辅导讲座数学二讲定义在解题中的应用

教师招聘高中数学解题基本方法之定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解题。

数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。

定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。

定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。

简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。

用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。

Ⅰ、再现性题组：
Ⅱ、示范性题组：
【注】求曲线的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根据条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到。

本题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方程组，消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线的轨迹方程。

在建立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。

一般地，圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决;求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。

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高中数学“新定义”题型的解题策略１.明确“新定义”题型的本质与特点“新定义”题型中所说的“新定义”其实是相对考纲、课本而言，在题目中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，但是这种题型已在多年的高考甚至中考中出现，某种程度上讲“新定义”题并不是完全创新的题型，而是考生很常见的一种题型。

可以通过日常的教学及模拟训练让学生喜欢上这种较有特色的数学情景题，如果学生的情绪不紧张，很多“新定义”题是可以迎刃而解的，在解题中真正的障碍是理解与运算、信息的迁移能力。

“新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“称”“规定”“记”等字眼，而题目一般都是用抽象简洁的语言给出新的定义，没有过多的解释说明，要求学生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义。

而“新定义”题学习新定义的时间短，阅读后就要求立即独立运用它解决有关问题，对学生的心理素质和思维敏捷性要求较高。

２.“新定义”题型解题步骤解题时可以分这样几步：（１）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号。

（２）细细品味新定义的概念、法则，对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点。

（３）对定义中提取的知识进行转换，有效的输出，其中对定义信息的提取和化归是解题的关键，也是解题的难点。

如果是新定义的运算、法则，直接按照运算法则计算即可；若是新定义的性质，一般就要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特值排除等方法。

３.“新定义”题型的讲评建议（１）通过熟悉的例子增强学生对这类题目的兴趣，也可以提高他们的解题信心。

（２）加强审题能力的培养。

现在学生的阅读能力差，所以在平时的教学中一定要训练学生的阅读、审题能力，如数学中常见的应该题就是对学生阅读能力的考查。

（３）拓宽学生的视野。

可以借助“新定义”题或是大纲内相关的知识点拓宽学生的视野，虽然“新定义”题特征是题目新颖较难猜测，但实际上高考中也有很多重复出现的例子。

定义让解题更灵活蔡明（浙江省诸暨市浬浦中学311824）摘要：在数学学习中，面对新的概念，就会面临新的思维方式的转变，抓住定义和解题技巧，两者的有机结合使问题更加明了．关键词：定义；转化；解题中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008－0333（2019）10－0046－02收稿日期：2019－01－05作者简介：蔡明（1976．10－），女，浙江省诸暨人，大学，中学一级教师，从事数学解题教学研究．我们都知道定义是揭示事物的本质属性，在很多时候也是解决问题的有效武器．在圆锥曲线的学习中可以遇到三种不同的定义方式，倘若回到定义中去思考，能找到一种解决问题的最佳策略．下面主要介绍各种定义形式促使圆锥曲线的解题更为灵活．一、第一定义设F 1，F 2为椭圆（双曲线）的两个焦点，椭圆上任意一点P 到两个焦点的距离之和等于长轴长2a ，即|PF 1|+|PF 2|=2a （注：2a ＞|F 1F 2|）．双曲线上任意一点P 到两焦点的距离之差的绝对值等于实轴长2a ，即|PF 1|－|PF 2|=2a （注：2a ＜|F 1F 2|）．灵活性在于遇到与两焦点有关的问题可用此定义关联．例1已知P 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）上任意一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，△F 1PF 2的内切圆I 与F 1F 2切于点M ，求证：切点M 在双曲线C 上．分析若用一般思想求出圆方程，进而得到切点，显得比较复杂．根据题意：切点M 在双曲线C 上，能采用定义或许为更灵活．证明设PF 1，PF 2与圆的切点分别为A ，B ，根据切线可得|PA |=|PB |，|F 1M |=|F 1B |，|F 2M |=|F 2A |．结合双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|=2a ，又|PF 1|=|PB |+|F 1B |，|PF 2|=|PA |+|F 2A |，即|F 1M |－|F 2M |=2a ，因此切点M 在双曲线C 上（即切点M 为双曲线的顶点）．例2已知点P 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）上任意一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，过F 2作外角∠F 1PF 2平分线的垂线，垂足为M ，求证：|OM |=a （O 为坐标原点）．分析若直接设点满足角平分线与垂线去求解会很繁冗，若能采用定义的策略就会迎刃而解．证明分别延长F 2M ，F 1P ，设其交点为N．由于PM 平分∠NPF 2，PM ⊥F 2M ，故PM 是F 2N 垂直平分线．由F 2M =MN ，F 2P =PN ，OF 1=OF 2得：OM 是△F 1NF 2的中位线．结合椭圆的定义：|OM |=12|F 1N |=12（|F 1P |+|PN |）=12（|F 1P |+|PF 2|）=a．二、第二定义到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数e ，当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆；当e =1时，轨迹为抛物线；当e ＞1时，轨迹为双曲线（定点为焦点，定直线为相应准—64—线）．灵活性在于遇到焦点与相应准线间的问题可用此定义关联．例3设抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于P 、Q 两点，点M 在抛物线的准线上，且QM ∥x 轴．证明直线PM 经过原点O．分析此题倘若用常规的坐标思想去求证，很容易遗漏斜率不存在的情况从而导致失分．由于本身是与焦点和准线相关的问题，因此可考虑用抛物线的定义．证明如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，过P作PD ⊥l ，D 是垂足．则PD ∥FE ∥QM．连结PM ，与EF 相交于点N ，则EN PD =MN PM =QF PQ ，NF QM =PFPQ ．根据抛物线的定义，PF =PD ，QF =QM ，ʑEN =PD ·QF PQ =PF ·QM PQ =NF ，即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线PM 经过原点O．例4椭圆上三点A ，B ，C 的横坐标x 1，x 2，x 3成等差数列，F 为椭圆的焦点，求证：|AF |，|BF|，|CF |也成等差数列．分析要将题中|AF |，|BF |，|CF |与x 1，x 2，x 3建立关系，因此考虑使用椭圆的第二定义．证明设焦点F 相应的准线为l ：x =m．设点A ，B ，C 向l 引垂线，垂足分别为A 1，B 1，C 1．记椭圆的离心率为e ，由椭圆的第二定义可得：|AF ||AA 1|=|BF ||BB 1|=|CF ||CC 1|=e．所以|AF |=e |AA 1|=e （m －x 1），|BF |=e |BB 1|=e （m －x 2），|CF |=e |CC 1|=e （m －x 3），则|BF |－|AF |=－e （x 2－x 1），|CF |－|BF |=－e （x 3－x 2）．由于x 1，x 2，x 3成等差，则x 3－x 2=x 2－x 1，所以|BF |－|AF |=|CF |－|BF |，故|AF |，|BF |，|CF |也成等差数列．三、极坐标下的统一定义以椭圆的左焦点（双曲线的右焦点或抛物线的焦点）F 为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆，双曲线，抛物线统一的极坐标方程为：ρ=ep1－e cos θ，其中ρ是定点到定直线的距离，ρ＞0．当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线；若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，如果允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线．当e =1时，方程表示开口向右的抛物线．灵活性在于遇到与焦半径有关的问题可用此定义关联．例5过抛物线y =ax 2a ()＞0的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，求证：1p+1q =4a．分析此题若用韦达定理及抛物线的定义进行求解，其计算量颇大且易出现错误，如果能用圆锥曲线的统一极坐标方程去证明会有一种“柳暗花明又一村”的感觉．证明根据圆锥曲线的统一极坐标方程可得：ρ=ep1－e cos θ，又抛物线的离心率e =1，则ρ=p 1－cos θ．因此m =p 1－cos θ，n =p1－cos （π+θ）=p 1+cos θ，故1m +1n =1－cos θp +1+cos θp =2p．通过以上三组题目可看出，追本溯源运用定义是解决问题的一种有利武器．平时能正确选用定义可减少大量繁冗的计算，减少运算出错的可能性，使本身较难的问题有一种豁然明朗之感．希望平时能强化应用定义的意识，用定义让解题更“灵活”，真正体现“将定义用活、用活定义”的思想．参考文献：［1］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书（必修）数学［M ］．北京：人民教育出版社，2014．［责任编辑：杨惠民］—74—。

高中数学常用解题方法之定义法1.判断两者集合关系的3种常用方法2.根据两者的关系求参数的方法3.利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．4.全称命题与特称命题真假的判断方法5.充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．6.比较两个数(式)大小的方法[注意](1)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．(2)在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大．7.利用待定系数法求代数式的取值范围的方法已知M1<f1(a，b)<N1，M2<f2(a，b)<N2，求g(a，b)的取值范围．(1)设g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围．8.解一元二次不等式的方法和步骤9.解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系；③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两个实根的大小关系，从而确定解集．10.消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．11.比较指数幂大小的常用方法一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系．三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小．12.求指数型复合函数的单调区间和值域的方法(1)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令u＝f(x)，先求出u＝f(x)的值域，再利用y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域．(2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论：当a>1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)⊆D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同；当0<a<1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)⊆D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相反．。

新定义教案初中数学1. 让学生理解并掌握新定义的概念，能够运用新定义解决相关问题。

2. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

3. 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 新定义的概念及性质。

2. 新定义的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：新定义的概念及性质。

2. 难点：运用新定义解决实际问题。

四、教学过程1. 导入：通过复习相关基础知识，引导学生思考与新定义相关的问题，激发学生的学习兴趣。

2. 新课讲解：（1）介绍新定义的背景和意义。

（2）讲解新定义的定义及性质，引导学生通过观察、思考、归纳，理解并掌握新定义。

（3）通过例题，演示新定义的应用，让学生体会新定义在解决实际问题中的作用。

3. 课堂练习：（1）设计一些具有代表性的练习题，让学生运用新定义解决问题。

（2）引导学生相互讨论、交流，共同解决问题，提高学生的合作能力。

4. 拓展与应用：（1）引导学生运用新定义解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

（2）鼓励学生发挥创新意识，探索新定义的推广和应用。

5. 课堂小结：回顾本节课的学习内容，总结新定义的概念及性质，强调新定义在解决实际问题中的应用。

6. 课后作业：布置一些有关新定义的练习题，让学生巩固所学知识，提高运用新定义解决实际问题的能力。

五、教学策略1. 采用直观演示、讲解、练习、交流等多种教学方法，让学生充分理解新定义。

2. 设计具有针对性和代表性的练习题，让学生在实践中掌握新定义。

3. 注重个体差异，给予不同程度的学生适当的指导和帮助。

4. 鼓励学生积极参与课堂活动，培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考问题的方式、合作交流的能力等。

2. 课后作业：检查学生完成作业的质量，评估学生对新定义的掌握程度。

3. 综合测试：通过阶段性的测试，了解学生对新定义的运用情况，为下一步教学提供依据。

总之，本节课的教学目标是让学生理解并掌握新定义的概念及性质，能够运用新定义解决相关问题。

第2课定义与命题目标导航学习目标1.了解定义、命题、定理的含义；2.了解命题的结构，会把一个命题写成“如果…那么…”的形式；3.了解真命题和假命题的概念，会判定命题的真假；知识精讲知识点01 定义、命题、定理的含义1.定义：一般地，能清楚地规定某一名词或者术语的意义的语句叫做该名词或术语的定义.2.命题：一般地，判断某一件事情的句子叫做命题.3.定理：用推理方法判断为正确的命题叫做定理注：定理是真命题，但不是全部真命题都可以称为定理，通常只把一些常用的真命题列为定理.知识点02 命题的结构1.命题的结构：命题一般由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.2.命题的一般形式：“如果…，那么…”，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论．知识点03 真命题与假命题1.真命题：正确的命题叫真命题，2.假命题：不正确的命题叫做假命题．注：要判定一个命题是真命题，常常通过推理的方式，即根据已知事实来推断未知事实；也有一些命题是人们经过长期实践，公认为正确的.要判定一个命题是假命题，通常只需给出一个反例能力拓展考点01 定义、命题、定理的含义【典例1】下列选项中不是命题的是（）A．过直线外一点作这条直线的垂线B．带根号的数都是无理数C．三角形任意两边之和大于第三边D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行【即学即练1】下列语句中：（1）你去哪里？（2）2022年北京冬奥会；（3）对顶角相等；（4）3不是奇数．命题共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点02 命题的结构【典例2】命题“如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3”的题设是，结论是，它是命题．【即学即练2】把下列命题改成“如果…那么…”的形式．（1）不相交的两条直线是平行线（2）相等的两个角是对顶角（3）经过一点有且只有一条垂线（4）直角都相等．考点03 判断命题的真假【典例3】下列命题中是真命题的是（）A．同位角相等B．平行于同一条直线的两直线平行C．垂直于同一条直线的两直线平行D．过一点作已知直线的平行线，有且只有一条【即学即练2】下列语句是假命题的有（）A．同角的余角相等B．平行于同一条直线的两条直线平行C．同位角相等D．同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行分层提分题组A 基础过关练1．下列句子中是命题的是（）A．画∠A＝30°B．您好！C．对顶角不相等D．谁？2．下列说法：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．其中真命题有（）个A．1 B．2 C．3 D．43．下列命题是假命题的是（）A．如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3B．对顶角相等C．如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除D．内错角相等4．下列命题中，为真命题的是（）A．内错角相等B．对顶角相等C．同位角相等D．互补的两个角是邻补角5．命题一般都由条件和结论两部分组成，命题“对顶角相等”的条件是．6．一个命题由“题设”和“结论”两部分组成．则命题“如果同旁内角互补，那么两直线平行”的题设是．7．命题：直线a、b、c，若a⊥b，c⊥b，则a∥c；则此命题为命题．（填真或假）8．把下面的命题改写成“如果…那么…”形式：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等9．下面语句是那个定义的特征？（1）连接三角形的顶点和对边中点的线段；（2）三角形一边的延长线和另一边组成的角；（3）不等式组中各个不等式的解集的公共部分；（4）点到直线的垂线段的长度．10．指出下列命题的题设和结论：（1）“平行于同一直线的两条直线互相平行”命题的题设、结论．题设是：，结论是：．（2）“两个负数的和是负数”命题的题设、结论．题设是：，结论是：．（3）“相交的两条直线一定不平行”命题的题设、结论．题设是：，结论是：．（4）“任意两个偶数之差是偶数”命题的题设、结论．题设是：，结论是：．题组B 能力提升练11．下列命题中，属于真命题的是（）A．同旁内角互补B．若a＜1，则a2﹣1＜0 C．直角都相等D．相等的角是对顶角12．能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（）A．x＝B．x＝3 C．x＝﹣D．x＝π13．下列命题中①相等的角是对顶角；②无理数就是开方开不尽的数；③同旁内角互补；④数轴上的点与实数一一对应．是真命题的有（）A．1 个B．2个C．3个D．4个14．将命题“两个锐角的和是钝角”改写成“如果……那么……”的形式是15．判断下列语句是否是命题．如果是，请写出它的题设和结论．（1）内错角相等；（2）对顶角相等；（3）画一个60°的角．16．写出下列命题的条件和结论．（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（2）绝对值等于3的数是3；（3）如果∠DOE＝2∠EOF，那么OF是∠DOE的平分线．题组C 培优拔尖练17．下列语句中，不是命题的是（）A．如果b＜a，那么a＞b B．同旁内角互补C．反向延长射线MN D．垂线段最短18．下列命题中是真命题的是（）A．同位角相等B．若a2＝b2，则a＝b C．等角的补角相等D．两条直线不相交就平行19．对顶角相等是（真或假）命题，此命题的题设是结论是．20．请举出一个关于角相等的定理：．21．已知下列语句：①平角都相等；②画两个相等的角；③两直线平行，同位角相等；④等于同一个角的两个角相等吗；⑤邻补角的平分线互相垂直；⑥等腰三角形的两个底角相等，其中是命题的有（填序号）22．指出下列命题的条件和结论．（1）一个锐角的补角大于这个角的余角；（2）不相等的两个角不是对顶角；（3）异号两数相加得零．23．举反例说明下列命题是假命题．（1）如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0；（2）无限小数是无理数；（3）两直线被第三条直线所截，同位角相等．。

高中数学必修2讲解一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的任务是针对高中数学必修2进行深入的讲解。

高中数学必修2是高中数学课程的重要组成部分，涵盖了较为复杂的数学概念和理论，如函数、几何、概率等。

通过本课程的学习，学生能够掌握函数的基本性质、图像及其应用，理解平面几何的基本知识，以及概率的基本原理。

此外，本教学设计将注重培养学生的逻辑思维、问题解决能力和数学素养。

2、教学对象本次教学设计的对象是高中一年级的学生。

经过初中数学的学习，他们已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。

然而，面对高中数学必修2中更为复杂和抽象的概念，学生可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，因材施教，帮助他们克服学习中的困难，提高数学素养。

同时，注重激发学生的学习兴趣，使他们能够主动参与到课堂教学中，形成良好的学习氛围。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解函数的基本概念，掌握函数的定义、性质、图像及其应用。

（2）掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等常见函数的性质及其图像特征。

（3）了解平面几何的基本知识，掌握点、线、面的位置关系，以及三角形、四（4）掌握概率的基本原理，能够运用概率知识解决实际问题。

（5）培养运用数学知识解决实际问题的能力，提高数学建模和数学应用的水平。

2、过程与方法（1）通过启发式教学，引导学生主动探究数学知识，培养他们的逻辑思维和创新能力。

（2）采用案例分析、问题解决等教学方法，提高学生分析问题、解决问题的能力。

（3）鼓励学生进行合作学习，培养团队协作能力和交流表达能力。

（4）运用现代教育技术手段，如多媒体、网络资源等，丰富教学手段，提高教学效果。

3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学科的兴趣，激发他们学习数学的热情，形成积极的学习态度。

（2）引导学生认识到数学在科学技术、社会发展和日常生活的重要性，提高数学素养。

（3）通过数学学习，培养学生严谨、勤奋、踏实的学术态度，形成良好的学习习惯。

清泉州阳光实验学校第二讲：定义在解题中的应用定义法是最原始的方法，也是最根本的方法。

无论是哪一个综合题，也不管它的构造是怎样的错综复杂，总是有假设干个根本概念的综合或者者叠加。

概念是对数学实体的高度抽象，而抽象的结果就产生了定义。

所以，它是提醒事物内涵的本质的解题方法。

有关椭圆和双曲线的问题，假设题设中出现了准线、焦点和离心率这三个元素中的至少两个，那么选择定义解似乎势在必然了。

因为抛物线上的一点到焦点的间隔等于此点到准线的间隔，所以抓住这个特殊的条件往往是解有关抛物线问题的简洁和快捷的方法。

解题的经历是在理论中逐渐积累的。

在点点滴滴的解题的技巧的积累之后，思维的灵敏性也就逐渐进步了。

要选择定义解题，首先要记住圆锥曲线的每个定义，尤其是圆锥曲线的统一定义。

例1、〔1〕抛物线x=2py2〔p>0〕上的一点A〔m,n〕到焦点F的间隔为1/p,那么m=.n=.〔2〕双曲线x2/64－y2/36=1上的一点P到左焦点的间隔为14，那么P到右准线的间隔为.〔3〕以x=±4为准线方程，其离心率e=0.5,并且过原点的椭圆方程为.〔4〕抛物线的对称轴方程为3x+4y=1,焦点F〔－1，1〕，且过点A〔3，4〕，那么抛物线的方程是准线方程是.〔5〕点M的间隔到F〔0，－6〕的间隔比它到直线y=7的间隔小1，那么点M的轨迹方程是.例2、〔1〕点A〔3，2〕，F为抛物线y2=2px(p>0)焦点，点M在抛物线上运动，假设当|MA|+|MF|的最小值为4时，那么点M的坐标为.〔2〕设抛物线y2=2px(p>0)焦点为F，O为坐标原点，P是抛物线上任意一点，那么ΔPOF可能是三角形.例3、〔1〕F1、F2是椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点，以任意一焦点向ΔF1F2Q的顶点Q的外角平分线引垂线，垂足为P，那么P点的轨迹是。

〔2〕F1、F2是椭圆的两个焦点，以双曲线右支上的任意一点P 为圆心，|PF1|为半径的圆与以F2为圆心，|F1F2|/2为半径的圆内切，那么双曲线的渐近线的夹角是。

北师大版数学八年级上册2《定义与命题》教案1一. 教材分析《定义与命题》是北师大版数学八年级上册第二单元的内容。

本节课主要让学生了解数学中的定义与命题的概念，学会如何正确理解和运用定义与命题。

教材通过生活中的实例，引导学生理解定义与命题的含义，培养学生的逻辑思维能力。

二. 学情分析学生在七年级时已经接触过一些简单的定义与命题，对这部分内容有初步的了解。

但大部分学生对这些概念的理解不够深入，容易混淆。

此外，学生对于如何运用定义与命题来解决问题还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生深入理解概念，并学会运用。

三. 教学目标1.理解定义与命题的概念，掌握它们的书写格式。

2.学会如何正确理解和运用定义与命题。

3.培养学生的逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.重点：理解定义与命题的概念，学会正确书写格式。

2.难点：如何运用定义与命题解决问题，培养学生逻辑思维能力。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入定义与命题，让学生在实际情境中理解概念。

2.互动教学法：引导学生通过小组讨论、交流，共同探讨定义与命题的含义和运用。

3.案例教学法：分析典型例题，让学生学会如何运用定义与命题解决问题。

六. 教学准备1.准备相关的生活实例和典型例题。

2.准备课件，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例，如“等腰三角形”的定义，引导学生思考：如何用数学语言来描述这个概念？从而引出定义与命题的概念。

2.呈现（10分钟）呈现教材中的相关定义与命题，如“平行线”、“全等三角形”等，让学生初步了解这些概念。

同时，引导学生注意定义与命题的书写格式。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个定义与命题，试着用自己的语言来表达，并互相交流。

教师在这个过程中给予适当的引导和反馈。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生运用所学的定义与命题来解决问题。

教师在这个过程中注意引导学生运用定义与命题的正确方法。

北师大版数学八年级上册2《定义与命题》说课稿2一. 教材分析北师大版数学八年级上册2《定义与命题》这一节的内容，是在学生已经掌握了数学的一些基本概念和运算的基础上进行讲解的。

这部分内容的主要目的是让学生了解和掌握命题的概念以及如何去判断一个命题的真假。

教材通过引入概念和例子，让学生去理解命题的定义，然后通过一些练习题让学生去判断一些命题的真假。

二. 学情分析学生在学习这一节的内容时，已经具备了一些基本的数学知识和运算能力，但是可能对一些抽象的概念还不是很理解，因此在教学过程中，可能需要一些具体的例子和解释来帮助学生理解和掌握。

三. 说教学目标教学目标包括知识与技能目标、过程与方法目标、情感态度与价值观目标。

知识与技能目标：学生能够理解命题的概念，并能够判断一个命题的真假。

过程与方法目标：通过引入例子和练习题，让学生去理解和掌握命题的概念。

情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣和热情，让学生感受到数学的实用性。

四. 说教学重难点教学重点：命题的概念和如何判断一个命题的真假。

教学难点：对命题的理解和判断一个命题的真假。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用讲授法和举例法相结合的方式进行教学。

通过讲解和举例，让学生去理解和掌握命题的概念。

同时，我还会利用多媒体教学手段，如PPT等，来辅助教学，使教学过程更加生动有趣。

六. 说教学过程1.导入：通过引入一些生活中的例子，如“所有的学生都是勤奋的”，让学生去思考和讨论这个命题是否正确，从而引出命题的概念。

2.新课讲解：讲解命题的定义和如何判断一个命题的真假。

通过举例和讲解，让学生去理解和掌握命题的概念。

3.练习巩固：布置一些练习题，让学生去判断一些命题的真假，从而巩固所学知识。

4.课堂小结：对本节课的内容进行总结，让学生加深对命题的理解。

5.布置作业：布置一些相关的作业题，让学生去进一步理解和掌握命题的概念。

七. 说板书设计板书设计如下：北师大版数学八年级上册2《定义与命题》1.命题的概念命题：能够判断真假的陈述句2.如何判断一个命题的真假举例：所有的学生都是勤奋的八. 说教学评价教学评价包括学生课堂表现、作业完成情况、练习题的正确率等。

高三数学教师如何帮助学生理解数学概念与定理高三是学生备战高考的关键阶段，数学作为一门重要的学科，在学生的备考中起着至关重要的作用。

然而，对于部分学生来说，数学概念与定理的理解和应用仍然存在困难。

作为数学教师，如何帮助学生更好地理解和掌握数学概念与定理，成为了我们需要思考和解决的问题。

本文将从以下几个方面分享高三数学教师如何帮助学生理解数学概念与定理的经验与方法。

一、概念的引入和解释在教学过程中，数学教师应该注重概念的引入和解释。

对于新学习的数学概念，教师可以通过引入生动有趣的例子，或者借助实际生活中的场景，将抽象的概念具体化，使学生更易于理解和接受。

同时，教师还可以引导学生主动思考，通过探究方式，自己发现和总结概念的内涵与特点，从而形成自己独特的理解。

二、定理的证明与演绎对于数学定理的学习，教师应该注重引导学生进行证明与演绎的过程。

定理的证明是整个数学体系中非常重要的一部分，通过证明过程，学生可以更深入地理解定理的内在联系和逻辑性。

在教学中，教师应该引导学生进行证明的思考和推理，同时注重培养学生的逻辑思维和严谨性。

通过大量的练习和例题讲解，结合实际情境，使学生在应用中感受到数学的美妙与实用性。

三、思维的培养与启发数学是一门讲究思维能力的学科，培养学生的数学思维是数学教师的重要任务之一。

高三数学教师可以通过设计富有挑战性和启发性的问题，引导学生发散思维和创新思维。

例如，教师可以设计一些开放性问题，让学生通过自主探究和实践，寻找解决问题的方法和思路。

同时，教师还可以引导学生进行数学建模和探究性学习，培养学生的问题解决和创新能力。

四、巩固与拓展的结合在高三数学教学中，既要巩固学生对数学概念与定理的理解，又要拓展学生的数学应用能力。

因此，教师应该结合巩固与拓展的方法进行教学。

在巩固方面，教师可以通过课堂练习、作业布置和考试检测等方式，帮助学生巩固和复习基础知识。

在拓展方面，教师可以设计一些开放性和拓展性的数学问题，培养学生的数学思维和创新能力。

圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用北京一零一中学数学组何效员圆锥曲线的第二定义：平面上到定点与到定直线的距离的比为常数e的点的轨迹是圆锥曲线概念的重要组成部分，它揭示了圆锥曲线之间的内在联系，是圆锥曲线在极坐标系下具有统一形式的基本保证。

利用圆锥曲线的第二定义，在某些情形下，可以更方便的求解一些题目。

但当我们利用第二定义时，有时候会忽略一个条件，即平面上的这个定点不能在定直线上，否则得到的曲线不是圆锥曲线。

如：考虑坐标平面上，到定点(1,1)与到定直线1x=的距离之比为常数e的点的轨迹讨论如下：①当1e=时，点的轨迹方程为1,(1)y x=≠，直线去掉一点；②当1e>时，点的轨迹方程为2-=±--y e x11(1), x≠，两条直线去掉一点；(1)③ 当1e <时，点的轨迹不存在。

下面我们就一些具体的题目来体会第二定义的妙用。

例1 已知椭圆22143x y +=内一点(1,1)P -，F 为右焦点，椭圆上有一点M 使||2||MP MF +的值最小，求点M 的坐标。

分析：若按常规思路，设点(,)M x y ，右焦点(1,0)F ， 则2222||2||(1)(1)2(1)MP MF x y x y +=-+++-+，求其最小值无疑是困难，观察2||MF ，设M点到右准线的距离d ，||12MF c e d a ===，2||MF d ∴=，这样||2||MP MF +就转化为在椭圆上寻找一点到(1,1)P -的距离与到直线24a x c== 的距离和最小，当且仅当MP ⊥直线4x =时，点M 在点P 和直线4x =之间时取得，此时M 的坐标为26(,1)-.例 2 已知椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>，求与这个MPF Mx = 4Oyx椭圆有公共焦点的双曲线，使得它们的交点为顶点的四边形的面积最大，并求出相应的四边形的顶点坐标。

高中数学第二课
摘要：
一、高中数学课程的重要性
1.数学在高考中的地位
2.数学在日常生活中的应用
3.培养逻辑思维能力
二、高中数学第二课的主要内容
1.函数的基本概念
2.函数的表示方法
3.函数的性质
三、如何学好高中数学第二课
1.理解概念，熟练掌握定义
2.多做练习题，提高解题能力
3.总结归纳，形成自己的知识体系
正文：
高中数学是学生在高中阶段学习的重要课程，对学生的未来发展具有深远影响。

数学不仅在我国高考中占据重要地位，而且在生活中无处不在，帮助我们更好地理解和解决实际问题。

学习高中数学，尤其是第二课，有助于培养我们的逻辑思维能力，提高分析和解决问题的能力。

高中数学第二课主要讲述了函数的基本概念、表示方法和性质。

函数是数学中的一个核心概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。

通过学习函数，
我们可以更好地理解变量之间的关系，从而为以后的学习打下坚实基础。

为了学好高中数学第二课，我们需要从以下几个方面入手。

首先，要理解概念，熟练掌握定义。

函数的概念和性质是学习函数的基础，我们要深入理解，不能只是死记硬背。

其次，要多做练习题，提高解题能力。

数学的学习离不开大量的练习，我们要多做题，总结规律，提高解题速度和准确率。

最后，要总结归纳，形成自己的知识体系。

学习是一个不断总结的过程，我们要在学习中不断反思，形成自己的知识网络。

总之，高中数学第二课是数学学习中的重要内容，我们要认真学习，努力提高自己的数学素养。

圆锥曲线第二定义在解题中的应用摘要：新课程改革要求在数学教学中构建数学知识体系，全面提高学生数学思维能力的运用。

圆锥曲线是高中数学学习的内容，同时也是高考内容考查的重点。

利用圆锥曲线第二定义解题，不仅可以提高解题效率，而且有利于培养学生分析问题和解决问题的能力。

关键词：圆锥曲线；第二定义；应用现在高中教材中的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种。

它们不仅是平面解析几何教学中的重点和难点，而且也是高考压轴题经常涉及和考查的对象。

三种圆锥曲线的定义既是教材重要的基本内容，也是解决许多问题的一种方法。

圆锥曲线的第二定义把焦点、准线和离心率巧妙地联系起来，在解相关的题目时，如能巧妙运用第二定义，能起到化繁为简的作用，使问题简洁明快的得以解决，在解题中起到事半功倍的效果。

一、圆锥曲线的第二定义圆锥曲线第二定义也称其为统一定义，其定义为平面内与一个定点和一条定直线的距离之比为常数e（e＞0）的点的轨迹，其中定点是曲线的焦点，定直线是对应于焦点的准线，e为离心率。

当e ＞1时，轨迹为双曲线；当e=1时，轨迹为抛物线；当0＜e＜1时，轨迹为椭圆。

从定义中我们可以看出第二定义揭示了圆锥曲线之间的内在联系，它刻画了点与点的距离、点到线的距离之间的数量关系。

它不仅是研究圆锥曲线图像与性质的基础，而且还在解决众多的数学问题中，具有不可低估的特殊功能。

二、圆锥曲线的第二定义在解题中的应用有关圆锥曲线的问题运算量大，求解过程复杂，如能正确、灵活地运用圆锥曲线的相关定义去分析解题，往往会使问题化繁为简，提高解题思路的精确率。

圆锥曲线的第二定义可应用于求解离心率、最值、轨迹问题以及相关的证明题。

下面我们介绍其相关的一些应用。

1.证明焦半径公式已知圆锥曲线方程以及曲线上一点的横坐标，求解这一点与圆锥曲线焦点之间的距离。

我们常规的做法是利用圆锥曲线的方程求出焦点坐标，根据这点的横坐标求解出这点坐标，然后利用距离公式得出结果。

如果方程比较复杂，那势必增加运算量。

高中数学定义题讲解教案
级别：高中
主题：定义题讲解
教案范本：
1. 目标：理解数学中常见概念和术语的定义
2. 材料：定义题练习题，笔记本和笔
3. 过程：
- 引入：提醒学生在数学中定义的重要性，并简要介绍定义题的考试形式。

- 讲解：逐一讲解练习题中出现的概念和术语的定义，注重解释清楚每个词语的含义和用法。

- 练习：让学生在笔记本上写下每个概念的定义，并请他们尝试回答练习题。

- 反馈：依次核对每位学生的回答，解释正确答案，并帮助学生改正错误。

- 总结：总结本节课学习到的各种数学概念和术语的定义，强调学生的理解和记忆。

4. 作业：布置相关的定义题练习作业，并鼓励学生通过复习巩固所学内容。

5. 补充建议：鼓励学生积极参与讨论，提出问题并分享答案，以增进彼此之间的学习和理解。

6. 教师自评：在课堂上能够清晰讲解数学概念和术语的定义，引导学生认真学习和思考，并能够有效帮助他们掌握所学内容。