(完整版)2019理科专题--概率与统计

2019年高考数学“概率与统计”专题复习(名师精选重点试题+实战真题演练+答案，建议下载保存) (总计65页，涵盖所有知识点，价值很高，可以达到事半功倍的复习效果，值得下载打印练习)1 随机事件的概率基础自测1.下列说法正确的是（ ）A.某事件发生的频率为P(A)=1.1B.不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1C.小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 答案 B2.在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率为n m ，当n 很大时，P(A)与n m的关系是 （ ）n mB. P(A)＜nm＞n mD. P(A)=nm答案3.给出下列三个命题，其中正确命题有 ( )①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是73；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 个B.1个C.2个D.3个答案4.已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8，0.12，0.05，则这台纺纱机在1 小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为 ， . 答案 0.97 0.035.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是21,乙获胜的概率是31，则乙不输的概率是 . 答案656.抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P （A ）=21，P （B ） =61，则出现奇数点或2点的概率之和为答案32例1 盒中仅有4只白球5只黑球，从中任意取出一只球. （1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？ （2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？ （3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？解 （1）“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此它是不可能事件，其概率为0. （2）“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是94. （3）“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此它是必然事件，它的概率是1. 例2 某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：（1）计算表中击中10环的各个频率；（2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？解 （1）击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906. （2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9.例3 （12分）国家射击队的某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示：求该射击队员射击一次（1）射中9环或10环的概率； （2）至少命中8环的概率； （3）命中不足8环的概率.解 记事件“射击一次，命中k 环”为A k （k ∈N ，k≤10），则事件A k 彼此互斥.2分（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，那么当A 9，A 10之一发生时，事件A 发生，由互斥事件的加法公式得P （A ）=P （A 9）+P （A 10）=0.32+0.28=0.60.5分（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B ，那么当A 8，A 9，A 10之一发生时，事件B 发生.由互斥事件概率的加法公式得P （B ）=P （A 8）+P （A 9）+P （A 10） =0.18+0.28+0.32=0.78.9分（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B ：“射击一次，至少命中8环”的对立事件：即B 表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得 P （）=1-P （B ）=1-0.78=0.22.12分1.在12件瓷器中，有10件一级品，2件二级品，从中任取3件. （1）“3件都是二级品”是什么事件？ （2）“3件都是一级品”是什么事件？ （3）“至少有一件是一级品”是什么事件？解 （1）因为12件瓷器中，只有2件二级品，取出3件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件. （2）“3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.（3）“至少有一件是一级品”是必然事件，因为12件瓷器中只有2件二级品，取三件必有一级品. 2.某企业生产的乒乓球被08年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：（1）计算表中乒乓球优等品的频率；（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？（结果保留到小数点后三位） 解 （1）依据公式p=nm，可以计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940，0.954，0.951.（2）由（1）知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值虽然不同，但随着抽取球数的增多，却都在常数0.950的附近摆动，所以抽取一个乒乓球检测时，质量检查为优等品的概率为0.950. 3.玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球. 求：（1）红或黑的概率； （2）红或黑或白的概率.解 方法一 记事件A 1：从12只球中任取1球得红球； A 2：从12只球中任取1球得黑球； A 3：从12只球中任取1球得白球； A 4：从12只球中任取1球得绿球，则 P （A 1）=125，P （A 2）=124，P （A 3）=122，P （A 4）=121. 根据题意，A 1、A 2、A 3、A 4彼此互斥， 由互斥事件概率加法公式得 （1）取出红球或黑球的概率为 P （A 1+A 2）=P （A 1）+P （A 2）=125+124=43. （2）取出红或黑或白球的概率为P （A 1+A 2+A 3）=P （A 1）+P （A 2）+P （A 3） =125+124+122=1211. 方法二 （1）取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球，即A 1+A 2的对立事件为A 3+A 4， ∴取出红球或黑球的概率为P （A 1+A 2）=1-P （A 3+A 4）=1-P （A 3）-P （A 4） =1-122-121=129=43.（2）A 1+A 2+A 3的对立事件为A 4. P （A 1+A 2+A 3）=1-P （A 4）=1-121=1211.一、选择题1.已知某厂的产品合格率为90%，抽出10件产品检查，则下列说法正确的是（ ）合格产品少于9件 合格产品多于9件 合格产品正好是9件D.合格产品可能是9件答案2.某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是（ ）至多有1次中靶 B.2次都中靶 次都不中靶D.只有1次中靶答案3.甲:A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么（ ）.甲是乙的充分条件但不是必要条件甲是乙的必要条件但不是充分条件甲是乙的充要条件甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件答案4.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 （ ）A.2165 B.21625C.21631D.21691答案 D5.一个口袋内装有一些大小和形状都相同的白球、黑球和红球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.5，则摸出黑球的概率是（ ）D.0.答案6.在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为（ ）B.0.60答案 二、填空题7.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为73，乙夺得冠军的概率为41，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 . 答案2819 8.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为 . 答案 50% 三、解答题9.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率； （2）不够7环的概率.解 （1）设“射中10环”为事件A ，“射中9环”为事件B ，由于A ，B 互斥，则 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）=0.21+0.23=0.44. （2）设“少于7环”为事件C ，则P （C ）=1-P （C ）=1-（0.21+0.23+0.25+0.28）=0.03.10.某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：求：（1）派出医生至多2人的概率； （2）派出医生至少2人的概率. 解 记事件A ：“不派出医生”， 事件B ：“派出1名医生”， 事件C ：“派出2名医生”， 事件D ：“派出3名医生”， 事件E ：“派出4名医生”， 事件F ：“派出不少于5名医生”. ∵事件A ，B ，C ，D ，E ，F 彼此互斥， 且P （A ）=0.1，P （B ）=0.16，P （C ）=0.3， P （D ）=0.2，P （E ）=0.2，P （F ）=0.04. （1）“派出医生至多2人”的概率为P （A+B+C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ） =0.1+0.16+0.3=0.56.（2）“派出医生至少2人”的概率为P （C+D+E+F ）=P （C ）+P （D ）+P （E ）+P （F ） =0.3+0.2+0.2+0.04=0.74. 或1-P （A+B ）=1-0.1-0.16=0.74.11.抛掷一个均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、3、4、5、6），事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过3”，求P （A+B ）.解 方法一 因为A+B 的意义是事件A 发生或事件B 发生，所以一次试验中只要出现1、2、3、5四个可能结果之一时，A+B 就发生，而一次试验的所有可能结果为6个，所以P （A+B ）=64=32. 方法二 记事件C 为“朝上一面的数为2”，则A+B=A+C ，且A 与C 互斥. 又因为P （C ）=61，P （A ）=21，所以P （A+B ）=P （A+C ）=P （A ）+P （C ）=21+61=32. 方法三 记事件D 为“朝上一面的数为4或6”，则事件D 发生时，事件A 和事件B 都不发生，即事件A+B 不发生.又事件A+B 发生即事件A 发生或事件B 发生时，事件D 不发生，所以事件A+B 与事件D 为对立事件.因为P （D ）=62=31， 所以P （A+B ）=1-P （D ）=1-31=32. 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为41，得到黑球或黄球的概率是125，得到黄球或绿球的概率是21，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？ 解 分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A 、B 、C 、D.由于A 、B 、C 、D 为互斥事件，根据已知得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+++21)()(125)()(1)()()(41D P C P C P B P D P C P B P 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===31)(61)(41)(D P C P B P . ∴得到黑球、黄球、绿球的概率各是41，61，31. §2 古典概型1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（ ）A.21 B.31 C.32答案 C2.掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷出奇数点的概率为（ ）A.31 B.41 C.21D.32答案 C3.袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（ ）A.43 B.65 C.61 D.31答案 B4.一袋中装有大小相同，编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为 ( )A.321 B.641 C.323D.643答案 D5.掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：“一次正面朝上，一次反面朝上” ；事件N ：“至少一次正面朝上” .则下列结果正确的是（ ）A.P(M)=31,P(N)=21B.P(M)=21,P(N)=21C.P(M)=31,P(N)=43D.P(M)=21,P(N)=43答案例1 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用（x ，y ）表示结果，其中x 表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y 表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：基础自测（1）试验的基本事件；（2）事件“出现点数之和大于3”； （3）事件“出现点数相等”.解 （1）这个试验的基本事件为： （1，1），（1，2），（1，3），（1，4）， （2，1），（2，2），（2，3），（2，4）， （3，1），（3，2），（3，3），（3，4）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.（2）事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3）， （3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）. （3）事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件： （1，1），（2，2），（3，3），（4，4）.例2 甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙 两人依次各抽一题.（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解 甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10×9=90种，即基本事件总数是90.（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A ，下面求事件A 包含的基本事件数： 甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A 的基本事件数为6×4=24. ∴P （A ）=n m =9024=154. （2）先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题.记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B ，“至少一人抽到选择题”为事件C ，则B 含基本事件数为4×3= ∴由古典概型概率公式，得P （B ）=9012=152, 由对立事件的性质可得 P （C ）=1-P （B ）=1-152=1513. 例3 （12分）同时抛掷两枚骰子.（1）求“点数之和为6”的概率； （2）求“至少有一个5点或6点”的概率. 解 同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：共有36个不同的结果.6分 （1）点数之和为6的共有5个结果，所以点数之和为6的概率p=365.9分（2）方法一 从表中可以得其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率p=3620=95. 12分方法二 至少有一个5点或6点的对立事件是既没有5点又没有6点，如上表既没有5点又没有6点的结果共有16个，则既没有5点又没有6点的概率p=3616=94， 所以至少有一个5点或6点的概率为1-94=95. 12分1.某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球. （1）共有多少个基本事件？（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？解 （1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1，2号球用（1，2）表示）： (1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,3),(2,4),(2,5)，(3,4), (3,5),(4,5).因此，共有10个基本事件.（2）如下图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球（记为事件A ）， 即（1，2），（1，3），（2，3），故P （A ）=103.故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为103. 2.（2008·山东文，18）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1、A 2、A 3通晓日语，B 1、B 2、B 3通晓俄语，C 1、C 2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组. （1）求A 1被选中的概率； （2）求B 1和C 1不全被选中的概率.解 （1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 1,B 3,C 1),(A 1,B 3,C 2),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 2),(A 2, B 2,C 1),(A 2,B 2,C 2),(A 2,B 3,C 1),(A 2,B 3,C 2),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 2),(A 3,B 2,C 1),(A 3,B 2,C 2),(A 3,B 3,C 1),(A 3,B 3,C 2)}由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等 可能的.用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 1,B 3,C 1),(A 1,B 3,C 2)}事件M 由6个基本事件组成，因而P （M ）=186=31. （2）用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这一事件，由于N ={（A 1,B 1,C 1）,(A 2,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 1)}，事件N 有3个基本事件组成，所以P （N ）=183=61，由对立事件的概率公式得 P （N ）=1-P （N ）=1-61=65. 3.袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率: （1）A:取出的两球都是白球；（2）B ：取出的两球1个是白球，另1个是红球.解 设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取两个的方法为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个.（1）从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.∴取出的两个球全是白球的概率为P （A ）=156=52. （2）从袋中的6个球中任取两个，其中1个为红球，而另1个为白球，其取法包括（1，5），（1，6）， （2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共8个. ∴取出的两个球1个是白球，另1个是红球的概率 P （B ）=158.一、选择题1.盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别.现由10人依次摸出1个球.设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P 1，第10个人摸出黑球的概率是P 10，则（ ）10=101P 1B.P 10=91P 1 10=010=P 1答案2.采用简单随机抽样从含有n 个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，若个体a 前2次未被抽到，第3次被抽到的概率等于个体a 未被抽到的概率的31倍，则个体a 被抽到的概率为 （ ）A.21B.31C.41D.61 答案3.有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为（ ）A.101B.103 C.51 D.53 答案4.从数字1，2，3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为（ ）A.31B.61 C.81D.41 答案5.设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P （a ，b ），记“点P （a,b ）落在直线x+y=n 上”为事件C n （2≤n≤5，n ∈N ），若事件C n 的概率最大，则n 的所 有可能值为 （ ）C.2和D.3和答案6.（2008·温州模拟）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x+y=5下方的概率是（ ）A.31B.41C.61D.121 答案二、填空题7.（2008·江苏，2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 . 答案121 8.（2008·上海文，8）在平面直角坐标系中，从五个点：A （0，0）、B （2，0）、C （1，1）、D （0，2）、 E （2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）. 答案54三、解答题9.5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求： （1）甲中奖的概率P （A ）； （2）甲、乙都中奖的概率； （3）只有乙中奖的概率； （4）乙中奖的概率.解 （1）甲有5种抽法，即基本事件总数为5.中奖的抽法只有2种，即事件“甲中奖”包含的基本事件数为2，故甲中奖的概率为P 1=52. （2）甲、乙各抽一张的事件中，甲有五种抽法，则乙有4种抽法，故所有可能的抽法共5×4=20种，甲、乙都中奖的事件中包含的基本事件只有2种，故P 2=202=101. （3）由（2）知，甲、乙各抽一张奖券，共有20种抽法，只有乙中奖的事件包含“甲未中”和“乙中”两种情况，故共有3×2=6种基本事件，∴P 3=206=103. （4）由（1）可知，总的基本事件数为5，中奖的基本事件数为2，故P 4=52. 10.箱中有a 个正品，b 个次品，从箱中随机连续抽取3次，在以下两种抽样方式下：（1）每次抽样后不放回；（2）每次抽样后放回.求取出的3个全是正品的概率解 （1）若不放回抽样3次看作有顺序，则从a+b 个产品中不放回抽样3次共有A 3b a +种方法，从a 个正品中不放回抽样3次共有A 3a种方法，可以抽出3个正品的概率p=33A A ba a +.若不放回抽样3次看作无顺序，则从a+b 个产品中不放回抽样3次共有C 3b a +种方法，从a 个正品中不放回抽样3次共有C 3a 种方法，可以取出3个正品的概率p=33C C ba a +.两种方法结果一致（2）从a+b 个产品中有放回的抽取3次，每次都有a+b 种方法，所以共有(a+b)3种不同的方法，而3个全是正品的抽法共有a 3种，所以3个全是正品的概率p=333)(⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b a a b a a . 11.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为71.现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有1人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求袋中原有白球的个数； （2）求取球2次终止的概率； （3）求甲取到白球的概率.解 （1）设袋中有n 个白球，从袋中任取2个球是白球的结果数是2)1(-n n . 从袋中任取2个球的所有可能的结果数为276⨯=21. 由题意知71=212)1(-n n =42)1(-n n ， ∴n （n-1）=6，解得n=3(舍去n=-2). 故袋中原有3个白球.（2）记“取球2次终止”为事件A ，则P （A ）=6734⨯⨯=72. （3）记“甲取到白球”的事件为B ， “第i 次取到白球”为A i ，i=1，2，3，4，5，因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球. 所以P （B ）=P （A 1+A 3+A 5）. 因此A 1，A 3，A 5两两互斥，∴P （B ）=P （A 1）+P （A 3）+P （A 5）=73+567334⨯⨯⨯⨯+3456731234⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =73+356+351=3522. （2008·海南、宁夏文，19）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下: 5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体. (1)求该总体的平均数;(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 解 (1)总体平均数为61(5+6+7+8+9+10)=7.5. (2)设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”. 从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个基本结果.事件A 包括的基本结果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7个基本结果.所以所求的概率为P （A ）=157. §3 几何概型基础自测1.质点在数轴上的区间［0，2］上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间 ［0，1］上的概率为（ ）4131C.21D.以上都不对答案2.某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为 （ ）A.π2 B.π1C.32D.31答案3.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是 ( )A.53B.54 C.52 D.51答案4.设D 是半径为R 的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C ，连接CD 得一弦，若A 表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P （A ）= . 答案315.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ， 则射线OA 落在∠yOT 内的概率为 . 答案 61例1 有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？解 记“剪得两段都不小于3米”为事件A ，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10-3-3=4（米）.在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件， 所以P （A ）=103310--=104=0.4. 例2 街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm 的小 圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边，可重掷一次；若掷在正方形内，须再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获1元钱.试问： （1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ （2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解 （1）考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm 和9 cm 的正方形围成的区域内，所以概率为22979-=8132. （2）考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的41圆内，因正方形有四个顶点，所以概率为819ππ=. 例3 （12分）在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病 种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？ 解 1升=1 000毫升，2分记事件A ：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”. 4分 则P （A ）=000110=0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01. 7分记事件B ：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”.9分 则P （B ）=000130=0.03，即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03.12分 例4 在Rt △ABC 中，∠A=30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ，求使|AM|＞|AC|的概率. 解 设事件D“作射线CM ，使|AM|＞|AC|”.在AB 上取点C′使|AC′|=|AC|，因为△ACC′是等腰三角形， 所以∠ACC′=230180-=75°, A μ=90-75=15，Ωμ=90，所以，P （D ）=9015=61. 例5 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离 去.求两人能会面的概率.解 以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，（x,y ）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得：P （A ）=S S A =222604560-=600302526003-=167.所以，两人能会面的概率是167.1.如图所示，A 、B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C 、D ，问A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？解 记E ：“A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30×31=10（米），∴P （E ）=3010=31. 2.（2008·江苏，6）在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率为 .答案16π 3.如图所示，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率.解 记“小杯水中含有这个细菌”为事件A ，则事件A 的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件.∵A μ=0.1升，Ωμ=2升， ∴由几何概型求概率的公式， 得P （A ）=ΩA μμ=21.0=201=0.05. 4.在圆心角为90°的扇形AOB 中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率.解 如图所示，把圆弧 三等分，则∠AOF=∠BOE=30°，记A 为“在扇形AOB 内作一射线OC ，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”，要使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则OC 就落在∠EOF 内， ∴P （A ）=9030=31. 5.将长为l 的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.解 设A=“3段构成三角形”，x,y 分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l-x-y. 则试验的全部结果可构成集合Ω={（x ，y ）|0＜x ＜l,0＜y ＜l,0＜x+y ＜l},要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x+y>l-x-y ⇒x+y ＞2l,x+l-x-y ＞y⇒y ＜2l ,y+l-x-y ＞x ⇒x ＜2l . 故所求结果构成集合A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<>+2,2,2|),(l x l y l y x y x . 由图可知，所求概率为P （A ）=的面积的面积ΩA =22212l l ⎪⎭⎫ ⎝⎛∙=41.一、选择题1.在区间（15，25］内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17＜a ＜20的概率是（ ）A.31 B.21 C.103 D.107答案2.在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( )A.259 B.2516C.103D.51答案3.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( ) A.121B.83C.161D.65答案4.如图为一半径为2的扇形（其中扇形中心角为90°），在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为()A.π2B.π1 C.21 D.1-π2答案5.在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4S的概率是 ( ) A.41 B.21 C.43 D.32答案6.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O,则在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是( )A.4πB.8πC.6πD.12π答案二、填空题7.已知下图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为 .答案 338.在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为 . 答案2517 三、解答题9.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色， 金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122 cm ，靶心直径2 cm,运动员在70米 外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，求射中“黄心”的概率. 解 记“射中黄心”为事件A ，由于中靶点随机的落在面积为π41×1222 cm 2的大圆 内，而当中靶点在面积为π41×22 cm 2的黄心时，事件A 发生，于是事件A 发生 的概率P （A ）=2212242.1241⨯⨯ππ=0.01,所以射中“黄心”的概率为0.01.10.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30至7∶30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7∶00至8∶00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A ）的概率是多少？解 设事件A“父亲离开家前能得到报纸”.在平面直角坐标系内，以x 和y 分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是x≤y,而（x,y)的所有可能结果是边长为1的正方形，而能得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示，这是一个几何概型问题，A μ=12-21×21×21=87，Ωμ =1， 所以P （A ）=ΩμμA =87. 11.已知等腰Rt △ABC 中，∠C=90°.（1）在线段BC 上任取一点M ，求使∠CAM ＜30°的概率； （2）在∠CAB 内任作射线AM ，求使∠CAM ＜30°的概率. 解 （1）设CM=x ，则0＜x ＜a.（不妨设BC=a ）. 若∠CAM ＜30°，则0＜x ＜33a ， 故∠CAM ＜30°的概率为P （A ）=的长度区间的长度区间),0(33,0a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=33. （2）设∠CAM=θ，则0°＜θ＜45°. 若∠CAM ＜30°，则0°＜θ＜30°， 故∠CAM ＜30°的概率为 P （B ）=的长度的长度)45,0()30,0( =32.设关于x 的一元二次方程x 2+2ax+b 2=0.（1）若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若a 是从区间［0，3］任取的一个数，b 是从区间［0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.解 设事件A 为“方程x 2+2ax+b 2=0有实根”.当a≥0,b≥0时，方程x 2+2ax+b 2=0有实根的充要条件为a≥b. （1）基本事件共有12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1）， （3，2）.其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值.。

第1讲概率与统计(小题)热点一随机抽样1．随机抽样的各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的．2．系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同．3．分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例．例1(1)(2019·汉中联考)某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如下表所示：不喜欢喜欢男性青年观众3010女性青年观众3050现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n等于()A．12 B．16 C．20 D．24(2)(2019·上饶联考)某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为________．跟踪演练1(1)(2019·漳州质检)某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002，…，599,600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号为()A ．522B ．324C ．535D ．578(2)(2019·合肥质检)某工厂生产的A ，B ，C 三种不同型号的产品数量之比为2∶3∶5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A ，B ，C 三种产品中抽出样本容量为n 的样本，若样本中A 型产品有10件，则n 的值为( ) A ．15 B ．25 C ．50 D ．60 热点二 用样本估计总体1．频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. 3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数 频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数． (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等．(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．4．对于其他的统计图表，要注意结合问题背景分析其所表达的意思，进而解决所给问题． 例2 (1)(2019·厦门质检)下图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是( )A ．2018年3月的销售任务是400台B ．2018年月销售任务的平均值不超过600台C ．2018年第一季度总销售量为830台D ．2018年月销售量最大的是6月份(2)(2019·临沂质检)已知8位学生的某次数学测试成绩的茎叶图如图，则下列说法正确的是( )A ．众数为7B ．极差为19C．中位数为64.5 D．平均数为64跟踪演练2(1)已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断错误的是()A．乙班的理科综合成绩强于甲班B．甲班的文科综合成绩强于乙班C．两班的英语平均分分差最大D．两班的语文平均分分差最小(2)(2019·黄冈模拟)学校为了了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：将阅读时间不低于30分钟的学生称为“阅读霸”，则下列命题正确的是()A．抽样表明，该校约有一半学生为阅读霸B．该校只有50名学生不喜欢阅读C．该校只有50名学生喜欢阅读D．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸热点三变量间的相关关系、统计案例高考中解决变量间的相关关系问题时需注意：(1)回归直线一定过样本点的中心(x，y)．(2)随机变量K2的观测值k越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大．例3(1)(2019·皖江联考)某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温x (℃) 18 13 10 －1 用电量y (度)24343864由表中数据得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中b ^＝－2，预测当温度为－5 ℃时，用电量的度数约为( )A ．64B ．66C ．68D ．70(2)某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如下表：使用智能手机不使用智能手机总计 学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀16 2 18 总计201030附表：P (K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828经计算K 2的观测值k ＝10，则下列选项正确的是( ) A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响 D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响跟踪演练3 (1)(2019·长春质检)某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量(单位：厘米)，上图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，下图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为y ^＝1.16x －30.75，以下结论中不正确的为( )A ．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B ．15名志愿者身高和臂展成正相关关系C ．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D ．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米(2)(2019·泸州模拟)随着国家二胎政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二胎生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．非一线城市一线城市 总计 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计5842100附表：P (K 2≥k 0)0.100 0.050 0.010 0.001 k 02.7063.8416.63510.828由K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )计算得，K 2的观测值k ＝100×(45×22－20×13)258×42×35×65≈9.616，参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”真题体验1．(2019·全国Ⅰ，文，6)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生2．(2018·全国Ⅰ，文，3)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半3．(2018·全国Ⅲ，文，14)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．押题预测1．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值(单位：℃)数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是( )A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10 ℃的月份有5个D ．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势 2．给出如下列联表患心脏病 患其他病 总 计 高血压 20 10 30 非高血压 30 50 80 总 计5060110P (K 2≥10.828)≈0.001，P (K 2≥6.635)≈0.010，参照公式k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，得到的正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“高血压与患心脏病无关”B ．有99%以上的把握认为“高血压与患心脏病有关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“高血压与患心脏病无关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“高血压与患心脏病有关” 3．某设备的使用年数x 与所支出的维修总费用y 的统计数据如下表：使用年数x (单位：年) 2 3 4 5 6 维修总费用y (单位：万元)1.54.55.56.57.5根据上表可得线性回归方程为y ^＝1.4x ＋a ^.若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用________年．A 组 专题通关1．(2019·河北省五个一名校联盟联考)经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为1∶3∶6，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中中年人数为12人，则n 等于( ) A ．30 B ．40 C ．60D ．802．某校李老师本学期负责高一甲、乙两个班的数学课，两个班都是50个学生，如图反映的是两个班的本学期5次数学测试中的班级平均分对比情况，根据图中信息，下列结论不正确的是( )A ．甲班的数学平均成绩高于乙班B ．乙班的数学成绩没有甲班稳定C ．下次测试乙班的数学平均分高于甲班D ．在第1次测试中，甲、乙两个班总平均分为783．(2019·全国Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( ) A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.84．某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2 400名学生中抽取30人进行调查．现将2 400名学生随机地从1～2 400编号，按编号顺序平均分成30组(1～80号，81～160号，…，2 321～2 400号)，若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是( ) A ．416 B ．432 C ．448 D ．4645．(2019·郑州质检)若1,2,3,4，m (m ∈R )这五个数的平均数等于其中位数，则m 等于( ) A ．0或5 B ．0或52 C ．5或52 D ．0或5或526．(2019·长春质检)下列命题：①在线性回归模型中，相关指数R 2表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，R 2越接近于1，表示回归效果越好；②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；③在线性回归方程y ^＝－0.5x ＋2中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ^平均减少0.5个单位；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．(2019·衡水质检)某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]之间，其得分的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是( )A ．得分在[40,60)之间的共有40人B ．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5C ．估计得分的众数为55D ．这100名参赛者得分的中位数为658．(2019·济宁模拟)如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．则上述判断正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．39．(2019·广东天河区普通高中测试)为保证树苗的质量，林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度(单位：cm)，其茎叶图如图所示，则下列描述正确的是( )A ．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐B ．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐C ．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐D ．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐10．利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好该项运动，得出2×2列联表，由计算可得K 2≈8.806.P (K 2≥k 0)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828参照附表，得到的正确结论是( )A ．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B ．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”11．已知变量x ，y 之间的线性回归方程为y ^＝－0.7x ＋10.3，且变量x ，y 之间的一组数据如下表所示，则下列说法中错误的是( )x 6 8 10 12 y6m32A.变量x ，y 之间呈现负相关关系 B ．可以预测当x ＝20时，y ^＝－3.7 C ．m ＝4D ．由表格数据知，该回归直线必过点(9,4)12．(2019·江淮质检)为了了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )A ．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B ．是否倾向选择生育二胎与性别有关C ．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D ．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数13．(2019·河南省九师联盟质检)为了了解世界各国的早餐饮食习惯，现从由中国人、美国人、英国人组成的总体中用分层抽样的方法抽取一个容量为m 的样本进行分析．若总体中的中国人有400人、美国人有300人、英国人有300人，且所抽取的样本中，中国人比美国人多10人，则样本容量m ＝________.14．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40,100]内，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为________．15．(2019·成都模拟)节能降耗是企业的生存之本，树立一种“点点滴滴降成本，分分秒秒增效益”的节能意识，以最好的管理，来实现节能效益的最大化．为此某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润：年号1 2 3 4 5 年生产利润y (单位：千万元)0.70.811.11.4预测第8年该国企的生产利润约为________千万元．参考公式及数据：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2；a ^＝y －b ^x ，∑i ＝15(x i －x )(y i－y )＝1.7， i ＝15(x i －x )2＝10.根据该折线图，下列结论正确的是________(填序号)． ①月接待游客量逐月增加；②年接待游客量逐年增加； ③各年的月接待游客量髙峰期大致在7,8月份；④各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳．B 组 能力提高17.(2019·葫芦岛模拟)近日，据媒体报道称，“杂交水稻之父”袁隆平及其团队培育的超级杂交稻品种“湘两优900(超优千号)”再创亩产世界纪录，经第三方专家测产，该品种的水稻在实验田内亩产1 203.36公斤．中国工程院院士袁隆平在1973年率领科研团队开启了杂交水稻王国的大门，在数年的时间内就解决了十多亿人的吃饭问题，有力回答了世界“谁来养活中国”的疑问.2012年，在袁隆平的实验田内种植了A ，B 两个品种的水稻，为了筛选出更优的品种，在A ，B 两个品种的实验田中分别抽取7块实验田，如图所示的茎叶图记录了这14块实验田的亩产量(单位：10 kg)，通过茎叶图比较两个品种的平均数及方差，并从中挑选一个品种进行以后的推广，有如下结论：①A 品种水稻的平均产量高于B 品种水稻，推广A 品种水稻；②B 品种水稻的平均产量高于A 品种水稻，推广B 品种水稻；③A 品种水稻的产量比B 品种水稻更稳定，推广A 品种水稻；④B 品种水稻的产量比A 品种水稻更稳定，推广B 品种水稻；其中正确结论的编号为( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④18．(2019·南昌模拟)已知具有线性相关的五个样本点A 1(0,0)，A 2(2,2)，A 3(3,2)，A 4(4,2)，A 5(6,4)，用最小二乘法得到回归直线l 1：y ^＝b ^x ＋a ^，过点A 1，A 2的直线l 2：y ＝mx ＋n ，那么下列说法中，正确的有________．(填序号) ①m >b ^，a ^>n ； ②直线l 1过点A 3；③∑i ＝15(y i －b ^x i －a ^)2≥∑i ＝15 (y i －mx i －n )2； ④∑i ＝15|y i －b ^x i －a ^|≥∑i ＝15|y i －mx i －n |.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2= ∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2，a ^＝y －b ^x。

专题10 概率与统计1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7D ．0.8【答案】C【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ．【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差 【答案】A【解析】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<<．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x 后剩余2348x x x x <<<<，中位数仍为5x ，A 正确； ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =<<<<<，后来平均数23481()7x x x x x '=<<<，平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确； ③2222111[()()()]9q S x x x x x x =-+-++-，22222381[()()()]7s x x x x x x '=-'+-'++-'，由②易知，C 不正确；④原极差91x x =-，后来极差82x x =-，显然极差变小，D 不正确．故选A ． 3．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是则当a 在（0,1）内增大时， A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大【答案】D【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查． 【解析】方法1：由分布列得1()3aE X +=， 则2222111111211()(0)()(1)()333333926a a a D X a a +++=-⨯+-⨯+-⨯=-+， 则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．方法2：则222221(1)222213()()()0[()]3399924a a a a D X E X E X a +-+=-=++-==-+，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式．4．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________． 【答案】53【解析】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=，所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=． 5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________． 【答案】0.98【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10201040++=，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．6．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________． 【答案】0.18【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯=前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯=综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 7．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 【答案】（1）a =0.35，b =0.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00． 【解析】（1）由已知得0.70=a +0.20+0.15，故a =0.35． b =1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束． （1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率． 【答案】（1）0.5；（2）0.1．【解析】（1）X =2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束， 则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分． 因此P （X =2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．（2）X =4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束， 且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分． 因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1． 9．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率． 【答案】（1）分布列见解析，()2E X ；（2）20243．【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故2~(3,)3X B ，从而3321()C ()(),0,1,2,333kkkP X k k -===．所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()323E X =⨯=．（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ， 则2~(3,)3Y B ，且{3,1}{2,0}M X Y X Y =====． 由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{1}Y =，事件{2}X =与{0}Y =均相互独立， 从而由（1）知()({3,1}{2,0})P M P X Y X Y =====(3,1)(2,0)P X Y P X Y ===+== (3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==824120279927243=⨯+⨯=． 10．【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E （X ）=1；（3）见解析．【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为400.4100=． （2）X 的所有可能值为0，1，2．记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”． 由题设知，事件C ，D 相互独立，且93141()0.4,()0.63025P C P D ++====． 所以(2)()()()0.24P X P CD P C P D ====，(1)()P X P CD CD == ()()()()P C P D P C P D =+ 0.4(10.6)(10.4)0.6=⨯-+-⨯0.52=，(0)()()()0.24P X P CD P C P D ====．所以X 的分布列为故X 的数学期望()00.2410.5220.241E X =⨯+⨯+⨯=．（3）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”． 假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化， 则由上个月的样本数据得33011()C 4060P E ==．答案示例1：可以认为有变化． 理由如下：P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化． 答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下： 事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生， 但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性． 【答案】（1）分布列见解析；（2）(i)证明见解析，(ii) 45 127p =，解释见解析． 【解析】X 的所有可能取值为1,0,1-．(1)(1)P X αβ=-=-，(0)(1)(1)P X αβαβ==+--， (1)(1)P X αβ==-，所以X 的分布列为（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===．因此110.40.5 0.1i i i i p p p p -+=++，故110.1()0.4()i i i i p p p p +--=-， 即114()i i i i p p p p +--=-． 又因为1010p p p -=≠， 所以1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-=为公比为4，首项为1p 的等比数列．（ii ）由（i ）可得88776100p p p p p p p p =-+-++-+877610()()()p p p p p p =-+-++-81413p -=．由于8=1p ，故18341p =-， 所以44433221101( 411()327)(5())p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=． 4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时， 认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈， 此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．专题 计数原理1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．2．【2019年高考浙江卷理数】在二项式9)x 的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．【答案】 5【解析】由题意，9)x 的通项为919C (0,1,29)rr r r T x r -+==，当0r =时，可得常数项为0919C T ==；若展开式的系数为有理数，则1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项．故答案为：5．【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确．3．【2019年高考江苏卷理数】设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++≥∈N ．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1na +=+*,ab ∈N ，求223a b -的值．【答案】（1）5n =；（2）32-．【解析】（1）因为0122(1)C C C C 4n n n n n n n x x x x n +=++++≥，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a -=-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=⨯-=-=-．【名师点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力．。

专题十一概率与统计概率统计抛开了数学中的“确定性”，以“不确定”的视角做出量化的、不确定性的推测，是不同与其它数学知识的重要特征.未来的众多社会规律，也都需要利用概率统计的方法去探究，所以概率统计对社会的良性和稳定发展必将起到至关重要的作用.高考以更加贴近学生日常生活的概率统计背景加强对概率统计知识的考查，也说明了高考改革的方向将更加生活化和理性化，更加贴合学生的日常.这也是提醒我们要自觉养成用“不确定性”眼光去研究生活、看待世界的习惯.一、真题再现（一）统计部分1．（2019年新课标Ⅱ理科）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A．中位数B．平均数C．方差D．极差【分析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．【解答】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，故选：A．【点评】本题考查数据的数字特征，关键是掌握数据的平均数、中位数、方差、极差的定义以及计算方法，属于基础题．2．（2019年新课标Ⅰ文科）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生【分析】根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，抽样的分段间隔为10，结合从第4组抽取的号码为46，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码．【解答】解：∵从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，∴系统抽样的分段间隔为＝10，∵46号学生被抽到，则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列，设其数列为{a n}，则a n＝6+10（n﹣1）＝10n﹣4，当n＝62时，a62＝616，即在第62组抽到616．故选：C．【点评】本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔．3．（2019年江苏）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（2019年新课标Ⅲ文理科）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8【分析】作出维恩图，得到该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，由此能求出该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值．【解答】解：某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，作出维恩图，得：∴该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：＝0.7．故选：C．【点评】本题考查该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值的求法，考查维恩图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．5．（2019年新课标Ⅱ文科）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．y的分组[﹣0.20，0）[0，0.20）[0.20，0.40）[0.40，0.60）[0.60，0.80）企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01）附：≈8.602．【分析】（1）根据频数分布表计算即可；（2）根据平均值和标准差计算公式代入数据计算即可．【解答】解：（1）根据产值增长率频数表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业为：＝0.21＝21%，产值负增长的企业频率为：＝0.02＝2%，用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%；（2）企业产值增长率的平均数（﹣0.1×2+0.1×24+0.3×53+0.5×14+0.7×7）＝0.3＝30%，产值增长率的方差s2＝＝[（﹣0.4）2×2+（﹣0.2）2×24+02×53+0.22×14+0.42×7]＝0.0296，∴产值增长率的标准差s＝≈0.17，∴这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30，0.17．【点评】本题考查了样本数据的平均值和方差的求法，考查运算求解能力，属基础题．6．（2019年新课标Ⅲ文理科）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如图直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中a，b．（2）利用频率分布直方图能估计甲离子残留百分比的平均值和乙离子残留百分比的平均值．【解答】解：（1）C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．则由频率分布直方图得：，解得乙离子残留百分比直方图中a＝0.35，b＝0.10．（2）估计甲离子残留百分比的平均值为：＝2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05＝4.05．乙离子残留百分比的平均值为：＝3×0.05+4×0.1+5×0.15+6×0.35+7×0.2+8×0.15＝6.00．【点评】本题考查频率、平均值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．7．（2019年新课标Ⅰ文科）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（1）由题中数据，结合等可能事件的概率求解；（2）代入计算公式：K2＝，然后把所求数据与3.841进行比较即可判断．【解答】解：（1）由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率P＝＝，女顾客对该商场服务满意的概率P＝＝；（2）由题意可知，K2＝＝≈4.762＞3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．【点评】本题主要考查了等可能事件的概率求解及独立性检验的基本思想的应用，属于基础试题．（二）概率部分1．（2019年江苏）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．【分析】基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m＝+＝7，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．2．（2019年新课标Ⅲ文科）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用古典概型求概率原理，首先用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列找出分子，再全部排列找到分母，可得到答案．【解答】解：方法一：用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有A33A22＝12种排法，再所有的4个人全排列有：A44＝24种排法，利用古典概型求概率原理得：p＝＝，方法二：假设两位男同学为A、B，两位女同学为C、D，所有的排列情况有24种，如下：（ABCD）（ABDC）（ACBD）（ACDB）（ADCB）（ADBC）（BACD）（BADC）（BCAD）（BCDA）（BDAC）（BDCA）（CABD）（CADB）（CBAD）（CBDA）（CDAB）（CDBA）（DABC）（DACB）（DBAC）（DBCA）（DCAB）（DCBA）其中两位女同学相邻的情况有12种，分别为（ABCD）、（ABDC）、（ACDB）、（ADCB）、（BACD）、（BADC）、（BCDA）、（BDCA）、（CDAB）、（CDBA）、（DCAB）、（DCBA），故两位女同学相邻的概率是：p＝＝，故选：D．【点评】本题考查排列组合的综合应用．考查古典概型的计算．3．（2019年新课标Ⅰ理科）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝26＝64，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m＝＝20，由此能求出该重卦恰有3个阳爻的概率．【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数n＝26＝64，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m＝＝20，则该重卦恰有3个阳爻的概率p＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（2019年新课标Ⅱ文科）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）A．B．C．D．【分析】本题根据组合的概念可知从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为，恰有2只测量过该指标是从3只侧过的里面选2，从未测的选1，组合数为．即可得出概率．【解答】解：法一：由题意，可知：根据组合的概念，可知：从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为，恰有2只测量过该指标的所有情况数为．∴p＝＝．法二：设其中做过测试的3只兔子为a，b，c，剩余的2只为A，B，则从这5只中任取3只的所有取法有{a，b，c}，{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{a，A，B}，{b，c，A}，{b，c，B}，{b，A，B}，{c，A，B}10种，其中恰好有两只做过测试的取法有{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{b，c，A}，{b，c，B}6种，故恰有两只做过测试的概率为＝．故选：B．【点评】本题主要考查组合的相关概念及应用以及简单的概率知识，本题属基础题．5．（2019年新课标Ⅰ理科）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是0.18．【分析】甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，由此能求出甲队以4：1获胜的概率．【解答】解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：p1＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：p2＝0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.036，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：p4＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，则甲队以4：1获胜的概率为：p＝p1+p2+p3+p4＝0.036+0.036+0.054+0.054＝0.18．故答案为：0.18．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（2019年上海）某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是．【分析】分别运用直接法和排除法，结合古典概率的公式，以及计数的基本原理：分类和分步，计算可得所求值．【解答】解：方法一、（直接法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中恰有两位数字相同的个数为C C＝270，则其中恰有两位数字相同的概率是＝；方法二、（排除法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中三位数字均不同和全相同的个数为10×9×8+10＝730，可得其中恰有两位数字相同的概率是1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查古典型概率的求法，注意运用直接法和排除法，考查排列组合数的求法，以及运算能力，属于基础题．7．（2019年新课标Ⅱ理科）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求P（X＝2）；（2）求事件“X＝4且甲获胜”的概率．【分析】（1）设双方10：10平后的第k个球甲获胜为事件A k（k＝1，2，3，…），则P （X＝2）＝P（A1A2）+P（）＝P（A1）P（A2）+P（）P（），由此能求出结果．（2）P（X＝4且甲获胜）＝P（X＝4且甲获胜）＝P（）+P（）＝P（A1）P（）P（A3）P（A4）+P（）P（A2）P（A3）P（A4），由此能求出事件“X＝4且甲获胜”的概率．【解答】解：（1）设双方10：10平后的第k个球甲获胜为事件A k（k＝1，2，3，…），则P（X＝2）＝P（A1A2）+P（）＝P（A1）P（A2）+P（）P（）＝0.5×0.4+0.5×0.6＝0.5．（2）P（X＝4且甲获胜）＝P（）+P（）＝P（A1）P（）P（A3）P（A4）+P（）P（A2）P（A3）P（A4）＝0.5×0.6×0.5×0.4+0.5×0.4×0.5×0.4＝0.1．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．8．（2019年天津文科）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．A B C D E F子女教育〇〇×〇×〇继续教育××〇×〇〇大病医疗×××〇××住房贷款利息〇〇××〇〇住房租金××〇×××赡养老人〇〇×××〇（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．【分析】（Ⅰ）根据分层抽样各层所抽比例相等可得结果；（Ⅱ）（i）用列举法求出基本事件数；（ii）用列举法求出事件M所含基本事件数以及对应的概率；【解答】解：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为6：9：10，由于采用分层抽样从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人；（Ⅱ）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种；（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种，所以，事件M发生的概率P（M ）＝．【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率问题以及根据数据分析统计结论的问题，是基础题目9．（2019年北京文科）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【分析】（Ⅰ）从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，求出A，B两种支付方式都使用的人数有40人，由此能估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数．（Ⅱ）从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有1人，从中随机抽取1人，基本事件总数n＝25，该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数m＝1，由此能求出该学生上个月支付金额大于2000元的概率．（Ⅲ）从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元的概率为，虽然概率较小，但发生的可能性为．不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，∴A，B两种支付方式都使用的人数有：100﹣5﹣30﹣25＝40，∴估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为：1000×＝400人．（Ⅱ）从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有1人，从中随机抽取1人，基本事件总数n＝25，该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数m＝1，∴该学生上个月支付金额大于2000元的概率p＝＝．（Ⅲ）不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元的概率为，虽然概率较小，但发生的可能性为．故不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．【点评】本题考查频数、概率的求法，考查频数分布表、概率等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．（三）随机变量部分1．（2019年新课标Ⅱ文理科）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98．【分析】利用加权平均数公式直接求解．【解答】解：∵经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：＝（10×0.97+20×0.98+10×0.99）＝0.98．故答案为：0.98．【点评】本题考查经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值的求法，考查加权平均数公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．2．（2019年浙江）设0＜a＜1．随机变量X的分布列是X0a1P则当a在（0，1）内增大时，（）A．D（X）增大B．D（X）减小C．D（X）先增大后减小D．D（X）先减小后增大【分析】方差公式结合二次函数的单调性可得结果【解答】解：E（X）＝0×+a×+1×＝，D（X）＝（）2×+（a﹣）2×+（1﹣）2×＝[（a+1）2+（2a﹣1）2+（a﹣2）2]＝（a2﹣a+1）＝（a﹣）2+∵0＜a＜1，∴D（X）先减小后增大故选：D．【点评】本题考查方差的求法，利用二次函数的单调性是关键，考查推理能力与计算能力，是中档题．3．（2019年天津理科）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．【分析】（I）甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故X～B（），可求分布列及期望；（II）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y，则Y～B（3，），且M＝{X ＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}，由题意知{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且{X＝3}与{Y＝1}，{X＝2}与{Y＝0}相互独立，利用相互对立事件的个概率公式可求【解答】解：（I）甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故X～B（3，），从而P（X＝k ）＝，k＝0，1，2，3．所以，随机变量X的分布列为：X0123P随机变量X的期望E（X）＝3×＝2．（II）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y，则Y～B（3，），且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}，由题意知{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且{X＝3}与{Y＝1}，{X＝2}与{Y＝0}相互独立，由（I）知，P（M）＝P（{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}＝P（{X＝3，Y＝1}+P{X＝2，Y ＝0}＝P（X＝3）P（Y＝1）+P（X＝2）P（Y＝0）＝＝【点评】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与期望，互斥事件与相互独立事件的概率计算公式，考查运算概率公式解决实际问题的能力．4．（2019年北京理科）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（0，1000]（1000，2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【分析】（Ⅰ）从全校所有学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，从而A，B两种支付方式都使用的人数有40人，由此能求出从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率．（Ⅱ）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”，求出P（E）＝，答案示例1：可以认为有变化．P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月的支付金额发生了变化，可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生，无法确定有没有变化．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：从全校所有学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，∴A，B两种支付方式都使用的人数有：100﹣5﹣30﹣25＝40，∴从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率p＝＝0.4．（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X的可能取值为0，1，2，样本仅使用A的学生有30人，其中支付金额在（0，1000]的有18人，超过1000元的有12人，样本仅使用B的学生有25人，其中支付金额在（0，1000]的有10人，超过1000元的有15人，P（X＝0）＝＝＝，P（X＝1）＝＝＝，P（X＝2）＝＝＝，∴X的分布列为：X012P数学期望E（X）＝＝1．（Ⅲ）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”，假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得P（E）＝＝，答案示例1：可以认为有变化，理由如下：P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月的支付金额发生了变化，∴可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化，理由如下：事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生，∴无法确定有没有变化．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．5．（2019年新课标Ⅰ理科）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得﹣1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得﹣1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i﹣1+bp i+cp i+1。

一对一个性化辅导教学设计任课老师：关sir统计与概率解答题好比数学题中阅读理解，文字多，需要有一定的文字理解能力和结合实际进行数据分析的能力。

文档题目分三档，A 组是必须要掌握题目，因为这道题目在高考大题中是处于基础性的地位，所以要多做，争取拿满分。

A组1、（本小题满分12分）（F37，2017全国2卷理科）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）,其频率分布直方图如下：（3）根据箱产量的频率分布直方图，对求新养殖法产量的中位数的估计值（精确到0.01）. 附：（1）0.4092；（2）有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）52.352、（本小题满分12分）（B06理）传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征. 教育部考试中心确定了2017年普通高考部分更注重传统文化考核. 某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为E D C B A ,,,,五个等级进行数据统计如下：根据以上抽样调查数据，视频率为概率.（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B 的人数； （2）若等级E D C B A ,,,,分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为B A ,的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取3名，求抽到成绩为A 的人数X 的分布列与数学期望.（1）150（2）59，未达标（3）9/7随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；4、（本小题满分12分）（F32，2015全国2卷理科）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，根据用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）（1）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立。

2019年考试大纲解读11 概率与统计（六）统计1．随机抽样（1）理解随机抽样的必要性和重要性.（2）会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.2．用样本估计总体（1）了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.（2）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.（3）能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释.（4）会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.（5）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.3．变量的相关性（1）会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.（2）了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.（七）概率1．事件与概率（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.（2）了解两个互斥事件的概率加法公式.2．古典概型（1）理解古典概型及其概率计算公式.（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.3．随机数与几何概型（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.（2）了解几何概型的意义.（二十一）概率与统计1．概率（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性. （2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.（3）了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.（4）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.（5）利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2．统计案例了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.（1）独立性检验了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用.（2）回归分析了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.概率与统计作为高考的必考内容，在2019年的高考中预计仍会以“一小一大”的格局呈现.小题一般比较简单，出现在选择题或填空题中比较靠前的位置，命题角度主要有两个方面：一是统计数据的分析，多以统计图表(折线图或柱状图）的形式提供数据，进行数据的特征分析，如均值、方差、最值点及趋势分析等；二是概率的求解，以古典概型的求解为主，涉及简单的排列组合知识，几何概型可能会与其他知识模块内容结合起来考查，如与函数、不等式、解析几何或定积分的计算等相结合.解答题一般出现在第18题或第19题的位置，属于中档题目，题目涉及两个以上的知识模块，具有一定的综合性.命题角度主要有三个方面：一是统计图表与分布列的综合，涉及用频率估计概率、互斥事件、对立事件以及相互独立事件等的概率求解，以离散型随机变量的分布列、数学期望的求解为核心；二是统计数据的数字特征与回归分析、独立性检验等的综合，此类问题计算量较大，注重数据的分析与应用；三是统计图表与函数内容的结合，包括函数解析式的求解与应用等，这有可能重新成为命题的热点.考向一三种抽样方法样题1 从某社区65户高收入家庭，280户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样方法是A．系统抽样B．分层抽样C．简单随机抽样D．各种方法均可【答案】B【解析】从某社区65户高收入家庭，280户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某一项指标，因为社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以应用分层抽样法，故选B．考向二频率分布直方图的应用样题2 （2017新课标全国Ⅱ理科）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：，（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表：2K的观测值，由于，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为，。

专题15概率与统计（选择题、填空题）（理科专用）1．【2022年全国乙卷】某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1,2,3，且3>2>1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【解析】【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘甲的概率丙.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为甲则甲=2(1−2)13+221(1−3)=21(2+3)−4123记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为乙则乙=2(1−1)23+212(1−3)=22(1+3)−4123记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为丙则丙=2(1−1)32+213(1−2)=23(1+2)−4123则甲−乙=21(2+3)−4123−22(1+3)−4123=21−23<0乙−丙=22(1+3)−4123−23(1+2)−4123=22−31<0即甲<乙，乙<丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D2．【2022年新高考1卷】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．16B．13C．12D．23【答案】D【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C 72=21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8)，共7种，故所求概率=21−721=23.故选：D.3．【2021年甲卷理科】已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A 72B ．132C D 【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =.故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,a c 间的等量关系是求解的关键.4．【2021年甲卷理科】将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A ．13B ．25C ．23D ．45【答案】C 【解析】【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103=+.故选：C.5．【2021年乙卷理科】在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A ．79B ．2332C ．932D ．29【答案】B 【解析】【分析】设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，分别求出,A Ω对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．【详解】如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，其面积为111SΩ=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，即图中的阴影部分，其面积为13323124432A S =-⨯⨯=，所以()2332A S P A S Ω==．故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件,A Ω对应的区域面积，即可顺利解出．6．【2021年新高考1卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙丁，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B 【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立7．【2021年新高考2卷】某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（）A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D 【解析】【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A ，2σ为数据的方差，所以σ越小，数据在10μ=附近越集中，所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同，故D 错误.故选：D.8．【2020年新课标1卷理科】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i = 得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（）A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x=+【答案】D 【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+.故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.9．【2020年新课标2卷理科】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，9001850=，故至少需要志愿者18名.故选：B 【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.10．【2020年新课标3卷理科】在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65As =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85Bs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05Cs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45Ds =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.11．【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%【答案】C 【解析】【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，然后根据积事件的概率公式()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.12．【2019年新课标1卷理科】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．13．【2019年新课标2卷理科】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差【答案】A 【解析】【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤ ．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤ ，中位数仍为5x ，∴A 正确．②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++ ，后来平均数234817x x x x x '=+++ （）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦ 由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确．本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.14．【2019年新课标3卷理科】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8【答案】C【解析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．15．【2018年新课标1卷理科】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M ，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M ，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58%50%+=>，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.16．【2018年新课标1卷理科】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 3【答案】A 【解析】【分析】首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，然后应用相应的面积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出p 1，p 2，p 3的关系，从而求得结果.【详解】设,,AC b AB c BC a ===，则有222b c a +=，从而可以求得ABC ∆的面积为112=S bc ，黑色部分的面积为22221()()[()]2222c b a S bc πππ=⋅+⋅-⋅-2221(4442c b a bc π=+-+22211422c b a bc bc π+-=⋅+=，其余部分的面积为22311122282a a S bc bc ππ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，所以有12S S =，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到12p p =，故选A.点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.17．【2018年新课标2卷理科】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112B ．114C ．115D ．118【答案】C【解析】【详解】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有21045C =种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31=4515，选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.18．【2018年新课标3卷理科】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3【答案】B【解析】【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式()()D X np 1p =-进行计算即可．()()D X np 1p =- p 0.4∴=或p 0.6=()()()()6444661010P X 41P X 61C p p C p p ==-<==-，()221p p ∴-<,可知p 0.5>故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．19．【2021年新高考1卷】有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同【答案】CD【解析】【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误.【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD20．【2021年新高考2卷】下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（）A ．样本12,,,n x x x 的标准差B ．样本12,,,n x x x 的中位数C ．样本12,,,n x x x 的极差D ．样本12,,,n x x x 的平均数【答案】AC【解析】【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.21．【2020年新高考1卷（山东卷）】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑ ，定义X 的信息熵21()log n i i i H X p p ==-∑.（）A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n == ，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+= ，则H (X )≤H (Y )【答案】AC【解析】【分析】对于A 选项，求得()H X ，由此判断出A 选项；对于B 选项，利用特殊值法进行排除；对于C 选项，计算出()H X ，利用对数函数的性质可判断出C 选项；对于D 选项，计算出()(),H X H Y ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D 选项.【详解】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确.对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-，所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误.对于C 选项，若()11,2,,i p i n n== ，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m j P Y j p p +-==+（1,2,,j m = ）.()2222111log log m m i i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅ .()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅+⋅+++⋅+++ 12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++ 由于()01,2,,2i p i m >= ，所以2111i i m i p p p +->+，所以222111log log i i m i p p p +->+，所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+，所以()()H X H Y >，所以D 选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.22．【2020年新高考2卷（海南卷）】我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是A ．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B ．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【解析】【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确.【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.23．【2022年全国甲卷】从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】635.【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有=C84=70个结果，这4个点在同一个平面的有= 6+6=12个，故所求概率==1270=635．故答案为：635．24．【2022年新高考2卷】已知随机变量X服从正态分布2,2，且o2<≤2.5)=0.36，则o>2.5)=____________．【答案】0.14##750．【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为∼2,2，所以<2=>2=0.5，因此>2.5=>2−2<≤2.5=0.5−0.36=0.14．故答案为：0.14．25．【2019年新课标1卷理科】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18【解析】【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯=前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯=综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．26．【2019年新课标2卷理科】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.【答案】0．98.【解析】【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=．【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．。

2019年4月高等教育自学考试全国统一命题考试概率论与数理统计(经管类)04183一、单项选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。

1.设()0.6P B =，()0.5P A B =，则()P A B -=A. 0.1B.0.2C.0.3D.0.42.设事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =,()0.8P A B =，则()P B =A. 0.2B.0.4C.0.5D.0.63.甲袋中有3个红球1个白球，乙袋中有1个红球2个白球，从两袋中分别取出一个球，则两个球颜色相同的概率的概率是 A. 16 B. 14 C. 13 D. 5124.设随机变量X则P{X>0}=A. 14B. 12C. 34D. 1 5.设随机变量X 的概率为,02()0,cx x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他，则P{X ≤1}= A.14 B. 12 C. 23 D. 346.已知随机变量X~N(-2,2)，则下列随机变量中，服从N(0,1)分布的是 A. 1(2)2X - B. 1(2)2X + C. 2)X - D. 2)X +A. 0.1B.0.4C.0.5D.0.78.设随机变量X 与Y 相互独立，且D(X)=4，D(Y)=2,则D(3X-2Y)=A. 8B.16C.28D.449.设123,,x x x 是来自总体X 的样本，若E(X)=μ(未知)，123132x ax ax μ=-+是μ的无偏估计，则常数a=A. 16B. 14C. 13D. 1210.设12,,,(1)n x x x n >为来自正态总体2(,)N μσ的样本，其中2,μσ均未知，x 和2s 分别是样本均值和样本方差，对于检验假设0000=H H μμμμ≠：，：，则显著性水平为α的检验拒绝域为 A.02(1)x n αμ⎧⎫->-⎨⎬⎩⎭ B. 02x αμ⎧⎫->⎨⎬⎩⎭ C.02(1)x n αμ⎧⎫-≤-⎨⎬⎩⎭ D. 02x αμ⎧⎫-≤⎨⎬⎩⎭ 二、填空题：本大题共15小题，每小题2分，共30分。

专题四 概率与统计第1讲 概率、随机变量及其分布列(限时45分钟，满分96分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·株洲二模)如图，在边长为1的正方形内有不规则图形Ω，由电脑随机从正方形中抽取10 000个点，若落在图形Ω内和图形Ω外的豆子分别为3 335，6 665，则图形Ω面积的估计值为A.13B.12C.14D.16解析 设图形Ω 的面积为S ，∵由电脑随机从正方形中抽取10 000个点，落在图形Ω内和图形Ω外的豆子分别为3 335，6 665，∴S 1＝3 33510 000≈13，∴S ≈13.故选A. 答案 A2．(2019·潍坊模拟)四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理．其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色．”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字．”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域A 和区域B 标记的数字丢失．若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是A.115B.110C.13D.1130解析 A ，B 只能有一个可能为1，题目求最大，令B 为1，则总数有30个，1号有10个，则概率为13.故选C.答案 C3．(2019·浙江衢州五校联考)随机变量的分布列如下：若E (X )＝13，则D (X )的值是A.19B.29C.49D.59解析 由题设可得a ＋b ＝23，b －a ＝13⇒a ＝16，b ＝12，所以由数学期望的计算公式可得 E (X 2)＝0×13＋1×23＝23，(E (X ))2＝19，所以由随机变量的方差公式可得 D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2＝59.故选D.答案 D4．(2019·河北省级示范校联合体联考)袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下24个随机数组：232 321 230 023 123 021 132 220 011 203 331 100 231 130 133 231 031 320 122 103 233 221 020 132 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为 A.18B.14C.16D.524解析 由题意可知，满足条件的随机数组中，前两次抽取的数中必须包含0或1，且0与1不能同时出现，出现0就不能出现1，反之亦然，第三次必须出现前面两个数字中没有出现的1或0，可得符合条件的数组只有3组：021，130，031，故所求概率为P ＝324＝18.故选A.答案 A5．(2019·郑州一模)魔法箱中装有6张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：f 1(x )＝2x ，f 2(x )＝2x，f 3(x )＝x 2，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝1－2x1＋2x，现从魔法箱中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是A.25B.35C.12D.13解析 首先结合f (－x )＋f (x )与0的关系，判断该六个函数的奇偶性，结合题意可知1，4，6为奇函数，3，5为偶函数，2为非奇非偶函数，从6张卡片抽取2张，有C 26＝15种，而任取2张卡片得到的新函数为奇函数，说明该两个函数为一奇一偶函数，故有3×2＝6种，结合古典概型计算公式，相除得25.故选A.答案 A6．(2019·辽阳期末)一批排球中正品有m 个，次品有n 个，m ＋n ＝10(m ≥n )，从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，X 表示抽到的次品个数．若D (X )＝21，从这批排球中随机抽取两个，则至少有一个正品的概率p ＝A.4445B.1415C.79D.1315解析 依题意可得X ～B ⎝⎛⎭⎫10，n10， 则DX ＝10×n10×⎝⎛⎭⎫1－n 10＝21， 又m ≥n ，则n ≤5，从而n ＝3， 则p ＝1－C 23C 210＝1415.故选B.答案 B7．(2019·济南期末)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，三角形内的空白部分由三个半径均为1的扇形构成，向△ABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为A.π6B ．1－π6C.π4D ．1－π4解析 由题意，题目符合几何概型，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，面积为12×BC ×AC ＝3，阴影部分的面积为：三角形面积－12圆面积＝3－π2，所以点落在阴影部分的概率为3－π23＝1－π6.故选B.答案 B8．(2019·贵州重点中学联考)有一种“三角形”能够像圆一样，当作轮子用．这种神奇的三角形，就是以19世纪德国工程师勒洛的名字命名的勒洛三角形．这种三角形常出现在制造业中(例如图1中的扫地机器人)．三个等半径的圆两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角形，如图2所示．现从图2中的勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为A.2π－334π－23 B.23π3－3C.32π－23D.2π－332π－23解析 设圆半径为R ，如图，易得△ABC 的面积为12·32R 2＝34R 2，阴影部分面积为3·60πR 2360－3·34R 2＝2π－334R 2，勒洛三角形的面积为2π－334R 2＋34R 2＝π－32R 2，若从勒洛三角形内部随机取一点， 则此点取自阴影部分的概率为P ＝阴影部分面积勒洛三角形面积＝2π－334R 2π－32R 2＝2π－332π－23.故选D.答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9．一个盒子装有3个红球和2个蓝球(小球除颜色外其他均相同)，从盒子中一次性随机取出3个小球后，再将小球放回．重复50次这样的实验．记“取出的3个小球中有2个红球，1个蓝球”发生的次数为ξ，则ξ的方差是________．解析 由题意知ξ～B (n ，p )，其中n ＝50，p ＝C 23C 12C 35＝610＝35，∴D (ξ)＝50×35×25＝12.答案 1210．(2019·淮南二模)关于圆周率π的近似值，数学发展史上出现过很多有创意的求法，其中可以通过随机数实验来估计π的近似值．为此，李老师组织100名同学进行数学实验教学，要求每位同学随机写下一个实数对(x ，y )，其中0<x <1，0<y <1，经统计数字x 、y 与1可以构成钝角三角形三边的实数对(x ，y )为28个，由此估计π的近似值是________(用分数表示)．解析 实数对(x ，y )落在区域⎩⎨⎧0<x <10<y <1的频率为0.28，又设A 表示“实数对(x ，y )满足⎩⎨⎧0<x <10<y <1且能与1构成钝角三角形”，则A 中对应的基本事件如图阴影部分所示：其面积为π4－12，故P (A )＝π4－12≈0.28，所以π≈7825.答案782511．(2019·长春外国语学校月考)已知直线l 过点(－1，0)，l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝3相交于A 、B 两点，则弦长|AB |≥2的概率为________．解析 显然直线l 的斜率存在， 设直线方程为y ＝k (x ＋1)， 代入(x －1)2＋y 2＝3中得， (k 2＋1)x 2＋2(k 2－1)x ＋k 2－2＝0， ∵l 与⊙C 相交于A 、B 两点， ∴Δ＝4(k 2－1)2－4(k 2＋1)(k 2－2)>0， ∴k 2<3，∴－3<k <3，又当弦长|AB |≥2时，∵圆半径r ＝3， ∴圆心到直线的距离d ≤2，即|2k |1＋k2≤2， ∴k 2≤1，∴－1≤k ≤1.由几何概型知，事件M ：“直线l 与圆C 相交弦长|AB |≥2”的概率 P (M )＝1－（－1）3－（－3）＝33.答案3312．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．解析 设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件B (发芽又成活为幼苗)． 依题意P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9. 根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72， 即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 答案 0.72三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)13．(2019·湖南三湘名校二联)某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k ，当k ≥85时，产品为一等品；当75≤k <85时，产品为二等品；当70≤k <75时，产品为三等品．现有甲、乙两条生产线，各生产了100件该产品，测量每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果．(以下均视频率为概率)甲生产线生产的产品的质量指标值的频数分布表：乙生产线生产的产品的质量指标值的频数分布表：(1)若从乙生产线生产的产品中有放回地随机抽取3件，求至少抽到2件三等品的概率； (2)若该产品的利润率y 与质量指标值k 满足关系y ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，k ≥855t 2，75≤k <85t 2，70≤k <75，其中0<t <15，从长期来看，哪条生产线生产的产品的平均利润率更高？请说明理由．解析 (1)由题意知，从乙生产线生产的产品中随机抽取一次抽中三等品的概率为110，所以至少抽到2件三等品的概率P ＝C 23×⎝⎛⎭⎫1102×910＋⎝⎛⎭⎫1103＝7250.(2)甲生产线生产的产品的利润分布列为所以E (y 甲)＝0.6t ＋2t 2,乙生产线生产的产品的利润分布列为所以 E (y 乙)＝0.5t ＋2.1t 2, 因为0<t <15，所以E (y 乙)－E (y 甲)＝0.1t 2－0.1t ＝0.1t (t －1)<0，所以从长期来看，甲生产线生产的产品平均利润率较大．14．(2019·佛山禅城区二调)研究机构培育一种新型水稻品种，首批培育幼苗2 000株，株长均介于185 mm ～235 mm ，从中随机抽取100株对株长进行统计分析，得到如下频率分布直方图(1)求样本平均株长x －和样本方差s 2(同一组数据用该区间的中点值代替)；(2)假设幼苗的株长X 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2，试估计2 000株幼苗的株长位于区间(201，219)的株数；(3)在第(2)问的条件下，选取株长在区间(201，219)内的幼苗进入育种试验阶段，若每株幼苗开花的概率为34，开花后结穗的概率为23，设最终结穗的幼苗株数为ξ，求ξ的数学期望．附：83≈9；若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683； P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954；P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.997解析 (1)x －＝190×0.02＋200×0.315＋210×0.35＋220×0.275＋230×0.04＝210， s 2＝202×0.02＋102×0.315＋102×0.275＋202×0.04＝83.(2)由(1)知， μ＝x －＝210，σ＝83≈9， ∴P (201<X <219)＝P (210－9<X <210＋9)＝0.683， 2 000×0.683＝1 366∴2 000株幼苗的株长位于区间(201，219)的株数大约是1 366.(3)由题意，进入育种试验阶段的幼苗数1 366，每株幼苗最终结穗的概率P ＝12，则ξ－B ⎝⎛⎭⎫1 366，12， 所以E (ξ)＝1 366×12＝683.15．(2019·河北示范高中联合体联考)某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：(1)其中每月完成合格产品的件数不少于3 200件的员工被评为“生产能手”．由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？(2)为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2 600件以内的，计件单价为1元；超出(0，200]件的部分，累进计件单价为1.2元；超出(200，400]件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元．将这4段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资(实得计件工资＝定额计件工资＋超定额计件工资)不少于3 100元的人数为Z ，求Z 的分布列和数学期望．附：K 2＝（ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），解析 (1)因为K 2的观测值k ＝100×（48×8－42×2）250×50×90×10＝4>3.841，所以有95%的把握认为“生产能手”与性别有关． (2)当员工每月完成合格产品的件数为3 000件时， 得计件工资为2 600×1＋200×1.2＋200×1.3 ＝3 100元，由统计数据可知，男员工实得计件工资不少于3 100元的概率为p 1＝25，女员工实得计件工资不少于3 100元的概率为p 2＝12，设2名女员工中实得计件工资不少于3 100元的人数为X ，1名男员工中实得计件工资在3 100元以及以上的人数为Y ，则X ～B ⎝⎛⎭⎫2，12，Y ～B ⎝⎛⎭⎫1，25， Z 的所有可能取值为0，1，2，3，P (Z ＝0)＝P (X ＝0，Y ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－122⎝⎛⎭⎫1－25＝320， P (Z ＝1)＝P (X ＝1，Y ＝0)＋P (X ＝0，Y ＝1) ＝C 12·12·⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－25＋⎝⎛⎭⎫1－12225＝25， P (Z ＝2)＝P (X ＝2，Y ＝0)＋P (X ＝1，Y ＝1) ＝C 22⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫1－25＋C 1212⎝⎛⎭⎫1－1225＝720， P (Z ＝3)＝P (X ＝2，Y ＝1)＝⎝⎛⎭⎫122×25＝110， 所以Z 的分布列为故E (Z )＝0×320＋1×25＋2×720＋3×110＝75.。