棱柱和棱锥(一)

棱柱棱锥棱台的体积公式棱柱、棱锥、棱台是几何学中常见的三维图形，它们的体积是我们在计算空间中物体的容积时必须掌握的知识点。

下面我们将分别介绍它们的体积公式。

一、棱柱的体积公式棱柱是由两个平行的多边形底面和它们之间的若干个矩形侧面组成的多面体。

它的体积公式为：V = S × h其中，V表示棱柱的体积，S表示底面积，h表示棱柱的高。

例如，一个底面为正方形，高为10cm的棱柱，它的体积为：V = S × h = 10 × 10 × 10 = 1000cm³二、棱锥的体积公式棱锥是由一个多边形底面和若干个三角形侧面组成的多面体。

它的体积公式为：V = 1/3 × S × h其中，V表示棱锥的体积，S表示底面积，h表示棱锥的高。

例如，一个底面为正方形，高为10cm的棱锥，它的体积为：V = 1/3 × S × h = 1/3 × 10 × 10 × 10 = 333.33cm³三、棱台的体积公式棱台是由两个平行的多边形底面和它们之间的若干个梯形侧面组成的多面体。

它的体积公式为：V = 1/3 × h × (S₁ + S₂ + √(S₁ × S₂))其中，V表示棱台的体积，h表示棱台的高，S₁和S₂分别表示上下底面的面积。

例如，一个上底面为正方形，下底面为长方形，高为10cm的棱台，它的体积为：V = 1/3 × h × (S₁ + S₂ + √(S₁ × S₂)) = 1/3 × 10 × (10 + 20 + √(10 × 20)) = 266.67cm³掌握棱柱、棱锥、棱台的体积公式是我们在计算空间中物体的容积时必须掌握的基础知识。

9.9棱柱和棱锥(一)教学目的：1.了解多面体、凸多面体的概念；2.理解棱柱的概念,能分清斜、直、正棱柱.掌握棱柱、直棱柱、正棱柱的概念及其性质，了解棱柱的表示及其分类；个人收集整理勿做商业用途3.能利用添辅助线、面的方法,计算长度、角度及截面问题.能初步利用棱柱的概念及其性质解决一些简单的问题.个人收集整理勿做商业用途教学重点：棱柱的概念及其性质.教学难点：棱柱的概念及其性质.授课类型：新授课.课时安排：1课时.教具：多媒体、实物投影仪.内容分析：简单多面体和球，共分4小节.简单几何体，是指最基本、最常见的几何体.按照大纲的规定，有关简单几何体只讨论棱柱、棱锥、多面体和正多面体、球.由于初中几何已学过圆柱和圆锥的有关内容，台体(圆台、棱台)又可以通过从大锥体上截去小锥体而得出，为节约课时以便实现高中数学教学内容的更新，本章中的简单几何体比原《立体几何》(必修本)在内容上精简幅度较大，删去了圆柱、圆锥、圆台、棱台等，只保留了最基本的多面体(棱柱和棱锥)、正多面体的有关概念、球等.个人收集整理勿做商业用途本节有四个知识点：棱柱、棱锥、棱柱和棱锥的直观图以及正多面体的有关概念.关于棱柱和棱锥的教学内容都包括有关概念、性质等内容，直观图的画法仅学习直棱柱和正棱锥的直观图.个人收集整理勿做商业用途这一节的内容，既是对简单几何体基础知识的重点讨论，又是对前面空间图形的基本性质和向量代数等相关知识的综合运用.个人收集整理勿做商业用途教学过程：一、复习引入：从一些常见的物体（凸多面体），例如三棱镜，方砖等，它们呈棱柱的形状（如图）二、讲解新课：1.多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．个人收集整理勿做商业用途2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．个人收集整理勿做商业用途3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等.说明：我们今后学习的多面体都是．．凸多面体.4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；个人收集整理勿做商业用途两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）.5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.1 / 32 / 3M'MB'C'A'CBAxyzGF EDC'B'A'CBA底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱.设集合{}A =棱柱，{}B =斜棱柱，{}C =直棱柱，{}D =正棱柱， 则,BC AD C =⊂．棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 6．棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形（图（1））； （3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形（图（2））．棱柱的概念有两个本质的属性：①有两个面（底面）互相平行；②其余每相邻两个面的交线互相平行．要注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体”不一定是棱柱． 三、讲解范例：例1.已知正三棱柱ABC A B C '''-的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC '上的点，且14CN CC '=，求证：AB MN '⊥． 证明（法一）：设AB a =，AC b =，AA c '=， 则||||||1a b c ===，1,0a a a c b c ⋅=⋅=⋅=，AB a c '=+，1()2AM a c =+，14AN b c =+，111224MN AN AM a b c =-=-++，111()()224AB MN a c a b c '⋅=+-++111cos600224=-++=，∴AB MN '⊥． （法二）：取B C ''的中点M '， ∴//MM BB ''，又∵BB '⊥底面ABC ， ∴MM '⊥底面ABC ，∵ABC ∆是正三角形，M 是BC 边的中点， ∴AM BC ⊥，分别以,,MC MA MM '为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则11(,0,)24MN =，3(0,,0)2A ，1(,0,1)2B '-，13(,,1)22AB '=--， 1131()0()102224AB MN '⋅=⨯-+⨯-+⨯=．∴AB MN '⊥．例2．正三棱柱ABC A B C '''-的底边长为a 的正三角形，在侧棱BB '上截取3 / 3。

沙城中学补习班数学第一轮复习学案 编录：刘世亮第64讲：棱柱、棱锥的概念和性质一、棱柱(1)定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.(2) 棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.(3)棱柱的分类：①按底面多边形的边数分类：②按侧棱与底面的位置关系分类:(4)特殊的四棱柱:四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱 →正方体.请在“→”上方添上相应的条件.(5)长方体对角线定理:长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.(6)棱柱的体积公式:Sh V =柱,S 是棱柱的底面积,h 是棱柱的高.二、棱锥1.定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥. 如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.2.正棱锥的性质：(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形.(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形.3.一般棱锥的性质——定理：棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，则截面和底面相似，且其面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比.4.棱锥的体积: V=13Sh ，其S 是棱锥的底面积，h 是高. 三、求体积常见方法有：①直接法（公式法）；②利用体积比：（ⅰ）底面积相同积之比等于其底面积的比；（ⅱ）高相同的体积之比等于其底面积的比；③分割法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；1.棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是 （B ） A .棱柱有一条侧棱与底面垂直 B .棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直C .棱柱有一个侧面是矩形，且与底面垂直D .棱柱有两个侧面是矩形，且与底面垂直2.（2009·开封模拟）已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（C ） A .23 B .14 C .5 D .63.平行于棱锥底面的截面把棱锥某侧面分成面积比1∶3两部分，则棱锥的侧棱分成两部分长度比（从上到下）为 （ A ） A .1∶1 B .1∶3 C .1∶2 D .1∶54.已知正四棱柱的对角线的长为6，则该正四棱柱的体积等于 2 .典例剖析例1 如图所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 是AC 中点. （1）求证：平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1；（2）求证：AB 1∥平面BEC 1； （3）若221=AB A A ，求二面角E —BC 1—C 的大小.（1）证明 ∵ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱， ∴A 1A ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AA 1.∵△ABC 是正三角形，E 是AC 的中点， ∴BE ⊥AC ，又AA 1∩AC =A ，∴BE ⊥平面ACC 1A 1，又∵BE ⊂平面BEC 1， ∴平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1.（2）证明 连结B 1C ，设BC 1∩B 1C =D ，连结DE .∵ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱， ∴BCC 1B 1是矩形，D 是B 1C 的中点.∵E 是AC 的中点，∴AB 1∥DE .∵DE ⊂平面BEC 1，AB 1⊄平面BEC 1， ∴AB 1∥平面BEC 1.（3）解 作CF ⊥EC 1于F ， FG ⊥BC 1于G ，连结CG . ∵平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1，∴CF ⊥平面BEC 1. ∴FG 是CG 在平面BEC 1上的射影.根据三垂线定理得，CG ⊥BC 1.∴∠CGF 是二面角E —BC 1—C 的平面角. 设AB =a ，∵221=AB A A ，则AA 1=22a . 在Rt △ECC 1中，CF =.6611a EC CC EC =⋅ 在Rt △BCC 1中，CG =.3311a BC CC BC =⋅ 在Rt △CFG 中， ∵sin ∠CGF =22=CG CF ，∴∠CGF =45°. ∴二面角E —BC 1—C 的大小为45°. 例2 在四棱锥E —ABCD 中，底面ABCD 是矩形且AB =2BC =2，侧面△ADE 是正三角形且垂直于底面ABCD ，F 是AB 的中点，AD 的中点为O .求：（1）异面直线AE 与CF 所成的角；（2）点O 到平面EFC 的距离；（3）二面角E —FC —D 的大小.解 （1）取EB 的中点G ，连结FG ，则FG ∥AE ，∴∠GFC 为AE 与CF 所成的角，∵平面AED ⊥平面ABCD ，∴底面ABCD 是矩形，∴AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面EAD ，∴AB ⊥EA ， ∴EB =522=+AB EA 同理，EC =5.∴在△EBC 中，由余弦定理得CG =27. 又∵FG =21EA =21，CF =222=+BF BC . ∴△CFG 是直角三角形， ∴cos ∠CFG =42=CF FG ，∴异面直线AE 与CF 所成的角为arccos 42. （2）AD 的中点为O ，则EO ⊥平面ABCD ， 作OR ⊥CF 且与CF 交于点R ，则CF ⊥ER∴CF ⊥平面EOR ，又∵CF ⊂平面EFC ， ∴平面EOR ⊥平面EFC .过O 作OH ⊥ER 且与ER 交于H , 则OH ⊥平面EFC ，∴OH 的长即为点O 到平面EFC 的距离. 由S △CFO =S 矩形ABCD —S △AOF -S △CBF -S △COD ，∴OR =423. 在Rt △EOR 中，OH =1053·=ER OR EO .∴所求距离为1053.（3）∠ERO 即为二面角E —FC —D 的平面角， an ∠ERO =EO OR arctan 36. 例3在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB =2a ，BC =CA =AA 1=a ，A 1在底面ABC 上的射影O 在AC 上.（1）求AB 与侧面A 1ACC 1所成的角； （2）若O 恰为AC 的中点，求此三棱柱的侧面积.解 （1）∵A 1O ⊥平面ABC ， ∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC .在△ABC 中，由BC =AC =a ， AB =2a ，得∠ACB =90°，∠CAB =45°,∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面A 1ACC 1， AB 与侧面A 1ACC 1所成的角为∠CAB =45°. （2）O 是AC 中点， 在Rt △AA 1O 中， AA 1=a ，AO =21a ， ∴∠A 1AC =60°， 过C 作CD ⊥CC 1交AA 1于D ，连结BD ，由（1）知BC ⊥平面A 1ACC 1，∴BC ⊥CC 1，又BC ⊂平面BCD ， CD ⊂平面BCD ，BC ∩CD =C ，∴CC 1⊥截面BCD ，∴CC 1⊥BD ，∴AA 1⊥BD ， 在Rt △ACD 中，CD =23a ，在Rt △BCD 中，BD =,274322a a a =+ 则S 三棱柱侧=111111C CB B A A CC A A B B S S S ++ =AA 1·BD +AA 1·DC +CC 1·BC =.)732(212a ++ 例4.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，∠ABC =∠BCD =90°,PA =PD =DC =CB =21AB ,E 是BP 的中点. （1）求证：EC ∥面APD ；（2）求BP 与平面ABCD 所成角的正切值. （3）求二面角P —AB —D 的大小. （1）证明 如图，取PA 中点F ，连结EF 、FD ， ∵E 是BP 的中点，∴EF ∥AB 且EF =21AB . 又∵DC ∥AB ，DC =21AB ， ∴EF ∥CD 且EF =CD . ∴四边形EFDC 是平行四边形，故得EC ∥FD .又∵EC ⊄平面PAD ， FD ⊂平面PAD ，∴EC ∥平面ADP .（2）解 取AD 的中点H ，连结PH ，BH ， ∵PA =PD ，∴PH ⊥AD .∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PH ⊥平面ABCD .∴HB 是PB 在平面ABCD 内的射影. ∴∠PBH 是PB 与平面ABCD 所成的角.由已知∠ABC =∠BCD =90°, ∴四边形ABCD 是直角梯形，DC =CB =21AB . 设AB =2a ，则BD =2a ， 在△ADB 中，易得∠DBA =45°,∴AD =2a .PH =a a a DH PD 22212222=-=-.又∵BD 2+AD 2=4a 2=AB 2， ∴△ABD 是等腰直角三角形，∠ADB =90°.∴HB =a a a DB DH 2102212222=+=+. ∴在Rt △PHB 中，tan ∠PBH=PH HB =（3）解 在平面ABCD 内过点H 作AB 的垂线交AB 于G 点，连结PG ，则HG 是PG 在平面ABCD 内的射影， 故PG ⊥AB ，所以∠PGH 是二面角P —AB —D 的平面角，由AB =2a ，HA =22a ，又∠HAB =45°,∴HG =21a . 在Rt △PHG 中，tan ∠PGH=PH HG =∴二面角P —AB —D 的大小为arctan 2.例5如图所示，三棱锥P ABC -中，PA a =，2AB AC a ==，PAB PAC ∠=∠60BAC =∠=︒，求三棱锥P ABC -的体积.(要求用四种不同的方法)PA B C。

棱柱、棱锥和棱台(1)教学目标：1、了解多面体、棱柱、棱锥、棱台的定义、性质及它们之间的关系；2、掌握棱柱、棱台的画法；3、结合模型、动态的或静态的直观图，了解、认识和研究各种几何体；4、培养空间（三维空间）与平面（二维空间）问题相互转化（升降维）的思想方法。

教学重点：棱柱、棱锥、棱台的定义、性质及它们之间的关系。

教学难点：空间（三维空间）与平面（二维空间）问题相互转化（升降维）。

教学过程：(一)棱柱的概念1、思考：我们常见的一些物体，例如三棱镜，方砖以及螺杆的头部等，它们有什么共同的特点:？平移：指将一个图形上所有点按某一确定的方向移动相同的距离2.定义：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱。

思考：上图的棱柱分别是由何种多边形平移得到？3.棱柱的元素：a.平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面。

b.多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面。

c.两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。

d.侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点。

4.棱柱的分类:按底面的边数分为：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、……把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……5.棱柱的表示法：用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：棱柱ABCDE- A1B1C1D1E16.棱柱的性质：a. 侧棱都相等，侧面是平行四边形；b. 两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行；c. 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形(二)棱锥的概念思考：看下面两个图形有何变化？棱锥的定义：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫棱锥。

与棱柱相仿，棱锥中常用名称的含义侧面：有公共顶点的各三角形面底面（底）：余下的那个多边形侧棱：两个相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共点思考：有一个面是多边形其余各面是三角形，这个多面体是棱锥吗？(三)棱台的概念思考：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个怎么样的几何体？棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分棱台的性质：上下底面平行，且对应边成比例。