(浙江版)2018年高考数学一轮复习专题6.2等差数列及其前n项和(测)

第03节等比数列及其前n项和A基础巩固训练1．【2018届湖北省黄石市第三中学（稳派教育）高三检测】已知数列a是递增的等比数列，n且 4 6 2 42 2 4 144a a a a a，则a a （）5 3A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】D2．【2018届云南省昆明一中高三第二次月考】已知数列a是单调递减的等比数列，nS是n na3a 4 32 ，则S的值是（）5A. 62B. 48C. 36D. 31【答案】Aa a，a a，得 2 2, 5 162 5 1834 32 a 2 16,a5 2 或aa，（不符合题意，舍【解析】由5132 1212 16, 5 2 a 32, q ，所以S=621 15去），所以由a a 得212，选A．3．各项为正的等比数列a 1 1,a 2 2,a 3 3，则a的取值范围是______．a中，若n 49,8【答案】2 9,82a a a 93 9【解析】根据题意q 2 3 q 2,a a q ,a a q 2 8 ，∴,84 3 4 2 4a a 2 2 21 2．4．在等比数列a中，对于任意n N* 都有a a，则n n1 2 3 a aa．nn 1 2 6【答案】36【解析】令n 2 ，得 2 1aa a a 3a；由等比数列的性质，得33 a 3a.64 2 6 3 45．【2018届江西省南昌市高三上学期摸底】已知数列a的前n项和S 2n 1 2 ，记n n1b a S nN .*nn n（1）求数列a 的通项公式；n（2）求数列b 的前 n 项和T .nn【答案】（1）2na；（2） 2 41224nnn33试题解析：（1）∵2n 1 21 12 2 2 S，∴当 n1时，∴ a S 11；当 n 2 时，naSS，又 a ，∴ a2n1 2n 1 2n2n 1 2nnnn（2）由（1）知， baS24n 2n1 ，nnn∴Tb bbnn122 4 4 422212n23n 14 144 122 4 nn242n 1n21 4 1233．B 能力提升训练1．等差数列{a n }的公差是 2，若 a a a 成等比数列，则{a n }的前 n 项和 2 , 4 , 8 S（）nA. n (n 1)B. n (n 1)C. (1)n nD. n (n1)2 2【答案】A【解析】由已知得， 2a a a，又因为{a}是公差为2的等差数列，故n4 2 8(a 2d ) a (a 6d) ，22 (a 4)2 2 2 2 a 2 (a 2 12) ，解得a，所以2 4a a nd2 ( 2)nn(a a )2n，故S 1 n (n1)．nn22．【2018届甘肃省兰州第一中学高三上第二次月考】在等比数列a中，若n15 9a a a a ，a a，则1 2 3 4 2 38 8 1 1 1 1等于a a a a1 2 3 4A. 35B.53C.D. 535 32【答案】D3．已知等比数列1nbn ,数列a的项由b和c和等差2 1c 中的项构成且nnnnnab ,在数列b的第k 和第 k 1项之间依次插入 2k个c 中的项,即11nnb 1,c 1,c 2 ,b 2 ,c 3,c 4 ,c 5,c 6 ,b 3,c 4 ,c 5,c 6 , c 7 ,c 8,c 9 ,b 4,记数列{a }的前 n 项和为 S ，则nnS； 20S．2014【答案】16,1936【解析】不妨设数列T ,数列c 的前 n 项和为b 的前 n 项和为 nnnH ,则根据等比数列和等n差数列的前 n 项和公式可得Tn11111nn:112,12 1n nHn 2 ,由n2数列a 的组成形式可以得到 a : a 为b 1,c 1 : c 2 ,b 2 ,c 3 : c 6 ,b 3,c 7 :c 12 ,b 4 ,c 13,c 14 ,c 15,c 6 , n 1 201116则SH T 416 b 中的a 的前 2014项有 m 1个20416nn2m 2 2m项,则有2 4 6 22,则与mm m2m 1 mm 2014 m2m 2014m 12014 的根最接近的正整数为222m,故数列a的前 2013项有 44个b,则 44个43, m 44b 之间有 432431892nnn个c,共有1892441936 ,则还需要 2014 1936 78 个c ,故nn1 11960S H T44 19362,所以填16,1936. 2014441892 78234．【2017届浙江省高三上模拟】已知等差数列a的公差为d，等比数列b的公比为q，n n设a，T，若n2 (T1) 2n S，n N* ，则d_________，b的前n项和分别为S，n n n n n nq________.【答案】2 ，2 .5.下表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为a i j(i j i、j N)则a83 等于．141 12 43 3 34 8 16……1 【答案】21 1 ，每一行的公比【解析】a83 表示第8行第3列数，第8行的第一个数为 2(8 1)4 4均为12，故第8行第2个数为1，第3个数为12.C 思维拓展训练1．【2017届广州省惠州市高三第一次调研】等比数列{a}的各项为正数，且na aa a，则 log a log alog a（）5 64 7183 13 23 10（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ） 2 log 534【答案】Ba2a 3ana2．已知数列{a }是正项等差数列，若 c123nnn1 2 3n，则数列{c }也为等差n数列．已知数列{b }是正项等比数列，类比上述结论可得nb2b3bnbdA ．若{d }满足123，则{d }也是等比数列nnnn123n b 2b 3b nbB ．若{d }满足123，则{d }也是等比数列dnnnn12 3n1C ．若{d }满足 d[b(2b)(3b )(nb )]n ，则{ }1 2d 也是等比数列nn123nn1D ．若{d }满足[n] n ，则{d }也是等比数列dbb2b 3b12nn123nn【答案】D 【解析】试题分析：根据等比数列构造新的等比数列，乘积变化为乘方，b 1 ，原来的除bb b2 3 n 23n法为开方，1bbbb12323n1，故答案为 D ．2 3 nn3.【浙江省名校协作体2018届高三上学期考试】设数列x的各项都为正数且n x .1 1内的点ABC P n N均满足*n P AB与nP AC的面积比为 2 :1，若n1P A x P B 2x 1P C 0n n 1 n n n 2 ，则x的值为( )4A.15B.17C.29D.31【答案】A5【解析】1由 P A x P B xP C21nn 1 nnn21 得 P AxP Cx P B 21nnnn 1 n2，设2 1 P DxP Cnnn以线段 P A 、P D 作出平行四边形 nnAEDP ，如图，nP E11则,，P AP DP Ex P Bnnnnn1 n2 2P BnS x:PnAEn1S 2: PnAB，P CP C1 nnAE 2x 1P Dnn∴ SS 1 : PnAC: PnACS S12x: PnAD: PnAEn, Sx 1 1:则S2 1 2x2 PnACn: PnABn即 xx ，x（x），则 1x 构成以 2为首项，以 2为公比的等比数列，nn n nn12 1 1 1 2 1所以 4 1 2 23 16 x ，所以x ；故选A ．4 15 4．【2018届湖北省黄石市第三中学（稳派教育）高三检测】已知a，b 分别为等差数列nn和等比数列，ab ，b 的前 n 项和为 11n1S .函数 f x x 的导函数是 f'x ，有2n4a f'n ，且nx a 1, x b 1 是函数 y 6x 35x 2 x的零点.（1）求a 1,b 1 的值；（2）若数列a 公差为 n1 2，且点 Pa ,b，当 n N * 时所有点都在指数函数h xa x的nn图象上.6h xa 解析式，并证明： 11 请你求出xS. n321【答案】（1）a, （2）见解析121nP a ,b，当 nN * 时所有点都在指数函数 h xa 的图象上可得xba a ，即1 2qna ，nnnn3x1h x1 a，从而可得n 取特殊值列方程组可求得9 9，利用等比数列的求和公式及放缩法可证明结论.11af n ，所以 1 试题解析：（1）由 fxx 得 fxx ，又''an 2nn4221∴a. 12∵y x xxx xx 的 零 点 为0,1 ,1 6531 21 x x x， 而 3 26 5 31 21x x x ， 而32x a x b是1,1y x x x的零点，又b 1 0，6 5 b是等比数列的首项，所以3 21 ab，1 11∴b.131 1 n （2）∵an1 ，n2 2 21令b 的公比为q，则b q n 1 .n n3又1nP P P P 都在指数函数1, 2 , 3, , n,h x a x的图象上，即b a a，即q n 1 a2 当n N *nn3时恒成立，a q1913xh x1 .所以9解得.{7∵Snn11 1b q1 3 3111 nn111 q 123 213，因为b，所以当 n1时，nS 有最小值为 n13，所以1 1 S .n3 25．【2018届湖南省长沙市长郡中学高三月考二】等差数列 的前 项和为 ，数列是等比数列，满足 ， ，.(1)求数列和的通项公式；(2)令 ，设数列 的前 项和 ，求 .【答案】(1) ；(2) = .得 ，解得.∴ .（2）由得，则为奇数，，为偶数，.∴89。

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第0２节 等差数列及其前ｎ项和一、选择题(本大题共1２小题,每小题５分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的.）１．【２017届浙江台州中学高三10月月考】一个等差数列的项数为2n ,若132190n a a a -++⋅⋅⋅+=,24272n a a a ++⋅⋅⋅+=,且1233n a a -=，则该数列的公差是( )Ａ。

3 B 。

-3 C.-２ D 。

—1 【答案】B.２．【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三模考】等差数列{}n a 中，564a a +=,则10122log (222)a a a ⋅= ( )Ａ。

10 B.20 Ｃ。

４0 D.22log 5+ 【答案】B【解析】因为10121056125()54222222a a a a a a a a ++++⨯⋅⋅⋅===，所以10125422log (222)log 220.a a a ⨯⋅⋅⋅==选B 。

3．数列{}n a 为等差数列，满足242010a a a +++=，则数列{}n a 前21项的和等于( )A ．212B ．2１C ．42 Ｄ.84 【答案】B【解析】根据等差数列的求和公式，可知22010()102a a +=，即2202a a +=,所以数列{}n a 前2１ 项的和为1212121()212a a S +==,故答案为Ｂ．4．【云南省玉溪第一中学２0１8届高三上学期第一次月考】数列{}n a 是首项11a =,对于任意*,m n N ∈，有3n m n a a m +=+，则{}n a 前5项和5S =( )A 。

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第02节 等差数列及其前n 项和A 基础巩固训练1。

设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若4232()a a a =+,则74S a =（ ） A.74B.145C.7 D ．14 【答案】Ｃ.2．【２０18届宁夏银川一中高三上第二次月考】等差数列{a }n 中, n S 为n a 的前n 项和, 820a =, 756S =,则12a =( )Ａ。

２8 B. 32 C ． 36 Ｄ。

4０ 【答案】B 【解析】()177412847565682408322a a S a a a a +=⇒=⇒=∴=-=-=，选B 。

3.【20１７届江西省上饶市二模】已知数列{}n a 的前 n 项和记为 n S ，满足1785,3a a ==,且122n n n a a a ++=+，要使得n S 取到最大值，则n =（ )A 。

13 Ｂ. 14 C. 15或16 D 。

16 【答案】C【解析】由于122n n n a a a ++=+,故数列为等差数列,依题意有7181757,33a a d d d =+=+==-,所以()21131266n n n n n S na d -=+⋅=-+,开口向下且对称轴为312n =，故15n =或16时取得最大值.4.【２０18届福建省德化一中、永安一中、漳平一中高三上三校联考】已知等差数列{}n a 中, 315,a a 是方程2610x x --=的两根，则9a =_____【答案】3【解析】等差数列{}n a 中, 315962a a a +==,93a ∴=,故填３。

第03节 等比数列及其前n 项和一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.） 1.【2018届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会高三上第一次联考】已知等比数列{}n a 满足213562,4a a a a ==，则3a 的值为（ ）A. 1B. 2C.14 D. 12【答案】A2.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若321510,9S a a a =+=，则1a =（ ） A ．13-B ．13C ．19-D ．19【答案】D【解析】由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==+91041211q a q a a ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧==3911q a ,应选D 。

3. 【2017届山东省济宁市高三3月模拟考试】设a R ∈，“1， a ， 16为等比数列”是“4a =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由题意得， 1， a ， 16为等比数列21614a a ⇒=⨯⇒=±，因此4a =⇒ 1， a ， 16为等比数列，所以“1， a ， 16为等比数列”是“4a =”的必要不充分条件，故选B.4. 【原创题】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足0,1n a q >>，且3520a a +=，2664a a ⋅=，则5S =（ ）A ．31B ．36C ．42D ．48 【答案】A【解析】由已知得，3564a a ⋅=，又3520a a +=，则354,16a a ==，故24q =，2q =，11a =，所以55123112S -==-.5. 【改编题】函数21(3)y x =--图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能．．．成为公比的数是（ ） A ．21B ．2C ．1D ．33【答案】A6.【2018届广西钦州市高三上第一次检测】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为（ ）（结果保留一位小数．参考数据：，）（ ）A. 1.3日B. 1.5日C. 2.6日D. 2.8日 【答案】C【解析】设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{a n }，其a 1=3，公比为，其前n 项和为A n ．莞（植物名）的长度组成等比数列{b n }，其b 1=1，公比为2，其前n 项和为B n ．则A ，B n =，由题意可得：，化为：2n +=7，解得2n =6，2n =1（舍去）． ∴n==1+=≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等，故答案为：2.6．7. 【2017届浙江台州中学高三10月月考】等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，12321n n a a a a +++⋅⋅⋅+=-，则2222123na a a a +++⋅⋅⋅+等于（ ）A.2(21)n - B.1(21)3n- C.1(41)3n- D.41n -【答案】C.8.【2018届河北省衡水中学高三上学期二调】设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n na a +<，若3520a a +=， 3564a a =，则4S =（ ）A. 63或120B. 256C. 120D. 63 【答案】C 【解析】由题意得353520{64a a a a +==，解得3516{4a a ==或354{16a a ==.又11n na a +< ，所以数列{}n a 为递减数列，故3516{4a a ==.设等比数列{}n a 的公比为q ，则25314a q a ==，因为数列为正项数列，故12q =，从而164a =，所以4416412120112S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-.选C.9.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若15m S -=,-11m S =,121m S +=，则=m （ ） A.3 B.4C.5D. 6【答案】C【解析】由已知得，116m m m S S a --==-，1132m m m S S a ++-==，故公比2q =-，又11m m a a qS q-=-11=-，故11a =-，又1116m m a a q-=⋅=-，代入可求得5m =．10.【2017届湖北武汉市蔡甸区汉阳一中高三第三次模拟】已知121,,,9a a --成等差数列， 1239,,,,1b b b --成等比数列，则()221b a a -的值为 A. 8± B. 8- C. 8 D.98± 【答案】C11．【2018届河南省洛阳市高三上尖子生第一次联考】在等比数列{}n a 中， 2a ， 16a 是方程2620x x ++=的根，则2169a a a 的值为（ ） A. 222+-B. 2-C. 2D. 2-或2 【答案】B【解析】由2a ， 16a 是方程2620x x ++=的根，可得： 21621662a a a a +=-⨯=，，显然两根同为负值，可知各项均为负值；216921692a a a a a a ==-=-. 故选：B.12．【2017年福建省三明市5月质量检查】已知数列的前项和为，且，，则（ ） A. B.C.D.【答案】A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13.【2017届浙江省丽水市高三下联考】已知数列{}n a 是公比为q 的单调递增的等比数列，且149a a +=，238a a =， 1a =__________； q =_________．【答案】 1 2 【解析】311142322311199,8{8a a q a a a a a qa q a q +=+==∴==，，且101a q >>，，解得a 1=1，q=2.14.【2017届浙江省ZDB 联盟高三一模】已知{}n a 是等比数列，且0n a >， 243546225a a a a a a ++=，则35a a +=__________， 4a 的最大值为__________．【答案】 552【解析】243546225a a a a a a ++= ()2223355353522525,05n a a a a a a a a a ⇒++=⇒+=>∴+=22354354255242a a a a a a +⎛⎫∴=≤=⇒≤ ⎪⎝⎭，即4a 的最大值为52．15.【2017届浙江省台州市高三上期末】已知公差不为的等差数列，若 且成等比数列，则__________．_________．【答案】 1,.16．已知{}n a 满足()*+∈⎪⎭⎫⎝⎛=+=N n a a a nn n 41,111， +⋅+⋅+=232144a a a S n 14-⋅n n a 类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得=-n n n a S 45___________． 【答案】n ．【解析】因为++⋅+⋅+= 232144a a a S n 14-⋅n n a ， 所以++⋅+⋅+= 332214444a a a S n 114--⋅n n a n n a 4⋅+，两式相加可得()()++++++= 322211445a a a a a S n ()n n n a a +--114n n a 4⋅+，又因为()*+∈⎪⎭⎫⎝⎛=+=N n a a a nn n 41,111， 所以n a S nn n n =+++=-11145． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．【2017届浙江省丽水市高三下测试】已知数列{}n a 的相邻两项1,n n a a +是关于x 的方程()2*20n n x x b n N -+=∈的两实根，且11a =.（1）求234,,a a a 的值；（2）求证：数列123nn a ⎧⎫-⨯⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）21a =， 33a =， 45a = （2）()1213nn n a ⎡⎤=--⎣⎦【解析】试题分析：(1)由题中所给的递推关系可得21a =， 33a =， 45a =. (2)由题意可得数列123nn a ⎧⎫-⨯⎨⎬⎩⎭是首项为13，公比为-1的等比数列.则()1213nn n a ⎡⎤=--⎣⎦.（2）∵11111122223331111222333n n n n n n n n nnn n n a a a a a a +++⎛⎫--⨯-⨯--⨯ ⎪⎝⎭===--⨯-⨯-⨯，故数列123nn a ⎧⎫-⨯⎨⎬⎩⎭是首项为12133a -=，公比为-1的等比数列. 所以()1112133n n n a --⨯=⨯-，即()1213nn n a ⎡⎤=--⎣⎦.18.【改编题】已知等比数列{n a }的公比为q ，且满足1n n a a +<，1a +2a +3a =913，1a 2a 3a =271.（1）求数列{n a }的通项公式；（2）记数列{n a n ⋅-)12(}的前n 项和为n T ，求.n T【答案】（1）n a =131-n （n *N ∈）;（2）n T =3－131-+n n. 【解析】（1）由1a 2a 3a =271，及等比数列性质得32a =271，即2a =31，由1a +2a +3a =913得1a +3a =910由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=91031312a a a 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=910312111q a a q a 所以31012=+q q ，即231030q q +=－解得q =3，或q =31由1n n a a +<知，{n a }是递减数列，故q =3舍去，q =31，又由2a =31，得1a =1， 故数列{n a }的通项公式为n a =131-n （n *N ∈） ………………6分（2）由（1）知n a n ⋅-)12(=1312--n n ，所以n T =1+33+235+⋯+1312--n n ①31n T =31+233+335+ (1332)-n n +n n 312- ② ①－② 得：32n T =1+32+232+332+⋯+132-n －nn 312- =12+（31+231+331+⋯+131-n ）－nn 312- =12+311)311(311--⋅-n －n n 312-=2－131-n －n n 312-,所以n T =3－131-+n n . 19．【2017全国卷2】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S .【答案】(1)12n n b -=.(2)6-或21.(2)由(1)及已知得2122121d q q q -++=⎧⎨++=⎩，解得41q d =⎧⎨=-⎩或58q d =-⎧⎨=⎩. 所以313236S a d⨯=+=-或3132321S a d ⨯=+=. 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a =，1231n n a a a a n a ++++++=，*n ∈N ．（Ⅰ) 求证：数列{1}n a +是等比数列；（Ⅱ) 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，11b =，点1(,)n n T T +在直线112x y n n -=+上，若不等式1212911122n n nb b bm a a a a +++≥-++++对于*n ∈N 恒成立，求实数m 的最大值．【答案】（Ⅰ)详见解析;（Ⅱ) 61 16.【解析】（Ⅱ)由（Ⅰ)得121nna-=-，因为点1(,)n nT T+在直线112x yn n-=+上，所以1112n nT Tn n+-=+，故{}nTn是以111T=为首项，12为公差的等差数列，则11(1)2nTnn=+-，所以(1)2nn nT+=，当2n≥时，1(1)(1)22n n nn n n nb T T n-+-=-=-=，因为11b=满足该式，所以nb n=所以不等式1212911122nn nbb bma a a a+++≥-++++，即为2123912222n nnm-+++≥-，令21231222n nnR-=+++，则23112322222n nnR=+++，两式相减得231111112(1)122222222n n n nn nR-+-=++++-=-，所以1242nn n R -+=-由92n n R m ≥-恒成立，即2542nn m --≥恒成立， 又11232527(4)(4)222n nn n n n ++------=， 故当3n ≤时，25{4}2nn --单调递减；当3n =时，323531428⨯--=； 当4n ≥时，25{4}2nn --单调递增；当4n =时，4245614216⨯--=； 则2542nn --的最小值为6116，所以实数m的最大值是6116 21.【2017届安徽省亳州市二中高三下检测】已知各项均不相等的等差数列{}n a 满足11a =，且125,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若()()*111nn n n n n a a b n N a a +++=-∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）21n a n =-;（Ⅱ）当n 为偶数时， 221n n S n =-+.当n 为奇数时， 2221n n S n +=-+.（Ⅱ）由21n a n =-，可得()()()()()1141111121212121nn n n n n n n a a n b a a n n n n +++⎛⎫=-=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭，当n 为偶数时，111111112113355721212121n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--+++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 当n 为奇数时， 1n +为偶数，于是1111111122113355721212121n n S n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--+-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22.设数列{}n x 的前n 项和为n S ，若存在非零常数p ，使对任意n *∈N都有2n nS p S =成立，则称数列{}n x 为“和比数列”． （1）若数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列，判断数列{}2log n a 是否为“和比数列”；（2）设数列{}n b 是首项为2，且各项互不相等的等差数列，若数列{}n b 是“和比数列”，求数列{}n b 的 通项公式．【答案】（1）是，证明见解析；（2）()24142n b n n =+-=-试题解析：（1）由已知，121242n n n a --=⋅=，则2log 21n a n =-．设数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，则()21212n n S n n +-=⋅=，()22224n S n n ==． 所以24n nS S =，故数列{}2log n a 是“和比数列”． （2）设数列{}n b 的公差为d （0d ≠），前n 项和为n T ，则()122n n n n d -T =+， ()222142n n n n d -T =+，所以()()()()222148*********n n n n n d n d n n n d n d -++-T ==-T +-+ 因为{}n b 是“和比数列”，则存在非零常数p ，使()()822141n d p n d+-=+-恒成立．即()()822141n d p n d +-=+-⎡⎤⎣⎦，即()()()4240p dn p d -+--=恒成立．所以()()()40240p d p d -=⎧⎪⎨--=⎪⎩因为0d ≠，则4p =，4d = 所以数列{}n b 的通项公式是()24142n b n n =+-=-。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．【2018届河南省郑州外国语学校调研】在等差数列中，已知是函数的两个零点，则的前10项和等于( )A． -18 B． 9 C． 18 D． 20【答案】D【解析】2．【2018届福建省三明市第一中学适应性练习（一）】已知是等差数列的前项和，且，，则（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 5【答案】B【解析】，解得或者（舍去）3.【2018届安徽省六安市第一中学适应性考试】已知等差数列的前项和为，若，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设等差数列的公差为d，，化为.则.故选：D.4．【2018届河北省武邑中学四模】设等差数列的前项和为.若，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】又.可得，则故选D.5．【黑龙江省2018年仿真模拟（七）】在数列中，若，且对任意正整数、，总有，则的前项和为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】6．【2018届陕西省黄陵中学6月模拟】已知等差数列的前项和为，且，，则“取得最小值”的一个充分不必要条件是（ ）A ．或 B ．或或 C ．D ．【答案】C 【解析】7．已知等差数列{}n a 中， 1311,1a a ==-，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值是（ ） A. 15 B. 20 C. 26 D. 30 【答案】C 【解析】51351a a d -==-- ，所以通项公式()11314n a a n d n =+-=-+，当101430{{01130n n a n a n +≥-≥⇒≤-≤ ，解得111433n ≤≤ 即4n = ，即前4项和最大， ()4434113262S ⨯=⨯+⨯-=，故选C. 8．【2018届广东省珠海市高三摸底考试】对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3331373152{ 3{9 4{ (517)1119，，，.仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则m 的值为( )A. 44B. 45C. 46D. 47 【答案】C【解析】由题意，从23到m 3，正好用去从3开始的连续奇数共()()212342m m m +-+++⋯+=个，2017从3开始的第1008个奇数， 据此可得46m = . 本题选择C 选项.9．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n N *∈年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】A10．【2018届湖北省荆州市荆州中学高考模拟】已知等差数列的前项和为．若，，则（ ）A ． 35B ． 42C ． 49D ． 63 【答案】B 【解析】 已知数列为等差数列，则其前项和性质有、、也是等差， 由题意得，，则，，故选.二、填空题（本大题共7小题，共36分.把答案填在题中的横线上.） 11.【2018届江苏省扬州树人学校模拟（四）】已知等差数列的前项和为，且，则__________．【答案】.【解析】∵等差数列中，∴，∴．设等差数列的公差为，则．12.已知{}n a是等差数列，n S是其前n项和．若2123a a+=-，510S=，则9a的值是．【答案】20【解析】设公差为d，则由题意可得()21113 51010a a da d⎧++=-⎪⎨+=⎪⎩，解得14 3a d =-⎧⎨=⎩，则948320a=-+⨯=．13.【上海市2018年5月高考模练习（一）】等差数列，，记，则当__________时，取得最大值【答案】4【解析】14.【2018届浙江省台州中学高考模拟】已知数列为等差数列，为的前项和，，若，，则__________．__________．【答案】 -12【解析】分析：首先根据题中的条件，结合等差数列的通项公式和求和公式，建立关于其首项与公差所满足的等量关系式，解方程组，求得其值，之后再借助于等差数列的通项公式和求和公式求得相应的结果.详解：设等差数列的公差为，则由已知得：，即，解得， 所以，.15.【2018届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】等差数列{}n a 满足113n n n a a a n -+++= ()2n ≥，函数()2xf x =， ()2log n n b f a =，则数列{}n b 的前项和为________【答案】()12n n +【解析】等差数列{}n a 满足()1132,33n n n n a a a n n a n -+++=≥∴=，即n a n =，函数()()2,2x n n f x f a =∴=，则12...n b b b +++= ()()()()22122log ...log 22...2nn f a f a f a ⎡⎤⋅=⨯⨯⨯⎣⎦()12...21log 22nn n ++++==，故答案为()12n n +.16．【2017届四川省广元市高三第三次统考】若数列是正项数列，且，则等于____________. A. B.C.D.【答案】17.【2018届宁夏平罗中学第四次（5月）模拟】已知数列的前项和为,且,,时,,则的通项公式___________．【答案】.【解析】由得．又，，∴．二、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.【福建省闽侯第二中学、连江华侨中学等五校教学联合体联考】已知为等差数列的前项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，则由已知，得，解得,故；（2）由已知可得，．19.【2018届江西省横峰中学、铅山一中、德兴一中第一次月考】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5645,60S S ==.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足()1*n n n b b a n N +-=∈，且13b =，求1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(1) 23n a n =+ (2) 222352,4128n n n nb n n T n n +=+=++20.【2018届山东省临沂市沂水县第一中学第三轮考试】已知公差不为0的等差数列的前三项的和为15，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若恒成立，求实数的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）依题意，即，即，故.又，即，故.故数列的通项公式.（2）依题意，.则，故恒成立，则，所以实数的最小值为.21.【2018届江苏省盐城中学全仿真模拟】已知正项数列的前项和为，其中.(I)若，求数列的通项公式；(I)若，求证: 是等差数列.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】当时有.两式相减得，整理得.又恒成立，则，所以是等差数列.22．【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中高三第二次月考】(1)在等差数列中，已知，前项和为，且，求当取何值时，取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列的通项公式是，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.。

2018年高考数学讲练测【浙江版】【讲】第六章 数列第02节 等差数列及其前n 项和【考纲解读】【知识清单】一．等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥.2.等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项,其中2a bA +=. a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=. 4.等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 5.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． 对点练习：【2017届浙江省温州市二模】在等差数列错误！未找到引用源。

中，若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

_______.【答案】错误！未找到引用源。

二、等差数列的前n 项和等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 对点练习：【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14k S -=，9k S =，则k a =__________， 1a 的最大值为__________．【答案】 5 4.【解析】15k k k a S S -=-=，因为()1592k k a S +==，又k 的最小值为2，可知1a 的最大值为4.三、等差数列的相关性质 1.等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+,特殊地，错误！未找到引用源。

第03节 等比数列及其前n 项和A 基础巩固训练1．【2018届湖北省黄石市第三中学（稳派教育）高三检测】已知数列{}n a 是递增的等比数列，且2464242144a a a a a -+=，则53a a -=（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12 【答案】D2．【2018届云南省昆明一中高三第二次月考】已知数列{}n a 是单调递减的等比数列， n S 是{}n a 的前n 项和，若2518a a +=， 3432a a =，则5S 的值是（ ） A. 62 B. 48 C. 36 D. 31 【答案】A【解析】由25341832a a a a +==，，得2516,2a a ==或252,16a a ==，（不符合题意，舍去），所以由2516,2a a ==得1132,q 2a ==，所以5513212=62112S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-，选A ． 3．各项为正的等比数列{}n a 中，若1231,2,3a a a ≥≤≥，则4a 的取值范围是______． 【答案】9,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦9,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据题意232434212392,,822a a q q a a q a a q a a ==⇒≤≤=≥=≤，∴49,82a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 4．在等比数列{}n a 中，对于任意*n N ∈都有123n n n a a +=，则126a a a ⋅⋅⋅= ． 【答案】63【解析】令2=n ，得2433=⋅a a ；由等比数列的性质，得()63436213==⋅⋅⋅a a a a a .5．【2018届江西省南昌市高三上学期摸底】已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，记()*n n n b aS n N =∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n n a =；（2）12244233n n ++⋅-+试题解析：（1）∵122n n S +=-，∴当1n =时，∴1111222a S +==-=；当2n ≥时，11222n n n n n n a S S +-=-=-=，又12a =，∴2n n a =（2）由（1）知， 1242n n n n n b a S +=⋅=⋅-， ∴()()12231122444222n n n n T b b b +=+++=+++-+++()()1241441224242141233n nn n ++--=⨯-=⋅-+--． B 能力提升训练1．等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A. (1)n n + B. (1)n n - C. (1)2n n + D. (1)2n n - 【答案】A【解析】由已知得，2428a a a =⋅，又因为{}n a 是公差为2的等差数列，故2222(2)(6)a d a a d +=⋅+，22(4)a +22(12)a a =⋅+，解得24a =，所以2(2)n a a n d =+-2n =，故1()(n 1)2n n n a a S n +==+． 2．【2018届甘肃省兰州第一中学高三上第二次月考】在等比数列{}n a 中，若1234158a a a a +++=，2398a a =-，则12341111a a a a +++等于A.35 B. 53 C. 35- D. 53- 【答案】D3．已知等比数列()1nn c =-和等差21n b n =-,数列{}n a 的项由{}n b 和{}n c 中的项构成且11a b =,在数列{}n b 的第k 和第1k +项之间依次插入2k 个{}n c 中的项,即1122345634567894,c ,,,,,,,,,,,c ,,,b c b c c c c b c c c c c b ,记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则20S = ；2014S = ．【答案】16,1936【解析】不妨设数列{}n c 的前n 项和为n T ,数列{}n b 的前n 项和为n H ,则根据等比数列和等差数列的前n项和公式可得()()()()11111112n nn T -----+-==--,()21212n n n H n +-==,由数列{}n a 的组成形式可以得到120a a 为112236371241314156,c ,,,,,,,,,b c b c c b c c b c c c c ,则()16220416114162S H T -+-=+=+=,不妨设数列{}n a 的前2014项有1m +个{}n b 中的项,则有()22224622m m m m m +++++==+,则与()222120142201412014m m m m m m +++=⇒+=⇒+=的根最接近的正整数为43,m 44m ==,故数列{}n a 的前2013项有44个{}n b ,则44个{}n b 之间有243431892+=个{}n c ,共有1892441936+=,则还需要2014193678-=个{}n c ,故()19602201444189278114419362S H T +-+-=+=+=,所以填16,1936.4．【2017届浙江省高三上模拟】已知等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，设{}n a ，{}n b的前n 项和分别为n S ，n T ，若2(1)2nn n n T S +=，*n N ∈，则d =_________，q =________.【答案】2，2.5.下表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i 行第j 列的数为(i j i j i a ≥,、j ∈N )*,则83a 等于 ．……【解析】83a 表示第8行第3列数，第88行第2个数为1，第3 C 思维拓展训练1．【2017届广州省惠州市高三第一次调研】等比数列{}n a 的各项为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）32log 5+ 【答案】B2．已知数列{}n a 是正项等差数列，若nna n+++，则数列{}n c 也为等差数列．已知数列{}n b 是正项等比数列，类比上述结论可得A ．若{}n d 满足nnb n +++，则B ．若{}n d 满足nnb n⋅⋅⋅⋅，则{C ．若{}n d 满足113(3)()]nn b nb +++⋅⋅，则{}n d 也是等比数列D ．若{}n d 满足112]n nn b +++⋅⋅，则{}n d 也是等比数列【答案】D 【解析】试题分析：根据等比数列构造新的等比数列，乘积变化为乘方，nn b b b b 33221⋅⋅，原来的除法为开方，D ．3.【浙江省名校协作体2018届高三上学期考试】设数列{}n x 的各项都为正数且11x =. ABC ∆内的点()*n P n N ∈均满足n P AB ∆与nP AC ∆的面积比为2:1，若()112102n n n n n P A x P B x PC ++++=，则4x 的值为( ).15.17.29.31A B C D【答案】A【解析】由()112102n n n n n P A x P B x P C ++++=得()11212n n n n n P A x P C x P B +++=- ， 设()21n n n P D x P C =+以线段n n P A P D 、 作出平行四边形n AEDP ，如图， 则111,22n n n n n n n P E P A P D P E x P B P B ++==-∴=， 12PnAE n PnABSx S+∴= ， 121n n nn P C P C AE x P D ==+ ∴1,12PnAC PnAC PnADPnAEnS S SSx ==+则()112122PnAC n PnABn S x Sx +==+即1121121n n n n x x x x ++=+∴+=+，（）， 则{}1n x + 构成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以3412216x +=⨯= ，所以415x =；故选A ． 4．【2018届湖北省黄石市第三中学（稳派教育）高三检测】已知{}n a ， {}n b 分别为等差数列和等比数列，11a b ≠， {}n b 的前n 项和为n S .函数()214f x x =的导函数是()'f x ，有()'n a f n =，且11,x a x b ==是函数3265y x x x =-+的零点. （1）求11,a b 的值；（2）若数列{}n a 公差为12，且点(),n n P a b ，当*n N ∈时所有点都在指数函数()x h x a =的图象上. 请你求出()xh x a =解析式，并证明： 1132n S ≤<.【答案】（1）112a =,（2）见解析(),n n P a b ，当*n N ∈时所有点都在指数函数()xh x a =的图象上可得na nb a =，即1213nn q a -=， n 取特殊值列方程组可求得19a =，从而可得()19xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用等比数列的求和公式及放缩法可证明结论.试题解析：（1）由()214f x x =得()1'2f x x =，又()'n a f n =，所以12n a n = ∴112a =. ∵()()32653121y x x x x x x =-+=--的零点为110,,32x x x ===，而11,x a x b ==是3265y x x x =-+的零点，又1b 是等比数列的首项，所以10b ≠， 11a b ≠，∴113b =. （2）∵()111222n n a n =+-=， 令{}n b 的公比为q ，则113n n b q -=.又123,,,,,n P P P P 都在指数函数()xh x a =的图象上，即na nb a =，即1213nn q a -=当*n N ∈时恒成立，解得19{13a q ==.所以()19x h x ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ∵()111113311111123213nnn n b q S q⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦===-<⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，因为0n b >，所以当1n =时， n S 有最小值为13，所以1132n S ≤<. 5．【2018届湖南省长沙市长郡中学高三月考二】等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，.(1)求数列和的通项公式；(2)令，设数列的前项和，求.【答案】(1) ；(2) = .得，解得.∴. （2）由得，则为奇数，，为偶数，.∴。

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第03节 等比数列及其前n 项和A 基础巩固训练1．【20１8届湖北省黄石市第三中学（稳派教育)高三检测】已知数列{}n a 是递增的等比数列,且2464242144a a a a a -+=，则53a a -=( )A 。

6 B. ８ C 。

１0 D 。

１2 【答案】D2.【2018届云南省昆明一中高三第二次月考】已知数列{}n a 是单调递减的等比数列， n S 是{}n a 的前n 项和，若2518a a +=， 3432a a =,则5S 的值是（ ） A 。

６2 B. 48 Ｃ。

36 Ｄ. 31 【答案】Ａ【解析】由25341832a a a a +==，，得2516,2a a ==或252,16a a ==，(不符合题意,舍去)，所以由2516,2a a ==得1132,q 2a ==，所以5513212=62112S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-,选Ａ． 3．各项为正的等比数列{}n a 中，若1231,2,3a a a ≥≤≥，则4a 的取值范围是＿__＿__．【答案】9,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦9,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据题意232434212392,,822a a q q a a q a a q a a ==⇒≤≤=≥=≤,∴49,82a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 4.在等比数列{}n a 中，对于任意*n N ∈都有123n n n a a +=,则126a a a ⋅⋅⋅= ． 【答案】63【解析】令2=n ，得2433=⋅a a ;由等比数列的性质,得()63436213==⋅⋅⋅a a a a a .５．【2018届江西省南昌市高三上学期摸底】已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，记()*n n n b a S n N =∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； (2）求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)2n n a =;(２)12244233n n ++⋅-+试题解析：（1）∵122n n S +=-,∴当1n =时，∴1111222a S +==-=;当2n ≥时,11222n n n n n n a S S +-=-=-=,又12a =，∴2n n a =（2）由(1)知， 1242n n n n n b a S +=⋅=⋅-,∴()()12231122444222n n n n T b b b +=+++=+++-+++()()1241441224242141233n nn n ++--=⨯-=⋅-+--. B 能力提升训练1．等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A 。

〔浙江专用〕2018版高考数学大一轮复习 第六章 数列与数学归纳法6.2 等差数列及其前n 项和教师用书1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)假设{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，那么a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)假设{a n }是等差数列，公差为d ，那么{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)假设{a n }，{b n }是等差数列，那么{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)假设{a n }是等差数列，公差为d ，那么a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n a 1＋a n2或S n ＝na 1＋n n －12d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，假设a 1>0，d <0，那么S n 存在最大值；假设a 1<0，d >0，那么S n 存在最小值． 【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列． 【思考辨析】判断以下结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)假设一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，那么这个数列是等差数列．( × )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × ) (4)等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，那么它的公差为－2.( √ )1．在等差数列{a n }中，假设a 2＝4，a 4＝2，那么a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6 答案 B解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，应选B.2．(2016·全国乙卷)等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，那么a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C解析 由等差数列性质，知S 9＝9a 1＋a 92＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，应选C.3．(2016·绍兴一模)数列{a n }中，a 3＝3，a n ＋1＝a n ＋2，那么a 2＋a 4＝________，a n ＝________. 答案 6 2n －3解析 由得a n ＋1－a n ＝2，所以{a n }为公差为2的等差数列，由a 1＋2d ＝3，得a 1＝－1， 所以a n ＝－1＋(n －1)×2＝2n －3，a 2＋a 4＝2a 3＝6.4．假设等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，那么当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大.题型一 等差数列根本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，假设a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，那么数列{a n }前10项的和为( ) A ．2 B ．10 C.52 D.54(2)(2016·北京){a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．假设a 1＝6，a 3＋a 5＝0，那么S 6＝________. 答案 (1)C (2)6解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S 10＝10×(－2)＋10×10－12×12＝52.(2)∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0. 又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2. ∴S 6＝6×6＋6×6－12×(－2)＝6. 思维升华 等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，表达了用方程的思想解决问题．(1)(2016·杭州模拟)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＝3，a 6＝11，那么S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．63(2)(2016·江苏){a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．假设a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，那么a 9的值是________． 答案 (1)C (2)20解析 (1)∵a 1＋a 7＝a 2＋a 6＝3＋11＝14， ∴S 7＝7a 1＋a 72＝49.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋d 2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3，那么a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20. 题型二 等差数列的判定与证明例2 数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解 由(1)知b n ＝n －72，那么a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，那么f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究例2中，假设条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．解 由可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1， 即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴a n ＝n 2－25n .思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．(1)在数列{a n }中，假设a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，那么该数列的通项为( ) A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 A 解析 由式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n＝n ，即a n ＝1n.(2)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. ①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； ②求{a n }的通项公式．①证明 由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2， 得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2， 即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． ②解 由①得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑nk ＝1 (a k ＋1－a k )＝∑nk ＝1 (2k －1)， 所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2. 题型三 等差数列性质的应用 命题点1 等差数列项的性质例3 (1)(2016·浙江五校第一次联考){a n }为等差数列，假设a 1＋a 5＋a 9＝8π，那么{a n }前9项的和S 9＝______，cos(a 3＋a 7)的值为________．(2){a n }，{b n }都是等差数列，假设a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，那么a 5＋b 6＝________. 答案 (1)24π －12(2)21解析 (1)由a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝8π，解得a 5＝8π3，所以{a n }前9项的和S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝9×8π3＝24π.cos(a 3＋a 7)＝cos 2a 5＝cos 16π3＝cos 4π3＝－12.(2)因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21. 命题点2 等差数列前n 项和的性质例4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝－12，S 9＝45，那么S 12＝________. (2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，假设S 1212－S 1010＝2，那么S 2 018的值等于( )A ．－2 018B ．－2 016C ．－2 019D ．－2 017答案 (1)114 (2)A解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，所以2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，即2(S 6＋12)＝－12＋(45－S 6)，解得S 6＝3. 又2(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)＋(S 12－S 9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S 12－45)，解得S 12＝114. (2)由题意知，数列{S n n}为等差数列，其公差为1， ∴S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1 ＝－2 018＋2 017＝－1. ∴S 2 018＝－2 018.思维升华 等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，那么 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .(1)在等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝16，那么该数列前11项和S 11等于( )A ．58B ．88C ．143D ．176(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，假设S n T n ＝3n －22n ＋1，那么a 7b 7等于( )A.3727B.1914C.3929D.43答案 (1)B (2)A 解析 (1)S 11＝11a 1＋a 112＝11a 4＋a 82＝11×162＝88.(2)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.5．等差数列的前n 项和及其最值考点分析 公差不为0的等差数列，求其前n 项和与最值在高考中时常出现.题型有小题，也有大题，难度不大.典例1 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，那么此数列前10项的和S 10等于( ) A ．45 B ．60 C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，那么S 110＝________. 解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9， 所以S 10＝10a 1＋a 102＝10a 3＋a 82＝10×92＝45.(2)方法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 那么⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.方法二 因为S 100－S 10＝a 11＋a 100×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2， 所以S 110＝a 1＋a 110×1102＝a 11＋a 100×1102＝－110.答案 (1)A (2)－110典例2 在等差数列{a n }中，a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．标准解答解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.方法一 由a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653， 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.方法二 S n ＝20n ＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n ∈N *，∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三 由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.1．(2016·重庆一诊)在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，a 2＝5，那么{a n }的前4项和为( ) A ．9 B ．22 C ．24 D ．32答案 C解析 由a n ＋1－a n ＝2，知{a n }为等差数列且公差d ＝2，∴由a 2＝5，得a 1＝3，a 3＝7，a 4＝9，∴前4项和为3＋5＋7＋9＝24，应选C.2．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 2＋a 3＝13，那么a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．40 B ．42 C ．43 D ．45 答案 B解析 a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5，又a 1＝2，∴d ＝3，a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝3(a 1＋4d ) ＝3×14＝42.3．(2016·佛山模拟)等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，那么n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11答案 C解析 由S n －S n －3＝51，得a n －2＋a n －1＋a n ＝51， 所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n a 2＋a n －12＝100，解得n ＝10.4．(2016·绍兴柯桥区二模)各项均不为零的等差数列{a n }中，假设a n ＋1＝a 2n －a n －1(n ∈N *，n ≥2)，那么S 2 016等于( )A ．0B ．2C ．2 015D ．4 032 答案 D解析 由可得a 2n ＝2a n (n ≥2)， ∵{a n }各项均不为零， ∴a n ＝2(n ≥2)，又{a n }为等差数列，∴a n ＝2，∴S 2 016＝4 032.5．数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，那么使得S n 取得最大值的序号n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．7或8 D ．8或9答案 C解析 由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或n ＝8，应选C. *6.设数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S nS 2n为常数，那么称数列{a n }为“桔祥数列〞．等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，假设数列{b n }为“桔祥数列〞，那么数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n ＋1答案 B解析 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)， S n S 2n＝k ，因为b 1＝1， 那么n ＋12n (n －1)d ＝k [2n ＋12×2n (2n －1)d ]， 即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，又公差d ≠0，解得d ＝2，k ＝14. 所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.7．数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，那么a 10＝________. 答案 14解析 由得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4， 故a 10＝14. 8．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，那么|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 答案 130解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130. 9．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，假设对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，那么a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 答案1941 解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941. 10．(2017·浙江新高考预测三)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，那么a 20的值是________． 答案 245解析 由2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，得 na n －(n －1)a n －1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ， 又因为1×a 1＝1,2×a 2－1×a 1＝5， 所以数列{na n }是首项为1，公差为5的等差数列，那么20a 20＝1＋19×5，解得a 20＝245. 11．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)假设数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 那么a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋3－2n ]2＝2n －n 2. 由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.12．假设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12. (1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2， 又1S 1＝1a 1＝2， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12n －1＝n －1－n 2n n －1＝－12n n －1. 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式． 故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －1，n ≥2. *13.数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明 当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5， 又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1， 即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1， 因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1. 假设a n －1＝－a n －1，那么a n ＋a n －1＝1. 而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1， 因此数列{a n }是首项为3，公差为1的等差数列．(2)解 由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n}的通项公式a n＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即a n＝n＋2.。

第2讲 等差数列及其前n 项和【2018年高考会这样考】1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题． 2．考查等差数列的性质、前n 项和公式及综合应用． 【复习指导】1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n 项和公式等． 2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．基础梳理1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项 如果A ＝a ＋b2，那么A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ， 则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．5．等差数列的前n 项和公式 若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝n a 1＋a n2，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其前n 项和公式为S n ＝na 1＋n n －2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，数列{a n }是等差数列的充要条件是S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．最值问题在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值，若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n 项和公式：S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，① S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，②①＋②得：S n ＝n a 1＋a n2.两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 解析 a 2＋a 8＝2a 5，∴a 5＝6. 答案 C2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )．A ．31B ．32C ．33D ．34解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43.∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.答案 B3．(2018·江西)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1.那么a 10＝( )． A ．1 B ．9 C ．10 D ．55解析 由S n ＋S m ＝S n ＋m ，得S 1＋S 9＝S 10⇒a 10＝S 10－S 9＝S 1＝a 1＝1. 答案 A4．(2018·杭州质检)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )． A ．13 B ．35 C ．49 D ．63 解析 ∵a 1＋a 7＝a 2＋a 6＝3＋11＝14，∴S 7＝a 1＋a 72＝49.答案 C5．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 解析 设公差为d . 则a 5－a 2＝3d ＝6， ∴a 6＝a 3＋3d ＝7＋6＝13. 答案 13考向一 等差数列基本量的计算【例1】►(2018·福建)在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． [审题视点] 第(1)问，求公差d ； 第(2)问，由(1)求S n ，列方程可求k .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2.从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n . 所以S n ＝n [1＋－2n2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35. 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7为所求．等差数列的通项公式及前n 项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组解之．如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以．体现了用方程思想解决问题的方法．【训练1】 (2018·湖北)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析 设竹子从上到下的容积依次为a 1，a 2，…，a 9，由题意可得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，设等差数列{a n }的公差为d ，则有4a 1＋6d ＝3①，3a 1＋21d ＝4②，由①②可得d＝766，a 1＝1322，所以a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766. 答案6766考向二 等差数列的判定或证明【例2】►已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求a n 的表达式．[审题视点] (1)化简所给式子，然后利用定义证明． (2)根据S n 与a n 之间关系求a n .(1)证明 ∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1， ∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0，∴1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，以2为公差的等差数列．(2)解 由(1)知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，有a n ＝－2S n ×S n －1＝－12n n －，又∵a 1＝12，不适合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12nn －，n ≥2.等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前n 项和公式法主要适合在选择题中简单判断．【训练2】 已知数列{a n }的前n 项和S n 是n 的二次函数，且a 1＝－2，a 2＝2，S 3＝6. (1)求S n ；(2)证明：数列{a n }是等差数列．(1)解 设S n ＝An 2＋Bn ＋C (A ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝A ＋B ＋C ，0＝4A ＋2B ＋C ，6＝9A ＋3B ＋C ，解得：A ＝2，B ＝－4，C ＝0. ∴S n ＝2n 2－4n .(2)证明 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－4n －[2(n －1)2－4(n －1)] ＝4n －6.∴a n ＝4n －6(n ∈N *)．当n ＝1时符合上式，故a n ＝4n －6， ∴a n ＋1－a n ＝4， ∴数列{a n }成等差数列．考向三 等差数列前n 项和的最值【例3】►设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． [审题视点] 第(1)问：列方程组求a 1与d ；第(2)问：由(1)写出前n 项和公式，利用函数思想解决． 解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2.数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n . (2)由(1)知，S n ＝na 1＋n n －2d ＝10n －n 2.因为S n ＝－(n －5)2＋25，所以当n ＝5时，S n 取得最大值．求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．(2)利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．【训练3】 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．解 法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15， ∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653. ∴a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，n ≥14时，a n ＜0.∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.法二 同法一求得d ＝－53.∴S n ＝20n ＋n n －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53 ＝－56n 2＋1256n＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值， 且最大值为S 12＝S 13＝130. 法三 同法一得d ＝－53.又由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值， 且最大值为S 12＝S 13＝130.考向四 等差数列性质的应用【例4】►设等差数列的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，S n ＝324，最后6项的和为180(n ＞6)，求数列的项数n .[审题视点] 在等差数列 {a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)用此性质可优化解题过程．解 由题意可知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36①a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216. ∴a 1＋a n ＝36.又S n ＝n a 1＋a n2＝324，∴18n ＝324. ∴n ＝18.本题的解题关键是将性质m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q 与前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2结合在一起，采用整体思想，简化解题过程．【训练4】 (1)设数列{a n }的首项a 1＝－7，且满足a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N ＋)，则a 1＋a 2＋…＋a 17＝________.(2)等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于________． 解析 (1)∵a n ＋1－a n ＝2，∴{a n }为等差数列． ∴a n ＝－7＋(n －1)·2，∴a 17＝－7＋16×2＝25，S 17＝a 1＋a 172＝－7＋2＝153.(2)由已知可得(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝－24＋78⇒(a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝54⇒a 1＋a 20＝18⇒S 20＝a 1＋a 202×20＝182×20＝180.答案 (1)153 (2)180阅卷报告6——忽视a n 与S n 中的条件n ≥2而致误【问题诊断】 在数列问题中，数列的通项a n 与其前n 项和S n 之间存在下列关系：a n ＝\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S 1n ＝，,S n －S n －1n这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n ＝1和n ≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点.【防范措施】 由a n ＝S n －S n －1求出a n 后，一定不要忘记验证n ＝1是否适合a n .【示例】►(2018·安徽改编)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式． 错因 求a n 、b n 时均未验证n ＝1. 实录 ∵a n ＝S n －S n －1，∴a n ＝2n 2＋2n －2(n －1)2－2(n －1)＝4n . 又T n ＝2－b n ，∴b n ＝T n －T n －1＝2－b n －2＋b n －1，即b n ＝12b n －1，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝21－n.正解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋2n －2(n －1)2－2(n －1)＝4n ， 又a 1＝S 1＝4，故a n ＝4n ，当n ≥2时，由b n ＝T n －T n －1＝2－b n －2＋b n －1， 得b n ＝12b n －1，又T 1＝2－b 1，∴b 1＝1，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝21－n.【试一试】 已知在正整数数列{a n }中，前n 项和S n 满足：S n ＝18(a n ＋2)2.(1)求证：{a n }为等差数列．(2)若b n ＝12a n －30.求数列{b n }的前n 项和的最小值．[尝试解答] (1)证明：当n ＝1时，S 1＝a 1＝18(a 1＋2)2，∴(a 1－2)2＝0，∴a 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝18(a n ＋2)2－18(a n －1＋2)2，∴a n －a n －1＝4， ∴{a n }为等差数列．(2)由(1)知：a n ＝a 1＋(n －1)4＝4n －2， 由b n ＝12a n －30＝2n －31≤0得n ≤312.∴{b n }的前15项之和最小，且最小值为－225.。

§6.2 等差数列及其前n 项和 学考考查重点1.在解答题中对所求结论的运算进行等差数列的判断与证明；2.运用基本量法求解等差数列的基本量问题；3.考查等差数列的性质及综合应用． 本节复习目标1.准确理解概念，掌握等差数列的有关公式和性质；2.注意不同性质的适用条件和注意事项．1． 等差数列的定义如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__ _表示．2． 等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是3． 等差中项如果A ＝a ＋b 2，那么A 叫做a 与b 的等差中项．4． 等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋ ，(n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则 .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．5． 等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n a 1＋a n 2或S n ＝na 1＋n n －2d .6． 等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数)．7． 等差数列的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__ _值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__ __值．1．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝____.2． 已知两个数列x ，a 1，a 2，a 3，y 与x ，b 1，b 2，y 都是等差数列，且x ≠y ，则a 2－a 1b 2－b 1的值为________．3．已知等差数列{a n}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________.4．设{a n}为等差数列，公差d＝－2，S n为其前n项和，若S10＝S11，则a1等于( ) A．18 B．20 C．22 D．245．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于( ) A．58 B．88 C．143 D．176题型一等差数列基本量的计算例1(2011·福建)在等差数列{a n}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{a n}的前k项和S k＝－35，求k的值．变式训练1：设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．题型二等差数列的前n项和及综合应用例2(1)在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为S n，且S10＝S15，求当n取何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{a n}的通项公式是a n＝4n－25，求数列{|a n|}的前n项和．变式训练2：已知等差数列{a n}前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．题型三等差数列性质的应用例3设等差数列的前n项和为S n，已知前6项和为36，S n＝324，最后6项的和为180 (n>6)，求数列的项数n.变式训练3： (1)设数列{a n}的首项a1＝－7，且满足a n＋1＝a n＋2 (n∈N＋)，则a1＋a2＋…＋a17＝________.(2)等差数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于________．。