极值理论在风险价值度量中的应用1、引言自20世纪70年代以来,金融市场的波动日益加剧,一些金融危机事件频繁发生,如1987年的“黑色周末”和亚洲金融危机,这使金融监管机构和广大的投资者对金融资产价值的暴跌变得尤为敏感;金融资产收益率的尖峰、厚尾现象也使传统的正态分布假定受到严重的质疑,因此如何有效地刻画金融资产收益率的尾部特征,给出其渐进分布形式,及各种风险度量模型的准确估计方法和置信区间,依此制定投资策略,确定国家监管制度,成为风险度量和管理所面临的巨大挑战;目前,对金融资产损失的估计方法主要包括历史模拟、参数方法和非参数方法;历史模拟是一种最简单的方法,它利用损失的经验分布来近似真实分布,但是该方法不能对过去观察不到的数据进行外推,更不能捕获金融资产收益序列的波动率聚类现象,而受到大量的批评;参数方法假设收益符合某种特定的分布如：正态分布、t分布等,再通过分布与样本的均值、方差的匹配对参数进行估计,或者是假设收益符合某种特定的过程如：ARMA模型、GARCH模型,该方法可以在一定程度上解释尖峰后尾现象和波动率聚类问题,具有比较好的整体拟和效果;不过参数方法只能对已经到来的灾难信息给出准确的估计,对于即将到来的灾难信息无法给出准确的预测,因此对极端事件的估计缺乏准确性;非参数方法则主要包括极值理论EVT,该理论不研究序列的整体分布情况,只关心序列的极值分布情况,利用广义帕累托分布generalized Pareto distribution或者广义极值分布generalized extreme value distribution来逼近损失的尾部分布情况;Danielsson and de Vries1997以7支美国股票构成的组合为样本比较各种模型的表现情况,发现EVT的表现比参数方法和历史模拟方法明显的好;Longin2000认为极值理论的优点在于它的没有假设特定的模型,而是让数据自己去选择,而GARCH模型作为估计风险的一种方法,它只能反映当时的波动率情况,对于没有预期到的变化缺乏准确性;不幸的是,Lee and Saltoglu2003把EVT模型应用到5个亚洲股票市场指数上,发现表现令人非常不满意,而传统的方法尽管没有一个在各个市场表现都是绝对优于其它模型的,但都比EVT模型的表现好;本人认为EVT模型之所以在亚洲市场表现不好主要是因为亚洲金融市场的数据具有很强的序列相关和条件异方差现象,不能满足EVT模型要求的独立同分布假定;另外,Jondeau and Rockinger1999,Rootzen and Kluppelberg1999,Neftci2000,Gilli and Kellezi2003和Christoffersen and Goncalves2004也分别采用极值原理和其他模型对金融数据的尾部特征进行了分析和比较;本章在传统单纯采用极值理论假设被分析数据是独立同分布的描述金融资产收益尾部特征的基础上,把ARMA－AsymmetricGARCH模型和极值理论有机的结合起来;首先利用ARMA －AsymmetricGARCH模型捕获金融数据中的序列自相关Correlation和异方差Heteroskedasticity现象,利用GMM估计参数,获得近似独立同分布的残差序列,再采用传统的极值理论对经过ARMA－AsymmetricGARCH模型筛选处理过的残差进行极值分析,在一定程度上克服了传统单纯采用极值理论时,由于金融数据序列自相关和波动率聚类现象不能满足极值理论假设所造成的估计误差;另外,本章还采用Bootstrap的方法给出了采用极值理论估计出的VaR和ES在某一置信水平 下的置信区间改进了采用似然比率法估计置信区间时,由于极值事件的小样本所造成的误差;最后,我们利用中国上证指数自1990年12月19到2004年9月30日的对数日收益率进行实证研究给出上证指数的VaR和ES值,及置信区间;2、VaR和ES的概念：VaRValue－at－Risk是一种被广泛接受的风险度量工具,2001年的巴塞耳委员会指定VaR模型作为银行标准的风险度量工具;它可以定义为在一定的置信水平p下,某一资产或投资组合在未来特定时间内的最大损失,或者说是资产组合收益损失分布函数的分位数点;假设X代表某一金融资产的收益,其密度函数为()f x,则VaR可以表示为：inf{|()(1)}p VaR x f X x p =-≤>- 1当密度函数()f x 为连续函数是也可以写作：1()p VaR F p -=-,其中1F -称为分为数函数,它被定义为损失分布()F x 的反函数;该模型计算简单,在证券组合损失X 符合正态分布,组合中的证券数量不发生变化时,可以比较有效的控制组合的风险;但是VaR 模型只关心超过VaR 值的频率,而不关心超过VaR 值的损失分布情况,且在处理损失符合非正态分布如后尾现象及投资组合发生改变时表现不稳定,会出现()()()p p p VaR X Y VaR X VaR Y +≥+ 2的现象,不满足Artzner1999提出了一致性风险度量模型的次可加性;()p ES Expected shortfull 满足Artzner1999提出的次可加性、齐次性、单调性、平移不变性条件,是一致性风险度量模型;它的定义如下：在给定的置信水平p 下,设X 是描述证券组合损失的随机变量,()[]F x P X x =≤是其概率分布函数,令1()inf{|()}F x F x αα-=≥,则()()ES X α可以表示为：11()01()()p p ES X F d p αα--=-⎰ 3 在损失X 的密度函数是连续时,()p ES 可以简单的表示为：{|()(1)}p ES E x F x p =-≤-; 本章将分别选用这两个模型来度量金融资产的风险,给出在修正过的极值模型下,其估计的方法和置信区间;3. ARMA －AsymmetricGARCH 模型ARMA －AsymmetricGARCH 模型的性质ARMA(p,q)模型：11p qt i t i j t j t i j y y μφξεε--===+++∑∑ 4其中,t ε是期望为0,方差为常数2σ的独立同分布随机变量,ARMA(p,q)模型在可逆的情况下可以表示为()AR ∞;该模型假设t y 的条件期望是可得的,条件方差为常数,通常可以用来解释时间序列的相关性,并可以对时间序列进行的短期预测;但是该模型条件方差为常数的假设,使其无法有效的解释在金融时间序列中经常被观察到的波动率聚类现象,为此,我们需要在模型中进一步引入GARCH 模型;我们令t t t z h ε=,其中t z 是期望为0,方差为常数1,的独立同分布随机变量,2t h 是t ε在t 时刻的条件方差;这里我们采用通常使用的最简单的(1,1)GARCH 模型,则条件方差可以表示为：2220111t t t h a a bh ε--=++,(1,1)GARCH 模型也可以表示成平方误2t ε的形式：22222201111()()()t t t t t t a a b b h h εεεε---=++--+- 5其中221(()|)0t t t E h F ε--=,因此(1,1)GARCH 模型本质上是平方误2t ε的ARMA(1,1);(1,1)GARCH 模型的引入不仅可以捕获到金融时间序列的波动率聚类现象,而且可以在一定程度上改善t z 尖峰后尾现象,因为44444422222222()()()()t t t t h z t t t t E Ez Eh Ez k k E Ez Eh Ez εε==≥= 6 其中4h k 和4z k 分别表示t h 和t z 的峰度,t h 的峰度明显大于等于t z 的峰度;另外,在金融序列中我们还可以明显的观察到,波动率正方向变动与收益率负方向变动的相关性大于与收益率正方向变动的相关性,一种可能的解释是收益率的负方向变动会加大波动幅度;而(1,1)GARCH 模型认为收益的正方向变动和负方向变动对波动率变动幅度有着相同的影响,为了捕获金融序列波动率变动的这一不对称性,我们引入需要Glosten et al1993提出的非对称(1,1)GARCH 模型：22220112111sgn()t t t t t h a a a bh εεε----=+++ 7其中00sgn()sgn()10t t x z x ε<⎧==⎨≥⎩,在这个模型中我们通过21sgn()t a ε-项来捕获收益率的正负变动对波动率变动的不同影响,如果收益率的波动与收益率波动率的变动像我们上面所预期的那样,则20a <;这样我们就得到了ARMA －AsymmetricGARCH 模型112222*********(sgn())()()p q t i t i j t j ti j t t t t t t t t t t y y z h a a a b b h h μφξεεεεεεεε--==----⎧=+++⎪⎪⎪=⎨⎪=+++--+-⎪⎪⎩∑∑ 8 、ARMA －AsymmetricGARCH 模型的参数估计：我们知道在条件正态分布的假设下,可以很容易的利用ARMA －AsymmetricGARCH 模型的似然函数,给出参数向量012(,,,,,,)a a a b θμφξ''=的估计值,其中1(,,)p φφφ'=,1(,,)q ξξξ'=;即使在金融收益率序列残差不满足条件正态分布的情况下,使用正态极大似然估计法,仍然可以得到参数θ的一致渐进正态非最小方差估计;但是这样我们得到的残差t z 将有很大的误差,而t z 是我们下一步进行EVT 尾部估计的输入变量,它的有效性将会直接影响我们整个的估计结果,为此我们必须寻找一个更有效的估计方法;GMMGeneralized Method of Moments 广义矩估计恰好可以满足我们的要求,它不需要假设t z 符合任何分布,只需要t z 的条件矩;在Skoglund2001“A simple efficient GMM estimator of GARCH models ”给出了该估计方法的计算过程和收敛情况;下面给去估计的步骤：首先,定义一个行向量 22[,()]t t t t r h εε=- 和广义向量 t t t g I r '=,其中t I '是工具变量,则参数θ的GMM 估计可以通过下式得到：11111min[][]T TtT t t t T g W T g θ---∈Θ=='∑∑ 9 其中11TT tt W T W -==∑是一个恰当的权重矩阵; 在Newey and McFadden1994中,我们可以知道,有效的GMM 估计可以通过另1()t t t r I θ-∂='∂∑,1()()t t t t r r W θθ-'∂∂='∂∂∑,其中11var(|)t t t r F --=∑,()t r θ∂'∂是Jacobian 行列式;把t I 和W 带入上面的目标函数9得到：1111[]()[]T T TT t t t t t t Q T g g -==='=Λ∑∑∑ 10 其中,t t t g g 'Λ=是一个含有参数θ的权重矩阵,它的元素可以表示为：其中,243[(1)]v v ∆=--,2211t t t h h c b θθ--∂∂=+∂∂,(0,0,0,0,)t t X εθ∂'=-∂,2221111112111(1,,sgn(),,2[sgn()])t t t t t t t t c h a a X εεεεε--------'=-+11(1,,,,)t t t p t t q X y y εε----=,1(|)k k t t v E z F -=通过上面对目标函数9的变化,我们得到函数T Q 是恰好可识别的,即参数θ的最优估计是使函数T Q 等于0;另外,我们要进行GMM 估计还需要一个对参数 的初始估计值和对t z 的三阶矩和四阶矩的初始估计值,而这一初始值我们可以通过对ARMA －AsymmetricGARCH 模型残差符合正态分布的情况进行最大似然估计得到;这样我们就可以得到有效的参数估计值和残差序列t z ;4、极值理论极值理论是测量极端市场条件下风险损失的一种方法,它具有超越样本数据的估计能力,并可以准确地描述分布尾部的分位数;它主要包括两类模型：BMM 模型Block Maxima Method 和POT 模型Peaks over Threshold,两类模型的主要区别有：1、极值数据的获取方法上的区别,BMM 模型通过对数据进行分组,然后在每个小组中选取最大的一个构成新的极值数据组,并以该数据组进行建模；POT 模型则通过事先设定一个阀值,把所有观测到的超过这一阀值的数据构成的数据组,以该数据组作为建模的对象,两个模型的共同点是只考虑尾部的近似表达,而不是对整个分布进行建模;2、两个模型分别采用极值理论中的两个不同的定理作为其理论依据,同时也因为获取极值数据的不同方法导致两个模型分别采用不同的分布来拟合极值数据;3、BMM 模型是一种传统的极值分析方法,主要用于处理具有明显季节性数据的极值问题上,POT 模型是一种新型的模型,对数据要求的数量比较少,是现在经常使用的一类极值模型;4、BMM 模型主要用于对未来一段较长的时间内的VaR 和ES 预测,而POT 则可以进行单步预测,给出在未来一段小的时间内VaR 和ES 的估计值;5、BMM 模型的前提条件是样本独立同分布,POT 模型的前提条件是超限发生的时间服从泊松分布,超限彼此相互独立,服从GPDgeneralized Pareto distribution 分布,且超限与超限发生的时间相互独立;样本独立同分布可以保证POT 模型的前提条件;BMM 模型的理论基础假设n M 表示我们采用BMM 方法获得的极值数据组,其中n 表示每个子样本的大小,则有下面的极限定理成立定理1：Fisher and Tippett 1928, Gnedenko 1943假设()t X 是一个独立同分布的随机变量序列,如果存在常数0n c >,n d R ∈,以及一个非退化的分布函数H ,使得 d n n nM d G c -−−→成立,则分布函数G 一定属于下面的三种标准的极值分布： Frechet ： 00()00x x x e x ααα--≤⎧⎪Φ=>⎨>⎪⎩ Weibull ： ()0()010x e x x x ααψα--⎧≤⎪=>⎨>⎪⎩Gumbel ： ()x e x e x R --Λ=∈从图1可以清楚的Frechet 分布用来描述那些极值无上界有下界的分布,Weibull 分布用来描述极值分布有上界,无下界的分布,Gumbel 分布用来描述极值无上界也无下界的分布;我们通常见到的很多分布函数都可以根据他们尾部的状况划分到上面的三种极值分布分布中去,例如：学生分布、帕累托分布Pareto distribution 、对数Gamma 分布、Cauchy distributed 根据尾部特征可以划分到Frechet 分布中去；均匀分布和Beta 分布的尾部分布可以收敛到Weibull 分布；正态分布、Gamma 分布和对数正态分布的尾部分布都收敛到Gumbel 分布;图形1：标准Frechet 、Weibull 和Gumbel 分布图但是,在实际应用中对于一个给定得极值序列,我们应该如何在这三种极值分布中做出选择呢;一种理想的方法是通过参数的形式把三种极值分布统一的表示成一个分布函数,这样我们就可以在利用最大似然估计的时候,把该参数也一块估计出来,让数据去决定它们的选择,这将极大的增加模型估计的准去性;这里我们采用 Jenkinson and Mises 的方法,把三种分布表示成如下单参数的形式：1/(1)0()0x x e e G x e ξξξξξ---+-⎧≠⎪=⎨=⎪⎩ 11其中{}|10x x x ξ∈+>,这一表达形式也被称为广义极值分布函数Generalized extreme value distribution,当1ξα-=时,表示Frechet 分布,当1ξα-=-时,表示weibull 分布,当0ξ=时表示Gumbel 分布;在定理1的基础上,对于给定一个金融资产的残差序列,我们就可以首先分组求最大值得到的极值序列记为X ;为了表达上的简洁,用u 和σ代替公式11中的n c 和n d ,则可以序列X 的近似分布函数：1,,exp((1))0()exp(exp())0u x u x u G G x u ξξσξξξσσξσ--⎧-+≠⎪-⎪==⎨-⎪--=⎪⎩ 12 其中|10x u x x ξσ-⎧⎫∈+>⎨⎬⎩⎭;然后,我们要对参数进行最大似然估计,这需要得到随机变量X 的概率密度函数,通过概率分布函数12对x 求导,我们得到随机变量X 的概率密度函数：(1)1(1),1(1)exp((1))0()1exp()exp(exp())0u x u x u g x x u x u ξξξσξξξσσσξσσσ-----⎧+-+≠⎪⎪=⎨--⎪---=⎪⎩ 13 其中|10x u x x ξσ-⎧⎫∈+>⎨⎬⎩⎭;通过似然函数就可以得到各参数的估计值： ,,,,(,,)(,,)arg max ()arg max(ln(()))u u i u u iL x g x ξσξσξσξσ=∑ 14在各参数估计值给定的基础上,我们就可以利用极值分布函数计算不同p 下的分位数值,如用p R 表示这一分位数,则在1p个周期内出现的极值收益会超过这一阀值的预期数量有且仅有一次; p R 表达形式为： ˆ1,,ˆˆ(1(ln(1)))0ˆˆ(1)ˆˆln(ln )0p u u p R G p u p ξξσσξξσξ--⎧----≠⎪=-=⎨⎪--=⎩ 15 注：关于参数的置信区间的确定我们在后面给出其计算方法; POT 模型的理论基础假设序列{}t z 的分布函数为()F x ,定义()u F y 为随机变量Z 超过门值u 的条件分布函数,它可以表示为：()(|)u F y P Z u y Z u =-≤> 0y ≥ 16根据条件概率公式我们可以得到：()()()()()1()1()()()(1())()u u F u y F u F z F u F y F u F u F z F y F u F u +--==--⇒=-+ z u ≥ 17定理2：Pickand 1975, Balkema and de Haan 1974对于一大类分布F 几乎包括所有的常用分布条件超量分布函数()u F y ,存在一个,()G y ξσ'使得：1/,/1(1)0()()10u y y F y G y u e ξξσσξξσξ--⎧-+≠⎪'≈=→∞⎨⎪-=⎩ 12当0ξ≥时,[0,)y ∈∞；当0ξ<时,[0,]y σξ∈-;分布函数,()G y ξσ'被称作广义的Pareto 分布; 图2：广义Pareto 分布在1σ=,ξ取,0,的图形从图形上我们可以看到ξ的不同取值确定了尾部的厚度,ξ越大则尾部越厚,ξ越小尾部越薄,从,()G y ξσ'函数我们还可以得到当0ξ<时,y 的最大取值为σξ-,有上界;Lee and Saltoglu2003在金融资产收益时间序列上直接使用EVT 时,由于序列的尖峰后尾,使得确定出来的ξ一定是大于零的,但是在我们的模型中,我们对残差序列进行极值分析,因此我们得到的ξ不一定大于零;根据公式12我们可以得到广义的Pareto 分布的概率密度函数,()g y ξσ'： 因此对于给定的一个样本1{,,}n z z ,对数似然函数(,|)L z ξσ可以表示为：111ln (1)ln(1)0(,|)1ln 0n i i n i i n y L y n y ξσξξσξσσξσ==⎧--++≠⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩∑∑ 13在POT 模型中另一个重要的问题,那就是如何确定我们定理2中的阀值u ,它的确定非常重要,它是正确估计参数ξ和σ的前提;如果阀值u 选取的过高,会导致超额数据量太少,使估计出来的参数方差很大；如果阀值u 选取的过低,则不能保证超量分布的收敛性,使估计产生大的偏差;Danielsson et al1997、de Vries1997和Dupuis1998给出了对阀值u 的估计方法,一般有两种：一是根据Hill 图,令(1)(2)()n X X X >>>表示独立同分布的顺序统计量;尾部指数的Hill 统计量定义为：Hill 图定义为点1,(,)k n k H -构成的曲线,选取Hill 图形中尾部指数的稳定区域的起始点的横坐标K 所对应的数据k X 作为阀值u ;二是根据样本的超额限望图,令(1)(2)()n X X X >>>,样本的超限期望函数定义为：()()1ni i k X u e u n k =-=--∑ min{|}i k i X u => 14超限期望图为点(,())u e u 构成的曲线,选取充分大的u 作为阀值,它使得当x u ≥时()e x 为近似线性函数;另外,如果超限期望图当x u ≥时是向上倾斜的,说明数据遵循形状参数ξ为正的GPD 分布,如果超限期望图当x u ≥时是向上倾斜的,说明数据来源于尾部较短的分布,如果如果超限期望图当x u ≥时是水平的,则说明该数据来源于指数分布;这一判断方法是根据广义Pareto 分布在参数1ξ<的时候,它超限期望函数()e m 是一个线性函数;()(|)1m e m E X m X m σξξ+=->=+ 0m σξ+> 15 注：因为对于广义Pareto 分布只存在1ξ⎢⎥⎢⎥⎣⎦阶矩,如果1ξ<则存在一阶矩,否则一阶矩将不存在,就没有办法计算超限期望函数;当u 确定以后,；利用{}t z 的观测值,根据公式13进行最大似然估计得到ˆξ和ˆσ;同时,我们得到{}t z 的观测值中比阀值u 大的个数,记为u N ,根据公式17用频率代替()F u 的值,可以得到()F z 在x u >时的表达式：1/()/1/()/(1(1()))(1)()()(1())()(1)(1)1(1())010u u u z u u u u z u u N N z u N N F z F y F u F u N N e N N N z u N N e N ξσξσξσξξσξ------⎧-+-+-⎪⎪=-+=⎨⎪-+-⎪⎩⎧-+-≠⎪⎪==⎨⎪-=⎪⎩16对于给定某个置信水平p ,可以由()F z 的分布函数公式15可以得到：(()1)0ln()0(|)u p u p p p p N u p N VaR N u p N ES VaR E Z VaR Z VaR σξξσξ⎧+-≠⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩=+-> 17 根据GPD 的条件分布函数公式15可以得到：()111p p p p VaR u VaR u ES VaR σξσξξξξ+--=+=+--- 18 序列t z 的VaR 和ES 置信区间的估计方法：通常,对于参数置信区间的估计方法,在大样本的情况下我们可以从似然比率检验Likelihood Ratio Test 的思路中获到;似然比率检验用来检验两个同类型模型的拟和程度的好坏;两个同类型模型的似然比率符合2χ分布,它的自由度等于复杂模型中新加入的参数的个数;以POT 模型为例,要估计参数ξ和σ在给定置信水平α下的置信区间可以通过下式得到：其中,ˆξ和ˆσ为估计的最优值,(,)L x y 表示似然函数;这样我们就得到了ξ和σ的联合置信区间,如果我们希望得到p VaR 的估计值,则可以根据公式17反解出σ带入公式13得到(,)p L VaR ξ,令()max (,)p p L VaR L VaR ξξ=,p VaR 的置信区间可以通过下式得到： 但是,于超过阀值的极值数据量不会很多,使的这一估计的渐进效果可能不佳;为此,我们引入Bootstrap 方法来获得置信区间的估计;既然我们得到的序列{}t z 时独立同分布,就可以每次独立从中抽取N 个点组成新的序列,用该序列估计p VaR 和p ES ,重复这一操作,就可以得到一系列的p VaR 和p ES 估计值,求出p VaR 和p ES 的经验分布,最后根据经验分布得到p VaR 和p ES 的置信区间,并把p VaR 和p ES 的期望值作为p VaR 和p ES 的估计值;我们在这里只给出了POT 模型中p VaR 置信区间的求法,其他参数的置信区间可以类似的求得;该方法在确定置信区间的同时,也是一种检验模型稳定性的方法;5、实证分析我们采用上海证券交易所公布的日收益综合指数P 为原始数据数据来源：大智慧,样本空间选自1990年12月19日---2004年9月30日;样本容量为3391个使用Eviews 和Matlab 软件;我们定义收益为1ln ln t t t R P P -=-;我们的实证过程分为四步,1用ARMA －AsymmetricGARCH 模型对收益序列进行过虑得到近似独立同分布的残差序列t ε；2用极值理论对这一残差进行分析,给出其渐进分布,并估计出相应的VaR 和ES 值;3比较用似然比率和用Bootstrap 方法给出VaR 和ES 值的置信区间的估计;4整合第一步和第二步的结果,计算收益t R 的VaR 和ES 值;5利用BMM 模型估计VaR 值;ARMA －AsymmetricGARCH 模型形式和参数的确定首先给出收益序列t R 的描述性统计量图1,可以看到序列具有明显的尖峰后尾现象,从J －B 检验可以显着的拒绝正态性假设;对收益序列进行单位根ADF 检验见表1,因为检验的t 统计量是23.64516-,比显着性水平为1％的临界值还小,所以拒绝原假设,序列不存在单位根,是平稳序列;图1：收益序列t R 的描述性统计量ADF TestStatistic 1% Critical Value5% CriticalValue10% CriticalValueMacKinnon critical values for rejection of hypothesis ofa unit root.表1：序列的单位根检验可以进一步分析数据的自相关和偏相关见表2现象,发现滞后10期,在99％的置信水平下都不能拒绝没有自相关和偏相关的原假设,为此可以认为收益序列中不存在ARMA 现象;这样,我们就可以直接用t R 序列对常数项作最小二乘回归得到残差项t ε,然后对残差序列t ε进行ARCH 效应的LM 检验见表3,发现当q 取比较大的值8时的相伴概率仍然有0.044476p =,小于显着水平0.05,拒绝原假设,残差序列存在高阶ARCH 效应,即有GARCH 效应;表2：样本数据的自相关和偏相关表ARCH Test:F-statistic ProbabilityObsR-squared Probability表3：ARCH 效应的LM 统计量检验根据上面的分析,我们可以确定在第一步中所采用的模型公式19,并对其进行正态最大似然估计见表4;22220112111(0,1)sgn()t t t t t t t t t t t y c z h z iid h a a a bh εεεεε----=+=⎧⎪⎨=+++⎪⎩ 19 Coefficient Std. Error z-Statist ic Prob.CVariance EquationCARCH1RESID<0ARCH1GARCH1表4：公式19最大似然估计的结果从表中可以看到,正如我们所预见的那样20.12412a =-,预测不到收益的负方向变动可以导致更大的波动率出现,正方向变动会使波动率下降;1a 和b 都大于零表明过去时刻的波动对未来价格波动有着正向缓解作用,从而可以有效的解释了波动率的聚类性现象;下面我们以最大似然估计的结果为初始值按照前面所介绍的方法进行GMM 估计,其结果如下表：表5：最大似然估计和GMM 估计比较在GMM 估计值与最大似然估计值的比较中,我们可以清楚的看到,GMM 估计明显的增加了非对称项系数的绝对值,使收益的正负向变动对波动率表动的不同影响更加明显;另外,在最大似然估计中12ˆˆˆ 1.0690431a a b ++=>,这意味tε不存在有限的方差,而在GMM 估计中12ˆˆˆ0.950091a a b ++=<,保证了t ε的方差有限性;GMM 估计在没有tz 分布的情况下给出了参数的取值,并有效的降低了目标函数T Q 的取值;把GMM 估计值代入公式19,由收益序列得到残差序列t z 见图2,从图像上可以看出序列t z 变的更平稳,波动率聚类现象明显下降,更接近于独立同分布;对其进行一阶,二阶自相关和偏相关性检验和Ljung –Box 检验,结果都在很高的水平上拒绝原假设,表示残差序列t z 以没有ARMA 现象和条件异方差现象;图2：收益序列R 和残差序列zARCH Test:F-statistic ProbabilityObsR-squared Probability表6：序列t z 的ARCH 检验POT 模型的应用基于极值理论中POT 模型,我们需要利用充分大的阀值u ,对超限分布进行GPD 拟合,根据公式14,得到超限期望图见图3;发现样本的平均超限函数图在0.8u ≥时近似直线,具有明显的Pareto 分布特征;当0.8u =时数据超过阀值u 的个数369u N =；当0.9u =时287u N =；当1u =时228u N =,我们的总样本个数3390N =,在u 允许的情况下选取10％左右的数据DuMouchel1983作为极值数据组是比较合适的选择,否则可能不能抓住序列尾部分布的特征,样本内过度拟合,样本外不适用;为此,我们分别给出阀值取,的情况下,利用最大似然估计得到各参数、0.01VaR 、0.01ES 的取值和95％的置信区间见表7,以及在这些参数下的Q －Q 图和分布图见图4和图五,从图形中我们可以看到极值分布有效拟合了我们的样本分布,只有个别地方出现异常现象;且在0.8u =和0.9u =两种情况下的拟合效果没有明显的区别,为此在后面我们只给出0.9u =时的图形;估计值上界区间长度表7：参数的最大似然估计和95％置信区间图3：序列zt的超限期望图(,())u e u图4：u=时的Q－Q图0.8u=和0.9图5：0.8u=和0.9u=极值分布与经验分布的比较α=的取值范围在3到4之间,而我对于ˆξ的估计 Embrechets1999认为金融序列的1们这里计算出来的α,几乎不落在[3,4]的区域内,这主要是因为我们对金融序列用ARMA －AsymmetricGARCH 模型进行了过滤,得到的序列t z 在一定程度上消除了的尖峰后尾现象,使得ˆξ估计出来的值偏小,这与Embrechets 的结论并不矛盾;另外在Q －Q 图中,我们可以看到在的分为数之前拟合效果非常好,在后面出现了个别的异常值,这不会影响我们对0.01VaR 的估计,因为0.01VaR 只关心分为数之前的分布情况,而不受到分为数之后分布情况的影响;但是0.01ES 的估计由于受到分为数之后分布情况的影响,所以这会对0.01ES 的估计造成一定的误差,这也是为什么我们在表7中看到0.01ES 的95％估计区间明显比0.01VaR 的95％估计区间要宽的原因之一;下面我们采用Bootstrap 的方法来确定各参数的置信区间,首先在序列t z 中进行3390次重复抽取得到一个包含3390个数据的新样本,利用这些新样本估计ξ、σ、0.01VaR 和0.01ES 取值,重复上述1000次,则得到四个估计序列,其中每个序列中包含了1000关于某个参数的估计值,我们把他看作是一个样本,把这些样本与前面估计出来的参数区间相比较,如图6左其中方形区域是ξ、σ单参数确定的95％置信区间,椭圆形区域是ξ、σ的95％联合置信区间,图形中的散点表示每次估计出来的ξ、σ的值构成的点;从图形中我们可以看到大概有5％的点落在了95％的联合置信区间的外面,但是当我们考虑单参数置信区间时发现在区域以外的点大大超过了5％,这表明单参数估计的置信区间存在一定的问题,类似的现象我们还可以在ξ和0.01ES 的估计中见图6右看到,联合置信区间比较准确的捕获了数据的特性,单参数置信区间的表示方法就有较大的误差;图6：单参数和联合置信区间,以及bootstrap 的估计点图7：Bootstrap 方法得到的ξ、σ、0.01VaR 和0.01ES 的经验分布图另外,从四个参数估计序列我们可以得到四个参数的经验分布见图7,通过线性插值的。
