普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(陕西卷)真题精品解析

2014年陕西高考数学试题（理）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，则M N =I （ ） .[0,1]A .[0,1)B .(0,1]C .(0,1)D【答案】 B【解析】B N M N M 选，).1,0[),11-(),,0[=∩∴=+∞=Θ2.函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ） .2A π.B π .2C π .4D π【答案】 B【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ωΘ3.定积分1(2)xx e dx+⎰的值为（ ）.2Ae + .1B e + .C e .1D e -【答案】 C 【解析】C e e e e x dx e x x x 选∴,-0-1|)()2(1001102∫=+=+=+Θ4.根据右边框图，对大于2的整数N ，输出数列的通项公式是（ ）.2n A a n=.2(1)n B a n =-.2nn C a =1.2n n D a -=【答案】 C 【解析】Cq a a a a a n 选的等比数列是.2,2∴,8,4,21321=====Θ5.已知底面边长为12为（ ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π【答案】 D 【解析】Dr r r r 选解得设球的半径为.π3434V ∴,1,4)2(11)2(,32222====++=πΘ6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A 2.5B 3.5C 4.5D【答案】 C 【解析】C p 选反向解题.53C 4C 4-1.2525===下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （D ）()3xf x =【答案】 D【解析】D y f x f y x f D C y x y x y x 选而言，对不是递增函数只有.333)()(,3)(.++=•=•=+8.原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12zz =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 【答案】 B 【解析】Bz z b a z b a z bi a z bi a z 选选择完成判断逆命题的真假即可逆否名称也为真，不需，原命题为真，则设，逆命题和否命题等价原命题和逆否名称等价.,||||∴,||||,-,.2122222111=+=+==+=设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a=+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），则12,10,y y y L 的均值和方差分别为（ ）1+,4a （B ）1,4a a ++ （C ）1,4 （D ）1,4+a【答案】 A 【解析】A 选变均值也加此数，方差不样本数据加同一个数，.10.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）3131255y x x =- （B ）3241255y x x =-（C ）33125y x x =- （D ）3311255y x x =-+ 【答案】 A【解析】AA f x f f x f A f x 选符合只有，，而言，对即为极值点且），三次奇函数过点..053-53)5(53-1253x )(2-3-1)5(∴x 53-x 1251)(.0)5(,5,2-5(),0,0(23==′=′====′=Θ第二部分（共100分）填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.已知,lg ,24a x a ==则x =________. 【答案】 10 【解析】.1010,21lg 12a ∴,lg ,224212aa========x a x a x 所以，Θ若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______.【答案】11-(22=+）y x 【解析】.11-(1),1,0(∴)1,0()0,1(22=+=）的标准方程为半径为圆心为，的对称点关于点y x x y Θ设20πθ<<，向量()()sin 2cos cos 1a b θθθ==r r，，，，若b a ρρ//，则=θtan _______.【答案】 21【解析】.21tan θθ,cos θcos θsin 2θcos θ2sin ∴//).1,θ(cos ),θcos ,θ2(sin 22=====解得即，b a b a Θ14.猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________.【答案】 2+=+E V F 【解析】.2+=+E V F 经观察规律，可得15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）.A (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，则22m n +的最小值为.B （几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC 于点,E F ，若2AC AE =,则EF =.C （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是【答案】 A 5 B 3 C 1 【解析】A5.≤5)φθsin(∴5)φθsin(5os θ5θsin 5,os θ5,θsin 5∴,52222222222的最小值为所以，，则设n m n m n m n m c n m nb ma c b a b a ++=++=++=+=+===+ΘB.3,2,6∴Δ=∴===ΔEF AE AC BC CB EFAC AE ACB AEF ，且相似与ΘC1|1323-3|023-1,3(∴,2-3121os θρ-23θsin ρ)6π-θsin(ρ,1,3()6π,2(=++==+==••=d y x x y c 的距离）到直线点即对应直线）对应直角坐标点极坐标点Θ三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16. （本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，.（I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值. 【答案】 （1） 省略 （2）21【解析】（1）C)sin(A sinC sinA .∴C),sin(A sinB sinC.sinA 2sinB c,a b 2∴,,+=++=+=+=ΘΘ即成等差，c b a（2）.,21cosB 212ac ac -2ac 2ac b -2ac ≥2ac b -c a cosB ac.b ∴,,22222这时三角形为正三角形取最小值时，仅当又成等比，b c a c b a ====+==Θ（本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱CA DC BD ，，于点H G F ，，.（I ）证明：四边形EFGH 是矩形；（II ）求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值.【答案】 （1） 省略 （2）510【解析】（1）.FG.⊥BCD ⊥,//∴,,AD//HG AD//EF,∴ADHG ADEF EFGH ⊂HG EF,EFGH,AD//HC AH EH//BC,∴EHBC EFGH,⊂EH EFGH,//B BCD⊥AD DC,⊥BD Δ,Δ为矩形所以，四边形，即面，且且共面和，面面同理且共面面面面且为等腰由题知，EHGF EF EF HG EF HG EF GC DG FB DF C RT BCD ====ΘΘ（2）510|,cos |sin 510252||||,cos ),0,1,1(0),,,()0,1-1(),2100(),1-20()0,0,1(),211,0(),0,1,0(),020(),100(,,DA ,DB ,DC (1)=><===<∴=======∴n AB n AB z y x EHGF G E F B A z y x θ所以，，解得一个则法向量，设面，，，，，，，，，，轴建系，则为知，分别以由18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的 区域（含边界）上（1）若0=++PC PB PA；（2）设),(R n m n m ∈+=，用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值.【答案】 （1） 22 （2） m-n=y-x, 1【解析】 （1）22||22|OP |,2,2,0-2-3-1,0-3-2-1(0,0))-2,-3()-3,-2()-1,-1(PC PB PA ∴),,(),2,3(),3,2(),11(22==+=∴===++=++∴=++=++所以，解得，y x y x y y y x x x y x y x y x y x P C B A Θ（2）1---.1-)3,2(.,,-.--.2,2),1,2()2,1(y)x ,(∴,AC AB OP 最大值为，所以，取最大值时，经计算在三个顶点求线性规划问题，可以代含边界内的最大值，属在三角形即求解得即n m x y n m x y B C B A ABC x y x y n m n m y n m x n m n m ==+=+=+=+=Θ19.（本小题满分12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上 的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（1）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元 的概率. 【答案】 （1）（800,0.2）（2000,0.5）（4000,0.3） （2） 0.896 【解析】 （1）3.06.0*5.0)4000(,5.04.0*5.06.0*5.0)2000(,2.04.0*5.0)800(.4000,2000,80040001000-10*50020001000-6*50020001000-10*3008001000-6*300.-*====+==========X p X p X p X X 三个，即，，，可以取考虑产量和价格，利润成本价格产量利润X 800 2000 4000 P 0.20.50.3（2）896.020*******.08.02.0*8.0*3)-1()-1(200023.8.03.05.02000)1(8001000-6*300.-*32333223的概率是季的利润不少于季中至少有所以，的概率季的利润不少于季中至少有则的概率知，一季利润不少于由，可以取考虑产量和价格，利润成本价格产量利润=+=+==+===p p C p p C P p X X（本小题满分13分）如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b +=>>≥和部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为32.求,a b 的值； 过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l 的方程.【答案】 （1） a=2,b=1 （2） )1-(38-x y =【解析】 （1）14,3,1,2∴,23.1∴)0,1(),0,1-(1-2222222=+===+===+=x y c b a c b a a c b x y 椭圆方程为联立解得又，交于点抛物线ΘΘ（2）)1-(38-.38-,0)2(4-)2,1)(4-,(,0)2k -k - -k,()4k8- 1,44-(,0∴⊥),0,1-()2k --k ,1--k (,2k --k )1-(,1--k 0,1-k -:1-)4k8-,44-(,4k 8-)1-(,44-04-2-)4(,44)12x -(14),,(),,(),1-()0,1(222222222222222112212222222222211x y k k k k k k k k A Q x k y x kx x x y k k k P k x k y k k x k x k x k x x k x y y x Q y x P x k y B ===+=+=•+++=•====++=+++==+==++=++=+=所以，所求直线方程为解得即即即由韦达定理得联立得与即由韦达定理得，即联立得与的直线方程为设过Θ21.（本小题满分14分） 设函数()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈，求()n g x 的表达式；若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++L 与()n f n -的大小，并加以证明.【答案】 （1） nx x x g n +=1)(（2）,1](-∞ (3) 前式 > 后式【解析】 （1）+++++=++=+=++=+++=+==+=+++=+===+=+=′′=+=N n nx xx g xk xx g k n x k xkxx kx xx g kx x x g k n x xxx x xx g x x x g x g g x g x g x g xx x g x x f x x f x x g x x f n k k k n n ∈,1)(,.)1(1)(1∴)1(1111)(.1)(1≥21111)(1)(∴))(()()()(1)(,11)(∴,0≥),()(),1ln()(112111综上也成立时，当则时，假设当，，，ΘΘ（2）,1](-a 1.a 0.≥-1),0[∈∃0≥(x)h ,0),,0[∈∃∴0≥0≥h(x),0h(0))1(-1)1()-1(-11(x)h ,0.≥,1-)1ln(h(x)0.≥,≥1-)1ln(∴1)(),(≥)(22∞∈≤+′>=++=+++=′++=+++=所以，解得，即使上恒成立在则令a x t x t t x x x ax x x x a x x x ax x x x axx x x x g x ag x f ΘΘ（3）+∈>++++>>++∴>∈++=+++++++++=+++++••••=++++=+++++=+=+=N n f(n)-n )()3()2()1(0)(,011-n 1n ln .0)()2(],1,0,1 -)1ln()((a) )11-n 1n (ln )311-34(ln )211-23(ln )111-12(ln 11--311-211-111-n 1n 342312ln 11--311-211-111-f(n)f(n)]-[n -)()3()2()1(∴11-11)(∴,1)(，所以，恒成立式恒成立恒成立知，则由（令）（n g g g g a nx h x xx x x h nnnn g g g g nn n n g x x x g ΛΛΛΛΛΛΘ。

高考卷,一般高等学校招生全国统一考试数学（陕西卷·理科）（附答案，完全word版）通过整理的高考卷,一般高等学校招生全国统一考试数学（陕西卷·理科）（附答案，完全word版）相关文档，渴望对大家有所扶植，感谢观看！2008年一般高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．1．复数等于（）A．B．C．1D．2．已知全集，集合，，则集合中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4 3．的内角的对边分别为，若，则等于（）A．B．2C．D．4．已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（）A．64B．100C．110D．120 5．直线与圆相切，则实数等于（）A．或B．或C．或D．或6．“”是“对随意的正数，”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知函数，是的反函数，若（），则的值为（）A．B．1C．4D．10 8．双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则（）A B a b lA．B．C．D．10．已知实数满足假如目标函数的最小值为，则实数等于（）A．7B．5C．4D．3 11．定义在上的函数满足（），，则等于（）A．2B．3C．6D．9 12．为提高信息在传输中的抗干扰实力，通常在原信息中按确定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息确定有误的是（）A．11010B．01100C．10111D．00011 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．13．，则．14．长方体的各顶点都在球的球面上，其中．两点的球面距离记为，两点的球面距离记为，则的值为．15．关于平面对量．有下列三个命题：①若，则．②若，，则．③非零向量和满足，则与的夹角为．其中真命题的序号为．（写出全部真命题的序号）16．某地奥运火炬接力传递路途共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．假如第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最终一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）17．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；（Ⅱ）令，推断函数的奇偶性，并说明理由．18．（本小题满分12分）某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；（Ⅱ）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，，，．A1 A C1 B1 B D C （Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的大小．20．（本小题满分12分）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个微小值点，其中一个是．（Ⅰ）求函数的另一个极值点；（Ⅱ）求函数的极大值和微小值，并求时的取值范围．22．（本小题满分14分）已知数列的首项，，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）证明：对随意的，，；（Ⅲ）证明：．2008年一般高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、1．D2．B3．D4．B5．C6．A7．A8．B9．D10．B11．C12．C 二、13．114．15．②16．96 三、17．解：（Ⅰ）．的最小正周期．当时，取得最小值；当时，取得最大值2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．．．函数是偶函数．18．（Ⅰ）设该射手第次击中目标的事务为，则，．（Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3．的分布列为0 1 2 30.008 0.032 0.16 0.8. 19．解法一：（Ⅰ）平面平面，．在中，，，，又，，，即．又，平面，平面，平面平面．（Ⅱ）如图，作交于点，连接，A1 A C1 B1 B D C F E （第19题，解法一）由已知得平面．是在面内的射影．由三垂线定理知，为二面角的平面角．过作交于点，则，，．在中，．A1 A C1 B1 B D C z y x （第19题，解法二）在中，．，即二面角为．解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则，，．点坐标为．，．，，，，又，平面，又平面，平面平面．（Ⅱ）平面，取为平面的法向量，设平面的法向量为，则．，如图，可取，则，，即二面角为．20．解法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，x A y 1 1 2 M N B O 由韦达定理得，，，点的坐标为．设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得，直线与抛物线相切，，．即．（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，．由（Ⅰ）知．轴，．又．，解得．即存在，使．解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得．由韦达定理得．，点的坐标为．，，抛物线在点处的切线的斜率为，．（Ⅱ）假设存在实数，使．由（Ⅰ）知，则，，，解得．即存在，使．21．解：（Ⅰ），由题意知，即得，（*），．由得，由韦达定理知另一个极值点为（或）．（Ⅱ）由（*）式得，即．当时，；当时，．（i）当时，在和内是减函数，在内是增函数．，，由及，解得．（ii）当时，在和内是增函数，在内是减函数．，恒成立．综上可知，所求的取值范围为．22．解法一：（Ⅰ），，，又，是以为首项，为公比的等比数列．，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，原不等式成立．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对随意的，有．取，则．原不等式成立．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设，则，当时，；当时，，当时，取得最大值．原不等式成立．（Ⅲ）同解法一．B卷选择题答案：1．D2．C3．A4．B5．C6．A 7．D 8．C 9．C 10．B 11．B 12．D。

高考理科数学考试真题（陕西卷）参考答案1．D 【解析】()f x 的定义域为M =[-1,1],故C R M =(,1)(1,)-∞-⋃+∞,选D 2．C 【解析】故选择C3．C 【解析】cos ,a b a b a b a b ⋅=<>=，则cos ,1a b <>=，∴cos ,0,a b π<>= ∴a b ∥；而a b ∥，则有||||||=a a b b ·成立4．B 【解析】由题设可知区间[481，720]长度为240，落在区间内的人数为12人。

5．A 【解析】由题设可知矩形ABCD 面积为2，曲边形DEBF 的面积为22π-故所求概率为22124ππ-=-，选A.6．D 【解析】设12,,z a bi z c di =+=+若12||0z z -=，则12||()()z z a c b d i -=-+-，,a c b d ==，所以12z z =，故A 项正确；若12z z =，则,a c b d ==-，所以12z z =，故B 项正确；若12||||z z =，则2222a b c d +=+，所以1122..z z z z =，故C 项正确；22212z a b abi =-+，22222z c d cdi =-+，若2222a b c d +=+，不能推出2222a b c d -=-，ab cd =，∴D 项错误．7．B 【解析】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，所以2sin()sin B C A +=，所以2sin sin A A=,所以sin 1A =，所以△ABC 是直角三角形。

8．A 【解析】6[()]f f x =，所以33346(20T C ==- 9．C 【解析】如图△ADE ∽△ABC ，设矩形的另一边长为y ，则24040ADEABCSy S ∆∆-⎛⎫⎪⎝⎭，所以y=40-x ，又xy ≥300，，所以x (40-x )≥300 即2403000x x -+≤，解得10≤x ≤3010．D 【解析】取x=25,则[-x ]=[-2.5]=-3,-[x ]=-[2.5]=-2,所以A 项错误；[2x ]=[5]=[522⨯]=2[2.5]=4,所以B 项错误；再取y=28，则[x +y ]=[5.3]=5,[x ]+[y ]=[2.5]+[2.8]=2+2=4，所以C 项错误. 11．9【解析】由a 2=16，b 2=m 得c 2=16+m ，则e =45416c =+=m a ， ∴m =9 12．3π【解析】由三视图还原为实物图得半个圆锥，其体积为V=321·31212ππ=⨯⨯）（. 13．－4【解析】作出曲线y=1x -与y=2所表示的区域，令2x －y=z ，即y=2x －z ，作直线y=2x ，在封闭区域内平行移动直线y=2x ，当经过点（－1，2）时，z 取到最小值，此时最小值为－4.14．12－22+32－42+…+（－1）n +1n 2=（－1）n +1·21n n ）（+（n ∈*N ） 【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1,2,3…n ，指数都是2，符号成正负交替出现可以用（－1）n+1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为（－1）n ·21n n ）（+，所以第n 个式子可为12－22+32－42+…+（－1）n+1n 2=（－1）n+1·21n n ）（+（n ∈*N ）15．A 【解析】由柯西不等式可得（am +bn ）（bm +an ）≥（bn bm an +am ）2mn （a +b ）2=2 B ．6【解析】已知∠BCE=∠PED=∠BAP ∴∆PDE ∽∆PEA ∴PEPDPA PE =而PD =2DA =2 ∴P A =3 PE 2=P A ·PD =6 故PE =6C ．x =θ2cos 4121+，y=θ2sin 41， 0 ≤θ＜π 【解析】x 2+y 2-x=0，（x-21）2+y 2=41，以（021，）为圆心，41为半径，且过原点的圆，它的标准参数方程为x =a cos 4121+，y=a sin 41，0 ≤a ＜2π，由已知，以过原点的直线倾斜角θ为参数，则0 ≤θ＜π，所以0 ≤2θ＜2π，所以所求圆的参数方程为x=θ2cos 4121+，y=θ2sin 41， 0 ≤θ＜π16．【解析】： 1()(cos ,),cos 2)2f x x x x =-•.1sin cos 22x x x =-12cos 22x x =- cossin 2sincos 266x x ππ=-sin(2)6x π=-（Ⅰ）()f x 的最小正周期为222T πππω===，即函数()f x 的最小正周期为π。

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（陕西卷，解析版）【教师简评】2010年是陕西省新课改全面实施后的第一次高考，今年高考数学试题从整体看，体现“总体稳定，深化能力”的特点，在主体内容保持2009年特点的同时，力争创新与变化；试题不仅注意对基础知识的考查，更注重了对能力的考查.从考生角度来说，试卷总体有较好的梯度，注重认知能力和数学运用能力的考查，稳中求新.1. 忠实地遵循了《普通高中新课程标准教学要求》和2010年《考试说明》.2. 题型稳定，突出对基本知识但考查，全卷没有一道偏题、怪题.全卷结构、题型包括难度基本稳定.填空题比较平和.不需要太繁的计算，考生感觉顺手.许多试题源于课本，略高于课本.附加题部分，选做题对知识的考查单一，解决要求明确，学生容易入手.3. 把关题一改过去最后一题或者两题把关的习惯，多题把关，有很好的区分度.第19题的第三问，第20题的第二问和第21题第三问，更能有效区分不同能力层次的考生群体.4. 深化能力立意.知识与能力并重.全卷在考查知识的同时，注重考查学生的数学基本能力.许多试题实际上并不难，知识点熟悉，但需要考生自主综合知识，才能解决问题.如第17题，体现了解斜三角形的基本思想，用正余弦定理直接可求解，若能找到合适的解题思路和方法如DBC ∆是直角三角形，则解答会更容易些.5. 关注联系，有效考查数学思想方法.6. 加大数学应用题考查力度，体现“学数学，用数学的基本思想.”如第14题，17题.一、选择题1.集合A= {x ∣12x -≤≤}，B={x ∣x<1}，则()R AB ð= （D ）（A ）{x ∣x>1} (B) {x ∣x ≥ 1} (C) {x ∣12x <≤ } (D) {x ∣12x ≤≤} 【答案】D【命题意图】本试题主要考查集合基本运算中的补集及交集的运算问题.【解析】∵ {}1≥=x x B C R ，∴由图可知(⋂C A R2.复数1iz i=+在复平面上对应的点位于 （A ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】A【命题意图】本试题主要考查复数的除法运算问题. 【解析】i i i i i i i i z 2121111)1)(1()1(1+=++=-+-=+=，∴对应点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21在第一象限． 3.对于函数()2sin cos f x x x =，下列选项中正确的是 （B ） （A ）()f x f （x ）在（4π，2π）上是递增的 （B ）()f x 的图像关于原点对称（C ）()f x 的最小正周期为2π （D ）()f x 的最大值为2 【答案】B【命题意图】本试题主要考查正弦函数的单调性，最值，周期性及对称性.【解析】∵()x x f 2sin =，∴π=T ，()1max =x f ，对称中心是()Z k k ∈,0,π．又当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,4ππx 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,22x ，所以()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛∈2,4ππx 上单调递减．故A ，C ，D 错误，只有选B ．4.5()a x x+（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于 （D ）（A ）-1 （B ）12(C) 1 (D) 2 【答案】A【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式. 【解析】设rrr r x a xC T ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+551rr r x a C 255-=，由已知可得⎩⎨⎧==-103255r r a C r ，解得⎩⎨⎧==21a r ． 5.已知函数()f x =，若((0))f f =4a ，则实数a= （C ）（A ）12 （B ）45(C) 2 (D) 9 【答案】B【命题意图】本试题主要考查分段函数求函数值.【解析】由已知得()21200=+=f ，()()()a a f f f 422202=+==，解得2=a ．6.右图是求样本x 1，x 2，…x 10平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为【A 】(A) S =S +x n (B) S =S +nx n (C) S =S + n (D) S =S +1n7. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【C 】(A)13 (B) 23(C) 1 (D) 28.已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线与圆x 2+y 2－6 x －7=0相切，则p 的值为【C 】 (A)1212(B) 1 (C) 2 (D) 4 【答案】C【命题意图】本试题主要考查抛物线的准线这条特殊直线与圆的位置关系的运用. 【解析】由已知可得2p x -=与圆()16322=+-y x 相切．圆心为()0,3，半径为４，圆心到直线的距离423=+=pd ，解得2=p ． 9.对于数列｛a n ｝，“a n +1＞∣a n ∣（n=1，2…）”是“｛a n ｝为递增数列”的【B 】 (A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要条件 (D) 既不充分也不必要条件10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表。

高考数学陕西试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个选项不是正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A2. 如果函数 \( f(x) = 2x - 1 \)，那么 \( f(2) \) 的值是：A. 3B. 4C. 5D. 6答案：A3. 圆的半径为5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B4. 直线 \( y = 3x + 2 \) 与 \( x \) 轴的交点坐标是：A. (0, 2)B. (-2/3, 0)C. (2/3, 0)D. (0, -2)答案：D5. 以下哪个数列不是等差数列？A. 2, 4, 6, 8, ...B. 1, 3, 5, 7, ...C. 3, 6, 9, 12, ...D. 4, 7, 10, 13, ...答案：D6. 抛物线 \( y = x^2 \) 的顶点坐标是：A. (0, 0)B. (1, 1)C. (-1, -1)D. (0, 1)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）7. 已知 \( a \) 和 \( b \) 是两个正整数，且 \( a + b = 10 \)，若 \( a \) 和 \( b \) 的最大公约数为2，则 \( a \) 和 \( b \) 的值分别是________、________。

答案：4, 68. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是________。

答案：59. 圆心在原点，半径为7的圆的标准方程是________。

答案：\( x^2 + y^2 = 49 \)10. 若 \( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \) 且 \( \alpha \) 在第一象限，那么 \( \cos(\alpha) \) 的值是________。

答案：\( \frac{4}{5} \)11. 函数 \( y = \frac{1}{x} \) 的图像关于________对称。

全国高考试卷真题(陕西) 理科数学参考答案1．A 【解析】{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1MN =，故选A ．2．C 【解析】由扇形统计图可得，该校女教师人数为11070150(160%)137． 3．C 【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ．4．B 【解析】由122(1)(1)1nn n nn n n x x C x C xC x ，知215nC ， ∴(1)152n n ，解得6n 或5(舍去)． 5．D 【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面积是()1211222342ππ⨯⨯⨯++⨯=+，故选D ． 6．A 【解析】因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为“sin cos αα=”⇒“cos20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件，故选A ．7．B 【解析】对于A 选项，设向量a 、b 的夹角为θ，∵||||||cos |||θ≤|a b a b a b ，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a 、b 反向时，||||||||≥a b a b ，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出22()()a b a b a b ，故D 选项正确，综上选B ．8．C 【解析】初始条件：2006x =；第1次运行：2004x =；第2次运行：2002x =；第3次运行：2000x =；⋅⋅⋅⋅⋅⋅；第1003次运行：0x =；第1004次运行：2x =-．不满足条件0?x ≥，停止运行，所以输出的23110y =+=，故选B ． 9．B 【解析】∵0a b ，∴2a bab ，又()ln f x x 在(0,)上单调递增，故()2a bf f ，即q p ，∵11 (()())(ln ln)ln()22r f a f b a b ab f ab p，∴p r q．10．D【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，则利润34z x y=+．由题意可列321228x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z+-=过点(2,3)A时，z取得最大值，所以max324318z=⨯+⨯=，故选D．11．D 【解析】2222(1)||(1)1(1)1z x yi z x y x y=-+⇒=-+≤⇒-+≤．如图可求得(1,1)A，(1,0)B，阴影面积等于21111114242ππ⨯-⨯⨯=-．若||1z≤，则y x≥的概率是211142142πππ-=-⨯，故选B．12．A【解析】由A知0a b c；由B知()2f x ax b，20a b；由C知()2f x ax b，令()0f x可得2bxa，则()32bfa，则2434ac ba；由D 知428a b c，假设A 选项错误，则2020434428a b c a b ac b aab c ，得5108a b c ，满足题意，故A 结论错误，同理易知当B 或C 或D 选项错误时不符合题意，故选A ． 13．5【解析】设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5． 14．22【解析】22ypx 的准线方程为2px，又0p ，所以2px 必经过双曲线221x y 的左焦点(2,0)，所以22p ，22p．15．(1,1)【解析】因为xy e =，所以xy e '=，所以曲线xy e =在点()0,1处的切线的斜率0101x k y e ='===，设P 的坐标为()00,x y （00x >），则001y x =，因为1y x=，所以21y x'=-，所以曲线1y x =在点P 处的切线的斜率02201x x k y x ='==-，因为121k k ⋅=-，所以2011x -=-，即21x =，解得01x =±，因为00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1． 16．1.2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =（0p >），因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-=⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰， 故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案应填：1.2． 17．【解析】（Ⅰ）因为//m n ，所以sin 3cos 0a Bb A ，由正弦定理，得sinAsinB 3sinBcos A 0 又sin 0B ≠，从而tan 3A ，由于0A π<<，所以3A π=．（Ⅱ）解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A ．而7a =，2b =，3A π=，得2742c c ，即2230c c ．因为0c，所以3c ．故∆ABC 的面积为133sin 22bc A =． 18．【解析】（Ⅰ）在图1中，因为1ABBC ，2AD ，E 是AD 的中点，∠BAD =2π，所以BE ⊥AC ．即在图2中，BE ⊥1OA ，BE ⊥OC ． 从而BE ⊥平面1A OC ．又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面1A OC ．（Ⅱ）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，又由（Ⅰ）知，BE ⊥1OA ，BE ⊥OC ． 所以1A OC ∠为二面角1--C A BE 的平面角，所以1OC 2A π∠=．如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，因为111A B A EBC ED ，BC ED所以B，(E，1A，C ． 得22BC(,,0),22 122A C(0,,)22，CD BE (2,0,0).设平面1BC A 的法向量1111(,,)n x y z ，平面1CD A 的法向量2222(,,)n x y z ，平面1BC A 与平面1CD A 夹角为θ，则11100n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取1(1,1,1)n ，2210n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22200x y z =⎧⎨-=⎩，取2(0,1,1)n =，从而12cos |cos ,|3n n θ=〈〉==，即平面1BC A 与平面1CD A 夹角的余弦值为3． 19．【解析】（Ⅰ）由统计结果可得T 的频率分步为以频率估计概率得T的分布列为从而 250.2300.3350.4400.132ET =⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）（Ⅱ）设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=.解法二：121212(A)P(70)P(35,40)P(40,35)P T T T T T T12P(40,40)T T0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=故(A)1P(A)0.91P ．20.【解析】（Ⅰ）过点(,0)c ,(0,)b 的直线方程为0bx cy bc，则原点O 到直线的距离bcd a==， 由12dc ，得2222a b a c ，解得离心率3c a ． （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为22244xy b ． (1) 依题意，圆心(2,1)M 是线段AB 的中点，且|AB |10．易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1yk x ，代入(1)得 2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b ．设1122(,y ),B(,y ),A x x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x kk由124x x +=-，得28(21)4,14k k k 解得12k． 从而21282x x b =-．于是12|AB ||x x =-==由|AB |10，得22)10，解得23b ．故椭圆E 的方程为221123x y +=． 解法二：由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为22244xy b ． (2)依题意，点A ，B 关于圆心(2,1)M 对称，且|AB |10．设11(,)A x y ，12(,)y y y ，则2221144x y b ，2222244x y b ，两式相减并结合12124,y 2,x x y 得12124()8()0x x y y --+-=．易知，AB 不与x 轴垂直，则12x x ≠，所以AB 的斜率121212AB y y k x x -==-．因此AB 直线方程为1(2)12yx ，代入(2)得224820x x b ++-=． 所以124x x +=-，21282x x b =-．于是12|AB ||x x =-==由AB ==23b =．故椭圆E 的方程为221123x y +=． 21．【解析】（Ⅰ）2()()212,n n n F x f x x x x 则(1)10,n F n1211111112()1220,12222212n nn n F +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点n x ． 又1()120n n F x x nx -'=++>，故在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()n F x 在1(,1)2内有且仅有一个零点n x ．因为n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即11201n n nx x ，故111=+22n n n x x .（Ⅱ）解法一：由题设，11().2nn n x g x设211()()()1,0.2nnn n n x h x f x g x x x x x当1x =时, ()()n n f x g x当1x ≠时, ()111()12.2n n n n x h x x nx--+'=++-若01x ,()11111()22n n n n n n h x x x nxx----+'>++-11110.22nnn n n n x x若1x ,()11111()22n n n n n n h x x x nxx----+'<++-11110.22nnn n n n x x所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以()(1)0h x h ，即()()n n f x g x ．综上所述，当1x 时, ()()n n f x g x ；当1x ≠时()()n n f x g x ．解法二 由题设，211()1,(),0.2nnn n n x f x x x x g x x当1x 时, ()()n n f x g x ；当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x ．当2n时, 2221()()(1)0,2f xg x x 所以22()()f x g x 成立．假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x ．那么，当+1nk 时，111k+1k 11()()()2kk kkk k x f x f x x g x x x 12112kk x k x k .又11k+121111()22kk kk x k x k kx k x g x令1()11(x 0)kk k h x kx k x ，则()()11()(k 1)11(x 1)kk k k h x k x k k xk k x --'=+-+=+-．所以当01x ,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减； 当1x ,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增． 所以()(1)0k k h x h ，从而1k+1211()2kk x k x k g x ．故11()()k k f x g x .即+1n k ，不等式也成立．所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x ．解法三:由已知，记等差数列为{}k a ，等比数列为{}k b ，1,2,...,1k n =+． 则111a b ，11n n n a b x ，所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤ 令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当1x 时, =k k a b ,所以()()n n f x g x ．当1x ≠时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=--， 而2k n ≤≤，所以10k ，11n k -+≥． 若01x , 11nk x ,()0k m x '<，当1x ,11n k x,()0km x '>， 从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m ，所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b ,11n n a b ，故()()n n f x g x综上所述，当1x 时, ()()n n f x g x ；当1x ≠时()()n n f x g x22．【解析】（Ⅰ）因为DE 为⊙O 的直径，则BED EDB ∠+∠=90，又BC ⊥DE ，所以90CBDEDB ，从而CBD BED ．又AB 切⊙O 于点B ，得DA ΒΒED ∠=∠，所以C ΒD D ΒΑ∠=∠．（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD 平分∠CBA ，则=3BA AD BC CD，又BC 32AB ，所以224ACAB BC ，所以3AD =．由切割线定理得2=AD AB AE ，即2=ADAB AE =6，故3DEAE AD ，即⊙O 的直径为3.23．【解析】（Ⅰ）由2,sin ρθρθ==得，从而有(2222+,+3x y x y =-=所以．（Ⅱ）设13(3t,t),22P 又，则|PC |== 故当t =0时，|PC |取最小值，此时P 点的直角坐标为(3,0). 24．【解析】（Ⅰ）由||x a b ，得b ax b a ．则2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得3a,1b ．=≤244t t．41tt，即1t 时等号成立， 故max3+12+4t t ．。

2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔卷，含答案〕一．选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分〕1. 设,a b 是向量，命题“假设a b ≠-，那么∣a ∣= ∣b ∣〞的逆命题是 〔 〕 〔A 〕假设a b ≠-，那么∣a ∣≠∣b ∣ 〔B 〕假设a b =，那么∣a ∣≠∣b ∣〔C 〕假设∣a ∣≠∣b ∣，那么∣a ∣≠∣b ∣ 〔D 〕假设∣a ∣=∣b ∣，那么a = -b 2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，那么抛物线的方程是 〔 〕 〔A 〕28y x =- 〔B 〕28y x = (C) 24y x =- (D) 24y x =()()f x x R ∈满足()(),(2)(),f x f x f x f x -=+=,那么()y f x =的图像可能是〔 〕4.6(42)x x 〔x ∈R 展开式中的常数项是 〔 〕 〔A 〕-20 〔B 〕-15 〔C 〕15 〔D 〕20 5. 某几何体的三视图如下图，那么它的体积是〔 〕(A)2?Ð83 (B)¦Ð83(C)8-2π(D)2?Ð36. 函数x cosx 在[0，+∞〕内 〔 〕17. 没有零点 〔B 〕有且仅有一个零点 〔C 〕有且仅有两个零点 〔D 〕有无穷多个零点 15. 设集合M={y|2cos x —2sin x|,x ∈R},N={x||x —1i 2为虚数单位，x ∈R},那么M ∩N 为〔 〕(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1] 16. 右图中，1x，2x ，3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的HY 评分，P 为该题的最终得分。

当1x =6，2x =9，p=8.5时，3x 等于 〔 〕(A)11 (B)10 (C)8 (D)79.设〔1x ，1y 〕，〔2x ，2y 〕，…，〔n x ，n y 〕是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线〔如图〕，以下结论中正确的选项是【D 】 〔A 〕x 和y 的相关系数为直线l 的斜率〔B 〕x 和y 的相关系数在0到1之间〔C 〕当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定一样 〔D 〕直线l 过点“2021世园会〞，他们约定，各自HY 地从1到6号景点中任选4个进展游览，每个景点参观1小时，那么最后一小时他们同在一个景点的概率是【D 】 〔A 〕136 〔B 〕19 〔C 〕536 〔D 〕16假设((1))1f f =，那么a = 1n N +∈,一元二次方程240x x n -+=有正数根的充要条件是n = 3或者41=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为 2(1)(2)...(32)(21)n n n n n ++++++-=-。

2022-2022年陕西高考数学试题及答案解析（完美版）2007年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）理科数学（必修+选修Ⅱ）注意事项：1.本试卷分第一部分和第二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。

2.考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号、并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。

3.所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（共60分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1.在复平面内，复数z=12i对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第在象限（D）第四象限2.已知全信U＝（1，2，3，4，5），集合A＝某Z某32,则集合CuA等于（A）1,2,3,4（B）2,3,4(C)1,5(D)53.抛物线y=某2的准线方程是（A）4y+1=0(B)4某+1=0(C)2y+1=0(D)2某+1=04.已知inα=155，则in4α-co4α的值为5351535（A）-(B)-(C)(D)5.各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn=2,S30=14,则S40等于（A）80（B）30(C)26(D)166.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（A）33333(B)(C)(D)43412a2y27.已知双曲线C：221(a＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的浙近线相切的圆的cb半径是22A.abB.abC.aD.b8.若函数f(某)的反函数为f(某),则函数f(某-1)与f(某1)的图象可能是119.给出如下三个命题：①四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc;②设a,b∈R，则ab≠0若ab＜1，则＞1；ba③若f(某)=log22某=某,则f（|某|）是偶函数.其中不正确命题的序号是A.①②③B.①②C.②③D.①③10.已知平面α∥平面β，直线mα，直线nβ，点A∈m,点B∈n，记点A、B之间的距离为a,点A到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则A.b≤a≤cB.a≤c≤bC.c≤a≤bD.c≤b≤a11.f(某)是定义在（0，±∞）上的非负可导函数，且满足某f(某)+f(某)≤0,对任意正数a、b,若a＜b，则必有A.af(b)≤bf(a)B.bf(a)≤af(b)C.af(a)≤f(b)D.bf(b)≤f(a)12.设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算为：A1A=Ab,其中k为I+j被4除的余数，I,j=0,1,2,3.满足关系式=（某某）A2=A0的某(某∈S)的个数为A.4B.3C.2D.1第二部分（共90分）二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）.12某113.lim2.某1某1某某2某2y40,14.已知实数某、y满足条件2某y20,，则z=某+2y的最大值为.3某y30,15.如图，平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°,且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23，若OC＝λOA+μOB（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为.16.安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有种.（用数字作答）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）.17.（本小题满分12分）设函数f(某)=a-b,其中向量a=(m,co2某),b=(1+in2某,1),某∈R,且函数y=f(某)的图象经过点,2，4（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(某)的最小值及此时某的值的集合.18.（本小题满分12分）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为432、、，且各轮问555题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）19.(本小题满分12分)如图,在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中,AD//BC,ABC90,PA平面v PA4,AD2,AB23,BC=6.(Ⅰ)求证:BDBD平面PAC;(Ⅱ)求二面角PBDD的大小.20.(本小题满分12分)c2,其中a为实数.设函数f(某)=2某a某a(Ⅰ)若f(某)的定义域为R,求a的取值范围;(Ⅱ)当f(某)的定义域为R时，求f(某)的单减区间.21.(本小题满分14分)6某2y2,短轴一个端点到右焦点的距离为3.已知椭圆C:221（a＞b＞0）的离心率为3ab(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为的最大值.22.(本小题满分12分)已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk,且Sk＝(Ⅰ)求数列{ak}的通项公式;(Ⅱ)对任意给定的正整数n(n≥2),数列{bk}满足求b1+b2+…+bn.3，求△AOB面积21akak1(kN某),其中a1=1.2bk1kn（k=1,2,…，n-1）,b1=1.bkab12007年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学（理工农医类）参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．1．Ｄ2．Ｂ3．Ｄ4．Ａ5．Ｃ6．Ｂ7．Ｂ8．Ｄ9．Ａ10．Ａ11．Ｃ12．Ｂ二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．13．114．815．616．2103三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）f(某)abm(1in2某)co2某，由已知fπππm1inco2，得m1．422π，4（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(某)1in2某co2某12in2某π当in2某1时，f(某)的最小值为12，4由in2某π3π某1，得值的集合为某某kπ，kZ．4818．（本小题满分12分）2，3)，则P(A1)解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i1，4，5P(A2)32，P(A3)，55该选手被淘汰的概率PP(A1A1A2A2A2A3)P(A1)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2)P(A3)142433101．555 555125（Ⅱ）的可能值为1，2，3，P(1)P(A1)1，5428P(2)P(A1A2)P(A1)P(A2)，55254312P(3)P(A1A2)P(A1)P(A2)．5525的分布列为P123158251225181257．E12352525252，3)，则P(A1)解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i1，4，5P(A2)32，P(A3)．55该选手被淘汰的概率P1P(A1A2A3)1P(A1)P(A2)P(A3) 432101．1555125（Ⅱ）同解法一．19．（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD．BD⊥PA．又tanABDAD3BC，tanBAC3．AB3AB∠ABD30，∠BAC60，∠AEB90，即BD⊥AC．ACA．BD⊥平面PAC．（Ⅱ）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF．DE⊥平面PAC，EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂线定理知PC⊥DF，∠EFD为二面角APCD的平面角．P又∠DAC90∠BAC30，FAEBCD又PADEADinDAC1，AEABinABE3，又AC43，EC33，PC8．由Rt△EFC∽Rt△PAC得EFPAEC33．PC2在Rt△EFD中，tanEFDDE2323，∠EFDarctan．EF9923．9二面角APCD的大小为arctan 解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，0，0)，C(23，6，0)，D(0，则A(0，0，0)，B(23，2，0)，P(0，0，4)，AP(0，0，4)，AC(23，6，0)，BD(23，2，0)，BDAP0，BDAC0．BD⊥AP，BD⊥AC，又PAACA，BD⊥平面PAC．Pz（Ⅱ）设平面PCD的法向量为n(某，y，1)，则CDn0，PDn0，AB某EDyC4，0)，PD(0，2，4)，又CD(23，4323某4y0，，某解得32y40，y2，43n2，13，2，0，平面PAC的法向量取为mBD23，co解：（Ⅰ）f(某)的定义域为R，某a某a0恒成立，a4a0，220a4，即当0a4时f(某)的定义域为R．某(某a2)e某（Ⅱ）f(某)2，令f(某)≤0，得某(某a2)≤0．2(某a某a)由f(某)0，得某0或某2a，又0a4，0a2时，由f(某)0得0某2a；当a2时，f(某)≥0；当2a4时，由f(某)0得2a某0，2a)；即当0a2时，f(某)的单调减区间为(0，当2a4时，f(某)的单调减区间为(2a，0)．21．（本小题满分14分）c6，解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意a3a3，某2b1，所求椭圆方程为y21．3（Ⅱ）设A(某1，y1)，B(某2，y2)．（1）当AB⊥某轴时，AB3．（2）当AB与某轴不垂直时，设直线AB的方程为yk某m．由已知m1k23232，得m(k1)．42222把yk某m代入椭圆方程，整理得(3k1)某6km某3m30，3(m21)6km，某1某2．某1某223k213k136k2m212(m21)AB(1k)(某2某1)(1k)222(3k1)3k1222212(k21)(3k21m2)3(k21)(9k21)2222(3k1)(3k1)12 k21212343(k0)≤34．219k6k12369k226k当且仅当9k231k，即时等号成立．当k0时，AB3，3k2综上所述ABma某2．当AB最大时，△AOB面积取最大值S22．（本小题满分12分）133ABma某．2221a1a2及a11，得a22．211当k≥2时，由akSkSk1akak1ak1ak，得ak(ak1ak1)2ak．22解：（Ⅰ）当k1，由a1S1因为ak0，所以ak1ak12．从而a2m11(m1)22m1．a2m2(m1)22m，mN某．故akk(kN某)．（Ⅱ）因为akk，所以bk1nknk．bkak1k1所以bkbkbk1bk1bk2b2(nk1)(nk2)(n1)b1(1)k11b1k(k1)211kCn(k1，2，，n)．n1123n1n故b1b2b3bnCCC(1)Cnnnnn11012nn．1CCC(1)Cnnnnnn(1)k1Ｂ卷选择题答案：1．Ｄ2．Ｃ3．Ａ4．Ｂ5．Ｂ6．Ｃ7．Ｄ8．Ａ9．Ｂ10．Ｄ11．Ａ12．Ｃ2022年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．i(2i)等于（）12iA．iB．iC．11．复数D．12，2，3，4，5}，集合A{某|某3某20}，B{某|某2a，aA}，则2．已知全集U{1集合eU(AA．1B)中元素的个数为（）B．2C．3D．43．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c等于（）2，b6，B120，则aA．6B．2C．3D．24．已知{an}是等差数列，a1a24，a7a828，则该数列前10项和S10等于（）A．64B．100C．110D．120225．直线3某ym0与圆某y2某20相切，则实数m等于（）A．3或36．“aB．3或33C．33或3D．33或331a”是“对任意的正数某，2某≥1”的（）8某某3A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件，f17．已知函数f(某)2(某)是f(某)的反函数，若mn16（m，nR+），则f1(m)f1(n)的值为（）A．2B．1C．4D．10某2y28．双曲线221（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30ab的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于某轴，则双曲线的离心率为（）A．6B．3C．2D．339．如图，，l，A，B，A，B到l的距离分别是a和b，AB与，所成的角分别是和，AB在，内的射影分别是m和n，若ab，则（）A．，mnC．，mnB．，mnD．，mnAlabBy≥1，10．已知实数某，y满足y≤2某1，如果目标函数z某y的最小值为1，则实数m等某y≤m．于（）A．7B．5C．4D．31(2，11．定义在R上的函数f(某)满足f(某y)f(某)f(y)2某y（某，yR），f)则f(3)等于（）A．2B．3C．6D．912．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输ai{01信息．设定原信息为a0a1a2，，传输信息为h0a0a1a2h1，其中，}（i01，，2）h0a0a1，h1h0a2，运算规则为：000，011，101，110，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010B．01100C．10111D．00011二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．13．lim(1a)n12，则a．n→na14．长方体ABCDA1B1C1D1的各顶点都在球O的球面上，其中AB:AD:AA11:1:2．A，B两点的球面距离记为m，A，D1两点的球面距离记为n，m的值为．n15．关于平面向量a，b，c．有下列三个命题：则①若ab=ac，则bc．②若a(1，k)，b(2，6)，a∥b，则k3．③非零向量a和b满足|a||b||ab|，则a与ab的夹角为60．其中真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）17．（本小题满分12分）已知函数f(某)2in某某某co23in23．444（Ⅰ）求函数f(某)的最小正周期及最值；（Ⅱ）令g(某)f某π，判断函数g(某)的奇偶性，并说明理由．318．（本小题满分12分）某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第i次击中目标得，2，3)分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各1~i(i1次射击结果互不影响．（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；（Ⅱ）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，BAC90，A1A平面ABC，A1A3，AB2，AC2，AC111，（Ⅰ）证明：平面A1AD平面BCC1B1；（Ⅱ）求二面角ACC1B的大小．20．（本小题满分12分）2BD1．DC2A1B1AC1CDB已知抛物线C：y2某，直线yk某2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作某轴的垂线交C于点N．（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（Ⅱ）是否存在实数k使NANB0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数f(某)k某1（c0且c1，kR）恰有一个极大值点和一个极小值点，其某2c中一个是某c．（Ⅰ）求函数f(某)的另一个极值点；（Ⅱ）求函数f(某)的极大值M和极小值m，并求Mm≥1时k的取值范围．22．（本小题满分14分）已知数列{an}的首项a13an3，an1，n1，2，．2a15n（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的某0，an≥112某，2，；，n11某(1某)23n（Ⅲ）证明：a1a2n2an．n12022年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、1．D2．B3．D4．B5．C6．A7．A8．B9．D10．B11．C12．C二、13．114．115．②16．962三、17．解：（Ⅰ）某某某某某πf(某)in3(12in2)in3co2in．2224232π4π．12f(某)的最小正周期T当in某π某π1时，f(某)取得最小值2；当in1时，f(某)取得最大值2．2323（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(某)2inπ某π．又g(某)f某．323某1ππ某πg(某)2in某2in2co．233222某某g(某)2co2cog(某)．22函数g(某)是偶函数．2，3)，则P(Ai)0.8，P(Ai)0.2，18．（Ⅰ）设该射手第i次击中目标的事件为Ai(i1，P(AiAi)P(Ai)P(Ai)0.20.80.16．（Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3．的分布列为P00.00810.03220.1630.8E00.00810.03220.1630.82.752.19．解法一：（Ⅰ）A1A平面ABC，BC平面ABC，BC6，A1ABC．在Rt△ABC中，AB2，AC2，BD:DC1:2，BD6BD3AB，又，3AB3BC△DBA∽△ABC，ADBBAC90，即ADBC．又A1AADA，BC平面A1AD，BC平面BCC1B1，平面A1AD平面BCC1B1．（Ⅱ）如图，作AEC1C交C1C于E点，连接BE，由已知得AB平面ACC1A1．A1C1EAE是BE在面ACC1A1内的射影．由三垂线定理知BECC1，B1AFCDB（第19题，解法一）AEB为二面角ACC1B的平面角．过C1作C1FAC交AC于F点，则CFACAF1，C1FA1A3，C1CF60．在Rt△AEC中，AEACin60233．2在Rt△BAE中，tanAEBAB26．AE33zA1C1AEBarctan6，36．3B1即二面角ACC1B为arctanAB某（第19题，解法二）DCy解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，，0)B(2，0，，0)C(0，2，，0)A1(0，0，3)，C1(01，，3)，1BD:DC1:2，BDBC．3222，0D点坐标为3，．3222AD，0，BC(2，2，，0)AA1(0，0，3)．3，3BCAA10，BCAD0，BCAA1，BCAD，又A1AADA，BC平面A1AD，又BC平面BCC1B1，平面A1AD平面BCC1B1．（Ⅱ）0，0)为平面ACC1A1的法向量，BA平面ACC1A1，取mAB(2，设平面BCC1B1的法向量为n(l，m，n)，则BCn0，CC1n0．32l2m0，l2m，nm，3m3n0，1，如图，可取m1，则n2，3，322010com，n(2)20202332322(2)1315，5即二面角ACC1B为arcco15．52某12)，B(某2，2某22)，把yk某2代入y2某2得20．解法一：（Ⅰ）如图，设A(某1，2某2k某20，由韦达定理得某1某2k，某1某21，2yM2B1NO1Akk2某1某2k某N某M，N点的坐标为，．2448某k2k设抛物线在点N处的切线l的方程为ym某，84mkk20，将y2某代入上式得2某m某4822直线l与抛物线C相切，mkk2m8m22mkk2(mk)20，mk．842即l∥AB．（Ⅱ）假设存在实数k，使NANB0，则NANB，又M是AB的中点，|MN|1|AB|．2111由（Ⅰ）知yM(y1y2)(k某12k某22)[k(某1某2)4]222k21k242．224k2k2k216．MN某轴，|MN||yMyN|2488又|AB|1k|某1某2|1k22(某1某2)24某1某21k212k4(1)k122k216，解得k2．2k216．k21612k184即存在k2，使NANB0．2某1)，B(某2，2某2)，把yk某2代入y2某得解法二：（Ⅰ）如图，设A(某1，222k2某2k某20．由韦达定理得某1某2，某1某21．2kk2某1某2k某N某M，N点的坐标为，．2448抛物线在点N处的切线l的斜率为4y2某2，y4某，kk，l∥AB．4（Ⅱ）假设存在实数k，使NANB0．kk2kk222由（Ⅰ）知NA某1，2某1，NB某2，2某2，则4848kk2k22k2NANB某1某22某12某24488kk2k22k2某1某24某1某2441616kk某1某244kk14某某1244k214某1某2k(某1某2)4kk2某1某2某1某2416kkk214216kk214(1)k24k2313k21640，k2310，3k20，解得k2．164即存在k2，使NANB0．k(某2c)2某(k某1)k某22某ck21．解：（Ⅰ）f(某)，由题意知f(c)0，2222(某c)(某c)即得ck2cck0，（某）22c0，k0．由f(某)0得k某2某ck0，由韦达定理知另一个极值点为某1（或某c2）．k22，即c1．c1k当c1时，k0；当0c1时，k2．（Ⅱ）由（某）式得k)内是减函数，在(c，1)内是增函数．（i）当k0时，f(某)在(，c)和(1，Mf(1)k1k0，c12kc1k2mf(c)20，cc2(k2)kk2≥1及k0，解得k≥2．由Mm22(k2))内是增函数，在(c，1)内是减函数．c)和(1，（ii）当k2时，f(某)在(，k2kMf(c)0，mf(1)02(k2)2k2k(k1)21Mm1≥1恒成立．2(k2)2k22)综上可知，所求k的取值范围为(，22．解法一：（Ⅰ）[2，)．an13an12111111，，，2an1an133anan13an又112121，1是以为首项，为公比的等比数列．an333an3n12121n，ann．n1an333323n0，（Ⅱ）由（Ⅰ）知ann32112某1某(1某)23n11211某2n1某(1某)3111某(1某)21(1某)an1122an(1某)1某211anan≤an，原不等式成立．an1某（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的某0，有a1a2an≥112112某某2221某(1某)31某(1某)3112某2n1某(1某)3n1221某(1某)23322n某．3n取某1222n332112313n1n1n，31n3n13则a1a2nn2n2．an≥1n11111nn1n3n3原不等式成立．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设f(某)112某，1某(1某)23n22(1某)2n某2(1某)2n某133则f(某)(1某)2(1某)2(1某)2某0，当某当某22时，；当时，f(某)0，某f(某)0nn332时，f(某)取得最大值3n12fnan．2313n原不等式成立．（Ⅲ）同解法一．B卷选择题答案：1．D2．C3．A4．B5．C6．A7．D8．C9．C10．B11．B12．D2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）(陕西卷)第Ⅰ卷陕西卷网一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设不等式某某0的解集为M，函数f(某)ln(1|某|)的定义域为N，则MN为（A）[0，1）（B）（0，1）（C）[0，1]（D）（-1，0]答案：A2、2解析：不等式某某0的解集是0某1，而函数f(某)ln(1|某|)的定义域为，故选择A1某1，所以MN的交集是[0，1）2.已知z是纯虚数,z2是实数,那么z等于1-i（A）2i(B)i(C)-i(D)-2i答案：D解析：代入法最简单3.函数f(某)（A）f12某4(某4)的反函数为121某2(某0)(B)f1(某)某22(某2)22121211（C）f(某)某4(某0)(D)f(某)某4(某2)22(某)答案：Bw.w.w...5.u.c.o.m解析1：f(某)2某4(某4)y2,f1(某):y4,某2.逐一验证，知B正确。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 【答案】A 【解析】试题分析：{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1MN =，故选A ．考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ） A ．167 B ．137 C ．123 D ．93【答案】B考点：扇形图．3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】试题分析：由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 考点：三角函数的图象与性质．4.二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C考点：二项式定理．5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+【答案】D 【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面积是()1211222342ππ⨯⨯⨯++⨯=+，故选D ． 考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积．6.“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为“sin cos αα=”⇒“cos 20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos 20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件，故选A ． 考点：1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件． 7.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ）A ．||||||a b a b ⋅≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B考点：1、向量的模；2、向量的数量积．8.根据右边的图，当输入x 为2006时，输出的y =（ ）A ．28B ．10C ．4D ．2【答案】B 【解析】试题分析：初始条件：2006x =；第1次运行：2004x =；第2次运行：2002x =；第3次运行：2000x =；⋅⋅⋅⋅⋅⋅；第1003次运行：0x =；第1004次运行：2x =-．不满足条件0?x ≥，停止运行，所以输出的23110y =+=，故选B ． 考点：程序框图．9.设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 【答案】C考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最 大利润为（ ）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元【答案】D 【解析】试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，则利润34z x y =+由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值，所以max 324318z =⨯+⨯=，故选D ．考点：线性规划．11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ）A ．3142π+B ．1142π-C ．112π-D ．112π+【答案】B 【解析】试题分析：22(1)||1(1)1z x yi z x y =-+⇒=⇒-+≤如图可求得(1,1)A ，(1,0)B ，阴影面积等于21111114242ππ⨯-⨯⨯=- 若||1z ≤，则y x ≥的概率是211142142πππ-=-⨯，故选B ． 考点：1、复数的模；2、几何概型．12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A ．-1是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值 D. 点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A考点：1、函数的零点； 2、利用导数研究函数的极值． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 【答案】5 【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5． 考点：等差中项．14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p= ．【答案】考点：1、抛物线的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质． 15.设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直，则p 的坐标为 ．【答案】()1,1 【解析】试题分析：因为x y e =，所以x y e '=，所以曲线x y e =在点()0,1处的切线的斜率101x k y e ='===，设P 的坐标为()00,x y （00x >），则001y x =，因为1y x =，所以21y x '=-，所以曲线1y x=在点P 处的切线的斜率02201x x k y x ='==-，因为121k k ⋅=-，所以211x -=-，即201x =，解得01x =±，因为00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1．考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．【答案】1.2 【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =（0p >），因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案应填：1.2． 考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17．（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行． （I ）求A ； （II ）若a =2b =求C ∆AB 的面积．【答案】（I）3π；（II ）2．试题解析：（I ）因为//m n ，所以sincos 0a B A -=，由正弦定理，得sinAsinB 0-=又sin 0B ≠，从而tan A 由于0Aπ<<，所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+- 而2,a =3πA =得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =. 故∆ABC 的面积为1bcsinA 2.考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式. 18．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．（I ）证明：CD ⊥平面1C A O ；（II ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3试题解析：（I ）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点，∠BAD=2π，所以BE ⊥AC 即在图2中，BE ⊥ 1OA ，BE ⊥OC 从而BE ⊥平面1AOC 又CD BE ，所以CD ⊥平面1AOC.(II)由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，又由（1）知，BE⊥ 1OA ，BE ⊥OC 所以1AOC ∠为二面角1--C A BE 的平面角，所以1OC 2A π∠=.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系， 因为11B=E=BC=ED=1A A , BC ED所以1((0,0,2222B -得2BC(22-12A C(0,22-，CD BE (==-. 设平面1BC A 的法向量1111(,,)n x y z =，平面1CD A 的法向量2222(,,)n x y z =，平面1BC A 与平面1CD A 夹角为θ， 则11100n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取1(1,1,1)n =，2210n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22200x y z =⎧⎨-=⎩，取2(0,1,1)n =，从而12cos |cos ,|n n θ=〈〉== 即平面1BC A与平面1CD A考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用. 19．（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，（II ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 【答案】（I ）分布列见解析，32；（II ）0.91． 【解析】试题分析：（I ）先算出T 的频率分布，进而可得T 的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望ET ；（II ）先设事件A 表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟”，再算出A 的概率．从而 0.4400.132⨯+⨯=（分钟）(II)设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=.解法二：121(A )P P T T T=+>=12P(40,40)T T +== 0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=故(A)1P(A)0.91P =-=.考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率.20．（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（I ）求椭圆E 的离心率；（II ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方 程．【答案】（III ）221123x y +=． 【解析】试题分析：（I ）先写过点(),0c ，()0,b 的直线方程，再计算原点O 到该直线的距离，进而可得椭圆E 的离心率；（II ）先由（I ）知椭圆E 的方程，设AB 的方程，联立()2222144y k x x y b⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得12x x +和12x x 的值，进而可得k，再利用AB =可得2b 的值，进而可得椭圆E 的方程．试题解析：（I ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为0bx cy bc +-=， 则原点O到直线的距离bcd a==， 由12d c =，得2a b ==c a . (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (1) 依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且|AB|易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x =++，代入(1)得2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=设1122(,y ),B(,y ),A x x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k ++-+=-=-++ 由124x x +=-，得28(21)4,14k k k +-=-+解得12k =.从而21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-=由|AB|23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=. 解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (2) 依题意，点A ，B关于圆心M(-2,1)对称，且|AB|设1122(,y ),B(,y ),A x x 则2221144x y b +=，2222244x y b +=， 两式相减并结合12124,y 2,x x y +=-+=得()1212-4()80x x y y -+-=. 易知，AB 不与x 轴垂直，则12x x ≠，所以AB 的斜率12121k .2AB y y x x -==-因此AB 直线方程为1(2)12y x =++，代入(2)得224820.x x b ++-= 所以124x x +=-，21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-=由|AB|23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=. 考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.21．（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，nx 的各项和，其中0x >，n ∈N ， 2n ≥．（I ）证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+； （II ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x与()n g x 的大小，并加以证明．【答案】（I ）证明见解析；（II ）当1x =时， ()()n n f x g x =，当1x ≠时，()()n n f x g x <，证明见解析． 【解析】试题分析：（I ）先利用零点定理可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点，进而利用n x 是()F n x 的零点可证11122n n n x x +=+；（II ）先设()()()n n h x f x g x =-，再对x 的取值范围进行讨论来判断()h x 与0的大小，进而可得()n f x 和()n g x 的大小． 试题解析：（I ）2()()212,n n n F x f x x x x =-=+++-则(1)10,n F n =->1211111112()1220,12222212n nn nF +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点n x . 又1()120n n F x x nx -'=++>，故在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点n x . 因为n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即11201n n nx x +--=-，故111=+22n n n x x +.(II)解法一：由题设，()()11().2nnn x g x ++=设()()211()()()1,0.2nnn n n x h x f x g x x x x x ++=-=+++->当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, ()111()12.2n n n n x h x x nx--+'=++-若01x <<,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 若1x >,()11111()22n n n n n n h x xx nx x ----+'<++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <.综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x < 解法二 由题设，()()211()1,(),0.2nn n n n x f x x x x g x x ++=+++=>当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <. 当2n =时, 2221()()(1)0,2f xg x x -=--<所以22()()f x g x <成立. 假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x <. 那么，当+1n k =时，()()111k+1k 11()()()2kk k k k k x f x f x xg x xx +++++=+<+=+()12112k k x k x k +++++=. 又()()11k+121111()22k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=令()1()11(x 0)k k k h x kx k x +=-++>，则()()11()(k 1)11(x 1)k k k k h x k x k k x k k x --'=+-+=+-所以当01x <<,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减； 当1x >,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h >=，从而()1k+1211()2k k x k x k g x +++++>故11()()k k f x g x ++<.即+1n k =，不等式也成立. 所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x <.解法三:由已知，记等差数列为{}k a ,等比数列为{}k b ,k 1,2,, 1.n =+则111a b ==，11n n n a b x ++==，所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤ 令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =.当1x ≠时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=-- 而2k n ≤≤，所以10k ->，11n k -+≥.若01x <<, 11n k x -+<,()0k m x '<,当1x >,11n k x-+>,()0km x '>, 从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=， 所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b =,11n n a b ++=，故()()n n f x g x < 综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x < 考点：1、零点定理；2、利用导数研究函数的单调性.请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ． （I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；（II ）若D 3DC A =，C B =O 的直径．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3． 【解析】试题分析：（I ）先证C D D ∠B =∠BE ，再证D D ∠BA =∠BE ，进而可证C D D ∠B =∠BA ；（II ）先由（I ）知D B 平分C ∠BA ，进而可得D A 的值，再利用切割线定理可得AE 的值，进而可得O 的直径．试题解析：（I ）因为DE 为圆O 的直径，则BED EDB ∠+∠=90， 又BC ⊥DE ，所以∠CBD+∠EDB=90°，从而∠CBD=∠BED. 又AB 切圆O 于点B ，得∠DAB=∠BED ，所以∠CBD=∠DBA. （II ）由（I ）知BD 平分∠CBA ，则=3BA AD BC CD=,又BCAB =所以4AC =，所以D=3A .由切割线定理得2=AD AB AE ×，即2=ADAB AE =6，故DE=AE-AD=3，即圆O 的直径为3.考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理. 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴 建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=．（I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【答案】（I）(223x y +=；（II ）()3,0．【解析】试题分析：（I ）先将ρθ=两边同乘以ρ可得2sin ρθ=，再利用222x y ρ=+，sin x ρθ=可得C 的直角坐标方程；（II ）先设P 的坐标，则C P =，再利用二次函数的性质可得C P 的最小值，进而可得P 的直角坐标．试题解析：（I）由2,sin ρθρθ==得，从而有(2222+,+3x y x y ==所以.(II)设1(32P +又,则|PC |== 故当t=0时，|PC|取最小值，此时P 点的直角坐标为（3，0）.考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． （I ）求实数a ，b 的值；（II 的最大值． 【答案】（I ）3a =-，1b =；（II ）4． 【解析】试题分析：（I ）先由x a b +<可得b a x b a --<<-，再利用关于x 的不等式x a b+<的解集为{}24x x <<可得a ，b 的值；（II ）试题解析：（I ）由||x a b +<，得b a x b a --<<-则2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得3a =-,1b =（II ≤4==，即1t =时等号成立，故max4=.考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.。

精心整理2021 陕西理数高考真题解析一．选择题1. 集合 M{ x | lg x 0} ， N { x | x 2 , 4} ，那么 M N〔〕A. (1,2)B. [1,2)C. (1,2]D. [1,2]【测量目标】集合的根本运算〔交集〕 .【考查方式】集合的表示法〔描述法〕求集合的交集 .【难易程度】容易【参考答案】 C【试题解析】M x x 1 , N x 2≤ x 剟2 , M N x 1 x 2 应选 C.2. 以下函数中，既是奇函数又是增函数的为〔〕 A. y x 1B. yx 2C. y1D. y x | x |x【测量目标】函数单调性、奇偶性的判断 . 【考查方式】根据函数单调性和奇偶性定义采用排除法得到结果. 【难易程度】容易 【参考答案】 D【试题解析】 A 是增函数不是奇函数错误， B 和 C 都不是定义域内的增函数排除，只有 D 正确，因此选 D. 3. 设 a,b R ， i 是虚数单位，那么“ ab 0 〞是“复数 a b为纯虚数〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件iC.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【测量目标】充分、必要条件 .【考查方式】先判断充分性、再判断必要性得到结果 . 【难易程度】容易 【参考答案】 B【试题解析】当 ab0 ， a 0或 b 0 ， ab不一定是纯虚数b为纯虚数时， ai反之 a0 ， b 0 ， ab 0 ，因此 B 正确 .i4. 圆 C : x 2y 24x 0 ， l 过点 P(3,0) 的直线，那么〔〕A. l 与 C 相交B. l 与 C 相切C. l 与 C 相离D.以上三个选项均有可能【测量目标】直线与圆的位置关系 .【考查方式】根据 P(3,0) 与圆的位置关系判断 l 与圆的位置关系 .【难易程度】容易【参考答案】 A【试题解析】因为 C : x 2y 2 4x 0 ( x 2) 2 y 24 ，所以圆 C 是以 (2,0) 为圆心，2 为半径的圆，又 P(3,0) 在圆内，所以 l 与圆 C 相交 .精心整理5. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC A1 B1C1，CA CC12CB ，那么直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为〔〕第 5 题图A.5B.5C.2 5D.3 5355【测量目标】空间直角坐标系.【考查方式】根据空间直角坐标系用空间向量求异面直线夹角的余弦值.【难易程度】容易【参考答案】 A【试题解析】设 CB=1，那么CC1CA2， A(2,0,0),B(0,0,1), C1(0, 2,0), B1 (0, 2,1),AB1 ( 2,2,1), BC1 (0,2, 1),cos AB1, BC1 2 0 2 21( 1)5，应选 A.( 2)222 122( 1)256.从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示〔如下图〕，设甲乙两组数据的平均数分别为x甲， x乙，中位数分别为m甲， m乙，那么〔〕第 6 题图甲乙，m甲x乙，m m乙A. x x甲m乙B. x甲甲乙，m甲x乙，mm乙C. x x甲m乙D. x甲【测量目标】茎叶图 .【考查方式】从茎叶图特点判断平均数，再求出中位数得到结果.【难易程度】容易【参考答案】 B【试题解析】从茎叶图来看乙中数据集中，甲比拟分散，所以x甲x乙又甲18+22乙27+31=29，所以选 B.m =2=20 m =27.设函数 f ( x) xe x，那么〔〕A. x 1 为 f ( x)的极大值点B. x 1 为f ( x)的极小值点C. x 1 为f ( x) 的极大值点D. x 1 为 f ( x)的极小值点【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】求出所给函数的导函数，根据导函数求出函数的极值.【难易程度】容易精心整理【参考答案】 D【试题解析】 f ( x)(1 x)e x，当x1时，f (x)0， f ( x)在 (,1)上递减；当 x 1 时，f( x)0， f (x) 在 ( 1,) 递增，∴极值点为x 1.8. 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，那么所有可能出现的情形〔各人输赢局次的不同视为不同情形〕共有〔〕A．10 种 B.15 种 C.20 种 D.30 种【测量目标】排列、组合及其应用 .【考查方式】先找出获胜情况，再利用排列组合求出总方法数.【难易程度】容易【参考答案】 C【试题解析】某一个人获胜可以分成 3 中情况，得分 3:0,3:1,3:2；方法数为〔22120.1+C3 C 4 ) C 29. 在△ABC 中，角A, B, C所对边长分别为a, b, c，假设a2b22c2，那么cosC的最小值为〔〕A.3B.2C.1D.1 2222【测量目标】余弦定理、根本不等式求最值 .【考查方式】把余弦定理结合根本不等式判断cosC 的最小值 .【难易程度】容易【参考答案】 C【试题解析】由余弦定理结合根本不等式可得cosC a2b2c2≥ a2b2c21c2 1 .2ab a2b22c22 10.右图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图， P 表示估计结果，那么图中空白框内应填入〔〕第10 题图A. PNB. P4N 10001000C. P MD. P4M10001000【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】根据程序框图的逻辑结构判断空白框内应填入什么.【难易程度】容易【参考答案】 D4M【试题解析】由循环体可知结果P.1000二．填空题11.观察以下不等式111 5 ，22333照此规律，第五个不等式为．．．【测量目标】合情推理 .【考查方式】从给出的几个不等式的特征猜想出一般的规律得到第五个不等式 .．．．【难易程度】容易精心整理【参考答案】 1+1+111111 22222. 234566【试题解析】观察这几个不等式可以发现左边分母从 1、 2、 3、4、5 的平方依次增加 1 后的平方，分子全是 1，右边分母是左边最后一项的分母的底数，分子式左边后两分母底数的和，于是有：1+1+111111 222262. 2345612.(a x)5展开式中 x2的系数为10，那么实数 a 的值为【测量目标】二项式定理.【考查方式】根据二项式定理及其性质求出 a 的值.【难易程度】容易【参考答案】 1【试题解析】 T r 1 C5r a5 r x r , r 2, C52 a5 210, a 1.13.如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米后，水面宽米第13 题图【测量目标】抛物线的标准方程.【考查方式】先求出抛物线标准方程，然后把坐标代入求出水面宽.【难易程度】容易【参考答案】 26【试题解析】先以拱顶为原点，建立直角坐标系，设水面和拱桥交点A〔 2，2〕那么抛物线方程为x2 2 py，〔步骤1〕代入得 22 =2p(2),2p=2，x2 2 y. 〔步骤2〕当水面下降 1 米时，水面和拱桥的交点记作 B 〔a, 3 ) 那么代入抛物线方程得：a = 6 ,因此水面宽2 6米. 〔步骤 3〕ln x,x 0f (x) 及该曲线在点 (1,0) 处的切线所围成14. 设函数 f ( x)， D 是由x轴和曲线y2 x 1, x , 0的封闭区域，那么 z x 2 y 在D上的最大值为【测量目标】导数的几何意义、二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】根据导函数求出切线方程，再根据限制条件画出可行域，找出满足目标的最优解，进而求出 Z max.【难易程度】容易【参考答案】 21【试题解析】 f ( x), k f (1) 1,∴切线l : y x 1x因而切线 l 、曲线f ( x)、x轴围成三角形区域，其中最优解是〔0，- 1)代入得z max 2 .15.A 〔不等式选做题〕假设存在实数x 使 | x a | | x 1|, 3 成立，那么实数 a 的取值范围是精心整理【测量目标】绝对值不等式的性质及其运用 .【考查方式】根据绝对值不等式的性质化简，进而求出实数 a 的取值范围 .【难易程度】容易【参考答案】 2 剟a 4【试题解析】由题意知左边的最小值小于或等于 3 即可，根据不等式的性质得〔几何证明选做题〕 如图，在圆 O 中，直径 AB 与弦 CD 垂直，垂足为 E ， EF假设 AB 6， AE 1 ，那么 DF DB .【测量目标】直线和圆的位置关系相交弦定理 .【考查方式】根据相似三角形转化 DF DB ，然后根据相交弦定理求出结果 .【难易程度】容易【参考答案】 5DB ，垂足为F ， 【 试 题 解 析 】 Rt △ DEF ∽Rt △DEB , DF DE , 即 DE 2=DF BD ,又 由 相 交 弦 定 理 得 DEBDDE 2 =AE EB1 55.DF BD5.第 15 题图15C 〔坐标系与参数方程〕直线 2 cos1与圆 2cos 相交的弦长为 .【测量目标】坐标系与参数方程 .【考查方式】先化为普通方程，然后利用勾股定理求解.【难易程度】容易【参考答案】 3【试题解析】化极坐标为直角坐标得直线 x1, 圆 (x 1)2y 2 1,2由勾股定理可得相交弦长为 3 = 3.22三．解答题：16. 〔本小题总分值 12 分〕函数 f ( x)Asin( xπ1 〔 A0,0 〕的最大值为 3，其图象相邻两)π. 6条对称轴之间的距离为2 〔1〕求函数 f ( x) 的解析式；〔2〕设π) 2 ，求 的值(0, ) ，那么 f (2 2【测量目标】三角函数的图象与性质、由图象求解析式.【考查方式】根据三角函数的图象与性质求出解析式，然后根据三角函数求值求出 的值 .【难易程度】中等 【试题解析】〔 1〕 A 1 3 ， A 2 , 〔步骤 1〕 又∵ 函数图象相邻对称轴的距离为半个周期，T π π.2π 2， f (x) 2sin(2 x π 1.〔步骤 2〕2 .T T )2 6〔2〕 f ( ) 2sin( π 1 2, π 1 〔步骤 3〕) sin( ) ,2 6 6 20 π π π π π π π, 6 6 , 6 , .〔步骤 4〕2 3 6 3精心整理17. 〔本小题总分值 12 分〕设 a n 的公比不为 1 的等比数列，其前 n 项和为 S n ，且 a 5 , a 3 , a 4 成等差数列.〔1〕求数列 a n 的公比；〔 2〕证明：对任意 k N ， S k 2 , S k , S k 1 成等差数列【测量目标】等差与等比数列的通项、性质、前n 项和 .【考查方式】由等差数列的项之间的关系推出数列的公比再利用等差中项法或公式法证明结论 .【难易程度】中等【试题解析】〔 1〕a 5 , a 3 , a 4 成等差数列， 2a 3 = a 5 +a 42a 1 q 2 a 1q 4 3〕a 1q , 〔步骤 1a 1 0, q 0,q 2 q2 0,q2, q1〔舍去〕q2 . 〔步骤 2〕〔2〕证法一 . 〔等差中项法〕k NSk 2Sk 12S k(S k 2 S k ) (S k1S k)ak 1ak 2ak 12a k 1 〔步骤 3〕a k 1 ( 2) 0.证法二 . 〔公式法〕Sk 2Sk 1a 1 (1 q k2 )a 1 (1 q k 1)a 1 (2 q k2q k 1 ) ; 〔步骤 4〕1 q1 q1 q 2S k ( S k2 S k 1)2a 1 (1 q k ) a 1 (2 q k 2q k 1 )1 q1 q 〔步骤 5〕a 1q k (q 2 q 2)0( q2), S k 2 , S k , S k 1 成等差数列 . 〔步骤 6〕1 q18. 〔本小题总分值 12 分〕〔1〕如图，证明命题“ a 是平面 π ππc是直内的一条直线， b 是 外的一条直线〔 b 不垂直于〕，线 b 在 π b ，那么 a c 〞为真 .上的投影，假设 a〔2〕写出上述命题的逆命题，并判断其真假〔不需要证明〕第 18 题图【测量目标】平面向量在平面几何中的应用、两条直线的位置关系、四种命题及其之间的关系.【考查方式】根据共面向量存在定理证明结论；通过对四种命题的理解写出其逆命题. 【难易程度】容易π n〔步骤 1〕【试题解析】〔 1〕证法一 . 〔向量法〕如图过直线 b 上任一点作平面 的垂线设直线 a,b, c, n 的方向向量分别为 a , b ,c , n ，那么 b , c , n 共面 ∴存在实数 ， 使c = b + n ， a c =a 〔 b + n 〕=〔 a b 〕+〔 a n 〕=0a π， n π， a n =0， a c =0， a c . 〔步骤 2〕第 18 题〔 1〕图证法二〔利用垂直关系证明〕如图c bA, P 为直线 b 上异于 A 的点，作 POπ,O c,〔步骤 3〕PO a, a b, b 平面 PAO ， PO b P,a 平面 PAO 〔步骤 4〕c 平面 PAO , a c. 〔步骤5〕精心整理第 18 题〔 1〕图〔2〕逆命题为a是平面π内的一条直线， b 是π外的和它不垂直的直线， c 是直线b在π上的投影，若a c ，那么 a b. 逆命题为真命题 . 〔步骤 6〕19. 〔本小题总分值 12 分〕椭圆 C1 : x2y21，椭圆 C 2以 C1的长轴为短轴，且与 C1有相同的离心率.4〔1〕求椭圆C2的方程；〔2〕设 O 为坐标原点，点 A, B 分别在椭圆C1和C2上，OB2OA ，求直线AB的方程【测量目标】椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系.AB 的方程 .【考查方式】根据椭圆间关系求出椭圆方程；联立直线与椭圆的解析式求出直线【难易程度】中等【试题解析】〔 1〕依题意设椭圆方程为x2y21(a2),e 3 , a242∴14 3 ,a216, ∴椭圆方程为x2y 2 1. 〔步骤1〕a22164〔2〕设 A〔x1 , y1 ), B〔x2, y2 ), OB 2OA,O, A, B 三点共线且不在 y 轴上，〔步骤2〕∴设直线 AB 方程为y kx ，并分别代入x2y 21和 x2y21得：4164416221616, 〔步骤 3〕x114k 2, x24k 2, OB2OA, x2 4x1 ,4 k 214k 2∴ k 1 ，所求直线为： y x 或 y x . 〔步骤 4〕20.〔本小题总分值 13 分〕某银行柜台设有一个效劳窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所12345需要的时间〔分〕频率从第一个顾客开始办理业务时计时 .〔1〕估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率；〔2〕 X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数学期望【测量目标】离散型随机变量的分布列与期望 .【考查方式】根据离散型随机变量的特点求解 .【难易程度】中等【试题解析】设顾客办理业务所需时间，Y ，用频率估计概率的分布列如下Y12345P( 步骤 1)(1 〕事件“第三个顾客恰好等待4 分钟开始办理业务〞记作 A，那么精心整理( 步骤 2)0.22.(2) X 所有可能取值为 0,1,2. 所以 P ( X =0)= P ( Y >2)=0.5;P ( X =1)= P ( Y =1) P ( Y >1)+ P ( Y =2)=0.49;0.01.〔步骤 3〕因此 X 的分布列为：12所以 X 的期望 EX 0 0.5+1 0.49+2 0.01=0.51.〔步骤 4〕21. 〔本小题总分值 14 分〕设函数 f n( x)x nbx c (nN , b,c R )〔1〕设 n ≥2 ， b1,c1，证明：f n (x) 在区间12,1内存在唯一的零点；〔2〕设n2 ，假设对任意x 1, x 2[1,1]，有 | f 2 ( x 1)f 2 ( x 2 ) |, 4 ，求 b 的取值范围；〔3〕在〔 1〕的条件下，设x n 是f n ( x) 在1 ,12内的零点，判断数列x 2 , x 3 ,, x n的增减性 .【测量目标】函数与方程，导数的综合应用，函数与数列的综合运用.【考查方式】把解析式中未知数代入，结合零点存在定理证明；根据解析式最大值判断 b 范围；根据零点判断增减性 .【难易程度】较难【试题解析】 (1) 当 b 1,c1,n ≥ 2 时， f ( x) x nx 1( 步骤 1)11 11 0 ，〔 1，〕f ( ) f (1)(n)f ( x) 在1 内有零点 . 〔步骤 2〕21 2 221，〕又∵ 当 x 〔 ，1〕 , f ( x) nx n 1〔2 1 0, f (x) 在区间1内单调递增，2∴ f ( x) 在〔 1，1〕内有唯一的零点 . 〔步骤 3〕2(2) 当 n=2 时， f( x)= x 2 bx c, ( 步骤 4)假设b1, 即 b 2 时， f( x) 最大值 M = f( 1)f (1) 2 b4 与题设矛盾 .〔步骤 〕25假设 1剟 b0, 即 0 剟b 2 时， M f( 1)f (b)=( b 1) 2 , 4 恒成立22 2假设 0剟 b 1，即 2 剟b 0 时2b)=( bMMf( 1) f (1)2 , 4 恒成立 .2 2综上： 2 剟b 2 . 〔步骤 6〕〔1,1 〕 f n+1 ( x) f n +1 (1)=〔x n 1+xn n 1+1 1)〔3〕设 x n是 f n ( x) 在内的唯一零点，n 1)〔12精心整理x n 1+x n1x n+x n 1 0, f n+1 ( x) 的零点x n+1在区间〔x n +1，1〕内，〔步骤 7〕n n∴数列 x2 , x3 ,, x n ,是递增数列 . 〔步骤 8〕。

2024年陕西高考数学(理)试题及答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设5i z =+，则()i z z +=（ ）A 10iB. 2iC. 10D. 2-【答案】A 【解析】【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.【详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=.故选：A2. 集合{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ）A. {}1,4,9B. {}3,4,9 C. {}1,2,3 D. {}2,3,5【答案】D 【解析】【分析】由集合B 的定义求出B ，结合交集与补集运算即可求解.【详解】因为{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，所以{}1,4,9,16,25,81B =，则{}1,4,9A B = ，(){}2,3,5A A B = ð 故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5 B.12C. 2-D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：.由5z x y =-可得1155y x z =-，即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =-过点A ，联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则min 375122z =-⨯=-.故选：D.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（ ）A. 2- B.73C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】由510S S =结合等差中项的性质可得80a =，即可计算出公差，即可得1a 的值.【详解】由105678910850S S a a a a a a -=++++==，则80a =，则等差数列{}n a 的公差85133a a d -==-，故151741433a a d ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.5. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. 4 B. 3C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.6. 设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A.16B.13C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点()0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【详解】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+，则()()()()()2e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+，即该切线方程为13y x -=，即31y x =+，令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=.故选：A.7. 函数()()2e e sin x x f x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的大致图像为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22e e sin e e sin x x x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42ef ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.8. 已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1+B. 1- C.D. 1【答案】B 【解析】【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-，所以11tan =-α，tan 1⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+⎪-α⎝⎭，故选：B.9. 已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（ ）A. “3x =-”是“a b ⊥”的必要条件 B. “3x =-”是“//a b”的必要条件C. “0x =”是“a b ⊥ ”的充分条件D. “1x =-”是“//a b”的充分条件【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A ，当a b ⊥ 时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b ==，故0a b ⋅=，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得1x =±，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x =-+时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（ ）A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确；对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.11. 在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A.32B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac+=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=.故选：C.12. 已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A. 2 B. 3C. 4D. 【答案】C 【解析】【分析】结合等差数列性质将c 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【详解】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =-，代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++-=，即()()120a x b y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩，故直线恒过()1,2-，设()1,2P -，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC AB ⊥时，AB最小，1,PC AC r ===，此时24AB AP ====.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是______．【答案】5【解析】【分析】先设展开式中第1r +项系数最大，则根据通项公式有1091101010111101011C C 3311C C 33r rr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，进而求出r即可求解.【详解】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，010r ≤≤且r ∈Z ，设展开式中第1r +项系数最大，则1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩，即293344r ≤≤，又r ∈Z ，故8r =，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：5.14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______．【解析】【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解.【详解】由题可得两个圆台的高分别为)12h r r ==-甲，)12h r r ==-乙，所以V h V h ====甲甲乙乙.15. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．【答案】64【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解.【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是______．【答案】715【解析】【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则323a b c a b +-≤≤++，就c 的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有36A 120=种，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则1322a b c a b +++-≤，故2()3c a b -+≤，故32()3c a b -≤-+≤，故323a b c a b +-≤≤++，若1c =，则5a b +≤，则(),a b 为：()()2,3,3,2，故有2种，若2c =，则17a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有10种，当3c =，则39a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5，()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，故有16种，当4c =，则511a b ≤+≤，同理有16种，当5c =，则713a b ≤+≤，同理有10种，当6c =，则915a b ≤+≤，同理有2种，共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=，故所求概率为56712015=.故答案为：715三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认为12.247≈）附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）答案见详解（2）答案见详解【解析】【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算2K，并与临界值对比分析；（2）用频率估计概率可得0.64p=，根据题意计算p+.【小问1详解】根据题意可得列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K⨯-⨯===⨯⨯⨯，因为3.841 4.6875 6.635<<，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.【小问2详解】由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为960.64 150=，用频率估计概率可得0.64p=，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，则0.50.50.5 1.650.56812.247p +=+≈+⨯≈，可知p p >+，所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.18. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【答案】（1）14(3)n n a -=⋅- （2）(21)31n n T n =-⋅+【解析】【分析】（1）利用退位法可求{}n a 的通项公式．（2）利用错位相减法可求n T .【小问1详解】当1n =时，1114434S a a ==+，解得14a =．当2n ≥时，11434n n S a --=+，所以1144433n n n n n S S a a a ---==-即13n n a a -=-，而140a =≠，故0n a ≠，故13nn a a -=-，∴数列{}n a 是以4为首项，3-为公比的等比数列，所以()143n n a -=⋅-.【小问2详解】111(1)4(3)43n n n n b n n ---=-⋅⋅⋅-=⋅,所以123n n T b b b b =++++ 0211438312343n n -=⋅+⋅+⋅++⋅ 故1233438312343nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅ 所以1212443434343n nn T n --=+⋅+⋅++⋅-⋅()1313444313n nn --=+⋅-⋅-()14233143n nn -=+⋅⋅--⋅(24)32n n =-⋅-，(21)31n n T n ∴=-⋅+.19. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点．（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求二面角F BM E --的正弦值．【答案】（1）证明见详解； （2【解析】【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，易证,,OB OD OF 三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解.【小问1详解】因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；【小问2详解】如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，为所以ABM 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，以OB 方向为x 轴，OD 方向为y 轴，OF 方向为z 轴，建立O xyz -空间直角坐标系，()0,0,3F，)()(),0,1,0,0,2,3BM E，()(),BM BF ==，()2,3BE = ，设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =，平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =，则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =113,1y z ==，即)m =，则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令2x =，得223,1y z ==-，即)1n =-，11cos ,13m n m n m n ⋅===⋅，则sin ,m n =，故二面角F BM E --20. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q，证明：AQ y ⊥轴．【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y -，结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=，故可证AQ y ⊥轴.【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b =故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=，故()()422Δ102443464120k k k=-+->，故1122k -<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++，而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故22223325252Qy y y x x --==--，所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x -⨯-⨯+-++++==--2222212824160243234025k k k k k x --+++==-，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21. 已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．（1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）极小值0，无极大值. （2）12a ≤-【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a ≤-、102a -<<、0a ≥分类讨论后可得参数的取值范围.小问1详解】当2a =-时，()(12)ln(1)f x x x x =++-，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x +'=++-=+-+++，因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,∞-+上为增函数，为【故()f x '在()1,∞-+上为增函数，而(0)0f '=，故当10x -<<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =，无极大值.【小问2详解】()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x+-=-+'+-=-+->++，设()()()1ln 1,01a x s x a x x x+=-+->+，则()()()()()()222111211111a a x a aax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+，当12a ≤-时，()0s x '>，故()s x 在()0,∞+上增函数，故()()00s x s >=，即()0f x '>，所以()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00f x f ≥=.当102a -<<时，当210a x a+<<-时，()0s x '<，故()s x 在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s <，即在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数，故在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()()00f x f <=，不合题意，舍.当0a ≥，此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立，同理可得在()0,∞+上()()00f x f <=恒成立，不合题意，舍；综上，12a ≤-.【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．为[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】（1）221y x =+ （2）34a =【解析】【分析】（1）根据cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩C 的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【小问1详解】由cos 1ρρθ=+，将cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+.法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为x y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=--=-，且()()22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，12AB s s ∴=-=2==，解得34a =.法2：联立221y x ay x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +-+-=，()22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-，则AB ==2=，解得34a =[选修4-5：不等式选讲]23. 实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥，当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+;【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=。

第4讲可能性（思维导图+知识梳理+例题精讲+易错专练）一、思维导图二、知识点梳理知识点一：事件发生的确定性与不确定性。

1、事件发生有三种情况：可能发生、不可能发生、一定发生。

2、在描述事件发生的可能性时间，先要全面分析，再进行描述。

知识点二：判断事件发生的可能性的大小。

1、事件发生的可能性的大小：事件发生的可能性的大小与个体数量的多少有关，个体在总数中所占数量越多，个体出现的可能性就越大，反之，可能性就越小。

2、可能发生的事件，可能性大小。

把几种可能的情况的份数相加做分母，单一的这种可能性做分子，就可求出相应事件发生可能性大小。

三、例题精讲考点一：事件发生的确定性和不确定性【典型一】从下面三个盒子里任意摸出一个球，按摸出的情况填“可能”、“不可能”或“一定”。

【分析】首先第一个盒子，由于全是黑球，故从盒子里任意摸出一个球一定是黑球；同理，第二个盒子中任意摸出一个球一定是白球，不可能是黑球；第三个盒子中既有黑球也有白球，故从盒子里任意摸出一个球可能是黑球也可能是白球。

【解答】解：（一定）是黑球（不可能）是黑球（可能）是黑球故答案为：一定；不可能；可能【典型二】箱子里放着10个球，任意摸一个一定是白色的，那么白色的球有（）个．A．3 B．5 C．8 D．10【分析】箱子里放着10个球，任意摸一个一定是白色的，说明箱子里全部是白球。

【解答】箱子里放着10个球，任意摸一个一定是白色的，那么白色的球有10个。

故选：D。

【典型三】写一写。

你能用“一定”、“可能”、“不可能”说一句话吗？一定：太阳一定比地球大（答案不唯一）。

可能：新冠病毒可能会变异（答案不唯一）。

不可能：人类不可能长生不老（答案不唯一）。

【分析】审题明确题意，需要结合“一定”、“可能”、“不可能”说一句话，则答案不唯一。

太阳一定比地球大（答案不唯一）；新冠病毒可能会变异（答案不唯一）；人类不可能长生不老（答案不唯一）。

【解答】解：经分析得：太阳一定比地球大（答案不唯一）；新冠病毒可能会变异（答案不唯一）；人类不可能长生不老（答案不唯一）。

卜人入州八九几市潮王学校2021年普通高等招生全国统一考试〔卷〕理科数学〔必修+选修Ⅱ〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕．．复数(2)12i i i +-等于〔〕A ．iB ．i -C ．1D ．1-2．全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，那么集合()UA B 中元素的个数为〔〕A ．1B ．2C ．3D ．4．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，假设120c b B ===，那么a 等于〔〕AB ．2 CD4．{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，那么该数列前10项和10S 等于〔〕A ．64B ．100C ．110D ．1200y m -+=与圆22220x y x +--=相切，那么实数m 等于〔〕AB．C．-D．-6．“18a =〞是“对任意的正数x ，21a x x +≥〞的〔〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件．函数3()2x f x +=，1()f x -是()f x 的反函数，假设16mn =〔m n ∈+R ，〕，那么11()()f m f n --+的值是〔〕A ．2-B ．1C ．4D ．108．双曲线22221x y a b -=〔0a >，0b >〕的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，假设2MF 垂直于x 轴，那么双曲线的离心率为〔〕ABCD．如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈，，，，，到l 的间隔分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，假设ab >，那么〔〕A ．m n θϕ>>，B ．m n θϕ><，C ．m n θϕ<<，D ．m n θϕ<>，10．实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥，≤，≤．假设目的函数z x y =-的最小值为1-，那么实数m 等于〔〕A ．7B ．5C ．4D ．3．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++〔x y ∈R ，〕，(1)2f =，那么(3)f -等于〔〕 A ．2B ．3C ．6D ．912．为进步信息在传输中的抗干扰才能，通常在原信息中按一定规那么参加相关数据组成传输信息．设定原信息为012i a a a a ，{01}∈，〔012i =，，〕，传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规那么为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=，例如原信息为111，那么传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，那么以下接收信息一定有误的是〔〕 A ．11010B ．01100C ．10111D ．00011二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分〕．．(1)1lim2n a n n a ∞++=+→，那么a =． AB a b lαβ14．长方体1111ABCD A B C D -的各顶点都在球O 的球面上，其中1::AB AD AA =A B ，两点的球面间隔记为m ，1A D ，两点的球面间隔记为n ，那么mn 的值是．．关于平面向量，，a b c ①假设ab =ac ，那么=b c ．②假设(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，那么3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，那么a 与+a b 的夹角为60．16．某地奥运火炬接力传递道路一共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．假设第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，那么不同的传递方案一共有种．〔用数字答题〕． 三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〔本大题一一共6小题，一共74分〕 ．〔本小题总分值是12分〕函数2()2sin cos 444x x xf x =-．〔Ⅰ〕求函数()f x 的最小正周期及最值；〔Ⅱ〕令π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 18．〔本小题总分值是12分〕某射击测试规那么为：每人最多射击3次，击中目的即终止射击，第i 次击中目的得1~i (123)i =，，分，3次均未击中目的得0分．某射手每次击中目的的概率为0.8，其各次射击结果互不影响． 〔Ⅰ〕求该射手恰好射击两次的概率；〔Ⅱξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．．〔本小题总分值是12分〕三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如下列图，截面为111A B C ，90BAC ∠=，1A A ⊥平面ABC，1A A =AB =，2AC =，111A C =，12BD DC =．〔Ⅰ〕证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ；A1A C1B1 BDC〔Ⅱ〕求二面角1A CC B --的大小．20．〔本小题总分值是12分〕抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M是线段AB 的中点，过M作x 轴的垂线交C 于点N ．〔Ⅰ〕证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；〔Ⅱ〕是否存在实数k 使0NA NB =，假设存在，求k 的值；假设不存在，说明理由．．〔本小题总分值是12分〕函数21()kx f x x c +=+〔0c >且1c ≠，k ∈R 〕恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x c =-． 〔Ⅰ〕求函数()f x 的另一个极值点； 〔Ⅱ〕求函数()f x 的极大值M和极小值m ，并求1Mm -≥时k 的取值范围．22．〔本小题总分值是14分〕数列{}n a 的首项135a =，1321nn n a a a +=+，12n =，，．〔Ⅰ〕求{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕证明：对任意的0x >，21121(1)3n n a x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥，12n =，，；〔Ⅲ〕证明：2121n n a a a n +++>+．2021年普通高等招生全国统一考试〔卷〕 理科数学〔必修+选修Ⅱ〕参考答案 一、1．D2．B3．D4．B5．C6．A7．A 8．B9．D10．B11．C12．C二、13．114．1215．②16．96三、17．解：〔Ⅰ〕2()sin2sin)24x xf x=+-sin22x x=+π2sin23x⎛⎫=+⎪⎝⎭．()f x∴的最小正周期2π4π12T==．当πsin123x⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，()f x获得最小值2-；当πsin123x⎛⎫+=⎪⎝⎭时，()f x获得最大值2．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知π()2sin23xf x⎛⎫=+⎪⎝⎭．又π()3g x f x⎛⎫=+⎪⎝⎭．∴1ππ()2sin233g x x⎡⎤⎛⎫=++⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin22x⎛⎫=+⎪⎝⎭2cos2x=．()2cos2cos()22x xg x g x⎛⎫-=-==⎪⎝⎭．∴函数()g x是偶函数．18．〔Ⅰ〕设该射手第i次击中目的的事件为(123)iA i=，，，那么()0.8()0.2i iP A P A==，，()()()0.20.80.16i i i iP A A P A P A==⨯=．〔Ⅱ〕ξ可能取的值是0，1，2，3．ξ的分布列为00.00810.03220.1630.8 2.752Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19．解法一：〔Ⅰ〕1A A⊥平面ABC BC⊂，平面ABC，∴1A A BC⊥．在Rt ABC△中，2AB AC BC==∴=，:1:2BD DC =，BD∴=，又BD ABAB BC==，DBA ABC∴△∽△，90ADB BAC∴∠=∠=，即AD BC⊥．又1A A AD A=，BC∴⊥平面1A AD，ξ0 1 2 3PBC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．〔Ⅱ〕如图，作1AE C C ⊥交1C C 于E 点，连接BE ，由得AB ⊥平面11ACC A ．AE ∴是BE 在面11ACC A 内的射影．由三垂线定理知1BE CC ⊥，AEB ∴∠为二面角1A CC B --的平面角．过1C 作1C F AC ⊥交AC 于F 点，那么1CFAC AF =-=，11C F A A ==，160C CF ∴∠=．在Rt AEC △中，sin 602AE AC ===．在Rt BAE △中，tan AB AEB AE ===．arctanAEB ∴∠=即二面角1A CC B --为解法二：〔Ⅰ〕如图，建立空间直角坐标系，那么11(000)0)(020)(00(01A B C A C ，，，，，，，，，，:1:2BD DC =，13BD BC∴=．D ∴点坐标为203⎫⎪⎪⎭，，． ∴2203AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭，，，1(220)(00BC AA =-=，，，．10BC AA =，0BCAD =，1BC AA ∴⊥，BC AD ⊥，又1A AAD A=，A1 AC1B1BD C FE〔第19题，解法一〕x〔第19题，解法二〕BC ∴⊥平面1A AD ，又BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．〔Ⅱ〕BA ⊥平面11ACC A ，取(200)AB ==，，m 为平面11ACC A 的法向量， 设平面11BCC B 的法向量为()l m n =，，n ，那么100BC CC ==，nn ．200m m ⎧+=⎪∴⎨-=⎪⎩，，l n m∴==，，如图，可取1m =，那么=n ，22cos (2)1<>==+，m n ，即二面角1A CC B --为．20．解法一：〔Ⅰ〕如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=，由韦达定理得122kx x +=，121x x =-，∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=，直线l 与抛物线C 相切，2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．即l AB ∥．〔Ⅱ〕假设存在实数k ，使0NANB =，那么NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=．由〔Ⅰ〕知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．MN ⊥x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=．又2212121||||1()4AB x x k x x x x =-=++-22214(1)11622k k k ⎛⎫=-⨯-=++ ⎪⎝⎭．22161168k k +∴=+，解得2k =±．即存在2k=±，使0NA NB =．解法二：〔Ⅰ〕如图，设221122(2)(2)A x x B x x ，，，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=．由韦达定理得121212kx x x x +==-，．∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．22y x =，4y x '∴=，∴抛物线在点N 处的切线l 的斜率为44kk ⨯=，l AB ∴∥．〔Ⅱ〕假设存在实数k ，使0NANB =．由〔Ⅰ〕知22221122224848k k k k NA x x NB x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，那么0=，21016k --<，23304k ∴-+=，解得2k =±．即存在2k=±，使0NA NB =．21．解：〔Ⅰ〕222222()2(1)2()()()k x c x kx kx x ckf x x c x c +-+--+'==++，由题意知()0f c '-=，即得220c k c ck --=，〔*〕0c ≠，0k ∴≠．由()0f x '=得220kx x ck --+=，由韦达定理知另一个极值点为1x =〔或者2x c k =-〕．〔Ⅱ〕由〔*〕式得21k c =-，即21c k =+．当1c>时，0k >；当01c <<时，2k <-．〔i 〕当0k>时，()f x 在()c -∞-，和(1)+∞，内是减函数，在(1)c -，内是增函数． 1(1)012k k M f c +∴===>+，221()02(2)kc k m f c c c k -+-=-==<++，由2122(2)k k M m k -=++≥及0k >，解得k ≥〔ii 〕当2k<-时，()f x 在()c -∞-，和(1)+∞，内是增函数，在(1)c -，内是减函数． 2()02(2)k M f c k -∴=-=>+，(1)02k m f ==< 22(1)1112(2)22k k k M m k k -++-=-=-++≥恒成立．综上可知，所求k 的取值范围为(2)[2)-∞-+∞，，．22．解法一：〔Ⅰ〕1321n n n a a a +=+，112133n na a +∴=+，1111113n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，又1213na -=，11n a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭是以23为首项，13为公比的等比数列． ∴112121333n nna --==，332nn na ∴=+．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知3032nn n a =>+，2111n nn a a a x ⎛⎫=--+ ⎪+⎝⎭n a ≤，∴原不等式成立． 〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知，对任意的0x>，有2212221(1)333n n nx x x ⎛⎫=-+++- ⎪++⎝⎭．∴取22111222113311333313n n n x n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，那么2212111111133n nn n n n a a a n n n +++=>+⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭≥．∴原不等式成立．解法二：〔Ⅰ〕同解法一．〔Ⅱ〕设2112()1(1)3n f x x x x ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭，那么222222(1)2(1)2133()(1)(1)(1)n n x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=--=+++0x >，∴当23nx <时，()0f x '>；当23nx >时，()0f x '<，∴当23nx =时，()f x 获得最大值212313nn n f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭+．∴原不等式成立．〔Ⅲ〕同解法一． B 卷选择题答案：1．D2．C3．A4．B5．C6．A7．D 8．C9．C10．B11．B12．D。

卜人入州八九几市潮王学校2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔卷，解析〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求的〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分〕.1.集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，那么M N =〔C 〕〔A 〕(1,2)〔B 〕[1,2)〔C 〕(1,2]〔D 〕[1,2]2.以下函数中，既是奇函数又是增函数的为〔D 〕〔A 〕1y x =+〔B 〕3y x =-〔C 〕1y x =〔D 〕||y x x = 3.设,a b R ∈，i 是虚数单位，那么“0ab =〞是“复数b a i +为纯虚数〞的〔B 〕 〔A 〕充分不必要条件〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充分必要条件〔D 〕既不充分也不必要条件【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数即〔45+47〕/2=46极差为68-12=56.所以选A.【答案】A【考点定位】此题主要考察样本数据特征的概念，要正确的理解样本数据特征的概念以及争取的用来估计总体。

4.圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，那么〔A 〕〔A 〕l 与C 相交〔B 〕l 与C 相切〔C 〕l 与C 相离〔D 〕以上三个选项均有可能5.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，那么直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为〔A 〕〔A 〕55〔B 〕53〔C 〕255〔D 〕356.从甲乙两个城分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进展统计，统计数据用茎叶图表示〔如下列图〕，设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，那么〔B 〕 〔A 〕x x <甲乙，m 甲>m 乙 〔B 〕x x <甲乙，m 甲<m 乙 〔C 〕x x >甲乙，m 甲>m 乙 〔D 〕x x >甲乙，m 甲<m 乙 7.设函数()x f x xe =，那么〔D 〕〔A 〕1x =为()f x 的极大值点〔B 〕1x =为()f x 的极小值点〔C 〕1x =-为()f x 的极大值点〔D 〕1x =-为()f x 的极小值点 8.两人进展乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，那么所有可能出现的情形〔各人输赢局次的不同视为不同情形〕一共有〔C 〕〔A 〕10种〔B 〕15种〔C 〕20种〔D 〕30种9.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，假设2222a b c +=，那么cos C 的最小值为〔C 〕 〔A 〕32〔B 〕22〔C 〕12〔D 〕12- 10.右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，那么图中空白框内应填入〔D 〕〔A 〕1000N P =〔B 〕41000N P = 〔C 〕1000M P = 〔D 〕41000M P = 【解析】由循环体可知结果41000M P =【考点定位】此题主要考察算法的根本思想和功能以及构造。

第一部分 (共 50 分 )一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求（本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1. 设全集为 R, 函数 f ( x) 1 x2 的定义域为 M, 则 C R M 为(A) [ － 1,1] (B) ( － 1,1) (C) ( , 1] [1, ) (D) ( ,1) (1, )【答案】 D【分析】 f ( x) 的定义域为 M=[-1,1], 故 C R M= ( , 1) (1, ),选D2. 依据以下算法语句 , 当输入 x 为60 时, 输出 y 输入 xIf x≤ 50 Then的值为(A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61y=0.5 * x【答案】 C Else3.设 a, b 为向量 , 则“|a·b| | a ||b | ”是“a//b”的y=25+0.6*( x-50)(A) 充足不用要条件(B) 必需不充足条件End If输出 y(C) (D)充足必需条件既不充足也不用要条件【答案】 A 【分析】4. 某单位有 840 名员工 , 现采纳系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷检查 , 将 840人按 1,2, , 840 随机编号 , 则抽取的42 人中 , 编号落入区间 [481, 720] 的人数为(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14【答案】 B【分析】由题设可知区间[481 ， 720] 长度为240，落在区间内的人数为12 人。

5. 如图, 在矩形地区 ABCD 的 A, C 两点处各有一个通 D F C信基站 , 假定其信号覆盖范围分别是扇形地区ADE 和扇形地区CBF ( 该矩形地区内无其余信号根源,基站工1作正常 ). 若在该矩形地区内随机地选一地址, 则该地 E点无信号的概率是．(A) 1 (B) 1(C)22 (D)4 2 4A2 B【答案】 A 【分析】由题设可知矩形ABCD 面积为 2，曲边形 DEBF 的面积为 2 故所222 1，选A.求概率为2 46.设 z1, z2是复数 , 则以下命题中的假命题是(A) 若 | z1 z2 | 0 , 则 z1 z2 (B) 若 z1 z2 , 则 z1 z2| z z | z ·z z ·z | z | | z |2 2(C) 若(D) 若, 则 z1 z21 2,则11 2 2 1 2【答案】 D【解析】设 z1 a bi , z2 c di , 若 | z1 z2 | 0 ，则 | z1 z2 | (a c) (b d )i ，a c,b d ，因此 z 1 z 2 ，故 A 项正确；若 z 1 z 2 ，则 a c, b d ，因此 z 1 z 2 ，故B 项正确；若 | z 1 | | z 2 |，则 a 2 b 2 c 2 d 2 ，因此 z 1 .z 1 z 2.z 2 ，故C 项正确；7. 设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cosCc cos B asin A , 则△ ABC 的形状为(A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确立【答案】 B【分析】因为 b cosC ccos Ba sin A ，因此由正弦定理得 sin B cosC sin C cos B sin 2 A ，因此 sin( B C)sin 2 A ，因此 sin Asin 2 A ,因此 sin A 1，因此 △ABC 是直角三角形。

2021年高考数学试题〔理〕创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日一．选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，那么M N =〔 〕.[0,1]A .[0,1)B .(0,1]C .(0,1)D()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是〔 〕.2A π.B π .2C π .4D π1(2)x x e dx +⎰的值是〔 〕.2Ae + .1B e + .C e .1D e -4.根据右边框图，对大于2的整数N ，输出数列的通项公式是〔 〕.2n A a n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=5.底面边长为12为〔 〕32.3A π .4B π .2C π 4.3D π6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，那么这2个点的间隔 不小于该正方形边长的概率为〔 〕1.5A2.5B3.5C4.5D 7.以下函数中，满足“()()()f x y f x f y +=〞的单调递增函数是〔 〕〔A 〕()12f x x = 〔B 〕()3f x x = 〔C 〕()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭〔D 〕()3x f x =“假设12,z z 互为一共轭复数，那么12z z =〞，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的选项是〔 〕〔A 〕真，假，真 〔B 〕假，假，真 〔C 〕真，真，假 〔D 〕假，假，假 设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，假设i i y x a =+〔a 为非零常数，1,2,,10i =〕，那么12,10,y y y 的均值和方差分别为〔 〕1+,4a 〔B 〕1,4a a ++ 〔C 〕1,4 〔D 〕1,4+a10.如图，某飞行器在4千米高空程度飞行，从距着陆点A 的程度间隔 10千米处下降，下降飞行轨迹为某三次函数图像的一局部，那么函数的解析式为〔 〕3131255y x x =- 〔B 〕3241255y x x =-〔C 〕33125y x x =- 〔D 〕3311255y x x =-+ 第二局部〔一共100分〕填空题：把答案填写上在答题卡相应题号后的横线上〔本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分〕.,lg ,24a x a ==那么x =________.假设圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，那么圆C 的HY 方程为_______. 13. 设20πθ<<，向量()()sin 2cos cos 1a b θθθ==，，，，假设b a //，那么=θtan _______.14. 观察分析下表中的数据：多面体 面数〔F 〕 顶点数〔V ) 棱数〔E ) 三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812猜测一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________.15.〔考生注意：请在以下三题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题评分〕.A (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，那么22m n +的最小值为.B 〔几何证明选做题〕如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC 于点,E F ，假设2AC AE =,那么EF =.C 〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的间隔是三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〔本大题一一共6小题，一共75分〕16. 〔本小题满分是12分〕ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. 〔I 〕假设c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； 〔II 〕假设c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值. 〔本小题满分是12分〕四面体ABCD 及其三视图如下图，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分 别交四面体的棱CA DC BD ，，于点H G F ，，.〔I 〕证明：四边形EFGH 是矩形；〔II 〕求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值.18.〔本小题满分是12分〕在直角坐标系xOy 中，点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的 区域〔含边界〕上〔1〕假设0=++PC PB PA OP ；〔2〕设),(R n m AC n AB m OP ∈+=，用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值. 19.〔本小题满分是12分〕在一块耕地上种植一种作物，每季种植本钱为1000元，此作物的场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其详细情况如下表：〔1〕设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；〔2〕假设在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元的概率.〔本小题满分是13分〕如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b+=>>≥和局部抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公一共点为,A B ，其中1C 的离心率为32. 求,a b 的值；过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q 〔均异于点,A B 〕，假设AP AQ ⊥，求直线l 的方程.21.〔本小题满分是14分〕 设函数()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈，求()n g x 的表达式；假设()()f x ag x ≥恒成立，务实数a 的取值范围；〔3〕设n N +∈，比拟(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明.参考答案：一、1～5 BBCCD 6～10 CDBAA11、10 12、22(1)1x y +-= 13、1214、F+V -E=2 15、5、3 、1 16.17.18.19.20.21.创作人：历恰面日期：2020年1月1日创作人：历恰面日期：2020年1月1日创作人：历恰面日期：2020年1月1日。