两个完备Menger PM-空间上复合映射的公共不动点定理

MengerPM-空间上复合映射不动点定理的推广
Menger PM-空间上复合映射不动点定理的推广
设(X,F,Δ)和(Y,,Δ)是两个完备的Menger PM-空间,Δ是连续的.H型t-范数,函数Φ(t)满足条件(Φ1),本文在映射T:X→Y和S:Y→X满足更一般的条件下给出了关于复合映射TS和ST的不动点定理.这一定理进一步推广了Fisher,Sehgal和Bharucha-Reid等的有关结果,也是作者"Menger PM-空间上复合映射的不动点定理"一文的一般推广.最后给出了几个有用的结果作为本文主要定理的推论.
作者：吴大伟作者单位：江南大学师范学院,无锡,214063 刊名：南京航空航天大学学报 ISTIC EI PKU 英文刊名： JOURNAL OF NANJING UNIVERSITY OF AERONAUTICS & ASTRONAUTICS 年，卷(期)：2002 34(6) 分类号：O177.99 关键词：不动点复合映射 H型t-范数 Menger概率度量空间。

第38卷 第2期西南师范大学学报(自然科学版)2013年2月V o l .38 N o .2 J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y (N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n )F e b .2013文章编号:10005471(2013)02001803度量空间中具有交换点的自映射的公共不动点①王 磊, 吴健荣苏州科技学院数理学院,江苏苏州215009摘要:讨论了度量空间中具有交换点的自映射的公共不动点的存在性问题,并给出了映射对的公共不动点的存在唯一性的充分条件.关 键 词:度量空间;交换点;反交换映射;公共不动点中图分类号:O 177.91文献标志码:A自文献[1]引入相容映射的概念后,许多学者研究了相容映射的不动点.近年来,人们开始关注非相容映射族的公共不动点问题.非相容映射族的公共不动点问题主要是围绕交换(弱交换)性㊁R 弱交换性㊁局部交换性等条件进行讨论的.文献[2]定义了R 弱交换映射,文献[3-6]运用这一概念给出了一系列的公共不动点定理.文献[7]引入了局部交换相切映射,证明了度量空间中的一对局部交换相切映射的公共不动点定理.文献[8]引入了反交换映射,证明了度量空间中反交换映射的公共不动点定理.文献[9]在文献[8]的基础上讨论了度量空间中反交换映射的公共不动点的存在唯一性问题.本文将讨论具有交换点的自映射的公共不动点的存在唯一性问题.定义1[8] 称度量空间(X ,d )中两个自映射f 和g 是反交换的,若存在x ɪX ,使得f g x =g f x ⇒f x =gx 定义2[8]称t ɪX 为度量空间(X ,d )中两个自映射f 和g 的交换点,如果f g x =g fx .定理1 设(X ,d )为度量空间,f ,g :ңX X 是具有交换点的自映射.若对任意非负常数α>1,以及任意的x ,y ɪX ,有d (g x ,g y )ȡαm a x {d (f x ,f y ),d (f x ,g y ),d (f y ,g y )}(1)则f ,g 有唯一的公共不动点.证 设u 是f 和g 的交换点,即f g u =g f u .现假设f u ʂg u ,则d (f u ,g u )>0.令x =y =u ,则有d (g u ,g u )ȡαm a x {d (f u ,f u ),d (f u ,g u ),d (f u ,g u )}=αd (f u ,gu )(2)由(2)式及α>1可知d (f u ,g u )=0,与d (f u ,g u )>0相矛盾,于是f u =g u ,则f g u =g f u =f f u =g gu .下面证明g u 是g 的不动点.由(1)式可知d (g u ,g g u )ȡαm a x {d (f u ,f g u ),d (f u ,g g u ),d (f g u ,g g u )}=αd (g u ,g gu )(3)由(3)式及α>1可知d (g u ,g g u )=0,即g u =g g u .又因为f g u =g g u =g u ,故g u 也是f 的不动点,从而g u 是f 和g 的公共不动点.再证唯一性.若f 和g 有另一公共不动点v ,则由(1)式知d (g u ,v )=d (g u ,g v )ȡαm a x {d (f u ,f v ),d (f u ,g v ),d (f v ,gv )}=①收稿日期:20110609作者简介:王 磊(1987),男,安徽砀山人,硕士研究生,主要从事非线性分析的研究.Copyright ©博看网. All Rights Reserved.αm a x {d (g u ,g v ),d (g u ,g v ),d (g v ,g u )}=αd (g u ,gv )(4)由(4)式及α>1可知d (gu ,v )=0,即g u =v ,所以f 和g 有唯一的公共不动点.定理2 设(X ,d )为度量空间,f ,g :ңX X 是具有交换点的自映射.若对任意非负常数α,β,γ,以及任意的x ,y ɪX ,有d (g x ,g y )ȡαd (f x ,f y )+βd (f x ,g y )+γd (f y ,gx )(5)则f 和g 有唯一的公共不动点,其中β>0,且α+β+γ>1.证 设u 是f ,g 的交换点,即f g u =g f u .现假设f u ʂg u ,则d (f u ,gu )>0.令x =y =u ,则有d (g u ,g u )ȡαd (f u ,f u )+βd (f u ,g u )+γd (f u ,gu )(6)整理(6)式可知(β+γ)d (f u ,g u )ɤ0.由条件β>0,可得出d (f u ,g u )=0,与d (f u ,g u )>0相矛盾.于是必然有f u =g u ,则f g u =g f u =f f u =g gu .下面证明g u 是g 的不动点.由(5)式可知d (g u ,g g u )ȡαd (f u ,f g u )+βd (f u ,g g u )+γd (f g u ,gu )=(α+β+γ)d (g u ,g gu )(7)由α+β+γ>1及(7)式可知d (g u ,g g u )=0,即g u =g g u .又因为f g u =g gu =g u ,故g u 也是f 的不动点,从而g u 是f 和g 的公共不动点.再证唯一性.若f ,g 有另一公共不动点v ,则由(5)式知d (g u ,v )=d (g u ,g v )ȡαd (f u ,f v )+βd (f u ,g v )+γd (f v ,gu )=αd (g u ,g v )+βd (g u ,g v )+γd (g v ,g u )=(α+β+γ)d (g u ,gv )(8)由α+β+γ>1及(8)式可知d (g u ,v )=0,即g u =v ,所以f ,g 有唯一的公共不动点.定理3 设(X ,d )为度量空间,f 1,f 2,g 1,g 2:ңX X 为自映射,(f 1,f 2)与(g 1,g 2)分别为反交换映射对,且均存在交换点.若对任意的x ,y ɪX ,有d (f 2x ,g 2y )ȡα1d (f 1x ,g 1y )+α2d (f 1x ,g 2y )+α3d (g 1y ,g 2y )+α4d (f 1x ,f 2x )+α5d (f 2x ,g 1y )(9)则f 1,f 2,g 1,g2存在唯一的公共不动点,其中非负实数组α1,α2,α3,α4,α5满足α1+α2+α5>1.证 设u ,v 分别为(f 1,f 2)与(g 1,g 2)的交换点,即f 1f 2u =f 2f 1u ,g 1g 2v =g 2g 1v .由于(f 1,f2)与(g 1,g 2)分别为反交换映射对,则f 1u =f 2u ,g1v =g 2v ,从而f 1f 2u =f 2f 1u =f 1f 1u =f 2f 2u g 1g 2v =g 2g 1v =g 1g 1v =g 2g2v 下面证明f 2u =g 2v .由(9)式知d (f 2u ,g 2v )ȡα1d (f 1u ,g 1v )+α2d (f 1u ,g 2v )+α3d (g 1v ,g 2v )+α4d (f 1u ,f 2u )+α5d (f 2u ,g1v )=(α1+α2+α5)d (f 2u ,g2v )(10)由条件α1+α2+α5>1及(10)式知d (f 2u ,g2v )=0,即f 2u =g 2v .再证f 2u 为f 2的不动点,即f 2u =f 2f2u .由(9)式知d (f 2u ,f 2f 2u )=d (f 2f 2u ,g 2v )ȡα1d (f 1f 2u ,g 1v )+α2d (f 1f 2u ,g 2v )+α3d (g 1v ,g2v )+α4d (f 1f 2u ,f 1f 2u )+α5d (f 2f 2u ,g 1v )=(α1+α2+α5)d (f 2f 2u ,g2v )(11)由条件α1+α2+α5>1及(11)式知d (f 2f 2u ,f 2u )=0,即f 2u =f 2f 2u ,所以f 2u 为f 2的不动点.再由f 1f2u =f 2f 1u =f 1f 1u =f 2f 2u 可推出f 1f2u =f 2u ,即f 2u 为f 1的不动点.同理,由(9)式知d (g 2v ,g 2g 2v )=d (f 2u ,g 2g2v )ȡα1d (f 1u ,g 1g 2v )+α2d (f 1u ,g 2g 2v )+α3d (g 1g 2v ,g 2g2v )+α4d (f 1u ,1f 2u )+α5d (f 2u ,g 1g 2v )=(α1+α2+α5)d (f 2u ,g 2g2v )(12)12第2期 王 磊,等:度量空间中具有交换点的自映射的公共不动点Copyright ©博看网. All Rights Reserved.22西南师范大学学报(自然科学版)h t t p://x b b j b.s w u.c n第38卷由条件α1+α2+α5>1及(12)式知d(g2v,g2g2v)=0,即g2v=g2g2v,所以g2v为g2的不动点.再由g1g2v=g2g1v=g1g1v=g2g2v可推出g1g2v=g2v,即g2v为g1的不动点.由f2u=g2v知,f2u为f1, f2,g1和g2的公共不动点.设v为f1,f2,g1和g2的另一公共不动点,则d(f2u,v)=d(f2u,g2v)ȡα1d(f1u,g1v)+α2d(f1u,g2v)+α3d(g1v,g2v)+α4d(f1u,f2u)+α5d(f2u,g1v)=(α1+α2+α5)d(f2u,g2v)(13)由条件α1+α2+α5>1及(13)式知d(f2u,v)=0,即f2u=v.所以f1,f2,g1和g2有唯一的公共不动点.参考文献:[1]J U N G C K G.C o m p a t i b l eM a p p i n g s a n dC o mm o nF i x e dP o i n t s[J].I n t e r n e t JM a t hS c i,1986,9(4):771-779.[2] P A N T RP.C o mm o nF i x e dP o i n t s o fN o n c o mm u t i n g M a p p i n g s[J].JM a t hA n a lA p p l,1994,188(3):436-440.[3] P A N T RP.R-W e a kC o mm u t a t i v i t y C o mm o nF i x e dP o i n t s o fN o n c o m p a t i b l eM a p s[J].G a n i t a,1998,49:19-27.[4] P A N T RP.C o mm o nF i x e dP o i n tT h e o r e m s f o rC o n t r a c t i v eM a p s[J].JM a t hA n a lA p p l,1998,226(1):251-258.[5] P A N T RP.N o t eD i s c o n t i n u i t y a n dF i x e dP o i n t s[J].JM a t hA n a lA p p l,1999,240:284-289.[6] P A N TRP.N o t eC o m m o nF i x e dP o i n t s o f L i p c h i t zT y p e M a p p i n g P a i r s[J].JM a t hA n a lA p p l,1999,240(2):280-283.[7] S A S T R Y KPR.C o mm o nF i x e dP o i n t s o f T w oP a r t i a l l y C o mm u t i n g T a n g e n t i a l S e l f m a p s o n aM e t r i c S p a c e[J].JM a t hA n a lA p p l,2000,250:731-734.[8]吕中学.度量空间中反交换映射的公共不动点[J].应用泛函分析学报,2002,4(3):226-228.[9]胡新启,刘启宽.度量空间中反交换映射的公共不动点[J].数学杂志,2007,27(1):19-22.C o m m o nF i x e dP o i n tw i t hS w i t c hP o i n tM a p p i n g i n M e t r i c S p a c eWA N G L e i, WUJ i a n-r o n gC o l l e g eo fM a t ha n dP h y s i c s,S u z h o uU n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y,S u z h o u J i a n g s u215009,C h i n aA b s t r a c t:I n t h i s p a p e r,w e i n v e s t i g a t e t h e e x i s t e n c e o f c o mm o n f i x e d p o i n tw i t hs w i t c h p o i n tm a p p i n g i n m e t r i c s p a c e,t h e nw e p r e s e n t s o m e i m p r o v e d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r o b t a i n i n g t h e e x i s t e n c e a n du n i q u e-n e s s o f c o mm o n f i x e d p o i n t.K e y w o r d s:m e t r i c s p a c e;s w i t c h p o i n t;c o n v e r s e c o mm u t i n g s e l f m a p;c o mm o n f i x e d p o i n t责任编辑廖坤Copyright©博看网. 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弱压缩多值映射的公共不动点定理任琛琛;李璐【摘要】在完备的度量空间中,利用泛函分析和集值映射的理论工具,研究了已有文献提出的一个问题并给出了正面回答,即建立了满足φ-弱压缩性质的2个多值映射的公共不动点定理,把公共不动点定理推广到了2个多值映射.%In the complete metric space,a problem posed by the literature and a positive answer is given using the theoretical tods of functional analysis and set-valued mapping.The common fixed point theorem of two multivalued generalized φ-weak contractive mappings is established.This theorem is a generalization of the common fixed point theorem for two multi-valued maps.【期刊名称】《江西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(042)001【总页数】3页(P16-18)【关键词】多值映射;不动点定理;φ-弱压缩映射【作者】任琛琛;李璐【作者单位】江西师范大学数学与信息科学学院,江西南昌 330022;江西师范大学数学与信息科学学院,江西南昌 330022【正文语种】中文【中图分类】O177.910 引言多值映射的不动点定理已经在许多文献中被广泛地讨论[1-15]. 特别地，文献[1]研究了满足广义φ-弱压缩的2个映射的公共不动点定理；文献[2]讨论了满足H(Tx,Ty)≤αN(x,y)的多值映射的不动点定理.本文记(X,d)是一个度量空间，CB(X)是X中的一切非空有界闭子集的集合.记H为由d诱导的Hausdorff度量，在很多关于多值映射的不动点定理的研究中都利用了这种度量[1-6]：∀A,B∈CB(X)，其中d(x,A)=定义1[2] 设T:X→CB(X)是1个映射，若存在一个函数φ:[0,+∞)→[0,+∞)满足φ(0)=0且∀t >0有φ(t)>0，使得H(Tx,Ty)≤d(x,y)-φ(d(x,y)),∀x,y∈X,则称T为φ-弱压缩映射.文献[1]拓展了上述定义，给出了2个映射的广义φ-弱压缩的概念.定义2[1] 设T,S:X→CB(X)是2个映射，若存在一个函数φ:[0,+∞)→[0,+∞)满足φ(0)=0且∀t >0有φ(t)>0，使得H(Tx,Sy)≤M(x,y)-φ(M(x,y)),∀x,y∈X,其中M(x,y)=max{d(x,y),d(x,Tx),d(y,Sy),[d(x,Sy)+d(y,Tx)]/2}，则称T,S是广义φ-弱压缩映射.引理1[1] 设(X,d)是一个完备的度量空间，T:X→X且S:X→CB(X)，有H({Tx},Sy)≤M(x,y)-φ(M(x,y)),∀x,y∈X,其中φ:[0,+∞)→[0,+∞)是下半连续，φ(0)=0，且对一切t >0有φ(t)>0，则存在唯一的点x∈X,有x=Tx且x∈Sx.在引理1所讨论的映射中一个为多值映射，另一个为单值映射. 因此文献[1]提出了下述问题： 2个广义φ-弱压缩多值映射是否有类似于引理1的公共不动点定理？本文主要探讨上述问题，并给出了一个正面回答.在证明主要定理之前，首先介绍一个引理.引理2[9] 若A,B∈CB(X)且a∈A，则∀ε>0，∃b∈B，使得d(a,b)≤H(A,B)+ε.1 主要结果及证明定理1 设(X,d)是一个完备的度量空间，T,S:X→CB(X)，有H(Tx,Sy)≤M(x,y)-φ(M(x,y)),∀x,y∈X,(1)其中φ:[0,+∞)→[0,+∞)是下半连续，φ(0)=0，且对一切t >0有φ(t)>0，则存在唯一的点x∈X使得x∈Tx且x∈Sx.证若∃x,y∈X使得M(x,y)=0，则显然x=y是T和S的一个公共不动点.下面假设∀x,y∈X有M(x,y)≠0.任取x0∈X和x1∈Sx0，由引理2知∃x2∈T x1，d(x2,x1)≤H(Tx1,Sx0)+φ(M(x1,x0))，∃x3∈Sx2，d(x3,x2)≤H(Sx2,Tx1)+φ(M(x1,x2))，依此类推可通过引理2找到序列{xn}满足x2n+1∈Sx2n，d(x2n+1,x2n)≤H(Sx2n,Tx2n-1)+φ(M(x2n-1,x2n))/2，(2)x2n+2∈Tx2n+1，d(x2n+2,x2n+1)≤H(Tx2n+1,Sx2n)+φ(M(x2n+1,x2n))/2，(3)接下来分3步来证明定理1.(i)先证通过(1)式和(2)式有d(x2n,x2n+1)≤H(Tx2n-1,Sx2n)+φ(M(x2n-1,x2n))/2≤M(x2n-1,x2n)-φ(M(x2n-1,x2n))/2.(4)又d(x2n-1,x2n)≤M(x2n-1,x2n)=max{d(x2n-1,x2n),d(x2n-1,Tx2n-1),d(x2n,Sx2n),[d(x2n-1,Sx2n)+d(x2n,Tx2n-1)]/2}≤max{d(x2n-1,x2n),d(x2n-1, x2n),d(x2n,x2n+1),[d(x2n-1,x2n+1)+0]/2}=max{d(x2n-1,x2n),d(x2n,x2n+1)},(5)则d(x2n,x2n+1)≤d(x2n-1,x2n).(6)若d(x2n-1,x2n)≤d(x2n,x2n+1)，则由(4)式与(5)式可以得到d(x2n,x2n+1)≤d(x2n,x2n+1)-φ(d(x2n,x2n+1))/2,即φ(d(x2n,x2n+1))≤0，这与φ的定义矛盾. 同时利用(5)式与(6)式可得M(x2n-1,x2n)=d(x2n-1,x2n).同理，由(1)式和(3)式可得d(x2n+1,x2n+2)≤d(x2n,x2n+1).(7)由(6)式和(7)式可知，d(xk,xk+1)≤d(xk-1,xk),∀k∈N.所以{d(xk,xk+1)}是单调递减且有下界的序列，故∃r≥0，有又由于φ是下半连续，则故由(5)式可知r≤r-φ(r)/2，即φ(r)=0，所以r=0.(ii)再证{xn}是柯西列.类似于文献[1]可得{xn}是有界数列. 令Pn=sup{d(xi,xj):i,j≥n}，显然{Pn}是递减的，则必定∃P≥0使得只需证P=0即可.由∀k∈N,∃n(k),m(k)∈N有m(k)>n(k)≥k且Pk-1/k≤d(xm(k),xn(k))≤P可得由(i)可得∀k∈N，不妨设m(k)是奇数，n(k)是偶数，d(xm(k),xn(k))≤M(xm(k),xn(k))=max{d(xm(k),xn(k)),d(xm(k),Txm(k)),d(xn(k),Sxn(k)),[d(xm(k),Sxn(k))+d(xn(k), Txm(k))]/2}≤max{d(xm(k),xn(k)),d(xm(k),xm(k)+1),d(xn(k),xn(k)+1),[d(xm(k),xn(k)+1)+d( xn(k),xm(k)+1)]/2},这个不等式可以说明由(1)式得d(xm(k)+1,xn(k)+1)≤H(Txm(k),Sxn(k))+φ(M(xm(k)+xn(k)))/2≤M(xm(k),xn(k)) -φ(M(xm(k),xn(k)))/2,因为φ是下半连续，故P≤P-φ(P)/2，即φ(P)=0，所以P=0.因此{xn}是柯西列. (iii)最后证T和S有一个公共不动点.因为(X,d)是一个完备的度量空间且{xn}是柯西列，则∃由(1)式可得d(x2n+2,Sx)≤H(Tx2n+1,Sx)≤M(x2n+1,x)-φ(M(x2n+1,x)),∀n∈N，则d(x2n+2,Sx)<M(x2n+1,x)，故有(8)然而,M(x2n+1,x)=max{d(x2n+1,x),d(x2n+1,Tx2n+1),d(x,Sx),[d(x2n+1,Sx)+d(x,Tx2n+1)]/2}≤max{d(x2n+1,x),d(x2n+1,x2n+2),d(x,Sx),[d(x2n+1,Sx)+d(x,x2n+2)]/2},所以(9)由(8)式和(9)式知因为φ是下半连续且(7)式成立，易证d(x,Sx)=0.由于Sx∈CB(X)，则x∈Sx.同时, d(Tx,x)≤H(Tx,Sx)≤M(x,x)-φ(M(x,x)),(10)其中M(x,x)=max{d(x,x),d(x,Tx),d(x,Sx),[d(x,Sx)+d(x,Tx)]/2}=d(x,Tx)，由(10)式可知φ(d(Tx,x))=0，则d(Tx,x)=0. 由于Tx∈CB(x)，则x∈Tx.2 结论本文通过利用泛函分析和集值映射的理论工具，对文献[1]提出的一个问题给出了正面回答，即对于2个广义φ-弱压缩多值映射，引理1的推广形式仍然成立.定理1中弱下半连续性的条件是否可以减弱或者去掉，是今后值得研究的一个课题.对于半度量空间、广义度量空间以及锥度量空间，本文的结果是否成立？也是值得进一步系统探讨的问题.3 参考文献【相关文献】[1] Rouhani B D,Moradi mon fixed point of multivalued generalized-weak contractive mapping [J].Fixed Point Theory and Applications,2010,2010(1):1-13.[2] Daffer P Z,Kaneko H.Fixed points of generalized contractive multi-valued mappings [J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1995,192(2):655-666.[3] Abbas M,Rhoades B E,Nazir mon fixed points of generalized contractive multivalued mappings in cone metric spaces [J].MathematicalCommmunication,2009,14(2):365-378.[4] Cho S H,Kim M S.Fixed point theorems for general contractive multivalued mappings [J].J Appl Math Informatics,2009,27(1/2):343-350.[5] Kiran Q,Kamran T.Fixed point theorems for generalized contractive multi-valued maps [J].Computers and Mathematics with Applications,2010,59(12):3813-3823.[6] Abkar A,Eslamian M.Fixed point theorems for Suzuki generalized nonexpansive multivalued mappings in Banach spaces [J].Fixed Point Theory andApplications,2010,2010(2):1-10.[7] Zhang Xian.Fixed point theorems of multivalued monotone mapping in ordered metric spaces [J].Computers and Mathematics with Applications,2010,23(3):235-240.[8] Chifu C,Petrusel G.Existence and data dependence of fixed points and strict fixed points for contractive-type multivalued operators [J].Fixed Point Theory and Applications,2007,2007(1):1-8.[9] Assad N A,Kirk W A.Fixed point theorems for set-valued mappings of contractive type [J].Pacific Journal of Mathematics,1972,43(3):553-562.[10] 甘会林. 整函数差分的零点和不动点 [J].江西师范大学学报:自然科学版,2015,39(5):519-521.[11] 金瑾. 单位圆内高阶齐次线性微分方程解与不动点的研究 [J].江西师范大学学报:自然科学版,2013,37(4):406-410.[12] 李效敏, 仪洪勋, 张学.涉及复合亚纯函数和不动点的亚纯函数的正规族 [J].江西师范大学学报:自然科学版,2016,40(6):578-586.[13] 王金明, 郑雄军.半序空间混合单调算子的耦合不动点定理及其应用 [J].江西师范大学学报:自然科学版,2014,38(3):240-243.[14] Zhao Jingyun,Ding Huisheng,N′Guérékata G M.Positive almost periodic solutions to integral equations with superlinear perturbations via a new fixed point theorem in cones [J].Electron J Differential Equations, 2017,2017(2):1-10.[15] Ding Huisheng,Ozturk Vi,Radenovi S.On some new fixed point results in b-rectangular metric spaces [J].J Nonlinear Sci Appl,2015,8(4):378-386.。

关于概率度量空间中三元公共不动点问题的研究概率度量空间利用分布函数来度量元素之间距离.作为推广,对广义Menger 概率度量空间和半序概率度量空间中非线性算子的研究也具有非常重要的意义.本文主要研究广义Menger概率度量空间和半序概率度量空间中三元公共不动点与三元重合点问题.全文分为四章.第一章介绍了PM空间的历史背景与预备知识,并简单介绍了本文主要的研究工作.第二章建立了广义Menger概率度量空间, 引入了映射对T:X×X×X→X,A:X→X的三元公共不动点概念.利用伪度量和三角范数的性质,我们对混合概率压缩算子在规函数够条件下的三元公共不动点问题进行了研究.第三章在半序概率度量空间中建立了映射对G:X×X×X→X与g：X →X的相容性概念.在不需要可交换的条件下,研究了相容映射在满足更一般的
非线性压缩条件下的三元重合点问题.第四章利用拓扑度方法,在Z-P-S空间中研究了半闭1-集压缩算子的固有值与固有元问题,对相关文献中的结论进行了
改进和推广.。

相容映射和公共不动点
相容映射在数学中是一种将某种复杂的函数分解成几个
更容易理解、更容易求解的子函数的方法。

公共不动点，也叫做不动点，是相容映射中特殊的一种，他是指该函数中有一点或者某一区域，在某一段时间内不会发生改变。

例如，在一个三位函数中，如果其中有两个变量在一定
时间内都不变，而第三维变化在一定表达式内，则可以将该三位函数用相容映射分解成两个更容易求解的函数，而这个数据就可以称为公共不动点。

相容映射与公共不动点在数学上有着广泛的应用，它们
可以帮助我们求解复杂的函数，这就是它们的主要用途。

比如，在控制领域，由于公共不动点有着特殊可靠的性质，所以当我们需要处理这类问题时，可以通过相容映射和公共不动点的组合应用来解决实际问题。

因此，在约束条件下，我们可以更有效地求解问题。

由于相容映射和公共不动点可以帮助我们简化复杂的函数，所以在数学上有很多应用，比如工程、控制等领域。

这些应用为解决实际问题提供了很多便利，正因为这些便利，相容映射和公共不动点在数学中占据了很重要的地位。

关于Menger空间中的几个不动点定理
方锦暄
【期刊名称】《南京师大学报（自然科学版）》
【年(卷),期】1991(014)004
【摘要】本文给出Menger空间中单值和多值映象的几个不动点定理,对文[1]的定理1和定理2作了进一步的推广,对文(1)的定理4、定理5作了适当的更正。

【总页数】6页(P21-25,31)
【作者】方锦暄
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O189.2
【相关文献】
1.Menger PGM-空间中弱相容r映射对的公共不动点定理 [J], 张倩雯;谷峰
2.Menger PM 空间中的多重公共不动点定理 [J], 许正川
3.非阿基米德Menger概率度量空间中Altman型映象公共不动点定理及其在动态规划中的应用 [J], 张树义;丛培根;张芯语
4.非阿基米德Menger概率n-度量空间中
一类映象的不动点定理 [J], 张树义;聂辉
5.Menger PM-空间中循环R-压缩映射的不动点定理 [J], 刘孟递;吴照奇;朱传喜因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

几类不动点定理的推广及证明几类不动点定理的推广及证明引言：不动点定理是数学中一个重要的定理，它在很多领域都有广泛的应用。

不动点，顾名思义，是指函数中某一点在映射后仍保持不变的点。

不动点定理从不动点的角度给出了函数存在或唯一性的条件。

本文将介绍几类不动点定理的推广，并给出证明。

一、Banach不动点定理的推广及证明：Banach不动点定理是最经典的不动点定理之一。

它适用于完备度量空间中的压缩映射，并保证了该映射存在唯一的不动点。

然而，在非完备度量空间中的压缩映射是否存在不动点呢？为了解决这个问题，可以引入相似性映射的概念。

相似性映射是指满足$d(f(x),f(y))\leq k\cdot d(x,y)$的映射，其中$k\in(0,1)$，$d$表示度量空间中的距离函数。

根据较弱的条件，我们可以推广Banach不动点定理到非完备度量空间中的相似性映射，并得到存在不动点的结论。

证明：设$X$为一个非完备度量空间，$f:X\rightarrow X$为一个相似性映射，即存在$k\in(0,1)$，使得$d(f(x),f(y))\leqk\cdot d(x,y)$对任意$x,y\in X$成立。

我们需要证明$f$存在一个不动点。

首先选取$X$中的任意点$x_0$，定义序列$\{x_n\}$如下：$$x_n=f(x_{n-1}),\ n=1,2,3,\cdots$$接下来，我们证明$\{x_n\}$是一个Cauchy序列。

由相似性映射的性质可知：$$d(x_{n+1},x_n)=d(f(x_n),f(x_{n-1}))\leq k\cdotd(x_n,x_{n-1})$$不妨设$m>n$，则有：$$d(x_m,x_n)\leq\sum_{i=n}^{m-1}d(x_{i+1},x_i)\leq\sum_{i=n}^{m-1}k^{i-n}d(x_1,x_0)$$利用等比数列求和公式，可以得到：$$d(x_m,x_n)\leq\frac{k^n}{1-k}\cdot d(x_1,x_0)$$ 由于$k\in(0,1)$，故$\frac{k^n}{1-k}$是一个有界数列。

D-度量空间上满足膨胀条件的两个映射的唯一公共不动点朴勇杰;龚学;徐佳宁;吴凡【摘要】利用D-度量空间上满足某种膨胀条件的两个满自映射S和T,构造具有唯一极限的序列,证明S和T在某种附加条件下具有唯一公共不动点,得到更为一般形式的无穷多个映射的唯一公共不动点定理,推广和改进了D-度量空间上的唯一公共不动点定理.【期刊名称】《黑龙江大学自然科学学报》【年(卷),期】2015(032)004【总页数】5页(P428-432)【关键词】D-度量空间;序列;膨胀条件;公共不动点【作者】朴勇杰;龚学;徐佳宁;吴凡【作者单位】延边大学理学院,延吉133002;延边大学理学院,延吉133002;延边大学理学院,延吉133002;延边大学理学院,延吉133002【正文语种】中文【中图分类】O177.3;O189.11Dhage[1]引进了D-度量空间,并在该空间上得到收缩型映射的不动点定理。

随后的研究中,得到了若干满足收缩条件的一个映射的不动点定理和若干个映射的公共不动点定理[2-6]。

文献[7-8]分别给出了在D-度量空间上无穷多个映射的唯一公共不动点存在定理。

首先给出文中所需要的基本概念和引理。

定义1[7-8] 设X是非空集合,D:X×X×X→R+=[0,+∞)为映射。

称(X,D)为D-度量空间,如果下列条件被满足(i) D(x,y,z)=0⟸⟸x=y=z(重叠性);(ii) 对任何x,y,z∈X,D(x,y,z)=D(u,v,w),∀ {u,v,w}={x,y,z}(对称性);(iii) 对任何x,y,z,a∈X,D(x,y,z)≤D(x,y,a)+D(x,a,z)+D(a,y,z)。

定义2[7-8] 设{xn}n∈N是D-度量空间X中序列,x∈X。

若limm,n→+∞D(xm,xn,x)=0,则称{xn}n∈ND-收敛于x。

称序列{xn}n∈N为D-柯西,是指limm,n,p→+∞D(xm,xn,xp)=0。