高考数学二轮总复习专题训练九 椭圆、双曲线、抛物线 理

高三数学二轮复习 椭圆、双曲线、抛物线专题能力提升训练 理一、选择题(每小题5分，共25分)1．以双曲线x 23－y 2＝1的左焦点为焦点，顶点在原点的抛物线方程是( )．A ．y 2＝4x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝－4 2x D ．y 2＝－8x2．双曲线x 2m －y 2n＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4mx 的焦点重合，则n 的值为( )．A ．1B ．4C ．8D ．123．已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右顶点，椭圆C 上异于A 1，A 2的点P 恒满足kPA 1·kPA 2＝－49，则椭圆C 的离心率为( )．A.49B.23C.59D.534．已知长方形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝1，若以A 、B 为焦点的双曲线恰好过点C 、D ，则此双曲线的离心率e ＝( )． A.5＋12B ．2(5－1) C.5－1 D.2＋15．设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 二、填空题(每小题5分，共15分)6．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则此双曲线的离心率为________．7．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 225＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为________．8．已知抛物线x 2＝4y 的焦点F 和点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，18，P 为抛物线上一点，则|PA |＋|PF |的最小值是________．三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．10．(12分)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上OB →＝2OA →，求直线AB 的方程． 11． (12分)设抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为4 2，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．参考答案1．D [由题意知：抛物线的焦点为(－2,0)．又顶点在原点，所以抛物线方程为y 2＝－8x .] 2．D [抛物线焦点F (m,0)为双曲线一个焦点，∴m ＋n ＝m 2，又双曲线离心率为2，∴1＋n m＝4，即n ＝3m ，所以4m ＝m 2，可得m ＝4，n ＝12.]3．D [设P (x 0，y 0)，则y 0x 0＋a ×y 0x 0－a ＝－49，化简得x 20a 2＋y 204a 29＝1可以判断b 2a 2＝49，e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1－49＝53.] 4．A [由题意可知c ＝1，5－1＝2a ，所以e ＝2c 2a ＝25－1＝5＋12.]5．D [设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，F 1P 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22c ，y 2，则kF 1P ＝cyb 2＋2c2，kQF 2＝cyb 2－2c 2.由kF 1P ·kQF 2＝－1，得y 2＝4c 4－b 4c2＝2c 2－b22c 2＋b2c 2.因为y 2≥0，但注意b 2＋2c 2≠0， 所以2c 2－b 2＞0， 即3c 2－a 2＞0. 即e 2＞13.故33＜e ＜1.当b 2－2c 2＝0时，y ＝0，此时kQF 2不存在，此时F 2为中点，a 2c －c ＝2c ，得e ＝33.综上得，33≤e ＜1.] 6．解析 依题意得：双曲线的渐近线方程为：bx ±ay ＝0，则|2b |a 2＋b2＝3，即：b 2＝3a 2，又c 2＝a 2＋b 2，∴c 2＝4a 2，∴e ＝2. 答案 27．解析 ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝64，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，解得|PF 1||PF 2|＝18，∴△PF 1F 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×18＝9.答案 98．解析 点A 在抛物线的外部，所以当P 、A 、F 三点共线时，|PA |＋|PF |最小，其中焦点F 的坐标为(0,1)，故|PA |＋|PF |的最小值为|AF |＝1138. 答案11389．解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝54y ，∵P 在圆上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0.∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.∴线段AB 的长度为|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625x 1－x 22＝4125×41＝415. 10．解 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a ＞2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)法一 A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx . 将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2.将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k2，又由OB →＝2 OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二 A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2 OA →及(1)知， O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，由OB →＝2 OA →，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k2＝1，则4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .11．解 (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，|BD |＝2p ，圆F 的半径|FA |＝2p .由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|FA |＝ 2p . 因为△ABD 的面积为4 2，所以12|BD |·d ＝4 2，即12·2p · 2p ＝4 2，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8.(2)因为A ，B ，F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°. 由抛物线定义知|AD |＝|FA |＝12|AB |.所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－2 33px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－p6.因为m 的纵截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3.当m 的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值 为3.综上，坐标原点到m ，n 距离的比值为3.。

椭圆、双曲线、抛物线高考对本节知识的考查主要有以下两种形式：1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0)图形几何性质范围|x|≤a， |y|≤b[|x|≥a[x≥0顶点(±a,0)，(0，±b) (±a,0) (0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0) (p2，0) 轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝ca＝1－b2a2(0<e<1)e＝ca＝1＋b2a2(e>1)e＝1准线x＝－p2渐近线y＝±bax考点一 圆锥曲线的定义与标准方程例1 (1)设椭圆x 22＋y 2m ＝1和双曲线y 23－x 2＝1的公共焦点分别为F 1、F 2，P 为这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值等于________．(2)已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝________. 答案 (1)3 (2)223解析 (1)焦点坐标为(0，±2)，由此得m －2＝4，故m ＝6.根据椭圆与双曲线的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝26，||PF 1|－|PF 2||＝23，两式平方相减得4|PF 1||PF 2|＝4×3，所以|PF 1|·|PF 2|＝3.(2)方法一 抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ：x ＝－2，直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)恒过定点P (－2,0)．如图，过A 、B 分别作AM ⊥l 于点M ，BN ⊥l 于点N .由|FA |＝2|FB |，则|AM |＝2|BN |，点B 为AP 的中点． 连接OB ，则|OB |＝12|AF |，∴|OB |＝|BF |，点B 的横坐标为1， 故点B 的坐标为(1,22)． ∴k ＝22－01－－2＝223.方法二 如图，由图可知，BB ′＝BF ，AA ′＝AF ， 又|AF |＝2|BF |， ∴|BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|＝12， 即B 是AC 的中点．∴⎩⎪⎨⎪⎧2x B ＝x A －2，2y B ＝y A 与⎩⎪⎨⎪⎧y 2A ＝8x A ，y 2B ＝8x B ，联立可得A (4,42)，B (1,22)． ∴k AB ＝42－224－1＝223.(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，提倡画出合理草图．(1)(2012·山东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝1 (2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ， 交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3xD ．y 2＝3x答案 (1)D (2)C解析 (1)∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20.∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.(2)如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定 义知，|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|， ∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°. 连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形， 过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于N ，则|NF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.考点二 圆锥曲线的几何性质例2 (1)(2013·辽宁)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线的离心率e 的最大值为________． 答案 (1)B (2)53解析 (1)在△ABF 中，由余弦定理得 |AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |cos∠ABF ， ∴|AF |2＝100＋64－128＝36，∴|AF |＝6， 从而|AB |2＝|AF |2＋|BF |2，则AF ⊥BF . ∴c ＝|OF |＝12|AB |＝5，利用椭圆的对称性，设F ′为右焦点， 则|BF ′|＝|AF |＝6，∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14，a ＝7.因此椭圆的离心率e ＝c a ＝57.(2)设∠F 1PF 2＝θ，由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4|PF 2|得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a ，由余弦定理得cos θ＝17a 2－9c 28a 2＝178－98e 2.∵θ∈(0,180°]，∴cos θ∈[－1,1)，－1≤178－98e 2<1，又e >1，∴1<e ≤53.解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．(1)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且B F →＝2 F D →，则C 的离心率为________．(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________．答案 (1)33 (2)102解析 (1)设椭圆C 的焦点在x 轴上，如图，B (0，b )，F (c,0)，D (x D ，y D )，则B F →＝(c ，－b )，F D →＝(x D －c ，y D )，∵B F →＝2F D →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2x D －c ，－b ＝2y D ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝3c 2，y D＝－b2.又∵点D 在椭圆C 上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22b2＝1，即e 2＝13.∴e ＝33.(2)设c ＝a 2＋b 2，双曲线的右焦点为F ′. 则|PF |－|PF ′|＝2a ，|FF ′|＝2c . ∵E 为PF 的中点，O 为FF ′的中点， ∴OE ∥PF ′，且|PF ′|＝2|OE |. ∵OE ⊥PF ，|OE |＝a2，∴PF ⊥PF ′，|PF ′|＝a ， ∴|PF |＝|PF ′|＋2a ＝3a . ∵|PF |2＋|PF ′|2＝|FF ′|2， ∴9a 2＋a 2＝4c 2，∴c a ＝102. ∴双曲线的离心率为102. 考点三 直线与圆锥曲线的位置关系例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，点F 为椭圆的右焦点，点A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，点M 为椭 圆的上顶点，且满足MF →·FB →＝2－1. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，当直线l 交椭圆于P 、Q 两点时，使点F 恰为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)根据题意得，F (c,0)(c >0)，A (－a,0)，B (a,0)，M (0，b )， ∴MF →＝(c ，－b )，FB →＝(a －c,0)， ∴MF →·FB →＝ac －c 2＝2－1. 又e ＝c a ＝22，∴a ＝2c ，∴2c 2－c 2＝2－1， ∴c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在满足条件的直线l . ∵k MF ＝－1，且MF ⊥l ，∴k l ＝1.设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1消去y 得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0， 则有Δ＝16m 2－12(2m 2－2)>0，即m 2<3， 又x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－23，∴y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝2m 2－23－4m 23＋m 2＝m 2－23.又F 为△MPQ 的垂心，连接PF ，则PF ⊥MQ ， ∴PF →·MQ →＝0，又PF →＝(1－x 1，－y 1)，MQ →＝(x 2，y 2－1)， ∴PF →·MQ →＝x 2＋y 1－x 1x 2－y 1y 2 ＝x 2＋x 1＋m －x 1x 2－y 1y 2 ＝－43m ＋m －2m 2－23－m 2－23＝－m 2－m 3＋43＝－13(3m 2＋m －4)＝－13(3m ＋4)(m －1)＝0，∴m ＝－43或m ＝1(舍去)，经检验m ＝－43符合条件，∴存在满足条件的直线l ，其方程为3x －3y －4＝0.(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ≥0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． (2)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2013·北京)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 解 (1)由椭圆W ：x 24＋y 2＝1，知B (2,0)∴线段OB 的垂直平分线x ＝1. 在菱形OABC 中，AC ⊥OB ，将x ＝1代入x 24＋y 2＝1，得y ＝±32.∴|AC |＝|y 2－y 1|＝ 3.因此菱形的面积S ＝12|OB |·|AC |＝12×2×3＝ 3.(2)假设四边形OABC 为菱形．因点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k2.∴线段AC 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2，∵M 为AC 和OB 交点，∴k OB ＝－14k .又k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ＝－14≠－1， ∴AC 与OB 不垂直．故OABC 不是菱形，这与假设矛盾． 综上，四边形OABC 不是菱形．1． 对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．2． 椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的常数，A >B >0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B >A >0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB <0时表示双曲线． 3． 求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a ，c ，计算e ＝c a；方法二：根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a.4． 通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b2a，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p ，过抛物线焦点的弦中通径最短．椭圆上点到焦点的最长距离为a ＋c ，最短距离为a －c . 5． 抛物线焦点弦性质：已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)S △AOB ＝p 22sin α；(4)1|FA |＋1|FB |为定值2p； (5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.1． 已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)答案 B解析 由AB ⊥x 轴，可知△ABE 为等腰三角形，又△ABE 是锐角三角形，所以∠AEB 为锐角，即∠AEF <45°，于是|AF |<|EF |，b 2a<a ＋c ，于是c 2－a 2<a 2＋ac ，即e 2－e －2<0，解得－1<e <2.又双曲线的离心率e >1，从而1<e <2.2． 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内 B ．必在圆x 2＋y 2＝2上 C ．必在圆x 2＋y 2＝2外 D ．以上三种情形都有可能答案 A解析 ∵x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝－c a.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2aca 2.∵e ＝c a ＝12，∴c ＝12a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝34a 2.∴x 21＋x 22＝34a 2＋2a ×12a a 2＝74<2. ∴P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2内．(推荐时间：70分钟)一、选择题1． (2013·课标全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x答案 C解析 由题意知：F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p 2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C.2． 与椭圆x 212＋y 216＝1共焦点，离心率互为倒数的双曲线方程是( )A ．y 2－x 23＝1B.y 23－x 2＝1 C.3x 24－3y28＝1D.3y 24－3x28＝1 答案 A解析 椭圆x 212＋y 216＝1的离心率为16－1216＝12，且焦点为(0，±2)，所以所求双曲线的焦点为(0，±2)且离心率为2，所以c ＝2，2a＝2得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3，故所求双曲线方程是y 2－x 23＝1.3． (2013·江西)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |等于 ( )A ．2∶ 5B ．1∶2 C．1∶ 5 D ．1∶3 答案 C解析 由抛物线定义知M 到F 的距离等于M 到准线l 的距离MH . 即|FM |∶|MN |＝|MH |∶|MN | ＝|FO |∶|AF |＝1∶ 5.4． 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F ，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM 交y 轴于点P ，切圆于点M,2OM →＝OF →＋OP →，则双曲线的离心率是 ( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5答案 A解析 由已知条件知，点M 为直三角形OFP 斜边PF 的中点，故OF ＝2OM ，即c ＝2a ，所以双曲线的离心率为 2.5． (2013·山东)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于( ) A.316B.38C.233D.433答案 D解析 抛物线C 1的标准方程为x 2＝2py ，其焦点F 为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线C 2的右焦点F ′为(2,0)，渐近线方程为y ＝±33x . 由y ′＝1p x ＝33得x ＝33p ，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，p 6.由F 、F ′、M 三点共线得p ＝433.6． 椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且PF →1·PF→2的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )A ．[14，12]B ．[12，22]C ．(22，1)D ．[12，1)答案 B解析 设P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 则PF →1＝(－c －x ，－y )，PF →2＝(c －x ，－y )， PF →1·PF →2＝x 2＋y 2－c 2.又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方， 所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，所以(PF 2→·PF 2→)max ＝b 2， 所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12，所以12≤e ≤22.故选B.二、填空题7． (2012·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________． 答案 2解析 建立关于m 的方程求解． ∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5，∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2.8． (2013·福建)椭圆Г：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． 答案3－1解析 由直线方程为y ＝3(x ＋c )， 知∠MF 1F 2＝60°， 又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1， 所以∠MF 2F 1＝30°，MF 1⊥MF 2，所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c 所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a . 即e ＝c a＝3－1.9． (2013·辽宁)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点， 且|PQ |＝|QA |＋|PA |＝4b ＝16，由双曲线定义，|PF |－|PA |＝6，|QF |－|QA |＝6. ∴|PF |＋|QF |＝12＋|PA |＋|QA |＝28， 因此△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.10．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为________． 答案 7解析 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7. 三、解答题11．(2013·课标全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1 ① x 22a 2＋y 22b2＝1②①－②，得x 1－x 2x 1＋x 2a2＋y 1－y 2y 1＋y 2b2＝0.因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1，设P (x 0，y 0)， 因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以y 0＝12x 0，即y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)．所以可以解得a 2＝2b 2，即a 2＝2(a 2－c 2)，即a 2＝2c 2， 又因为c ＝3，所以a 2＝6， 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)因为CD ⊥AB ，直线AB 方程为x ＋y －3＝0， 所以设直线CD 方程为y ＝x ＋m ， 将x ＋y －3＝0代入x 26＋y 23＝1得：3x 2－43x ＝0，即A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，－33，所以可得|AB |＝463；将y ＝x ＋m 代入x 26＋y 23＝1得：3x 2＋4mx ＋2m 2－6＝0， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 则|CD |＝2x 3＋x 42－4x 3x 4＝22318－2m 2， 又因为Δ＝16m 2－12(2m 2－6)>0，即－3<m <3，所以当m ＝0时，|CD |取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB |·|CD |＝863. 12．(2013·江西)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，32，离心率e ＝12，直线l的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA 、PB 、PM 的斜率分别为k 1、k 2、k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解 (1)由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，得1a2＋94b2＝1， ① 又e ＝c a ＝12，得a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，②②代入①得，c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1x 24＋y23＝1得，(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝k x 1－1－32x 1－1＋k x 2－1－32x 2－1＝2k －32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1＋x 2＋1＝2k －32·8k24k 2＋3－24k 2－124k 2＋3－8k24k 2＋3＋1 ＝2k －1.又将x ＝4代入y ＝k (x －1)得M (4,3k )， ∴k 3＝3k －323＝k －12，∴k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．13．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点的抛物线x 2＝－4 3y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标；(3)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，且满足PA →·PB →＝ PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在， 故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1 (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝k x －2＋1得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.①因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理，得32(6k ＋3)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(3)若存在直线l 1满足条件，则直线l 1的斜率存在，设其方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ， 所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)>0. 所以k 1>－12.x 1＋x 2＝8k 12k 1－13＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21. 因为PA →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 21)＝54，即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 12k 1－13＋4k 21＋4(1＋k 21) ＝4＋4k 213＋4k 21＝54， 解得k 1＝±12.因为A ，B 为不同的两点，所以k 1＝12.于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .。

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22xD.y ＝±32x[解析] 法一 由题意知，e ＝ca ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x . 法二 由e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x .[答案] A2.(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A.5B.6C.7D.8[解析] 过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8. [答案] D3.(2018·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点.若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A.1－32B.2－ 3C.3－12D.3－1[解析] 由题设知∠F 1PF 2＝90°，∠PF 2F 1＝60°，|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c .由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即3c ＋c ＝2a ，所以(3＋1)c ＝2a ， 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝23＋1＝3－1. [答案] D4.(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2，0)，B (－2，0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点.(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .(1)解 当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，代入抛物线方程y 2＝2x ，可得M 的坐标为(2，2)或(2，－2).所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明 当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN . 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎨⎧y ＝k （x －2），y 2＝2x 得ky 2－2y －4k ＝0， 可知y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4. 直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2（y 1＋y 2）（x 1＋2）（x 2＋2）＝y 22y 12＋y 21y 22＋2（y 1＋y 2）（x 1＋2）（x 2＋2）＝（y 1＋y 2）（y 1y 22＋2）（x 1＋2）（x 2＋2）＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN .考 点 整 合1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离).温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y 轴上)；(3)抛物线：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py (p ＞0).3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系①在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2；离心率为e ＝c a ＝1－b 2a 2.②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝c a ＝1＋b 2a 2.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ；焦点坐标F 1(－c ，0)，F 2(c ，0).②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ab x ，焦点坐标F 1(0，－c )，F 2(0，c ).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程x ＝－p 2.②抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程y ＝－p 2.4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k ，直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2. (2)过抛物线焦点的弦长抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .热点一 圆锥曲线的定义及标准方程【例1】 (1)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1 (2)(2018·昆明诊断)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若FM 的延长线交x 轴的正半轴于点N ，交抛物线C 的准线l 于点T ，且FM →＝MN →，则|NT |＝________.[解析] (1)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1. (2)由x 2＝4y ，知F (0，1)，准线l ：y ＝－1. 设点M (x 0，y 0)，且x 0>0，y 0>0.由FM→＝MN →，知点M 是线段FN 的中点，N 是FT 中点，利用抛物线定义，|MF |＝|MM ′|＝y 0＋1，且|FF ′|＝2|NN ′|＝2.又2(y 0＋1)＝|FF ′|＋|NN ′|＝3，知y 0＝12.∴|MF |＝12＋1＝32，从而|NT |＝|FN |＝2|MF |＝3. [答案] (1)C (2)3探究提高 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理.如本例(2)中充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快.2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 (2)(2018·临汾一中质检)已知等腰梯形ABCD 的顶点都在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且AB ∥CD ，CD ＝2AB ＝4，∠ADC ＝60°，则点A 到抛物线的焦点F 的距离是________.[解析] (1)由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点， 易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)由题意设A (x 1，1)，D (x 1＋3，2)，所以1＝2px 1，4＝2p (x 1＋3)⇒p ＝32，x 1＝33，所以|AF |＝x 1＋p 2＝33＋34＝7312.[答案] (1)B (2)7312 热点二 圆锥曲线的几何性质【例2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2B.2C.322D.2 2(2)(2017·全国Ⅲ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63B.33C.23D.13[解析] (1)法一 由离心率e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.法二 离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.(2)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，整理为a 2＝3b 2，即b a ＝13.∴e ＝c a ＝a 2－b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63. [答案] (1)D (2)A探究提高 1.分析圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键.2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式.建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.求双曲线渐近线方程关键在于求b a 或ab 的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.【训练2】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A.13B.12C.23D.34 (2)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________.[解析] (1)不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点F (c ，0)，则直线l 的方程为x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0. 由题意|－bc |b 2＋c 2＝12b ，且a 2＝b 2＋c 2，得b 2c 2＝14b 2a 2，所以e ＝c a ＝12. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程：⎩⎨⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，消去x 得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2b 2a 2p ， 又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ， ∴2b 2a 2p ＝p ，即b 2a 2＝12⇒b a ＝22. ∴双曲线渐近线方程为y ＝±22x . [答案] (1)B (2)y ＝±22x 热点三 直线与圆锥曲线考法1 直线与圆锥曲线的位置关系【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 解 (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，故直线ON 的方程为y ＝pt x ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y －t ). 代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0， 解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其它公共点.探究提高 1.本题第(1)问求解的关键是求点N ，H 的坐标.而第(2)问的关键是将直线MH 的方程与曲线C 联立，根据方程组的解的个数进行判断.2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.【训练3】 (2018·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，且AB ＝2，延长BA 至P ，且A 为PB 的中点，记点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，且l 与曲线C 交于M ，N 两点，Q 为曲线C 上一点，当四边形OMQN 为平行四边形，求k 的值. 解 (1)设P (x ，y )，A (x 0，0)，B (0，y 0)， 则有x 0＝x2，0＝y 0＋y 2，即y 0＝－y ，又|AB |＝2，得x 20＋y 20＝4.则x 24＋y 2＝4，∴曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1. (2)由l 与圆O 相切， 得|m |k 2＋1＝2，即m 2＝2k 2＋2.① 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 216＋y 24＝1，消去y 整理得：(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m4k 2＋1， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km4k 2＋1，2m 4k 2＋1， ∵Q 在曲线C 上，∴64k 2m 216（4k 2＋1）2＋4m 24（4k 2＋1）2＝1.得m 2＝4k 2＋1，② 由①，②解得k 2＝12， 所以实数k 的取值为±22. 考法2 有关弦的中点、弦长问题【例3－2】 (2018·全国Ⅲ卷)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0). (1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：2|FP →|＝|FA →|＋|FB→|. 证明 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m . 由于点M (1，m )(m >0)在椭圆x 24＋y 23＝1内， ∴14＋m 23<1，解得0<m <32，故实数k <－12.(2)由题意得F (1，0).设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0).由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0. 又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32.于是|FA →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3. 故2|FP→|＝|FA →|＋|FB →|. 探究提高 1.在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系与弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算.2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.【训练4】 (2018·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k <0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值. 解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2. 所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)， 由题意，x 2>x 1>0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1).由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得|PM |＝2|PQ |， 从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1. 易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，得x 2＝63k ＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ，消去y ，得x 1＝69k 2＋4. 由x 2＝5x 1，得9k 2＋4＝5(3k ＋2)， 两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0， 解得k ＝－89，或k ＝－12.当k ＝－89时，x 2＝－9<0，不合题意，舍去； 当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意. 所以，k 的值为－12.1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A ，B 是不等的常数，A ＞B ＞0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B ＞A ＞0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB ＜0时表示双曲线.2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.3.求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a ，c ，计算e ＝ca ；法二：根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca .4.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.5.求中点弦的直线方程的常用方法(1)点差法，设弦的两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，分别代入圆锥曲线方程，两式作差，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2)根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.一、选择题1.(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( ) A.13B.12C.22D.223[解析] 不妨设a >0，由焦点F (2，0)，知c ＝2. ∴a 2＝4＋c 2＝8，a ＝2 2.故离心率e ＝c a ＝222＝22.[答案] C2.(2018·南昌质检)已知抛物线C ：x 2＝4y ，过抛物线C 上两点A ，B 分别作抛物线的两条切线PA ，PB ，P 为两切线的交点，O 为坐标原点，若PA →·PB →＝0，则直线OA 与OB 的斜率之积为( ) A.－14B.－3C.－18D.－4[解析] 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ，x 2A 4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x B ，x 2B 4，由x 2＝4y ，得y ′＝x 2.所以k AP ＝x A 2，k BP ＝x B 2，由PA →·PB →＝0，得PA ⊥PB .∴x A 2·x B 2＝－1，则x A ·x B ＝－4，又k OA ·k OB ＝x 2A 4x A ·x 2B 4x B ＝x A x B 16＝－14. [答案] A3.(2017·全国Ⅰ卷)已知F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( ) A.13B.12C.23D.32[解析] 由c 2＝a 2＋b 2＝4得c ＝2，所以F (2，0)， 将x ＝2代入x 2－y 23＝1，得y ＝±3，所以|PF |＝3.又A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为12×3×(2－1)＝32. [答案] D4.(2017·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1C.x 23－y 2＝1D.x 2－y 23＝1[解析] 依题意知c ＝2，ba ＝tan 60°＝3，又a 2＋b 2＝c 2＝4，解得a 2＝1，b 2＝3，故双曲线方程为x 2－y23＝1.[答案] D5.设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 点且倾斜角为π4的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，2，则该抛物线的方程为( )A.y 2＝2xB.y 2＝4xC.y 2＝8xD.y 2＝16x[解析] 易求直线l 的方程y ＝x －p2，① 又y 2＝2px ，②联立①，②，得x 2－3px ＋p 24＝0.不妨设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24.又点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，2在以AB 为直径的圆上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2，y 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2，y 2－2＝0. 化简2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋2p ＋p 22＝0， ∴p 2－4p ＋4＝0，从而p ＝2. 故所求的方程为y 2＝4x . [答案] B 二、填空题6.(2018·北京卷)已知直线l 过点(1，0)且垂直于x 轴.若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.[解析] 由题意知，a >0，对于y 2＝4ax ，当x ＝1时，y ＝±2a ，由于l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，所以4a ＝4，所以a ＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1，0). [答案] (1，0)7.(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c ，0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________.[解析] 不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ， 所以|bc |a 2＋b 2 ＝b ＝32c ，所以b 2＝c 2－a 2＝34c 2，得c ＝2a ， 所以双曲线的离心率e ＝ca ＝2. [答案] 28.抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，P (x 1，y 1)(x 1>1)、Q (x 2，y 2)是C 上不同的两点，若△PFQ 是以F 为顶点的等腰直角三角形，则|PF |＝________.[解析] 如图不妨设y 1>0，则Rt △PFQ 是以F 为顶点的等腰直角三角形， 由抛物线的定义及对称性，|FH |＝|PH |＝|HQ |＝y 1. 又x 1＝y 214>1，知y 1>2. ∴y 214－1＝y 1，解得y 1＝2＋2 2. 故|PF |＝2·|PH |＝4＋2 2.[答案] 4＋2 2 三、解答题9.(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程. 解 (1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0). 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1. 因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得⎩⎨⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎨⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. 10.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，右焦点为F (1，0). (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程.解(1)依题意可得⎩⎨⎧1a ＝22，a 2＝b 2＋1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.∴椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意； ②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1). 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －1），消去y 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝2（k 2－1）1＋2k 2.∴y 1·y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k 21＋2k 2.∵OM ⊥ON ，∴OM →·ON→＝0.∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝k 2－21＋2k 2＝0，∴k ＝±2.故直线l 的方程为y ＝±2(x －1).11.(2017·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点.(1)解 把P (1，1)代入y 2＝2px ，得p ＝12， 所以抛物线C 的方程为y 2＝x ， 焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14.(2)证明 当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN (也就是直线l )斜率存在且不为零.由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，消去y 得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0. 考虑Δ＝(4k －4)2－4×4k 2＝16(1－2k )，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k <12. 则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1).直线ON的方程为y＝y2x2x，点B的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x1，y2x1x2.因为y1＋y2x1x2－2x1＝y1x2＋y2x1－2x1x2x2＝⎝⎛⎭⎪⎫kx1＋12x2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx2＋12x1－2x1x2x2＝（2k－2）x1x2＋12（x2＋x1）x2＝（2k－2）×14k2＋1－k2k2x2＝0.所以y1＋y2x1x2＝2x1.故A为线段BM的中点.。

【状元之路】2015版高考数学二轮复习椭圆、双曲线、抛物线专题训练（含解析）A级——基础巩固组一、选择题1．以双曲线x23－y2＝1的左焦点为焦点，顶点在原点的抛物线方程是( )A．y2＝4x B．y2＝－4xC．y2＝－42x D．y2＝－8x解析由题意知：抛物线的焦点为(－2,0)．又顶点在原点，所以抛物线方程为y2＝－8x. 答案 D2．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于32，则C的方程是( )A.x24－y25＝1 B.x24－y25＝1C.x22－y25＝1 D.x22－y25＝1解析双曲线中c＝3，e＝32，故a＝2，b＝c2－a2＝5，故双曲线方程为x24－y25＝1.答案 B3．已知方程x22－k＋y22k－1＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )A.12，2B．(1，＋∞）C．(1,2) D.12，1解析2k－1>2－k，2－k>0，∴1<k<2.答案 C 4.(2014·浙江考试院抽测)如图，F1，F2是双曲线C1：x2－y23＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则C2的离心率是( )A.13B.23C.15D.25解析由题知|AF1|＋|AF2|＝2a(设a为椭圆的长半轴)，|AF1|－|AF2|＝2，而|F1F2|＝|F1A|＝4，因此可得2×｜F1A|＝2a＋2，∴8＝2a＋2，∴a＝3，又c＝2，故C2的离心率e＝2 3 .答案 B5．(2014·山东卷)已知a>b>0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为( )A．x±2y＝0 B.2x±y＝0 C．x±２y＝0 D．2x±y＝0解析由题意知e1＝c1a，e2＝c2a，∴e1·e2＝c1a·c2a＝c1c2a2＝32.又∵a2＝b2＋c21，c22＝a2＋b2，∴c21＝a2－b2，∴c21c22a4＝a4－b4a4＝1－ba4，即1－ba4＝34，解得ba＝±22，∴ba＝22.令x2a2－y2b2＝0，解得bx±ay＝0，∴x±2y＝0. 答案 A6．(2014·重庆卷)设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·｜PF2|＝94ab，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D．3解析联立已知条件和双曲线的定义，建立关于a，b，c的方程，求离心率．不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，又r1＋r2＝3b，故r1＝3b＋2a2，r2＝3b－2a2.又r1·r2＝94ab，所以3b＋2a2·3b－2a2＝94ab，解得ba＝43(负值舍去)．故e＝ca＝a2＋b2a2＝ba2＋1＝432＋1＝53，故选 B.答案 B 二、填空题7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x225＋y29＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为________．解析∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由椭圆方程知a＝5，b＝3，∴c＝4.∴|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝64，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.解得|PF1||PF2|＝18，∴△PF1F2的面积为12|PF1|·｜PF2|＝12×18＝9.答案98．(2014·福建卷)椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．解析由直线方程为y＝3(x＋c)，知∠MF1F2＝60°，又∠MF1F2＝2∠MF2F1，所以∠MF2F1＝30°，MF1⊥MF2，所以|MF1|＝c，|MF2|＝3c，所以|MF1|＋|MF2|＝c＋3c＝2a.即e＝ca＝3－1.答案3－19．抛物线C1：y＝12px2(p>0)的焦点与双曲线C2：x23－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝________.解析经过第一象限的双曲线的渐近线为y＝33x.抛物线的焦点为F0，p2，双曲线的右焦点为F2(2,0)．y′＝1px，由题意知在M x0，x202p处的切线斜率为33，即1px0＝33，所以x0＝33p，点F0，p2，F2(2,0)，M33p，p6共线，所以p2－00－2＝p6－p233p－0，即p＝433.答案43 3三、解答题10．(2014·课标全国卷Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为34，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解(1)根据c＝a2－b2及题设知M c，b2a，b2a2c＝34，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得ca＝12，ca＝－2(舍去)．故C的离心率为12.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故b2a＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则－c－x1＝c，－2y1＝2，即x1＝－32c，y1＝－1.代入C的方程，得9c24a2＋1b2＝1.②将①及c＝a2－b2代入②得a2－4a4a2＋14a＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝27.11．(2014·天津卷)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝32|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|＝2 2.求椭圆的方程．解(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)．由|AB|＝32|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2.又b2＝a2－c2，则c2a2＝12.所以，椭圆的离心率e＝2 2 .(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2.故椭圆方程为x 22c 2＋y2c2＝1.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c,0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0.又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.①因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y20c2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ，代入①得y 0＝c3，即点P 的坐标为－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c3＋c2＝23c ，所以圆的半径r ＝x 1－2＋y 1－c2＝53c .由已知，有|TF 2|2＝|MF 2|2＋r 2，又|MF 2|＝22，故有c ＋23c 2＋0－23c 2＝8＋59c 2，解得c 2＝3.所以，所求椭圆的方程为x26＋y23＝1.B 级——能力提高组1．(2014·四川卷)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB→＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是()A ．2B ．3 C.1728 D.10解析设出直线AB 的方程，用分割法表示出△ABO 的面积，将S △ABO ＋S △AFO 表示为某一变量的函数，选择适当方法求其最值．设直线AB 的方程为x ＝ny ＋m (如图)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵OA →·OB →＝2，∴x 1x 2＋y 1y 2＝2. 又y 21＝x 1，y 22＝x 2，∴y 1y 2＝－2. 联立y 2＝x ，x ＝ny ＋m ，得y 2－ny －m ＝0，∴y 1y 2＝－m ＝－2，∴m ＝2，即点M (2,0)．又S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1|＋12|OM ||y 2|＝y 1－y 2，S △AFO ＝12|OF |·｜y 1|＝18y 1，∴S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋18y 1＝98y 1＋2y 1≥298y 1·2y 1＝3，当且仅当y 1＝43时，等号成立．答案B2．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，其中F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为________．解析由已知可得，△PF 1F 2为直角三角形，且|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴(|PF1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·｜PF 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2，即2|PF 1|·｜PF 2|＝4c 2－4a 2＝4b 2，把|PF1|＝2|PF 2|代入得，|PF 2|＝b ，|PF 1|＝2b ，代入|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2得5b 2＝5c 2－5a 2＝4c 2，∴c 2＝5a 2，e ＝ca＝5. 答案 53．已知动点C 是椭圆Ω：x 2a＋y 2＝1(a >1)上的任意一点，AB 是圆G ：x 2＋(y －2)2＝94的一条直径(A ，B 是端点)，CA →·CB →的最大值是314.(1)求椭圆Ω的方程；(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F 1，F 2，过点F 2且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆Ω于P ，Q 两点. 在线段OF2上是否存在点M (m,0)，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解(1)设点C 的坐标为(x ，y )，则x 2a＋y 2＝1，连接CG ，由CA →＝CG →＋GA →，CB →＝CG →＋GB →＝CG →－GA →，又G (0,2)，可得CA →·CB →＝CG →2－GA →2＝x 2＋(y －2)2－94＝a (1－y 2)＋(y －2)2－94＝－(a －1)y 2－4y ＋a ＋74，其中y ∈[－1,1]．因为a >1，故当y ＝4－a≤－1，即1<a ≤３时，取y ＝－1，得CA →·CB →有最大值－(a －1)＋4＋a ＋74＝274，与条件矛盾；当y ＝4－a>－1，即a >3时，CA →·CB →的最大值是－aa ＋74－16－a，由条件得－aa ＋74－16－a＝314，即a 2－7a ＋10＝0，解得a ＝5或a ＝2(舍去)．综上所述，椭圆Ω的方程是x25＋y 2＝1.(2)设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 的中点坐标为(x 0，y 0)，则满足x215＋y 21＝1，x225＋y 22＝1，两式相减，整理得y 2－y 1x 2－x 1＝－x 2＋x 1y 2＋y 1＝－x 05y 0，从而直线PQ 的方程为y －y 0＝－x 05y 0(x －x 0)，又右焦点F 2的坐标是(2,0)，将点F 2的坐标代入PQ 的方程得－y 0＝－x 05y 0(2－x 0)，因为直线l 与x 轴不垂直，故2x0－x20＝5y20>0，从而0<x0<2.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0<m<2)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，则线段PQ的垂直平分线必过点M，而线段PQ的垂直平分线方程是y－y0＝5y0x0(x－x0)，将点M(m,0)代入得－y0＝5y0x0(m－x0)，得m＝45x0，从而m∈0，85.。

高考数学二轮专题 椭圆 双曲线 抛物线针对训练 理一、选择题1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y －2＝0，则a 的值是( )A.18B ．－18C ．8D ．－8解析：选B.将抛物线的方程化为标准形式x 2＝1a y ，其准线方程是y ＝－14a ＝2，得a ＝－18. 2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( ) A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1 解析：选B.椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为(±3，0)，因为双曲线与椭圆共焦点，所以排除A 、C.又双曲线x 22－y 2＝1经过点(2,1)，故选 B.3．(2011年高考辽宁卷)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34B ．1C.54D.74解析：选C.∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54. 4．(2011年湖南湘西联考)已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20解析：选B.由双曲线的定义可知，|AF 2|－|AF 1|＝2m ，|BF 2|－|BF 1|＝2m ，所以(|AF 2|＋|BF 2|)－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4m ，|AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝4m ，|AF 2|＋|BF 2|＝4＋4m .又|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝20，即4＋4m ＋4＝20.所以m ＝9.5．(2011年高考山东卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 解析：选A.∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切， ∴3ba 2＋b 2＝2，∴5b 2＝4a 2.① 又∵x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4. ∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1. 二、填空题6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________．解析：设右焦点为F (4,0)．把x ＝3代入双曲线方程得y ＝±15，即M (3，±15)．由两点间距离公式得|MF |＝3－42＋±15－02＝4. 答案：47．线段AB 的长度为10，它的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动，则AB 中点P 的轨迹方程是__________．解析：设A 、B 的坐标分别为(a,0)、(0，b )，∵|AB |＝10，∴a 2＋b 2＝10，a 2＋b 2＝100. 设P 的坐标为(x ，y )，由中点公式，得x ＝a 2，y ＝b2，∴a ＝2x ，b ＝2y . 把a ＝2x ，b ＝2y 代入a 2＋b 2＝100，整理得x 2＋y 2＝25.即P 点的轨迹方程是x 2＋y 2＝25. 答案：x 2＋y 2＝25 8．已知抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点F 恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，且两曲线的公共点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为__________．解析：由题意F (－p 2，0)， 设椭圆的右焦点为M ，椭圆与抛物线的一个交点为A ，则|AF |＝p ，|FM |＝p ，∴|AM |＝2p .∴椭圆长半轴长a ＝|AF |＋|AM |2＝2＋12p ，椭圆的半焦距c ＝p 2.∴椭圆的离心率e ＝c a＝12＋1＝2－1.答案：2－1三、解答题9．已知，抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(32，6)，求抛物线与双曲线方程． 解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点， ∴p ＝2c . 设抛物线方程为y 2＝4c ·x ，∵抛物线过点(32，6)， ∴6＝4c ·32. ∴c ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x . 又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(32，6)， ∴94a 2－6b2＝1. 又a 2＋b 2＝c 2＝1，∴94a 2－61－a2＝1， ∴a 2＝14或a 2＝9(舍)． ∴b 2＝34， 故双曲线方程为4x 2－4y 23＝1. 10．(2011年高考天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以a －c 2＋b 2＝2c . 整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1＝0， 得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )． A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧ 3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c .消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c . 得方程组的解⎩⎨⎧ x 1＝0，y 1＝－3c ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )， 所以|AB |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c . 圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2. 因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16. 整理得7c 2＋12c －52＝0.得c ＝－267(舍)，或c ＝2. 所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1. 11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且与椭圆x 2＋y 22＝1有相同的离心率，斜率为k 的直线l 经过点M (0,1)，与椭圆C 交于不同的两点A 、B.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时，求k 的取值范围． 解：(1)∵椭圆C 的焦距为4，∴c ＝2.又∵椭圆x 2＋y 22＝1的离心率为22，∴椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2a ＝22，∴a ＝22，b ＝2，∴椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 28＋y24＝1消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0. ∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2.由(1)知椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2,0)， ∵右焦点F 在圆的内部，∴AF →·BF →<0，∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2<0.即x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1<0. ∴(1＋k 2)x 1x 2＋(k －2)(x 1＋x 2)＋5＝(1＋k 2)·－61＋2k 2＋(k －2)·－4k 1＋2k 2＋5＝8k －11＋2k 2<0.∴k <18.经检验，当k <18时，直线l 与椭圆C 相交，∴直线l 的斜率k 的取值范围为(－∞，18)．。

椭圆、双曲线、抛物线1．(2014·安徽高考)抛物线y ＝ax 2的准线方程是y －2＝0，则a 的值是( ) A.18 B ．－18 C ．8 D ．－8【解析】 将抛物线的方程化为标准形式：x 2＝1a y ，其准线方程是y ＝－14a＝2，得a ＝－18.故选B. 【答案】 B2．(2014·全国新课标Ⅰ高考)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62C.52D ．1 【解析】 由题意：b 2＝3，c a＝2，∴c 2a 2＝4，∴a 2＋b 2a 2＝4，∴1＋3a 2＝4， ∴a 2＝1，∴a ＝1，故选D.【答案】 D3．(2014·广东高考)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等【解析】 由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等，选A. 【答案】 A4．(2014·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且|BF 2|＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值． 【解】 设椭圆的焦距为2c ，则 F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)因为B (0，b )，所以|BF 2|＝b 2＋c 2＝a . 又|BF 2|＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1. 解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋y b＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x c ＋y b ＝1，x 2a 2＋y2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝bc 2－a 2a 2＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b .所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b c 2－a 2a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b a 2－c 2a 2＋c 2.因为直线F 1C 的斜率为b a 2－c 2a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－－c ＝b a 2－c 23a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－bc，且F 1C ⊥AB ， 所以b a 2－c 23a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1. 又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15.因此e ＝55.从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为： 1．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质①圆锥曲线的定义、几何性质及标准方程是每年必考内容，虽然大纲降低了对双曲线的要求，但在选择题中仍然考查双曲线．可单独考查，也可与向量、数列、不等式等其他知识结合起来考查，突出考查学生的运算能力和转化思想．②既可以以小题的形式考查(属中、低档题)，也可以以解答题形式考查(属于中、高档题)． 2．直线与圆锥曲线的位置关系①此考向是高考的重要考试方向．此类问题命题背景宽，涉及知识点多，综合性强，通常从圆锥曲线的概念入手，从不同角度考查，或探究平分面积的线、平分线段的点(线)，或探究使其解析式成立的参数是否存在．常与距离、倾斜角、斜率及方程恒成立问题综合，形成知识的交汇问题．②多以解答题形式出现，考查学生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，试题属于中、高档题．3．圆锥曲线的参数范围、最值问题①该考向多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、不等式、向量等知识交汇，形成了轨迹、范围、弦长、面积等问题的证明．②试题多以解答题形式出现，主要考查学生分析问题、利用数学工具解决实际问题的能力以及逻辑推理能力，多为高档题.圆锥曲线的定义、标准方程与几何【例1】 (1)(2014·全国大纲高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 (2)(2014·重庆高考)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3 【解析】 (1)由椭圆定义，4a ＝43，∴a ＝3，又e ＝ca ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2，故C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设P 在右支上，则PF 1－PF 2＝2a ，又∵PF 1＋PF 2＝2b ，PF 1·PF 2＝94ab ，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－4|PF 1||PF 2|，即4a 2＝9b 2－9ab ，∴(a ＋3b )(4a －3b )＝0，又a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＋16a 29＝c 2，∴c a ＝53.【答案】 (1)A (2)B【规律方法】 1.椭圆和双曲线的定义反映了它们的图形特点，是画图的依据和基础，而定义中的定值是求标准方程的基础，在许多实际问题中正确利用定义可以使问题的解决更加灵活．已知圆锥曲线上一点及焦点，首先要考虑使用圆锥曲线的定义求解．2．求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法．而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成mx 2＋ny 2＝1(mn ≠0)，这样可以避免对参数的讨论．3．求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a 、b 、c 的等量关系，然后把b 用a 、c 代换，求c a的值．[创新预测]1．(1)(2014·北京高考)设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．(2)(2014·湖南高考)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a＝________.【解析】 (1)设C 的方程为y 24－x 2＝λ(λ≠0)，把点(2,2)代入上式得λ＝－3，所以C的方程为x 23－y 212＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .(2)由题意知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2＋b ，b ， 将C ，F 点坐标代入抛物线方程y 2＝2px ，得到a 2＝2p ·a2，∴p ＝a ，①b 2＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，② 将①式代入②式得b 2－2ab －a 2＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2b a －1＝0，解得b a ＝1±2，∵a <b ，∴b a＝1＋ 2. 【答案】 (1)x 23－y 212＝1，y ＝±2x (2)1＋ 2直线与圆锥曲线的位置关系【例2】 (2014·陕西高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程．【解】 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5，由d ＜1得|m |＜52.(*)∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由求根公式可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3.∴|AB |＝[1＋－122][m 2－4m 2－3]＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534得 4－m25－4m2＝1， 解得m ＝±33，满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.【规律方法】 1.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤： (1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程；(注意二次项系数是否为零) (3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． 2．有关弦的中点问题的求解策略： (1)通法即根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式建立等式求解．(2)点差法点差法是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率．点差法的步骤： ①将两交点A ( x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标代入曲线的方程．②作差消去常数项得到关于x 1＋x 2，x 1－x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2的关系式． ③应用斜率公式及中点坐标公式求解．[创新预测]2．(2014·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105. (1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．①设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，证明存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值； ②求△OMN 面积的最大值．【解】 (1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.椭圆C 的方程可简化为x 2＋4y 2＝a 2.将y ＝x 代入可得x ＝±5a5，因此2×25a 5＝4105，可得a ＝2.因此b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，D (x 2，y 2)， 则B (－x 1，－y 1)，因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，又AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1. 设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ， 由题意知k ≠0，m ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 2＝1可得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0.所以x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k 2，因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋4k2. 由题意知x 1≠－x 2，所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1.所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)． 令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1,0)． 可得k 2＝－y 12x 1. 所以k 1＝－12k 2，即λ＝－12.因此存在常数λ＝－12使得结论成立．②直线BD 的方程y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)， 令x ＝0，得y ＝－34y 1，即N (0，－34y 1)．由①知M (3x 1,0)，可得△OMN 的面积S ＝12×3|x 1|×34|y 1|＝98|x 1||y 1|. 因为|x 1||y 1|≤x 214＋y 21＝1，当且仅当|x 1|2＝|y 1|＝22时等号成立，此时S 取得最大值98，所以△OMN 面积的最大值为98.圆锥曲线的参数范围、最值问题【例3】 (2014·全国新课标Ⅰ高考)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．【解】 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又ca ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1.所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0.所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 【规律方法】 (1)求解圆锥曲线中的范围问题的关键是建立关于求解某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．(2)圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线与圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．[创新预测]3．(2014·浙江高考)已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF →＝3FM →.(1)若|PF |＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值．解题思路 (1)根据|PF |＝3，结合抛物线的定义确定点P 的纵坐标，进而求解点P 的坐标，结合点F 的坐标以及向量关系式即可确定点M 的坐标；(2)设出直线AB 的方程，根据直线与抛物线的位置关系，结合函数与方程思想确定点M 的坐标表达式，利用向量关系式确定相应点的坐标，确定三角形面积的表达式，进而转化为函数的最值问题求解．【解】 (1)由题意知焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1.设P (x 0，y 0)，由抛物线定义知|PF |＝y 0＋1，得到y 0＝2，所以P (22，2)或P (－22，2)．由PF →＝3FM →，分别得M (－223，23)或M (223，23)．(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4m ＝0. 于是Δ＝16k 2＋16m ＞0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ，所以AB 中点M 的坐标为(2k,2k 2＋m )．由PF →＝3FM →，得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2＋m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0得k 2＝－15m ＋415. 由Δ＞0，k 2≥0，得－13＜m ≤43. 又因为|AB |＝41＋k 2k 2＋m ，点F (0,1)到直线AB 的距离为d ＝|m －1|1＋k 2. 所以S △ABP ＝4S △ABF ＝8|m －1|k 2＋m＝16153m 3－5m 2＋m ＋1. 记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1(－13＜m ≤43)． 令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0，解得m 1＝19，m 2＝1. 可得f (m )在(－13，19)上是增函数，在(19，1)上是减函数，在(1，43)上是增函数．又f (19)＝256243＞f (43)． 所以，当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，此时k ＝±5515. 所以，△ABP 面积的最大值为2565135. [总结提升]失分盲点1．(1)遗忘定义：很多圆锥曲线试题中使用定义可以很方便求解．(2)忽视焦点位置：解题中习惯地认为圆锥曲线的焦点在x 轴上．(3)错用椭圆、双曲线的a ，b ，c 的关系：椭圆：c 2＝a 2－b 2，双曲线：c 2＝a 2＋b 2.2．(1)忽视二次项系数：直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线、抛物线可能相切，也可能相交．(2)忽视斜率不存在：在求解与直线方程有关问题时，易漏掉直线与x 轴垂直，即斜率不存在的情况．(3)忽略剔除点：求轨迹方程时，易忽略剔除不在轨迹上的点的坐标．答题指导1．(1)看到曲线上的点到两定点距离之和(之差的绝对值)．想到椭圆(双曲线)的定义．(2)看到抛物线上的点到焦点的距离，想到该点到准线的距离，反之亦然．2．解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，经常是直线方程与圆锥曲线方程联立、消元得出一元方程，再进行求解，但要注意曲线方程为双曲线方程时，该一元方程可能为二次，也可能为一次，应分类讨论解决．方法规律(1)求圆锥曲线方程的方法：①待定系数法：②定义法．(2)离心率的求解方法：建立关于离心率(或含有a ，c 的齐次式)的方程或者不等式求解．(3)数形结合法：解题时画出图形、以形助数寻找解题思路、简化运算过程．(4)直线与曲线相交的解决方法：解方程组得交点坐标法、根与系数的关系整体处理法．(5)弦中点问题的处理方法：根与系数的关系法、点差法．(6)求曲线方程的方法：直接法、定义法、待定系数法、代入法、参数法、交轨法等.直线方程的选取对运算的影响1．直线方程有四种特殊的形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)，在解决直线与圆锥曲线综合的问题时选取直线方程的形式对运算过程简繁程度的影响较大．在解决解析几何试题时，根据问题的实际情况选取合适的方程形式是运算合理性、简捷性的重要体现．2．在含有斜率的直线方程中，直线的斜率必须存在，即这类直线方程不能表示与x 轴垂直的直线，解题中需进行分类讨论．3．如果直线在y 轴上的截距为b ，方程y ＝kx ＋b 表示过点(0，b )的除y 轴之外的所有直线；当直线在x 轴上的截距为a 时，方程x ＝my ＋a 表示过点(a,0)的除x 轴之外的所有直线．合理选择直线方程的这两种形式对运算的简捷性有很大影响．【典例】 (2014·广东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【解】 (1)可知c ＝5，又c a ＝53，∴a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， 椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1； (2)设两切线为l 1，l 2，①当l 1⊥x 轴或l 1∥x 轴时，对应l 2∥x 轴或l 2⊥x 轴，可知P (±3，±2)；②当l 1与x 轴不垂直且不平行时，x 0≠±3，设l 1的斜率为k ，则k ≠0，l 2的斜率为－1k， l 1的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立x 29＋y 24＝1，得(9k 2＋4)x 2＋18(y 0－kx 0)kx ＋9(y 0－kx 0)2－36＝0，因为直线与椭圆相切，所以Δ＝0，得9(y 0－kx 0)2k 2－(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0，∴－36k 2＋4[(y 0－kx 0)2－4]＝0，∴(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0，所以k 是方程(x 20－9)x 2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0的一个根， 同理－1k是方程(x 20－9)x 2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0的另一个根，∴k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝y 20－4x 20－9，得x 20＋y 20＝13，其中x 0≠±3， 所以点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝13(x ≠±3)， 因为P (±3，±2)满足上式，综上知：点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝13.。

专题六解析几何
第二讲椭圆、双曲线、抛物线
1．椭圆的定义．
平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件．
(1)到两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a.
(2)2a＞|F1F2|.
1．双曲线的定义．
平面内动点的轨迹是双曲线必须满足的两个条件：(1)到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a.
(2)2a＜|F1F2|.
3.等轴双曲线． 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x 2－y 2
＝λ(λ≠0)，离心率e
y ＝±x ．
1．抛物线的定义．
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
若二元方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程，或曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线，则必须满足以下两个条件：
1．曲线上点的坐标都是二元方程f (x ，y )＝0的解(纯粹性)．
2．以这个方程的解为坐标的点都是曲线C 上的点(完备性)．
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”)．
(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(³)
(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．(√)
(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(√)
(4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)的焦距相同．(√) (5)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(³)。

个人资料整理仅限学习使用16椭圆、双曲线、抛物线1．(2018 ·福建 >已知双曲线错误!－错误!＝1的右焦点与抛物线y2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(>．A.错误 !B．4 错误! C．3 D．5答案： A[ 易求得抛物线y2＝12x 的焦点为(3,0>，故双曲线错误!－错误!＝1的右焦点为 (3,0> ，即c＝3，故 32＝ 4＋b2，∴b2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y＝± 错误! x，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为错误 !＝错误! .] 2．(2018 ·新课标全国 >等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x 轴上， C 与抛物线 y2＝16 的准线交于 A，B两点， | | ＝4 错误 ! ，则C 的实轴长为 (>．x ABA.错误 !B．2 错误! C．4 D．8答案： C[ 抛物线y2＝ 16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4，2错误 ! >在等轴双曲线 C； x2－ y2＝ a2( a＞0>上，将点 A 的坐标代入得a＝2，所以 C的实轴长为 4.] 3．(2018 ·山东 >已知椭圆C：错误 ! ＋错误 ! ＝ 1( a＞b＞0>的离心率为错误 ! . 双曲线x2－ y2＝1的渐近线与椭圆 C 有四个交点，以这四个交点为极点的四边形的面积为16，则椭圆 C的方程为(>．A.错误 ! ＋错误 ! ＝1B. 错误!＋错误!＝1C.错误 ! ＋错误 ! ＝1D. 错误 ! ＋错误 ! ＝1答案： D[ 由于椭圆的离心率为错误 ! ，所以e＝错误 ! ＝错误 ! ，c2＝错误 ! a2，c2＝2222222y＝± x，代入椭圆错误 ! a＝a－b，所以 b ＝错误! a ，即 a＝4b . 双曲线的渐近线方程为方程得错误 ! ＋错误 ! ＝1，即错误 ! ＋错误 ! ＝错误 ! ＝1，所以x 2＝错误 !b2，＝±错误!，x by2＝错误! b2，y＝± 错误! b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆 C 的交点坐标为错误!，所以四边形的面积为4×错误 ! b×错误 ! b＝错误 ! b2＝ 16，所以b2＝5，所以椭圆方程为错误 ! ＋错误 ! ＝1.] 4．(2018 ·北京 >在直角坐标系xOy中，直线 l 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F，且与该抛物线订交于 A， B两点，此中点 A 在 x 轴上方，若直线 l 的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．解读直线 l的方程为 y＝错误! ( x－1>，即 x＝错误! y＋1，代入抛物线方程得y2－错误 ! y－ 4＝ 0，解得y A＝错误 ! ＝ 2错误 ! ( y B＜ 0，舍去 >，故△OAF的面积为错误 ! ×1×2错误!＝错误!.答案错误 !圆锥曲线与方程是高考考察的中心内容之一，在高考取一般有1～ 2 个选择或许填空题，一个解答题．选择或许填空题有针对性地考察椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，主要针对圆锥曲线自己，综合性较小，试卷的难度一般不大；解答题主假如以椭圆为基本依靠，考察椭圆方程的求解、考察直线与曲线的地点关系．复习中，一要娴熟掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法，在抓住通性通法的同时，要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧．二要熟习圆锥曲线的几何性质，要点掌握直线与圆锥曲线有关问题的基本求解方法与策略，提升运用函数与方程思想，向量与导数的方法来解决问题的能力.必备知识椭圆错误 ! ＋错误 ! ＝ 1( a＞b＞0>，点P( x，y>在椭圆上．(1> 离心率：e＝错误 ! ＝错误 ! ；(2> 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径，其长度为：错误! .双曲线错误 ! －错误 ! ＝ 1( a＞0，b＞0>，点P( x，y>在双曲线上．(1> 离心率：e＝错误 ! ＝错误 ! ；(2> 过焦点且垂直于实轴的弦叫通径，其长度为：错误! .抛物线 y2＝2px( p＞0>，点 C( x1， y1>，D( x2， y2>在抛物线上．(1> 焦半径 | CF| ＝x1＋错误 ! ；(2> 过焦点弦长 | CD| ＝x1＋错误 ! ＋x2＋错误 ! ＝x1＋x2＋p， | CD| ＝错误 ! ( 此中α为倾斜角 >，错误 !＋错误!＝错误! ；(3> x1x2＝错误 ! ，y1y2＝－p2；(4> 以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切，以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切．必备方法1．求圆锥曲线标准方程常用的方法(1> 定义法(2> 待定系数法①极点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y2＝2ax或x2＝2ay( a≠0>，避开对焦点在哪个半轴上的分类议论，此时 a 不拥有p 的几何意义．②中心在座标原点，焦点在座标轴上，椭圆方程可设为错误!＋错误!＝ 1( m＞ 0，n＞0>．双曲线方程可设为错误 ! －错误 ! ＝ 1( mn＞ 0>．这样能够防止议论和繁琐的计算．2．求轨迹方程的常用方法(1> 直接法：将几何关系直接转变成代数方程．(2> 定义法：知足的条件恰合适某已知曲线的定义，用待定系数法求方程．(3> 代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标成立联系．(4> 交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹．注意：①建系要切合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不一样，轨迹往常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；③化简能否同解变形，能否知足题意，考证特别点能否成立等 .错误 !圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是高考考察圆锥曲线的一个重要命题点，在历年的高考试卷中曾多次出现．需娴熟掌握．【例1】 ?已知椭圆错误 !＋错误 !＝1与双曲线错误 ! －y2＝ 1的公共焦点F1， F2，点P是两曲线的一个公共点，则cos ∠F1PF2的值为 (>．A.错误!B.错误!C. 错误 !D. 错误![ 审题视点 ][ 听课记录 ][ 审题视点 ]联合椭圆、双曲线的定义及余弦定理可求．B [ 因点P 在椭圆上又在双曲线上，所以| PF1| ＋ | PF2|＝ 2错误!，|PF1|－|PF2|＝ 2错误!.设| PF1| ＞ | PF2| ，解得 | PF1| ＝错误 ! ＋错误 ! ，| PF2| ＝错误 ! －错误 ! ，由余弦定理得 cos ∠F1PF2＝错误 !＝错误 ! ＝错误 ! .]波及椭圆、双曲线上的点到两焦点的距离问题时，要自觉地运用椭圆、双曲线的定义．波及抛物线上的点到焦点的距离时，常利用定义转变到抛物线的准线的距离．【打破训练1】如图过抛物线y2＝2px( p＞0>的焦点的直线l挨次交抛物线及其准线与点A， B， C，若|BC|＝2|BF|，且| AF|＝ 3，则抛物线的方程是________．解读作⊥，⊥l ，垂足分别为、. 则由抛物线定义得，| |＝||＝3，| |＝BM l AQ M Q AQ AF BF| BM|.又 |BC|＝2| BF|，所以| BC|＝2| BM|.由 BM∥ AQ得，|AC|＝2| AQ|＝6，| CF| ＝3.∴| NF|＝错误! |CF|＝错误!.即 p＝错误! .抛物线方程为y2＝3x.答案y2＝3x错误 !圆锥曲线的简单几何性质是圆锥曲线的要点内容，主要考察椭圆与双曲线的离心率的求解、双曲线的渐近线方程的求解，难度中档．【例 2】 ? (2018 ·东北三省四市教研协作体二次调研>以O为中心，F1，F2为两个焦点的椭圆上存在一点M，知足|错误! |＝2|错误! |＝2|错误! |，则该椭圆的离心率为(>．A.错误!B.错误!C. 错误 !D. 错误![ 审题视点][ 审题视点][ 听课记录 ]作 MN⊥ x 轴，联合勾股定理可求c，利用椭圆定义可求a.C[ 过M作x轴的垂线，交x轴于N点，则N点坐标为错误 ! ，并设 | 错误 ! | ＝ 2| 错误 !|＝2|错误!|＝ 2t，依据勾股定理可知，|错误!|2－|错误! |2＝|错误!|2－|错误! |2，获得c＝错误 ! t，而a＝错误!，则e＝错误!＝错误! ，应选 C.]离心率的范围问题其要点就是确定一个对于a， b，c 的不等式，再依据a，b ， c的关系消掉b 得到关于a ， c的不等式，由这个不等式确定e 的范围．【打破训练2】设抛物线y2＝2px( p＞0>的焦点为F，点 A(0,2>．若线段 FA 的中点 B在抛物线上，则 B 到该抛物线准线的距离为________．解读抛物线的焦点 F 的坐标为错误!，线段 FA的中点 B 的坐标为错误!代入抛物线方程得 1＝2p×错误 ! ，解得p＝错误 ! ，故点 B 的坐标为错误!，故点 B 到该抛物线准线的距离为错误!＋错误!＝错误!.答案错误 !错误 !轨迹问题的考察常常与函数、方程、向量、平面几何等知知趣交融，侧重考察剖析问题、解决问题的能力，对逻辑思想能力、运算能力也有必定的要求．P( a， b>( a>b>0>为动点，F1， F2【例3】 ? (2018 ·天津>在平面直角坐标系xOy中，点分别为椭圆错误 !＋错误 ! ＝ 1 的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．(1> 求椭圆的离心率e；PF2上的点，知足A错误!· B错误!＝(2> 设直线PF2与椭圆订交于A，B 两点，M是直线－ 2，求点M的轨迹方程．[ 审题视点][ 听课记录 ][ 审题视点 ] (1>依据|PF2|＝|F1F2|成立对于a与c的方程式．(2> 可解出A、B两点坐标 ( 用c表示 >，利用错误 ! ·错误 ! ＝－ 2 可求解．解(1> 设F1( －c, 0>，F2( c, 0>( c>0>．由题意可得 | PF2| ＝ | F1F2| ，即错误 ! ＝ 2c.整理得 2错误 ! 2＋错误 ! －1＝0，得错误 ! ＝错误 ! 或错误 ! ＝－ 1( 舍 >，所以e＝错误 ! .(2> 由 (1> 知a＝2c，b＝错误 ! c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝ 12c2，直线 PF2方程为 y＝错误! ( x－ c>．A， B 两点的坐标知足方程组错误!消去 y 并整理，得5x2－ 8cx＝0，解得x1＝0，x2＝错误 ! c，得方程组的解错误!错误!不如设 A错误!，B错误! .设点 M的坐标为( x，y>，则 A错误!＝错误!，B错误!＝( x， y＋错误! c>．由 y＝错误! ( x－ c>，得 c＝ x－错误! y.于是 A错误!＝错误!，B错误!＝( x，错误! x>．由题意知A错误!·B错误!＝－2，即错误 ! ·x＋错误 ! ·错误 ! x＝－ 2，化简得 18x2－ 16错误 ! xy－ 15＝ 0.将 y＝错误!代入 c＝ x－错误! y，得 c＝错误! >0，所以 x>0.所以，点 M的轨迹方程是18x2－16错误 ! xy－ 15＝ 0( x>0>．(1> 求轨迹方程时，先看轨迹的形状可否预知，若能早先知道轨迹为什么种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解．(2> 议论轨迹方程的解与轨迹上的点能否对应，要注意字母的取值范围．【打破训练3】 (2018 ·四川 >如图，动点M 与两定点A(－1,0>、 B(2,0>组成△ MAB，且∠ MBA＝2∠ MAB.设动点 M的轨迹为 C.(1> 求轨迹C的方程；(2> 设直线y＝－2x＋ m与 y 轴订交于点P，与轨迹 C 订交于点Q、 R，且| PQ|＜| PR|，求错误 ! 的取值范围．解 (1> 设M的坐标为 ( x，y>，明显有x＞ 0，且y≠0.当∠ MBA＝90°时，点M的坐标为(2，±3>．当∠ MBA≠90°时， x≠2，且∠ MBA＝2∠ MAB，有 t an∠MBA＝错误 ! ，即－错误 ! ＝错误 ! ，化简可得 3x2－y2－ 3＝ 0.而点 (2 ，± 3>在曲线3x2－y2－3＝ 0 上，22综上可知，轨迹C的方程为3x － y －3＝0( x＞1>．(2> 由错误 ! 消去y，可得22x －4mx＋ m＋3＝0.(*>由题意，方程(*>有两根且均在(1 ，＋∞ >内．22设 f ( x>＝ x －4mx＋ m＋3，所以错误 ! 解得m＞ 1，且m≠2.设 Q、 R的坐标分别为( x Q， y Q>，( x R， y R>，由| PQ| ＜ | PR| 有x R＝ 2m＋错误 ! ，x Q＝ 2m－错误 ! .所以错误 ! ＝错误 !＝错误 !＝错误 !＝－ 1＋错误 ! .由 m＞1，且 m≠2，有1＜－1＋错误!＜7＋4错误!，且－1＋错误!≠7.所以错误!的取值范围是 (1,7> ∪ (7,7 ＋4 错误 ! >．错误 !在高考取，直线与圆锥曲线的地点关系是热门，往常环绕弦长、面积、定点(定值 >，范围问题来睁开，此中设而不求的思想是办理订交问题的最基本方法，试卷难度较大．【例 4】? 已知椭圆 C ：错误 ! ＋错误 ! ＝ 1( a ＞ b ＞ 0>的离心率为 错误 ! ，过右焦点 F 的直线l 与 C订交于 ， 两点．当l的斜率为 1 时，坐标原点 到 l 的距离为 错误 ! .A B O(1> 求 a ，b 的值；(2> C 上能否存在点 P ，使适当 l 绕 F 转到某一地点时，有 错误 ! ＝错误 ! ＋错误 ! 成立？若存在，求出全部的P 的坐标与 l 的方程；若不存在，说明原因．[ 审题视点 ][ 听课记录 ][ 审题视点 ] (1> 由直线 l 的斜率为 1 过焦点 F ，原点 O 到 l 的距离为 错误 ! 可求解；(2> 需分直线 l 的斜率存在或不存在两种状况议论．设 A ( x ， y >， B ( x ， y >，由条件 错误 !1 12 2＝错误 ! ＋错误 ! 可得 P 点坐标，联合A 、B 、 P 在椭圆上列等式消元求解．解 (1> 设 F ( c, 0>，当 l的斜率为 1 时，其方程为 x － y － c ＝0， O 到 l的距离为 错误 !＝错误 ! ，故 错误 ! ＝错误 ! ， c ＝ 1.由 e ＝错误 ! ＝错误 ! ，得 a ＝错误 ! ， b ＝错误 ! ＝ 错误 ! .(2> C 上存在点 P ，使适当 l 绕 F 转到某一地点时，有 错误 ! ＝错误 ! ＋错误 ! 成立．由(1> 知 C 的方程为 2 x 2＋ 3 2＝ 6. 设 ( 1， 1>， ( 2， 2>．yA xy B x y(i> 当 l 不垂直于 x 轴时，设 l 的方程为 y ＝ k ( x － 1>．C 上的点 P 使错误 ! ＝错误 ! ＋错误 ! 成立的充要条件是P 点的坐标为 ( x 1＋ x 2， y 1＋y 2>，且 2( x 1＋ x 2>2＋ 3( y 1＋y 2>2＝ 6，整理得 2x 错误 ! ＋ 3y 错误 ! ＋ 2x 错误 ! ＋ 3y 错误 ! ＋4x x 2＋6y y ＝ 6，1 1 2又 A 、B 在椭圆 C 上，即 2x 错误 ! ＋ 3y 错误 ! ＝ 6,2 x 错误 ! ＋ 3y 错误 ! ＝ 6，故 2x 1x 2＋ 3y 1y 2＋3＝ 0. ① 将 y ＝ k ( x －1>代入 2x 2＋3y 2＝ 6，并化简得(2 ＋3k 2>x 2－ 6k 2x ＋3k 2－ 6＝ 0，于是 x 1＋ x 2＝错误 ! ， x 1· x 2＝错误 ! ，y 1· y 2＝ k 2( x 1－ 1>( x 2－ 1>＝错误 ! .代入①解得 k 2＝ 2，此时 x 1＋ x 2＝错误 ! .于是 y 1＋ y 2＝k ( x 1＋ x 2－ 2>＝－ 错误 ! ，即 P 错误 ! . 所以，当 k ＝－ 错误 ! 时， P 错误 ! ， l 的方程为 错误 ! x ＋y － 错误 ! ＝ 0；当 k ＝错误 ! 时， P 错误 ! ，l 的方程为 错误 ! x － y － 错误 ! ＝ 0.( ⅱ>当 l 垂直于 x 轴时，由 错误 ! ＋错误 ! ＝ (2,0> 知， C 上不存在点 P 使错误 ! ＝错误 !＋ 错误 ! 成立．综上， C 上存在点 P 错误 ! 使错误 ! ＝错误 ! ＋错误 ! 成立，此时 l 的方程为错误 ! x ± y －错误 ! ＝ 0.本小题主要考察直线、椭圆、分类议论等基础知识，考察学生综合运用数学知识进行推理的运算能力和解决问题的能力．本题的第(2> 问以向量形式引进条件，利用向量的坐标运算，将“形”、“数”密切联系在一同，既发挥了向量的工具性作用，也让学生理解根与系数的关系是解决直线与圆锥曲线问题的通性通法．【打破训练4】设椭圆E：错误!＋错误!＝1( a， b＞0>过点 M(2，错误! >，N(错误!，1>两点，O为坐标原点．(1> 求椭圆E的方程；(2> 能否存在圆心在原点的圆，使得该圆的随意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点A，B，且错误!⊥错误!？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明原因．解 (1> 将M，N的坐标代入椭圆E的方程得错误 ! 解得a2＝ 8，b2＝ 4.所以椭圆 E的方程为错误!＋错误!＝1.(2> 假定知足题意的圆存在，其方程为x2＋ y2＝R2，此中0＜ R＜2.设该圆的随意一条切线AB和椭圆 E 交于 A( x1， y1>，B( x2， y2>两点，当直线AB的斜率存在时，令直线AB的方程为 y＝ kx＋ m，①将其代入椭圆222E 的方程并整理得(2 k＋ 1>x＋ 4kmx＋2m－ 8＝ 0.由方程根与系数的关系得x1＋ x2＝－错误!， x1x2＝错误! .②由于错误 ! ⊥错误 ! ，所以x1x2＋y1y2＝ 0. ③将①代入③并整理得 (1 ＋k 2>12＋( 1＋x2>＋2＝ 0. x x km x m22>．④联立②得 m＝错误! (1＋ k由于直线 AB和圆相切，所以R＝错误! .由④得＝错误 ! ，所以存在圆x2＋y2＝错误 !知足题意．R当切线 AB的斜率不存在时，易得x错误!＝ x错误!＝错误!，由椭圆 E 的方程得 y错误!＝y错误!＝错误!，明显错误!⊥错误! .综上所述，存在圆x2＋ y2＝错误!知足题意．讲讲离心率的故事椭圆、双曲线的离心率是一个重要的基本量，在椭圆中或在双曲线中都有着极其特别的应用，也是高考常考的问题，往常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率的值；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围．一、以离心率为“中介”【示例1】 ? (2018 ·湖北 >如图，双曲线错误!－错误!＝1(a，b＞0>的两极点为A1，A2，虚轴两头点为B1， B2，两焦点为F1，F2.若以 A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1 F2B2，切点分别为 A， B， C，D.则(1> 双曲线的离心率e＝ ________；(2> 菱形1122的面积1与矩形的面积 2 的比值错误!＝________.FBFB S ABCD S解读(1> 由题意可得a错误!＝ bc，∴ a4－3a2c2＋ c4＝0，∴ e4－3e2＋1＝0，∴ e2＝错误 ! ，∴e＝错误 ! .(2> 设 sinθ＝错误 ! ， cosθ＝错误 ! ，错误 ! ＝错误 ! ＝错误 ! ＝错误 ! ＝e2－错误 ! ＝错误!.答案(1> 错误 !(2> 错误 !老师叮嘱：离心率是“交流”a ，，c的重要中介之一，本题在产生对于，，c的b a b关系式后，再将关系式转变为对于离心率 e 的方程，经过方程产生结论.【试一试 1】 (2018 ·南通模拟 >A，B是双曲线C的两个极点，直线l 与双曲线 C交于不一样的两点P， Q，且与实轴垂直，若错误 ! ·错误 ! ＝ 0，则双曲线 C 的离心率 e＝________.解读不如设双曲线 C 的方程错误!－错误!＝1( a＞0， b＞0>，则A(－ a, 0>，B( a, 0>．设 P( x， y>，Q( x，－ y>，所以错误 ! ＝ ( a－x，－y>，错误 ! ＝ ( x＋a，－y>，由错误 ! ·错误 ! ＝ 0，得a2－x2＋y2＝ 0.又错误 !－错误 !＝1，所以错误!－错误! ＝1，即错误 ! y2＝0恒成立，所以错误 ! －错误 ! ＝0.即a 2＝b2，所以 22＝c2. 进而e＝错误! .a答案错误 !二、离心率的“外交术”【示例2】? (2018 ·潍坊模拟 >已知c 是椭圆错误 ! ＋错误 ! ＝1(a＞＞ 0>的半焦距，b则错误 ! 的取值范围是 (>．A． (1 ，＋∞ > B ． (错误 !，＋∞>C．(1 ，错误 ! > D ．(1 ，错误 !]解读由错误 ! ＝错误 ! ＝错误 ! ＋e，又0＜e＜ 1，设 f ( x>＝错误!＋ x, 0＜ x＜1，则f ′(x>＝1－错误!＝错误! .令 y′＝0，得 x＝错误!，则 f ( x>在错误!上单一递加，在错误 ! 上单一递减，∴f ( x>max＝错误 ! ＋错误 ! ＝错误 ! ，f (0> ＝ 1，f (1> ＝ 1. ∴ 1 ＜f ( x>≤错误!，故 1＜错误!≤错误!.答案D老师叮嘱：离心率“外交”在于它能够较好地与其余知识交汇，本题中，怎样求\f(b＋ c,a >的取值范围？联合离心率及关系式a2＝ b2＋ c2，将待求式子转变为对于 e 的函数关系式，借助函数的定义域即 e 的范围产生函数的值域，进而达成求解 .【试一试 2】 (2018 ·江苏 >在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线错误!－错误!＝1的离心率为错误 ! ，则m的值为 ________．解读由题意得＞ 0，∴a ＝错误!，＝错误!.m b∴c＝错误!，由 e＝错误!＝错误!，得错误!＝5，解得 m＝2.答案 2个人资料整理仅限学习使用必考问题。

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 (推荐时间：60分钟) 一、填空题 1．(2011·湖南改编)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为________．2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________．3．(2011·江西)若双曲线y 216－x 2m＝1的离心率e ＝2，则m ＝________. 4．P 为双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则PM －PN 的最大值为________．5．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a >b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 等于________．6．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于________．7．(2011·山东改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为________．8．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是____________．9．(2011·辽宁)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．10．已知抛物线y ＝2x 2上任意一点P ，则点P 到直线x ＋2y ＋8＝0的距离的最小值为________．11．已知椭圆长轴长为短轴长的3倍且经过点P (3,0)，则椭圆的标准方程是________________．12．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的离心率为e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点O ，则k 1·k 2的值为________．二、解答题13．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 过点A (4,0)且与抛物线交于P 、Q 两点，并设以弦PQ 为直径的圆恒过原点．(1)求焦点坐标；(2)若FP →＋FQ →＝FR →，试求动点R 的轨迹方程．14. (2011·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD ＝45PD . (1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度． 15．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝217，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于A ，B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值．答 案1．2 2. 2 3. 48 4. 9 5. 133 6. 210 7.x 25－y 24＝1 8.⎣⎡⎦⎤33，22 9．2 10. 127580 11. x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1 12. 3 13．解 (1)设直线的方程为x ＝ky ＋4，代入y 2＝2px ，得y 2－2kpy －8p ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝2kp ，y 1y 2＝－8p .而OP →·OQ →＝0，故0＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋4)(ky 2＋4)－8p ＝k 2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)＋16－8p ， 即0＝－8k 2p ＋8k 2p ＋16－8p ，得p ＝2，所以焦点F (1,0)．(2)设R (x ，y )，由FP →＋FQ →＝FR →得(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(x －1，y )，所以x 1＋x 2＝x ＋1，y 1＋y 2＝y .而y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，可得y (y 1－y 2)＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．又FR 的中点坐标为M (x ＋12，y 2)， 当x 1≠x 2时，由k PQ ＝k MA 得4y ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2x ＋12－4， 整理得y 2＝4x －28.当x 1＝x 2时，R 的坐标为(7,0)，也满足y 2＝4x －28.所以y 2＝4x －28即为动点R 的轨迹方程．14. 解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝54y ， ∵P 在圆上， ∴x 2＋(54y )2＝25， 即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)， 设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412. ∴线段AB 的长度为 AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋1625)(x 1－x 2)2 ＝4125×41＝415. 15．(1)解 由e ＝12得c a ＝12， 即a ＝2c ，b ＝3c .由右焦点到直线x a ＋y b＝1的距离为 d ＝217，得|bc －ab |a 2＋b2＝217， 解得a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 ①直线AB 斜率不存在时， 设A (m ，n )，B (m ，－n )，则n m ×－n m＝－1，∴m 2＝n 2. 把m 2＝n 2代入x 24＋y 23＝1，得m 2＝127. ∴O 到直线AB 的距离为|m |＝2217. ②直线AB 斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆x 24＋y 23＝1联立消去y 得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2. ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0.即(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－123＋4k 2－8k 2m 23＋4k2＋m 2＝0， 整理得7m 2＝12(k 2＋1)，所以O 到直线AB 的距离d ＝|m |k 2＋1＝127＝2217. 由①②可知，点O 到直线AB 的距离为定值．。

2021年高考数学二轮复习 椭圆、双曲线、抛物线训练题 理1．与椭圆C ：y 216＋x 212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1B ．y 2－2x 2＝1C.y 22－x 22＝1 D.y 23－x 2＝1 2．(xx·北京高考)双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m>12B. m≥1C ．m>1D. m>23．(xx·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px(p ＞0)的准线分别交于A, B 两点，O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3， 则p ＝( )A ．1B.32 C ．2D ．34．(xx·新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x5．(xx·荆州质量检查)若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝12，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋2bx＋c＝0的两个实数根分别是x1和x2，则点P(x1，x2)到原点的距离为( )A. 2B.7 2C．2 D.7 46．(xx·海淀模拟)抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(－1,0)，则|PF||PA|的最小值是( )A.12B.22C.32D.2337．(xx·济南模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点F恰好是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右顶点，且双曲线的渐近线方程为y＝±3x，则双曲线方程为________．8．(xx·北京顺义一模)在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝________.9．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为__________．10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．11．(xx·合肥市质量检测)已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP|＝|PB|，求△FAB 的面积．12．(xx·郑州质量预测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆C 上，·＝0,3||·||＝－5·，||＝2，过点F 2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P ，Q 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)线段OF 2(O 为坐标原点)上是否存在点M(m,0)，使得·＝·？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．1．选C 椭圆y 216＋x 212＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．设双曲线的标准方程为y 2m －x 2n＝1(m>0，n>0)，则⎩⎨⎧3m －1n＝1，m ＋n ＝4，解得m ＝n ＝2.2．选C 依题意，e ＝c a ，e 2＝c2a2>2，得1＋m>2，所以m>1.3．选C 因为双曲线的离心率e ＝ca ＝2，所以b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p 2相交于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，32p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－32p ，所以△AOB 的面积为12×p 2×3p ＝3，又p ＞0，所以p ＝2.4．选C 由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A(0,2)，抛物线上点M(x 0，y 0)，则＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，·＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4. 由|MF|＝5得，⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5， 又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8.5．选A 因为e ＝c a ＝12，所以a ＝2c.由a 2＝b 2＋c 2，得b a ＝32，x 1＋x 2＝－2ba＝－3，x 1x 2＝c a ＝12，点P(x 1，x 2)到原点(0,0)的距离d ＝x 21＋x 22＝x 1＋x 22－2x 1x 2＝ 2.6．选B 依题意知x≥0，焦点F(1,0)，则|PF|＝x ＋1，|PA|＝x ＋12＋y 2＝x ＋12＋4x.当x ＝0时，|PA||PF|＝1；当x>0时，1<|PA||PF|＝1＋4xx ＋12≤1＋4x 2x2＝2(当且仅当x ＝1时取等号)．因此当x≥0时，1≤|PA||PF|≤2，22≤|PF||PA ≤1，|PF||PA|的最小值是22. 7．解析：抛物线的焦点坐标为(1,0)，故在双曲线中a ＝1，由双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，可得b ＝3，故所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝18．解析：抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°，又tan 60°＝y A1－－1，所以y A ＝2 3.因为PA ⊥l ，所以y P ＝y A ＝23，代入y 2＝4x ，得x A ＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.答案：49．解析：设椭圆方程为x2 a2＋y2b2＝1(a>b>0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图，则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，解得a＝4.又离心率e＝ca＝22，故c＝2 2.所以b2＝a2－c2＝8，所以椭圆C的方程为x216＋y28＝1.答案：x216＋y28＝110．解：(1)将(0,4)代入C的方程得16b2＝1，解得b＝4.又e＝ca＝35，得a2－b2a2＝925，即1－16a2＝925，则a＝5.所以C的方程为x225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)．设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0，所以x 1＋x 2＝3.设AB 的中点坐标为(x －，y －)， 则x －＝x 1＋x 22＝32， y －＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.11．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p×8， ∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x. (2)直线l 2与l 1垂直，故可设l 2：x ＝y ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M.由⎩⎨⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴ x 1x 2＝y 1y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0，∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴l 2：x ＝y ＋8，M(8,0)． 故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM|·|y 1－y 2|＝3y 1＋y 22－4y 1y 2＝24 5.12．解：(1)由题意知，∠AF 1F 2＝90°， cos ∠F 1AF 2＝35，注意到||＝2， 所以||＝32，||＝52，2a ＝||＋||＝4，所以a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3， 故所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在这样的点M 符合题意．设线段PQ 的中点为N ，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，N(x 0，y 0)，直线PQ 的斜率为k(k≠0)，注意到F 2(1,0)，则直线PQ 的方程为y ＝k(x －1)， 由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx －1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝8k24k 2＋3，故x 0＝x 1＋x 22＝4k 24k 2＋3，又点N 在直线PQ 上，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k24k 2＋3，－3k 4k 2＋3.由·＝·可得·(＋)＝2·＝0， 即PQ ⊥MN ，所以k MN ＝0＋3k 4k 2＋3m －4k 24k 2＋3＝－1k ，整理得m ＝k 24k 2＋3＝14＋3k 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，14，所以线段OF 2上存在点M(m,0)符合题意，其中m ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，14.`38262 9576 镶35306 89EA 觪21102 526E 剮24228 5EA4 庤37007 908F 邏40664 9ED8 默N 35752 8BA8 讨r24143 5E4F 幏R40048 9C70 鱰30479 770F 眏。

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线的基本问题(建议用时：70分钟)一、选择题1．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )．A.12B.32C ．1 D. 3 解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线是y ＝±3x ，即3x ±y＝0，故所求距离为|3±0|32＋±12＝32.选B. 答案 B2．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析 直线AB 的斜率k ＝0＋13－1＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1 ①x 22a 2＋y22b 2＝1， ②①－②得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，所以k ＝－b 2a 2×2－2，所以b 2a2＝12， ③又a 2－b 2＝c 2＝9，④由③④得a 2＝18，b 2＝9.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案 D3．(2015·某某卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )．A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2b a＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7.②， 联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D.答案 D4．已知双曲线C 与椭圆x 216＋y 212＝1有共同的焦点F 1，F 2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P 到右焦点F 2的距离为4，则PF 2的中点M 到坐标原点O 的距离等于( )．A ．3B ．4C ．2D ．1解析 由椭圆的标准方程，可得椭圆的半焦距c ＝16－12＝2，故椭圆的离心率e 1＝24＝12，则双曲线的离心率e 2＝1e 1＝2.因为椭圆和双曲线有共同的焦点，所以双曲线的半焦距也为c ＝2.设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a ＝c e 2＝22＝1，b ＝c 2－a 2＝22－12＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.因为点P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，又|PF 2|＝4，所以|PF 1|＝6.因为坐标原点O 为F 1F 2的中点，M 为PF 2的中点． 所以|MO |＝12|PF 1|＝3.答案 A5．(2015·某某一模)已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )．A.5＋12 B.2＋1 C.3＋1 D.2 2＋12解析 依题意，得F (p,0)，因为AF ⊥x 轴，设A (p ，y )，y >0，y 2＝4p 2，所以y ＝2p .所以A (p,2p )．又点A 在双曲线上，所以p 2a 2－4p 2b 2＝1.又因为c ＝p ，所以c 2a 2－4c2c 2－a2＝1，化简，得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－6⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1＝0.所以e 2＝3＋22，∴e ＝2＋1. 答案 B6．(2014·某某卷)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )．A.43B.53C.94D ．3 解析 不妨设P 为双曲线右支上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ，又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a 2.又r 1·r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2·3b －2a 2＝94ab ，解得b a ＝43(负值舍去)，故e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋1＝53，故选B. 答案 B7．(2015·某某卷)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )．A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 解析 由图象知S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A，由抛物线的性质知|BF |＝x B ＋1，|AF |＝x A ＋1，∴x B ＝|BF |－1，x A ＝|AF |－1，∴S △BCF S △ACF ＝|BF |－1|AF |－1.故选A. 答案 A 二、填空题8．(2015·某某卷)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________.解析 由于双曲线x 2－y 2＝1的焦点为(±2，0)，故应有p2＝2，p ＝2 2.答案 2 29．(2015·卷)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.解析 双曲线渐近线方程为y ＝±b ax ， ∴b a ＝3，又b ＝1，∴a ＝33. 答案3310．(2015·某某卷)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．解析 不妨设F (c,0)，则由条件知P (－c ，±2b )，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得c 2a2＝5，∴e ＝ 5.答案511．椭圆T ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆T 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． 解析 直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2，在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2c c ＋3c ＝3－1. 答案3－112．(2013·某某卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________． 解析 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，y 2＝4x ，得：k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， 则x 1＋x 2＝4－2k 2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2)＝4k，故x 0＝2－k 2k 2，y 0＝2k.由x 0－12＋y 0－02＝2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2k 2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝4. 所以k ＝±1. 答案 ±1 三、解答题13．(2015·某某卷)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝2＋22＋2－22＝23，即c ＝3，即c ＝3， 从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一 如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2， 求得x 0＝±a ca 2－2b 2， y 0＝±b 2c.由|PF 1|＝|PQ |＞|PF 2|得x 0＞0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b4c2.＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|. 又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |， 知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此，(2＋2)|PF 1|＝4a ， 即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3. 法二 如图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|， 有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ， 从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝2－22＋2－12＝9－62＝6－ 3.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 解 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)， 所以c ＝1.将点P (0,1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1，得1b2＝1，即b ＝1.所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理，得2k 2－m 2＋1＝0，①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m 消y ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0.∵直线l 与抛物线C 2相切， ∴Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0， 整理，得km ＝1，②联立①、②，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－2，∴l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 15．(2015·某某卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程． 解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±21＋k21＋2k2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2x 2－x 12＝221＋k 21＋2k2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k 1＋2k 2， 从而PC ＝23k 2＋11＋k2|k |1＋2k2. 因为PC ＝2AB ，所以23k 2＋11＋k 2|k |1＋2k 2＝421＋k 21＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.。