精讲精练第讲函数概念与表示

18.1 函数的概念1、函数的相关概念在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y,如果在变量x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，那么变量y 叫做变量x 的函数 ，x 叫做自变量 。

要点：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t =，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量. 2、函数的定义域与函数值①定义域：函数的自变量的允许取值的范围（简称自变量的取值范围）。

常见函数的定义域：（1）函数解析式为整式时，定义域为一切实数；（2）函数解析式为分式时，定义域是使分母不等于0的实数；（3）函数解析式是无理式时，偶次根式的被开方数必须是非负数；奇次根式的定义域为一切实数 （4）在实际生活中有意义。

②函数记号与函数值：函数记号：y 是x 的函数用记号y=f （x ）表示；函数值：在函数记号y=f （x ）表示时，f （a ）表示当x=a 时的函数值。

题型1：变量与常量1．刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的变量是（ ）．A ．金额B ．单价C ．数量D ．金额和数量D【分析】根据常量与变量的定义即可判断． 解：常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， 故选：D ．【点睛】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．2．下列关于圆的周长C 与半径r 之间的关系式2C r π=中，说法正确的是（ ）A ．C 、r 是变量，π是常量B ．r 、π是变量，2是常量C ．C 、r 是变量，2是常量D ．C 、r 是变量，2π是常量D【分析】根据变量和常量的定义判断即可．解：关于圆的周长C 与半径r 之间的关系式2C r π=中，C 、r 是变量，2π是常量． 故选：D ．【点睛】本题考查了变量和常量的定义，解题关键是明确变量和常量的定义，注意：π是常量．3．假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量的个数是( )①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个C解：变量有：②行驶时间、③行驶路程、④汽车油箱中的剩余油量．共3个． 故选C ．【点睛】本题考查变量的概念，变量是指变化的量．题型2：函数的定义（从1.变量之间的关系；2.函数解析式；3.函数图像判断）4．下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ） A ．长方形的宽一定，其长与面积 B ．正方形的周长与面积C ．等腰三角形的底边与面积D ．速度一定时，行驶的路程与时间C【分析】在一个变化过程中，存在两个变量,,x y 对于变量x 的每一个值，变量y 都有唯一的值与之对应，我们就说：y 是x 的函数，根据函数的定义逐一判断即可得到答案. 解：长方形的宽一定，其长与面积，符合函数定义，故A 不符合题意； 正方形的周长与面积，符合函数定义，故B 不符合题意；等腰三角形的底边与面积，在这个变化过程中，还有底边上的高是变量，所以不符合函数定义，故C 符合题意；速度一定时，行驶的路程与时间，符合函数定义，故D 不符合题意； 故选：.C【点睛】本题考查的是函数的定义，掌握“函数的定义判断变量之间是不是函数关系”是解题的关键. 5．给出下列式子：①35y x =-；②1y x=；③y =x+z ；④2y x =；⑤2y x ．其中y 是x 的函数的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个B【分析】根据以下特征进行判断即可：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应． ①35y x =-，y 是x 的函数； ②1y x=，y 是x 的函数；③中有x ，y ，z 三个变量，因此不能说y 是x 的函数；④中当x 取任一正数值时，有两个y 值与之对应，故y 不是x 的函数． ⑤2yx ，y 是x 的函数.故选B ．【点睛】本题主要考查的是函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键． 6．下列图象中，表示y 是x 的函数的个数有（ ）A ．1个B ．2个 C ．3个 D ．4个B【分析】根据函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫做自变量，据此判断即可． 解：属于函数的有故y 是x 的函数的个数有2个，故选：B ．【点睛】本题考查了函数的定义，熟记定义是本题的关键．题型3：函数的解析式7．半径2的扇形，设圆心角为n ，则面积S 关于圆心角n 的函数解析式是 ___________________．8．某种货物的进价是每件5元，售出时的标价是每件5.8元，那么获得的利润y （元）与售出的数量x （件）之间的函数关系式是__________．0.8y x =【分析】根据获得的利润等于与每件的获得的利润乘以售出的数量，即可求解．解：获得的利润y （元）与售出的数量x （件）之间的函数关系式是()5.850.8y x x =-= ． 故答案为：0.8y x =．【点睛】本题主要考查了列函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．9．在登山过程中，海拔每升高 1 千米气温下降 6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是 9℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高 x 千米时，所在位置的气温是 y ，那么y 关于x 的函数解析式是_______．69y x =-+【分析】根据登山队大本营所在地的气温是 9℃，海拔每升高 1 千米气温下降 6℃，可求出y 与x 的关系式．解：由题意得y 与x 之间的函数关系式为：69y x =-+； 故答案为：69y x =-+．【点睛】本题考查根据实际问题列一次函数式，关键知道气温随着高度变化，某处的低温=底面气温－降低的气温．题型4：函数的定义域10．函数()f x _________.【点睛】本题考查了函数的定义域问题、二次根式的被开方数大于或等于0的性质，掌握二次根式的被开方数大于或等于0是解答本题的关键． 11．函数y =的定义域是________． 5x >【分析】根据分母是二次根式，则要求被开方数为正数，即可求得函数的定义域．解：由题意知：50x -> ∴5x > 故答案为：5x >【点睛】本题考查了求函数的自变量的取值范围即函数的定义域，一般考虑两个方面：一是分母不为零；二是二次根式非负．12．下列函数的定义域为2x ≤的是（ ）A ．32y x =+ B ．5x y x =-C ．y =D ．y =13．函数y _____________1x ≥-【分析】根据二次根式有意义的条件，可列出关于x 的不等式组，解出x 即可．解不等式②可用整体010+≥①②，10610x ++≥变形为9610x +++≥中，14．已知函数26y x =-，当3x =时，y =_______；当19y =时，x =_______． 3 5±【分析】分别将3x =和19y =代入解析式，即可求解．解：当3x =时，2363=-=y ； 当19y =时，2196x =- ，解得：5x =± ． 故答案为：3；5± ．【点睛】本题主要考查了求函数的自变量和函数值，解题的关键是理解并掌握当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个． 15．已知函数1my x =+，当2x =时，函数值为3，则m 的值是_________． 已知函数故答案为：9．【点睛】本题考查了函数的表达式，代入求值是解题的关键． 16．x=___________时，函数y=3x-2与函数y=5x+1有相同的函数值．17．已知函数()f x =()3f =_______． 函数【点睛】本题考查了函数值的求法，熟练掌握知识点是解题的关键．18．已知()221f x x =-，则(f =______．19．已知3()21f x x =-，且f （a ）＝15，那么a 的值是________． 2【分析】将函数值代入解析式求出a 即可． 解：由题意得：3()2115f a a =-=，故答案为：2．【点睛】本题考查了已知函数值求自变量，是基础题，直接代入计算即可．题型7：函数的有关概念综合题20．下表是某报纸公布的世界人口数据情况：表中的变量（ ）A ．仅有一个，是时间（年份）B ．仅有一个，是人口数C ．有两个，一个是人口数，另一个是时间（年份）D ．一个也没有C【分析】根据变量的定义直接判断即可． 解；观察表格，时间在变，人口在变，故C 正确； 故选：C ．【点睛】本题考查了变量的定义，解题关键是明确变量的定义，能够正确判断．21．弹簧挂重物会伸长，测得弹簧长度()y cm 最长为20cm ，与所挂物体重量()x kg 间有下面的关系．下列说法不正确的是（ ）A ．x 与y 都是变量，x 是自变量，y 是因变量B ．所挂物体为6kg ，弹簧长度为11cmC ．物体每增加1kg ，弹簧长度就增加0.5cmD ．挂30kg 物体时一定比原长增加15cm D【分析】弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，由表格数据可知物体每增加1kg ，弹簧长度就增加0.5cm ，可以计算当所挂物体为6kg 或30kg 时弹簧的长度，但应注意弹簧的最大长度为20cm ．解：A ．因为弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，所以x 是自变量，y 是因变量．故本选项正确； B ．当所挂物体为6kg 时，弹簧的长度为80.5611cm +⨯=．故本选项正确；C ．从表格数据中分析可知，物体每增加1kg ，弹簧长度就增加0.5cm ．故本选项正确；D ．当所挂物体为30kg 时，弹簧长度为80.5302320cm cm +⨯=>．故本选项不正确．故选：D【点睛】本题考查了变量、自变量、因变量的概念，认真审题能从题目中抽取出有效信息是解题的关键．题型8：从图像判断信息22．如图表示的是某种摩托车的油箱中剩余量y（升）与摩托车行驶路程x（千米）之间的关系．由图象可知，摩托车最多装__升油，可供摩托车行驶___千米，每行驶100千米耗油___升．10 500 2【分析】根据图象可知，当x=0时，对应y的数值就是摩托车最多装多少升油，当y=0时，x的值就是摩托车行驶的千米数；根据摩托车油箱可储油10升，可以行驶500km即可得出每行驶100千米消耗汽油升数．解：由图象可知，摩托车最多装10升油，可供摩托车行驶500千米，每行驶100千米耗油2升．故答案为：10，500，2．【点睛】此题主要考查了利用函数图象解决问题，从图象上获取正确的信息是解题关键．23．如图，甲，乙两人在一次赛跑中的路程（m）与时间（s）的关系图象，则：①甲，乙两人中先到达终点的是______；②乙在这次赛跑中的速度为______m/s．甲8【分析】①根据函数点的横纵坐标的含义可得答案；②由乙在这次赛跑中100米用时12.5秒可得答案．解：①根据图象可得甲跑完全程用12s，乙用12.5s，所以先到终点的是甲，故答案为：甲；②100÷12.5=8（m/s），故答案为：8．【点睛】本题考查了函数图象，正确理解坐标系的横纵坐标的意义是解决本题的关键．24．王阿姨从家出发，去超市交水电费．返回途中，遇到邻居交谈了一会儿再回到家，如图所示的图像是王阿姨离开家的时间t（分）和离家距离S（米）的函数图像．则王阿姨在整个过程中走得最快的速度是______米/分．100【分析】根据题意，分别求出每一段路程的速度，然后进行判断，即可得到答案．解：根据题意，0~15分的速度：160800153÷=；25分~35分的速度：(800500)1030-÷=；45分~50分的速度：5005100÷=；∵160301003<<，∴王阿姨在整个过程中走得最快的速度是100米/分；故答案为：100．【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象解决相应的问题．25．在雨地里放置一个无盖的容器，如果雨水均匀地落入容器，容器内水面高度h与时间t的函数图象如图所示，那么这个容器的形状可能是（）A．B．C．D．C【分析】根据图象得到高度随时间的增大，高度增加的速度，即可判断．根据图象可以得到：杯中水的高度h随注水时间t的增大而增大，而增加的速度越来越小．则杯子应该是越向上开口越大．故杯子的形状可能是C．故选：C．【点睛】本题考查了函数的图象，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．题型9：分段函数26．已知函数2,0122,1x xyx x⎧≤<=⎨-≥⎩，若2y=，则x=_________．2【分析】根据y值可确定x的取值范围，根据x的取值范围结合函数关系式列方程求出x的值即可得答案．∵0≤x＜1时，0≤x2＜1，2,0122,1x xyx x⎧≤<=⎨-≥⎩，∴y=2时，x≥1，∴2x-2=2，解得：x=2，故答案为：2【点睛】本题考查函数值，根据y值结合各函数关系式得出对应的x的取值范围是解题关键．题型10：拓展-函数映射思想27．下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（）A．B．C．D．D解：A、对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数，此项不符题意；B、对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数，此项不符题意；C、对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数，此项不符题意；D、当3x=时，有两个y的值与其对应，所以y不是x的函数，此项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了函数，熟记函数的定义（一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数）是解题关键．一、单选题1．设路程为s（km），速度为v（km/h），时间为t（h）．当50s=时50,tv=在这个函数关系式中（）A．路程是常量，t是s的函数B．路程是常量，t是v的函数C．时间是常量，v是t的函数D．速度是常量，t是v的函数B【分析】函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数，结合选项即可作出判断．在50,tv=中，速度和时间是变量，路程s是常量，t是v的函数故选：B．【点睛】本题考查了函数解析式的定义，掌握函数解析式的定义是解题的关键．2．以等腰三角形底角的度数x（单位：度）为自变量，顶角的度数y为因变量的函数关系式为（）A．y=180﹣2x（0＜x＜90）B．y=180﹣2x（0＜x≤90）C．y=180﹣2x（0≤x＜90）D．y=180﹣2x（0≤x≤90）A【分析】根据三角形内角和定理得2x+y=180，然后变形就可以求出y与x的函数解析式．解：y=180﹣2x，∵21800xx-+>⎧⎨>⎩，∵x为底角度数，∴0＜x＜90．故选A．【点睛】本题考查函数关系式，解决本题的关键是利用三角形内角和定理求一次函数的解析式．3．下列图像中表示y是x的函数的有几个（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个A【分析】函数就是在一个变化过程中有两个变量x ，y ，当给定一个x 的值时，y 由唯一的值与之对应，则称y 是x 的函数，x 是自变量，注意“y 有唯一性”是判断函数的关键．解：根据函数的定义，每给定自变量x 一个值都有唯一的函数值y 与之相对应，故第2个图符合题意，其它均不符合，故选：A ．【点睛】本题考查函数图象的识别，判断方法：做垂直x 轴的直线在左右平移的过程中，与函数图象只会有一个交点．4．某商贩卖某种水果，出售时在进价的基础上加上一定的利润，其销售数量x 与售价y 的关系如下表，王阿姨想买这种水果6千克，她应付款（ ） 销售数量x （千克）1 2 3 4 5 … 售价y （元）40.5+ 8 1.0+ 12 1.5+ 16 2.0+ 20 2.5+ …A ．27元B ．24元C ．7元D ．26.5元A【分析】根据表格，推导出y 与x 的关系式，然后将x=6代入关系式即可求出结论．解：∵40.5+=1410.5⨯+⨯8 1.0+=2420.5⨯+⨯12 1.5+=3430.5⨯+⨯16 2.0+=4440.5⨯+⨯ 20 2.5+=5450.5⨯+⨯∴y=40.5 4.5x x x +=将x=6代入，得y=4.5627⨯=故选A ．【点睛】此题考查的是函数的应用，根据表格数据，求出函数关系式是解题关键．5．甲、乙二人沿相同的路线由A 到B 匀速行进，A ，B 两地间的路程为20km ．他们行进的路程(km)s 与甲出发后的时间t （h ）之间的函数图象如图所示．根据图中信息，下列说法中，不正确．．．的是（ ）A ．甲的速度是5km/h ；B ．乙的速度是10km/hC ．乙比甲晚出发1hD ．从A 到B ，甲比乙多用了1h D 【分析】由图可得，该图象是路程与时间的关系，乙比甲晚出发一小时且乙的速度比甲的速度快． 解：从图象可知甲乙两人均行驶了20千米，用时分别为4小时和2小时，从而得到甲、乙的速度分别为5km/h 和10km/h ，故A 、B 正确，D 错误；从图象可知乙比甲晚出发1小时，故C 正确；故选：D ．【点睛】此题主要考查了函数的图象，重点考查学生的读图获取信息的能力，要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．6．设函数()()1f x x x =-，以下结论正确的是（ ）.A ．()()0f a f a +-=B ．若()f a a =，则0a =C ．()()1f a f a -=D ．()()1f a f a =- D【分析】()f x 中x 即自变量，把自变量的值代入解析式计算，然后进行判断即可．f (a )+f (−a )=a (a −1)−a (−a −1)=2a 2，A 不正确；f (a )=a ,即a (a −1)=a ，即a (a −2)=0，则a =0或2，B 不正确；f (a )f (-a )=a (a −1)×[−a (−a −1)]= a4- a2，C 不正确；f (a )= a (a −1),f (1−a )=(1-a )(1-a -1)=(1-a )(-a )= a (a −1)，D 正确，故选D.【点睛】本题考查求函数值，在本题中代入自变量时需注意当自变量为-a或1-a时需将-a或1-a看成一个整体，去替换关系式中的x.还需注意化简时的符号问题.7．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是6和2，输出的y值相等，则b等于（）A．5B．10C．7D．10-D【分析】把x=6与x=2代入程序中计算，根据y值相等即可求出b的值．当x6=时，y=-x6=-，当x2=时，y=2x+b22b4b=⨯+=+，由题意得：4b6+=-，解得：b10=-．故选：D．【点睛】本题主要考查了函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．8．若函数23(2)3(2)x xyx x⎧-≤=⎨>⎩，则当函数值9y=时，自变量的值是（）A．23±B．3 C．3± 3 D．23- 3D【分析】将y=9代入函数解析式中，求出x值，此题得解．解：当y=x2-3=9，解得：x=-23或x=23（舍去）；当y=3x=9，解得：x=3．故选D．【点睛】本题考查了函数值，将y=9代入函数中求出x值是解题的关键．9．如图，一只蚂蚁从О点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时，蚂蚁与О点的距离为,s 则s 关于t 的函数图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ． B【分析】根据蚂蚁在半径OA 、AB 和半径OB 上运动时，判断随着时间的变化s 的变化情况，即可得出结论．解：一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行，在开始时经过半径OA 这一段，蚂蚁到O 点的距离随运动时间t 的增大而增大；到AB 这一段，蚂蚁到O 点的距离S 不变，图象是与x 轴平行的线段；走另一条半径OB 时，S 随t 的增大而减小；故选：B ．【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，根据随着时间的变化，到AB 这一段，蚂蚁到O 点的距离S 不变，得到图象的特点是解决本题的关键．10．函数[]y x =叫做高斯函数，其中x 为任意实数，[]x 表示不超过x 的最大整数．定义{}[]x x x =-，则下列说法正确的个数为( )①[ 4.1]4-=-；②{3.5}0.5=；③高斯函数[]y x =中，当3y =-时，x 的取值范围是32x -≤<-；④函数{}y x =中，当2.5 3.5x <≤时，01y ≤<．A ．0B ．1C ．2D ．3D【分析】根据[]x 表示不超过x 的最大整数，即可解答．解：①[ 4.1]5-=-，故原说法错误；②{3.5} 3.5[3.5] 3.530.5=-=-=，正确，符合题意；③高斯函数[]y x =中，当3y =-时，x 的取值范围是32x -≤<-，正确，符合题意；④函数{}y x =中，当2.5 3.5x <≤时，01y ≤<，正确，符合题意；所以，正确的结论有3个．故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确[]x 表示不超过x 的最大整数．二、填空题11．当圆的半径r 由小变大时，它的面积S 也越来越大，它们之间的变化关系为2πS r =，在这个变化过程中，自变量为______，因变量为______，常量为______.r S π【分析】根据常量、变量的概念，通过对圆的面积公式中的各个量进行分析，即可确定答案. ∵圆的半径r 由小变大时，它的面积S 也越来越大，∴自变量是圆的半径r ，因变量是圆的面积S ，常量是π.故答案为r ，S ，π. 【点睛】本题考查变量与常量. 常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量. 自变量就是本身发生变化的量,因变量就是由于自变量发生变化而引起变化的量.12．在面积为120m²的长方形中，它的长y （m ）与宽x （m ）的函数解析式是______.120xy ，进而变形即可得120xy， 120x=. 【点睛】本题考查用关系式法表示变量之间的关系. 能利用矩形的面积公式中的等量关系列出关系式是解决此题的关键.13．已知2()1x f x x -=- ，则f =_________．【点睛】本题主要考查求函数值的知识，关键是根据题意把自变量代入函数表达式求解即可．14．已知函数()f x =()3f =_______． 函数【分析】由分式与二次根式有意义的条件可得10,10x x ①②再解不等式组即可得到答案10,10x x ①②由由②得：1,x ≠所以函数1y =【点睛】本题考查的是二次函数的自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，掌握“分式与二次根式有意义的条件”是解本题的关键.16．油箱中有油60升，油从管道中匀速流出，一小时流完，则油箱中剩余油量Q （升）与流出时间t （分钟）之间的函数关系为________________________ ， 定义域为_____________ ，当Q=10升时， t=___________60Q t =- 060t ≤≤ 50【分析】根据“剩余油量=总油量－用去的油量”建立函数关系式，再代入求值即可．由题意可得，油从管道中流出的流速是每分钟1升，∴60Q t =-，∵一小时流完，∴定义域为060t ≤≤，将Q=10代入60Q t =-得，10=60－t ，解得：t =50．故答案为：60Q t =-；060t ≤≤；50．【点睛】本题考查了函数关系式，掌握实际问题中关系式的求法是解题的关键．17．将231a b -=写成用a 的代数式表示b 的形式为______，那么______是______的函数，______是自变量. 2133b a =-b a a 【分析】根据等式的性质将等式表示成左边为b 右边为含a 的代数式的形式即可，根据函数的定义填写后面三个空.解：∵231a b -=移项可得：321b a -=-+将b 的系数化为1得：2133b a =-. 根据函数的定义b 是a 的函数，a 是自变量，b 是因变量故四个空依次填：2133b a =-，b ，a ，a. 【点睛】等式的性质和函数的定义.在用a 的代数式表示b 时可将a 看成已知数，b 看成未知数，解b 的方程即可，理解函数的定义也是解决本题的关键.18．用黑、白两种颜色的正六边形地板砖镶嵌成若干图案（如图），则第n 个图案中白色地板砖的总块数N （块）与n 之间的关系式是________，其中常量是________，变量是________． 42N n =+ 2，4 N ，n【分析】根据图形所呈现的规律得出白色地板砖的总块数N （块）与n 之间的关系式，再确定自变量、因变量．由图①可得：N =1×6－（1－1）×2＝6； 由图②可得：N =2╳6-（2-1）╳2=10；由图③可得：N =3╳6-（3-1）╳2=14；由上可得图形规律为：N =6n -2（n -1）=4n +2，常量为4，2；变量为白色地板砖的总块数N 与n ， 故答案为：N =4n +2；4，2；白色地板砖的总块数N 与n ．【点睛】考查常量与变量以及图形的变化类，解题关键是发现图形所呈现的规律．三、解答题19．下列式子中的y 是x 的函数吗？为什么？（1）35y x =-； （2）21x y x -=-； （3）y = 请再举出一些函数的例子．20．下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式．（1）改变正方形的边长x ，正方形的面积S 随之改变．（2）每分向一水池注水30.1m ，注水量y （单位：3m ）随注水时间x （单位：min ）的变化而变化．（3）秀水村的耕地面积是6210m ，这个村人均占有耕地面积y （单位；2m ）随这个村人数n 的变化而变化．（4）水池中有水10L ，此后每小时漏水0.05L ，水池中的水量V （单位：L ）随时间t （单位：h ）的变化而变化．21．小明准备买a 本练习本，已知练习本的单价为3元.（1）写出小明所花的钱数y （元）与本数a （本）之间的表达式； （2）当6a =时，求y 的值. （1）3y a =；（2）18【分析】（1）根据每本练习本的价格及练习本的数量得出关系式即可； （2）再把a =6代入求出y 的值即可.(1)小明所花的钱数y (元)与本数a (本)之间的关系式y =3a ； (2)当a =6时，y=3×6=18.答：(1)小明所花的钱数y (元)与本数a (本)之间的关系式，y=3a ； (2)当a =6时，y 的值为18.【点睛】本题考查正比例函数，熟练掌握正比例函数的应用是解题的关键.在本题中一定要清楚总价=单价×数量.22．在烧开水时，水温达到100℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？ （3）时间推移2分钟，水的温度如何变化？（4）时间为8分钟时，水的温度为多少？你能得出时间为9分钟时，水的温度吗？（1）上表反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量；（2）水的温度随着时间的增加而增加，到100℃时恒定；（3）时间推移2分钟，水的温度增加14℃，到10分钟时恒定；（4）时间为23．已知x 与y 有如下关系：2x y =-. （1）把它改成()y f x =的形式；（2）求f的值.24．已知()()234,53f x x x g x x =+=-，求：（1）()()f x g x + （2）(1)(2)f g -+ （1）2483x x +-；（2）8【分析】（1）通过合并同类项，即可完成求解；（2）通过(1)f -和(2)g 分别计算后再相加，从而完成求解．（1）()22()3453483f x g x x x x x x +=++-=+-（2）2(1)3(1)4(1)341f -=⨯-+⨯-=-+= (2)5237g =⨯-=∴(1)(2)178f g -+=+=．【点睛】本题考查了求函数值、合并同类项的知识；求解的关键是函数值的方法和合并同类项的性质，从而完成求解．25．下图是某物体的抛射曲线图，其中s 表示物体与抛射点之间的水平距离，h 表示物体的高度．（1）这个图象反映了哪两个变量之间的关系？ （2）根据图象填表：/m s0 1 2 3 4 5 6 /m h（3）当距离s 取0~6m 之间的一个确定的值时，相应的高度h 确定吗？ （4）高度h 可以看成距离s 的函数吗？（1）反映了拋射距离s 与高度h 之间的关系；（2）2.0，2.5，2.65，2.5，2.0，1.2，0；（3）确定；（4）可以【分析】（1）根据变量的定义，即可求解； （2）根据图象填表即可；（3）根据这一范围内对于任一个距离s ，对应的函数值高度h 是唯一的，即可得到相应的高度h 是确定的； （4）根据函数的定义，即可求解．解：（1）根据题意得：这个图象反映了高度h与拋射水平距离s之间的关系；（2）根据图象填表如下：/ms0 1 2 3 4 5 6/mh 2.0 2.5 2.65 2.5 2.0 1.2 0（3）当距离s取0~6m之间的一个确定的值时，相应的高度h是确定的，理由如下：因为这一范围内对于任一个距离s，对应的函数值高度h是唯一的，所以相应的高度h是确定的；（4）∵高度h随距离s的变化而变化，并且对于任一个距离s，对应的函数值高度h是唯一的，∴高度h可以看成距离s的函数．【点睛】本题主要考查了函数与变量，熟练掌握设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量是解题的关键．26．如图是一辆慢车与一辆快车沿相同路线从A地到B地所行的路程与时间之间的函数图像. 请根据图像，回答下列问题：（1）慢车比快车早出发______h，快车追上慢车时行驶了______km，快车比慢车早______h到达B地；（2）求A、B两地的距离.（1）2、276、4；（2）A、B两地的距离为828km.【分析】(1)图像中横轴表示时间，纵轴表示路程，根据快、慢车的函数图象即可得出结果；(2)设快车与慢车相遇时，快车用了t小时，则慢车用了t+2小时，据此可用含t的代数式表示它们的速度，根据到达目的地时，快车的路程=慢车的路程列出方程，解方程可求出t，从而可求出快车的速度，进而求出A、B两地的距离.（1）慢车的图象是从原点开始的，快车的图象是从x=2开始的所以慢车比快车早出发2h；两图象相交时，y=276，故快车追上慢车时行驶了276km；当x=14时快车到达，当x=18时慢车到达，故快车比慢车早4h到达B地.所以填2、276、4.（2）设相遇时快车用了t h,速度为276tkm/h，则慢车用了()2t+h，速度为2762tkm/h，则。

2013高中数学精讲精练 第二章 函数B第6课 二次函数【考点导读】1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质；2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．【基础练习】1. 已知二次函数232y x x =-+,则其图像的开口向__上__；对称轴方程为32x =；顶点坐标为 31(,)24-，与x 轴的交点坐标为(1,0),(2,0)，最小值为14-．2. 二次函数2223y x m x m =-+-+的图像的对称轴为20x +=,则m =__－2___，顶点坐标为(2,3)-，递增区间为(,2]-∞-，递减区间为[2,)-+∞． 3. 函数221y x x =--的零点为11,2-．4. 实系数方程20(0)a x b x c a ++=≠两实根异号的充要条件为0a c <；有两正根的充要条件为0,0,0b c a a∆≥->>；有两负根的充要条件为0,0,0b c a a ∆≥-<>．5. 已知函数2()23f x x x =-+在区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是__________．【范例解析】例1.设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈． （1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）若2a =时，求)(x f 的最小值． 分析：去绝对值．解：（1）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数．当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠．此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．[1,2]（2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=2123)(22x x x x x x x f由于)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ，在)2,(-∞内的最小值为43)21(=f ．故函数)(x f 在),(∞-∞内的最小值为43．点评：注意分类讨论；分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值． 例2.函数()f x 212a x x a =+-()a R ∈在区间2]的最大值记为)(a g ，求)(a g 的表达式．分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况． 解：∵直线1x a=-是抛物线()f x 212a x x a =+-的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：（1）当0>a 时，函数()y f x =，2]x ∈的图象是开口向上的抛物线的一段， 由10x a=-<知()f x在2]x ∈上单调递增，故)(a g (2)f =2+=a ；（2）当0=a 时，()f x x =，2]x ∈，有)(a g =2；（3）当0<a 时，，函数()y f x =，2]x ∈的图象是开口向下的抛物线的一段， 若1x a=-]2,0(∈即22-≤a 时，)(ag f ==若1x a =-]2,2(∈即]21,22(--∈a 时，)(a g 11()2f a aa=-=--，若1x a=-),2(+∞∈即)0,21(-∈a 时，)(a g (2)f =2+=a ．综上所述，有)(a g =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-≤<---->+)22(2)2122(,21)21(2a a a a a a ．点评：解答本题应注意两点：一是对0a =时不能遗漏；二是对0a ≠时的分类讨论中应同时考察抛物线的开口方向，对称轴的位置及()y f x =在区间2]上的单调性．【反馈演练】1．函数[)()+∞∈++=,02x c bx x y 是单调函数的充要条件是0b ≥．2．已知二次函数的图像顶点为(1,16)A ，且图像在x 轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为2215y x x =-++．3. 设0>b ，二次函数122-++=abx ax y 的图象为下列四图之一：则a 的值为 （ B ）A ．1B ．－1C ．251-- D ．251+-4．若不等式210x ax ++≥对于一切1(0,)2x ∈成立，则a 的取值范围是5[,)2-+∞．5.若关于x 的方程240x m x -+=在[1,1]-有解，则实数m 的取值范围是(,5][5,)-∞-⋃+∞． 6.已知函数2()223f x x a x =-+在[1,1]-有最小值，记作()g a ． （1）求()g a 的表达式； （2）求()g a 的最大值．解：（1）由2()223f x x ax =-+知对称轴方程为2a x =，当12a ≤-时，即2a ≤-时，()(1)25g a f a =-=+； 当112a -<<，即22a -<<时，2()()322a ag a f =-=-；当12a ≥，即2a ≥时，()(1)52g a f a ==-；综上，225,(2)()3,(22)252,(2)a a a g a a a a +≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩．（2）当2a ≤-时，()1g a ≤；当22a -<<时，()3g a ≤；当2a ≥时，()1g a ≤．故当0a =时，()g a 的最大值为3．7. 分别根据下列条件,求实数a 的值：（1）函数2()21f x x ax a =-++-在在[0,1]上有最大值2； （2）函数2()21f x ax ax =++在在[3,2]-上有最大值4．解：（1）当0a <时，m ax ()(0)f x f =，令12a -=，则1a =-；当01a ≤≤时，m ax ()()f x f a =，令()2f a =，12a ±∴=（舍）；当1a >时，m ax ()(1)f x f =，即2a =． 综上，可得1a =-或2a =．（2）当0a >时，m ax ()(2)f x f =，即814a +=，则38a =；当0a <时，m ax ()(1)f x f =-，即14a -=，则3a =-． 综上，38a =或3a =-．8. 已知函数2(),()f x x a x R =+∈．（1）对任意12,x x R ∈，比较121[()()]2f x f x +与12()2x x f +的大小；（2）若[1,1]x ∈-时，有()1f x ≤，求实数a 的取值范围． 解：（1）对任意1x ，2x R ∈，212121211[()()]()()0224x x f x f x f x x ++-=-≥故12121[()()]()22x x f x f x f ++≥．（2）又()1f x ≤，得1()1f x -≤≤，即211x a -≤+≤，得2m ax 2m in(1),[1,1](1),[1,1]a x x a x x ⎧≥--∈-⎪⎨≤-+∈-⎪⎩，解得10a -≤≤．第7课 指数式与对数式【考点导读】1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质；2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件；4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算． 【基础练习】1.写出下列各式的值：(0,1)a a >≠=3π-； 238=____4____； 3481-=127；lo g 1a =___0_____； lo g a a =____1____；lo g4=__－4__．2.化简下列各式：(0,0)a b >>（1）2111333324()3a bab---÷-=6a -；（2）2222(2)()a a a a ---+÷-=2211a a -+．3.求值：（1）35lo g(84)⨯=___－38____；（2）33(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)+⋅+=____1____；（3）234567log 3log 4log 5log 6log 7log 8⨯⨯⨯⨯⨯=_____3____． 【范例解析】 例1. 化简求值：（1）若13a a-+=，求1122aa--及442248a a a a--+-+-的值；（2）若3log 41x =，求332222x x xx--++的值．分析：先化简再求值．解：（1）由13a a-+=，得11222()1aa--=，故11221aa--=±；又12()9a a -+=，227a a -+=；4447a a -∴+=，故44224438a a a a--+-=-+-．（2）由3log 41x =得43x=；则33227414223x x x xxx---+=-+=+．点评：解条件求值问题：（1）将已知条件适当变形后使用；（2）先化简再代入求值．例2.（1）求值：11lg 9lg 240212361lg 27lg35+-+-+；（2）已知2log 3m =，3log 7n =，求42log 56． 分析：化为同底．解：（1）原式=lg 10lg 3lg 240136lg 10lg 9lg5+-+-+1lg 810lg 8=+=；（2）由2log 3m =，得31lo g 2m=；所以33342333lo g 563lo g 2lo g 73lo g 56lo g 4213lo g 2lo g 71m n m m n++===++++．点评：在对数的求值过程中，应注意将对数化为同底的对数． 例3. 已知35abc ==，且112ab+=，求c 的值．分析：将a ，b 都用c 表示． 解：由35abc ==，得1lo g 3c a=，1lo g 5c b=；又112ab+=，则lo g 3lo g 52c c +=，得215c =．0c >，c ∴=点评：三个方程三个未知数，消元法求解．【反馈演练】 1．若21025x=，则10x-=15．2．设lg 321a =，则lg 0.321=3a -． 3．已知函数1()lg1x f x x-=+，若()f a b =，则()f a -=－b ．4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（－∞，－1）∪（1，+∞）．5．设已知f (x 6) = log 2x ，那么f (8)等于12．6．若618.03=a，)1,[+∈k k a ，则k =__－1__．7．已知函数21(0)()21(1)xccx x c f x c x -+⎧⎪=⎨⎪+≤⎩＜＜＜，且89)(2=c f ．（1）求实数c 的值； （2）解不等式182)(+＞x f ．解：（1）因为01c <<，所以2c c <， 由29()8f c =，即3918c +=，12c =．（2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()18f x >+得，当102x <<142x <<．当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()18f x >的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．第8课 幂函数、指数函数及其性质【考点导读】1.了解幂函数的概念，结合函数y x =，2y x =，3y x =，1y x=，12y x =的图像了解它们的变化情况；2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性；3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 【基础练习】1.指数函数()(1)xf x a =-是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是(1,2)．2.把函数()f x 的图像分别沿x 轴方向向左，沿y 轴方向向下平移2个单位，得到()2xf x =的图像，则()f x =222x -+．3.函数220.3x xy --=的定义域为___R __；单调递增区间1(,]2-∞-；值域14(0,0.3]．4.已知函数1()41xf x a =++是奇函数，则实数a 的取值12-．5.要使11()2x y m -=+的图像不经过第一象限，则实数m 的取值范围2m ≤-．6.已知函数21()1x f x a -=-(0,1)a a >≠过定点，则此定点坐标为1(,0)2．【范例解析】例1.比较各组值的大小： （1）0.20.4，0.20.2，0.22， 1.62；（2）ba-，ba ，aa ，其中01ab <<<；（3）131()2，121()3．分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性． 解：（1）0.20.200.20.40.41<<= ，而0.21.6122<<，0.20.20.21.60.20.422∴<<<．（2）01a << 且b a b -<<，baba aa -∴>>．（3）111322111()()()223>>．点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注意通过0，1等数进行间接分类．例2.已知定义域为R 的函数12()2xx b f x a+-+=+是奇函数,求,a b 的值；解：因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即111201()22x x b b f x a a +--=⇒=∴=++又由f （1）= －f （－1）知11122 2.41a a a --=-⇒=++ 例3.已知函数2()(1)1xx f x a a x -=+>+，求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数； （2）方程()0f x =没有负根． 分析：注意反证法的运用．证明：（1）设121x x -<<，122112123()()()(1)(1)x x x x f x f x aax x --=-+++，1a > ，210x x a a∴->，又121x x -<<，所以210x x ->，110x +>，210x +>，则12()()0f x f x -<故函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数．（2）设存在00x <0(1)x ≠-，满足0()0f x =，则00021x x ax -=-+．又001x a<<，002011x x -∴<-<+即0122x <<，与假设00x <矛盾，故方程()0f x =没有负根．点评：本题主要考察指数函数的单调性，函数和方程的内在联系．【反馈演练】1．函数)10()(≠>=a a a x f x且对于任意的实数y x ,都有（ C ） A ．)()()(y f x f xy f =B ．)()()(y f x f xy f +=C ．)()()(y f x f y x f =+D ．)()()(y f x f y x f +=+2．设713=x，则（ A ）A ．－2<x <－1B ．－3<x <－2C ．－1<x <0D ．0<x <13．将y =2x 的图像 ( D ) 再作关于直线y =x 对称的图像，可得到函数2lo g (1)y x =+的图像．A ．先向左平行移动1个单位B ．先向右平行移动1个单位C ．先向上平行移动1个单位D ． 先向下平行移动1个单位4．函数bx a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ C ）A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a5．函数xa y =在[]1,0上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为___2__． 6．若关于x 的方程4220x xm ++-=有实数根，求实数m 的取值范围． 解：由4220x x m ++-=得，219422(2)224x x xm =--+=-++<，(,2)m ∴∈-∞7．已知函数2()()(0,1)2x xa f x a aa a a -=->≠-．（1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在R 上是单调递增函数，求实数a 的取值范围． 解：（1）定义域为R ，则2()()()2xxa f x a a f x a --=-=--，故()f x 是奇函数． （2）设12x x R <∈，12121221()()()(1)2x x x x af x f x aaa a-+-=-+-，当01a <<时，得220a -<，即01a <<； 当1a >时，得220a ->，即a >综上，实数a的取值范围是(0,1))⋃+∞．第9课 对数函数及其性质【考点导读】1.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性；2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型；3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题． 【基础练习】 1. 函数)26(log21.0x x y -+=的单调递增区间是1[,2)4．2. 函数2()log 21f x x =-的单调减区间是1(,)2-∞．【范例解析】例1. （1）已知log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则实数a 的取值范围是_________． （2）设函数2()lg()f x x ax a =+-，给出下列命题：①)(x f 有最小值； ②当0=a 时，)(x f 的值域为R ； ③当40a -<<时，)(x f 的定义域为R ；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是4-≥a ． 则其中正确命题的序号是_____________． 分析：注意定义域，真数大于零．解：（1）0,1a a >≠ ，2ax ∴-在[0,1]上递减，要使log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则1a >；又2a x -在[0,1]上要大于零，即20a ->，即2a <；综上，12a <<．（2）①)(x f 有无最小值与a 的取值有关；②当0=a 时，2()lg f x x R =∈，成立；③当40a -<<时，若)(x f 的定义域为R ，则20x ax a +->恒成立，即240a a +<，即40a -<<成立；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则2,2420.aa a ⎧-≤⎪⎨⎪+->⎩解得a ∈∅，不成立．点评：解决对数函数有关问题首先要考虑定义域，并能结合对数函数图像分析解决． 例3.已知函数xxx x f -+-=11log1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.分析：利用定义证明复合函数的单调性．解：x 须满足,11011,0110<<->-+⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠x x x xxx 得由所以函数)(x f 的定义域为（－1，0）∪（0，1）. 因为函数)(x f 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x ，有)()11log1(11log1)(22x f xxxxxx x f -=-+--=+---=-，所以)(x f 是奇函数.研究)(x f 在（0，1）内的单调性，任取x 1、x 2∈（0，1），且设x 1<x 2 ，则,0)112(log)112(log ,011)],112(log )112([log)11(11log111log1)()(1222211222212222112121>----->------+-=-++--+-=-x x x x x x x x x x x x x x x f x f 由得)()(21x f x f ->0，即)(x f 在（0，1）内单调递减， 由于)(x f 是奇函数，所以)(x f 在（－1，0）内单调递减.点评：本题重点考察复合函数单调性的判断及证明，运用函数性质解决问题的能力． 【反馈演练】1．给出下列四个数：①2(ln 2)；②ln(ln 2)；③ln；④ln 2.其中值最大的序号是___④___.2．设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，(8,2)，则a b +等于___5_ _．3．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ，则定点A 的坐标是(2,1)--．4．函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为12．5．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log=的图象的交点个数有___3___个.6．下列四个函数：①lg y x x =+； ②lg y x x =-；③lg y x x =-+；④lg y x x =--.其中，函数图像只能是如图所示的序号为___②___.第6题7．求函数22()lo g 2lo g 4x f x x =⋅,1[,4]2x ∈的最大值和最小值．解：2222()lo g 2lo g (lo g 1)(lo g 2)4x f x x x x =⋅=+-222log log 2x x =--令2log t x =， 1[,4]2x ∈，则[1,2]t ∈-，即求函数22y t t =--在[1,2]-上的最大值和最小值． 故函数()f x 的最大值为0，最小值为94-．8．已知函数()lo g ax b f x x b+=-(0,1,0)a a b >≠>．（1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）讨论()f x 的单调性，并证明． 解：（1）解：由0x b x b+>-，故的定义域为()(,)b b -∞-⋃+∞． （2）()lo g ()()a x b f x f x x b-+-==--- ，故()f x 为奇函数．（3）证明：设12b x x <<，则121221()()()()lo g ()()ax b x b f x f x x b x b +--=+-，12212121()()2()10()()()()x b x b b x x x b x b x b x b +---=>+-+-．当1a >时，12()()0f x f x ∴->，故)(x f 在(,)b +∞上为减函数；同理)(x f 在(,)b -∞-上也为减函数； 当01a <<时，12()()0f x f x ∴-<，故)(x f 在(,)b +∞，(,)b -∞-上为增函数．第10课 函数与方程【考点导读】1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法． 【基础练习】1.函数2()44f x x x =++在区间[4,1]--有_____1 ___个零点． 2.已知函数()f x 的图像是连续的，且x 与()f x 有如下的对应值表：则()f x 在区间[1,6]上的零点至少有___3__个． 【范例解析】例1.()f x 是定义在区间[－c ，c ]上的奇函数，其图象如图所示：令()()g x af x b =+， 则下列关于函数()g x 的结论：①若a <0，则函数()g x 的图象关于原点对称；②若a =－1，－2<b <0，则方程()g x =0有大于2的实根； ③若a ≠0，2b =，则方程()g x =0有两个实根； ④若0a ≠，2b =，则方程()g x =0有三个实根． 其中，正确的结论有___________． 分析：利用图像将函数与方程进行互化． 解：当0a <且0b ≠时，()()g x a f x b =+是非奇非偶函数，①不正确；当2a =-，0b =时，()2()g x f x =-是奇函数，关于原点对称，③不正确；当0a ≠，2b =时，2()f x a=-，由图知，当222a-<-<时，2()f x a=-才有三个实数根，故④不正确；故选②．点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本．例2.设2()32f x ax bx c =++，若0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >． 求证：（1）0a >且12-<<-ab ；（2）方程()0f x =在(0,1)内有两个实根．分析：利用0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >进行消元代换．证明：（1）(0)0f c => ，(1)320f a b c =++>，由0a b c ++=，得b a c =--，代入(1)f 得：0a c ->，即0a c >>，且01c a<<，即1(2,1)b c aa=--∈--，即证．（2）11()024f a =-< ，又(0)0f >，(1)0f >．则两根分别在区间1(0,)2，1(,1)2内，得证．点评：在证明第（2）问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取(0,1)的中点12来考察1()2f 的正负是首选目标，如不能实现1()02f <，则应在区间内选取其它的值．本题也可选3ba-，也可利用根的分布来做．【反馈演练】1．设123)(+-=a ax x f ，a 为常数．若存在)1,0(0∈x ，使得0)(0=x f ，则实数a 的取值范围是1(,1)(,)2-∞-⋃+∞．2．设函数2,0,()2,0.x b x c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方程()f x x =解的个数为（ C ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知2()(0)f x a x b x c a =++≠，且方程()f x x =无实数根，下列命题：①方程[()]f f x x =也一定没有实数根；②若0a >，则不等式[()]f f x x >对一切实数x 都成立； ③若0a <，则必存在实数0x ，使00[()]f f x x >④若0a b c ++=，则不等式[()]f f x x <对一切实数x 都成立． 其中正确命题的序号是 ①②④ ．4．设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<．求实数a 的取值范围．解：令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，则由题意可得01012(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，，，，01133a a a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪<->+⎩，，或03a ⇔<<- 故所求实数a的取值范围是(03-，． 5．已知函数2()log (41)()xf x kx k R =++∈是偶函数,求k 的值； 解： ()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=22log (41)log (41)xxkx kx -∴+-=++220x kx ∴+=由于此式对于一切x R ∈恒成立，1k ∴=- 6．已知二次函数c bx axx f ++=2)(．若a>b >c ， 且f （1）=0，证明f （x ）的图象与x 轴有2个交点.证明： 2(1)0,00,40,f a b c a b c a c b ac =++=>>∴><∴∆=-> 且且()f x ∴的图象与x 轴有两个交点.第11课 函数模型及其应用【考点导读】1.能根据实际问题的情境建立函数模型，结合对函数性质的研究，给出问题的解答．2.理解数据拟合是用来对事物的发展规律进行估计的一种方法，会根据条件借助计算工具解决一些简单的实际问题．3.培养学生数学地分析问题，探索问题，解决问题的能力． 【基础练习】1今有一组实验数据如下：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，①2lo g v t = ②12lo g v t =③212t v -=④22v t =-其中最接近的一个的序号是______③_______．2.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0 < x < 1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润 = (出厂价－投入成本)×年销售量.(Ⅰ)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解：（Ⅰ）由题意得y = [ 1.2×(1+0.75x )－1×(1 + x ) ] ×1000×( 1+0.6x )（0 < x < 1）整理得 y = －60x 2 + 20x + 200（0 < x < 1）. （Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎨⎧<<>⨯--.10,01000)12.1(x y即⎩⎨⎧<<>+-.10,020602x x x 解不等式得310<<x .答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0 < x < 0.33.【范例解析】例. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p =f (t )；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =g (t )；(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为()⎩⎨⎧≤<-≤≤-=.3002003002,2000300t t t t t f ，，由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g (t )=2001(t －150)2+100，0≤t ≤300．(Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得 h (t )=f (t )－g (t )，即()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-=.30020021025272001,20002175********t t t t t t t h ，，当0≤t ≤200时，配方整理得 h (t )=－2001(t －50)2+100，所以，当t =50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100； 当200<t ≤300时，配方整理得：h (t )=－2001(t －350)2+100，所以，当t =300时，h (t )取得区间（200，300]上的最大值87.5．综上:由100>87.5可知，h (t )在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大【反馈演练】1．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个正三角形面积之和的最小值是2cm．2．某地高山上温度从山脚起每升高100m降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则此山的高度为_____17_____m．3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2 x，其中x 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为____45.6___万元．4．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少时用料最省?解：由题意得xy+41x2=8，∴y=xx482-=48xx-(0<x<42).则框架用料长度为l=2x+2y+2(x22)=(23+2)x+x16≥4246+.当(23+2)x=x16,即x=8－42时等号成立.此时，x=8－42，y=故当x为8－42m，y为时，用料最省.第4题。

1第二讲 函数的概念及表示方法【基础知识回顾】1. 函数的概念：设A B 、是非空的数集 ，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数.记作 ，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}()|f x x A ∈叫做函数的 .2. 构成函数的三要素： 、 和 .3. 函数定义域的常见求法： （1）分式的分母 ；（2）偶次根式的被开方数 ；（3）对数的真数大于零，底数 ；（若为学习到可先删去） （4）零次幂的底数 ；（若为学习到可先删去）（5） 已知函数)(x f 的定义域为D ，求函数)]([x g f 的定义域，只需求满足D x g ∈)(的x 的取值范围.4. 函数解析式的常见求法： （1）待定系数法：若已知函数的类型，比如二次函数可设为()()20f x ax bx c a =++≠，其中a 、b 、c 是待定系数，根据题设条件列出方程组，解出a 、b 、c 即可. （2）换元法：已知()()f h x g x =⎡⎤⎣⎦，求()f x 时，往往可设()h x t =，从中解出x ，代入()g x 进行换元，便可求解.【例题精讲】【例1】 试判断以下各组函数是否表示同一函数.（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ；（2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥.01,01x x（3）()2f x =()(()212n g x n N -*=∈；（4）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x+2；（5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1.2【例2】 求下列函数的定义域.（1）2112y x =-+；（2）224x yx -=-； （3）1||yx x =+；（4）2y =； （5）1||3y x =-；（6）y =a 为常数且0a ≠）.变式:（1）已知函数f （x ）的定义域为（0， 1），求f （x 2）的定义域. （2）已知函数f （2x + 1）的定义域为（0， 1），求f （x ）的定义域. （3）已知函数f （x + 1）的定义域为[–2， 3]，求f （2x 2 – 2）的定义域.【例3】 已知函数f （x ）=31323-+-ax axx 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是 .【例4】求函数的解析式1.已知f （x ）=⎩⎨⎧>-≤0,0,x x x x ，1)(+=x x g ，则=)]([x g f ___________________.2.设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f . 变式：11)11(2-=+xx f ，求)(x f .3.已知()f x是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x+--=+，求()f x.变式：设二次函数()y f x=的最小值等于4，且()()026f f==，求()f x的解析式.4.已知12()fx +f （x）= x（x≠0），求f （x）的解析式.【例5】作出下列函数的图象：（1）y = |x– 1| + 2 |x– 2|；（2）y = |x2– 4x + 3|.【例6】求函数值域.1.求函数y=3x2+2的值域. 变式：求函数y=5+21+x（x≥-1）的值域.2.求函数y=21x x++的值域.变式1：求函数y=21x x++，x[]3,1-∈的值域.变式2：求函数y=34252+-xx的值域.34【课后自我检测】1. 求函数2143)(2-+--=x x x x f 的定义域.2. 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域.3.已知[]221()12,()x g x x f g x x-=-=（x ≠0）， 求1()2f = .4.设12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域5. 如果[]21f f x x =-（），求一次函数()f x 的解析式.6.求下列函数的值域：（1）232y x x =-+； （2）y =；7.根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式. （1）221)1(xx x x f +=+； x xf x f 3)1(2)()2(=+；（3）13)2(2++=-x x x f .8.设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ，且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f 的解析式.9.设()f x 是定义在R 上的函数，对一切x ∈R 均有20f x f x ++=（）（），当1<1x -≤时，21f x x =-（），求当13x <≤时，函数()f x 的解析式.。

高一数学知识点精讲精练一、集合与函数在高一数学中，集合与函数是非常基础的概念。

集合是由元素组成的整体，可以用一个大括号表示，如A={1,2,3}。

函数是一种特殊的关系，它将一个元素和另一个元素相对应。

函数可以用图像、方程或者列表来表示。

二、二次函数二次函数是高一数学中的重要内容。

它的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。

二次函数的图像是一条开口朝上或者朝下的抛物线，通过顶点和对称轴可以确定其特征。

通过求解二次函数的零点，可以得到方程的解。

三、数列与等差数列数列是一系列按照一定规律排列的数。

其中，等差数列是一种特殊的数列，它的相邻两项之间的差值是常数。

等差数列可以用通项公式来表示，通项公式为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

四、三角函数三角函数是与角度相关的函数，包括正弦、余弦和正切等。

它们在几何图形的研究中有广泛的应用。

三角函数可以用来求解三角形的边长和角度，以及解决与周期性变化相关的问题。

五、平面向量平面向量是高一数学的重点内容之一。

平面向量表示了平面上的位移和方向。

它的定义包括模长和方向两个要素。

平面向量可以进行加法、减法、数量乘法等运算。

通过向量的坐标表示，可以方便地进行向量的计算。

六、概率与统计概率与统计是数学中非常实用的部分。

概率研究随机事件发生的可能性，可以用来解决赌博、抽奖等与随机相关的问题。

统计研究数据的收集、整理和分析，可以帮助我们了解一组数据的特征和趋势。

七、立体几何立体几何是数学中的几何学的一个分支，研究的是三维空间中的图形。

它包括球体、圆锥、圆柱、棱柱、棱锥等。

通过计算体积和表面积，可以解决与立体图形相关的问题。

八、数论数论是研究整数性质的数学分支。

它探究了整数的性质、整数间的关系以及整数运算的规律。

数论在密码学、编码等领域有重要的应用，对于高中数学学习也有一定的启发作用。

以上是高一数学知识点的精讲精练，希望能对你的数学学习有所帮助。

2.3二次函数与一元二次方程、不等式（精讲）一.一元二次不等式的概念一元二次不等式定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式一般形式ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0，其中a ，b ，c 均为常数，a ≠0解集ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)解集是使y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为正数的自变量x 的取值集合ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)解集是使y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为负数的自变量x 的取值集合ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)解集是使y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值大于或等于0的自变量x 的取值集合ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)解集是使y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值小于或等于0的自变量x 的取值集合注意事项：（1）一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数，并且这个未知数是唯一的，但这并不意味着不等式中不能含有其他字母，若含有其他字母，则把其他字母看成常数.(2)一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2，且最高次项的系数不为0.二.“三个二次”的关系一元二次不等式，a 为正值来定形；对应方程根求好，心中想想抛物线；大于异根取两边，小于异根夹中间；大于等根根去掉，小于等根空集成；大于无根取全体，小于无根不可能！注意事项：“大于”“小于”指的是当二次项系数转化为正数后的不等号．因此，为了避免出现错误，在求解一元二次不等式时，通常是将二次项系数变为正数(即将不等式两边同时乘以－1，不等号也随之改变方向)．四.一元二次不等式恒成立问题1.当未说明不等式为一元二次不等式时，有①不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立＝b ＝0，>0>0，<0；②不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立＝b ＝0，<0<0，<0.2.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0在x ∈{x |m ≤x ≤n }时恒成立，等价于当m ≤x ≤n 时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x >0，<0.3.分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.一．解不含参数的一元二次不等式的方法1.若不等式对应的一元二次方程能够分解因式，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由因式分解法或不等式的性质得到不等式的解集.2.若不等式对应的一元二次方程不能分解因式，则可对式子进行配方，化为完全平方式，再开根号求解.二．解含参数的一元二次不等式的方法1.讨论二次项系数：二次项系数若含有参数，应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式；2.判断方程的个数：判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；3.写出解集：确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式注意事项：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．考点一解不含参数的一元二次不等式【例1】（2023·湖南）解下列不等式：(1)2362x x -+≤(2)29610x x -+>(3)2610x x <-(4)21212x x -<+-≤【答案】(1)⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭(2)11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(3)∅(4)[3,2)(0,1]-- 【解析】（1）2362x x -+≤，即2223620203x x x x -+≥⇔-+≥，配方可得21(1)3x -≥，解得33,,33x ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭（2）29610x x -+>，即2(31)0x ->，解得11,,33x ⎛⎫⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）2610x x <-，即26100x x -+<，而220610(3)11x x x >-+=-+≥，从而不等式无解，即解集为∅；（4）22121220x x x x -<+-≤⇔+>且2230x x +-≤同时成立.由220x x +>解得()(),20,x ∈-∞-⋃+∞，由2230x x +-≤，即(1)(3)0x x -+≤，解得[3,1]x ∈-.于是[3,2)(0,1]x ∈--【一隅三反】（2023·内蒙古赤峰）解下列不等式：(1)22530x x +-<；(2)2362x x -+≤；(3)5132x x +≤-；(4)()()()12253x x x x --<-+(5)2230x x +->(6)24410x x -+-≥(7)2440x x -+>；(8)23520x x +-->；(9)22730x x ++>；(10)221x x <-.【答案】(1)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(2),11⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭(3)[)13,3-(4)()(),11,-∞+∞ (5)()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭(6)12⎧⎫⎨⎬⎩⎭(7)()(),22,-∞+∞ (8)2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭(9)()1,3,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭(10)∅【解析】（1）22530x x +-< ，()()2130x x ∴-+<，132x ∴-<<，即不等式的解集为13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）2362x x -+≤ ，23620x x -∴+≥，解得13x ≤-或13x ≥+；即不等式的解集为33,1133⎛⎡⎫-∞++∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭；（3）5132x x +≤- ，()153230x x x ⎧+≤-⎪∴⎨⎪->⎩或()153230x x x ⎧+≥-⎪⎨⎪-<⎩解得133x -≤<，即不等式的解集为[)13,3-；（4）()()()12253x x x x --<-+ ，整理得2210x x -+>，解得1x ≠，即不等式的解集为()(),11,-∞+∞ .（5）由2230x x +->可得()()2310x x +->，所以1x >或32x <-，即解集为()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；（6）由24410x x -+-≥可得()2210x -≤，所以12x =，即解集为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭；（7）2440x x -+>可化为()220x ->，解得2x ≠，所以不等式的解集为()(),22,-∞+∞ .（8）23520x x +-->可化为23520x x +<-，即()()3210x x --<，解得213x <<，所以不等式的解集为2,13⎛⎫⎪⎝⎭.（9）22730x x ++>可化为()()2130x x ++>，解得3x <-或12x >-，所以不等式的解集为()1,3,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭.（10）221x x <-可化为2210x x -+<，因为不等式对应的方程的判别式()214270∆=--⨯=-<，所以不等式的解集为∅．考点二解含参数的一元二次不等式【例2-1】（2023·河北）解下列关于x 的不等式()()20x x a --≤【答案】答案见解析【解析】由()()20x x a --=，可得2x =或x a =，则：当2a <时，原不等式解集为{|2}x a x ≤≤；当2a =时，原不等式解集为{2}；当2a >时，原不等式解集为{|2}x x a ≤≤；【例2-2】（2023·安徽）解关于x 的不等式2(1)10(R)ax a x a -++<∈.【答案】答案见解析【解析】原不等式变为(1)(1)0ax x --<，①当0a >时，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以当1a >时，解得11x a <<；当1a =时，解集为∅；当01a <<时，解得11x a<<②当0a =时，原不等式等价于10x -+<，即1x >.③当0a <时，11a <，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得1x >或1x a <.综上，当01a <<时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎩⎭∣，当1a =时，不等式的解集为∅，当1a >时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣，当0a =时，不等式的解集为{1}x x >∣，当a<0时，不等式的解集为{1xx a<∣或1}x >.【例2-3】（2023·广东深圳）解关于x 的不等式2210x mx m -++>.【答案】答案见解析【解析】不等式对应方程2210x mx m -++=的判别式22(24141()())m m m m ∆--=-=+-，（1）当0∆>，即m >m <由于方程2210x mx m -++=的根是x m =，所以不等式的解集是{|x x m <或x m >；（2）当Δ0=，即m ={|R x x ∈且}x m ≠；（3）当Δ0<m <R ，故12m >或12m <时，不等式的解集是{|x x m <x m >；12m ±=时，不等式的解集为{|R x x ∈且}x m ≠；m <<时，不等式的解集为R .【例2-4】（2023·湖南长沙）若关于x 的不等式2242ax x ax -<-只有一个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．112a <≤B ．12a <<C ．12a ≤<D ．11a -<<【答案】C【解析】不等式2242ax x ax -<-化为()22420ax a x -++<，即()()2120x ax --<，当0a =时，不等式化为()()2120x --<，得12x >，有无数个整数解，不符合题意；当0a >时，由关于x 的不等式2242ax x ax -<-只有一个整数解，可知122a<，不等式()()2120x ax --<的解为122x a <<，由题意，212a<≤，解得12a ≤<；当a<0时，不等式()()2120x ax --<的解为12x >或2x a<，有无数个整数解，不符合题意．综上，实数a 的取值范围是12a ≤<.故选：C 【一隅三反】1．（2022秋·四川阿坝·高一校考期中）关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<的解集中恰有2个整数，则实数a 的取值范围（）A ．(1,0][2,3)-⋃B ．[2,1)(3,4]--C ．()(]2,13,4--⋃D ．[1,0)(2,3]- 【答案】B【解析】不等式2(1)0x a x a -++<化为(1)()0x x a --<，当1a =时，不等式无解，当1a <时，不等式解为1<<a x ，这里有且只有2个整数，则21a -≤<-，当1a >时，不等式解为1x a <<，这里有且只有2个整数，则34a <≤，综上a 的取值范围是[2,1)(3,4]-- ．故选：B .2．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x 的不等式()()2231220x a x a --+->【答案】答案见解析【解析】原不等式可化为[(1)][2(1)]0x a x a -+-->.当12(1)a a +>-，即3a <时，1x a >+或2(1)x a <-；当12(1)a a +=-，即3a =时，4x ≠；当12(1)a a +<-，即3a >时，2(1)x a >-或1x a <+.综上，当3a <时，解集为{1x x a >+∣或2(1)}x a <-；当3a =时，解集为{4}xx ≠∣；当3a >时，解集为{2(1)xx a >-∣或1}x a <+.3．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于x 的不等式()22210ax a x -++>．【答案】答案见解析【解析】当a<0时，原不等式为()2221(21)(1)0ax a x x ax -++-=--+<，解集为11{|}2x x a <<；当0a =时，原不等式为210x -+>，解集为1{|}2x x <；当0a >时，原不等式为()2221(21)(1)0ax a x x ax -++=-->，若112a >，即02a <<时，解集为1{|2x x <或1}x a>；若112a =，即2a =时，解集为1{|}2x x ≠；若112a <，即2a >时，解集为1{|x x a<或1}2x >；综上，a<0解集为11{|}2x x a <<；0a =解集为1{|}2x x <；02a <<解集为1{|2x x <或1}x a>；2a =解集为1{|}2x x ≠；2a >解集为1{|x x a<或1}2x >.4．（2023·上海）解关于x 的不等式210x ax -+≤.【答案】答案见解析【解析】由题意知24a ∆=-，①当240a ->，即2a >或2a <-时，方程210x ax -+=的两根为2a x =，所以解集为x ⎧⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭；②若240a -=，即2a =±时，当2a =时，原不等式可化为2210x x -+≤，即()210x -≤，所以1x =，当2a =-时，原不等式可化为2210x x ++≤，即()210x +≤，所以=1x -；③当240a -<，即22a -<<时，原不等式的解集为∅；综上，当2a >或2a <-时，原不等式的解集为2a x ⎧⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭；当2a =时，原不等式的解集为{1}；当2a =-时，原不等式的解集为{}1-；当22a -<<时，原不等式的解集为∅.考点三三个“二次”之间的关系【例3-1】（2023春·河南）已知,,a b c ∈R ，且0a ≠，关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(3,2)-，则关于x 的不等式20cx ax b ++>的解集为（）A ．11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】因为不等式20ax bx c ++>，0a ≠的解集为(3,2)-，所以a<0且321326bac a⎧-=-+=-⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩即6b a c a =⎧⎨=-⎩，不等式20cx ax b ++>等价于260ax ax a -++>，即2610x x -->，()()21310x x -+>，解得13x <-或12x >，所以不等式20cx ax b ++>的解集为：11,,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：C ．【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）若一元二次不等式20ax bx c ++>的解集是{}|12x x -<<，则一元二次不等式20cx bx a ++>的解集是（）A ．1|12x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或B ．1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．1|12x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或D ．1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】由一元二次不等式20ax bx c ++>的解集是{}|12x x -<<可得1,2-是20ax bx c ++=的两个根，且0,a <所以2,1b c a a -==-，所以20cx bx a ++>可化为210c bx x a a++<，即2210x x --+<，解得1x <-或12x >.故选：C 2．（2023·湖南）若不等式20ax x c -->的解集为{}32x x -<<，则函数2y ax x c =+-的图象与x 轴的交点为（）A ．()3,0和()2,0-B ．()2,0-C ．()3,0D ．2-和3【答案】A【解析】若不等式20ax x c -->的解集为{}32x x -<<，则方程20ax x c --=的两个根为123,2x x =-=且0a <，13232a c a ⎧-+=⎪⎪∴⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得16a c =-⎧⎨=-⎩，则函数226y ax x c x x =+-=-++，令260y x x =-++=，解得2x =-或3x =，故函数2y ax x c =+-的图象与x 轴的交点为()2,0-和()3,0.故选：A.3．（2022秋·天津）已知不等式897x +<和不等式22ax bx +>的解集相同，则实数a b 、的值分别为（）A ．810--、B ．49--、C ．19-、D ．12-、【答案】B【解析】8977897x x +<⇒-<+<，解得124x -<<-，因为，不等式897x +<和不等式22ax bx +>的解集相同，故220ax bx +-=的两根为-2或14-，且a<0，由韦达定理得：()1241224b a a ⎧⎛⎫-+-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：49a b =-⎧⎨=-⎩，故选：B.考点四一元二次不等式恒成立【例4-1】（2023贵州省安顺市）若命题“0x ∃∈R ，20020x x a --<”是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．(],1-∞C ．[)1,+∞D ．[)1,-+∞【答案】A【解析】命题“0x ∃∈R ，20020x x a --<”的否定为：“x ∀∈R ，220x x a --≥”，该命题为真命题.所以，应有()()2Δ241440a a =--⨯⨯-=+≤，所以1a ≤-.故选：A.【例4-2】（2023·云南红河）不等式210ax ax a -++>对R x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．()0,∞+B ．[)0,∞+C ．()4,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．[4,0,)3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】①当0a =时，10>成立，②当0a ≠时，只需()2Δ410a a a a >⎧⎨=-+<⎩，解得0a >，综上可得0a ≥，即实数a 的取值范围为[)0,∞+.故选：B ．【例4-3】（2023·河南）若不等式2(1)3a x x +≤+对于[0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[0,3]B ．[0,2]C ．(,2]-∞D ．(,3]-∞【答案】C 【解析】原不等式可化为231x a x +≤+，设()231x f x x +=+，则()()212124f x x x x +-=-++412221x x =++-≥=+，当且仅当411x x +=+，且0x ≥，即1x =时，函数()f x 有最小值为2.因为()a f x ≤恒成立，所以2a ≤.故选：C.【一隅三反】1．（2023·广东肇庆·高一广东肇庆中学校考期中）若命题“2(1,1),20x x x a ∀∈--->”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．1a ≤-B ．1a <-C ．3a ≤D ．3a <【答案】A【解析】由命题“2(1,1),20x x x a ∀∈--->”为真命题，即不等式22a x x <-在(1,1-上恒成立，设()22,(1,1)f x x x x =-∈-，根据二次函数的性质，可得()min (1)1f x f <=-，所以1a ≤-.故选：A.2．（2023·西藏）命题()0:0,p x ∃∈+∞，使得20010x x λ-+<成立.若p 是假命题，则实数λ的取值范围是（）A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．[]22-,D ．(][),22,-∞-+∞U 【答案】A【解析】因为命题()0:0,p x ∃∈+∞，使得20010x x λ-+<成立，所以命题p 的否定为：()0,x ∀∈+∞，210x x λ-+≥成立，而p 是假命题，故命题p 的否定为真命题．所以1x x λ≤+在()0,x ∈+∞上恒成立，因为12x x +≥=，当且仅当11x x x =⇒=时，等号成立，所以2λ≤，即(],2λ∈-∞.故选：A.3．（2022秋·高一校考单元测试）任意[]1,1x ∈-，使得不等式212x x m -+≥恒成立.则实数m 取值范围是（）A ．14m ≥B ．14m ≤C ．14⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．2m ≤【答案】B【解析】因为对任意[]1,1x ∈-，不等式212x x m -+≥恒成立.所以2min 12x x m ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，其中[]1,1x ∈-，设212y x x =-+，[]1,1x ∈-，因为22111224y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当12x =时，函数212y x x =-+，[]1,1x ∈-取最小值，最小值为14，所以14m ≤，故选：B.4．（2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中）若[]04x ∃∈,，使得不等式220x x a -+>成立，则实数a 的取值范围（）A ．1a >-B ．1a >C ．8a >D ．8a >-【答案】D 【解析】因为[]04x ∃∈,，使得不等式220x x a -+>成立，所以[]04x ∃∈,，使得不等式2+2a x x >-成立，令2()2f x x x =-+，[]0,4x ∈，因为对称轴为1x =，[]0,4x ∈，所以min ()(4)8f x f ==-，所以8a >-，所以实数a 的取值范围为()8,-+∞.故选：D.考点五一元二次不等式的实际应用【例5】（2022秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车的刹车距离s （单位：m ）与车速x （单位：km/h ）之间分别有如下关系：20.010.1s x x =-甲，20.0050.05s x x =-乙，问：甲、乙两车有无超速现象？【答案】甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速．【解析】由题意得，对于甲车，20.010.112x x -<，即21012000x x --<，而0x >，解得040x <<，甲车未超过规定限速，同理对于乙车，20.0050.0510x x ->，21020000x x -->，而0x >，解得50x >，乙车超过规定限速．答：甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速．【一隅三反】1．（2023·陕西）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是（）A ．20≤x ≤30B ．20≤x ≤45C ．15≤x ≤30D ．15≤x ≤45【答案】B【解析】设该厂每天获得的利润为y 元，则y ＝(160－2x )x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500(0＜x ＜80)．由题意，知－2x 2＋130x －500≥1300，即x 2－65x ＋900≤0，解得：20≤x ≤45，所以日销量x 的取值范围是20≤x ≤45．故选：B ．2．（2023·浙江温州）某种汽车在水泥路面上的刹车距离s （单位：m ）和汽车刹车前的车速v （单位：km /h ）之间有如下关系：21120160s v v =+，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40m ，则这辆汽车刹车前的车速至少为（）（精确到1km /h ）A ．76km /hB ．77km /hC ．78km /hD ．80km /h【答案】B【解析】设这辆汽车刹车前的车速为km /h v ，根据题意，有2114020160s v v =+>，移项整理，得28401600v v -⨯>+，0v >解得476.09v >-+≈．所以这辆汽车刹车前的速度至少为77km /h ．故选：B3．（2022秋·天津滨海新·高一校考期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价x （单位：元）的取值范围是（）A ．{1520}xx <<∣B ．{1218}x x ≤<∣C ．{1020}xx ≤<∣D ．{}|1016x x ≤<【答案】A 【解析】结合题意易知，[302(15)]400x x --⋅>,即2302000x x -+<，解得1020x <<，因为15x >，所以1520x <<，这批台灯的销隹单价x 的取值范围是{1520}xx <<∣，故选：A.考点六根的分布【例6】（2023·湖北）关于x 的方程2(3)0x m x m +-+=满足下列条件，求m 的取值范围．(1)有两个正根；(2)一个根大于1，一个根小于1；(3)一个根在(2,0)-内，另一个根在(0,4)内；(4)一个根小于2，一个根大于4；(5)两个根都在(0,2)内．【答案】(1)01m <≤(2)1m <(3)405m -<<(4)45<-m (5)213m <≤【解析】（1）令2()(3)f x x m x m =+-+，设()0f x =的两个根为12,x x .由题得()12122300Δ340x x m x x m m m ⎧+=->⎪⎪=>⎨⎪=--≥⎪⎩，解得01m <≤.（2）若方程2(3)0x m x m +-+=的一个根大于1，一个根小于1，则(1)220f m =-<，解得1m <（3）若方程2(3)0x m x m +-+=一个根在(2,0)-内，另一个根在(0,4)内，则(2)100(0)0(4)540f m f m f m -=->⎧⎪=<⎨⎪=+>⎩，解得405m -<<（4）若方程2(3)0x m x m +-+=的一个根小于2，一个根大于4，则(2)320(4)540f m f m =-<⎧⎨=+<⎩，解得45<-m （5）若方程2(3)0x m x m +-+=的两个根都在(0,2)内，则()()()22320003022Δ340f m f m m m m ⎧=->⎪=>⎪⎪-⎨<-<⎪⎪=--≥⎪⎩，解得213m <≤【一隅三反】1．（2023·江苏南京）（多选）设m 为实数，已知关于x 的方程()2310mx m x +-+=，则下列说法正确的是（）A ．当3m =时，方程的两个实数根之和为0B ．方程无实数根的一个必要条件是1m >C ．方程有两个不相等的正根的充要条件是01m <<D ．方程有一个正根和一个负根的充要条件是0m <【答案】BCD【解析】对于A 选项，3m =时2310x +=无实根，A 错误；对于B 选项，当0m =时方程有实根，当0m ≠时，方程无实根则2(3)40m m --<，解得19m <<，一个必要条件是1m >，B 正确；对于C 选项，方程有两个不等正根，则0m ≠，0∆>，30m m ->，10m >，解得01m <<；对于D 选项，方程有一个正根和一个负根，则0m ≠，10m<，解得0m <，D 正确；故选：BCD.2．（2022秋·湖北武汉·高一校考期中）已知一元二次方程2210ax x ++=．(1)写出“方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根”的充要条件；(2)写出“方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给予证明．【答案】(1)a<0(2)方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件可以是1a <，证明见解析【解析】（1）若方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根，则Δ44010a a =->⎧⎪⎨<⎪⎩，即10a a <⎧⎨<⎩，<0a ∴．∴方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充要条件是a<0．（2）方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件是1a <，证明：若方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根，则由（1）知其充要条件为0<a ，从而1a <，故必要性成立．若01a <<，则方程2210ax x ++=中，440a ∆=->，1210x x a⋅=>，∴方程2210ax x ++=有两个同号根，∴充分性不成立，故1a <是方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件．3．（2022秋·江西·高一统考阶段练习）若关于x 的不等式240x mx m -+<的解集为()12,x x ．(1)当=1m 时，求121144x x +--的值；(2)若10x >，20x >，求1211x x +的值；(3)在（2）的条件下，求124x x +的最小值．【答案】(1)4-；(2)4；(3)94．【解析】（1）由题意，关于x 的方程2410x x -+=有两个根1x ，2x ，所以1212Δ=12>0+=4=1x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，故()12121212811444441611616x x x x x x x x +--+===----++-+．（2）由题意，关于x 方程240x mx m -+=有两个正根，由韦达定理知21212Δ=1640+=4>0=>0m m x x m x x m -≥⎧⎪⎨⎪⎩，解得14m ≥，所以1212121144x x m x x x x m ++===.（3）由（2），12114x x +=，且10x >，20x >，所以()211212121241111441444x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而21x x 、120x x >，所以211244x x x x +=≥，当且仅当122x x =，且12124x x x x +=，即134x =，238x =取等号，此时实数91324m =>符合条件，故12944x x +≥，且当932m =时，取得最小值94．。

3.1 函数的概念考点一 区间的表示【例1】(2019·全国高一)一般区间的表示设,a b ∈R ，且a b <，规定如下:【答案】[],a b (),a b [),a b (],a b 【解析】(1).若{|}x a x b ≤≤,写成区间形式为[],a b(2).若{|}x a x b <<,写成区间形式为(),a b (3).若{|}x a x b ≤<,写成区间形式为[),a b (4).若{|}x a x b <≤,写成区间形式为(],a b故答案为: (1). [],a b (2). (),a b (3). [),a b (4). (],a b【举一反三】1．(2019·全国高一课时练习)已知区间()41,21p p -+，则p 的取值范围为______． 【答案】(),1-∞【解析】由题意，区间()41,21p p -+，则满足4121p p -<+，解得1p <，即p 的取值范围为(),1-∞．故答案为(),1-∞．2．(2019·全国高一课时练习)用区间表示下列集合：(1){}1x x ≥=______；(2)201x x x ⎧⎫-≥=⎨⎬+⎩⎭______；(3){}128x x x =≤≤=或______．【答案】[)1,+∞ ()[),12,-∞-+∞ {}[]12,8【解析】(1)根据集合与区间的改写，可得{}[)11,x x ≥=+∞．(2)由20{11x xx x x ⎧⎫-≥=<-⎨⎬+⎩⎭或()[)2}=,12,x ≥-∞-⋃+∞．(3)由{|1x x =或{}[]28}=128x ≤≤⋃，． 3．(2019·全国高一课时练习)用区间表示下列集合：{}1x x >-=______；{}25x x <≤=______； {}3x x ≤-=______；{}24x x ≤≤=______.【答案】()1,-+∞ (]2,5 (],3-∞- []2,4【解析】集合{}1x x >-表示大于1-的所有实数，可用开区间表示为()1,-+∞；集合{}25x x <≤表示大于2且小于或等于5的所有实数，可用左开右闭区间表示为(]2,5；集合{}3x x ≤-表示小于或等于3-的所有实数，可用左开右闭区间表示为(],3-∞-；集合{}24x x ≤≤表示大于或等于2且小于或等于4的所有实数，可用闭区间表示为[]2,4.考点二 函数的判断【例2-1】(2020·浙江高一开学考试)下列各曲线中，不能表示y 是x 的函数的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量．如图，C 选项中，在x 允许的取值范围内取x ＝x 0，此时函数y 与之对应的有2个值，y ＝y 1，y ＝y 2，不符合函数的定义.其它三个选项都符合函数的定义.故选：C ．【例2-2】(2019·浙江湖州.高一期中)下列对应关系是从集合A 到集合B 的函数的是( ) A ．A R =，{}0B x x =>，f ：x y x →=B ．A R =，{}0B x x =>，f ：ln x y x →=C ．A Z =，B N =，f ：x y →=D ．A Z =，B N =，f ：2x y x →= 【答案】D【解析】A.A R =，{}0B x x =>，f ：x y x →=不是函数关系，∵当x ＝0时，|0|＝0，|x |＞0不成立，∴不是函数关系；B. A R =，{}0B x x =>，f ：ln x y x →=的定义域是()0,∞+，不是R ，当0x ≤时，ln y x =无意义，∴不是函数关系；C. A Z =，B N =，f ：x y →=[)0,+∞，不是Z ，当x 是负整数时，y =∴不是函数关系；D. A Z =，B N =，f ：2x y x →=是函数关系.故选：D 【举一反三】1．(2020·上海高一课时练习)如图所示，表示函数图像的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数的定义知，一个x 有唯一的y 对应，由图象可看出，只有选项B 的图象满足这一点．故选：B ．2．(2020·上海高一课时练习)下列各图中能作为函数图像的是( )．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【答案】A【解析】对①②，对于定义域内的任意一个x ，都有唯一的y 值与x 对应，则①②正确； 对③，在[]0,1x ∈内，此时一个x 有两个y 值与x 对应，则③错误； 对④，在[]1,0x ∈-内，此时一个x 有两个y 值与x 对应，则④错误； 故选：A3．(2020·全国高一课时练习)判断下列对应是否为函数： (1)x →y ＝x ，x ∈{x |0≤x ≤6}，y ∈{y |0≤y ≤3}； (2)x →y ＝16x ，x ∈{x |0≤x ≤6}，y ∈{y |0≤y ≤3}； (3)x →y ＝3x ＋1，x ∈R ，y ∈R . 【答案】(1)不是；(2)是；(3)是【解析】(1)根据函数概念知，当4x =时，在{}|03y y ≤≤没有值与x 对应，所以不是函数；(2)根据函数概念，当{}06|x x x ∈≤≤时，{}1|016x x x ∈≤≤，所以对于每一个x 值，都有唯一的y 值与之对应，所以是函数；(3)根据函数概念，对于每一个x 值，都有唯一的y 值与之对应，所以是函数；考点三 定义域【例3-1】(2020·上海高一开学考试)函数()12f x x =-的定义域为( ) A ．[)0,2B ．()2,+∞C ．()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．()(),22,-∞+∞【答案】C 【解析】由21020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得x ≥12且x ≠2．∴函数()12f x x =-的定义域为()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭．故选：C ． 【例3-2】(2020·全国高一)已知(1)f x +的定义域为(2,4)， (1)求()f x 的定义域； (2)求(2)f x 的定义域 【答案】(1)(3，5)；(2)35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】(1))1(f x +的定义域为(2,4)，24x ∴<<，则315x <+<，即()f x 的定义域为(3,5)；(2)()f x 的定义域为(3,5)；∴由325x <<得3522x <<，即(2)f x 的定义域为35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．【举一反三】1．(2019·浙江高一期中)函数1()f x x=的定义域是( ) A ．R B ．[1,)-+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞ D ．[1,0)(0,)-+∞【答案】D【解析】由题意可得：10x +≥，且0x ≠，得到1x ≥-，且0x ≠，故选：D 2．(2019·内蒙古集宁一中高三月考)函数y =的定义域为( )A ．()3,1-B ．[]1,3C ．[]3,1-D ．[]0,1【答案】A【解析】由2032x x --> ，可得31x -<< ， 所以函数y =的定义域为(3,1)- .故选A .3．(2020·浙江高一课时练习)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为________． 【答案】1(1,)2--【解析】由－1<2x ＋1<0，得－1<x<－12，所以函数f(2x ＋1)的定义域为1(1,)2--4．(2020·呼和浩特开来中学高二期末(文))设()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域是___________.【答案】⎡⎣【解析】∵函数()y f x =的定义域为[]0,2， ∴函数()2y f x =满足[]20,2x ∈，解不等式202x ≤≤x ≤≤，即函数()2y f x =的定义域是⎡⎣，故选A5．(2020·全国高一)已知函数()f x 的定义域为[1,2]-，求()()()g x f x f x =+-的定义域 . 【答案】[1,1]-【解析】由题意，函数()f x 的定义域为[1,2]-，则函数()()()g x f x f x =+-满足1212x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，解得1221x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，即11x -≤≤，即函数()g x 的定义域为[1,1]-.6(2020·全国高一)已知函数()f x 的定义域为[1，4]，求12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭的定义域 . 【答案】(,1]-∞-∪1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】由1124x ≤+≤，得112x -≤≤，即110x -≤<或102x<≤， 解得x ≤ 1-，或12x ≥.∴函数的定义域为(-∞，1-]∪[12，+∞). 考点四 解析式【例4】(2020·全国高一课时练习)根据下列条件，求f (x )的解析式. (1)f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9； (2)f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1； (3)12()(0)f f x x x x ⎛⎫+=≠⎪⎝⎭. 【答案】(1)f (x )＝x ＋3；(2)f (x )＝x 2＋2x －2；(3)2()(0)33xf x x x =-≠ 【解析】(1)解由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9， 即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得22329a ab =⎧⎨+=⎩∴a ＝1，b ＝3∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3.(2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1 即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数解析式为f (x )＝x 2＋2x －2. (3)解1()2f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将原式中的x 与1x 互换，得112()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.于是得关于f (x )的方程组()()12112f x f x x f f x x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩解得2()(0)33xf x x x =-≠.【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)根据下列条件，求f (x )的解析式. (1)f (f (x ))＝2x －1，其中f (x )为一次函数； (2)f (2x ＋1)＝6x ＋5； (3)f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x .【答案】(1)()1f x +()1f x =+(2)f (x )＝3x ＋2；(3)21()23f x x x =-.【解析】(1)由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝2x －1由恒等式性质，得221a ab b ⎧=⎨+=-⎩1a b ⎧=⎪∴⎨=-⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=+⎪⎩∴所求函数解析式为()1f x =+()1f x =+(2)设2x ＋1＝t ，则12t x -=1()65322t f t t -∴=⋅+=+ ∴f (x )＝3x ＋2.(3)将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x ，∴联立以上两式消去f (－x )，得3f (x )＝x 2－6x ，21()23f x x x ∴=- 2．(2020·全国高一)(1)已知函数()f x 是一次函数，若()48f f x x =+⎡⎤⎣⎦，求()f x 的解析式； (2)已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +-=，求()f x 的解析式． 【答案】(1)()823f x x =+或()28f x x =--；(2)()21f x x x =-+． 【解析】(1)设()()0f x ax b a =+≠，则()()()()2f f x f ax b a ax b b a x ab b =+=++=++⎡⎤⎣⎦，又()48f f x x =+⎡⎤⎣⎦，所以，248a ab b ⎧=⎨+=⎩，解得283a b =⎧⎪⎨=⎪⎩或28a b =-⎧⎨=-⎩， 因此，()823f x x =+或()28f x x =--； (2)()()20f x ax bx c a =++≠，则()01f c ==，()()12f x f x x +-=，即()()()2211112a x b x ax bx x ++++-++=，即()22ax a b x ++=，所以220a a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩. 因此，()21f x x x =-+.3．(2019·山西高一月考)(1)已知()22112x f x x++=，求()f x 的解析式； (2)已知()132g x g x x ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，求()g x 的解析式． 【答案】(1)()()()222511x x f x x x -+=≠-；(2)()3188x g x x=--- 【解析】(1)由题意得：()12f x +定义域为{}0x x ≠设()121t x t =+≠，则12t x -= ()()()2222112521112t t t f t t t t -⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭∴==≠--⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()222511x x f x x x -+∴=≠-(2)由()132g x g x x ⎛⎫-=+⎪⎝⎭…①得：()1132g g x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭…② ①②联立消去1g x ⎛⎫⎪⎝⎭得：()3188x g x x =--- 考点五 函数值【例5】(2020·浙江高一课时练习)若函数()()221120x f x x x--=≠，那么12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A ．1 B ．3C ．15D ．30【答案】C【解析】由于()()221120x f x x x --=≠，当14x =时，11116151216f -⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选C.【举一反三】1．(2020·浙江杭州 高二期末)已知()2231f x x x =-+，则()1f =( )A ．15B ．21C ．3D ．0【答案】D【解析】根据()f x 的解析式，有()21213112310f =⨯-⨯+=-+=.故选：D2．(2020·上海高一课时练习)已知22()1x f x x=+，则111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭_________． 【答案】72【解析】22()1xf x x =+，222211()()1111x x f x f x x x∴+=+=++，()22111211f =+= 所以111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦1711122=+++=故答案为：723．(2020·全国高一课时练习)若函数f (x )＝221x x+，g (x )()()2f g 的值为____________. 【答案】23【解析】()()()()2222231g f g f ====+.故答案为：234．(2018·浙江下城.杭州高级中学高一期中)若函数()2212f x x x +=-，则()3f =______________． 【答案】-1【解析】当213x +=时1x =,故()3f =()2211121f ⨯+=-=-.故答案为：1-考点六 相等函数【例6】(2019·内蒙古集宁一中高三月考)下列四组函数中,表示同一函数的是( ) A．(),()f x x g x ==B．2(),()f x x g x ==C ．21(),()11x f x g x x x -==+-D．()()f x g x ==【答案】A【解析】对于A :()||f x x =，()||g x x == ，两个函数的定义域和对应关系都相同,表示同一函数；对于B :()f x 的定义域为R,()g x 的定义域为[0,)+∞,两个函数的定义域不同,不是同一函数;对于C .()1(1)f x x x =+≠的定义域为{|1}x x ≠,()1g x x =+的定义域为R ,两个函数的定义域不同,不是同一函数;对于D .()f x 的定义域为{|1}x x ≥,()g x 的定义域为{|1x x ≤-或1}x ≥,两个函数的定义域不同,不是同一函数. 故选A .【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)下列各组函数中，表示同一个函数的是__________(填序号).(1)y ＝x －1和y ＝211x x -+；(2)y ＝x 0和y ＝1；(3)f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2；(4)f (x )＝2x和g (x )＝()2x.【答案】(4)【解析】(1)1y x =-的定义域为R ；211x y x -=+的定义域为{|1}x x ≠-，定义域不同，故不是同一个函数；(2)0y x =的定义域为{|0}x x ≠；1y =的定义域为R ，定义域不同，故不是同一个函数；(3)两个函数的对应关系不同，故不是同一个函数；(4)因为两个函数的定义域均为()0,+∞，且()()1f x g x ==，故两函数是同一个函数. 故答案为：(4)2．(2020·全国高一课时练习)下列函数2y =；2x y x=；=y ；y =y x =是同一函数的是________.【答案】=y【解析】2y =定义域是[0,)+∞，所以与函数y x =不是同一函数；2x y x=定义域是(,0][0,)-∞+∞，所以与函数y x =不是同一函数；==y x ，所以与函数y x =是同一函数；y x =，所以与函数y x =不是同一函数.故答案为：=y 3．(2020·全国高一课时练习)下列对应或关系式中是A 到B 的函数的序号为________. ①，∈∈A R B R ，221x y +=；②A ＝{1，2，3，4}，B ＝{0，1}，对应关系如图：③，==A R B R ，1:2→=-f x y x ；④，==A Z B Z ，:→=f x y 【答案】②【解析】①，∈∈A R B R ，221x y +=，存在x 对应两个y 的情况，所以不是A 到B 的函数；②符合函数的定义，是A 到B 的函数； ③，==A R B R ，1:2→=-f x y x ，对于集合A 中的2x =没有对应y ，所以不是A 到B 的函数； ④，==A Z B Z，:→=f x y A 中的{|0,}x x x z ≤∈没有对应y ，所以不是A 到B 的函数.故答案为：②考点七 分段函数【例7-1】(2020·上海高一开学考试)已知函数2,01,()2,12,1,2,2x x f x x x ⎧⎪≤≤⎪=<<⎨⎪⎪≥⎩，则3[()]2f f f ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的值为( )A ．1B ．2C ．3-D ．12【答案】A【解析】由题意得,3()=22f ,1(2)=2f ,1()=2=1122f ⨯,所以3[()]=[(2)]=()=1212f f f f f f ⎧⎫⎨⎬⎩⎭,故选：A.【例7-2】(2020·全国高一课时练习)设函数若f(a)＝4，则实数a ＝( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2【答案】B【解析】当0a ≤时，()4f a a =-=，解得4a =-；当0a >时，24()f a a ==，解得2a =±，因为0a >，所以2a =，综上，4a =-或2，故答案选B 【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)设()1,01,01,0x x f x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则()()0f f 等于( )A ．1B ．0C ．2D ．-1【答案】C【解析】1,0()1,01,0x x f x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩∴ (0)1f =,((0))(1)112f f f ==+=.故选: C .2．(2020·全国高一课时练习)已知函数y ＝21,02,0x x x x ⎧+≤⎨->⎩，则使函数值为5的x 的值是( )A ．2-或2B ．2或52-C ．2-D ．2或2-或52-【答案】C【解析】当0x ≤时，令5y =，得215x +=，解得2x =-； 当0x >时，令5y =，得25x -=，解得52x =-，不合乎题意，舍去.综上所述，2x =-.故选：C.3．(2020·全国高一课时练习)已知2,11()1,11,1x x f x x x ⎧-≤≤⎪=>⎨⎪<-⎩(1)画出f (x )的图象；(2)若1()4f x =，求x 的值； (3)若1()4f x ≥，求x 的取值范围.【答案】(1)作图见解析；(2)12x =±；(3)11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】(1)函数2yx 的对称轴0x =，当0x =时，0y =；当1x =-时，1y =；当1x =时，1y =，则f (x )的图象如图所示.(2)1()4f x=等价于21114xx-≤≤⎧⎪⎨=⎪⎩①或1114x>⎧⎪⎨=⎪⎩②或1114x<-⎧⎪⎨=⎪⎩③解①得12x=±，②③的解集都为∅∴当1()4f x=时，12x=±.(3)由于1124f⎛⎫±=⎪⎝⎭，结合此函数图象可知,使1()4f x≥的x的取值范围是11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭。

函数的概念、定义域与解析式的变换一、知识梳理＆方法总结1. 函数定义一个或者多个x 对应一个y ，据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点,但与y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个. 一条曲线是函数图象的充要条件是：图象与平行于y 轴的直线至多只有一个交点。

2. 函数的三要素定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则，当两个函数的定义域、值域、对应法则都相同的时候，这两个函数为同一函数，实际应用中只须判断定义域和对应法则相同，则值域必然相同，即为同一函数，但是当值域与对应法则相同时未必是同一函数。

3. 复合函数若()()(),(),y f u u g x x a b u m n ==∈∈,,,，那么()y f g x =⎡⎤⎣⎦称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是()g x 的值域。

4. 具体函数定义域① 分母不能为0② 0次幂的底数不能为0，即)0(00≠=a a ③ 偶次根式下大于等于0④ 有限个函数的四则运算得到新函数其定义域是这有限个函数的定义域交集（作除法时还要去掉使除式为零的x 值）；⑤ 对于由实际问题建立的函数，其定义域还应该受实际问题的具体条件限制 5. 抽象复合函数的定义域① ()f x 的定义域为[,]a b ,求[()]f g x 的定义域⇒()a g x b ≤≤② [()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域⇒当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域 ③ [()]f g x 的定义域为[,]a b ，求[()]f h x 的定义域⇒()g x 的值域()h x =的值域 总结：① 定义域是x 的范围——函数的定义 ② 括号的范围不变——元变限不变6. 分段函数分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。

在求分段函数的值0()f x 时，一定首先要判断0x 属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集，分段函数也可以具有严格单调性. 7. 求函数解析式的常用方法(1) 待定系数法(已知所求函数的类型)； (2) 换元(配凑)法；(3) 赋值法——对已知等式进行赋值，从而出方程组或者直接得出解析式。

专题函数概念及表示方式考点精要1．了解组成函数的要素，会求一些简单函数的概念域和值域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会按照不同的需要选择适当的方式（如图象法、列表法、解析法）表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．4．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．热点分析主要考查简单函数的概念值、值域、表示方式及影射的概念知识梳理1．函数：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，依照肯定的法则f，都有唯一肯定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量，自变量取值的范围（数集A）叫做这个函数的概念域．若是自变量取值a，则由法则f肯定的值y称为函数在a处的函数值，记作y=f（a）或y|x=a所有函数值组成的集合{}y y f x x A=∈叫做这个函数的值域．|(),2．函数两要素：因为函数的值域被函数的概念域和对应法则完全肯定，所以肯定一个函数就只需要两个要素：概念域和对应法则．3．映射：设A，B是两个非空集合，若是依照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B 的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f（x），于是y=f（x），x称作y的原象．映射f也可以记为f：A→B，x→f（x），其中A叫做映射f的概念域（函数概念域的推行），由所有象f（x）组成的集合叫做映射f的值域，通常记作f（A）．4．一一映射：若是映射f是集合A到集合B的映射，而且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时咱们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射．5．函数与映射：对概念域内每一个自变量的值，按照肯定的法则对应唯一的函数值，函数值也在一个数集内转变．于是函数也就是数集到数集的映射．映射是函数概念的推行，函数是一种特殊的映射．这里要注意：在映射中，要求元素的对应形式是“多对一”或“一对一”，一一映射中元素的对应形式必需是“一一对应关系”．6．函数的表示方式：表示函数常常利用的方式有列表法、解析法和图象法三种．列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方式叫做列表法．图象法：对于函数y=f（x）（x∈A）概念域内的每一个x值，都有唯一的y 值与它对应．把这两个对应的数组成有序实数对（x, y）作为点P的坐标，即P （x, y），则所有这些点的集合F叫做函数y=f（x）的图象，即{}==∈．F P x y y f x x A(,)|(),这就是说，若是F是函数y=f（x）的图像，则图像上的任一点的坐标（x, y）都知足函数关系y=f（x）；反之，知足函数关系y=f（x）的点（x, y）都在图象F 上．这种用“图形”表示函数的方式叫做图象法．解析法：若是在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方式叫做解析法（也称为公式法）．7．分段函数：在函数的概念域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如[)[],0,12,1,2x x y x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩；y=|x |；y=|x -1|等．8．求函数概念域：肯定一个函数只需要两个要素，就是概念域和函数的对应法则f ，概念域是自变量x 的取值范围，它是函数不可缺少的组成部份，研究一个函数，首先要肯定它的概念域，即“主角”自变量的“活动舞台”．在中学阶段，所研究的函数多数是能用解析式表示的，若是未加特殊说明，函数的概念域就是指能使函数解析式成心义的所有实数x 的集合，在实际问题中，还必需考虑自变量x 所代表的具体量的允许范围．求函数的概念域，一般要遵循以下几条原则：（1）若f （x ）为整式，则函数的概念域为R ． （2）若f （x ）为分式，则要求分母不为0． （3）若f （x ）为对数形式，则要求真数大于0．（4）若f （x ）为根指数是偶数的根式即偶次根式，则要求被开方式非负．另外，函数解析式涉及零指数幂或负指数幂时，注意底数（式）不能为0；涉及到分数指数幂时，注意底数大于0；若是函数f （x ）是由几个数学式子经由求和、差、积、商组成的，则其概念域是使每一个式子都成心义的实数集合，实际上是一个不等式组的解集合．例题精讲例1.（1） 函数23()lg(31)1x f x x x=++-的概念域是____________（2）已知函数f (2x ）的概念域是［-1，1］，求f (log 2x )的概念域.（3）函数02)23()12lg(2)(x x x x x f -+--=的概念域是（ ）变式题：已知函数f （x ）=31323-+-ax ax x 的概念域是R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞31 B ．－12＜a ≤0 C ．－12＜a ＜0 D ．a ≤31例2.求函数的解析式（1） 已知f （x ）是二次函数，且知足f （x +1）+ f （x -1）=2x 2-4x ，求f （x ）． 练习 ：已知()f x 是一次函数，且(1)(1)23f x f x x +--=+，则()f x =（2）已知()f x 知足12()()3f x f x x +=，求()f x 。

参考答案：第一章 集合与不等式第一节 集合的概念一．选择题:1.D2.C3.D4.C5.B6.A. 二．填空题：7..,,,,,,∉∈∈∉∉∈∈ 8. ()(]2,11,--∞- ， 9. 7. 三．解答题：10.解：（1） 若,,0φ==N m 满足题意，.0=∴m若,21},21{-==-=xm N 满足题意，.2-=∴m若,311},3{===x m N 满足题意，31=∴m 。

}.31,2,0{-=∴P（2）集合P 的子集的个数为8个，P 的非空真子集的个数为6个。

第二节 集合的运算一．选择题1.C2.A3.B4.C5.B6.B7.D. 二．填空题：8.{}5,2 9. ()(){}4,2,1,1- 10.()+∞,2 11.}102|{<<x x 三．解答题：12.}.3,2{},5,3{==B A 13. }6,3{},7,5,3,1{},8,7,6,5,4,3,2,1{===B A U}.8,4,2{)(},7,6,5,3,1{==B A B A C U 14. 解：.,A B B B A ⊆∴=若,42=x 得2±=x 当2-=x 时，}4,1{},4,1,2{=-=B A ，满足题意；当2=x 时，}4,1{},2,4,1{==B A ，满足题意； 若,2x x =得10==x x 或， 当0=x 时，}0,1{},0,4,1{==B A ，满足题意；当1=x 时，},1,4,1{=A 不满足集合元素的互异性，舍去。

}.0,2,2{-∈∴x15.解： 设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15)x -人，只喜爱乒乓球的有(10)x -人，由此可得(15)(10)830x x x -+-++=，解得3x =， 所以1512x -=，即 所求人数为12人。

注：最好作出韦恩图！第三节 充分必要条件一．选择题1.B2.B3.B4.B5.A6.A7.B8.B9.A 10.B.第四节 不等式性质一．选择题1.D2.D3.D. 二．解答题4. 解：（1）解不等式①，得2->x 解不等式②，得1≤x不等式组的解集为(].1,2-（2）解不等式①，得,3-≤x 解不等式②，得1->x∴不等式组的解集为.φ5. 解：,31)()(11+≤-++≤+-y x y x 420≤≤∴x ，即630≤≤x ,31)()(11+≤-++-≤+-y x y x ,420≤-≤∴y 即20≤-≤y .830≤-≤∴y x第五节 一元二次不等式一．选择题1.C2.B3.A4.C5.A. 二．填空题6. },32|{<<x x7.(]2,1-8.}1,1{-9.()1,-∞- 10..22- 三．解答题11. 解：由题意得:,0>a 令02=++c bx ax 两根为：.2,121=-=x x 02=+-∴c bx ax 两根为：.2,121-==x x02>+-∴c bx ax 的解集为}.1,2|{>-<x x x 或12. 解：（1）由题意得：.52,2)2(3,0-=∴=-+-<m m m（2）由题意得：⎩⎨⎧<⋅--=∆<064)2(02m m m 解得,66-<mm ∴的取值范围为}.66|{-<m m 第六节 含绝对值的不等式一．选择题1. C2. C3. D4. B5. C. 二 .解答题6. (1)}3,21|{>-<x x x 或 (2) ⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡-5,2721,2 (3) ),21(+∞7..135232=⨯+=+c a8.解：},51|{},44|{>-<=+<<+-=x x x B a x a x A 或（1）若}.13|{},53|{,1-<<-=∴<<-==x x B A x x A a（2）若R B A = 则⎩⎨⎧>+-<+-5414a a 得.31<<a∴ 实数a 的取值范围为}.31|{<<a a 9.原不等式可转化为02)(2>--x x ，令)0(,≥=t t x 得,022>--t t 解得,2)(1>-<t t 或舍 ,22,2>-<∴>∴x x x 或得原不等式解集为}.22|{>-<x x x 或 10.原不等式可转化为,)2()12(22+≥-x x得331,0)3)(13(≥-≤∴≥-+x x x x 或，得原不等式解集为}.331|{≥-≤x x x 或第七节 线性分式不等式一．选择题1.B2. B3. D4. D5.D.二．解下列不等式6.（1）(]3,2;（2）()()+∞-∞-,43, ;（3）(][)+∞-∞-,41,（4）()()2,01, -∞-;（5）}12|{≥-=x x x 或;（6）]21,0()0,21[ -7.()+∞-,4)2,3( 8.).21,1(--=B A第二章 函数 第一节 函数的概念一． 选择题1. B2. A3. C4. C5. D6. D7. A8. B9. C 10. B 二．填空题11. 9 12. (][)+∞⋃∞-,21, 13. 421三．解答题14. （1）()()()+∞⋃⋃∞-,66,11, （2）[)()+∞⋃,55,2 15. （1）f(0)=-1, f(3)=8 （2）值域为｛-1,5,8｝ 16. ()62=-f ()[]311=-f f第二节 函数的单调性与奇偶性一．选择题1. C2. B3. B4. A5. C6. D7. D8. D9. B 10. A 二．填空题11. 5 12. [)+∞,2 13. ⎥⎦⎤⎝⎛-∞-25,三．解答题14. （1）奇函数 （2）偶函数 15.m 的取值范围为（1,2）第三节 指数式运算及指数函数的图像和性质一． 选择题1. B2. C3. A4. C5. A6. B7. D8. B9. C 10. C 二．填空题11. 5 12. 2 13. [)+∞-,1 三．解答题14. 19 15. y 的最小值为4 16. 21=a第四节 对数式运算及对数函数的图像和性质一． 选择题1. D2. C3. A4. C5. D6. C7. C8. C9. B 10. C 二．填空题11. 1，1 12. (2,3) 13. (0，2) 三．解答题 14. 4 15.41 16. 定义域为：()()+∞⋃-,11,1 17. 定义域为：()2,6-单调递增区间为：()2,6-- 单调递减区间为：[)2,2-第三章 三角函数一.选择题1.B2.B3.D4.A5.A 二.填空题6.ππππαα56-54z k k 2524，，，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=7.S={}z k k ∈=，παα8.{}z k 180k 40∈︒+︒， 一或三 9.二 三.解答题10.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2321，11.若t ＞0则r=5t43-tan 54cos 53-sin ===ααα，，若t ＜0则r=-5t43-tan 54-cos 53sin ===ααα，，第二节 同角三角函数的基本关系及其诱导公式一.选择题1.D2.A3.C4.B5.C 二.填空题6.53±7.54 8.22 9.2 三.解答题 10.-111.（1）-61（2）-52412.135cos 1312sin 1312cos 135sin ====ϕϕϕϕ，或，第三节 三角函数的图象和性质一.选择题1.C2.B3.B4.D5.C 二.填空题7.10 8.奇函数 9.6π 10.3 三.解答题11.（1）⎪⎭⎫⎝⎛++ππππk 265k 265-，（2）（0，π） 12.[-6,3]第四节 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 一.选择题1.D2.B3.B4.B 二.填空题5.-7259 6.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,4340， 7.257 8.2239.2x -153-x 54y =（54＜x ＜1）三.解答题 10.43π 11.2 12.-257第五节 解三角形和正弦型函数一.选择题1.C2.C3.D4.A5.C二.填空题6.12- 8.1932; 9.06C π<≤三.解答题10.解：∵3tan =B ，∴B=60° ∵31cos =C ，∴322sin =C b=AC=36，BC sin bsin c = 得：c=8sinA=sin （B+C ）=sinBcosC+cosBsinC =6223322213123+=⋅+⋅ ∴3826bcsin 21+==A S ABC △ 11.解：（1）-91 （2）49 12.解：）（π32x 2sin 2y +=第四章 数列第一节 数列的概念一.选择题：1.C2.D3.B4.C5.D6.C7.C8.C 二．填空题： ⒐251⒑ 110-=n n a ⒒ 12-=n a n ⒓ 161三.解答题13.（1）12-=n a n （2） 2)1(+=n n a n（3） 22+=n n a n （4）nn a n n 2)12()1(21--=+14.因为pn n S n +=2，n n T n 232-=所以p p p s s a +=--+=-=199811010091010 55182432030091010=+--=-=T T b又1010b a =，所以有19+p=55， 故 p=36.15.因为1322++=n n S n ，所以611==s a ；]1)1(3)1(2[132221+-+--++=-=-n n n n s s a n n n =4n+1所以 ⎩⎨⎧≥+==2,141,6n n n a n第二节 等差数列一.选择题1.D2.A3.A4.D5.C6.D7.B8.A 二.填空题⒐ d=2 ⒑24 ⒒ 4,6,8或8,6,4⒓3 ⒔ 60 三.解答题14.设等差数列}{n a 共有n 项，则由题意得34321=++a a a ，14612=++--n n n a a a 所以 1801463423121=+=+++++--n n n a a a a a a 又 23121--+=+=+n n n a a a a a a 所以601=+n a a ，所以3902602)(1==+=nn a a s n n 故 n=13.15. 设等差数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+==+=982131414010114111d a s d a a 解得 2,201-==d a所以n n d n a a n 222)1(220)1(1-=--=-+= 16.证明：由题意得ba cbc a +++=+112 即=+++++))()(())((2b a c b c a b a c b ++++++))()(())((b a c b c a b a c a ))()(())((b a c b c a c a c b +++++所以有))(())(())((2c a c b b a c a b a c b +++++=++整理得2222c a b +=所以222,,c b a 成等差数列第三节 等比数列一.选择题1.B2.D3.B4.A5.C6.B7.A8.B 二.填空题⒐ 3 ,1 ⒑ 240 ⒒ 55 三.解答题12.12-=n n a ，102310=s13.⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++=15)4)(1()1(22c b a c a b c a b 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧-===1511c b a 或 ⎪⎩⎪⎨⎧===852c b a所以1,5,11-===c b a 或8,5,2===c b a 14. 由题意得q=2所以nn a 2= 因为12222loglog 1+⋅=n nn b =)1(1+n n 所以)1(1431321211+++⨯+⨯+⨯=n n s n =11141313121211+-++-+-+-n n =111+-n =1+n n 所以 1+=n n n s第四节 等差、等比数列的综合应用一．选择题1.A2.B3.B4.A 二.填空题⒌ 15个月 ⒍ 2400 ⒎ 20%⒏ 按五年期零存整取（按a(1+n×6.5%)计本利） 三.解答题9.（1）10600元 （2）元10.(1)设中低价房面积形成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50， 则S n ＝250n ＋－2×50＝25n 2＋225n ，令25n 2＋225n≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n≥10.∴到2017年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．(2)设新建住房面积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400×(1.08)n －1.由题意可知a n >0.85b n ， 有250＋(n －1)×50>400×(1.08)n －1×0.85. 当n ＝5时，a 5<0.85b 5，当n ＝6时，a 6>0.85b 6， ∴满足上述不等式的最小正整数n 为6.∴到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%11.（1）设每年还x 万元，则有10x=10+10×5%+（10-x ）5%+（10-2x ）5%+…+（10-9x ）5% 所以解得x ≈1.2245万元=12245元（2）设每年还x 万元，则有%)41(1]%)41(1[%)41(101010+-+-=+x所以2333.11%)41(%4%)41(101010≈-+⨯+=x 万元=12333元 所以第一种方案更好。

函数基础知识精讲精练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________知识点精讲1、变量与常量变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数的概念一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值．3、函数三种表示方法列表法：列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值（即应变量的对应值）解析法：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

一般情况下，等号右边的变量是自变量，等号左边的变量是因变量。

用函数解析式表示函数关系的方法就是公式法。

图象法：一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．以上三种方法的特点（1）：列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

（2）：解析法：即函数解析式，简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

（3）：图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

4、确定函数自变量取值范围的方法：（1）关系式为整式时，函数自变量取值范围为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数自变量取值范围还要和实际情况相符合，使之有意义5、求函数的值(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．(2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．6、描点法画函数图形的一般步骤（通常选五点法）第一步：列表（根据自变量的取值范围从小到大或从中间向两边取值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

高中数学必修1知识点：函数函数概念与表示课标要求：1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；4．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义；5．学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

要点精讲：1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。

注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x.2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。

（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。

4.4对数函数（精讲）一．对数函数的概念1.概念：一般地，函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞).2.概念理解(1)因为对数函数是指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a >0，且a ≠1.(2)形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y ＝log a x (a >0，且a ≠1)中，log a x 前边的系数必须是1，自变量x 在真数的位置上，否则就不是对数函数.二．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质a >10<a <1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x ＝1时，y ＝0函数值的变化当0<x <1时，y <0，当x >1时，y >0当0<x <1时，y >0，当x >1时，y <0单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数三．对数函数图像两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x ＝1右侧的部分是“底大图低”，如图.四.反函数一般地，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换.一．对数函数的判断1.系数：对数符号前面的系数为12.底数：对数的底数大于0且不等于13.真数：对数的真数仅有自变量x 二．定义域1.分母不能为0；2.根指数为偶数时，被开方数非负；3.对数的真数大于0，底数大于0且不为1.三．比较对数值大小1.同底数的利用对数函数的单调性.2.同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.3.底数和真数都不同，找中间量.4.若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.四.y ＝log a f (x )型函数性质1.定义域：由f (x )>0解得x 的取值范围，即为函数的定义域.2.值域：在函数y ＝log a f (x )的定义域中确定t ＝f (x )的值域，再由y ＝log a t 的单调性确定函数的值域.3.单调性：在定义域内考虑t ＝f (x )与y ＝log a t 的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定)4.奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.5.最值：在f (x )>0的条件下，确定t ＝f (x )的值域，再根据a 确定函数y ＝log a t 的单调性，最后确定最值.6.log a f (x )<log a g (x )型不等式的解法(1)讨论a 与1的关系，确定单调性；(2)转化为f (x )与g (x )的不等关系求解，且注意真数大于零.7.两类对数不等式的解法(1)形如log a f (x )<log a g (x )的不等式.①当0<a <1时，可转化为f (x )>g (x )>0；②当a >1时，可转化为0<f (x )<g (x ).(2)形如log a f (x )<b 的不等式可变形为log a f (x )<b ＝log a a b .①当0<a <1时，可转化为f (x )>a b ；②当a >1时，可转化为0<f (x )<a b .考点一对数函数的概念【例1-1】（2023·全国·高一课堂例题）（多选）下列函数中为对数函数的是（）A ．()12log y x =-B ．24log y x=C ．ln y x =D ．()22log a a y x ++=（a 是常数）【答案】CD【解析】对于A ，真数是x -，故A 不是对数函数；对于B ，242log log y x x ==，真数是x ，不是x ，故B 不是对数函数；对于C ，ln x 的系数为1，真数是x ，故C 是对数函数；对于D ，底数22172124a a a ⎛⎫+=++> ⎪⎝⎭+，真数是x ，故D 是对数函数．故选：CD【例1-2】（2023秋·高一课时练习）若函数()2()33log a f x a a x =-+是对数函数，则a 的值是（）A ．1或2B ．1C ．2D ．0a >且1a ≠【答案】C【解析】∵函数()2()33log a f x a a x =-+是对数函数，∴2331a a -+=，0a >且1a ≠，解得1a =或2a =，∴2a =，故选：C ．【一隅三反】1．（2022秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）下列函数是对数函数的是（）A ．ln y x =B ．22log y x =C ．log 9ax y =D ．2log 2022y x =-【答案】A【解析】形如()log 0,1a y x a a =≠＞的函数叫作对数函数，它的定义域是()0,∞+，对于A ，e ln log y x x ==满足，故A 正确；对于B ，C ，D ，形式均不正确，均错误.故选：A2．（2023秋·高一课前预习）在()()231log 4a b a -=-中，实数a 的取值范围是（）A ．()1,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ B ．122,,2333⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．1,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】要使式子()()231log 4a b a -=-有意义，则231031140a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得1233a <<或223a <<.故A ，C ，D 错误.故选：B.3．（2023秋·高一课时练习）（多选）函数()()()22log 51a y a x -⎡⎤=-+⎣⎦中，实数a 的取值可能是（）A ．52B ．3C ．4D ．5【答案】AC【解析】因为210x +>，所以根据对数函数的定义得：202150a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，即：235a a a >⎧⎪≠⎨⎪<⎩，所以23a <<或35a <<，故选：AC.考点二对数函数的定义域【例2-1】（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）函数()2log f x x x=-的定义域为（）A ．(]0,2B ．(),2∞-C ．()(],00,2∞-⋃D ．[)2,∞+【答案】A【解析】由题意得：2000x x x -≥⎧⎪≠⎨⎪>⎩，解得02x <≤，()f x \定义域为(]0,2.故选：A.【例2-2】（2023秋·辽宁）已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，则函数()()()lg 2f x g x x =-的定义域为.【答案】()(]2,33,5⋃【解析】已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，所以[]1,2x ∈，[]212,5x +∈，所以函数()f x 的定义域为[]2,5，又20x ->，且21x -≠，解得2x >，且3x ≠，所以()g x 定义域为()(]2,33,5⋃.故答案为：()(]2,33,5⋃.【例2-3】（2023秋·江苏连云港·）若函数f (x )＝lg （x 2﹣mx +1）的定义域为R ，则实数m 的取值范围是．【答案】(-2,2)【解析】由题意得210x mx -+>在R 上恒成立，所以240m ∆=-<，解得22m -<<.故答案为：()2,2-.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数2y =）A ．{02}xx <<∣B ．{01xx <<∣或12}x <<C ．{02}xx <≤∣D ．{01xx <<∣或12}x <≤【答案】D【解析】由题意得2200log 0x x x -≥⎧⎪>⎨⎪≠⎩，∴01x <<或12x <≤，故定义域为{01xx <<∣或12}x <≤，故选：D.2．（2023秋·宁夏银川）函数()2log 21xf x x =-的定义域为（）A ．()0,∞+B ．()1,+∞C ．()0,1D ．110,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】由题意得0210x x >⎧⎨-≠⎩，解得110,,22x ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .故选：D3．（2023春·浙江温州）函数2()ln x f x x+=的定义域为（）A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．()()0,11,+∞ 【答案】D【解析】因为2()ln x f x x +=，所以0ln 0x x ≥⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠，所以()f x 的定义域为()()0,11,+∞ .故选：D.考点三对数函数图像的辨析【例3-1】（2023·云南保山）函数()1y a x =-与log a y x =（其中1a >）的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】对于A ，因为1a >，故()1y a x =-为R 上的减函数，其图象应下降，A 错误；对于B ，1a >时，()1y a x =-为R 上的减函数，log a y x =为(0,)+∞上增函数，图象符合题意；对于C ，1a >时，log a y x =为(0,)+∞上增函数，图象错误；对于D ，1a >时，log a y x =为(0,)+∞上增函数，图象错误；故选：B【例3-2】（2023秋·江西南昌·高一统考期末）若01b a <<<，则函数()log b y x a =+的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】01b a <<< ，log b y x ∴=在(0,)+∞上单调递减，且过第一，第四象限，图像向左平移a 个单位，得到log ()b y x a =+，故函数log ()b y x a =+的图象不经过第一象限，故选：A ．【例3-3】（2023秋·高一课时练习）若函数()log (0,a y x b c a =++>且1)a ≠的图象恒过定点()3,2，则实数b =，c =．【答案】－22【解析】】∵函数的图象恒过定点()3,2，∴将()3,2代入()log a y x b c =++，得()2log 3a b c =++．又当0a >，且1a ≠时，log 10a =恒成立，2,31c b ∴=+=，2,2b c ∴=-=．故答案为：2-；2【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数15log y x =，17log y x =，5log y x =的一个是（）A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）【答案】B【解析】因为111775111log log log 575<=，∴（3）是17log y x =，（4）是15log y x =，又155log log x x y -==与5log y x =关于x 轴对称，∴（1）是5log y x =．故选：B ．2．（2023·广西）若函数()2log f x a x =+的图象不过第四象限，则实数a 的取值范围为．【答案】[)1,+∞【解析】函数()2log f x a x =+的图象关于x a =-对称，其定义域为{}x x a ≠-，作出函数()2log f x a x =+的大致图象如图所示，由图可得，要使函数()2log f x a x =+的图象不过第四象限，则()000f a ⎧≥⎨-<⎩，即2log 00a a ⎧≥⎨-<⎩，解得1a ≥，所以实数a 的取值范围为[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞.3．（2023秋·高一课时练习）（多选）已知0a >，且1a ≠，则函数x y a =与log a y x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AC【解析】若01a <<，则函数x y a =的图象单调递减且过点()0,1，函数log a y x =的图象单调递减且过点()1,0；若1a >，则函数x y a =的图象单调递增且过点()0,1，而函数log a y x =的图象单调递增且过点()1,0，只有A,C 的图象符合．故选：AC4．（2023秋·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考期末）函数()log 322a y x =-+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点．【答案】()1,2【解析】令321x -=，解得1x =，此时log 122a y =+=，故()log 322a y x =-+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点()1,2.故答案为：()1,2考点四比较对数值的大小【例4-1】（2023秋·高一课时练习）比较下列各组中两个值的大小．①33log 1.99log 2，.②34log 0.2log 0.2，.③20.3log log 2，3.④log πlog 3.14a a ，(0a >且1)a ≠.【答案】答案见解析【解析】①因为()3log f x x =在(0,)+∞上是增函数，且1.992<，则(1.99)(2)f f <，所以33log 1.99log 2<②作出3log y x =和4log y x =的图象如下图．由图象知34log 0.2log 0.2<.③因为22log 3log 10>=，0.30.3log 2log 10<=,所以20.3log 3log 2>.④当1a >时，函数log a y x =在定义域上是增函数，则有log πlog 3.14a a >；当01a <<时，函数log a y x =在定义域上是减函数，则有log π<log 3.14a a .综上所述，当1a >时，log πlog 3.14a a >；当01a <<时，log π<log 3.14a a .【例4-2】（2023秋·河南南阳·高一统考期末）三个实数1232log 4,log 5,3a b c -===的大小关系为（）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a<<【答案】B【解析】由于333221log 3log 4log 92,log 5log 42=<<=>=，12(0,1)33c -==，故12323log 4log 5c a b -<=<==，故选：B【一隅三反】1．（2023秋·重庆）若3log 6a =，2b =，0.25log 0.125c =，则（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a>>D ．b a c>>【答案】D【解析】因为23142413log log 8log 282c ====，3333log log 6log 922a ==<=，所以b ac >>．故选：D2．（2023秋·湖北武汉）已知0.3log 0.7a =，0.30.7b -=，7log 3c =则（）A ．a c b <<B ．c a b<<C ．c b a<<D ．a b c<<【答案】A【解析】由0.3log y x =在()0,∞+上单调递减可知，0.30.30.3log 1log 0.7log <<即102a <<；由对数函数7log y x =在()0,∞+上单调递增可知，777log log 3log 7<，即112c <<；又可知0.3010.70.7b -==>，即1b >；所以可得a c b <<.故选：A3．（2023秋·广西南宁）设8log 27a =，0.5log 0.2b =，4log 24c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．a c b<<D ．b<c<a【答案】C【解析】8221log 27log 27log 33a ===，0.522log 0.2log 0.2log 5b ==-=，4221log 24log 24log 2c ===因为2log y x =在定义域上是增函数，且35<<，故a c b <<.故选：C.4．（2023秋·宁夏银川）函数() f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，1212311log ,log ,523a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c>>D ．c b a>>【答案】D【解析】】因为函数() f x 是定义在R 上的偶函数，可得133311(log )(log )(log 2)22a f f f ==-=，2221(log )(log 3)(log 3)3b f f f ==-=，由对数的运算性质，可得33log 2log 31<=，2221log 2log 3log 42=<<=，又由2<，所以32log 2log 3<又因为() f x 在[0,)+∞上单调递增，所以32(log 2)(log 3)f f f <<，即c b a >>.故选：D.考点五对数型函数的单调性及应用【例5-1】（2023春·甘肃武威）函数()212log 45y x x =--的递减区间为.【答案】()5,+∞【解析】因为12log y u =在()0,∞+上单调递减，由复合函数的单调性可知，()212log 45y x x =--的递减区间为245u x x =--的单调递增区间，且要满足2450u x x =-->，解得5x >或1x <-，其中()224529u x x x =--=--在()5,+∞上单调递增，故()212log 45y x x =--的递减区间为()5,+∞.故答案为：()5,+∞【例5-2】（2023·河南）设函数()()2ln 4f x x x =-+在(),1a a +上单调递增，则a 的取值范围为（）A ．()0,1B ．[0,2]C ．(0,2)D ．[0,1]【答案】D【解析】由函数240-+>x x ，得04x <<，即函数()f x 的定义域为()0,4，令()()24,0,4g x x x x =-+∈，由函数()g x 的对称轴为：2x =，开口向下，所以()g x 在(]0,2上单调递增，在[)2,4上单调递减，又ln y x =在()0,∞+上单调递增，所以当函数()f x 在(),1a a +上单调递增时，所以根据复合函数的单调性可知：012a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤，故选：D.【一隅三反】1.（2023福建）求函数212y log x 2x 1)=-++（单调(1－2，1)减区间.【答案】(1－2，1)【解析】函数212y log x 2x 1)=-++（的定义域为－x 2＋2x ＋1>0，由二次函数的图象知1－2<x <1＋ 2.∴t ＝－x 2＋2x ＋1在(1－2，1)上是增加的，而在(1，1＋2)上是减少的，而y ＝12y log t =为减函数.∴函数212y log x 2x 1)=-++（的减区间为(1－2，1).2.（2023安徽）已知函数212y log x ax a)=-+（在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a 的取值范围.【答案】[22，2(2＋1)【解析】令g (x )＝x 2－ax ＋a ，g (x )∞，a2上是减函数，∵0<12<1，∴y ＝12y log x =是减函数，而已知复合函数212y log x ax a)=-+（在区间(－∞，2)上是增函数，∴只要g (x )在(－∞，2)上是减少的，且g (x )>0在x ∈(－∞，2)恒成立，2≤a2，（2）＝（2）2－2a ＋a ≥0，∴22≤a ≤2(2＋1)，故所求a 的取值范围是[22，2(2＋1)].3．（2023秋·江苏南通）设函数()()2ln 2f x ax x =-在区间()3,4上单调递减，则a 的取值范围是【答案】[]2,3【解析】ln y t =在()0,∞+单调递增，故22t ax x =-在()3,4单调递减，则3a ≤，又∵220t ax x =->在()3,4恒成立，则8160a -≥，故2a ≥，∴23a ≤≤，考点六解对数不等式【例6-1】（2023秋·高一课时练习）已知函数()()2log 31f x x =-，则使得2()(2)f x f x >+成立的x 的取值范围是（）A ．5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．43,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．13,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．,13⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题设222log (31)log (35)x x ->+，即222log (31)log (35)x x ->+，因为函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，所以()23135310350x x x x ⎧->+⎪->⎨⎪+>⎩，解得43x >.故选：B【例6-2】（2023秋·高一课时练习）不等式log (23)log (56),(1)a a x x a +>->的解集为．【答案】6(,3)5【解析】因为1a >，可得对数函数log a y x =为单调递增函数，则原不等式等价于2305602356x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得635x <<，即原不等式的解集为6(,3)5.故答案为：6(,3)5.【例6-3】（2023秋·陕西渭南）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()f x 单调递减，则不等式()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为.【答案】541216x x ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()f x 单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上递增，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以由()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，得()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭，所以()33log 25log 8x ->，所以()33log 25log 8x -<-或()33log 25log 8x ->，所以10258x <-<或258x ->，解得541216x <<或132x >，所以不等式的解集为541216x x ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.故答案为：541216x x ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）不等式()()31128log 23log 56x x +<-的解集是.【答案】6,35⎛⎫⎪⎝⎭【解析】易知()()()333111822log 56log 56log 56x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-=-=-，由()()31128log 23log 56x x +<-可得()()1122log 23log 56x x +<-；又函数12log x 在()0,∞+为单调递减，所以可得2305602356x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得635x <<.故答案为：6,35⎛⎫⎪⎝⎭2．（2023秋·高一课时练习）解下列关于x 的不等式．(1)1177log log (4)x x >-；(2)()()log 25log 1a a x x ->-；(3)1log 12x>．【答案】(1){}02x x <<(2)答案见解析(3)112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】（1）由题意可得0404x x x x >⎧⎪->⎨⎪<-⎩解得02x <<，所以原不等式的解集为{}02x x <<．（2）当1a >时，原不等式等价于25010251x x x x ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得>4x ，当01a <<时，原不等式等价于25010251x x x x ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩解得542x <<综上所述，当1a >时，原不等式的解集为{}4x x >；当01a <<时，原不等式的解集为542x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.（3）当1x >时，由1log log 2x x x >，可得12x <，此时无解；当01x <<时，由1log log 2xx x >，可得112x <<．综上，原不等式的解集为112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.考点七对数型函数的值域（最值）【例7-1】（2023秋·高一课时练习）函数12log y x =在区间[1,2]上的值域是（）A ．[1,0]-B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞-【答案】A【解析】12log y x = 在[1,2]上是减函数，121log 0x ∴-≤≤，即值域为[1,0]-.故选：A.【例7-2】．（2023·高一校考课时练习）求函数()212log 617y x x =-+的值域.【答案】(],3-∞-【解析】因为函数()212log 617y x x =-+的定义域为：26170x x -+>，而方程26170x x -+=的()2Δ6417320=--⨯=-<，所以26170x x -+>对R x ∀∈恒成立，令：()22617388t x x x =-+=-+≥12log y t =在[)8,+∞上是减函数，所以12log 83y ≤=-，即原函数的值域为(],3-∞-故答案为：(],3-∞-【例7-3】（2023秋·江苏南通）已知函数()22236log log y x x =-+，在[]24x ∈，上的值域为（）A ．15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]46，C ．1564⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】因为函数()22236log log y x x =-+，[]24x ∈，，令2log t x =，则[]12t ∈，.所以原函数转化为223153624y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭,又对称轴为32t =，所以当32t =时，函数取得最小值154，当1t =或2t =时，函数取得最大值为4，所以所求函数的值域为15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：A ．【例7-4】（2023春·重庆北碚）已知函数2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（）A ．(][)218-∞⋃∞,,+B ．()2,18C ．(][)0,218,+∞ D ．[][)0,218,+∞ 【答案】D【解析】由2(6)2y ax a x =+-+，a 不等于0时，()226422036a a a a ∆=--⨯=-+,当20,20360a a a >∆=-+<得218a <<，二次函数2(6)2y ax a x =+-+没有最大值，有最小值，2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦没有最大值，有最小值，不合题意.当20,20360a a a >∆=-+≥得18a ≥，02a <≤，二次函数2(6)2y ax a x =+-+没有最大值，有最小值，2(6)20y ax a x =+-+> ,2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦没有最大值，没有最小值，(][)0,218,a ∴∈+∞ 当20,20360a a a <∆=-+≥得a<0，二次函数2(6)2y ax a x =+-+有最大值，没有最小值，2(6)20y ax a x =+-+> ,2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦有最大值，没有最小值，不合题意.当20,20360a a a <∆=-+<无解.当0a =,2(6)262y ax a x x =+-+=-+既没有最大值，也没有最小值，2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦没有最大值，没有最小值，0a ∴=.[][)0,218,a ∴∈+∞ 故选：D.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数()52log 1y x x =+≥的值域为（）A ．()2,+∞B ．(),2-∞C ．[)2,+∞D ．[)3,+∞【答案】C【解析】由1x ≥知5log 0x ≥，2y ≥，值域是[)2,+∞．故选：C2．（2023·全国·高一假期作业）函数()212log 617y x x =-+的值域是．【答案】(,3]-∞-【解析】令2617t x x =-+，则12log y t =，因为22617(3)88t x x x =-+=-+≥，所以2617t x x =-+的值域为[8,∞+），因为12log y t =在[8,∞+）是减函数，所以1122log log 8-3y t =≤=，所以212log (617)y x x =-+的值域为(,3]-∞-，故答案为：(,3]-∞-3．（2023·全国·高一专题练习）已知()()31log 19f x x x =+≤≤，设()()()22g x f x f x =+，则函数()y g x =的值域为．【答案】[2,7]【解析】由题意得21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则13x ≤≤，即()()()22g x f x f x =+的定义域为[1,3]，故()()()2223323321log )1log (log )4log 2(g x f x f x x x x x ++=+=+=++，令3log ,([0,1])x t t =∈，则2242(2)2y t t t =++=+-，函数2(2)2y t =+-在[0,1]上单调递增，故[2,7]y ∈，故函数()y g x =的值域为[2,7]，故答案为：[2,7]4．（2023·全国·高一假期作业）函数()()2log 2,f x x x =∈142⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为．【答案】14-/0.25-【解析】显然0x >，∴()()()22221log 2log log 42f x x x x ==⋅()()2222221log log 42log log log 2x x x x =+=+，令2log x t =，∵x ∈142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，∴t ∈[－1，2]，则()2111244g t t ⎛⎫=+-≥- ⎪⎝⎭，当且仅当t ＝－12即x时，有()min 14f x =-.故答案为：14-5．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）设0a >且1a ≠，若函数()7,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩的值域是[)5,+∞，则a 的取值范围是【答案】(【解析】由于函数7,2()(03log ,2a x x f x a x x -+≤⎧=>⎨+>⎩且1)a ≠的值域是[5,)+∞，故当2x ≤时，满足()75f x x =-≥.若1,()3log a a f x x >=+在它的定义域上单调递增，当2x >时，由()3log 5a f x x =+≥，log 2,log 22,1a a x a ∴≥∴≥∴<≤若01,()3log a a f x x <<=+在它的定义域上单调递减，()3log 3log 23a a f x x =+<+<，不满足()f x 的值域是[5,)+∞.综上可得，1a <≤考点八对数函数性质的综合运用【例8】（2023秋·山西长治）已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0,1)a g x x a a =->≠且．(1)求函数()()f x g x +的定义域；(2)判断函数()()f x g x +的奇偶性，并说明理由；(3)讨论函数()()f x g x +的值域．【答案】(1)()1,1-(2)偶函数，理由见解析(3)答案见解析【解析】（1）10x +>且10x ->，得11x -<<，即定义域为()1,1-.（2）因为定义域关于原点对称，且()log (1)log (1)()a a f x x x f x -=-++=，所以函数为偶函数.（3）()()2log (1)log (1)log (1)a a a f x g x x x x +=++-=-，令21t x =-，由11x -<<，得01t <≤，则log a y t =，(0,1]t ∈，当1a >时，log 0a y t =≤，所以原函数的值域为(,0]-∞；当01a <<时，log 0a y t =≥，所以原函数的值域为[0,)+∞.【一隅三反】1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考阶段练习）设函数()()()33log 9log 3f x x x =⋅，且199x ≤≤．（1）求3f （）的值；（2）若令3log t x =，求实数t 的取值范围；（3）将()y f x =表示成以()3log t t x =为自变量的函数，并由此求函数()y f x =的最大值与最小值及与之对应的x 的值．【答案】（1）6；（2）[]22-，；（3）1()4min f x =-，此时9x =-；()12max f x =，此时9x =．【解析】（1）333log 27log 9326f =⋅=⨯=（）；（2）3log t x =，又199x ≤≤ ，32log 2x ∴-≤≤，22t ∴-≤≤，所以t 的取值范围为[]22-，；（3）由()()()223333log 2log 1(log )2log 232f x x x x x t t =++=++=++，令()223132()24g t t t t =++=+-，[]22t ∈-，，①当32t =-时，1()4min g t =-，即33log 2x =-，解得9x =，所以1()4min f x =-，此时x =；②当2t =时，()212max g t g ==（），即3log 29x x =⇒=，()12max f x ∴=，此时9x =．2（2023·湖北随州）已知函数()()log 3a f x ax =-(0a >，且1a ≠).（1）求()f x 的定义域.（2）是否存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）存在，a =.【解析】（1）根据对数型函数定义的求法简单计算即可.（1）由题意可得30ax ->，即3ax <，因为0a >，所以解得3x a<.故()f x 的定义域为3,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）假设存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2.设函数()3g x ax =-，由0a >，得0a -<，所以()g x 在区间[]1,2上为减函数且()0g x >恒成立，因为()f x 在区间[]1,2上单调递减，所以1a >且320a ->，即312a <<.又因为()f x 在区间[]1,2上的最大值为2，所以()()()max 1log 32a f x f a ==-=，整理得230a a +-=，解得)0a a =>.因为34<<，所以131,22a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以存在实数12a =，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2.3．（2023江苏淮安）已知()lg(f x ax =是定义在R 上的奇函数，其中0a >．（1）求a 的值；（2）判断()f x 在[0,)+∞上的单调性，并证明；（3）若对于任意的x R ∈都有()f x mx >-成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1a =；（2）函数单调递增，证明见解析；（3）02m ≤≤.【解析】（1）()()((lg lg f x f x ax ax -+=-+()222lg 10x a x =+-=，得21a =，0a > ，1a ∴=；（2）()(lg f x x =，设()t x x =120x x ≤<，()()1212t x t x x x -=()221212x x x x =-+=-+()121x x ⎛⎫ =- ⎝120x x ≤< ，()()12t x t x ∴<()t x ∴单调递增，根据复合函数的单调性可知()(lg f x x =单调递增；（3） ))()lg lg mx mx f mx --==+=，(()f x f mx ∴>，由（1）（2）可知函数是奇函数，并且在[)0,∞+单调递增，所以函数在R 上单调递增，x mx ∴>，当0x >时，1m <=min1m ⎛< ⎝，因为12>，则2m ≤，当0x <时，1m >=max1m ⎛> ⎝，因为10<，则0m ≥，当0x =时，m R ∈，综上可知，对x ∀∈R 恒成立，即02m ≤≤.。

函数的概念及其表示一、知识梳理1．函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．5．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．（1）满足不等式b x a ≤≤的实数的x 集合叫做闭区间，表示为[]b ,a ； （2）满足不等式b x a <<的实数的x 集合叫做开区间，表示为()b ,a ； （3）满足不等式b x a <≤的实数的x 集合叫做半开半闭区间，表示为[)b a ，； （4）满足不等式b x a ≤<的实数的x 集合叫做也叫半开半闭区间，表示为(]b ,a ；说明：① 对于[]b ,a ，()b ,a ，[)b a ，，(]b ,a 都称数a 和数b 为区间的端点，其中a 为左端点，b 为右端点，称b-a 为区间长度；② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：不等式表示法：3<x<7（一般不用）；区间表示法：()73，；③ 在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；④ 实数集R 也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足x ≥a, x>a, x ≤b, x<b 的 实数x 的集合分别表示为[a,+∞]、（a,+∞）、(-∞,b)、(-∞,b)。

函数及其表示考点一 求定义域的几种情况①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是对数函数，真数应大于零。

⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。

⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑦若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题 考点二 映射个数公式 Card(A)=m,card(B)=n, m,n ∈N*,则从A 到B 的映射个数为nm。

简单说成“前指后底”。

方法技巧清单方法一 函数定义域的求法 2．（2009江西卷理）函数y =的定义域为 ( )A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1]-解析 由21011141340x x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<--+>⎩⎩.故选C1.下列各组函数中表示同一函数的是（ ）A.y=55x和xy 2=B.y=lnex和exy ln =C.()()()()3131+=-+-=x y x x x y 和 D.xx y y 001==和2．函数y=f(x)的图像与直线x=2的公共点个数为A. 0个B. 1个C. 0个或1个D. 不能确定 3．已知函数y=22-x定义域为{}2,1.0,1-，则其值域为2（2010天津文数）设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是（A ）9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦【解析】依题意知22222(4),2()2,2x x x x f x x x x x ⎧-++<-⎪⎨--≥-⎪⎩，222,12()2,12x x x f x x x x ⎧+<->⎪⎨---≤≤⎪⎩或ⅱ求分段函数函数值3．（2010湖北文数）3.已知函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f = A.4 B.14C.-4D-14【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211(())(2)294f f f -=-==，所以B 正确. ⅲ解分段函数不等式 4.（2009天津卷文）设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ） A.),3()1,3(+∞⋃- B.),2()1,3(+∞⋃- C.),3()1,1(+∞⋃- D.)3,1()3,(⋃--∞ 答案 A 解析 由已知，函数先增后减再增当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f解得3,1==x x。

2013高中数学精讲精练第二章函数【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。

其中最重要的一条是“不漏不重”．“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．第1课 函数的概念【考点导读】1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数． 【基础练习】1．设有函数组：①y x =，y =②y x =，y =③y =y =；④1(0),1(0),x y x >⎧=⎨-<⎩，x y x =；⑤lg 1y x =-，lg 10xy =．其中表示同一个函数的有___②④⑤___． 2.设集合{02}M x x =≤≤，{02}N y y =≤≤，从M 到N 有四种对应如图所示：其中能表示为M 到N 的函数关系的有_____②③____． 下列函数定义域：(1) ()13f x x =-的定义域为______________； (2) 21()1f x x =-的定义域为______________； (3)1()f x x =的定义域为______________； (4)()f x =_________________．4．已知三个函数:(1)()()P x y Q x =；(2)y =(*)n N ∈； (3)()log ()Q x y P x =．写出使各函数式有意义时，()P x ，()Q x 的约束条件：(1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________． 5.写出下列函数值域：(1) 2()f x x x =+，{1,2,3}x ∈；值域是{2,6,12}． (2) 2()22f x x x =-+； 值域是[1,)+∞． (3) ()1f x x =+，(1,2]x ∈． 值域是(2,3]．【范例解析】①②③④R {1}x x ≠± [1,0)(0,)-⋃+∞ (,1)(1,0)-∞-⋃- ()0Q x ≠ ()0P x ≥ ()0Q x >且()0P x >且()1Q x ≠例1.设有函数组：①21()1x f x x -=-，()1g x x =+；②()f x =，()g x =③()f x =()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个函数的有③④．分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．解：在①中，()f x 的定义域为{1}x x ≠，()g x 的定义域为R ，故不是同一函数；在②中，()f x 的定义域为[1,)+∞，()g x 的定义域为(,1][1,)-∞-⋃+∞，故不是同一函数；③④是同一函数．点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可． 例2.求下列函数的定义域：①12y x =+- ②()f x = 解：（1）① 由题意得：220,10,x x ⎧-≠⎪⎨-≥⎪⎩解得1x ≤-且2x ≠-或1x ≥且2x ≠，故定义域为(,2)(2,1][1,2)(2,)-∞-⋃--⋃⋃+∞．② 由题意得：12log (2)0x ->，解得12x <<，故定义域为(1,2)．例3.求下列函数的值域：（1）242y x x =-+-，[0,3)x ∈；（2）221x y x =+()x R ∈；（3）y x =-分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域． （1） 解：2242(2)2y x x x =-+-=--+，[0,3)x ∈，∴函数的值域为[2,2]-；（2） 解法一：由2221111x y x x ==-++，21011x <≤+，则21101x -≤-<+，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)．解法二：由221x y x =+，则21y x y =-，20x ≥，∴01y y ≥-，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)．（3t =(0)t ≥，则21x t =-，2221(1)2y t t t ∴=--=--，当0t ≥时，2y ≥-，故函数值域为[2,)-+∞．点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．【反馈演练】(,0]-∞1．函数f (x )＝x21-的定义域是___________．2．函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为_________________． 3. 函数21()1y x R x=∈+的值域为________________． 4.函数23y x =-+的值域为_____________． 5．函数)34(log 25.0x x y -=的定义域为_____________________．6.记函数f (x )=132++-x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． (1) 求A ；(2) 若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0，x <－1或x ≥1， 即A =(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ． (2) 由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0．∵a <1，∴a +1>2a ，∴B=(2a ，a +1) ． ∵B ⊆A ， ∴2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2，而a <1， ∴21≤a <1或a ≤－2，故当B ⊆A 时， 实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[21,1)．第2课 函数的表示方法【考点导读】(1,2)(2,3)⋃ (0,1] (,4]-∞ 13[,0)(,1]44-⋃1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式． 【基础练习】1.设函数()23f x x =+，()35g x x =-，则(())f g x =_________；(())g f x =__________． 1()1f x x=+，2()2g x x =+,则(1)g -=_____3_______；[(2)]f g =17；[()]f g x =213x +．3.已知函数()f x 是一次函数，且(3)7f =，(5)1f =-,则(1)f =__15___．4.设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x --≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝_____________． 解析式为__________________________． 【范例解析】()y f x =的最小值等于4，且(0)(2)6f f ==，求()f x 的解析式．分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．解法一：设2()(0)f x ax bx c a =++>，则26,426,4 4.4c a b c ac b a ⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪-⎪=⎪⎩解得2,4,6.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求的解析式为2()246f x x x =-+．解法二：(0)(2)f f =，∴抛物线()y f x =有对称轴1x =．故可设2()(1)4(0)f x a x a =-+>．将点(0,6)代入解得2a =．故所求的解析式为2()246f x x x =-+．解法三：设()() 6.F x f x =-，由(0)(2)6f f ==，知()0F x =有两个根0，2， 可设()()6(0)(2)F x f x a x x =-=--(0)a >，()(0)(2)6f x a x x ∴=--+，将点(1,4)代入解得2a =．故所求的解析式为2()246f x x x =-+．点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式． 例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km ，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y （km ）与时间x （分）的关系．试写出()y f x =的函数解析式．分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．解：当[0,30]x ∈时，直线方程为115y x =，当[40,60]x ∈时，直线方程为1210y x =-， 第5题xy O 1 2 3 4 10 20 30 40 50 60 例267x - 64x + 413|1|2323--=x y (0≤x ≤2)1[0,30],15()2(30,40),1[40,60].210x x f x x x x ⎧⎪∈⎪∴=∈⎨⎪∈⎪-⎩点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域． 【反馈演练】1．若()2x x e e f x --=，()2x xe e g x -+=，则(2)f x =（ D ）Ａ． 2()f x Ｂ．2[()()]f x g x + Ｃ．2()g x Ｄ． 2[()()]f x g x ⋅2．已知1(1)232f x x -=+，且()6f m =，则m 等于________．3. 已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ．求函数g (x )的解析式． 解：设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则0000,,2.0,2x xx x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故．第3课 函数的单调性【考点导读】14-1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义； ．【基础练习】 1.下列函数中： ①1()f x x=； ②()221f x x x =++； ③()f x x =-； ④()1f x x =-．其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___．y x x =的递增区间是___ R ___．y =__________． ()y f x =在定义域R 上是单调减函数，且(1)(2)f a f a +>，则实数a 的取值范围__________．5.已知下列命题：①定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 是R 上的增函数； ②定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 在R 上不是减函数；③定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间[0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数；④定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间(0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数．其中正确命题的序号有_____②______． 【范例解析】例 . 求证：（1）函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调递增函数； （2）函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调递增函数． 分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定． 证明：（1）对于区间3(,]4-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，因为22121122()()231(231)f x f x x x x x -=-+---+-2221122233x x x x =-+-1212()[32()]x x x x =--+，又1234x x <≤，则120x x -<，1232x x +<，得1232()0x x -+>， 故1212()[32()]0x x x x --+<，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．(,1]-∞- (1,)+∞所以，函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调增函数． （2）对于区间(,1)-∞-内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 因为1212122121()()11x x f x f x x x ---=-++12123()(1)(1)x x x x -=++， 又121x x <<-，则120x x -<，1(1)0x +<，2(1)0x +<得，12(1)(1)0x x ++> 故12123()0(1)(1)x x x x -<++，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-上是单调增函数． 同理，对于区间(1,)-+∞，函数21()1x f x x -=+是单调增函数；所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调增函数．点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值1x ，2x ；（2）作差12()()f x f x -，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．()f x =分析：作差后，符号的确定是关键．解：由120x ->，得定义域为1(,)2-∞．对于区间1(,)2-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，则12()()f x f x -===又120x x -<0>，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <．所以，()f x 在区间1(,)2-∞上是增函数．点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定．【反馈演练】(0,1)1．已知函数1()21x f x =+，则该函数在R 上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________． 2．已知函数2()45f x x mx =-+在(,2)-∞-上是减函数，在(2,)-+∞上是增函数，则(1)f =__25___.3.函数y =1[2,]2--.4. 函数2()1f x x x =-+的单调递减区间为1(,1],[,1]2-∞-． 5. 已知函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：设对于区间(2,)-+∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 则12121211()()22ax ax f x f x x x ++-=-++2112(12)()0(2)(2)a x x x x --=<++，120x x -<，1(2)0x +>，2(2)0x +>得，12(2)(2)0x x ++>，120a ∴-<，即12a >．第4课 函数的奇偶性【考点导读】1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数． 【基础练习】1.给出4个函数：①5()5f x x x =+；②421()x f x x-=；③()25f x x =-+；④()x xf x e e -=-． 其中奇函数的有___①④___；偶函数的有____②____；既不是奇函数也不是偶函数的有____③____． 2. 设函数()()()xa x x x f ++=1为奇函数，则实数=a －1 ．3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ）A .R x x y ∈-=,3B .R x x y ∈=,sinC .R x x y ∈=,D .R x x y ∈=,)21(【范例解析】例1.判断下列函数的奇偶性：（1）2(12)()2x xf x +=； （2）()lg(f x x =；（3）221()lg lgf x x x=+； （4）()(1f x x =- （5）2()11f x x x =+-+； （6）22(0),()(0).x x x f x x x x⎧-+≥⎪=⎨<+⎪⎩分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断． 解：（1）定义域为x R ∈，关于原点对称；2222(12)2(12)()222x x x x x x f x ----+⋅+-===⋅2(12)()2x xf x +=, 所以()f x 为偶函数．（2）定义域为x R ∈，关于原点对称；()()lg(lg(lg10f x f x x x -+=-+==，()()f x f x ∴-=-，故()f x 为奇函数．（3）定义域为(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，关于原点对称；()0f x =，()()f x f x ∴-=-且()()f x f x -=，所以()f x 既为奇函数又为偶函数．（4）定义域为[1,1)x ∈-，不关于原点对称；故()f x 既不是奇函数也不是偶函数． （5）定义域为x R ∈，关于原点对称；(1)4f -=，(1)2f =，则(1)(1)f f -≠且(1)(1)f f -≠-，故()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（6）定义域为x R ∈，关于原点对称；22()()(0),()(0).()()x x x f x x x x ⎧--+-->⎪-=⎨-<-+-⎪⎩，22(0),()(0).x x x f x x x x ⎧-->⎪∴-=⎨<-⎪⎩又(0)0f =， 22(0),()(0).x x x f x x x x⎧--<⎪∴-=⎨≥-⎪⎩()()f x f x ∴-=-，故()f x 为奇函数．点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即()()f x f x -=-或()()f x f x -=判断，注意定义的等价形式()()0f x f x -+=或()()0f x f x --=．例2. 已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当0x >时，2()22f x x x =-+，求函数()f x 的解析式，并指出它的单调区间．分析：奇函数若在原点有定义，则(0)0f =． 解：设0x <，则0x ->，2()22f x x x ∴-=++．又()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，2()()22f x f x x x ∴=--=---． 当0x =时，(0)0f =．综上，()f x 的解析式为2222,0()0,0022,x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪<---⎩． 作出()f x 的图像，可得增区间为(,1]-∞-，[1,)+∞，减区间为[1,0)-，(0,1]．点评：（1）求解析式时0x =的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“⋃”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“x -”实现转化；（4）根据图像写单调区间．【反馈演练】1．已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则（ D ）A ．()()76f f >B ．()()96f f >C ．()()97f f >D ．()()107f f >2. 在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数()x f （ B ）[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数 []1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数 []1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数 []1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数3. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为____1，3 ___． 4．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f ________．5．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取 值范围是（－2，2）．6. 已知函数21()ax f x bx c+=+(,,)a b c Z ∈是奇函数．又(1)2f =，(2)3f <,求a ，b ，c 的值；解：由()()f x f x -=-，得()bx c bx c -+=-+，得0c =．又(1)2f =，得12a b +=，而(2)3f <，得4131a a +<+，解得12a -<<．又a Z ∈，0a ∴=或1． 若0a =，则12b Z =∉，应舍去；若1a =，则1b Z =∈．所以，1,1,0a b c ===．综上，可知()f x 的值域为{0,1,2,3,4}．第5 课 函数的图像【考点导读】1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质；252.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法． 【基础练习】1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：（1）2x y =12x y -= 123x y -=+；（2）2log y x =2log ()y x =- 2log (3)y x =-． 2.作出下列各个函数图像的示意图：（1）31xy =-； （2）2log (2)y x =-； （3）21xy x -=-． 解：（1）将3xy =的图像向下平移1个单位，可得31xy =-的图像．图略； （2）将2log y x =的图像向右平移2个单位，可得2log (2)y x =-的图像．图略；（3）由21111x y x x -==---，将1y x =的图像先向右平移1个单位，得11y x =-的图像，再向下平移1个单位，可得21x y x -=-的图像．如下图所示：3.作出下列各个函数图像的示意图：（1）12log ()y x =-； （2）1()2xy =-； （3）12log y x =； （4）21y x =-．解：（1）作12log y x =的图像关于y 轴的对称图像，如图1所示；（2）作1()2xy =的图像关于x 轴的对称图像，如图2所示；（3）作12log y x =的图像及它关于y 轴的对称图像，如图3所示；（4）作21y x =-的图像，并将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，如图4所示．图3向右平移1个单位 向上平移3个单位作关于y 轴对称的图形 向右平移3个单位图44. 函数()|1|f x x =-的图象是（ B ）【范例解析】2()223f x x x =-++及()f x -，()f x -，(2)f x +，()f x ，()f x 的图像．分析：根据图像变换得到相应函数的图像． 解：()y f x =-与()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =-与()y f x =的图像关于x 轴对称；将()y f x =的图像向左平移2个单位得到(2)y f x =+的图像；保留()y f x =的图像在x 轴上方的部分，将x 轴下方的部分关于x 轴翻折上去，并去掉原下方的部分； 将()y f x =的图像在y 轴右边的部分沿y 轴翻折到y 轴的左边部分替代原y 轴左边部分，并保留()y f x =在y 轴右边部分．图略．点评：图像变换的类型主要有平移变换，对称变换两种．平移变换：左“+”右“－”，上“+”下“－”；对称变换：()y f x =-与()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =-与()y f x =的图像关于x 轴对称；()y f x =--与()y f x =的图像关于原点对称；()y f x =保留()y f x =的图像在x 轴上方的部分，将x 轴下方的部分关于x 轴翻折上去，并去掉原下方的部分；()y f x =将()y f x =的图像在y 轴右边的部分沿y 轴翻折到y 轴的左边部分替代原y 轴左边部分，并保留()y f x =在y 轴右边部分． 例54)(2--=x x x f .（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像； （2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明.分析：根据图像变换得到)(x f 的图像，第（3）问实质是恒成立问题． 解：（1）（2）方程5)(=x f 的解分别是4,0,142-和142+，由于)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减，在]2,1[-和),5[∞+上单调递增，因此(][)∞++-∞-=,142]4,0[142, A . 由于A B ⊂∴->-<+,2142,6142.【反馈演练】1．函数111--=x y 的图象是（ B ）Oyx11 Oy11 x2. 为了得到函数xy )31(3⨯=的图象，可以把函数xy )31(=的图象向右平移1个单位长度得到． 3．已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k =14-． 4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y =f (x )的图象关于直线21=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ． 5. 作出下列函数的简图：（1）2(1)y x x =-+； （2）21x y =-； （3）2log 21y x =-．第6课 二次函数【考点导读】1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质；2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．【基础练习】1. 已知二次函数232y x x =-+,则其图像的开口向__上__；对称轴方程为32x =；顶点坐标为 31(,)24-，与x 轴的交点坐标为(1,0),(2,0)，最小值为14-． 2. 二次函数2223y x mx m =-+-+的图像的对称轴为20x +=,则m =__－2___，顶点坐标为(2,3)-，递增区间为(,2]-∞-，递减区间为[2,)-+∞．3. 函数221y x x =--的零点为11,2-． 4. 实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠两实根异号的充要条件为0ac <；有两正根的充要条件为0,0,0b c a a ∆≥->>；有两负根的充要条件为0,0,0b ca a∆≥-<>．5. 已知函数2()23f x x x =-+在区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是__________．【范例解析】例1.设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈． （1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）若2a =时，求)(x f 的最小值． 分析：去绝对值．解：（1）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数．当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠．此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．（2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=2123)(22x x x x x x x f由于)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ，在)2,(-∞内的最小值为43)21(=f ． 故函数)(x f 在),(∞-∞内的最小值为43． 点评：注意分类讨论；分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值．()f x 212ax x a =+-()a R ∈在区间2]的最大值记为)(a g ，求)(a g 的表达式．分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况．解：∵直线1x a =-是抛物线()f x 212ax x a =+-的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论： （1）当0>a 时，函数()y f x =，2]x ∈的图象是开口向上的抛物线的一段，由10x a=-<知()f x在2]x ∈上单调递增，故)(a g (2)f =2+=a ；（2）当0=a 时，()f x x =，2]x ∈，有)(a g =2；[1,2]（3）当0<a 时，，函数()y f x =，[2,2]x ∈的图象是开口向下的抛物线的一段，若1x a=-]2,0(∈即22-≤a 时，)(a g (2)2f ==，若1x a =-]2,2(∈即]21,22(--∈a 时，)(a g 11()2f a a a=-=--， 若1x a =-),2(+∞∈即)0,21(-∈a 时，)(a g (2)f =2+=a ．综上所述，有)(a g =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-≤<---->+)22(2)2122(,21)21(2a a a a a a ． 点评：解答本题应注意两点：一是对0a =时不能遗漏；二是对0a ≠时的分类讨论中应同时考察抛物线的开口方向，对称轴的位置及()y f x =在区间[2,2]上的单调性．【反馈演练】1．函数[)()+∞∈++=,02x c bx x y 是单调函数的充要条件是0b ≥．2．已知二次函数的图像顶点为(1,16)A ，且图像在x 轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为2215y x x =-++．3. 设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为下列四图之一：则a 的值为 （ B ）A ．1B ．－1C ．251-- D ．251+- 4．若不等式210x ax ++≥对于一切1(0,)2x ∈成立，则a 的取值范围是5[,)2-+∞． 5.若关于x 的方程240x mx -+=在[1,1]-有解，则实数m 的取值范围是(,5][5,)-∞-⋃+∞．6.已知函数2()223f x x ax =-+在[1,1]-有最小值，记作()g a ． （1）求()g a 的表达式； （2）求()g a 的最大值．解：（1）由2()223f x x ax =-+知对称轴方程为2ax =， 当12a≤-时，即2a ≤-时，()(1)25g a f a =-=+； 当112a-<<，即22a -<<时，2()()322a a g a f =-=-；当12a≥，即2a ≥时，()(1)52g a f a ==-； 综上，225,(2)()3,(22)252,(2)a a a g a a a a +≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩．（2）当2a ≤-时，()1g a ≤；当22a -<<时，()3g a ≤；当2a ≥时，()1g a ≤．故当0a =时，()g a 的最大值为3．7. 分别根据下列条件,求实数a 的值：（1）函数2()21f x x ax a =-++-在在[0,1]上有最大值2； （2）函数2()21f x ax ax =++在在[3,2]-上有最大值4．解：（1）当0a <时，max ()(0)f x f =，令12a -=，则1a =-； 当01a ≤≤时，max ()()f x f a =，令()2f a =，a ∴=； 当1a >时，max ()(1)f x f =，即2a =． 综上，可得1a =-或2a =．（2）当0a >时，max ()(2)f x f =，即814a +=，则38a =； 当0a <时，max ()(1)f x f =-，即14a -=，则3a =-．综上，38a =或3a =-． 8. 已知函数2(),()f x x a x R =+∈．（1）对任意12,x x R ∈，比较121[()()]2f x f x +与12()2x x f +的大小； （2）若[1,1]x ∈-时，有()1f x ≤，求实数a 的取值范围．解：（1）对任意1x ，2x R ∈，212121211[()()]()()0224x x f x f x f x x ++-=-≥ 故12121[()()]()22x x f x f x f ++≥． （2）又()1f x ≤，得1()1f x -≤≤，即211x a -≤+≤，得2max 2min (1),[1,1](1),[1,1]a x x a x x ⎧≥--∈-⎪⎨≤-+∈-⎪⎩，解得10a -≤≤．第7课 指数式与对数式【考点导读】1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质；2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件；4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算． 【基础练习】1.写出下列各式的值：(0,1)a a >≠=3π-； 238=____4____； 3481-=127； log 1a =___0_____； log a a =____1____；log 4=__－4__．2.化简下列各式：(0,0)a b >>（1）2111333324()3a ba b ---÷-=6a -；（2）2222(2)()a a a a ---+÷-=2211a a -+．3.求值：（1）35log(84)⨯=___－38____；（2）33(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)+⋅+=____1____；（3）234567log 3log 4log 5log 6log 7log 8⨯⨯⨯⨯⨯=_____3____． 【范例解析】 例1. 化简求值：（1）若13a a -+=，求1122a a --及442248a a a a --+-+-的值；（2）若3log 41x =，求332222x xx x--++的值． 分析：先化简再求值． 解：（1）由13a a-+=，得11222()1a a --=，故11221a a--=±；又12()9a a -+=，227a a -+=；4447a a -∴+=，故44224438a a a a --+-=-+-． （2）由3log 41x =得43x=；则33227414223x x x xx x---+=-+=+． 点评：解条件求值问题：（1）将已知条件适当变形后使用；（2）先化简再代入求值．例2.（1）求值：11lg9lg 240212361lg 27lg 35+-+-+； （2）已知2log 3m =，3log 7n =，求42log 56． 分析：化为同底．解：（1）原式=lg10lg3lg 240136lg10lg9lg 5+-+-+1lg810lg8=+=；（2）由2log 3m =，得31log 2m =；所以33342333log 563log 2log 73log 56log 4213log 2log 71mn m mn ++===++++．点评：在对数的求值过程中，应注意将对数化为同底的对数． 例3. 已知35abc ==，且112a b+=，求c 的值． 分析：将a ，b 都用c 表示． 解：由35a bc ==，得1log 3c a =，1log 5c b =；又112a b+=，则log 3log 52c c +=， 得215c =．0c >，c ∴=．点评：三个方程三个未知数，消元法求解．【反馈演练】 1．若21025x=，则10x -=15． 2．设lg321a =，则lg0.321=3a -． 3．已知函数1()lg1xf x x-=+，若()f a b =，则()f a -=－b ． 4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（－∞，－1）∪（1，+∞）．5．设已知f (x 6) = log 2x ，那么f (8)等于12． 6．若618.03=a，)1,[+∈k k a ，则k =__－1__．7．已知函数21(0)()21(1)xc cx x c f x c x -+⎧⎪=⎨⎪+≤⎩＜＜＜，且89)(2=c f ． （1）求实数c 的值； （2）解不等式182)(+＞x f ． 解：（1）因为01c <<，所以2c c <， 由29()8f c =，即3918c +=，12c =．（2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()18f x >+得，当102x <<时，解得142x <<． 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()1f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．第8课 幂函数、指数函数及其性质【考点导读】1.了解幂函数的概念，结合函数y x =，2y x =，3y x =，1y x=，12y x =的图像了解它们的变化情况；2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性；3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 【基础练习】()(1)x f x a =-是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是(1,2)．()f x 的图像分别沿x 轴方向向左，沿y 轴方向向下平移2个单位，得到()2x f x =的图像，则()f x =222x -+．220.3x x y --=的定义域为___R __；单调递增区间1(,]2-∞-；值域14(0,0.3]．1()41x f x a =++是奇函数，则实数a 的取值12-． 11()2x y m -=+的图像不经过第一象限，则实数m 的取值范围2m ≤-．21()1x f x a -=-(0,1)a a >≠过定点，则此定点坐标为1(,0)2．【范例解析】例1.比较各组值的大小： （1）0.20.4，0.20.2，0.22， 1.62；（2）b a -，ba ，aa ，其中01ab <<<；（3）131()2，121()3．分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性．解：（1）0.20.200.20.40.41<<=，而0.2 1.6122<<，0.20.20.2 1.60.20.422∴<<<．（2）01a <<且b a b -<<，b a ba a a -∴>>．（3）111322111()()()223>>．点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注意通过0，1等数进行间接分类．R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数,求,a b 的值； 解：因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即111201()22xx b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f （1）= －f （－1）知11122 2.41a a a --=-⇒=++2()(1)1x x f x a a x -=+>+，求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数； （2）方程()0f x =没有负根． 分析：注意反证法的运用．证明：（1）设121x x -<<，122112123()()()(1)(1)xxx x f x f x a a x x --=-+++，1a >，210x x a a ∴->，又121x x -<<，所以210x x ->，110x +>，210x +>，则12()()0f x f x -< 故函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数．（2）设存在00x <0(1)x ≠-，满足0()0f x =，则00021x x ax -=-+．又001xa <<，002011x x -∴<-<+ 即0122x <<，与假设00x <矛盾，故方程()0f x =没有负根． 点评：本题主要考察指数函数的单调性，函数和方程的内在联系．【反馈演练】1．函数)10()(≠>=a a a x f x且对于任意的实数y x ,都有（ C ） A ．)()()(y f x f xy f =B ．)()()(y f x f xy f +=C ．)()()(y f x f y x f =+D ．)()()(y f x f y x f +=+2．设713=x，则（ A ）A ．－2<x <－1B ．－3<x <－2C ．－1<x <0D ．0<x <13．将y =2x 的图像 ( D ) 再作关于直线y =x 对称的图像，可得到函数2log (1)y x =+的图像．A ．先向左平行移动1个单位B ．先向右平行移动1个单位C ．先向上平行移动1个单位D ． 先向下平行移动1个单位4．函数bx a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ C ）A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a5．函数xa y =在[]1,0上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为___2__． 6．若关于x 的方程4220x xm ++-=有实数根，求实数m 的取值范围． 解：由4220xxm ++-=得，219422(2)224x x xm =--+=-++<，(,2)m ∴∈-∞ 7．已知函数2()()(0,1)2x xa f x a a a a a -=->≠-． （1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在R 上是单调递增函数，求实数a 的取值范围．解：（1）定义域为R ，则2()()()2x xa f x a a f x a --=-=--，故()f x 是奇函数． （2）设12x x R <∈，12121221()()()(1)2x x x x a f x f x a a a a-+-=-+-，当01a <<时，得220a -<，即01a <<；当1a >时，得220a ->，即a >综上，实数a 的取值范围是(0,1))⋃+∞．第9课 对数函数及其性质【考点导读】1.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性；2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型；3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题． 【基础练习】1. 函数)26(log 21.0x x y -+=的单调递增区间是1[,2)4．2. 函数2()log 21f x x =-的单调减区间是1(,)2-∞． 【范例解析】例1. （1）已知log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则实数a 的取值范围是_________．（2）设函数2()lg()f x x ax a =+-，给出下列命题：①)(x f 有最小值； ②当0=a 时，)(x f 的值域为R ； ③当40a -<<时，)(x f 的定义域为R ；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是4-≥a ． 则其中正确命题的序号是_____________． 分析：注意定义域，真数大于零． 解：（1）0,1a a >≠，2ax ∴-在[0,1]上递减，要使log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则1a >；又2ax -在[0,1]上要大于零，即20a ->，即2a <；综上，12a <<．（2）①)(x f 有无最小值与a 的取值有关；②当0=a 时，2()lg f x x R =∈，成立；③当40a -<<时，若)(x f 的定义域为R ，则20x ax a +->恒成立，即240a a +<，即40a -<<成立；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则2,2420.aa a ⎧-≤⎪⎨⎪+->⎩解得a ∈∅，不成立．点评：解决对数函数有关问题首先要考虑定义域，并能结合对数函数图像分析解决．xxx x f -+-=11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. 分析：利用定义证明复合函数的单调性．解：x 须满足,11011,0110<<->-+⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠x x x xx x 得由所以函数)(x f 的定义域为（－1，0）∪（0，1）.因为函数)(x f 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x ，有)()11log 1(11log 1)(22x f xxx x x x x f -=-+--=+---=-，所以)(x f 是奇函数.研究)(x f 在（0，1）内的单调性，任取x 1、x 2∈（0，1），且设x 1<x 2 ，则,0)112(log )112(log ,011)],112(log )112([log )11(11log 111log 1)()(1222211222212222112121>----->------+-=-++--+-=-x x x x x x x x x x x x x x x f x f 由得)()(21x f x f ->0，即)(x f 在（0，1）内单调递减， 由于)(x f 是奇函数，所以)(x f 在（－1，0）内单调递减.点评：本题重点考察复合函数单调性的判断及证明，运用函数性质解决问题的能力． 【反馈演练】1．给出下列四个数：①2(ln 2)；②ln(ln 2)；③ln 2；④ln 2.其中值最大的序号是___④___. 2．设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，(8,2)，则a b +等于___5_ _．3．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ，则定点A 的坐标是(2,1)--．4．函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为12． 5．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数有___3___个.6．下列四个函数：①lg y x x =+； ②lg y x x =-；③lg y x x =-+；④lg y x x =--.其中，函数图像只能是如图所示的序号为___②___.7．求函数22()log 2log 4x f x x =⋅,1[,4]2x ∈的最大值和最小值． 解：2222()log 2log (log 1)(log 2)4xf x x x x =⋅=+-222log log 2x x =-- 令2log t x =，1[,4]2x ∈，则[1,2]t ∈-，即求函数22y t t =--在[1,2]-上的最大值和最小值． 故函数()f x 的最大值为0，最小值为94-． 8．已知函数()log ax bf x x b+=-(0,1,0)a a b >≠>． （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）讨论()f x 的单调性，并证明． 解：（1）解：由0x bx b+>-，故的定义域为()(,)b b -∞-⋃+∞． 第6题（2）()log ()()a x bf x f x x b-+-==---，故()f x 为奇函数． （3）证明：设12b x x <<，则121221()()()()log ()()ax b x b f x f x x b x b +--=+-，12212121()()2()10()()()()x b x b b x x x b x b x b x b +---=>+-+-．当1a >时，12()()0f x f x ∴->，故)(x f 在(,)b +∞上为减函数；同理)(x f 在(,)b -∞-上也为减函数； 当01a <<时，12()()0f x f x ∴-<，故)(x f 在(,)b +∞，(,)b -∞-上为增函数．第10课 函数与方程【考点导读】1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法． 【基础练习】2()44f x x x =++在区间[4,1]--有_____1 ___个零点．()f x 的图像是连续的，且x 与()f x 有如下的对应值表：则()f x 在区间[1,6]上的零点至少有___3__个． 【范例解析】例1.()f x 是定义在区间[－c ，c ]上的奇函数，其图象如图所示：令()()g x af x b =+， 则下列关于函数()g x 的结论：①若a <0，则函数()g x 的图象关于原点对称；②若a =－1，－2<b <0，则方程()g x =0有大于2的实根； ③若a ≠0，2b =，则方程()g x =0有两个实根； ④若0a ≠，2b =，则方程()g x =0有三个实根． 其中，正确的结论有___________． 分析：利用图像将函数与方程进行互化．解：当0a <且0b ≠时，()()g x af x b =+是非奇非偶函数，①不正确；当2a =-，0b =时，()2()g x f x =-是奇函数，关于原点对称，③不正确；当0a ≠，2b =时，2()f x a=-，由图知，当222a -<-<时，2()f x a=-才有三个实数根，故④不正确；故选②． 点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本．2()32f x ax bx c =++，若0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >．求证：（1）0a >且12-<<-ab； （2）方程()0f x =在(0,1)内有两个实根．分析：利用0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >进行消元代换． 证明：（1）(0)0f c =>，(1)320f a b c =++>，由0a b c ++=，得b a c =--，代入(1)f 得：0a c ->，即0a c >>，且01c a <<，即1(2,1)b ca a=--∈--，即证． （2）11()024f a =-<，又(0)0f >，(1)0f >．则两根分别在区间1(0,)2，1(,1)2内，得证． 点评：在证明第（2）问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取(0,1)的中点12来考察1()2f 的正负是首选目标，如不能实现1()02f <，则应在区间内选取其它的值．本题也可选3ba-，也可利用根的分布来做．【反馈演练】1．设123)(+-=a ax x f ，a 为常数．若存在)1,0(0∈x ，使得0)(0=x f ，则实数a 的取值范围是1(,1)(,)2-∞-⋃+∞．2．设函数2,0,()2,0.x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方程()f x x =解的个数为（ C ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实数根，下列命题：①方程[()]f f x x =也一定没有实数根；②若0a >，则不等式[()]f f x x >对一切实数x 都成立； ③若0a <，则必存在实数0x ，使00[()]f f x x >④若0a b c ++=，则不等式[()]f f x x <对一切实数x 都成立． 其中正确命题的序号是 ①②④ ．4．设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<．求实数a 的取值范围．解：令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，则由题意可得01012(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，，，，01133a a a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<- 故所求实数a的取值范围是(03-，． 5．已知函数2()log (41)()xf x kx k R =++∈是偶函数,求k 的值；解：()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=22log (41)log (41)x x kx kx -∴+-=++220x kx ∴+=由于此式对于一切x R ∈恒成立，1k ∴=-6．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(．若a>b >c ， 且f （1）=0，证明f （x ）的图象与x 轴有2个交点.。

专题12 幂函数精讲温故知新1.概念：形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的图像及性质1y x=12y x =2y x =3y x =y x =y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x y ＝x －1 定义域RRR[0，＋∞){x |x ∈R 且x ≠0}值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R 且y ≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数非奇非偶函数奇函数 单调性 增 x ∈[0，＋∞)时，增；x ∈(－∞，0]时，减增 增 x ∈(0，＋∞)时，减；x ∈(－∞，0)时，减3. 幂值的大小比较（1）直接法:当幂指数相同时,可直接利用幂函数的单调性来比较.（2）转化法:当幂指数不同时,可以先转化为相同幂指数,再运用单调性比较大小.（3）中间值法:当底数不同且幂指数也不同而不能运用单调性比较大小时,可选取适当的中间值与两数分别比较,从而达到比较大小的目的. 4.幂函数性质的应用利用幂函数的性质解不等式,实际上就是利用幂函数的单调性,将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系,解不等式(组)求参数范围时,注意分类讨论思想的应用。

题型一：幂函数的定义例1：（2021·江西·模拟预测）已知幂函数()f x mx α=的图象过点()2,8，则m α+=（ ） A ．0B ．2C ．4D ．5【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的形式及过定点即可求解. 【详解】解：因为()f x mx α=为幂函数 所以1m =又()f x mx α=的图象过点()2,8 即82α= 解得3α= 所以4m α+= 故选：C.举一反三（2022·四川达州·二模（文））已知幂函数()f x 的图象经过点()2,4，则()3f =______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意设()f x x α=，进而待定系数得2α=，再求函数值即可.【详解】解：设()f x x α=，则24α=，解得2α=，所以()2f x x = 所以()2393f ==．故答案为：9题型二：幂函数的定义域例2：（2022·上海·高考真题）下列幂函数中，定义域为R 的是（ ） A ．1y x -= B ．12y x -=C ．13y x =D ．12y x =【答案】C 【解析】【分析】直接根据幂函数的定义域可直接判断，偶次根式被开方式必须大于等于0才有意义，分式则必须分母不为0 【详解】对选项A ，则有：0x ≠ 对选项B ，则有：0x > 对选项C ，定义域为：R 对选项D ，则有：0x ≥ 故答案选：C举一反三（2021·上海市控江中学三模）函数()12f x x -=的定义域为_______． 【答案】()0,∞+ 【解析】将函数解析式变形为()f x=，即可求得原函数的定义域. 【详解】 ()12f x x-==0x >. 因此，函数()12f x x -=的定义域为()0,∞+. 故答案为：()0,∞+.题型三：幂函数的值域例3：（2020·江苏·高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____. 【答案】4- 【解析】 【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f - 【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.举一反三（2015·湖北·高考真题（理））设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立，则正整数n 的最大值是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】 【详解】因为[]x 表示不超过x 的最大整数．由得，由得， 由得，所以， 所以，由得， 所以，由得，与矛盾，故正整数n 的最大值是4．考点：函数的值域，不等式的性质．题型四：幂函数的单调性例4：（2011·上海·高考真题（文））下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．2yxB ．1y x -=C ．2y xD ．13y x =【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C 为偶函数， C. 2y x 在区间(0,)+∞上单调递增函数，故选A ．考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质． 点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．举一反三（2022·北京房山·二模）已知函数()3,,.x x a f x x x a ≤⎧=⎨>⎩，若函数()f x 在R 上不是增函数，则a 的一个取值为___________.【答案】-2(答案不唯一，满足1a <-或01a <<即可) 【解析】 【分析】作出y =x 和y =3x 的图象，数形结合即可得a 的范围，从而得到a 的可能取值． 【详解】y =x 和y =3x 的图象如图所示：∴当1a <-或01a <<时，y =3x 有部分函数值比y =x 的函数值小，故当1a <-或01a <<时，函数()f x 在R 上不是增函数． 故答案为：-2．题型五：幂函数的奇偶性例5：（2022·吉林吉林·模拟预测（文））设1,1,22α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，使函数y x α=的定义域是R ，且为偶函数的所有α的值是（ ） A ．2 B ．1，2 C ．12，2D ．12，1，2【答案】A 【解析】 【分析】把1,1,22α=分别代入验证即可.【详解】 当12α=时，y x x α==[)0,∞+，故12α≠；当1α=时，y x x α==，定义域为R ，但是为奇函数，故1α≠； 当2α=时，2y x x α==，定义域为R ，为偶函数，故2α=.故选：A举一反三（2012·山东·高考真题（文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14)g x m x =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝______.【答案】14【解析】 【详解】当1a >时，有214,a a m -==，此时12,2a m ==，此时()g x x =-为减函数， 不合题意.若01a <<，则124,a a m -==，故11,416a m ==，检验知符合题意题型六：幂函数的图像判断与应用例6：（2021·河北石家庄·模拟预测）已知幂函数a y x =与b y x =的部分图象如图所示，直线14x =，12x =与a y x =，b y x =的图象分别交于A ､B ､C ､D 四点，且AB CD =，则1122a b +=（ ）A ．12 B ．1 C 2D ．2【答案】B 【解析】 【分析】把AB CD =用函数值表示后变形可得． 【详解】由AB CD =得11114422a b a b⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1111110222222a b a b a b⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-≠⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以11122a b⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B ．举一反三（2021·江西·模拟预测）函数43()f x x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】从函数()f x 的定义域、奇偶性及在第一象限的变化快慢三个方面逐一分析各选项即可判断作答. 【详解】幂函数()f x 定义域为R ，选项C 不满足；()f x =()()f x f x -=，即()f x 是偶函数，选项B 不满足；因413>，则函数43()f x x =在第一象限单调递增，且增长趋势越来越快，选项A 不满足， 显然选项D 满足幂函数()f x 的上述特点，即大致图象是D. 故选：D题型七：幂函数过定点问题例7：（2021·浙江浙江·高一期末）以下结论正确的是（ ） A ．当0α=时，函数y x α=的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过()0,0、()1,1两点C ．若幂函数y x α=的图象关于原点对称，则y x α=在定义域内y 随x 的增大而增大D ．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 【答案】D【解析】对于A 选项，当0α=时，函数01y x ==的定义域为{}0x x ≠，所以，函数0y x =的图象是两条射线，A 选项错误；对于B 选项，幂函数1y x -=不经过原点，B 选项错误；对于C 选项，幂函数1y x -=的图象关于原点对称，但函数1y x -=在定义域内不单调，C 选项错误；对于D 选项，由于幂函数在第一象限必有图象，若幂函数在第四象限有图象，与函数的定义矛盾，所以，幂函数的图象不可能在第四象限，若幂函数为偶函数，则幂函数在第二象限有图象，D 选项正确.故选：D.举一反三以下命题正确的是（ ） ①幂函数的图像都经过()0,0②幂函数的图像不可能出现在第四象限③当0n =时，函数n y x =的图像是两条射线（不含端点）④()3f x x -=是奇函数，且()3f x x -=在定义域内为减函数A ．①②B ．②④C ．②③D ．①③【答案】C【解析】①幂函数1y x -=不经过原点，所以①不正确；②形如y x α=，α∈R 的函数是幂函数，当0x >时，0y >，所以函数的图象不可能出现在第四象限，所以②正确；③0y x =的定义域是{}0x x ≠，1y =，所以0n =时，n y x =的图象是两条射线（不含端点），所以③正确；④()3f x x -=是奇函数，函数的定义域是()(),00,-∞⋃+∞，函数在(),0-∞是减函数，在()0,∞+也是减函数，但在定义域内不是减函数，所以④不正确.故选：C题型八：幂函数中的参数问题例8：（2021·福建·漳州三中高一期中）已知函数()2222()1m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)+∞上递增，则实数m =（ ）A ．2B ．1-C ．4D ．2或1-【答案】B【解析】因函数()2222()1mm f x m m x--=--是幂函数，则211m m --=，即220m m --=，解得1m =-或2m =，当1m =-时，函数()f x x =在(0,)+∞上递增，则1m =-，当2m =时，函数2()f x x -=在(0,)+∞上递减，不符合要求，实数1m =-.故选：B 。