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计算方法 牛顿柯特斯求积公式与复合求积公式 ppt课件

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牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式

牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式

2
t(t
0
2)dt
2 3
C2
(1) 0 2 2!0!
2
t(t 1)dt
0
1 6
P130 表６-1给出了n从1～8的柯特斯系数。
当n = 8时，从表中可以看出出现了负系数，从 而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。
数值计算方法
b
1dx 1
a
显然, Ck是不依赖于积分区间[a,b]以及被积函数
f(x)的常数,只要给出n,就可以算出柯特斯系数,譬
如当n=1时
C0
1 1 0!1!
1
(t
0
1)dt
1 2
C1
1
tdt
1
0
2
当n=2时
C0
(1) 2 2 0!2!
2
(t 1)(t 2)dt
0
1 6
C1
(1)1 2 1!1!
k!(n k)!hn 0
(b a) (1)nk
nn
( (t i))dt
nk!(n k)! 0 i0
ik
引进记号
Ck
(1) nk nk!(n k )!
nn
(
0 i0
(t i))dt
ik
( k=0,1…,n )
则
Ak (b a)Ck ( k=0,1…,n )
代入插值求积公式(6.4)有
这里 lk (x) 是插值基函数。即有
Ak
b
a lk (x)dx
bn a
i0
x xi dx xk xi
ik
将积分区间[a,b] 划分为n等分, 步长 h b a
n
求积节点为 xk a kh(k 由于 xk xi (k i)h , 所以

《求积公式》PPT课件

《求积公式》PPT课件

Ak
b
lk (x)dx
a
b a
(x x0 ) (xk x0 )
(x xk1)(x xk1) (xk xk1)(xk xk1)
(x xn ) dx (xk xn )
n 0
hnt(t
1)
(t k 1)(t k 1) (1)nk hn (n k)!k !
(t n) hdt
(1)nk h n
特斯系数表4-1：
1结6 束
n 1 1/2 1/2
表4-1
C (n) k
2 1/6 4/6 1/6
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 32/90 12/90 32/90 7/90
5 19/288 75/288 50/288 50/288 75/288 19/288
6 41/840 216/840 27/840 272/840 27/840 216/840 41/840
I
1 0
4 1 x2 dx
I
1 0 2
4 1 02
4 112
1 2
(4 2)
3.
4.2.2 抛物形（辛卜生）公式
取a=x0,(a+b)/2=x1,b=x2,(即n=2)，代入(4.9)式得
A0
(1)2 h 2!
2
(t -1)(t -2)dt
h
2
h.
0
23 3
1结3 束
A1
(1) 1!
h
Rn[qn1(x)] 0
也就是说，当n为偶数时，牛顿-柯特斯公式对不超过n+1次的 多项式均能精确成立，因此，其代数精度可达到n+1.正是基 于这种考虑，当n=2k与n=2k+1时具有相同的代数精度，因而 在实用中常采用n为偶数的牛顿-柯特斯公式，如抛物形公式 (n=2)等.

数值分析7-牛顿-科特斯公式

数值分析7-牛顿-科特斯公式

0
n
(n − s − i) (−ds)
∫ ∏ ( ) n
= (−1)n+1 hn+2
i=0 n
n
s − (n − i) ds
n
n
∏ ∏ 又 (s − (n − i)) = (s − i)
0 i=0
R[ f ]= −R[ f ]
R[ f ]= 0
i=0
i=0
n 偶数
余项
梯形公式的余项
∫ ∫ RT =
0
(2) 若 n 为奇数， f (x) ∈Cn+1[a, b] ，则存在 η ∈(a, b) 使得
∫ ∫ b a
f
(x)
dx
=
Q[
f
]+
(b
− a)n+2 f (n+1) (η )
nn+2(n + 1)!
n t2(t − 1)"(t − n) dt
0
举例（一）

例：分别用梯形公式和simpson公式计算积分
∑ 解： T8
=
1 16
⎡ ⎢⎣
f
(
x0)
+
2
7 i=1
f (xi) +
⎤ f (x8)⎥⎦
=
0.9456909
S4
=
1 24
[
f
(x0) + 4( f (x1) + f (x3) + f (x5) + f (x7)) + 2( f (x2) + f (x4) + f (x6)) + f (x8)] = 0.9460832
故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公 式。

计算方法 牛顿-柯特斯求积公式与复合求积公式 PPT

计算方法 牛顿-柯特斯求积公式与复合求积公式 PPT

求积节点为
n
a
xk xk+1
b
xk a kh，k 0,1,..., n
在每个小区间 [xk , xk1 ]
上应用梯形公式，得：
(k 0,1, … , n 1)
个7次多项式来近似被积函数）的方法来提高计算精度。 • 新想法：将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间
上采用低阶求积公式（低阶多项式），然后把所有小区 间上的计算结果整合起来，得到整个区间上的求积公式。 此即复合求积公式的基本思想。
4.3.1 复合梯形公式及其误差
将积分区间[a, b]划分为n等分,步长为 h b a
5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
对n=6, 7, 8的情况，见教材。
几个重要的低阶求积公式
在牛顿-柯特斯求积公式中n=1, 2, 4时，就分 别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特 斯公式。
b f(x)dx a
n
(b a) C(kn)f(x k ，) xk
计算方法 (Numerical Analysis)
第7次 牛顿-柯特斯求积公式 与复合求积公式
1. 牛顿—柯特斯求积公式 2. 牛顿-科特斯求积公式的例子 3. 复合求积公式 4. 复合求积公式的例子 • 附录：复合梯形公式与复合辛普生公式算
法实现与流程图
牛顿—柯特斯求积公式 采用等距节点的插值型求积公式

0.55 15 1 2880 16 0.53 0.5

0.52 15 2880 16
1 0.5

0.25 15 1 2880 16 0.707

0.0001151
| R2(f) | 0.0001151

牛顿科特斯求积公式

牛顿科特斯求积公式
a
b
n
a Ln( x)dx (b a)
Ck(n) f ( xk )
k0
Newton-Cotes求积公式
Cotes系数性质
计算方法
(1)
Ck( n)

C (n) nk
(对
称
性)
n
(2)
C (n) k

1
k0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式

B 3C 8

B 9C 64 3
解得：
A 4, B 4,
9
3
所求公式为：
C 20 9
计算方法
4
0
f
( x)dx

14
9
f
(0)

12
f
(1)

20
f
(3)
计算方法
例3：试确定一个具有三次代数精度的求积公式
3
0 f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (2) A3 f (3)
二 插值型求积公式
计算方法
基本思想：用插值函数的积分，作为数值积分 （取拉格朗日插值函数）
b
f ( x)dx
a
b
a LN ( x)dx
bN a
li (x) f ( xi )dx
i0

N i0
b a
li
(
x
)dx

f
(
xi
)
即：求积系数
Ai
b
Ai a li ( x)dx
能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的

7.2 牛顿—柯特斯公式

7.2 牛顿—柯特斯公式
b
hk k !
b
(1)n k h( n k ) (n k )!
( x a )[( x a (k 1)h)][( x a (k 1)h]( x a nh) dx n k n a (1) (n k )! k ! h
作变量替换 x a th, 则 dx h dt
1 1 1 (1) ( t 1)dt , C1 tdt 0 0 2 2 1
当 n 2 时,
C
(2) 0 6
C
(2) 1
1 2 4 t ( t 2)dt 2 0 6
C
(2) 2
1 2 1 t ( t 1)dt 4 0 6
989 28350
5888 28350
10496 28350
4540 28350
10496 28350
928 28350
5888 28350
989 28350
由上表, 当 n 1 时, 有两点公式


b
b
a
ba f ( x )dx [ f (a ) f (b)] 2
当 n 2 时, 有三点公式
a
梯形公式
ba ab f ( x )dx [ f (a ) 4 f f (b)] 6 2
辛普生公式
当 n 4 时, 有五点公式

b
a
ba f ( x )dx [7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )] 90
对于一般情况, 可以导出
Rn [ f ] f ( n 2) ( ) b a xn1 ( x )dx ( n 2)! f ( ) b a n1 ( x )dx ( n 1)!

牛顿-柯特斯求积公式ppt课件

牛顿-柯特斯求积公式ppt课件

2
) f (b))
(b a)5 f (4)
2880
证：已知辛卜生求积公式的代数精度为3，因此考
虑构造一个三次插值多项式p3(x)满足下列条件
p3 (a) f (a)
p3 (b) f (b)
p3
(
ab 2
)
f
(
ab 2
)
根据插值余项定理得：
p' 3
(
ab 2
)
f
'
(
ab 2
)
f (x)
b
b
f ( x)g( x)dx f () g( x)dx
a
a
定理3：设f ( x)在[a, b]上有二阶连续导数，则梯形求积
公式的截断误差为
b
ba
RT ( f ) a f ( x)dx 2 ( f (a) f (b))
(b a)3
f ''()
12
工程数学21
工程数学
证明: n 1,由截断误差公式(3)有
定理1： 由n+1个互异节点x0 、x1 、…x n构造的插值
型求积公式的代数精度至少为n。
证明： 因为
b
n
f(x)dx
a
Aj f ( x j ) R( f )
j0
其中
R(
f
)
1 (n1)!
b a
f
(n1) ( )n1( x)dx
这里系数Aj只依赖于求积节点与积分区间,与f(x)无关。
显然当f(x)是任何一个不超过n次的多项式时,余项
ba 6
p3
(a)
4
p3
(
a
2

数值分析6.2--牛顿—柯特斯公式市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件

数值分析6.2--牛顿—柯特斯公式市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件

n
C
(n k
)
[
f
(
xk
)
~fk ]
k0
n
(b a)
C (n) k
f
(xk )
~ fk
k0
n
(b a)
C (n) k
(b a) .
k0
这表明在b-a>1时，初始误差将会引发计算结果误差
增大，即计算不稳定，故n >7牛顿-柯特斯公式是不
用.
第8页
6.2.2 偶数求积公式代数精度
作为插值型求积公式，n阶牛顿-柯特斯公式最 少含有n次代数精度(推论1). 实际代数精度能否深入 提升呢？
积分中值定理，得辛普森公式余项为
第17页
RS
f (4) ( )
4!
b ( x a)( x c)2 ( x b)dx.
a
(b a) (b a )4 f (4) (),
180 2
(a,b).
关于柯特斯公式积分余项，这里不再详细推导
，仅给出结果以下
若 f(x)C6[a, b]，则柯特斯公式余项为
nn
(t j)dt
0 j0, jk
(k=0,1,,n)
则 Ak (b a)Ck(n) , 于是得求积公式
n
In (b a) Ck(n) f ( xk )
k0
称为n 阶牛顿-柯特斯 (Newton-Cotes)公式, Ck(n) 称 为柯特斯系数。
显然, 柯特斯系数与被积函数 f (x) 和积分区间
[a,b]无关, 且为轻易计算多项式积分.
第3页
惯用柯特斯系数表
n
1
1/2
1/2
C(n) k
2

73第三节 复合求积公式

73第三节 复合求积公式

1 I S2 n 2 S2 n Sn 4 1 这从而有递推化(变步长)的复合辛卜生公式. 进一步，还可以得到递推化(变步长)的复合牛 顿-柯特斯公式. 这里就不在赘述了.
得到
数学学院 信息与计算科学系
2. 复合辛卜生公式 将积分区间[a, b]2n等分, 步长h=(b-a)/2n，节点为 xk=a+kh, k=0,1, …,2n，则在每个子区间[x2k, x2k+2]上 的积分用辛卜生公式，得
I f ( x )dx
b a n 1 k 0 n 1 x2 k 2 x2 k
(1)用复合梯形公式计算，由误差估计式有
( b a )3 e 1 4 R f ( ) 10 12n2 12n2 2
e 102 67.3087, 计算有 n 6 故取n=68，即将区间[0, 1]进行68等分就满足要求.
(2)用复合辛卜生公式计算，由误差估计式有
n，但这要用到高阶导数，一般是比较困难的.
数学学院 信息与计算科学系
在实际中，常采用积分步长h的自动选取， 具体说，就是在求积过程中，将步长逐次折半， 反复利用复合求积公式，直到相邻两次的计算结
果之差的绝对值小于允许误差为止，这实际上是
一种事后估计误差的方法.
数学学院 信息与计算科学系
对复合梯形公式，将区间[a, b]n等分的余项式为
2k 1 f f (1) 8
数学学院 信息与计算科学系
3 3 1 4 4 4 4 2 4 2 2 k 2 2 k 1 2 24 1 0 1 ( ) 1 ( ) 1 1 k 1 k 0 4 8
3 3 1 3 16 64 2 4 2 2 6 2 16 k 64 (2 k 1) k 1 k 0

数值计算方法 复化求积公式 - 复化求积公式

数值计算方法 复化求积公式 - 复化求积公式

nn
(t
0 j0
j )dt
jk
柯
特点： 插值型的、节点等距
特 斯
存在问题： 节点较多时，高次插值的不稳定导致高阶N-
公
K
式
解决办法公：式的复不化稳求定积。
复化求积法：区间分成若干子区间,在每个子区间上用低 阶求积公式。
N=1时的牛-柯公式
1
梯 形 公 式 T b a f a f b
牛 顿 －
xk1 xk
f
( x )dx
h[ 2
f
(xk )
f
(
xk
1
)]
h3 12
f ''(k )
k [ xk , xk1]
求和可得
I
b
n1
f (x)dx
xk1 f ( x )dx
a
k0 xk
h 2
n1
[
k0
f
(
xk
)
f ( xk1)]
Rn ( f )
2
记
Tn
h 2
n1 k0
[
f
(
xk
)
f ( xk1)]
b
lim
n
T
n
a
f ( x)dx,
复 化
事实上
h n1
Tn
2
[
k0
f
(
xk
)
Hale Waihona Puke f ( xk1 )]梯 形 公
1 b a n1
ba n
2 n
f (xk )
k0
n
f ( xk ).
k 1
式 的 收
lim

数值分析 -牛顿-科特斯公式

数值分析 -牛顿-科特斯公式

故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式。
当 n 7 时，牛顿-科特斯公式是稳定的。
牛顿-科特斯公式的代数精度
定理 当 n 为偶数时，牛顿－科特斯公式至少有 n+1
阶代数精度。
证：只要证明当 n 为偶数时，公式对f (x)＝xn+1精确成立。
由插值型求积公式的误差公式得
R[ f ]
h
[f 4
(xk ) 2 f
( xk 1/ 2 )
f ( xk 1)]
1 梯形法的递推化
注意，这里h=(a+b)/n代表二分前的步长。 将每个子区间上的积分值相加得
n1
n1
T

h 4
[
f
(xk )
f
(xk1)]
h 2
f
(
xk

1 2
)
k 0
k 0
从而可导出下列递推公式
+
i
h，h

b
n
a
，i = 1, 2, …,
b
b
Ai a li (x)dx a
ji
x x j dx xi x j
n
0 ji
t j hdt i j
(b a)(1)ni n (t j)dt
n i!(n i)!
0 i j

2 3
,
C (2) 2
1 6
b a
f ( x)dx

b
6
a[
f
(a) 4 f
(
ab 2
)

f
(b)]
n = 4: 科特斯(Cotes)求积公式

复合求积法PPT课件

复合求积法PPT课件
固定时而节点个数的长度较大当积分区间直接使用newtoncotes公式的余项将会较大增加时公式的舍入误差又很难得到控制为了提高公式的精度又使算法简单易行往往使用复合方法分成若干个子区间即将积分区间然后在每个小区间上使用低阶newtoncotes公式最后将每个小区间上的积分的近似值相加一复合求积公式等份分割为的积分区间将定积分各节点为公式上使用在子区间cotesnewton节点为步长为等份分割为cotesnewton复合梯形公式求积公式可得复合复合simpson公式复合抛物线公式求积公式可得复合sindx计算定积分使用各种复合求积公式为简单起见依次使用8阶复合梯形公式4阶复合simpson公式和2阶复合cotes公式可得各节点的值如右表012509973978702509896158403750976726740509588510806250936155640750908851680875087719257复合求积公式的程序newtoncotesm函数程序funcm分别由复合trapzsimpsoncotes公式有94569086sindx671839460830703精度最高精度次高精度最低比较三个公式的结果那么哪个复合求积公式的收敛最快呢
1
4
)

12
f
(
x
k

2
4
)
32
f
(
x
k

3
4
)]
1
14
k 1
f
( xk )

7
f
(1)]
0.94608307华长生制作 Nhomakorabea9
比较三个 公式的结果
精度最低 精度次高
T8 0.94569086 S4 0.94608331

牛顿-柯特斯求积公式

牛顿-柯特斯求积公式

b
n
n
f ( x)dx
a
Ai f ( xi ) R( f )
Ai f ( xi ) (1)
i0
i0
其中
b
Ai a li ( x)dx i 0,1,L , n
(2)
li(x)为Lagrange插值基函数。
截断误差或余项为
R( f ) 1
(n 1)!
b a
f
(n1) ( ( x))wn1( x)dx
工程数学
辛卜生公式的几何意义是用抛物线y=P2(x)围成 的曲边梯形面积代替由y=f(x)围成的曲边梯形面积图
2。
y
y=P2(x)
y=f(x)
0 x0
x1
图2
b
f
x2
(x)dx
b
a
x
(f
(a)
4
f
(a
b)
f
(b))
a
6
2
工程数学
工程数学
例 ： 用梯形公式与辛卜生公式
求
3 x
I e 2 dx
1
(3)
工程数学
工程数学
数值求积公式的一般形式
b
n
f ( x)dx
a
Ai f ( xi )
i0
Ai (i=0,1,…,n)称为求积系数， xi (i=0,1,…,n)称为求积节点。
工程数学
工程数学
第一节 等距节点的牛顿—柯特斯求积公式
当求积节点等距分布时，插值型求积公式称为
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes) 求积公式。
例如，对概率积分 2 t e x2 dx
0
t [0, )
由于被积函数的原函数F(x)不可能找到，牛顿莱布尼兹公式也就无能为力了。

Newton-Cotes公式PPT课件

Newton-Cotes公式PPT课件

Ai
xn x0 ji
(xxj
) d
x
(xi xj)
令 xath
n
(tj)h h d t(b a ) (1 )n i n
(tj)dt
0i j(ij)h
n i!(n i)!0i j
注：Cotes 系数仅取决于 n 和 k, 可查表得到. 与 f (x) 及区间[a,b]均无关。 .
Cotes系数
.
25
注意: Cotes系数只与j和n有关,与f(x)和积分区间 [a,b]无关,且满足:
n
C
(n) j
1
j0
Newton-Cotes公式的误差为:
f ( ) (n1)
b
R(f) a
(n1)!wn1(x)dx
(n h n 1 2)!0 nf(n 1 )() jn 0(tj) dt与, x 有(a 关,b )
C
(n ) k
24
记
C(n) j
j!((n 1 )nj)j n ! 0nk0n ,k(jtk)d
t
则 A j (ba )C ( jn ), j0 ,1 ,2 , ,n
求积公式变为
b
n
f(x)dx
a
Ak f(xk)
k0
变为
b a
n
f(x)dx(ba)
C(n) j
f(xj)
j0
称为n阶闭型Newton-Cotes求积公式.
当 f ( x ) x 2时
b f ( x ) dx
b x 2 dx 1 (b 3 a 3 )
a
a
3
S [ f ] b a ( f ( a ) 4 f ( b a ) f (b ))

数值计算方法课件CH4数值积分4.2复合求积法

数值计算方法课件CH4数值积分4.2复合求积法

f
(b)
f (a)]
1 4
(I
Tn
)
20
因此有
I T2n 1 I Tn 4
4I 4T2n I Tn
即
I
T2n
1 3
(T2
n
Tn )
这说明， T2n作为I的近似值时的截断误差 绝对值约为
1 3 T2n Tn
若预先给定的误差限为，只要 ，就认为此时的数
值积分T2n已经达到精度要求，可以停止计算了.
3 4
)]
14
k
1
f
(xk ) 7
f
(1)]
0.94608307
10
比较三个 公式的结果
精度最低 精度次高
T8 0.94569086 S4 0.94608331
精度最高 C2 0.94608307
原积分的精确值为 I 1sin x dx 0.946083070367183 0x
这三种方法都是求积区间上9个节点上的函数值的线性组合 进行计算，只是组合方法不同，但工作量基本相同.T8的精 度很低，但S4和C2的精度很高，相比较而言，复合Simpson 公式的复杂性居中，精度又可达到要求，故使用更普遍.
在数值积分中，精度是一个很重要的问题，复合求积法 对提高精度是很有效的.由复合求积公式的余项表达式看到， 精度与步长有关. 步长取得太大，精度难以保证，步长太小， 则求积会公导式致之计前算最量好的先增给加出，步并长且.积I累 T误n 差 11也2 h2会[ f 增(b) 大f (，a)]因此使用
从理论上讲，可以根据复合I求 S积n 公 118式0 的2h 4余[ f 项(b) 公f 式(a)或] 其近 似于被表积达函式数，的预高先阶确导定数出很恰难当估的计步I，长 C或hn 来者 9.24但被5 在积h4 6实函[ f (际数5)(b使)没 f用有(5)(中解a)]，析表由 达式，因此这个预估h的方法是不宜使用的.
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数之和为1
n
Ck 1
k0
证：由于插值型积分公式的系数Ak 之和等于（b-a）
由关系：
Ck

b
1
a
Ak
得： n Ck k0

n k0
b
1
a
Ak

b
1
a
n k0
Ak
1 (b a) 1
ba
ppt课件
9
2. Ck是不依赖于积分区间[a,b]以及被积函数f(x)的 常数，只要给出n，就可以算出柯特斯系数。
1/6 2/3 1/6
定理4.3（辛卜生公式的误差）设f(x)在[a, b]上具有连
续的四阶导数，则Simpson公式的误差为
R2(f)

1 90
b
2
C(kn)

(1)nk nk! (n k)!
n ( n (t i))dt
0 i0
ik
例如，当n=1时
C0

1 1 0!1!
1(t
0
1)dt

1 2
C1

(1)0 1 1!0!
1tdt
0

1 2
ppt课件
似曾 相识
10
当n=2时，由
C(kn)
计算方法 (Numerical Analysis)
第7次 牛顿-柯特斯求积公式 与复合求积公式
ppt课件
1
1. 牛顿—柯特斯求积公式 2. 牛顿-科特斯求积公式的例子 3. 复合求积公式 4. 复合求积公式的例子 • 附录：复合梯形公式与复合辛普生公式算
法实现与流程图
ppt课件
2
牛顿—柯特斯求积公式 采用等距节点的插值型求积公式
ppt课件
3
4.2 牛顿—柯特斯求积公式
定义：在插值求积公式
b f(x)dx
a
b P(x)dx
a
n
Akf(x k )
k0
中,当所取节点 a x0 x1 xn b 是等距
时称为牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式，其中：
n
P(x) lk (x)f(x k )， Ak
n
Ck
1
1/2 1/2
2
1/6 2/3 1/6
3
1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90
5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
对n=6, 7, 8的情况，见教材。
ppt课件
12
几个重要的低阶求积公式
在牛顿-柯特斯求积公式中n=1, 2, 4时，就分 别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特 斯公式。
0 i0
ik
(b a) (1)nk
n ( n (t i))dt
nk! (n k)! 0 i0
ik
注：最后一步用到：h
b n
a
ppt课件
7
引进记号(柯特斯系数)
C(kn)

(1)nk nk! (n k)!
n ( n (t i))dt, k
b f(x)dx a
n
(b a) C(kn)f(x k ，) xk
k0

a kh
ppt课件
13
(1) 梯形公式（是插值型求积公式）
当n=1时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式
b f(x)dx 1(b a) f(a) f(b)
a
2
定理4.2 （梯形公式的误差）设f(x)在[a,b]上具有 连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为
0 i0

0,1,...,n
ik
则
Ak (b a)C(kn，) k 0,1,..., n
代入插值求积公式(4.1)有
b f(x)dx
a

n
(b a) C(kn)f(x k )
k0
称为牛顿-柯特斯求积公式,Ck称为柯特斯系数
ppt课件
8
柯特斯系数的性质
1. 将区间[a, b]分为n等分，则n+1个柯特斯系
n
a=x0 x1 x2 xi
xk xn=b
求积节点为：
xk a kh(k 0,1, … , n)
因此：
xk
xi

(k i)h ppt课件
5
可以推出：
(xk x0 ) … (xk xk1 )(x k xk1 ) … (xk xn ) (kh)(k 1)h (1h)( 1h) (k n)h k! hk (1)nk (n k)! hnk (1)nk k! (n k)! hn
R1(f)

(b a)3 12
f(η)
η (a, b)
当b-a>1时，误差较大；
b-a<1时，误差较小
ppt课件
14
（2） 辛卜生公式（是插值型求积公式）
当n=2时，牛顿-柯特斯公式就是辛卜生f(a)
4f(a
2
b)

f(b)
a=x0 x1 x2 xi
xk xn=b
ppt课件
6
作变量替换 x a th 并注意 xi a ih 得：
Ak

b
alk (x)dx
b n x xi dx
a i0
xk
xi
ik
(1)nk
k! (n k)! hn
n ( n (t i))hnhdt

(1)nk nk! (n k)!
n ( n (t i))dt
0 i0
ik
C0

(1)2 2 0!2!
2(t 1)(t 2)dt
0

1 6
C1

(1)1 2 1!1!
2t(t 2)dt
0

2 3
似曾 相识
C2

(1)0 2 2!0!
2t(t 1)dt
k0

b a
lk
(x)dx
lk (x) 是插值基函数。有关系式
Ak
b a
lk (x)dx
bn
a i0 ppt课件 i k
x xi dx xk xi
4
利用等步长的特点计算积分系数Ak
Ak
b n x xi dx a i0 xk xi
ik
将积分区间[a, b] 划分为n等分, 步长 h b a
0

1 6
P104 表4-1给出了n从1～8的柯特斯系数。当n = 8时， 出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此，实用
的只是低阶公式。
ppt课件
11
Newton-Cotes公式
b f(x)dx a
n
(b a) C(kn)f(x k ， ) x k
k0
a kh
柯特斯系数列表：当n=8的时候，出现负值，不稳定