概率统计中的几条主线

谈谈你理解的概率论与数理统计的课程架构概率论与数理统计的课程架构通常分为两个部分：概率论和数理统计。

1. 概率论部分：概率论是研究随机现象和随机事件发生的规律性的数学分支。

在概率论部分的课程中，通常包括以下内容：- 概率基本概念：样本空间、随机事件、概率等基本概念的介绍与讨论。

- 随机变量与概率分布：随机变量的定义、离散随机变量、连续随机变量、概率分布函数、概率密度函数等的讨论。

- 多维随机变量和联合分布：多维随机变量的定义、联合概率分布、边缘概率分布、条件概率分布等的介绍和推导。

- 随机变量的数字特征：数学期望、方差、协方差、相关系数等数字特征的计算和分析。

- 大数定律与中心极限定理：大数定律和中心极限定理的介绍和证明。

- 随机过程：随机过程的基本概念、马尔可夫性、平稳性等的讨论。

2. 数理统计部分：数理统计是通过利用样本数据，对总体进行推断和判断的数学分支。

在数理统计部分的课程中，通常包括以下内容：- 统计数据的收集与整理：数据的收集方法、数据的整理和汇总、数据的图表呈现等的介绍和讨论。

- 参数估计与假设检验：参数的点估计和区间估计、假设检验的基本概念、参数估计和假设检验中的方法和步骤的介绍。

- 统计推断的原理与方法：最大似然估计、贝叶斯估计、经验估计等推断方法的介绍和推导。

- 方差分析与回归分析：方差分析和回归分析的基本原理和步骤的介绍。

- 非参数统计方法：非参数统计方法的基本概念、秩次统计、分布检验等内容的讨论。

- 抽样理论：抽样方法和抽样分布的介绍与推导。

总的来说，概率论与数理统计课程架构主要涉及概率理论的基本概念和计算方法、随机变量的数字特征、随机过程、统计推断的原理和方法、以及抽样理论等内容。

通过学习这门课程，学生可以了解随机现象的规律性和统计推断的方法，为后续的实际问题分析和决策提供理论基础。

初中数学三条主线初中数学学习有三条主线。

1.代数：以有理数，整式，分式为基础！有理数对应有理数运算，科学记数法，近似值，实数（平方立方），二次根式；整式对应整式单（多）项式，整式加减乘除运算，因式分解，化简求值！整式三件套：一元一次方程（函数，不等式）；一元二次方程（函数，不等式）分式对应分式运算，化简求值，分式方程，反比例函数！2.几何：以三角形，圆为核心，穿插直线，射线，线段，平行线，坐标系，图形变换！三角形有关线段（中线，角平分线），全等（相似）三角形以及特殊三角形（等腰三角形，等边三角形，直角三角形性质）和勾股定理，三角函数（解三角形）等若干计算。

以三角形为基础衍生出平行四边形以及特殊平行四边形。

后面就是以圆压轴！3.统计概率：数据收集，处理，分析，涉及直方图，扇形图，中位数，众数，平均数，方差等！简单的概率计算，树形图！怎么学好初中数学？1.正确理解和掌握数学的一些基本概念、法则、公式、定理，把握他们之间的内在联系。

想要学好数学必须重视基础概念，必须加深对知识点的理解，然后会运用知识点解决问题，遇到问题自己学会反思及多维度的思考，最后形成自己的思路和方法。

但有很多初中学生不重视书本的概念，对某些概念一知半解，对知识点没有吃透，知识体系不完整，就会出现基础不稳，成绩飘忽不定的现象，随着时间推移，学习逐渐吃力跟不上。

2.构建完整的知识框架是解决问题的基础。

由于数学是一门知识的连贯性和逻辑性都很强的学科，正确掌握学过的每一个概念、法则、公式、定理可以为以后的学习打下良好的基础。

同时，能将所学融合贯通，温故知新，提纲挈领会提升学习能力，降低学习难度！如果在学习某一内容或解某一题时碰到了困难，那么很有可能就是因为与其有关的、以前的一些基本知识没有掌握好所造成的，因此要经常查缺补漏，找到问题并及时解决之，努力做到发现一个问题及时解决一个问题。

只有基础扎实，解决问题才能得心应手，成绩才会提高。

3.注重数学方法、思想的总结、研究和应用，培养自主学习能力和数学学习兴趣。

下面我从函数这条主线来谈一下我对新教材的教学理解：一、从数学新教材必修1看新教材的主要特点：1.教学内容的安排体现了教材层次清楚、脉络丰富在高一上学期的教学内容中，以基础打头阵，以函数为主线，把集合、函数和映射、一次函数、二次函数、指数与对数函数、幂函数、分数函数、简单不等式等内容组合到一起。

这样，就把这些基础性的工具性的内容放到了最前面，不仅有助于学生对数学语言的了解，更有助于学生数学思维的形成。

在重点引出了映射与函数的概念后，又研究了几类基本初等函数的概念、图像及性质，这种函数主线实际上体现了高等数学中运用函数思想解决实际问题的策略，这样的刻意安排把高中数学放在了更高的位置上，有利于学生数学思维的可持续发展。

2.教学要求的变化体现了让学生学习“有用的数学”的教学思想新教材在保证基础知识教学、基本技能训练、基本能力培养的前提下，对传统的高中数学删减了一些次要的、用处不大的而且学生接受起来有一定困难的内容，如指数方程、对数方程等，而幂函数大大降低了难度。

从这一变化可以看出，新教材考虑到了知识的主次和轻重，考虑到了在不影响学生认知发展的基础上，尽量减轻学生的学习负担。

二、在研究新教材的基础上，结合当今学生的特点，发挥学生的主体作用，提高中学数学教学实效1.在使用新教材的过程中，我们一定要认真研究新大纲对我们教学内容的要求，切不可被老教材的要求所束缚，仍旧采用老一套的教法，总觉得放弃原来的一些精彩内容感到可惜。

同时在新教材的教学中，我们应该要把握好新教材的深度和广度，根据学生的实际学习水平，在尊重学生的认知规律的基础上进行教学，切不可任意拔高教学要求，追求教学中的一步到位。

在教学中，我们必须要结合教学内容的教学价值，对所授内容有明确合理的定位，如对于“函数”这一内容，本来就是教学中的难点，但又是重点，如果我们在新课函数的教学阶段应用集合与映射概念由浅入深，将有利于学生对函数概念的理解，也就是说将函数的基本要素，定义域与值域用集合表示，把函数看作一个特殊的映射，这样做不仅有助于掌握函数概念也可以加深对集合与映射的理解。

概率统计中的几条主线合肥工业大学数学学院 宁荣健一、概率计算⒈事件的关系和运算⑴ 子事件(事件的包含)B A ⊂：若A 发生，则B 必然发生； ⑵ 相等事件A B =：B A ⊂且A B ⊃； ⑶ 并事件B A ：“,A B 中至少发生一个”； ⑷ 交（积）事件AB ：“,A B 都发生”； ⑸ 互不相容（互斥）事件:AB =∅；⑹ 对立事件：若A B =Ω ，且AB =∅，称B 为A 的对立事件，记为A B =． ⑺ 差事件B A -：“A 发生，而B 不发生”． ⑻ 事件的运算律①交换律：A B B A = ，AB BA =；②结合律：()()A B C A B C = ，()()AB C A BC =； ③分配律：()A B C AC BC = ，()()()AB C A C B C = ； ④摩根律：A B A B =，AB A B = ．⒉概率计算的基本公式⑴非负性：设A 为任一随机事件，则0()1P A ≤≤． ⑵规范性：()1P Ω=，()0P ∅=．⑶并事件概率计算公式：()()()()P A B P A P B P AB =+- ；()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ ．如果事件12,n A A A ,,两两互不相容，则 1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++ ．⑷差事件概率计算公式：()()()()()P A B P AB P A AB P A P AB -==-=-； 若B A ⊂，则①()()()P A B P A P B -=-； ②()()P B P A ≤． ⑸对立事件概率计算公式：()1()P A P A =-．1A 2A 3A nA 21(|)P A A 1()P A 312(|)P A A A 11(|n n P A A A -B2A ∙1A n A1()P A2()P A ()n P A 1()P B A 2()P B A ()n P B A ⒊条件概率公式、乘法公式 ⑴条件概率：()P B A ．①公式法：()(),()0()P AB P B A P A P A =>； ②代入法：改变样本空间直接计算．⑵乘法公式：()0P A >，有()()()P AB P A P B A =． 设12()0n P A A A > ，2n ≥，则12()n P A A A 12131211()(|)(|)(|)-= n n P A P A A P A A A P A A A ．适用范围：链式结构⒋全概公式、逆概公式⑴全概率公式：1,,n A A 为一完备事件组，则1()()()niii P B P A P B A ==∑．适用范围：并列结构⑵贝叶斯公式(逆概公式):1()()()()()i i i nkkk P A P B A P A B P A P B A ==∑．⒌古典概型、几何概型、贝努里概型 ⑴古典概型：()A P A =事件所含样本点的个数所有样本点的个数．掌握简单的排列组合．⑵几何概型：()A P A =Ω的几何测度的几何测度，其中几何测度分别为长度或面积．对比均匀分布．⑶贝努里概型：在n 重贝努里试验中事件A 恰好发生k 次的概率为(1)kkn kn C p p --，其中0,1,2,,k n = ，()p P A =，01p <<．对比二项分布．⒍事件的独立性⑴事件A 和B 相互独立的直观理解为事件A 和B 各自发生与否没有任何关系．并会根据实际问题判断事件A 和B 的独立性．⑵事件,A B 相互独立()()()P AB P A P B ⇔=(|)()(()0)P B A P B P A ⇔=>.⑶,,A B C 两两独立⇔()()(),()()(),()()().P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⑷,,A B C 相互独立⇔,,()()()().A B C P ABC P A P B P C ⎧⎨=⎩两两独立,⑸独立性的有关结论：①设()0P B >，则事件A 和B 相互独立的充要条件为()()P A B P A =．②设,A B 为两个随机事件，如果A 和B 相互独立，则A 和B 相互独立；A 和B 相互独立； A 和B 也相互独立．③设,A B 为两个随机事件，且0()1P B <<，则A 和B 相互独立的充要条件为()()P A B P A B =．④如果随机事件12,,,n A A A 相互独立，则12,,,n A A A 的任一部分事件（至少两个事件）也相互独立．⑤如果随机事件12,,,n A A A 相互独立，则分别将i A 不变或换成i A 后所得事件仍相互独立．例如12,,,n A A A ，12,,,n A A A 等也分别相互独立．⑥如果随机事件1212,,,,,,,m n A A A B B B 相互独立，则由12,,,m A A A 组成的随机事件与由12,,,n B B B 组成的随机事件相互独立．⒎切比雪夫不等式（估计概率） 设μ=EX，2σ=DX ，则对任意的0ε>，有22{}1P X σμεε-<≥- 或22{}P X σμεε-≥≤．⒏利用分布计算概率⑴利用分布函数计算概率：①{}()()P a X b F b F a <≤=-，000{}()(0)P X x F x F x ==--等等． ②1212{,}<≤<≤P x X x y Y y 22211211(,)(,)(,)(,)F x y F x y F x y F x y =--+． ⑵利用分布律计算概率：①{}P X L ∈=i ix Lp ∈∑． ②(,){(,)}i j ij x y DP X Y D p ∈∈=∑．⑶利用密度函数计算概率：①{}{}P a X b P a X b <≤=≤≤{}P a X b =≤<{}P a X b =<<()b af x dx =⎰．②{(,)}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰．③00{}()X Y LP X L Y y f x y dx ∈==⎰；00{}()Y X LP Y L X x f y x dy ∈==⎰．二、随机变量的分布⒈分布函数及性质⑴一维随机变量的分布函数：(){},F x P X x x =≤-∞<<+∞． ⑵一维随机变量分布函数的性质：①0()1F x ≤≤； ②()0F -∞=，()1F +∞=； ③()F x 处处单调不减； ④()F x 处处右连续． ⑶二维随机变量的分布函数：(,){,}=≤≤F x y P X x Y y ，2(,)x y R ∈． ⑷二维随机变量分布函数的性质： ①0(,)1F x y ≤≤，其中2(,)x y R ∈；②(,)1,(,)(,)(,)0F F x F y F +∞+∞=-∞=-∞=-∞-∞=； ③(,)F x y 分别为关于变量x 和y 单调不减的函数； ④(,)F x y 分别关于变量x 和y 处处右连续． ⒉分布律及性质⑴一维离散型随机变量的分布律：{}i i P X x p ==，1,2,i = ；或1212~i i x x x X p p p ⎛⎫⎪⎝⎭．⑵一维离散型随机变量分布律的性质：①0i p ≥，1,2,i = ； ②1iip=∑．⑶二维离散型随机变量的分布律：{,}i j ij P X x Y y p ===，1,2,,1,2,i j == ；或⑷二维离散型随机变量分布律的性质：①0ij p ≥，1,2,,1,2,i j == ； ②1ijijp=∑∑．⒊密度函数及性质⑴一维连续型随机变量的密度()f x ：()f x 满足()()x F x f t dt -∞=⎰，x -∞<<+∞．⑵一维连续型随机变量密度函数的性质： ①()0,(,)f x x ≥∈-∞+∞； ②()1f x dx +∞-∞=⎰．⑶二维连续型随机变量的密度(,)f x y ：(,)f x y 满足(,)(,)x yF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰，2(,)x y R ∈．⑷二维连续型随机变量密度函数的性质：①(,)0≥f x y ，2(,)x y R ∈； ②(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰．⒋常见分布及其数字特征⑴01-分布~(1,)X B p ：1{}(1)k k P X k p p -==-，0,1;,k EX p DX pq ===． ⑵二项分布(,)B n p ：{}(1),0,1,2,,,01k kn k n P X k C p p k n p -==-=<< ；,EX np DX npq ==．应用背景．．：记X 为n 重贝努利试验中A 发生的次数．．,则(,)X B n p . ⑶泊松分布()P λ：{},0,0,1,2,!kP X k e k k λλλ-==>= ，EX DX λ==.⑷均匀分布~[,]X U a b ：1,,()0,a x b f x b a ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它.()2,212b a a b EX DX -+==. ⑸指数分布()E λ：,0,()00,0.x e x f x x λλλ-⎧>=>⎨≤⎩,211,EX DX λλ==.⑹正态分布X ~),(2σμN：22()2()x f x μσ--=，x -∞<<+∞；2,EX DX μσ==.5．常见分布的性质⑴（了解）设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(,),1,2,,i i X B n p i n = ，则11~(,)nnii i i XB n p ==∑∑．特别地，设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(1,),1,2,,i X B p i n = ，则1~(,)nii XB n p =∑．反之，服从二项分布(,)B n p 的随机变量X 可以分解为n 个相互独立，且均服从(1,)B p 的随机变量12,,n X X X 之和．⑵（了解）设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(),1,2,,i i X P i n λ= ，则11~()nnii i i XP λ==∑∑．⑶（了解）设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(),1,2,,i i X E i n λ= ，则121min{,,,}~()nn i i X X X E λ=∑ ．⑷（了解）设随机变量12~[,]X U θθ，则12~[,](0)aX b U a b a b a θθ+++>；21~[,](0)aX b U a b a b a θθ+++<．⑸（了解）设二维随机变量(,)X Y 服从均匀分布，,,U aX bY V cX dY =+⎧⎨=+⎩且0ad bc -≠，则(,)U V 也服从均匀分布．⑹设随机变量2~(,)X N μσ，则22~(,)Y aX b N a b a μσ=++，其中0a ≠．特别地，~(0,1)X N μσ-．⑺设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且2~(,),1,2,,i i i X N i n μσ= ，12,,,n a a a 是不全为零的常数，则22111~(,)n n ni i i i i i i i i a X N a a μσ===∑∑∑．特别地，设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且2~(,),1,2,,i X N i n μσ= ，则211~(,)n i i X N n n σμ=∑． ⑻设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，,,U aX bY V cX dY =+⎧⎨=+⎩且0ad bc -≠，则(,)U V 也服从二维正态分布．⑼设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则X 和Y 相互独立⇔0ρ=．⒌边缘分布 ⑴离散型{}i ij jP X x p ==∑，1,2,i = ；{}j ij iP Y y p ==∑，1,2,j = ．关于X 的边缘分布律可对表中的i j p 进行纵向求和即得；关于Y 的边缘分布律可对表中的i j p 进行横向求和即得．⑵连续型()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰,x -∞<<+∞；()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰,y -∞<<+∞．()X f x 可通过在给定点x 处，),(y x f 的纵向积分（对y 从-∞到+∞积分）求得， ()Y f y 可通过在给定点y 处，),(y x f 的横向积分（对x 从-∞到+∞积分）求得．⒍条件分布 ⑴离散型1212()~i jj ij j j j j x x x p p p X Y y p p p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ；1212()~j ij i i i i i i y y y p Y X x p p p p p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． ⑵连续型(,)()()X Y Y f x y f x y f y =，x -∞<<+∞；(,)()()Y X X f x y f y x f x =，y -∞<<+∞．⒎随机变量的独立性⑴随机变量X 和Y 相互独立的直观意义是指X 和Y 的各自取值情况没有任何关系． ⑵利用分布函数：(,)()()X Y F x y F x F y =．⑶利用分布律：ij i j p p p = ，1,2,,1,2,i j == ． ⑷利用密度函数：(,)()()X Y f x y f x f y =． ⑸随机变量独立性的有关结论①设随机变量X 与Y 相互独立，则对任意实数集合12,L L ，有1212{,}{}{}P X L Y L P X L P Y L ∈∈=∈∈．②如果随机变量12(,,,)m X X X 和12(,,,)n Y Y Y 相互独立，,g h 分别为m 元连续函数和n 元连续函数，则随机变量12(,,,)m g X X X 与12(,,,)n h Y Y Y 也相互独立．特别地，设随机变量X 与Y 相互独立，(),()g x h y 是连续函数，则随机变量()g X 与()h Y 也相互独立．⒏随机变量函数的分布⑴离散型随机变量函数的分布可直接列表求得． ⑵连续型随机变量函数分布采用分布函数法①()Y g X =：先求()(){}{()}()Y X g x yF y P Y y P g X y f x dx ≤=≤=≤=⎰,②(,)Z g X Y =：先求(,)(){}{(,)}(,)Z g x y zF z P Z z P g X Y z f x y dxdy ≤=≤=≤=⎰⎰，然后对y 或z 进行讨论然后求导数.⑶熟记1max i i nM X ≤≤=和1min i i nN X ≤≤=的分布函数和密度函数公式.①若随机变量12,,,n X X X 相互独立，i X 的密度函数为()i f x ，分布函数为()i F x ，1,2,,i n = ，则M 和N 的分布函数(),()M N F x F x 和密度函数(),()M N f x f x 分别为12(){}()()()M n F x P M x F x F x F x =≤= ，()()M Mf x F x '=； ()()()12(){}1[1][1][1]N n F x P N x F x F x F x =≤=---- ，()()N Nf x F x '=． ②当12,,,n X X X 独立同分布时，()()i f x f x =，()()i F x F x =，1,2,,i n = ， 则()[()]n M F x F x =，1()[()]()n M f x n F x f x -=； ()1[1()]n N F x F x =--，1()[1()]()n N f x n F x f x -=-．⒐数字特征计算 ⑴数学期望(均值)：①一维随机变量函数的数学期望：1(),(())()().i i i g x p E g X g x f x dx ∞=+∞-∞⎧⎪=⎨⎪⎩∑⎰注: 2,()EX E X 为其特例．②二维随机变量函数的数学期望：11(,),((,))(,)(,).i j i j i j g x y p E g X Y g x y f x y dxdy ∞∞==+∞+∞-∞-∞⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩∑∑⎰⎰注: 22,(),,(),()EX E X EY E Y E XY 为其特例．⑵方差：222()()()DX E X EX E X EX =-=-．⑶协方差：ov(,)[()()]()C X Y E X EX Y EY E XY EXEY =--=-．⑷相关系数：XY ρ=．⑸数字特征的性质（见教材）． ⑹不相关：①若0XY ρ=，称X 与Y 不相关；X 与Y 不相关的直观意义指X 与Y 没有线性关系．②X 与Y 不相关ov(,)0C X Y ⇔=()D X Y DX DY ⇔±=+()E XY EXEY ⇔=．③设221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则X 与Y 的相关系数XY ρρ=．④设221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则X 和Y 相互独立⇔0ρ=⇔X 与Y 不相关．⑤如果X 与Y 相互独立，且X 与Y 的相关系数XY ρ存在，则X 与Y 不相关．反之未必．⒑中心极限定理的应用⑴设12,,n X X X 独立同分布，且2,0i i EX DX μσ==≠(1,2,)i = ，则当n 充分大（30n ≥）时，有21~(,)nii XN n n μσ=∑近似．⑵设~(,)X B n p ，则当n 充分大（30n ≥）时，~(,(1))X N np np p -近似．三、计算过程中需要分段讨论的几种类型与方法⒈已知X 的分布律，求X 的分布函数()F x ．三个特征： ⑴分1n +段；⑵每段上，将概率逐次累加（初始值为0，终值为1）； ⑶每个区间为左闭右开． ⒉已知X 的密度函数()f x （分段函数），求X 的分布函数()F x ． ⑴分1n +段；⑵每段上，将()f x 在(,]x -∞上积分；⑶由于()F x 为连续函数，故每个区间为开闭均可．⒊已知(,)X Y 的密度函数(,)f x y （分段函数），求X 的分布函数(,)F x y ． ⑴结合(,)F x y 的原理图和(,)f x y 特征图，将全平面分若干块； ⑵每块上，将(,)f x y 在区域(,](,]x y D -∞⨯-∞ 上积分． ⒋连续型随机变量函数的分布⑴一维连续型随机变量函数()Y g X =的分布函数()Y F y ：①先确定()Y g X =取值范围；例如m Y M ≤≤，其中,m M 为实数，则采用三段式讨论．②当y m <时，()0Y F y =．③当m y M <≤时，利用定积分()()()Y X g x yF y f x dx ≤=⎰计算．④当y M ≥时，()1Y F y =．⑤当m =-∞或M =+∞或其它情况时，还可能采用两段式或四段式讨论等． ⑥若Y 为连续型随机变量，则Y 的密度函数()()Y Y f y F y '=． ⑵二维连续型随机变量函数(,)Z g X Y =的分布函数()Z F z ：①确定(,)Z g X Y =的取值范围；例如m Z M ≤≤，其中,m M 为实数，则采用三段式讨论．②当z m <时，()0Z F z =．③当m z M <≤时，利用二重积分(,)()(,)Z g x y zF z f x y dxdy ≤=⎰⎰计算．④当z M ≥时，()1Z F z =．⑤当m =-∞或M =+∞或其它情况时，还可能采用两段式或四段式讨论等． ⑥若Z 为连续型随机变量，则Z 的密度函数()()Z Z f z F z '=． ⒌二维连续型随机变量(,)X Y 的边缘密度 ⑴()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰，x -∞<<+∞．①作出),(y x f 的特征图．②用垂直直线x m =和x M =将D 夹住． ③当x m <或x M >时，()0X f x =． ④当m x M ≤≤时，()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰．⑤当m =-∞或M =+∞或其它情况时，也可能采用其它方式讨论． ⑵()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰,y -∞<<+∞．①作出),(y x f 的特征图．②用水平直线y m =和y M =将D 夹住． ③当y m <或y M >时，()0Y f y =． ④当m y M ≤≤时，()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰．⑤当m =-∞或M =+∞或其它情况时，也可能采用其它方式讨论．四、数理统计的基础知识⒈总体X ，样本12(,,,) n X X X 和观察值的概念． 关注简单随机样本的独立性和代表性．⒉常用统计量：样本均值∑==n i i X n X 11，样本方差2211()1n i i S X X n ==--∑， 顺序统计量*11min i i nX X ≤≤=，*1max n i i nX X ≤≤=．⒊常见分布⑴正态分布：见概率论中的内容．⑵2χ分布：设12(,,,)n X X X 为来自总体~(0,1)X N 的一个样本，就称统计量22222121ni n i X X X X ===+++∑ χ服从自由度为n 的2χ分布，记作)(~22n χχ． ①设)(~22n χχ，则2()E n =χ，2()2D n =χ． ②设~(0,1)X N ，则22~(1)X χ．③设22~()i i n χχ，1,2i =，且2212,χχ相互独立，则2221212~()n n ++χχχ．⑶ t 分布：设随机变量~(0,1)X N ，2~()Y n χ，且X 与Y 相互独立，就称T =服从自由度为n 的t 分布，记作)(~n t T ．⑷F 分布：设随机变量)(~12n X χ，)(~22n Y χ，且X 与Y 相互独立，就称21n Y n X F =服从第一自由度为1n ，第二自由度为2n 的F 分布，记作),(~21n n F F ． ①如果~()T t n ，则2~(1,)T F n ． ②如果12~(,)F F n n ，则211~(,)F n n F． ⒋上侧分位点p x ：{},{}1p p P X x p P X x p ≥≥≤≥-．如U α，2()t n α，21()n αχ-，2121(,)Fn n α-等等（下标为该点处右侧的面积）． 注意：1U U αα-=-，1()()t n t n αα-=-，112211(,)(,)F n n F n n αα-=．⒌单正态总体2~(,)X N μσ中X 和2S 的分布（其中12(,,,) n X X X 为样本）： ⑴2~(,)X N nσμ，或nX /σμ-~)1,0(N ；⑵nS X /μ-～)1(-n t ；⑶2212()()nii Xn μχσ=-∑ ；⑷222122()(1)(1)nii XX n Sn χσσ=--=-∑ ,且X 与2S 相互独立．五、参数估计⒈点估计 ⑴矩估计：①原理：用样本矩估计理论矩．②方法：建立方程（组）11()n rr i i X E X n ==∑，1,2,r =，解出θ，得θ的矩估计 θ． ⑵最大似然估计：①原理：概率最大的事件最有可能出现．②方法：构造似然函数)(L θ=12)(,,,;n L x x x θ （似然函数体现了样本12(,,,)n X X X 出现的概率大小），求似然函数L 的最大值点，即为θ的极大使然估计 θ． ③步骤：第一步：写出似然函数)(L θ．如果连续型总体X 的密度函数为(;)f x θ，则1()(;)ni i L f x θθ==∏．如果离散型总体X 的分布律为(;)p x θ，则1()(;)ni i L p x θθ==∏． 第二步：取对数ln )(L θ，并令ln 0)(d d L θθ=，或ln 0)(iL θθ∂=∂，1,2,,i k = ，建立方程(组)．如果从中解得惟一驻点θˆ，则θˆ即为θ的最大似然估计； 第三步：如果上述方程无解，则通过单调性的讨论，在某边界点处，求出θ的最大似然估计量θˆ． ⒉估计量的评价标准⑴无偏性：如果 E θθ=，就称 θ为θ的无偏估计．主要结论有： ①如果总体X 的数学期望EX 存在，则X 是μ的无偏估计，即EX μ=． ②如果总体X 的方差DX 存在，则2S 是2σ的无偏估计，即22()E S σ=．③设估计量12ˆˆˆ,,m θθθ 均为θ的无偏估计，12,,,m c c c 为常数，且11mi i c ==∑，则1ˆmi i i c θ=∑仍为θ的无偏估计．注意：即使ˆθ为θ的无偏估计，而ˆ()g θ未必为．．．()g θ的无偏估计． ⑵（较）有效性：设21ˆ,ˆθθ均为θ的无偏估计，如果12ˆˆD D θθ<，就称1ˆθ比2ˆθ有效．⑶一致性（相合性）：设ˆθ为θ的估计量，如果对任意的0ε>，均有ˆlim {}1n P θθε→∞-<=，就称θˆ为θ的一致估计量或相合估计量． ⒊单正态总体2(,)N μσ中2,σμ的区间估计 ⑴2σ已知，μ的置信度1α-的置信区间为22X u X u αα⎛⎫-+ ⎝．⑵2σ未知，求μ的置信度为1α-的置信区间为2(X t n α⎛⎫±- ⎝． ⑶2σ的置信度为1α-的置信区间为2222122(1)(1),(1)(1)n S n S n n ααχχ-⎛⎫-- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭． 六、假设检验⒈假设检验的有关概念了解假设检验的背景，假设的提法，假设检验中的反证法思想，假设检验的基本原理，显著性检验，双侧检验和单侧检验等相关内容．⒉假设检验的两类错误⒊假设检验的四个步骤⑴根据给定的问题，建立假设检验问题01(,)H H ．⑵根据检验问题01(,)H H 及条件，选择检验统计量12(,,,)n g X X X ．当0H 为成立时，确定该统计量12(,,,)n g X X X 的分布．⑶根据显著性水平α，确定临界值和原假设0H 的拒绝域W ．⑷通过样本值12(,,,)n x x x ，计算统计量12(,,,)n g X X X 的值12(,,,)n g x x x ．若12(,,,)n g x x x W ∈，则拒绝0H ，否则接受0H ．⒋单正态总体中均值和方差的假设检验。

初中概率统计知识点梳理概率统计是数学中的一门重要分支，同时也是日常生活中经常用到的一类数学方法。

它将数学的概念与实际问题相结合，通过研究和分析随机现象，帮助我们理解和解决我们所面临的各种概率问题。

在初中阶段，学生开始接触概率统计的基础概念和方法。

以下是初中概率统计的几个重要知识点的梳理。

1. 随机事件与样本空间随机事件是在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事情。

样本空间是指所有可能发生的随机事件的集合。

学习概率统计的第一步就是要明确随机事件和样本空间的概念。

2. 事件的概率事件的概率是指某个事件在所有可能事件中发生的可能性大小。

概率的计算可以通过计数法、几何法和古典概型等不同方法来进行。

在初中阶段，我们主要使用等可能性原理和频率估计法来计算概率。

3. 事件的互斥与独立如果两个事件不能同时发生，我们称它们为互斥事件；如果一个事件的发生不会影响另一个事件的发生，我们称它们为独立事件。

学生需要学会判断事件之间的关系，并应用这些概念解决相关问题。

4. 古典概型古典概型也被称为等可能概型，是指在具有相同可能性的情况下，事件的概率可以通过变量数目和总数的关系来计算。

例如，投掷一枚均匀硬币，正反面的概率都是1/2。

5. 排列与组合排列和组合是指从给定的元素集合中，按照一定的规则选取元素的方法。

排列考虑元素的顺序，组合则不考虑元素的顺序。

学生需要学会应用排列和组合的方法解决问题，如从一组元素中选取若干个进行组合，或者确定某个元素的位置等。

6. 事件的复合与分解复合事件是由两个或多个事件构成的事件，而分解事件则是将一个事件拆分为两个或多个事件。

学生需要学会分解一个事件，将其转化为多个简单的事件来计算概率。

7. 随机变量与概率分布随机变量是指随机试验的结果，可以是一个数或一个变量。

概率分布是随机变量取各个值时的概率情况的总和。

学生需要学会分析和计算随机变量的概率分布。

8. 平均数与方差平均数是数据集的中心位置，是将所有数据加起来再除以数据的个数所得到的值。

新教材突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线。

选一条主线说你的教学理解下面我从函数这条主线来谈一下我对材的教学理解：一、从数学材必修1看材的主要特点：1.教学内容的安排体现了教材层次清楚、脉络丰富在高一上学期的教学内容中，以基础打头阵，以函数为主线，把集合、函数和映射、一次函数、二次函数、指数与对数函数、幂函数、分数函数、简单不等式等内容组合到一起。

这样，就把这些基础性的工具性的内容放到了最前面，不仅有助于学生对数学语言的了解，更有助于学生数学思维的形成。

在重点引出了映射与函数的概念后，又研究了几类基本初等函数的概念、图像及性质，这种函数主线实际上体现了高等数学中运用函数思想解决实际问题的策略，这样的刻意安排把高中数学放在了更高的位置上，有利于学生数学思维的可持续发展。

2.教学要求的变化体现了让学生研究“有用的数学”的教学思想材在保证基础知识教学、基本技能训练、基本能力培养的前提下，对传统的高中数学删减了一些次要的、用处不大的而且学生接受起来有一定困难的内容，如指数方程、对数方程等，而幂函数降低了难度。

从这一变化可以看出，材考虑到了知识的主次和轻重，考虑到了在不影响学生认知发展的基础上，尽量减轻学生的研究负担。

二、在研究材的基础上，结合当今学生的特点，发挥学生的主体作用，进步中学数学教学实效1.在使用材的过程中，我们一定要当真研究新大纲对我们教学内容的要求，切不成被老教材的要求所束缚，仍旧接纳老一套的教法，总觉得放弃原来的一些精彩内容感到可惜。

同时在材的教学中，我们应该要把握好材的深度和广度，根据学生的实际研究水平，在尊重学生的认知规律的基础上进行教学，切不成任意拔高教学要求，寻求教学中的一步到位。

在教学中，我们必须要结合教学内容的教学价值，对所授内容有明确合理的定位，如对于“函数”这一内容，本来就是教学中的难点，但又是重点，如果我们在新课函数的教学阶段应用集合与映射观点由浅入深，将有益于学生对函数观点的了解，也就是说将函数的基本要素，定义域与值域用集合透露表现，把函数看作一个特殊的映射，这样做不仅有助于掌握函数观点也可以加深对集合与映射的了解。

梳理中学数学课程中统计概率的结构脉络,分析如何培养高中生的随机思想和挖掘数据中信息的能力大足三中李永生《高中数学课程标准》在高中课程中将统计与概率的内容作为必修内容的主要原因是，统计与概率已经与人们的日常工作和社会生活密切相关了，生活已先于数学课程将统计与概率推到了学生的面前。

因此，可以说在高中数学课程中统计与概率作为必修内容是社会与生活的要求。

在以信息和技术为基础的社会里，数据日益成为一种重要的信息，并且信息量是极其丰富，所有这些信息将作为人们做出决策的重要依据和前提。

在这些信息中，很大并且是很重要的一部分是数字信息或与数字信息有关系。

为了更好地利用这些信息，人们必须学会从这些纷繁复杂的信息中找出有用的信息，利用统计分析的方法对这些无组织的信息进行分析，以抓住问题的本质，尤其很多问题是具有一定的统计规律性的，因此必须学会一些处理各种信息的方法，形成处理信息的意识与能力，进而收集、整理与分析信息的能力已经成为信息时代每一个公民基本素养的一部分。

目前，社会上的各行各业都离不开统计学。

生物学上有生物统计学，分析生物学中的统计规律性；经济学上有数量经济学，分析市场的发展趋势；产品的生产过程中会用到质量控制的有关理论与方法，这也是统计学在起作用；就连律师为了提供有力的证据也离不开统计学；在医学上，为了评估有争议的医学报告，也常常少不了利用统计学进行分析与论证；在天文学上，需要对大量的天文观测进行统计分析以获取可靠的结论。

目前，一些新兴研究领域也离不开统计与概率，比如，对策论、风险投资、随机模拟技术等。

随机现象在日常生活中大量存在，比如降雨概率、感冒指数、体育彩票、各种保险、风险与投资等等，这实际上是人们对客观世界中某些现象的一种描述，其中都涉及大量的数据。

面对这些数据，人们就要做出分析与判断。

因此，在不确定的情境中，根据大量无组织的信息做出合理的决策，将成为未来公民必备的基本素质。

从另一角度来说，随机思想实质上是揭示偶然性事件的内部规律性的，在利用随机思想解决问题的过程中将大量地用到统计的思想与方法；同时，统计决策的过程也孕伏着随机的思想。

概率统计知识点总结概率统计是研究自然界中随机现象统计规律的数学方法，叫做概率统计，又称数理统计方法。

本篇概率统计知识点总结由小编为需要此素材的朋友精心收集整理，仅供参考。

内容如下：一．算法，概率和统计1．算法初步（约12课时）（1）算法的含义、程序框图①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如，二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。

②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。

在具体问题的解决过程中（如，三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。

（2）基本算法语句经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。

（3）通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

3．概率（约8课时）（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。

（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。

（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

（4）了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（参见例3）。

（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。

2．统计（约16课时）（1）随机抽样①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。

②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。

③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。

④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。

（2）用样本估计总体①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图（参见例1），体会他们各自的特点。

高中数学《统计》与《概率》知识点高中数学的《统计》和《概率》是数学领域中的两个重要分支，它们是数据分析、预测和决策制定等实际问题中必不可少的工具。

下面将详细介绍这两个知识点。

一、统计学是研究数据收集、整理、分析和解释的学科。

统计学的主要任务是从已有的数据中得出结论，进而得到有关总体的信息。

统计学的主要内容包括：1.描述统计：通过数值特征描述数据的中心位置、离散程度等。

描述统计包括以下几个方面：(1)集中趋势：主要有均值、中位数和众数。

均值是一组数据的平均值，中位数是一组数据中处于中间位置的数值，众数是一组数据中出现频率最高的数值。

(2)离散程度：主要有极差、方差和标准差。

极差是一组数据中最大数与最小数的差值，方差是各个数据与均值的差值的平方的平均值，标准差是方差的平方根。

(3)分布形状：主要有正态分布、偏态分布和峰态分布等类型。

2.探索性数据分析：根据数据特征进行初步探索，主要包括绘制直方图、饼图、箱线图等工具来分析数据分布和异常值。

3.概率论：概率是描述随机事件发生可能性的数值，涉及到概率的计算、随机变量及其分布、大数定律和中心极限定理等概念。

(1)概率的定义与性质：概率的定义有经典概率和条件概率等。

经典概率是指在等可能的情况下，一些事件发生的概率。

条件概率是指在已知一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

(2)随机变量与概率分布：随机变量是具有随机性的数值，可分为离散随机变量和连续随机变量。

离散随机变量取有限或可数个数值，其概率分布函数称为概率分布列；连续随机变量在一些区间上取值，其概率分布函数称为概率密度函数。

(3)大数定律与中心极限定理：大数定律是指随着试验次数的增加，频率逼近概率。

中心极限定理是指多个独立随机变量之和的分布近似于正态分布。

4.统计推断：通过样本数据推断总体特征，主要有参数估计和假设检验。

(1)参数估计：根据样本数据估计总体参数，主要有点估计和区间估计。

点估计是用一个数值来估计总体参数，区间估计是用一个区间来估计总体参数，有置信水平的概念。

一、教学内容解析概率与统计是高中数学课程的四条主线之一.概率为人们从不确定性的角度认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法.本节课作为高中概率的起始课，承载着“绪论”与“预备”的双重任务.“绪论”即教材的章引言部分，主要介绍概率的研究对象.概率是各类学科中唯一一门专门研究随机现象规律性的学科.研究对象的特殊性决定了思维方法的特殊性，特别是如何看待和处理随机规律性，是其他学科中没有的.“预备知识”包括样本点、样本空间、随机事件的概念.这是概率论中最基本且重要的概念，新教材将其引入高中数学课程，使得学生能够更加准确、理性地认识随机现象.例如，当给定一个试验时，其所有可能的基本结果（样本点）构成样本空间，各种随机事件都可以看成是样本空间的子集，概率也可以看成样本空间映射到实数集的一个“集函数”.因此，本节课是在初中概率学习的基础上，进一步研究如何用数学语言准确刻画随机现象和随机事件.引入样本点、样本空间的概念，将随机事件看成样本空间的子集，是利用集合语言对试验结果进行准确描述，相当于建立随机现象的数学模型，为后续类比集合的关系与运算理解事件的关系与运算，以及类比函数的研究路径研究概率奠定了基础.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：理解样本点、样本空间和随机事件的概念，会用集合语言表示一个试验的样本空间与随机事件.二、教学目标设置本节课教学目标设置如下.（1）了解随机现象、随机试验的特征.（2）理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点、样本空间的关系.（3）能够准确、规范地写出实际情境中的样本空间、随机事件，提高抽象表征能力.达成上述教学目标的标志如下.达成目标（1）的标志：结合情境，感受到客观世界的不确定性，归纳概括出随机现象、随机试验的特征.能够举出生活中随机现象的例子，初步运用随机的观念看待周围的事物，体会随机思想.达成目标（2）的标志：经历随机现象数学化的过程，借助集合的语言和工具，抽象出样本点、样本空间的概念.结合具体实例，用集合语言表示随机事件，结合事件发生的含义建构出随机事件的概念.收稿日期：2020-12-23基金项目：山东省教育科学“十三五”规划2020年度课题——信息技术支撑下的高中数学建模教学实践研究（2020ZC044）.作者简介：邱瑶（1991—），女，中学一级教师，主要从事中学数学教学研究.“样本点、样本空间和随机事件的表达”教学设计邱摘要：按照“情境问题—实例探究—抽象表征—建立概念—刻画深构—迁移应用”的模式展开，在每个环节充分暴露学生的思维，在理解上注重升华引领，在落实上注重规范表达，在问题探究上注重过程性.关键词：有限样本空间；随机事件；抽象表征达成目标（3）的标志：能够结合树状图、列表，用适当的符号准确写出常见随机试验的样本空间.三、学生学情分析学生已有的认知基础包括初中的“概率初步”和上一章的“统计”，但是概率统计研究的是不确定性数学，其思想方法与确定性数学存在巨大差异.要想建立起科学的概率统计思维，还需要经过长期学习.本节课的样本点、样本空间、用集合定义随机事件是学生首次接触.那么，为什么要用集合语言刻画随机现象和随机事件呢？学生对此可能会有疑问.换言之，从初中描述性的概念到高中准确的数学表达，学生在理解上可能会有困难.而起始概念的建立需要扎实到位，才能有利于后续的学习.此外，面对一个实际情境，学生未必能够很好地表示出试验的样本空间、随机事件，主要表现在不知道选用什么样的符号和形式来表达样本点，这需要经过一定的训练和指导.基于以上分析，确定本节课的教学难点是：用适当的符号（如数对、数串等）表达样本点；理解随机事件是样本空间的子集.四、教学策略分析通过创设情境、直观感知、抽象概括的过程，建构概念，并进行规范的表达，具体如下.（1）结合丰富、典型的实例，加强学生对随机现象的随机性及随机性中表现出来的统计规律性的直观感知.选择贴近学生实际生活的案例和概率论中的部分经典案例，分析其中的不确定性，以及随着观测次数的增加随机现象呈现出来的规律性.（2）在抽象样本点的概念之前，先设计合适的试验（试验结果分别采用文字、字母、数字表示），让学生尝试表达试验结果.得到概念后，再次强化文字、字母、数字三种形式的相互转化.再借助例1（二维样本点）、例2（三维样本点）的训练，指导学生分析实际问题、选用恰当的符号形式，规范表达样本点、样本空间与随机事件，提高数学表征能力.（3）注重知识的内在逻辑，从“随机现象、随机试验”到“样本点、样本空间”，再到“随机事件”，都做到过渡自然、衔接连贯，搭建清晰的知识网络.按照“情境问题—实例探究—抽象表征—建立概念—刻画深构—迁移应用”的模式展开教学，设置问题串引导学生思考，让学生体会用集合语言表达随机事件更加准确、严谨、抽象，是将随机现象数学化的关键步骤，是后续研究的基础.五、教学过程设计1.呈现问题情境，体验随机现象问题1：从今天开始，我们学习“概率”，那么概率的研究对象是什么呢？我们先来看几个例子.（1）播放篮球比赛视频，让学生决策把球传给哪位球员.出示该球员的投篮命中率.引导学生认识到：一次投篮能否投中无法预知，但通过大量的统计分析可以大致估计进球的可能性.（2）展示教师早上6：30左右从家去学校的路线图，学生预测教师从家去学校的路上需要的时间.出示最近三周的统计表和直方图.引导学生发现：教师每天上班所需时间无法提前预知，但通过大量的统计分析可以发现一定的分布规律.（3）计算机模拟试验（图1）：用抽签法从全班随机抽取5名学生，谁会被抽到？如果大量重复抽取，会发现什么规律？图1（4）现场摸球试验：让学生从装有一些红球和黑球的箱子中随机摸出一个，观察摸出的球的颜色.指导学生思考：如何在不打开箱子的情况下，估计箱子中红球和黑球的比例？进行计算机模拟试验（图2）：有放回摸球多次，让学生观察规律.图2（5）计算机模拟试验（图3）：抛掷一枚骰子，会掷出几点？如果大量重复抛掷，会发现什么规律？追问1：这些现象的共同特征是什么？学生归纳概括.就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性；但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性.教师指出，这类现象叫做随机现象.追问2：你还能举出随机现象的例子吗？学生举例.教师指出，大千世界充满了随机现象，如果我们能够掌握其中的规律，就可以更好地做出选择和决策.利用数学方法研究随机现象的数量规律，就是概率的任务.【设计意图】篮球投篮和到校所需时间这两个例子是受到很多随机因素干扰的真实的生活情境，既体现出随机现象的特点，又体现出利用概率进行决策的思想.抽签、摸球和掷骰子这三个例子是概率论中的经典案例，通过计算机模拟试验及学生现场参与活动，让学生的思考更充分.再通过学生自己举例，让学生用随机的思想看待周围的事物，感受随机现象的普遍性.最后教师指出研究随机现象的必要性，揭示概率的研究内容.2.问题探究，抽象表征，形成概念问题2：如何对随机现象展开研究？学生在前面实例的基础上做出回答.有一些随机现象（如上述抽签、掷骰子的例子），每个可能结果的概率可以通过理论计算得到；而有一些随机现象（如上述篮球投篮、到校所需时间、随机摸球的例子），则需要进行大量重复试验来统计分析，从而估计每个可能结果的概率.教师给出随机试验的定义：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E 表示.追问：随机试验具有哪些特点？教师引导学生结合前面的例子，归纳出随机试验的特点：从结果上看，试验具有可知性（所有可能的结果明确可知）和随机性（事先不能确定出现哪一个结果）；从过程上看，试验具有可重复性（能够在相同条件下重复进行）.【设计意图】在上一个环节丰富实例的基础上，归纳出随机试验的特点.试验是我们探求未知世界的常用方法.问题3：我们研究随机现象，进行随机试验，自然就要观测试验的所有可能结果.那么，就应当先用某种方式对试验结果进行表示.如何表示出下列三个试验的所有可能结果？试着多用几种方式.E 1：抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上.E 2：随机选择一个有新生儿的家庭，观察婴儿的性别.E 3：抛掷一枚骰子，观察朝上一面的点数.将三个试验的所有可能结果填入下表.随机试验E 1E 2E 3试验的所有可能结果学生讨论交流.教师投影学生的表示方法，指出常用文字、字母、数字三种形式表示可能的结果.在此基础上，抽象概括出样本点、样本空间的概念：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间.一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.现阶段只研究有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn ，则称Ω={}ω1，ω2，…，ωn为有限样本空间.教师指出，利用集合的语言和工具来刻画试验的结果，引入样本点和样本空间的概念，实际上相当于建立了随机现象的数学模型，这是我们用数学方法研究随机现象的基础.追问：以上述“E3：抛掷一枚骰子，观察掷出的点数”为例，你能规范地写出试验的样本空间吗？师生共同总结、完善三种语言表达形式，规范书写格式，特别强调在用字母和数字形式表示时，要交代字母和数字的含义.例1抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.投影学生的解答过程，师生共同评析：该试验的样本点是二维的，可以用数串或数对来表示；为了保证不重不漏，可以借助树状图来帮助列举；对比三种语言表述，从文字到字母再到数字，抽象化的程度逐步提高（采用0和1表示具有更多的好处，在今后的学习中会有所体会）.教师出示例1的规范解答，师生共同总结书写格式：首先，要交代样本点的形式（如二维样本点可用数对()x，y表示）；其次，对x和y进行“赋值”，如赋值0和1，交代数字所代表的意义；最后，规范写出样本空间.【设计意图】样本点、样本空间的概念是本节课的重点，也是难点，因此设计了四个步骤来突破：尝试表示—建构概念—规范表示—强化提高.“尝试表示”的三个试验是有考量的，分别预设了文字（正面朝上，反面朝上）、字母（B表示男孩，G表示女孩）、数字（1，2，3，4，5，6）三种形式.但实际上学生不一定这样表示，重要的是让学生有一个尝试的过程，也为下一步建构概念做铺垫.因为从第一步到第二步本身也是从特殊到一般的抽象概括过程.在有了样本点、样本空间的概念之后，再回头来看刚才写的试验结果，重新进行规范的表达.最后通过例1进行强化提高.经过这四步，学生基本能够掌握样本点、样本空间的概念和表示.3.集合刻画，概念深构问题4：仍以上述“E3：抛掷一枚骰子，观察掷出的点数”为例，思考：（1）“掷出奇数点”是随机事件吗？（2）“掷出的点数为3的倍数”是随机事件吗？（3）如果用集合的形式来表示它们，如何表示？这些集合与样本空间有什么关系？（4）运用样本点、样本空间的概念，如何看待和定义随机事件？对于前两个问题，引导学生回忆初中所学随机事件的定义（在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件），那么上述两个事件显然是随机事件.对于问题（3），引导学生思考这两个事件发生的含义，进行双向互推：当“掷出奇数点”时，意味着集合{}1，3，5中的一个样本点发生；反之，若集合{}1，3，5中的一个样本点出现，则意味着事件“掷出奇数点”发生.因此，可以用集合{}1，3，5表示事件“掷出奇数点”.第二个例子同理.从而得出随机事件与样本点、样本空间的关系.在以上问题的基础上，回答问题（4）：我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当事件A中某个样本点出现时，称为事件A发生.追问：我们在学习数学概念时，往往要关注其中的特殊情形.大家思考，样本空间的子集中有哪些比较特殊？学生容易想到空集和样本空间自身.教师引导学生，只包含一个样本点的事件也是比较特殊的，结合样本点的含义，这类事件应该叫基本事件.结合初中所学，样本空间自身应该叫做必然事件，空集应该叫做不可能事件.教师引导学生利用事件发生的含义进行解释，并让学生以掷骰子为例来举出必然事件和不可能事件，直观、正确地来理解这两个概念.教师指出，必然事件和不可能事件是不具有随机性的，这里是将它们作为随机事件的两个极端情形，以方便统一处理.【设计意图】随机事件是概率研究的核心概念之一，初中所学的随机事件的概念是描述性的，而高中阶段则用集合语言进行刻画，这是本节课的重点和难点.本环节依托初中的知识基础设置问题串，分析具体实例，归纳出事件发生的含义，发现随机事件与样本点、样本空间的关系，从而重新建构随机事件的概念.在此过程中，希望学生能够体会到数学概念螺旋式上升的过程，就像当初学习函数的概念一样.最后，进一步对特殊情形进行说明.至此，就完成了随机事件的数学表达.4.模型构建，迁移应用例2如图4，一个电路中有A ，B ，C 三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.图4（1）写出试验的样本空间；（2）用集合表示下列事件：M =“恰好两个元件正常”；N =“电路是通路”；T =“电路是断路”.投影学生的解答过程，师生共同评析：面对复杂的实际情境，要先分析试验的所有可能结果，然后选择恰当的符号形式，按照规范步骤写出样本空间.例如，该题的试验结果可用三维数组表示，借助树状图可以更加直观、有序地写出所有可能结果.再分析具体的随机事件，用集合表示出来.追问：观察事件N 和事件T 的集合表示，你能发现什么？学生容易发现两个集合互为补集，教师引导：后面我们将类比集合的关系与运算研究事件的关系与运算.我们还会研究随机事件的概率，构建概率模型，最终解决实际问题.【设计意图】考查学生面对复杂的现实情境能否准确写出试验的样本空间和随机事件，巩固所学知识，总结方法.同时，借助该题的第（2）小题引出后续研究内容，大致构建本章的知识结构.5.回顾总结，提升能力以思维导图的形式，师生一起回顾本节课所学的主要内容.教师引导学生思考以下问题.（1）如何得到随机现象、随机试验的特点？（2）面对一个实际问题，如何准确写出试验的样本空间？（3）初中已经学过随机事件的概念，为何高中还要学？两者有何不同？学生总结、思考，并回答.针对问题（1），教师引导学生体会研究数学对象的一般过程：情境背景—抽象本质—建构概念—数学表示—实际应用.针对问题（2），引导学生回顾方法步骤，注意严谨表达.针对问题（3），引导学生体会集合语言的准确性、严谨性、抽象性，并让学生带着这个问题继续学习后面的概率知识，将会有更深刻的体会.【设计意图】对学习内容和学习方法进行总结、反思、升华，促进学生对本节课所学内容和方法的理解和认识.6.分层要求，拓宽视野简单介绍概率的起源与应用.布置作业：完成教材中本小节的练习题；查阅资料，了解更多概率论的起源与应用.【设计意图】介绍概率的起源和应用，主要是为了渗透数学文化，让学生体会概率应用的广泛性，增加学生对这门学科的了解，从而调动学生对概率的兴趣和重视程度.布置基础性练习作业是为了巩固学生的基础知识和基本技能.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M ］.北京：人民教育出版社，2020.。