高二数学检测卷(含答案)

2024/2025学年第一学期联盟校第一次学情调研检测高二年级数学试题（答案在最后）(总分150分考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分．2．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上．3．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。

第I 卷（选择题共58分）一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项2．若直线20ax y +=与直线2(1)(1)0x a y a +++-=平行，则a 的值是（）A.1或-2B.-1C.-2D.2或-13．已知圆1C ：()()()222120x y r r -++=>与圆2C ：()()224216x y -+-=外切，则r 的值为（）A.1B.5C.9D.2110=的化简结果是（）A.22153x y += B.22135x y += C.221259x y += D.221925x y +=5．已知直线l 方程：()220kx y k k R -+-=∈，若l 不经过第四象限，则k 的取值范围为（）A．1k ≤B．1k ≥C．0k ≤D．0k ≥6.直线220x y +-=与曲线(10x y +-=的交点个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个7.已知圆C 经过点()()3,5,1,3M N --，且圆心C 在直线350x y ++=上，若P 为圆C 上的动点，则线段(OP O 为坐标原点）长度的最大值为（）A. B.5+ C.10D.108.实数x ，y 满足224690x x y y -+-+=，则11y x -+的取值范围是（）A.5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.12,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.50,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .120,5⎡⎤⎢⎣⎦二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）9.已知直线l 过点()1,3，若l 与x ，y 轴的正半轴围成的三角形的面积为S ，则S 的值可以是（）A．3 B.6 C.7 D.910.下列四个命题中正确的是（）A.过点(3,1)，且在x 轴和y 轴上的截距互为相反数的直线方程为20x y --=B.若直线10kx y k ---=和以(3,1),(3,2)M N -为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为12k ≤-或32k ≥C.若三条直线0,0,3x y x y x ay a +=-=+=-不能构成三角形，则实数a 所有可能的取值组成的集合为{1,1}-D.若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为23-11.已知圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则下列结论中正确的是（）A.公共弦AB 所在的直线方程为0x y -=B.公共弦AB 的长为22C.线段AB 的中垂线方程为10x y +-=D.若P 为圆1O 上的一个动点，则三角形PAB +第II 卷（非选择题共92分）三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．）12.两条平行直线1l ：3450x y +-=与2l ：6850x y +-=之间的距离是．13.已知圆22:4210C x y x y +--+=，圆C 的弦AB 被点()1,0Q 平分，则弦AB 所在的直线方程是．14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A B ，的距离之比为定值(1)λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知()1,0A ，()4,0B ，若动点P 满足12PA PB =，设点P 的轨迹为C ，过点(1,2)作直线l ，C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，则直线l 的方程为.四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．(本小题满分13分)分别求符合下列条件的椭圆的标准方程：（1）过点P (－3，2)，且与椭圆22194x y +=有相同的焦点．（2）经过两点(2,，141,2⎛- ⎪⎝⎭．16．(本小题满分15分)已知直线:210l x y +-=和点()1,2A （1）求点A 关于直线l 的对称点的坐标；（2）求直线l 关于点A 对称的直线方程.17.(本小题满分15分)已知半径为4的圆C 与直线1:3480l x y -+=相切，圆心C 在y 轴的负半轴上.（1）求圆C 的方程；（2）已知直线2:30l kx y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且△ABC 的面积为8，求直线2l 的方程.18.(本小题满分17分)如图，已知圆22:10100C x y x y +++=，点()0,6A .（1）求圆心在直线y x =上，经过点A ，且与圆C 相外切的圆N 的方程；（2）若过点A 的直线m 与圆C 交于,P Q 两点，且圆弧 PQ恰为圆C 周长的14，求直线m 的方程.19.(本小题满分17分)已知圆M ：()2244x y +-=，点P 是直线l ：20x y -=上的一动点，过点P 作圆M 的切线PB P A ,，切点为B A ,．（1）当切线P A 的长度为时，求点P 的坐标；（2）若P AM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（3）求线段AB 长度的最小值．2024/2025学年第一学期联盟校第一次学情调研检测高二年级数学参考答案及评分标准一、单项选择题1.B2.C3.A4.C5.B6.B7.B8.D二、多项选择题9.BCD10.BD11.AC三、填空题12.1213.x+y-1=014.1x =或3450x y -+=四、解答题15.（1）因为所求的椭圆与椭圆22194x y +=的焦点相同，所以其焦点在x 轴上，且c 2＝5．设所求椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>．因为所求椭圆过点P (－3，2)，所以有22941a b+=①又a 2－b 2＝c 2＝5，②由①②解得a 2＝15，b 2＝10．故所求椭圆的标准方程为2211510x y +=．…………………………………………6分(2)设椭圆方程为22221x y m n +=，且(2,，141,2⎛- ⎪⎝⎭在椭圆上，所以222222421817412m m n n mn ⎧+=⎪⎧=⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩，则椭圆方程22184x y +=.………………………………13分16.（1）设(),A m n '，由题意可得211121221022n m m n ⎧-⎛⎫⨯-=- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎨++⎪+⨯-=⎪⎩，…………………………4分解得3565m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以点A '的坐标为36,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭.……………………………………………7分（2）在直线l 上任取一点(),P x y ，设(),P x y 关于点A 的对称点为()00,P x y '，则001222x xy y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得0024x x y y =-⎧⎨=-⎩，………………………………11分由于()2,4P x y '--在直线210x y +-=上，则()()22410x y -+--=，即290x y +-=，故直线l 关于点A 的对称直线l '的方程为290x y +-=.………………………………15分17.（1）由已知可设圆心()()0,0C b b <4=，解得3b =-或7b =（舍），所以圆C 的方程为22(3)16x y ++=.………………………………………6分（2）设圆心C 到直线2l 的距离为d，则182ABC AB S AB d d ==⨯= ，即4216640d d -+=，解得d =……………………………………………10分又d =272k =，解得142k =±，所以直线2l的方程为260y -+=260y +-=…………………………15分18.（1）由22:10100C x y x y +++=，化为标准方程：()()225550x y +++=.所以圆C 的圆心坐标为()5,5C --，又圆N 的圆心在直线y x =上，所以当两圆外切时，切点为O ，设圆N 的圆心坐标为(),a a ，=解得3a =，………………………………6分所以圆N 的圆心坐标为()3,3，半径r =故圆N 的方程为()()223318x y -+-=.………………………………………8分（2）因为圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，所以CP CQ ⊥.所以点C 到直线m 的距离为5.……………………………………10分当直线m 的斜率不存在时，点C 到y 轴的距离为5，直线m 即为y 轴，所以此时直线m 的方程为0x =.………………………………………12分当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为6y kx =+，即60kx y -+=.5=，解得4855k =.所以此时直线m 的方程为486055x y -+=，即48553300x y -+=，…………………16分故所求直线m 的方程为0x =或48553300x y -+=.………………………………17分19⑴由题可知，圆M 的半径2=r ，设()b b P ,2，因为P A 是圆M 的一条切线，所以︒=∠90MAP ,所以=MP 4==，解得580==b b 或,所以()⎪⎭⎫ ⎝⎛585160,0，或P P .………………………………5分⑵设()b b P ,2，因为︒=∠90MAP ，所以经过M P A ,,三点的圆N 以MP 为直径，其方程为：()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭,即()22(24)40x y b x y y +--+-=………………………………8分由2224040x y x y y +-=⎧⎨+-=⎩，解得04x y =⎧⎨=⎩或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆过定点84(0,4),,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.……11分⑶因为圆N 方程为()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭即222(4)40x y bx b y b +--++=.圆M ：()2244x y +-=，即228120x y y +-+=.②－①得圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为：2(4)1240bx b y b +-+-=点M 到直线AB的距离d =,相交弦长即：AB ===…14分当45b =时，AB.……………………………………17分。

第三章 排列、组合与二项式定理——高二数学人教B 版(2019)选择性必修第二册单元检测卷（A 卷）【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知322A 100A x x =，则x =( )A.11B.12C.13D.142.把3个不同的小球放入到4个不同的盒子中，所有可能的放法种数为( )A.24B.4C.34 D.433.在6(2)(1)m x y ++的展开式中，若3x y 的系数为800，则含4xy 项的系数为( )A.30B.960C.300D.3604.某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图），现要在每个区域栽种一种颜色的花，且各个区域的花颜色各不相同，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为( )5.某中学第24届篮球赛正如火如荼地进行中，全年级共20个班，每四个班一组，如1—4班为一组，5—8班为二组……进行单循环小组赛（没有并列），胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后胜出的三个班级再进行单循环赛，按积分的高低（假设没有并列）决出最终的冠亚季军，则此次篮球赛学校共举办的比赛场数为( )A.51B.42C.39D.366.15-的展开式中，常数项为( )A.1365B.3003C.5005D.64357.某校环保小组共有8人，该小组计划前往3个不同的景区开展活动，要求每个景区至少有2人，每个人都参与且只能去一个景区，则不同的分配方案有( )A.490种B.980种C.2940种D.5880种8.中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的中国传统工艺品.灯笼综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺，与中国人的生活息息相关.灯笼成了中国人喜庆的象征.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率为( )二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列四个关系式中，一定成立的是( )A.3477C C = B.222334100101C C C C +++= C.11(1)A A m m n n n +++= D.若,m n +∈N ，且2023m n <≤，则20232023C C m n <10.若2022220220122022(1)x a a x a x a x -=++++ ，则( )A.展开式中所有项的二项式系数之和为20222B.展开式中二项式系数最大的项为第1012项C.01a =D.12320220a a a a ++++= 11.第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，小赵、小李、小罗、小王、小张为5名志愿者，现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有( )A.若5人每人可任选一项工作，则有45种不同的方案B.若每项工作至少安排1人，则有240种不同的方案C.若礼仪工作必须安排2人，其余工作安排1人，则有60种不同的方案D.已知5人身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，后排要求身高最高的站中间，则有40种不同的方案三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有_________种.13.若6b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为160，则22a b +的最小值为__________.14.第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有__________.（用数字作答）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知1677A 20A x x -=，x +∈N .（1）求x 的值；（2）求2012017C C x x x --++的值.16.中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”“武术”“书法”“剪纸”“京剧”“刺绣”六门体验课程.（1）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；（2）计划安排A ，B ，C ，D ，E 五名教师教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，一门课程只由一名教师任教，每门课程都有教师任教，教师A 不任教“围棋”课程，教师B 只能任教一门课程，求所有课程安排的种数.17.已知nx ⎛ ⎝的展开式中只有第五项的二项式系数最大.（1）求该展开式中有理项的项数；（2）求该展开式中系数最大的项.18.在下面两个条件中任选一个，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：展开式前三项的二项式系数的和等于37；条件②：第3项与第7项的二项式系数相等.问题：在二项式(21)n x -的展开式中，已知__________.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）设121210(21)n n n n n x a x a x a x a x a ---=+++++ ，求123n a a a a ++++ 的值；（3）求11(21)n x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数.19.用0，1，2，3，4，5，6这七个数字，完成下面的问题.（1）用以上七个数字能组成多少个三位偶数（允许有重复数字）？（2）用以上七个数字能组成多少个无重复数字的能被5整除的四位数？221y b+=，其中,{0,1,2,3,4,5,6}a b ∈，则满足焦距不小于8的不同椭圆方程有多少个？答案以及解析1.答案：C解析：根据题意得2x ≥.由322A 100A x x =得2(21)(22)100(1)x x x x x --=-，整理可得2125x -=，解得13x =，经检验满足题意.2.答案：C解析：第1个小球放入盒子中有4种放法；第2个小球放入盒子中也有4种放法；第3个小球放入盒子中也有4种放法.只要把这3个小球放完，就做完了这件事情，所以由分步乘法计数原理可得共有34种放法.3.答案：B解析：由题意可知3316C 2C 800m⨯⨯=，即160800m =，解得5m =，所以含4xy 项的系数为15465C 2C 960⨯⨯=.故选B.4.答案：D解析：每个区域种不同颜色的花，有99A 种方法.这9个区域中相邻的区域有9个（13，23，34，26，48，56，67，78，89），所以红色、白色种在相邻区域有27279A A ⨯⨯种方法，所以红色、白色在不相邻（没有公共边）区域的概率为2727999A A 1A ⨯⨯-=5.答案：D解析：先进行单循环赛，有245C 30=场，胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，6支球队打3场，决出最后胜出的三个班，最后3个班再进行单循环赛，有23C 3=场，所以共打了303336++=场.故选D.6.答案：C解析：二项式15展开式的通项5515611515C (1)C rr r r r r r T x--+⎛==- ⎝⋅，r ∈N ，.由得6r =，此时66715(1)C 5005T =-=，15r ≤5506r -=所以所求常数项为5005.故选C.7.答案：C210=种分配方案；280=种分配方案.第二步：将3组成员分配到3个不同的景区开展环保活动，共有33A 6=种分配方案.故符合要求的分配方案共有(210280)62940+⨯=种，故选C.8.答案：A解析：设红木宫灯、檀木宫灯分别为1a ，2a ，楠木纱灯、花梨木纱灯分别为1b ，，恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯分别为，.先求仅，相邻的种数，把12a a 看作一个元素，当排在首或尾时，不同的排法有种；当排在五个位置中第二或第四位时，不同的排法有种；当排在第三个位置时，不同的排法有种，故仅相邻共有12396N N N ++=种排法.同理得仅12b b 相邻，仅12c c 相邻的2种情况，也都有96种排法.所以有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率669632A 5P ⨯==.故选A.9.答案：AC解析：由组合数性质知3477C C =一定成立，A 正确；222322232233410033410044100101C C C C C C C 1C C C 1C 1+++=++++-=+++-==- ，B 错误；11(1)A (1)(1)(1)(1)(1)[(1(1)1])A m m n n n n n n n m n n n n m +++=+--+=+-+-++= ，C 正确；由组合数性质知n +∈N 且2023n ≤，当11011n ≤≤时，2023C n 单调递增，当10122023n ≤≤时，2023C n 单调递减，因此D 错误.故选AC.10.答案：ABC2b 1c 2c 1a 2a 12a a ()2111242A C C 232N =⨯⨯⨯=12a a ()1122422C C A 232N =⨯⨯⨯=12a a 11222322222C C A A A 32N =⨯⨯=12a a解析：展开式中所有项的二项式系数和为0120222022202220222022C C C 2+++= ，故A 正确；展开式中第1012项的二项式系数为10112022C ，是所有项的二项式系数中的最大值，故B 正确；令0x =可得01a =，故C 正确；令1x =可得0120220a a a +++= ，12320221a a a a ∴++++=- ，故D 错误.故选ABC.11.答案：BCD解析：对于A ，若5人每人可任选一项工作，则每人都有4种选法，则5人共有54种选法，因此A 错误；对于B ，分两步分析，先将5人分为4组，再将分好的4组安排四项不同的工作，有2454C A 240=（种）分配方法，因此B 正确；对于C ，分两步分析，在5人中任选2人，安排礼仪工作，有25C 10=（种）选法，再将其余3人安排余下的三项工作，有33A 6=（种）方法，则由分步乘法计数原理可得共有10660⨯=（种）不同的方案，因此C 正确；对于D ，分两步分析，在5人中任选2人，安排在第一排有25A 20=（种）排法，其余3人安排在第二排，要求身高最高的站中间，剩下两人有2种排法，则有20240⨯=（种）不同的方案，因此D 正确.故选BCD.12.答案：36解析：此题分两步完成：第一步，将4名同学分成3组，有种分法；第二步，将所分3组进行排列，有种排法.所以不同的安排方法共有（种）.13.答案：4解析：二项式展开式的通项为6662166C ()C kk k k k k kk b T ax a b x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭⋅，令620k -=，则3k =，所以63336C 160a b -=，即3336C 160a b =，所以2ab =.因为2224a bab +≥=，当且仅当a b ==的最小值为4.14.答案：336解析：由题意可分两种情形：24C 33A 2343C A 36=6b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭22b +①前排含有两种不同名称的吉祥物，首先，前排从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，其中一种取两个，另一种选一个，有1122223222C C C C A 24=种排法；其次，后排有22A 2=种排法，故共有24248⨯=种不同的排法；②前排含有三种不同名称的吉祥物，有11132223C C C A 48=种排法；后排有33A 6=种排法，此时共有486288⨯=种排法；因此，共有48288336+=种排法，故答案为：336.15.答案：（1）3x =（2）1330解析：（1）由已知得6!7!720(6)!(8)!x x ⨯=⨯--，化简得215360x x -+=，解得3x =或12x =.又因为6,17,x x ≤⎧⎨-≤⎩所以3x =.（2）将3x =代入得1723232020202021C C C C C 1330+=+==.16.答案：（1）360种（2）1140种解析：（1）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有26A 种排法；第二步，将甲和乙的相同课程排好，有14C 种排法；第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法有23C 种.因此，所有选课的种数为212643A C C 360⨯⨯=.（2）①当A 只任教1门时，先排A 任教课程，有15C 种，再从剩下的5门中排B 的任教课程，有15C 种，接下来剩余4门中必有2门为同一名老师任教，分三组全排列，共有2343C A 种.所以当A 只任教1门时，共有1123554343C C C A 5532190021⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯种；②当A 任教2门时，先选A 任教的2门有25C 种，剩下4位教师任教四门课程，这样共有245454C A 432124021⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯种.所以，符合题意的课程安排共有9002401140+=种.综上，教师A 不任教“围棋”，教师B 只能任教一门课程的课程安排方案共有1140种.17.答案：（1）5项（2）17921x -15=，解得8n =，则8x ⎛+ ⎝的展开式的通项为882188C 2C 2k k k k k k k T x x x--+=⨯⨯=⨯⨯8k ≤≤，k ∈N .求展开式中的有理项，需令382k-∈Z ，所以0,2,4,6,8k =，所以有理项共有5项.（2）设第1k +项的系数最大，则11881188C 2C 2,C 2C 2,k k k k k kk k --++⎧⨯≥⨯⎨⨯≥⨯⎩即21,912,81k k k k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩解得56k ≤≤，因为k ∈N ，所以5k=或6k =.当5k =时，155268C 21792T x =⨯⨯=当6k =时，661178C 21792T x x --=⨯⨯=，所以展开式中系数最大的项为17921x -.18.答案：（1）41120x （2）0（3）560解析：选择①，由012C C C 37n n n ++=，解得8n =.选择②，由26C C n n =，解得8n =.（1）展开式中二项式系数最大的项为444458C (2)(1)1120T x x =⨯⨯-=.（2）令1x =，则80128(21)1a a a a ++++=-= ，令0x =，则80(01)1a =-=，所以12380a a a a ++++= .（3）因为888111(21)(21)(21)x x x x x ⎛⎫--=--- ⎪⎝⎭，所以811(21)x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中含2x 的项为62653528811C (2)(1)C (2)(1)560x x x x ⎛⎫⨯-+-⨯-= ⎪⎝⎭，所以展开式中2x 的系数为560.19.答案：（1）168个（2）220个（3）14个解析：（1）七个数字0，1，2，3，4，5，6中，是偶数的为0，2，4，6，是奇数的为1，3，5，组成的三位偶数允许有重复数字，则百位数字是0的情况有4728⨯=种，所以允许有重复数字的三位偶数有2474719628168⨯-⨯=-=个.（2）组成无重复数字的能被5整除的四位数，末尾数字只能为0或5.当末尾数字为0时，有36A 654120=⨯⨯=个；当末尾数字为5时，有255A 554100=⨯⨯=个.所以组成无重复数字的能被5整除的四位数有120100220+=个.221y b+=，其中,{0,1,2,3,4,5,6}a b ∈，知a b ≠且0ab ≠.当a b >时，由28c ≥，得8≥整理得2216b a ≤-，所以5a =或6，若5a =，则1,2,3b =，此时满足条件的椭圆有3个；若6a =，则1,2,3,4b =，此时满足条件的椭圆有4个.所以满足条件的椭圆有347+=个，同理，当a b <时，满足条件的椭圆也有7个.综上，焦距不小于8的不同椭圆方程有7714+=个.。

浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（ ）{}{}31,1e M x x N x x =-<=<≤M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}23x x <≤{}24x x <<{}2e x x <≤{}1e x x <≤2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）i 31i z -=-z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．样本数据的中位数和平均数分别为（ ）27,30,28,34,35,35,43,40A ．34，35B ．34，34C ．34.5，35D ．34.5，344．已知直线与圆有公共点，则的可能取值为（ ）30kx y k --=22:1O x y +=k A ．1B ．C ．D ．131-2-5．在中，角的对边分别是，且，则ABC ,,A B C ,,a b c ()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C=+++（ ）cos A =A ．B ．C ．D ．12-1312236．已知正方体的棱长为为棱的中点，则四面体的体积为1111ABCD A B C D -2,P 1BB 1ACPD （ ）A ．2B C ．D ．837．已知，则（ ）4sin25α=-tan2πtan 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．4B ．2C ．D ．2-4-8．已知双曲线的上焦点为，圆的圆心位于，且与的22:1C y x -=F A x C 上支交于两点，则的最小值为（ ）,BD BF DF+A．B CD21-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，设函数()(),f x g x R ()()e xf xg x +=，则（ ）()()()g x G x f x =()G x A ．是奇函数B ．是偶函数C ．在上单调递减D ．在上单调递增R R 10．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π3y 对称，则（ ）A ．的图象关于直线对称B ．的最小值为()f x π3x =ω12C ．的最小正周期可以为D ．的图象关于原点对称()f x 4π52π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭11．如图，有一个棱台形的容器（上底面无盖），其四条侧棱均相1111ABCD A B C D -1111D C B A 等，底面为矩形，，容器的深度为，容器壁的厚度忽略11111111m 224AB BC A B B C====1m不计，则下列说法正确的是（ ）A ．1AA =B ．该四棱台的侧面积为(2mC ．若将一个半径为的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面0.9m D ．若一只蚂蚁从点出发沿着容器外壁爬到点A 1C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 13．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取22224:1(0)3x y C a a a +=>12,,F F A C 12AF AF 值范围是．14．已知两个不同的正数满足，则的取值范围是．,a b 33(1)(1)a b a b ++=ab 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数()1e 4xf x =(1)求曲线在点处的切线在轴上的截距；()y f x=()()1,1f l y (2)探究的零点个数．()f x 16．如图，在直三棱柱中，为棱上一点，111ABC A BC -12,1,AB BC AC AA M ====1CC 且．1AM BA ⊥(1)证明：平面平面；AMB ⊥1A BC (2)求二面角的大小．B AM C --17．设数列满足，且．{}n a ()122n n na n a +=+14a=(1)求的通项公式；{}n a(2)求的前项和．{}n a n n S 18．在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机Q R k 构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事A B 件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数()Q P A B =()R P B A =，其中．1o ee p p k p -=-()()()()()(),o e p P AB P AB p P A P B P A P B =+=+(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率．Q R 实际有雷实际无雷总计检测到有雷402464检测到无雷102636总计5050100(2)对任意一次测试，证明：．()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-(3)若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若0.61k <≤0.20.6k <≤，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果．00.2k ≤≤k 19．已知抛物线的焦点为，以点为圆心作圆，该圆与轴的正、负半轴分别2:4C y x =F F x 交于点，与在第一象限的交点为．,H G C P (1)证明：直线与相切．PG C (2)若直线与的另一交点分别为，直线与直线交于点．,PH PF C ,M N MN PG T （ⅰ）证明：；4TM TN=（ⅱ）求的面积的最小值．PNT【分析】求得集合，可求{}24M x x =<<M N⋂【详解】因为，{}{}{}3124,1e M x x x x N x x =-<=<<=<≤所以．{}2e M N x x ⋂=<≤故选：C ．2．B【分析】根据复数的四则运算和共轭复数的概念，以及复数的几何意义即可求解.【详解】因为，()()()()3i 1i i 342i 2i 1i 1i 1i 2z -++---====----+所以，2i z =-+故在复平面内对应的点为位于第二象限．z (2,1)-故选：B.3．D【分析】先将样本数据按从小到大进行排列，再根据样本数据的中位数、平均数概念公式进行计算即可.【详解】将样本数据按照从小到大的顺序排列可得，27,28,30,34,35,35,40,43故中位数为，343534.52+=平均数为．()12728303435354043348⨯+++++++=故选：D.4．B，求解即可.1≤【详解】由直线与圆有公共点，30kx y k --=22:1O x y +=可得圆心到直线的距离为，()0,0O 30kx y k--=1d =≤解得，所以的取值范围为．k ≤≤k ⎡⎢⎣故选：B.【分析】根据题意，利用正弦定理化简得，结合余弦定理，即可求解.222b c a bc +-=-【详解】因为，()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++由正弦定理得，即，()()2222a b c b c b c=+++222b c a bc +-=-又由余弦定理得.2221cos 22b c a A bc +-==-故选：C.6．A【分析】设与交于点，证得平面，得到，且AC BD O AC ⊥11BDD B 113OPD V S AC =⨯中，结合，即可求解.AC =11BDD B 111111BDD B BOP B OP D P D ODD S S S S S =--- 【详解】设与交于点，在正方形中，，AC BD O ABCD AC BD ⊥又由正方体中，平面，1111ABCD A B C D -1DD ⊥ABCD 因为平面，可得，AC ⊂ABCD 1AC DD ⊥又因为且平面，所以平面，1BD DD D = 1,BD DD ⊂11BDD B AC ⊥11BDD B所以四面体的体积为，且，1ACPD 113OPD V S AC =⨯ AC =在对角面中，可得，11BDD B 111111BDD B BOP B D P OPD ODD S S S S S =-=--所以四面体的体积为．1ACPD 123V =⨯=故选：A.7．D【分析】由已知可得，利用，可求值.251tan tan 2αα+=-tan2tan 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭22tan 1tan 2tan ααα=++【详解】因为，所以，2222sin cos 2tan 4sin2sin cos tan 15ααααααα===-++251tan tan 2αα+=-所以．2tan22tan 1tan tan 4ααπαα=⨯-⎛⎫+ ⎪⎝⎭221tan 2tan 2tan 41tan (1tan )1tan 2tan ααααααα-===-++++故选：D.8．B【分析】设出圆的方程与双曲线方程联立，可得，进而可得，利用两点1212,x x xx +22121x x +=间距离公式求出，并利用不等式方法求出其最小值.BF DF+【详解】由题可知．设圆，，.(F 22:()2A x a y -+=()11,B x y ()22,D x y 联立，得，则，22221()2y x x a y ⎧-=⎨-+=⎩222210x ax a -+-=212121,2a x x a x x -+==因此，故.()22212121221x x x x x x +=+-=222222121212112213y y x x x x +=+++=++=+=因为，所以，同理可得22111y x -=11BF===-.21DF =-故.)122BF DF yy +=+-又，且，故，从而22123y y +=12,1yy≥1y =≤=2y=≤=.())22121y y -≤所以)122BF DF y y +=+-2=2=2=2≥2==当时，有，，此时1a =()0,1B (D 11BF DF +=-+=所以的最小值是BF DF+故选：B.关键点睛：本题解题关键是由圆的方程与双曲线方程联立得到，再用不等式方法求22121x x +=其最小值.9．AD【分析】根据奇、偶性得到方程组求出、的解析式，从而得到的解析式，再()f x ()g x ()G x 由奇偶性的定义判断的奇偶性，利用导数判断函数的单调性.()G x 【详解】因为①，所以，()()e xf xg x +=()()e xf xg x --+-=即②，联立①②，解得，()()e xf xg x --=()()e e e e ,22x x x xf xg x --+-==所以，定义域为，又，()e e e e x x x x G x ---=+R ()()e e e e x xx xG x G x ----==-+所以是奇函数，又，()G x ()()()()()2222ee e e 40eeeexx x x xx xx G x ----+--=+'=>+所以在上单调递增，故A ，D 正确，B 、C 错误．()G x R 故选：AD10．ABD【分析】根据图象平移判断A ，根据关于直线对称可得判断B ，由周π3x =()132k k ω=+∈Z 期计算可判断C ，可先证明函数关于点对称，再由图象平移判断D.ω()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】对于A ，将的图象向左平移个单位长度后，关于轴对称，所以的图()f x π3y ()f x 象关于直线对称，故A 正确；π3x =对于B ，由题可知，解得，又，所以的最小()ππππ332k k ω+=+∈Z ()132k k ω=+∈Z 0ω>ω值为，故B 正确；12对于C ，若最小正周期，则，由B 项可知，不存在满足条件的，故C 错4π5T =2π52T ω==ω误；对于D ，因为，代入，得2π2ππsin 333f ω⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()132k k ω=+∈Z ，()2πsin 2π03f k ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭所以的图象关于点对称，将的图象向右平移个单位长度可以得到()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 2π3的图象，2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭则对称中心对应平移到坐标原点，故的图象关于原点对称，故D 正确．2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：ABD 11．BD【分析】由勾股定理即可判断A ，由梯形的面积公式代入计算，即可判断B ，做出轴截面图形代入计算，即可判断C ，将四棱台展开，然后代入计算，即可判断D 【详解】对于A ，由题意可得，故A错误；132AA ==对于B ，梯形11ADD A =所以梯形的面积为11ADD A 242+=梯形，11ABB A=所以梯形的面积为，11ABB A 122+=故该四棱台的侧面积为，故B正确；2⨯=对于C ，若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时，球恰好与面、面、面均相切，11ADD A 11BCC B ABCD 过三个切点的截面如图（1）所示，由题意可知棱台的截面为等腰梯形，较长的底边上的底角的正切值为，则，12212=-tan 2MPN ∠=-由于互补，故，,MPN MON ∠∠tan 2MON ∠=则，所以，从而球的半径为22tan 21tan MOPMOP ∠=-∠tanMOP ∠=，0.9=<所以将半径为的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C 错误；0.9cm对于D ，将平面与平面展开至同一平面，ABCD 11DCC D 如图（2），则，1AC ==将平面与平面展开至同一平面，如图（3），ABCD 11BCC B 则，145333044AC ⎛=+=< ⎝D 正确．故选：BD难点点睛：解答本题的难点在于选项D 的判断，解答时要将空间问题转化为平面问题，将几何体侧面展开，将折线长转化为线段长，即可求解.12．672【分析】利用二项式定理，求得二项展开式中的通项，把含x 的进行幂运算合并，然后令指数等于3，即可求解.【详解】因为通项为，令，得，712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭77721771C (2)2C rr r r r rr T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭72r 3-=2r =所以的系数为．3x 72272C 672-=故672.13．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据椭圆、、之间的关系，求出，再根据椭圆的定义，把换成a b c 12c a=1AF ，最后根据，代入即可.22a AF -[]2,AF a c a c ∈-+【详解】设椭圆的半焦距为，则，C (0)c c >12c a==，12222221AF a AF aAF AF AF -==-因为，即，[]2,AF a c a c ∈-+213,22AF a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，即.2211,33a AF ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦121,33AF AF ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为.1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．10,4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】本题将条件式化简后结合基本不等式得出关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性求解即可.【详解】将两边展开，33(1)(1)a b a b ++=得到，22113333a a b b a b +++=+++从而，()()221130ab a b a b ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭故，而，()130a b a b ab ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭a b¹故，又，130a b ab ++-=00a b ＞，＞故，133a b ab =++>从而．321+<设函数，则，()3223g x x x=+112gg ⎛⎫<= ⎪⎝⎭观察易得在，()g x ()0,∞+12<又，所以．0,0a b >>104ab <<故答案为.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，其关键是利用均值不等式构造关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性解决问题.321+<()3223g x x x =+15．(1)12-(2)有两个零点()f x【分析】（1）求得，，利用导数的几何意()1e 4x f x '=()e 1142f ='-()e 114f =-义，求得切线方程，进而求得其在轴上的截距；y（2）得到在上递增，结合，得到，()1e 4x f x '=()0,∞+()10,104f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭''01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得，进而求得单调性，结合零点的存在性定理，即可求解.()00f x '=()f x【详解】（1）解析：由函数，可得，()1e 4x f x =()1e 4x f x '=()e 1142f ='-又，所以的方程为，即，()e 114f =-l ()e 1e 11424y x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭e 11422y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令，可得，所以直线在轴上的截距为．0x =12y =-l y 12-（2）解：因为和上均单调递增，1e 4x y =y =()0,∞+所以在上单调递增，()1e 4x f x '=()0,∞+又因为，所以，使得，()141111e 10,1e 04442f f ⎛⎫=-=''- ⎪⎝⎭01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00f x '=所以，当时，，在单调递减；()00,x x ∈()0f x '<()f x ()00,x 当时，，在单调递增，()0,x x ∞∈+()0f x '>()f x ()0,x ∞+又因为，()()14100111e 1e 0,110,4e 2010041044f f f ⎛⎫=->=-=- ⎪⎝⎭所以有两个零点．()f x 方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型e xln x①，构造函数或；e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤()lnf x x x =()e xg x x =②，构造函数或；e e ln ln e ln a a a b b a b b <⇔<()ln x f x x =()e x g x x =③，构造函数或.e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±()lnf x x x =±()e xg x x =±16．(1)证明见解析(2)4π【分析】（1）由线面垂直得到，结合勾股定理逆定理得到，证明出1AA BC ⊥BC AC ⊥平面，得到，结合题目条件证明出平面，得到面面垂直；BC⊥11AA C C AMBC ⊥AM ⊥1A BC （2）建立空间直角坐标系，设点，根据向量垂直得到方程，求出()0,0,M a ，进而求出平面的法向量，得到二面角的余弦值，得到答案.a M ⎛=⎝【详解】（1）在直三棱柱中，平面，111ABC A B C -1AA ⊥ABC ∵平面，BC ⊂ABC ∴，1AA BC ⊥∵2,1,AB BC AC ===∴，222AB AC BC =+∴，BC AC ⊥，平面，1AC AA A⋂=1,AC AA ⊂11AA C C ∴平面．BC ⊥11AA C C 平面，AM ⊂ 11AA C C ∴，AM BC ⊥，平面，11,AM A B A B BC B ⊥= 1,A B BC ⊂1A BC ∴平面．AM ⊥1A BC 又平面，AM ⊂AMB平面平面．∴AMB ⊥1A BC （2）由（1）可知两两垂直，1,,CA CB CC 如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标C 1,,CA CB CC x y z 系，Cxyz 则．())()10,0,0,,,0,1,0C AAB设点，()0,0,M a 则．()()()1,,0,1,0,AM a BA CB AB ==-==，解得．11,30AM BA AM BA ⊥∴⋅=-+=a M ⎛=∴ ⎝设平面的法向量为，AMB (),,m x y z =则可取．0,0,m AM z m AB y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩(m = 易知为平面的一个法向量．()0,1,0n CB ==AMCcos ,m n m n m n ⋅〈〉===⋅故由图可知二面角的大小为．B AM C --4π17．(1)()12nn a n n =+⋅(2)()21224+=-+⋅-n n S n n【分析】（1）由已知可得，累乘法可求的通项公式；()122n n n a a n ++={}n a （2）由（1）可得，利用错位相减法可求的前()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ {}n a 项和.n n S 【详解】（1）由题易知，且，0n a ≠()122n n n a a n ++=所以，()2341231212324251231n n n a a a a a a a a n -+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯- 所以，()()121121212n n n n n a n n a --+⋅==+⋅⨯所以也满足该式，()112,n n a n n a =+⋅所以．()12nn a n n =+⋅（2），①()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ ，②()()2121221212n n n S n n n n +=⨯⨯++-⋅++⋅ ②-①，得．()()11212212222n n n S n n n +=+⋅-⨯⨯+⨯++⋅ 设，③1212222nn T n =⨯+⨯++⋅ 则，④()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ④-③，得，()()()1121112222222122n n n n n n T n n n ++++=⋅-+++=⋅--=-+ 所以．()()()1121122124224n n n n S n n n n n +++=+⋅--⋅-=-+⋅-18．(1)；．0.625=Q 0.8R =(2)证明见解析(3)0.32【分析】（1）利用条件概率的计算公式计算即可；（2）由条件概率与互斥事件的概率公式证明即可；（3）由（2）计算出的值，判断机器人的检测效果即可.k 【详解】（1），()()()400.62564P AB Q P A B P B ====．()()()400.850P AB R P B A P A ====（2），()()()()()()1111111o e oe e P AB P AB p p p k p p P A P B P A P B ----==-=-----要证明，()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-需证明．()()()()()()()1221P AB P AB Q R QR Q R P AB P A P B P A P B --+-=+---等式右边：()()()()()()()()||2||22||2P A B P B A P A B P B A Q R QR Q R P AB P A B P B A P AB +-+-=+-+-．()()()()()()()()()()()()()22P AB P AB P AB P AB P B P A P B P A P AB P AB P AB P B P A +-⨯⨯=+-()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左边：因为，()()()()()1P A B P AB P A P B P AB ⋃=-=+-所以()()()()()()()()()()()()()121111P AB P AB P A P B P AB P A P B P A P B P A P B P A P B --+-=⎡⎤⎡⎤------⎣⎦⎣⎦．()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左右两边相等，因此成立．()212Q R QRk Q R P AB +-=-+-（3）由（2）得，因为，0.6250.820.6250.810.320.6250.820.4k +-⨯⨯=-=+-⨯0.20.320.6<<所以（1）中机器人的检测效果一般．19．(1)证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）163【分析】（1）根据题意，表示出直线的方程，然后与抛物线方程联立，由即可证明；PG Δ0=（2）（ⅰ）根据题意，设直线的方程为，与抛物线方程联立，即可得到点的PF 1x ty =+,N H 坐标，从而得到直线的方程，再与抛物线方程联立，即可得到点的坐标，再结合相似PH M 三角形即可证明；（ⅱ）由条件可得，再由代入计算，即可43PNTPNES S =△△12PNES EP EN = 证明.【详解】（1）由题意知，()1,0F 设，则，()2,2(0)P n n n >21PF n =+所以，所以，21GF FH n ==+()2,0G n -所以直线的斜率为，方程为．PG 1n ()21y x n n =+联立方程得，()221,4,y x n n y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩22440y ny n-+=因为，所以直线与相切．Δ0=PG C （2）（ⅰ）设直线的方程为，PF 1x ty =+由可得，则，又因为，所以．24,1,y x x ty ⎧=⎨=+⎩2440y ty --=4P N y y =-()2,2P n n 212,N n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭由（1）知，点，直线的斜率为，方程为，()22,0H n +PH n -()22y n x n=---由得，由，()224,2,y x y n x n ⎧=⎪⎨=---⎪⎩224480y y n n +--=248P M y y n =--得．22444,2M n n n n ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭作，垂足为，则，直线的方程为，NE PG ⊥E EN PM ∥EN 212y n x n n ⎛⎫=---⎪⎝⎭将直线与的方程联立，得解得．EN PG ()2212,1,y n x n n y x n n ⎧⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩11,E n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以，所以，2211441,,4,4EN n PM n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4PM EN =由相似三角形的性质可得．4TM TN=（ⅱ）由（ⅰ）知，所以，故，4TM TN=4TP TE=43PNT PNES S =△△因为，221111,,1,EP n n EN n n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以（当且仅当时等号成立），()323311114222PNEn S EP EN n n n +⎛⎫===+≥ ⎪⎝⎭ 1n =故，即的面积的最小值为．41633PNT PNES S =≥△△PNT 163方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。

大兴区2023~2024学年度第二学期高二期末检测数学（答案在最后）2024．72022．4第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在621()x x-的展开式中，常数项为（A ）15（B ）30（C ）15-（D ）30-（2）若数列19a b c ，，，，是等比数列，则实数b 的值为（A ）3-（B ）3（C ）9-（D ）9（3）有5名同学被安排在周一至周五值日，每人值日一天，其中同学甲只能在周三值日，那么这5名同学值日顺序的不同编排方案种数为（A ）55A （B ）44A （C ）4554A A -（D ）1434A A （4）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（A ）2431r r r r <<<（B ）2413r r r r <<<（C ）4213r r r r <<<（D ）4231r r r r <<<（5）已知函数()f x 的导数()f x '的图象如图所示，则()f x 的极大值点为（A ）1x 和4x （B ）2x （C ）3x （D ）5x 1.本试卷共4页，共两部分，21道小题，满分150分。

考试时间120分钟。

2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。

（6）随机变量X 服从正态分布2~(2)X N σ，，若(24)0.3P X <= ，则(0)P X =≤（A ）0.2（B ）0.3（C ）0.4（D ）0.5（7）已知{}n a 为等差数列，若m n p q ，，，是正整数，则“m n p q +=+”是“m n p q a a a a +=+”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图所示的“杨辉三角”．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2024项为（A ）562C （B ）563C （C ）663C （D ）763C （9）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，且20S <，则（A ）数列{}n S 是递增数列（B ）数列{}n S 是递减数列（C ）数列2{}n S 是递增数列（D ）数列2{}n S 是递减数列（10）已知函数1().e xx f x +=若过点(1)P m -，存在3条直线与曲线()y f x =相切，则实数m 的取值范围是（A ）(1e e )4-，（B ）(0)8e ，（C ）(04e，（D ）(1e )8e，第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2024~2025学年高二10月质量检测卷数学（A 卷）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第一章～第二章。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线经过，两点，则的倾斜角为（）A.B.C.D.2.已知圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）A. B. C. D.3.在长方体中，为棱的中点.若，，，则（）A. B. C. D.4.两平行直线，之间的距离为（ ）B.3D.5.曲线轴围成区域的面积为（ ）l (A (B l 6π3π23π56πC 2242110x y x y ++--=C ()2,1-()2,1-()4,2-()4,2-1111ABCD A B C D -M 1CC AB a = AD b =1AA c = AM =111222a b c -+ 111222a b c ++12a b c-+12a b c++ 1:20l x y --=2:240l x y -+=y =xA. B. C. D.6.已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ）A. B.D.37.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）A. B.C. D.8.在正三棱柱中，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（ ）A.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

高二数学考试卷(附解答)高二数学考试卷（附解答）一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x + 1是单调递增函数，则实数a的取值范围是：A. a > -1B. a ≤ -1C. a > 1D. a ≤ 1解答：A. a > -12. 已知等差数列的前5项和为35，公差为3，首项为：A. 5B. 10C. 15D. 20解答：B. 103. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上对应的点位于：A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限解答：B. 虚轴4. 设函数g(x) = x^3 - 3x，下列说法正确的是：A. g(x)在(-∞, 0)上单调递增B. g(x)在(0, +∞)上单调递减C. g(x)的极小值点为x = 0D. g(x)的极大值点为x = 0解答：C. g(x)的极小值点为x = 05. 若平面α与平面β的交线为直线l，且直线l与直线a平行，则直线a与平面α的关系为：A. 在平面α内B. 平行于平面αC. 与平面α相交D. 在平面α的延长线上解答：B. 平行于平面α二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知等比数列的前3项分别为2，4，__，则该数列的公比为______。

解答：8，22. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图象与坐标轴的交点个数为______。

解答：33. 若矩阵A的行列式为2，则矩阵A的逆矩阵的元素满足______。

解答：元素乘以-1/2后与原矩阵对应元素相等4. 设平面α与平面β的夹角为θ，则sinθ等于______。

解答：平面α与平面β的法向量夹角的余弦值5. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且cosA = 1/2，则三角形ABC的形状为______。

解答：等腰三角形或直角三角形三、解答题（每题10分，共30分）1. （10分）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最小值及取得最小值的x值。

2024-2025学年河北省保定市安国中学高二（上）第二次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设点A(2,3,−4)在xOy平面上的射影为B，则|OB|等于( )A. 29B. 5C. 25D. 132.若直线l:x+my+1=0的倾斜角为5π6，则实数m值为( )A. 3B. −3C. 33D. −333.若双曲线x29−y211=1的右支上一点P到右焦点的距离为9，则P到左焦点的距离为( )A. 3B. 12C. 15D. 3或154.点P(x,y)是直线2x+y+4=0上的动点，PA，PB是圆C：x2+(y−1)2=1的两条切线，A，B是切点，则三角形PAB周长的最小值为( )A. 4+5B. 5+5C. 4+455D. 4+255.如图，在直三棱柱ABC−AB1C1中，AC=2，BC=3，CC1=4，∠ACB=90°，则BC1与A1C所成的角的余弦值为( )A. 3210B. 8210C. 30525D. 85256.“a=3”是“直线l1：(a−1)x+2y+1=0与直线l2：3x+ay−1=0平行”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件7.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2−4y+3=0，若直线y=kx−1上存在点P，使以P点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围是( )A. (−∞,−14]∪[14,+∞)B. (−∞,− 52]∪[ 52,+∞)C. (−∞,− 52)∪( 52,+∞)D. (−∞,−12]∪[12,+∞)8.已知曲线C ：(x 2+y 2)2=9(x 2−y 2)是双纽线，则下列结论正确的是( )A. 曲线C 的图象不关于原点对称B. 曲线C 经过4个整点(横、纵坐标均为整数的点)C. 若直线y =kx 与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为(−∞,−1]D. 曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过3二、多选题：本题共3小题，共18分。

高二数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. $y=x^2$B. $y=\sqrt{x}$C. $y=\sin x$D. $y=\cos x$2. 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，其在区间$[-2,2]$上的最大值为：A. 3B. 5C. 7D. 93. 若$a$，$b$为等差数列的前两项，$c$，$d$为等比数列的前两项，且$a+b=c+d$，$ab=cd$，则$a$，$b$，$c$，$d$的大小关系为：A. $a<b<c<d$B. $a<c<b<d$C. $c<d<a<b$D. $c<d<b<a$4. 已知一个圆的半径为$r$，圆心到直线的距离为$d$，则圆上到直线距离最大的点到直线的距离为：A. $r-d$B. $r+d$C. $\sqrt{r^2-d^2}$D. $2r-d$5. 已知等差数列的前$n$项和为$S_n$，若$S_5=20$，$S_7=35$，则该等差数列的公差为：A. 2B. 3C. 4D. 56. 直线$y=kx+b$与圆$x^2+y^2=1$相交于不同的两点，若$k>0$，$b>0$，则$k+b$的取值范围是：A. $(0,1)$B. $(1,2)$C. $(2,3)$D. $(3,4)$7. 已知函数$f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}$，则$f(x)$的最小值为：A. 3B. 4C. 5D. 68. 一个等差数列的前5项和为50，前10项和为200，该等差数列的前15项和为：A. 450B. 500C. 550D. 6009. 已知点$A(-1,0)$，点$B(1,0)$，点$C$在圆$x^2+y^2=1$上，若$\triangle ABC$的面积最大，则点$C$的坐标为：A. $(0,1)$B. $(0,-1)$C. $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$D. $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$10. 已知函数$f(x)=\sin x+\cos x$，则$f(\frac{\pi}{3})+f(\frac{\pi}{4})+f(\frac{\pi}{6})$的值为：A. $\sqrt{2}$B. $\sqrt{3}$C. $\sqrt{6}$D. 2二、填空题（每题4分，共20分）11. 若$a_n$是公比为$q$的等比数列，且$a_1=2$，$a_4=16$，则$q$的值为________。

博罗县2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试题一、单项选择题：本题共有8小题，每小题6分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑.1. 已知，则x 的取值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42. 下列求导数运算错误是（ ）A. B. C. D. 3. 若展开式的常数项为160，则（ ）A. 1B. 2C. 4D. 84. 已知函数，则（ ）A. B. 2 C. 3 D. 5. 开学典礼上甲、乙、丙、丁、戊这5名同学从左至右排成一排上台领奖，要求甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有1名同学的排法有（ ）种．A. 12B. 16C. 20D. 246. 下图示函数导函数的图象，给出下列命题：①，是函数的极小值点；②是函数的极大值点；③在处切线的斜率大于零；④在区间上单调递增．则正确的命题的序号是（ ）的的155C C x x +=()33ln 3x x '=()31log ln 3x x '=2cos sin cos x x x x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭'=62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=a ()()321ln xf x f x '=-()1f '=ln33ln3()y f x =()y f x ='1x 4x ()y f x =3x ()y f x =()y f x =2x x =()y f x =()45,x xA. ①②B. ①④C. ②③D. ③④7. 我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、 宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中至少有一药，事件表示选出的两种中有一方，则（ ）A.B.C.D.8. 泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，得名于英国数学家泰勒．根据泰勒公式，有，其中，，，．现用上述式子求的值，下列选项中与该值最接近的是（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：共3小题，每小题满分18分，共18分.在每题四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 已知，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 10. 袋中有大小相同8个小球，其中5个红球，3个蓝球．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．记“第一次摸球时摸到红球”为事件，“第一次摸球时摸到蓝球”为事件，“第二次摸球时摸到红球”为事件，“第二次摸球时摸到蓝球”为事件，则下列选项中正确的是（ ）AB. 的.A B ()|P B A =153103534()()357211sin 13!5!7!21!n n x x x x x x n --=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-R x ∈*n ∈N !123n n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯0!1=()()2462214444112!4!6!22!n n n ---+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-cos49︒cos41︒sin49-︒sin41-︒5250125(12)x a a x a x a x -=++++ 01a =380a =-123451a a a a a ++++=-024121a a a ++=1A 2A 1B 2B ()158P A =()22328P A B =C. D.11. 定义阶导数的导数叫做阶导数（，），即，分别记作.设函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值可能为（ ）A.B. 1C.D. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共16分.把答案填在答题卷相应横线上.12. 已知函数，则函数的图像在处的切线方程为______．13. 从七名运动员中选出名参加米接力赛，其中运动员不跑第一棒，运动员不跑第二棒，则不同安排方案有____________种.14. 若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为______．四、解答题：本题共5个小题，共77分.把答案填在答题卷相应空白上.15. 已知函的图象过点，且．（1）求的值：（2）求函数单调区间．16. 北京时间2021年8月8日，历时17天的东京奥运会落下帷幕，中国代表团以38金、32银、18铜打破4项世界纪录，创造21项奥运会纪录的傲人成绩，顺利收官．作为“梦之队”的中国乒乓球队在东京奥运会斩获4金3银的好成绩，参赛的7名选手全部登上领奖台．我国是乒乓球生产大国，某厂家生产了两批同种规格的乒乓球，第一批占，次品率为：第二批占，次品率为．为确保质量，现在将两批乒乓球混合，工作人员从中抽样检查．（1）从混合的乒乓球中任取1个．（i ）求这个乒乓球是合格品的概率；（ii ）已知取到的是合格品，求它取自第一批乒乓球的概率．（2）从混合的乒乓球中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记两次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次数为X ，求随机变量X 的分布列．17. 已知函数．（1）讨论的极值；的()115|8P B A =()()1222||1P B A P B A +=n 1-n *N n ∈2n ≥()()()()'1n n f x f x -⎡⎤=⎣⎦()()()()()()4,,,,n f x f x f x f x ⋅⋅'⋅''''()e x f x ax =()()202322023f x x x >+()0,x ∈+∞a 21e 1ee()=e1xf x -+()=e 1x f x -+()0,2,,,,,,A B C D E F G 44100⨯A B x 2e 2ln ln x a x x x a -+>-()0,x ∈+∞a ()()32,f x x ax b a b =-+∈R ()2,4()11f '=a b 、()f x 60%6%40%5%()()ln af x x a x=+∈R ()f x（2）求在上的最小值．18. 某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动.活动规则如下：在一不透明的纸箱中有9张相同的卡片，其中3张卡片上印有“中”字，3张卡片上印有“国”字，另外3张卡片上印有“红”字.消费者从该纸箱中不放回地随机抽取3张卡片，若抽到的3张卡片上都印有同一个字，则获得一张20元代金券；若抽到的3张卡片中每张卡片上的字都不一样，则获得一张10元代金券；若抽到的3张卡片是其他情况，则不获得任何奖励.（1）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率.（2）记随机变量为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求的分布列和数学期望.（3）该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付5元.若你是消费者，请从收益方面来考虑是否愿意再次参加该项抽奖活动，并说明理由.19. 如图，对于曲线，存在圆满足如下条件：①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；②圆与曲线在点处有相同的切线；③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．（1）求抛物线在原点的曲率圆的方程；（2）求曲线的曲率半径的最小值；（3）若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：．()f x []1,e ()g a X X ()E X ΓC C ΓA ΓC ΓA ΓA ΓC A ()()222x a y b r -+-=()00,A x y ()230r b y -C ΓA r 2y x =1y x=e x y =()11,ex x ()()2212,e x x xx ≠12ln2x x +<-博罗县2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试题简要答案一、单项选择题：本题共有8小题，每小题6分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】D二、多项选择题：共3小题，每小题满分18分，共18分.在每题四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】BD三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共16分.把答案填在答题卷相应横线上.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】．四、解答题：本题共5个小题，共77分.把答案填在答题卷相应空白上.【15题答案】【答案】（1）（2）单调递增区间为，，单调递减区间为【16题答案】【答案】（1）（i）0.944；（ii）（2）分布列略【17题答案】【答案】（1）答案略（2）【18题答案】【答案】（1）（2）分布列答案略，数学期望：（3）我不愿意再次参加该项抽奖活动，理由略【19题答案】【答案】（1）（220x y+-=62024,e∞⎛⎫+⎪⎝⎭1,0a b==2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭(),0∞-20,3⎛⎫⎪⎝⎭141236(),11ln,1e1,eea ag a a aaa⎧⎪≤⎪=+<<⎨⎪⎪+≥⎩1845514221124x y⎛⎫+-=⎪⎝⎭（3）证明略。

2022-2023学年北京市通州区高二上册期末数学质量检测试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知椭圆22142x y +=的焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上一点，则12PF PF +=（）A.2B.4C.6D.8【正确答案】B【分析】利用椭圆的定义求解.【详解】解：因为椭圆方程为22142x y +=，所以2a =4，又因为椭圆22142x y +=的焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上一点，所以由椭圆的定义得12PF PF +=2a =4，故选：B2.已知双曲线2212y x -=，则其渐近线方程为（）A.12y x =±B.2y x =±C.y =D.2y x=±【正确答案】C【分析】利用双曲线方程，求解渐近线方程即可．【详解】由于双曲线为2212y x -=，所以其渐近线方程为y =.故选：C.3.已知数列{}n a 的前5项为1，12，13，14，15，则数列{}n a 的一个通项公式为（）A.1n a n = B.11n a n =+C.121n a n =- D.12n a n=【正确答案】A【分析】观察数列的规律，找出合适的通项公式即可；或可将数列的各项代入选项中的通项公式进行验证排除.【详解】观察数列的各项，容易发现，分子均为1，分母均与项数相同，则数列{}n a 的一个通项公式可以为1n a n=.经验证，其他选项均不能满足.故选：A.4.已知等差数列{}n a 的通项公式21n a n =-，则数列{}n a 的首项1a 和公差d 分别为（）A.11a =-，2d =- B.11a =-，2d =C.11a =，2d =- D.11a =，2d =【正确答案】D【分析】直接计算首项1a ，根据等差数列的定义计算公差d.【详解】因为等差数列{}n a 的通项公式21n a n =-，所以首项12111a =⨯-=，公差121[2(1)1]2n n d a a n n -=-=----=.故选：D.5.在等比数列{}n a 中，23a =，13n n a a +=，则数列{}n a 的前5项和为（）A.40B.80C.121D.242【正确答案】C【分析】先计算等比数列的首项和公比，再代入前n 项和公式计算即可.【详解】因为23a =，13n n a a +=所以公比13n na q a +==，首项21313a a q ===.则前n 项和1(1)1(13)311132n n n n a q S q -⋅--===--,所以数列{}n a 的前5项和为55311212S =-=.故选：C.6.已知圆()()222(0)23x y r r -+>+=与y 轴相切，则r =（）A.B.C.2D.3【正确答案】C【分析】利用圆心23-（，）到直线0x =的距离等于半径求解即可.【详解】因为圆()()22223x y r -++=与y 轴相切，所以圆心23-（，）到直线0x =的距离等于半径,r 即2r =，故选：C.7.如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M的轨迹方程为（）A.2214x y += B.22142x y +=C.22143x y += D.2212x y +=【正确答案】A【分析】设(,)M x y ，(P P x ,)P y ，利用M 为线段PD 的中点，得到P 点坐标与动点M 坐标之间的关系，将P 点坐标用M 点坐标表示，然后代入圆的方程即可得到动点M 的轨迹方程；【详解】设(,)M x y ，(P P x ,)P y ，则(P D x ,0)．M 为线段PD 的中点，∴02P P x x y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即P x x =，2P y y =．又点P 在圆22:4O x y +=上，22(2)4x y ∴+=，即2214x y +=．故点M 的轨迹方程为2214x y +=．故选：A8.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2AB AP ==，点E ，F 分别是PC ，PD 的中点，则点C 到平面AEF 的距离为（）A.22B.2C.32D.2【正确答案】B【分析】易证PD ⊥平面AEF ，得到PF 为点P 到平面AEF 的距离，再根据E 是PC 的中点，得到点C 与点P 到平面AEF 的距离相等求解.【详解】解：在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，所以CD AD ⊥，CD PA ⊥，又AD PA A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，所以CD PD ⊥，因为点E ，F 分别是PC ，PD 的中点，所以//CD EF ，所以PD EF ⊥，又PA AD =，则AF PD ⊥，且EF AF F = ，所以PD ⊥平面AEF ，所以PF 为点P 到平面AEF 的距离，又因为E 是PC 的中点，所以点C 与点P 到平面AEF 的距离相等，即2PF =，所以点C 到平面AEF 2，故选：B9.已知抛物线24y x =与直线22y x =-相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为（）A5B.10 C.25D.5【正确答案】D【分析】将直线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式即可求解.【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立方程组2422y xy x ⎧=⎨=-⎩整理可得：2310x x -+=，则有12123,1x x x x +==，由弦长公式可得：125AB x =-==，故选.D10.已知数列{}n a 满足()121n a n n =+，数列{}n a 的前n 项和为n T ，若()2419n n T n n λλ>∈++R 对任意*n ∈N 恒成立，则λ的取值范围是（）A.(),4-∞B.(,-∞C.(),5-∞ D.(),6-∞【正确答案】C【分析】利用裂项相消法求出2(1)n nT n =+，将不等式进行等价转化，然后利用基本不等式即可求解.【详解】因为1111()2(1)21n a n n n n ==-++，所以1231n n nT a a a a a -=+++++ 1111111111(1)22233411n n n n =-+-+-++-+--+ 2(1)nn =+，因为()2419n n T n n λλ>∈++R 对任意*n ∈N 恒成立，也即24192(1)n n n λ++<+对任意*n ∈N 恒成立，因为24191161[(1)2]2)52(1)212n n n n n ++=+++≥+=++（当且仅当16(1)1n n +=+，也即3n =时等号成立）所以5λ<，故选.C第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.点()1,2-到直线3450x y +-=的距离为___________．【正确答案】2【分析】代入点到直线的距离公式即可求解.【详解】设点()1,2-到直线3450x y +-=的距离为d ，由点到直线的距离公式可得：2d ==，故答案为.212.已知抛物线()220x py p =>经过点()2,2，则该抛物线的方程为___________；准线方程为___________．【正确答案】①.22x y=②.12y =-【分析】根据抛物线()220x py p =>经过点()2,2，代入求得p 即可.【详解】解：因为抛物线()220x py p =>经过点()2,2，所以2222p =⨯，解得1p =，所以该抛物线的方程为22x y =；准线方程为12y =-，故22x y =，12y =-13.如图，点M 为四面体OABC 的棱BC 的中点，用OA ，OB ，OC 表示AM，则AM =___________．【正确答案】1122OA OB OC-++【分析】由向量的减法可得：AM OM OA =-，再利用OM 为OBC △的中线即可求解.【详解】连接OM ，所以AM OM OA =-，又因为M 为BC的中点，所以1()2OM OB OC =+，所以1122AM OA OB OC =-++ ，故答案为.1122OA OB OC-++14.已知有穷数列{}n a 的各项均不相等，将数列{}n a 的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{}n p ，称数列{}n p 为数列{}n a 的“序数列”．例如，数列1a ，2a ，3a 满足132a a a >>，则其“序数列”为1，3，2．设各项均不相等的数列2，3t -，1t +，5（t ∈R ）为数列Ω．①若0=t ，则数列Ω的“序数列”为___________；②若数列Ω的“序数列”为3，4，1，2，则t 的取值范围为___________．【正确答案】①.4，2，1，3.②.(4,)+∞【分析】根据“序数列”定义直接求解即可.【详解】①因为0=t ，所以数列Ω为：2,3,1,5，由“序数列”定义可得：0=t 时，数列Ω的“序数列”为4，2，1，3.②因为数列Ω的“序数列”为3，4，1，2，而数列Ω为2，3t -，1t +，5，由“序数列”定义可得：1523t t +>>>-，解得：4t >，所以t 的取值范围为(4,)+∞，故4，2，1，3；(4,)+∞.15.已知曲线E 的方程为214x xy +=，给出下列四个结论：①若点(),M x y 是曲线E 上的点，则2x ≤，y ∈R ；②曲线E 关于x 轴对称，且关于原点对称；③曲线E 与x 轴，y 轴共有4个交点；④曲线E 与直线12y x =只有1个交点．其中所有正确结论的序号是___________．【正确答案】①④【分析】①由214x x y +=，分别得到214x x y =-，214x xy =-求解判断；②设点(),M x y 是曲线E 上的点，分别得到点(),M x y 关于x 轴对称和原点对称的对称点，代入方程验证判断；③由214x xy +=，分别令0x =，0y =求解判断；④分0x ≥和0x <，曲线方程与直线方程联立求解判断.【详解】①若点(),M x y 是曲线E 上的点，由214x x y +=，得2104x xy =-≥，即4x x ≤，当0x ≥时，02x ≤≤，当0x <时，成立，综上2x ≤，而21R 4x xy =-∈，则R y ∈，故正确；②设点(),M x y 是曲线E 上的点，点(),M x y 关于x 轴对称的对称点为(),M x y '-，因为()214x x y +-=，所以曲线E 关于x 轴对称，点(),M x y 关于原点对称的对称点为(),M x y '--，因为()214x x y -+-≠，所以曲线E 不关于原点对称，故错误；③由214x xy +=，令0x =，得21y =，解得1y =±，曲线E 与y 轴的交点为()()0,1,0,1-，令0y =，得4x x =，解得2x =，曲线E 与x 轴的交点为()2,0，所以曲线E 与x 轴，y 轴共有3个交点，故错误；④当0x ≥时，由221412x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以曲线E 与直线曲线E 与直线12y x =的交点为2⎫⎪⎪⎭；当0x <时，方程组221412x y y x⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩无解，则曲线E 与直线12y x =无交点，所以曲线E 与直线12y x =只有1个交点，故正确，故①④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知两点()1,1A -，()1,1B ，直线l ：10x y ++=．（1）若直线1l 经过点A ，且1l l ∥，求直线1l 的方程；（2）若圆心为C 的圆经过A ，B 两点，且圆心C 在直线l 上，求该圆的标准方程．【正确答案】（1）0x y +=（2）22(1)5x y ++=【分析】(1)根据直线1l l ∥，设直线1l 的方程为：0x y m ++=，再利用直线过点，将点的坐标代入即可求出结果；(2)根据圆的性质可知：圆心必在弦的垂直平分线上，又因为圆心C 在直线l 上，联立两直线方程求出圆心坐标，再利用圆心到圆上一点的距离等于半径即可求出半径长，进而求得圆的标准方程.【小问1详解】因为直线1l l ∥，直线l ：10x y ++=，设直线1l 的方程为：0x y m ++=，因为直线1l 经过点(1,1)A -，所以110-++=m ，解得：0m =，所以直线1l 的方程为.0x y +=【小问2详解】因为()1,1A -，()1,1B ，所以AB 的中点(0,1)D ，则AB 的中垂线方程为：0x =，由圆的性质可得：圆心C 在AB 的中垂线上，又因为圆心C 在直线l 上，所以联立方程组：010x x y =⎧⎨++=⎩，解得：(0,1)C -，圆的半径r CA ===，所以所求圆的标准方程为.22(1)5x y ++=17.已知双曲线的顶点在x 轴上，两顶点间的距离是2，离心率2e =．（1）求双曲线的标准方程；（2）若抛物线()220y px p =>的焦点F 与该双曲线的一个焦点相同，点M 为抛物线上一点，且3MF =，求点M 的坐标．【正确答案】（1）2213y x -=（2）或(1,-【分析】(1)根据题意可知：1a =，结合离心率得到2c =，进而求出b 即可求解；(2)结合（1）的结论，求出抛物线方程，利用抛物线的定义即可求解点M 的坐标.【小问1详解】由题意可知：22a =，则1a =，又离心率2e =，所以2c =，则b ==因为双曲线的顶点在x 轴上，也即焦点在x 轴上，所以双曲线方程为2213y x -=.【小问2详解】因为抛物线()220y px p =>的焦点(,0)2pF ，且抛物线()220y px p =>的焦点F 与该双曲线的一个焦点相同，所以22pc ==，则4p =，所以抛物线方程为28y x =，设点00(,)M x y ，由抛物线的定义可知：00232pMF x x =+=+=，所以01x =，又因为2008y x =，所以0y =±，故点M 的坐标为或(1,-.18.在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，设32n n b n a =-+．（1）求3a 的值；（2）若m 是3a 和4b 的等差中项，求m 的值；（3）求数列{}n b 的前n 项和n S ．【正确答案】（1）4（2）11（3）23222n n n --+【分析】（1）先求通项公式，再求3a 的值；（2）先求n b 的通项公式，可得3a 和4b 的值，从而可求m 的值；（3）利用分租求和的方法，结合等差数列等比数列的求和公式求解即可.【小问1详解】因为等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，所以1113312224n n n a a ---=⨯=⇒==；【小问2详解】因为132322n n n b n a n -==-+-+，所以414234128b -⨯-==+，又因为34a =，所以3a 和4b 的等差中项418112m +==；【小问3详解】因为1322n n b n -=-+，所以()()1147321224n n S n -=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+()()2211132332222212122n n nn n n n n n ⨯-+----=++==+--19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AA ==，2AD =，点E 为11B C 的中点．（1）求证：AE ⊥平面1CD E ；（2）求平面1CD E 与平面1111D C B A 的夹角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）33【分析】（1）证明一条直线垂直于平面只需证明该直线垂直于平面内两条相交的直线即可；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积计算夹角的余弦值.【小问1详解】在AEC △中，22222221111113,2,AE AA A B B E CE CC C E =++==+=2222225,,AC AB BC AC AE CE AE CE =+=∴=+⊥；同理可证1AE ED ⊥，CE ⊂平面1CED ，1ED ⊂平面1CED ，1CE ED E =I ，AE ∴⊥平面1CED ；【小问2详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系如下图：则有()1,1,1E ，由（1）的结论可知n AE =是平面1CED 的一个法向量，()1,1,1n ∴= ，显然()0,0,1m = 是平面1111D C B A 的一个法向量，设平面1CED 与平面1111D C B A 的夹角为θ，则3cos 3n m n mθ== ；综上，平面1CED 与平面1111D C B A的夹角的余弦值为3.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的焦距为1,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，点B 的坐标为()1,0-，点O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过()4,0A -的直线l 交椭圆C 于()11,M x y ，()()2212,N x y x x <两点，判断ABM ∠和OBN ∠的大小，并说明理由．【正确答案】（1）2214x y +=（2）ABM OBN ∠=∠，证明过程见详解【分析】（1）根据题意，列出关于a ，b ，c 的方程组求解，即可得到椭圆的方程；（2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程，再联立椭圆C 的方程，即可得到关于x 的一元二次方程，再根据韦达定理求得12x x +，12x x ⋅，再根据题意将比较ABM ∠和OBN ∠的大小转化为比较1k -和2k 的大小(1k 为直线BM 的斜率，2k 为直线BN 的斜率)，再用作差法得出21+k k 与0的符号关系即可得出结论．【小问1详解】依题意有2222221314c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得222341c a b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=；【小问2详解】如图，显然直线l 的斜率存在，则可设直线l 的方程为()4y k x =+，联立()22414y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消y 整理得()222214326440k x k x k +++-=，则21223214k x x k +=-+，212264414k x x k-⋅=+，设直线BM 的斜率为1k ，直线BN 的斜率为2k ，则比较ABM ∠和OBN ∠的大小，⇔比较直线BM 的倾斜角的补角和直线BN 的倾斜角的大小，⇔比较1k -和2k 的大小，则()()()()()()()()2121142121212121444141+=111111k x k x k x x k x x y y k k x x x x x x +++⋅+++⋅++=+=+++++⋅+()()222222212122222212122264432258258128816083214140644321644321411414k k x x x x k k k k k k k k k k x x x x k k k k k--+⋅+++--++++====-⋅+++--++-+++，所以12k k -=，即ABM OBN ∠=∠．解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：①设出直线方程，设交点为()11,A x y ，()22,B x y ；②联立直线与曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；③写出韦达定理；④将所求问题转化为12x x +，12x x ⋅（或12y y +，12y y ⋅）的形式；⑤代入韦达定理求解．21.已知等差数列{}n a 的第2项为4，前6项的和为42，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且23n n n T b a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：数列{}1n b +是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；（3）设1,141,21n n n n c n b a ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥+-⎪⎩，求证：12512n c c c +++< ．【正确答案】（1）2n a n=（2）证明见解析，=31nn b -（3）见解析【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解首项和公差进行求解，（2）根据前n 项和为n T 与n b 的关系即可得()1131n n b b -+=+，进而可证其为等比数列，即可求解通项，（3）2n ≥时，11322=3n n n c n <+-，根据等比求和公式即可证明.【小问1详解】设{}n a 的首项和公差分别为1,a d ，由题意可知114,61542a d a d +=+=，解得12,2a d ==，故()2122n a n n=+-⨯=【小问2详解】由23n n n T b a =-得：当2n ≥时，11123n n n T b a ---=-，故得()()1111223323n n n n n n n n T T b a b a b b ------⇒=-+=，因此()1131n n b b -+=+故1131n n b b -+=+，因此{}1n b +是等比数列，且公比为3，在23n n n T b a =-取1n =，则12b =，所以{}1n b +的首项为113b +=，因此11=33=3n n n b -+⨯，进而=31nn b -，【小问3详解】由1,141,21n n nn c n b a ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥+-⎪⎩得1,141,2322n n n c n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪+-⎩，当2n ≥时，11322=3n n n c n <+-，所以当1n =时，115412c =<显然成立，当2n ≥时，2112321111511514334122312311311133n n n n c c c -⎛⎫- ⎪+++<+++=+⎭-<-⎝=⨯，故得证.。

秘密★启用前松山湖学校2024-2025学年高二上学期第一次检测数学试题试卷分值：150分 考试时间：120分钟注意事项：1．本卷共4页．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上．3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．5．考生必须保证答题卡的整洁．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．，，B ．，，C ．，，D ．，，2．已知直线和互相垂直，则实数（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．设x ，，向量，，，且，，则（ ）A ．B ．C ．5D ．64．已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，在正四棱台中，，与的交点为M ．设，{,,}a b c b c + c b c- b a b + a b- a b +a b -ca b +a b c ++c1:(3)210l t x y +--=2:(1)20l x t y +-+=t =y ∈R (,2,2)a x = (2,,2)b y = (3,6,3)c =- a c ⊥ //b ca b +=(2,3)A -(3,2)B --(1,1)AB 3,[4,)4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦3(,4],4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1111ABCD A B C D -1123AB A B =AC BD AB a =，，则下列向量中与相等的向量是（ ）A ．B ．C ．D ．6．过点作斜率为的直线，若光线沿该直线传播经x 轴反射后与圆相切，则（ ）ABC ．2D7．在正方体中，平面经过点B ，D ，平面经过点A ，，当平面，分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值为（ ）ABC ．D ．8．已知点A 为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知圆，，则下列说法正确的是（ ）A ．当时，圆与圆有2条公切线B ．当时，是圆与圆的一条公切线C ．当时，圆与圆相交11A D b = 1A A c = 1B M232323a b c-++ 1334a b c-++1334a b c--+ 1364a b c-++ (2,3)P -2-222:(3)(2)(0)C x y r r -+-=>r =1111ABCD A B C D -αβ1D αβαβ12133470x y +-=(4,0)B (,)P x y 2220x y x ++-=3||||AP BP +6575135215221:1C x y +=2222:(3)(3)(0)C x y r r -+-=>1r =1C 2C 2r =1y =1C 2C 3r =1C 2CD ．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为10．已知点P 在圆上，点，，当最小时，记直线斜率为，当最大时，记直线斜率为，则（ ）A ．B ．C ．三角形的面积小于D ．过点A 和点B 的中点作圆C 的两条切线，则两切点连线的直线方程为11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，M ，N 分别是线段，的中点，Q 是线段上的一个动点（含端点D ，C ），则下列说法正确的是（ ）A ．存在点Q ，使得B ．存在点Q ，使得异面直线与所成的角为C ．三棱锥体积的最大值是D ．当点Q 自D 向C 处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知动直线l 经过点，且向量所在直线与动直线l 垂直，则点到l 所在平面的距离为__________．13．若直线与直线平行，且与，则4r =1C 2C 12y x =-+22:(5)(5)16C x y -+-=(4,0)A (0,2)B PBA ∠PB 1k PBA ∠PB 2k 1279k k =-21k k -=PAB 2310x y +-=ABCDES SA ⊥ABCD ABCD //DE SA 22SA AB DE ===BC SB DC NQ SB⊥NQ SA 60︒Q AMN -23DC QMN (2,3,1)A (1,0,1)n =-(4,3,2)P 1:10l mx y -+=2:620l x y n --=1l 2l m n -=__________．14．圆形是古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的．一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．现在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与x 、y 无关，则实数a 的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题共13分）已知三个顶点的坐标分别为、、，求：（1）边上的中线所在直线的方程；（2）边上的高所在直线的方程；（3）的平分线所在直线的方程．16．（本小题共15分）记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知．（1）求B ；（2）若，M 是中点，，求的面积．17．（本小题共15分）已知圆E 经过点，，从下列3个条件选取一个__________①过点；②圆E 恒被直线平分；③与y 轴相切．（1）求圆E 的方程；（2）已知线段的端点Q 的坐标是，端点P 在圆E 上运动，求线段的中点M 的轨迹方程．18．（本小题共17分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，（1）求证：平面．（2）求直线与平面所成角的正弦值．(3,2)(,)P x y |34||634|x y a x y +++--ABC △(2,4)A (1,1)B -(9,3)C -BC BC BAC ∠ABC △2222sin sin c Ca cb A=+-b =BC AM =ABC △(0,0)A (1,1)B (2,0)C 0()mx y m m --=∈R PQ (4,3)PQ P ABCD -PAD ⊥ABCD PA PD ⊥AB AD ⊥PA PD =1AB =2AD =AC CD ==PD ⊥PAB PB PCD（3）在棱上是否存在点M ，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题共17分）如图，已知满足条件（其中i 为虚数单位）的复数z 在复平面对应的点的轨迹为圆C（圆心为C ），设复平面上的复数（x ，）对应的点为，定直线m 的方程为，过的一条动直线l 与直线m 相交于N 点，与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是弦中点．（1）当l 的一般式方程；（2）设，试问t 是否为定值？若为定值，请求出t 的值，若t 不为定值，请说明理由．松山湖学校2024-2025学年高二上学期第一次检测数学试题参考答案题号12345678910答案C CDBDDCDBDABC题号11答案ACD11．ACD 【详解】以A 为坐标原点，，，正方向为x ，y ，z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，，，；PA //BM PCD AMAP|3i i z --xOy xOy i z x y =+y ∈R (,)x y 360x y ++=(1,0)A -PQ ||PQ =t AM AN =⋅AB AD AS(0,0,0)A (2,0,0)B (2,2,0)C (0,2,0)D (0,2,1)E (0,0,2)S (1,0,1)N (2,1,0)M对于A ，假设存在点，使得，则，又，所以，解得，即点Q 与D 重合时，，A正确；对于B ，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，因为，，所以，方程无解；所以不存在点Q ，B 错误；对于C ，连接，，，设，因为，所以当，即点Q 与点D 重合时，取得最大值2；又点N 到平面的距离，所以，C 正确；对于D ，由上分析知：，，若是面的法向量，则，令，则，因为，设直线与平面所成的角为，，所以，当点Q 自D 向C 处运动时，m 的值由0到2变大，此时也逐渐增大，因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D 正确．故选：ACD ．(,2,0)(02)Q m m ≤≤NQ SB ⊥(1,2,1)NQ m =--(2,0,2)SB =- 2(1)20NQ SB m ⋅=-+=0m =NQ SB ⊥(,2,0)(02)Q m m ≤≤NQ SA 60︒(1,2,1)NQ m =-- (0,0,2)SA =- 1cos ,2NQ SA NQ SA NQ SA ⋅===⋅ AQ AM AN (02)DQ m m =≤≤22AMQ ABCD ABM QCM ADQ mSS S S S =---=-Y △△△△0m =AMQ S △AMQ 112d SA ==()()max max 122133Q AMN N AMQ V V --==⨯⨯=(1,2,1)NQ m =-- (1,1,1)NM =-(,,)m x y z = NMQ (1)20m NQ m x y z m NM x y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩1x =(1,2,3)m m m =--(2,0,0)DC = DC QMN θπ0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin DC n DC n θ⋅===⋅ sin θsin y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦θ12【详解】，由点到平面的距离公式．13．15或14．]15．（1）（2）（3）16．（1）（2）17．（1）（2）18．【详解】（1）平面平面，且平面平面，且，平面，平面，平面，，又，且，，平面，平面；（2）取中点为O ，连接，，又，，则，，，则，以O 为坐标原点，分别以，，所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，，，设为平面的一个法向量，则由，得，(2,0,1)PA =-- PA n d n ⋅====5-(,27-∞-52180x y +-=5220x y --=2x =π3B=S =2220x y x +-=22335304x y x y +--+= PAD ⊥ABCD PAD ABCD AD =AB AD ⊥AB ⊂ABCD AB ∴⊥PAD PD ⊂ PAD AB PD ∴⊥PD PA ⊥PA AB A = PA AB ⊂PAB PD ∴⊥PAB AD CO PO PA PD = PO AD ∴⊥1AO PO ==CD AC == CO AD ∴⊥2CO ===OC OA OPO xyz -(0,0,1)P (1,1,0)B (0,1,0)D -(2,0,0)C (1,1,1)PB =- (0,1,1)PD =-- (2,0,1)PC =- (2,1,0)CD =--(,,)n x y z = PCD 0n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020y z x z --=⎧⎨-=⎩令，则．设与平面的夹角为，则；（3）假设在棱上存在点M 点，使得平面．设，，由（2）知，，，，则，，，由（2）知平面的一个法向量．若平面，则，解得，又平面，故在棱上存在点M 点，使得平面，此时．19．（1）或（2）是，1z =1,1,12n ⎛⎫=-⎪⎝⎭PB PCD θsin cos ,n θ=PA //BM PC D AM AP λ=[0,1]λ∈(0,1,0)A (1,1,0)B (0,0,1)P (0,1,1)AP =- (1,0,0)BA =-(1,0,0)(0,,)(1,,)BM BA AM BA AP λλλλλ=+=+=-+-=--PC D 1,1,12n ⎛⎫=-⎪⎝⎭//BM PC D 112022BM n λλλ⋅=-++=-= 14λ=BM ⊂/PC D PA //BM PC D 14AM AP =10x +=4340x y -+=5t =-。

2023—2024学年度第一学期高二教学质量检测数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线1x =的倾斜角是（）A.0B.π4C.π2D.不存在2.抛物线22y x =的准线方程为（）A.14y =- B.18y =-C.14x =-D.18x =-3.过点()1,2-且与直线2340x y -+=垂直的直线方程为（）A .3270x y ++= B.3210x y +-=C.2350x y -+= D.2380x y -+=4.甲乙两人参加面试答辩，假设甲乙面试互不影响，且他们面试通过的概率分别为12，14，则两人中至少有一人通过的概率为（）A.58 B.15C.110D.3105.直线142x y+=与x 轴，y 轴分别交于点,A B ，以线段AB 为直径的圆的方程为（）A.224230x y x y +---=B.22420x y x y +--=C.224230x y x y +--+= D.22240x y x y +--=6.如图，在四面体ABCD 中，,E F 分别为,BC AE 的中点，G 为ACD 的重心，则FG =（）A.1113124AB AC AD -++B.1114123AB AC AD -++C.1114123AB AC AD -+D.1113124AB AC AD +-7.已知正方体1111ABCD A B C D -，若P 是棱11B C 的中点，则异面直线1A P 和1CD 夹角的余弦值为（）A.15B.5C.D.1058.双曲线C ：22221x y a b-=的左、右顶点分别为1A ，2A ，左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作直线与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点.若22AB BF =，且121cos 4F BF ∠=，则直线1A B 与2A B 的斜率之积为（）A.53 B.35C.43D.34二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()05,P y 在抛物线上，且6PF =，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，则（）A.2p = B.抛物线的准线为直线1y =C.0y =D.FPQ △的面积为10.若()16P AB =，()23P A =，()12P B =，则下列说法正确的是（）A.()12P A =B.事件A 与B 相互独立C.事件A 与B 不互斥D.()56P A B +=11.点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则（）A.||PQ 的最小值为3B.||PQ 的最大值为7C.两个圆心所在的直线斜率为43-D.两个圆相交弦所在直线的方程为68250x y --=12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 满足1AP AB AD AA λμγ=++，λ，μ，γ∈R （P ，B ，D ，1A 四点不重合），则下列说法正确的是（）．A.当1λμγ++=时，PA 的最小值是1B.当1λ=，μγ=时，PB ∥平面11AB DC.当1λμ==，12γ=时，平面PBD ⊥平面1A BDD.当1λμ=，0γ=时，直线1PA 与平面1111D C B A 所成角的正切值的最大值为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.从2至6的5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为__________.14.经过两条直线12:2,:21l x y l x y +=-=的交点，且直线的一个方向向量()3,2v =的直线方程为__________.15.P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，若已知3AB =，4=AD ，1PA =，则点P 到BD 的距离为__．16.已知1F ，2F 分别为椭圆22219x y b+=的左、右焦点，以2F 为圆心且过椭圆左顶点的圆与直线80x -+=相切．P 为椭圆上一点，I 为12PF F △的内心，且1122IPF IF F IPF S S S λ=- ，则λ的值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,M N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2A M MB B N NC ==.设1,,AB a AC b AA c === .（1）试用,,a b c表示向量MN ；（2）若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=︒∠=∠=︒===，求MN 的长.18.已知圆C 的圆心在直线20x y -+=上，与直线20x +-=相切于点(-.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点()2,0的直线与圆C 相交于M ，N 两点，若MNC 的面积为423，求该直线的方程.19.已知椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是32.（1）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上；（2）这组直线中经过椭圆上焦点的直线与椭圆交于,A B 两点，求AB .20.某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过".并给予录取.甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试，甲､乙两人在笔试中“通过”的概率依次为53,65，在面试中“通过”的概率依次为23,34，笔试和面试是否“通过”是独立的.（1）甲､乙两人谁获得录取的可能性大？请说明理由：（2）求甲､乙两人中至少有一人获得录取的概率.21.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =，()0AF t t =>，M 是线段EF 的中点.（1）求证：//AM 平面BDE ；（2）若1t =，求平面ADF 与平面BDF 夹角的大小；（3）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF BE ⊥，求t 的最大值.22.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，且经过点A .（1）求双曲线C 的方程；（2）点M ，N 在双曲线C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足.证明：①直线MN 过定点；②存在定点Q ，使得DQ 为定值.2023—2024学年度第一学期高二教学质量检测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线1x =的倾斜角是（）A.0B.π4C.π2D.不存在【答案】C 【解析】【分析】利用直线倾斜角的定义即可得解.【详解】因为直线1x =与x 轴垂直，因此直线1x =的倾斜角是π2．故选：C ．2.抛物线22y x =的准线方程为（）A.14y =- B.18y =-C.14x =-D.18x =-【答案】B 【解析】【分析】把抛物线方程化成标准形式，再求出其准线方程即得.【详解】抛物线22y x =方程化为212x y =，所以抛物线22y x =的准线方程为18y =-.故选：B3.过点()1,2-且与直线2340x y -+=垂直的直线方程为（）A.3270x y ++=B.3210x y +-=C.2350x y -+=D.2380x y -+=【答案】B 【解析】【分析】根据直线垂直满足的斜率关系，即可由点斜式求解.【详解】直线2340x y -+=的斜率为23，所以与直线2340x y -+=垂直的直线斜率为32-，故由点斜式可得()312x +y-2=-，即3210x y +-=，故选：B4.甲乙两人参加面试答辩，假设甲乙面试互不影响，且他们面试通过的概率分别为12，14，则两人中至少有一人通过的概率为（）A.58 B.15C.110D.310【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解即得.【详解】依题意，两人中至少有一人通过的概率为1151(1)(1)248--⋅-=.故选：A 5.直线142x y+=与x 轴，y 轴分别交于点,A B ，以线段AB 为直径的圆的方程为（）A.224230x y x y +---=B.22420x y x y +--=C.224230x y x y +--+=D.22240x y x y +--=【答案】B 【解析】【分析】根据直线方程求出A ，B 点的坐标，法一：利用圆的直径式方程直接求得；法二：求出A B 中点即为圆心，AB 长的一半为半径，利用圆的标准方程直接写出，再化为一般方程即可.【详解】由题：(4,0),(0,2)A B 法一：根据圆的直径式方程可以得到：以线段AB 为直径的圆的方程为(4)(2)0x x y y -+-=，即22420x x y y -+-=，故选：B .法二：AB 中点为(2,1)，AB ==故以线段AB 为直径的圆的圆心为(2,1)，半径为所以圆的方程为()()22215x y -+-=，展开化简得：22420x y x y +--=，故选：B .6.如图，在四面体ABCD 中，,E F 分别为,BC AE 的中点，G 为ACD 的重心，则FG =（）A.1113124AB AC AD -++B.1114123AB AC AD -++C.1114123AB AC AD -+D.1113124AB AC AD +-【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，将F G用,,AB AC AD 表示即可.【详解】因为,E F 分别为,BC AE 的中点，所以()1124AF AE AB AC ==+.因为G 为ACD 的重心，所以()13AG AC AD =+，所以()()11111344123FG AG AF AC AD AB AC AB AC AD =-=+-+=-++.故选：B.7.已知正方体1111ABCD A B C D -，若P 是棱11B C 的中点，则异面直线1A P 和1CD 夹角的余弦值为（）A.15B.5C.5D.5【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，结合正方体的结构特征，利用几何法求出异面直线夹角的余弦值.【详解】令正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，连接1,BA BP，则11A P BP A B ===四边形11A BCD 是正方体1AC 的对角面，则四边形11A BCD 是矩形，即11//A B CD ，因此1BA P ∠是异面直线1A P 和1CD 所成的角，在等腰1PA B中，11112cos 5A BBA P A P∠===，所以异面直线1A P 和1CD夹角的余弦值为5.故选：D8.双曲线C ：22221x y a b-=的左、右顶点分别为1A ，2A ，左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作直线与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点.若22AB BF =，且121cos 4F BF ∠=，则直线1A B 与2A B 的斜率之积为（）A.53 B.35C.43D.34【答案】A【解析】【分析】设2BF m =，利用双曲线定义推出相关线段的长，进而在2ABF △和12F BF 中利用余弦定理，求出43m a =以及2238c a =，继而求得2235b a =，再结合双曲线方程推出1222A B A B b ak k ⋅=，即可求得答案.【详解】由题意结合双曲线定义可知211222AF AF aBF BF a⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，且22AB BF =，不妨设2BF m =，则2AB m =，12BF m a =+，11||2AF BF AB a m =-=-，24AF a m =-.在2ABF △中，121cos 4F BF ∠=，由余弦定理得21222222||||2||||cos AF AB BF AB BF F BF =+-∠⋅⋅，即22221(4)444a m m m m -=+-⨯，即2238160m am a +-=，解得43m a =.在12F BF 中，由余弦定理得21222212112||||2||cos ||F F BF BF BF BF F BF =+-∠⋅⋅，即22214(2)2(2)4c m a m m a m =++-+⨯，即2228368c m ma a =++，结合43m a =，即得2238c a =，故得2223)(8b a a +=，即2235b a =.又可设00(,)B x y ，则22222200002221,()x y b y x a a b a-=∴=-，而12(,0),(,0)A a A a -，故122000220220053A B A B y y y k k x a x a b x a a ⋅=⋅=+-==-，故选：A【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据所给121cos 4F BF ∠=，分别在2ABF △和12F BF 中利用余弦定理，求出43m a =，继而求得2235b a =，再结合双曲线方程推出1222A B A B b ak k ⋅=，即可求解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()05,P y 在抛物线上，且6PF =，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，则（）A.2p =B.抛物线的准线为直线1y =C.0y =D.FPQ △的面积为【答案】AD 【解析】【分析】根据抛物线的定义以及焦半径的长度求出p 值判断AB ；求出点P 的纵坐标判断C ；求出FPQ △的面积判断D.【详解】抛物线22(0)y px p =>的准线为直线2px =-，过点P 向准线作垂线垂足为M ，由抛物线的定义知562pPF PM ==+=，解得2p =，则抛物线的方程为24y x =，准线为直线=1x -，A 正确，B 错误；将5x =代入抛物线方程，解得0y =±C 错误；焦点(1,0)F ，点(5,P ±，即||PQ =，则1(51)2FPQ S =⨯-=△，D 正确.故选：AD10.若()16P AB =，()23P A =，()12P B =，则下列说法正确的是（）A.()12P A =B.事件A 与B 相互独立C .事件A 与B 不互斥D.()56P A B +=【答案】BC 【解析】【分析】利用对立事件概率计算判断A ；利用相互独立事件的定义判断B ；利用互斥事件的意义判断C ；利用概率的基本性质计算判断D.【详解】对于A ，由()23P A =，得()21133P A =-=，A 错误；对于B ，由()12P B =，()13P A =，()16P AB =，得()()()P AB P A P B =，事件A 与B 相互独立，B 正确；对于C ，由()16P AB =，得事件A 与B 可以同时发生，则事件A 与B 不互斥，C 正确；对于D ，()1112()()()3263P A B P A P B P AB +=+-=+-=，D 错误.故选：BC11.点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则（）A.||PQ 的最小值为3B.||PQ 的最大值为7C.两个圆心所在的直线斜率为43- D.两个圆相交弦所在直线的方程为68250x y --=【答案】ABC 【解析】【分析】分别找出两圆的圆心1C 和2C 的坐标，以及半径r 和R ，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离12C C ，根据12C C 大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又P 为圆1C 上的点，Q 为圆2C 上的点，便可求出其最值，用斜率公式求出12C C k .【详解】圆221:1C x y +=的圆心坐标1(0,0)C ，半径1r =圆222:68240C x y x y +-++=，即22(3)(4)1x y -++=的圆心坐标2(3,4)C -，半径1R =∴圆心距125C C ==又 P 在圆1C 上，Q 在圆2C 上则PQ 的最小值为12min 3PQ C C R r =--=，最大值为12max 7PQ C C R r =++=．故A 、B 正确；两圆圆心所在的直线斜率为12404303C C k --==--，C 正确；圆心距125C C ==大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D 错误.故答案为：ABC12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 满足1AP AB AD AA λμγ=++，λ，μ，γ∈R （P ，B ，D ，1A 四点不重合），则下列说法正确的是（）．A.当1λμγ++=时，PA 的最小值是1B.当1λ=，μγ=时，PB ∥平面11AB DC.当1λμ==，12γ=时，平面PBD ⊥平面1A BDD.当1λμ=，0γ=时，直线1PA 与平面1111D C B A 所成角的正切值的最大值为2【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：根据空间向量分析可知点P 在平面1A BD 内，利用等体积法求点A 到平面1A BD 的距离；对于B ：根据空间向量分析可知点P 在直线1BC 上，根据线面平行的判定定理分析判断；对于C ：根据空间向量分析可知点P 为取1CC 的中点，结合线面垂直关系分析证明；对于D ：根据空间向量分析可知点P 在平面ABCD 内，根据线面夹角的定义结合基本不等式分析判断.【详解】对于选项A ：当1λμγ++=时，即()1γλμ=-+，则()111AP AB AD AA AB AD AA λμγλμλμ⎡⎤=++=++-+⎣⎦ ，可得()()111AP AA AB AA AD AA λμ-=-+- ，则111λμ=+uuu r uuu r uuu rA P AB A D ，可知点P 在平面1A BD 内，设点A 到平面1A BD 的距离为d ，可知11A B A D BD ===由11A A BD A ABD V V --=可得111111132232d ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得3d =，所以PA 的最小值是3d =，故A 错误；对于选项B ：当1λ=，μγ=时，则11λμγμμ=++=++uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r AP AB AD AA AB AD AA ，可得()1AP AB AD AA μ-=+ ，则1μ=uu r uuu r BP AD ，由正方体的性质可知：AB ∥11C D ，且11AB C D =，则11ABC D 为平行四边形，可得1AD ∥1BC ，且11AD BC =，即11AD BC =，则1μ=uu r uuu r BP BC ，可知点P 在直线1BC 上，直线PB 即为直线1BC ，且1AD ∥1BC ，1AD ⊂平面11AB D ，1BC ⊄平面11AB D ，所以1BC ∥平面11AB D ，即PB ∥平面11AB D ，故B 正确；对于选项C ：当1λμ==，12γ=时，则1111122λμγ=++=++=+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r AP AB AD AA AB AD AA AC CC ，取1CC 的中点M ，可得112=+=+=uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu rAP AC CC AC CM AM ，可知点P 即为点M ，因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1AA BD ⊥，设AC BD O = ，连接OP ，可知AC BD ⊥，1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面11AA C C ，所以BD ⊥平面11AA C C ，且1AC ⊂平面11AA C C ，可得1BD AC ⊥，同理可得：11A B AC ⊥，且1BD A B B = ，1,BD A B ⊂平面1A BD ，所以1AC ⊥平面1A BD ，又因为,O P 分别为1,AC CC 的中点，则OP ∥1AC ，可得OP ⊥平面1A BD ，且OP ⊂平面1A BD ，所以平面1A BD ⊥平面1A BD ，故C 正确；对于选项D ：当1λμ=，0γ=时，则1λμγλμ=++=+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu rAP AB AD AA AB AD ，可知点P 在平面ABCD 内，因为平面ABCD ∥平面1111D C B A ，则直线1PA 与平面1111D C B A 所成角即为直线1PA 与平面ABCD 所成的角，因为1AA ⊥平面ABCD ，则直线1PA 与平面ABCD 所成的角为1A PA ∠，可得111tan ∠==AA A PA AP AP，又因为1λμ=，即1μλ=，则1λλ=+uu u r uu u r uuu r AP AB AD ，可得22222221122λλλλ=++⋅=+≥=uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r AP AB AD AB AD ，当且仅当221λλ=，即1λ=±时，等号成立，可知AP 11tan ∠=A PAAP 2=，所以直线1PA 与平面1111D C B A 所成角的正切值的最大值为2，故D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点睛：根据空间向量的线性运算，结合向量共线或共面的判定定理确定点P 的位置，方可结合立体几何相关知识分析求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.从2至6的5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为__________.【答案】35##0.6【解析】【分析】根据给定条件，利用列举法结合古典概率公式计算即得.【详解】从2至6的5个整数中随机取2个不同数的试验的样本空间为：{(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)}Ω=（交换数字位置算一种情况），共10个样本点，所取2个数互质的事件{(2,3),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(5,6)}A =，共6个样本点，所以这2个数互质的概率为63()105P A ==.故答案为：3514.经过两条直线12:2,:21l x y l x y +=-=的交点，且直线的一个方向向量()3,2v =的直线方程为__________.【答案】2310x y -+=【解析】【分析】求出交点坐标，根据直线的方向向量得到直线方程.【详解】221x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，故交点坐标为()1,1，因为直线的一个方向向量()3,2v =，所以直线方程为()2113y x -=-，即2310x y -+=.故答案为：2310x y -+=15.P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，若已知3AB =，4=AD ，1PA =，则点P 到BD 的距离为__．【答案】135##2.6【解析】【分析】方法一：过A 作AE BD ⊥，交BD 于E ，连结PE ，则可得PE 是点P 到BD 的距离，然后求解即可，方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可【详解】方法一矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，5BD ∴==，过A 作AE BD ⊥，交BD 于E ，连结PE ，PA ⊥ 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥，又AE BD ⊥，PA AE A = ，BD ∴⊥平面PAE ，∵PE ⊂平面PAE ，PE BD ∴⊥，即PE 是点P 到BD 的距离，1122AB AD BD AE ⨯⨯=⨯⨯ ，125AB AD AE BD ⨯∴==，135PE ∴===，∴点P 到BD 的距离为135．方法二∵PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，∴,PA AB PA AD ⊥⊥，∵AB AD⊥∴PA AB AD 、、三线两两垂直，∴以A 为原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，()()()001300040P B D ∴，，，，，，，，，()301BP ∴=- ，，，()340BD =- ，，，∴cos ,91691510BP BD BP BD BP BD⋅==+⋅+，∴点P 到BD 的距离为229131cos ,1015510d BP BD ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故答案为：13516.已知1F ，2F 分别为椭圆22219x y b+=的左、右焦点，以2F 为圆心且过椭圆左顶点的圆与直线380x -+=相切．P 为椭圆上一点，I 为12PF F △的内心，且1122IPF IF F IPF S S S λ=- ，则λ的值为______．【答案】32##1.5【解析】【分析】根据题意利用点到直线的距离公式求出椭圆焦点坐标，再利用三角形内接圆与三角形面积的关系列式，结合椭圆定义即可求出答案.【详解】设()1,0F c -，()2,0F c ，2F 为圆心且过椭圆左顶点的圆的半径为3R a c c =+=+，根据题意可知813c R +=+，解得2c =设12PF F △的内接圆半径为r ，则1112IPF S PF r =⋅△，121212IF F S F F r =⋅ ，2212IPF S PF r =⋅△故112212212F F P r P r r F F λ⋅⋅-⋅=，化简可得1212PF PF F F λ+=，即22a c λ=⋅，解得32λ=故答案为：32四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,M N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2A M MB B N NC ==.设1,,AB a AC b AA c === .（1）试用,,a b c表示向量MN ；（2）若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=︒∠=∠=︒===，求MN 的长.【答案】（1）122333MN a b c=-++（2【解析】【分析】（1）利用向量加减法及向量数乘的几何意义，基底法表示MN；（2）利用向量的数量积运算求解向量的模.【小问1详解】1111MN MA A C C N=++ 12133BA AC CB =++()1221333AB AA AC AB AC=-+++-1122333AB AA AC =-++，又AB a =，AC b =，1AA c = ，∴122=333MN a b c -++ ．【小问2详解】因为11AB AC AA ===，1a b c ===．90BAC ∠=︒ ，0a b ∴⋅=．1160BAA CAA ∠=∠=︒ ，12a cbc ∴⋅=⋅= ，()22122=9MN a b c ∴=-++ ()2221114444899a b c a b a c b c ++-⋅-⋅+⋅=，3MN ∴= ．18.已知圆C 的圆心在直线20x y -+=上，与直线20x +-=相切于点(-.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点()2,0的直线与圆C 相交于M ，N 两点，若MNC的面积为3，求该直线的方程.【答案】（1）22(2)4x y ++=；（2）20x -=或20x ±-=.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出经过切点的半径所在直线方程，再求出圆心坐标即可得解.（2）根据给定条件，利用点到直线的距离公式及弦长公式，列式计算即得.【小问1详解】依题意，过点(-且垂直于直线20x +-=的直线方程为1)y x =+，则圆C 的圆心C在直线y =+上，由20x y y -+=⎧⎪⎨=+⎪⎩20x y =-⎧⎨=⎩，即点(2,0)C -，因此圆C的半径2r =，所以圆C 的标准方程为22(2)4x y ++=.【小问2详解】显然直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为(2)y k x =-，即20kx y k --=，则点C 到直线MN的距离d =||MN ==，于是MNC 的面积218||1342||213MNCk S MN d k =⋅==+，解得11k =±或5k =±，所以直线MN的方程为(2)11y x =±-或(2)5y x =±-，即20x ±-=或20x ±-=.19.已知椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是32.（1）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上；（2）这组直线中经过椭圆上焦点的直线与椭圆交于,A B 两点，求AB .【答案】（1）证明见解析（2）133【解析】【分析】（1）设这组平行直线的方程为32y x m =+，与椭圆方程联立，借助韦达定理求得弦中点坐标即可判断得解.（2）求出椭圆焦点坐标及直线AB 的方程，再利用弦长公式计算即得.【小问1详解】设这组平行直线的方程为32y x m =+，则2232149y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得22962180x mx m ++-=，由()()()222Δ64921836180m m m =-⨯⨯-=->，得3232m -<<设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，则1223x x m +=-，因此这组平行直线与椭圆交点的中点坐标为11(,)32m m -，显然点11(,)32m m -始终在直线32y x =-上，所以这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线32y x =-上.【小问2详解】椭圆22149x y +=的焦点坐标为(0,，由对称性，不妨取焦点F ，直线3:2AB y x =设3344(,),(,)A x y A x y ，由（1）知，343489x x x x +==-，所以133AB =..20.某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过".并给予录取.甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试，甲､乙两人在笔试中“通过”的概率依次为53,65，在面试中“通过”的概率依次为23,34，笔试和面试是否“通过”是独立的.（1）甲､乙两人谁获得录取的可能性大？请说明理由：（2）求甲､乙两人中至少有一人获得录取的概率.【答案】（1）甲获得录取的可能性大，理由见解析，（2）3445【解析】【分析】（1）由相互独立事件的概率乘法公式分别计算甲乙两人被录取的概率，再比较即可，（2）甲､乙两人中至少有一人获得录取包括3种情况：甲被录取乙没被录取，甲没被录取乙被录取，甲､乙都被录取，求出每种情况的概率，再利用互斥事件的概率加法公式可求得结果.【小问1详解】记“甲通过笔试”为事件1A ，“甲通过面试”为事件2A ，“甲获得录取”为事件A ，“乙通过笔试”为事件1B ，“乙通过面试”为事件2B ，“乙获得录取”为事件B ，则由题意得12125233(),(),(),()6354P A P A P B P B ====，笔试和面试是否“通过”是独立的，所以12525()()()639P A P A P A ==⨯=,12339()()()5420P B P B P B ==⨯=,因为59920>，即()()P A P B >，所以甲获得录取的可能性大【小问2详解】记“甲､乙两人中至少有一人获得录取”为事件C ，则由题意得()()()()P C P AB P AB P AB =++()((()()()P A P B P A P B P A P B =++595959341192092092045⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以甲､乙两人中至少有一人获得录取的概率为3445.21.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =，()0AF t t =>，M 是线段EF 的中点.（1）求证：//AM 平面BDE ；（2）若1t =，求平面ADF 与平面BDF 夹角的大小；（3）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF BE ⊥，求t 的最大值.【答案】（1）证明负了解析；（2）π3；（3.【解析】【分析】（1）设AC 与BD 交于点O ，连接,EO AM ，结合平行四边形的判定性质，再利用线面平行的判定定理推理即得.（2）建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法求解即得.（3）由（2）的信息，利用空间向量垂直的坐标表示建立函数求解即可.【小问1详解】设AC BD O = ，连结AM ，EO ，矩形ACEF 中，M 是线段EF 的中点，O 是线段AC 的中点，则//EM AO ，EM AO =，于是OAME 为平行四边形，则//AM EO ，又AM ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，所以//AM 平面BDE.【小问2详解】由平面ABCD ⊥平面ACEF ，EC AC ⊥，平面ABCD 平面ACEF AC =，EC ⊂平面ACEF ，得EC ⊥平面ABCD ，又CD CB ⊥，则直线,,CD CB CE 两两垂直，以点C 为原点，直线,,CD CB CE 分别为,,x y z 轴建立如空间直角坐标系，1t =，则(0,0,0),(0,0,1),C D A F E B，BD =，DF = ，设平面BDF 的法向量为(,,)n x y z = ，则00n DF z n BD ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1x =，得(1,1,n = ，由(0,0,1),(0,AF AD == ，得平面ADF 的一个法向量为(1,0,0)m = ，设平面ADF 与平面BDF 夹角为θ，则||1cos |cos ,|2||||m n m n m n θ⋅=〈〉== ，解得π3θ=，所以平面ADF 与平面BDF 夹角的大小为π3.【小问3详解】由（2）知，(0,0,0),),(0,0,),(0,C A F t E t B ，则(0,)BE t =，(AC = ，设1)0(AP AC λλ=≤≤ ，则(,,0)AP =，,0)P，于是,)PF t = ，由PF BE ⊥，得0PF BE ⋅= ，即220t λ-+=，因此22t λ=，又[]0,1λ∈，所以22t ≤，即t .【点睛】关键点睛：第三问，设CP CA λ= ，其中[]0,1λ∈，根据向量的坐标表示得到),PF t =-，()0,BE t = ，再由垂直关系列方程得到参数关系为关键.22.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，且经过点A .（1）求双曲线C 的方程；（2）点M ，N 在双曲线C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足.证明：①直线MN 过定点；②存在定点Q ，使得DQ 为定值.【答案】22.22139x y -=；23.①证明见解析；②存在定点1,2Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）由给定的点和离心率求出,a b 即可得双曲线C 的方程.（2）设出点,M N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+，联立直线与双曲线方程，结合已知求得,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，验证直线斜率不存在的情况，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.【小问1详解】由双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，得2a ==，则b =，由双曲线C 过点A ，得22431a b -=，于是3a b ==，所以双曲线C 的方程为22139x y -=.【小问2详解】①设点1122(,),(,)M x y N x y ，当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+，由2239y kx m x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得，222(3)290k x kmx m -+++=，显然2222230Δ44(3)(9)0k k m k m ⎧-≠⎨=--+>⎩，即22230930k m k ⎧-≠⎨+->⎩，212122229,33km m x x x x k k ++=-=--，由AM AN ⊥，得0AM AN ⋅= ，而1122(2,(2,AM x y AN x y =--=- ，则12121212(2)(2)((2)(2)(0x x y y x x kx m kx m --+=--++-+-=，整理得221212(1)[(2]()(40k x x k m x x m ++--++-+=，即22222(1)(9)2[(2]7033k m km k m m k k ++--+-+=--，整理得(20k m k m +-+=，显然直线MN 不过点A ，即20k m +-≠，因此40k m -+=，即4m k =+符合题意，直线MN ：(4)y k x =++过定点(4,P -，当直线MN 斜率不存在时，点11(,)N x y -，2111(2)(0x y y -+--=，而221139x y -=，显然12x ≠，解得14x =-，直线MN ：4x =-过点(4,P -，所以直线MN 过定点(4,P -.②由①知，直线MN 过定点(4,P -，而点A ，线段AP 中点1,2Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，又AD MN ⊥，当点D 与P 不重合时，点D 是以线段AP 为斜边的直角三角形的直角顶点，则1||||22DQ AP ==，当点D 与P 重合时，1||||22DQ AP ==，所以存在定点1,2Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，使得DQ 为定值2.【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．。

2024~2025学年高二9月质量检测卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第一章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，若，则（ ）A.1B.0C.-1D.-22.已知是坐标原点，空间向量，若线段的中点为，则（ ）A.B.3C.8D.93.若平面的法向量，直线的方向向量，则（ ）A. B.C.D.或4.已知为空间中不共面的四点，且，若四点共面，则函数的最小值是（）A.2B.1C.-1D.-25.在平行六面体中，分别是的中点.设，则（ ）A. B.C. D.()()1,1,2,,1,23a b x x ==- a b ⊥ x =O ()()()1,1,2,1,3,4,2,4,4OA OB OC ==-=AB D CD =α()1,2,3n =- l ()1,1,1m =l ∥αl α⊥l α⊂l ∥αl α⊂,,,O A B C ()1,3OP OA OB OC λμλμ=++∈R,,,P A B C ()()[]()2311,2f x x x x λμ=-+-∈-1111ABCD A B C D -,E F 11,BC C D 1,,AB a AD b AA c ===EF =1122a b c -++ 1122a b c-+ 1122a b c -+- 1122a b c--6.已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ）A.B.C.D.7.在长方体中，为的中点，则点到平面的距离为（ ）B.D.8.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（）B.2D.3二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（ ）A.对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得B.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底C.若，则D.若所在直线两两共面，则共面10.已知三棱柱为空间内一点，若，其中，则（ ）A.若，则点在棱上B.若，则点在线段上C.若为棱的中点p {},,a b c (1,2,1)--p{},,a b a c b c +++ ()3,2,1-()2,1,0-()0,1,2-()4,3,2-1111ABCD A B C D -12,4,AB AA AD E ===11C D A 1B CE P ABCD -PCD ⊥ABCD ABCD 26,,AB BC PC PD PC PD ==⊥=O CD PB E AO ,,i j km ,,x y z m xi yj zk=++{},,i j k {}3,,2i j j k k i -+-,i j k j ⊥⊥ i∥k,,i j k ,,i j k 111,ABC A B C P -1BP BB BC λμ=+(],0,1λμ∈1λ=P 11B C λμ=P 1BC 1,2P λμ==1CCD.若，则点在线段上11.如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则下列说法正确的有（）A.四点共面B.与所成角的大小为C.在线段上存在点，使得平面D.在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.点关于平面的对称点坐标为__________.13.如图，已知二面角的大小为且，则__________.14.已知正方体的棱长为2，点在线段上（不含端点）.若是锐角，则线段长度的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知向量.（1）若，求的值；1λμ+=P 1B C 1111ABCD A B C D -,,,E F G H 111,,,DD A B CD BC ,,,E F G H BD EF π3BD M 1MC ⊥EFG1A B N N EFG -()1,2,3Oyz l αβ--60,,,,,,A B C D l AC l BD l αβ∈∈∈⊥⊥ 2,4AC BD CD ===AB =1111ABCD A B C D -P 1AC BPD ∠1C P ()()()1,3,2,1,0,2,,,4a b c m n =-==-a ∥cb c +（2）若，求的值.16.（本小题满分15分）如图，在四面体中，，点，分别在棱上，且.（1）用表示；（2）求异面直线所成角的余弦值.17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，，平面平面，分别是的中点.（1）证明：；（2）若，直线与平面，求的长度.18.（本小题满分17分）如图，在直三棱柱中，分别为的中点.,9b c c ⊥= ()()a cbc +⋅-ABCD 2ππ3,2,,32AB AC AD BAD CAD BAC ∠∠∠======M N ,AB BC ,2AM BM CN BN ==,,AB AC AD ,AN DM,AN DM Q ABCD -CD ∥,AB BC AB ⊥QAD ⊥,,ABCD QA QD M =N ,AD CQ QM BD ⊥22AD AB CD ===MN QBC QM 111ABC A B C -1,2,,,BA BC BA BC BB D E F ⊥===111,,AA B C AB（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19.（本小题满分17分）如图，在三棱台中，是等边三角形，，侧棱平面，点是棱的中点，点是棱上的动点（不含端点）.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值的最小值.EF∥11ACC A CE DEF 111ABC A B C -ABC V 11124,2AB A B CC ===1CC ⊥ABC D AB E 1BB B 11AA B B ⊥1DCC ABE ACE2024~2025学年高二9月质量检测卷·数学参考答案､提示及评分细则1.A 因为，所以，即，解得.故选A.2.B 由题意得，所以，所以.故选B.3.D 因为，所以或.故选D.4.D 因为四点共面，所以，所以，所以，所以函数的最小值为-2.故选D.5.A 如图所示，，即.故选A.6.C 由题意得，设向量在基底下的坐标是，则，所以解得a b ⊥0a b ⋅=()12230x x ++-=1x =()0,2,3D ()2,2,1CD =--- 3CD == ()()1,1,11,2,31230m n ⋅=⋅-=+-=l ∥αl α⊂,,,P A B C 113λμ++=23λμ+=()2221(1)2f x x x x =--=--1111111112222EF EC CC C F BC CC D C b c a =++=+-=+-1122EF a b c =-++2p a b c =-- p {},,a b a c b c +++ (),,x y z ()()()()()()p x a b y a c z b c x y a x z b y z c =+++++=+++++ 1,2,1,x y x z y z +=⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩0,1,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩故选C.7.D 如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，所以，则，设是平面的一个法向量，则令，则，又，所以点到平面的距离为.故选D.8.C取的中点为，连接，因为为的中点，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，所以，又底面是矩形，所以，以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，由，得，所以，则，设，则到直线的距离时，，即线段上的动点到直线.故选C.A 1,,AB AD AA ,,x y z ()()()()10,0,0,2,0,4,2,4,0,1,4,4A BC E ()()11,4,0,1,0,4B E CE =-=- (),,m x y z =1B CE 140,40,m B E x y m CE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩1y =()4,1,1m = ()2,4,0AC = A 1B CE m ACm⋅=AB O ',,PO OO AE ',PC PD O =CD PO CD ⊥PCD ⊥ABCD PCD ⋂,ABCD CD PO =⊂PCD PO ⊥ABCD PO OO ⊥'ABCD OO CD '⊥O ,,OO OC OP ',,x y z ,,6PC PD PC PD CD ⊥==3PO =()()()3,3,0,3,3,0,0,0,3A B P -()3,3,0AO =- ()01BE BP λλ=……()()33,33,3,3,63,3,E AE AE λλλλλλ--=--= E AO d ==23λ=d PB E AO9.ACD 由空间向量基本定理，可知只有当不共面时，才能作为基底，才能得到，故A 错误；若是空间的一个基底，则不共面，也不共面，所以也是空间的一个基底，故B 正确；若，则不一定平行，故C 错误；若所在直线两两共面，则不一定共面，故D 错误.故选ACD.10.ABD 若，则，即，所以，故点在棱上，故A 正确；若，则，所以，故点在线段上，故B 正确；若，则，故为的中点，故C 错误；若，则三点共线，即点在上，故D 正确.故选ABD.11.AD 以为原点，以所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，则，所以解得故，即四点共面，故A 正确；因为，所以，所以与所成角的大小为，故B 错误；假设在线段上存在点，符合题意.设，则,,i j k ,,i j k m xi yj k =++{},,i j k ,,i j k 3,,2i j j k k i -+-{}3,,2i j j k k i -+- ,i j k j ⊥⊥,i k,,i j k,,i j k1λ=1BP BB BC μ=+ 1B P BC μ= 1B P ∥BCP 11B C λμ=()11BP BB BC BC λλ=+= BP∥1BC P 1BC 12λμ==()111122BP BB BC BC =+= P 1BC 1λμ+=1,,P B C P 1B C A 1,,AB AD AA x y z ()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0A B C ()()()()()()110,2,0,2,0,2,0,2,2,0,2,1,1,0,2,1,2,0D B D E F G ()2,1,0H AH x AE y AF z AG =++ ()()()()2,1,00,2,11,0,21,2,0x y z =++2,22120,y z x z x y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩1,1,23,2x y z ⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩1x y z ++=,,,E F G H ()()2,2,0,1,2,1BD EF =-=- cos ,BD EF BD EF BD EF⋅===⋅ BD EF π6BD M ()01BM BD λλ=……，若平面，则.因为，所以此方程组无解，所以在线段上不存在点，使得平面，故C 错误；因为，所以，又平面平面，所以平面，故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值，又的面积是定值，所以在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值，故D 正确.故选AD.12. 求一个点关于平面的对称点坐标，就是将轴的分量取相反数，而轴和轴的分量不变，故点关于平面的对称点坐标就是.13.因为二面角的大小为，所以与的夹角为，又，所以，所以14. 如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则.因为在线段上，所以可设，其中.于是，.由于是锐角，所以，即，即.又由于，所以不等式的()1112,22,2MC BC BM BC BD λλλ=-=-=-1MC ⊥EFG 110,0MC EF MC EG ⋅=⋅= ()()1,2,1,1,0,1EF EG =-=- 24420,220,λλλ-++=⎧⎨-=⎩BD M 1MC ⊥EFG ()12,0,22A B EG =-=1A B ∥EG 1A B ⊄,EFG EG ⊂EFG 1A B ∥EFG 1A B EFG B EFG EFG V 1A B N N EFG -()1,2,3-Oyz x y z ()1,2,3Oyz ()1,2,3-l αβ--60 AC DB120 AB AC CD DB =++22222()222AB AC CD DB AC CD DB AC CD CD DB DB AC=++=+++⋅+⋅+⋅ 1416400222202⎛⎫=+++++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭AB = ⎛ ⎝D 1,,DA DC DD x y z Dxyz ()()()()10,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,2D A B C P 1AC (),2,2P t t t --()0,2t ∈()2,,2BP t t t =--- (),2,2DP t t t =--BPD ∠0BP DP ⋅>()()()()()22220t t t t t t -⋅+-⋅-+-⋅->()()2320t t -->()0,2t ∈解集为.因此.15.解：（1）若，则存在实数，使，即，所以解得所以.所以，所以.（2）因为，所以，解得.因为，所以.当时，，所以.当时，，所以.16.解：（1）因为点分别在棱上，且，所以，所以，.（2）因为，203t <<1C P ⎛==∈ ⎝a ∥c λc a λ=()(),,41,3,2m n λ-=-,3,42,m n λλλ=⎧⎪=⎨⎪-=-⎩2,6,2,m n λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩()2,6,4c =- ()3,6,2b c +=- 7b c +== b c ⊥80m -=8m =9c =9=1n =±1n =()()9,4,6,7,1,6a c b c +=--=--()()63436103a c b c +⋅-=---=-1n =-()()9,2,6,7,1,6a c b c +=--=-()()6323697a c b c +⋅-=-+-=-,M N ,AB BC ,2AM BM CN BN ==11,23AM AB BN BC == ()11213333AN AB BN AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+12DM DA AM AB AD =+=-2ππ3,2,,32AB AC AD BAD CAD BAC ∠∠∠======所以.所以，，所以，即异面直线.17.（1）证明：是中点，，平面平面，平面平面平面平面，又平面.（2）解：取中点，连接分别为中点，，又.以为坐标原点，为轴正方向，过作轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，设，，π2π2π32cos 0,32cos 3,22cos 2233AB AC AB AD AC AD ⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯=-⋅=⨯⨯=-AN=== DM === 2211121117||33233633AN DM AB AC AB AD AB AB AD AB AC AC AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅+⋅-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos ,AN DM AN DM AN DM ⋅===⋅ ,AN DM M AD ,QA QD QM AD =∴⊥ QAD ⊥ABCD QAD ⋂,ABCD AD QM =⊂,QAD QM ∴⊥ABCD BD ⊂,ABCD QM BD ∴⊥BC F ,,MF M F ,AD BC AB ∥,CD MF ∴∥AB ,BC AB MF BC ⊥∴⊥F ,FM FB,x y F z ∥QM ()13(0),,22QM a a MF AB CD BC =>=+=== 333,0,0,,0,,,0,,,2242a M Q a B C N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.设平面的法向量，则令，解得，解得，即或.18.（1）证明：取的中点，连接，因为分别为的中点，所以，又为的中点，，所以，所以四边形是平行四边形，所以.又平面平面，所以平面.（2）解：在直三棱柱中，平面，又平面，所以，又，故以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，所以.设平面的法向量为，则令，得()33,,0,,422a MN BC CQ a ⎛⎫⎛⎫∴=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭QBC (),,n x y z = 0,30,2BC n CQ n x y az ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩2x a =()0,3,2,0,3y z n a ==-∴=- cos ,MN n MN n MN n ⋅∴===⋅ a =32a =QM 32AC G 1,FG C G ,F G ,AB AC FG ∥1,2BC FG BC =E 11B C BC ∥1111,B C BC B C =FG ∥11,EC FG EC =1EFGC EF ∥1C G EF ⊄111,ACC A C G ⊂11ACC A EF∥11ACC A 111ABC A B C -1BB ⊥ABC ,BA BC ⊂ABC 11,BB BA BB BC ⊥⊥BA BC ⊥B 1,,BA BC BB ,,x y z ()0,2,0C ()()()2,0,1,0,1,2,1,0,0D E F ()()()1,1,2,1,0,1,0,1,2FE FD CE =-==- DEF (),,m x y z = 20,0,m FE x y z m FD x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1x =，所以平面的一个法向量为.设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面19.（1）证明：因为是等边三角形，点是棱的中点，所以，又平面平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：在平面中，过点作，所以，又平面平面，所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示.因为是等边三角形，，所以，，因为，所以.设，所以，所以.设平面的法向量为，因为所以令，得，，所以平面的一个法向量为，3,1y z ==-DEF ()1,3,1m =- CE DEFθsin cos ,m CE m CE m CEθ⋅====⋅ CEDEF ABC V D AB CD AB ⊥1CC ⊥,ABC AB ⊂ABC 1CC AB ⊥11,,CC CD C CC CD ⋂=⊂1DCC AB ⊥1DCC AB ⊂11AA B B 11AAB B ⊥1DCC ABCC CF ∥AB 1,CC CF CD CF ⊥⊥1CC ⊥,ABC CD ⊂ABC 1CC CD ⊥C 1,,CD CF CC ,,x y z ABC V 11124,2AB A BCC ===()2,0A -()()12,0,0,0,2B C 1112C B CB= )12B (]()10,1BE BB λλ=∈ ()1,,2BE BB λλλ==-(),2,2E λλ-ABE ()()1111,,,0,4,0,n x y z AB AE== (),4,2λλ=-110,0,AB n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()111140,420,y x y z λλ=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩12x =10y =1z =ABE (1n =设平面的法向量为，因为所以令，得，所以平面的一个法向量为.设平面与平面所成角为，所以，设，则，所以，所以所以当，即时，取到最小值.ACE ()()2222,,,2,0n x y z AC ==- 220,0,AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()2222220,420,y x y z λλ⎧-+=⎪⎨+-+=⎪⎩21x =22y z ==ACE 2n ⎛= ⎝ ABE ACE θ121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=== (]()0,1λ∈()322t λλ-=+(],1t ∞∈--[)11,0t∈-cos θ===11t =-1λ=cos θ17。

2023~2024学年度第二学期期末质量检测高二数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合03xA xx =< − ，集合(){}3log11B x x =−<，则A B ∪=（ ）A. {}03x x << B. {}13x x <<C. {}04x x <<D. {}14x x <<【答案】C 【解析】【分析】由分式不等式的求解方法求集合A ，再由对数函数的性质解不等式求得集合B ，结合并集的概念即可得答案.【详解】因为(){}{}3003A x x x x x =−<=<<，(){}{}{}3log1101314B x x x x x x =−<=<−<=<<， 因此，{}04A Bx x ∪=<<.故选：C.2. 设0,0a b >>，则“()lg 0a b +>”是“()lg 0ab >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将对数不等式进行等价变换，结合0a >，0b >，可判断a b +，ab 的取值范围，从而判断()lg a b +与()lg ab 的关系.【详解】因为lg (aa +bb )>0⇔lg (aa +bb )>lg1⇔aa +bb >1，又0,0a b >>， 所以aa +bb ≥2√aabb >1，当且仅当a b =时取等号，即14ab >， 又lg (aabb )>0⇔lg (aabb )>lg1⇔aabb >1， 所以14ab >不能推出1ab >，所以()lg 0a b +>是()lg 0ab >的不充分条件；又aabb >1⇒aabb >14，所以()lg 0a b +>是()lg 0ab >的必要条件， 所以()lg 0a b +>是()lg 0ab >的必要不充分条件. 故选：B.3. 若随机变量(),0.4X B n ，且() 1.2D X =，则()4P X =的值为（ ）A. 420.4×B. 430.4×C. 420.6×D. 430.6×【答案】B 【解析】【分析】根据二项分布求方差公式得到方程，求出5n =，从而得到()4P X =.【详解】由题意得()0.410.4 1.2n ×−=，解得5n =， ()()44454C 0.410.430.4P X ==⨯-=⨯.故选：B4. 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ） 表1表2视力 性别 好 差 总计男 4 16 20 女 12 20 32 总计163652表3智商 性别 偏高 正常 总计男 8 12 20 女 8 24 32 总计 163652表4阅读量 性别 丰富 不丰富 总计男 14 6 20 女 2 30 32 总计 163652A. 成绩B. 视力C. 智商D. 阅读量【答案】D 【解析】【分析】根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++分别计算得观察值，比较大小即可得结果.【详解】根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++分别计算得： A.2252(6221014):0.00916363220A K×−×≈×××;2252(4201216): 1.76916363220B K×−×≈×××;2252(824812): 1.316363220C K×−×≈×××;2252(143062):23.4816363220D K×−×≈×××选项D 的值最大，所以与性别有关联的可能性最大,故选D.【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题. 5. 已知0,0x y >>，且满足341x y+=，则（ ） A. xy 的最小值为48 B. xy 的最小值为148 C. xy 最大值为48 D. xy 的最大值为148【答案】A 【解析】【分析】对给定式子合理变形，再利用基本不等式求解即可.【详解】由题意得234()xy xy x y =+，所以2291624()xy xy x y xy=++，所以9162424y x xy x y =++≥=48， 当且仅当916yxx y=时取等，此时6,8x y ==，故A 正确. 故选：A6. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列{}n a 是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，135a =，则数列11nn a a ++ 的前n 项和n S =（ ）A.B.C.1D.1−【答案】A 【解析】【分析】借助所给新定义与等差数列定义可得数列{}n a 通项公式，再利用裂项相消法计算即可得解.【详解】由题意可得2212n n a a +−=，则数列{}2n a 是以21a 为首项，2为公差的等差数列， 则()22121n a a n =+−，由135a =，故()22131213125a a =+−=，即11a =（负值舍去）， 故()212121n a n n =+−=−，故na =的的则11n n a a +=+12，故12nS =+++ 故选：A.7. 某医院要派2名男医生和4名女医生去A ，B ，C 三个地方义诊，每位医生都必须选择1个地方义诊.要求A ，B ，C 每个地方至少有一名医生，且都要有女医生，同时男医生甲不去A 地，则不同的安排方案为（ ） A. 120种 B. 144种 C. 168种 D. 216种【答案】D 【解析】【分析】先求出2名男医生到3地的可能结果，再安排4名女医生，结合分步乘法计数原理计算即可求解. 【详解】设2名男医生分别为甲、乙， 若乙去A ，则甲可能去B 或C ，有2种结果； 若乙去B ，则甲可能去B 或C ，有2种结果； 若乙去C ，则甲可能去B 或C ，有2种结果， 共有6种结果；将4名女医生分配到A ，B ，C 三个地方，分为211三组，可能的结果有21342322C C A 36A =种， 所以满足题意的有636216×=种结果. 故选：D8. 已知定义在R 上的函数()()2e x axf x x a −+=∈R ，设()f x 的极大值和极小值分别为,m n ，则mn 的取值范围是（ ） A. e ,2−∞−B.1,2e −∞−C. e ,02−D. 1,02e−【答案】B 【解析】【分析】求出函数的导数，利用导数求出,m n ，结合韦达定理用a 表示mn ，再求出指数函数的值域得解. 【详解】()()()22222e e 21e −+−+−+′′=+−++=−+xaxx ax x ax f x x ax x x ax ，令()221g x x ax =−++，显然函数()g x 的图象开口向下，且()01g =， 则函数()g x 有两个异号零点12,x x ，不妨设120x x <<，有12121,22+==−ax x x x ， 而2e 0xax−+>恒成立，则当1x x <或2x x >时，()0f x ′<，当12x x x <<时，()0f x '>，因此函数()f x 在()1,x −∞，()2,x +∞上单调递减，在()12,x x 上单调递增， 又当0x <时，()0f x <恒成立，当0x >时，()0f x >恒成立，且()00f =， 于是()f x 的最大值()22222e −+==x ax m f x x ，最小值()21111e −+=x ax nf x x ，于是()()()222221212121121241212e12e e −−+++−++++===−a x x ax ax x x a x x x x mn x x x x ，由a ∈R ，得[)211,4a−∈−+∞，2141e ,e −∈+∞a ，则2141e,212e −∈−∞−− a ，所以mn 的取值范围是1,2e−∞−. 故选：B.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知变量x 和变量y 的一组成对样本数据(),i i x y （1,2,,i n =⋅⋅⋅）的散点落在一条直线附近，11ni i x x n ==∑，11ni i y y n ==∑，相关系数为r ，线性回归方程为ˆˆˆybx a =+，则（ ）参考公式：r =()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==−−=−∑∑.A. 当r 越大时，成对样本数据的线性相关程度越强B. 当0r >时，ˆ0b> C. 当1n x x +=，1n y y +=时，成对样本数据(),i i x y （1,2,,,1i n n =⋅⋅⋅+）的相关系数r ′满足r r ′= D. 当1n x x +=，1n y y +=时，成对样本数据(),i i x y （1,2,,,1i n n =⋅⋅⋅+）的线性回归方程ˆˆˆydx c =+满足ˆˆdb = 【答案】BCD 【解析】【分析】根据线性相关、相关系数、线性回归方程等知识，对选项逐一分析，即可得到答案. 【详解】对于A ，当r 越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故A 错误；对于B ，当0r >时，成对样本数据正相关，相关系数r 与符号ˆb相同，则ˆ0b >，故B 正确； 对于C ，当1n x x +=，1n y y +=时，将这组数据添加后，,x y 不变，故相关系数r 的表达式中的分子和分母均不变，故C 正确；对于D ，当1n x x +=，1n y y +=时，将这组数据添加后，,x y 不变，故线性回归方程中的斜率的表达式中的分子和分母均不变，所以ˆˆdb =，故D 正确； 综上所述，正确的有B 、C 、D. 故选：BCD.10. 已知(),,a b c a b c <<∈R ，且230a b c ++=，则（ ） A. 0<<a c B. ,a c ∃使得22250a c −= C. a c +可能大于0 D.212b c a c +<−+ 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，据已知条件变形即可证明；对于B ，根据已知得50a c +>，得05ac >−>，即可证明；对于C ，据已知条件变形即可证明；对于D ，将条件变形为()2a c b c +=−+，再利用0ca c<+即可证明结论.【详解】对于A ，由a b c <<及230a b c ++=， 得623230a a a a a b c =++<++=，所以a<0， 又023236a b c c c c c =++<++=，所以0c >，A 正确；对于B ，由a b c <<及230a b c ++=，得230a c c ++>，所以50a c +>，得05ac >−>， 所以2225a c >，得22250a c −<，B 错误； 对于C ，由abc <<及230a b c ++=，得33230a c a b c +<++=，所以0a c +<， C 错误.对于D ，由230a b c ++=，得()2a c b c +=−+，所以212b c b c c b c c ca c a c a c a c a c++++==+=−++++++. 因0a c +<，0c >，所以0ca c <+，所以212b c a c +<−+，D 正确. 故选：AD.11. 冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列{}12,,,n x x x …从左往右，依次对相邻两个元素{}()1,1,2,,1k k x x k n +=…−比较大小，若1k k x x +>，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列{}2,1,4,3进行冒泡排序，首先比较{}2,1，需要交换1次位置，得到新序列{}1,2,4,3，然后比较{}2,4，无需交换位置，最后比较{}4,3，又需要交换1次位置，得到新序列{}1,2,3,4最终完成了冒泡排序，同样地，序列{}1,4,2,3需要依次交换{}{}4,2,4,3完成冒泡排序.因此，{}2,1,4,3和{}1,4,2,3均是交换2次的序列.现在对任一个包含n 个不等实数的序列进行冒泡排序()3n ≥，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为n a ，只需要交换1次的序列个数为n b ，只需要交换2次的序列个数为n c ，则（ ） A. 序列{}2,7,1,8是需要交换3次的序列B. ()12n n n a −=为C. 1n b n =−D. 59c =【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，不妨设序列的n 个元素为1,2,3,n ，由题意可判断A 中序列交换次数；再根据等差数列前项和公式即可判断B ；得出只要交换1次的序列的特征即可判断C ；利用累加法求出通项公式即可判断D.【详解】对A ，序列{}2,7,1,8，比较{}2,7，无需交换位置，比较{}7,1，需要交换1次位置，得到新序列{}2,1,7,8，比较{}7,8，无需交换位置，最后比较{}2,1，需要交换1次位置，得到新序列{}1,2,7,8，完成冒泡排序，共需要交换2次，故A 错误；对B ，不妨设序列的n 个元素为1,2,3,n ，交换次数最多的序列为{},1,2,1n n − ， 将元素n 冒泡到最右侧，需交换次1n −次， 将元素n -1冒泡到最右侧，需交换次2n −次，，故共需要()()()()()1111122122n n n n n n −+−−−+−+++==，即最大交换次数()12n n n a −=，故正确；对C ，只要交换1次的序列是将{}1,2,3,n 中的任意相邻两个数字调换位置的序列，故有1n −个这样的序列，即1n b n =−，故C 正确；对D ，当n 个元素的序列顺序确定后，将元素n +1添加进原序列， 使得新序列（共n +1个元素）交换次数也是2， 则元素n +1在新序列的位置只能是最后三个位置， 若元素n +1在新序列的最后一个位置，则不会增加交换次数，故原序列交换次数为2（这样的序列有n c 个）， 若元素n +1在新序列的倒数第二个位置，则会增加1次交换， 故原序列交换次数为1（这样的序列有个1n b n =−）， 若元素n +1在新序列的倒数第三个位置，则会增加2次交换，故原序列交换次数为0（这样的序列有1个），因此，111n n n c c n c n ++−++，所以5432479c c c c =+=+=+，显然20c =， 所以59c =，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：在解与数列新定义相关的题目时，理解新定义是解决本题的关键.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若函数()()ln ,ex xf x f x =′为()f x 的导函数，则()1f ′的值为______. 【答案】1e##1e − 【解析】【分析】首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】因为()211e ln ln e e x x x x x x x f x −−==′， 所以()11ln1111e ef− ′ ==.故答案为：1e. 13. ()62x x y −+的展开式中53x y 的系数为______.（用数字作答） 【答案】60− 【解析】【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案.【详解】因为()25323··x y x x y =，而()62x x y −+表示6个因式相乘， 在6个因式中，有2个选2x ，1个x −，3个选y所以()62x x y −+的展开式中含有53x y 项为()()222133643C ?C ?C x x y −， 所以()62x x y −+中含有53x y 项的系数为()213643C ?C ?1?C 60−=−. 故答案为：60−.14. 设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且117(),(),()3412P A P B P AB AB ==+=，则()P A B =∣______. 【答案】13【解析】【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可.【详解】因为11(),()34P A P B ==，故()()23,34P A P B ==，因为,AB AB 互斥，所以()0P ABAB =， 所以()()()B P P A AB AB B P A ++=()()()()P B P AB P A P AB =−+−()21234P AB =+− ()11721212P AB =−=， 解得()16P AB =，所以()()()()()()11146|134P AB P B P AB P AB P B P B −−====. 故答案为：13.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合402x M x x−=≥ −，非空集合{123}N x m x m =−<<−∣，（1）若3m =时，求M N ∩；（2）是否存在实数m ，使得R x M ∈ 是R x N ∈ 必要不充分条件？若存在，求实数m 的取值范围；若不恶在，请说朋理由.【答案】（1）{23}∣∩=<<M N xx （2）存在，72m >的【解析】【分析】（1）由分式不等式化简{24}M xx =<≤∣，即可由交集的定义求解， （2）将问题转化为M ⫋N ，即可列不等式求解. 【小问1详解】 集合40{24}2x M xx x x−=≥=<≤ −∣当3m =时，非空集合{23}N x x −<<∣ {23}M N x x ∴∩=<<∣【小问2详解】假设存在实数m ，使得R x M ∈ 是R x N ∈ 的必要不充分条件，则R N ⫋R M ，即M ⫋N ，则�2mm −3>41−mm ≤2，解得72m >.故存在实数72m >，使得R x M ∈ 是R x N ∈ 的必要不充分条件. 16. 树人中学对某次高三学生的期末考试成绩进行统计，从全体考生中随机抽取48名学生的数学成绩()x 和物理成绩()y ，得到一些统计数据：484811115280,,6i i i i x y ===∑∑，其中,i i x y 分别表示这48名同学的数学成绩和物理成绩，1,2,,48,i y = 与x 的相关系数0.77r =. （1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）从概率统计规律看，本次考试该校高三学生的物理成绩ξ服从正态分布()2,N µσ，用样本平均数y作为µ的估计值，用样本方差2s 作为2σ的估计值.试求该校高三共1000名考生中，物理成绩位于区间()63.05,95.9的人数Z 的数学期望.附：①回归方程ˆˆˆy abx =+中：()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y b ay bx x x ==−−==−−∑∑②相关系数r =③若()2,N ηµσ，则()()0.68,220.95P P µσηµσµσηµσ−≤≤+≈−≤≤+≈④48221110.9548i i y y =−=≈∑ 【答案】（1）0.4227.8ˆyx +（2）815 【解析】【分析】（1）根据题意，利用公式，求得ˆ0.42b=，得到ˆ27.8a =，即可得到回归方程； （2）根据题意，得到()74,120N η∼，求得(63.0595.9)0.815P η<<=，结合正态分布()74,120Z N ∼，得到()815E Z =，即可求解.【小问1详解】解：由题中数据可得，48481111110,744848i i i i x x y y =====∑∑，由480.77x x y y r−−，可得60.770.411ˆ2b =×=， 可得8ˆ741100.4227.a=−×=，所以回归方程为0.4227.8ˆy x +.【小问2详解】解：由()48482222111174,1204848i i i i y s y y y y ====−=−=∑∑，所以()74,120N η∼， 10.95≈，所以(63.0584.95)0.68,(52.195.9)0.95P P ηη<<=<<=， 所以0.680.95(63.0595.9)0.8152P η+<<==， 因为()1000,0.815ZB ∼，所以()10000.815815E Z =×=， 所以物理成绩位于区间()63.05,95.95的人数Z 的数学期望为815.17. 已知等差数列{}n a 的前n 项利为25,6,45n S a S ==，数列{}n b 的前n 项和为()1312nnT =−. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足20,21,N ,2,N n n n k k c b n k k ∗∗ =−∈ = =∈ ，求()*1222121n n n a c a c a c n −+++∈N . 【答案】（1）3n a n =，13n n b −=（2）1333n n +−− 【解析】【分析】（1）设出公差，由等差数列通项公式和求和公式基本量计算得到方程，求出首项和公差，得到通项公式，再利用11,1,2n nn S n b S S n −= = −≥ 求出{}n b 的通项公式；（2）变形得到()11222121333213nn n n n a c a c a c n −−+++=+⋅++− ，错位相减法求和，【小问1详解】设{}n a 的公差为d ，由题设得11651045a d a d +=+= ，解得13,3a d ==，所以3n a n =， 当2n ≥时，11113,1n n n n b T T b T −−=−===，也符合上式，所以13n n b −=；【小问2详解】20,21,N ,2,N n n n k k c b n k k ∗∗ =−∈= =∈ ， ()1222121113090321n n n n n a c a c a c b b n b −−+++=+++++−()()113321n n b b n b −=+++− ()1333213n n n −+⋅++− ，记()1333213nn W n −+⋅++− ①，则()()121333233213n n W n n −−=+⋅++−+− ②，②-①得，()()()11613232323213212322313n n n n n W n n n −−−=+⋅++⋅−−=+−−=⋅−−− ，故1333n W n +−−，所以11222121333n n n n a c a c a c n +−+++=−−18. （1）如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次向左或向右移动一个单位的概率都为12，设移动n 次后质点位于位置n X .（i ）求随机变量4X 的概率分布列及()4E X ； （ii ）求()n E X ；（2）若轨道上只有0,1,2,n …这1n +个位置，质点向左或右移动一个单位的概率都为12，若在0处，则只能向右移动；现有一个质点从0出发，求它首次移动到n 的次数的期望.【答案】（1）（i ）分布列见解析，0；（ii ）0；（2）2n . 【解析】【分析】（1）由题意分析出随机变量4X 可能取值，根据独立重复试验概率公式计算相应的概率，从而得出分布列；质点向右移动的次数设为随机变量Y ，则Y 服从二项分布，则随机变量n X 可以用Y 表示，从而求得()n E X ；（2）根据题意先设首次从k 到n 的步数期望为k a ，从而得出101221+−=+=+−k k a a a k k a ，再由1(21)−=+∑n k k 求和，由0na=可得20a n =.【详解】（1）（i ）4X 可能取值为4,2,0,2,4−−，()44114216P X =−==， ()131441112C 224P X =−==，.()222441130C 228P X ===， ()313441112C 224P X ===，()44114216P X ===， 所以随机变量4X 的分布列为：()()()4113114202401648416E X ∴=×−+×−+×+×+×=； （ii ）设质点n 次移动中向右移动的次数为Y ，显然每移动一次的概率为12，则1,2Y B n∼， ()2n X Y n Y Y n =−−=−，所以()()12202n E X E Y n n n =−=××−=.（2）设首次从k 到n 的步数期望为k a ，则有()()11111122k k k a a a +−=+++，所以112k k k k a a a a +−−=−+，可得1012k k a a k a a +−=+−.又小球在0处，只能向前移动到1，则有011a a −=， 所以1200(21)n n k a a k n −=−=+=∑，又有0n a =，则20a n =.【点睛】关键点点睛：（1）关键是分析出该问题属于独立重复试验，分析求解即可；（2）关键是设首次从k 到n 的步数期望为k a ，从而构造出1012k k a a k a a +−=+−，分析出011a a −=且0n a =，即可求解. 19. 已知函数()1ex x f x +=. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明()0,x ∈+∞时，12e e ln x x x x f x x −− −≥⋅；（3）若对于任意的()0,x ∈+∞，关于x 的不等式22e 2ln x mx x x x −≥−−恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）增区间为(),0∞−，减区间为[)0,∞+ （2）证明见解析 （3）1,2−∞【解析】【分析】（1）求出导函数，再根据导函数正负求出单调区间即可;（2）证明不等式转化为等价条件，同构为一个函数再根据函数单调性证明.； （3）分类情况讨论转化恒成立问题求参. 【小问1详解】()()()2e 1e e ex x x x x x f x −+−==′， 当0x <时，()0f x ′>；当0x >时，()0f x ′<，()f x ∴的增区间为(),0∞−，减区间为[)0,∞+.【小问2详解】令1ln (0)t x x x =−−>，111x t x x−′=−=， 当01x <<时，0t ′<；当1x >0t ′>，∴当1x =时，min 00t t =∴≥即1ln 0x x −−≥，原不等式等价于2e 1e x tt f x − +≥⋅ ()2e x f t f x −⇔≥，()f x 为()0,∞+上的减函数，2e 0,0x t x−≥>，∴只需证明2e x t x−≤即2ln 2e 1ln e x x x x x x −−−−−≤=1e t t −⇐≤， 令()()()11e 01e t t g t t t g t −−=−≥=−′， 当01t ≤≤时，()0g t ′>，当1t >时，()0g t ′<，()()1min ()100e t g t g g t t −∴==∴≤∴≤∴原不等式成立.【小问3详解】当12m ≤时，由（2）知2e 1ln x x x x −≥−−又0x >，22e ln x x x x x −∴≥−−22ln mx x x x ≥−−，∴原不等式在()0,∞+上恒成立.当12m >时，令()()2ln 110x x x ϕϕ=−−=−< . ()422ln20ϕ=−>，()x ϕ∴在()1,4内必有零点，设为0x ，则002ln x x −=，020e x x −∴=， ()020*******e 12ln 122120x x ax x ax x a x x x −∴+−+=+−+−=−<，0220000e 2ln 0x ax x x x −∴−++<，而0220000e 2ln x ax x x x −<−−，综上所述实数m 的取值范围是1,2−∞.【点睛】方法点睛：证明不等式转化为等价条件，同构为一个函数再根据函数单调性证明.。

2023-2024学年济南市高二数学上学期期末质量检测试卷2024年1月全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线10x y -+=的倾斜角是（）A．30︒B．45︒C．60︒D．120︒2．已知双曲线2212y x -=，则其渐近线方程为（）A．12y x=±B．y x =C．y =D．2y x=±3．已知正项等比数列{}n a 中，2816⋅=a a ，则5a 等于（）A．2B．4C．5D．84．在三棱柱111ABC A B C -中，若AC a = ，AB b = ，1AA c =，则1CB = （）A．a b c +-r r r B．a b c-+r r rC．a b c -+- D．a b c-++5．2023年10月29日，“济南泉城马拉松”在济南大明湖路拉开序幕，约3万名选手共聚一堂，在金秋十月享受了一场酣畅淋漓的马拉松盛会．某赞助商在沿途设置了10个饮水补给站，第一个补给站准备了1千瓶饮用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二站多3千瓶，以此类推，第n 站比第n 1-站多n 千瓶（2n ≥且*N n ∈），第10站准备的饮用水的数量为（）A．45千瓶B．50千瓶C．55千瓶D．60千瓶6．已知(2,0)A ，(8,0)B ，若直线y kx =上存在点M 使得0AM BM ⋅=，则实数k 的取值范围为（）A．33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．44,33⎡⎤-⎢⎣⎦C．33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D．44,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，其中A、2F 分别为双曲线的左顶点、右焦点，P 为双曲线上的点，满足2PF 垂直于x 轴且222AF PF =，则双曲线的离心率为（）A．32B．43C．2D．38．如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P 为直线DE 上的动点，则P 到直线AB 距离的最小值为（）A．22B．63C．74D．105二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．一条光线从点(2,3)A -射出，射向点(1,0)B ，经x 轴反射后过点(,1)C a ，则下列结论正确的是（）A．直线AB 的斜率是1-B．AB BC⊥C．3a =D．||||AB BC +=10．已知1F ，2F 分别是椭圆22:12516x y C +=的左，右焦点，P 为椭圆C 上异于长轴端点A，B 的动点，则下列结论正确的是（）A．椭圆C 的焦距为6B．12PF F △的周长为16C．128PF ≤≤D．12PF F △的面积的最大值为1611．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P，Q 分别满足111D P D B λ= ，1DQ DA λ= ，则（）A．()0,1λ∃∈，使1PQ A D ⊥且11PQ B D ⊥B．()0,1λ∀∈，//PQ 平面11ABB A C．()0,1λ∃∈，使PQ 与平面ABCD 所成角的正切值为23D．()0,1λ∀∈，BP 与AQ 是异面直线12．已知集合{}*21,A x x n n ==-∈N ，{}*32,B x x n n ==-∈N ．将A B ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（）A．23a =B．46n n a a +-=C．20233035a =D．若2024n S >，则52n ≥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知(2,1,1)a = ，(6,,3)b λ=-- ，若a b ∥ ，则λ的值为．14．已知等差数列{}n a 首项17a =，公差2d =-，则前n 项和n S 的最大值为．15．已知圆22:4C x y +=，直线:10l mx y m +--=，直线l 被圆C 截得的最短弦长为．16．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F，过点F 作与x 轴不垂直的直线l 交C 于点A，B，过点A 做垂直于x 轴的直线交C 于点D，若点M 是ABD △的外心，则||||AB MF 的值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{}n a ，满足25215a a +=，47a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令(1)nn n b a =-，求{}n b的前2n 项和2n T ．18．已知圆心为C 的圆经过()0,0O，(0,A 两点，且圆心C在直线:l y =上．(1)求圆C 的标准方程；(2)点P 在圆C 上运动，求22PO PA+的取值范围．19．已知抛物线的准线方程为2x =-，直线l 与抛物线交于,A B 两点，O 为坐标原点．(1)若OAB 为等腰直角三角形，求OAB 的面积；(2)若OA OB ⊥，证明：直线l 过定点P，并求出定点P 的坐标．20．如图（1）所示PAB 中，AP AB ⊥，12AB AP ==．,D C 分别为,PA PB 中点．将PDC △沿DC 向平面ABCD上方翻折至图（2）所示的位置，使得PA =．连接,,PA PB PC 得到四棱锥P ABCD -．记PB 的中点为N ，连接CN ．(1)证明：CN ⊥平面PAB ；(2)点Q 在线段CN 上且2QC QN =，连接,AQ PQ ，求平面PAQ 与平面ABCD 的夹角的余弦值．21．设数列{}n a ，其前n 项和为n S ，2233n S n n =+，{}n b 为单调递增的等比数列，123729b b b =，1236b a b a +=-．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)记mc 为{}n b 在区间(]()*0,m a m ∈N 中的项的个数，求数列{}m c 的前100项和100T．22．在平面直角坐标系．xOy 中，设1A ，2A 两点的坐标分别为(2,0)-，(2,0)．直线1A M，2A M相交于点M，且它们的斜率之积是12-．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)记动点M 的轨迹为曲线E，过(1,0)P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l与曲线E 交于A、B 两点，2l 与曲线E 交于C、D 两点，求AC BD ⋅ 的最大值．1．B【分析】根据直线的一般方程与斜率的关系，结合斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】直线10x y -+=的斜率为1，故倾斜角为45︒.故选：B 2．C【分析】利用双曲线方程，求解渐近线方程即可．【详解】由于双曲线为2212y x -=，所以其渐近线方程为2y =±.故选：C.3．B【分析】根据等比中项的性质计算即可.【详解】由题意易知228516a a a ⋅==，又{}n a 各项为正数，所以54a =.故选：B4．D【分析】利用空间向量的线性运算计算即可.【详解】由题可知111CB CC CB AA AB AC a b c =+=+-=-++ .故选：D5．C【分析】设第n 站的饮用水的数量为n a (1,2,3,,10)n = ，由题意得：11a =，212a a -=，323a a -=，L，10910a a -=，然后利用累加法即可求解.【详解】设第n 站的饮用水的数量为n a (1,2,3,,10)n = ，由题意得：11a =，212a a -=，323a a -=，L ，10910a a -=，以上等式相加得：，()()()()10121321091101012310552a a a a a a a a +⨯=+-+-++-=++++== ，即1055a =.故选：C6．A【分析】由题可得点M 的轨迹方程，再由直线与圆有公共点建立不等式，求解即可.【详解】因为0AM BM ⋅=，所以AM BM ⊥，则点M 在以AB 为直径的圆上，因为AB 的中点坐标为(5,0)，6AB =，所以点M 的轨迹方程为22(5)9x y -+=，由题可知，直线y kx =与圆22(5)9x y -+=3≤，解得：3344k -≤≤.故选：C7．A 【分析】设()0,P c y ，代入双曲线方程求出y ，根据222AF PF =可得答案.【详解】设()0,P c y ，则220221y c a b -=，解得20b y a =，即22b PF a =，2AF a c =+，因为222AF PF =，所以22+=b a c a ，可得()2222a ac c a +=-，2230e e --=，解得32e =.故选：A.8．B【分析】作出该几何体，确定直线DE 和直线AB 为异面直线，再根据平面ABC //平面DEF ，结合等体积法求得D 到平面ABC 的距离即可.【详解】把平面展开图还原为空间八面体，如图所示：由题意，P 到直线AB 距离的最小值即直线DF 到直线AB 的距离，又DF //AC ，AC ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，故DF //平面ABC .又1BC BD EC ED ====，故四边形BCED 为菱形，则DE //BC .BC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，故DE //平面ABC .又DF DE D = ，,DF DE ⊂平面DEF ，故平面DEF //平面ABC .故直线DF 到直线AB 的距离为平面DEF 到平面ABC 的距离.则D 到平面ABC 的距离即为P 到直线AB 距离的最小值.设AF 与CD 交于O ，则易得O 为正四棱锥B ADFC -中心.则1BA BC BD AC AD =====，CD ===，故BCD △为直角三角形，故2OB =.设D 到平面ABC 的距离为h ，则由B ACDD ABC V V --=，故1133ACD ABC S BO S h ⋅=⋅ ，故12311224h ⨯⨯⨯=，解得h =.故选：B9．ABD【分析】选项A 应用斜率公式计算即可；选项B，先求得点A 关于x 轴的对称点，进而求得反射光线所在直线的斜率，应用两条直线垂直的斜率公式判断即可；选项C，求得反射光线所在直线的方程，进而求得点C 的坐标；选项D 应用两点间距离公式求解即可.【详解】由于(2,3)A -、(1,0)B ，由斜率公式得：0311(2)AB k -==---，选项A 正确；点(2,3)A -关于x 轴的对称点1A 的坐标为(2,3)--，经x 轴反射后直线BC 的斜率为：10(3)11(2)BC A B k k --===--，且1BC AB k k ⋅=-，所以AB BC ⊥，选项B 正确；直线BC 即直线1A B的方程为：01(1)y x -=⨯-，即1y x =-，将1y =代入得：2x =，所以点(2,1)C ，2a =，选项C 不正确；由两点间距离公式得：||||AB BC +=选项D 正确；故选：ABD.10．AB【分析】由椭圆方程求得a ，b ，c 的值，根据椭圆的几何性质结合选项即可逐一求解.【详解】由椭圆22:12516x y C +=，得5a =，4b =，3c =，∴椭圆C 的焦距为26c =，故A 正确；又P 为椭圆C 上异于长轴端点A ，B 的动点，∴△12PF F 的周长为2216a c +=，故B 正确；12||8a c PF a c =-<<+=，故C 错误；当P 为椭圆C 的短轴的一个端点时，△12PF F 的面积取最大值为12122c b bc ⨯⨯==，故D 错误．故选：AB．11．BCD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一计算判定选项即可.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意可知()()()()()()11,,1,,0,,1,0,1,0,0,1,1,1,0,1,0,0P Q A D B A λλλλ，则()()()()10,,1,1,0,1,1,1,1,1,0,PQ DA BP AQ λλλλλλ=--==--=-，平面11ABB A 的一个法向量为()1,0,0m = ，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n = ，对于A，若1PQ A D⊥，则()()10,,11,0,110PQ DA λλλ⋅=--⋅=-=()10,1λ⇒=∉，故A 错误；对于B，易知()()0,,11,0,00PQ m λλ⋅=--⋅=恒成立，且PQ ⊄平面11ABB A ，则//PQ 平面11ABB A ，故B 正确；对于C，设PQ 与平面ABCD 所成角为π0,2αα⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，若2tan sin 3αα=⇒=，即sin cos ,PQ nPQ n PQ nα⋅====⋅，解之得35λ=或3λ=，显然()0,1λ∃∈，使得结论成立，故C 正确；对于D，因为()()1,1,1,1,0,BP AQ λλλλ=--=-，若,BP AQ 共线，则存在实数k ，使得()11101k BP k AQ k k λλλλ⎧-=-⎪=⇒-=⨯⎨⎪=⎩ ，解得()10,1λ=∉，所以()0,1λ∀∈，,BP AQ不共线，故D 正确.故选：BCD12．ABD【分析】求得,A B A B 中的一些元素，结合等差数列的定义、通项公式、求和公式，对选项逐一判断即可.【详解】由题意可得：{}*65,A B x x n n ⋂==-∈N ,可得{}1,3,4,5,7,9,10,11,13,15,16,17,19,A B ⋃= ，则123456781,3,4,5,7,9,10,11,,a a a a a a a a ======== 对于选项A:易得23a =，故A 正确；对于选项B:易得46n n a a +-=，故B 正确；对于选项C:由46n n a a +-=，可得202335056430303034a a =+⨯=+=，故C 错误；对于选项D:易得数列{}n a 每隔四个一组求和，可构成等差数列，其首项为13，公差为24，由11312121124107020242⨯+⨯⨯⨯=<，11313131224204120242⨯+⨯⨯⨯=>，则2024n S >，此时有52n ≥，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：关键是通过123456781,3,4,5,7,9,10,11,,a a a a a a a a ======== 找到46n n a a +-=，由此借助等差数列的相关知识，进而求解即可.13．3-【分析】根据向量共线即可求解.【详解】由(2,1,1)a = ，(6,,3)b λ=-- ，a b ∥ ，可得3b a =-r r ，故3λ=-，故答案为：3-14．16【分析】利用等差数列前n 项和公式和,结合二次函数的性质即可求解．【详解】等差数列{}n a 首项17a =，公差2d =-，22(1)7(2)8(4)162n n n S n n n n -∴=+⨯-=-+=--+．则前n 项和nS 的最大值为16．故答案为：16．15．【分析】先求出直线l 过定点()1,1A ，数形结合得到当AC 与故直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，求出最短弦长.【详解】:10l mx y m +--=变形为()110m x y -+-=，故直线l 过定点()1,1A ，故当AC 与故直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，其中22:4C x y +=的圆心为()0,0C ，半径为2，此时弦长为=.故答案为：16．2【分析】设直线():10l x my m =+≠，联立方程，利用韦达定理求AB以及点M 的坐标，即可得结果.【详解】由题意可知：抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F ，可知直线l 与抛物线必相交，设直线():10l x my m =+≠，()()1122,,,A x y B x y ，可得()11,A x y -，联立方程241x xy y m =+=⎧⎨⎩，消去x 得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，可得()241AB m =+，1222y y m +=，且212212x x m +=+，即线段AB 的中点()221,2m m +，则线段AB 的中垂线方程为()2221y m m x m -=---，由题意可知：点M 在x 轴上，令0y =，可得223x m =+，即()223,0M m +，则()221MF m =+，所以()()2241221m AB MF m +==+.故答案为：2.【点睛】方法点睛：对于弦中点问题常用“根与系数的关系”求解，在使用根与系数的关系时，在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线斜率是否存在．17．(1)21n a n =-(2)22n T n=【分析】（1）由题意得()111241537a d a d a d ⎧+++=⎪⎨+=⎪⎩，代入等差数列通项公式即可求解；（2）由(1)(21)n n b n =--，代入求和即可.【详解】（1）由已知，得()111241537a d a d a d ⎧+++=⎪⎨+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，故21n a n =-（2）由（1）得(1)(21)nn b n =--，所以122122(1)(41)(1)(43)41(43)2n n n n b b n n n n --=--+--=--+-=，得21234212()()()2n n n T b b b b b b n-=++++++= ．18．(1)()(2214x y -+=(2)[]8,24【分析】（1）利用圆的对称性先确定圆心，再求半径即可；（2）设P 坐标，利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可.【详解】（1）圆经过()0,0O，(0,A 两点，得圆心在OA的中垂线y =又圆心C在直线:l y =上，联立直线方程有y y ⎧⎪⎨⎪⎩，得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即圆心坐标为(C ，又224r CO ==，故圆C 的标准方程为()(2214x y -+=．（2）设()00,P x y ，易知[]01,3x ∈-，则((22222222000000226PO PA x y x y x y +=+++-=++（*），因为点P 在圆C 上运动，则()(220014x y -+=，故（*）式可化简为，()2222000||||22416412PO PA x x x ⎡⎤+=+--+=+⎣⎦，由[]01,3x ∈-得22PO PA+的取值范围为[]8,24．19．(1)64(2)证明见解析，(8,0)P 【分析】（1）先根据准线方程求得抛物线方程，再由抛物线及等腰直角三角形的对称性得AOB 90∠=，OA OB =，从而求得,A B 坐标计算面积即可；（2）设直线l 方程及,A B 坐标，与抛物线方程联立，由垂直关系及韦达定理计算即可.【详解】（1）因为抛物线的准线为2x =-，可得抛物线的方程为：28y x =，又AOB 为等腰直角三角形，根据抛物线及等腰直角三角形的对称性可知：AOB 90∠=，OA OB =，且,A B 两点关于横轴对称，则直线:OA y x =．于是28y x y x =⎧⎨=⎩得()8,8A ，则()8,8B -，所以()1888642OAB S =⨯⨯+= ．（2）设直线:l x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立28x my n y x =+⎧⎨=⎩，得2880y my n --=，264320m n +∆=>，且128y y m +=，128y y n ⋅=-又因为OA OB ⊥，则12121OA OB y y k k x x ⋅==-，即12120y y x x +=．由28y x =，得2118y x =，2228y x =，222121264y y x x n ==，即2121280y y x x n n +=-=，解得8n =或0n =（舍去）．当8n =时，满足0∆>．此时，直线l 的方程8x my =+．则l 过定点(8,0)P ．20．(1)证明见解析(2)31919【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角.【详解】（1）取AB 中点M，连接NM，CM．则//,CD AM CD AM =，即四边形AMCD 为平行四边形，所以CM AD ∥，又因为AB AD ⊥，所以AB CM ⊥，由PD CD ⊥，CD AB ∥，即AB PD ⊥，又AB AD ⊥，=PD AD D ⋂，,PD AD ⊂平面PAD ,所以AB ⊥平面PAD ，又AP ⊂平面PAD ，故AB AP ⊥，又因为NM AP ∥，则AB NM ⊥，又NM CM M = ，,NM CM ⊂平面NCM所以AB ⊥平面NCM ，又CN ⊂平面NCM ，所以CN AB ⊥，又在PCD 中，6PD CD ==且PD CD ⊥，在BCM 中，6CM BM ==且⊥CM BM ，则PC BC ==N 为PB 中点，所以CN PB ⊥，又AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ,所以CN ⊥平面PAB ．（2）由6PD AD ==，AP =222PD AD AP +=，即PD AD ⊥，又PD CD ⊥，AD CD ⊥，故以D 为坐标原点，以,,DA DC DP 所在直线x 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,6)P ，(0,0,0)D ，(0,6,0)C ，(6,0,0)A ，(6,12,0)B ，(3,6,3)N ，故(3,0,3)CN = ，(6,0,6)PA =- ，因为2(2,0,2)3CQ CN ==，所以(2,6,2)Q ，(2,6,4)PQ =-，设平面PAQ 的法向量()1111,,n x y z =，平面ABCD 的法向量()2222,,n x y z =，则111116602640PA n x z PQ n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取13x =，解得1(3,1,3)n = ，易知DP ⊥平面ABCD ，即2(0,0,1)n =，所以12319cos ,19n n ==，所以平面PAQ 与平面ABCD的夹角的余弦值为．21．(1)3n a n=，()*3n n b n =∈N (2)384【分析】（1）根据,n na S 的关系即可求解3n a n=，根据等比数列基本量的计算即可求解()*3n n b n =∈N ，（2）利用列举法即可逐一求解{}m c 的前100项，即可求和得解.【详解】（1）对于数列{}n a ，因为2233n S n n =+①，所以2123(1)3(1)n S n n -=-+-，2n ≥，*n ∈N ②-①②得()*32,n a n n n =≥∈N由①式，当1n =时，得13a =，也满足3n a n=，所以()*3n a n n =∈N ．因为数列{}n b 为等比数列，由等比数列的性质得31232729b b b b ==，得29b =，设数列{}n b 的公比为q ，又因为26a =，618=a ，所以1236b a b a +=-即96918q q +=-，解得3q =或13-，又因为{}n b为单调递增的等比数列，所以3q =，所以()*3n n b n =∈N （2）由于133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，所以1c ，2c 对应的区间为(0,3]，(0,6]，则121c c ==，即有2个1；3c ，4c ，…,8c 对应的区间为(0,9]，(0,12]，…,(0,24]，则3482c c c ==⋅⋅⋅==，即有6个2；9c ，10c ，…,26c 对应的区间为(0,27]，(0,30]，…,(0,78]，则910263c c c ==⋅⋅⋅==，即有18个3；27c ，28c ，…,80c 对应的区间为(0,81]，(0,84]，…,(0,240]，则2728804c c c ==⋅⋅⋅==，即有54个4；81c ，82c ，…,100c 对应的区间为(0,243]，(0,246]，…,(0,300]，则81821005c c c ==⋅⋅⋅==，即有20个5；所以1001226318454520384T =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22．(1)221(0)42x y y +=≠(2)4-【分析】（1）设出点M 的坐标为(,)x y ，根据斜率之积得到方程，求出轨迹方程，注意0y ≠；（2）设1:(1)l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，设()33,C x y ，()44,D x y，同理得到两根之和，两根之积，根据直线1l ，2l 相互垂直，得到()()()222291212k AC BD kk -+⋅=++，利用基本不等式求出最大值.【详解】（1）设点M 的坐标为(,)x y ，因为直线1A M ，2A M的斜率之积是12-，所以1222y y x x ⋅=-+-，所以22142x y +=，因为点M 与1A ，2A 两点不重合，所以点M 的轨迹方程为221(0)42x y y +=≠．（2）显然直线1l，2l 的斜率都存在且不为0，设1:(1)l y k x =-，21:(1)l y x k =--，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立22142(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2222214240k x k x k +-+=-，显然()()4222164212424160k k k k ∆=-+-=+>，所以212221224212421k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以()()()2222221121212222224431111212121k k k y y k x x k x x x x k k k k ⎣⎛⎫ -⎪--=--=-++=+=⎡⎭⎦⎝⎤+++，同理23422223422234221442121124242121133,2121k x x k k k k x x k k k y y k k ⎧⎛⎫-⎪⎪⎝⎭⎪+==⎪+⎛⎫-+⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪-- ⎪-⎪⎝⎭==⎨+⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-- ⎪⎪-⎝⎭⎪==+⎪⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎩，因为直线1l ，2l 相互垂直，所以0AP PD PC BP ⋅=⋅=，所以()()AC BD AP PC BP PD AP BP PC PD ⋅=+⋅+=⋅+⋅()()()()121234341111x x y y x x y y =--++--+()()12121234343411x x x x y y x x x x y y =-++++-+++22222222222443244311212121222k k k k k k k k k k ----=-+++-++++++++22223333212k k k k ----=+++，则()()()()()()222222222911942122122k kAC BD k k k k -++⋅=≤-=-++⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当且仅当22212k k +=+，即1k =±时取得等号，所以AC BD ⋅的最大值为4-．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．。

长郡中学2024年高二暑假作业检测试卷数学得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“对任意，”的否定为A ．对任意， B ．存在，C ．对任意，D ．存在，2．已知，，则A ． B ．C ．D ．3．已知，则A ．2B ．C ．4D ．★4．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在（-∞，0]上单调递增，若对任意的，不等式恒成立，则a 的取值范围是A ．B ．C ．（-2，2） D ．（-∞，-2）∪（2，＋∞）5．已知，，则A．B ．C ．D ．★6．若函数有两个零点，则实数m 的取值范围是A ．（-1，2）B ．（-1，1）C ．（0，1）D ．（-1，0）7．如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A 点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B 点，最短路线长度为x ∈R 2240x x -+≤x ∈R 2240x x -+≥0x ∈R 200240x x -+>x ∉R 2240x x -+≥0x ∉R 200240x x -+>{}|43A x x =-≤≤(){}|lg 10B x x =->A B = {}|42x x -<≤{}|42x x -≤≤{}|23x x <<{}|23x x <≤3i1iz +=-|1|z +=x ∈R ()()21f ax f x >+11,22⎛⎫-⎪⎝⎭11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1tan 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭()2tan 5αβ+=πtan 4β⎛⎫+=⎪⎝⎭3221318161322()|e 1|xf x m =-+12PA =23AB AP =A ．B ．16C ．D ．128．在△ABC 中，，O 是△ABC 的外心，M 为BC 的中点，，N 是直线OM 上异于M ，O 两点的任意一点，则A ．3B ．6C ．7D ．9二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知事件A ，B 发生的概率分别为，，则A ．若，则事件与B 相互独立 B ．若A 与B 相互独立，则C ．若A 与B 互斥，则 D ．若B 发生时A10．，，若在上的投影向量为，则A ． B ． C ． D ．11．已知，，且，则A ． B ．C ．的最大值为2D ．选择题答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知函数则________．AC =8AB AO ⋅=AN BC ⋅=()13P A =()16P B =()19P AB =A ()49P A B = ()49P A B =(),1a λ= ()1,1b =-a b b 3λ=a b P ()a ab ⊥- ||a b -=1x >1y >4xy =45x y +<≤220log log 1x y <⋅≤2log yx21log log 2x x y -+<≤()()3,0,2,0,x x f x f x x ⎧>⎪=⎨+⎪⎩≤31log 16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭13．一组数据42，38，45，43，41，47，44，46的第75百分位数是________．★14．直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，，则此球的表面积等于________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）★15．（13分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，．（1）求△ABC 的面积；（2）若b ．16．（15分）已知函数，．（1）解不等式；（2）若对任意的恒成立，求m 的取值范围．★17．（15分）如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是菱形，，，E 为AD 的中点，点F 在PA 上，．（1）证明：；（2）若，且PD 与平面ABCD 所成的角为45°，求平面AEF 与平面BEF 夹角的余弦值．18．（17分）已知函数f （x ）满足：，，且当时，，函数．（1）求实数m 的值；111ABC A B C -1AB =12AC AA ==2π3BAC ∠=1S 2S 3S 123S S S -+=1sin 3B=sin sin A C =()πcos 1224x x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()sin 2g x x =()1f x ≥()()mf x g x ≤π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦PBC ABCD ⊥平面平面30ACD ∠=︒3AP AF =PC BEF 平面P PDC PDB ∠=∠x ∀∈R ()()132f x f x +=-[]0,3x ∈()2f x x x m =--+()()21xg x =-（2）若，且，求x 的取值范围；（3）已知，其中，是否存在实数λ，使得恒成立？若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．19．（17分）设整数集合，其中，且对任意i ，j （），若，则．（1）请写出一个满足条件的集合A ；（2）证明：对任意，；（3）若，求满足条件的集合A 的个数．长郡中学2024年高二暑假作业检测试卷数学参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案BDBCADCBABADABC8．B 【解析】因为O 是△ABC 的外心，M 为BC 的中点，设AC 的中点为D ，连接OD ，所以，，设，则，又O 是△ABC 的外心，所以，所以．故选B ．(0,3]x ∈()()0g x f x ->()223h x x x λλ=-+-+[]0,1x ∈()()()()g h x f h x >{}12100,,,A a a a = 121001205a a a <<< ≤≤1100i j ≤≤≤i j A +∈i j a a A +∈{}101,102,,200x ∈ x A ∉100205a =OM BC ⊥OD AC ⊥ON OM λ= ()AN BC AO ON BC AO BC OM BCλ⋅=+⋅=⋅+⋅ ()AO BC AO BA AC=⋅=⋅+AO BA AO AC AO AB AO AC =⋅+⋅=-⋅+⋅ ()(2211||||cos ||cos ||||1422AO AC AO AC CAO AO CAO AC AC ⋅=⋅∠=∠⋅==⨯= 8146AN BC AO AB AO AC ⋅=-⋅+⋅=-+=11．ABC 【解析】因为，所以，因为所以，对于A ，，令，，由双勾函数的性质可得函数f （x ）在（1，2）上单调递减，在（2，4）上单调递增，所以，又，，所以，即，故A 正确；对于B ，，由，得，所以，即，故B 正确；对于C ，令，则，即，即，则，由，得，所以当时，lg k 取得最大值lg2，所以k 的最大值为2，即的最大值为2，故C 正确；对于D ，，令，，则，4xy =4y x=1,41,x y x >⎧⎪⎨=>⎪⎩14x <<4x y x x +=+()4f x x x=+14x <<()()min 24f x f ==()15f =()45f =()[4,5)f x ∈45x y +<≤()()222222224log log log log log 2log log 11x y x x x x x⋅=⋅=⋅-=--+14x <<20log 2x <<()220log 111x <--+≤220log log 1x y <⋅≤2log yxk =224log log log x y k x==4lglg lg 2lg k x x =2lg 2lg lg lg 2lg x kx -=()()()22lg 2lg 2lg lg lg 2lg 2lg lg 2lg 2x x x k -+⋅--+==14x <<0lg 2lg 2x <<lg lg 2x =2log yx2224log log log log log 2log 21x xx x y x x x+=+=+-2log t x ∈()0,2t ∈1log 2x t=则，令，，由双勾函数的性质可得函数g （t ）在上单调递减，在上单调递增所以，当x →0时，g （t ）→＋∞，所以，即，故D 错误．故选ABC ．三、填空题12．13．45.5 14．四、解答题15．【解析】（1）由题意得，，，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，所以，即，则．（2）由正弦定理得，则，222log log log 2log 211x xx y x t t+=+-=+-()21g t t t=+-()0,2t ∈()2()min 1g t g==()1,)g t ∈-+∞2log log 1x x y +≥811640π322112S a =⋅=22S =23S =222123S S S a -+=-+=2222a c b +-=222cos 2a c b B ac+-=cos 1ac B =cos 0B >1sin 3B =cos B ==1cos ac B ==1sin 2ABC S ac B ==△sin sin sin b a cB A C==229sin sin sin sin sin 4b a c ac B A C A C =⋅===则，所以．16．【解析】（1）依题意，，由，得则，，解得，，所以不等式的解集为（）．（2）由，得，由，得，令，，原不等式化为，即，显然函数在上单调递增，则当时，，因此，所以m 的取值范围为．17．【解析】（1）设AC ，BE 的交点为O ，连接FO ，易知O 为△ABD 的重心，所以，而，所以在△APC 中，，所以，又，，所以．（2）因为，所以，所以△DCB 为等边三角形，所以，又因为，所以，所以，取BC 的中点为H ，连接PH ，则，3sin 2b B =31sin 22b B ==()212sin cos 12sin 222222x x x x x x f x ⎫=-+=+-⎪⎪⎭πsin cos 4x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()1f x ≥πsin 4x ⎛⎫+⎪⎝⎭ππ3π2π2π444k x k +++≤≤k ∈Z π2π2π2k x k +≤≤k ∈Z ()1f x ≥π2π,2π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦k ∈Z ()()mf x g x ≤()sin cos sin 2m x x x +≤π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πππ442x +≤≤πsin 14x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭2sin 22sin cos 1x x x t ==-21mt t -≤211t mt t t t-=-≤1y t t =-1t =min 0y =0m ≤0m ≤12AO OC =12AF FP =12AO AF OC FP ==FO PC P FO BEF ⊂平面PC BEF ⊄平面PCBEF 平面P 30ACD ∠=︒30ACB ∠=︒DC DB =PDC PDB ∠=∠PDB PDC △≌△PB PC =PH BC ⊥因为，，所以，以H 为坐标原点，HD ，HB ，HP 为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为PD 与平面ABCD 所成的角为，所以，设菱形ABCD 的边长为2，则，B （0，1，0），，，，因为，所以，，，，设平面AEF 的法向量为，则令，，，所以，设平面BEF 的法向量为，则令，，所以，则PBC ABCD ⊥平面平面PBC ABCD BC = 平面平面PH ABCD ⊥平面45PDH ∠=︒PH DH =PH DH ==(P )2,0A )D)E3AP AF = 43F 13EF ⎛= ⎝ ()0,1,0AE =-)BE =(),,n x y z =0,0,10,03y n AE x y z n EF -=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨++=⋅=⎪⎪⎩⎩ 1x =0y =1z =()1,0,1n =()222,,m x y z =22220,0,100,3m BE m EF x y z =⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩ 2y =20x =21z =-()1m =-cos ,||||m n m n m n ⋅==所以平面AEF 与平面BEF．18．【解析】（1）由题意得，即，解得．（2）时，，即，令，定义域为，可以看出，又在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故的解集为（2，3]．（3）的定义域为（0，＋∞），要使恒成立，首先满足在上恒成立，由于开口向下，只需解得，此时，故当时，对任意时恒成立，令，则恒成立，即恒成立，由（2）可知，的解集为（2，3]，故只需解得，综上，存在满足条件．19．【解析】（1）答案不唯一．如．()()1302f f =-21332m m --+=-8m =(0,3]x ∈()()0g x f x ->()22180xx x -++->()()2218xu x x x =-+-(0,3]x ∈()234280u =++-=()()21xg x =-(0,3]x ∈22133824y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭(0,3]x ∈()()2218xu x x x =-++-(0,3]x ∈()()0g x f x ->()()21xg x =-()()()()g h x f h x >()0h x >[0,1]x ∈()223h x x x λλ=-+-+()()22030,1130,h h λλλ⎧=-+>⎪⎨=-+-+>⎪⎩1λ-<<()22233333244h x x λλλ⎛⎫=---+-+ ⎪⎝⎭≤≤1λ-<<()03h x <≤[0,1]x ∈()()03s h x s =<≤()()g s f s >()()0g s f s ->()()0g s f s ->()()22032,1132,h h λλλ⎧=-+>⎪⎨=-+-+>⎪⎩01λ<<01λ<<{}1,2,3,,100A =（2）假设存在一个使得，令，其中且，由题意，得，由为正整数，得，这与为集合A 中的最大元素矛盾，所以对任意．（3）设集合中有个元素，，由题意，得，，由（2）知，．假设，则．因为，由题设条件，得，因为，所以由（2）可得，这与为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以，又因为，，所以．任给集合{201，202，203，204}的元子集B ，令，以下证明集合符合题意：对于任意i ，j （），则．若，则有，所以，，从而．故集合符合题意，所以满足条件的集合A 的个数与集合{201，202，203，204}的子集个数相同，{}0101,102,,200x ∈ 0x A ∈0100x s =+s ∈N 1100s ≤≤100s a a A +∈s a 100100s a a a +>100a {}101,102,,200x ∈ x A ∉{}201,202,,205A ()15m m ≤≤100m a b -=12100200m a a a -<<< ≤10011002100200m m a a a -+-+<<<< 100100m a b -=≤100b m >-1000b m -+>10010010055100b m m -+-+=<-≤100100m b m a a A --++∈100100100100200m b m a a --+++=≤100100100m b m a a --++≤100m a -100100m a m --≤121001m a a a -<<< ≤i a ∈N ()1100i a i i m =-≤≤1m -{}{}01,2,,100205A m B =- 0A 1100i j ≤≤≤200i j +≤0i j A +∈100i j m +-≤i a i =j a j =0i j a a i j A +=+∈0A故满足条件的集合A 有个．4216。

2022-2023学年湖北省十堰市高二上册期中数学质量检测试卷一、单选题1．经过点(1,2)，且斜率为2的直线方程是（）A ．20x y -=B ．20x y +=C ．210x y -+=D ．230x y +-=【正确答案】A【分析】根据点斜式方程求解即可.【详解】解：经过点(1,2)，且斜率为2的直线方程是()221y x -=-，整理得20x y -=.故选：A2．已知空间向量(2,3,4)a =- ，(4,,)b m n =- ，,R m n ∈，若a b ∥ ，则 m n -=（）A ．2B ．2-C ．14D ．14-【正确答案】C【分析】b a λ=，得到(4,,)(2,3,4)(2,3,4)m n λλλλ-=-=-，解得答案.【详解】a b ∥，则b a λ= ，即(4,,)(2,3,4)(2,3,4)m n λλλλ-=-=-，解得2λ=-，6m =，8n =-，14m n -=.故选：C3．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为35，直线2100x y ++=过椭圆的左顶点，则椭圆方程为（）A ．22154x y +=B ．221259x y +=C ．221169x y +=D ．2212516x y +=【正确答案】D直线2100x y ++=过椭圆的左顶点,则椭圆的左顶点为(5,0)-,所以椭圆中5a =，由离心率为35，则3c =，可求出椭圆的b ，从而可得椭圆的方程.【详解】直线2100x y ++=与x 轴的交点为(5,0)-,直线2100x y ++=过椭圆的左顶点，即椭圆的左顶点为(5,0)-.所以椭圆中5a =，由椭圆的离心率为35，则3c =.则4b =，所以椭圆的方程为.2212516x y +=故D本题考椭圆的简单几何性质，根据离心率求,,a b c ，属于基础题.4．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（）A ．3144AB AC -B ．1344AB AC - C ．1344AB AC +D ．1142AB AC+ 【正确答案】A【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可.【详解】因为AD 为BC 边上的中线，所以1()2AD AB AC =+，因为E 为AD 的中点，所以可得111131()()224244EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=++-=-，故选：A5．设(2,1)A -，(4,1)B ，则以线段AB 为直径的圆的方程为（）A ．22(3)4x y -+=B ．22(3)2x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=【正确答案】B【分析】由题知圆心为()3,0，再求方程即可.【详解】解：由题知线段AB 中点为()3,0，AB ==所以，以线段AB 为直径的圆的圆心为()3,022(3)2x y -+=故选：B6．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F P 是双曲线C 上一点，且1260F PF ∠=．若12F PF △的面积为12F PF △的周长为（）A ．BC 2+D ．【正确答案】A【分析】由三角形面积公式可求1216PF PF ⋅=，结合余弦定理得22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅12122cos PF PF F PF -⋅∠，由离心率可求出,,a b c ，同理结合()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅代入余弦定理可求12PF PF +，进而得解.【详解】由题可知1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅⋅∠=△1260F PF ∠= ，求得1216PF PF ⋅=，对12F PF △由余弦定理可得22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅12122cos PF PF F PF -⋅∠，即()()221212122222cos c a PF PF PF PF F PF =+⋅-⋅∠，即2416,2b b ==，因为2222243c a e a a+===，解得222,6a c ==，又22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=+-⋅12122cos PF PF F PF -⋅∠，即()2212121212422cos c PF PF PF PF PF PF F PF =+-⋅-⋅∠，解得12PF PF +=122F F c ==所以12F PF △的周长为1212PF PF F F ++=故选：A7．如图所示，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，1AB =，2AD =，3AA '=，90BAD ∠=，60BAA DAA ∠'=∠=' ，则C A '的长为（）A ．5B C D【正确答案】B【分析】由向量AC AB AD AA =+'+'得：()()22AC AB AD AA =+'+' ，展开化简，再利用向量的数量积，便可得出答案.【详解】解：AC AB BC CC AB AD AA '=++='+'+，()()()()()222222()AC AB AD AA ABADAA AB AD AB AA AD AA '''∴=++=+++⋅+⋅'⋅'+ ，∵1AB =，2AD =，3AA '=，90BAD ∠=，60BAA DAA ∠'=∠=' ()222291232(013cos 6023cos 60)142232AC ︒︒∴=+++⨯+⨯+⨯=+='⨯.AC ='∴，即AC '故选：B.8．过直线43100x y ++=上一点P 作圆22:20C x y x +-=的切线，切点为,A B ．则四边形PACB 的面积的最小值为（）A B ．5C ．5D ．【正确答案】C【分析】由切线性质可得122PACB S PA AC =⋅⋅，由勾股定理表示出PA ，进而得解.【详解】如图，由切线性质可知，,,PA AC PB BC PAC PBC ⊥⊥△≌△，所以122PACB S PA AC =⋅⋅，圆的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0C ，半径为1r =，点C 到直线距离4101455d +==，PA =，要使122PACB S PA AC =⋅⋅最小，需使min PC d =，故()min122PACB S r =⋅=故选：C 二、多选题9．已知双曲线22:18y C x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，若P 为C 上一点，且17PF =，则（）A ．C 的虚轴长为2B ．2PF 的值可能为5C ．C 的离心率为3D ．2PF 的值可能为9【正确答案】BCD【分析】由双曲线标准式确定,,a b c ，可判断A ，C 是否正确，由双曲线第一定义可判断B ，D 正确性.【详解】由22:18y C x -=的标准式可确定：22231,8,9,1,3,231c a b c a b c b e a ==========，故C 正确，A 错误；由双曲线第一定义可知122PF PF -=，17PF =，解得25PF =或9，2c a -=，52,92≥≥，所以BD 正确.故选：BCD10．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论正确的是（）A ．BD ∥平面11AB DB ．AC 与平面11ABD C ．1AC ⊥平面11CB D D ．异面直线BD 与1CB 所成的角为60 【正确答案】ACD【分析】以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法即可逐个证明.【详解】以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，1111ABCD A B C D -为正方体，设边长为1，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,0,1A ，()11,1,1B ，()10,1,1C ，对A ，()111,1,0BD B D ==-- ，11BD B D ∥，又∵BD ⊄平面11AB D ，∵11B D ⊂平面11AB D ，∴BD ∥平面11AB D ，A 对；对B ，()11,1,1AC =-- ，()11,0,1AD =- ，()10,1,1AB = ，由11110A C AD A C AB ⋅=⋅=得1AC 为平面11AB D 的法向量，()1,1,0AC =- ，故AC 与平面11AB D所成的角的正弦值为11A C AC A C AC ⋅=⋅，B 错；对C ，由B 得，同理可证1AC uuu r为平面11CB D 的法向量，故1AC ⊥平面11CB D ，C 对；对D ，()1,1,0BD =--，()11,0,1CB = ，∴异面直线BD 与1CB所成的角的余弦值为1112BD CB BD CB ⋅==⋅，故所成角为60 ，D 对.故选：ACD11．设椭圆22195x y +=的右焦点为F，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ，B 两点，则（）A ．AF BF +为定值B ．ABF △的周长的取值范围是()6,12C．当m =ABF △为直角三角形D ．当1m =时，ABF △【正确答案】AB【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A ；由||||AF BF +为定值以及||AB 的范围判断B ；求出,A B 坐标，由数量积公式得出·0FA FB <，得出ABF △为钝角三角形判断C ；求出,A B 坐标，由面积公式得出ABF △的面积判断D.【详解】解：设椭圆的左焦点为1F ，连接1AF ，由椭圆的对称性得1AF BF =，所以16AF BF AF AF +=+=为定值，A 正确；ABF △的周长为||||||AB AF BF ++，因为||||AF BF +为定值6，所以||AB 的范围是(0,6)，所以ABF △的周长的范围是(6,12)，B 正确；将y =A ⎛ ⎝⎭，B ⎫⎪⎪⎝⎭，又因为(2,0)F ，所以，23(2)(2)()02222FA FB ⋅=-+=-< ，即AFB ∠为钝角，所以ABF △为钝角三角形，C 错误；将1y =与椭圆方程联立，解得,A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以112ABF S == D 错误.故选：AB12．在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA AB =，AC ，BD 交于点O ，M 是棱SD 上的动点，则（）A ．存在点M ，使//OM 平面SBCB ．三棱锥S ACM -体积的最大值为23C ．点M 到平面ABCD 的距离与点M 到平面SAB 的距离之和为定值2D ．存在点M ，使直线OM 与AB 所成的角为60 【正确答案】ACD【分析】根据题意，以A 为坐标原点，AB AD AS ，，所在直线分别为,,x y z 轴，利用向量法判断CD ，根据底面积不变，高最大时，锥体体积最大，判断B 选项.根据线面平行的判定定理判断A.【详解】解：根据题意，以A 为坐标原点，AB AD AS ，，所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0)A C B D S O ,由M 是棱SD 上的动点，设(0,,2),(02)M λλλ-≤≤，13S ACM SAC V S h -=⨯ ,其中h 为M 到平面SAC 的距离，因为底面ABCD 为正方形，故OD AC ⊥,又SA ⊥底面,ABCD OD ⊂底面,ABCD 所以SA OD ⊥,又SA AC A ⋂=,,SA AC ⊂平面SAC ，所以OD ⊥底面SAC ,所以当M 与D 重合时，三棱锥S ACM -体积的最大且为1142222323S ACM V -=⨯⨯⨯=，故B 错误；当M 为SD 中点时，OM 是SBD 的中位线，所以//OM SB ，又OM ⊄平面SBC ，SB ⊂平面SBC ，所以//OM 平面SBC ，故A 正确；点M 到平面ABCD 的距离12d λ=-，点M 到平面SAB 的距离2|||(0,,2)(0,2,0)|2||AM AD λλd λAD →→→⋅-⋅===,所以1222d d λλ+=-+=，故C 正确.(2,0,0)AB →=,(1,1,2)OM λλ→=---,若存在点M ，使直线OM 与AB 所成的角为60︒则()()221cos 602112AB OM AB OM λλ⋅︒===+-+- ，化简得2310λλ-+=，解得352λ±=，所以，当352λ-=时，满足直线OM 与AB 所成角为60︒，故D 正确；故选：ACD三、填空题13．若()53,2,a =，()0,1,4b =- ，则2a b -= ___________．【分析】由向量坐标的线性运算及模运算计算即可.【详解】()()()22320,1,42,1,13,,5a b -=-⨯-= ，故2a b -=14．已知正方形的中心为直线220x y -+=，10x y ++=的交点，正方形一边所在的直线方程为350x y +-=，则它邻边所在的直线方程为___________．【正确答案】390,330x y x y -+=--=【分析】先求出中心坐标为(1,0)M -，再根据邻边所在直线与1l 垂直设34,l l 方程为230x y d -+=，进而结合点(1,0)M -到这两条直线距离相等且为5即可求解.【详解】解：22010x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩，∴中心坐标为(1,0)M -，点M 到直线1:350l x y +-=的距离5d ==设与1l 垂直两线分别为34l l 、，则点(1,0)M -设34,l l 方程为230x y d -+==23d =-或9，∴它邻边所在的直线方程为390,330x y x y -+=--=．故390,330x y x y -+=--=15．已知圆22x y a +=，直线:=+l y x l 的距离等于1，则=a ___________．【正确答案】4【分析】由圆心到直线距离可确定2rd =，进而得解.【详解】圆22x y a +=的圆心为()0,0,r 2r d ==4a =.故416．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若动点P 在线段1BD 上运动，则DC AP ⋅的取值范围是___________．【正确答案】[]0,4【分析】建立空间直角坐标系，设1BP BD λ=⋅ ，即可求出DC AP ⋅ ，再根据λ的范围，求出DC AP⋅的取值范围．【详解】解：以DA所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以1DD 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．则()0,0,0D ，()0,2,0C ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()10,0,2D ．∴()0,2,0DC = ，()12,2,2BD =--，()0,2,0AB = ．点P 在线段1BD 上运动，∴()12,2,2BP BD λλλλ=⋅=--，且01λ．∴()2,22,2AP AB BP λλλ=+=--，∴44DC AP λ⋅=-，∵01λ，∴0444λ≤-≤，即[]0,4DC AP ⋅∈，故[]0,4．四、解答题17．已知ABC 的三个顶点分别为()2,4A ，()1,1B ，()7,3C ．(1)求BC 边的垂直平分线的方程；(2)求ABC 的面积．【正确答案】(1)3140x y +-=(2)8【分析】（1）计算13BC k =，BC 的中点为()4,2，BC 边的垂直平分线的斜率3k =-，得到直线方程.（2）计算BC =A 到直线BC 的距离为d =，得到面积.【详解】（1）311713BC k -==-，故BC 边的垂直平分线的斜率3k =-，BC 的中点为()4,2，故垂直平分线为()342y x =--+，即3140x y +-=.（2）BC ==，BC 所在的方程为()1113y x =-+，即320x y -+=，A 到直线BC 的距离为d ==11822S BC d =⋅=⨯=.18．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)以直线y =为渐近线，焦点是()3,0-，()3,0的双曲线；(2)离心率为45，短轴长为6的椭圆．【正确答案】(1)22136x y -=(2)221259x y +=或221259y x +=【分析】（1）由题意设双曲线方程为22221x y a b-=(0a >，0b >)，根据焦点坐标和双曲线的渐近线方程求出a ，b 即可；（2）分椭圆的焦点在x 轴时和y 轴时讨论求解即可.【详解】（1）解：由题意设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由焦点坐标可知3c =，双曲线的渐近线方程为y =，可得ba=，又222+=a b c ，解得a =b ，所以双曲线的方程为22136x y -=.（2）解：当焦点在x 轴时，设椭圆方程为22221x y a b+=(0)a b >>，由题可得2224526c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得5a =，3b =，所以椭圆方程为221259x y +=；当焦点在y 轴时，设椭圆方程为22221y xa b+=(0)a b >>，由题可得2224526c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得5a =，3b =，所以椭圆方程为221259y x +=；所以，所求椭圆方程为221259x y +=或221259y x +=.19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB的中点．(1)求证：1BC ⊥平面1ACD ；(2)求直线1D C 与平面1AD E 所成角的余弦值．【正确答案】(1)证明见详解(2)2【分析】（1）要证1BC ⊥平面1ACD ，可证111BC A DBC CD ⊥⎧⎨⊥⎩，结合正方体性质即可求证；（2）以AD 方向为x 轴正方向，AB 方向为y 轴正方向，1AA 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，求出1D C和平面1AD E 的法向量，由向量的夹角公式求出1D C 与平面1AD E 所成角的正弦值，结合同角三角函数即可求解.【详解】（1）连接11,A D A C ，因为几何体为正方体，所以11//D C AB ，四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//BC AD ，因为11AD DA ⊥，所以11BC A D ⊥，又11,,,CD BC CD CC BC CC C BC ⊥⊥=⊂ 平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，所以CD ⊥平面11BCC B ，又1BC ⊂平面11BCC B ，所以1BC CD ⊥，1,CD A D D CD =⊂ 平面1ACD ，1A D ⊂平面1ACD ，所以1BC ⊥平面1ACD；（2）以AD 方向为x 轴正方向，AB 方向为y 轴正方向，1AA 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，不妨设正方体边长为1，则()()()110,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,2A C D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,1,1D C =- ，()111,0,1,0,1,2AD AE ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z = ，则100n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x z y z +=⎧⎨+=⎩，设2x =，则1,2y z ==-，()2,1,2n =-，设直线1D C 与平面1AD E 所成角为θ，则1sin cos ,2D C n θ===，即π4θ=，所以cos 2θ=，故直线1D C 与平面1AD E所成角的余弦值为2.20．已知圆C 的方程为221x y +=．(1)求过点()1,2P 且与圆C 相切的直线l 的方程；(2)直线m 过点(1,2)P ，且与圆C 交于,A B 两点，当AOB 是等腰直角三角形时，求直线m 的方程．【正确答案】(1)1x =或3450x y -+=(2)10x y -+=或750x y --=【分析】（1）斜率不存在时显然相切，斜率存在时，设出直线的点斜式方程，由圆心到直线距离等于半径求出k ，进而得解；（2）设出直线的点斜式方程，由几何关系得圆心到直线距离为22r ，进而得解.【详解】（1）当直线斜率不存在时，1x =显然与221x y +=相切；当直线斜率存在时，可设():12l y k x =-+，由几何关系可得2211k d r k -===+，解得34k =，故()3:124l y x =-+，即3450x y -+=，故过点()1,2P 且与圆C 相切的直线l 的方程为1x =或3450x y -+=；（2）设()1:12m y k x =-+，可设AB 中点为D ，因为AOB 是等腰直角三角形，所以22OD r =，即圆心到直线距离121222221k d r k -+，解得11k =或7，故直线():12m y x =-+或()712y x =-+，即10x y -+=或750x y --=.21．如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直，动点M 、N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(02)CM BN a a ==<．(1)求证MN 与平面BCE 平行；(2)当22a =A MNB --的余弦值．【正确答案】(1)证明见详解(2)13-【分析】（1）采用建系法，表示出,M N 坐标，要证MN 与平面BCE 平行，即证MN ⊥平面BCE 的法向量；（2）分别求出平面AMN 和平面MNB 的法向量，由向量夹角的余弦公式即可求解.【详解】（1）因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，BE AB ⊥，所以BE ⊥平面ABCD ，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABEF ，显然,,BA BE BC 三垂直，以BA 方向为x 轴正方向，BE 方向为y 轴正方向，BC 方向为z 轴正方向，建立B AEC -空间直角坐标系，()()()()1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0A C B F ，因为(02)CM BN a a ==<<，所以2a CM，2BN ，设()()111222,,,,,M x y z N x y z ，()111,,1CM x y z =- ，()1,0,1=- CA ，由2CM = ，得22aa M ⎫⎪⎭，()222,,BN x y z = ，()1,1,0= BF ，由2a BN 得22N ⎫⎪⎭，122MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，可设平面BCE 的法向量为()1,0,0n =r ，0MN n ⋅=，所以MN 与平面BCE 平行；（2）当22a =时，1111,0,,,,02222M N⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1,0,0A ，()0,0,0B ，1111,0,,,,02222AM AN ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，1111,0,,,,02222BM BN ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面AMN 的法向量为()1,,n x y z = ，则1100n AM n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即x y z ==，可设1x =，故()11,1,1n = ，设平面MNB 的法向量为()2333,,n x y z = ，则220n BM n BN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即333300x z x y +=⎧⎨+=⎩，令31x =，则331y z ==-，故()21,1,1n =--，设二面角A MN B --的平面角为θ，则121cos cos ,3n n θ==-，故二面角A MN B --的余弦值为13-.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且经过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y kx m =+与椭圆C 交于M N 、两点，O 为坐标原点，直线OM ON 、的斜率之积等于34-，试探求OMN 的面积是否为定值，并说明理由．【正确答案】(1)22143x y +=(2)3【分析】（1）将31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭代入标准方程得,a b 关系，由离心率得,a c 关系，结合222a b c =+即可求解；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与椭圆方程，由斜率之积等于34-求出k 与m 关系，由弦长公式求出MN ，由点到直线距离公式求出OMN 的高，结合三角形面积公式化简即可求解.【详解】（1）因为椭圆过31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故221914a b +=，又22214c e a ==，222a b c =+，联立解得2221,3,4c b a ===，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2224384120k x kmx m +++-=，()()()()2222284341248430km k m k m ∆=-+-=+->，()12221228434343km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，()2212121212121212OM ON k x x km x x my y kx m kx m k k x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅=()()()()()22222222222222438438434343434343m km k km m k m k m m k k k m m k --⎛⎫⋅+⋅+ ⎪--++++⎝⎭==--+()()222343443m k m -==--，即22243m k =+，MN =离d =12OMN S MN d =⋅=△所以OMN 的面积为定值.。

宁德一中2023-2024学年度第一学期期初高二阶段检测数 学 试 题(考试时间：120分钟 试卷总分：150分 考试范围：第一章数列等比求和前)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．1．已知公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和2n n S c q =+⋅，*n ∈N ，且314S =，则4a =（）A ．48B ．32C ．16D ．82．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知342a a =，则一定成立的是（ ） A ．25a a >B ．1n n a a +<C ．90S =D ．数列{}n S 有最大项3．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第六层球的个数为（ ）6．已知数列{}n a 为各项为正数的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则数列{}n a （ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．先递增后递减D ．是常数列7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝ A ．63B ．45C ．43D ．27部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知数列{}n a ，{}n b 均为等比数列，则下列结论中一定正确的有（ ）10．在数列{}n a 中，221n n a a p −−=（*2,,n n p ≥∈N 为非零常数），则称{}n a 为“等方差数列”，p 称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）11．下列说法中，正确的有（ ）A ．数列{}n a 的最大项为6aB ．数列{}n a 的最大项为5aC ．数列{}n a 的最小项为5aD ．数列{}n a 的最小项为4a三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）有一批空气净化器，原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台，则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买。

北京市东城区2023-2024学年高二下学期期末统一检测数学2024.7本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，，若，则（）A. B. C. D. 2. 某校学生科研兴趣小组为了解1~12岁儿童的体质健康情况，随机调查了20名儿童的相关数据，分别制作了肺活量、视力、肢体柔韧度、BMI 指数和身高之间的散点图，则与身高之间具有正相关关系的是（ ）A. 肺活量B. 视力C. 肢体柔韧度D. BMI 指数3. 已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. B.C. D. 4. 袋中有10个大小相同的小球，其中7个黄球，3个红球.每次从袋子中随机摸出一个球，摸出的球不再放回，则在第一次摸到黄球的前提下，第二次又摸到黄球的概率为（ ）A.B.C.D.{}20,,M a a ={}2,1,0,1,2N =--1M ∈M N ⋂={}0,1{}1,0,1-{}0,1,2{}2,1,0,1,2--,R x y ∈x y >22x y >11x y>ln ln x y>22x y>2312133105. 已知，，则的值为（ ）A. 15B.C.D. 6. ，，三所大学发布了面向高二学生夏令营招生计划，每位学生只能报一所大学.某中学现有四位学生报名.若每所大学都有该中学的学生报名，则不同的报名方法共有（ ）A 30种B. 36种C. 72种D. 81种7. 2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点处.若“金色大伞”的深度为，则“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为（ ）A. B. C. D. 8. 已知直线被圆截得弦长为整数，则满足条件的直线共有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条9. 已知函数，则“”是“为的极小值点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.现给出一个同余问题：如果和被除得的余数相同，那么称和对模同余，记为.若，则的值可以是（ ）A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.的.的23a =4log 5b =22a b -53352-A B C 4.2m F 0.49m A F 2.25m 2.74m4.5m4.99m:250l mx y m --+=()()22344x y -+-=l ()()()()2,f x a x a x b a b =--∈R 0b a >>b ()f x a b m a b m ()mod a b m ≡()0122202420242024202420242024C C 3C 3C 3,mod5a a b =+⨯+⨯++⨯≡ b11. 函数的定义域是_________.12. 已知双曲线的焦点为和，一条渐近线方程为，则的方程为_________.13. 已知二项式的所有项的系数和为，则_____________；_________.14. 某学校要求学生每周校园志愿服务时长不少于1小时.某周可选择的志愿服务项目如下表所示：岗位环保宣讲器材收纳校史讲解食堂清扫图书整理时长20分钟20分钟25分钟30分钟40分钟每位学生每天最多可选一个项目，且该周同一个项目只能选一次，则不同选择的组合方式共有________种.15 设，函数给出下列四个结论：①当时，函数的最大值为0；②当时，函数是增函数；③若函数存在两个零点，则；④若直线与曲线恰有2个交点，则.其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 某次乒乓球比赛单局采用11分制，每赢一球得一分.每局比赛开始时，由一方进行发球，随后每两球交换一次发球权，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.已知甲、乙两人要进行一场五局三胜制（当一方赢得三局比赛时，该方获胜，比赛结束）的比赛.（1）单局比赛中，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，求甲领先的概率；（2）若每局比赛乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立，求乙以赢得比赛的概率.17. 设函数，其中.曲线在点处的切线方程为.（1）求，的值；（2）求的单调区间..()ln f x x =+C ()2,0-()2,0y =C ()111021...nn n n n x a x a x a x a --+=++++243n =2a =R a ∈()32,,ax x x af x x x a⎧->=⎨-≤⎩0a =()f x 7a =()f x ()f x 01a <<y ax =()y f x =a<010:1045124:0133:1()e xf x a x =+R a ∈()y f x =(0,(0))f y x b =-+a b ()f x18. 近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排.遥遥计划在，，，，，这6个国产新能源品牌或在，，，这4个国产燃油汽车品牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃油车多花费40000元.据测算，每行驶5公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗电1千瓦时.如果购买新能源汽车，遥遥使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具体收费标准（精确到0.1元/千瓦时）如下表：充电时间段充电价格（元/千瓦时）充电服务费（元/千瓦时）峰时10：00—15：00和18：00—21：001.0平时7：00—10：00，15：00—18：00和21：00—23：000.7谷时当日23：00—次日7：000.40.8（1）若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌被选中的概率；（2）若遥遥选购新能源汽车，他在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点给车充电，每次充电30千瓦时（用时不超过半小时）.设为遥遥每次充电的费用，求的分布列和数学期望；（3）假设遥遥一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花费更少.19. 已知椭圆，过点，，分别是的左顶点和下顶点，是右焦点，.（1）求的方程；（2）过点的直线与椭圆交于点，，直线，分别与直线交于不同的两点，.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.1A 2A 3A 4A 5A 6A 1B 2B 3B 4B 1A X X 2222:1(0)x y E a b a b+=>>A B E F E π3AFB ∠=E F E P Q AP AQ 4x =M N FM FN 1k 2k 12k k20. 已知函数.（1）当时，求极值；（2）若对任意，有恒成立，求的取值范围；（3）证明：若在区间上存在唯一零点，则（其中）.21. 已知项数列，满足对任意的有. 变换满足对任意，有，且对有，称数列是数列的一个排列. 对任意，记，，如果是满足的最小正整数，则称数列存在阶逆序排列，称是的阶逆序变换.（1）已知数列，数列，求，；（2）证明：对于项数列，不存在阶逆序变换；（3）若项数列存在阶逆序变换，求的最小值.的()()2ln 1f x x a x a =--∈R 2a =()f x ()1,x ∈+∞()0f x >a ()f x ()1,+∞0x 20e a x -<e 2.71828...=n ()12:,,...,3n n A a a a n ≥i j ≠i j a a ≠T {}1,2,...,i n ∈(){}12,,...,i n T a a a a ∈i j ≠()()i j T a T a ≠()()()()12:,,...,n n T A T a T a T a n A {}1,2,...,i n ∈()()1i i T a Ta =()()()()1*k k i i T a T T a k +=∈N k ()()11,2,...,k i n i T a a i n +-==n A k T n A k 4:1,2,3,4A ()4:3,1,4,2T A ()24T A ()44T A 44A 3n n A 3n北京市东城区2023-2024学年高二下学期期末统一检测数学 答案第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】B 【2题答案】【答案】A 【3题答案】【答案】D 【4题答案】【答案】A 【5题答案】【答案】C 【6题答案】【答案】B 【7题答案】【答案】B 【8题答案】【答案】C 【9题答案】【答案】A 【10题答案】【答案】D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.【11题答案】【答案】【12题答案】()1,+∞【答案】【13题答案】【答案】①. ②. 【14题答案】【答案】20【15题答案】【答案】①③##③①三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】（1）； （2）.【17题答案】【答案】（1）（2）递增区间为，递减区间为.【18题答案】【答案】（1）（2）分布列略，期望 （3）选择新能源汽车的总花费最少【19题答案】【答案】（1）；（2）证明略.【20题答案】【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） （3）证明略【21题答案】2213y x -=5404252272a b ==-(,ln 2)-∞-(ln 2,)-+∞13()48E X =22143x y +=0(],2-∞【答案】（1），（2）证明略（3）()24:4,3,2,1T A ()44:1,2,3,4T A 6。

枣庄市2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知函数，则（ ）A. 2B. C. 4D. 2. 下列函数求导正确的是（ ）A B. C D. 3. 从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（ ）A. 7B. 12C. 18D. 244. 已知，，则（ ）A.B.C.D.5. 的展开式中，项的系数为（ ）A. 10B. C. 60D. 6. 随机变量的概率分布为1240.40.3则等于（ ）的..()2f x x=-()()22limh f h f h →+-=2-4-211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin cos x x'=-()1ln22x x'=()()e 1e x xx x '=+()13P B A =()25P A =()P AB =5691021513()522x x y +-52x y 30-60-X XPa()54E X +A. 5B. 15C. 45D. 与有关7. 已知函数，是的唯一极小值点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 8. 已知实数分别满足，，且，则（ ）A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列函数在定义域上为增函数的有（ ）A. B. C. D. 10. 下列排列组合数中，正确的是（ ）A. B. C. D. 11. 已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为_____________.13. 若能被64整除，则正整数的最小值为_____________.14 已知实数满足，则_____________...a ()()221()4442xf x e xx k x x =--++2x =-()f x k )2,e ⎡-+∞⎣)3,e ⎡-+∞⎣)2,e ⎡+∞⎣)3,e ⎡+∞⎣,a b e 1.02a =()ln 10.02b +=151c =a b c<<b a c <<b<c<ac<a<b()e xf x x=+()exf x x =()sin f x x x=-()2ln f x x x=-12344444A A A A 84+++=3333434520232024C C C C C ++++= 11A A A mm m n nn m -++=11C C mm n n m n --=2y x =-+e x y =ln y x =()()1122,,,A x y B x y 122x x +=12e e 2e x x +>1221ln ln 0x x x x +>12x x >()2024*381011a a -⨯+∈N a 12x x ，()136122e e ln 3e xx x x =-=，12x x =四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人（1）求这个人患流感的概率；（2）如果此人患流感，求此人选自A 地区的概率.16. 一台笔记本电脑共有10台，其中A 品牌3台，B 品牌7台，如果从中随机挑选2台，其中A 品牌台数．（1）求的分布列；（2）求和．17. 已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为．（1）求的值；（2）求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答）18. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的极值.19. 已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.,,A B C 6%5%4%，，X X ()E X ()X σ2(n x +65n ()23ln f x x x x =+-()y f x =()()1,1f ()f x ()()()2e12e R xx f x a ax a =+--∈()f x ()f x a枣庄市2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学简要答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】12【13题答案】【答案】55【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1） （2）【16题答案】【答案】（1）分布列略 （2）【17题答案】【答案】（1）7； （2）702.【18题答案】【答案】（1） （2）极小值为，无极大值【19题答案】【答案】（1）当时，在上单调递增;当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）6e 0.051617352y =20a ≤()f x R 0a >()f x (,ln )a -∞(ln ,)a +∞(1,)+∞。