中考数学二次函数精讲精练

二次函数(答案版)二次函数的概念一般地形如y=ax2+bx+c（a≠0 a, b, c为常数）的函数是二次函数.若b=0 则y=ax2+c；若c=0 则y=ax2+bx；若b=c=0 则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.题型1：二次函数的概念1.下列函数表达式中一定为二次函数的是（）A．y=5x−1B．y=ax2+bx+c C．y=3x2+1D．y=x2+1x【答案】C【解析】【解答】解：A、是一次函数故此选项错误；B、当a≠0时是二次函数故此选项错误；C、是二次函数故此选项正确；D、含有分式不是二次函数故此选项错误.故答案为：C.【分析】形如“ y=ax2+bx+c(a≠0)”的函数就是二次函数据此一一判断即可得出答案.为整式 根据定义进行判断即可. 题型2：利用二次函数定义求字母的值2.已知 y =(m +1)x |m−1|+2m 是y 关于x 的二次函数 则m 的值为（ ）A ．−1B ．3C ．−1 或 3D ．0【答案】B【解析】【解答】解：∵y =(m +1)x |m−1|+2m 是y 关于x 的二次函数∴{|m −1|=2m +1≠0 解得： m =3 ；题型3：二次函数的一般形式3.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A．2、0、﹣3B．2、﹣3、0C．2、3、0D．2、0、3【答案】A【解析】【解答】解：二次函数y=2x2-3的二次项系数是2 一次项系数是0 常数项是-3故答案为：A．【分析】根据二次函数的定义：一般地形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0）的函数叫做二次【分析】根据形如y=ax+bx+c是二次函数可得答案．题型4：根据实际问题列二次函数4.一个矩形的周长为16cm 设一边长为xcm 面积为y cm2那么y与x的关系式是【答案】y=-x2+8x【解析】【解答】解：∵长方形的周长为16cm 其中一边长为xcm∴另一边长为（8-x）cm∵长方形面积为ycm2∴y与x的关系式为y=x(8−x)=-x2+8x.故答案为：y=-x2+8x.【变式4-1】如图用长为20米的篱笆（AB+BC+CD=20）一边利用墙（墙足够长）围成一个长方形花圃．设花圃的宽AB为x米围成的花圃面积为y米2则y关于x的函数关系式是．【答案】y=﹣2x2+20x【解析】【解答】解：由题意可得：y=x（20﹣2x）=﹣2x2+20x．故答案为：y=﹣2x2+20x．【分析】根据题意表示出花圃的长为（20﹣2x）m 进而利用矩形面积公式得出答案．题型5：自变量的取值范围5.．若y=(a−2)x2−3x+4是二次函数则a的取值范围是（）A．a≠2B．a>0C．a>2D．a≠0【答案】A一、单选题1．下列函数解析式中一定为二次函数的是（）A．y=√x2+3B．y=ax2+bx+c C．y=t2−2t+2D．y=x2+1x【答案】C【解析】【解答】解：A、根号中含自变量不是二次函数故此选项错误；B、当a≠0时是二次函数故此选项错误；C、是二次函数故此选项正确；D、含有分式不是二次函数故此选项错误.故答案为：C.【分析】形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）的函数为二次函数据此判断.2．函数y=（m+2）x m2+m+2x+1是二次函数则m的值为（）A．﹣2B．0C．﹣2或1D．1【答案】D【解析】【解答】∵函数y=（m+2 ）x m2+m+2x+1是二次函数∴m2+m=2 m+2≠0解得：m=1．故答案为：D．【分析】根据二次函数的定义自变量的最高次数是2 二次项的系数不能为0 从而建立混合组求解即可。

2019-2020学年中考复习：二次函数拔高专题精讲精练（含答案解析）1．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题；分类讨论。

解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A．B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），2．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．考点：二次函数综合题。

模块三 函数第四讲 二次函数的图象和性质知识梳理 夯实基础知识点1：二次函数的概念及表达式1.一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：()()12y a x x x x =--，其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．知识点2：二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质a >0 a <0开口向上开口向下2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系知识点3：抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．:2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．知识点4：二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax 2+bx +c =0（a ≠0）的解是抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标． 3．（1）b 2–4ac >0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴有两个交点； （2）b 2–4ac =0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴有且只有一个交点； （3）b 2–4ac <0⇔方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．知识点5：二次函数的综合1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．直击中考 胜券在握1．(2023·甘肃兰州中考）二次函数222=++y x x 的图象的对称轴是（ ） A ．1x =-B ．2x =-C ．1x =D ．2x =2．(2023·西藏中考）将抛物线y ＝（x ﹣1）2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ） A ．y ＝x 2﹣8x ＋22B ．y ＝x 2﹣8x ＋14C ．y ＝x 2＋4x ＋10D ．y ＝x 2＋4x ＋23．(2023·广西河池中考）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列说法中，错误的是（ ）A ．对称轴是直线12x = B ．当12x -<<时，0y < C ．a c b +=D ．a b c +>-4．(2023·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数2(2)y a x k =++的图象与x 轴交于A ，(), 10B -两点，则下列说法正确的是（ ）A ．0a <B ．点A 的坐标为()4,0-C ．当0x <时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴为直线2x =-5．(2023·广东广州·中考真题）抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-，则当2x =时，y 的值为（ ）A ．5-B ．3-C ．1-D ．56．(2023·绍兴中考）关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值67．(2023·贵州黔东南中考）如图，抛物线()210:+=+L y ax bx c a ≠与x 轴只有一个公共点A （1，0），与y 轴交于点B （0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线2L ，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．(2023·江苏徐州中考）在平面直角坐标系中，将二次函数2y x 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A ．()221y x =-+B ．()221y x =++C ．()221y x =+-D ．()221y x =--9．(2023·山东淄博中考）已知二次函数2286y x x =-+的图象交x 轴于,A B 两点．若其图象上有且只有123,,P P P 三点满足123ABP ABP ABP S S Sm ===，则m 的值是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．410．(2023·内蒙古赤峰·中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++上的部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表：以下结论正确的是（ ）A ．抛物线2y ax bx c =++的开口向下B ．当3x <时，y 随x 增大而增大C ．方程20ax bx c ++=的根为0和2D ．当0y >时，x 的取值范围是02x <<11．(2023·四川雅安中考）定义：{}()min ,()a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若函数()2min 123y x x x =+-++，，则该函数的最大值为（ ） A ．0B ．2C ．3D ．412．(2023·湖北天门中考）若抛物线2y x bx c =++与x 轴两个交点间的距离为4．对称轴为2x =，P 为这条抛物线的顶点，则点P 关于x 轴的对称点的坐标是（ ） A ．()2,4B ．()2,4-C ．()2,4--D ．()2,4-13．(2023·贵州铜仁中考）已知直线2y kx =+过一、二、三象限，则直线2y kx =+与抛物线223y x x =-+的交点个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个14．(2023·四川广元中考）将二次函数2y x 2x 3=-++的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y x b =+与新函数的图象恰有3个公共点时，b 的值为（ ）A ．214-或3- B ．134-或3- C ．214或3- D ．134或3- 15．(2023·四川眉山中考）在平面直角坐标系中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为（ ） A ．245y x x =--+ B ．245y x x =++ C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---16．(2023·广西贺州中考）如图，已知抛物线2y ax c =+与直线y kx m =+交于1(3,)A y -，2(1,)B y 两点，则关于x 的不等式2ax c kx m +≥-+的解集是（ ）A ．3x ≤-或1≥xB ．1x ≤-或3x ≥C ．31x -≤≤D ．13x -≤≤17．(2023·内蒙古中考）已知二次函数2(0)y ax bx c a =-+≠的图象经过第一象限的点(1,)b -，则一次函数y bx ac =-的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限18．(2023·安徽·中考真题）设抛物线2(1)y x a x a =+++，其中a 为实数． （1）若抛物线经过点(1,)m -，则m =______；（2）将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______． 19．(2023·贵州遵义·中考真题）如图，抛物线y ＝a （x ﹣2）2+3（a 为常数且a ≠0）与y 轴交于点A （0，53）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y ＝kx +23（k ≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x 1，x 2，当x 12+x 22＝10时，求k 的值；（3）当﹣4＜x ≤m 时，y 有最大值4m 3，求m 的值．20．(2023·青海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y =x +2与坐标轴交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，C 点的坐标为(1，0)，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A ，B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象写出不等式ax2+(b−1)x+c>2的解集；时，求P点的坐标．（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点,当PQ=√22。

一、基础知识（一）二次函数和一元二次方程的关系对于二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 来说，当0=y 时，就得一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a ，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与x 轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程ac b 42-=∆的取值与二次函数图像与x 轴的交点坐标的情况之间的关系：1.当042>-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点；2.当042=-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）；3.当042<-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴没有交点（抛物线要不全部在x 轴上方，要不全部在x 轴下方）.拓展：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与c bx ax y ++=2与直线bkx y +=（当0≠k 时为一次函数的图像，当0=k 时为平行于x 轴或与x 轴重合的一条直线b y =）的交点情况.二、重难点分析本课教学重点：利用一元二次方程根与系数的关系解决有关二次函数图像与x 轴交点横坐标的有关求值问题：当一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根1x 、2x 时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于两点A(1x ,0)、B(2x ,0)，此时有a b x x -=+21，1x ·ac x =2.此时抛物线与x 轴两交点的距离为：AB=21x x -=221)(x x -212214)(x x x x -+=224a ac b -=a ∆=（公式①）. 本题教学难点：利用二次函数图象解决一元二次方程的解一方面，反过来，我们可以根据抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点情况去判断一元二次方程02=++c bx ax 的根的情况.另一方面，我们还可以利用二次函数图像比较直观地去解决有关一元二次方程的解的问题以及有关系数的值的问题.典例精析：例1．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( )A ．a ＞0B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0D ．a ＋b ＋c ＞0【答案】D【考点】 人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.2二次函数与一元二次方程例2.平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（ ）A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位【答案】B【考点】 人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.2二次函数与一元二次方程三、感悟中考1.（2013年杭州）定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为[2m,1-m ,-1–m]的函数的一些结论：①当m ＝-3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m<0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小；④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②④【答案】B【考点】 人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.2二次函数与一元二次方程2.（2013年扬州市中考题改编）若关于x 的一元二次方程0522=++ax x 的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是 ．【答案】102213-<<-a ．【考点】 人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.2二次函数与一元二次方程四、专项训练。

安徽省中考数学二次函数精讲精练1．(2019安徽14)在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x﹣a+1和y＝x2﹣2ax的图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a 的取值范围是．2、（2019安徽22）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．3、（2018安徽22）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？4、（2017安徽22）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/千克）50 60 70销售量y（千克）100 80 60（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入﹣成本）；（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？5、（2016安徽22）如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．6、（2015安徽10）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．7、（2015安徽22）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？8、（2014安徽22）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．O 60 20 4 批发单价（元） 5 批发量（kg ） ① ② 第23题图（1） O 6 2 40 日最高销量（kg ） 80 零售价（元） 第23题图（2）4 8 （6，80） （7，40） （1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x 的二次函数y 1=2x 2﹣4mx+2m 2+1和y 2=ax 2+bx+5，其中y 1的图象经过点A （1，1），若y 1+y 2与y 1为“同簇二次函数”，求函数y 2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y 2的最大值9、（2013安徽22）某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在x 天销售的相关信息如表所示．销售量p （件） p=50﹣x销售单价q （元/件） 当1≤x ≤20时，q=30+x当21≤x ≤40时，q=20+（!）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？（2）求该网店第x 天获得的利润y 关于x 的函数关系式；（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？10．（2009·安徽23）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．金额w （元） O 批发量m （） 300 200 100 20 40 60。

待定系数法求二次函数解析式（答案版）二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a b c 为常数 a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a h k 为常数 a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x 2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标 a ≠0)．注意：确定二次函数解析式常用待定系数法 用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步 设：先设出二次函数的解析式 如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+或12()()y a x x x x =-- 其中a ≠0；第二步 代：根据题中所给条件 代入二次函数的解析式中 得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步 解：解此方程或方程组 求待定系数；第四步 还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 题型1：一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知1.若抛物线y ＝x 2+bx +c 的对称轴为y 轴 且点P （2 6）在该抛物线上 则c 的值为（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．4【答案】C 【解析】【解答】解：∵抛物线y ＝x 2+bx+c 的对称轴为y 轴∴b ＝0∵点P （2 6）在该抛物线上∴6＝4+c解得：c ＝2．故答案为：C ．【分析】先求出b ＝0 再求出6＝4+c 最后计算求解即可。

【变式1-1】已知二次函数y=ax 2+c 的图象经过点（﹣2 8）和（﹣1 5） 求这个二次函数的表达式.【答案】解： ∵二次函数y=ax 2+c 的图象经过点（﹣2 8）和（﹣1 5）∴{4a +c =8a +c =5解得：{a =1c =4. ∴二次函数的表达式为y =x 2+4.【解析】【分析】根据已知的两点坐标分别代入二次函数y=ax 2+c 得出关于a 、c 的二元一次方程组 求解即可得出a 、c 的值 从而即可求二次函数解析式即可.【变式1-2】抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A B 两点 与y 轴交于点C 点A 的坐标为（-1 0） 点C 的坐标为（0 -3）。

初中数学二次函数题型精讲解答题1.（2018•福建B卷•14分）已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0.2）.且抛物线上任意不同两点M（x1.y1）.N（x2.y2）都满足：当x1＜x2＜0时.（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时.（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心.OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B.C.且B在C 的左侧.△ABC有一个内角为60°．（1）求抛物线的解析式；（2）若MN与直线y=﹣2x平行.且M.N位于直线BC的两侧.y1＞y2.解决以下问题：①求证：BC平分∠MBN；②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．【分析】（1）由A的坐标确定出c的值.根据已知不等式判断出y1﹣y2＜0.可得出抛物线的增减性.确定出抛物线对称轴为y轴.且开口向下.求出b的值.如图1所示.可得三角形ABC为等边三角形.确定出B 的坐标.代入抛物线解析式即可；（2）①设出点M（x1.﹣x12+2）.N（x2.﹣x22+2）.由MN与已知直线平行.得到k值相同.表示出直线MN解析式.进而表示出ME.BE.NF.BF.求出tan∠MBE与tan∠NBF的值相等.进而得到BC为角平分线；②三角形的外心即为三条垂直平分线的交点.得到y轴为BC的垂直平分线.设P为外心.利用勾股定理化简PB2=PM2.确定出△MBC外心的纵坐标的取值范围即可．【解答】解：（1）∵抛物线过点A（0.2）.∴c=2.当x1＜x2＜0时.x1﹣x2＜0.由（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0.得到y1﹣y2＜0. ∴当x＜0时.y随x的增大而增大.同理当x＞0时.y随x的增大而减小.∴抛物线的对称轴为y轴.且开口向下.即b=0.∵以O为圆心.OA为半径的圆与抛物线交于另两点B.C.如图1所示. ∴△ABC为等腰三角形.∵△ABC中有一个角为60°.∴△ABC为等边三角形.且OC=OA=2.设线段BC与y轴的交点为点D.则有BD=CD.且∠OBD=30°.∴BD=OB•cos30°=.OD=OB•sin30°=1.∵B在C的左侧.∴B的坐标为（﹣.﹣1）.∵B点在抛物线上.且c=2.b=0.∴3a+2=﹣1.解得：a=﹣1.则抛物线解析式为y=﹣x2+2；（2）①由（1）知.点M（x1.﹣x12+2）.N（x2.﹣x22+2）.∵MN与直线y=﹣2x平行.∴设直线MN的解析式为y=﹣2x+m.则有﹣x12+2=﹣2x1+m.即m=﹣x12+2x1+2.∴直线MN解析式为y=﹣2x﹣x12+2x1+2.把y=﹣2x﹣x12+2x1+2代入y=﹣x2+2.解得：x=x1或x=2﹣x1. ∴x2=2﹣x1.即y2=﹣（2﹣x1）2+2=﹣x12+4x1﹣10.作ME⊥BC.NF⊥BC.垂足为E.F.如图2所示.∵M.N位于直线BC的两侧.且y1＞y2.则y2＜﹣1＜y1≤2.且﹣＜x1＜x2.∴ME=y1﹣（﹣1）=﹣x12+3.BE=x1﹣（﹣）=x1+.NF=﹣1﹣y2=x12﹣4x1+9.BF=x2﹣（﹣）=3﹣x1.在Rt△BEM中.tan∠MBE===﹣x1.在Rt△BFN中.tan∠NBF=====﹣x1.∵tan∠MBE=tan∠NBF.∴∠MBE=∠NBF.则BC平分∠MBN；②∵y轴为BC的垂直平分线.∴设△MBC的外心为P（0.y0）.则PB=PM.即PB2=PM2.根据勾股定理得：3+（y0+1）2=x12+（y0﹣y1）2.∵x12=2﹣y2.∴y02+2y0+4=（2﹣y1）+（y0﹣y1）2.即y0=y1﹣1.由①得：﹣1＜y1≤2.∴﹣＜y0≤0.则△MBC的外心的纵坐标的取值范围是﹣＜y0≤0．【点评】此题属于二次函数综合题.涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式.二次函数的图象与性质.锐角三角函数定义.勾股定理.熟练掌握各自的性质是解本题的关键．2.（2018•广东•9分）如图.已知顶点为C（0.﹣3）的抛物线y=ax2+b （a≠0）与x轴交于A.B两点.直线y=x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M.使得∠MCB=15°？若存在.求出点M的坐标；若不存在.请说明理由．【分析】（1）把C（0.﹣3）代入直线y=x+m中解答即可；（2）把y=0代入直线解析式得出点B的坐标.再利用待定系数法确定函数关系式即可；（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．【解答】解：（1）将（0.﹣3）代入y=x+m.可得：m=﹣3；（2）将y=0代入y=x﹣3得：x=3.所以点B的坐标为（3.0）.将（0.﹣3）、（3.0）代入y=ax2+b中.可得：.解得：.所以二次函数的解析式为：y=x2﹣3；（3）存在.分以下两种情况：①若M在B上方.设MC交x轴于点D.则∠ODC=45°+15°=60°.∴OD=OC•tan30°=.设DC为y=kx﹣3.代入（.0）.可得：k=.联立两个方程可得：.解得：.所以M1（3.6）；②若M在B下方.设MC交x轴于点E.则∠OEC=45°﹣15°=30°.∴OE=OC•tan60°=3.设EC为y=kx﹣3.代入（3.0）可得：k=.联立两个方程可得：.解得：.所以M2（.﹣2）.综上所述M的坐标为（3.6）或（.﹣2）．【点评】此题主要考查了二次函数的综合题.需要掌握待定系数法求二次函数解析式.待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键．3.（2018•广西贵港•11分）如图.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1.0）.B（3.0）两点.与y轴相交于点C（0.﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点.PH⊥x轴于点H.与BC交于点M.连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时.求点P的坐标．【分析】（1）根据待定系数法.可得答案；（2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标.可得二次函数.根据二次函数的性质.可得答案；②根据等腰三角形的定义.可得方程.根据解方程.可得答案．【解答】解：（1）将A.B.C代入函数解析式.得.解得.这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；（2）设BC的解析是为y=kx+b.将B.C的坐标代入函数解析式.得.解得.BC的解析是为y=x﹣3.设M（n.n﹣3）.P（n.n2﹣2n﹣3）.PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣）2+.当n=时.PM最大=；②当PM=PC时.（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2.解得n1=0（不符合题意.舍）.n2=﹣（不符合题意.舍）.n3=. n2﹣2n﹣3=2﹣2﹣3=﹣2﹣1.P（.﹣2﹣1）．当PM=MC时.（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2.解得n1=0（不符合题意.舍）.n2=﹣7（不符合题意.舍）.n3=1.n2﹣2n﹣3=1﹣2﹣3=﹣4.P（1.﹣4）；综上所述：P（1.﹣4）或（.﹣2﹣1）．【点评】本题考查了二次函数综合题.解（1）的关键是利用待定系数法求函数解析式.解（2）①的关键是利用平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出二次函数.又利用了二次函数的性质；解（2）②的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n的方程.要分类讨论.以防遗漏．4.（2018•贵州黔西南州•14分）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x 之间的关系如图1所示.成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段.图2的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低.此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜.每千克的收益最大？简单说明理由．（3）已知市场部销售该种蔬菜4.5两个月的总收益为22万元.且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克.求4.5两个月的销售量分别是多少万千克？【分析】（1）找出当x=6时.y1.y2的值.二者做差即可得出结论；（2）观察图象找出点的坐标.利用待定系数法即可求出y1.y2关于x 的函数关系式.二者做差后利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）求出当x=4时.y1﹣y2的值.设4月份的销售量为t万千克.则5月份的销售量为（t+2）万千克.根据总利润=每千克利润×销售数量.即可得出关于t的一元一次方程.解之即可得出结论．【解答】解：（1）当x=6时.y1=3.y2=1.∵y1﹣y2=3﹣1=2.∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．（2）设y1=mx+n.y2=a（x﹣6）2+1．将（3.5）、（6.3）代入y1=mx+n..解得：.∴y1=﹣x+7；将（3.4）代入y2=a（x﹣6）2+1.4=a（3﹣6）2+1.解得：a=.∴y2=（x﹣6）2+1=x2﹣4x+13．∴y1﹣y2=﹣x+7﹣（x2﹣4x+13）=﹣x2+x﹣6=﹣（x﹣5）2+．∵﹣＜0.∴当x=5时.y1﹣y2取最大值.最大值为.即5月份出售这种蔬菜.每千克的收益最大．（3）当t=4时.y1﹣y2=﹣x2+x﹣6=2．设4月份的销售量为t万千克.则5月份的销售量为（t+2）万千克. 根据题意得：2t+（t+2）=22.解得：t=4.∴t+2=6．答：4月份的销售量为4万千克.5月份的销售量为6万千克．【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质以及一元一次方程的应用.解题的关键是：（1）观察函数图象.找出当x=6时y1﹣y2的值；（2）根据点的坐标.利用待定系数法求出y1.y2关于x的函数关系式；（3）找准等量关系.正确列出一元一次方程．5.（2018•贵州铜仁•14分）如图.已知抛物线经过点A（﹣1.0）.B （4.0）.C（0.2）三点.点D与点C关于x轴对称.点P是x轴上的一个动点.设点P的坐标为（m.0）.过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q.交直线于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0.）.当点P在x轴上运动时.试求m为何值时.四边形DMQF是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中.是否存在点Q.使得以点B.Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在.求出点Q的坐标；若不存在.请说明理由．【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=x﹣2.则Q（m.﹣m2+m+2）、M（m.m﹣2）.由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF.据此列出关于m的方程.解之可得；（3）易知∠ODB=∠QMB.故分①∠DOB=∠MBQ=90°.利用△DOB∽△MBQ 得==.再证△MBQ∽△BPQ得=.即=.解之即可得此时m的值；②∠BQM=90°.此时点Q与点A重合.△BOD∽△BQM′.易得点Q坐标．【解答】解：（1）由抛物线过点A（﹣1.0）、B（4.0）可设解析式为y=a（x+1）（x﹣4）.将点C（0.2）代入.得：﹣4a=2.解得：a=﹣.则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2；（2）由题意知点D坐标为（0.﹣2）.设直线BD解析式为y=kx+b.将B（4.0）、D（0.﹣2）代入.得：.解得：.∴直线BD解析式为y=x﹣2.∵QM⊥x轴.P（m.0）.∴Q（m.﹣m2+m+2）、M（m.m﹣2）.则QM=﹣m2+m+2﹣（m﹣2）=﹣m2+m+4.∵F（0.）、D（0.﹣2）.∴DF=.∵QM∥DF.∴当﹣m2+m+4=时.四边形DMQF是平行四边形. 解得：m=﹣1（舍）或m=3.即m=3时.四边形DMQF是平行四边形；（3）如图所示：∵QM∥DF.∴∠ODB=∠QMB.分以下两种情况：①当∠DOB=∠MBQ=90°时.△DOB∽△MBQ.则===.∵∠MBQ=90°.∴∠MBP+∠PBQ=90°.∵∠MPB=∠BPQ=90°.∴∠MBP+∠BMP=90°.∴∠BMP=∠PBQ.∴△MBQ∽△BPQ.∴=.即=.解得：m1=3.m2=4.当m=4时.点P、Q、M均与点B重合.不能构成三角形.舍去.∴m=3.点Q的坐标为（3.2）；②当∠BQM=90°时.此时点Q与点A重合.△BOD∽△BQM′.此时m=﹣1.点Q的坐标为（﹣1.0）；综上.点Q的坐标为（3.2）或（﹣1.0）时.以点B.Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．6.（2018•海南•15分）如图1.抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1.0）和点B（3.0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2.该抛物线与y轴交于点C.顶点为F.点D（2.3）在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点（点P不与点A.B重合）.过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q.连接AQ、DQ.当△AQD是直角三角形时.求出所有满足条件的点Q的坐标．【分析】（1）由A.B两点的坐标.利用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）①连接CD.则可知CD∥x轴.由A.F的坐标可知F、A到CD的距离.利用三角形面积公式可求得△ACD和△FCD的面积.则可求得四边形ACFD的面积；②由题意可知点A处不可能是直角.则有∠ADQ=90°或∠AQD=90°.当∠ADQ=90°时.可先求得直线AD解析式.则可求出直线DQ解析式.联立直线DQ和抛物线解析式则可求得Q点坐标；当∠AQD=90°时.设Q（t.﹣t2+2t+3）.设直线AQ的解析式为y=k1x+b1.则可用t表示出k′.设直线DQ解析式为y=k2x+b2.同理可表示出k2.由AQ⊥DQ则可得到关于t的方程.可求得t的值.即可求得Q点坐标．【解答】解：（1）由题意可得.解得.∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）①∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4.∴F（1.4）.∵C（0.3）.D（2.3）.∴CD=2.且CD∥x轴.∵A（﹣1.0）.∴S四边形ACFD=S△ACD+S△FCD=×2×3+×2×（4﹣3）=4；②∵点P在线段AB上.∴∠DAQ不可能为直角.∴当△AQD为直角三角形时.有∠ADQ=90°或∠AQD=90°.i．当∠ADQ=90°时.则DQ⊥AD.∵A（﹣1.0）.D（2.3）.∴直线AD解析式为y=x+1.∴可设直线DQ解析式为y=﹣x+b′.把D（2.3）代入可求得b′=5.∴直线DQ解析式为y=﹣x+5.联立直线DQ和抛物线解析式可得.解得或. ∴Q（1.4）；ii．当∠AQD=90°时.设Q（t.﹣t2+2t+3）.设直线AQ的解析式为y=k1x+b1.把A.Q坐标代入可得.解得k1=﹣（t﹣3）.设直线DQ解析式为y=k2x+b2.同理可求得k2=﹣t.∵AQ⊥DQ.∴k1k2=﹣1.即t（t﹣3）=﹣1.解得t=.当t=时.﹣t2+2t+3=.当t=时.﹣t2+2t+3=.∴Q点坐标为（.）或（.）；综上可知Q点坐标为（1.4）或（.）或（.）．【点评】本题为二次函数的综合应用.涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、直角三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用.在（2）①中注意把四边形转化为两个三角形.在②利用互相垂直直线的性质是解题的关键．本题考查知识点较多.综合性较强.难度适中．7.（2018•贵州遵义•14分）在平面直角坐标系中.二次函数y=ax2+ x+c的图象经过点C（0.2）和点D（4.﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①.若点M是二次函数图象上的点.且在直线CE的上方.连接MC.OE.ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②.经过A.B.C三点的圆交y轴于点F.求点F的坐标．【分析】（1）把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值.确定出二次函数解析式.与一次函数解析式联立求出E坐标即可；（2）过M作MH垂直于x轴.与直线CE交于点H.四边形COEM面积最大即为三角形CME面积最大.构造出二次函数求出最大值.并求出此时M坐标即可；（3）令y=0.求出x的值.得出A与B坐标.由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC与三角形BOF相似.由相似得比例求出OF的长.即可确定出F坐标．【解答】解：（1）把C（0.2）.D（4.﹣2）代入二次函数解析式得：.解得：.即二次函数解析式为y=﹣x2+x+2.联立一次函数解析式得：.消去y得：﹣x+2=﹣x2+x+2.解得：x=0或x=3.则E（3.1）；（2）如图①.过M作MH∥y轴.交CE于点H.设M（m.﹣m2+m+2）.则H（m.﹣m+2）.∴MH=（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m.S四边形COEM=S△OCE+S△CME=×2×3+MH•3=﹣m2+3m+3.当m=﹣=时.S最大=.此时M坐标为（.3）；（3）连接BF.如图②所示.当﹣x2+x+20=0时.x1=.x2=.∴OA=.OB=.∵∠ACO=∠ABF.∠AOC=∠FOB.∴△AOC∽△FOB.∴=.即=.解得：OF=.则F坐标为（0.﹣）．8．（2018年湖南省娄底市）如图.抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1.0）、B（3.0）、C（0.3）.D是抛物线的顶点.E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式.并写出D点的坐标；（2）F（x.y）是抛物线上的动点：①当x＞1.y＞0时.求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时.求点F的坐标．【分析】（1）根据点A.B.C的坐标.利用待定系数法即可求出抛物线的解析式.再利用配方法即可求出抛物线顶点D的坐标；（2）①过点F作FM∥y轴.交BD于点M.根据点B.D的坐标.利用待定系数法可求出直线BD的解析式.根据点F的坐标可得出点M的坐标.利用三角形的面积公式可得出S△BDF=﹣x2+4x﹣3.再利用二次函数的性质即可解决最值问题；②过点E作EN∥BD交y轴于点N.交抛物线于点F1.在y轴负半轴取ON′=ON.连接EN′.射线EN′交抛物线于点F2.则∠AEF1=∠DBE.∠AEF2=∠DBE.根据EN∥BD结合点E的坐标可求出直线EF1的解析式.联立直线EF1.抛物线的解析式成方程组.通过解方程组即可求出点F1的坐标.同理可求出点F2的坐标.此题得解．【解答】解：（1）将A（﹣1.0）、B（3.0）、C（0.3）代入y=ax2+bx+c..解得：.∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4.∴顶点D的坐标为（1.4）．（2）①过点F作FM∥y轴.交BD于点M.如图1所示．设直线BD的解析式为y=mx+n（m≠0）.将（3.0）、（1.4）代入y=mx+n..解得：.∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6．∵点F的坐标为（x.﹣x2+2x+3）.∴点M的坐标为（x.﹣2x+6）.∴FM=﹣x2+2x+3﹣（﹣2x+6）=﹣x2+4x﹣3.∴S△BDF=FM•（y B﹣y D）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1．∵﹣1＜0.∴当x=2时.S△BDF取最大值.最大值为1．②过点E作EN∥BD交y轴于点N.交抛物线于点F1.在y轴负半轴取ON′=ON.连接EN′.射线EN′交抛物线于点F2.如图2所示．∵EF1∥BD.∴∠AEF1=∠DBE．∵ON=ON′.EO⊥NN′.∴∠AEF2=∠AEF1=∠DBE．∵E是线段AB的中点.A（﹣1.0）.B（3.0）.∴点E的坐标为（1.0）．设直线EF1的解析式为y=﹣2x+b1.将E（1.0）代入y=﹣2x+b1.﹣2+b1=0.解得：b1=2.∴直线EF1的解析式为y=﹣2x+2．联立直线EF1.抛物线解析式成方程组..解得：.（舍去）.∴点F1的坐标为（2﹣.2﹣2）．当x=0时.y=﹣2x+2=2.∴点N的坐标为（0.2）.∴点N′的坐标为（0.﹣2）．同理.利用待定系数法可求出直线EF2的解析式为y=2x﹣2．联立直线EF2.抛物线解析式成方程组..解得：.（舍去）.∴点F2的坐标为（﹣.﹣2﹣2）．综上所述：当∠AEF=∠DBE时.点F的坐标为（2﹣.2﹣2）或（﹣.﹣2﹣2）．【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、三角形的面积、平行线的性质以及二次函数的最值.解题的关键是：（1）根据点的坐标.利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）①根据三角形的面积公式找出S△BDF=﹣x2+4x﹣3；②联立直线与抛物线的解析式成方程组.通过解方程组求出点F的坐标．9．(2018湖南省邵阳市)（10分）如图所示.将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折.然后向右平移1个单位.再向上平移4个单位.得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B.和x轴的交点为点C.D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A.C.D三个点中任取两个点和点B构造三角形.求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点.点N是△ABC三边上的动点.是否存在以AM为斜边的Rt△AMN.使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在.求tan∠MAN的值；若不存在.请说明理由．【分析】（1）利用配方法得到y=x2+2x+1=（x+1）2.然后根据抛物线的变换规律求解；（2）利用顶点式y=（x+1）2得到A（﹣1.0）.解方程﹣x2+4=0得D （﹣2.0）.C（2.0）易得B（0.4）.列举出所有的三角形.再计算出AC=3.AD=1.CD=4.AB=.BC=2.BD=2.然后根据等腰三角形的判定方法和概率公式求解；（3）易得BC的解析是为y=﹣2x+4.S△ABC=6.M点的坐标为（m.﹣2m+4）（0≤m≤2）.讨论：①当N点在AC上.如图1.利用面积公式得到（m+1）（﹣2m+4）=2.解得m1=0.m2=1.当m=0时.求出AN=1.MN=4.再利用正切定义计算tan∠MAC的值；当m=1时.计算出AN=2.MN=2.再利用正切定义计算tan∠MAC的值；②当N点在BC上.如图2.先利用面积法计算出AN=.再根据三角形面积公式计算出MN=.然后利用正切定义计算tan∠MAC的值；③当N点在AB上.如图3.作AH⊥BC于H.设AN=t.则BN=﹣t.由②得AH=.利用勾股定理可计算出BH=.证明△BNM∽△BHA.利用相似比可得到MN=.利用三角形面积公式得到•（﹣t）•=2.根据此方程没有实数解可判断点N在AB上不符合条件.从而得到tan∠MAN的值为1或4或．【解答】解：（1）y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折.得y=﹣（x+1）2．把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位.再向上平移4个单位.得y=﹣x2+4. ∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4；（2）∵y=x2+2x+1=（x+1）2.∴A（﹣1.0）.当y=0时.﹣x2+4=0.解得x=±2.则D（﹣2.0）.C（2.0）；当x=0时.y=﹣x2+4=4.则B（0.4）.从点A.C.D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB.△ADB.△CDB.∵AC=3.AD=1.CD=4.AB=.BC=2.BD=2.∴△BCD为等腰三角形.∴构造的三角形是等腰三角形的概率=；（3）存在．易得BC的解析是为y=﹣2x+4.S△ABC=AC•OB=×3×4=6.M点的坐标为（m.﹣2m+4）（0≤m≤2）.①当N点在AC上.如图1.∴△AMN的面积为△ABC面积的.∴（m+1）（﹣2m+4）=2.解得m1=0.m2=1.当m=0时.M点的坐标为（0.4）.N（0.0）.则AN=1.MN=4.∴tan∠MAC===4；当m=1时.M点的坐标为（1.2）.N（1.0）.则AN=2.MN=2.∴tan∠MAC==；②当N点在BC上.如图2.BC==2.∵BC•AN=AC•BC.解得AN==.∵S△AMN=AN•MN=2.∴MN==.∴∠MAC===；③当N点在AB上.如图3.作AH⊥BC于H.设AN=t.则BN=﹣t.由②得AH=.则BH==.∵∠NBG=∠HBA.∴△BNM∽△BHA.∴=.即=.∴MN=.∵AN•MN=2.即•（﹣t）•=2.整理得3t2﹣3t+14=0.△=（﹣3）2﹣4×3×14=﹣15＜0.方程没有实数解.∴点N在AB上不符合条件.综上所述.tan∠MAN的值为1或4或．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的判定、概率公式；理解二次函数图象的图象变换规律.会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质.记住两点间的距离公式.会利用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。

初中数学二次函数题型精讲1.（2018•湖州•6分）已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1.0）.（3.0）.求a.b的值．【分析】根据抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1.0）.（3.0）.可以求得A.b的值.本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1.0）.（3.0）. ∴.解得..即a的值是1.b的值是﹣2．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征.解答本题的关键是明确题意.利用二次函数的性质解答．2.（2018•金华、丽水•10分）如图.抛物线（a≠0）过点E（10.0）.矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边）.点 C . D在抛物线上．设A（t. 0）.当t=2时.AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时.矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动.向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G . H . 且直线GH平分矩形的面积时.求抛物线平移的距离．【解析】【分析】（1）抛物线中有两个字母a,b未知.则需要两个点的坐标.E点已知.由当t=2时.AD=4.可得D的坐标.由待定系数法代入求出a.b的值即可；（2）求矩形ABCD的周长最大值.可以联系到二次函数在求最值中的应用.因为矩形ABCD的周长随着t的变化而变化.不妨用t的代数式表示出矩形ABCD的周长.再运用二次函数求最值的方法去做；（3）因为矩形ABCD是中心对称图形.设其中心为点P.所以只要GH经过该矩形的中心即可；先理清抛物线在平移时抛物线与矩形ABCD边的交点位置.一开始.抛物线从D开始出发.与线段CD和AD有交点.而过这两个交点的直线必不经过点P.同样这两个交点分别在BC和AB上时.也不经过点P.则可得出当G.H分别在线段AB和CD上时.存在这样的直线经过点P.从而根据平移的性质得出结果即可。

1、二次函数的定义定义：y=ax2 ＋bx ＋c （a 、b 、c是常数， a ≠0）定义重点：①a≠0②最高次数为 2 ③代数式必定是整式练习：1、y=-x2，y=2x2-2/x，y=100-5x2，y=3x2-2x3+5,此中是二次函数的有____个。

m2m2.当m_______时,函数y=(m+1)χ-2χ+1是二次函数？2、二次函数的图像及性质y抛物线极点坐标xy=ax2+bx+c(a>0)4acb2a,4ay0 xy=ax2+bx+c(a<0)b4acb22a,4ab直线x 直线xb对称轴地点张口方向增减性最值2a由a,b和c的符号确立a>0,张口向上在对称轴的左边,y跟着x的增大而减小.在对称轴的右边,y跟着x的增大而增大.当x b 时,y最小值为4acb22 a4a2a由a,b和c的符号确立a<0,张口向下在对称轴的左边,y跟着x的增大而增大.在对称轴的右边,y跟着x的增大而减小.当x b时,y最大值为4acb22a4a例2：已知二次函数y1232x21）求抛物线张口方向，对称轴和极点M 的坐标。

2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，求C ，A ，B 的坐标。

3）x 为什么值时，y 随的增大而减少，x 为什么值时，y 有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？ 4）x 为什么值时，y<0？x 为什么值时，y>0？3、求抛物线分析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点，往常设分析式为________________y=ax2+bx+c(a≠0)2,极点式：已知抛物线极点坐标（h,k ），往常设抛物线分析式为_______________求出表达式后化为一般形式.y=a(x-h)2+k(a≠0)3,交点式:已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0),往常设分析式为_____________求出表达式后化为一般形式.y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)练习：依据以下条件，求二次函数的分析式。

初中数学二次函数题型精讲解答题1.（2018•达州•12分）如图.抛物线经过原点O（0.0）.点A（1.1）.点．（1）求抛物线解析式；（2）连接OA.过点A作AC⊥OA交抛物线于C.连接OC.求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点.连接OM.过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M.使以点O.M.N为顶点的三角形与（2）中的△AOC 相似.若存在.求出点M的坐标；若不存在.说明理由．【分析】（1）设交点式y=ax（x﹣）.然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）延长CA交y轴于D.如图1.易得OA=.∠DOA=45°.则可判断△AOD 为等腰直角三角形.所以OD=OA=2.则D（0.2）.利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=﹣x+2.再解方程组得C（5.﹣3）.然后利用三角形面积公式.利用S△AOC=S△COD﹣S△AOD进行计算；（3）如图2.作MH⊥x轴于H.AC=4.OA=.设M（x.﹣x2+x）（x＞0）.根据三角形相似的判定.由于∠OHM=∠OAC.则当=时.△OHM∽△OAC.即=；当=时.△OHM∽△CAO.即=.则分别解关于x的绝对值方程可得到对应M点的坐标.由于△OMH∽△ONM.所以求得的M点能以点O.M.N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣）.把A（1.1）代入得a•1（1﹣）=1.解得a=﹣.∴抛物线解析式为y=﹣x（x﹣）.即y=﹣x2+x；（2）延长CA交y轴于D.如图1.∵A（1.1）.∴OA=.∠DOA=45°.∴△AOD为等腰直角三角形.∵OA⊥AC.∴OD=OA=2.∴D（0.2）.易得直线AD的解析式为y=﹣x+2.解方程组得或.则C（5.﹣3）.∴S△AOC=S△COD﹣S△AOD=×2×5﹣×2×1=4；（3）存在．如图2.作MH⊥x轴于H.AC==4.OA=.设M（x.﹣x2+x）（x＞0）.∵∠OHM=∠OAC.∴当=时.△OHM∽△OAC.即=.解方程﹣x2+x=4x得x1=0（舍去）.x2=﹣（舍去）.解方程﹣x2+x=﹣4x得x1=0（舍去）.x2=.此时M点坐标为（.﹣54）；当=时.△OHM∽△CAO.即=.解方程﹣x2+x=x得x1=0（舍去）.x2=.此时M点的坐标为（.）. 解方程﹣x2+x=﹣x得x1=0（舍去）.x2=﹣.此时M点坐标为（.﹣）；∵MN⊥OM.∴∠OMN=90°.∴∠MON=∠HOM.∴△OMH∽△ONM.∴当M点的坐标为（.﹣54）或（.）或（.﹣）时.以点O.M.N 为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式.会解一元二次方程；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．2.（2018•遂宁•12分）如图.已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3.且与x轴相交于A.B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解折式和A.B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B.C两点之间的一个动点（不与B.C重合）.则是否存在一点P.使△PBC的面积最大．若存在.请求出△PBC的最大面积；若不存在.试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点.过点M作y轴的平行线.交直线BC于点N.当MN=3时.求M点的坐标．【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x=3.利用二次函数的性质即可求出a值.进而可得出抛物线的解析式.再利用二次函数图象上点的坐标特征.即可求出点A.B的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标.由点B.C的坐标.利用待定系数法即可求出直线BC的解析式.假设存在.设点P的坐标为（x.﹣x2+x+4）.过点P作PD∥y轴.交直线BC于点D.则点D的坐标为（x.﹣x+4）.PD=﹣x2+2x.利用三角形的面积公式即可得出S△PBC关于x 的函数关系式.再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）设点M的坐标为（m.﹣m2+m+4）.则点N的坐标为（m.﹣m+4）.进而可得出MN=|﹣m2+2m|.结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程.解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3.∴﹣=3.解得：a=﹣.∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．当y=0时.﹣x2+x+4=0.解得：x1=﹣2.x2=8.∴点A的坐标为（﹣2.0）.点B的坐标为（8.0）．（2）当x=0时.y=﹣x2+x+4=4.∴点C的坐标为（0.4）．设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）．将B（8.0）、C（0.4）代入y=kx+b..解得：.∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．假设存在.设点P的坐标为（x.﹣x2+x+4）.过点P作PD∥y轴.交直线BC于点D.则点D的坐标为（x.﹣x+4）.如图所示．∴PD=﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）=﹣x2+2x.∴S△PBC=PD•OB=×8•（﹣x2+2x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16．∵﹣1＜0.∴当x=4时.△PBC的面积最大.最大面积是16．∵0＜x＜8.∴存在点P.使△PBC的面积最大.最大面积是16．（3）设点M的坐标为（m.﹣m2+m+4）.则点N的坐标为（m.﹣m+4）.∴MN=|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|=|﹣m2+2m|．又∵MN=3.∴|﹣m2+2m|=3．当0＜m＜8时.有﹣m2+2m﹣3=0.解得：m1=2.m2=6.∴点P的坐标为（2.6）或（6.4）；当m＜0或m＞8时.有﹣m2+2m+3=0.解得：m3=4﹣2.m4=4+2.∴点P的坐标为（4﹣2.﹣1）或（4+2.﹣﹣1）．综上所述：M点的坐标为（4﹣2.﹣1）、（2.6）、（6.4）或（4+2.﹣﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积.解题的关键是：（1）利用二次函数的性质求出a的值；（2）根据三角形的面积公式找出S△PBC关于x的函数关系式；（3）根据MN的长度.找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程．3. （2018•资阳•12分）已知：如图.抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0.6）.B（6.0）.C（﹣2.0）.点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时.△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线.交线段AB于点D.再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E.连结DE.请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在.求出点P的坐标；若不存在.说明理由．【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）作PM⊥OB与点M.交AB于点N.作AG⊥PM.先求出直线AB解析式为y=﹣x+6.设P（t.﹣t2+2t+6）.则N（t.﹣t+6）.由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+ PN•BM=PN•OB列出关于t的函数表达式.利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO.据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°.结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形.则∠EDP=45°.从而得出点E与点A 重合.求出y=6时x的值即可得出答案．【解答】解：（1）∵抛物线过点B（6.0）、C（﹣2.0）.∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）.将点A（0.6）代入.得：﹣12a=6.解得：a=﹣.所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；（2）如图1.过点P作PM⊥OB与点M.交AB于点N.作AG⊥PM于点G.设直线AB解析式为y=kx+b.将点A（0.6）、B（6.0）代入.得：.解得：.则直线AB解析式为y=﹣x+6.设P（t.﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6.则N（t.﹣t+6）.∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t. ∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+PN•BM=PN•（AG+BM）=PN•OB=×（﹣t2+3t）×6=﹣t2+9t=﹣（t﹣3）2+.∴当t=3时.△PAB的面积有最大值；（3）如图2.∵PH⊥OB于H.∴∠DHB=∠AOB=90°.∴DH∥AO.∵OA=OB=6.∴∠BDH=∠BAO=45°.∵PE∥x轴、PD⊥x轴.∴∠DPE=90°.若△PDE为等腰直角三角形.则∠EDP=45°.∴∠EDP与∠BDH互为对顶角.即点E与点A重合.则当y=6时.﹣x2+2x+6=6.解得：x=0（舍）或x=4.即点P（4.6）．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题.解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．4. （2018•乌鲁木齐•10分）在平面直角坐标系xOy中.抛物线y=﹣ x2+bx+c 经过点A（﹣2.0）.B（8.0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C是抛物线与y轴的交点.连接BC.设点P是抛物线上在第一象限内的点.PD⊥BC.垂足为点D．①是否存在点P.使线段PD的长度最大？若存在.请求出点P的坐标；若不存在.请说明理由；②当△PDC与△COA相似时.求点P的坐标．【分析】（1）直接把点A（﹣2.0）.B（8.0）代入抛物线的解析式中列二元一次方程组.解出可得结论；（2）先得直线BC的解析式为：y=﹣ x+4.①如图1.作辅助线.先说明Rt△PDE中.PD=PE•sin∠PED=PE•sin∠OCB= PE.则当线段PE最长时.PD的长最大.设P（t. ）.则E（t. ）.表示PE的长.配方后可得PE的最大值.从而得PD的最大值；②先根据勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°.则△COA∽△BOC.所以当△PDC与△COA相似时.就有△PDC与△BOC相似.分两种情况：（I）若∠PCD=∠CBO时.即Rt△PDC∽Rt△COB.（II）若∠PCD=∠BCO时.即Rt△PDC∽Rt△BOC.分别求得P的坐标即可．【解答】解：（1）把A（﹣2.0）.B（8.0）代入抛物线y=﹣ x2+bx+c. 得： .解得： .∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x+4；（3分）（2）由（1）知C（0.4）.∵B（8.0）.易得直线BC的解析式为：y=﹣ x+4.①如图1.过P作PG⊥x轴于G.PG交BC于E.Rt△BOC中.OC=4.OB=8.∴BC= =4 .在Rt△PDE中.PD=PE•sin∠PED=PE•sin∠OCB= PE.∴当线段PE最长时.PD的长最大.设P（t. ）.则E（t. ）.∴PG=﹣ .EG=﹣ t+4.∴PE=PG﹣EG=（﹣）﹣（﹣ t+4）=﹣ t2+2t=﹣（t﹣4）2+4.（0＜t＜8）. 当t=4时.PE有最大值是4.此时P（4.6）.∴PD= = .即当P（4.6）时.PD的长度最大.最大值是；（7分）②∵A（﹣2.0）.B（8.0）.C（0.4）.∴OA=2.OB=8.OC=4.∴AC2=22+42=20.AB2=（2+8）2=100.BC2=42+82=80.∴AC2+BC2=AB2.∴∠ACB=90°.∴△COA∽△BOC.当△PDC与△COA相似时.就有△PDC与△BOC相似.∵相似三角形的对应角相等.∴∠PCD=∠CBO或∠PCD=∠BCO.（I）若∠PCD=∠CBO时.即Rt△PDC∽Rt△COB.此时CP∥OB.∵C（0.4）.∴yP=4.∴）=4.解得：x1=6.x2=0（舍）.即Rt△PDC∽Rt△COB时.P（6.4）；（II）若∠PCD=∠BCO时.即Rt△PDC∽Rt△BOC.如图2.过P作x轴的垂线PG.交直线BC于F.∴PF∥OC.∴∠PFC=∠BCO.∴∠PCD=∠PFC.∴PC=PF.设P（n. + n+4）.则PF=﹣ +2n.过P作PN⊥y轴于N.Rt△PNC中.PC2=PN2+CN2=PF2.∴n2+（ + n+4﹣4）2=（﹣ +2n）2.解得：n=3.即Rt△PDC∽Rt△BOC时.P（3. ）；综上所述.当△PDC与△COA相似时.点P的坐标为（6.4）或（3. ）．（12分）【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、勾股定理的逆定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识.解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.学会根据方程解决问题.属于中考压轴题．5. （2018•达州•7分）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中.因此.越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时.以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？（2）若该型号自行车的进价不变.按（1）中的标价出售.该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元.每月可多售出3辆.求该型号自行车降价多少元时.每月获利最大？最大利润是多少？【分析】（1）设进价为x元.则标价是1.5x元.根据关键语句：按标价九折销售该型号自行车8辆的利润是1.5x×0.9×8﹣8x.将标价直降100元销售7辆获利是（1.5x﹣100）×7﹣7x.根据利润相等可得方程1.5x×0.9×8﹣8x=（1.5x﹣100）×7﹣7x.再解方程即可得到进价.进而得到标价；（2）设该型号自行车降价a元.利润为w元.利用销售量×每辆自行车的利润=总利润列出函数关系式.再利用配方法求最值即可．【解答】解：（1）设进价为x元.则标价是1.5x元.由题意得：1.5x×0.9×8﹣8x=（1.5x﹣100）×7﹣7x.解得：x=1000.1.5×1000=1500（元）.答：进价为1000元.标价为1500元；（2）设该型号自行车降价a元.利润为w元.由题意得：w=（51+×3）（1500﹣1000﹣a）.=﹣（a﹣80）2+26460.∵﹣＜0.∴当a=80时.w最大=26460.答：该型号自行车降价80元出售每月获利最大.最大利润是26460元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用.以及元一次方程的应用.关键是正确理解题意.根据已知得出w与a的关系式.进而求出最值．6.（2018•上海•12分）在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1.0）和点B（0.）.顶点为C.点D在其对称轴上且位于点C下方.将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°.点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移.使其顶点C移到原点O的位置.这时点P落在点E的位置.如果点M在y轴上.且以O、D.E.M为顶点的四边形面积为8.求点M的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得到y=﹣（x﹣2）2+.则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2.如图.设CD=t.则D（2.﹣t）.根据旋转性质得∠PDC=90°.DP=DC=t.则P（2+t.﹣t）.然后把P（2+t.﹣t）代入y=﹣x2+2x+得到关于t的方程.从而解方程可得到CD的长；（3）P点坐标为（4.）.D点坐标为（2.）.利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（2.﹣2）.设M（0.m）.当m＞0时.利用梯形面积公式得到•（m++2）•2=8当m＜0时.利用梯形面积公式得到•（﹣m++2）•2=8.然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1.0）和点B（0.）代入y=﹣x2+bx+c得.解得.∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+；（2）∵y=﹣（x﹣2）2+.∴C（2.）.抛物线的对称轴为直线x=2.如图.设CD=t.则D（2.﹣t）.∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°.点C落在抛物线上的点P处.∴∠PDC=90°.DP=DC=t.∴P（2+t.﹣t）.把P（2+t.﹣t）代入y=﹣x2+2x+得﹣（2+t）2+2（2+t）+=﹣t. 整理得t2﹣2t=0.解得t1=0（舍去）.t2=2.∴线段CD的长为2；（3）P点坐标为（4.）.D点坐标为（2.）.∵抛物线平移.使其顶点C（2.）移到原点O的位置.∴抛物线向左平移2个单位.向下平移个单位.而P点（4.）向左平移2个单位.向下平移个单位得到点E.∴E点坐标为（2.﹣2）.设M（0.m）.当m＞0时.•（m++2）•2=8.解得m=.此时M点坐标为（0.）；当m＜0时.•（﹣m++2）•2=8.解得m=﹣.此时M点坐标为（0.﹣）；综上所述.M点的坐标为（0.）或（0.﹣）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和旋转的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．7.（2018•达州•12分）如图.抛物线经过原点O（0.0）.点A（1.1）.点．（1）求抛物线解析式；（2）连接OA.过点A作AC⊥OA交抛物线于C.连接OC.求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点.连接OM.过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M.使以点O.M.N为顶点的三角形与（2）中的△AOC 相似.若存在.求出点M的坐标；若不存在.说明理由．【分析】（1）设交点式y=ax（x﹣）.然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）延长CA交y轴于D.如图1.易得OA=.∠DOA=45°.则可判断△AOD 为等腰直角三角形.所以OD=OA=2.则D（0.2）.利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=﹣x+2.再解方程组得C（5.﹣3）.然后利用三角形面积公式.利用S△AOC=S△COD﹣S△AOD进行计算；（3）如图2.作MH⊥x轴于H.AC=4.OA=.设M（x.﹣x2+x）（x＞0）.根据三角形相似的判定.由于∠OHM=∠OAC.则当=时.△OHM∽△OAC.即=；当=时.△OHM∽△CAO.即=.则分别解关于x的绝对值方程可得到对应M点的坐标.由于△OMH∽△ONM.所以求得的M点能以点O.M.N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣）.把A（1.1）代入得a•1（1﹣）=1.解得a=﹣.∴抛物线解析式为y=﹣x（x﹣）.即y=﹣x2+x；（2）延长CA交y轴于D.如图1.∵A（1.1）.∴OA=.∠DOA=45°.∴△AOD为等腰直角三角形.∵OA⊥AC.∴OD=OA=2.∴D（0.2）.易得直线AD的解析式为y=﹣x+2.解方程组得或.则C（5.﹣3）.∴S△AOC=S△COD﹣S△AOD=×2×5﹣×2×1=4；（3）存在．如图2.作MH⊥x轴于H.AC==4.OA=.设M（x.﹣x2+x）（x＞0）.∵∠OHM=∠OAC.∴当=时.△OHM∽△OAC.即=.解方程﹣x2+x=4x得x1=0（舍去）.x2=﹣（舍去）.解方程﹣x2+x=﹣4x得x1=0（舍去）.x2=.此时M点坐标为（.﹣54）；当=时.△OHM∽△CAO.即=.解方程﹣x2+x=x得x1=0（舍去）.x2=.此时M点的坐标为（.）. 解方程﹣x2+x=﹣x得x1=0（舍去）.x2=﹣.此时M点坐标为（.﹣）；∵MN⊥OM.∴∠OMN=90°.∴∠MON=∠HOM.∴△OMH∽△ONM.∴当M点的坐标为（.﹣54）或（.）或（.﹣）时.以点O.M.N 为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式.会解一元二次方程；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．7. （2018•遂宁•12分）如图.已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3.且与x轴相交于A.B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解折式和A.B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B.C两点之间的一个动点（不与B.C重合）.则是否存在一点P.使△PBC的面积最大．若存在.请求出△PBC的最大面积；若不存在.试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点.过点M作y轴的平行线.交直线BC于点N.当MN=3时.求M点的坐标．【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x=3.利用二次函数的性质即可求出a值.进而可得出抛物线的解析式.再利用二次函数图象上点的坐标特征.即可求出点A.B的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标.由点B.C的坐标.利用待定系数法即可求出直线BC的解析式.假设存在.设点P的坐标为（x.﹣x2+x+4）.过点P作PD∥y轴.交直线BC于点D.则点D的坐标为（x.﹣x+4）.PD=﹣x2+2x.利用三角形的面积公式即可得出S△PBC关于x 的函数关系式.再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）设点M的坐标为（m.﹣m2+m+4）.则点N的坐标为（m.﹣m+4）.进而可得出MN=|﹣m2+2m|.结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程.解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3.∴﹣=3.解得：a=﹣.∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．当y=0时.﹣x2+x+4=0.解得：x1=﹣2.x2=8.∴点A的坐标为（﹣2.0）.点B的坐标为（8.0）．（2）当x=0时.y=﹣x2+x+4=4.∴点C的坐标为（0.4）．设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）．将B（8.0）、C（0.4）代入y=kx+b..解得：.∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．假设存在.设点P的坐标为（x.﹣x2+x+4）.过点P作PD∥y轴.交直线BC于点D.则点D的坐标为（x.﹣x+4）.如图所示．∴PD=﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）=﹣x2+2x.∴S△PBC=PD•OB=×8•（﹣x2+2x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16．∵﹣1＜0.∴当x=4时.△PBC的面积最大.最大面积是16．∵0＜x＜8.∴存在点P.使△PBC的面积最大.最大面积是16．（3）设点M的坐标为（m.﹣m2+m+4）.则点N的坐标为（m.﹣m+4）. ∴MN=|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|=|﹣m2+2m|．又∵MN=3.∴|﹣m2+2m|=3．当0＜m＜8时.有﹣m2+2m﹣3=0.解得：m1=2.m2=6.∴点P的坐标为（2.6）或（6.4）；当m＜0或m＞8时.有﹣m2+2m+3=0.解得：m3=4﹣2.m4=4+2.∴点P的坐标为（4﹣2.﹣1）或（4+2.﹣﹣1）．综上所述：M点的坐标为（4﹣2.﹣1）、（2.6）、（6.4）或（4+2.﹣﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积.解题的关键是：（1）利用二次函数的性质求出a的值；（2）根据三角形的面积公式找出S△PBC关于x的函数关系式；（3）根据MN的长度.找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程．8.（2018•资阳•12分）已知：如图.抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0.6）.B（6.0）.C（﹣2.0）.点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时.△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线.交线段AB于点D.再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E.连结DE.请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在.求出点P的坐标；若不存在.说明理由．【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）作PM⊥OB与点M.交AB于点N.作AG⊥PM.先求出直线AB解析式为y=﹣x+6.设P（t.﹣t2+2t+6）.则N（t.﹣t+6）.由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+ PN•BM=PN•OB列出关于t的函数表达式.利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO.据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°.结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形.则∠EDP=45°.从而得出点E与点A 重合.求出y=6时x的值即可得出答案．【解答】解：（1）∵抛物线过点B（6.0）、C（﹣2.0）.∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）.将点A（0.6）代入.得：﹣12a=6.解得：a=﹣.所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；（2）如图1.过点P作PM⊥OB与点M.交AB于点N.作AG⊥PM于点G.设直线AB解析式为y=kx+b.将点A（0.6）、B（6.0）代入.得：.解得：.则直线AB解析式为y=﹣x+6.设P（t.﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6.则N（t.﹣t+6）.∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t. ∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+PN•BM=PN•（AG+BM）=PN•OB=×（﹣t2+3t）×6=﹣t2+9t=﹣（t﹣3）2+.∴当t=3时.△PAB的面积有最大值；（3）如图2.∵PH⊥OB于H.∴∠DHB=∠AOB=90°.∴DH∥AO.∵OA=OB=6.∴∠BDH=∠BAO=45°.∵PE∥x轴、PD⊥x轴.∴∠DPE=90°.若△PDE为等腰直角三角形.则∠EDP=45°.∴∠EDP与∠BDH互为对顶角.即点E与点A重合.则当y=6时.﹣x2+2x+6=6.解得：x=0（舍）或x=4.即点P（4.6）．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题.解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．9.（2018•乌鲁木齐•10分）在平面直角坐标系xOy中.抛物线y=﹣ x2+bx+c 经过点A（﹣2.0）.B（8.0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C是抛物线与y轴的交点.连接BC.设点P是抛物线上在第一象限内的点.PD⊥BC.垂足为点D．①是否存在点P.使线段PD的长度最大？若存在.请求出点P的坐标；若不存在.请说明理由；②当△PDC与△COA相似时.求点P的坐标．【分析】（1）直接把点A（﹣2.0）.B（8.0）代入抛物线的解析式中列二元一次方程组.解出可得结论；（2）先得直线BC的解析式为：y=﹣ x+4.①如图1.作辅助线.先说明Rt△PDE中.PD=PE•sin∠PED=PE•sin∠OCB= PE.则当线段PE最长时.PD的长最大.设P（t. ）.则E（t. ）.表示PE的长.配方后可得PE的最大值.从而得PD的最大值；②先根据勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°.则△COA∽△BOC.所以当△PDC与△COA相似时.就有△PDC与△BOC相似.分两种情况：（I）若∠PCD=∠CBO时.即Rt△PDC∽Rt△COB.（II）若∠PCD=∠BCO时.即Rt△PDC∽Rt△BOC.分别求得P的坐标即可．【解答】解：（1）把A（﹣2.0）.B（8.0）代入抛物线y=﹣ x2+bx+c. 得： .解得： .∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x+4；（3分）（2）由（1）知C（0.4）.∵B（8.0）.易得直线BC的解析式为：y=﹣ x+4.①如图1.过P作PG⊥x轴于G.PG交BC于E.Rt△BOC中.OC=4.OB=8.∴BC= =4 .在Rt△PDE中.PD=PE•sin∠PED=PE•sin∠OCB= PE.∴当线段PE最长时.PD的长最大.设P（t. ）.则E（t. ）.∴PG=﹣ .EG=﹣ t+4.∴PE=PG﹣EG=（﹣）﹣（﹣ t+4）=﹣ t2+2t=﹣（t﹣4）2+4.（0＜t＜8）. 当t=4时.PE有最大值是4.此时P（4.6）.∴PD= = .即当P（4.6）时.PD的长度最大.最大值是；（7分）②∵A（﹣2.0）.B（8.0）.C（0.4）.∴OA=2.OB=8.OC=4.∴AC2=22+42=20.AB2=（2+8）2=100.BC2=42+82=80.∴AC2+BC2=AB2.∴∠ACB=90°.∴△COA∽△BOC.当△PDC与△COA相似时.就有△PDC与△BOC相似.∵相似三角形的对应角相等.∴∠PCD=∠CBO或∠PCD=∠BCO.（I）若∠PCD=∠CBO时.即Rt△PDC∽Rt△COB.此时CP∥OB.∵C（0.4）.∴yP=4.∴）=4.解得：x1=6.x2=0（舍）.即Rt△PDC∽Rt△COB时.P（6.4）；（II）若∠PCD=∠BCO时.即Rt△PDC∽Rt△BOC.如图2.过P作x轴的垂线PG.交直线BC于F.∴PF∥OC.∴∠PFC=∠BCO.∴∠PCD=∠PFC.∴PC=PF.设P（n. + n+4）.则PF=﹣ +2n.过P作PN⊥y轴于N.Rt△PNC中.PC2=PN2+CN2=PF2.∴n2+（ + n+4﹣4）2=（﹣ +2n）2.解得：n=3.即Rt△PDC∽Rt△BOC时.P（3. ）；综上所述.当△PDC与△COA相似时.点P的坐标为（6.4）或（3. ）．（12分）【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、勾股定理的逆定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识.解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.学会根据方程解决问题.属于中考压轴题．10. （2018•临安•8分）如图.△OAB是边长为2+的等边三角形.其中O 是坐标原点.顶点B在y轴正方向上.将△OAB折叠.使点A落在边OB上.记为A′.折痕为EF．（1）当A′E∥x轴时.求点A′和E的坐标；（2）当A′E∥x轴.且抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A′和E时.求抛物线与x轴的交点的坐标；（3）当点A′在OB上运动.但不与点O、B重合时.能否使△A′EF成为直角三角形？若能.请求出此时点A′的坐标；若不能.请你说明理由．【分析】（1）当A′E∥x轴时.△A′EO是直角三角形.可根据∠A′OE的度数用O′A表示出OE和A′E.由于A′E=AE.且A′E+OE=OA=2+.由此可求出OA′的长.也就能求出A′E的长．据此可求出A′和E的坐标；（2）将A′.E点的坐标代入抛物线中.即可求出其解析式．进而可求出抛物线与x轴的交点坐标；（3）根据折叠的性质可知：∠FA′E=∠A.因此∠FA′E不可能为直角.因此要使△A′EF成为直角三角形只有两种可能：①∠A′EF=90°.根据折叠的性质.∠A′EF=∠AEF=90°.此时A′与O重合.与题意不符.因此此种情况不成立．②∠A′FE=90°.同①.可得出此种情况也不成立．因此A′不与O、B重合的情况下.△A′EF不可能成为直角三角形．【解答】解：（1）由已知可得∠A′OE=60°.A′E=AE.由A′E∥x轴.得△OA′E是直角三角形.设A′的坐标为（0.b）.AE=A′E=b.OE=2b.b+2b=2+.所以b=1.A′、E的坐标分别是（0.1）与（.1）．（2）因为A′、E在抛物线上.所以.所以.函数关系式为y=﹣x2+x+1.由﹣x2+x+1=0.得x1=﹣.x2=2.与x轴的两个交点坐标分别是（.0）与（.0）．（3）不可能使△A′EF成为直角三角形．∵∠FA′E=∠FAE=60°.若△A′EF成为直角三角形.只能是∠A′EF=90°或∠A′FE=90°若∠A′EF=90°.利用对称性.则∠AEF=90°.A.E.A三点共线.O与A重合.与已知矛盾；同理若∠A′FE=90°也不可能.所以不能使△A′EF成为直角三角形．【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、直角三角形的判定和性质等知识点.综合性较强．。

初中数学二次函数题型精讲一,填空题1, （2018•乌鲁木齐•4分）把拋物线y=2x2﹣4x+3向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为．【分析】将原抛物线配方成顶点式,再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可得．【解答】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1.∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1.故答案为：y=2x2+1．【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换,解题的关键是掌握函数图象的平移规律“左加右减、上加下减”．2,（2018•江苏淮安•3分）将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象所对应的函数表达式是y=x2+2 ．【分析】先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0,﹣1）,再根据点平移的规律得到点（0,﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0,2）,然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0,﹣1）,把点（0,﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0,2）,所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2．故答案为：y=x2+2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式．3,（2018•江苏苏州•3分）如图,已知AB=8,P为线段AB上的一个动点,分别以AP,PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE,点P,C,E 在一条直线上,∠DAP=60°．M,N分别是对角线AC,BE的中点．当点P 在线段AB上移动时,点M,N之间的距离最短为2（结果留根号）．【分析】连接PM、PN．首先证明∠MPN=90°设PA=2a,则PB=8﹣2a,PM=a,PN=（4﹣a）,构建二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题；【解答】解：连接PM、PN．∵四边形APCD,四边形PBFE是菱形,∠DAP=60°.∴∠APC=120°,∠EPB=60°.∵M,N分别是对角线AC,BE的中点.∴∠CPM=∠APC=60°,∠EPN=∠EPB=30°,∴∠MPN=60°+30°=90°.设PA=2a,则PB=8﹣2a,PM=a,PN=（4﹣a）.∴MN===.∴a=3时,MN有最小值,最小值为2.故答案为2．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理二次函数的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构建二次函数解决最值问题．4, （2018•乌鲁木齐•4分）把拋物线y=2x2﹣4x+3向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为．【分析】将原抛物线配方成顶点式,再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可得．【解答】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1.∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1.故答案为：y=2x2+1．【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换,解题的关键是掌握函数图象的平移规律“左加右减、上加下减”．5, （2018•湖州•4分）如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C,与x轴的正半轴交于点A,它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形,则b的值是﹣2 ．【分析】根据正方形的性质结合题意,可得出点B的坐标为（﹣,﹣）,再利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出关于b的方程,解之即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABOC是正方形.∴点B的坐标为（﹣,﹣）．∵抛物线y=ax2过点B.∴﹣=a（﹣）2.解得：b1=0（舍去）,b2=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐特征以及正方形的性质,利用正方形的性质结合二次函数图象上点的坐标特征,找出关于b的方程是解题的关键．6, （2018·黑龙江哈尔滨·3分）抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为（﹣2,4）．【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．【解答】解：∵y=2（x+2）2+4.∴该抛物线的顶点坐标是（﹣2,4）.故答案为：（﹣2,4）．【点评】本题考查二次函数的性质,解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标．7,（2018•福建A卷•4分）如图,直线y=x+m与双曲线y=相交于A,B 两点,BC∥x轴,AC∥y轴,则△ABC面积的最小值为 6 ．【分析】根据双曲线y=过A,B两点,可设A（a,）,B（b,）,则C （a,）．将y=x+m代入y=,整理得x2+mx﹣3=0,由于直线y=x+m与双曲线y=相交于A,B两点,所以A,b是方程x2+mx﹣3=0的两个根,根据根与系数的关系得出a+b=﹣m,ab=﹣3,那么（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．再根据三角形的面积公式得出S△ABC=AC•BC=m2+6,利用二次函数的性质即可求出当m=0时,△ABC的面积有最小值6．【解答】解：设A（a,）,B（b,）,则C（a,）．将y=x+m代入y=,得x+m=.整理,得x2+mx﹣3=0.则a+b=﹣m,ab=﹣3.∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．∵S△ABC=AC•BC=（﹣）（a﹣b）=••（a﹣b）=（a﹣b）2=（m2+12）=m2+6.∴当m=0时,△ABC的面积有最小值6．故答案为6．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标,把两个函数关系式联立成方程组求解,若方程组有解则两者有交点,方程组无解,则两者无交点．也考查了函数图象上点的坐标特征,根与系数的关系,三角形的面积,二次函数的性质．8．（2018•贵州黔西南州•3分）已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示,那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3,0）．x …﹣1 0 1 2 …y …0 3 4 3 …【分析】根据（0,3）、（2,3）两点求得对称轴,再利用对称性解答即可．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0,3）、（2,3）两点.∴对称轴x==1；点（﹣1,0）关于对称轴对称点为（3,0）.因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3,0）．故答案为：（3,0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点,关键是熟练掌握二次函数的对称性．9,（2018•贵州遵义•4分）如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点,若点D,E,F分别是BC,BP、PC的中点,连接DE,DF,则DE+DF的最小值为．【分析】直接利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置,再求出AO,CO的长,进而利用勾股定理得出答案．【解答】解：连接AC,交对称轴于点P.则此时PC+PB最小.∵点D,E,F分别是BC,BP、PC的中点.∴DE=PC,DF=PB.∵抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.∴0=x2+2x﹣3解得：x1=﹣3,x2=1.x=0时,y=3.故CO=3.则AO=3,可得：AC=PB+PC=3.故DE+DF的最小值为：．故答案为：．10, （2018•乌鲁木齐•4分）把拋物线y=2x2﹣4x+3向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为．【分析】将原抛物线配方成顶点式,再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可得．【解答】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1.∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1.故答案为：y=2x2+1．【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换,解题的关键是掌握函数图象的平移规律“左加右减、上加下减”．二,解答题1, （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·10分）绿色生态农场生产并销售某种有机产品,假设生产出的产品能全部售出．如图,线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少时,这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？【分析】（1）根据线段EF经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（2）显然,当0≤x≤50时,y2=70；当130≤x≤180时,y2=54；当50＜x＜130时,设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n,利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（3）利用：总利润=每千克利润×产量,根据x的取值范围列出有关x的二次函数,求得最值比较可得．【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b.∵经过点（0,168）与（180,60）.∴,解得：.∴产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y1=﹣x+168（0≤x≤180）；（2）由题意,可得当0≤x≤50时,y2=70；当130≤x≤180时,y2=54；当50＜x＜130时,设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n.∵直线y2=mx+n经过点（50,70）与（130,54）.∴,解得.∴当50＜x＜130时,y2=﹣x+80．综上所述,生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y2=；（3）设产量为xkg时,获得的利润为W元.①当0≤x≤50时,W=x（﹣x+168﹣70）=﹣（x﹣）2+. ∴当x=50时,W的值最大,最大值为3400；②当50＜x＜130时,W=x[（﹣x+168）﹣（﹣x+80）]=﹣（x﹣110）2+4840.∴当x=110时,W的值最大,最大值为4840；③当130≤x≤180时,W=x（﹣x+168﹣54）=﹣（x﹣95）2+5415. ∴当x=130时,W的值最大,最大值为4680．因此当该产品产量为110kg时,获得的利润最大,最大值为4840元．【点评】本题考查了二次函数的应用,待定系数法求二次函数的解析式,解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型．2, （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·12分）抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A,B（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折,抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A,B,D的坐标分别为（,0）, （3,0）, （,）；（2）如图①,抛物线翻折后,点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时,求t的取值范围；（3）如图②,当t=0时,若Q是“M”形新图象上一动点,是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A,B的坐标,再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标；（2）由点D的坐标结合对称找出点E的坐标,根据点B,C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组,解之即可得出t的取值范围；（3）假设存在,设点P的坐标为（m,0）,则点Q的横坐标为m,分m ＜或m＞3及≤m≤3两种情况,利用勾股定理找出关于m的一元二次方程,解之即可得出m的值,进而可找出点P的坐标,此题得解．【解答】解：（1）当y=0时,有﹣x2+x﹣1=0.解得：x1=,x2=3.∴点A的坐标为（,0）,点B的坐标为（3,0）．∵y=﹣x2+x﹣1=﹣（x2﹣x）﹣1=﹣（x﹣）2+.∴点D的坐标为（,）．故答案为：（,0）；（3,0）；（,）．（2）∵点E,点D关于直线y=t对称.∴点E的坐标为（,2t﹣）．当x=0时,y=﹣x2+x﹣1=﹣1.∴点C的坐标为（0,﹣1）．设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b.将B（3,0）、C（0,﹣1）代入y=kx+b.,解得：.∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1．∵点E在△ABC内（含边界）.∴.解得：≤t≤．（3）当x＜或x＞3时,y=﹣x2+x﹣1；当≤x≤3时,y=x2﹣x+1．假设存在,设点P的坐标为（m,0）,则点Q的横坐标为m．①当m＜或m＞3时,点Q的坐标为（m,﹣x2+x﹣1）（如图1）. ∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P.∴CP⊥PQ.∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+（﹣m2+m）2=m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2. 整理,得：m1=,m2=.∴点P的坐标为（,0）或（,0）；②当≤m≤3时,点Q的坐标为（m,x2﹣x+1）（如图2）.∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P.∴CP⊥PQ.∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+（m2﹣m+2）2=m2+1+m2+（m2﹣m+1）2. 整理,得：11m2﹣28m+12=0.解得：m3=,m4=2.∴点P的坐标为（,0）或（1,0）．综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,点P的坐标为（,0）、（,0）、（1,0）或（,0）．【点评】本题考查了一次（二次）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理以及解一元二次方程,解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A,B的坐标；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征结合点E在△ABC内,找出关于t 的一元一次不等式组；（3）分m＜或m＞3及≤m≤3两种情况,找出关于m的一元二次方程．3, （2018·湖北随州·11分）为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”,某工厂接到一批纪念品生产订单,按要求在15天内完成,约定这批纪念品的出厂价为每件20元,设第x天（1≤x≤15,且x为整数）每件产品的成本是p元,p与x之间符合一次函数关系,部分数据如表：天数（x） 1 3 6 10每件成本p（元）7,5 8,5 10 12任务完成后,统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x （天）满足如下关系：y=设李师傅第x天创造的产品利润为W元．（1）直接写出p与x,W与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围：（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？（3）任务完成后．统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值,则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得p与x,W与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围：（2）根据题意和题目中的函数表达式可以解答本题；（3）根据（2）中的结果和不等式的性质可以解答本题．【解答】解：（1）设p与x之间的函数关系式为p=kx+b.,解得,.即p与x的函数关系式为p=0,5x+7（1≤x≤15,x为整数）.当1≤x＜10时.W=[20﹣（0,5x+7）]（2x+20）=﹣x2+16x+260.当10≤x≤15时.W=[20﹣（0,5x+7）]×40=﹣20x+520.即W=；（2）当1≤x＜10时.W=﹣x2+16x+260=﹣（x﹣8）2+324.∴当x=8时,W取得最大值,此时W=324.当10≤x≤15时.W=﹣20x+520.∴当x=10时,W取得最大值,此时W=320.∵324＞320.∴李师傅第8天创造的利润最大,最大利润是324元；（3）当1≤x＜10时.令﹣x2+16x+260=299,得x1=3,x2=13.当W＞299时,3＜x＜13.∵1≤x＜10.∴3＜x＜10.当10≤x≤15时.令W=﹣20x+520＞299,得x＜11,05.∴10≤x≤11.由上可得,李师傅获得奖金的月份是4月到11月,李师傅共获得奖金为：20×（11﹣3）=160（元）.即李师傅共可获得160元奖金．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用,解不等式,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用二次函数的性质解答．4, （2018·湖北随州·12分）如图1,抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a ＜0）与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1,0）,点O为坐标原点,OC=3OA,抛物线C1的顶点为G．（1）求出抛物线C1的解析式,并写出点G的坐标；（2）如图2,将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位,得到抛物线C2,设C2与x轴的交点为A′、B′,顶点为G′,当△A′B′G′是等边三角形时,求k的值：（3）在（2）的条件下,如图3,设点M为x轴正半轴上一动点,过点M 作x轴的垂线分别交抛物线C1,C2于P、Q两点,试探究在直线y=﹣1上是否存在点N,使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等,若存在,直接写出点M,N的坐标：若不存在,请说明理由．【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标,将A,C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k,即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k,′作G′D⊥x轴于点D,设BD′=m,由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1,0）,点G′的坐标为（1,m）,代入所设解析式求解可得；（3）设M（x,0）,则P（x,﹣x2+2x+3）、Q（x,﹣x2+2x+2）,根据PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN,延长PQ交直线y=﹣1于点H,证△OQM≌△QNH,根据对应边相等建立关于x的方程,解之求得x 的值从而进一步求解．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1,0）.∴OA=1.∴OC=3OA.∴点C的坐标为（0,3）.将A,C坐标代入y=ax2﹣2ax+c,得：.解得：.∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4.所以点G的坐标为（1,4）．（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k,即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k.过点G′作G′D⊥x轴于点D,设BD′=m.∵△A′B′G′为等边三角形.∴G′D=B′D=m.则点B′的坐标为（m+1,0）,点G′的坐标为（1,m）.将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k,得：.解得：（舍）,.∴k=1；（3）设M（x,0）,则P（x,﹣x2+2x+3）、Q（x,﹣x2+2x+2）. ∴PQ=OA=1.∵∠AOQ、∠PQN均为钝角.∴△AOQ≌△PQN.如图2,延长PQ交直线y=﹣1于点H.则∠QHN=∠OMQ=90°.又∵△AOQ≌△PQN.∴OQ=QN,∠AOQ=∠PQN.∴∠MOQ=∠HQN.∴△OQM≌△QNH（AAS）.∴OM=QH,即x=﹣x2+2x+2+1.解得：x=（负值舍去）.当x=时,HN=QM=﹣x2+2x+2=,点M（,0）. ∴点N坐标为（+,﹣1）,即（,﹣1）；或（﹣,﹣1）,即（1,﹣1）；如图3.同理可得△OQM≌△PNH.∴OM=PH,即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1.解得：x=﹣1（舍）或x=4.当x=4时,点M的坐标为（4,0）,HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6.∴点N的坐标为（4+6,﹣1）即（10,﹣1）,或（4﹣6,﹣1）即（﹣2,﹣1）；综上点M1（,0）、N1（,﹣1）；M2（,0）、N2（1,﹣1）；M3（4,0）、N3（10,﹣1）；M4（4,0）、N4（﹣2,﹣1）．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．5, （2018·湖北襄阳·10分）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下,把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓,今年正式上市销售．在销售的30天中,第一天卖出20千克,为了扩大销量,采取了降价措施,以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克,y关于x的函数解析式为且第12天的售价为32元/千克,第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克,每天的利润是W元（利润=销售收入﹣成本）．（1）m= ﹣,n= 25 ；（2）求销售蓝莓第几天时,当天的利润最大？最大利润是多少？（3）在销售蓝莓的30天中,当大利润不低于870元的共有多少天？【分析】（1）根据题意将相关数值代入即可；（2）在（1）的基础上分段表示利润,讨论最值；（3）分别在（2）中的两个函数取值范围内讨论利润不低于870的天数,注意天数为正整数．【解答】解：（1）当第12天的售价为32元/件,代入y=mx﹣76m得32=12m﹣76m解得m=﹣当第26天的售价为25元/千克时,代入y=n则n=25故答案为：m=﹣,n=25（2）由（1）第x天的销售量为20+4（x﹣1）=4x+16当1≤x＜20时W=（4x+16）（﹣x+38﹣18）=﹣2x2+72x+320=﹣2（x﹣18）2+968 ∴当x=18时,W最大=968当20≤x≤30时,W=（4x+16）（25﹣18）=28x+112∵28＞0∴W随x的增大而增大∴当x=30时,W最大=952∵968＞952∴当x=18时,W最大=968（3）当1≤x＜20时,令﹣2x2+72x+320=870解得x1=25,x2=11∵抛物线W=﹣2x2+72x+320的开口向下∴11≤x≤25时,W≥870∴11≤x＜20∵x为正整数∴有9天利润不低于870元当20≤x≤30时,令28x+112≥870解得x≥27∴27≤x≤30∵x为正整数∴有3天利润不低于870元∴综上所述,当天利润不低于870元的天数共有12天．【点评】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用,应用了分类讨论的数学思想．6, （2018·湖南郴州·10分）如图1,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x 轴交于A（﹣1,0）,B（3,0）两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l,l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．（3）如图2,连接BC,PB,PC,设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值,并求出此时点P的坐标．【分析】（1）由点A,B的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC,交抛物线对称轴l于点E,由点A,B的坐标可得出对称轴l为直线x=1,分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时,由抛物线的对称性可得出此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形,再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时,不存在,利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴,交BC于点F,由点B,C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式,根据点P的坐标可得出点F的坐标,进而可得出PF的长度,再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值,利用勾股定理可求出线段BC 的长度,利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值,再找出此时点P的坐标即可得出结论．【解答】解：（1）将A（﹣1,0）、B（3,0）代入y=﹣x2+bx+c.,解得：.∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．（2）在图1中,连接PC,交抛物线对称轴l于点E.∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1,0）,B（3,0）两点.∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2时,点C,P关于直线l对称,此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形．∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3.∴点C的坐标为（0,3）,点P的坐标为（2,3）.∴点M的坐标为（1,6）；当t≠2时,不存在,理由如下：若四边形CDPM是平行四边形,则CE=PE.∵点C的横坐标为0,点E的横坐标为0.∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．又∵t≠2.∴不存在．（3）①在图2中,过点P作PF∥y轴,交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0）.将B（3,0）、C（0,3）代入y=mx+n.,解得：.∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵点P的坐标为（t,﹣t2+2t+3）.∴点F的坐标为（t,﹣t+3）.∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t.∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+．②∵﹣＜0.∴当t=时,S取最大值,最大值为．∵点B的坐标为（3,0）,点C的坐标为（0,3）.∴线段BC==3.∴P点到直线BC的距离的最大值为=,此时点P的坐标为（,）．【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质,解题的关键是：（1）由点的坐标,利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．7, （2018·湖南怀化·14分）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1,0）B（3,0）两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在,请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣3）,展开得到﹣2a=2,然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0,3）,然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1,4）,作B点关于y轴的对称点B′,连接DB′交y轴于M,如图1,则B′（﹣3,0）,利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小,则此时△BDM的周长最小,然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=﹣x+b,把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=﹣x+3,再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时,利用同样的方法可求出此时P点坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）.即y=ax2﹣2ax﹣3a.∴﹣2a=2,解得a=﹣1.∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时,y=﹣x2+2x+3=3,则C（0,3）.设直线AC的解析式为y=px+q.把A（﹣1,0）,C（0,3）代入得,解得.∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4.∴顶点D的坐标为（1,4）.作B点关于y轴的对称点B′,连接DB′交y轴于M,如图1,则B′（﹣3,0）.∵MB=MB′.∴MB+MD=MB′+MD=DB′,此时MB+MD的值最小.而BD的值不变.∴此时△BDM的周长最小.易得直线DB′的解析式为y=x+3.当x=0时,y=x+3=3.∴点M的坐标为（0,3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2.∵直线AC的解析式为y=3x+3.∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b.把C（0,3）代入得b=3.∴直线PC的解析式为y=﹣x+3.解方程组,解得或,则此时P点坐标为（,）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P,直线PC的解析式可设为y=﹣x+b.把A（﹣1,0）代入得+b=0,解得b=﹣.∴直线PC的解析式为y=﹣x﹣.解方程组,解得或,则此时P点坐标为（,﹣）.综上所述,符合条件的点P的坐标为（,）或（,﹣）.【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式,理解两直线垂直时一次项系数的关系,通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质,会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。

2019年中考数学二次函数考点 核心解读+基础训练+好题精讲一．考点核心解读1. 二次函数的概念和表达式二次函数的概念：一般地，表达式形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，且a≠0）的函数叫做x 的二次函数，其中，a 叫做二次系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项.注意：每一个系数必须带上符号，系数的作用很大哦！后面大家可以体会到。

基础训练：1．下列函数中是二次函数的是( B )A ．y ＝3x －1B ．y ＝3x 2－1C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝x 2－12．抛物线y ＝a x 2＋bx －3经过点(2，4)，则代数式8a ＋4b ＋1的值为( C ) A ．3 B ．9 C ．15 D ．－153.当y 关于x 的函数y=(m-2)x |m-3|+4x-5(m 是常数)是二次函数时,m 的值不可能为( B ) A.1 B.2 C.5 D.1或54．自由落体公式h ＝12gt 2(g 为常量)，h 与t 之间的关系是( C )A ．正比例函数B ．一次函数C ．二次函数D ．以上答案都不对5.若抛物线y=ax 2+bx-1(a≠0)经过点(2,5),则代数式6a+3b+1的值为 10 .6．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x ，两年后这台机器的价位为y 万元，则y 关于x 的函数关系式为（ A ）A ．y=60（1﹣x ）2B ．y=60（1﹣x 2）C ．y=60﹣x 2D ．y=60（1+x ）2 2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质函数 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0） aa>0（开口向上）a<0（开口向下）图象对称轴 直线x ＝ －b2a直线x ＝－b2a顶点坐标（－b 2a ，4ac －b 24a ）（－b 2a ，4ac －b 24a）增减性在对称轴的左侧，即x ＜－b2a时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x ＞－b2a 时，y随x 的增大而增大，简记为“左减右增”在对称轴的左侧，即当x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x ＞－b2a时，y随x 的增大而减小，简记为“左增右减”最值当 x ＝－b2a 时，抛物线有最低点，即y 有最小值，y 最小值＝4ac －b24a当x ＝－b2a 时，抛物线有最高点，即y 有最大值，y 最大值＝ 4ac －b24a基础训练：1.二次函数y ＝2(x －1)2＋3的图象的顶点坐标是( A )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，－3)D ．(－1，－3)2.二次函数y ＝x 2－2x －3的图象 如图所示，下列说法中错误的是( B ) A ．函数图象与y 轴的交点坐标是(0，－3) B ．顶点坐标是(1，－3)C ．函数图象与x 轴的交点坐标是(3，0)、(－1，0)D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小3.二次函数y ＝x 2＋4x －5的图象的对称轴为（ D ）A.x ＝4B.x ＝－4C.x ＝2D.x ＝－24．对于二次函数y ＝－(x －1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是( B )A ．对称轴是直线x ＝1，最小值是2B ．对称轴是直线x ＝1，最大值是2C ．对称轴是直线x ＝－1，最小值是2D ．对称轴是直线x ＝－1，最大值是25．若（2，5）、（4，5）是抛物线2y ax bx c =++上的两个点，则它的对称轴是（ D ）A ．bx a=-B ．x=1C ．x=2D ．x=3 6. 点P 1(－1，y 1)，P 2(3，y 2)，P 3(5，y 3)均在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( D )A ．y 3＞y 2＞y 1B ．y 3＞y 1＝y 2C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1＝y 2＞y 37.将二次函数y ＝x 2－2x ＋3化为y ＝(x －h)2＋k 的形式，结果为( D )A ．y ＝(x ＋1)2＋4B ．y ＝(x ＋1)2＋2C ．y ＝(x －1)2＋4D ．y ＝(x －1)2＋28．抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是( C )A ．直线x ＝12B ．直线x ＝－12 C ．y 轴 D ．直线x ＝29.若抛物线y=x 2+8x+h 2的顶点在x 轴上，则（ D ） A ．h=0 B ．h=±16 C ．h=±4D ．h=410.在二次函数y=ax 2+bx+c 中，如果a ＞0，b ＜0，c ＞0，那么它的图象一定不经过（ C ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限11．已知二次函数y ＝(x －2)2＋3，当x ＜ 2时，y 随x 的增大而减小． 12．函数y ＝x 2―2x －l 的最小值是 －2 ．13.当2≤x≤5时,二次函数y=-(x-1)2+2的最大值为 1 . 14..函数y=x 2+2x+1,当y=0时,x= -1 ;当1<x<2时,y 随x 的增大而 增大 (填写“增大”或“减小”).15．抛物线y ＝x 2＋2x ＋3的顶点坐标是___(－1，2)_______．16.当__=1________时，二次函数y ＝x 2－2x ＋6有最小值_____5_____．17．已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点，该抛物线的顶点坐标是__(1，4)__．18．抛物线y=2（x ﹣1）（x+2）开口向 上 ，顶点坐标为 ，对称轴方程为19.已知二次函数y ＝x 2，当x ＞2时，y 随x 的增大而____增大____（填“增大”或“减小”） 20.函数y=x 2+bx-c 的图象经过点（1，2），则b-c 的值为__1____． 3.二次函数图象的平移（左加右减，上加下减） 基础训练：1．将抛物线y ＝x 2－4x －4向左平移三个单位，再向上平移五个单位，得到抛物线为( D )A ．y ＝(x ＋1)2－13B ．y ＝(x －5)2－3C ．y ＝(x －5)2－13D ．y ＝(x ＋1)2－32．抛物线y ＝2x 2向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的表达式为( A )A ．y ＝2(x －3)2－5B ．y ＝2(x ＋3)2＋5C ．y ＝2(x －3)2＋5D ．y ＝2(x ＋3)2－53.如果将抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ C ）A.y ＝（x －1）2＋2B.y ＝（x ＋1）2＋2C.y ＝x 2＋1D.y ＝x 2＋34．在同一平面直角坐标系内，将函数y ＝2x 2＋4x ＋1的图象沿x 轴方向向右平移2个单位长度后，再沿y 轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是( B ) A ．(－1，1) B ．(1，－2) C ．(2，－2) D ．(1，－1)5. 二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图象的解析式为y ＝x 2－2x ＋1，则b 与c 分别等于( C )A ．6，4B ．－8，14C ．4，6D ．－8，－146．将抛物线C ：y ＝x 2＋3x －10平移到C ′.若两条抛物线C ，C ′关于直线x ＝1对称，则下列平移方法中正确的是( C )A ．将抛物线C 向右平移52个单位 B ．将抛物线C 向右平移3个单位C ．将抛物线C 向右平移5个单位D ．将抛物线C 向右平移6个单位7．将抛物线y ＝(x －1)2＋3向左平移1个单位，得到的抛物线与y 轴的交点坐标是( B )A ．(0，2)B ．(0，3)C ．(0，4)D ．(0，7)4.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象与系数a ，b ，c 的关系项目\字母字母的符号 图象的特征aa ＞0 开口向上 |a|越大，开口越小a ＜0 开口 向下bb ＝0对称轴为y 轴 ab ＞0（a 与b 同号） 对称轴在y 轴左侧 ab ＜0（a 与b 异号）对称轴在y 轴右侧cc ＝0经过原点 c ＞0 与y 轴正半轴相交 c ＜0 与y 轴负半轴相交 b 2－4acb 2－4ac ＝0与x 轴有唯一交点（顶点） b 2－4ac ＞0 与x 轴有两个不同交点 b 2－4ac ＜0与x 轴没有交点几种特定关系当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c 当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c 当a ＋b ＋c ＞0，即x ＝1时，y ＞0 当a －b ＋c ＞0，即x ＝－1时，y ＞01.函数y ＝k x与y ＝－kx 2＋k （k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ B ）A B C D2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ C ）A.a ＜0B.c ＞0C.a ＋b ＋c ＞0D.b 2－4ac ＞03.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝c x 在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ B ）A B C D4．菏泽已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一次函数y ＝bx ＋a 与反比例函数y ＝a ＋b ＋c x 在同一平面直角坐标系中的图象大致是( A )5．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴交于点A(1，0)和B ，与y 轴的正半轴交于点C.下列结论：①abc ＞0；②4a －2b ＋c ＞0；③2a －b ＞0；④3a ＋c ＝0.其中正确结论的个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．46. 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为－1和3，则下列结论正确的是( D )A ．2a －b ＝0B ．a ＋b ＋c ＞0C ．3a －c ＝0D ．当a ＝12时，△ABD 是等腰直角三角形7. 如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc ＞0 ②4a+2b+c ＞0 ③4ac ﹣b 2＜8a ④13＜a ＜23⑤b ＞c ． 其中含所有正确结论的选项是（ D ） A ．①③ B ．①③④C ．②④⑤D ．①③④⑤8.如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴是x=﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（3，y 2）是抛物线上两点，则y 1＜y 2，其中说法正确的是（ A ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④9．函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系内的图象可能是( C )10．已知如图1函数y ＝x 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，若y ＜0，则x 的取值范围是( B )A ．－1＜x ＜4B ．－1＜x ＜3C ．x ＜－1或x ＞4D ．x ＜－1或x ＞311．如图2，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y 轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a －2b ＋c 的值为____0______．图1 图2 图3 图412．如图3，直线y ＝mx ＋n 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于A (－1，p )，B (4，q )两点，则关于x 的不等式mx ＋n >ax 2＋bx ＋c 的解集是_____x ＜－1或x ＞4___．13．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图4所示，下列结论：①2a ＋b ＝0；②a ＋c ＞b ；③抛物线与x 轴的另一个交点为(3，0)；④abc ＞0.其中正确的结论是__①_④___(填写序号)．5.二次函数表达式的三种表示方法（1）一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）；（2）顶点式：y ＝a （x －h ）2＋k （a≠0），其中抛物线的顶点坐标是（h ，k ）；（3）交点式：y ＝a （x －x 1）（x －x 2）（a≠0），其中x 1，x 2为抛物线与x 轴交点的横坐标. 如何确定二次函数的表达式：求解二次函数解析式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数解析式.①当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ；②当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式y ＝a （x －h ）2＋k ；③当已知抛物线与x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为交点式y ＝a （x －x 1）（x －x 2）.基础训练：1.已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是 y ＝x 2－7x ＋122．经过A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三点的抛物线的表达式是y ＝－38x 2＋34x ＋3 ．3. 已知二次函数图象过点A(2，1)，B(4，1)且最大值为2，则二次函数的解析式为___y＝－(x－3)2＋2＝－x2＋6x－7____．4．若抛物线如图所示，则该二次函数的解析式为__y＝x2－2x__．5．已知抛物线y＝ax2 +bx+c的对称轴是x＝2，且经过点(1，4)和点(5，0)，则该抛物线的解析式为y＝－12x2 +2x+52．6．已知函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝3时，函数取最大值4，当x＝0时，y＝－14，则函数表达式为____________．y＝－2(x－3)2＋46.二次函数与一元二次方程的关系基础训练：1．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( B )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（ B ）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．93．如图，二次函数y＝x2－x－6的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为___15_____．4．已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴的一个交点的坐标为(－1，0)，则一元二次方程ax2－2ax＋c＝0的根为________．x1＝－1，x2＝35.抛物线y=x2﹣5x+6与x轴交于A、B两点，则AB的长为．17.二次函数的实际应用（1）设：设定题目中的两个变量，一般是设x是自变量，y为x的函数；（2）列：根据题目中的等量关系，列出函数解析式；（3）定：根据数学意义和实际意义确定自变量的取值范围；（4）解：利用相关性质解决问题；（5）答：检验后写出合适的答案.基础训练：1.如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m.若水面下降1 m，则水面宽度为（ A ）A.2 6 mB.2 3 mC. 6 mD. 3 m2.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（ C ）A.60 m2B.63 m2C.64 m2D.66 m23.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝－112(x－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是__________m.104．平时我们在跳绳时，绳摇到最高点处的形状可近似地看做抛物线，如图所示．正在摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m ，距地高均为1 m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m ，2．5 m 处．绳子在摇到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m ，则学生丁的身高为 ( B )A ．1.5 mB ．1.625 mC ．1.66 mD ．1.67 m5.把8米长的钢筋，焊成一个如图所示的框架，使其下部为矩形，上部为半圆形.请你写出钢筋所焊成框架的面积y(平方米)与半圆的半径x(米)之间的函数关系式为________ . y=－(x －1)2＋26．平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，建立直角坐标系，抛物线的函数表达式为y ＝－16x 2＋13x ＋32(单位：m)，绳子甩到最高处时刚好通过站在x ＝2点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为___________．1.5m7．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20 m ，如果水位上升3 m ，那么水面CD 的宽是10 m.(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线对应的函数表达式；(2)当水位在正常水位时，有一艘宽为6 m 的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6 m 的长方体货物(货物与货船同宽)，此船能否顺利通过这座拱桥？解：(1)设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2. ∵抛物线关于y 轴对称，AB ＝20 m ，CD ＝10 m ，∴点B 的横坐标为10，点D 的横坐标为5.设点B(10，n)， 则点D(5，n ＋3)．将B ，D 两点的坐标分别代入表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝100a ，n ＋3＝25a.解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－4，a ＝－125. ∴y ＝－125x 2.(2)当x ＝3时，y ＝－125×9＝－925.∵点B 的纵坐标为－4，又|－4|－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－925＝3.64>3.6，∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．8．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围内，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x(套)与每套的售价y 1(万元)的关系是y 1＝170－2x ，月产量x(套)与生产总成本y 2(万元)存在如图所示的函数关系． (1)直接写出．．．．y 2与x 之间的函数表达式． (2)求月产量x 的范围．(3)当月产量为多少时，这种设备的月利润最大？最大月利润是多少？ 解：(1)y 2与x 之间的函数表达式为y 2＝500＋30x.(2)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧500＋30x ≤50x ，170－2x ≥90.解得25≤x ≤40.(3)设这种设备的月利润为w 元，则w ＝xy 1－y 2＝x(170－2x)－(500＋30x)＝－2x 2＋140x －500，∴w ＝－2(x －35)2＋1 950.∵25<35<40,∴当x ＝35时，w 最大＝1 950.即当月产量为35套时，这种设备的月利润最大，最大月利润是1 950万元．第二．好题精讲1.如图，A （－1，0），B （2，－3）两点在一次函数y 1＝－x ＋m 与二次函数y 2＝ax 2＋bx －3的图象上.（1）求m 的值和二次函数的解析式；（2）请直接写出使y 1＞y 2时自变量x 的取值范围.解：（1）由于A （－1，0）在一次函数y 1＝－x ＋m 的图象上，得－（－1）＋m ＝0， 即m ＝－1.已知A （－1，0），B （2，－3）在二次函数y 2＝ax 2＋bx －3的图象上，则⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝0，4a ＋2b －3＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2， ∴二次函数的解析式为y 2＝x 2－2x －3；（2）由两个函数的图象知，当y 1＞y 2时，－1＜x ＜2.2.如图，已知抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点B 的坐标为(3，0)，抛物线与直线y ＝－32x ＋3交于C 、D 两点．连接BD 、AD.(1)求m 的值．(2)抛物线上有一点P ，满足S △ABP ＝4S △ABD ，求点P 的坐标．解：(1)抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3过(3，0)，0＝－9＋3m ＋3，m ＝2(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋3y ＝32x ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0y 1＝3 ,⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝72y 2＝－94，∴D(72，－94)，∵S △ABP ＝4S △ABD ，∴12AB ×||y P ＝4×12AB ×94，∴||y P ＝9，y P ＝±9，当y ＝9时，－x 2＋2x ＋3＝9，无实数解，当y ＝－9时，－x 2＋2x ＋3＝－9，x 1＝1＋13，x 2＝1－13， ∴P(1＋13，－9)或P(1－13，－9)3．如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A ，B ，AB ＝2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝2.(1)求抛物线的解析式；(2)设P 为对称轴上一动点，求△APC 周长的最小值； (3)求△ABC 的面积．解：(1)∵AB ＝2，对称轴为x ＝2，∴A(1，0)，B(3，0)，∴抛物线的解析式是y ＝(x －1)(x －3)，即y ＝x 2－4x ＋3(2)连接BC 交对称轴于点P ，则此时△APC 的周长最小，最小值是：△APC 的周长＝BC ＋AC ＝32＋10(3)S △ABC ＝12×2×3＝34．如图所示，抛物线y ＝x 2―2x －3与x 轴交于A ，B 两点(A 点在B 点左侧)，直线l 与抛物线交于A ，C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A ，B 两点的坐标及直线AC 的解析式；（2）点P 是线段AC 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点E ，求线段PE 长度的最大值．解：(1)令y ＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，∴A(－l ，0)，B(3，0)．将点C 的横坐标x ＝2代入y=x 2－2x －3，得y=－3，∴C(2，―3)，∴直线AC 的解析式为y ＝－x －1．(2)设点P 的横坐标为x(－1≤x ≤2)，则P ，E 的坐标分别为P(x ，－x －1)，E(x ，x 2－2x －3)．∵点P 在点E 的上方，∴PE ＝－x －1－(x 2－2x －3)=－(x －12)2+94 ,∴PE 的最大值为94．5.如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．解：（1）依题意得：123baa b cc⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解之得：123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得303m nn-+=⎧⎨=⎩，解之得：13mn=⎧⎨=⎩，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）设P（﹣1，t），又∵B（﹣3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=3+172，t2=3172-；综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，3+172）或（﹣1，3172-）．6．如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y=ax2+b （a ≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将（0，﹣3）代入y=x+m ，可得：m=﹣3；（2）将y=0代入y=x ﹣3得：x=3，所以点B 的坐标为（3，0）， 将（0，﹣3）、（3，0）代入y=ax 2+b 中，可得：⎩⎨⎧=+-=093b a b ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==331b a ，所以二次函数的解析式为：y=31x 2﹣3； （3）存在，分以下两种情况：①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，则∠ODC=45°+15°=60°， ∴OD=OC •tan30°=3，设DC 为y=kx ﹣3，代入（3，0），可得：k=3，联立两个方程可得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=331332x y x y ， 解得：⎩⎨⎧-==3011y x ，⎩⎨⎧==63322y x ，所以M 1（33，6）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则∠OEC=45°﹣15°=30°， ∴OE=OC •tan60°=33，设EC 为y=kx ﹣3，代入（33，0）可得：k=33， 联立两个方程可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=3313332x y x y ， 解得：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧-==-==23,302211y x y x ，所以M 2（3，﹣2），综上所述M 的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．7. 如图，直线y ＝kx ＋b(k 、b 为常数)分别与x 轴、y 轴交于点A(－4，0)、B(0，3)，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与y 轴交于点C. (1)求直线y ＝kx ＋b 的函数解析式；(2)若点P(x ，y)是抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1上的任意一点，设点P 到直线AB 的距离为d ，求d 关于x的函数解析式，并求d 取最小值时点P 的坐标；(3)若点E 在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1的对称轴上移动，点F 在直线AB 上移动，求CE ＋EF 的最小值．解：(1)∵直线y ＝kx ＋b 经过点A(－4，0)，B(0，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－4k ＋b3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝34b ＝3， ∴直线的函数解析式为y ＝34x ＋3；(2)如解图，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，作PN ∥y 轴交直线AB 于点N.∴∠PNM ＝∠ABO ， ∵∠AOB ＝∠NMP ＝90°， ∴△AOB ∽△PMN ， ∴AO PM ＝AB PN， ∵OA ＝4，OB ＝3， ∴AB ＝OA 2＋OB 2＝5， ∴PM ＝45PN ，∵点P 是抛物线上的点，PN ∥y 轴， ∴P(x ，－x 2＋2x ＋1)，N(x ，34x ＋3)，∴PN ＝34x ＋3－(－x 2＋2x ＋1)＝x 2－54x ＋2＝(x －58)2＋10364，PM ＝d ＝45(x －58)2＋10380，∴当x ＝58时，PM 取得最小值10380，此时P 点坐标为(58，11964)；(3)∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与y 轴交于点C ， ∴C(0，1)，对称轴为直线x ＝－22×（－1）＝1，如解图，作点C 关于对称轴的对称点G ，则G 点坐标为(2，1)，点G 到直线AB 的距离即为CE ＋EF 的最小值，最小值为d ＝45×(2－58)2＋10380＝145.8.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝33x 2－83x －3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C.(1)判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)在抛物线第四象限上有一点，它关于x 轴的对称点记为点P ，点M 是直线BC 上的一动点，当△PBC 的面积最大时，求PM ＋1010MC 的最小值； (3)如图②，点K 为抛物线的顶点，点D 在抛物线对称轴上且纵坐标为3，对称轴右侧的抛物线上有一动点E ，过点E 作EH ∥CK ，交对称轴于点H ，延长HE 至点F ，使得EF ＝533，在平面内找一点Q ，使得以点F 、H 、D 、Q 为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q 的对角线所在的直线是对称轴，请问是否存在这样的点Q ，若存在，请直接写出点E 的横坐标；若不存在，请说明理由．(1)解：将点A(－1，1)，B(4，6)代入y ＝ax 2＋bx 中，⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝116a ＋4b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－12，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ；(2)证明：∵A(－1，1)，F(0，m) ∴直线AF 的解析式为：y ＝(m －1)x ＋m. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝（m －1）x ＋m y ＝12x 2－12x ，得12x 2－(m －12)x －m ＝0. ∵A 、G 为直线AF 与抛物线的交点，∴x A ＋x G ＝－－（m －12）12＝2m －1，∴x G ＝2m －1－(－1)＝2m ，∴H(2m ，0)，∴直线HF 的解析式为：y ＝－12x ＋m.由抛物线解析式易得E(1，0)， 又A(－1，1)，∴直线AE 的解析式为：y ＝－12x ＋12，∵直线HF 与直线AE 的斜率相等， ∴HF ∥AE ；(3)解：t 的值为15＋1136或15－1136或13＋892或13－892.【解法提示】由题意知直线AB 解析式为y ＝x ＋2，∴C(－2，0)，D(0，2)，P(t －2，t)，Q(t ，0)． ∴直线PQ 的解析式为y ＝－t 2x ＋t22，设M(x 0，y 0)，由QM ＝2PM 可得：|t －x 0|＝2|x 0－t ＋2|， 解得：x 0＝t －43或x 0＝t －4.(i)当x 0＝t －43时，代入直线PQ 解析式得y 0＝23t.∴M(t －43，23t)，代入y ＝12x 2－12x 中得：12(t －43)2－12(t －43)＝23t ，解得t 1＝15＋1136，t 2＝15－1136；(ii)当x 0＝t －4时，y 0＝2t. ∴M(t －4，2t)，代入y ＝12x 2－12x 中得：12(t －4)2－12(t －4)＝2t ，解得：t 3＝13＋892，t 4＝13－892.综上所述，t 的值为15＋1136或15－1136或13＋892或13－892.。

内容基本要求略高要求二次函数了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象 能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解一、二次函数的图象1．二次函数图象与系数的关系（1）a 决定抛物线的开口方向及开口大小正负性决定开口方向，绝对值大小决定开口大小．a 越大，抛物线开口越小；温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其形状相同，图象经过平移、中心对称（旋转180︒）a 不变．（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置（口诀：左同右异）（3）c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置（抛物线与y 轴的交点坐标为()0c ，） 2．二次函数的图形信息（1）根据抛物线的开口方向判断a 的正负性． （2）根据抛物线的对称轴判断2ba-的大小． （3）根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的大小．（4）根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性．（5）根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a b c ，，的等式． （6）根据抛物线的顶点，判断244ac b a-的大小二次函数图象与解析式2021年中考怎么考自检自查必考点二次函数图象与解析式2021年中考复习方案2.二次函数图象的画法若是无图，建议画出图象然后根据图象来分析进行解答，数形结合是解答压轴题的终极方法，因为二次函数的图象能极大的方便做题，简易绘图法：根据以下五条就可以画图二次函数的简易图象 ①a 的正负性，看图形的开口方向是往上还是往下 ②c 的正负性，看图象与y 轴的交点是在正半轴还是负半轴 ③△的正负性，看图象与x 轴有无交点 ④对称轴的位置，看a 和b 的符号是否一致 压轴题绘图法：因为压轴题的作图需要精准，以帮助解答，所以需要画出带刻度的坐标系 ①利用对称轴公式，计算出对称轴，然后画出图形的对称轴②将对称轴代入解析式，算出顶点的纵坐标（若不为整数，则舍弃这一步） ③找出与y 轴交点，并利用对称轴画出对称点，④令0y =，算出与x 轴两个交点（若不为整数，则舍弃这一步） ⑤利用对称轴画出一条尽量对称且平滑的曲线三、二次函数的图象及性质1． 二次函数2y ax bx c =++0a ≠（）或2()y a x h k =-+（0a ≠）的性质（1）开口方向：00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下 （2）对称轴：2bx a=-（或x h =） （3）顶点坐标：24(,)24b ac b a a--（或(,)h k ） （4）最值：0a >时有最小值244ac b a -（或k ）（如图1）； 0a <时有最大值244ac b a -（或k ）（如图2）；⑸单调性：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的变化情况（增减性） ①如图1所示，当0a >时，对称轴左侧2b x a<-，y 随着x 的增大而减小，在对称轴的右侧2bx a >- ， y 随x 的增大而增大；②如图2所示，当0a >时，对称轴左侧2b x a<-， y 随着x 的增大而增大，在对称轴的右侧2bx a >-，y随x的增大而减小；⑹与坐标轴的交点：①与y轴的交点：（0，C）；②与x轴的交点：使方程20++=（或ax bx c 2-+=）成立的x值．()0a x h k考点一：二次函数的定义☞考点说明：能识别二次函数即可，中考中直接考察的可能性较小【例1】 下列函数是二次函数的是（ ）A.232y x =-B.21y x x=-C.22(3)y x x =--D.3221y x x =-+考点二：根据二次函数的定义确定参数的值☞考点说明：根据二次函数的定义反求参数，一般情况下会结合在综合题中处，也有可能以填空题的形式出现，考察点在二次项系数不为零【例2】 函数()()2223ay a x a x a -=++-+．当______a =，它为二次函数；当____a =，它为一次函数．【例3】 若函数232(1)mm y m x --=+是二次函数，则______m =【例4】 若抛物线2(1)mmy m x -=-开口向下，则______m =考点三：二次函数的对称轴☞考点说明：在求二次函数的对称轴时，根据解析式的不同，求法也不尽相同，并不仅仅只有2bx a=-的这一种求法，需灵活掌握，一般情况下，以选择、填空出现的可能性较大。

初三数学二次函数练习题带讲解一、选择题1. 已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的顶点坐标为 $(1,2)$，则下列哪个选项是可能的值？A) $a=1, b=-4, c=5$B) $a=2, b=-3, c=1$C) $a=-1, b=3, c=4$D) $a=-2, b=1, c=-3$解析：因为顶点坐标为 $(1,2)$，所以横坐标 $x=1$ 的值代入二次函数中，即可求得纵坐标 $y$，也就是 $b=-3$。

答案：B) $a=2, b=-3, c=1$2. 已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像与 $x$ 轴相交于点$(2,0)$ 和点 $(4,0)$，则下列选项中，哪个是可能的值？A) $a=1, b=3, c=-2$B) $a=-2, b=-4, c=2$C) $a=-3, b=1, c=4$D) $a=2, b=3, c=-1$解析：因为图像与 $x$ 轴相交于点 $(2,0)$ 和点 $(4,0)$，所以将$x$ 分别代入二次函数中，得到两个方程。

解两个方程组，可以求得$a=-2$。

答案：B) $a=-2, b=-4, c=2$二、填空题1. 设二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像经过点 $(1,3)$，则$a=$\underline{\hspace{1cm}}，$b=$\underline{\hspace{1cm}}，$c=$\underline{\hspace{1cm}}。

解析：将点 $(1,3)$ 分别代入二次函数，得到三个方程。

解三个方程组，可以求得 $a=2$，$b=-4$，$c=5$。

答案：$a=2$，$b=-4$，$c=5$2. 设二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像经过点 $(-1,5)$，则$a=$\underline{\hspace{1cm}}，$b=$\underline{\hspace{1cm}}，$c=$\underline{\hspace{1cm}}。

二次函数y=ax 2的图像和性质（原卷）二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax 2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.二次函数y=ax2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.注意：用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.题型1：利用描点法作函数图像1.在直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2的图象（取值、描点、连线、画图）．【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝﹣2x 2与y ＝﹣x 2的图x y象．xy＝2x2y＝x2y＝﹣2x2y＝﹣x2【变式1-2】画出下列函数的图象：（1）y＝3x2；（2）y＝﹣x2．a>0a<0题型2：二次函数y=ax2的图像2.在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y3＝x2的图象，正确的是（）A．B．C．D．【变式2-1】下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（）A．B．C．D．【变式2-2】如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y＝；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（）A．①②③B．①③②C．②③①D．③②①题型3：二次函数y=ax2的性质3.抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（）A．（0，0）B．（0，﹣3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，﹣3）【变式3-1】抛物线，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式3-2】．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大【变式3-3】二次函数y＝﹣3x2的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限题型4：函数图像位置的识别4.已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax+b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是（）A．B．C．D．【变式4-1】函数y＝ax2与y＝ax+a，在第一象限内y随x的减小而减小，则它们在同一平面直角坐标系中的图象大致位置是（）A．B．C．D．【变式4-2】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．题型5：函数值的大小比较5.二次函数y1＝﹣3x2，y2＝﹣x2，y3＝5x2，它们的图象开口大小由小到大的顺序是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3题型6：简单综合-三角形面积6.求直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形面积．（2）求函数y＝ax2的解析式，并求其图象的顶点坐标和对称轴；（3）x取何值时，二次函数y＝ax2中的y随x值的增大而增大？（4）求抛物线与过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线的两个交点与顶点构成的三角形的面积．【变式6-2】已知抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝﹣2x+3交于点（﹣1，b）．求：（1）a，b的值；（2）抛物线与y＝x+6的两交点及顶点所构成的三角形的面积．一、单选题1．抛物线y=-2x2的对称轴是（）A．直线x= 12B．直线x=-12C．直线x=0D．直线y=02．已知A（1，y1）、B（﹣2，y2）、C（﹣√2，y3）在函数y＝x2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y2＜y3＜y13．抛物线y=x2的顶点坐标是()A．(0,0)B．(1,0)C．(0,1)D．(2,1)4．满足函数y＝12x﹣1与y＝﹣12x2的图象为（）A．B．C．D．5．下列说法中错误的是()A．在函数y＝－x2中，当x＝0时y有最大值0B．在函数y＝2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大C．抛物线y＝2x2，y＝－x2，y=−12x2中，抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口最大D．不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点6．已知抛物线y=(m−1)x2的开口向下，则m的取值范围是（）A．m≥1B．m>1C．m<1D．m≤17．抛物线y= 14x2，y=4x2，y=－2x2的图像中，开口最大的是（）A．y= 14x2B．y=4x2C．y=－2x2D．无法确定二、填空题8．若在抛物线y=mx m2−1对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则m=．9．二次函数y=x2的图象开口方向是（填“向上”或“向下”）.10．若抛物线y=(m−1)x m2−m开口向下，则m=.11．已知二次函数y=(m−2)x2的图象开口向下，则m的取值范围是．12．已知二次函数y甲=mx2和y乙=nx2，对任意给定一个x值都有y甲≥y乙，关于m，n的关系正确的是(填序号).①m<n<0 ②m>0，n<0 ③m<0，n>0 ④m>n>013．函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．求：（1）a和b的值；（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）作y=ax2的草图．14．在同一个直角坐标系中作出y＝12x2，y＝12x2－1的图象．（1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；（2）抛物线y＝12x2－1与抛物线y＝12x2有什么关系？15．已知y=(k−1)x k2+k−4是二次函数，（1）若其图象开口向下，求k的值；（2）若当x<0时，y随x的增大而减小，求函数关系式.。

二次函数经典精讲题一：已知抛物线L ：y = ax 2+bx+c(其中a ，b ，c 都不等于0)，它的顶点坐标P(−2ba，244ac b a )，与y 轴的交点是M(0，c)．我们称以M 为顶点，对称轴是y 轴且过点P 的抛物线为抛物线L 的伴随抛物线，直线PM 为L 的伴随直线．已知有一抛物线y =－2x 2+4x+1，求它的伴随直线和伴随抛物线的解析式．题二：如图，抛物线y = x 2+bx+8与y 轴相交于点A ，与过点A 平行于x 轴的直线相交于点B(点B 在第二象限)，抛物线的顶点C 在直线OB 上，且点C 为OB 的中点，对称轴与x 轴相交于点D ，平移抛物线，使其经过点A 、D ，则平移后的抛物线的解析式为 ．题三：如图，二次函数y = ax 2+bx+c (a ≠ 0)的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x = 2，且O A = OC ，则下列结论： ①abc > 0； ②9a+3b+c < 0； ③c > －1；④关于x 的方程ax 2+bx+c = 0(a ≠ 0)有一个根为－1a. 其中正确的结论个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个题四：如图所示，抛物线y = ax 2+bx+c(a ≠ 0)与x 轴交于点A(－2，0)、B(1，0)，直线 x =－0.5与此抛物线交于点C ，与x 轴交于点M ，在直线上取点D ，使MD = MC ， 连接AC 、BC 、AD 、BD ，某同学根据图象写出下列结论：①a－b = 0；②当－2 < x < 1时，y > 0；③四边形ACBD 是菱形；④9a－3b+c > 0. 你认为其中正确的是( )A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③题五：如图，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，AB = 4，点B的坐标为(－1，0)，点C在y轴的正半轴，抛物线y = ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象经过点A，B，C.(1)求y关于x的函数解析式；(2)设对称轴与抛物线交于点E，与AC交于点D，在对称轴上，是否存在点P，使以点P，C，D三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.[来源:Z_xx_]题六：如图，在平面直角坐标系中xOy中，一次函数y =54x+m(m为常数)的图象与x轴交于点A(－3，0)，与y轴交于点C．以直线x = 1为对称轴的抛物线y = ax2+bx+c(a，b，c为常数，a ≠ 0)经过A、C 两点，并与x轴的正半轴交于点B．(1)求点C的坐标；(2)求抛物线的函数表达式；(3)设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F，是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数经典精讲 课后练习参考答案题一：伴随直线y = 2x+1；伴随抛物线y = 2x 2+1.详解：∵抛物线y =－2x 2+4x +1，∴顶点坐标P 为(1，3)，与y 轴交点为M(0，1)， 设伴随抛物线的解析式为y = ax 2+1，把P(1，3)代入得a = 2，∴伴随抛物线y = 2x 2+1， 设伴随直线y = kx+1，把P(1，3)代入解得k = 2，故伴随直线y = 2x+1． 题二：y = x 2+6x+8.详解：当x = 0时，y = x 2+bx+8 = 8，则A(0，8)， ∵AB∥x 轴，∴B 点的纵坐标为8，当y = 8时，x 2+bx+8 = 8，解得x 1 = 0，x 2 =－b ，∴B(－b ，8)(b ＞0)， ∵点C 为OB 的中点，∴C(－12b ，4)， ∵C 点为抛物线的顶点，∴2484b ⨯-= 4，解得b = 4或b =－4(舍去)，∴抛物线解析式为y = x 2+4x+8 = (x+2)2+4，∴抛物线的对称轴为直线x =－2，∴D(－2，0)，设平移后的抛物线解析式为y = x 2+mx+n ， 把A(0，8)，D(－2，0)代入得8420n m n =⎧⎨-+=⎩，解得68m n =⎧⎨=⎩，所以平移后的抛物线解析式为y = x 2+6x+8．故答案为y = x 2+6x+8． 题三：C ．详解：由图象开口向下，可知a < 0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c < 0， 又对称轴方程为x = 2，所以－2ba> 0，所以b > 0，∴abc > 0，故①正确； 由图象可知当x = 3时，y > 0，∴9a+3b+c > 0，故②错误；由图象可知OA < 1，∵OA = OC，∴OC < 1，即－c < 1，∴c > －1，故③正确； 假设方程的一个根为x =－1a ，把x =－1a 代入方程可得1a －ba+c = 0， 整理可得ac －b+1 = 0，两边同时乘c 可得ac 2－bc+c = 0，即方程有一个根为x =－c ， 可知－c = OA ，而当x = OA 是方程的根，∴x =－c 是方程的根，即假设成立，故④正确； 综上可知正确的结论有三个，故选C ． 题四：D ．[来源:学科网ZXXK]详解：①∵抛物线y = ax 2+bx+c(a ≠ 0)与x 轴交于点A(－2，0)、B(1，0)， ∴该抛物线的对称轴为x =－2ba=－0.5，∴a = b，a －b = 0，①正确； ②∵抛物线开口向下，且抛物线与x 轴交于点A(－2，0)、B(1，0)，[来源:] ∴当－2 < x < 1时，y > 0，②正确；③∵点A 、B 关于x = －0.5对称，∴AM = BM，又∵MC = MD，且CD⊥AB， ∴四边形ACBD 是菱形，③正确；④当x =－3时，y < 0，即y = 9a －3b+c < 0，④错误． 综上可知，正确的结论为①②③． 故选D ．[来源:学科网ZXXK]题五：(1)y =－3x 2+3(2)存在，(1，3)或(1，－3).详解：(1)∵AB = 4，点B 的坐标为(－1，0)，∴O A = 3，A(3，0)， ∵∠BCO+∠CBO = 90°，∠CBA+∠CAO = 90°，∴∠BCO = ∠CAO，∴Rt△OCB∽Rt△OAC，∴OC：OA = OB ：OC ，即OC ：3 = 1：OC，设抛物线解析式为y = a(x+1)(x －3)，把C(0代入得－ a =∴抛物线解析式为y =(x+1)(x －3)，即y =2(2)存在．y =2－1)2，则E(1，抛物线对称轴为直线x = 1，直线x = 1交x 轴于H 点，如图1，在Rt△AOC OA = 3在Rt△AHD 中，AH = 2，∴DH =3，AD = 2DH =3，∴DE CD = AC － ∵∠CDP = ∠EDA，∴当DP DC DE DA =时，△DPC∽△DEA，即DP [来源:学.科.网]此时P 点坐标为(1，3)；当DP DC DA DE =时，△DPC∽△DAE，即DP ：3 = 3：3，解得DP = 3，此时P 点坐标为(1，，综上所述，满足条件的P 点坐标为(1)或(1).题六：(1)(0，154)；(2)y =－14x 2+12x+154；(3)存在，(2，154)或，－154)．详解：(1)∵y =54x+m经过点(－3，0)，∴0 =－154+m，解得m =154，∴直线解析式为y =54x+154，∴C(0，154)；(2)∵抛物线y = ax2+bx+c对称轴为x = 1，且与x轴交于A(－3，0)，∴另一交点为B(5，0)，设抛物线解析式为y = a(x+3)(x－5)，∵抛物线经过C(0，154)，∴154= a•3(－5)，解得a =－14，∴抛物线解析式为y =－14x2+12x+154；(3)假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则AC∥EF且AC = EF．如答图1，(i)当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G，∵AC∥EF，∴∠CAO = ∠EFG，在△CAO和△EFG中===COA EGFCAO GFEAC EF∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△CAO≌△EFG(AAS)，∴EG = CO =154，即y E =154，∴154=－14x E2+12x E+154，解得x E = 2(x E = 0与C点重合，舍去)，∴E(2，154)；(ii)当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′，－154=－14x2+12x+154，解得负数舍去)，则，－154)．D中考数学模拟试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 二次函数2(1)3y x =--的顶点坐标是A ．（1，-3）B ．（-1，-3）C ．（1，3）D ．（-1，3）2．如图，在△ABC 中，M ，N 分别为AC ，BC 的中点．则△C MN 与△C AB 的面积之比是A ．1:2B ． 1:3C ．1:4D ．1:93．如图，在⊙O 中，A ，B ，D 为⊙O 上的点，∠AOB=52°，则∠ADB 的度数 是A ．104°B ．52°C ．38°D ．26°4. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若13=AD AB ,AE=1,则EC 等于A ．1B ． 2C ．3D ．45. 如图，点P在反比例函数2y x=的图象上，PA ⊥x 轴于点A ， 则△PAO 的面积为A ．1B ．2C ．4D ．66. 如图，在△ABC 中，B ACD ∠=∠，若AD=2,BD=3,则AC 长为A ．．．67. 抛物线22y x x m =-+与x 轴有两个交点，则m 的取值范围为A ．1m >B ．=1mC ． 1m <D ．4m <8. 已知二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)和一次函数y 2＝kx ＋n(k ≠0)的图象如图所示， 下面有四个推断: ①二次函数y 1有最大值②二次函数y 1的图象关于直线1x =-对称 ③当2x =-时，二次函数y 1的值大于0 ④过动点P(m ，0)且垂直于x 轴的直线与y 1，y 2的图象的交点分别 为C ，D ，当点C 位于点D 上方时，m 的取值范围是m ＜-3或m ＞-1．A ．①③B ．①④C ．②③二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9. 已知点A （1，a ）在反比例函数12y x=-的图象上，则a 的值为 ． CB10．请写出一个开口向上，并且与y 轴交点在y 轴负半轴的抛物线的表达式：_______11. 如图，在⊙O 中，AB 为弦，半径OC⊥AB 于E ，如果AB=8，CE=2， 那么⊙O 的半径为 ．12. 把二次函数245=-+y x x 化为()2y a x h k =-+的形式，那么h k +=_____.13. 如图，∠DAB=∠CAE ，请你再添加一个条件____________， 使得△ABC ∽△ADE ．14. 若一个扇形的圆心角为45°，面积为6π，则这个扇形的半径为 ．15. 为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF 的斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上. 测得DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D 到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米．按此方法，请计算旗杆的高度为 米．16．如图1，将一个量角器与一张等边三角形（△ABC ）纸片放置成轴对称图形，CD ⊥AB,垂足为D ，半圆（量角器）的圆心与点D 重合，此时，测得顶点C 到量角器最高点的距离CE ＝2cm ，将量角器沿DC 方向平移1cm ，半圆（量角器）恰与△ABC 的边AC ，BC 相切，如图2,则AB 的长为 cm.图1CBAD EED ABC 图2三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17．计算：ooo2sin 45tan 602cos30++18. 下面是小西“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程. 已知：直线l 及直线l 外一点P. 求作：直线PQ ，使得PQ ⊥l. 做法：如图，①在直线l 的异侧取一点K ，以点P 为圆心，PK 长为半径画弧，交直线l 于点A ，B ； ②分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的同样长为半径画弧，两弧交于点Q （与P 点不重合）； ③作直线PQ ，则直线PQ 就是所求作的直线. 根据小西设计的尺规作图过程，BP（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明.证明：∵PA= ，QA= ,∴PQ ⊥l （ ）（填推理的依据）.19．如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC ，且A ，B ，C 三点均在小正方形的顶点上，试在这个网格上画一个与△ABC 相似的△A 1B 1C 1，要求：A 1，B 1，C 1三点都在小正方形的顶点上，并直接写出△A 1B 1C 1的面积．20. 如图，在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，AD=BC. 已知A （﹣2，0D （0，3），函数(0)=>ky x x的图象G 经过点C ． （1）求点C 的坐标和函数(0)=>ky x x的表达式；（2）将四边形ABCD 向上平移2个单位得到四边形''''A B C D 是否落在图象G 上？21. 位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm ，这个三角形的面积为S(单位：cm 2)．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)；(2)当x 是多少时，这个三角形面积S 最大?最大面积是多少?[来22. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90︒，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，AC=12，BC=5． （1）求ADE ∠cos 的值；（2）当DE DC =时，求AD23. 如图，反比例函数=ky x分别交于M ，N 两点，已知点M （1）求反比例函数的表达式；（2）点P 为y 轴上的一点，当∠MPN24. 如图，AB，AC 是⊙O 的两条切线，B ，C 为切点，连接CO 并延长交AB 于点D ，交⊙O 于点E ，连接BE ，连接AO ． （1）求证：AO ∥BE ；（2）若2=DE ，tan ∠BEO DO 的长．25. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 的中点，连接CD ，过点B 作CD 的垂线，交CD 延长线于点E. 已知AC=30，cosA=53. （1）求线段CD 的长； （2）求sin ∠DBE 的值.26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()4,2A --，将点A 向右平移6个单位长度，得到点B. （1）直接写出点B 的坐标；（2）若抛物线2y x bx c =-++经过点A,B ，求抛物线的表达式；（3）若抛物线2y x bx c =-++的顶点在直线2y x =+上移动，当抛物线与线段AB 有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．B27. 如图，Rt △ ABC 中，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ， 作AD 的垂直平分线EF 交AD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，交AB 于点G ，交AC 于点H ． （1）依题意补全图形； （2）求证：∠BAD=∠BFG ；（3）试猜想AB ，FB 和FD 之间的数量关系并进行证明．28. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1，2），B （3，2），连接AB. 若对于平面内一点P ，线段AB 上都存在点Q ，使得PQ ≤1，则称点P 是线段AB 的“临近点”． （1）在点C （0，2），D （2，32），E （4，1）中，线段AB 的“临近点”是__________； （2）若点M（m ，n ）在直线23y x =-+上，且是线段AB 的“临近点”，求m 的取值范围；（3）若直线y x b =+上存在线段AB 的“临近点”，求b 的取值范围.D BC一.选择题(本题共16分，每小题2分)二.填空题（本题共16分，每小题2分）9. -12 10.略 11. 5 12. 3 13.略 14. 15. 11.5 16.三. 解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17. 2sin45tan602cos30︒+︒+2222=⨯+⨯-……………………4分=……………………………………5分18. （1）如图所示………………………………………1分（2）PA=PB，QA=QB …………………………………3分依据：①到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②两点确定一条直线. ………………………………………5分19. 画图略…………………………………………………3分面积略……………………………………………………5分20. （1）C（4，3），……………………………………………1分反比例函数的解析式y=x12；………………………3分（2）点B′恰好落在双曲线上．…………………………5分21.（1）xxS20212+-=…………………………2分（2）∵21-=a＜0，∴S有最大值，…………………………3分当20)21(2202=-⨯-=-=abx时，S有最大值为200202020212=⨯+⨯-=S∴当x为20cm时，三角形面积最大，最大面积是200cm2. …………………………5分l22. 解:如图，（1）∵DE ⊥AB ，∴∠DEA=90°．∴∠A+∠ADE=90°． ∵∠ACB=90︒， ∴∠A+∠B=90°．∴∠ADE=∠B ． ………………………………1分 在Rt △ABC 中，∵AC=12，BC=5， ∴AB=13． ∴5cos 13BC B AB ==． ∴5cos cos 13ADE B ∠==． ………………………………2分 （2）由（1）得5cos 13DE ADE AD ∠==， 设AD 为x ，则513DE DC x ==． ………………………………3分 ∵ 12AC AD CD =+=， ∴51213x x +=. .………………………………4分 解得263x =. ∴ 263AD =. ……………………………5分23. （1）∵点M （-2，m ）在一次函数12y x =-的图象上， ∴()1=212m -⨯-= ． ∴M （-2，1）． ……………………………2分 ∵反比例函数ky x=的图象经过点M （-2，1）， ∴k ＝-2×1＝-2． ∴反比例函数的表达式为2=-y x． ……………………………4分 （2）点P 的坐标为（0，分24. （1） 证明：连结BC ,A∵AB ，AC 是⊙O 的两条切线，B ，C 为切点，∴=AB AC ,平分∠OA BAC ………………………………1分 ∴OA ⊥BC. ∵CE 是⊙O 的直径, ∴∠CBE=90°，∴ OA ∥BE. ………………………………2分 (2)∵OA ∥BE, ∴∠BEO=∠AOC.∵tan ∠∴tan ∠在Rt △AOC 中,设OC=r,则∴在Rt △CEB 中r. ∵BE ∥OA, ∴△DBE ∽△D AO ∴DE EBDO OA=, ………………………………………………………………5分 2DO =, ∴DO=3. ………………………………6分25. ⑴∵∠ACB=90°，AC=30，cosA=53，∴BC=40，AB=50. ……………………2分 ∵D 是AB 的中点， ∴CD=21AB=25. …………………………3分 (2)∵CD=DB,∴∠DCB=∠DBC. ………………………4分 ∴cos ∠DCB=cos ∠DBC=45. ∵BC=40,∴CE=32， ……………………5分 ∴DE=CE -CD=7,BA∴sin ∠DBE=725=DE DB . ……………………6分26. （1）()2,2B -……………………2分（2）抛物线2y x bx c =-++过点,A B ，∴1642422b c b c --+=-⎧⎨-++=-⎩, 解得26b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线表达式为226y x x =--+ ………………………4分 （3）抛物线2y x bx c =-++顶点在直线2y x =+上∴抛物线顶点坐标为(),2t t +∴抛物线表达式可化为()22y x t t =--++． 把()4,2A --代入表达式可得()2242t t -=---++ 解得123,4t t =-=-． ∴43t -≤<-．把()2,2B -代入表达式可得()2222t t --++=-． 解得340,5t t ==∴05<≤t ．综上可知t 的取值范围时43t -≤<-或05<≤t ． …………………6分27. （1（2（3∴ AF=FD ，∠ DAF=∠ ADF ，……………………5分 ∴ ∠ DAC+∠ CAF=∠ B+∠ BAD ， ∵ AD 是角平分线， ∴ ∠ BAD=∠ CAD ∴ ∠ CAF=∠ B ，∴ ∠ BAF=∠ BAC+∠ CAF=∠ BAC+∠ B=90°………………………6分 ∴222AB AF FB +=∴222+=AB FD FB28.（1）C 、D （2）如图，设y x =+易知M （0,2），∴m≥0， 易知N 的纵坐标为1，代入y =（3）当直线3y x b =-+当直线3y x b =-+∴2≤b ……………………………………………7分中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12 分）1. 下列图标，是轴对称图形的是（）2. 如图，数轴上的点A、B 分别表示实数a、b，则下列式子的值一定是正数的是（）A．b+a B．b a C．a b D．b a3. 关于代数式x+2 的值，下列说法一定正确的是（）A．比2大B．比2小C．比x大D．比x小4. 如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图像经过点(1，1)和点(3，0) ．关于这个二次函数的描述：①a＜0，b＞0，c＜0；②当x=2 时，y 的值等于1；③当x＞3 时，y 的值小于0．正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③5计算999 93 的结果更接近（）A．999 B．998 C．996 D．9336. 如图，点P是⊙O 外任意一点，PM、PN 分别是⊙O 的切线，M、N 是切点．设O P 与⊙O 交于点K．则点K是△PMN 的（）A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三个角的角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点二、填空题（本大题共 10 题，每小题 2 分，共 20 分）7.13的相反数是 ， 13的倒数是 ．8. 若△ABC ∽△DEF ，请写出 2 个不同类型的正确的结论： ，．9. 如果 2 x m y 3 与 x y n 是同类项，那么 2m n 的值是 ．10. 分解因式 2x 2 y 4xy 2 y 的结果是 ．11. 已知 x 1、x 2 是一元二次方程 x 2x 3 0 的两个根，则x 1 x 2x 1 x 2= ．12. 用半径为 4 的半圆形纸片恰好围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．13. 如图，点 A 在函数 ykxx 0 的图像上，点 B 在 x 轴正半轴上，△OAB 是边长为 2 的等 边三角形，则 k 的值为 ．14. 如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是 A B 、CD 的中点，AF 、DE 交于点 G ，BF 、CE 交于点 H ．当□ABCD 满足 时，四边形 E HFG 是菱形15. 如图，一次函数 y43-x 8 的图像与x 轴、y 轴分别交于 A 、B 两点．P 是 x 轴上一个动 点，若沿 B P 将△OBP 翻折，点 O 恰好落在直线 A B 上的点 C 处，则点 P 的坐标是 ．16. 如图，将一幅三角板的直角顶点重合放置，其中∠A=30°，∠CDE=45°．若三角板 A CB 的位置保持不动，将三角板 D CE 绕其直角顶点 C 顺时针旋转一周．当△DCE 一边与 A B 平行时，∠ECB 的度数为 ．三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分）17. （6 分）求不等式1132x x -≤+的负整数解18. （7 分）⑴化简：24142x x --- ⑵方程的2411=422x x ---解是 ．19. （7 分）小莉妈妈的支付宝用来生活缴费和购，如图是小莉妈妈2018 年9月至12 月支付宝消费情况的统计图（单位：元）．⑴11 月支出较多，请你写出一个可能的原因；⑵求这4个月小莉妈妈支付宝平均每月消费多少元．⑶用⑵中求得的平均数来估计小莉妈妈支付宝2018 年平均每月的消费水平，你认为合理吗？为什么？20. （8 分）我们学习等可能条件下的概率时，常进行转转盘和摸球试验．⑴如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和240°．小莉让转盘自由转动2 次，求指针2次都落在黑色区域的概率．⑵小刚在一个不透明的口袋中，放入除颜色外其余都相同的18 个小球，其中4个白球，6 个红球，8 个黄球，搅匀后，从中任意摸出1个球，若事件A的概率与⑴中概率相同，请写出事件A．21. （9 分）春天来了，石头城边，秦淮河畔，鸟语花香，柳条飘逸．为给市民提供更好的休闲锻炼环境，决定对一段总长为1800 米的外秦淮河沿河步行道出新改造，该任务由甲、乙两工程队先后接力完成．甲工程队每天改造12 米，乙工程队每天改造8米，共用了200 天．⑴根据题意，小莉、小刚两名同学分别列出了尚不完整的方程组如下：小莉：____128____x yx y+=⎧⎨+=⎩小刚：________128x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩根据两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y 表示的意义，然后在横线上补全小莉、小刚两名同学所列的方程组：小莉：x 表示，y 表示；小刚：x表示，y 表示；⑵求甲、乙两工程队分别出新改造步行道多少米．22. （7 分）如图，爸爸和小莉在两处观测气球（P）的仰角分别为α、β，两人的距离（BD）是100m，如果爸爸的眼睛离地面的距离（AB）为1.6m，小莉的眼睛离地面的距离（CD）为1.2m，那么气球的高度（PQ）是多少？（用含α、β的式子表示）．23. （9 分）南京、上海相距300km，快车与慢车的速度分别为100km/h 和50km/h，两车同时从南京出发，匀速行驶，快车到达上海后，原路返回南京，慢车到达上海后停止．设两车出发后的时间为xh，快车、慢车行驶过程中离南京的距离分别为y1、y2km．⑴求y1、y2 与x之间的函数表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出它们的图像；⑵若镇江与南京相距80km，求两车途经镇江的时间间隔；⑶直接写出出发多长时间，两车相距100km．24. （7 分）如图，△ABC 中，AD⊥BC，垂足为D．小莉说：当A B+BD=AC+CD 时，△ABC是等腰三角形，她的说法正确吗，如正确，请证明；如不正确，请举反例说明．25.（8 分）国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为y m2．⑴求y与x的函数表达式；⑵若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；⑶若要求0.5≤x≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值．26.（9 分）已知：如图，O 为正方形A BCD 的中心，E 为A B 边上一点，F 为B C 边上一点，△EBF 的周长等于B C 的长．⑴求∠EOF 的度数．⑵连接O A、OC．求证：△AOE∽△CFO．⑶若O E ，求AECF的值．27.（11 分）在解决数学问题时，我们常常从特殊入手，猜想结论，并尝试发现解决问题的策略与方法．【问题提出】求证：如果一个定圆的内接四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形的对边的平方和是一个定值．【从特殊入手】我们不妨设定圆O的半径是R，四边形A BCD 是⊙O 的内接四边形，AC⊥BD．请你在图①中补全特殊位置时的图形，并借助所画图形探究问题的结论．【问题解决】已知：如图②，定圆O的半径是R，四边形A BCD 是⊙O 的内接四边形，AC⊥BD．求证：．证明：中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是正确的，请将正确选项的字母代号写在相应括号内）1．31-的倒数等于 （ ） A ．3 B ．－3 C ．31- D ．312．下列计算正确的是 （ ）A ． (a 2)2=a 4B ．a 2·a 3=a 6C ．(a+1)2=a 2+1D ．a 2+a 2=2a 43．下列图形中，是中心对称图形的是 （ ）A ．直角B ．直角三角形C ．等边三角形D ．平行四边形 4．下列水平放置的四个几何体中，主视图与其它三个不相同的是 （ ）A ．B ．C ．D ．5:cm)这组数据的中位数是 （ ） A ．37 B ．38 C ．39 D ．40 6．已知反比例函数y=x k ，点A （m ，y1），B(m+2，y 2 )是函数图像上两点，且满足211121-=y y ，则k 的值为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 第二部分 非选择题（共132分）二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 7．9的平方根是 ．8．2017年10月10日，中科院国家天文台宣布，“中国天眼”发现1颗新脉冲星，距离地球16000光年。