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课时作业一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24，7)B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) B [根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0. 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.]2．已知实数对(x ，y )满足⎩⎨⎧x ≤2，y ≥1，x －y ≥0，则2x ＋y 取最小值时的最优解是( )A ．6B ．3C ．(2，2)D ．(1，1)D [约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z ＝2x ＋y ，y ＝－2x ＋z ，作初始直线l 0：y ＝－2x ，作与l 0平行的直线l ，则直线经过点(1，1)时，(2x ＋y )min ＝3.]3．(2014·潍坊一模)在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥12x ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋12y的最大值为( )A.14 B.34 C.56D.53C [作出如图可行域．则当目标函数过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13时取得最大值．∴z max ＝23＋12×13＝56，故选C.]4．(2014·泉州质检)已知O 为坐标原点，A (1，2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP →的最大值为 ( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2D [如图作可行域，z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，显然在B (0，1)处z max ＝2.故选D.]5．(2014·山东烟台模拟)已知A (3，3)，O 是坐标原点，点P (x ，y )的坐标满足⎩⎨⎧3x －y ≤0，x －3y ＋2≥0，y ≥0，设 Z 为OA →在OP →上的投影，则Z 的取值范围是( )A ．[－3， 3 ]B ．[－3，3]C ．[－3，3]D ．[－3， 3 ]B [约束条件所表示的平面区域如图.OA →在OP →上的投影为|OA→|·cos θ＝23cos θ(θ为OA →与OP →的夹角)， ∵∠xOA ＝30°，∠xOB ＝60°，∴30°≤θ≤150°，∴23cos θ∈[－3，3]．] 二、填空题6．(2014·成都月考)若点P (m ，3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y ＜3表示的平面区域内，则m ＝________. 解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|4m －9＋1|5＝4，2m ＋3＜3，解得m ＝－3. 答案 －37．(2013·北京高考)已知点A (1，－1)，B (3，0)，C (2，1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为__________．解析 AP→＝λAB →＋μAC →，AB →＝(2，1)，AC →＝(1，2)． 设P (x ，y )，则AP →＝(x －1，y ＋1)．∴⎩⎨⎧x －1＝2λ＋μ，y ＋1＝λ＋2μ， 得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2x －y －33，μ＝2y －x ＋33，∵1≤λ≤2，0≤μ≤1， 可得⎩⎨⎧6≤2x －y ≤9.0≤x －2y ≤3，如图．可得A 1(3，0)，B 1(4，2)，C 1(6，3)， |A 1B 1|＝（4－3）2＋22＝5， 两直线距离d ＝|9－6|22＋1＝35， ∴S ＝|A 1B 1|·d ＝3. 答案 38．(2014·来宾一模)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax＋y (其中a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围为__________． 解析 由约束条件表示的可行域如图所示，作直线l ：ax ＋y ＝0，过点(3，0)作l 的平行线l ′，则直线l ′介于直线x ＋2y －3＝0与直线x ＝3之间， 因此，－a ＜－12， 即a ＞12. 答案 (12，＋∞) 三、解答题9．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解析 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎨⎧5x ＋7y ＋4（100－x －y ）≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z ，整理得⎩⎨⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z ，目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，如图所示，作出可行域．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值． 由⎩⎨⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100， 得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝50，最优解为A (50，50)， 所以W max ＝550(元)．答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．10．变量x 、y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围． 解析 由约束条件⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1作出(x ，y )的可行域如图所示． 由⎩⎨⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0， 解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎨⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1，1)． 由⎩⎨⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5，2)． (1)z ＝y x ＝y －0x －0表示的几何意义是可行域中的点与原点O 连线的斜率.观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29. 故z 的取值范围为[2，29]．。
课时作业43 数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n＝1－a n ＋11－a，a≠1，n ∈N *”，在验证n ＝1时，左边是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3解析：当n ＝1时，代入原式有左边＝1＋a.故选B. 答案：B2．如果命题p(n)对n ＝k 成立，则它对n ＝k ＋2也成立．若p(n)对n ＝2成立，则下列结论正确的是( )A ．p(n)对所有正整数n 都成立B ．p(n)对所有正偶数n 都成立C ．p(n)对所有正奇数n 都成立D ．p(n)对所有自然数n 都成立 解析：归纳奠基是：n ＝2成立．归纳递推是：n ＝k 成立，则对n ＝k ＋2成立． ∴p(n)对所有正偶数n 都成立． 答案：B3．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －2B ．a n ＝n 2C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝4n －3解析：求得a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2. 答案：B4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析：假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除． 当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．答案：A5．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.故选B.答案：B6．用数学归纳法证明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1解析：n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k＋1)＋(k －1)][(k ＋1)＋k][(k ＋1)＋(k ＋1)]＝(k ＋2)(k ＋3)…(k＋k)(2k ＋1)(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k＋k)[2(2k ＋1)]，∴应增乘2(2k ＋1)． 答案：B 二、填空题7．使|n 2－5n ＋5|＝1不成立的最小的正整数是__________． 解析：n ＝1,2,3,4代入验证成立，而n ＝5验证不成立． 答案：58．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝2＋3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是________．答案：(k ＋1)2＋k 29．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是__________．解析：本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1； 4＝1＋3＝2＋2＝3＋1； 5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1； …；一个整数n 所拥有数对为(n －1)对．设1＋2＋3＋…＋(n －1)＝60，∴－2＝60，∴n ＝11时还多5对数，且这5对数和都为12,12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7， ∴第60个数对为(5,7)． 答案：(5,7) 三、解答题10．用数学归纳法证明下面的等式： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1＋2.证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0·＋2＝1，∴原等式成立．(2)假设n ＝k(k ∈N *，k≥1)时，等式成立， 即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k －1＋2.那么，当n ＝k ＋1时，则有 12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k ·(k＋1)2＝(－1)k －1＋2＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k·k ＋12[－k ＋2(k ＋1)]＝(－1)k＋＋2.∴n ＝k ＋1时，等式也成立， 由(1)(2)知对任意n ∈N *，有 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1＋2.11．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论． (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n <512.解：(1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n(n ＋1)(n ∈N *)，b n ＝(n ＋1)2(n ∈N *)．用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立． ②假设当n ＝k(k≥1，k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝k(k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝＋2＋2＋2＝(k ＋2)2，所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，可知a n ＝n(n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立． (2)①当n ＝1时，1a 1＋b 1＝16<512.②当n≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝n(n ＋1)＋(n ＋1)2＝(n ＋1)(2n ＋1)>2(n ＋1)n. 所以1a n ＋b n <1＋.故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n<16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3＋13×4＋…＋1＋＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1<16＋14＝512. 由①②可知原不等式成立．1．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n (n ∈N *)，且点P 1的坐标为(1，－1)． (1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． 解：(1)由题意得a 1＝1，b 1＝－1， b 2＝－11－4×1＝13，a 2＝1×13＝13，∴P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13. ∴直线l 的方程为y ＋113＋1＝x －113－1，即2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k(k≥1且k ∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立． 则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a 2k ·(2a k ＋1)＝b k 1－2a k ＝1－2a k1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝1也成立．由①②知，对于n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上． 2．(2014·重庆卷)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b(n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c<a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． 解：(1)解法1：a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知 (a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1 (n ∈N *)． 解法2：a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1. 因此猜想a n ＝n －1＋1. 下用数学归纳法证明上式： 当n ＝1时结论显然成立． 假设n ＝k 时结论成立， 即a k ＝k －1＋1.则a k ＋1＝k－2＋1＋1＝－＋1＋1＝＋－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1 (n ∈N *)． (2)设f(x)＝－2＋1－1，则a n ＋1＝f(a n )． 令c ＝f(c)，即c ＝－2＋1－1，解得c ＝14.下用数学归纳法证明加强命题 a 2n <c<a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f(1)＝0，a 3＝f(0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c<a 2k ＋1<1. 易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而 c ＝f(c)>f(a 2k ＋1)>f(1)＝a 2，即1>c>a 2k ＋2>a 2.再由f(x)在(－∞，1]上为减函数得c ＝f(c)<f(a 2k ＋2)<f(a 2)＝a 3<1. 故c<a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c<a 2(k ＋1)＋1<1. 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.。
课时作业一、选择题1．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )A ．不成立B ．成立C ．不能断定D ．能断定B [∵S n ＝2n 2－3n ，∴S n －1＝2(n －1)2－3(n －1)(n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝4n －5(当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1符合上式)．∴a n ＋1－a n ＝4(n ≥1)，∴{a n }是等差数列．]2．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数B [“恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”．]3．设0＜x ＜1，a ＞0，b ＞0，a 、b 为常数，a 2x ＋b 21－x的最小值是 ( )A ．4abB ．2(a 2＋b 2)C ．(a ＋b )2D ．(a －b )2C [⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 21－x (x ＋1－x ) ＝a 2＋a 2（1－x ）x ＋b 2x 1－x ＋b 2≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.] 4．设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＞b ，a ＜b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立，其中正确判断的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3C [①②正确；③中，a ≠b ，b ≠c ，a ≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，故正确的判断有2个．]5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0C [b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.]6．不相等的三个正数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，则x 2，b 2，y 2三数( )A ．成等比数列而非等差数列B ．成等差数列而非等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．既非等差数列又非等比数列B [由已知条件，可得⎩⎨⎧a ＋c ＝2b ， ①x 2＝ab ， ②y 2＝bc . ③由②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x 2b ，c ＝y 2b .代入①，得x 2b ＋y 2b ＝2b ，即x2＋y2＝2b2.故x2，b2，y2成等差数列．]二、填空题7．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，则三边a，b，c 应满足________．解析由余弦定理cos A＝b2＋c2－a22bc＜0，所以b2＋c2－a2＜0，即a2＞b2＋c2.答案a2＞b2＋c28．已知点A n(n，a n)为函数y＝x2＋1图象上的点，B n(n，b n)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设c n＝a n－b n，则c n与c n＋1的大小关系为________．解析由条件得c n＝a n－b n＝n2＋1－n＝1n2＋1＋n，∴c n随n的增大而减小．∴c n＋1<c n.答案c n＋1<c n9．(2014·邯郸模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)解析若a＝12，b＝23，则a＋b＞1，但a＜1，b＜1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，故⑤推不出；对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案③三、解答题10．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求证：d＋a＜b＋c.证明要证d＋a＜b＋c，只需证(d＋a)2＜(b＋c)2，即a＋d＋2ad＜b＋c＋2bc，因a＋d＝b＋c，只需证ad＜bc，即ad＜bc，设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，故ad＜bc成立，从而d＋a＜b＋c成立．11．求证：a，b，c为正实数的充要条件是a＋b＋c＞0，且ab＋bc＋ca＞0和abc ＞0.证明必要性(直接证法)：∵a，b，c为正实数，∴a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，因此必要性成立．充分性(反证法)：假设a，b，c是不全为正的实数，由于abc＞0，则它们只能是两负一正，不妨设a＜0，b＜0，c＞0.又∵ab＋bc＋ca＞0，∴a(b＋c)＋bc＞0，且bc＜0，∴a(b＋c)＞0.①又∵a＜0，∴b＋c＜0.∴a＋b＋c＜0这与a＋b＋c＞0相矛盾．故假设不成立，原结论成立，即a，b，c均为正实数．12．设f(x)＝e x－1.当a＞ln 2－1且x＞0时，证明：f(x)＞x2－2ax.证明欲证f(x) ＞x2－2ax，即e x－1 ＞x2－2ax，也就是e x－x2＋2ax－1＞0.可令u(x)＝e x－x2＋2ax－1，则u′(x)＝e x－2x＋2a.令h(x)＝e x－2x＋2a，则h′(x)＝e x－2.当x∈(－∞，ln 2)时，h′(x)＜0，函数h(x)在(－∞，ln 2]上单调递减，当x∈(ln 2，＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)在[ln 2，＋∞)上单调递增．所以h(x)的最小值为h(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a.因为a＞ln 2－1，所以h(ln 2) ＞2－2ln 2＋2(ln 2－1)＝0，即h(ln 2)＞0.所以u′(x)＝h(x)＞0，即u(x)在R上为增函数．故u(x)在(0，＋∞)上为增函数．所以u(x)＞u(0)．而u(0)＝0，所以u(x)＝e x－x2＋2ax－1＞0.即当a＞ln 2－1且x＞0时，f(x)＞x2－2ax.。
课时作业一、选择题1．已知f (x )＝x ＋1x －2(x ＜0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4C [∵x ＜0，∴f (x )＝－ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1（－x ）－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝1－x，即x ＝－1时取等号．] 2．(2014·太原模拟)设a 、b ∈R ，已知命题p ：a 2＋b 2≤2ab ；命题q ：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，则p 是q 成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件B [命题p ：(a －b )2≤0⇔a ＝b ；命题q ：(a －b )2≥0.显然，由p 可得q 成立，但由q 不能推出p 成立，故p 是q 的充分不必要条件．] 3．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2A [∵x >1，∴x －1>0. ∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2（x －1）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2 （x －1）3x －1＋2＝23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．] 4．(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2A [设甲、乙两地的距离为s ，则从甲地到乙地所需时间为sa ，从乙地到甲地所需时间为sb ，又因为a <b ，所以全程的平均速度为v ＝2s s a ＋s b＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab ，2ab a ＋b >2ab2b＝a ， 即a <v <ab .]5．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.256D ．不存在A [设正项等比数列{a n }的公比为q ， 由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0， 解得q ＝2. 由a m a n ＝4a 1，即2m ＋n －22＝4，得2m ＋n －2＝24，即m ＋n ＝6.故1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝56＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫4m n ＋n m≥56＋46＝32，当且仅当4m n ＝nm 时等号成立．]6．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2C [由1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0得k ≥－（a ＋b ）2ab ，而（a ＋b ）2ab ＝b a ＋ab ＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－（a ＋b ）2ab≤－4，因此要使k ≥－（a ＋b ）2ab 恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.] 二、填空题7．已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________． 解析 ∵12＝4x ＋3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎨⎧4x ＝3y ，4x ＋3y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2时xy 取得最大值3.答案 38．已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p ＞0)若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________．解析 由题意得x －1＞0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4， 所以2p ＋1＝4，解得p ＝94. 答案 949．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x 的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．解析 由题意知：P 、Q 两点关于原点O 对称，不妨设P (m ，n )为第一象限中的点，则m ＞0，n ＞0，n ＝2m ，所以|PQ |2＝4|OP |2＝4(m 2＋n 2)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋4m 2≥16，⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m 2＝4m 2，即m ＝2时，取等号， 故线段PQ 长的最小值是4. 答案 4 三、解答题10．已知x ＞0，a 为大于2x 的常数， (1)求函数y ＝x (a －2x )的最大值； (2)求y ＝1a －2x －x 的最小值．解析 (1)∵x ＞0，a ＞2x ， ∴y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x ) ≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（a －2x ）22＝a 28， 当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 28. (2)y ＝1a －2x＋a －2x 2－a 2≥2 12－a 2＝2－a 2.当且仅当x ＝a －22时取等号． 故y ＝1a －2x－x 的最小值为2－a 2. 11．正数x ，y 满足1x ＋9y ＝1. (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．解析 (1)由1＝1x ＋9y ≥2 1x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y ，即y ＝9x ＝18时取等号， 故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋22y x ·9xy ＝19＋62，当且仅当2y x ＝9xy ，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2. 12．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．(1)若建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y ＝f (x )的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？解析 (1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元， 建筑第1层楼房建筑费用为720×1 000＝720 000(元)＝72 (万元)， 楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1 000＝20 000(元)＝2(万元)， 建筑第x 层楼房的建筑费用为72＋(x －1)×2＝2x ＋70(万元)， 建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y ＝f (x )＝72x ＋x （x －1）2×2＋100＝x 2＋71x ＋100，综上可知y ＝f (x )＝x 2＋71x ＋100(x ≥1，x ∈Z )． (2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g (x )，则g (x )＝f （x ）×10 0001 000x ＝10f （x ）x ＝10（x 2＋71x ＋100）x＝10x ＋1 000x ＋710≥2 10x ·1 000x ＋710＝910.当且仅当10x ＝1 000x ， 即x ＝10时等号成立．综上可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元．。
A 组 考点基础演练一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>b c 2＋1D ．a |c |>b |c |解析：∵c 2＋1≥1，∴根据不等式的性质知a c 2＋1>bc 2＋1成立．答案：C2．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定解析：由题意得M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)·(a 2－1)>0，故M >N . 答案：B3．(2015年合肥模拟)已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A.c a ＜b a B.b －a c ＞0C.b 2c <a 2cD.a －c ac＜0 解析：∵c <b <a 且ac <0，∴c <0，a >0，∴c a <b a ，b －ac >0，a －c ac <0，但b 2与a 2的关系不确定，故b 2c <a 2c不一定成立．答案：C4．(2013年高考天津卷)设a ，b ∈R, 则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由不等式的性质知(a －b )·a 2<0成立，则a <b 成立；而当a ＝0，a <b 成立时，(a －b )·a 2<0不成立，所以(a －b )·a 2<0是a <b 的充分不必要条件．答案：A5．(2015年长春模拟)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b解析：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b .将题中两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2. ∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0，∴1＋a 2＞a ， ∴b ＝1＋a 2＞a .∴c ≥b ＞a . 答案：A 二、填空题6．若60<x <84,28<y <33，则x －y 的取值范围是________，xy 的取值范围是________．解析：∵－33<－y <－28，∴27<x －y <56，∵133<1y <128，∴2011<xy <3.答案：(27,56) ⎝⎛⎭⎫2011，37．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．解析：矩形的另一边长为12(30－x )＝15－12x ，矩形面积为x ⎝⎛⎭⎫15－12x 且0<x <18，则不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎝⎛⎭⎫15－12x ≥216，0<x <18.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ⎝⎛⎭⎫15－12x ≥216，0<x <188．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0，∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b三、解答题9．比较下列各组中两个代数式的大小： (1)3x 2－x ＋1与2x 2＋x －1；(2)当a >0，b >0且a ≠b 时，a a b b 与a b b a .解析：(1)∵3x 2－x ＋1－2x 2－x ＋1＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴3x 2－x ＋1>2x 2＋x －1.(2)a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝a a －b ⎝⎛⎭⎫1b a －b ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b .当a >b ，即a －b >0，a b >1时，⎝⎛⎭⎫a b a －b >1，∴a a b b >a b b a . 当a <b ，即a －b <0,0<a b <1时，⎝⎛⎭⎫a b a －b >1，∴a a b b >a b b a .∴当a >0，b >0且a ≠b 时，a a b b >a b b a. 10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？解析：设从寝室到教室的路程为s ，甲、乙两人的步行速率为v 1，跑步速率为v 2，且v 1<v 2. 甲所用的时间t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2，乙所用的时间t 乙＝2s v 1＋v 2，∴t 甲t 乙＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2×v 1＋v 22s ＝(v 1＋v 2)24v 1v 2＝v 21＋v 22＋2v 1v 24v 1v 2>4v 1v 24v 1v 2＝1.∵t 甲>0，t 乙>0，∴t 甲>t 乙，即乙先到教室．B 组 高考题型专练1．(2014年高考四川卷)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a d >bc B.ad <bc C.a c >b dD.a c <b d解析：∵a >b >0，c <d <0， ∴－c >－d >0，∴－ac >－bd ， 即ac <bd .又∵dc >0，∴ac dc <bddc ，即a d <bc ，故选B. 答案：B2．设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b . 若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( ) A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B ．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2 C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2解析：根据题意知，a ∧b 表示a ，b 中较小的，a ∨b 表示a ，b 中较大的．因为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab ≥4，所以a ＋b ≥4.又因为a ，b 为正数，所以a ，b 中至少有一个大于或等于2，所以a ∨b ≥2.因为c ＋d ≤4，c ，d 为正数，所以c ，d 中至少有一个小于或等于2，所以c ∧d ≤2.答案：C3．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1b C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析：当c <0时，ac >bc 不成立，故A 不正确，当a ＝1，b ＝－3时，B 、C 均不正确，故选D. 答案：D4．(2013年高考陕西卷)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ] C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ]解析：结合特殊值利用排除法求解． 对于A ，取x ＝1.5，则[－x ]＝[－1.5]＝－2，－[x ]＝－[1.5]＝－1， 显然[－x ]≠－[x ]；对于B ，取x ＝1.5，则[2x ]＝[3]＝3， 2[x ]＝2[1.5]＝2， 显然[2x ]≠2[x ]；对于C ，取x ＝y ＝1.6，则[x ＋y ]＝[3.2]＝3， [x ]＋[y ]＝[1.6]＋[1.6]＝2， 显然[x ＋y ]＞[x ]＋[y ]． 排除A ，B ，C ，选D. 答案：D。
A 组 考点基础演练一、选择题1．(2015年大连模拟)设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a ，b ∈S ，对于有序元素对(a ，b )，在S 中有唯一确定的元素a *b 与之对应)，若对任意的a ，b ∈S ，有a *(b *a )＝b ，则对任意的a ，b ∈S ，下列等式中不恒成立的是( )A ．(a *b )*a ＝aB ．[a *(b *a )]*(a *b )＝aC ．b *(b *b )＝bD ．(a *b )*[b *(a *b )]＝b解析：由已知条件可得对任意a ，b ∈S ，a *(b *a )＝b ，则b *(b *b )＝b ，[a *(b *a )]*(a *b )＝b *(a *b )＝a ，(a *b )*[b *(a *b )]＝(a *b )*a ＝b ，即选项B 、C 、D 中的等式均恒成立，仅选项A 中的等式不恒成立．故选A.答案：A2．(2014年安阳模拟)若a <b <0，则下列不等式中成立的是( ) A.1a <1bB ．a ＋1b >b ＋1aC ．b ＋1a >a ＋1bD.b a <b ＋1a ＋1解析：(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，验证C 正确． 答案：C3．(2015年张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0解析：由题意知b 2－ac <3a ⇐b 2－ac <3a 2⇐(a ＋c )2－ac <3a 2⇐a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇐－2a 2＋ac＋c 2<0⇐2a 2－ac －c 2>0⇐(a －c )(2a ＋c )>0⇐(a －c )(a －b )>0.答案：C4．已知函数f (x )满足：f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2，则f 2(1)＋f (2)f (1)＋f 2(2)＋f (4)f (3)＋f 2(3)＋f (6)f (5)＋f 2(4)＋f (8)f (7)＝( )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：根据f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，得f (2n )＝f 2(n )．又f (1)＝2，则f (n ＋1)f (n )＝2.由f 2(1)＋f (2)f (1)＋f 2(2)＋f (4)f (3)＋f 2(3)＋f (6)f (5)＋f 2(4)＋f (8)f (7)＝2f (2)f (1)＋2f (4)f (3)＋2f (6)f (5)＋2f (8)f (7)＝16.答案：D5．已知a >0，b >0，如果不等式2a ＋1b ≥m 2a ＋b 恒成立，那么m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7解析：∵a >0，b >0，∴2a ＋b >0.∴不等式可化为m ≤⎝⎛⎭⎫2a ＋1b (2a ＋b )＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b .∵5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋ab ≥5＋4＝9，即其最小值为9，∴m ≤9，即m 的最大值等于9.答案：B 二、填空题6．(2015年华师附中一模)如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是________． 解析：∵a a ＋b b >a b ＋b a ⇔(a －b )2·(a ＋b )>0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b . 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b7．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．解析：由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n，∴c n 随n 的增大而减小．∴c n ＋1<c n .答案：c n ＋1<c n8．(2014年荆门一模)若记号“※”表示求两个实数a 和b 的算术平均数的运算，即a ※b ＝a ＋b2，则两边均含有运算符号“※”和“＋”，且对于任意3个实数a ，b ，c 都能成立一个等式可以是________．解析：∵a ※b ＝a ＋b 2，b ※a ＝b ＋a2，∴a ※b ＋c ＝b ※a ＋c .答案：a ※b ＋c ＝b ※a ＋c 三、解答题9．已知a ，b ，m 为非零实数，且a 2＋b 2＋2－m ＝0，1a 2＋4b 2＋1－2m ＝0.(1)求证：1a 2＋4b 2≥9a 2＋b 2；(2)求证：m ≥72.解析：(1)(分析法)要证1a 2＋4b 2≥9a 2＋b2成立，只需证⎝⎛⎭⎫1a 2＋4b 2(a 2＋b 2)≥9，即证1＋4＋b 2a 2＋4a 2b 2≥9，即证b 2a 2＋4a 2b 2≥4.根据基本不等式，有b 2a 2＋4a 2b 2≥2b 2a 2·4a 2b 2＝4成立， 所以原不等式成立．(2)(综合法)因为a 2＋b 2＝m －2，1a 2＋4b2＝2m －1，由(1)，知(m －2)(2m －1)≥9，即2m 2－5m －7≥0，解得m ≤－1或m ≥72.因为a 2＋b 2＝m －2>0，1a 2＋4b 2＝2m －1>0，所以m ≥72.10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．证明：由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .① 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.② 由①②得，B ＝π3.③由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac .④ 由余弦定理及③可得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .再由④得，a 2＋c 2－ac ＝ac .即(a －c )2＝0，因此a ＝c .从而有A ＝C .⑤ 由②③⑤得，A ＝B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．B 组 高考题型专练1．(2014年高考山东卷)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：反证法中否定结论需全否定，“至少有一个”的否定为“一个也没有”． 答案：A2．设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解析：(1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1， ① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， ∴S n＝a 1(1－q n)1－q ，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n)1－q ，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1. ∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．3．(2013年高考新课标全国卷Ⅱ)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得 a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，2 b ＋b2c＋c2a≥a＋b＋c，所以a2b＋b2c＋c2a≥1.即a。
（本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！）一、选择题1．(2014·皖北联考)若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q的大小关系()A．P>Q B．P＝Q C．P<Q D．由a取值决定【解析】假设P<Q，∵要证P<Q，只要证P2<Q2，只要证：2a＋7＋2a（a＋7）<2a＋7＋2（a＋3）（a＋4），只要证：a2＋7a<a2＋7a＋12，只要证：0<12，∵0<12成立，∴P<Q成立．【答案】C2．(2014·汕头模拟)设x，y，z>0，则三个数yx＋yz，zx＋zy，xz＋xy()A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2【解析】假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又yx＋yz＋zx＋zy＋xz＋xy＝⎝⎛⎭⎪⎫yx＋xy＋⎝⎛⎭⎪⎫yz＋zy＋⎝⎛⎭⎪⎫zx＋xz≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.【答案】 C3．(2013·福州高三模拟)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则()A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形【解析】由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1， 得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1. 那么A 2＋B 2＋C 2＝π2 ，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，又由已知可得△A 2B 2C 2不是直角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形，故选D.【答案】 D4．若0<a 1<a 2，0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( )A ．a 1b 1＋a 2b 2B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12【解析】 依题意有：0<a 1<12，12<a 2<1，同理有：0<b 1<12，12<b 2<1.故a 1b 1＋a 2b 2－(a 1a 2＋b 1b 2)＝(b 1－a 2)·(a 1－b 2)>0， a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(b 1－b 2)·(a 1－a 2)>0，a 1b 1＋a 2b 2－12＝a 1b 1＋a 2b 2－（a 1＋a 2）·（b 1＋b 2）2＝12[a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)]＝12(b 1－b 2)·(a 1－a 2)>0，∴a 1b 1＋a 2b 2的值最大，故选A.【答案】A5．已知f (x )＝ln x 1＋x－ln x ，f (x )在x ＝x 0处取最大值，以下各式正确的序号为( )①f (x 0)＜x 0；②f (x 0)＝x 0；③f (x 0)＞x 0；④f (x 0)＜12；⑤f (x 0)＞12.A ．①④B ．②④C ．②⑤D ．③⑤【解析】 f ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（ln x ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋x －1′ ＝1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋x －1－ln x （1＋x ）2＝－ln x ＋x ＋1（1＋x ）2， 由题意可知f ′(x 0)＝0，即ln x 0＋x 0＋1＝0，ln x 0＝－(x 0＋1)，故f (x 0)＝ln x 01＋x 0－ln x 0＝－x 0ln x 01＋x 0＝x 0（1＋x 0）1＋x 0＝x 0. 令函数g (x )＝ln x ＋x ＋1(x ＞0)，则g ′(x )＝1x ＋1＞0，故函数g (x )为增函数，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32＞32－ln e ＝12＞0＝g (x 0)， ∴x 0＜12，即f (x 0)＜12.故选B.【答案】B6．(2013·黄冈中学)已知曲线C 1：|x |a ＋|y |b ＝1(a ＞b ＞0)所围成的封闭图形的面积为62，曲线C 1的内切圆半径为2，记C 为以曲线C 1与坐标轴的交点为顶点的椭圆，过定圆E 上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线l 1，l 2，且l 1，l 2与椭圆的都只有一个公共点，则圆E 的方程为( )A ．x 2＋y 2＝3B ．x 2＋y 2＝6C ．x 2＋y 2＝9D ．x 2＋y 2＝12【解析】 由直接证明的方法可以先求得椭圆方程x 26＋y 23＝1，设P (x 0，y 0)是圆E 上的任意一点，则过P 的直线l ∶y ＝k (x －x 0)＋y 0，代入x 26＋y 23＝1中，得x 26＋（kx －kx 0＋y 0）23＝1. 即(1＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(y 0－kx 0)2－6＝0，①若直线l 与椭圆的公共点只有一个，则①中判别式Δ＝0，即16k 2(y 0－kx 0)2－8(1＋2k 2)[]（y 0－kx 0）2－3＝0，整理，化简得到一关于k 的一元二次方程：(6－x 20)k 2＋2x 0y 0k －y 20＋3＝0.要使得⊙E 上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线l 1，l 2，且l 1，l 2与椭圆的公共点都只有一个，方程必须有两根且两根之积为－1，故－y 20＋36－x 20＝－1，即x 20＋y 20＝9. 又对于点(6，3)，(－6，3)，(－6，－3)，(6，－3)，直线l 1，l 2中有一条斜率不存在，另一条斜率为0，显然满足方程成立，故这样的⊙E 方程为：x 2＋y 2＝9.【答案】 C二、填空题7. (2013·大连模拟)若a ，b ，c 为Rt △ABC 的三边，其中c 为斜边，那么当n ＞2，n ∈N *时，a n ＋b n 与c n 的大小关系为________．【解析】 取a ＝b ＝1，c ＝2，易知当n ＞2时，a n ＋b n ＝2，c n ＝(2)n ＝2·(2)n －2＞2，由题意知a n ＋b n 与c n 的大小关系应该是确定的，故猜想a n ＋b n ＜c n .事实上，注意a ＜c ，b ＜c ，n ＞2，所以有a n ＋b n ＝a 2a n －2＋b 2b n －2＜a 2c n －2＋b 2c n －2＝(a 2＋b 2)c n －2＝c n ，故a n ＋b n ＜c n .【答案】 a n ＋b n ＜c n8．(2012·莱芜调研)凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，已知函数y ＝ sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．【解析】 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A ，B ，C ∈(0，π)，∴f （A ）＋f （B ）＋f （C ）3≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，∴sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.【答案】 3329．(2013·邯郸模拟)设a ，b 是两个实数，给出下列条件： ①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1. 其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)【解析】 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b ＞1，但a ＜1，b ＜1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1 且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾， 因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1. 【答案】 ③10．设a >0，b >0，称2ab a ＋b为a ，b 的调和平均数．如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，CB ＝b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D .连接OD ，AD ，BD .过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，线段__________的长度是a ，b 的几何平均数，线段________的长度是a ，b 的调和平均数．【解析】 在Rt △ADB 中DC 为高，则由射影定理可得CD 2＝AC ·CB ，CD ＝ab ，故，即CD 长度为a ，b 的几何平均数，将OC＝a －a ＋b 2＝a －b 2，CD ＝ab ，OD ＝a ＋b 2代入OD ·CE ＝OC ·CD 可得，CE ＝a －b a ＋b ab ，故OE ＝OC 2－CE 2＝（a －b ）22（a ＋b ），所以ED ＝OD －OE ＝2ab a ＋b，故DE 的长度为a ，b 的调和平均数． 【答案】 CD DE三、解答题11. 设f (x )＝ln x ＋x －1，证明：(1)当x >1时，f (x )<32(x －1)；(2)当1<x <3时，f (x )<9（x －1）x ＋5. 【证明】 (1)方法一 记g (x )＝ln x ＋x －1－32(x －1)，则当x >1时，g ′(x )＝1x ＋12x－32<0. 又g (1)＝0，所以有g (x )<0，即f (x )<32(x －1)．方法二 由均值不等式知，当x >1时，2x <x ＋1， 故x <x 2＋12.①令k (x )＝ln x －x ＋1，则k (1)＝0，k ′(x )＝1x －1<0，故k (x )<0，即ln x <x －1.②由①②得，当x >1时，f (x )<32(x －1)．(2)方法一 记h (x )＝f (x )－9（x －1）x ＋5， 当1<x <3时，由(1)得h ′(x )＝1x ＋12x－54（x ＋5）2＝2＋x 2x －54（x ＋5）2<x ＋54x －54（x ＋5）2＝（x ＋5）3－216x 4x （x ＋5）2. 令l (x )＝(x ＋5)3－216x ，则当1<x <3时，l ′(x )＝3(x ＋5)2－216<0，因此l (x )在(1，3)内是递减函数．又由l (1)＝0，得l (x )<0，所以h ′(x )<0.因此h (x )在(1，3)内是递减函数．又h (1)＝0，得h (x )<0.于是当1<x <3时，f (x )<9（x －1）x ＋5. 方法二 记h (x )＝(x ＋5)f (x )－9(x －1)，则当1<x <3时，由(1)得h ′(x )＝f (x )＋(x ＋5)f ′(x )－9<32(x －1)＋(x ＋5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋12x －9 ＝12x [3x (x －1)＋(x ＋5)(2＋x )－18x ]<12x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x （x －1）＋（x ＋5）⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2＋12－18x＝14x (7x 2－32x ＋25)<0.因此h (x )在(1，3)内单调递减．又h (1)＝0，所以h (x )<0，即当1<x <3时，f (x )<9（x －1）x ＋5. 12．在锐角三角形ABC 中，求证：11＋tan A ＋11＋tan B <tan A 1＋tan A＋tan B 1＋tan B. 【证明】 要证11＋tan A ＋11＋tan B <tan A 1＋tan A ＋tan B 1＋tan B， 只需证11＋tan A ＋11＋tan B <1－11＋tan A ＋1－11＋tan B， 即21＋tan A ＋21＋tan B <2，即证11＋tan A ＋11＋tan B<1， ∵△ABC 是锐角三角形，∴tan A 、tan B >0，cos A 、cos B >0， 故只需证明1＋tan A ＋1＋tan B <(1＋tan A )(1＋tan B )， 即证1<tan A ·tan B ，即1＜sin A sin B cos A cos B ，cos A cos B ＜sin A sin B ，即证cos(A ＋B )<0，由π2<A ＋B <π，显然有cos(A ＋B )<0，故原不等式成立．13．(2013·临川模拟)设集合W 是满足下列两个条件的无穷数列{a n }的集合：①a n ＋a n ＋22≤a n ＋1，②a n ≤M ，其中n ∈N *，M 是与n 无关的常数．(1)若{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，a 3＝4，S 3＝18，试探究{S n }与集合W 之间的关系；(2)设数列{b n }的通项为b n ＝5n －2n ，且{b n }∈W ，M 的最小值为m ，求m 的值；(3)在(2)的条件下，设C n ＝15[b n ＋(m －5)n ]＋2，求证：数列{C n }中任意不同的三项都不能成为等比数列．【解析】 (1)∵a 3＝4，S 3＝18，∴a 1＝8，d ＝－2.∴S n ＝－ n 2＋9n . S n ＋S n ＋22＝－n 2＋7n ＋7＜S n ＋1＝－n 2＋7n ＋8满足条件①，S n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922＋814，当n ＝4或5时，S n 取最大值20. ∴S n ≤20满足条件②，∴{S n }∈W .(2)b n ＋1－b n ＝5－2n 可知{b n }中最大项是b 3＝7， ∴M ≥7，M 的最小值为7.(3)证明：由(2)知C n ＝n ＋2，假设{C n }中存在三项C p ，C q ，C r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则C 2q ＝C p ·C r ，∴(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p 、q 、r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2＝pr ，2q －p －r ＝0.消去q 得(p －r )2＝0，∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴{C n }中任意不同的三项都不能成为等比数列．。
【优化探究】2016高考数学一轮复习 6-2 一元二次不等式及其解法课时作业 文一、选择题1．(2015年潍坊模拟)函数f(x)＝1－x2＋4x －的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1,2)∪(2,3)解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋4x －3>0，－x2＋4x －3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧1<x<3，x≠2， 故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)． 答案：D2．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解析：x －12x ＋1≤0等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≤0，2x ＋1>0， ①或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，2x ＋1<0. ②解①得－12<x≤1，解②得x ∈∅，∴原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－12，1. 答案：A3．已知不等式ax2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎤－12，－13，则不等式x2－bx －a<0的解集是( ) A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析：依题意，－12与－13是方程ax2－bx －1＝0的两根，则⎩⎨⎧b a ＝－12－13，－1a ＝－12×⎝⎛⎭⎫－13，即⎩⎨⎧b a ＝－56，1a ＝－16，又a<0，不等式x2－bx －a<0可化为1a x2－b a x －1>0，即－16x2＋56x －1>0，解得2<x<3.答案：A4．若(m ＋1)x2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，－1) C.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞) 解析：①m ＝－1时，不等式为2x －6<0，即x<3，不合题意．②m≠－1时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ<0，解得m<－1311.答案：C5．已知函数f(x)＝ax2＋bx ＋c ，不等式f(x)<0的解集为{x|x<－3或x>1}，则函数y ＝f(－x)的图象可以为( )解析：由f(x)<0的解集为{x|x<－3或x>1}知a<0，y ＝f(x)的图象与x 轴交点为(－3,0)，(1,0)， ∴f(－x)图象开口向下，与x 轴交点为(3,0)，(－1,0)． 答案：B 二、填空题6．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2ax ，x≥2，2x ＋1，x<2，若f(f(1))>3a2，则a 的取值范围是________．解析：f(1)＝21＋1＝3，∴f(f(1))＝f(3)＝9＋6a.由f(f(1))>3a2得9＋6a>3a2，即a2－2a －3<0，解得－1<a<3. 答案：(－1,3)7．若关于x 的不等式ax2－6x ＋a2<0的解集是(1，m)，则m ＝________. 解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax2－6x ＋a2＝0的一个根，即a2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3，当a ＝2时，不等式ax2－6x ＋a2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a ＝－3时，不等式ax2－6x ＋a2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m ＝2. 答案：2 8．设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________． 解析：由题意，要使8x2－(8si n α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin2α－32αcos 2α≤0，化简得cos 2α≥12.又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π，解得0≤α≤π6或5π5≤α≤π.答案：⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 三、解答题9．已知不等式ax2－3x ＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}． (1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax2－(ac ＋b)x ＋bc<0.解析：(1)因为不等式ax2－3x ＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b 是方程ax2－3x ＋2＝0的两个实数根，b>1且a>0.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. (2)不等式ax2－(ac ＋b)x ＋bc<0，即x2－(2＋c)x ＋2c<0，即(x －2)(x －c)<0.当c>2时，不等式(x －2)(x －c)<0的解集为{x|2<x<c}； 当c<2时，不等式(x －2)(x －c)<0的解集为{x|c<x<2}； 当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c)<0的解集为∅.所以，当c>2时，不等式ax2－(ac ＋b)x ＋bc<0的解集为{x|2<x<c}； 当c<2时，不等式ax2－(ac ＋b)x ＋bc<0的解集为{x|c<x<2}； 当c ＝2时，不等式ax2－(ac ＋b)x ＋bc<0的解集为∅.10．(2015年长沙质检)已知f(x)＝x2－2ax ＋2(a ∈R)，当x ∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围．解析：解法一 f(x)＝(x －a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a. ①当a ∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增， f(x)min ＝f(－1)＝2a ＋3.要使f(x)≥a 恒成立， 只需f(x)min≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a<－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f(x)min ＝f(a)＝2－a2， 由2－a 2≥a ，解得－1≤a≤1.综上所述，所求a 的取值范围是[－3,1]． 解法二 令g(x)＝x2－2ax ＋2－a ，由已知， 得x2－2ax ＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a<－1，－解得 －3≤a≤1.所求a 的取值范围是[－3,1]． B 组 高考题型专练1．(2014年高考大纲全国卷)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧＋，|x|<1的解集为( )A ．{x|－2<x<－1}B ．{x|－1<x<0}C ．{x|0<x<1}D ．{x|x>1}解析：⎩⎪⎨⎪⎧＋＞0， ①|x|＜1， ②由①得，x<－2或x>0， 由②得，－1<x<1，因此原不等式组的解集为{x|0＜x ＜1}，故选C. 答案：C2．(2014年高考辽宁卷)当x ∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] B.⎣⎡⎦⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]解析：∵当x ∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x ＋3≥0恒成立，即当x ∈[－2,1]时，不等式ax3≥x2－4x －3(*)恒成立． ①当x ＝0时，a ∈R.②当0<x≤1时，由(*)得a≥x2－4x －3x3＝1x －4x2－3x3恒成立．设f(x)＝1x －4x2－3x3，则f ′(x)＝－1x2＋8x3＋9x4＝－x2＋8x ＋9x4＝－－＋x4.当0<x≤1时，x －9<0，x ＋1>0，∴f ′(x)>0，∴f(x)在(0,1]上单调递增．当0<x≤1时，可知a≥f(x)max ＝f(1)＝－6. ③当－2≤x<0时，由(*)得a≤1x －4x2－3x3.令f ′(x)＝0，得x ＝－1或x ＝9(舍)．∴当－2≤x<－1时，f ′(x)<0，当－1<x<0时，f ′(x)>0，∴f(x)在[－2，－1)上递减，在(－1,0)上递增．∴x ∈[－2,0)时，f ′(x)min ＝f(－1)＝－1－4＋3＝－2.∴可知a≤f(x)min ＝－2. 综上所述，当x ∈[－2,1]时，实数a 的取值范围为－6≤a≤－2.故选C. 答案：C3．下列选项中，使不等式x<1x <x2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：由x<1x <x2可得⎩⎨⎧x<1x，1x <x2，即⎩⎨⎧x2－1x<0，1－x3x <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x<－1或0<x<1，x<0或x>1，综合知x<－1.答案：A。
A 组 考点基础演练一、选择题1．(2015年三明模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0. 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24. 答案：B2．设A ＝{(x ，y )|x ，y,1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是()解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y ，x ＋(1－x －y )>y ，y ＋(1－x －y )>x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >12，y <12，x <12.故选A. 答案：A3．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．4 B ．0 C ．2D ．－4解析：如图，阴影部分为封闭区域．作直线2x －y ＝0，并向左上平移，过点A 时，2x －y 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝|x －1|(x <1)，得A (－1,2)，∴(2x －y )min ＝2×(－1)－2＝－4. 答案：D4．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1,3)D ．(3，＋∞)解析：变形目标函数为y ＝－1m x ＋zm .作不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx (m >1)，x ＋y ≤1表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)．∵m >1，∴－1<－1m<0.因此当直线l ：y ＝－1m x ＋zm 在y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A 处，直线l 的截距最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ，x ＋y ＝1，得交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋m ，m 1＋m .因此z ＝x ＋my 的最大值z max ＝11＋m ＋m 21＋m .依题意11＋m ＋m 21＋m <2，即m 2－2m －1<0，解得1－2<m <1＋2，故实数m 的取值范围是(1,1＋2)． 答案：A5．(2015年杭州模拟)设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]解析：作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得A (1,9)，C (3,8)．当y ＝a x 过A (1,9)时，a 取最大值，此时a ＝9；当y ＝a x 过C (3,8)时，a 取最小值，此时a ＝2，∴2≤a ≤9. 答案：C 二、填空题6．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a ＝________.解析：依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1.答案：17．已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x －1≥0，定点为A (2,0)，则|OP →|sin ∠AOP (O 为坐标原点)的最大值为________．解析：可行域如图阴影部分所示，A (2,0)在x 正半轴上，所以|OP →|·sin ∠AOP 即为P 点纵坐标，当P 位于点B 时，其纵坐标取得最大值225.答案：2258．(2013年高考江苏卷)抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．解析：由于y ′＝2x ，所以抛物线在x ＝1处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.画出可行域(如图)．设x ＋2y ＝z ，则y ＝－12x ＋12z ，可知当直线y ＝－12x ＋12z 经过点A ⎝⎛⎭⎫12，0，B (0，－1)时，z 分别取到最大值和最小值，此时最大值z max ＝12，最小值z min ＝－2，故取值范围是⎣⎡⎦⎤－2，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－2，12 三、解答题9．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解析：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1，0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．10．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ：一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解析：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.画出可行域如图所示．让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移， z ＝2.5x ＋4y 在(4,3)处取得最小值，由此可知z ＝22.因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．B 组 高考题型专练1．(2014年高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由题中约束条件画出可行域如图中阴影部分所示：由图知，z ＝x ＋2y 在A (1,1)处取得最小值3. 答案：B2．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49解析：由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6.∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C.答案：C3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0，表示的平面区域的面积为________．解析：如图，作出可行域．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －4＝0，x ＋3y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－2.则S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×2＋12×2×2＝4.答案：44．(2014年高考湖南卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥1，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．解析：二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的△ABC 的内部及其边界，由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z .当直线y ＝－2x ＋z 过B 点时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，y ＝1，得B (3,1)，因此，当x ＝3，y ＝1时，z max ＝2×3＋1＝7，故答案为7.答案：75．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．解析：画出可行域如图，可行域为△ABC 的内部及其边界．设x ＋y ＝t ，则y ＝－x ＋t ，t 的几何意义为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，当直线通过点A 、B 时，t 取得最小值与最大值，可求得A 、B 两点的坐标分别为(1,0)和(2,1)，所以1≤t ≤3，即x ＋y 的取值范围是[1,3]．答案：[1,3]6．(2014年高考辽宁卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，则目标函数z ＝3x ＋4y 的最大值为________．解析：画出可行域，z 4为目标函数的纵截距，作直线y ＝－34x ，平行移动得出z 的最大值．可行域如图阴影部分所示，z ＝3x ＋4y ，即y ＝－34x ＋z4.将直线y ＝－34x 向上平行移动，y 轴上的纵截距z4越来越大，当经过点B 时，z 取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴B (2,3),∴z 的最大值为z max ＝3×2＋4×3＝18. 答案：18。
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a －b ＞0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a <b . 2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ； a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a >b >0⇒n a > nb (n ∈N ，n ≥2)．[小题体验]1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空： (1)a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ________b －d ； (2)a ＞b ＞0，c ＜d ＜0⇒ac ________bd ； (3)a ＞b ＞0⇒3a ________3b . 答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞2．限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，写成不等式就是__________．答案：v ≤40 km/h3．若0<a <b ，c >0，则b ＋c a ＋c 与a ＋cb ＋c 的大小关系为________．答案：b ＋c a ＋c >a ＋c b ＋c1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c .2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．[小题纠偏]1．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B ．1a <1b C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 3答案：D2．若ab >0，且a >b ，则1a 与1b 的大小关系是________．答案：1a <1b考点一 比较两个数(式)的大小(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定 解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)， 又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0. ∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.∴M >N . 2．(易错题)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)． 解析：易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a .答案：＜3．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a的大小． 解：a ＋2－31－a ＝－a 2－a －11－a ＝a 2＋a ＋1a －1∴当a >1时，a ＋2>31－a ；当a <1时，a ＋2<31－a.[谨记通法]比较两个数(式)大小的2种方式如“题组练透”第2题易忽视作商法．考点二 不等式的性质(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．设a ，b ∈R 则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A (a －b )·a 2＜0，则必有a －b ＜0，即a ＜b ；而a ＜b 时，不能推出(a －b )·a 2＜0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的充分不必要条件．2．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A ．1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b解析：选D 法一(性质判断)：对于A 项，由a <b <0，得b －a >0，ab >0，故1a －1b ＝b －a ab >0，1a >1b ，故A 项错误；对于B 项，由a <b <0，得b (a －b )>0，ab >b 2，故B 项错误；对于C 项，由a <b <0，得a (a －b )>0，a 2>ab ，即－ab >－a 2，故C 项错误；对于D 项，由a <b <0，得a －b <0，ab >0，故－1a －⎝⎛⎭⎫－1b ＝a －b ab <0，－1a <－1b成立，故D 项正确． 法二(特殊值法)：令a ＝－2，b ＝－1，则1a ＝－12>1b ＝－1，ab ＝2>b 2＝1，－ab ＝－2>－a 2＝－4，－1a ＝12<－1b ＝1.故A 、B 、C 项错误，D 项正确．[由题悟法]不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．[即时应用]1．若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A ．1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD ．⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b解析：选C ∵a >b >0，∴1a <1b，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又2a >2b ，∴⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b . 2．若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc ＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd ＜0，故②正确． ∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )， 即a －c ＞b －d ，故③正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④正确．考点三 不等式性质的应用(题点多变型考点——纵引横联)[典型母题]已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．解析：∵－1<x <4,2<y <3， ∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2. 由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18. 答案：(－4,2) (1,18)[类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．[越变越明][变式1] 将母题条件改为“－1<x <y <3”，求x －y 的取值范围． 解：∵－1<x <3，－1<y <3， ∴－3<－y <1， ∴－4<x －y <4.① 又∵x <y ， ∴x －y <0，② 由①②得－4<x －y <0.故x －y 的取值范围为(－4,0)．[变式2] 若将母题条件改为“－1<x ＋y <4,2<x －y <3”，求3x ＋2y 的取值范围． 解：设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧m ＝52，n ＝12，即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又－1<x ＋y <4,2<x －y <3， ∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232.故3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232. [变式3] 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围． 解：由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b . f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10.即f (－2)的取值范围为[5,10]．由a <f (x ，y )<b ，c <g (x ，y )<d 求F (x ，y )的取值范围，要利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F (x ，y )的取值范围．[变式4] 若母题条件变为“已知1≤lg xy ≤4，－1≤lg x y ≤2”，求lg x 2y 的取值范围． 解：由1≤lg xy ≤4，－1≤lg xy ≤2， 得1≤lg x ＋lg y ≤4，－1≤lg x －lg y ≤2，[破译玄机]而lg x 2y ＝2lg x －lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x －lg y )，所以－1≤lg x 2y≤5，即lg x 2y 的取值范围是[－1,5]．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A ＜BD ．A ＞B解析：选B 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B . 2．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A ．1a －b >1aB ．1a >1bC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析：选A 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立．3．(2016·西安八校联考)“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A x 1>3，x 2>3⇒x 1＋x 2>6，x 1x 2>9；反之不成立，例如x 1＝12，x 2＝20.4．(2016·资阳一诊)已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若a >b ，则|a |>|b | B ．若a >b ，则1a <1b C ．若|a |>b ，则a 2>b 2 D ．若a >|b |，则a 2>b 2解析：选D 当a ＝1，b ＝－2时，A ，B ，C 均不正确；对于D ，a >|b |≥0，则a 2>b 2. 5．(2016·贵阳监测考试)下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >bC ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：选C 取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，∴B 错误；∵a c 2<bc2，∴c ≠0，又c 2>0，∴a <b ，C 正确；取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误．二保高考，全练题型做到高考达标1．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 2．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－3π2，3π2B ．⎝⎛⎭⎫－3π2，0 C ．⎝⎛⎭⎫0，3π2 D ．⎝⎛⎭⎫－π2，0 解析：选B ∵－π2<α<π，－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2.又∵α<β，∴α－β<0，从而－3π2<α－β<0. 3．(2015·湘潭一模)设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A 因为a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab ，若a >b >1，显然a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab >0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b 成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．4．(2016·重庆一中调研)设a >1>b >－1，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a >b 2 B ．1a >1b C ．1a <1bD ．a 2>2b解析：选A 对于A ，∵－1<b <1，∴0≤b 2<1，又∵a >1，∴a >b 2，故A 正确；对于B ，若a ＝2，b ＝12，此时满足a >1>b >－1，但1a <1b ，故B 错误；对于C ，若a ＝2，b ＝－12，此时满足a >1>b >－1，但1a >1b ，故C 错误；对于D ，若a ＝98，b ＝34，此时满足a >1>b >－1，但a 2<2b ，故D 错误．5．(2016·江门模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“⊗和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( ) A ．mn ≥4且p ＋q ≤4 B ．m ＋n ≥4且pq ≤4 C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4解析：选A 结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎨⎧m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎨⎧p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4.6．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．解析：矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x2m ，即⎝⎛⎭⎫15－x2m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎫15－x 2≥216.答案：⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎫15－x 2≥216 7．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a >b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)． 解析：①若c ＝0，则命题不成立．②正确．③中由2c >0知成立． 答案：②③8．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2.∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， ∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b9．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是__________． 解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0， 当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1； 当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1，此式无解． 综上可得实数b 的取值范围为(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1)10．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e (a －c )2>e(b －d )2. 证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0. ∴0<1(a －c )2<1(b －d )2.又∵e <0，∴e (a －c )2>e(b －d )2. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3)解析：选B由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca≤3，1＋b a >ca ，1＋c a >b a ，∴⎩⎨⎧1<b a ＋ca ≤3，－1<c a －b a <1，两式相加得，0<2×ca <4，∴ca的取值范围为(0,2)． 2．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >bx 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立． ∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝bx ，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立． 答案：②④3．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元， 则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx＝14x －120nx ＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n ＞5时，y 1＜y 2； 当n ＜5时，y 1＞y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．第二节 一元二次不等式及其解法“三个二次”的关系[小题体验]1．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：选C 由题意得T ＝ {x |－4≤x ≤1}，根据补集定义， ∁R S ＝{x |x ≤－2}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}．2．(教材习题改编)不等式－x 2＋2x －3＞0的解集为________． 答案：∅3．已知集合A ＝{}x |－5＜x ＜1，集合B ＝{x ∈R|(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.答案：－1 11．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．[小题纠偏]1．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b 的值是( ) A ．10 B ．－10 C ．14D ．－14解析：选D 由题意知－12，13是ax 2＋bx ＋2＝0的两根，则a ＝－12，b ＝－2.所以a ＋b ＝－14.2．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 解析：①当m ＝0时，1>0显然成立．②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1，由①②知0≤m <1. 答案：[0,1)考点一 一元二次不等式的解法(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．解析：当x ≤0时，原不等式等价于2x 2＋1－x ≤2，∴－12≤x ≤0；当x >0时，原不等式等价于－2x －x ≤2，∴x >0.综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－12. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－12 2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．解析：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(3x －4)(x －5)≥0，x －5≠0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤43或x >5. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤43或x >53．解下列不等式：(1)(易错题)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4.解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0. 解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3.[谨记通法]解一元二次不等式的4个步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式，如“题组练透”第3题中(1)题； (2)判：计算对应方程的判别式；(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根； (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．考点二 含参数的一元二次不等式的解法(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·青岛模拟)求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)的解集． 解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a 3.当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a4，＋∞. [由题悟法]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．[即时应用]1．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：选B 由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－c a ＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝⎛⎭⎫12，94.2．解关于x 的不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1<0. 解：原不等式可化为(x －1)(ax －1)<0， ∴①当a ＝0时，可解得x >1，②当a >0时，不等式可化为(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1a <0， ∴当a ＝1时，不等式可化为(x －1)2<0，解集为∅；当0<a <1时，1a >1，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a >1时，1a <1，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1； ③当a <0时，不等可化为(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1a >0， ∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <1a . 综上可知，当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <1a ； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1.考点三 一元二次不等式恒成立问题(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围；(2)形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围； (3)形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围．[题点全练]角度一：形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围1．已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：要使不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立， 即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m (1－m )＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实数m 使不等式恒成立． 角度二：形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围2．设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立， 则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0， 所以m ＜67，则0＜m ＜67；当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0，所以m ＜6，即m ＜0.综上所述，m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0， 所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67. 角度三：形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围． 解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[方法归纳]一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0；(2)ax 2＋bx ＋c ≤0对任意实数x 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ≤0把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)在[m ，n ]恒成立问题，若f (x )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (m )>0，f (n )>0，若f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (n )<0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2)D ．(1,2]解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．(2016·梧州模拟)不等式2x ＋1<1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,1)解析：选A ∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1.3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0,4]D ．[0,4]解析：选D 由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以实数a 的取值范围是[0,4]．4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. 答案：{x |0<x <2}5．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝⎛⎭⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析：依题意知，⎩⎨⎧－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，∴解得a ＝－12，c ＝2， ∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0， 解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)． 答案：(－2,3)二保高考，全练题型做到高考达标1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3)B ．⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3) C ．⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B ∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3. 又∵2x 2－7x ＋6>0， ∴(x －2)(2x －3)>0， ∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3)． 3．(2016·辽宁一模)若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．4．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则： y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320， 即x 2－28x ＋192＜0， 解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.6．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16.∴a >4或a <－4. 答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)7．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是________． 解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a <x <1a 8．(2016·西安质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立， x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54≥－54， 所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.答案：329．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.10．(2016·北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，等号成立． 所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x的最小值为－2.(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·九江一模)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.2．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解：(1)根据题意， 200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000， 整理得5x －14－3x ≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]． (2)设利润为y 元，则 y ＝900x ·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2 ＝9×104⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋6112， 故x ＝6时，y max ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元．第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．一元二次不等式(组)表示的平面区域2．线性规划中的基本概念[小题体验]1．(教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是( )答案：B2．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)答案：C3．(教材习题改编)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1.则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为________．答案：31．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)． 2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．3．在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距zb 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值． [小题纠偏]1．(2015·福建高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2C ．－32D ．2解析：选A 作可行域如图，由图可知，当直线z ＝2x －y 过点A 时，z 值最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x ＋2y ＝0得点A ⎝⎛⎭⎫－1，12， z min ＝2×(－1)－12＝－52.2．若用阴影表示不等示组⎩⎨⎧－x ＋y ≤0，3x －y ≤0所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角的大小为________．答案：15°考点一 二元一次不等式(组)表示平面区域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2016·忻州一模)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，2x －y ≤4，x －y ≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．32B ．6 2C ．6D ．3解析：选D 如图，不等式组所围成的平面区域为△ABC ，其中A (2,0)，B (4,4)，C (1,1)，所求平面区域的面积为S △ABO －S △ACO ＝12(2×4－2×1)＝3.2．(易错题)若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．3．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．解析：两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0.由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0[谨记通法]确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．如“题组练透”第2题易忽视边界．(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．考点二 求目标函数的最值(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．常见的命题角度有： (1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标的最值； (3)线性规划中的参数问题．[题点全练]角度一：求线性目标函数的最值1．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．解析：画出可行域(如图所示)． ∵z ＝3x ＋y ，∴y ＝－3x ＋z .∴直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上截距最大时，即直线过点B 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －2y ＋1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即B (1,1)，∴z max ＝3×1＋1＝4. 答案：42．(2016·吉林实验中学)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5≥0，x －y ≤0，y ≤0，则z ＝2x ＋4y －3的最大值是________．解析：满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ＋5≥0，x －y ≤0，y ≤0的区域如图所示，目标函数z ＝2x ＋4y －3在点(0,0)处取得最大值，则z max ＝－3.答案：－3角度二：求非线性目标的最值3．(2016·开封模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤1，x ＋y ≥2，y ≤2，则目标函数z ＝x 2＋y 2的取值范围为( )A ．[2,8]B ．[4,13]C ．[2,13]D ．⎣⎡⎦⎤52，13解析：选C 作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，从而可得z min ＝|OA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|0＋0－2|12＋122＝2，z max ＝|OB |2＝32＋22＝13.故z 的取值范围为[2,13]．4．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影所示，∵yx 表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时yx 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. ∴A (1,3)．∴yx 的最大值为3. 答案：3角度三：线性规划中的参数问题5．(2015·山东高考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解析：选B 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2，故选B.6．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析：选D由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0,2)，B(2,0)，C(－2，－2)，则z A＝2，z B＝－2a，z C＝2a－2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A＝z B>z C或z A ＝z C>z B或z B＝z C>z A，解得a＝－1或a＝2.[方法归纳]1．求目标函数的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．2．常见的3类目标函数(1)截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－ab x＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝y－bx－a.[提醒]注意转化的等价性及几何意义．考点三线性规划的实际应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2015·陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元解析：选D 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.[由题悟法]1．解线性规划应用题3步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案． 2．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[即时应用](2015·云南省第一次统一检测)某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a ＜7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.解析：画出线性目标函数所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，招聘的教师最多，此时x ＝a ＋b ＝13.答案：13一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：选B 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0. 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24. 2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32B ．23C ．43D ．34解析：选C 平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)， 易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43， |BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12×83×1＝43.3．(2015·广东高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A ．4B ．235 C ．6D ．315。
课时作业一、选择题1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②B [由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B.]2．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确C [因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确. ]3．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝ ( )A.18B.19C.164D.127D [正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127.] 4．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n (n ≥2，n ∈N *)个圆点，第n 个图案中圆点的总数是S n .按此规律推断出S n 与n 的关系式为( )A ．S n ＝2nB ．S n ＝4nC ．S n ＝2nD ．S n ＝4n －4D [由n ＝2，n ＝3，n ＝4的图案，推断第n 个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n 个圆点，则圆点的个数为S n ＝4n －4.]5．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀ x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2nA [选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.]二、填空题6．(2014·杭州模拟)设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析 由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f (2n )，右边应当为n ＋22，即可得一般的结论为f (2n )≥n ＋22.答案 f (2n)≥n ＋22 7．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析 将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.答案 S 21＋S 22＋S 23＝S 24三、解答题8．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n，n ∈N *，猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由．解析 在{a n }中，a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23， a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，…， 所以猜想{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1. 这个猜想是正确的，证明如下：因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n， 所以1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12， 即1a n ＋1－1a n ＝12，所以数列{1a n }是以1a 1＝1为首项，12为公差的等差数列，所以1a n＝1＋(n－1)12＝12n＋12，所以通项公式a n＝2n＋1.9．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求1f（1）＋1f（2）－1＋1f（3）－1＋…＋1f（n）－1的值．解析(1)f(5)＝41.(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，…由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.因为f(n＋1)－f(n)＝4n，所以f(n＋1)＝f(n)＋4n，f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＝…＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1.(3)当n≥2时，1f（n）－1＝12n（n－1）＝12(1n－1－1n)，∴1f（1）＋1f（2）－1＋1f（3）－1＋…＋1f（n）－1＝1＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1－1n＝1＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－1n＝32－12n.。
A 组 考点基础演练一、选择题1．(2015年三明模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0. 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24. 答案：B2．设A ＝{(x ，y )|x ，y,1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是()解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y ，x ＋(1－x －y )>y ，y ＋(1－x －y )>x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >12，y <12，x <12.故选A. 答案：A3．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．4 B ．0 C ．2D ．－4解析：如图，阴影部分为封闭区域．作直线2x －y ＝0，并向左上平移，过点A 时，2x－y 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝|x －1|(x <1)，得A (－1,2)，∴(2x －y )min ＝2×(－1)－2＝－4. 答案：D4．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1,3)D ．(3，＋∞)解析：变形目标函数为y ＝－1m x ＋zm .作不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx (m >1)，x ＋y ≤1表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)．∵m >1，∴－1<－1m<0.因此当直线l ：y ＝－1m x ＋zm 在y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A处，直线l 的截距最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ，x ＋y ＝1，得交点A ⎝⎛⎭⎫11＋m ，m 1＋m .因此z ＝x ＋my 的最大值z max ＝11＋m ＋m 21＋m .依题意11＋m ＋m 21＋m <2，即m 2－2m －1<0，解得1－2<m <1＋2，故实数m 的取值范围是(1,1＋2)． 答案：A5．(2015年杭州模拟)设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]解析：作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得A (1,9)，C (3,8)．当y ＝a x 过A (1,9)时，a 取最大值，此时a ＝9；当y ＝a x 过C (3,8)时，a 取最小值，此时a ＝2，∴2≤a ≤9. 答案：C 二、填空题6．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a ＝________.解析：依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1.答案：17．已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x －1≥0，定点为A (2,0)，则|OP →|sin ∠AOP (O 为坐标原点)的最大值为________．解析：可行域如图阴影部分所示，A (2,0)在x 正半轴上，所以|OP →|·sin ∠AOP 即为P 点纵坐标，当P 位于点B 时，其纵坐标取得最大值225.答案：2258．(2013年高考江苏卷)抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．解析：由于y ′＝2x ，所以抛物线在x ＝1处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.画出可行域(如图)．设x ＋2y ＝z ，则y ＝－12x ＋12z ，可知当直线y ＝－12x ＋12z 经过点A ⎝⎛⎭⎫12，0，B (0，－1)时，z 分别取到最大值和最小值，此时最大值z max ＝12，最小值z min ＝－2，故取值范围是⎣⎡⎦⎤－2，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－2，12 三、解答题9．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解析：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1，0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．10．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ：一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解析：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.画出可行域如图所示．让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移， z ＝2.5x ＋4y 在(4,3)处取得最小值，由此可知z ＝22.因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．B 组 高考题型专练1．(2014年高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由题中约束条件画出可行域如图中阴影部分所示：由图知，z ＝x ＋2y 在A (1,1)处取得最小值3. 答案：B2．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49解析：由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6.∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C.答案：C3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0，表示的平面区域的面积为________．解析：如图，作出可行域．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －4＝0，x ＋3y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－2. 则S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×2＋12×2×2＝4.答案：44．(2014年高考湖南卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥1，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．解析：二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的△ABC 的内部及其边界，由z＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z .当直线y ＝－2x ＋z 过B 点时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，y ＝1，得B (3,1)，因此，当x ＝3，y ＝1时，z max ＝2×3＋1＝7，故答案为7.答案：75．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．解析：画出可行域如图，可行域为△ABC 的内部及其边界．设x ＋y ＝t ，则y ＝－x ＋t ，t 的几何意义为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，当直线通过点A 、B 时，t 取得最小值与最大值，可求得A 、B 两点的坐标分别为(1,0)和(2,1)，所以1≤t ≤3，即x ＋y 的取值范围是[1,3]．答案：[1,3]6．(2014年高考辽宁卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，则目标函数z ＝3x ＋4y 的最大值为________．解析：画出可行域，z 4为目标函数的纵截距，作直线y ＝－34x ，平行移动得出z 的最大值．可行域如图阴影部分所示，z ＝3x ＋4y ，即y ＝－34x ＋z4.将直线y ＝－34x 向上平行移动，y 轴上的纵截距z4越来越大，当经过点B 时，z 取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴B (2,3),∴z 的最大值为z max ＝3×2＋4×3＝18.答案：18。
