【20套精选试卷合集】长春市第二中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案

吉林省长春市2019届高考二模试卷（理科数学）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y=x 对称，且z 1=3+2i ，则z 1•z 2=（ ） A ．12+13i B ．13+12i C ．﹣13iD ．13i2．设集合A={x|x 2﹣3x ＜0}，B={x||x|＜2}，则A ∩B=（ ） A ．{x|2＜x ＜3} B ．{x|﹣2＜x ＜0}C ．{x|0＜x ＜2}D ．{x|﹣2＜x ＜3}3．运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．B ．C ．D ．4．若实数a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．a 2＞b 2B ．C ．2a ＞2bD ．lg （a ﹣b ）＞05．几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知变量X 服从正态分布N （2，4），下列概率与P （X ≤0）相等的是（ ） A ．P （X ≥2）B ．P （X ≥4）C ．P （0≤X ≤4）D ．1﹣P （X ≥4）7．已知AB 为圆O ：（x ﹣1）2+y 2=1的直径，点P 为直线x ﹣y+1=0上任意一点，则的最小值为（ ）A ．1B ．C ．2D ．8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0且，当S n 取最大值时，n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．129．小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有种．（ ） A ．18 B ．27 C ．37 D ．21210．函数与的图象关于直线x=a 对称，则a 可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数f （x ）满足f （x ）+f （2﹣x ）=2，当x ∈（0，1]时，f （x ）=x 2，当x ∈（﹣1，0]时，，若定义在（﹣1，3）上的函数g （x ）=f （x ）﹣t （x+1）有三个不同的零点，则实数t 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12．过双曲线x 2﹣=1的右支上一点P ，分别向圆C 1：（x+4）2+y 2=4和圆C 2：（x ﹣4）2+y 2=1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（ ） A ．10 B ．13 C ．16 D ．19二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．已知实数x ，y 满足，则y ﹣2x 的最小值为______．14．已知向量=（1，），=（0，t 2+1），则当时，|﹣t |的取值范围是______．15．已知a ＞0，展开式的常数项为15，则=______．16．已知数列{a n }中，对任意的n ∈N *若满足a n +a n+1+a n+2+a n+3=s （s 为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s 为4阶公和；若满足a n •a n+1•a n+2=t （t 为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t 为3阶公积．已知数列{p n }为首项为1的4阶等和数列，且满足；数列{q n }为公积为1的3阶等积数列，且q 1=q 2=﹣1，设S n 为数列{p n •q n }的前n 项和，则S 2016=______．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）（2016•长春二模）已知函数．（1）求函数f （x ）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a=7，若锐角A 满足，且，求△ABC 的面积．18．（12分）（2016•长春二模）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差．（，其中n=a+b+c+d ）19．（12分）（2016•长春二模）在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，点D 1为棱PD 的中点，过D 1作与平面ABCD 平行的平面与棱PA ，PB ，PC 相交于A 1，B 1，C 1，∠BAD=60°． （1）证明：B 1为PB 的中点；（2）若AB=2，且二面角A 1﹣AB ﹣C 的大小为60°，AC 、BD 的交点为O ，连接B 1O ．求三棱锥B 1﹣ABO 外接球的体积．20．（12分）（2016•长春二模）椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A 1，过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连结A 1A ，A 1B 并延长交直线x=4分别于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．21．（12分）（2016•长春二模）已知函数在点（1，f （1））处的切线与直线y=﹣4x+1平行．（1）求实数a 的值及f （x ）的极值；（2）若对任意x 1，x 2，有，求实数k 的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（2016•长春二模）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=8cos （θ﹣）．（1）求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB|的最大值和最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016•长春二模）设函数f （x ）=|x+2|+|x ﹣a|（a ∈R ）． （1）若不等式f （x ）+a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数a 的取值范围．吉林省长春市2019届高考二模试卷（理科数学）参考答案一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y=x 对称，且z 1=3+2i ，则z 1•z 2=（ ） A ．12+13i B ．13+12i C ．﹣13i D ．13i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】求出复数的对称点的复数，利用复数的乘法运算法则求解即可．【解答】解：复数z 1在复平面内关于直线y=x 对称的点表示的复数z 2=2+3i ， 所以z 1•z 2=（3+2i ）（2+3i ）=13i ． 故选：D ．【点评】本题考查复数的乘法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题．2．设集合A={x|x 2﹣3x ＜0}，B={x||x|＜2}，则A ∩B=（ ） A ．{x|2＜x ＜3} B ．{x|﹣2＜x ＜0} C ．{x|0＜x ＜2} D ．{x|﹣2＜x ＜3}【考点】交集及其运算．【分析】求出A 与B 中不等式的解集分别确定出A 与B ，找出两集合的交集即可． 【解答】解：由题意可知A={x|0＜x ＜3}，B={x|﹣2＜x ＜2}， ∴A ∩B={x|0＜x ＜2}． 故选：C ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】循环结构．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的是计算首项为，公比也为的等比数列的前9项和．【解答】解：由算法流程图可知，输出结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即为．故选：A．【点评】本题考查了程序流程图中循环结构的认识与应用问题，是基础题目．4．若实数a，b∈R且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＞b2B．C．2a＞2b D．lg（a﹣b）＞0【考点】不等关系与不等式．【分析】举特值可排除ABD，对于C可由指数函数的单调性得到．【解答】解：选项A，当a=﹣1且b=﹣2时，显然满足a＞b但不满足a2＞b2，故错误；选项B，当a=﹣1且b=﹣2时，显然满足a＞b但=，故错误；选项C，由指数函数的单调性可知当a＞b时，2a＞2b，故正确；选项D，当a=﹣1且b=﹣2时，显然满足a＞b但lg（a﹣b）=lg1=0，故错误．故选：C．【点评】本题考查不等式的运算性质，特值法是解决问题的关键，属基础题．5．几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，所以其体积为．故选：C．【点评】本题通过几何体的三视图来考查体积的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知变量X服从正态分布N（2，4），下列概率与P（X≤0）相等的是（）A．P（X≥2）B．P（X≥4）C．P（0≤X≤4） D．1﹣P（X≥4）【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由变量X服从正态分布N（2，4）可知，x=2为其密度曲线的对称轴，即可求出答案．【解答】解：由变量X服从正态分布N（2，4）可知，x=2为其密度曲线的对称轴，因此P（X≤0）=P（X≥4）．故选B．【点评】本题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对正态分布的对称性有充分的认识．7．已知AB为圆O：（x﹣1）2+y2=1的直径，点P为直线x﹣y+1=0上任意一点，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】运用向量加减运算和数量积的性质，可得=（+）•（+）=||2﹣r2，即为d2﹣r2，运用点到直线的距离公式，可得d的最小值，进而得到结论．【解答】解：由=（+）•（+）=2+•（+）+•=||2﹣r2，即为d2﹣r2，其中d为圆外点到圆心的距离，r为半径，因此当d取最小值时，的取值最小，可知d的最小值为=，故的最小值为2﹣1=1．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系以及向量的数量积的运算，注意运用向量的平方即为模的平方，以及点到直线的距离公式，属于中档题．8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0且，当S n 取最大值时，n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【考点】等差数列的性质．【分析】由题意，不妨设a 6=9t ，a 5=11t ，则公差d=﹣2t ，其中t ＞0，因此a 10=t ，a 11=﹣t ，即可得出． 【解答】解：由题意，不妨设a 6=9t ，a 5=11t ，则公差d=﹣2t ，其中t ＞0， 因此a 10=t ，a 11=﹣t ，即当n=10时，S n 取得最大值． 故选：B ．【点评】本题考查了等差数列的性质、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有种．（ ） A ．18 B ．27 C ．37 D ．212 【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题可知，取出酒瓶的方式有3类，根据分类计数原理可得．【解答】解：由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式； 第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为，为35种；共计37种取法． 故选：C ．【点评】本题是一道排列组合问题，考查学生处理问题的方法，对学生的逻辑思维和抽象能力提出很高要求，属于中档题．10．函数与的图象关于直线x=a 对称，则a 可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】余弦函数的对称性．【分析】根据函数关于x=a 的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式，根据它与一样，求得a 的值．【解答】解：由题意，设两个函数关于x=a对称，则函数关于x=a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，令，则．故选：A．【点评】本题主要考查三角函数图象，学生对三角函数图象的对称，诱导公式的运用是解决本题的关键，属于基础题．11．已知函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）=2，当x∈（0，1]时，f（x）=x2，当x∈（﹣1，0]时，，若定义在（﹣1，3）上的函数g（x）=f（x）﹣t（x+1）有三个不同的零点，则实数t的取值范围是（）A． B．C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由g（x）=f（x）﹣t（x+1）=0得f（x）=t（x+1），分别求出函数f（x）的解析式以及两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由题可知函数在x∈（﹣1，1]上的解析式为，又由f（x）+f（2﹣x）=2可知f（x）的图象关于（1，1）点对称，可将函数f（x）在x∈（﹣1，3）上的大致图象呈现如图：根据y=t（x+1）的几何意义，x轴位置和图中直线位置为y=t（x+1）表示直线的临界位置，其中x∈[1，2）时，f（x）=﹣（x﹣2）2+2，联立，并令△=0，可求得．因此直线的斜率t的取值范围是．故选：D．【点评】本题是最近热点的函数图象辨析问题，是一道较为复杂的难题．作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．12．过双曲线x 2﹣=1的右支上一点P ，分别向圆C 1：（x+4）2+y 2=4和圆C 2：（x ﹣4）2+y 2=1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（ ） A ．10 B ．13 C ．16 D ．19 【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x 2﹣=1的左右焦点为F 1（﹣4，0），F 2（4，0），连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【解答】解：圆C 1：（x+4）2+y 2=4的圆心为（﹣4，0），半径为r 1=2； 圆C 2：（x ﹣4）2+y 2=1的圆心为（4，0），半径为r 2=1，设双曲线x 2﹣=1的左右焦点为F 1（﹣4，0），F 2（4，0），连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，可得|PM|2﹣|PN|2=（|PF 1|2﹣r 12）﹣（|PF 2|2﹣r 22） =（|PF 1|2﹣4）﹣（|PF 2|2﹣1）=|PF 1|2﹣|PF 2|2﹣3=（|PF 1|﹣|PF 2|）（|PF 1|+|PF 2|）﹣3=2a （|PF 1|+|PF 2|﹣3=2（|PF 1|+|PF 2|）﹣3≥2•2c ﹣3=2•8﹣3=13． 当且仅当P 为右顶点时，取得等号， 即最小值13． 故选B ．【点评】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．已知实数x，y满足，则y﹣2x的最小值为 1 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最小值即可．【解答】解：根据方程组获得可行域如下图，令z=y﹣2x，可化为y=2x+z，因此，当直线过点（1，3）时，z取得最小值为1．故答案为：1．【点评】本题主要考查线性规划问题，是一道常规题．从二元一次方程组到可行域，再结合目标函数的几何意义，全面地进行考查．14．已知向量=（1，），=（0，t2+1），则当时，|﹣t|的取值范围是[1，] ．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】求出=（0，1），再根据向量差的几何意义，求出|﹣t|的解析式，从而求出它的取值范围．【解答】解：由题意， =（0，1），根据向量的差的几何意义，|﹣t|表示向量t的终点到向量的终点的距离d，所以d=；所以，当t=时，该距离取得最小值为1，当t=﹣时，该距离取得最大值为，即|﹣t|的取值范围是[1，]．故答案为：[1，]．【点评】本题利用数形结合思想，考查了平面向量的几何意义，也考查了函数的最值问题以及计算求解能力的应用问题，是基础题目．15．已知a＞0，展开式的常数项为15，则= ．【考点】二项式定理；微积分基本定理．【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得a的值，再利用积分的运算性质、法则，求得要求式子的值．=•（﹣1）r•a6﹣r•，【解答】解：由的展开式的通项公式为Tr+1令=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，积分的运算，是一道中档的常规问题16．已知数列{a n }中，对任意的n ∈N *若满足a n +a n+1+a n+2+a n+3=s （s 为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s 为4阶公和；若满足a n •a n+1•a n+2=t （t 为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t 为3阶公积．已知数列{p n }为首项为1的4阶等和数列，且满足；数列{q n }为公积为1的3阶等积数列，且q 1=q 2=﹣1，设S n 为数列{p n •q n }的前n 项和，则S 2016= ﹣2520 ． 【考点】数列的求和．【分析】通过定义可知数列数列{p n }、数列{q n }均为周期数列，进而可知数列{p n •q n }中每12项的和循环一次，进而计算可得结论．【解答】解：由题意可知，p 1=1，p 2=2，p 3=4，p 4=8，p 5=1，p 6=2，p 7=4，p 8=8，p 9=1，p 10=2，p 11=4，p 12=8，p 13=1，…，又p n 是4阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理，q 1=﹣1，q 2=﹣1，q 3=1，q 4=﹣1，q 5=﹣1，q 6=1，q 7=﹣1，q 8=﹣1，q 9=1，q 10=﹣1，q 11=﹣1，q 12=1，q 13=﹣1，…，又q n 是3阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去， 由此可知对于数列{p n •q n }，每12项的和循环一次， 易求出p 1•q 1+p 2•q 2+…+p 12•q 12=﹣15， 因此S 2016中有168组循环结构， 故S 2016=﹣15×168=﹣2520， 故答案为：﹣2520．【点评】本题主要考查非常规数列求和问题，对学生的逻辑思维能力提出很高要求，属于一道难题．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）（2016•长春二模）已知函数．（1）求函数f （x ）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a=7，若锐角A 满足，且，求△ABC 的面积．【考点】余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）运用二倍角的正弦公式和余弦公式，以及两角和的正弦公式，由正弦函数的周期公式及单调递减区间，解不等式可得；（2）由条件，可得角A，再运用正弦定理可得b+c=13，由余弦定理，可得bc=40，由三角形的面积公式计算即可得到所求．【解答】解：（1）=，因此f（x）的最小正周期为．由，可得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递减区间为（k∈Z）；（2）由，又A为锐角，则．由正弦定理可得，，则，由余弦定理可知，，可求得bc=40，故．【点评】本题主要考查三角函数的化简运算，以及三角函数的性质，并借助正弦和余弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求．18．（12分）（2016•长春二模）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方差．（，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）由题意列出2×2列联表，计算观测值K2，对照数表即可得出正确的结论；（2）根据题意，得出商品和服务都好评的概率，求出X的可能取值，计算对应的概率值，写出期望与方差．【解答】解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表为：计算观测值，对照数表知，在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（6分）（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5；其中；；；；；；所以X 的分布列为：由于X ～B （5，），则；．（12分）【点评】本题主要考查了统计与概率的相关知识，包括独立性检验、离散型随机变量的分布列以及数学期望和方差的求法问题，也考查了对数据处理能力的应用问题．19．（12分）（2016•长春二模）在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，点D 1为棱PD 的中点，过D 1作与平面ABCD 平行的平面与棱PA ，PB ，PC 相交于A 1，B 1，C 1，∠BAD=60°． （1）证明：B 1为PB 的中点；（2）若AB=2，且二面角A 1﹣AB ﹣C 的大小为60°，AC 、BD 的交点为O ，连接B 1O ．求三棱锥B 1﹣ABO 外接球的体积．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；用空间向量求平面间的夹角． 【分析】（1）根据面面平行的性质结合中位线的性质即可证明：B 1为PB 的中点； （2）建立坐标系，求出平面的法向量，结合三棱锥的外接球的性质进行求解即可．【解答】解：（1）连结B 1D 1.，即B 1D 1为△PBD 的中位线，即B 1为PB 中点．（4分）（2）以O 为原点，OA 方向为x 轴，OB 方向为y 轴，OB 1方向为z 轴，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，则，B （0，1，0），B 1（0，0，t ），从而，，则，又，则．由题可知，OA ⊥OB ，OA ⊥OB 1，OB ⊥OB 1，即三棱锥B 1﹣ABO 外接球为以OA 、OB 、OB 1为长、宽、高的长方体外接球，则该长方体的体对角线长为，即外接球半径为．则三棱锥B 1﹣ABO 外接球的体积为．（12分）【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到面面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．20．（12分）（2016•长春二模）椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A 1，过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连结A 1A ，A 1B 并延长交直线x=4分别于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（1）设c=t ，则a=2t ，，推导出点P 为短轴端点，从而得到t=1，由此能求出椭圆的方程．（2）设直线AB 的方程为x=ty+1，联立，得（3t 2+4）y 2+6ty ﹣9=0，由此利用韦达定理、向量知识、直线方程、圆的性质、椭圆性质，结合已知条件能推导出以PQ 为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵椭圆的离心率为，不妨设c=t ，a=2t ，即，其中t ＞0，又△F 1PF 2内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，∵，为定值，∴也取得最大值，即点P 为短轴端点，∴，，解得t=1，∴椭圆的方程为．（4分）（2）设直线AB 的方程为x=ty+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立，得（3t 2+4）y 2+6ty ﹣9=0，则，，直线AA 1的方程为，直线BA 1的方程为，则，，假设PQ 为直径的圆是否恒过定点M （m ，n ），则，，，即，即，，即6nt ﹣9+n 2+（4﹣m ）2=0，若PQ 为直径的圆是否恒过定点M （m ，n ），即不论t 为何值时，恒成立，∴n=0，m=1或m=7．∴以PQ 为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．（12分）【点评】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的相关知识，以及恒过定点问题．本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求．21．（12分）（2016•长春二模）已知函数在点（1，f （1））处的切线与直线y=﹣4x+1平行．（1）求实数a 的值及f （x ）的极值；（2）若对任意x 1，x 2，有，求实数k 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导，由f'（1）=﹣4，即可求得a 的值，令f'（x ）=0，求得可能的极值点，由f ′（x ）＞0及f ′（x ）＜0，分别求得单调递增和单调递减区间，根据极小值的定义，即可求得在x=1时取极小值，即可求得极小值；（2）由题意可知将不等式转化成，得，构造辅助函数，，求得g （x ）的解析式，求导，根据函数的单调性求得g'（x ）的最小值，即可求得k 的取值范围．【解答】解（1）由题意得，（x＞0），点（1，f（1））处的切线与直线y=﹣4x+1平行．又f'（1）=﹣4，即=﹣4，解得a=1．令，解得：x=e，当f′（x）＞0，解得：x＞e，函数f（x）在（e，+∞）上单调递增，当f′（x）＜0，解得：0＜x＜e，函数f（x）在（0，e）上单调递减，∴f（x）在x=e时取极小值，极小值为．（6分）（2）由，可得，令，则g（x）=x+xlnx，其中，x∈[e2，+∞）g'（x）=2+lnx，又x∈[e2，+∞），则g'（x）=2+lnx≥4，即，∴实数k的取值范围是（﹣∞，4]．（12分）【点评】本题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值，导数的几何意义，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（2016•长春二模）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=8cos （θ﹣）． （1）求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB|的最大值和最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，即可得出结论；（2）联立曲线C 1与曲线C 2的方程，利用参数的几何意义，即可求|AB|的最大值和最小值．【解答】解：（1）对于曲线C 2有，即，因此曲线C 2的直角坐标方程为，其表示一个圆．（5分）（2）联立曲线C 1与曲线C 2的方程可得：， ∴t 1+t 2=2sin α，t 1t 2=﹣13，因此sin α=0，|AB|的最小值为，sin α=±1，最大值为8．（10分） 【点评】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016•长春二模）设函数f （x ）=|x+2|+|x ﹣a|（a ∈R ）．（1）若不等式f （x ）+a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，利用不等式f （x ）+a ≥0恒成立，即f （x ）的最小值|a ﹣2|≥﹣a 求实数a 的取值范围；（2）根据函数f （x ）图象的性质可知，当时，恒成立，从而求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ≥0时，f （x ）+a ≥0恒成立，当a ＜0时，要保证f （x ）≥﹣a 恒成立，即f （x ）的最小值|a ﹣2|≥﹣a ，解得a ≥﹣1，∴0＞a ≥﹣1综上所述，a≥﹣1．（5分）（2）根据函数f（x）图象的性质可知，当时，恒成立，即a=4，所以a的取值范围是（﹣∞，4]时恒成立．（10分）【点评】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明等内容．本小题重点考查考生的化归与转化思想．。

高考模拟数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数的点是（ ）A MB NC PD Q 2.已知命题p ：a丨x 丨--1a＞0（a ＞1），命题q ：b 2lg x ＞1（0＜b ＜1），那么q 是p 的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件3.已知向量a r ·（a r+2b r ）=0，a =b =1r r ，且c a 2b --r r r =1，则c r 的最大值为（ ） A 2 B 4 C 51+ D 31+ 4.已知整数x 、y 满足x 2y 202x y 10⎧++≤⎨-+≥⎩设z=x-3y ，则（ ）A z 的最大值为1B z 的最小值为1C z 的最大值为2D z 的最小值为2 5. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ）A ．7B ．15C ．31 D. 636.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π7.在△ABC 中，已知12xy =9，sinB=cosAsinC ，ABC S V =6，P 为线段9. 设变量,x y满足约束条件2030230xx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y=+的最大值为（A）3 （B）4 （C）18 （D）40三．解答题：本大题共6小题，前5题每题12分，选考题10分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知数列｛a n ｝，a 1=1，n 2S n =a n 1+-13n²-n-23（1）求a n （2）证明11a +21a +…+n 1a ＜74（n∈N +）18.设不等式x²+y²≤4确定的平面区域为U ，丨x 丨+丨y 丨≤1确定的平面区域为V（1）定义：横、纵坐标均为整数的点称为“整点”，在区域U 内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V 内的概率。

吉林省普通中学2019-2020学年高考考前模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设, x y满足约束条件20,20,210,yxx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则z x y=+的最大值与最小值的比值为（）A．1-B．32-C．2-D．52-2．已知定义在R上的函数()f x满足()()f x f x-=，且函数()f x在(),0-∞上是减函数，若()1a f=-，142logb f⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.32c f=，则a，b，c的大小关系为（）A．c b a<<B．a c b<<C．b c a<<D．a b c<<3．已知正方形ABCD的边长为2,CD边的中点为E，现将,ADE BCE∆∆分别沿,AE BE折起，使得,C D 两点重合为一点记为P，则四面体P ABE-外接球的表面积是（）A．1712πB．1912πC．193πD．173π4．已知复数()11z a i=-++（i为虚数单位，a为实数）在复平面内对应的点位于第二象限，则复数z 的虚部可以是（）A．12i-B．12iC．12-D．125．已知函数()ln,0,x x ef x ex ex⎧<<⎪=⎨≥⎪⎩，若函数()()g x f x m=-有三个不同的零点123,,x x x，且123x x x<<，则()123x xf x的取值范围为A．(0，1] B．(0，1) C．(1，+∞)D．[1，+∞)6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为2，则该几何体的体积为（）A ．51296π-B ．296C ．51224π-D ．5127．某单位为了制定节能减排的目标，调查了日用电量y （单位：千瓦时）与当天平均气温x （单位：℃），从中随机选取了4天的日用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据的线性回归方程为$260y x =-+，则a 的值为( ) A ．42B ．40C ．38D ．368．已知{}n a 是公差为12的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.若2a ，6a，14a 成等比数列，则5S =（ ）A ．352 B ．35 C ．252 D ．259．在[6,9]-内任取一个实数m ，设2()f x x mx m =-++，则函数()f x 的图象与x 轴有公共点的概率等于（ ）A ．215B ．715C ．35D ．111510．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）A ．16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭U D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 11．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( )A ．15B ．53 C ．64 D ．1012．四棱锥A BCDE -的各顶点都在同一球面上，AB ⊥底面BCDE ，底面BCDE 为梯形，60BCD ∠=o ，且2AB CB BE ED ＝＝＝＝，则此球的表面积等于（ ） A ．25π B ．24π C ．20πD ．16π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1. 已知全集，集合，，则A ．B ．C ．D ． 2. 在复平面内，复数所对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 已知且，则函数与函数的图象可能是A. B. C. D.4. 若变量满足约束条件则的最大值为A ．B ．C ．D ．5. 过抛物线的焦点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 两点的横坐标 之和为，则 A ．B ．C ．D ．6. 已知函数，则R =U }|{3<<1-=x x A }|{1>=x x B A ()U B =ð)(11-，](11-，)[31，)(31，iiz +12-1=0>a 1≠a x a x f =)(x x g a log )(=y x ,1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩y x z 2-=1234x y 42=310=AB 3133145316⎩⎨⎧0≥1+1-0<1-=x x f x x x f ,)(,)(=2016)(fA ．2014B ． 2015C ．2016D ．20177. 已知实数图所示的程序框图，则输出的x 不小于．．．121的概率为A B ．C D8. 把函数的图象向左平个单位，得到一个偶函数，则的最小值为 A ．B ．C ．D ．9. 下列命题正确．．的个数是 ① 对于两个分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大；② 在相关关系中，若用拟合时的相关指数为，用拟合时的相关指数为，且,则的拟合效果好；③ 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为；④ “”是“”的充分不必要条件. A ．B ．C ．D.},,,,,,,{87654321∈x 3x x x x f 23+=cos cos sin )()(0>ϕϕϕ3π4π6π12πx c e c y 211=21R a bx y +=222R 21R >22R 1y a 0>1-3a 321->x 1-<1x4321输入x10. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是A ．B ．C ．D ．11. 已知，，且，则的最小值是 A ．B ．C ．D ．12. 已知函数，，若对任意，存在 使，则实数a 的取值范围是 A ． B ． C ． D ．二、填空题:本大题共4小题。

2019年吉林省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x∈R|1≤x≤5}，B={x∈R|x＜2}，则A∩B为（）A．{x∈R|1≤x＜2}B．{x∈R|x＜1}C．{x∈R|2＜x≤5}D．{x∈R|2≤x≤5}2．已知i是虚数单位，若1+i=z（1﹣i），则z=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i3．已知数列{a n}为等差数列，a2+a3=1，a10+a11=9，则a5+a6=（）A．4 B．5 C．6 D．74．已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．一个算法的流程图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．0 B．﹣1 C．﹣D．﹣36．函数f（x）=Acos（ωx+φ）在区间[0，π]上的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=2cos（2x+）B．f（x）=﹣cos（x﹣）C．f（x）=﹣cos（2x﹣）D．f（x）=cos（2x﹣）7．已知m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的个数是（）①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若m⊥n，n⊥α，则m∥α；③若m⊥β，α⊥β，则m∥α；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．A．1 B．2 C．3 D．48．已知命题p：若奇函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），则f（6）=0；命题q：不等式log2x﹣1＞﹣1的解集为{x|x＜2}，则下列结论错误的是（）A．p∧q真B．p∨q真C．（￢p）∧q为假D．（￢p）∧（￢q）为真9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．4+B．4+3πC．4+πD．4++10．若向量=（1，﹣1），|=||，•=﹣1，则向量与﹣夹角为（）A． B． C．D．11．已知圆心为C1的圆（x+2）2+y2=1，圆心为C2的圆（x﹣4）2+y2=4，过动点P向圆C1和圆C2引切线，切点分别为M，N，若|PM|=2|PN|，则△PC1C2面积最大值为（）A．3B．3C．3D．1512．设函数f′（x）是函数f（x）（x≠0）的导函数f′（x）＜，函数y=f（x）（x≠0）的零点为1和﹣2，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（1，+∞）二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．函数f（x）=的定义域是．14．已知实数x，y满足，则目标函数z=的最大值为．15．设正三角形ABC的外接圆内随机取一点，则此点落在正三角形ABC内的概率为．16．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，若S n+1=S n，则数列{}的前2016项和为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知向量=（sin，1），=（cos，），f（x）=•．（I）求f（x）的最大值，并求此时x的值；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足f（B）=，a=2，c=3，求sinA的值．18．在甲、乙两个训练队的体能测试中，按照运动员的测试成绩优秀与不优秀统计成绩后，得到得到如下2×2列联表：优秀不优秀总计甲队80 240 320乙队40 200 240合计120 440 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为运动员的测试成绩与所双在训练队有关系；（Ⅱ）采用分层抽样的方法在两个训练队成绩优秀的120名运动员中抽取名运动员组成集训队．现从这6名运动员中任取2名运动员参加比赛，求这2名运动员分别来自于甲、乙两个不同训练队的概率．附：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，各棱长均为2，D，E，F，G分别是棱AC，AA1，CC1，A1C1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FG∥平面BDE；（Ⅱ）求三棱锥B1﹣BDE的体积．20．已知抛物线C：y=x2，直线l：y=x﹣1，设P为直线l上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A、B（Ⅰ）当点P在y轴上时，求线段AB的长；（Ⅱ）求证：直线AB恒过定点．21．已知函数f（x）=lnx+a（x2﹣3x）（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB为⊙O的直径，∠ABD=90°，线段AD交半圆于点C，过点C作半圆切线与线段BD交于点M，与线段BA延长线交于点F．（Ⅰ）求证：M为BD的中点；（Ⅱ）已知AB=4，AC=，求AF的长．五、[选修4-4：坐标系与参数方程]23．直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程ρ=﹣4cosθ，圆C的圆心到直线l的距离为．（Ⅰ）求α的值；（Ⅱ）已知P（1，0），若直线l于圆C交于A、B两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=1 （Ⅰ）求++的最小值；（Ⅱ）求证： ++≥++．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2024届高三年级第二次调研测试数学学科试卷命题人：戴丽美 审题人：张伟萍一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知p ：2log 1x <，则p 的充分不必要条件是（ ）A. 2x < B. 02x << C. 01x << D. 03x <<2. 已知正实数a ，b 满足196a b+=，则()()19a b ++的最小值是（ ）A. 8B. 16C. 32D. 363. 已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ．则实数a 的取值范围是（ ）A. 5[1,]3B. 5(1,3C. (]5,1(,)3-∞-⋃+∞ D. ()5,1[1,)3-∞- 4. 已知函数()()21,1215,1x a x f x x a x x ⎧+⎪=⎨-++>⎪⎩，…对12,R x x ∀∈，12x x ≠，满足1212()[()()]0x x f x f x -->，则实数a 的取值范围是（ ）A. 13a <…B. 13a <<C. 512a <<D. 512a <…5. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0,(1)(1)f x f x f x f x -+=+=-，且当(1,0)x ∈-时，41()log ()2f x x =--，则172f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.12B. 1- C. 12-D. 16. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，其对称中心O 平分线段MN ，且2MN BC =，点E 为DC 的中点，则EM EN ⋅=（ ）A. 3- B. 2- C. 32-D. 12-7. 已知函数()2f x x m =+与函数()11ln 3,22g x x x x ⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ）A. 5ln 2,24⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B. 52ln 2,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦C. 5ln 2,2ln 24⎡⎤++⎢⎥⎣⎦D. []2ln 2,2-8. 将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数 ()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则 ω的取值范围是（ ）A. 228(0,][,939B. 2(0,]9C. 28(0,][,1]99D. (0,1]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设函数()sin 22f x x x =+，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 的最小正周期为πB. ()f x 的图象关于直线12x π=对称C. ()f x 的一个零点为3x π=D. ()f x1+10. 下列说法中错误的为（）A. 已知()1,2a =r ，()1,1b =r ，且a 与a λb + 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B. 向量()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底C. 若//a b ，则a 在b方向上的正射影的数量为ar D. 三个不共线的向量OA ，OB ，OC ，满足AB CA BA CB OA OB AB CA BA CB ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0CA BC OC CA BC ⎛⎫ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭，则O 是ABC V 的内心11. 在现代社会中，信号处理是非常关键技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．()()71sin 2121i i x f x i =-⎡⎤⎣⎦=-∑的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 为周期函数，且最小正周期为πB. 函数()f x 为偶函数C. 函数()y f x =的图象关于直线π2x =对称D. 函数()f x 导函数()f x '的最大值为712. 设函数()()πsin 05f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x []0,2π有且仅有5个零点，则（ ）A. ()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点B. ()f x 在()0,2π有且仅有2个极小值点C. ()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D. ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x 都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.14. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2221cos cos sin sin sin 4A B C B C -+==，且ABC V的面积为a 的值为________．15. 如图，在ABC V 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ，若ABC V的面积为，则AP的最小值为__________.的的在16. 若函数()cos sin f x a b x c x =++的图象经过点()0,1和π,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是______.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知函数()ln f x x x ax b =++在()()1,1f 处的切线为2210x y --=.（1）求实数,a b 的值；（2）求()f x 的单调区间.18. 已知函数()2f x x ω=sin cos x x ωω+(0)>ω的最小正周期为π.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若()f x >，求x 取值的集合.19. 如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P ，已知射线AB ，AC 为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB ，AC 上分别设立游客接送点M ，N ，从观景台P 到M ，N 建造两条观光线路PM ，PN ，测得2AM =千米，2AN =千米．（1）求线段MN 的长度；（2）若60MPN ∠=︒，求两条观光线路PM 与PN 之和的最大值．20. 已知函数()2ln f x x ax a x =-+有两个极值点1x ，2x .（1）求a 的取值范围；（2）证明：()()1212242416ln2f x f x x x +++<.21. 设函数()sin xf x e a x b =++.（Ⅰ）当1a =，[)0,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求b 的范围；（Ⅱ）若()f x 在0x =处切线为10x y --=，且方程()2m xf x x-=恰有两解，求实数m 的取值范围.22 已知函数()1sin e xx f x x -=+，ππ,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（1）求证：()f x 在()ππ,2-上单调递增；（2）当()π,0-时，()sin e cos sin xf x x x k x --⎡⎤⎣⎦≤恒成立，求k 的取值范围.的.2024届高三年级第二次调研测试数学学科试卷命题人：戴丽美 审题人：张伟萍一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知p ：2log 1x <，则p 的充分不必要条件是（ ）A. 2x <B. 02x << C. 01x << D. 03x <<【答案】C 【解析】【分析】解出2log 1x <的解集，p 的充分不必要条件是其子集，选出即可.【详解】解：由2log 1x <得02x <<，p 的充分不必要条件是()0,2的子集，C 符合，故选：C.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，是基础题.2. 已知正实数a ，b 满足196a b+=，则()()19a b ++的最小值是（ ）A. 8 B. 16C. 32D. 36【答案】B 【解析】【分析】对196a b+=1≥且96b a ab +=，把()()19a b ++展开得到()()=7919a b ab +++，即可求出最小值.【详解】因为正实数a ，b 满足196a b+=，所以196a b =+≥1≥，当且仅当19=a b 时，即1,33a b ==时取等号.因为196a b+=，所以96b a ab +=，所以()()919=9797916a a b a b b b a +++≥+=+=++.故()()19a b ++的最小值是16.故选：B3. 已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ．则实数a 的取值范围是（）A. 5[1,]3B. 5(1,3C. (]5,1(,)3-∞-⋃+∞ D. ()5,1[1,)3-∞- 【答案】A 【解析】【分析】当函数的值域为R 时，命题等价于函数()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，得解【详解】22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++ 的值域为R 令()()22111y a x a x =-+++，则()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，当210a -=时，则1a =±当1a =时，21y x =+符合题意；当1a =-时，1y =不符合题意；当1a ≠±时，()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=+--≥⎪⎩，解得513a <≤513a ∴≤≤，即实数a 的取值范围是5[1,]3故选：A【点睛】转化命题的等价命题是解题关键.4. 已知函数()()21,1215,1xa x f x x a x x ⎧+⎪=⎨-++>⎪⎩，…对12,R x x ∀∈，12x x ≠，满足1212()[()()]0x x f x f x -->，则实数a 的取值范围是（ ）A. 13a <…B. 13a <<C. 512a << D. 512a <…【答案】D 【解析】【分析】先判断()f x 是R 上的增函数，列关于实数a 的不等式组，即可求得实数a 的取值范围.【详解】由题意，得()f x 是R 上的增函数，则()11141215a a a a >⎧⎪+⎪⎨⎪+-++⎪⎩……，解得512a <…，故选：D5. 已知定义在R 上函数()f x 满足()()0,(1)(1)f x f x f x f x -+=+=-，且当(1,0)x ∈-时，41()log ()2f x x =--，则172f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.12B. 1- C. 12-D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，得到(2)()f x f x -=，再结合()()0f x f x -+=，得到(4)()f x f x +=，即()f x 的周期为4，然后利用周期结合当(1,0)x ∈-时，41()log ()2f x x =--求解.【详解】因为函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x -=，又因为()()0f x f x -+=，所以(2)()f x f x +=-，所以(4)()f x f x +=，又因为(1,0)x ∈-时，41()log ()2f x x =--，则17118222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f ，2421og 1111112log 12222log 422⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭l f .故选：B【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的综合应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.6. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，其对称中心O 平分线段MN ，且2MN BC =，点E 为DC 的中点，则EM EN ⋅=（ ）的A. 3-B. 2-C. 32-D. 12-【答案】A 【解析】【分析】利用平面向量线性运算、数量积运算求得正确答案.【详解】24,2,1MN BC OM OE ====.()()EM EN EO OM EO ON⋅=+⋅+ ()()22143EO OM EO OM EO OM =+⋅-=-=-=- .故选：A7. 已知函数()2f x x m =+与函数()11ln3,22g x x x x ⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ）A. 5ln 2,24⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B. 52ln 2,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦C. 5ln 2,2ln 24⎡⎤++⎢⎥⎣⎦D. []2ln 2,2-【答案】D 【解析】【分析】由题可得()()()2ln 3h x f x g x x x x m =+=+-+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦有零点，利用导数研究函数的性质进而可得20ln 22m m -≤≤+-，即得.【详解】原问题等价于()()()2ln 3h x f x g x x x x m =+=+-+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦有零点，而()()()1123211h x x x x x x'=+-=--，∴()1,1,02x h x ⎛⎫'∈<⎪⎝⎭，()h x 单调递减， (]()1,2,0x h x '∈>，()h x 单调递增，又()()1512,2ln 22,ln 224h m h m h m ⎛⎫=-=-+=--+⎪⎝⎭，由1ln 22>可判断()122h h ⎛⎫> ⎪⎝⎭，因而()h x 的值域为[]2,ln 22m m -+-，又()h x 有零点，有20ln 22m m -≤≤+-，所以[]2ln2,2m ∈-.故选：D.8. 将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数 ()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则 ω的取值范围是（ ）A. 228(0,][,939B. 2(0,]9C. 28(0,][,1]99D. (0,1]【答案】A 【解析】【分析】根据y =Acos （ωx +φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，根据定义域求出56x πω-的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．【详解】函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，可得5cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，∴周期2T πω=，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，∴ 553526626x ωπππωππω-<-<-，∴ 35526262T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21ω∴≤，解得01ω<≤，又522635226k k πωππππωπππ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323k ωω-≤≤-，当k =0时，解2839ω≤≤，当k =-1时，01ω<≤，可得209ω<≤，ω∴∈228(0,][,]939.故答案为：A .【点睛】本题考查函数y =Acos （ωx +φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设函数()sin 22f x x x =+，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 的最小正周期为πB. ()f x 的图象关于直线12x π=对称C. ()f x 的一个零点为3x π=D. ()f x1+【答案】ABC 【解析】【分析】先化简，得到()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据三角函数的图像和性质对四个选项一一验证.【详解】函数()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭.对于A ：()f x 的最小正周期为π.故A 正确；对于B ：2sin 2212123πππf ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x π=对称.故B 正确；对于C ：2sin 20333πππf ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3x π=是()f x 的一个零点.故C 正确；对于D ：函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()f x 的最大值为2.故D 错误.故选：ABC10. 下列说法中错误的为（）A. 已知()1,2a =r ，()1,1b =r ，且a 与a λb + 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B. 向量()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底C. 若//a b ，则a 在b方向上的正射影的数量为ar D. 三个不共线的向量OA ，OB ，OC ，满足AB CA BA CB OA OB AB CA BA CB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0CA BC OC CA BC ⎛⎫⎪=⋅+= ⎪⎝⎭，则O 是ABC V 的内心【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可；对于B ，由124e e = ，可知1e ，2e不能作为平面内所有向量的一组基底；对于C ，利用向量投影的定义即可判断；对于D ，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫⎪⋅+= ⎪⎝⎭，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上，进而得出点O 是ABC V 的内心.【详解】对于A ，已知()1,2a =r ，()1,1b =r ，且a 与a λb +的夹角为锐角，可得()0a a b λ+>⋅ ，且a 与a λb +不共线，()1,2a λb λλ+=++ ，即有()1220λλ++⨯+>，且()212λλ⨯+≠+，解得53λ>-且0λ≠，则实数λ的取值范围是53λ>-且0λ≠，故A 不正确；对于B ，向量，，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，124e e = ，∴向量1e ，2e不能作为平面内所有向量的一组基底，故B 正确；对于C ，若a b P ，则a 在b上的投影为a ± ，故C 错误；对于D ，AB CA AB CA+ 表示与ABC V 中角A 的外角平分线共线的向量，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫⎪⋅+= ⎪⎝⎭，可知OA 垂直于角A 的外角平分线，所以，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 平分线上，点O 在角C 的平分线上，故点O 是ABC V 的内心，D 正确.故选：AC.【点睛】本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.11. 在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．()()71sin 2121i i x f x i =-⎡⎤⎣⎦=-∑的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 为周期函数，且最小正周期为πB. 函数()f x 为偶函数C. 函数()y f x =的图象关于直线π2x =对称D. 函数()f x 的导函数()f x '的最大值为7的【答案】CD 【解析】【分析】利用周期的定义可判断A 选项的正误；利用奇偶性的定义可判断B 选项的正误；利用函数的对称性可判断C 选项的正误；求得函数()f x 的导数，求出()f x '的最大值，可判断D 选项的正误.【详解】对于选项A ：因为()()()()()7711sin 21πsin 21π21π2121==-+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+==--∑∑i i i x i i x f x i i ()()()7711sin π21sin 212121==-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==-=---∑∑i i i x i x f x i i ，即()()πf x f x +=-，可知函数()f x 的最小正周期不为π，故A 错误；对于选项B ：因为sin y x =为奇函数，所以()sin sin x x =--，所以()()71sin 21sin 3sin 5sin 7sin 9sin11sin13sin 2135791113i i x x x x x x xf x x i =-⎡⎤⎣⎦==++++++-∑也是奇函数，故B 错误；对于选项C ：因为()()()()()7711sin 21πsin 21π21π2121==-----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-==--∑∑i i i x i i x f x i i ()()()7711sin π21sin 212121==----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦===--∑∑i i i x i x f x i i ，即()()πf x f x -=，所以函数()y f x =的图像关于直线π2x =对称，故C 正确；对于选项D ：因为()sin 3sin 5sin 7sin 9sin11sin13sin 35791113x x x x x xf x x =++++++，所以()cos cos3cos5cos 7cos9cos11cos13f x x x x x x x x '=++++++，因为cos ,cos3,cos5,cos 7,cos9,cos11,cos13x x x x x x x 的取值范围均为[]1,1-，可知()7'≤f x ，当0x =时，()07f '=，所以()f x '的最大值为7，所以D 正确．故选：CD ．12. 设函数()()πsin 05f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则（ ）A. ()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点B. ()f x 在()0,2π有且仅有2个极小值点C. ()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D. ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】ACD 【解析】【分析】由()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，可得265ωπ5π≤+<ππ可求出ω的范围，然后逐个分析判断即可.【详解】因为()()πsin 05f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π有且仅有5个零点，如图所示，所以265ωπ5π≤+<ππ，所以1229510ω≤<，所以D 正确，对于AB ，由函数sin y x =在,2π55ωππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象可知，()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点，有3个或2个极小值点，所以A 正确，B 错误，对于C ，当π0,10x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππππ,55105x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为1229510ω≤<，所以π49ππ1051002ωπ+<<，所以πππ,5105ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭￿π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以C 正确，故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x 都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.【解析】【分析】根据题设凸函数的性质可得1(sin sin sin )sin(33A B CA B C ++++≤即可求最大值，注意等号成立条件.【详解】由题设知：1(sin sin sin )sin()sin 333A B C A B C π++++≤==，∴sin sin sin A B C ++≤，当且仅当3A B C π===时等号成立.14. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2221cos cos sin sin sin 4A B C B C -+==，且ABC V 的面积为a 的值为________．【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系以及正弦，余弦定理求得角A 的值，再利用正弦定理可得22sin sin sin bc a B C A=，结合ABC V 的面积求出边a 的值.【详解】解：222cos cos sin sin sin A B C B C -+= ，()2221sin 1sin sin sin sin A B C B C ∴---+=，即222sin sin sin sin sin B A C B C -+=，由正弦定理角化边得222b a c bc -+=，2221cos 222b c a bc A bc bc +-∴===，由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，22sin sin sin bc a B C A∴=即221sin 43bc a π=，化简得23a bc =，又ABC V的面积为1sin 2ABC S bc A ==V 8bc ∴=224a ∴=解得a =故答案为：15. 如图，在ABC V 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ，若ABC V的面积为，则AP的最小值为__________.【解析】【分析】用,AC AB表示,CD PD ，利用这两者共线可求m ，求出2AP 后利用基本不等式可求其最小值.【详解】因为2AD DB =，故23AD AB = ，所以23CD AD AC AB AC =-=- ，而211326PD AD AP AB mAC AB AB mAC =-=--=-，因为CD 与PD 为非零共线向量，故存在实数λ，使得2136AB AC AB mAC λ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故14,4m λ==，所以1142AP AC AB =+ ，所以2221111+216482AP AC AB AC AB =+⨯⨯⨯⨯，由ABC V的面积为=，故8AC AB ⨯= ，所以22211113164AP AC AB =++≥+= ，当且仅当4,2AC AB ==u u u r u u u r时等号成立.故minAP =，故答案【点睛】思路点睛：与三角形有关的向量问题，如果知道边与夹角的关系，则可以考虑用已知的边所在的向量作为基底向量，其余的向量可以用基地向量来表示，此时模长的计算、向量的数量积等都可以通过基底向量来计算.16. 若函数()cos sin f x a b x c x =++的图象经过点()0,1和π,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是______.【答案】0,4⎡+⎣【解析】【分析】先根据()π01,4f f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭将,b c 转化为a 来表示，由此化简()f x 的解析式，对a 进行分类讨论，根据()f x ≤恒成立列不等式来求得a 的取值范围.【详解】因为()f x 经过点()0,1和π,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以(0)1f a b =+=，π4f a a ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，可得1b c a ==-，故π()(1)cos (1)sin (1)(sin cos ))sin 4f x a a x a x a a x x a a x ⎛⎫=+-+-=+-+=-+ ⎪⎝⎭.因为π02x ≤≤，所以ππ3π444x ≤+≤πsin 14x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，为当1a <时，10a ->，可得π1)sin )4a a x a ⎛⎫-≤-+≤- ⎪⎝⎭，所以1())f x a a ≤≤-+，要使()f x ≤≤恒成立，)a a -+≤0a ≥，又1a <，从而01a ≤<；当1a =时，()1[f x =∈；当1a >时，10a -<，所以π1)sin )4a a x a ⎛⎫-≥-+≥- ⎪⎝⎭，所以1())f x a a ≥≥-+，要使()f x ≤≤恒成立，)a a -+≥4a ≤+，又1a >，从而14a <≤+综上所述，a的取值范围为04a ≤≤+.故答案为：0,4⎡+⎣【点睛】求解不等式恒成立的问题，主要解题思路是转化为求函数的最值来进行求解，如本题中()f x ≤恒成立，就转化为()f x 的值域，也即三角函数的值域来进行求解.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知函数()ln f x x x ax b =++在()()1,1f 处的切线为2210x y --=.（1）求实数,a b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）012a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）减区间为1(0,e 增区间为1(,)e +∞【解析】【分析】（1）求出函数的导数，计算f ′（1），f （1）可求出a ，b 的值；（2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；【详解】（1）依题意可得：122(1)10(1)2f f --==即()ln f x x x ax b=++ '()ln 1f x x a ∴=++又 函数()f x 在(1,(1))f 处的切线为2210x y --=，1(1)2f =(1)111(1)2f a f a b =+=⎧⎪∴⎨=+'=⎪⎩解得：012a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）由（1）可得：f '（x ）＝1+lnx ，当10x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，f '（x ）≤0，f （x ）单调递减；当1x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，∴()f x 的单调减区间为1(0,),e ()f x 的单调增区间为1e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于基础题．18. 已知函数()2f x x ω=sin cos x x ωω+(0)>ω的最小正周期为π.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若()f x >，求x 取值的集合.【答案】（1）函数()f x 的单调递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）x 取值的集合为5,2424x k x k k Z ππππ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简()23f x sin x πω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式3222,232k x k πππππ+≤+≤+即可求得函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）()f x >，即sin 23x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，由正弦函数的性质得3222,434k x k k Z πππππ+<+<+∈，化简后，写成集合形式即可.试题解析：（Ⅰ） ())21sin cos 1cos2sin22f x x x x x x ωωωωω=+=++-1sin2sin 223x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为周期为22ππω=，所以1ω=，故()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的单调递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，（Ⅱ）()f x >sin 23x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，由正弦函数得性质得3222,434k x k k Z πππππ+<+<+∈， 解得5222,1212k x k ππππ-+<<+所以5,2424k x k k Z ππππ-+<<+∈，则x 取值的集合为5,2424x k x k k Z ππππ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭.19. 如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P ，已知射线AB ，AC 为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB ，AC 上分别设立游客接送点M ，N ，从观景台P 到M ，N 建造两条观光线路PM ，PN ，测得2AM =千米，2AN =千米．（1）求线段MN 的长度；（2）若60MPN ∠=︒，求两条观光线路PM 与PN 之和的最大值．【答案】（1）千米（2）【解析】【分析】（1）在AMN V 中，利用余弦定理运算求解；（2）在PMN V中，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得π6PM PN α⎛⎫+=+⎪⎝⎭，进而可得结果.【小问1详解】在AMN V 中，由余弦定理得，2222cos MN AM AN AM AN MAN =+-⋅∠，即222122222122MN ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，可得MN =所以线段MN的长度【小问2详解】设2π0,3PMN α⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，因为π3MPN ∠=，所以2π3PNM α∠=-，在PMN V 中，由正弦定理得sin sin sin MN PM PN MPN PNM PMN==∠∠∠，因为sin ∠MN MPN4=，所以24sin 4sin ,4sin 4si π3n PM PNM PN PMN αα⎛⎫=∠==∠= ⎪⎝⎭-，因此4si 2n 4s π3in PM PN αα-⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭14sin 4sin 2ααα⎫=++⎪⎭6sin αα=+＝π6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为2π03α<<，所以6ππ5π66α<+<，所以当ππ62α+=，即π3α=时，PM PN +取到最大值20. 已知函数()2ln f x x ax a x =-+有两个极值点1x ，2x .（1）求a 的取值范围；（2）证明：()()1212242416ln2f x f x x x +++<.【答案】（1）8a >（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，将问题转化为220x ax a -+=在()0,∞+上有两个实数根1x ，2x ，根据二次方程根的分布即可求解，（2）结合1212,22a a x x x x =+=，代入化简式子，将问题转化()2ln 2416ln 242a a g a a a =--++<，利用导数即可求解.【小问1详解】()222a x ax a f x x a x x-+'=-+=,()f x 有两个极值点1x ，2x ，则()0f x '=在()0,∞+上有两个实数根1x ，2x ，所以220x ax a -+=在()0,∞+上有两个实数根1x ，2x ，则21212Δ800202a a a x x a x x ⎧⎪=->⎪⎪=>⎨⎪⎪+=>⎪⎩解得8a >，故a 的取值范围为8a >，【小问2详解】由（1）知1212,22a a x x x x =+=，且8a >，()()2212111222121224242424ln ln f x f x x ax a x x ax a x x x x x +++=-++-+++()()()2121212121212242ln x x x x x x a x x a x x x x =++--+++22ln 24ln 2442242a a a a a a a a a a =--++=--++，令()2ln 24(8)42a a g a a a a =--++>，()ln 22a a g a '=-+，令()()()112ln ,02222a a a h a g a h a a a-''==-+=-+=<在8a >上恒成立，为所以()()ln 22a a h a g a '==-+在8a >单调递减，故()()ln 84ln 4022a a g a g ''=-+<=-+<，因此()g a 在8a >单调递减，故()()81688ln 42416ln 2g a g <=--++=，故()2ln 2416ln 242a a g a a a =--++<，得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.21. 设函数()sin xf x e a x b =++.（Ⅰ）当1a =，[)0,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求b 的范围；（Ⅱ）若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，且方程()2m x f x x -=恰有两解，求实数m 的取值范围.【答案】（I ）1b ≥-（II ）10m e -<<【解析】【详解】试题分析：（1）将参数值代入得到函数表达式，研究函数的单调性求得函数最值，使得最小值大于等于0即可；（2）根据切线得到0a =，2b =-，方程22x m x e x --=有两解，可得22x xe x m x -=-，所以x xe m =有两解，令()x g x xe =，研究这个函数的单调性和图像，使得常函数y=m ，和()x g x xe =有两个交点即可.解析：由()sin xf x e a x b =++，当1a =时，得()cos xf x e x '=+.当[)0,x ∈+∞时，[]1,cos 1,1xe x ≥∈-，且当cos 1x =-时，2,x k k N ππ=+∈，此时1x e >.所以()cos 0xf x e x =+>'，即()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()min 01f x f b ==+，由()0f x ≥恒成立，得10b +≥，所以1b ≥-.（2）由()sin xf x e a x b =++得()cos x f x e a x =+'，且()01f b =+.由题意得()001f e a '=+=，所以0a =.又()0,1b +在切线10x y --=上.所以0110b ---=.所以2b =-.所以()2xf x e =-.即方程22x m x e x --=有两解，可得22x xe x m x -=-，所以x xe m =.令()x g x xe =，则()()1x g x e x '=+，当(),1x ∈-∞-时，()0g x '<，所以()g x 在(),1-∞-上是减函数.当()1,x ∈-+∞时，()0g x '>，所以()g x 在()1,-+∞上是减函数.所以()()min 11g x g e=-=-.又当x →-∞时，()0g x →；且有()10g e =>.数形结合易知：10m e-<<.点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.22. 已知函数()1sin e x x f x x -=+，ππ,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（1）求证：()f x 在()ππ,2-上单调递增；（2）当()π,0-时，()sin e cos sin x f x x x k x --⎡⎤⎣⎦≤恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）π12k ≤+【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，判断导数在()ππ,2-的取值范围，从而证明()f x 的单调性；（2）由题意可得1cos sin x x k x --≤，分离参数得到 1cos sin x x k x --≤，求出1cos ()sin x x g x x--=导数，判断其单调区间，找出最小值即可.小问1详解】()1sin e x x f x x -=+，ππ,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()2cos e x x f x x -'=+，由()π,0x ∈-，有22x -≥，11e x >，则22e x x ->，又1cos 1x -≤≤，则()2cos 120e x x f x x -'=+>-+>.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x ≥，20x ->，所以()2cos 0e xx f x x -'=+> 所以当()ππ,2-时，()0f x ¢>，综上，()f x 在()ππ,2-上单调递增.【小问2详解】()sin e cos sin x f x x x k x --⎡⎤⎣⎦≤.化简得1cos sin x x k x --≤.当()π,0x ∈-时，sin 0x <，所以1cos sin x x k x --≤，设()1cos sin x x g x x--=，()()()221sin sin cos 1cos sin 1cos cos sin sin x x x x x x x x x g x x x +-+='--+-=设()sin 1cos cos h x x x x x =+-+，()()cos cos sin sin 1sin h x x x x x x x x =-+-=-'.()π,0x ∈- ，10x ∴-<，sin 0x <，()0h x '∴>()h x ∴在()π,0-上单调递增，又由π02h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以当ππ,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0h x <，()0g x '<，()g x ∴在ππ,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减；当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x ∴>，()0g x '>，()g x ∴在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()min π1ππ21212g x g --⎛⎫=-==+ ⎪-⎝⎭，【故π12k ≤+.【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题在定义域内，若()g x k ≥恒成立，即()min g x k ≥；在定义域内，若()g x k ≤恒成立，即()max g x k ≤.。

吉林省长春市市第二中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期，某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.【详解】《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为，其中产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为．故选D．【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.2. 已知X～N（μ，σ2）时，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P （μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，则dx=（）A．0.043 B．0.0215 C．0.3413 D．0.4772参考答案：B【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】由题意可得μ=0，σ=1，求出P（3＜X≤4）=×[P（﹣2＜X≤4）﹣P（﹣1＜X≤3）]，即可得出结论．【解答】解：由题意，μ=1，σ=1，P（3＜X≤4）=×[P（﹣2＜X≤4）﹣P（﹣1＜X≤3）]=×（0.9974﹣0.9544）=0.0215，故选：B．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．3. 已知、为平面向量，若与的夹角为，与的夹角为，则A． B. C. D.参考答案：C4. 函数f（x）=x2﹣lnx的递减区间为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（0，+∞）参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=x﹣=，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故函数f（x）在（0，1）递减，故选：B．5. 已知都是定义在R上的函数，,,且（）,,对于数列(n=1,2,…,10),任取正整数k(1≤k≤10),则其前k项和大于的概率是( ).A. B. C.D.参考答案：D6. 若定义在R上的偶函数满足，且当时，则函数的零点个数是（）A．0个 B．2个 C．4个 D．6个参考答案：C7. 已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】零向量；三角形五心．【专题】平面向量及应用．【分析】先根据所给的式子进行移项，再由题意和向量加法的四边形法则，得到，即有成立．[来源:Z*xx*]【解答】解：∵，∴，∵D为BC边中点，∴，则，故选：A．【点评】本题考查了向量的加法的四边形法则的应用，即三角形一边上中点的利用，再根据题意建立等量关系，再判断其它向量之间的关系．8. 有编号依次为1，2，3，4，5，6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个.若以上四位老师中只有一位老师猜驿，则猜对者是( )A.甲B.乙C.丙D.丁参考答案：C若甲猜对，则乙也猜对，故不满足题意；若乙猜对则丁也可能猜对，故不正确；若丁猜对，则乙也猜对，故也不满足条件.而如果丙猜对，其他老师都不会对.故答案为：C.9. 若函数在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围A. B. C. D.参考答案：A10. 已知=（﹣2，1），=（k，﹣3），=（1，2），若（﹣2）⊥，则||=（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】求出向量﹣2，利用向量的垂直，数量积为0，列出方程求解向量，然后求解向量的模即可．【解答】解： =（﹣2，1），=（k，﹣3），=（1，2），﹣2=（﹣2﹣2k，7），（﹣2）⊥，可得：﹣2﹣2k+14=0．解得k=6，=（6，﹣3），所以||==3．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设动点P在函数y=图象上，若O为坐标原点，则|PO|的最小值为．参考答案：2考点：两点间距离公式的应用．专题：函数的性质及应用．分析：设P ，则|PO|=，利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：设P，则|PO|==2，当且仅当时取等号．∴|PO|的最小值为2．故答案为：2．点评：本题考查了两点之间的距离公式、基本不等式的性质，属于基础题．12. 某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析每辆客车运营前年的总利润（单位：万元）与之间的关系为.当每辆客车运营的年平均利润最大时，的值为 .参考答案：13. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是．参考答案：[1,+∞)函数由，复合而成，由于是单调递增函数，因此是增函数，，由于恒成立，当时，有最小值，，故答案为14. 设集合P＝{x|(3t2－10t＋6)dt＝0，x>0}，则集合P的非空子集个数是 .参考答案：3略15. 某校在一天的8节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2节自修课，其中第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，第8节只能安排选修课或自修课，且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻，则所有不同的排法共有种．（结果用数字表示）参考答案：1296【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，先分析第1节课，由组合数公式可得第一节的排法数目，对于后面7节课，按第8节课分2种情况讨论，①、若第8节安排选修课，②、若第8节安排自修课，由分类计数原理可得后面7节课的排法数目，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，由于第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，则第一节课有C31=3种排法；对第8节课分情况讨论：①、若第8节安排选修课，需要将语文、数学、英语、物理、化学中剩余的4科全排列，有A44=24种情况，排好后，出最后的空位之外，有4个空位可选，在其中任选2个，安排2节自修课，有C42=6种情况，此时有24×6=144种安排方法；②、若第8节安排自修课，将语文、数学、英语、物理、化学中剩余的4科全排列，有A44=24种情况，排好后，出最后的空位之外，有4个空位可选，在其中任选2个，安排剩下的自修课与选修课，有A42=12种情况，此时有24×12=288种情况，则后面7节课有144+288=432种安排方法；则所有不同的排法共有3×432=1296种；故答案为：1296．16. 如图，△ABC内接于, AB=AC，直线MN切于点C，弦，AC与BD相交于点E．若AB =6, BC =4，则DE=__________.参考答案：17. 某第三方支付平台的会员每天登陆该平台都能得到积分，第一天得1积分，以后只要连续登陆每天所得积分都比前一天多1分.某会员连续登陆两周，则他两周共得积分．参考答案：105依题意可得该会员这两周每天所得积分依次成等差数列，故他这两周共得积分.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

长春市第二中学2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ． 2． 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．54B ．162C ．54+18D ．162+183． 已知集合{}{2|5,x |y ,A y y x B A B ==-+===（ ） A ．[)1,+∞ B ．[]1,3 C ．(]3,5 D ．[]3,5 【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力． 4． 若如图程序执行的结果是10，则输入的x 的值是（ ）A ．0B ．10C ．﹣10D ．10或﹣105． 在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差6． 已知命题p ：“∀x ∈R ，e x ＞0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 0﹣2＞x 02”，则（ ）A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧（￢q ）是真命题D ．命题p ∨（￢q ）是假命题7． 过点（2，﹣2）且与双曲线﹣y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是（ ）A ．﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=1 8． 设集合M={x|x ≥﹣1}，N={x|x ≤k}，若M ∩N ≠￠，则k 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1]B ．[﹣1，+∞）C ．（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）9． 以过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定 10．12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-211．用秦九韶算法求多项式f （x ）=x 6﹣5x 5+6x 4+x 2+0.3x+2，当x=﹣2时，v 1的值为（ ） A ．1 B ．7 C ．﹣7 D ．﹣512．记集合T={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M=，将M 中的元素按从大到小排列，则第2013个数是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是A 1D 1的中点，点P 在侧面BCC 1B 1上运动．现有下列命题：。

2019年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={3a，3}，B={a2+2a，4}，A∩B={3}，则A∪B等于（）A．{3，5} B．{3，4} C．{﹣9，3} D．{﹣9，3，4}2．复数z满足zi=1﹣i（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣﹣i B．﹣i C．i D．﹣i3．已知向量，，且||=2，与的夹角为，⊥（3﹣），则||等于（）A．6 B．6C．12 D．124．等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．25．如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（）A．5 B．4 C．3 D．26．某公司在2012﹣2016年的收入与支出情况如表所示：根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+，依次估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为（）A．4.5亿元B．4.4亿元C．4.3亿元D．4.2亿元7．已知a=2﹣1.2，b=log36，c=log510，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b8．若x，y满足，且当z=y﹣x的最小值为﹣12，则k的值为（）A．B．﹣C．D．﹣9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．设函数f（x）=sin（2x+）（x∈[0，]），若方程f（x）=a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+2x2+x3的值为（）A．πB．C．D．11．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为（）A． B． C． D．12．设函数f（x）=﹣x，若不等式f（x）≤0在[﹣2，+∞）上有解，则实数a的最小值为（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．设，则f（1）= ．14．已知x，y满足则z=2x+y的最大值为．15．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为．16．如图，四边形OABC，ODEF，OGHI是三个全等的菱形，∠COD=∠FOG=，设，已知点P在各菱形边上运动，且=x+y，x，y∈R，则x+y 的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2﹣a2=bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数，当f（B）取最大值时，判断△ABC的形状．18．吉林市某中学利用周末组织教职员工进行了一次冬季户外健身活动，有N 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）等七组，其频率分布直方图如图所示．已知[35，40）之间的参加者有8人．（Ⅰ）求N和[30，35）之间的参加者人数N1；（Ⅱ）已知[30，35）和[35，40）两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学教师的概率；（Ⅲ）组织者从[45，55）之间的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角C﹣A1B1﹣C1的大小；（Ⅲ）若点D是线段BC的中点，请问在线段AB1上是否存在点E，使得DE∥面AA1C1C？若存在，请说明点E的位置；若不存在，请说明理由．20．已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点Q（l，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．21．设，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．（1）求a的值；（2）若∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的范围．（3）求证：．四.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号[选修4-4：坐标系与参数方程]的参数方程为（a＞b＞0，φ为参22．在平面直角坐标系中，曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．且以O为极点，X轴的正数），且曲线C1半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．2019年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={3a，3}，B={a2+2a，4}，A∩B={3}，则A∪B等于（）A．{3，5} B．{3，4} C．{﹣9，3} D．{﹣9，3，4}【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】利用交集性质求出a=﹣3，从而求出集合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={3a，3}，B={a2+2a，4}，A∩B={3}，∴，解得a=﹣3，∴A={﹣9，3}，B={3，4}，A∪B={﹣9，3，4}．故选：D．【点评】本题考查交集、并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．复数z满足zi=1﹣i（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣﹣i B．﹣i C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵zi=1﹣i，∴．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．已知向量，，且||=2，与的夹角为，⊥（3﹣），则||等于（）A．6 B．6C．12 D．12【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得||．【解答】解：∵||=2，与的夹角为，⊥（3﹣），∴•（3﹣）=3﹣=3•12﹣2•||•cos=0，∴||=12，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．4．等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式、通项公式列出方程组，由此能求出公差．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，∴，解得a3=﹣2，d=4．故选：B．【点评】本题考查公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，a，n的值，当s=时，不满足条件，退出循环，输出n的值即可．【解答】解：s=0，a=2，n=1；s=2，a=，n=2；s=，a=，n=3；s=＞3，a=；输出n=3；故选：C．【点评】本题主要考查了算法和程序框图，属于基本知识的考查．6．某公司在2012﹣2016年的收入与支出情况如表所示：根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+，依次估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为（）A．4.5亿元B．4.4亿元C．4.3亿元D．4.2亿元【考点】线性回归方程．【分析】根据表中数据，计算、以及回归系数，写出回归方程，利用回归方程计算x=7时的值即可．【解答】解：根据表中数据，计算=×（2.2+2.6+4.0+5.3+5.9）=4，=×（0.2+1.5+2.0+2.5+3.8）=2，∴=2﹣0.8×4=﹣1.2，∴回归直线方程为=0.8x﹣1.2，计算x=7时=0.8×7﹣1.2=4.4（亿元），即2017年该公司收入为7亿元时的支出为4.4亿元．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．7．已知a=2﹣1.2，b=log36，c=log510，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b 【考点】对数值大小的比较．【分析】a=2﹣1.2＜1，b=log36=1+log32，c=log510=1+log52，而log32＞log52＞0，可得b＞c．即可得出．【解答】解：a=2﹣1.2＜1，b=log36=1+log32，c=log510=1+log52，而log32＞log52＞0，∴b＞c．∴b＞c＞a．故选：D．【点评】本题考查了对数函数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．若x，y满足，且当z=y﹣x的最小值为﹣12，则k的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据目标是的最小值建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：由z=y﹣x得y=x+z，要使z=y﹣x的最小值为﹣12，即y=x﹣12，则不等式对应的区域在y=x﹣12的上方，先作出对应的图象，由得，即C（12，0），同时C（12，0）也在直线kx﹣y+3=0上，则12k+3=0，得k=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体， 结合图中数据即可求出它的体积． 【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，画出直观图如图所示；则几何体的体积为 V 几何体=V 三棱柱+V 三棱锥 =××2+×××2=． 故选：C ．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题目．10．设函数f （x ）=sin （2x+）（x ∈[0，]），若方程f （x ）=a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3（x 1＜x 2＜x 3），则x 1+2x 2+x 3的值为（ ） A ．π B ．C ．D ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由x∈[0，]求出2x+的范围，由正弦函数的图象画出函数的大致图象，由函数的图象，以及正弦图象的对称轴求出x1+x2、x2+x3的值，即可求出x1+2x2+x3的值．【解答】解：由题意x∈[0，]，则2x+∈[，]，画出函数的大致图象：由图得，当时，方程f（x）=a恰好有三个根，由2x+=得x=，由2x+=得x=，由图知，点（x1，0）与点（x2，0）关于直线对称，点（x2，0）与点（x3，0）关于直线对称，∴x1+x2=，x2+x3=，即x1+2x2+x3=+=，故选C．【点评】本题考查正弦函数的图象，以及正弦函数图象对称性的应用，考查整体思想，数形结合思想．11．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与AF所成角的余弦值．【解答】解以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，∴A1（4，0，6），E（2，2，3），F（0，0，4），A（4，0，0），=（﹣2，2，﹣3），=（﹣4，0，4），设异面直线A1E与AF所成角所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线A1E与AF所成角的余弦值为．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．12．设函数f（x）=﹣x，若不等式f（x）≤0在[﹣2，+∞）上有解，则实数a的最小值为（）A．B．C． D．【考点】函数恒成立问题．（x≥﹣2），构造函数g 【分析】依题意，可得2a≥[]min（x）==﹣，利用导数法可求得g（x）的极小值g（1）=1+﹣6+2﹣=﹣﹣，也是最小值，从而可得答案．【解答】解：f（x）=﹣x≤0在[﹣2，+∞）上有解⇔2ae x≥﹣x在[﹣2，+∞）上有解⇔2a≥[]min（x≥﹣2）．令g（x）==﹣，则g′（x）=3x2+3x﹣6﹣=（x﹣1）（3x+6+），∵x∈[﹣2，+∞），∴当x∈[﹣2，1）时，g′（x）＜0，g（x）在区间[﹣2，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时g′（x）＞0，g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；∴当x=1时，g（x）取得极小值g（1）=1+﹣6+2﹣=﹣﹣，也是最小值，∴2a≥﹣﹣，∴a≥．故选：C．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想，突出分离参数法、构造法与导数法的综合运用，属于难题．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．设，则f（1）= 3 ．【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵，∴f（1）=f[f（7）]=f（5）=3．故答案为：3．14．已知x，y满足则z=2x+y的最大值为7 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×3+1=6+1=7．即目标函数z=2x+y的最大值为7．故答案为：715．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为4．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC边上的高为2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故答案为：416．如图，四边形OABC，ODEF，OGHI是三个全等的菱形，∠COD=∠FOG=，设，已知点P在各菱形边上运动，且=x+y，x，y∈R，则x+y 的最大值为 4 ．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】以O为坐标原点，GC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设菱形的边长为2，从而求出D，H点的坐标，这样便可得到向量、的坐标．再设P（X，Y），根据条件即可得出x+y的解析式，设x+y=z，X，Y的活动域是菱形的边上，根据线性规划的知识求出z的最大值，即求出x+y的最大值．【解答】解：如图所示，以GC所在直线为x轴，过O且垂直于GC的直线为y轴，建立如图所示坐标系，设菱形的边长为2，则：D（1，），H（﹣3，﹣）；设P（X，Y），则（X，Y）=x（1，）+y（﹣3，﹣）；∴；∴x+y=Y﹣X；设z=Y﹣X；∴Y=X+z， z表示在y轴上的截距；∴当截距最大时，z取到最大值；根据图形可看出，当直线经过点E（0，2）时，截距最大；∴2=0+z；解得z=4；∴x+y的最大值为4．故答案为：4．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2﹣a2=bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数，当f（B）取最大值时，判断△ABC的形状．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）由已知和余弦定理可得cosA=，可得；（Ⅱ）由题意和三角函数公式可得，由三角函数的最值可得，可判△ABC是直角三角形．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得，∵A∈（0，π），∴；（Ⅱ）∵，∴，∴，∴，∵B∈（0，π），∴当，即时，f（B）取最大值，∴此时易知道△ABC是直角三角形．18．吉林市某中学利用周末组织教职员工进行了一次冬季户外健身活动，有N 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）等七组，其频率分布直方图如图所示．已知[35，40）之间的参加者有8人．（Ⅰ）求N和[30，35）之间的参加者人数N；1（Ⅱ）已知[30，35）和[35，40）两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学教师的概率；（Ⅲ）组织者从[45，55）之间的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设频率分布直方图中7个组的频率分别为P1，P2，P3，P4，P5，P6，P 7，P4=0.04×5=0.2，从而，由此能求出[30，35）之间的志愿者人数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知[30，35）之间有40×0.3=12人，设从[30，35）之间取2人担任接待工作，其中至少有1名数学教师的事件为事件B；从[35，40）之间取2人担任接待工作其中至少有1名数学教师的事件为事件C，由此推导出女教师的数量为ξ的取值可为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）设频率分布直方图中7个组的频率分别为P1，P2，P3，P4，P5，P 6，P7，P4=0.04×5=0.2，所以…由题意P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7=1，而P3=1﹣（P1+P2+P4+P5+P6+P7）=1﹣5（0.01+0.03+0.04+0.03+0.02+0.01）=0.3∴[30，35）之间的志愿者人数N1=40×P3=40×0.3=12人…（Ⅱ）由（Ⅰ）知[30，35）之间有40×0.3=12人设从[30，35）之间取2人担任接待工作，其中至少有1名数学教师的事件为事件B；从[35，40）之间取2人担任接待工作其中至少有1名数学教师的事件为事件C，因为两组的选择互不影响，为相互独立事件，所以…[45，55）之间共有5×（0.01+0.02）×40=6人，其中4名女教师，2名男教师，从中选取3人，则女教师的数量为ξ的取值可为1，2，3…所以；；…ξ 1 2 3PEξ=2，…19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角C﹣A1B1﹣C1的大小；（Ⅲ）若点D是线段BC的中点，请问在线段AB1上是否存在点E，使得DE∥面AA1C1C？若存在，请说明点E的位置；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）根据线面线面垂直的判定定理即可证明AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）建立坐标系求出二面角的法向量，利用向量法即可求二面角C﹣A1B1﹣C1的大小；（Ⅲ）根据线面平行的性质定理建立方程关系即可得到结论．【解答】证明：（Ⅰ）因为四边形AA1C1C是边长为4的正方形，所以AA1⊥AC，…因为平面ABC⊥平面AA1C1C且平面ABC∩平面AA1C1C=AC，…所以AA1⊥平面ABC…（Ⅱ）解：以A为坐标原点，以AC，AB，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示：（图略）则A，B，C，A1，B1，C1点坐标分别为：A（0，0，0）；B（0，3，0）；C（4，0，0）；A1（0，0，4）；B1（0，3，4）；C1（4，0，4）…则设平面CA1B1的法向量所以，所以…令x′=1，所以，又易知平面A1B1C1的法向量为…所以所以二面角C﹣A1B1﹣C1的大小为45°…（Ⅲ）设E（x1，y1，z1）；平面AA1C1C的法向量．因为点E在线段AB1上，所以假设AE=λAB1，所以（0＜λ≤1）即E（0，3λ，4λ），所以．…又因为平面AA1C1C的法向量易知．而DE ∥面AA 1C 1C ，所以，所以…所以点E 是线段AB 1的中点．…若采用常规方法并且准确，也给分．20．已知抛物线C 的方程为y 2=2px （p ＞0），点R （1，2）在抛物线C 上． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点Q （l ，1）作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，B ，若直线AR ，BR 分别交直线l ：y=2x+2于M ，N 两点，求|MN|最小时直线AB 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）由点R （1，2）在抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）上，求出p=2，由此能求出抛物线C 的方程． （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2y 2），设直线AB 的方程为x=m （y ﹣1）+1，m ≠0，设直线AR 的方程为y=k 1（x ﹣1）+2，由已知条件推导出x M =﹣，x N =﹣，由此求出|MN|=2，再用换元法能求出|MN|的最小值及此时直线AB 的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵点R （1，2）在抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）上，∴4=2p，解得p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2y2），直线AB的方程为x=m（y﹣1）+1，m≠0，由，消去x，并整理，得：y2﹣4my+4（m﹣1）=0，∴y1+y2=4m，y1•y2=4（m﹣1），设直线AR的方程为y=k1（x﹣1）+2，由，解得点M的横坐标，又==，∴xM==﹣，同理点N的横坐标xN=﹣，|y2﹣y1|==4，∴|MN|=|xM ﹣xN|=|﹣|=2||，=8=2，令m﹣1=t，t≠0，则m=t=1，∴|MN|=2≥，即当t=﹣2，m=﹣1时，|MN|取最小值为，此时直线AB的方程为x+y﹣2=0．21．设，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．（1）求a的值；（2）若∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的范围．（3）求证：．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求得函数f（x）的导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，即可求a的值；（2）先将原来的恒成立问题转化为，设，即∀x∈（1，+∞），g（x）≤0．利用导数研究g（x）在（0，+∞）上单调性，求出函数的最大值，即可求得实数m的取值范围．（3）由（2）知，当x＞1时，时，成立．不妨令，得出，再分别令k=1，2，…，n．得到n个不等式，最后累加可得．【解答】解：（1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由题设，∴∴1+a=1，∴a=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2），∀x∈（1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），即设，即∀x∈（1，+∞），g（x）≤0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①若m≤0，g'（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②若m＞0方程﹣mx2+x﹣m=0的判别式△=1﹣4m2当△≤0，即时，g'（x）≤0．∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当时，方程﹣mx2+x﹣m=0，其根，，当x∈（1，x2），g'（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0，与题设矛盾．综上所述，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3）由（2）知，当x＞1时，时，成立．不妨令所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣累加可得即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣四.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．且以O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=可得：，解得即可得到曲线C1的普通方程．设圆C2的半径为R，由于射线θ=与曲线C2交于点D（，），可得，解得即可得到圆C2的极坐标方程．（2）曲线C1的极坐标方程为：，化为，把A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）代入曲线C1即可得出．【解答】解：（1）由曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=可得：，解得，∴曲线C1的普通方程为．设圆C2的半径为R，由于射线θ=与曲线C2交于点D（，）．可得，解得R=1．∴圆C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（2）曲线C1的极坐标方程为：，化为，∵A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，∴+==+==．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；（2）由基本不等式，可以解得m2+n2+p2≥mn+mp+np，将条件平方可得（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，代入m2+n2+p2≥mn+mp+np，即可证得要求证得式子．【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）=2x﹣4+x+1=3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x ﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）=4﹣2x+x+1=5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x＜2，③x≤﹣1时，f（x）=4﹣2x﹣1﹣x=3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）=2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）=3，∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．故证毕．。

长春二中2019-2020学年度下学期高二年级线上考试试题理科数学答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∃n＞1，n2＞2n，则¬p为：∀n＞1，n2≤2n．故选C.2.【答案】C【解析】解：由a＞0，b＜0知，ab＜0，ab2＞0，又由-1＜b＜0知0＜b2＜1，所以ab2＜a，故选：C．根据a，b的范围以及不等式的性质，判断即可．本题考查了不等式的性质，是一道基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查曲线的参数方程，属于基础题型，直接求解即可.【解答】解：方程(为参数)，(为参数)，消去参数得,由四个选项可得，B点在曲线上，故选B.4.【答案】A【解析】解：∵伸缩变换，∴x=x′，y=y′，代入曲线y=sin2x可得y′=3sin x′，即y=3sin x．故选A．利用代入法，即可得到伸缩变换的曲线方程．本题考查代入法求曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．5.【答案】D【解析】【分析】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，不需要一一否定，只需否定其一即可．反证法即假设结论的反面成立，“最多有一个”的反面为“至少有两个”．【解答】解：∵“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的逆命题正确，∴应假设：至少有两个角是钝角．故选：D．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查古典概型的计算问题，属于基础题.这个题目的基本事件总数是36，所以只需要从中找出符合要求的基本事件即可.【解答】解：连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，基本事件总数n=6×6=36，向上的点数之差的绝对值为2包含的基本事件有：（1，3），（3，1），（2，4），（4，2），（3，5），（5，3），（4，6），（6，4），共有8个，∴向上的点数之差的绝对值为2的概率为P==．故选B.7.【答案】D【解析】【分析】本题考查极坐标化为直角坐标，两点间的距离公式的应用，属于基础题.求出点的直角坐标和圆的直角坐标方程及圆心坐标，利用两点间的距离公式求出所求的距离.【解答】解：点的直角坐标为（1，），圆ρ＝2cosθ的直角坐标方程为x2+y2=2x，即（x-1）2+y2=1，故圆心为（1，0），故点（2，）到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为=，故选D．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查直线与平面所成的角，主要考查线面角，关键是寻找线面角，通常寻找斜线在平面上的射影，属于基础题.要求线面角，先寻找斜线在平面上的射影，因此，要寻找平面的垂线，利用已知条件可得C1O⊥平面DBB1D1．【解答】解：由题意，连接A1C1，交B1D1于点O，∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，∴C1O⊥B1D1,又平面,平面,,,平面DBB 1D1，平面DBB1D1,∴C1O⊥平面DBB1D1,∴直线BC1和平面DBB1D1所成角为，在Rt△BOC1中，C1O=2，BC1=2，.即直线和平面所成角的正弦值等于.故选C．9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，属基础题.利用绝对值三角不等式求得|x-a|+|x-1|的最小值为|a-1|，可得|a-1|≤3，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：由|x-a|+|x-1|≥|（x-a）-（x-1）|=|a-1|，不等式|x-a|+|x-1|≤3有解，可得|a-1|≤3，即-3≤a-1≤3，求得-2≤a≤4.故选D.10.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查充分条件、必要条件的判断，解绝对值不等式，属于基础题.因为“若￢p，则￢q”的等价命题是“若q，则p”，所以q是p的充分不必要条件，即命题q的解集是命题p的解集的真子集，利用数轴求解即可．【解答】解：由|x+1|＞2，可得x＜-3或x＞1，所以p：x＜-3或x＞1；q：x＞a，∵是的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，根据数轴有：∴a≥1，故选D．11.【答案】D【解析】解：观察已知的等式：f（2）=，f（4）＞2，即f（22）＞f（8）＞，即f（23）＞，f（16）＞3，即f（24）＞，…，归纳可得：f（2n）＞，n∈N*）故选：D．根据已知中的等式f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，…，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案．本题主要考查了归纳推理的问题，其一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．12.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查柯西不等式的应用问题，属于基础题．首先构造出柯西不等式求出（3a+2b）2的最大值，即可得到答案．【解答】解：由柯西不等式得（3a+2b）2≤（a2+b2）（32+22）=52，当且仅当2a=3b时取等号.则-2≤3a+2b≤故选：B．13.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线的几何意义，难度一般.求得过M的直线的参数方程，代入抛物线方程，由韦达定理和参数的几何意义，可得|MA||MB|的值．【解答】解：由M（-1，2）满足直线x+y-1=0，可设直线的参数方程为（t为参数），代入抛物线方程y=x2可得，即有|MA||MB|=|t1t2|=2．故选A．14.【答案】B【解析】解：由得，f′（x）=x-a sin x，令y1=x，y2=a sin x，在同一坐标系中作出y1=x，y2=a sin x的图象，如图，当0＜x＜x0时，y1＜y2，即f′（x）=x-a sin x＜0，故f（x）单调递减；当x=x0时，y1=y2，即f′（x）=x-a sin x=0，故f（x）取最小值；当x0＜x＜π时，y1＞y2，即f′（x）=x-a sin x＞0，故f（x）单调递增，∴f（x）有最小值无最大值．故选：B．由得，f′（x）=x-a sin x，令y1=x，y2=a sin x，作出图象，得到函数f（x）的单调性情况，进而得出结论．本题考查了根据导数判断函数是否存在最值，掌握根据导数的正负号，来判断原函数的增减性是解题关键，考查了分析能力和计算能力，属于中挡题．15.【答案】11【解析】解：∵数据x1，x2，…，x n的平均数为均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1的均值为：=5×2+1=11；故答案为：11．利用平均数计算公式求解本题考查数据的平均数的求法，是基础题．16.【答案】2【解析】【分析】本题主要考查极坐标的几何意义及其应用，由题意结合所给方程可得直线与圆的交点为：，结合题中所给的弦长确定的值即可.【解答】解：很明显，直线与圆均经过极点，将代入圆的方程可得：，据此可得直线与圆的交点为：，结合题中所给的弦长可得：.17.【答案】4π3【解析】解：由图形的对称性知，阴影部分的面积为S阴影=2sin dx=2（-cos x）=2×[-（cosπ-cos0）]=4，圆O：x2+y2=π2的面积为π3，则所求的概率值是P=4．π3故答案为：4．π3由图形的对称性，利用定积分求出阴影部分的面积，再计算圆的面积和所求的概率值．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．18.【答案】【解析】解：设双曲线的右焦点为F，则F的坐标为（c，0），∵曲线C1与C3有一个共同的焦点，∴y2=4cx，∵，∴=，则M为F1N的中点，∵O为F1F的中点，M为F1N的中点，∴OM为△NF1F的中位线，∴OM∥PF，∵|OM|=a，∴|NF|=2a又NF⊥NF1，|F1F|=2c，∴|NF1|=2b，设N（x，y），则由抛物线的定义可得x+c=2a，∴x=2a-c过点F1作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a．由勾股定理y2+4a2=4b2，即4c（2a-c）+4a2=4（c2-a2），得e2-e-1=0，∴e=．故答案为：．双曲线的右焦点的坐标为（c，0），利用O为F1F的中点，M为F1N的中点，可得OM 为△NF1F的中位线，从而可求|NF1|，再设N（x，y），过点F1作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．19.【答案】解：（1）由已知得当时，不等式f（x）≤6化为-3x+3≤6，解得x≥-1，所以取；当时，不等式f（x）≤6化为x+5≤6，解得x≤1，所以取；当x＞4时，不等式f（x）≤6化为3x-3≤6，解得x≤3，不合题意，舍去；综上知，不等式f（x）≤6的解集为[-1，1]．（2）由题意知，f（x）+|x-4|=|2x+1|+|2x-8|≥|（2x+1）-（2x-8）|=9，当且仅当-≤x≤4时取等号；由不等式f（x）+|x-4|＜a2-8a有解，则a2-8a＞9，即（a-9）（a+1）＞0，解得a＜-1或a＞9；所以a的取值范围是（-∞，-1）∪（9，+∞）．【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f（x）≤6的解集；（2）利用绝对值不等式求出f（x）+|x-4|的最小值，问题化为关于a的不等式，求解集即可．本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式有解的问题，是中档题．20.【答案】解：（1）已知直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：．曲线C的极坐标方程是，即，转换为直角坐标方程为：x2+y2=2x+2y，整理得：（x-1）2+（y-1）2=2，（2）将直线l的参数方程为（t为参数），代入（x-1）2+（y-1）2=2．得到：，化简得：，所以：，,（t1和t2为A、B对应的参数）．故：．【解析】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程的应用求出结果．21.【答案】解：（1）由10×（0.010+0.015+a+0.030+0.010）=1，解得a=0.035．（2）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法共抽取5人，则第1，2组抽取的人数依次为2人，3人，分别记为a1，a2，b1，b2，b3；设从5人中随机抽取3人，则有（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，b3），（a1，b1，b2），（a1，b1，b3），（a1，b2，b3），（a2，b1，b2），（a2，b1，b3），（a2，b2，b3），（b1，b2，b3）共10个基本事件；其中第2组恰好抽到2人包含（a1，b1，b2），（a1，b1，b3），（a1，b2，b3），（a2，b1，b2），（a2，b1，b3），（a2，b2，b3）共6个基本事件；所以第2组抽到2人的概率．【解析】（1）由频率分布直方图能求出a．（2）第1，2组抽取的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为a1，a2，b1，b2，b3．从5人中随机抽取3人，利用列举法能求出第2组抽到2人的概率．本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查列举法、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．22.【答案】解：（Ⅰ）由•=0，可得b=c，∵过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|=，∴=，由，解得a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为+y2=1.（Ⅱ）由题意得直线l的斜率存在，设经过点（2，-1）且不经过点M的直线l的方程为y+1=k（x-2），即y=kx-2k-1，代入椭圆方程+y2=1可得（2k2+1）x2-4k（1+2k）x+（8k2+8k）=0，则=-16k（k+2）＞0，设G（x1，y1），H（x2，y2）．则x1x2=，x1+x2=，∴k1+k2=+=+=2k-=2k-（2k+1）=-1，即k1+k2=-1.【解析】本题考查椭圆方程的求法，考查两直线斜率之和是否为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用，属于中档题．（Ⅰ）由•=0，可得b=c，列出方程组，能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）经过点（2，-1）且不经过点M的直线l的方程为y+1=k（x-2），根据韦达定理和斜率公式出k1+k2=-1．23.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=（x+1）ln x-x+2（x＞0），f′（x）=ln x+，因为f′（1）=1，f（1）=1，所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=x．（2）f′（x）=ln x++1-a（x＞0）．（i）当函数f（x）在定义域上单调递增时，f′（x）≥0，所以a≤ln x+在（0，+∞）上恒成立.令g（x）=ln x+(x>0)，则g′（x）=，所以函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；所以g（x）≥g（1）=2，所以a≤2；(ii)当函数f（x）在定义域上单调递减时，f′（x）≤0，所以在（0，+∞）上恒成立，由（i）知，g(x)在上无最大值，故不成立.综上，.（3）由（i）得当a=2时，f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以当x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1）=0，即（x+1）ln x-2x+2＞0，所以ln x＞在（1，+∞）上恒成立，令x=，得ln＞，化简得ln（n+1）-l n n＞，所以ln2-ln1＞，ln3-ln2＞，…，ln（n+1）-l n n＞，累加得ln（n+1）-ln1＞，即ln（n+1），n∈N*.【解析】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．（1）求出函数f(x)的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出函数f(x)的导数，通过讨论函数f(x)单调递减和单调递增的情况，从而求出a 的取值范围；（3）令a=2，得ln x＞在（1，+∞）上恒成立，令x=，得ln＞，化简得ln（n+1）-l n n＞，对n取值，累加即可．。

2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|(2)0}A x x x =-…，{1B =-，0，1，2，3}，则(A B =I ) A ．{1-，0，3}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，2，3}2．（5分）若1(1)()z a i a R =+-∈，||2z =，则(a = ) A ．0或2B ．0C ．1或2D ．13．（5分）下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是( )A ．22log xy =B ．21log ()2x y =C ．21log y x=D ．14y x =4．（5分）已知等差数列{}n a 中，5732a a =，则此数列中一定为0的是( ) A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a5．（5分）若单位向量1e u r ，2e u u r 夹角为60︒，12a e e λ=-u r u u r r ，且||3a =r ，则实数(λ= )A ．1-B ．2C ．0或1-D ．2或1-6．（5分）《高中数学课程标准》(2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图()RadarChart ，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart ，可用于对研究对象的多维分析）( )A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲7．（5分）命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立：:0q a ∀>，()a xf x lna x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧8．（5分）在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，2AC =，则AC 边上的高为( )AB ．2 CD9．（5分）2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有( ) A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种10．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π．正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．311．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为( ) A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =12．（5分）已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-„的解集是( ) A ．[1，)+∞B ．[0，)+∞C ．(-∞，0]D ．(-∞，1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„，则z x y =+的最大值为14．（5分）若1205()3a x dx -=⎰，则a = ．15．（5分）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是 ．16．（5分）三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，三棱锥A BCD -体积的最大值为 ；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长 不擅长 合计 男生 30 女生 50 合计1002()P K x …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG ． （Ⅰ）求线段AG 的长；（Ⅱ）求二面角B MG N --的余弦值．19．（12分）已知数列{}n a 满足，11a =，24a =且*21430()n n n a a a n N ++-+=∈． （Ⅰ）求证：数列1{}n n a a +-为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2n n b n a =g ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试探究2||||||AP AQ OM g 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数()x f x e =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的m R ∈，当0x >时，都有21(2())1m f x x+>-恒成立，求最大的整数k ．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 4(3sin4x t ty t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） （Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点(M M 异于)O ，交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|1||1|f x ax x =++-． （Ⅰ）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（Ⅱ）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围．2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|(2)0}A x x x =-„，{1B =-，0，1，2，3}，则(A B =I ) A ．{1-，0，3}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，2，3}【解答】解：{|02}A x x =剟； {0A B ∴=I ，1，2}．故选：C ．2．（5分）若1(1)()z a i a R =+-∈，||z =(a = ) A ．0或2B ．0C ．1或2D ．1【解答】解：因为1(1)()z a i a R =+-∈，2||(1)10z a a ∴=-=⇒=或2；故选：A ．3．（5分）下列与函数y( )A ．22log xy = B ．21log ()2x y =C ．21log y x=D ．14y x =【解答】解：y在定义域{|0}x x >上单调递减，22log x y x ==在定义域{|0}x x >上单调递增，21()2x y log =的定义域为R ，21y log x=在定义域{|0}x x >上单调递减，14y x =的定义域为{|0}x x …． 故选：C ．4．（5分）已知等差数列{}n a 中，5732a a =，则此数列中一定为0的是( ) A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a【解答】解：Q 等差数列{}n a 中，5732a a =， 113(4)2(6)a d a d ∴+=+，化为：10a =．则此数列中一定为0的是1a ． 故选：A ．5．（5分）若单位向量1e u r ，2e u u r 夹角为60︒，12a e e λ=-u r u u r r ，且||3a =r，则实数(λ= )A ．1-B ．2C ．0或1-D ．2或1-【解答】解：Q 12||||1e e ==u r u u r ，12,60e e <>=︒u r u u r，∴1212e e =u r u u rg ，且||3a =r ， ∴222221122213a e e e e λλλλ=-+=-+=u r u r u u r u u r r g ，解得2λ=或1-． 故选：D ．6．（5分）《高中数学课程标准》(2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图()RadarChart ，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart ，可用于对研究对象的多维分析）( )A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲【解答】解：对于A 选项，甲的数据分析为3分，乙的数据分析为5分，即甲的数据分析素养低于乙，故选项A 错误，对于B 选项，甲的数学建模素养为3分，数学抽象素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B 错误，对于C 选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故选项C 错误，对于D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D 正确， 故选：D ．7．（5分）命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立：:0q a ∀>，()a xf x lna x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧【解答】解：根据题意，命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立，当0x π=时，对任意实数x ，使得sin()sin x x π+=-恒成立， 故P 为真命题； 命题:0q a ∀>，()a xf x ln a x+=-，有0a x a x +>-，解可得a x a -<<，函数的定义域为(,)a a -，关于原点对称， 有()()a x a xf x lnln f x a x a x++-==-=---，即函数()f x 为奇函数， 故其为真命题；则p q ∧为真命题，()()p q ⌝∨⌝、()P q ∧⌝、()p q ⌝∧为假命题； 故选：A ．8．（5分）在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，2AC =，则AC 边上的高为( )AB ．2 CD【解答】解：Q 2cos ,03A A π=-<<，∴sin A =∴21sin sin()sin cos cos sin 32ABC A C A C A C ∠=+=+=⨯， 由正弦定理有，sin sin AC ABABC C =∠12AB =，解得3AB =，∴11sin 22AB AC A AC BD ⨯⨯⨯=⨯⨯，即53(152)(152)BD ⨯-⨯=-⨯， ∴5BD =，即AC 边上的高为5．故选：C ．9．（5分）2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有( ) A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种【解答】解：若甲单独被派遣到A 县，则有22326C A =种， 若若甲不单独被派遣到A 县，则有336A =种， 故根据分类计数原理可得，共有6612+=种， 故选：B ．10．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π．正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：如图对于①，连接1A C ，11B D ，则11//EG D B ，而1CA ⊥平面EFG ，所以1AC EG ⊥；故①正确； 对于②，取11B C 的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，//CM ED ∴，因此//GC ED 不正确；③由于1B F 与11B C 不垂直，11//B C BC ，1B F ∴与BC 不垂直，因此1B F ⊥平面1BGC 不成立．④11//D D B B Q ，EF 和1DD 所角为4π．EF ∴和1BB 成角为4π．正确． 正确命题的个数是2． 故选：C ．11．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为( ) A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =【解答】解：1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，过点M 作MB x ⊥轴， 1||||22p MA MF ∴==+，1||22p BF =- 120AMF ∠=︒Q ， 30BMF ∴∠=︒，2||||BF MF ∴=，112()2222p p∴-=+，解得3p =，∴抛物线方程为26y x =，故选：C ．12．（5分）已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-„的解集是( ) A ．[1，)+∞B ．[0，)+∞C ．(-∞，0]D ．(-∞，1]【解答】解：11()x x f x e e x --=-+Q ①，(2)11(2)11(2)(2)2x x x x f x e e x e e x ------∴-=-+-=-+-②， ①+②得：()(2)2f x f x +-=，()(32)2()(32)()(2)f x f x f x f x f x f x ∴+-⇔+-+-剟， (32)(2)f x f x ∴--„③，又11()10x x f x e e --'=++>恒成立，11()x x f x e e x --∴=-+为R 上的增函数， ∴③式可化为：322x x --„，解得：1x …， 故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„，则z x y =+的最大值为 4【解答】解：由x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„作出可行域如图：化目标函数z x y =+为y x z =-+，由图可知，当直线y x z =-+过A 时，z 取得最大值，由222y x y =⎧⎨-=⎩，解得(2,2)A 时，目标函数有最大值为4z =． 故答案为：4．14．（5分）若1205()3a x dx -=⎰，则a = 2 ． 【解答】解：1205()3a x dx -=⎰，整理得1213100015()||33a x dx ax x -=-=⎰， 所以1533a -=，解得2a =．故答案为：215．（5分）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是 5(6，11]12．【解答】解：Q 函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，故()f x 的最大值小于零． 当[x π∈，2)π，[66x ππωωπ+∈+，2)6πωπ+，6πωππ∴+>，且226πωππ+„，求得511612ω<„， 故答案为：5(6，11]12．16．（5分）三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，三棱锥A BCD -体积的最大值为 22；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为 ．【解答】解：当BD 过球心，所以90BAD BCD ∠=∠=︒，所以AO⊥面BCD，1132A BCDV BC CD OA -=gg g，当BC CD=时体积最大，因为22BD=，2OA=，所以2BC CD==，所以最大体积为：112222232=g g g g；三棱锥A BCD-体积最大时，三角形ABC中，222AB AC OC OA BC==+==，设三角形ABC的外接圆半径为r，则23r=，所以3r=，所以外接圆的面积为243S rππ==，故答案分别为：22，43π．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？参考公式及数据：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．【解答】解：（Ⅰ）由图可知，(0.0050.0150.0200.0300.005)101m +++++⨯=， 解得0.025m =； （Ⅱ）2()100(800300) 4.762 6.635()()()()50503070n ad bc K a b c d a c b d -⨯-==≈<++++⨯⨯⨯，故不能在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系．18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG ． （Ⅰ）求线段AG 的长；（Ⅱ）求二面角B MG N --的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）1A B ⊥Q 平面MNG ，GN 在平面MNG 内， 1A B GN ∴⊥，设1A B 交GN 于点E ，在BNE ∆中，可得145cos 2164BE BN A BN =∠==+g ， 则114565164A E A B BE =-=+=， 在△1AGE 中，11165534cos 25A EA G AA B===∠，则1AG =； （Ⅱ）以1B 为坐标原点，1B B ，1B C ，11B A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(4B ，0，0)，(2M ，2，0)，(3G ，0，2)，(2N ，0，0)，故(2,2,0),(1,0,2)BM BG =-=-u u u u r u u u r，(0,2,0),(1,0,2)NM NG ==u u u u r u u u r，设平面BMG 的一个法向量为(,,)m x y z =r ，则22020m BM x y m BG x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u u r r g u u u rr g ，可取(2,2,1)m =r ， 设平面MNG 的一个法向量为(,,)n a b c =r ，则2020n NM b n NG a c ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩u u u u r r g u u u rr g ，可取(2,0,1)n =-r ， 设二面角B MG N --的平面角为θ，则5|cos ||cos ,|||||||m n m n m n θ=<>==r rg r rr r ，∴二面角B MG N --5．19．（12分）已知数列{}n a 满足，11a =，24a =且*21430()n n n a a a n N ++-+=∈． （Ⅰ）求证：数列1{}n n a a +-为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2n n b n a =g ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【解答】（Ⅰ）证明：依题意，由21430n n n a a a ++-+=，可得 2143n n n a a a ++=-，则2111333()n n n n n n a a a a a a ++++-=-=-． 21413a a -=-=Q ，∴数列1{}n n a a +-是以3为首项，3为公比的等比数列．11333n n n n a a -+∴-==g ，*n N ∈． 由上式可得，1213a a -=，2323a a -=，g g g113n n n a a ---=， 各项相加，可得：11211331333331322n n n n a a ---=++⋯+==--g ，113131331(31)22222n n nn a a ∴=-+=-+=-g g g ，*n N ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，122(31)32nn n n b n a n n n ==-=-g g g g ．构造数列{}n c ：令3n n c n =g ． 设数列{}n c 的前n 项和为n T ，则1231231323333n n n T c c c c n =+++⋯+=+++⋯+g g g g ， 2331323(1)33n n n T n n =++⋯+-+g g g g ， 两式相减，可得：112333233233333331322n nnn n n n T n n +---=+++⋯+-=-=---g g g ，233344n n n T -∴=+g ．故12n n S b b b =++⋯+12(1)(2)()n c c c n =-+-+⋯+- 12()(12)n c c c n =++⋯+-++⋯+(1)2n n n T +=- 22331134422n n n n -=+--g ． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试探究2||||||AP AQ OM g 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）有题意可得22c =，即1c =，(,0)A a -，(,0)B a ， 设(,)P x y ，由直线PA 和PB 的斜率之积为34-可得34y y x a x a =-+-g ，即22234y x a =--，而P 在椭圆上，所以22221(0)x y a b a b +=>>，22222222(1)()x b y b x a a a=-=--g ，所以2234b a =，而222b ac =-可得：24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（Ⅱ）设直线AP 的方程为：2x my =-，联立与椭圆的方程：22234120x my x y =-⎧⎨+-=⎩，整理可得22(43)120m y my +-=， 所以21243P m y y m +=+，所以21243P my m =+，226843P m x m -=+，所以||AP ===在2x my =-中，令0x =，2y m =，即2(0,)Q m，所以||AQ =所以221||||643m AP AQ m +=+g ，有题意设OM 的方程为：x my =，代入椭圆中可得22(43)12m y +=，所以221243M y m =+，所以2221243Mm x m =+，所以2222212(1)||43MMm OM x y m +=+=+，所以222226(1)||||614312(1)||12243m AP AQ m m OM m ++===++g 为定值． 21．（12分）已知函数()x f x e =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的m R ∈，当0x >时，都有21(2())1m f x x+>-恒成立，求最大的整数k ．【解答】解：()()x I f x e '=，则曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线斜率k f ='（1）e =， 又f （1）e =，故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程(1)y e e x -=-即y ex =， ()II因为21(2())1m f x x+>-恒成立，当0m =时，显然成立，当0m ≠时，不等式可化为12()f x x +， 令11()2()2x h x f x e x x =+=+，则21()2x h x e x'=-，因为21()2x h x e x '=-在(0,)+∞上单调递增，且1()402h '=<，2330h '=->>，故存在01(2x ∈使得00201()20x h x e x '=-=当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，函数单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0h x '>，函数单调递增， 故当0x x =时，函数取得最小值002000111()2x h x e x x x =+=+，令01t x =∈，则0202000111()2(3x h x e t t x x x =+=+=+∈，将()h x 的最小值记为a ，则(3a ∈+．因此原式需要满足a >即210am -+>恒成立， 又0a >，可知△840k a =-<即可，即12k a <，且(3a ∈+．故k 可以取得的最大整数为2．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 4(3sin4x t ty t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） （Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点(M M 异于)O ，交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由22cos(2sinxyααα=+⎧⎨=⎩为参数），消去参数α，可得1C的参数方程为22 (2)4x y-+=；由38cos4(3sin4x tty tππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），得2822x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t，可得2C的普通方程为8x y+=；（Ⅱ）如图，圆1C的极坐标方程为4cosρθ=，直线2C的极坐标方程为cos sin8ρθρθ+=，即8cos sinρθθ=+，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为()42ππθαα=-<<，则28||244|cos sin|||4|cos||sin cos||sin2cos21||2sin(2)1|4 ONOM cosααπααααααα+====+++++．Q42ππα-<<，∴52444πππα-<+<．∴|2sin(2)1|[1,12]4πα++∈+，则||||ONOM的最小值为4(21)21=-+．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()|1||1|f x ax x=++-．（Ⅰ）若2a=，解关于x的不等式()9f x<；（Ⅱ）若当0x>时，()1f x>恒成立，求实数a的取值范围．第21页（共21页）【解答】解：（Ⅰ）当2a =时，3,11()|21||1|2,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=++-=+-⎨⎪⎪-<-⎪⎩剟，则()9f x <等价为139x x >⎧⎨<⎩或11229x x ⎧-⎪⎨⎪+<⎩剟或1239x x ⎧<-⎪⎨⎪-<⎩，解得13x <<或112x -剟或132x -<<-，综上可得原不等式的解集为(3,3)-；（Ⅱ）当0x >时，()1f x >恒成立，即为1()min f x <，当0a =时，()|1|f x x =-，其最小值为f （1）0=，不符题意； 当0a <，即0a ->时，111()|1||1||||1|(1)||(|1|||)f x ax x a x x a x x x a a a =++-=-++-=--++-++，当10a --…，()f x 有最小值，且为1|1|a +，又1|1|1a +>不恒成立；当0a >，0x >时，()1|1f x ax x =++-的最小值为f （1）1|1a =+>恒成立， 综上可得，a 的范围是(0,)+∞．。

长春市二中2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线右支上存在一点P，使得F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A．1＜e＜B．e＞C．e＞D．1＜e＜2．若变量x，y满足：，且满足（t+1）x+（t+2）y+t=0，则参数t的取值范围为（）A．﹣2＜t＜﹣B．﹣2＜t≤﹣C．﹣2≤t≤﹣D．﹣2≤t＜﹣3．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（）A．90种B．180种C．270种D．540种4．已知，其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．35．设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=（）A．3 B．4 C．5 D．66．若方程C：x2+=1（a是常数）则下列结论正确的是（）A．∀a∈R+，方程C表示椭圆B．∀a∈R﹣，方程C表示双曲线C．∃a∈R﹣，方程C表示椭圆D．∃a∈R，方程C表示抛物线7．设集合M={x|x＞1}，P={x|x2﹣6x+9=0}，则下列关系中正确的是（）A．M=P B．P⊊M C．M⊊P D．M∪P=R8．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20﹣80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上，属于醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2011年3月15日至3月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（）A ．2160B ．2880C ．4320D ．86409． 已知向量与的夹角为60°，||=2，||=6，则2﹣在方向上的投影为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．双曲线上一点P 到左焦点的距离为5，则点P 到右焦点的距离为（ ） A ．13 B ．15 C ．12 D ．1111．若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则 （ ）A ．()()()213f f f -<<B ．()()()123f f f <-<C ．()()()312f f f <<D ．()()()321f f f <-<12．某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即()2~100,X N a （0a >），试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格（低于90分）的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为（ ）（A ） 400 （ B ） 500 （C ） 600 （D ） 800 二、填空题13．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为 ． 14．已知集合M={x||x|≤2，x ∈R}，N={x ∈R|（x ﹣3）lnx 2=0}，那么M ∩N= ．15．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=3x x +，对任意的m∈[﹣2，2]，f （mx ﹣2）+f （x ）＜0恒成立，则x 的取值范围为_____．16．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为__________17．已知随机变量ξ﹣N （2，σ2），若P （ξ＞4）=0.4，则P （ξ＞0）= ．。