第6课时 11.2三角形全等的判定习题课

1.2 三角形全等的判定一、教学内容：三角形全等的判定1. 三角形全等的判定；2. 直角三角形全等的判定；3. 学习掌握综合证明的格式、步骤。

二、知识要点：1. 三角形全等的判定AB CDE F（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。

表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，AB DEAC DFBC EF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△DEF（SSS）。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。

表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，A DAB DEB E∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC≌△DEF（ASA）。

（3）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。

表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，A DB EAC DF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△DEF（AAS）。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。

表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，AB DEA DAC DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△DEF（SAS）。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。

表示方法：如图所示，在R t△ABC和R t△DEF中，∵AB＝DE，BC＝EF，∴R t△ABC≌R t△DEF（HL）。

A B CD E F注意：①三角形全等的判定方法中有一个必要条件是：有一组对应边相等。

②两边及其中一边的对角对应相等的情况，可以画图实验，如下图，在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，显然它们不全等。

③三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如两个大小一样的等边三角形。

AB D2. 全等三角形的基本图形在平面几何中，有很多问题都可以借助于三角形全等来解决，比如线段的相等、角的相等、平行、垂直关系等。

课题：三角形全等的性质和判定习题课南通市如东县新区初级中学张小锋
教学目标1.通过三角形全等判定方法的复习，让学生体会辨别、探寻、构造、运用全
等三角形的一般方法。

2.探究全等三角形问题的过程中体会“由已知得可知，由未知想需知”的研
究问题的方法，体会“转化”、“建模”等数学思想。

3.经历“找全等→构全等→用全等”的过程，能逐步提升学生观察和理解能
力、几何语言的叙述能力及运用全等知识解决问题的能力。

重点难点构造全等三角形解决问题
教学方法教师启发、引导，学生自主思考、合作交流、互助探究相结合教学手段以学生独立探究为基础，合作学习为主线
教学过程
探究一：
如图：在△ABC和△DEF中，BC=EF.请再添加两个条件，使△ABC ≌△DEF，并说明两个三角形全等的判定方法。

探究二：
例1：已知：如图,点B,E,C,F在同一条直线上，BE=CF,AB=DE,∠B=∠DEF。

(1)求证：AC=DF
(2)求证：AC∥DF
反馈训练：
如图所示：∠A=∠D=90°，∠B=∠E，CA=CD。

由这些条件可以得到若干结论，请至少写出5个正确结论。

【设计意图】
复习回顾三角形全等的判定方法
【设计意图】
引导学生深入体会全等三角形是证明边、角相等的重要工具，渗透转化的数学思想。

课题全等三角形的判定综合练习课授课时间年月日教学目标知识与能力掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题过程与方法经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；情感态度价值观在学习过程中，通过交流合作，使学生体会成功的喜悦。

教学重点运用三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学难点熟练运用三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学方法合作学习、讨论法，讲授法教具准备课型新授教学活动教学环节补充一、情境引入：1、判定一般两个三角形全等的方法： SSS 、 SAS 、 ASA 、 AAS2、判定直角三角形全等的方法：HL二、知识应用：1、已知：如图，点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，求证：AB=AC．2、已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝D C，AB＝DE，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF．3、已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，求证：①△BEC≌△DAE；②DF⊥BC．4、如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是__________.5、如图，∠DCE=90o，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B，试说明AD+AB＝BE.6、如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：（1）△ABC≌△ADC；（2）BO＝DO．四、小结：至此，我们有六种判定三角形全等的方法：1．全等三角形的定义2．边边边（SSS）3．边角边（SAS）4．角边角（ASA）5．角角边（AAS）6．ＨＬ（仅用在直角三角形中）五、检测：判断题：（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。

（）（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（）（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（）（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（）（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（）（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（）（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（）（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（）板书设计：教后记：。

《三角形全等的判定习题课》教学设计一、关于教学内容和要求的试探本节的要紧内容是：通过判定三角形全等的三种题型温习全等三角形的判定方式，利用题中的已知条件、挖掘“隐含条件”、转化“间接条件”、合理添加“辅助线”来判定三角形全等，充分把握分析问题的方式，使所学的知识能灵活应用到解题当中。

要求慢慢培育学生观看、比较、分析、综合、抽象和归纳的能力,提高学生的空间想象能力和思维能力,这是《数学课程标准》中对中学数学的要求。

本节的课题是《三角形全等的判定习题课》是八年级数学的重点内容之一，在生活中有普遍的应用，同时三种题型中的条件的挖掘、转化与利用也是九年级的重点内容，在八年级学习中适当的安排相应的内容，关于九年级的学习起着渗透的踊跃作用，学会运用条件的直接与间接的利用、转化解决问题策略的思想方式，进展学生的创新意识，增强图形变换的爱好，也巩固了全等的知识。

二、学生情形的分析一、学生已有的知识基础：本节课是在学生已经学习完了全等三角形的判定方式，的基础上进一步来研究的。

二、八年级学生心理生理特点：中学生心理学研究指出：初中时期是智力进展的关键时期，学生逻辑思维从体会型慢慢向理论型进展，观看能力经历力和想象能力也随着迅速进展。

从学生年龄特点来看，初中生好动、好奇、好表现，抓住学生特点，踊跃采纳形象生动，形式多样的教学方式和学生普遍踊跃参与的教学形式，定能激发学生爱好，有效培育学生能力，增进学生个性进展。

生理上，青青年好动，注意力易分散，爱发表观点，希望取得教师的夸奖。

因此在教学中抓住学生的特点，一方面要运用直观形象，激发学生的爱好，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要制造条件和机遇，让学生发表观点，发挥学生学习的主动性。

三、学习目标的确信1、熟练把握全等三角形的判定方式。

2、能准确、灵活的运用三角形全等的判定方式解决问题。

3、通过变式练习提高分析问题和解决问题的能力。

训练学生解题的严谨性。

四、学习重、难点的分析重点：利用三角形全等的判定方式正确的解题。

三角形全等的判定（习题课）学习领航灵活选择适当的方法判定两个三角形全等：（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）；②任一组等角的对边相等（AAS）；（2）已知条件中有两边对应相等，可找：①夹角相等（SAS）；②第三组边也相等（SSS）；（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找：①任意一组角相等（AAS或ASA）；②夹等角的另一组边相等（SAS）。

分层递进A层练习1、下列命题中，属于真命题的是（）A、周长相等的锐角三角形都全等B、周长相等的直角三角形都全等C、周长相等的钝角三角形都全等D、周长相等的等边三角形都全等2、如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请再添加一个适当的条件，使得△EAB≌△BCD。

（第2题）（第3题）3、公园里有一条“Z”形道路，如图所示，其中AB∥CD，在AB、BC、CD三段路旁各有一张小石凳E、F、M，且BE=CF，点M是BC的中点。

求证：三张小石凳E、F、M恰好在同一条直线上。

4、如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，点F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF。

（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数。

B层练习5、如图，已知AB=AC，点E、F分别是AC、AB的中点，BE与CF相交于点O，则图中全等的三角形的对数共有（）A、1对B、2对C、3对D、4对6、如图，已知AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，问：AB与AC+BD相等吗？请说明理由。

C层练习7、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=12∠BAD，求证：DF=EF-BE。

11.2三角形全等的判定（HL）◆随堂检测1. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，你能说明BC与BD相等吗？2．如图，两根长相等的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两根木桩到旗杆底部的距离相等吗？请说明理由。

3. 如图，已知AD⊥BE,垂足C是BE的中点,AB=DE.求证：AB//DE.◆典例分析CDA B例:已知△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，如 AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的高，且 AD=A′D′．问△ABC与△A′B′C′是否全等？如果全等，给出证明.如果不全等，请举出反例．错解：这两个三角形全等．证明如下：如图1，在Rt△ABD和 Rt△A′B′D′中，∵AB=A′B′，AD=A′D′∴Rt△ABD≌Rt△A′B′D′.∴BD=B′D′同理可证 DC=D′C′，∴BC=B′C′在△ABC和△A′B′C′中，∵AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′.评析：这两个三角形不一定全等．当这两个三角形均为钝角(或锐角)三角形时全等；若一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时就不可能全等．如图2，虽有AB=A′B′，AC=A′C′，但BC≠B′C′，因此这两个三角形不全等．◆课下作业●拓展提高4.把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整.(1) _______,∠A=∠D ( ASA )(2) AC=DF,________ (SAS)(3) AB=DE,BC=EF ( )(4) AC=DF, ______ ( HL )(5) ∠A=∠D, BC=EF ( )(6) ________,AC=DF ( AAS )5.小明既无圆规，又无量角器，只有一个三角板，他是怎样画角平分线的呢？他的具体做法如下：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线交点为P,画射线OP.则OP平分∠AOB。

11.2三角形全等的判定(1)教学目标：1、探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．2、掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性．3、通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．教学重点：掌握三角形全等的“边边边”条教学难点：三角形全等条件的探索过程．教具准备：圆规、三角尺教学过程：一、复习过程，引入新知多媒体显示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．二、创设情境，提出问题根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢?组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流予以汇总归纳．三、建立模型，探索发现出示探究1，先任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'，满足上述条件中的一个或两个．你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗?让学生按照下面给出的条件作出三角形．(1)三角形的两个角分别是30°、50°．(2)三角形的两条边分别是4cm，6cm．(3)三角形的一个角为30°，—条边为3cm．再通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．出示探究2，先任意画出一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，B'C'＝BC，C'A'＝CA，把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗?让学生充分交流后，在教师的引导下作出△A'B'C'，并通过比较得出结论：三边对应相等A B DAB C D的两个三角形全等四、应用新知，体验成功演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的．鼓励学生举出生活中的实例．给出例l，如下图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△ABD≌△ACD．例2 如图四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗?你有几种方法?你能证明你的方法吗?试一试．五、巩固练习书第8页练习．六、小结回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律．七、布置作业：P15习题11.2 1、2三角形全等的判定(2)教学目标：1、经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力．2、在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．3、通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．教学重点：应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等．教学难点：指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．教具准备：圆规、三角尺教学过程（师生活动）一、创设情境，引入课题探究3：已知任意△ABC，画△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠A'＝∠A．ABCDE教帅点拨，学生边学边画图，再让学生把画好的△A'B'C'，剪下放在△ABC 上，观察这两个三角形是否全等． 二、交流对话，探求新知根据操作，总结规律：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS) 补充强调：角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对边． 三、应用新知，体验成功例2，如图，有—池塘，要测池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD ＝CA ，连接BC 并延长到E ，使CE ＝CB ．连接DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离，为什么? 分析： 要想证AB ＝DE ， 只需证△ABC ≌△DEC △ABC 与△DEC 全等的条件现有……还需要……)明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决． 练习题：已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE 求证： △ABD ≌△ACE 证明:∵∠BAC=∠DAE （已知）∠ BAC+ ∠ CAD= ∠DAE+ ∠ CAD ∴∠BAD=∠CAE 在△ABD 与△ACEAB=AC （已知） ∠BAD= ∠CAE （已证） AD=AE （已知） ∴△ABD ≌△ACE （SAS)思考：求证：（1）.BD=CE （2）. ∠B= ∠C （3）. ∠ADB= ∠AEC 四、再次探究，释解疑惑出示探究4，我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么?让学生模仿前面的探究方法，得出结论：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．教师演示：方法(一)教科书10页图11.2-7． 方法(二)通过画图，让学生更直观地获得结论．五、巩固练习教科书第10页，练习1、2六、小结1．判定三角形全等的方法；2．证明线段、角相等常见的方法有哪些?让学生自由表述，其他学生补充，让学生自己将知识系统化，以自己的方式进行建构．七、布置作业P15习题11.2 3三角形全等的判定(3)教学目标：1、探索并掌握两个三角形全等的条件：“ASA”“AAS”，并能应用它们判别两个三角形是否全等．2、经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维．教学重点：理解，掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”．教学难点：探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用．教具准备：圆规、三角尺教学过程（师生活动）创设情境一、复习：我们已经知道，三角形全等的判定条件有哪些?“SSS”“SAS”那除了这两个条件，满足另一些条件的两个三角形是否也可能全等呢?今天我们就来探究三角形全等的另一些条件。

第1期有效学案参考答案第1课时11.1全等三角形【检测1】C.【检测2】△ABO ，△CDO.【检测3】BD 和CE ，AD 和AE 是对应边，∠A 和∠A ，∠ADB 和∠AEC ，∠B 和∠C 是对应角.【问题1】（1）由AC ∥DE ，AB ∥DF ，得 ∠C ＝∠DEF ，∠F ＝∠ABC ，所以对应边是AC 与DE ，AB 与DF ，CB 与EF ；对应角是∠ACB 与∠DEF ，∠ABC 与∠DFE ，∠CAB 与∠EDF ； （2）由AC 是∠BAD 的平分线，得∠BAC ＝∠DAC ，所以对应边是AB 与AD ，AC 与AC ，BC 与DC ，对应角是∠ABC 与∠ADC ，∠BCA 与∠DCA ，∠BAC 与∠DAC.【问题2】因为△ABC ≌△DEF ，所以∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F ，∠A ＝∠D ，DF ＝AC ＝2cm. 因为∠B ＝50°，∠C ＝70°，所以∠A ＝180°－50°－70°＝60°，∠D ＝∠A ＝60°. 1．D.2．7．3．OA ＝OC ，AB ＝CD ，OB ＝OD ，∠B ＝∠D ，∠AOD ＝∠COB. 4．C ．5．（1）对应边是FG 和MH ，EF 和NM ，EG 和NH ；对应角是∠E 和∠N ，∠EGF 和∠NHM;（2）根据全等三角形的性质，得NM ＝EF ＝2.4cm ， HG ＝FG －FH ＝MH －FH ＝3.5－1.9＝1.6cm. 6．∠CAE ＝∠BAD ，理由如下： 由旋转可知△ABC ≌△ADE ， 所以∠BAC ＝∠DAE ，所以∠BAC －∠BAE ＝∠DAE －∠BAE ， 所以∠CAE ＝∠BAD. 7．（6）；（3），（5）.8．因为△ABC ≌△ADE ，所以∠BAC ＝∠DAE ， 所以∠BAC －∠EAC ＝∠DAE －∠EAC ， 所以∠BAE ＝∠DAC ，因为∠BAD ＝100°，∠CAE ＝40°， 所以∠BAE ＝∠DAC ＝2BAD CAE∠-∠＝30°，所以∠BAC ＝∠BAE ＋∠CAE ＝30°＋40°＝70°. 9．BM ∥EN ，理由如下： 因为△ABC ≌△FED ，所以∠ABC ＝∠FED ，∠ACB ＝∠FDE ， 又因为∠ABM ＝∠FEN ，所以∠ABC －∠ABM ＝∠FED －∠FEN ， 即∠MBC ＝∠NED ， 又因为∠ACB ＝∠FDE ，所以∠BMC ＝∠END ，所以BM ∥EN. 10．B.11．（1）由已知条件可知∠BAD ＝∠CAE ，所以∠BAD ＋∠DAE ＝∠CAE ＋∠DAE ，所以∠BAE ＝∠CAD ； （2）由已知条件可知BD ＝CE ，所以BD ＋DE ＝CE ＋DE ，所以BE ＝CD.第2课时11.2三角形全等的判定（1）【检测1】B. 【检测2】AB ＝DC. 【检测3】∵AD ＝FC ，∴AD ＋DC ＝FC ＋DC ，即AC ＝FD. 在△ABC 和△FED 中， ∴△ABC ≌△FED （SSS ）. 【问题1】在△ABC 与△DCB 中， ∴△ABC ≌△DCB （SSS ）. ∴∠ABC ＝∠DCB ，∠ACB ＝∠DBC. ∴∠ABC －∠DBC ＝∠DCB －∠ACB. ∴∠1＝∠2.【问题2】有道理，理由如下： 在△ACB 与△ACD 中， ∴△ACB ≌△ACD （SSS ）.∴∠BAC ＝∠DAC ，即AE 是∠DAB 的平分线. 1．D.2．△ADC ，△BCD ；△ABD ，△BAC. 3．AD ⊥BC 符合要求，理由如下： ∵点D 是BC 的中点，∴BD ＝CD. 在△ABD 和△ACD 中， ∴△ABD ≌△ACD （SSS ）. ∴∠ADB ＝∠ADC.又∵∠ADB ＋∠ADC ＝180°， ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°. ∴AD ⊥BC. 4．D ．5．∵AF ＝DC ，∴AF －CF ＝DC －CF.∴AC ＝DF. 在△ABC 与△DEF 中， ∴△ABC ≌△DEF （SSS ）. ∴∠A ＝∠D. ∴AB ∥DE.6．在△ADC 与△AEB 中， ∴△ADC ≌△AEB （SSS ）. ∴∠DAC ＝∠EAB.∴∠DAC －∠BAC ＝∠EAB －∠BAC. ∴∠DAB ＝∠EAC. ∵△ADC ≌△AEB ， ∴∠B ＝∠C.∴∠B ＋∠BAC ＝∠C ＋∠BAC. ∴∠BMC ＝∠CNB. 7．4．8．连接AC ，在△ADC 与△CBA 中， AB ＝CD ，AD ＝CB ，AC ＝CA ， ∴△ADC ≌△CBA （SSS ）， ∴∠ACD ＝∠CAB ， ∴AB ∥CD ， ∴∠A ＋∠D ＝180°.9．因为所作三角形的一边DE 等于已知△ABC 的一边BC ，则有下列情况：如图（1）中，DE＝BC，DM＝BA，ME＝AC；如图（2）中，DE＝BC，DM＝CA，ME＝AB；如图（3）中，DE＝BC，DM＝BA，ME＝AC；如图（4）中，DE＝BC，DM＝CA，ME＝AB.故这样的三角形最多可以画出4个.10．连接BD，在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SSS）.∴∠C＝∠A.11．在△ABD与△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SSS）.∴∠ADB＝∠AEC.∵∠ADB＋∠CDB＝∠AEC＋∠BEC＝180°，∴∠CDB＝∠BEC.第3课时11.2三角形全等的判定（2）【检测1】SAS.【检测2】BC＝DC，SSS；∠BAC＝∠DAC，SAS.【检测3】在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS）.【问题1】证明：∵AB∥ED，∴∠B＝∠E.在△ABC和△CED中，∴△ABC≌△CED（SAS）.∴AC＝CD.【问题2】AB∥CF.理由如下：在△AED与△CEF中，∴△AED≌△CFE（SAS）.∴∠A＝∠FCE.∴AB∥CF.1．B.2．B，C；AB，CD.3．∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE.∴∠BAC＝∠DAE.在△BAC与△DAE中，∴△BAC≌△DAE（SAS）.∴BC＝DE.4．90°.5．∵D，E分别是AC，AB的中点，∴AD＝12AC，AE＝12AB.又∵AB＝AC，∴AE＝AD.在△ADB与△AEC中，AD＝AE，∠A＝∠A，AB＝AC，∴△ADB≌△AEC（SAS）.∴BD＝CE.6．（1）∵C为BD的中点，∴CD＝CB.在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC（SAS）.∴AB＝ED.（2）∵CD＝140m，∴CB＝140m.在△ACB中，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以（140－100）m＜AB＜（140＋100）m，即40m＜AB＜240m. 7．D.8．相等，理由如下：在△ABC与△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS）.∴∠BAC＝∠DAC.在△BAE与△DAE中，∴△BAE≌△DAE（SAS）.∴BE＝DE.9．（1）△ABE≌△ACD，证明如下：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°.∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.∴△ABE≌△ACD（SAS）.（2）证明：由（1）△ABE≌△ACD，知∠ACD＝∠ABE＝45°.又∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°，∴DC⊥BE.10．A.11．证明：在△AOC与△BOC中，∵AO＝BO，∠1＝∠2，OC＝OC，∴△AOC≌△BOC，∴AC＝BC.第4课时11.2三角形全等的判定（3）【检测1】D.【检测2】AOB，COD.【检测3】在△ACB与△ADB中，∴△ACB≌△ADB（AAS）.∴AC＝AD.【问题1】证明：∵AC∥DF，∴∠ACE＝∠DFB.又∵∠ACE＋∠ACB＝180°，∠DFB＋∠DFE＝180°，∴∠ACB＝∠DFE.又BF＝EC，∴BF－CF＝EC－CF，即BC＝EF.在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS）.∴AB＝DE.【问题2】证明：在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（ASA）.∴AB＝AD.又∵∠1＝∠2，AO＝AO，∴△ABO≌△ADO（SAS）.∴BO＝DO.1．D.2．∠ACB＝∠DFE；AB＝DE；∠A＝∠D.3．∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD－∠CAD＝∠EAC－∠CAD.∴∠BAC＝∠EAD，在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED（AAS）.∴AB＝AE.4．B.5．∵点O为AB的中点，∴AO＝BO.∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠BEO，∠DAO＝∠EBO.在△AOD与△BOE中，∴△AOD≌△BOE（AAS）.∴OD＝OE.6．∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠DEC＝∠BFA＝90°.在△BFA与△DEC中，∴△BFA≌△DEC（ASA）.∴AF＝CE.∴AF＋EF＝CE＋EF.∴AE＝CF.7．1.8．OM＝ON成立．理由是：∵△BOD绕点O旋转180°后得到△AOC，∴△BOD≌△AOC．∴∠A＝∠B，AO＝BO．又∵∠AOM＝∠BON，∴△AOM≌△BON(ASA)．∴OM＝ON．9．（1）△ACD≌△CBE，证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°.又∵AD⊥l，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∴∠BCE＝∠CAD.∵BE⊥l，∴∠ADC＝∠CEB＝90°.在△ACD与△CBE中，∠CAD＝∠BCE，∠ADC＝∠CEB，AC＝CB，∴△ACD≌△CBE（AAS）.（2）由（1）可知△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，∴AD＝CE＝CD＋DE＝BE＋DE＝3＋5＝8.10．C.11．证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF.∵BE＝CF，∴BC＝EF.在△ABC与△DEF中，∠B＝∠DEF，BC＝EF，∠ACB＝∠F，∴△ABC≌△DEF（ASA）.11.1~11.2（1）测试题基础巩固一、精挑细选，一锤定音1．D．2．D．3．C．4．D．5．D．6．C．提示：A中的条件不能构成三角形；B中的条件可画出两个三角形；D中的条件可画出无数个三角形．二、慎思妙解，画龙点睛7．4．8．CD=CB或∠DAC=∠BAC．9．65．10．22．提示：先证△ABC≌△DCB，则∠A＝∠D＝78°，∠ABC＝180°－(∠A ＋∠ACB)＝62°．∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝22°．三、过关斩将，胜利在望11．解：依题意，∠B＝∠C＝30°．∴∠BFC＝∠A＋∠B＝80°，∴∠BOC＝∠BFC＋∠C＝110°．12．证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE，∴∠B＝∠E＝90°．∵BF＝CE，∴BF＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF．又∵AB＝DE，∴△ABC≌△DEF(SAS)．∴∠A＝∠D．13．证明：∵OA＝OB，OC＝OD，AC＝BD，∴△OAC≌△OBD(SSS)．∴∠AOC＝∠BOD．∴∠AOC－∠BOC＝∠BOD－∠BOC，即∠AOB＝∠COD．∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°．∴∠COD＝90°，即OC⊥OD．14．(1)如果①、③，那么②或如果②、③，那么①；(2)下面选择“如果①、③，那么②”加以证明．证明：∵BE∥AF，∴∠AFD＝∠BEC．又∵∠A＝∠B，AD＝BC，∴△ADF≌△BCE(AAS)．∴DF＝CE．∴DF－EF＝CE－EF，即DE＝CF．15．（1）∵∠ABC＝90°，点F为AB延长线上一点，∴∠ABC＝∠CBF＝90°.在△ABE与△CBF中，∴△ABE≌△CBF（SAS）.∴AE＝CF.（2）由题意知，△ABC和△EBF都是等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠EFB＝45°.∵∠CAE＝30°，∴∠AEB＝∠CAE＋∠ACB＝30°＋45°＝75°.由（1）知△ABE≌△CBF，∴∠CFB＝∠AEB＝75°，∴∠EFC＝∠CFB－∠EFB＝75°－45°＝30°.能力提高1．①②③．2．证明：∵∠AEC=180°-∠DEC=100°，∠ADB=100°，∴∠AEC=∠ADB．∵∠BAD+∠CAE=80°，∠ACE+∠CAE=∠CED=80°，∴∠BAD=∠ACE．又∵AB=AC，∴△ABD≌△CAE(AAS)．∴AD=CE，AE=BD．∴ED=AD-AE=CE-BD．3．全等三角形还有：△AA′E≌△C′CF，△A′DF≌△CB′E.选△AA′E≌△C′CF进行说明.∵AD＝CB，∠D＝∠B＝90°，AB＝CD，∴△ABC≌△CDA（SAS）.由平移的性质可得∴△A′B′C′≌△ABC.∴△A′B′C′≌△ABC≌△CDA，∴∠A＝∠C′，∴△AA′E≌△C′CF（ASA）.4．（1）∵∠A＋∠APB＝90°，∠APB＋∠QPC＝90°，∴∠A＝∠QPC.（2）当BP＝3时，PC＝BC－BP＝2＝AB，则△BAP≌△CPQ（ASA），∴PA＝PQ.当BP＝7时，点P在C的延长线上，如图所示，则PC＝BP－BC＝2＝AB.则△BAP≌△CPQ（ASA），∴PA＝PQ，综上可知，当BP＝3或BP＝7时，PA＝PQ.第2第5课时4）【检测1【检测2】SSS，SAS【检测3】A.【问题1】（1）∵AB⊥AC，AC⊥DC，∴∠BAC＝∠DCA＝90°.在Rt△BAC与Rt△DCA中，∴Rt△BAC≌Rt△DCA（HL）.（2）由（1）知Rt△BAC≌Rt△DCA（HL），∴∠ACB＝∠CAD，∴AD∥BC.【问题2】∵BF＝EC，∴BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.∴AB＝DE.1．AB＝AC.2.∵AB⊥BC，ED⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°.∵点C是BD的中点，∴BC＝DC.在Rt△ABC与Rt△EDC中，∴Rt△ABC≌Rt△EDC（HL）.∴AB=ED.3．CB＝DA，理由如下：由题意易知AC＝BD.∵CB⊥AB，DA⊥AB，∴∠DAB＝∠CBA＝90°.在Rt△DAB与Rt△CBA中，∴Rt△DAB≌Rt△CBA（HL）.∴DA＝CB.4．2.5．证明：∵AE＝DB，∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE.又∵∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．∴∠ABC＝∠DEF．∴BC∥EF．6．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.又∵点D是BC的中点，∴BD＝CD.在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.∴DE=DF.在Rt△ADE和Rt△ADF中，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.7．D.8．∵AC⊥CF，DF⊥CF，∴∠ACB＝∠DFE＝90°.又∵EC＝BF，∴EC＋EB＝BF＋EB，∴CB＝FE.在Rt△ACB与Rt△DFE中，∴Rt△ACB≌Rt△DFE（HL）.∴AC＝DF.在△ACE与△DFB中，∴△ACE≌△DFB（SAS）.∴AE＝DB.9．答案不唯一，如AD＝AE，AB＝AC，AD⊥DC，AE⊥BE，求证：AM ＝AN.证明：∵AD⊥DC，AE⊥BE，∴∠D＝∠E＝90°.又∵AD＝AE，AB＝AC，∴Rt△ADC≌Rt△AEB.∴∠C＝∠B.∵∠CAM＝∠BAN，AC＝AB，∴△CAM≌△BAN（ASA）.∴AM＝AN.10．由题意可知：∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，EG＝FG，又∵点E，F分别是AB，DC的中点，∴AE＝12AB，DF＝12DC，∴AE＝DF.在Rt△AGE与Rt△DGF中，∴Rt△AGE≌Rt△DGF（HL）.∴AG＝DG，即G是AD的中点.11．∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠DCE＝90°.∴∠A＋∠B＝90°.在Rt△ACB和Rt△DCE中，∴Rt△ACB≌Rt△DCE（HL），∴∠A＝∠D，∴∠D＋∠B＝90°.∴DE⊥AB.第6课时11.2三角形全等的判定习题课【检测1】D.【检测2】答案不唯一，如∠A＝∠D或AC＝DF等.【检测3】∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，∴∠ABC ＝∠DCB. 在△ABC 与△DCB 中，∠4＝∠3，BC ＝CB ，∠ABC ＝∠DCB ， ∴△ABC ≌△DCB （ASA ）. ∴AB ＝CD.【问题1】∠BAD ＝∠CAD ，理由如下：∵AE ＝13AB ，AF ＝13AC ，AB ＝AC ，∴AE ＝AF.又∵OE ＝OF ，AO ＝AO ， ∴△AOE ≌△AOF （SSS ）.∴∠EAO ＝∠FAO ，即∠BAD ＝∠CAD.【问题2】如图，在AF 上截取AG=AD ，连接EG,EF. 在△ADE 和△AGE 中， ∴△ADE ≌△AGE(SAS). ∴DE=GE,∠AGE=∠ADE=90°. ∵DE=CE,∴CE=GE. 在Rt △EGF 和Rt △ECF 中， ∴Rt △EGF ≌Rt △ECF(HL). ∴GF=CF. ∵AF=AG+GF, ∴AF=AD+CF. 1．D.2．答案不唯一，如AE ＝BF 或DE ＝CF 等. 3．∵OP 是∠AOC 和∠BOD 的平分线， ∴∠BOP ＝∠DOP ，∠AOP ＝∠COP ， ∴∠AOP －∠BOP ＝∠COP －∠DOP ， ∴∠AOB ＝∠COD. 在△AOB 与△COD 中， ∴△AOB ≌△COD(SAS). ∴AB ＝CD. 4．B.5．(1)证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAD ＝∠CAE ． 又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ， ∴△BAD ≌△CAE (SAS)．（2）∵△BAD ≌△CAE ，∴∠B ＝∠C ． ∴∠COB ＝∠B ＋∠E ＝∠C ＋∠E ＝∠1＝60°． 6．（1）∵BG ∥AC ，∴∠DBG ＝∠C. 又∵BD ＝CD ，∠BDG ＝∠CDF ， ∴△BGD ≌△CFD(AAS)，∴BG ＝CF. （2）BE ＋CF ＞EF ，证明：由△BGD ≌△CFD ，得GD ＝FD ，BG ＝CF. 又∵DE ⊥GF ，ED ＝ED ，∴△EDG ≌△EDF(SAS)， ∴EG ＝EF.在△BEG 中，BE ＋BG ＞EG ，即BE ＋CF ＞EF. 7．1m.8．(4，－1)，(－1，3)或(－1，－1)．9．在EA 上截取EF ＝EB ，连接FC.∵CE ⊥AB ，∴∠FEC ＝∠BEC ＝90°. 又∵EC ＝EC ，∴△CFE ≌△CBE （SAS ）. ∴∠B ＝∠CFE.又∵∠CFE ＋∠AFC ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°， ∴∠CFA ＝∠D.又∵∠FAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ， ∴△AFC ≌△ADC （AAS ）. ∴AF ＝AD.又∵AE ＝AF ＋EF ，EF ＝EB ，∴AE ＝AD ＋BE. 10．答案不唯一，如AB ＝DC 或AF ＝DE 等. 11．图中∠CBA ＝∠E.证明：∵AD ＝BE ，∴AD ＋DB ＝BE ＋DB ，即AB ＝DE. ∵AC ∥DF ，∴∠A ＝∠FDE. 又∵AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴∠CBA ＝∠E.第7课时11.3角的平分线的性质（1）【检测1】C.【检测2】相等，角的平分线上.【检测3】(1)成立，因为由“AAS ”可证△OPD ≌△OPE ，可得PD=PE ； (2)成立，因为由“HL ”可证△OPD ≌△OPE ，得∠DOP=∠EOP ． 【问题1】作DE ⊥AB 于点E ， ∵∠C ＝90°，∴DC ⊥AC.又∵AD 为∠BAC 的角平分线，∴DC ＝DE. ∵BC ＝64，BD:DC ＝9:7， ∴DC ＝716×64＝28，∴DE ＝28. 【问题2】∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE ＝DF.在△DEB 与△DFC 中，∠B ＝∠C ，∠BED ＝∠CFD ＝90°，DE ＝DF ， ∴△DEB ≌△DFC （AAS ）. ∴BD ＝CD. 1．B ．2．C ．3．MD ⊥OA 且ME ⊥OB ． 4．55°.5．连接AD ，在△ABD 和△ACD 中， AB ＝AC ，BD ＝CD ，AD ＝AD ， ∴△ABD ≌△ACD （SSS ）.∴∠BAD ＝∠CAD ，即AD 平分∠BAC. 又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.6．∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°. ∵BE ＝CF ，DB ＝DC ， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD （HL ）. ∴DE ＝DF.又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 是∠BAC 的平分线. 7．C. 8．PD ＝PC.证明：过点P 作PF ⊥OA 于点F ，PE ⊥OB 于点E ， ∵OM 是∠AOB 的平分线，∴PE ＝PF.∵∠CPF ＋∠FPD ＝90°，∠DPE ＋∠FPD ＝90°， ∴∠DPE ＝∠CPF. 在△PDE 和△PCF 中，∠DPE ＝∠CPF ，PE ＝PF ，∠DEP ＝∠CFP ，∴△PDE ≌△PCF （ASA ）， ∴PD ＝PC.9．（1）∵∠C ＝90°，∴DC ⊥AC. ∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ， ∴DC ＝DE.在Rt △DCF 与Rt △DEB 中， DF ＝DB ，DC ＝DE ，∴Rt △DCF ≌Rt △DEB （HL ），∴CF ＝EB. （2）AE ＝AF ＋EB ，理由如下： ∵CE=DE ，AD=AD,∠C=∠DEA=90°， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ）. ∴AC ＝AE.又∵AC ＝AF ＋CF ＝AF ＋EB ， ∴AE ＝AF ＋EB. 10．D. 11．(1)如图；.理由如下：∵＝OP ，． ∴∠AOP ＝∠BOP ，即点P 在∠AOB的平分线上． 故轮船航行时没有偏离预定航线．第8课时11.3角的平分线的性质（2）【检测1】C.【检测2】在三角形内部分别作出两条角平分线，其交点O 就是小亭的中心位置，如图1所示. ，PF 分别垂直于AB ，BC ，CA ，垂足分P 在BM 上，PD ⊥AB ，PE ⊥BC ， ∴PD ＝PE. 同理PE ＝PF.∴PD ＝PF ，∴点P 在∠BAC 的平分线上. 【问题2】过点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ．则EC ＝EF ．∵ED ＝EC ，∴ED ＝EF ．∵ED ⊥AD ，EF ⊥AB ，∴AE 平分∠BAD ． 1．B ．2．C ．3．4．4．D ．5．过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，垂足点E ，F. ∵OB ，OC 分别平分∠ABC ，∠ACB ，OD ⊥BC ， ∴OD ＝OE ＝OF ＝2， ∴ABCS＝AOBS ＋AOCS ＋BOCS＝12×AB ×OE ＋12×AC ×OF ＋12×BC ×OD ＝12（AB ＋AC ＋BC ）×OD ＝12×24×2＝24. 6．∵PC ⊥AC ，PB ⊥AB ，PB ＝PC ， ∴AP 平分∠BAC ，即∠BAP ＝∠CAP.∵∠BAP ＋∠BPA ＝90°，∠CAP ＋∠CPA ＝90°， ∴∠BPD ＝∠CPD. 在△PBD 和△PCD 中，PB ＝PC ，∠BPD ＝∠CPD ，PD ＝PD ， ∴△PBD ≌△PCD （SAS ），∴∠BDP ＝∠CDP. 7．120.8．⑴作∠BAC 、∠ACB 的平分线，它们的交点P 为符合要求的点，如图2所示，作PF ⊥BC ，PE ⊥AB ，PG ⊥AC ，垂足分别为点F ，E ，G.证明：∵AP 是∠BAC 的平分线，∴PE ＝PG.∵CP 是∠ACB 的平分线，∴PF ＝PG ，∴PE ＝PG ＝PF.APC S ∆， x ∙＋21BC x ∙.∴3=x ，即这个距离为3.9．（1）作OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥AC 于点N ，连接OA. 在Rt △OMB 和Rt △ONC 中， ∵OM ＝ON ，OB ＝OC ，∴Rt △OMB ≌Rt △ONC （HL ），∴∠B ＝∠C. 又∵OM ⊥AB ，ON ⊥A ，OM ＝ON ，∴∠MAO ＝∠NAO. 在△ABO 和△ACO 中，∵∠B ＝∠C ，∠BAO ＝∠CAO ，OA ＝OA ， ∴△ABO ≌△ACO （AAS ）.∴AB ＝AC.（2）作OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥AC 于点N ，连接OA ， 在Rt △OMB 和Rt △ONC 中， ∵OB ＝OC ，OM ＝ON ，∴Rt △OMB ≌Rt △ONC （HL ），∴∠MBO ＝∠NCO. ∵OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，OM ＝ON ，∴∠BAO ＝∠CAO. ∵∠MBO ＝∠NCO ，∠BAO ＝∠CAO ，OA ＝OA ， ∴△ABO ≌△ACO （AAS ），∴AB ＝AC. 10．＝.11．过点D 作DF ⊥BC 于点F.∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ， ∴DF ＝DE ＝2cm.又AB ＝9cm ，BC ＝6cm ， ∴ABD S＝12×AB ×DE ＝12×9×2＝9（cm 2），BCD S＝12×BC ×DF ＝12×6×2＝6（cm 2）. ∴ABCS＝ABD S＋BCDS＝9＋6=15（cm 2）.11.2（2）~11.3测试题基础巩固一、精挑细选，一锤定音1．B ．2．C ．3．B ．4．A ．5．A ．6．B ． 二、慎思妙解，画龙点睛C F B7．HL．8．152cm．9．5．10．4处．三、过关斩将，胜利在望(共50分)11．提示：∠AOB的平分线与MN的交点即为所求作的点C．12．提示：先用“HL”证明Rt△AEF≌Rt△BCD，从而得到AF＝BD，进而得到AD＝BF．13．证明：过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，∵△DEB与△DFC的面积相等，BE＝CF，∴DM＝DN．∴AD平分∠BAC．14．BF＝CG.理由如下：连接EB，EC，∵ED⊥BC，∴∠BDE＝∠CDE＝90°.在△BDE与△CDE中，BD＝CD，∠BDE＝∠CDE，DE＝DE，∴△BDE≌△CDE（SAS）.∴EB＝EC.∵EF⊥AB，EG⊥AC，AE平分∠BAC，∴EF＝EG.在Rt△BEF与Rt△CEG中，∴Rt△BEF≌Rt△CEG（HL）.∴BF＝CG.15．⑴△CDF，证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.又∵BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.⑵∵AD＝AD，DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.∴AE＝AF.又∵AE＝6cm，∴AF＝6cm.∵AC＝4cm，∴CF＝AF－AC＝2cm.由⑴可得Rt△BDE≌Rt△CDF，∴BE＝CF＝2cm.能力提高1．A．2．互补.理由如下：作CH⊥AD交其延长线于点H，∵CE⊥AB，∴∠AHC＝∠AEC＝90°.又AC平分∠BAD，∴∠CAH＝∠CAE.又∵AC＝AC，∴△ACH≌△ACE（AAS），∴AH＝AE，CE＝CH.∵AD＋AB＝2AE，∴AD＋AE＋BE＝2AE，AH－DH＋AE＋BE＝2AE，AE－DH＋AE＋BE＝2AE，∴DH＝BE.又∵∠CHD=∠CEB,CH＝CE，∴△CHD≌△CEB（SAS），∴∠B＝∠CDH.又∵∠CDH＋∠ADC＝180°，∴∠B＋∠ADC＝180°.即∠B与∠ADC互补.3．⑴PB＝PQ.理由如下：过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于对点F，在正方形PBCQ中，∠BPQ＝∠BCQ＝90°，∴∠PBC+∠PQC＝180°.又∵∠PQC＋∠PQD＝180°，∴∠PBC＝∠PQD.又∵AC为正方形ABCD的对角线，PE⊥BC，PF⊥CD，∴PE＝PF.∴△PBE≌△PQF(AAS)，∴PB＝PQ.⑵结论还成立，理由同上.4．（1）FE与FD之间的数量关系是FE=FD；(2)(1)中的结论FE=FD仍然成立.证明：在AC上截取AG=AE,连接FG.在△AEF和△AGF中，∴△AEF≌△AGF(SAS).∴∠AFE=∠AFG，FE=FG.∵∠B=60°，AD,CE分别平分∠BAC,∠BCA，∴∠GAF+∠FCA=60°.∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°.∴∠CFG=60°.在△CFG和△CFD中，∴△CFG≌△CFD(ASA).∴FG=FD.又∵FE=FG,∴FE=FD.第3期有效学案参考答案第9课时第十一章复习课【检测1】B.【检测2】D.【检测3】答案不唯一，如AC＝DF或∠B＝∠E或∠A＝∠D.【问题1】这个命题是假命题，添加的条件可以是：AC＝DF或∠C＝∠F或∠CBA＝∠E.以添加条件AC＝DF证明.∵AD＝BE，∴AD＋DB＝BE＋DB，∴AB＝DE.在△ACB与△DFE中，∴△ACB≌△DFE（SAS）.【问题2】（1）图中满足条件的全等三角形是：△AGF≌△DGB，理由如下：∵△ABC≌△DFC，∴∠A＝∠D，AC＝DC，CB＝CF，∴AF＝DB.又∵∠AGF＝∠DGB，∴△AGF≌△DGB.（2）AB⊥CD，理由如下：由题意可知△ABC≌△DCE，∴∠B＝∠ECD.又∵∠ECD＋∠GCB＝90°，∴∠GCB＋∠B＝90°，即∠CGB＝90°，∴AB⊥CD.1．A.2．10.3．∵DC是∠ACE的平分线，DE⊥CE，DF⊥AC，∴∠DEC＝∠DFC＝90°，∴DE＝DF.在Rt△DFC和Rt△DEC中，∴Rt△DFC≌Rt△DEC（HL），∴CE＝CF.4．A.5．DC＝PC且DC⊥PC；理由如下：∵∠DAC＝∠PBC，∠D＝∠BPC，AC＝BC，∴△ACD≌△BCP（AAS），∴DC＝PC，∠DCA＝∠PCB.∵∠PCB＋∠ACP＝90°，∴∠DCA＋∠PCA＝90°，∴DC⊥PC.6．（1）证明：连接AD，可证得Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），得BD＝CD.由E，F，G，H为中点及AB＝AC，BD＝CD，得BE＝CF，BH＝CG.又∠B＝∠C＝90°，∴△BEH≌△CFG，∴EH＝FG.（2）AD垂直平分BC，证明如下：由（1）知Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD＝∠CAD.∵AB＝AC，AO＝AO，∴△ABO≌△ACO（SAS）.∴BO＝CO，∠AOB＝∠AOC.又∠AOB＋∠AOC＝180°，∴∠AOB＝∠AOC＝90°，∴AD⊥BC.7．B.8．BE是∠ABC的平分线，理由如下：延长BC，AE交于点F，AC⊥BC，AE⊥BE，∴∠AED＝∠BCD＝90°.∵∠ADE＝∠BDC，∴∠CBD＝∠CAF.在△BCD与△ACF中，∠CBD＝∠CAF，BC＝AC，∠BCD＝∠ACF，∴△BCD≌△ACF（ASA），∴BD＝AF.又∵BD＝2AE，∴EF＝EA.在△BEA与△BEF中，∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEF，EA＝EF，∴△BEA≌△BEF（SAS），∴∠ABE＝∠FBE，即BE平分∠ABC.9．（1）∵BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，∴∠ADB＝90°，∠CEA＝90°.又∵AD＝CE，AB＝CA，∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL），∴∠BAD＝∠ACE.又∵∠CAE＋∠ACE＝90°，∴∠CAE＋∠BAD＝90°，∴∠BAC＝90°，∴BA⊥AC.（2）垂直，理由如下：易证Rt△ABD≌Rt△CAE（HL），∴∠BAD＝∠ACE.又∵∠ACE＋∠CAE＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠BAC＝90°，即BA⊥AC.10．D.11．（1）作图略；（2）△BDE≌△CDE；理由如下：∵DC平分∠ACB，∴∠DCE =12∠ACB.∵∠ACB=2∠B，∴∠B=12∠ACB，∴∠DCE=∠B.∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DEB＝90°.又∵DE＝DE，∴△BDE≌△CDE（AAS）.第十一章综合测试题（一）一、精挑细选，一锤定音1．D.2．B.3．C.4．C.5．A.6．C.7．C.8．B.9．C.10．D.二、慎思妙解，画龙点睛11．27°.12．60°.13．150°.14．答案不唯一，如EH＝BE或AE＝CE或AH＝BC.15．垂直.16．100°．17．10.18．（8,6），（8,8），（8,-6）或（8,-8）.三、过关斩将，胜利在望19．证明：在△AEB与△ADC中，AB＝AC，∠A＝∠A，AE＝AD，∴△AEB≌△ADC，∴∠B＝∠C．20．△A1B1C1与△ABC不一定全等，图略.21．△ADF≌△ABE，理由：∵AC平分∠BCD，AE⊥BE，AF⊥DF，∴AE＝AF，∠AEB＝∠AFD＝90°.又AB＝AD，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）.22．连接ME，MF，∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.在△BEM与△CFM中，BE＝CF，∠B＝∠C，BM＝CM，∴△BEM≌△CFM（SAS）.∴∠BME＝∠CMF.∴∠EMF＝∠BME＋∠BMF＝∠CMF＋∠BMF＝∠BMC＝180°，∴E，M，F在一直线上.23．⑴证明：∵∠BDE＝∠CDE，∴∠ADB＝∠ADC.又∵AE为角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，且AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（ASA），∴AB＝AC.⑵结论还成立，∵AE为高线，∴∠AEB＝∠AEC＝90°.又∠BDE＝∠CDE，且DE＝DE，∴△BDE≌△CDE.∴BE＝CE.又∠AEB＝∠AEC＝90°，且AE＝AE，∴△ABE≌△ACE（SAS），∴AB＝AC.24．（1）∵BD，CE分别是△ABC的边AC，AB上的高，∴∠ADB＝∠AEC＝90°.∴∠ABP＝90°－∠BAD，∠ACE＝90°－∠DAB，∴∠ABP＝∠ACE.在△ABP和△QCA中，∴△ABP≌△QCA（SAS），∴AP＝AQ.（2）∵△ABP≌△QCA，∴∠P＝∠CAQ.又∵∠P＋∠PAD＝90°，∴∠CAQ＋∠PAD＝90°，∴∠PAQ＝90°，∴AP⊥AQ.四、附加题25．（1）∵1t=s，∴BP＝CQ＝3×1＝3cm.∵AB＝10cm，点D为AB的中点，∴BD＝5cm.又∵PC ＝BC －BP ，BC ＝8cm ， ∴PC ＝8－3＝5cm ，∴PC ＝BD. 又∵∠B ＝∠C ，∴△BPD ≌△CQP. （2）∵PQ v v ≠，∴BP ≠CQ.又∵△BPD ≌△CPQ ，∠B ＝∠C ，则 BP ＝PC ＝4，CQ ＝BD ＝5， ∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==s ， ∴515443QCQ v t===cm/s ． 26．图②成立，图③不成立．证明图②．延长DC 至点K ，使CK ＝AE ，连接BK ，则 △BAE ≌△BCK ，∴BE ＝BK ，∠ABE ＝∠KBC. ∵∠FBE ＝60°，∠ABC ＝120°，∴∠FBC ＋∠ABE ＝60°，∴∠FBC ＋∠KBC ＝60°， ∴∠KBF ＝∠FBE ＝60°， ∴△KBF ≌△EBF ，∴KF ＝EF ， ∴KC ＋CF ＝EF ，即AE ＋CF ＝EF.图③不成立，AE ，CF ，EF 的关系是AE －CF ＝EF.第十一章综合测试题（二）一、精挑细选，一锤定音 1．C ．2．A ．3．C ．4．D ．5．C ． 6．B ．7．C ．8．C ．9．C ．10．C ． 二、慎思妙解，画龙点睛 11．∠DBE ，AC ．12．30°． 13．答案不唯一，如∠B ＝∠D ．14．答案不唯一，如Rt △ACD ≌Rt △BCE ，AC ＝BC ， ∠DAC ＝∠EBC ，∠ADC ＝∠BEC ，从中任选两个. 15．145°．16．78°．17．7．18．①②④． 三、过关斩将，胜利在望19．∵BC ＝BD ，点E 是BC 的中点，点F 是BD 的中点， ∴BE ＝BF.又∵∠ABE ＝∠ABF ，AB ＝AB ，∴△ABE ≌△ABF. 20．全等．由折叠可知△BDE ≌△BDC ． ∴DE ＝DC ，∠E ＝∠C ＝90°． ∵AB ＝DC ，∴AB ＝ED ．又∵∠A ＝∠E ＝90°，∠AFB ＝∠EFD ， ∴△ABF ≌△EDF (AAS)．21．在四边形ABCD 中，已知CD ＝BC ，∠D ＋∠B ＝180°，求证：对角线AC 平分∠BAD.证明：过点C 作AB ，AD 的垂线，垂足分别为点E ，F ， ∵∠ADC ＋∠B ＝180°，∠ADC ＋∠CDF ＝180°， ∴∠B ＝∠CDF.在△CDF 和△CBE 中， ∴△CDF ≌△CBE （AAS ），∴CF ＝CE. 又∵CF ⊥AD ，CE ⊥AB ，∴点C 在∠BAD 的平分线上，即对角线AC 平分∠BAD. 22．(1)FC ； (2)FC ＝EA ；(3)提示：用SAS 证△ABE ≌△CDF ．23．∵∠B ＝90°，ED ⊥AC 于点D ，BE ＝DE ， ∴AE 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝12∠BAC. 过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则∠BFA ＝∠BFC. ∵AB ＝BC ，BF ＝BF ， ∴Rt △BFA ≌Rt △BFC （HL ）， ∴∠BAC ＝∠C ，∴∠EAD ＝12∠C. 24．（1）垂直，相等；（2）当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立. 由正方形ADEF 得AD ＝AF ，∠DAF ＝90°.∵∠BAC ＝90°，∴∠DAF ＝∠BAC ，∴∠DAB ＝∠FAC. 又AB ＝AC ，∴△DAB ≌△FAC ，∴CF ＝BD ，∠ACF ＝∠ABD. 又∵∠ABD ＋∠ACB ＝90°， ∴∠ACF ＋∠ACB ＝45°，即CF ⊥BD. 四、附加题25．（1）作图略；在OA 和OB 上截取OE ＝OF ，在OP 上任取一点C ，连接CE ，CF ，则△COE ≌△COF ；（2）在AC 上截取AM ＝AE ，连接FM ，AD 是∠BAC 的平分线，∴∠EAF ＝∠MAF.又∵AF ＝AF ，∴△AEF ≌△AMF ，∴EF ＝MF. ∵CE 是∠BCA 的平分线，∠ACB ＝90°， ∴∠DCF ＝45°.又∵∠B ＝60°，∴∠BAD ＝15°，∴∠CDF ＝75°， ∴∠AMF ＝∠AEF ＝105°，∴∠FMC ＝75°， ∴∠CDF ＝∠CMF.又∵CF ＝CF ，∠DCF ＝∠MCF. ∴△CDF ≌△CMF ， ∴FD ＝FM ，∴EF ＝DF. 26．（1）90；（2）①α＋β＝180°.理由： ∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ， 即∠BAD ＝∠CAE. 又AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴∠B ＝∠ACE ，∴∠B ＋∠ACB ＝∠ACE ＋∠ACB ，∴∠B ＋∠ACB ＝β. ∵α＋∠B ＋∠ACB ＝180°， ∴α＋β＝180°.②当点D 在射线BC 上时，α＋β＝180°，当点D 在射线BC 的反射延长线时，α＝β.第4期有效学案参考答案第1课时12.1轴对称（1）【检测1】（1）互相重合，对称轴； （2）与另一个图形重合，对称点. 【检测2】A.【问题1】解：中国银行标志是轴对称图形，而且有2•条不同的对称轴.其对称轴如图1中的直线AB 和直线CD.【问题2】解：乙组图形中的两个图案是成轴对称的，其对称轴如图2中的直线MN.对称点见红色标记.1．C. 2．C.3.（1）对称轴是过点A 的一条铅垂线（画图略）； （2）点A ，B ，C ，D 的对称点分别是点A ，G ，F ，E ； （3）答案不唯一，图略. 4．D.5．虚线a ，d 是图形的对称轴，虚线b ，c ，e ，f 不是.6．答：图（1）不是轴对称图形，图（2）、（3）、（4）是轴对称图形，且图（2）有1条对称轴，图（3）有6条对称轴，图（4）有2条对称轴（画图略）.7．与第1个三角形关于直线AC 对称；与第3个三角形关于直线EG 对称；与第5个三角形关于直线BD 对称；与第7个三角形关于直线FH 对称. 8．B. 910．如图3.11．A.12．（1）如图4；（2）第（1）个图是正方体的表面展开图，第（2）个图不是.第2课时12.1轴对称(2) 【检测1】（1）垂直平分线，垂直平分线； （2）两个端点，两个端点，两个端点. 【检测2】(1)如图1； (2)直线l 垂直平分线段AA ′.【问题1】如图2：图2作法：（1）连接AD ；（2）分别以点A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径作弧，两弧交于M ，N 两点．（3）作直线MN ，则MN 即为所求的直线. 【问题2】（1）DE=CD ．∵BD 平分∠ABC ，∠C=90°，且DE ⊥AB 于点E ，∴DE=CD ． （2）AD=BD ．∵DE 是斜边AB 的垂直平分线，∴AD=BD ． （3）△ABC 的周长为a+2b ． 1．C.2．D. 3．连接AC ．∵点A 在线段BC 的垂直平分线MN 上，∴AB ＝AC ． ∵AB ＝AD ，∴AC ＝AD ．∴点A 在线段CD 的垂直平分线上. 4．5cm.5．第(1)、(2)、(3)幅图中的图形A 与图形B 成轴对称，第(1)幅图中的对称轴是铅直的(注意：水平的那条对称轴不符合题意)，第(2)幅图中的对称轴是水平的，第(3)幅图中的对称轴是倾斜的．第(4)图中的图形A 与图形B 不是成轴对称．画图略. 6．（1）对称点有：C 与C ′，A 与A ′，B 与B ′； （2）m 垂直平分AA ′；（3）AC 与A ′C ′的交点在直线m 上，AB 与A ′B ′的交点也在直线m 上，BC 与B ′C ′的交点都在直线m 上；发现的规律：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上． 7．D.8．如图3．理由：到两公路距离相等的点在两公路所成角的平分线上，到两个村庄距离相等的点在连结两个村庄所得线段的垂直平分线上，因此，货运站是以上角平分线与垂直平分线的交点.9.连接DB ，DC ，∵AD 是∠A 的角的平分线，且DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=DF ． ∵MD 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ． 在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，∴Rt △DEB ≌Rt △DFC （HL ）． ∴EB ＝FC ． 10．A.11．∵DE 垂直平分BC ，∴DB ＝DC ．∵AD ＋DC ＋AC ＝14，∴AB ＋AC ＝14…………(1) 又AB －AC ＝2…………(2)．于是由方程组(1)、(2)解得AB ＝8，AC ＝6． 答：AB 和AC 的长分别为8cm 和6cm.第3课时12.2作轴对称图形(1)【检测1】（1）形状、大小，对称点，垂直平分；（2）点，对应点，直线、线段、或射线，对称点. 【检测2】如图1.图3PMNO l图1（1）（2）图4图3方法三方法二方法一l【问题1】(1)过点O 作l 的垂线，垂足为O ；延长AO 到A ′，使OA ′＝OA ．则点A ′即为所求作的点；(2)如图2；(3)AB ∥A ′B ′，对应线段所在直线的交点位于对称轴l 上.【问题2】如图3,作点B 关于直线l 的对称点B ′,连接AB ′交直线l 于点C,则沿路线A —C —B 运球可使同学们的用时尽可能少. 3．如图5，过点D 作AB 的垂线交圆周于点D ′，连接CD ′交AB 于点P ，则点P 即为所求.4．错误.5．D.6．(1)步骤2，3，4中的对称轴分别是线段d 、b 、a （或c ）所在的直线；(2)略.7．①264×21，√；②429×21，×；③198×81，√. 8．(1)特征1：都是轴对称图形；特征2：图案的总面积都是6；特征3：都有两条互相垂直的对称轴． (2)答案不唯一，如图3．9．如图7，作点B 关于HE 的对称点B ′，点A 关于EF 的对称点A ′，连接B ′A ′分别交HE ，EF 于点C ，D ，则B →C →D →A 即为白球撞击黑球的路线.1011．(1)如图8；(2)PP 2与AB 平行且相等．理由：设PP 1分别交l 1，l 2于点O 1，O 2． ∵P 、P 1关于l 1对称，点P 2在PP 1上，∴PP 2⊥l 1． 又∵AB ⊥l 1，∴PP 2∥AB ．依题意可知O 1O 2＝AM ＝a ，P 1O 1＝PO 1＝b ，P 2O 2＝P 1O 2＝P 1O 1－O 1O 2＝b－a ．∴PP 2＝PP 1－P 1P 2＝2PO 1－2P 1O 2＝2b －2(b －a )＝2a ．故PP 2与AB 平行且相等.第4课时12.2作轴对称图形(2) 【检测1】(x ，－y )，(－x ，y ).【检测2】(1)点A 和点D 、点B 和点C 关于x 轴对称，点A 和点B 、点C 和点D 关于y 轴对称(描点略)； (2)x ，y .【问题1】画图略，(1)A ，B ，C ，D 的坐标分别为(－2，2)、(－1，1)、(－3，－2)、(－4，1)，它们的对称点A ′，B ′，C ′，D ′的坐标分别是(2，2)、(1，1)、(3，－2)、(4，1)； (2)M ′(－a ，b ).【问题2】解：若两点关于横轴对称，则它们的横坐标不变，而纵坐标变为相反数．于是39,23 5.a b a b -=⎧⎨+=-⎩解得a ＝2，b ＝－3. 1．B.2．二.3．画图略.(1)A ，B ，C 的坐标分别为(－3，2)，(－2，0)，(3，3)，它们的对称点A ′，B ′，C ′的坐标分别是(－3，－2)，(－2，0)，(3，－3)； (2)M ′(a ，－b ). 4．(1，－2).5．(9，9).6．(1)图略，A 1(0，4)，B 1(2，2)，C 1(1，1)； (2)图略，A 2(6，4)，B 2(4，2)，C 2(5，1)；(3)它们关于某条直线对称，对称轴是一条经过(3，0)且与x 轴垂直的直线.7.（-1，1）.8．2，3.9．(1)点A ，B ，C ，D 关于x ＝－2对称的点分别是A ′(－4，1)，B ′(－1，4)，C ′(1，4)，D ′(1，1)，画图略；(2)AB 与A ′B ′交于点E (－2，3)，且S △A ′AE ＝4.图8图6图5B图4l图2lO D 'C 'B 'A 'CADB图1 (1) (2)(2)M ′(a ，－b ). 4．(1，－2).5．(9，9).6．(1)图略，A 1(0，4)，B 1(2，2)，C 1(1，1)； (2)图略，A 2(6，4)，B 2(4，2)，C 2(5，1)；(3)它们关于某条直线对称，对称轴是一条经过(3，0)且与x 轴垂直的直线.7.（-1，1）.8．2，3.9．(1)点A ，B ，C ，D 关于x ＝－2对称的点分别是A ′(－4，1)，B ′(－1，4)，C ′(1，4)，D ′(1，1)，画图略；(2)AB 与A ′B ′交于点E (－2，3)，且S △A ′AE ＝4. 10．D. 11．(1)S △ABC ＝12×5×3＝152(或7.5)(平方单位)； (2)图略；(3)A 1(1，5)，B 1(1，0)，C 1(4，3)．12．1~12．2测试题基础巩固1．C ．2．B ．3．A ．4．C ．5．C ．6．B.7．答案不唯一，如：中，喜，目，善，工，田，等等． 8．3.提示：A ′D ＝AD ，A ′E ＝AE . 9．115°．10．(－1，－4)．提示：m －1＝2，n ＋1＝－3． 11．（1）点A 与点D,点B 与点E,点C 与点F ； （2）90°；（3）周长为30cm,面积为30 cm 2. 12．如图1．13．(1)略；(2)A ′(2，3)，B ′(3，1)，C ′(－1，－2)．14．(1)AC 垂直平分BD ．∵AB ＝AD ，∴点A 在线段BD 的垂直平分线上．∵BC ＝DC ，∴点C 在线段BD 的垂直平分线上．由于两点确定一条直线，∴AC 垂直平分BD ． (2)S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △CBD＝12BD ·AO ＋12BD ·CO ＝12BD ·(AO ＋CO )＝12BD ·AC ＝12×4×5＝10． 15．如图2．能力提高1．C ．2．151＋25＋12＝188．3．.4．如图3.5．(1)连接B ′B ′′，B ′B ′′的垂直平分线即是直线EF ；(2)∠BOB ′′＝2α．C HH HH HH H 图2A ′P图1图3方法一方法二方法三方法四。