1.1集合及其不等式

高一关于集合和不等式的知识点1集合的分类2集合的运算①子集，真子集，非空子集;②A∩B={x|x∈A且x∈B}③A∪B={x|x∈A或x∈B}④A={x|x∈S且xA}，其中AS.2、不等式的解法1含有绝对值的不等式的解法①|x|0-a|x|;aa;0x;a，或x;-a.②|fx||fx|;gxfx;gx或fx;-gx。

③|fx|;|gx|[fx]2;[gx]2[fx+gx]?[fx-gx];0.④对于含有两个或两个以上的绝对值符号的绝对值不等式，利用“零点分段讨论法”去绝对值。

如解不等式：|x+3|-|2x-1|;3x+2.3、简易逻辑知识逻辑联结词"或”、“且”、“非”是判断简单合题与复合命题的依据;真值表是由简单命题和真假判断复合命题真假的依据，理解好四种命题的关系，对判断命题的真假有很大帮助;掌握好反证法证明问题的步骤。

2复合命题的真值表非p形式复合命题的真假可以用下表表示。

p非p真假假真p且q形式复合命题的真假可以用下表表示。

p或q形式复合命题的真假可以用下表表示。

3四种命题及其相互之间的关系一个命题与它的逆否命题是等价的。

4充分、必要条件的判定①若pq且qp，则p是q的充分不必要条件;②若pq且qp，则p是q的必要不充分条件;③若pq且qp，则p是q的充要条件;④若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件。

反三角函数的定义：1反正弦：在闭区间上符合条件sinx=a-1≤a≤1的角x，叫做实数a的反正弦，记作arcsina，即x=arcsina，其中x∈，且a=sinx;注意arcsina表示一个角，这个角的正弦值为a，且这个角在内-1≤a≤1。

2反余弦：在闭区间上，符合条件cosx=a-1≤a≤1的角x，叫做实数a的反余弦，记作arccosa，即x=arccosa，其中x∈[0，π]，且a=cosx。

3反正切：在开区间内，符合条件tanx=aa为实数的角x，叫做实数a的反正切，记做arctana，即x=arctana，其中x∈，且a=tanx。

第一章集合和不等式的解法第一节集合的含义与表示例1已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,a c 2},若A=B,求实数c 的值。

例2用适当的方法表示集合(1) x 2=9的解集；(2) 不等式2x+1>5的解集；(3) 方程组解集{x +y =2x −y =4; (4) {x ｜y=√4−2x };(5) {y ｜y=√4−2x }.例3已知集合A={x ｜m x 2-3x+2=0},若A 中至多一个元素，求实数m 的取值范围。

第二节集合间的基本关系例1已知集合A={x ｜x=2n,n ϵz},B={x ｜x=4n,n ϵz },则A 与B 的关系是____________例2已知集合A={0，1},B={x ｜x ϵA },C={x ｜x ⊆A},则A,B,C 的关系是________________________ 例3已知{1,2}⊆A ⊆{1,2,3,4,5},满足条件的集合A 的个数是___________________ 例4M={1，2，3，4，5，6，7},N ≠Ø,N ⊆M,若a ∈N,则8-a ϵN,则满足条件的集合N 的个数为_______________ 例5已知A={x ｜x 2−2x −3=0},B={x ｜ax-1=0},若B ⊆A,求a 的值。

第三节集合的基本运算已知A={x ｜x ≤5},B={x ｜x>2a-1},若A ∪B=R,求实数a 的取值范围。

设集合A={-2，0，4},B={m,m 2},则使A ∪B=A 成立的m 的值为___________________例2 A={1，3，5，7},B={2，3，5，6，8，9},则A ∩B =_______________________设A={x ｜x>-1},B={x ｜x ≤2},则A ∩B =_____________________ 例3已知集合A={x ｜x 2−3x −10≤0},B={x ｜m+1≤x ≤2m −1},若A ∩B =B ,则实数m 的取值范围为_________________例4若U={1，2，3},A={1，3}则C U A=_________________若U={2，5，a2+2a+1},A={2,5},C U A={0},则a=________________已知A={1，3，5},C U A={−2，2},C U B={−2，1，3},则B=_____________________例5已知集合A={x｜x<a},B={x｜1≤x≤2},且A∪(C R B)=R,则实数a的取值范围是____________ 第4节一元二次不等式的解集例1解不含参数的一元二次不等式（1）x2−x−6≤0(2)4x-x2>0(3)-2x2+x-6<0 (4)x2−4x+4≥0例2解含参数的一元二次不等式（1）解关于x的不等式x2−(a+a2)x+a3>0(2)解关于x的不等式a x2−(a+1)x+1<0(a<1)例3不等式恒成立问题若关于x的一元二次不等式2x2−8x+6−m>0对任意的xϵR恒成立，求实数m的取值范围第5节分式不等式和高次不等式的解决例1可化为一元二次不等式的简单分式不等式的解法（1）2−xx+3>0(2)2x−13x+1≥0(3)2−xx+3>1例2解下列不等式（1）（x-2）(x+2)(x-1)(x+1)>0 (2)（x2−5x−6)(1−x)>0(3)(x−2)2(x−3)3(x+1)<0 (4)(x-3)(x+1)(x2+4x+4)≤0第6节绝对值不等式的解法例1解下列不等式（1）｜x｜<8(2)｜5-3x｜≥10(3)2<｜x+1｜<3例2解下列不等式（1）｜x+1｜>2-x (2)｜x2−2x−6｜<3x例3解不等式｜2x-1｜<｜x+3｜例4解不等式｜x-1｜+｜x+2｜<5例5解不等式｜2x+3｜<｜x+8｜+5x-2。

第1章集合与不等式【学习目标】1.了解集合的概念及其表示方法.2. 掌握集合之间的运算（子集、真子集、相等、交集、并集、补集）.3. 理解区间的概念,会在数轴上表示区间.4. 掌握绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式的解法.5. 培养学生应用数学概念的能力和计算能力.1.1 集合1.集合的概念集合是现代数学中最基本的概念之一.研究集合的数学理论称为集合论，它是数学的一个基本分支，是近代许多数学分支的基础.我们在初中就已经接触到了“集合”一词,如: “自然数的集合” ,“有理数的集合”, “不等式的解集”等. 在数学和日常生活中，也经常把某些指定的对象作为一个整体加以研究，例如：⑴一个班里的全体学生；⑵某图书馆的全部藏书；⑶所有的直角三角形；⑷与一个角的两边距离相等的所有点；⑸不等式21x-＞3的所有解；⑹某工厂金工车间的所有机床．它们分别是由一些人、书、图形、点、数和机床组成的．一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集),用大写字母,,,A B C表示.集合中的每个对象叫做这个集合的元素,用小写字母,,,a b c表示.如果a是集合A的元素，就说“a属于集合A”，记作a A∈；如果a不是集合A的元素，就说“a不属于集合A”，记作a A∉.某校高一(1) 班全体学生就构成了一个集合，该校内的任一学生，或者是高一(1) 班的同学，或者不是，二者必居其一，这一性质叫做集合元素的确定性；在书写高一(1)班全体同学的名单时，谁写在前面或者后面，不论次序如何，都是高一(1)班全体同学的名单，这一性质叫做集合元素的无序性；另外，每名同学的名字，必须写而且只需写一次就可以了，这一性质叫做集合元素的互异性.练一练:判断下列各组元素能否构成一个集合:(1)所有爱唱歌的孩子;(2) 0,1,1,2.集合理论的创始人是康托尔（Cantor,G.F.L.P，1845—1918）,德国数学家．任何集合的子集，即∅A⊆.因此,任何一个集合是它本身的子集，即AA⊆.集合A不包含于集合B时，记作A⊆/B.例1 写出集合{},,a b c的所有子集.解集合{},,a b c的所有子集是:{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,a b c a b a c b c a b c∅2. 真子集在集合{},,a b c的所有子集中，除去它本身{},,a b c外，集合{},,a b c中至少有一个元素不在其余的某个子集中.如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A,则称集合A是集合B的真子集,记作A B(或AB≠⊃),读作A真包含于B(或B真包含A).如文氏图1-1所示.集合{},,a b c的子集中，除了{},,a b c外，其它子集都是{},,a b c的真子集.显然,空集是任何非空集合的真子集.练一练:判断集合A B与的关系:(1)集合{}1,2,3A=,{}1,2,3,4B=;设合{}1,2,3A=,{}2,3,1=B.3、集合的相等如果集合A与集合B的元素完全相同，即ABBA⊆⊆且，则称集合A与集合B相等，记作BA=.练一练:对于集合{}1,2A=, {}1,2,3,4,5,6B=,{}2,7C=,思考：符号∈与符号⊆表达的含义相同吗？思考：集合{},,a b c有三个元素，子集个数为8个，即32个；真子集个数为321-个；推广到含有n个元素的集合，则子集个数和真子集的个数分别为多少？{}(1)(2)0D x x x=--=,下列关系是否成立:A D=,A B⊆, A B,A C⊂?例2 指出下列各组中两个集合之间的关系:(1){}{}1,7,1,2,3,7A B==;(2){}{}21,1,1C x x D===-;(3){}{},E F==偶数整数;解(1) A B; (2)C D=; (3)E F.例3 讨论集合{}20A x x=-=与集合{}260B x x x=+-=的关系.解因为集合{}{}22==-=xxA,集合{}{}2,362-==-+=xxxB,所以集合A是集合B的真子集，即A B.【习题1.2】1．用符号∈、∉、=、、≠⊃填空：（1）1 N；（2）0 Z；（3）-2 -Q（4）43Q；（5）πQ；（6）2R；（7）{1，2} {2，1}；（8）{3，5} {1，3，5}；（9）{2，4，6，8} {2，8}；（10）∅ {1，2，3}.2．图1-2中A、B、C表示集合，说明它们之间的关系.图1-23．写出集合{1,3,5}的所有子集.4．设A={1，3，5，7，9}，B={1，2，4，6}，写出由A和B的所有元素组成的集合C.5．设A={1，3，5，7，9}，B={1，2，3，4，6，8，10}，写出由A和B的公共元素组成的集合 C.1.3 集合的运算 1. 交集观察集合{}1,237A =，，与{}2,3,67,B =，，容易看出，集合}73,2{，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的，对于这样的集合我们给出如下定义.定义 由集合A 与集合B 的所有公共元素组成的集合，叫做集合A 与集合B 的交集(如图1-3的阴影部分所示)，记作B A ，读作“A 交B ”.即{}A B x x A x B =∈∈且.由交集的定义及图1-3可以看出, B A 既是A 的子集，也是B 的子集,即A B A ⊆且A B B ⊆.另外，交集还有如下性质：A A A A AB B A∅=∅== 若A B A ＝，则A B ⊆，反之也成立. 例1 设集合：(1){}2,578A =，，,{}5,68,10B =，; (2) {}A =奇数,{}B =偶数; (3) {}A =奇数,{}B =整数;(4) {}A =等腰三角形,{}B =直角三角形; (5){}(,)25A x y x y =+=,{}(,)27B x y x y =+=; (6){}13A x x =≤≤,{}25B x x =≤≤. 求B A .解 (1) {}{}{}2,5785,68,105,8A B ==，，，; (2) {}{}A B ==∅奇数偶数;(3) {}{}{}AB A ===奇数整数奇数;{}{}{}(4);A B ==等腰三角形直角三角形等腰直角三角形{}{}{}(5)(,)25(,)2725(,)(1,3);27A B x y x y x y x yx yx yx y=+=+=⎧⎫+=⎧⎪⎪==⎨⎨⎬+=⎩⎪⎪⎩⎭(6){}{}{}132523A B x x x x x=≤≤≤≤=≤≤, 如图1-4所示.2. 并集我们把集合{}1,237A=，，与{}2,3,67,B=，的元素放在一起，构建新的集合,由集合元素的互异性得新的集合为{}1,2,3,6,7. 它是由所有属于A,或属于B的元素组成的.对于这样的集合，我们给出如下定义.定义由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集(如图1-5的阴影部分所示),记作A B,读作A并B,即{|,}A B x x A x B=∈∈或.由并集的定义及图1-5可以看出,集合A B、都是A B的子集,即A A B⊆,B A B⊆.另外，并集还有如下性质：A AA A AA B B A∅===若A B B＝，则A B⊆，反之也成立.例2设集合：(1){}2,578A=，，,{}5,68,10B=，;(2) {}A=奇数,{}B=偶数;(3) {}A=奇数,{}B=整数;(4) {}A=等腰三角形,{}B=直角三角形;(5) {}13A x x=≤≤,{}25B x x=≤≤.求A B.解(1) {}{}{}2,5785,68,1025678,10A B==，，，，，，，;(2) {}{}{}A B==奇数偶数整数;(3) {}{}{}A B B===奇数整数整数;{}{}(4);A B=⎧⎫=⎨⎬⎩⎭等腰三角形直角三角形等腰直角三角形，等腰非直角三角形，直角非等腰三角形(5){}{}{}132515A B x x x x x=≤≤≤≤=≤≤,如图1-6所示.3. 补集观察下列三个集合之间的关系：I＝{全班同学}, A＝{班上男同学} , B＝{班上女同学}.容易看出,集合B就是在集合I中，去掉集合A的所有元素之后，由余下来的元素组成的集合.在研究集合之间的关系时,如果集合I包含我们要研究的各个集合，则称I为全集.设I是全集，A是I的一个子集（即A⊆I），则由I中所有不属于A的元素组成的集合，叫作集合A在I中的补集(如图1-7所示)，简称集合A的补集.记作ΑIC，读作“A补”，即{}AxIxxΑ∉∈=且IC.由全集与补集的定义可得：IΑA=IC，oΑA/=IC，oI/=IC，Io=/IC，ΑΑ=)II(CC.例3 设{}I=三角形，{}A=锐角三角形,求ΑIC.解{}形直角三角形，钝角三角=ΑIC.在求集合的并集时,同时属于A和B的公共元素,在他们的并集中只列举一次},2,3,4,5，A＝∅，求}{2++=a a A,3,21,(1)1A 、2A 、3A 、4A 中哪两个集合的交集是非空集合？(2)求23A A .(3)求14A A .(4)2A 、3A 、4A 中哪些集合是1A 的真子集.1.4 区间 设,a b 是两个实数，且a b <,则:满足不等式a x b ≤≤的所有实数x 的集合,叫做由a 到b 的闭区间,记作[,]a b .满足不等式a x b <<的所有实数x 的集合,叫做由a 到b 的开区间,记作(,)a b .满足不等式a x b ≤<(或a x b <≤)的所有实数x 的集合,叫做由a 到b 的半开区间,记作[,)a b (或(,]a b ).在这里,实数,a b 叫做相应区间的端点. 上述区间[,]a b ,(,)a b ,[,)a b ,(,]a b 统称为有限区间. 满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合，分别记作),[+∞a ,),(+∞a ，],(b -∞，),(b -∞，这些区间称为无限区间. 其中符号+∞与-∞分别读做正无穷大与负无穷大. 全体实数的集合R 也是无限区间,记作(,)-∞+∞.区间可以用数轴上的点集来表示,其中用实心点表示端点包括在区间内, 用空心点表示端点不包括在区间内,如图1-8所示.无限区间也可以用数轴上的点集来表示, 如图1-9所示.例1 用区间表示下列集合:(1){}16x x <≤; (2){},1,2x x R x x ∈≠≠. 解 各集合用区间分别表示为(1)(]6,1; (2)(,1)(1,2)(2,)-∞+∞.练一练:用区间表示下列集合:(1){}16x x -≤≤; (2){}5x x ≥;例2 把下列不等式组的解集用集合、区间及数轴上相应的点集表示：（1）2,0;x x >-⎧⎨≤⎩ （2）30,20.x x ->⎧⎨+>⎩解 (1)不等式组2,0,x x >-⎧⎨≤⎩解集的集合形式为{}20x x -<≤.区间形式为(2,0]-.数轴上的点集表示如图1－10(1)所示. （2）不等式组30,20,x x ->⎧⎨+>⎩解集的集合形式为{}3>x x .区间形式为)(∞+,3.数轴上的点集表示如图1－10(2)所示..例3 设集合{}{}21,14A x xB x x=-<<=-≤≤,求,A B A B,并用区间及数轴上的点集表示.解{}{}2114A B x x x x=-<<-≤≤{}11x x=-≤<.区间形式为[1,1)-.数轴上的点集表示如图1－11(1)所示.{}{}2114A B x x x x=-<<-≤≤{}24x x=-<≤.区间形式为(2,4]-.数轴上的点集表示如图1－11(2)所示.今后,我们可以采用不等式、集合、区间、数轴上的点集等不同的方法表示数集.【习题1-4】1.用区间表示下列集合:(1) {}15x x-<<; (2) {}14x x≤≤;(3) {}3≤x x; (4) {}53x x x≥<-或.2. 把下列不等式组的解集用三种方式——集合、区间及数轴上点集表示出来：（1）47;xx>⎧⎨≥⎩（2）4030.xx-≤⎧⎨+>⎩3. 设集合{}{}2,22A x xB x x=-<<+∞=-<≤,求,A B A B,并用区间及数轴上的点集表示.1.5 绝对值不等式的解法一个数的绝对值,表示数轴上与这个数所对应的点到原点的距离．一个实数a 的绝对值记作a ,是指由a 所唯一确定的非负实数，且,0;0,0;,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩当时当时当时.下面，我们学习绝对值不等式的解法.依据绝对值的定义可知，x 是数轴上表示x 的点到原点的距离.从而当0a >时，x a <的解集，是数轴上与原点的距离小于a 的点的集合，即{}x a x a -<<（如图1－12（1）所示）；x a >的解集，是数轴上与原点的距离大于a 的点的集合, 即{}x x a x a <->或（如图1－12（2）所示）.例1 解下列不等式:(1) 3x <; (2)5x ≥. 解 (1) 3x <的解集为{}33x x -<<; (2)5x ≥ 的解集为{}55x x x ≤-≥或.对于,(0)ax b c ax b c c +<+>>型的不等式，可以把ax b +看作一个整体，转化成,x a x a <>型不等式来求解.例2 解下列不等式,并用区间表示解集: (1) 87x -≤; (2)4214x +>. 解 (1) 由87x -≤，得787x -≤-≤,整理得 115x ≤≤, 所以原不等式的解集为 [1,15].当不等号取"",""≤≥时有类似的性质，其解集可简记为“小于在中间，大于在两边”.(2) 由4214x +> ，得42144214x x +>+<-或, 解得43-<>x x 或, 所以原不等式的解集为(,4)(3,)-∞-+∞.【习题1.5】1. 解下列不等式,将解集表示为集合的形式:(1)132x ≥; (2)1105x ≤; (3)61x -<; (4)38x <-. 2. 解下列不等式,将解集表示为区间的形式: (1)3813x -<; (2)257x -≤;(2)11223x +>; (4)3214x -≥.1.6一元二次不等式的解法形如2200(,,,0)ax bx c ax bx c a b c a ++>++<≠或为常数且的不等式称为一元二次不等式.这里，我们利用一元二次函数的图像，找出一元二次不等式与一元二次函数及一元二次方程之间的关系，进而得到求解一元二次不等式的方法.在一元二次函数22y x x =--中，令0=y ，得022=--x x解得 21=-=x x 或.观察函数22y x x =--的图像(如图1-13),可得 (1) 当12x x =-=或时,0y =; (2) 当12x -<<时,0y <; (3) 当12x x <->或时,0y >.由此可知(a)一元二次方程220x x --=有两个不同的根1212x x =-=,;(b)一元二次不等式220x x --<的解集为{}12x x -<<; (c) 一元二次不等式220x x -->的解集为{}12x x x <->或.该例表明,一元二次函数的图象与x 轴的交点，可以确定相应的一元二次不等式的解集.练一练:讨论：当x 取何值时,下列一元二次函数的值0,0,0y y y >=<? (1) 22y x x =-+ (2) 244y x x =-+ （3）222+-=x x y 下表按一元二次函数2y ax bx c =++（0>a ）的判别式000<∆=∆>∆,,三种情形，给出了一元二次不等式的解集.如果二次项系数0a <，我们可用(－1)乘不等式两边，将其变形为二次项系数为正的情况．例1 解下列不等式:(1)260x x -->; (2) 2280x x -++≥. 解 (1)2(1)41(6)250∆=--⨯⨯-=>, 方程260x x --=有两个不相等的实根24b ac ∆=-2y ax bx c =++(0)a >的图象20ax bx c ++=(0)a ≠的根20ax bx c ++<(0)a >的解集2ax bx c ++>(0)a >的解集(1)0∆>21,242b b acx a-±-=12()x x <{}12x xx x <<{}12x x x x x <>或(2)0∆=122b x x a==-∅,2b x x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭(3)0∆<无实根∅R思考： 当0∆=时，不等式2≥++c bx ax 的解集是什么？要解二次不等式，二次系数先变正.0∆>时,大于在两边，小于在中间．复习题1 A 组1.用适当的符号∈∉=⊆“”“”“”“”“”填空: {}{}5____;____;______;______0;;__.Q Q R R a a b A B A B +-+-∅-1________N; -5_______Q; 0.6______； -2 3 ____,2. 用另一种方法表示下列集合: （1）{}22150A x x x =+-=; (2){}44,B x x x Z =-≤≤∈;（3）{}4绝对值等于的数; (4){}215,A x x x Z =+=∈.3.判断下列各组元素是否构成一个集合？（1）非常小的数; （2）本班兴趣广泛的同学; （3）0与1之间的实数; (4) 非常漂亮的孩子. 4. 写出集合{},,红绿蓝的所有子集和真子集. 5. 设集合{}{}25,32A x x B x x =-≤<=-<<. 用区间及数轴上相应的点集表示,A B ; (2)求,AB A B .6. 解下列绝对值不等式:(1) 2x ≤; (2) 5x >; (3) 2515x -<; (4) 212x +≥. 7.解下列不等式:(1) 240x x -+->; (2) 243(43)x x >-;(3)23620x x -+<; (4) 29610x x -+<. 8. 解下列不等式:(1)3212x x +≥-; (2) 1111x x +≤-; (3)4502x x ->-; (4) 3443x x -<+.}N +,{}1,2,3,4,5,9A =,B ，B ΑI I C C .已知{2A x x =-{}3,求,a b 的值.4. 已知x (1)2x +60m。

数学公式（集合不等式函数）在数学中，公式是用数学符号和符号约定来表示数学关系或规律的一种方式。

数学公式是数学表达的核心，能够帮助我们解决各种数学问题和推导数学定理。

下面将介绍一些常见的数学公式，包括集合、不等式和函数。

一、集合公式：1.集合的基本运算：(1)并集的运算律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA∪B=B∪A(2)交集的运算律：A∩(B∩C)=(A∩B)∩CA∩B=B∩A(3)差集的运算律：A\(B\C)=(A\B)∪(A\C)A\(B∪C)=(A\B)∩(A\C)2.集合的等价关系：(1)自反性：对于任意集合A，A≤A(2)对称性：如果A≤B，则B≤A(3)传递性：如果A≤B，B≤C，则A≤C(4)互斥性：如果A≤B且B≤A，则A=B3.集合的基数公式：(1)，A∪B，=，A，+，B，-，A∩B(2)，A\B，=，A，-，A∩B(3)，A\B，=，A，-，A∩B(4)，A，=，A∪B，+，A∩B二、不等式公式：1.不等式的基本性质：(1)加法性：如果a>b，则a+c>b+c(2) 乘法性：如果a > b，且c > 0，则ac > bc(3)除法性：如果a>b，且c>0，则a/c>b/c2.平均值不等式：(1) 算术平均不等式：对于任意非负实数x1, x2, ..., xn，有(x1 + x2 + ... + xn)/n ≥ √(x1x2...xn)(2) 几何平均不等式：对于任意正实数x1, x2, ..., xn，有(x1x2...xn)^(1/n) ≥ (x1 + x2 + ... + xn)/n(3) 加权平均不等式：设p1, p2, ..., pn为n个正实数之和，有(x1p1 + x2p2 + ... + xnpn)/(p1 + p2 + ... + pn) ≥(x1x2...xn)^(1/n)3.柯西-施瓦茨不等式：(1)对于任意实数a1,a2,b1,b2，有(a1b1+a2b2)^2≤(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)(2) 对于任意实数与向量a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)三、函数公式：1.基本初等函数：(1)反函数公式：如果函数y=f(x)与x=g(y)是互逆函数，则有f(g(y))=y和g(f(x))=x(2)奇偶性公式：对于偶函数有f(-x)=f(x)，对于奇函数有f(-x)=-f(x)2.指数和对数函数：(1) 对数换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)(2) 对数幂函数：a^log_a(x) = x，其中a为任意正数3.三角函数：(1)三角函数的和差公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)(2)三角函数的倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = (2tan(x))/(1 - tan^2(x))以上是一些常见的数学公式，集合公式涉及集合的基本运算和基数公式，不等式公式包括不等式的基本性质、平均值不等式和柯西-施瓦茨不等式，函数公式主要涉及基本初等函数、指数和对数函数以及三角函数。

不等式与集合的关系在数学中，不等式是描述数值关系的一种工具，而集合是由元素组成的一个整体。

不等式与集合之间存在着紧密的关系，通过不等式可以确定集合中的元素范围，而集合也可以用来表示满足一定不等关系的元素集合。

本文将探讨不等式与集合之间的关系，并通过例子来进一步说明。

一、不等式与集合的基本定义首先，我们来了解一下不等式和集合的基本定义。

1. 不等式：不等式是用不等号（<、>、≤、≥）表示的数学陈述。

一般形式为a < b或a > b，其中a、b为实数。

如果不等式中的不等号是≤或≥，则表示的是“不小于”或“不大于”的关系。

2. 集合：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。

用大写字母A、B、C等表示集合，集合中的元素用小写字母a、b、c等表示。

常用的表示集合的方法有列举法、描述法和集合运算。

二、不等式确定集合的范围不等式可以通过确定数值的范围来描述数值之间的关系，从而确定集合中的元素范围。

1. 真不等式和开区间：对于一个真不等式a < b，可以表示a和b之间的数的集合，也可以表示为开区间(a, b)。

开区间表示数值在a和b之间，但不包括a和b。

例如，不等式3 < x < 8表示满足条件的数值范围，用集合表示为{x | 3 < x < 8}，也可以表示为集合(3, 8)。

2. 不等式和闭区间：对于一个不等式a ≤ b，可以表示a和b之间的数的集合，也可以表示为闭区间[a, b]。

闭区间表示数值在a和b之间，包括a和b。

例如，不等式2 ≤ x ≤ 7表示满足条件的数值范围，用集合表示为{x | 2 ≤ x ≤ 7}，也可以表示为集合[2, 7]。

三、集合表示满足不等关系的元素集合除了用不等式确定集合的范围外，我们还可以通过集合表示满足一定不等关系的元素集合。

1. 包含关系：如果集合A中的所有元素都满足不等式a ≤ b，则可以表示为A ⊆ B，即集合A是集合B的子集。

集合与不等式的运算在数学中，集合和不等式是两个重要的概念，并且它们之间存在一些运算规则。

本文将介绍集合与不等式的运算，包括集合的交、并、差以及不等式的加减乘除等操作。

一、集合的运算1. 集合的定义集合是由一些特定对象组成的整体。

这些对象可以是数字、字母、符号等。

用大写字母表示集合，例如A、B、C等。

2. 集合的元素集合中的每个对象称为集合的元素。

用小写字母表示元素，例如a、b、c等。

如果元素a属于集合A，则表示为a∈A；如果元素a不属于集合A，则表示为a∉A。

3. 集合的关系两个集合之间可以存在三种关系：相等关系、包含关系和相离关系。

- 相等关系：如果两个集合的所有元素都相同，则称这两个集合相等。

表示为A=B。

- 包含关系：如果集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A为集合B的子集，表示为A⊆B。

- 相离关系：如果集合A的元素没有任何一个属于集合B，并且集合B的元素没有任何一个属于集合A，则称集合A和集合B相离。

4. 集合的运算集合之间可以进行交、并、差等运算。

- 交集：集合A和集合B的交集，表示为A∩B，表示两个集合中共同的元素构成的集合。

- 并集：集合A和集合B的并集，表示为A∪B，表示两个集合中所有元素组成的集合。

- 差集：集合A和集合B的差集，表示为A-B，表示属于A但不属于B的元素构成的集合。

二、不等式的运算1. 不等式的定义不等式是一种描述数之间大小关系的数学式子。

常见的不等式有大于、小于、大于等于、小于等于等表示方式。

2. 不等式的解集不等式的解集是满足不等式的所有实数的集合。

用大括号{}表示，例如{x|x>1}表示大于1的实数集合。

3. 不等式的运算不等式可以进行加减乘除等运算，但是需要注意一些规则。

- 加减运算：如果不等式两边同时加上（或减去）一个相同的数，不等号的方向不变。

例如，对于不等式x>2，如果两边同时加上1，则变为x+1>3。

- 乘除运算：如果不等式两边同时乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变；如果两边同时乘以（或除以）一个负数，不等号的方向反转。

1.1集合的概念及运算【考试要求】.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用集合语言描述不同的具体问题；1.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；.在具体情境中，了解全集与空集的含义；2.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集，能使用Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算。

【考点提示】.以选择题、填空题的形式考查集合的交集、并集、补集运算；1.以集合为载体，考查函数的定义域、值域、方程、不等式及曲线间的交点问题;.以考查集合含义及运算为主，同时考查集合语言和思想的运用。

【要点梳理】1.集合的含义与表示（1）集合的含义：指定某些对象的全体称为集合,集合的每个对象称为元素;（2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性;（3）元素与集合的关系：属于记为，反4;不属于记为agA;（4）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法;（5）常用数集及其符号表示：自然数集：JV；正整数集：N*或"整数集：Z；有理数集：。

；实数集：区；（6）集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集;.集合的基本关系（1）子集：一般地，对于两个集合A , B,集合A中任何一个元素均为集合「中的元素，那么称集合A是集合B的子集，记作：AqB或（2）相等：如果且那么A = B；（3）真子集：对于两个集合A, B,如果且AwB,那么称集合A是集合B的真子集，记作：A曙8或A；（4）空集：不含任何元素的集合，空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集，可以表示为：0GA或0思3 （B^0）；（5）假设一个集合A中有〃个元素，那么集合A有2：个子集，2"-1个真子集。

2.集合的运算（1）集合的基本运算【基础自测】]假设集合 A = {2£ N IX W 12022 } , 贝 Ij()A. tzeAB. [a}eAC.[a}^AD. a^A答案：D2.(21•全国乙理)集合3 = {5|5 = 2〃 + 1,〃£2}, 2={Z|E=4〃+1/£Z},那么S"=()A. 0B. SC. TD. Z答案：c3.(21•全国甲理)设集合M={x[0<xv4}, N = {x|1wxW5}那么MAN=()A. {x|O<x<l}B. {x|-<x<4}C. {x|4<x<5}D. {x|0<x<5}答案：B4.(21 •全国乙文)全集。

集合概念辨析1．集合是集合论中原始的、不定义的概念．教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合”．这句话，只是对集合概念描述性说明，不作为概念的定义．集合中的对象必须是确定的，也就是说任何一个对象(即元素)是否属于集合是可以判定的，否则不能构成集合．比如“好人”、“较大的数”，由于没有明确的判定标准，因此无法确定哪些对象是属于“好人”、“较大的数”，它们都不能成为集合．集合中的对象可以具有某些共同的特性，也可以毫无共性．只要对象是确定的，即使毫无关系也可构成集合，比如“新星中学高一1班学生和平行四边形”这就是一个集合．另外集合中的元素又是互异的，即集合中的元素彼此之间没有相同的．确定性和互异性是集合中元素的两个重要特性，在理解集合概念时，要考虑集合中元素的这两个性质．2．空集的概念比较难理解．空集是指不含任何元素的集合，记作Ø．注意“Ø”并不是希腊字母“ϕ”，Ø应读作“空集”．{0}与Ø不同，{0}表示含有一个元素“0”的集合，Ø是不含任何元素的．Ø与{Ø}也不同，{Ø}表示含有一个元素“Ø”的集合，它是一个以集合为元素的高一级集合．空集有如下性质：(1) 任何元素都不属于空集，即任意元素a都有a∉Ø．(2) 空集是任意集合的子集，即对任意集合A，都有Ø⊆A(或Ø⊂A)．空集是任意非空集合的真子集，即若A为非空集合，则有Ø⊂A．(3) 空集与任意集合的交集仍为空集，即任意集合A，都有A∩Ø=Ø；空集与任意集合A的并集仍为集合A，即A∪Ø=A．3．对交集和并集的概念的理解，首先应认识到它们都是集合．然后再明确组成集合的元素是什么，A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A或x∈B}．交集与并集的区别是一字之差，即“交”和“并”．如下图：A BCA∩B=C A∪BA B是由A、B的公共元素组成的集合；而A∪B是由BA 三A 、A B、B个集合组成．再如，|a|+|b|=0即a=0且b=0；ab=0即a=0或b=0．1．集合{1，2，3}的子集总共有A．7个 B．8个C．6个 D．5个2．如果I={a，b，c，d，e}，M={a，c，d}，N={b，d，e}，其中I是全集，那么(C I M)∩(C I N)等于A．φ B．{d}C．{a，c} D．{b，e}3．设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则(C I A)∪(C I B)=________A．{0} B．{0，1}C．{0，1，4} D．{0，1，2，3，4}4．已知I为全集，集合M、N I，若M∩N=N则集合的概念集合的表示： { … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5} 常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或 N+整数集 Z有理数集Q实数集R集合的三要素： 1。

第一讲：集合与基本不等式要点精讲1.集合:某些指定的对象在一起成为集合(1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素，记作a∈A；若b不是集合A的元素，记作b∉A(2)集合中的元素必须满足：确定性、互异性、无序性确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，或者是A的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，统一集合中不应重复出现同一元素无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无序(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法(4)常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N+或N*整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R2.集合的包含关系：(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作A⊆B(2)集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

若A⊆B且B⊆A，则称A等于B,记作A=B；若A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B(3)简单性质：1）A⊆A；2）Φ⊆A；3）若A⊆B, B⊆C,则A⊆C; 4)若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n 个子集（其中有2n-1个真子集）3.全集与补集：(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U(2)若S是一个集合，A⊆S，则C S={x| x∈S且x∉A }称S中子集A的补集(3)简单性质：1）C S (C S)=A; 2) C S S=Φ，C SΦ=S.4. 交集与并集：(1)一般的，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。

交集A∩B={x| x∈A且x∈B}(2)一般的，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。

并集A∪B={x |x∈A或x∈B}注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合文氏图。

1.1.1集合的含义与表示学习目标展示1. 元素与集合的概念2. 集合中元素的性质3. 集合的表示方法4. 数学中常用数集及其记法5. 集合的分类 衔接性知识1. 如果k 是整数，那么21k +表示所有 数；2k 表示所 数。

2. 如果a 为实数，则= , = ，当0a ≥= ，当0a<时，=3. 一元一次方程与不等式的解法 （1）一元二次方程(0)axb a =≠的根为 （2）一元二次不等式(0)axb a >≠，当0a>时，它的解为 ； 当0a <时，它的解为 。

4.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解法例：求方程241670x -+=的根a,}nx或()}x A∈}∈是明确x A的，可以省略）例1.已知集合{|31,}M x x k k Z ==+∈，用∈与∉填空：1M ，1M -，25M ，29M -例2.用描述法和列举法表示下列集合 （1）4的平方根组成的集合；（2）与它的倒数相等的数组成的集合； （3）不等式260x -+>的自然数根；（4）方程2210x x -+=解集例3.用适当的方法表示下列集合 （1）二次函数2(1)4y x =--的函数值组成的集合；（2）函数21y x=+的的自变量的值组成的数集合；（3）一次函数y x =与24y x =-的图象的交点组成的集合。

（4）使22Z x ∈-的自然数x 组成的集合例4.已知集合2{|210,}P x kx x x R =++=∈（1）若集合P 为单元素集，求实数k 的值； （2）若集合P 为空集，求实数k 的取值范围； （3）若集合P 二元素集，求实数k 的取值范围。

精练部分A 类试题（普通班用） 1.已知集合{|2,}A x x n n N ==∈，集合2{|280}B x x x =--=，试判断0,2-与集合A 与B 的关系2.下面集合中，可以表示方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集的序号为①{2,1}xy == ②{(,)|2,1}x y x y == ③{2,1} ④{(,)|2,1}xy ⑤{(2,1)}3.用适当的方法或另一种方法表示下列集合 （1）不等式3120x -+>的自然数解所组成的集合（2）在面直角坐标系中，第一或第三象限的所有点组成的集合 （3）集合{|1}A y y ==+ （4）集合{|1}A x x ==+（5）使22N x ∈-的整数x 组成的集合4.已知集合2{,2,1}M a a a =--，若0M ∈，求实数a 的值5.已知集合2{|20,}P x x x k x R =++=∈，当实数k 取何值时，集合P 是（1）单元素集 （2）空集 （3）二元素集？B 类试题（尖子班用）1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ）A ．好看的书B ．高尔基写的书C ．学校图书馆的藏书D ．语文书、数学书、英语书 2. 设集合{(1,2)}M =，则下列关系是成立的是（ ）A ．1M ∈B ．2M ∈C ．(1,2)M ∈ C ．(2,1)M ∈ 3. 下列命题中正确的是（ ）A ．集合2{|1,}x x x R =∈中有两个元素B ．集合{0}中没有元素C{|x x <D ．{1,2}与{2,1}是不同的集合4．用描述法表示集合{1,2,3,4}为_______________5．方程 ax 2＋5x ＋c ＝0的解集是{12 ，13}，则a ＝_______，c ＝_______.6.下面集合中，可以表示方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集的序号为①{2,1}xy == ②{(,)|2,1}x y x y == ③{2,1} ④{(,)|2,1}xy ⑤{(2,1)}7.用适当的方法或另一种方法表示下列集合 （1）不等式3120x -+>的自然数解所组成的集合（2）在面直角坐标系中，第一或第三象限的所有点组成的集合 （3）集合{|1}A y y ==+ （4）集合{|1}A x x ==+8.已知使2|2A x Z N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭的整数x 组成的集合9.已知集合2{,2,1}M a a a =--，若0M ∈，求实数a 的值10.已知集合2{|20,}P x x x k x R =++=∈，当实数k 取何值时，集合P 是（1）单元素集 （2）空集 （3）二元素集？课后习题 习题一一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列指定的对象,不能组成集合的是 ( ) A.一年中有31天的月份 B.平面上到点O 距离是1的点 C.满足方程x 2-2x-3=0的x D.某校高一(1)班性格开朗的女生【补偿训练】下列对象能组成集合的是 ( ) A.中国大的城市B.方程x 2-9=0在实数范围内的解 C.直角坐标平面内第一象限的一些点 D.的近似值的全体2.若a 是R 中的元素,但不是Q 中的元素,则a 可以 是 ( ) A.3.14B.-5C.D.3.设a,b∈R,集合A中含有0,b,三个元素,集合B中含有1,a,a+b三个元素,且集合A与集合B相等,则a+2b= ( )A.1B.0C.-1D.不确定4.集合A的元素y满足y=x2+1,集合B的元素(x,y)满足y=x2+1(A,B中x∈R,y∈R).选项中元素与集合的关系都正确的是( )A.2∈A,且2∈BB.(1,2)∈A,且(1,2)∈BC.2∈A,且(3,10)∈BD.(3,10)∈A,且2∈B5.已知集合M具有性质:若a∈M,则2a∈M,现已知-1∈M,则下列元素一定是M中的元素的是( )A.1B.0C.-2D.2【补偿训练】对于含有三个元素2,4,6的集合A,若a∈A,则6-a∈A,那么a的取值是.二、填空题(每小题5分,共15分)6.对于自然数集N,若a∈N,b∈N,则a+b N,ab N.7.已知集合M含有三个元素1,2,x2,则x的取值范围为.8.(2015·成都高一检测)已知集合P中元素x满足:x∈N,且2<x<a,又集合P中恰有三个元素,则整数a= .三、解答题(每小题10分,共20分)9.若所有形如3a+b(a∈Z,b∈Z)的数组成集合A,判断6-2是不是集合A中的元素.10.(2015·广州高一检测)已知集合M含有三个元素-2,3x2+3x-4,x2+x-4.若2∈M,求x.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·兰州高一检测)由a,a,b,b,a2,b2组成集合A,则集合A中的元素最多有( )A.6个B.5个C.4个D.3个2.(2015·宿州高一检测)集合A中的元素y满足y∈N且y=-x2+1,若t∈A,则t的值为( )A.0B.1C.0或1D.小于等于1二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·乌鲁木齐高一检测)若集合P中含有两个元素1,2,集合Q含有两个元素1,a2,若集合P与集合Q相等,则a= .4.若∈A,且集合A中只含有一个元素a,则a的值为.三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知由方程kx2-8x+16=0的根组成的集合A只有一个元素,试求实数k的值.6.某研究性学习小组共有8位同学,记他们的学号分别为1,2,3,…,8.现指导老师决定派某些同学去市图书馆查询有关数据,分派的原则为:若x号同学去,则8-x号同学也去.请你根据老师的要求回答下列问题:(1)若只有一个名额,请问应该派谁去?(2)若有两个名额,则有多少种分派方法?一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·绵阳高一检测)集合{x|-3≤x≤3,x∈N}用列举法表示应是( )A.{1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{-2,-1,0,1,2}D.{-3,-2,-1,0,1,2,3}【补偿训练】集合A={x2,3x+2,5y3-x},B={周长为20cm的三角形},C={x|x-3<2,x∈Q},D={(x,y)|y=x2-x-1}.其中用描述法表示的集合的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2015·北京高一检测)方程组的解集是( )A.{x=1,y=1}B.{1}C.{(1,1)}D.{(x,y)|(1,1)}3.下列集合中恰有2个元素的集合是( )A.{x2-x=0}B.{y|y2-y=0}C.{x|y=x2-x}D.{y|y=x2-x}4.(2015·南昌高一检测)若1∈{x,x2},则x= ( )A.1B.-1C.0或1D.0或1或-15.下列集合表示同一集合的是( )A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}C.M={4,5},N={5,4}D.M={1,2},N={(1,2)}二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知集合A={x|x2=a,x∈R},则实数a的取值范围是.7.(2015·汉中高一检测)若集合A={1,2,3,4},集合B={y|y=x-1,x∈A},将集合B用列举法表示为.8.设A={4,a},B={2,ab},若A与B相等,则a+b= .三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·重庆高一检测)用适当的方法描述下列集合,并指出所含元素的个数.(1)大于0且小于10的奇数构成的集合.(2)不等式x-3≥1的解集.(3)抛物线y=x2上的点构成的集合.【补偿训练】用适当的方法表示下列集合:(1)所有被3整除的整数.(2)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值构成的集合B.10.已知集合A={x|ax2-3x-4=0,x∈R},若A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.【延伸探究】本题中将条件“至多有一个元素”改为“有两个元素”,其他不变,则a的取值是什么?习题四一、选择题(每小题5分,共10分)1.对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示,其中正确的一个是( )A.{x|x是小于18的正奇数}B.{x|x=4k+1,k∈Z,且k<5}C.{x|x=4t-3,t∈N,且t≤5}D.{x|x=4s-3,s∈N*,且s≤5}2.(2015·德州高一检测)用描述法表示下图所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是( )A.{-2≤x≤0且-2≤y≤0}B.{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y≤0}C.{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y<0}D.{(x,y)|-2≤x≤0或-2≤y≤0}二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知集合M={x|(x-a)(x2-ax+a-1)=0}中各元素之和为3,则实数a的值为.4.(2015·南通高一检测)A={1,2,3},B={1,2},定义集合间的运算A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},则集合A+B中元素的最大值是.【补偿训练】已知集合P={4,5,6},Q={1,2,3}.定义P⊖Q={x|x=p-q,p∈P,q∈Q},则集合P⊖Q 的所有元素之和为.三、解答题(每小题10分,共20分)5.设集合B=.(1)试判断元素1和2与集合B的关系.(2)用列举法表示集合B.6.(2014·福建高考改编)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,试写出所有符合条件的有序数组(a,b,c,d).【补偿训练】(2014·福建高考改编)已知集合=,且下列三个关系:①a≠2,②b=2,③c≠0有且只有一个正确,求100a+10b+c的值.。

第四节 不等式的性质及区间【知识梳理】1、不等式的基本性质（1）传递性：若a ＞b ，且b ＞c ，则a ＞c . （2）加法性质：若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c. （3）乘法性质：若a ＞b ，且c ＞0，则a c ＞b c ； 若a ＞b ，且c ＜0，则a c ＜b c.推论：（1）同向不等式可加性：若a >b,c >d,则a +c >b +d. （2）异向不等式可减性:若a >b,c <d,则a −c >b −d. （3）若a >b >0,c >d >0,则ac >bd. （4）可开方性：若a >b >0，则√a n>√b n（5）可乘方性：若a >b >0，则a n =b n .【例题精讲】题型一：比较实数的大小例1. 比较x 2+3x 与5x −2的大小. 练习1、（1）比较a 2+b 2与2ab 的大小；（2）比较(x 2+1)2与x 4+x 2−2x 的大小； （3）比较a 2+b 2与2(a −b −1);（4）已知a ≠b ,比较ab −a 2与b 2−ab 的大小； （5）已知x >3,比较x 3+3与3x 2+x 的大小. 题型二：不等式的基本性质例2. 若a >b,c ∈R ，则下列说法正确的是（ ）A．ac2>bc2 B.ac>bc C.c-a<c-b D.a2>b2练习2、若ac>bc,则（）A．a>b B.a<b c.a≥b D.无法确定a与b的大小关系3、下列命题中正确的是（）A．若a>|b|,则a2>b2 B.若a>b,c>d,则a−c>b−dC.若a>b,c>d，则ac>bdD.若a>b>0,则ca >cb4、填空：若a<b<0,c<0，则（1）ac bc （2）a+2c b+2c （3）c-a c-b（4）(a−1)2c2 (b−1)2c2（5）ca cb（6）a2b2【知识梳理】2、区间（1）定义：数轴上两点之间的一切实数组成的集合.（2）区间的分类：注意：（1）实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，其中符号“∞”不是一个具体的数，读作“无穷大”.（2）区间是数集的另一种表示形式，其左端必须小于或等于右端，且区间只能表示连续的数集.例3.集合{x|1<x≤3}用区间表示为（）A．(1,3] B.[1,3) C.(1,3) D. [1,3]例4.设集合A=（-3,2），B=（a,+∞），若A⊆B，求a的取值范围.练习：已知集合A=(−∞，1],B=(−1,5),全集U=R，用区间表示下列集合：（1）A∪B （2）（c u A）∩B （3）（c u A）∩(c u B）【知识梳理】3、解一元一次不等式组的步骤（1）求不等式组中各不等式的解集.（2）求各不等式解集的公共部分.例5.解下列不等式（组），并将解集用区间表示.(1)x−x−12>2x−33+x+16(2){5−9x>12−5x5x+6>3x第五节一元二次不等式的解法【知识梳理】1、概念：只含有一个未知数，未知数的最高次项的次数是2，且系数不为0的整式不等式叫做一元二次不等式．2、一般形式：ax＋bx＋c＞0或ax＋bx＋c＜0(a≠0)．3、解法：（1）因式分解： (x＋x1)(x＋x2)＞0或(x＋x1)(x＋x2)<0的形式．（2）图像法：4、解题步骤①化标：将二次项系数化为“+”，即a>0：ax2+bx+c<0(>0)②求根：计算判别式Δ，解方程ax2+bx+c=0③定解：Δ>0时大于取两边，小于取中间【例题精讲】题型一：解不等式例1.解下列不等式（1）x2−2x−3<0 (2)−6x2≤13x+2（3）−x2+10x−25≥0（4）2x2+x+3>0练习1、（1）x2+x+6>0 （2）x2−3x−4>0（3）x2−2x−3<0 （4）x2+6x+9≥0题型二：解含参数的不等式例2 若a<0,解关于x的不等式(x+a)(x−3a)<0练习2、解关于x的不等式(x+a)(x−3a)<0例3 已知解关于x的不等式x2−ax−b<0的解集为{x|2<x<3},求a,b的值.练习3、已知ax2+bx+c>0的解集为（13，12），求bx2+cx+a>0的解集.题型三：恒成立问题①一元二次不等式ax2+bx+c>0对一切实数恒成立的条件：a>0且Δ<0②一元二次不等式ax2+bx+c≥0对一切实数恒成立的条件：a>0且Δ≤0③一元二次不等式ax2+bx+c<0对一切实数恒成立的条件:a<0且Δ<0④一元二次不等式ax2+bx+c≤0对一切实数恒成立的条件:a<0且Δ≤0例4 已知关于x的不等式x2+2(k−1)x+1≥0对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围。