11D．﹣3或11【解答】解：设关于x的方程2x2+kx﹣2k+1=0的两实数根分别为x1、x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=①∵原方程两实根的平方和为，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=②∵方程有两实数根，∴△=k2﹣4×2×（﹣2k+1）≥0，∴k≥6﹣8或k≤﹣6﹣8，把①代入②得，﹣2×=，解得k1=3，k2=﹣11（舍去）．∴k=3．故选：A．再接再厉3．（2018•沂源县一模）我们已探究过一元二次方程的根与系数有如下关系：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，则x1+x2=，x1•x2=，若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+2=0的两个根，则（x1﹣2）（x2﹣2）的值等于_____．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+2=0的两个根，∴x1+x2=4，x1•x2=2，∴（x1﹣2）（x2﹣2）=x1•x2﹣2（x1+x2）+4=2﹣2×4+4=﹣2．故答案为：﹣2．4．（2018•海陵区模拟）设a，b是方程x2+x﹣2018=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为___．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2018=0的两个实数根，∴a2+a=2018，a+b=﹣1，∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2018﹣1=2017．故答案为：2017．5．（2018•齐河县二模）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2，当x12﹣x22=0时，则m的值为____．【解答】解：由两根关系，得根x1+x2=﹣（2m﹣1），x1•x2=m2，由x12﹣x22=0得（x1+x2）（x1﹣x2）=0，若x1+x2=0，即﹣（2m﹣1）=0，解得m=，∵＞，∴m=不合题意，舍去，若x1﹣x2=0，即x1=x2∴△=0，由（1）知，故当x12﹣x22=0时，m=．故答案为：．6．（2018•遂川县模拟）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x12x2+x1x22的值是_____．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，∴x1+x2=2，x1x2=﹣3，∴x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=﹣3×2=﹣6．故答案为：﹣6．2.2增长率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(1)n a x b += (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为(1)n a x b -= (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.)1．（2018•相山区三模）2017年5月14日﹣﹣﹣5月15日．“一带一路”国际合作高峰论坛在北京成功举办，高峰论坛期间及前夕，各国政府、地方、企业等达成一系列合作共识、重要举措及务实成果．中方对其中具有代表性的一些成果进行了梳理和汇总，形成高峰论坛成果清单．清单主要涵盖政策沟通、设施联通、贸易畅通、资金融通、民心相通5大类，共76大项、270多项具体成果．我市新能源产业受这一利好因素，某企业的利润逐月提高．据统计，2017年第一季度的利润为2000万元，第三季度的利润为2880万元．（1）求该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率；（2）若第四季度保持前两季度利润的平均增长率不变，该企业2017年的年利润总和能否突破1亿元？【解答】解：（1）设该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率为x ， 根据题意得：2000（1+x ）2=2880，解得：x=0.2=20%或x=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率为20%．（2）2000+2000×（1+20%）+2880+2880×（1+20%）=10736（万元）， 10736万元＞1亿元．答：该企业2017年的年利润总和突破1亿元．知识概述小试牛刀2．（2018•吉林模拟）随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【解答】解：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：10（1+x）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量为y万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．再接再厉3．（2018•霞山区一模）为落实教育部关于加快教育现代化建设步伐的要求，让学生体验“数字化学习活动”，某中学今年计划购进100台某品牌的学生平板电脑共学生上课使用．经调查，该品牌的学生平板电脑2016年单价为2500元，2018年单价为1600元．（1）求2016年到2018年该品牌学生平板电脑单价平均每年降低的百分率；（2）选购期间发现该品牌学生平板电脑在两个商场数码商店有不同的促销方案；试问学校去哪个商场购买学生平板电脑更优惠？【解答】解：（1）设2016年到2018年该品牌学生平板电脑单价平均每年降低的百分率为x，根据题意得：2500（1﹣x）2=1600，解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）．答：2016年到2018年该品牌学生平板电脑单价平均每年降低的百分率为20%．（2）∵100×≈90.91（台），∴到A商场购买91台学生平板电脑才能满足学校要求．在A商场购买需要的费用为1600×91=145600（元），在B商场购买需要的费用为1600×100×0.9=144000（元），∵145600＞144000，∴学校去B商场购买学生平板电脑更优惠．4．（2018•长沙模拟）长沙市马王堆蔬菜批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种蔬菜．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该蔬菜，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由．【解答】解（1）设平均每次下调的百分率为x．由题意，得10（1﹣x）2=6.4．解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8（不符合题意），符合题目要求的是x1=0.2=20%．答：平均每次下调的百分率是20%．（2）超市采购员方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：6.4×0.8×2000=10240（元），方案二所需费用为：6.4×2000﹣2000=10800（元）．∵10240＜10800，∴超市采购员选择方案一购买更优惠．2.3利润问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数1．（2018•连云港模拟）无锡市新区某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，调查发现日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示．（1）求日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系；（2）若该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是多少？【解答】解：（1）设日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为p=kx+b，根据题意得解得k=﹣50，b=850，知识概述小试牛刀所以日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为p=﹣50x+850；（2）根据题意得一元二次方程（x﹣5）（﹣50x+850）﹣250=1350，解得x1=9，x2=13（不合题意，舍去），∵销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，∴x=13不合题意，答：若该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是9元．2．（2018•赤壁市模拟）我市花果山蜜桔营养丰富、入口甜香．特别是农户与华中农业大学共同培育的新品种“果蜜一号”更是享誉省内外．该品种蜜桔成本价为10元/千克，已知售价不低于成本价，且物价部门规定该蜜桔的售价不高于18元/千克．市场调查发现，蜜桔每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若某蜜桔经销商想要每天获得150元的纯利润，售价应定为多少？【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），∵该函数图象过点（10，40）、（18，24），∴，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+60（10≤x≤18）．（2）根据题意得：（x﹣10）（﹣2x+60）=150，整理得：x2﹣40x+315=0，解得：x1=15，x2=25（不合题意，舍去）．答：售价应定为15元/千克．再接再厉3．（2018•洛宁县模拟）商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答：（1）当每件商品售价定为140元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？（2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元，商场日盈利可达1500元？【解答】解：（1）140﹣130=10（元），70﹣10=60（件），（140﹣120）×60=1200（元）．答：每天可销售60件商品，商场获得的日盈利是1200元．（2）设商场日盈利达到1500元时，每件商品售价为x元，则每件可盈利（x﹣120）元，每日销售量为70﹣（x﹣130）=200﹣x（件），根据题意得：（200﹣x）（x﹣120）=1500，整理，得x2﹣320x+25600=0，解得：x1=150，x2=170．答：每件商品售价为150元或170元时，商场日盈利达到1500元．4．（2018•江津区一模）江津区某玩具商城在“六一”儿童节来临之际，以49元/个的价格购进某种玩具进行销售，并预计当售价为50元/个时，每天能售出50个玩具，且在一定范围内，当每个玩具的售价平均每提高0.5元时，每天就会少售出3个玩具．（1）若玩具售价不超过60元/个，每天售出玩具总成本不高于686元，预计每个玩具售价的取值范围；（2）在实际销售中，玩具城以（1）中每个玩具的最低售价及相应的销量为基础，进一步调整了销售方案，将每个玩具的售价提高了a%，从而每天的销售量降低了2a%，当每天的销售利润为147元时，求a的值．【解答】解：（1）设每个玩具售价为x元/个，根据题意得：，解得：56≤x≤60．答：预计每个玩具售价的取值范围是56≤x≤60．（2）由（1）可知最低销售价为56元/个，对应销售量为50﹣3×=14个，根据题意得：[56（1+a%）﹣49]×14（1﹣2a%）=147，令t=a%，整理得：32t2﹣12t+1=0，解得：t1=，t2=，∴a=25或a=12.5．5．（2018•吉林模拟）水果店张阿姨以每斤4元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出150斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出30斤，为保证每天至少售出360斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是150+300x斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利450元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是150+×30=150+300x（斤）；（2）根据题意得：（6﹣4﹣x）（150+300x）=450，解得：x=或x=1，当x=时，销售量是150+300×=300＜360；当x=1时，销售量是150+300=450（斤）．∵每天至少售出360斤，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．2.4 其他问题1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).1．（2018•新昌县模拟）校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．【解答】解：（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x（32﹣2x）=126，解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y（36﹣2y）=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=（﹣18）2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，知识概述小试牛刀∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．再接再厉2．（2017秋•遵义期末）列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，设这种玩具的销售单价为x元．（1）根据销售单价每降低1元，每天可多售出2个，则现在销售数量为______个（用含有x的代数式表示）（2）当x为多少元时，厂家每天可获利润20000元？【解答】解：（1）根据题意，可得现在销售数量为160+2（480﹣x）=（1120﹣2x）个．故答案为（1120﹣2x）；（2）由题意，得：（x﹣360）[160+2（480﹣x）]=20000，整理，得：x2﹣920x+211600=0，解得：x1=x2=460，答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元．3．（2017秋•龙岗区期末）如图，在长方形ABCD中，AB=10厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以3厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D 开始向点A以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么：（1）如图1，用含t的代数式表示AP=___，AQ=____，并求出当t为何值时线段AP=AQ．（2）如图2，在不考虑点P的情况下，连接QB，问：当t为何值时△QAB的面积等于长方形面积的．【解答】解：（1）由题意得：AP=3t，DQ=2t，则AQ=6﹣2t，当AP=AQ时，3t=6﹣2t，t=1.2；故答案为：3t，6﹣2t；（2）∵，∴，得：t=1。

五年级用方程解决问题
1.小明和小丽一共有50个玩具，如果小明的玩具数量是小丽的两倍，那么小明和小丽
各有多少个玩具？
这个问题可以用一个方程来表示：
小明+ 小丽= 50
如果小明的玩具数量是小丽的两倍，那么我们可以写出方程：
2 * 小丽+ 小丽= 50
2.小红有10个苹果，如果她吃了2个苹果，那么她还剩下多少个苹果？
这个问题可以用一个简单的方程来表示：
小红的苹果数量- 小红吃掉的苹果数量= 剩下的苹果数量
我们可以写出方程：
10 - 2 = 8
3.小明和小刚一起做数学题，他们一共做了30道题。

如果小明做的题目数量是小刚的
两倍，那么小明和小刚各做了多少道题？
这个问题可以用两个方程来表示：
小明做的题目数量+ 小刚做的题目数量= 30
小明做的题目数量= 2 * 小刚做的题目数量
4.小红和小花一共有40个糖果，如果小红有10个糖果，那么小花有多少个糖果？
这个问题可以用一个简单的方程来表示：
小红的糖果数量+ 小花的糖果数量= 40
如果我们知道小红有10个糖果，那么我们可以写出方程：
10 + 小花的糖果数量= 40。

⽅程应⽤题及答案60道初⼀⼀元⼀次⽅程、初⼆分式⽅程应⽤题专题详解(超全超细)列⽅程解应⽤题，是初中数学的重要内容之⼀。

许多实际问题都归结为解⼀种⽅程或⽅程组，所以列出⽅程或⽅程组解应⽤题是数学联系实际，解决实际问题的⼀个重要⽅⾯；同时通过列⽅程解应⽤题，可以培养我们分析问题，解决问题的能⼒。

因此我们要努⼒学好这部分知识。

⼀、列⽅程解应⽤题的⼀般步骤（解题思路）（1）审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表⽰本题含义的相等关系（找出等量关系）．（2）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数．（3）列—列出⽅程：设出未知数后，表⽰出有关的含字母的式⼦，然后利⽤已找出的等量关系列出⽅程．（4）解—解⽅程：解所列的⽅程，求出未知数的值．（5）答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是⽅程的解，是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位）⼆、各类题型解法分析⼀元⼀次⽅程应⽤题归类汇集：⾏程问题，⼯程问题，和差倍分问题（⽣产、做⼯等各类问题），等积变形问题，调配问题，分配问题，配套问题，增长率问题，数字问题，⽅案设计与成本分析，古典数学，浓度问题等。

（⼀）和、差、倍、分问题——读题分析法这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。

仔细读题，找出表⽰相等关系的关键字，例如：“⼤，⼩，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套……”，利⽤这些关键字列出⽂字等式，并且据题意设出未知数，最后利⽤题⽬中的量与量的关系填⼊代数式，得到⽅程.1.倍数关系：通过关键词语“是⼏倍，增加⼏倍，增加到⼏倍，增加百分之⼏，增长率……”来体现。

2.多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不⾜、剩余……”来体现。

增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量例1．某单位今年为灾区捐款2万5千元，⽐去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？解：设去年该单位为灾区捐款x元，则2x+1000=25000 2x=24000 x=12000答：去年该单位为灾区捐款12000元.例2．旅⾏社的⼀辆汽车在第⼀次旅程中⽤去油箱⾥汽油的25%，第⼆次旅程中⽤去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油⽐两次所⽤的汽油少1公⽄，求油箱⾥原有汽油多少公⽄？解：设油箱⾥原有汽油x公⽄,则 x-[25%x+40%×(1-25%)x]+1=25%x+40%×(1-25%)x即10%x=1 x=10 答：油箱⾥原有汽油10公⽄.（⼆）等积变形问题等积变形是以形状改变⽽体积不变为前提。

不定⽅程和解不定⽅程应⽤题经典不定⽅程———研究其解法⽅程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很⼤的⼀个板块，许多题⽬都可以通过⽅程来得到答案，那么⾃然⽽然，它的解法就尤为重要了。

然⽽，我今天想为⼤家介绍的是⼀种特殊的⽅程——不定⽅程，因为它往往有多个或⽆数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定⽅程的⼀些问题。

⼀、不定⽅程是指未知数的个数多于⽅程个数的⽅程，其特点是往往有不唯⼀的解。

⼆、不定⽅程的解法 1、筛选试验法根据⽅程特点，确定满⾜⽅程整数的取值范围，对此范围内的整数⼀⼀加以试验，筛去不合理的值。

如：⽅程x ﹢y ﹢z = 100共有⼏组正整数解？解：当x = 1时y ﹢z = 99，这时共有98个解：(y ，z)为(1，98) (2，97)……(98，1)。

当x = 2时y ﹢z = 98，这时共有97个解：(y ，z)为(1，97) (2，96)……(97，1)。

……当 x = 98时，y ﹢z = 2，这时有⼀个解。

∵ 98﹢97﹢96﹢ (1)29998?= 4851 ∴⽅程x ﹢y ﹢z = 100共有4851个正整数解。

2、表格记数法如：⽅程式4x ﹢7 y =55共有哪些正整数解。

解：∴⽅程4x ﹢7 y =55的正整数解有x = 5x = 12y = 5 y = 1 3、分离系数法如：求7x ﹢2 y =38的整数解解： y =2738X -=19-3x-21x令 t=21x x =2 t则 y=22738t-=19-7t2t ＞019-7t ＞0 （t 为整）→ 275＞t ＞0 t=2，1当 t=2时， x =2×2=4 x =4y=19-7×2=5 y =5当 t=1时， x =2×1=2 x =2y=19-7×1=12 y=12第四⼗周不定⽅程专题简析：当⽅程的个数⽐⽅程中未知数的个数少时，我们就称这样的⽅程为不定⽅程。