认识函数

大一数学函数知识点总结函数，在数学中占据着非常重要的地位。

在大一的数学学习中，我们对函数的认识和理解得到了进一步的拓展和加深。

下面我将对大一数学中的函数知识点进行总结，希望对你的学习有所帮助。

一、函数的概念与性质1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，将一个集合的元素与另一个集合的元素进行对应，使得每个元素在对应下有唯一结果。

2. 自变量与因变量：函数中自变量是指可以自由取值的变量，而因变量是根据自变量的取值决定的变量。

3. 定义域与值域：函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变量的所有可能取值。

4. 函数的性质：奇偶性、单调性、周期性等。

二、常见的函数类型1. 常数函数：f(x) = c (c为常数)，图像为一条水平直线。

2. 一次函数：f(x) = kx + b (k、b为常数)，图像为一条直线。

3. 幂函数：f(x) = x^a (a为常数)，图像的形状与a的正负、大小有关。

4. 指数函数：f(x) = a^x (a>0 且a≠1)，图像呈现指数增长或指数衰减趋势。

5. 对数函数：f(x) = log_a(x) (a>0 且a≠1)，图像与指数函数对称。

三、函数的运算1. 函数的加减运算：给定两个函数f(x)和g(x)，则它们的和函数为h(x) = f(x) + g(x)，差函数为h(x) = f(x) - g(x)。

2. 函数的乘积运算：给定两个函数f(x)和g(x)，则它们的乘积函数为h(x) = f(x) * g(x)。

3. 函数的复合运算：给定两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数为h(x) = f(g(x))。

四、函数的图像与性质1. 函数的图像：通过画出函数的图像，可以更直观地了解函数的性质和变化趋势。

2. 函数的对称性：奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。

3. 函数的单调性：递增函数指的是函数随着自变量的增大，因变量也随之增大；递减函数指的是函数随着自变量的增大，因变量反而减小。

函数的基本理解教案
教案标题：函数的基本理解教案
教学目标：
1. 理解函数的基本概念和特征
2. 能够识别和描述函数的图像
3. 能够解决与函数相关的简单问题
教学重点和难点：
重点：函数的定义、图像和应用
难点：函数的符号表示和图像的理解
教学准备：
1. 教师准备：熟悉函数的基本概念和特征，准备相关教学素材和案例
2. 学生准备：提前了解函数的基本概念，准备参与课堂讨论和练习
教学过程：
一、导入
教师通过引入一个实际生活中的例子，如投掷一个物体的高度与时间的关系，引出函数的概念，并激发学生的学习兴趣。

二、讲解
1. 函数的定义：教师讲解函数的定义，即对每一个自变量都有唯一的因变量对应的关系。

2. 函数的符号表示：介绍函数的符号表示方法，如y=f(x)或者y=2x+3等。

3. 函数的图像：通过具体的案例，讲解函数图像的绘制方法和特点。

三、练习
1. 个人练习：让学生通过简单的函数表格和图像，练习识别函数和描述函数的特征。

2. 小组讨论：组织学生分组讨论一个与函数相关的问题，并展示他们的讨论结果。

四、总结
教师对本节课的重点内容进行总结，并梳理函数的基本概念和特征，强化学生的学习效果。

五、作业布置
布置相关的练习作业，巩固学生对函数的基本理解和运用。

教学反思：
教师可以通过课后作业和课堂讨论，了解学生对函数概念的理解程度，及时调整教学内容和方法，帮助学生提高函数的基本理解能力。

中班数学认识简单的函数和方程在中班数学教学中，引入简单的函数和方程的概念是培养幼儿数学思维和逻辑能力的重要一步。

通过认识函数和方程，幼儿可以逐渐培养出抽象思维和解决问题的能力。

本文将以中班数学认识简单的函数和方程为主题，介绍幼儿的学习内容和方法。

一、函数的认识函数是数学中的重要概念，幼儿可以通过简单的实例了解函数的基本概念和特点。

在中班数学教学中，可以通过日常生活中的事例来引导幼儿认识函数。

例如，老师可以给幼儿出示一组图像，图像是一个圆和一个正方形，然后问幼儿：圆的直径是多少？正方形的边长是多少？通过询问，幼儿会发现圆的直径是正方形边长的两倍。

这样，幼儿就能够了解函数的基本概念：给定一个输入（正方形的边长），会有一个具体的输出（圆的直径）。

针对中班幼儿的认知水平，老师可以选择一些简单的函数概念进行教学。

通过实物、图片等教具，让幼儿亲自操作，感受函数的特点和变化规律。

二、方程的认识方程是数学中的另一重要概念，幼儿可以通过简单的问题引导来认识方程。

以“水果问题”为例，老师可以给幼儿出示一组图像，例如一个苹果和两个橙子，然后问幼儿：苹果和橙子一共有几个？幼儿可以通过数数，得出答案是3个。

那么，可以通过方程"1+2=3" 来表示这个问题。

通过这样的引导，幼儿可以逐渐认识到方程的意义和解决问题的能力。

在教学中，老师可以设计一些简单的方程问题，让幼儿自己动手解答，并引导他们通过方程来表示问题的解决过程。

三、数学认识的延伸在给幼儿介绍简单的函数和方程的基本概念后，可以对数学认识进行更深入的延伸。

可以引导幼儿观察、比较和分析不同图像之间的关系，让幼儿发现函数和方程在不同情境下的应用。

例如，给幼儿展示一组图像，图像包括不同颜色和大小的几何形状，然后让幼儿尝试通过函数和方程来描述图像之间的关系。

通过这样的延伸学习，可以提高幼儿的观察和分析能力，培养他们解决实际问题的能力。

总结：中班数学认识简单的函数和方程是幼儿数学学习的重要一环。

浙教版数学八年级上册5.2《认识函数》教案（1）一. 教材分析《认识函数》是浙教版数学八年级上册第五章第二节的内容。

本节课主要让学生初步认识函数的概念，了解函数的性质，以及会运用函数解决一些实际问题。

教材通过引入实际例子，引导学生探究函数的定义，进而总结出函数的性质。

本节课的内容是学生进一步学习函数的重要基础，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了代数基础知识，对变量、常量、有理表达式等概念有一定的了解。

但函数的概念对学生来说比较抽象，不易理解。

因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，从他们熟悉的生活实例出发，引导学生逐步理解函数的概念和性质。

三. 教学目标1.理解函数的概念，掌握函数的性质。

2.能够运用函数解决一些实际问题。

3.培养学生的数学思维和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.函数的概念和性质。

2.运用函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过生活实例引导学生提出问题，探究函数的定义和性质，并在解决问题的过程中，培养学生的数学思维和团队合作能力。

六. 教学准备1.准备相关的生活实例和案例。

2.设计好问题引导和小组合作学习的内容。

3.准备黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例引入本节课的主题，如“汽车的油量与行驶路程之间的关系”。

引导学生观察这个实例，并提出问题：“油量与路程之间是否存在某种关系？”2.呈现（10分钟）呈现教材中关于函数的定义和性质的内容。

通过讲解和举例，让学生理解函数的概念，并掌握函数的性质。

同时，引导学生总结函数的三个要素：自变量、因变量和对应关系。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，选取一个案例，如“某商品的销售额与销售价格之间的关系”，运用函数的知识进行分析。

每组给出自己的结论，并选代表进行汇报。

4.巩固（5分钟）针对学生汇报的内容，进行点评和讲解。

有关函数的初步认识的教学教案第一章：函数的定义与性质1.1 函数的概念引入函数的概念，引导学生理解函数是一种关系，将一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的元素。

通过示例和练习，让学生掌握函数的表示方法，如解析式和图像。

1.2 函数的性质讨论函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。

利用图像和实际例子，解释函数的增减性、极值、拐点等概念。

第二章：函数的图像2.1 函数图像的基本特征引导学生理解函数图像的斜率、截距、对称性等基本特征。

通过绘制简单的函数图像，让学生观察和分析函数图像的形状和变化趋势。

2.2 函数图像的变换介绍函数图像的平移、缩放、翻转等变换方法。

通过示例和练习，让学生学会如何通过变换得到函数图像的新形状。

第三章：一次函数和二次函数3.1 一次函数引入一次函数的定义和表示方法。

讨论一次函数的图像特点，如直线斜率和截距的意义。

3.2 二次函数引入二次函数的定义和表示方法。

讨论二次函数的图像特点，如开口方向、顶点、对称轴等。

第四章：函数的计算与应用4.1 函数的计算介绍函数的求值、导数、积分等基本计算方法。

通过示例和练习，让学生掌握函数计算的基本技巧。

4.2 函数的应用讨论函数在实际问题中的应用，如最优化问题、物理问题等。

通过案例分析和练习题，让学生学会如何将函数应用于解决实际问题。

第五章：函数的进一步研究5.1 函数的极限引入函数极限的概念，讨论函数在某一点的极限值。

通过示例和练习，让学生理解函数极限的性质和计算方法。

5.2 函数的连续性引入函数连续性的概念，讨论函数在某一点的连续性。

通过示例和练习，让学生理解函数连续性的性质和判断方法。

第六章：函数的导数与微分6.1 导数的概念引入导数的定义，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

通过示例和练习，让学生掌握导数的计算方法，如极限定义法、导数的基本公式。

6.2 微分的基本概念介绍微分的概念，解释微分表示函数在某一点的变化量。

函数的概念函数是数学中非常重要的概念之一，它描述了变量之间的依赖关系，帮助我们更好地理解现实世界中的许多问题。

本篇文档将介绍函数的概念，包括函数的定义、函数关系、函数性质以及函数应用等方面。

一、函数定义函数是一个数学表达式，它描述了两个或多个变量之间的关系。

在一个函数中，每个输入值（或自变量）都对应一个输出值（或因变量）。

函数定义通常包括以下要素：1. 定义域：输入值的范围。

2. 对应关系：输入值与输出值之间的对应关系。

3. 值域：输出值的范围。

例如，函数f(x) = x^2的定义域为全体实数，对应关系是将每个自变量x映射到x^2，值域也是全体实数。

二、函数关系函数关系是指变量之间的依赖关系。

函数关系可以表现为多种形式，如线性关系、二次关系、指数关系等等。

理解函数关系对于解决实际问题非常重要，因为它可以帮助我们描述和预测变量之间的关系。

例如，在物理学中，重力加速度与距离的关系可以用二次函数来表示。

在经济学中，价格与需求量之间的关系可以用线性函数来表示。

三、函数性质函数性质是指函数本身的特征和属性。

以下是几种常见的函数性质：1. 奇偶性：如果一个函数的定义域关于原点对称，并且f(-x)=f(x)，则该函数为偶函数；如果f(-x)=-f(x)，则该函数为奇函数。

2. 单调性：如果一个函数在某区间内单调递增（或递减），则该函数在该区间内是单调的。

3. 周期性：如果存在一个正实数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数。

4. 连续性：如果在一个函数的定义域中，任意两点之间的差值都小于一个给定的正数，则该函数在该区间内是连续的。

四、函数应用函数在现实生活中有着广泛的应用。

例如，在科学研究中，函数被用来描述物理、化学等自然现象的变化规律；在工程设计中，函数被用来描述性能指标与设计参数之间的关系；在金融领域中，函数被用来描述资产价格的变化规律等等。

此外，函数还在计算机科学、社会科学等领域有着广泛的应用。

•函数的基本概念•函数的分类与运算•常见函数解析式目•函数的应用场景•函数的实际应用案例录函数的定义函数是一种数学模型，它描述了一个输入值（或多个输入值）与一个输出值（或多个输出值）之间的对应关系。

在函数中，输入值被称为自变量，输出值被称为因变量。

函数的表示方法函数对应每个输入值只有一个输出值。

单值性封闭性连续性可导性函数的定义域和值域之间存在一种封闭关系，即通过函数关系转换后的值不会超出原始值的范围。

函数在定义域内的每一点都是连续的，即函数不会突然跳跃或中断。

函数在某一点处可导，即该点的切线存在。

函数的基本性质超越函数有理函数复合函数初等函数由常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算加法减法乘法三角运算除法幂运算定义域值域复合运算规则030201定义图像性质一次函数定义图像性质图像正比例函数的图像是一条直线。

定义一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数。

性质当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。

1 2 3定义图像性质定义对数函数的图像与底数a的取值有关，不同的底数a对应不同的图像。

图像性质定义图像幂函数方程求解统计分析热学电学力学成本核算函数在成本核算中发挥着重要作用，如总成本、平均成本等。

市场需求预测函数可以帮助预测市场需求，从而制定合理的销售策略。

投资回报分析函数可以用来分析投资回报，为投资者提供参考。

函数在经济领域的应用03软件设计01算法实现02数据处理函数在计算机领域的应用利用函数解决实际问题的方法结果解释和评估模型训练和应用特征提取和选择数据探索和可视化利用函数进行数据分析数据预测和时间序列分析最优化决策和规划风险评估和风险管理机器学习和人工智能应用决策结果解释和实施利用函数进行预测与决策。

我国数学家对函数的认识1. 函数的初步认识1.1 函数的起源说起函数，那真是数学里头的一个“老大哥”。

古代数学家们在研究数的关系时，早就发现了类似于函数的东西。

那时候，还没啥“函数”这名词，但人家早就看出，数和数之间是有着千丝万缕的联系的。

咱们的祖先那是脑袋动得快，一下子就看懂了函数的“雏形”。

1.2 早期数学家的贡献在我国古代，数学家们对函数的认识并不是一蹴而就的，咱们最早的数学经典《九章算术》里就已经有了函数的影子。

不过，那会儿的数学家们用的术语和我们现在的可大相径庭。

比如说，解方程时，他们就用一些原理，咱们现在回过头来看，这不就有点像函数的味儿了吗？2. 近现代数学家的突破2.1 黎曼的贡献来到近现代，函数这块儿终于迎来了“大牛”。

德国数学家黎曼是个真正的“数学怪才”，他对函数的认识深入骨髓。

他提出了“黎曼面”的概念，打开了函数研究的新天地。

这些新的想法就像是给数学家们打开了一扇窗，让他们能看得更远、更清楚。

2.2 我国数学家的追赶我国的数学家们也不甘示弱，纷纷跟上了这股风潮。

比如，华罗庚大师就对数学函数的理论研究做出了很大的贡献。

华老先生的研究就像是给我们铺了一条通往数学“高峰”的小路，让我们在探究函数的过程中少走了很多弯路。

3. 函数的应用与未来展望3.1 函数在现代社会的应用说到函数，现代社会里可真是离不开它。

无论是计算机程序、经济模型，还是物理学的各种公式，函数都扮演着重要角色。

举个例子，咱们平时用的手机，背后好多的功能都是用函数来计算的，真是“函数无处不在”，这话一点也不夸张。

3.2 未来的无限可能未来，函数的研究还会继续深入。

科学家们就像是登山者一样，不断往上攀登，探索函数的更多奥秘。

谁知道，函数的研究会不会在未来带来更多“惊喜”呢？也许，某一天，我们会发现函数的“终极奥秘”，让数学这座大山显得更加神秘又迷人。

结语总之，函数这东西，看似简单，实则内涵丰富。

无论是古代的数学家，还是现代的科学家们，大家对函数的认识不断深入。

用实际问题认识小学数学中的函数数学是一门抽象而又实用的学科，而函数则是数学中的一个重要概念。

对于小学生来说，如何通过实际问题来认识和理解函数是一项重要的任务。

本文将介绍一些实际问题，并通过这些问题来帮助小学生更好地理解函数的概念和运用。

1. 问题一：小华买苹果小华去水果店买了一些苹果，她发现每个苹果的价格都是相同的，那么小华花了一共多少钱呢？解析：在这个问题中，我们可以将苹果的价格看作是一个固定的值，例如每个苹果的价格是2元。

我们可以用变量x来表示苹果的数量，用函数y(x)来表示花费的总金额。

那么函数y(x)可以表示为y(x) = 2x，其中2是苹果的价格，x是苹果的数量。

通过这个函数，我们可以计算出小华购买苹果的总花费。

2. 问题二：小明的奖金小明的妈妈奖励他每天完成作业的情况，如果小明完成了1篇作业，奖励5元；如果完成了2篇作业，奖励9元；如果完成了3篇作业，奖励13元。

小明完成了5篇作业，他能获得多少奖金？解析：这个问题可以用函数来表示小明获得的奖金。

设小明完成作业的数量为x，奖励的金额为y(x)。

我们可以列出几组已知数据，然后通过观察找到规律。

根据题目的描述，我们可以知道当x=1时，y(x)=5；x=2时，y(x)=9；x=3时，y(x)=13。

通过观察这些数据，我们可以得到一个函数表达式y(x) = 4x + 1，其中x表示完成作业的数量，y(x)表示奖励的金额。

通过这个函数，我们可以计算出小明获得的奖金。

3. 问题三：小红的身高小红每年的生日时，她的妈妈会记录下她的身高。

下表是小红从4岁到10岁期间的身高记录。

年龄（岁） 4 5 6 7 8 9 10身高（厘米） 105 112 119 126 133 140 147解析：我们可以将小红的年龄看作是自变量x，她的身高看作是因变量y。

通过观察表格中的数据，我们可以发现小红的身高随年龄的增长呈现了一个规律。

我们可以用函数y(x)来表示小红的身高，通过观察数据可以发现，小红的身高与年龄之间存在着线性关系。

认识函数教案通用1篇认识函数教案 1函数的初步认识教学目标：1、通过实例，了解函数的概念．（重难点）2、了解函数的三种表示法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．3、理解函数值的概念，并会在简单情况下，根据函数的表示式求函数的值．教学过程：一、课前准备小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元／时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为t时，应得报酬为y元，填写下表：工作时间t（时） 1 5 10 15 20 。

报酬y（元）然后回答下列问题：（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（2）能用x的代数式来表示y的值吗？二、课上探究1、自主学习（1）自学课本P116并回答：______函数，__叫做自变量．例如，上面的问题中，__是__的函数，__是自变量；（2）函数的表示法①解析法：问题中，y =16x，这种表示函数关系的'等式，叫做函数解析式，简称函数式．用函数解析式表示函数的方法也叫解析法．②列表法：有时把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表．这种表示函数关系的方法是列表法．如下表表示的是一年内某城市月份与平均气温的函数关系．月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均气温（℃） 3.8 5.19.3 15.4 20.2 24.3 28.6 28.0 23.3 17.1 12.2 6.3 ③图象法: 我们还可以用图象法来表示函数，例如课本P113图5-5表示的是温度T关于时间t的函数关系．解析法、图象法和列表法是函数的三种常用的表示方法．（3）函数值概念____叫做函数值，它与__的取值有关，通常函数值随着__的变化而变化．若函数用解析法表示，____就能得到相应的函数值．若函数用列表法表示．____就能得到相应的函数值．若函数用图象法表示．____就能得到相应的函数值．2、合作探究（1）什么叫函数，你能从生活中举出几个函数的例子吗？（2）你是如何理解函数的值与代数式的值的？3、有效训练（1）课本P117练习1、2、3 （2）等腰△ABC的周长为20，底边BC长为x，腰AB长为y，求：①y关于x的函数解析式；②当腰长AB=7时，底边的长；③当x=11和x=4时，函数值是多少？三、课后延伸：必做题：1、某城市共有绿化面积108m2，这个城市人均占有绿化面积y(m2)与人数a的函数关系是__________· 2．地面气温是25℃，如果每升高1千米，气温下降5℃．则气温t℃与高度h千米的函数关系式是________，其中自变量是___________。

有关函数的初步认识的教学教案第一章：函数的概念1.1 函数的定义教学目标：让学生理解函数的定义，并能正确表达函数的概念。

教学内容：介绍函数的定义，解释函数的概念。

教学方法：通过举例、讲解、讨论等方式，让学生理解函数的定义。

教学步骤：(1) 引入函数的概念，让学生思考日常生活中遇到的函数例子。

(2) 给出函数的定义，解释函数的概念。

(3) 通过举例说明函数的特性，让学生理解函数的定义。

(4) 让学生进行练习，巩固对函数概念的理解。

1.2 函数的表示方法教学目标：让学生掌握函数的表示方法，并能正确绘制函数图像。

教学内容：介绍函数的图像表示方法，讲解函数图像的特点。

教学方法：通过讲解、绘制函数图像、讨论等方式，让学生掌握函数的表示方法。

教学步骤：(1) 介绍函数的图像表示方法，讲解函数图像的特点。

(2) 让学生绘制一些简单的函数图像，加深对函数图像的理解。

(3) 通过讨论，让学生理解函数图像与函数性质之间的关系。

(4) 让学生进行练习，巩固对函数图像表示方法的理解。

第二章：函数的性质2.1 函数的单调性教学目标：让学生理解函数的单调性，并能判断函数的单调区间。

教学内容：介绍函数的单调性概念，讲解函数单调性的判断方法。

教学方法：通过举例、讲解、讨论等方式，让学生理解函数的单调性。

教学步骤：(1) 引入函数的单调性概念，让学生思考日常生活中遇到的单调函数例子。

(2) 给出函数单调性的定义，讲解函数单调性的判断方法。

(3) 通过举例说明函数的单调性，让学生理解函数的单调性。

(4) 让学生进行练习，巩固对函数单调性的理解。

2.2 函数的奇偶性教学目标：让学生理解函数的奇偶性，并能判断函数的奇偶性。

教学内容：介绍函数的奇偶性概念，讲解函数奇偶性的判断方法。

教学方法：通过举例、讲解、讨论等方式，让学生理解函数的奇偶性。

教学步骤：(1) 引入函数的奇偶性概念，让学生思考日常生活中遇到的奇偶函数例子。

(2) 给出函数奇偶性的定义，讲解函数奇偶性的判断方法。

认识函数数学教案
标题：认识函数数学教案
一、教学目标
1. 学生能够理解函数的基本概念。

2. 学生能够掌握函数的表示方法。

3. 学生能够解决与函数有关的问题。

二、教学重点和难点
1. 教学重点：函数的概念和表示方法。

2. 教学难点：理解和应用函数的概念。

三、教学过程
1. 导入新课：
通过实际生活中的例子引入函数的概念，如身高与年龄的关系，距离与时间的关系等。

2. 讲授新课：
（1）定义函数：讲解什么是函数，函数的输入和输出，以及函数的基本性质。

（2）函数的表示方法：介绍如何用图像、表格和解析式表示函数。

（3）函数的应用：通过实例让学生了解函数在现实生活中的应用。

3. 练习与实践：
设计一些练习题，让学生自己动手解题，以此检验他们对函数的理解程度。

4. 小结：
总结本节课的主要内容，强调关键知识点。

5. 布置作业：
设计一些相关的作业，让学生在课后继续巩固所学知识。

四、教学反思
对本节课的教学效果进行反思，分析学生的学习情况，为下一次教学提供参考。

特殊函数初步认识和应用一、指数函数1.定义：形如f(x) = a^x（a > 0 且a ≠ 1）的函数称为指数函数。

a)指数函数是单调函数；b)当a > 1时，指数函数是增函数；c)当0 < a < 1时，指数函数是减函数；d)指数函数的图像过（0，1）点。

二、对数函数1.定义：形如f(x) = log_a(x)（a > 0 且a ≠ 1）的函数称为对数函数。

a)对数函数是单调函数；b)当a > 1时，对数函数是增函数；c)当0 < a < 1时，对数函数是减函数；d)对数函数的图像过（1，0）点。

三、三角函数1.正弦函数：f(x) = sin(x)2.余弦函数：f(x) = cos(x)3.正切函数：f(x) = tan(x)a)三角函数是周期函数；b)三角函数具有奇偶性；c)三角函数的图像具有一定的对称性。

四、反三角函数1.反正弦函数：f(x) = arcsin(x)2.反余弦函数：f(x) = arccos(x)3.反正切函数：f(x) = arctan(x)a)反三角函数是单调函数；b)反三角函数的定义域和值域有限。

五、双曲函数1.双曲正弦函数：f(x) = sinh(x)2.双曲余弦函数：f(x) = cosh(x)3.双曲正切函数：f(x) = tanh(x)a)双曲函数是单调函数；b)双曲函数的图像具有一定的对称性。

六、反双曲函数1.反双曲正弦函数：f(x) = arcsinh(x)2.反双曲余弦函数：f(x) = arccosh(x)3.反双曲正切函数：f(x) = arctanh(x)a)反双曲函数是单调函数；b)反双曲函数的定义域和值域有限。

七、函数的应用1.函数图像的变换：平移、缩放、翻折等；2.函数解析式的求解：换元法、不等式法、方程法等；3.函数的性质分析：单调性、奇偶性、周期性等；4.函数的实际应用：物理、化学、经济学等领域。

函数Ⅰ教学要求1. 理解函数的概念.2. 理解函数的三种表示法.3. 理解函数的单调性.4. 理解函数的奇偶性.5. 了解函数的实际应用举例.Ⅱ教材分析本章内容介绍现实世界中许多量之间有依赖关系，一个量变化时另一个量也随之变化. 函数是研究变量之间确定性依赖关系的数学模型，是数学中最基本的概念之一.教材的编写从中职学生实际出发，使用与集合相对应的语言刻画函数概念，使学生认识到函数是描述客观世界中变量间依赖关系的数学模型.列举了大量的实例，使学生建立起函数的概念，进而强化对函数符号意义的理解.函数的图像是数形结合的基础，要让学生理解函数的图像的意义. 教材充分利用函数图像，让学生通过观察图像获得对函数基本性质的直观认识，这样处理充分体现了数形结合的思想.本章在引进函数的概念后，介绍了函数的三种不同表示方法：列表法、解析法和图像法，使学生对函数这一抽象概念有更深刻的理解和认识.本章出现了较多的概念和数学符号，内容较为抽象，需从实际问题出发，从实例入手，从具体问题抽象出数学概念，体现数学与生活实际的密切联系，提升学生的学习兴趣.学好本章的关键是：深刻理解函数的概念和函数图像的意义. 除此之外，对于刚刚入第3章函数校的中职生，在教学中，要做好与初中知识的衔接. 主要注意以下几个方面：(1) 加强概念的教学．引入概念应注意从学生熟悉的事物入手．教师每讲授一个新概念时，要给学生提供能反映概念本质属性的素材，使学生在获得一定的感性认识的基础上，通过观察、比较、归纳提高到理性认识，以形成完整的概念．对容易混淆的概念，适当采用对比的方法，使学生从正误两种例子中加深对概念的理解．(2) 温故而知新．在引进和运用新知识时，尽量复习已学过的知识，使已学过的知识得到不断的重现而加以巩固；要有意识地应用集合和命题的符号和术语；对于有关条件和结论，要经常注意提到是不是充分条件或必要条件；注意复习函数的定义域与不等式的解法等．(3) 注意数形结合．用数形结合的方法分析研究和解决一个问题．对中职学生具有特殊的重要意义．分析函数性质时作出简图，便于增强学生对函数直观的感知：观察图像的性态，用分析的方法研究函数的性质，使直观的感知上升到理性的认识．例如，对函数的单调性和奇偶性，要尽可能地画出简图．本章教学重点1. 函数的概念.2. 函数的图像和性质.3. 函数的应用.本章教学难点1. 函数的概念.2. 函数的实际应用.本章学时安排如下（仅供参考）3.1 函数的概念约2学时3.2 函数的三种表示法约2学时3.3 函数的性质约4学时3.4 函数的实际应用举例约2学时本章小结与复习约2学时数学（基础模块）上册教学参考书III 教学建议和习题答案3.1 函数的概念1. 引入函数的概念通常有两种方法，一种方法是借助映射的定义，另一种方法是通过实例分析，体会集合与集合间的对应关系，这种关系即为函数.教材采用了后一种方法，从背景实例入手，在体会两个变量之间依赖关系的基础上，引导学生运用与集合对应的语言刻画函数的概念，使得函数的引入简单明了.2. 函数的三要素为自变量，因变量和对应关系，三者缺一不可.理解在某个区间上定义的函数与函数在区间具体点上的取值的区别.两个函数相等，不但要对应关系相同，定义域也要相同.3. 对于函数定义，我们应注意以下几点：(1)函数是指自变量到因变量的对应关系．(2) 一个函数包括两个要素：定义域和对应法则，值域被对应法则和定义域所完全确定．(3) 自变量的一个值唯一对应因变量的一个值．如果一个自变量与两个以上的数对应，那么这种关系就不叫做函数关系；但几个自变量同时对应一个因变量是符合函数定义的．(4) 在定义中，我们用f表示函数，其实还可换用其他字母表示，如g、ϕ等．同样．自变量x也可换用其他字母表示，如t、k等．分别以x、t、k为自变量的三个函数,55==,=，sky5tvx如果它们的定义域相同，则它们表示的是同一函数关系:“一个数的5倍”．(5) 我们用字母“f ”，“ϕ”表示函数(对应法则)，f(x)表示f在x的值．这种讲法说成对定义域内每一数a，)(af表示自变量在ax=时的值是一致的．符号f(x)又常常用来表示函数式．(6) 在初中，把因变量看作自变量的函数，现在我们又把函数看成一种法则或关系．前者虽然把因变量当作函数，但在定义中，仍然使用了对应与映射的观点，这与后者定义的函数，在本质上已比较接近．由于说惯了“y是x的函数”，引入新定义后，这种说法仍然保留．“y是x的函数”，“函数y=(x)”，“函数f(x)”等说法，都是允许的．第3章 函数课堂练习答案1.（1）是；（2）是； (3) 不是；（4）是.2.（1）{|0}x x ≥；（2）{|5}x x ≠-；（3）{|}x x ∈R ；（4）[0,2)(2,)+∞.3.(0)2f =-; 5(1)3f =-; 4(2)3f =-; 221()23f x x =-; 15(1)33f x x +=-. 习题3.1答案1.（1）是；（2）不是.2.（1）{|5}x x ≠；（2）{|33}x x x ≤-≥或；（3）3{|7}2x x ≤≤； （4）{|11}x x -≤<.3.（1）{5,11,17}； （2）[3, )+∞.4.（1）(,2](2,)-∞-+∞；（2）()5f -=1117,(-2)=8,(3) ,(10) 310f f f --==. 3.2 函数的三种表示法1. 函数的概念包含三个要素：定义域、值域和对应法则.目前中职阶段，值域通常取数学（基础模块）上册教学参考书为实数集，因此表示一个函数就要指明它的定义域和对应法则.2. 当函数f(x)的定义域A 是有限集时，可以用一张表格来表示函数，第一行写出A 的各个元素，第二行写出相应的函数值，这种表示函数的方法叫做列表法.3. 当f(x)的定义域A 是无限集或有限集时，通常要寻找一个或几个式子来表示对应法则，即用一个或几个等式来表示函数，这一个或几个等式叫做这个函数的解析表达式，简称为解析式.4. 在用解析法表示定义域为数集的函数时，如果没有标明定义域，那么我们约定：函数)(x f 的定义域是指所有使解析式有意义的实数x 组成的集合，不再每次声明.此外要注意，在实际问题中，还必须结合问题的实际意义来确定自变量x 的取值范围.5. 用平面直角坐标系里的图像表示两个变量之间的函数关系的方法称为图像法.用图像法表示函数的最大优点是直观，因为函数的图像是数形结合的基础. 为此首先要把什么是函数的图像搞清楚.教材中给函数的图像下了一个定义：设)(x f 是定义域为A 的一个函数，任取A ∈a ，在平面直角坐标系Oxy 里，描出坐标为M a f a 的点))(,(.当a 取遍A 的所有元素时，坐标为))(,(a f a 的点构成的图像，称为函数)(x f 的图像.从这个定义可以得出：点)(,)(),(a f b A a x f b a M =∈⇔且的图像上在.即，点)(),(x f b a M 在的图像上当且仅当它的横坐标a 属于定义域，纵坐标b 等于a 处的函数值.这个结论十分重要，它是利用函数的图像研究函数性质的基础.课堂练习答案1. 15, {|, 100}y x x x x =∈≤N .2.第3章函数习题3.2答案1. 列表法表示为：解析法表示为：=∈；2, {1,2,3,4}y x x图像法表示为：该函数的值域为{2,4,6,8}.2.（1）(2)数学（基础模块）上册教学参考书(3) (4)f x的图像上.3. M点和Q点均不在()3.3 函数的性质f x在区间上是增函数还是减函数，可使用图像法进行判别，它具有直观易1. 函数()f x的单调性，去用一条光滑的曲线联结描懂的优点，但是要注意：我们不能默认函数()f x的单调性，在画基本初等函数在出的各点，然后又让学生从这样画出的图像去判断()某个区间上的图像时，往往是要先用定义证明函数的单调性，然后才能用一条光滑曲线联结描出的各点，得到该函数在某个区间上的图像，之后利用对称性等画出该函数在另第3章 函数一个区间上的图像，这样对于该函数在另一个区间上的单调性就可以从图像来判断了.2. 对于任意的一次函数)0(≠+=k b kx y 的单调性，自然应当用定义法去判断. 先统一写出)()(21x f x f -的表达式，然后分k ＞0和k ＜0两种情形判断)()(21x f x f -的正负. 教材的例2给出了使用定义法判断一个二次函数在某个区间上的单调性的求解过程.3. 本教材在阐述奇函数和偶函数的定义上有创新.抓住讨论函数奇偶性的实质是研究函数图像对称性这一事实，先让学生观察常见的两 个函数的图像的对称性，再填表研究互为相反数的x 值对应的函数值的特点.由此引出了偶函数和奇函数的定义，并且定义也说明了偶函数和奇函数的图像关于原点对称，起了一箭双雕的作用.我们这种讲法阐明了为什么要引进奇函数和偶函数的概念，而且简捷地证明了奇函数和偶函数的图像的对称性.4. 在教学中应结合图形给学生讲解“点),(b a P 关于y 轴的对称点Q 的坐标是),(b a -，关于原点的对称点M 的坐标是(,)a b --”这两个结论. 它们在探索)(x f 的图像的对称性时极为有用.5. 判断函数的单调性和奇偶性均有2种方法：图像法和定义法.对于不同的问题应选择合适的方法进行判断，教材中的“思考时刻”提到了关于奇偶性的图像判断法，这里，教师应加以说明.6. 教材中“思考时刻”答案：正比例函数()(0)f x kx k =≠是奇函数；反比例函数()(0)k f x k x=≠是奇函数. 课堂练习3.3.1答案1. 在(,1]-∞-上单调递减，在(1,1]-上单调递增，在(1,3]上单调递减，在(3,]+∞上单调递增.2. 减函数.3. 单调递增.4. 证明：设120x x <<<+∞，则211212125()55()()0x x f x f x x x x x --=-=>⋅，数学（基础模块）上册教学参考书故函数5()0+f x x=∞在（，）上是减函数. 5. 证明：令123x x ≤<<+∞，则2212121212111()()(3)(3)()[()2]333f x f x x x x x x x -=--+-=--++ 又120x x -<，126x x +>，所以，12()()0f x f x ->，即()f x =21(3)53x --+在[3,)+∞上为减函数. 课堂练习3.3.2答案（1）奇函数；（2）非奇非偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）偶函数.习题3.3答案1.（1）图略，在(,)-∞+∞上单调递减；（2）图略，在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递增；（3）图略，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；（4）图略，在(,)-∞+∞上单调递增.2.（1）奇函数；（2）非奇非偶函数；（3）偶函数；（4）非奇非偶函数.3. (5)3f -=-.4. (1)(3)f f -<.5. 证明：令6z x =-，则2()2(6)5f x x =-+可以写成2()25f z z =+.易知()f z 为偶函数，且在0z ≤时为减函数，故原函数()f x 在(,6]-∞上为减函数.第3章 函数3.4 函数的实际应用举例1. 对于实际问题，通过观察和收集数据，研究变量之间的依赖关系，建立一个函数模型，然后利用已知数据，求出函数的解析式. 有了解析式，就可以深入研究这个函数的性质（例如，最大值或最小值等），也可以利用解析式作出预测.本节就是想让学生了解如何从实际问题建立函数模型，求出函数的解析式，利用解析式作预测，以及利用解析式研究函数的最大值或最小值.2. 教材中例1讨论了奥运会早期的撑杆跳高纪录与时间的关系. 从1900年，1904年，1908年这三届奥运会的撑杆跳高纪录来看，每一届比上一届的纪录提高了0.20米，这是均匀变化，因此试着建立一次函数的模型. 用待定系数法求出一次函数的解析式后，用这个解析式预测1912年奥运会的撑杆跳高纪录是准确的，但是预测1988年奥运会撑杆跳高却与实际纪录相差太大. 我们在教材中指出，用所建立的函数模型，在已知数据邻近处作预测，结果是与实际情况比较吻合的；远离已知数据作预测是不可靠的. 这个观点应当让学生知道，这样在用数学知识解决实际问题时才不会出差错.此外，我们在教材中还指出，光看三届奥运会纪录是远远不够的，需要有足够多届的奥运会纪录才有可能研究撑杆跳高纪录与时间的关系.这也是告诉学生如何正确运用数学知识解决实际生活中的问题，不能仅凭少数几次的数据就作出结论.3. 教材中的其他两个例子都是利用一元二次函数的知识解决最大值问题，其步骤是：首先求出函数的解析式，然后利用配方法求出二次函数在x 取何值时达到最大（或最小）值，并且要检查x 所取的值是否在实际问题允许的范围内.课堂练习答案当矩形的长和宽都为8cm 时，矩形的面积最大，最大面积为64cm 2.习题3.4答案1. ()60f x x =，(5)300f =.2. 1()504f x x =-+.数学（基础模块）上册教学参考书- 34 - 3. 0v t g =时达到最大高度，在空中运行02v t g=着地. 4. 当产量100=x 时（满足0＜x ＜200），有最大利润,最大利润为9 900元.Ⅳ 复习题3答案A 组1. 6-.2. 2()2f x x x -=-.3.(1)31, (2)28, (6)30f f f ===.4.（1）(1)4, (3)2f f ==-；（2）(1)4, (2)7, (2)19f f f =-=--=-.5.（1）7{|}5x x ≠-； （2）{|5, 5}x x x ≤-≥；（3）{|25}x x -<≤；（4）1{|, 3}2x x x ≤-≥.6.（1）奇函数； （2）偶函数；（3）偶函数； （4）非奇非偶函数；（5）非奇非偶函数； （6）偶函数.7. 由定义容易证明，略.8. 证明：令120x x <<，则 121222()()0f x f x x x -=->， 故()f x 在区间(,0)-∞上是减函数.9. 设里程数为x ,票价为f(x),则函数解析式为第3章 函数- 35 - 205;3510;()41015;51519.x x f x x x <≤⎧⎪<≤⎪=⎨<≤⎪⎪<≤⎩10.售价应定为14元，此时获得最大利润为360元.B 组1. 证明：令120x x <<，则12()()f x f x >，且有210x x <-<-，由于()f x 为奇函数，有2121()()()()0f x f x f x f x ---=-+>故()f x 在(0,)+∞上为减函数.2.（1）方案1获得利润240 000元；方案2获得利润432 000元；（2）采用方案3可获得最大利润.当转让服装数量为1 100套时，利润最大，最大利润为432 500元.。