广东省珠海市高二数学上学期期末教学质检试题(A卷)文 新人教A版

新人教A 版高一上学期摸底试卷数 学 试 卷 （六）B 卷考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题（每小题5分,共40分）1. 下列元素与集合的关系表示正确的是 【 】 （A ）∈-1N* （B ）∈2Z （C ）∈23Q （D ）∈πQ2. 已知集合{}m m m A ,2-=,{}12,0-=m B ,若B A =,则m 的值为 【 】 （A ）0 （B ）0或1 （C ）1 （D ）1-3. 设集合{}4,2,1=A ,{}042=+-=m x x x B ,若{}1=B A ,则集合B 的子集个数为 【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44. 设集合{}12≤=x x A ,{}m x x B <=,若⊆A （C R B ）,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）()+∞,1 （B ）()1,-∞- （C ）[)+∞-,1 （D ）(]1,-∞-5. 在△ABC 中,“内角A 是锐角”是“△ABC 是锐角三角形”的 【 】 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 6. 已知正数b a ,满足1=+b a ,则baa +4的最小值为 【 】（A ）6 （B ）8 （C ）9 （D ）127. 不等式0342>+-x x 的解集是 【 】 （A ）{}1<x x （B ）{}31><x x x 或 （C ）{}31<<x x （D ）{}3>x x8. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形证明,也称之为无字证明.现有如图所示的图形,点F 在半圆O 上,点C 在直径AB 上,且AB OF ⊥,设a AC =,b BC =,则该图形可以完成的无字证明为 【 】（A ）2ba +≥ab （0,0>>b a ） （B ）22b a +≥ab 2（0,0>>b a ） （C ）b a ab +2≤ab （0,0>>b a ） （D ）2ba +≤222b a +（0,0>>b a ）二、多项选择题（每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分）9. 设全集{}4,3,2,1,0=U ,集合{}4,1,0=A ,{}3,1,0=B ,则下列结论正确的有 【 】 （A ）{}1,0=B A （B ）C U B {}4=（C ）{}4,3,1,0=B A （D ）集合A 的真子集个数为810. 下列说法中,正确的有 【 】 （A ）在数学中,可判断真假的句子叫做命题 （B ）1>a 且1>b 是1>ab 成立的充分条件 （C ）命题:p ∈∀x R ,02>x ,则∈∃⌝x p :R ,02<x （D ）命题“若0>>b a ,则ba 110<<”的否定是假命题 11. 已知二次函数c bx ax y ++=2（c b a ,,为常数,且a 的部分图象大致如图所示,则下列结论正确的是 【 （A ）0,0<>b a （B ）02>+b a （C ）024>++c b a （D ）0>++c b a12. 若0,0>>q p 且2=+q p ,则下列不等式恒成立的是 【 】 （A ）q p +≤2 （B ）pq ≤1 （C ）qp 11+≤2 （D ）22q p +≥2第Ⅱ卷 非选择题（共90分）三、填空题（每小题5分,共20分）13. 命题“1>∃x ,使得x⎪⎭⎫ ⎝⎛21≥21成立”的否定是________________.14. 某小型服装厂生产的一种风衣日销售量x 件与售价P 元/件之间的关系为x P 2150-=,生产x 件风衣所需成本为x C 3050+=元,要使日获利不少于1 300元,则该厂日产量x 的取值范围为__________.（日产量＝日销售量）.15. 已知∈∀x p :R ,012>+mx ,∈∀x q :R ,函数12++=mx x y 的图象在x 轴的上方,若q p 、均为真命题,则实数m 的取值范围是__________.16. 在R 上定义运算:bc ad d c b a -=,若不等式xa a x 121+--≥1对任意∈x R 恒成立,则实数a 的最大值为__________.四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）已知集合{}12≤<-=x x A ,{}212≤-=x x B . （1）求B A ,B A ; （2）求（C R A ） （C R B ）.设全集=U R ,集合{}51≤≤=x x A ,集合{}a x a x B 212+≤≤-=（0>a ）. （1）若A x ∈是B x ∈的充分条件,求实数a 的取值范围; （2）若A x ∈是B x ∈的必要条件,求实数a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知关于x 的方程062=-+mx x （0>m ）的两个根为21,x x ,且512=-x x . （1）求函数62-+=mx x y （0>m ）的解析式; （2）解关于x 的不等式x y 24-<.2020年10月1日是新中国成立71周年纪念日,是全国各族人民的共同节日,各地举行了丰富多彩的庆祝活动,某校为丰富校园文化生活,展示学生风采,增强同学们的爱国情怀和爱国意识,激发同学们的爱国热情,组织开展了庆祝国庆节系列活动.要求各班设计如图所示的一张矩形画报,并在画报内设计一个矩形图案,且该图案的面积为 2 m 2.要求图案在画报内左右留白20 cm,上下各留白10 cm,试问怎样设计画报内图案长与宽的尺寸,能使整个画报面积最小,面积最小值是多少?21.（本题满分12分）已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=112x x x A ,集合(){}01222<+++-=m m x m x x B .（1）求集合A 、B ;（2）若A B ⊆,求实数m 的取值范围.（1）已知0,0>>b a ,试比较ab b a 22-与b a -的大小; （2）用反证法证明:若∈c b a ,,R ,且542+-=b a x ,862+-=c b y ,122+-=a c z ,则z y x ,,中至少有一个不小于0.新人教A 版高一上学期摸底试卷数 学 试 卷 （六）B 卷 答 案 解 析考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题（每小题5分,共40分）1. 下列元素与集合的关系表示正确的是 【 】 （A ）∈-1N* （B ）∈2Z （C ）∈23Q （D ）∈πQ 答案 【 C 】解析 本题考查元素与集合之间的关系. 选择答案【 C 】.2. 已知集合{}m m m A ,2-=,{}12,0-=m B ,若B A =,则m 的值为 【 】 （A ）0 （B ）0或1 （C ）1 （D ）1- 答案 【 C 】解析 本题考查集合的相等与集合元素的性质. 若0=m ,则{}0,0=A ,不满足集合元素的互异性,舍去.∴⎩⎨⎧=--=0122m m m m ,解之得:1=m .∴选择答案【 C 】.3. 设集合{}4,2,1=A ,{}042=+-=m x x x B ,若{}1=B A ,则集合B 的子集个数为 【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案 【 D 】解析 本题考查集合的基本运算和集合子集个数的确定. ∵{}1=B A ,∴B ∈1.把1=x 代入方程042=+-m x x 得:041=+-m ,解之得:3=m .∴0342=+-x x ,解之得:3,121==x x . ∴{}3,1=B ,满足{}1=B A . ∴集合B 的子集个数为422=. ∴选择答案【 D 】.4. 设集合{}12≤=x x A ,{}m x x B <=,若⊆A （C R B ）,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）()+∞,1 （B ）()1,-∞- （C ）[)+∞-,1 （D ）(]1,-∞- 答案 【 D 】解析 本题考查根据集合之间的基本关系确定参数的值或取值范围. 解不等式2x ≤1得:1-≤x ≤1,∴{}11≤≤-=x x A . ∵{}m x x B <=,∴C R B {}m x x ≥=. ∵⊆A （C R B ）,∴m ≤1-. ∴实数m 的取值范围是(]1,-∞-. ∴选择答案【 D 】.5. 在△ABC 中,“内角A 是锐角”是“△ABC 是锐角三角形”的 【 】 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 答案 【 B 】解析 本题考查充分必要条件的判断.显然,由“内角A 是锐角”不能推出“△ABC 是锐角三角形”;但是由“△ABC 是锐角三角形”一定能推出“内角A 是锐角”.∴“内角A 是锐角”是“△ABC 是锐角三角形”的必要不充分条件. ∴选择答案【 B 】.6. 已知正数b a ,满足1=+b a ,则baa +4的最小值为 【 】（A ）6 （B ）8 （C ）9 （D ）12 答案 【 B 】解析 本题考查利用基本不等式求最值. ∵正数b a ,满足1=+b a∴()baa b b a a b a b a a ++=++=+4444≥8424=⋅+b a a b . 当且仅当baa b =4,即31,32==b a 时,等号成立.∴baa +4的最小值为8. ∴选择答案【 B 】.7. 不等式0342>+-x x 的解集是 【 】 （A ）{}1<x x （B ）{}31><x x x 或 （C ）{}31<<x x （D ）{}3>x x 答案 【 B 】解析 本题考查一元二次不等式的解法.解一元二次不等式的一般步骤是:（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算ac b 42-=∆的值,并判断∆的符号; （3）当∆≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图;（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.注意 一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.0342>+-x x ,即()()031>--x x ,解之得:3>x 或1<x .∴不等式0342>+-x x 的解集是{}31><x x x 或. ∴选择答案【 B 】.8. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形证明,也称之为无字证明.现有如图所示的图形,点F 在半圆O 上,点C 在直径AB 上,且AB OF ⊥,设a AC =,b BC =,则该图形可以完成的无字证明为 【 】（A ）2ba +≥ab （0,0>>b a ） （B ）22b a +≥ab 2（0,0>>b a ） （C ）b a ab +2≤ab （0,0>>b a ） （D ）2ba +≤222b a +（0,0>>b a ）答案 【 D 】解析 本题考查不等式的证明.由题意可知:2ba OB OA OF +===. ∴22ba b b a BC OB OC -=-+=-=（当点C 在半径OB 上时）. 在Rt △COF 中,由勾股定理得:222222222b a b a b a OC OF FC +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=. ∵FC ≤OF ,∴2ba +≤222b a +（0,0>>b a ）,当且仅当点C 与点O 重合,即b a =时,等号成立.∴选择答案【 D 】.二、多项选择题（每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分）9. 设全集{}4,3,2,1,0=U ,集合{}4,1,0=A ,{}3,1,0=B ,则下列结论正确的有 【 】 （A ）{}1,0=B A （B ）C U B {}4=（C ）{}4,3,1,0=B A （D ）集合A 的真子集个数为8 答案 【 AC 】解析 本题考查集合的基本运算.∵{}4,3,2,1,0=U ,集合{}4,1,0=A ,{}3,1,0=B ∴{}1,0=B A ,{}4,3,1,0=B A , C U B {}4,2=. ∴（A ）、（C ）正确,（B ）错误;对于（D ）,集合A 的真子集个数为7123=-.故（D ）错误. ∴选择答案【 AC 】.10. 下列说法中,正确的有 【 】（A ）在数学中,可判断真假的句子叫做命题 （B ）1>a 且1>b 是1>ab 成立的充分条件 （C ）命题:p ∈∀x R ,02>x ,则∈∃⌝x p :R ,02<x （D ）命题“若0>>b a ,则ba 110<<”的否定是假命题 答案 【 BD 】解析 本题考查与命题有关的知识点.对于（A ）,一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.故（A ）错误; 对于（B ）,正确;对于（C ）,∈∃⌝x p :R ,2x ≤0.故（C ）错误;对于（D ）,一个命题和它的否定只能是一真一假,不能同真同假.根据不等式性质的倒数法则,可知命题“若0>>b a ,则ba 110<<”是真命题,所以它的否定是假命题.故（D ）正确. ∴选择答案【 BD 】.11. 已知二次函数c bx ax y ++=2（c b a ,,为常数,且a 的部分图象大致如图所示,则下列结论正确的是 【 （A ）0,0<>b a （B ）02>+b a （C ）024>++c b a （D ）0>++c b a 答案 【 ABC 】解析 本题考查二次函数的图象.对于（A ）,函数的图象开口向上,可得0>a ,对称轴在y 轴的右侧,所以b a ,异号,即0<b .故（A ）正确;对于（B ）,由函数的图象可知,12<-ab,结合0>a 可得:02>+b a .故（B ）正确; 对于（C ）,点()c b a ++24,2在函数位于第一象限的图象上,所以024>++c b a .故（C ）正确;对于（D ）,点()c b a ++,1在函数位于第四象限的图象上,所以0<++c b a .故（D ）错误.∴选择答案【 ABC 】.12. 若0,0>>q p 且2=+q p ,则下列不等式恒成立的是 【 】 （A ）q p +≤2 （B ）pq ≤1 （C ）qp 11+≤2 （D ）22q p +≥2 答案 【 ABD 】解析 本题考查基本不等式的应用. 对于（A ）,∵0,0>>q p ,2=+q p ∴()pq q p qp 22++=+≤()42=+=+++q p q p q p .∴q p +<0≤2.当且仅当1==q p 时,等号成立.故（A ）正确;对于（B ）,∵0,0>>q p ,2=+q p∴pq ≤122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+q p ,当且仅当1==q p 时,等号成立.故（B ）正确;对于（C ）,∵0,0>>q p ,2=+q p ∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛++=+p q q p q p q p q p 211112111≥22211=⋅⨯+p q q p . 当且仅当pqq p =,即1==q p 时,等号成立. 故（C ）错误;对于（D ）,∵0,0>>q p ,2=+q p∴222q p +≥122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+q p ,∴22q p +≥2. 当且仅当1==q p 时,等号成立. 故（D ）正确.∴选择答案【 ABD 】.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）三、填空题（每小题5分,共20分）13. 命题“1>∃x ,使得x⎪⎭⎫ ⎝⎛21≥21成立”的否定是________________.答案 1>∀x , 2121<⎪⎭⎫ ⎝⎛x解析 本题考查含有一个量词的命题的否定.对含有一个量词的命题进行否定的方法是:改变量词,否定结论.该命题的否定:1>∀x , 2121<⎪⎭⎫ ⎝⎛x.14. 某小型服装厂生产的一种风衣日销售量x 件与售价P 元/件之间的关系为x P 2150-=,生产x 件风衣所需成本为x C 3050+=元,要使日获利不少于1 300元,则该厂日产量x 的取值范围为__________.（日产量＝日销售量）. 答案 []45,15解析 本题考查一元二次不等式的应用. 设该厂日获利为y 元,则有:()()501202305021502-+-=+--=x x x x x y .∵要使日获利不少于1 300元∴y ≥1 300,即5012022-+-x x ≥1 300. ∴675602+-x x ≤0,解之得:15≤x ≤45. ∴该厂日产量x 的取值范围为[]45,15.15. 已知∈∀x p :R ,012>+mx ,∈∀x q :R ,函数12++=mx x y 的图象在x 轴的上方,若q p 、均为真命题,则实数m 的取值范围是__________.答案 [)2,0解析 本题考查根据真假命题确定参数的值或取值范围.若命题p 为真命题,则有0=m 或⎩⎨⎧<-=∆>040m m ,解之得:m ≥0;若命题q 为真命题,则有042<-=∆m ,解之得:22<<-m . ∴当q p 、均为真命题时,实数m 的取值范围是[)2,0.16. 在R 上定义运算:bc ad d c b a -=,若不等式xa a x 121+--≥1对任意∈x R 恒成立,则实数a 的最大值为__________. 答案23解析 本题考查定义新运算以及与一元二次不等式有关的恒成立问题,注意分离参数法的应用. ∵bc ad dc ba -= ∴()()()211121-+--=+--a a x x xa a x ≥1.∴a a -2≤12+-x x .设()12+-=x x x f ,只需a a -2≤()min x f 即可.∵()4321122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x f ,∴()43min=x f . ∴a a -2≤43,即3442--a a ≤0,解之得:21-≤a ≤23. ∴实数a 的最大值为23.四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）已知集合{}12≤<-=x x A ,{}212≤-=x x B . （1）求B A ,B A ; （2）求（C R A ） （C R B ）.解:（1）不等式12-x ≤2即2-≤12-x ≤2,解之得:21-≤x ≤23.∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=2321x x B .∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=121x x B A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-=232x x B A ; （2）（C R A ） （C R B ）= C R （B A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-≤=232x x x 或.18.（本题满分12分）设全集=U R ,集合{}51≤≤=x x A ,集合{}a x a x B 212+≤≤-=（0>a ）. （1）若A x ∈是B x ∈的充分条件,求实数a 的取值范围; （2）若A x ∈是B x ∈的必要条件,求实数a 的取值范围. 解:（1）∵A x ∈是B x ∈的充分条件,∴B A ⊆.根据题意则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤-+<->521122120a a a a a ,解之得:a ≥2.∴实数a 的取值范围是[)+∞,2;（2）∵A x ∈是B x ∈的必要条件,∴A B ⊆.当∅=B 时,则有⎩⎨⎧+>->a a a 2120,解之得:310<<a ;当∅≠B 时,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥-+≤->521122120a a aa a ,解之得:31≤a ≤1.综上所述,实数a 的取值范围是(]1,0. 19.（本题满分12分）已知关于x 的方程062=-+mx x （0>m ）的两个根为21,x x ,且512=-x x . （1）求函数62-+=mx x y （0>m ）的解析式; （2）解关于x 的不等式x y 24-<.解:（1）由根与系数的关系定理可得:6,2121-=-=+x x m x x . ∵512=-x x∴()()25244221221212=+=-+=-m x x x x x x ,解之得:1±=m . ∵0>m ,∴1=m .∴函数62-+=mx x y （0>m ）的解析式为62-+=x x y ; （2）x y 24-<即x x x 2462-<-+.整理得:01032<-+x x ,解之得:25<<-x . ∴不等式x y 24-<的解集为{}25<<-x x . 20.（本题满分12分）2020年10月1日是新中国成立71周年纪念日,是全国各族人民的共同节日,各地举行了丰富多彩的庆祝活动,某校为丰富校园文化生活,展示学生风采,增强同学们的爱国情怀和爱国意识,激发同学们的爱国热情,组织开展了庆祝国庆节系列活动.要求各班设计如图所示的一张矩形画报,并在画报内设计一个矩形图案,且该图案的面积为 2 m 2.要求图案在画报内左右留白20 cm,上下各留白10 cm,试问怎样设计画报内图案长与宽的尺寸,能使整个画报面积最小,面积最小值是多少?解: 设画报内矩形图案的长为x m,则图案的宽为x2m,则画报的长为()4.0+x m,画报的宽为⎪⎭⎫ ⎝⎛+2.02x m,设画报的面积为y m 2. ∴()x x x x y 8.02.008.22.024.0++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=≥88.28.02.0208.2=⋅+x x . 当且仅当xx 8.02.0=,即2=x 时,等号成立.122=（m ）.答:当矩形图案的长为2 m,宽为1 m 时,可使画报的面积最小,面积最小值是2. 88 m 2. 21.（本题满分12分）已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=112x x x A ,集合(){}01222<+++-=m m x m x x B .（1）求集合A 、B ;（2）若A B ⊆,求实数m 的取值范围. 解:（1）112<-x x 即011<-+x x ,同解于()()011<-+x x ,解之得:11<<-x . ∴{}11<<-=x x A .()01222<+++-m m x m x 即()()[]01<+--m x m x ,解之得:1+<<m x m .∴{}1+<<=m x m x B ;（2）∵A B ⊆∴⎩⎨⎧≤+-≥111m m ,解之得:1-≤m ≤0.∴实数m 的取值范围为[]0,1-. 22.（本题满分12分）（1）已知0,0>>b a ,试比较ab b a 22-与b a -的大小; （2）用反证法证明:若∈c b a ,,R ,且542+-=b a x ,862+-=c b y ,122+-=a c z ,则z y x ,,中至少有一个不小于0.（1）解: ()()()abb a b a b a a b b a 2222+-=---. ∵0,0>>b a∴当b a >时,()()022>+-ab b aa b a ,∴b a ab b a ->-22;当b a =时,()()022=+-ab b aa b a ,∴b a a b b a -=-22;当b a <时,()()022<+-ab b aa b a ,∴b a ab b a -<-22.综上所述,若0,0>>b a ,当b a >时,b a a b b a ->-22;当b a =时,b a ab b a -=-22;当ba <时,b a ab b a -<-22.（2）证明: 假设z y x ,,均小于0,∴0<++z y x . ∵128654222+-++-++-=++a c c b b a z y x()()()()()()222222321964412-+-+-=+-++-++-=c b a c c b b a a ≥0∴这与假设矛盾,即假设不成立. ∴z y x ,,中至少有一个不小于0.。

2022-2023学年广东省珠海市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，525S =，则7a =（）A ．16B ．15C ．14D ．13【正确答案】D【分析】先求得等差数列{}n a 的公差，从而求得7a .【详解】15353325552225,5a S a aa a +=⨯=⨯===，设等差数列{}n a 的公差为d ，则322d a a =-=，所以72535213a a d =+=+⨯=.故选：D2．已知空间向量()()1,2,,,2,3n a m a == ，且n m ⊥，则n m -= （）A ．B C ．20D ．【正确答案】D【分析】根据向量垂直列方程，求得a ，进而求得n m -.【详解】由于n m ⊥，所以43440,1n m a a a a ⋅=++=+==- ，所以()()()1,2,11,2,32,0,4n m -=---=-== 故选：D3．古代《九章算术》记载：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱”.由此可知第一人分得的钱数是（）A ．43B ．1C ．23D ．13【正确答案】A【分析】设第()15,N n n n *≤≤∈分到n a 钱，由题意可得出关于1a 、d 的方程组，解出1a 的值即可.【详解】设第()15,N n n n *≤≤∈分到n a 钱，设数列{}()15,N n a n n *≤≤∈的公差为d ，由题意可得1234512345++++=5+=++a a a a a a a a a a ⎧⎨⎩，所以，121315+=2+=2=+2=1a a a d a a d ⎧⎪⎨⎪⎩，解得143a =.故选：A.4．已知圆1C ：22(5)(3)9x y -+-=，圆2C ：224290x y x y +-+-=，则两圆的位置关系为（）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【正确答案】C【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系．【详解】圆1C ：22(5)(3)9x y -+-=的圆心为1(5,3)C ，半径13r =，圆2C ：224290x y x y +-+-=，即22(2)(1)14x y -++=，圆心1(2,1)C -，半径2r =，两圆的圆心距125C C =，353-<<+，即211221r r C C r r -<<+，所以圆1C 与圆2C 相交.故选：C5．设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A ．12B ．24C ．30D ．32【正确答案】D【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a q a a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==.故选：D.本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．6．过点()21P ，作圆221：+=O x y 的切线l ，则切线l 的方程为（）A ．3450x y --=B ．4350x y --=C ．1y =或4350x y --=D ．1y =或3450x y --=【正确答案】C【分析】设切线l 为1(2)y k x -=-，即120kx y k -+-=，由l 与圆221：+=O x y 相切，得1d =，即可解决.【详解】由题知，圆221：+=O x y ，圆心为(0,0)，半径为1，因为()21P ，在圆外，所以设切线l 为1(2)y k x -=-，即120kx y k -+-=，因为l 与圆221：+=O x y 相切，所以1d ==，解得0k =或43k =，所以切线l 的方程为1y =，或4350x y --=，故选：C7．已知直线1l ：20x ay -+=与直线2l ：()()240a x a y a ++-+=平行，则a 的值是（）A ．4-B ．1C ．4-或1D ．4或1-【正确答案】B【分析】根据给定条件列出关于a 的等式，求解并验证即可作答.【详解】因直线1l ：20x ay -+=与直线2l ：()()240a x a y a ++-+=平行，则有(2)40a a a ++-=，解得1a =或4a =-，当1a =时，直线1l ：20x y -+=与直线2l ：3310x y -+=平行，当4a =-时，直线1l ：420x y ++=与直线2l ：2840x y ---=，即420x y ++=重合，所以a 的值是1.故选：B8．已知2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，点P 在椭圆上，()220OP OF PF +⋅= ，且22OP OF b +=，则椭圆的离心率为（）A B C D ．5【正确答案】A【分析】设2PF 的中点为Q ，根据向量的线性运算法则及数量积的定义可得2OQ PF ⊥，从而得到12PF PF ⊥，根据22OP OF b +=得到1||2PF b =，再根据椭圆的定义得到2||PF ，在直角三角形中利用勾股定理得到23b a =，最后根据离心率公式计算可得；【详解】解：设2PF 的中点为Q ，则22OP OF OQ +=由22()0OP OF PF +⋅= ，即220OQ PF ⋅= 所以2OQ PF ⊥，连接1PF 可得1//OQ PF ，所以12PF PF ⊥，因为22OP OF b += ，即22OQ b = ，即1||2PF b =所以21||2||22PF a PF a b =-=-，在12R t PF F 中，2221212||||||PF PF F F +=，即()()2222224c b a b -+=，又222c a b =-，所以222222b a b ab a b +=+--，所以232b ab =，即23b a =解得c e a =故选：A 二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．过点()1,2P 且在x ､y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60︒D ．过点()1,2-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=【正确答案】BD【分析】A 选项忽略了过原点的情况，错误，B 选项计算截距得到正确，直线斜率为k =倾斜角为120︒，C 错误，根据垂直关系计算直线方程得到D 正确，得到答案.【详解】过点()1,2P 且在x ､y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=和2y x =，A 错误；取0x =，=2y -，则直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，B 正确；10y ++=的斜率为k =120︒，C 错误；垂直于直线230x y -+=的直线方程斜率为2k =-，过点()1,2-的直线方程为()2122y x x =-++=-，即20x y +=，D 正确.故选：BD.10．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20182019S S <且20192020S S >，则（）A ．在数列{}n a 中，1a 最大；B ．在数列{}n a 中，2019a 最大C ．20200a >D ．当2020n ≥时，0n a <【正确答案】AD【分析】由题得201920200,0a a ><，即可解决.【详解】由题知，无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20182019S S <且20192020S S >，所以201920200,0a a ><，所以等差数列{}n a 为递减数列，所以在数列{}n a 中，1a 最大；当2020n ≥时，0n a <；故选：AD11．已知空间中三点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，则下列命题正确的是（）A ．AB方向的单位向量是55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．AB 与BC 夹角的余弦值是C ．ABC的面积为2D ．若3AP AB AC =+ ，则点P 到直线AC【正确答案】BCD【分析】根据单位向量、向量夹角、三角形面积、点线距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()2,1,0AB = ，所以AB方向的单位向量是2,1,0,055AB AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，A 选项错误.B 选项，()3,1,1BC =- ，设AB与BC 夹角为θ，则cos AB BC AB BCθ⋅==-⋅，B选项正确.C 选项，由于cos 11θ=-，所以cos 11B =，则B 是锐角，所以sin B =所以12ABC S =C 选项正确.D 选项，()1,2,1AC =-，()111,3,1,,31,33AP AB AC AP ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，所以点P 到直线ACD 选项正确.故选：BCD12．如图，P 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n -=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论正确的是（）A ．12,PF a m PF a m=+=-B ．若60θ=︒，则2221314e e +=C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2n bθ=【正确答案】ABD【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线定义计算判断A ；借助余弦定理、离心率公式、均值不等式计算判断B ，C ，D 作答.【详解】由椭圆和双曲线的定义得：121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1PF a m =+，2PF a m =-，A 正确；在12F PF △中，由余弦定理得：()()()()()2222cos 2a m a m a m a m c θ-++--+=，整理得()()2221cos 1cos 2a m c θθ-++=，()()22221cos 1cos 2a m c c θθ-++=，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=，当60θ=︒时，222132122e e +=，即2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2212112e e +=，2222222112122222121211)11()()1(22e e e e e e e e e e ++++==+2221221212e e e e ≥+⋅，当且仅当121e e ==时取“=”，而1201,1e e <<>，C 不正确；在椭圆中，22222121212122||||cos ||||||442||||PF PF PF PF F F a c PF PF θ=+-=--，即2122||||1cos b PF PF θ=+，在双曲线中，22222121212122||||cos ||||||442||||PF PF PF PF F F m c PF PF θ=+-=-+，即2122||||1cos n PF PF θ=-，于是得22222222sin 221cos 2tan 1cos 1cos 1cos 22cos 2n b n b θθθθθθθ-=⇔===-++，而022θπ<<，则tan 2n b θ=，D 正确.故选：ABD方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、双曲线定义，得到a ，c 的关系.三、填空题13．双曲线221916x y -=的渐近线方程是___________.【正确答案】43y x=±【分析】直接由双曲线的方程求解即可【详解】因为双曲线方程为221916x y -=，所以双曲线的渐近线方程为220916x y -=，即43y x =±，故43y x=±14．以点(1,1),(3,3)A B -为直径的圆的一般式方程为______________．【正确答案】22240x y x y +--=【分析】根据AB 为直径，得到直径和圆心坐标，然后写方程即可.【详解】因为()1,1A -，()3,3，所以AB =AB 中点坐标为()1,2，所以以AB 为直径的圆的标准方程为()()22125x y -+-=，展开得一般式方程为22240x y x y +--=.故答案为.22240x y x y +--=15C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【正确答案】163【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x -代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-=解法二：10036640∆=-=>设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=,过,A B 分别作准线=1x -的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故163本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.16．如图，二面角AB αβ--的大小为60 ，线段PM 与NQ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB .若2,3,4PM MN NQ ===，则PQ =__________.21【分析】利用空间向量的线性运算可得PQ PM MN NQ =++，再根据向量所成角，结合数量积公式平方即可得解.【详解】根据题意，PQ PM MN NQ =++，由二面角l αβ--大小为120︒，可得,120PM NQ =，22()PQ PM MN NQ =++ 222222PM MN NQ PM MN NQ MN PM NQ=+++⋅+⋅+⋅ 14916224212⎛⎫=+++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以PQ =四、解答题17．已知公差不为0的等差数列{an }满足a 3＝9，a 2是a 1，a 7的等比中项．（1）求{an }的通项公式；（2）设数列{bn }满足()17n n b n a =+，求{bn }的前n 项和Sn ．【正确答案】（1）an ＝4n ﹣3．（2）Sn 44nn =+．（1）设等差数列{an }的公差为d （d ≠0），根据a 3＝9，a 2是a 1，a 7的等比中项．利用“1,a q ”法求解.（2）由（1）知()1111741n n b n a n n ⎛⎫==⎪++⎝⎭，再用裂项相消法求解.【详解】（1）设等差数列{an }的公差为d （d ≠0），则()()12111296a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=⋅+⎪⎩解得d ＝4或d ＝0（舍去），a 1＝1，∴an ＝1+4（n ﹣1）＝4n ﹣3．（2）∵()1111741n n b n a n n ⎛⎫==⎪++⎝⎭，∴1231111111412231n n S b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1114144nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭．本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．已知圆22:240C x y y +--=，直线:10l mx y m -+-=.(1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)若直线l 与圆C 交于不同的两点,A B，且AB =.【正确答案】(1)直线l 与圆C 相交；(2)直线的方程为0x y -=或20x y +-=【分析】（1）先求出直线l 过的定点坐标，判断定点在圆内，则直线l 必与圆相交；（2）由圆的半径和弦长求得圆心到直线l 的距离，以此列方程求解m 的值，即可求出直线l 的方程.【详解】（1）直线:10l mx y m -+-=，整理得(1)1m x y -=-，令1010x y -=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩即直线l 过定点(1,1)P .将P 点坐标代入圆C 方程得112440+--=-<，故P 点在圆C 内，直线l 与圆C 相交.（2）圆22:240C x y y +--=，整理得22(1)5x y +-=即(0,1)C ，r =.因为AB =，所以圆心C 到直线l 的距离为2d ==.又2d =，所以1m =±故直线的方程为0x y -=或20x y +-=.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且4PD CD ==，2AD =．（1）求证：PA CD ⊥；（2）求AP 与平面CMB 所成角的正弦值；（3）求二面角M CB P --的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析；（2）45；（331010（1）根据线面垂直的判定定理证明CD ⊥平面PAD ，即证PA CD ⊥；（2）以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求平面CMB的法向量，用向量的方法求直线AP 与平面CMB 所成角的正弦值；（3）求平面CBP 的法向量，用向量的方法求二面角M CB P --的余弦值．【详解】（1）PD ⊥ 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，PD CD ∴⊥.底面ABCD 是矩形，AD CD ∴⊥，又AD PD D =I ，CD \^平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，CD PA ∴⊥.（2）以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示则()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,4,0,0,0,4,1,0,2,2,4,0D A C P M B ，()()()2,0,4,2,0,0,1,4,2,25AP CB BM AP ∴=-==--= 设平面CMB 的法向量(),,n x y z = ，则·0·0n CB n BM ⎧=⎨=⎩，即0420x x y z =⎧⎨--+=⎩，令1y =，则2z =，()0,1,2,5n n ∴== .设直线AP 与平面CMB 所成的角为θ，则4sin cos ,5255AP n AP n AP n θ=〈〉==⨯ .所以AP 与平面CMB 所成角的正弦值为45.（3）()()2,0,0,2,4,4CB BP ==-- .设平面CBP 的法向量(),,m x y z = ，则·0·0m CB m BP ⎧=⎨=⎩，即02440x x y z =⎧⎨--+=⎩，令1y =，则1z =.()0,1,1,2m m == 又平面CMB 的法向量()0,1,2,5n n == 设二面角M CB P --的大小为α，则α为锐角，310cos cos ,1025m n m n m nα∴=〈〉===⨯ ，所以二面角M CB P --的余弦值为31010．本题考查线线垂直，考查用向量的方法求线面角和面面角，考查学生的运算能力，属于较难的题目.20．如图，焦点为F 的抛物线2y 2px(p 0)=>过点()Q 1,m (m 0)>，且QF 2=．(Ⅰ)求p 的值；(Ⅱ)过点Q 作两条直线1l ，2l 分别交抛物线于()11A x ,y ，()22B x ,y 两点，直线1l ，2l 分别交x 轴于C ，D 两点，若QCD QDC ∠∠=，证明：12y y +为定值．【正确答案】（Ⅰ）p 2=；（Ⅱ）见解析.【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义可得出p 的值；（Ⅱ）先写出抛物线的方程，由条件∠QCD ＝∠QDC ，得出直线AQ 和直线BQ 的斜率之和为零，利用两点的斜率公式以及等式2114y x =，2224y x =可计算出y 1+y 2＝-4，进而证明结论成立．【详解】(Ⅰ)抛物线的准线方程为p x 2=-，由抛物线的定义得p QF 122=+=，得p 2=；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，抛物线的方程为2y 4x =，将点Q 的坐标代入抛物线的方程得2m 414=⨯=，m 0> ，得m 2=，所以，点Q 的坐标为()1,2．QCD QDC ∠∠= ，所以，直线AQ 和BQ 的斜率互为相反数．则()()121212AQ BQ 2222121212124y 24y 2y 2y 2y 2y 244k k 0y y x 1x 1y 4y 4y 2y 21144------+=+=+=+=+=----++--．所以，12y 2y 20+++=，因此，12y y 4(+=-定值)．本题考查直线与抛物线的综合，考查抛物线的定义，同时考查抛物线性质的应用，考查计算能力，属于中等题．21．已知数列{}n a 中，12a =且*122(2,)n n a a n n n N -=-+≥∈.（1）求2a ，3a ，并证明{}n a n -是等比数列；（2）设12n n n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .【正确答案】（1）24a =，37a =，证明见解析；（2）1242n n n S n -+=+-.（1）在已知的数列递推公式中分别取2,3n =，结合已知的首项即可求得23,a a 的值，再把递推式两边同时减n 即可证明{}n a n -是等比数列；（2）由{}n a n -是等比数列求出数列{}n a 的通项公式，代入12n n n a b -=，分组后利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）由已知()*1222,n n a a n n n N -=-+≥∈+24a =，37a =，1222n n a n a n --=-+，即()121n n a n a n -⎡⎤-=--⎣⎦，因为()()*122,1n n a n n n N a n --=≥∈--，所以{}n a n -是以2为公比的等比数列.（2）由（1）得()1112n n a n a --=-⋅，即12n n a n -=+，所以11122n n n n a n b --==+，设12n n n C -=，且前n 项和为n T ，所以01231123422222n n n T -=+++++ ，①123112322222n n n T =++++ ，②①－②得231111111222222-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ n n n n T ，11112212122212--+=+-=--n n nn n ，所以1242n n n T -+=-，1242n n n S n -+=+-.该题主要考查的是等比数列的定义，数列的递推公式，错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．已知定点()1,0M -，圆N ：()22116x y -+=，点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点M 与N 作平行直线1l 和2l ，分别交曲线C 于点A ，B 和点D ，E ，求四边形ABDE 面积的最大值．【正确答案】(1)22143x y +=(2)6【分析】（1）由椭圆的定义求解（2）设直线方程后与椭圆方程联立，由韦达定理表示弦长，将面积转化为函数后求求解【详解】（1）由题意可得42MP NP PQ NP MN +=+=>=，所以动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C 的方程为：22143x y +=；（2）由题意可设2l 的方程为1x ty =+，联立方程得()2222134690431x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩，设()11,D x y ，()22,E x y ，则由根与系数关系有122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩，所以DE =()2212134t t +=+，根据椭圆的对称性可得()2212134t DE AB t +==+，1l 与2l 的距离即为点M 到直线2l的距离，为d所以四边形ABDE 面积为24S =()1u u =≥得224241313u S u u u==++，由对勾函数性质可知：当且仅当1u =，即0=t 时，四边形ABDE 面积取得最大值为6．。

直线和圆的方程章末检测卷（二）说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。

3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。

第I 卷(选择题 共60分)一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．设a 为实数，若直线20x ay a ++=与直线10ax y a +++=平行，则a 值为（ ） A ．1-B ．1C ．±1D ．2【解析】由题意210a -=，1a =±，1a =时，212a a =+=，两直线重合，舍去，1a =-时，22a =-，10a +=，满足两直线平行．所以1a =-．故选：A ．2．已知过点()2,2P 的直线与圆()2215x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则=a （ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．2【解析】设过点(2,2)P 的直线的斜率为k ，则直线方程(22)y k x -=-，即220kx y k -+-=，=12k =-，由于直线220kx y k -+-=与直线10ax y -+=，因此112a -⨯=-，解得2a =，故选：D.3．若圆221:4C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则实数m 的值是（ ） A ．24-B ．16-C ．24D ．16【解析】圆221:4C x y +=的圆心为()0,0，半径为2；圆222:680C x y x y m +--+=的圆心为()3,4，半径为5=.由于两个圆外切，所以25=，解得16m =. 故选：D4．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，并且点A （4，0），点B （6，6），点C （0，2），则此梯形的高为（ ） ABCD【解析】根据题意，点A （4，0），点B （6，6）， 则直线AB 的斜率k 6064-==-3，则直线AB 的方程为y ﹣0＝3（x ﹣4），即3x ﹣y ﹣12＝0； 点C 到直线AB 的距离d =梯形ABCD 中，AB ∥CD ，则此梯形的高就是点C 到直线AB； 故选：C.5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为()2,0B -，若将军从山脚下的点1,03A ⎛⎫⎪⎝⎭处出发，河岸线所在直线方程为23x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）AB ．5 CD ．163【解析】如图所示，设点()2,0B -关于直线23x y +=的对称点为()11,C x y ，在直线23x y +=上取点P ，连接PC ，则PB PC =．由题意可得1111112222322y x x y ⎧⎛⎫⋅-=- ⎪⎪+⎪⎝⎭⎨-⎪+⨯=⎪⎩，解得1104x y =⎧⎨=⎩，即点()0,4C ，所以PA PB PA PC AC +=+≥==A ，P ，C 三点共线时等号成立，所以“将军饮马” 故选：A ．6．已知直线:10l x my m -+-=，则下叙述正确的是（ ） A ．直线l 的斜率可以等于0B ．原点到直线l 的距离的最大值为32C ．直线l 可以表示过点(1,1)的所有直线D ．若直线l 的横纵截距相等，则1m =±【解析】:10l x my m -+-=，当0m =时，:10l x -=是垂直于x 轴的直线，斜率不存在；当0m ≠时，变为点斜式： ()111y x m -=-，恒过定点A ()1,1，由于10m≠，所以直线l 的斜率不会等于0，故A 错误；且:10l x my m -+-=不能表示过点(1,1)的所有直线，C 错误；设原点为O ，因为直线恒过点A ，所以当直线:10l x my m -+-=与线段OA 垂直时，原点到直线l 的距离最大，此时的最大距离就是线段OA 的长，OA B 错误；直线化为截距式：当1m =时，:l y x =，此时横纵截距为0，横纵截距相等；当1m ≠时，:111x my l m m +=--，令11m m m--=，解得：1m =-，综上：若直线l 的横纵截距相等，则1m =±，D 正确. 故选：D7．已知点()()0,2,1,1A B ，且点P 在圆22:(2)4C x y -+=上，C 为圆心，则下列说法错误的是（ ）A ．PA PB + B ．当PAB ∠最大时，APB △的面积为2C ．PA PC -的最大值为D ．PA PB -【解析】如图，当P 为线段AB 与圆C 的交点时，即PA PB AB +==此时PA PB +A 正确；由题可知点B 在圆C 内，当AP 与圆C 相切时，PAB ∠最大，此时P 与O 重合，此时12112APB S =⨯⨯=△，故B 错误；因为点P 在圆22:(2)4C x y -+=上，C 为圆心，则2PC r ==，所以当PA 最大时，PA PC -也最大，当A ，C ，P 三点共线，且C 在A ，P 之间时，其最大值为||AC =C 正确；当P 为射线BC 与圆C 的交点时，PA PB -取得最大值||AB =D 正确． 故选：B.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22221,1(9)O x y C x y ++=+=：：，直线l 与圆O 相切，与圆C 相交于,A B 两点，分别以点,A B 为切点作圆C 的切线12l l ，．设直线12l l ，的交点为P ，则OP 的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．D ．72【解析】设点(),P m n ，()11,A x y ，()22,B x y ，()1,0C -，因为分别以点,A B 为切点作圆C 的切线12l l ，．设直线12l l ，的交点为P ， 所以CA AP ⊥，则0CA AP ⋅=，即1111(1)()()0x m x y n y +-+-=，所以22111110x x mx m y y n +--+-=，因为2211(1)9x y ++=，所以11(1)80m x ny m +++-=，即()11,x y 是方程(1)80m x ny m +++-=的解， 所以点()11,A x y 在直线(1)80m x ny m +++-=上， 同理可得()22,B x y 在直线(1)80m x ny m +++-=上， 所以切点弦AB 的方程为(1)80m x ny m +++-=， 因为直线AB 与圆O 相切，1=，解得263180n m =-≥，即72m ≤所以||OP所以当72m =时，直线AB 方程为1x =，此时min 7||2OP = 所以OP 的最小值为72.故选：D二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

第二章直线和圆的方程质量检测卷(时间:120分钟分值:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.过点A(3,-4),B(-2,m)的直线l的斜率为-2,则m的值为()A.6B.1C.2D.4解析:由题意知直线l的斜率为-2,则m+4=-2,解得m=6.-2-3答案:A2.过点(-1,2),且斜率为2的直线的方程是()A.2x-y+4=0B.2x+y=0C.2x-y+5=0D.x+2y-3=0解析:因为直线过点(-1,2),且斜率为2,所以该直线方程为y-2=2(x+1),即2x-y+4=0.答案:A3.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2解析:由题意,知圆的半径r=√12+12=√2,所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.答案:D4.过点(2,0)且与直线2x-4y-1=0平行的直线的方程是()A.x-2y-1=0B.2x+y-4=0C.x-2y-2=0D.x+2y-2=0解析:由题意,知直线2x-4y-1=0的斜率k=1,故所求直线的方程为2(x-2),化简得x-2y-2=0.y-0=12答案:C5.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为()A.√3B.2C.√6D.2√3解析:由题意,知过原点且倾斜角为60°的直线方程为y=√3x.因为圆的方程可化为x2+(y-2)2=4,所以半径r=2,圆心为(0,2),且(0,2)到直线y=√3x的距离d=1,所以弦长为2√22-12=2√3.答案:D6.当点P在圆x2+y2=1上运动时,连接点P与定点Q(3,0),线段PQ 的中点M的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=1B.(x -3)2+y 2=1C.(2x -3)2+4y 2=1D.(2x +3)2+4y 2=1解析:设动点P 的坐标为(x 0,y 0),PQ 的中点M 的坐标为(x ,y ), 可得{x =x 0+32,y =y 02,解得{x 0=2x -3,y 0=2y . 因为点P (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上, 所以(2x -3)2+(2y )2=1,即(2x -3)2+4y 2=1. 所以点M 的轨迹方程是(2x -3)2+4y 2=1. 答案:C7.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,直线3x +4y +4=0与圆C 相切,则圆C 的方程为 ( )A.x 2+y 2-2x -3=0B.x 2+y 2+4x =0C.x 2+y 2+2x -3=0D.x 2+y 2-4x =0解析:由题意设圆心坐标为C (a ,0)(a >0).因为圆C 与直线3x +4y +4=0相切,圆C 的半径为2,所以√9+16=2,解得a =2,所以圆心为C (2,0),所以圆C 的方程为(x -2)2+y 2=4,即x 2+y 2-4x =0. 答案:D8.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x 2+y 2≤1,若将军从点A (3,0)处出发,河岸线所在直线方程为x +y =4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为 ( )A.√17-1B.√17-√2C.√17D.3-√2解析:如图所示,设点A 关于直线x +y =4的对称点为A'(a ,b ),军营所在区域的圆心为O ,连接A'O.根据题意,|A'O |-1为最短距离. 所以线段AA'的中点为(a+32,b 2),直线AA'的斜率为1, 所以直线AA'的方程为y =x -3. 根据题意,得{a+32+b2=4,b =a -3,解得{a =4,b =1,所以点A'的坐标为(4,1),所以|A'O |=√42+12=√17, 所以|A'O |-1=√17-1,即“将军饮马”的最短总路程为√17-1.答案:A二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知A(-2,-4),B(1,5)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a 的值为()A.-3B.3C.-1D.1解析:因为A(-2,-4),B(1,5)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,所以√a2+1=√a2+1,即|2a+3|=|a+6|,解得a=3或a=-3.故选AB.答案:AB10.已知直线l1:x+ay-a=0和直线l2:ax-(2a-3)y-1=0,下列说法正确的是()A.直线l2始终过定点(23,1 3 )B.若l1∥l2,则a=1或a=-3C.若l1⊥l2,则a=0或a=2D.当a>0时,l1始终不过第三象限解析:直线l2:a(x-2y)+3y-1=0始终过定点(23,13),A项正确;当a=1时,l1,l2重合,B项错误;由1×a +a ×(3-2a )=0,得a =0或a =2,C 项正确;直线l 1的方程可化为y =-1a x +1,可知其始终过点(0,1).当a >0时,直线l 1的斜率为负,不会过第三象限,D 项正确.故选ACD . 答案:ACD11.过点P (2,4)引圆(x -1)2+(y -1)2=1的切线,则切线的方程为 ( ) A.x =-2 B.x =2 C.4x -3y +4=0 D.4x +3y -4=0解析:根据题意,知圆(x -1)2+(y -1)2=1的圆心为(1,1),半径r =1. 过点P (2,4)引圆(x -1)2+(y -1)2=1的切线,若切线的斜率不存在,此时切线的方程为x =2,符合题意;若切线的斜率存在,设此时切线的斜率为k ,则其方程为y -4=k (x -2),即kx -y -2k +4=0,所以√k 2+1=1,解得k =43,则切线的方程为4x -3y +4=0.综上所述,切线的方程为x =2或4x -3y +4=0. 故选BC . 答案:BC12.若圆O 1:x 2+y 2-2x =0和圆O 2:x 2+y 2+2x -4y =0的交点为A ,B ,则有( )A.公共弦AB 所在直线的方程为x -y =0B.线段AB 的垂直平分线的方程为x +y -1=0C.公共弦AB 的长为√22D.P 为圆O 1上一动点,则点P 到直线AB 的距离的最大值为√22+1 解析:已知圆O 1:x 2+y 2-2x =0和圆O 2:x 2+y 2+2x -4y =0的交点为A ,B ,两圆的方程相减可得圆O 1与圆O 2的公共弦AB 所在直线的方程为 x -y =0,故A 项正确;由题意,知O 1(1,0),O 2(-1,2),线段O 1O 2所在直线斜率为-1,线段O 1O 2的中点为(0,1),所以线段AB 的垂直平分线的方程为y -1=-x ,即x +y -1=0,故B 项正确;由题意,知圆O 1:x 2+y 2-2x =0的圆心为O 1(1,0),半径r 1=1,圆心O 1(1,0)到直线x -y =0的距离d =√2=√22,所以点P 到直线AB 的距离的最大值为√22+1,圆O 1与圆O 2的公共弦AB 的长为2√1-12=√2,故C 项错误,D 项正确.故选ABD . 答案:ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若直线l 1:ax +y +2a =0与直线l 2:x +ay +3=0互相平行,则实数a =±1.解析:由两直线平行的条件,得{a 2-1=0,3a -2a ≠0,解得a =±1.14.圆C :x 2+y 2-2x -4y +4=0的圆心到直线l :3x +4y +4=0的距离d =3. 解析:由题意,知圆心坐标为(1,2),所以圆心到直线l :3x +4y +4=0的距离d =√32+42=3.15.已知圆C 1:x 2+y 2=1和圆C 2:(x -4)2+(y -3)2=r 2(r >0)外切,则r 的值为4;若点A (x 0,y 0)在圆C 1上,则x 02+y 02-4x 0的最大值为5.(本题第一空2分,第二空3分)解析:由两个圆外切可得圆心距等于两个圆的半径之和, 所以√(4-0)2+(3-0)2=1+r ,解得r =4.因为点A (x 0,y 0)在圆C 1上,所以x 02+y 02=1,且x 0∈[-1,1], 所以x 02+y 02-4x 0=1-4x 0∈[-3,5], 所以x 02+y 02-4x 0的最大值为5.16.在△ABC 中,BC 边上的高所在直线的方程为x -2y +1=0,角A 的平分线所在直线的方程为y =0,顶点B 的坐标为(1,2),则△ABC 的面积为12.解析:由方程组{x -2y +1=0,y =0,求得点A 的坐标为(-1,0).因为边AB所在直线的斜率为k AB =1,且角A 的平分线所在直线的方程为y =0,所以边AC 所在直线的斜率为-1,其方程为y =-(x +1),即y =-x -1.因为BC 边上的高所在直线的方程为x -2y +1=0,所以边BC 所在直线的斜率为-2,所以边BC 所在直线的方程为y -2=-2(x -1),即y =-2x +4.联立方程,得{y =-2x +4,y =-x -1,解得{x =5,y =-6,即顶点C 的坐标为(5,-6),所以|BC |=4√5,点A 到直线BC 的距离d =√5=√5,所以△ABC 的面积为S =12|BC |·d =12×4√5×√5=12.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在△ABC 中,点A 的坐标为(0,1),AB 边上的高CD 所在直线的方程为x +2y -4=0,AC 边上的中线BE 所在直线的方程为2x +y -3=0.(1)求直线AB 的方程; (2)求直线BC 的方程.解:(1)由已知,得直线AB 的斜率为2, 所以AB 边所在直线的方程为y -1=2(x -0), 即2x -y +1=0.(2)由{2x -y +1=0,2x +y -3=0,得{x =12,y =2, 即点B 的坐标为(12,2).设点C 的坐标为(m ,n ),则由已知条件得{m +2n -4=0,2×m 2+n+12-3=0, 解得{m =2,n =1,所以点C 的坐标为(2,1).所以BC 边所在直线的方程为y -12-1=x -212-2,即2x +3y -7=0.18.(12分)已知直线l 1:mx +8y +n =0和直线l 2:2x +my -1=0,试分别确定满足下列条件的m ,n 的值.(1)l 1与l 2相交于点(m ,-1); (2)l 1∥l 2;(3)l 1⊥l 2,且l 1在y 轴上的截距为-1. 解:(1)因为l 1与l 2相交于点(m ,-1), 所以点(m ,-1)在l 1,l 2上.将点(m ,-1)代入l 2的方程,得2m -m -1=0,解得m =1. 所以交点的坐标为(1,-1).把点(1,-1)的坐标代入l 1的方程,得n =7. 所以m =1,n =7.(2)要使l 1∥l 2,则有{m 2-16=0,m ×(-1)-2n ≠0,解得{m =4,n ≠-2或{m =-4,n ≠2.(3)要使l 1⊥l 2,则有2m +8m =0,解得m =0. 将m =0代入直线l 1的方程,得y =-n8.因为l 1在y 轴上的截距为-1, 所以-n8=-1,解得n =8.所以m =0,n =8.19.(12分)已知直线l :y =kx +3(k >0)与x 轴、y 轴围成的三角形面积为94,圆M 的圆心在直线l 上,与x 轴相切,且在y 轴上截得的弦长为4√6.(1)求直线l 的方程(结果用一般式表示); (2)求圆M 的标准方程.解:(1)在直线方程y =kx +3(k >0)中,令x =0,得y =3;令y =0,得x =-3k . 所以12×3×|-3k |=94. 因为k >0,所以k =2.所以直线l 的方程为2x -y +3=0.(2)设圆M 的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0).由题意可知{2a -b +3=0,|b |=r ,(2√6)2+|a |2=r 2,解得{a =-5,b =-7,r =7或{a =1,b =5,r =5.故圆M 的标准方程为(x +5)2+(y +7)2=49 或(x -1)2+(y -5)2=25.20.(12分)一座圆拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m 后,水面宽多少米?解:以圆拱顶点为原点,以过圆拱顶点的竖直直线为y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设圆拱所在圆的圆心为C ,水面所在弦的端点为A ,B ,则由已知可得A (6,-2).设圆的半径为r ,则C (0,-r),即圆的方程为x 2+(y +r )2=r 2.将点A 的坐标代入可得r =10,所以圆的方程为x 2+(y +10)2=100.当水面下降1 m 后,可设A'(x 0,-3)(x 0>0)在圆上,代入x 2+(y +10)2=100,解得x 0=√51,即当水面下降1 m 后,水面宽为2x 0=2√51 m .21.(12分)在平面直角坐标系Oxy 中,曲线y =x 2-6x +1与坐标轴的交点都在圆C 上.(1)求圆C 的方程;(2)若圆C 与直线x -y +a =0交于A ,B 两点,且OA ⊥OB ,求a 的值. 解:(1)由题意,得曲线y =x 2-6x +1与y 轴的交点为(0,1),与x 轴的交点为(3+2√2,0), (3-2√2,0).故可设圆C 的圆心为(3,t ),则有32+(t -1)2=(2√2)2+t 2,解得t =1, 所以圆C 的半径为√32+(1-1)2=3,所以圆C 的方程为(x -3)2+(y -1)2=9.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则两点的坐标满足方程组{x -y +a =0,(x -3)2+(y -1)2=9.消去y 整理,得2x 2+(2a -8)x +a 2-2a +1=0.由已知可得,判别式Δ=56-16a -4a 2>0,且x 1+x 2=4-a ,x 1x 2=a 2-2a+12.①由于OA ⊥OB ,可得x 1x 2+y 1y 2=0.因为y 1=x 1+a ,y 2=x 2+a ,所以2x 1x 2+a (x 1+x 2)+a 2=0. ②由①②,得a =-1,经检验a =-1满足Δ>0,所以a =-1.22.(12分)已知圆M 与直线x =2相切,圆心M 在直线x +y =0上,且直线x -y -2=0被圆M 截得的弦长为2√2.(1)求圆M 的方程,并判断圆M 与圆N :x 2+y 2-6x +8y +15=0的位置关系.(2)若在x 轴上的截距为-1且不与坐标轴垂直的直线l 与圆M 交于A ,B 两点,在x 轴上是否存在定点Q , 使得k AQ +k BQ =0?若存在,求出Q 点坐标;若不存在,说明理由.解:(1)设圆M 的圆心为M (a ,-a ),半径为r ,则{r =|a -2|,√2=√r 2-(2√22)2,解得{a =0,r =2,即圆心坐标为(0,0),r =2, 所以圆M 的方程为x 2+y 2=4.由题意知,圆N 的圆心为(3,-4),半径R =√10,r +R =2+√10,R -r =√10-2.因为|MN |=5,√10-2<5<√10+2,所以圆M 与圆N 相交.(2)存在.方法一:设l :x =my -1(m ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{x =my -1,x 2+y 2=4,得(m 2+1)y 2-2my -3=0.由根与系数的关系,得{y 1+y 2=2mm 2+1,y 1y 2=-3m 2+1. 假设存在Q (t ,0)满足条件, 则k AQ =y 1x 1-t =y 1my 1-t -1,k BQ =y 2x 2-t =y 2my 2-t -1,由k AQ +k BQ =0,得y 1my 1-t -1+y 2my 2-t -1=0, 即y 1[my 2-(t+1)]+y 2[my 1-(t+1)](my 1-t -1)(my 2-t -1) =2my 1y 2-(t+1)(y 1+y 2)(my 1-t -1)(my 2-t -1) =-6m -2m (t+1)(m 2+1)(my 1-t -1)(my 2-t -1)=0, 即2m (t +4)=0且m ≠0,所以t =-4. 所以存在Q (-4,0)满足条件. 方法二:设l :y =k (x +1)(k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 由{y =k (x +1),x 2+y 2=4,得(k 2+1)x 2+2k 2x +k 2-4=0, 则{x 1+x 2=-2k 2k 2+1,x 1x 2=k 2-4k 2+1. 假设存在Q (t ,0)满足条件, 则k AQ +k BQ =y 1x 1-t +y 2x 2-t =k (x 1+1)x 1-t +k (x 2+1)x 2-t =k [(x 1+1)(x 2-t )+(x 2+1)(x 1-t )](x 1-t )(x 2-t ) =k [2x 1x 2-t (x 1+x 2)-2t+x 1+x 2](x 1-t )(x 2-t ) =k [2k 2-8+2k 2t -2k 2t -2t -2k 2](k 2+1)(x 1-t )(x 2-t )=k(-8-2t)=0,(k2+1)(x1-t)(x2-t)解得t=-4.所以存在Q(-4,0)满足条件.。

期末检测试卷(B)C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．设f (x )为偶函数，且x ∈(0,1)时，f (x )＝－x ＋2，则下列说法正确的是( )A ．f (0.5)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6B ．f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π6>f (sin 0.5)C ．f (sin 1)<f (cos 1)D ．f (sin 2)>f (cos 2)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下面各式中，正确的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋32cos π4B ．cos 5π12＝22sin π3－cos π4cos π3C ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝cos π4cos π3＋64D ．cos π12＝cos π3－cos π4 10．函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，那么( ) A ．f (x )在(1，＋∞)上递增且无最大值 B ．f (x )在(1，＋∞)上递减且无最小值 C ．f (x )在定义域内是偶函数 D ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称 11．下面选项正确的有( ) A ．存在实数x ，使sin x ＋cos x ＝π3B ．α，β是锐角△ABC 的内角，是sin α>cos β的充分不必要条件C ．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －7π2是偶函数D ．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象12．若函数f (x )＝a x－a －x(a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象不可以是( )三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若扇形的面积为3π8、半径为1，则扇形的圆心角为________．14．设x >0，y >0，x ＋y ＝4，则1x ＋4y的最小值为________．15．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝3x －1(－3<x ≤0)，f (x )＝f (x ＋3)，则f (2 019)＝________.16．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥0－x 2－2x ＋1，x <0，函数f (x )有________个零点，若函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值X 围是________．(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)设函数f (x )＝6＋x ＋ln(2－x )的定义域为A ，集合B ＝{x |2x＞1}． (1)求A ∪B ；(2)若集合{x |a ＜x ＜a ＋1}是A ∩B 的子集，求a 的取值X 围．18.(12分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝15，cos (α＋β)＝－13，其中0<α<π2，0<β<π2. (1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．19．(12分)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ≤0，log 2x ＋1，x >0.(1)作出函数f (x )的图象，并写出单调区间；(2)若函数y ＝f (x )－m 有两个零点，某某数m 的取值X 围．期末检测试卷(B)1．解析：因为A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2xx －2>1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋2x －2>0＝{x |x <－2或x >2}，B ＝{x |1<2x <8}＝{x |0<x <3}，因此A ∩B ＝{x |2<x <3}．故选A.答案：A2．解析：要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋1≠0，解得x ≥－3，且x ≠－1，∴f (x )的定义域为{x |x ≥－3，且x ≠－1}． 答案：A3．解析：sin 140°cos 10°＋cos 40°sin 350° ＝sin 40°cos 10°－cos 40°sin 10° ＝sin (40°－10°)＝sin 30°＝12.答案：C4．解析：∵f (2)＝log 32－1<0，f (3)＝log 33＋27－9＝19>0，∴f (2)·f (3)<0，∴函数在区间(2,3)上存在零点． 答案：C5．解析：若命题p 是假命题，则“不存在x 0∈R ，使得x 20＋2ax 0＋a ＋2≤0”成立， 即“∀x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋a ＋2>0”成立，所以Δ＝(2a )2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2)＝4(a ＋1)(a －2)<0，解得－1<a <2， 所以实数a 的取值X 围是(－1,2)，故选B. 答案：B6．解析：x ＝ln π>ln e＝1，y ＝log 52<log 55＝12，z ＝1e >14＝12，且z <1，故y <z <x . 答案：C7．解析：因为函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象，所以g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3， 因为g (x )为偶函数，所以φ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋k π(k ∈Z )，因为φ＝π6可以推导出函数g (x )为偶函数，而函数g (x )为偶函数不能推导出φ＝π6，所以“φ＝π6”是“g (x )为偶函数”的充分不必要条件．答案：A8．解析：x ∈(0,1)时，f (x )＝－x ＋2，则f (x )在(0,1)上单调递减，A ：0.5<π6，所以f (0.5)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，A 错误；B ：0.5<π6，∴0<sin 0.5<sin π6<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6<f (sin 0.5)，B 错误；C ：∵0<cos 1<sin 1<1，∴f (sin 1)<f (cos 1)，C 正确；D ：－1<cos2<0，f (cos 2)＝f (－cos 2)，sin 2－(－cos 2)＝sin 2＋cos 2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2＋π4>0，所以1>sin2>(－cos 2)>0，所以f (sin 2)<f (－cos 2)＝f (cos 2)，D 错误．故选C.答案：C9．解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝sin π4cos π3＋32cos π4，∴A 正确；∵cos 5π12＝－cos 7π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝22sin π3－cos π4cos π3，∴B 正确；∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π3＝cos π4cos π3＋64，∴C 正确；∵cos π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4≠cos π3－cos π4，∴D 不正确．故选ABC.答案：ABC10．解析：由|x －1|>0得，函数y ＝log a |x －1|的定义域为{x |x ≠1}．设g (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >1－x ＋1，x <1，则g (x )在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，且g (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，D 正确；因为f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，所以a >1，所以f (x )＝log a |x －1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A 正确，B 错误； 又f (－x )＝log a |－x －1|＝log a |x ＋1|≠f (x )，所以C 错误．故选AD. 答案：AD11．解析：A 选项：sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则sin x ＋cos x ∈[－2， 2 ]．又－2<π3<2，∴存在x ，使得sin x ＋cos x ＝π3，可知A 正确； B 选项：∵△ABC 为锐角三角形，∴α＋β>π2，即α>π2－β∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增∴sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β，可知B 正确；C 选项：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －7π2＝cos 2x 3，则cos2－x 3＝cos 2x 3，则y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －7π2为偶函数，可知C 正确；D 选项：y ＝sin 2x 向右平移π4个单位得：y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x ，可知D 错误．本题正确选项ABC.答案：ABC12．解析：函数y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 由函数f (x )＝a x－a －x(a >0且a ≠1)在R 上为减函数， 得0<a <1.当x >1时，函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以通过函数y ＝log a x 的图象向右平移1个单位得到，结合各选项可知只有D 选项符合题意．故选ABC.答案：ABC13．解析：设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为3π8，半径为1，∴3π8＝12·α·12，∴α＝3π4. 答案：3π414．解析：∵x ＋y ＝4，∴1x ＋4y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ，又x >0，y >0，则y x＋4xy≥2y x ·4x y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝43，y ＝83时取等号， 则1x ＋4y ≥14×(5＋4)＝94. 答案：9415．解析：∵f (x )＝f (x ＋3)， ∴y ＝f (x )表示周期为3的函数， ∴f (2 019)＝f (0)＝3－1＝13.答案：1316．解析：作出函数f (x )的图象如下图所示，由图象可知，函数f (x )有且仅有一个零点，要使函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则需函数y ＝f (x )与函数y ＝m 的图象有且仅有三个交点，则1＜m ＜2.答案：1 (1,2)17．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧6＋x ≥02－x >0得，－6≤x ＜2；由2x＞1得，x ＞0；∴A ＝[－6,2)，B ＝(0，＋∞)；∴A ∪B ＝[－6，＋∞)； (2)A ∩B ＝(0,2)；∵集合{x |a ＜x ＜a ＋1}是A ∩B 的子集； ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0a ＋1≤2；解得0≤a ≤1；∴a 的取值X 围是[0,1]．18．解析：(1)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝22(sin β－cos β)＝15，所以sin β－cos β＝25， 所以(sin β－cos β)2＝sin 2β＋cos 2β－2sin βcos β＝1－sin 2β＝225，所以sin 2β＝2325.(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝15，cos(α＋β)＝－13， 其中0<α<π2，0<β<π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝265，sin(α＋β)＝223， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×265＋223×15＝22－615.19．解析：(1)画出函数f (x )的图象，如图所示：由图象得f (x )在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增． (2)若函数y ＝f (x )－m 有两个零点， 则f (x )和y ＝m 有2个交点，结合图象得1<m ≤2. 20．解析：(1)f (x )＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值1；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－12.21．解析：(1)由题意可得处理污染项目投放资金为(100－x )百万元， 所以N (x )＝0.2(100－x )，所以y ＝50x10＋x ＋0.2(100－x )，x ∈[0,100]．(2)由(1)可得，y ＝50x 10＋x ＋0.2(100－x )＝70－⎝ ⎛⎭⎪⎫50010＋x ＋x 5＝72－⎝⎛⎭⎪⎫50010＋x ＋10＋x 5≤72－20＝52，当且仅当50010＋x ＝10＋x5，即x ＝40时等号成立．此时100－x ＝100－40＝60.∴y 的最大值为52百万元，分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为40百万元，60百万元．22．解析：(1)若y ＝f k (x )是偶函数，则f k (－x )＝f k (x )，即2－x＋(k －1)·2x ＝2x＋(k －1)·2－x即2－x －2x ＝(k －1)·2－x －(k －1)·2x ＝(k －1)(2－x －2x)，则k －1＝1，即k ＝2； (2)∵f 0(x )＋mf 1(x )≤4，即2x －2－x ＋m ·2x ≤4，即m 2x ≤4－2x ＋2－x， 则m ≤4－2x＋2－x2x＝4·2－x ＋(2－x )2－1，设t ＝2－x， ∵1≤x ≤2，∴14≤t ≤12.word- 11 - / 11 设4·2－x ＋(2－x )2－1＝t 2＋4t －1，则y ＝t 2＋4t －1＝(t ＋2)2－5， 则函数y ＝t 2＋4t －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上为增函数， ∴当t ＝12时，函数取得最大值y max ＝14＋2－1＝54，∴m ≤54. 因此，实数m 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54； (3)f 0(x )＝2x －2－x ，f 2(x )＝2x ＋2－x ，则f 2(2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x －2－x )2＋2， 则g (x )＝λf 0(x )－f 2(2x )＋4＝λ(2x －2－x )－(2x －2－x )2＋2，设t ＝2x －2－x ，当x ≥1时，函数t ＝2x －2－x 为增函数，则t ≥2－12＝32， 若y ＝g (x )在[1，＋∞)有零点，即g (x )＝λ(2x －2－x )－(2x －2－x )2＋2＝λt －t 2＋2＝0在t ≥32上有解，即λt ＝t 2－2，即λ＝t －2t， ∵函数y ＝t －2t 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增，则y min ＝32－2×23＝16，即y ≥16.∴λ≥16，因此，实数λ的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，＋∞.。

2011—2012学年度上学期单元测试高二数学试题（3）【人教版】命题范围： 选修1-1第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）在下列各小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选项前的字母填入下表相应的空格内． 1．对抛物线24y x =，下列描述正确的是 （ ）A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为1(0,)16 C ．开口向右，焦点为(1,0) D ．开口向右，焦点为1(0,)162．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么A ⌝是B ⌝的 （ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．抛物线y x 22=的准线方程是 （ ）A ．81=y B ．21=y C ．81-=y D ．21-=y 4．有下列4个命题：①“菱形的对角线相等”； ②“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；③“面积相等的三角形全等”的否命题；④“若a b >，则22a b >”的逆否命题。

其中是真命题的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．如果p 是q 的充分不必要条件，r 是q 的必要不充分条件；那么 （ ）A ．p r ⌝⌝⇒B ．p r ⌝⌝⇐C ．p r ⌝⌝⇔D ．p r ⇔6．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为 （ ） A ．（0，+∞） B ．（0，2） C ．（1，+∞） D ．（0，1） 7．已知命题p :c b a ,,成等比数列，命题q ：2b ac =，那么p 是q 的 （ ） A ．必要不充分条件 B ．充要条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件8．下列说法中正确的是 （ ） A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真9．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（ ）A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+10．已知圆的方程422=+y x，若抛物线过定点(0,1),(0,1)A B -且以该圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是 （ ）A ．)0(14322≠=+y y xB ．)0(13422≠=+y y xC ．)0(14322≠=+x y xD ．)0(13422≠=+x y x11．函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 （ ）A ．)2,(-∞B ．（0,3）C ．（1,4）D ．),2(+∞ 12．已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为 （ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-2第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）请将答案直接添在题中的横线上． 13．曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为 _____ ___ ． 14．命题“2,x x R x >∈∃+”的否定是 ．15．以)0,1(-为中点的抛物线x y 82-=的弦所在直线方程为： ．16．若14122222=--+my m x 表示双曲线方程，则该双曲线的离心率的最大值是 ．三、解答题：（共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

珠海市2013～2014学年度第一学期期末普通高中学生学业质量监测高二文科数学试题（B 卷）参考答案与评分标准时量：120分钟 分值：150分 内容：必修5，选修1-1一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知等差数列{}n a 中，34-=n a n ，则首项1a 和公差d 的值分别为 C A ．１ ，３ B ．－３， ４ C ．１， ４ D ．１， ２ 知识点：必修5的第二章等差数列的定义2．命题“若M a ∈，则M b ∉”的逆否命题是A ．若M a ∉，则M b ∉B ．若M b ∉，则M a ∈C ．若M a ∉，则M b ∈D ．若M b ∈，则M a ∉3． 函数1y x x=+的导数是AA ．211x -B ．11x -C ．211x +D ．11x+知识点：选修1—1的第三章求导公式4．椭圆1222=+y mx )0(>m 的焦点在x 轴上,离心率23=e ,则m 的值为 AA. 2B.21 C. 41D.4 知识点：选修1—1的椭圆的方程及性质5．在ABC ∆中，若cos c B a ⋅==，则ABC ∆是C A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形知识点：必修5的第一章的用正余弦定理判断三角形的形状 6．设,0<<b a 则下列不等式中不．成立的是 B A ．b a 11> B ． ab a 11>- C ． b a -> D ． b a ->- 知识点：必修5的第三章章的不等关系与不等式7．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为CA.x y 2±=B.x y 2±=C.x y 22±= D.x y 21±=知识点：选修1—1第二章的双曲线的性质8．在{}n a 为等比数列中，0n a >，224355216a a a a a ++=，那么35a a +=D A. ±4 B. 2 C. ±2 D. 4 知识点：必修5的第二章等差中项与等比中项的定义及基本运算 9． 函数ln y x x =-的极值情况是A A ．有极大值，没有极小值 B ．有极小值，没有极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也极小值知识点：选修1—1的导数在研究函数中的应用10．如果命题“p 或q ”为真命题，则 C A ．p ，q 均为真命题 B ．p ，q 均为假命题C ．¬p ，¬q 中至少有一个为假命题D ．¬p ，¬q 中至多有一个为假命题知识点：选修1—1的第一章的简单逻辑连词11． 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”.如(1101)2表示二进制的数， 将它转换成十进制的形式是32101212021213⨯+⨯+⨯+⨯=，那么将二进制数(11111111)2转换成十进制的形式是B A. 922- B. 821- C. 822- D. 721- 知识点：必修五第二章的数列应用知识12．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如右图，则导函数'()f x 的图象可能是 C知识点：选修1—1第三章的导数在研究函数中的应用二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,请将正确答案填空在答题卡上）13．命题p ：“2,10∃∈+<x R x ”的否定是 ．2,10x R x ∀∈+≥知识点：选修1—1的第一章的特称命题的否定14．曲线31y x =-在点(1,0)处的切线方程为 ．（化成“直线的一般式方程”）330x y --=知识点：选修1—1第三章的导数的几何意义，并结合直线方程 15．若x 、y ∈R +,20=+y x ,则xy 的最大值为 ．100 知识点：必修五第三章的基本不等式16．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a -=-+，则角A =_________．3π知识点：必修五第一章的解三角形的余弦定理17．实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤--≥+-1012012y x y x y x ，则目标函数y x z -=取得最大值时的最优解为 ．（1，0）知识点：必修五第三章的二元一次不等式组与简单的线性规划 18．5．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，如果126x x +=，则AB = ．8知识点：选修1—1第二章的抛物线的定义，并结合点到直线的距离 19.求和：111112123123n++++=+++++++20．下列说法：① 函数sin(2)3y x π=+的最小正周期是π；② “在ABC ∆中，若sin sin A B >，则A B >”的逆命题是真命题；③ “1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=和320x my ++=垂直”的充要条件； 其中正确的说法是 （只填序号）.①②. 三、解答题：（本大题共 5小题，每小题10分，共 50分。

珠海市2012～2013学年度第一学期期末学生学业质量监测高二文科数学试题（A 卷）与参考答案时量：120分钟 分值：150分． 内容：数学选修1-1和数学必修3．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（逻辑）“3πα=”是“21cos =α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．（逻辑）已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则（ ） A ．1sin ,:≥∈∃⌝x R x p B ．1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC ．1sin ,:>∈∃⌝x R x pD ．1sin ,:>∈∀⌝x R x p3．（圆锥曲线）若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于（ ）A ．21B ．2 CD ．24．（圆锥曲线）抛物线24x y =的焦点坐标为 （ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1) 5．（导数）下列求导运算正确的是A .2'11)1(xx x +=+C .x x sin )(cos '= D.2')(x e xe x e xx x +=6．（导数）函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极大值点（ ）A ．个B ．2个C ．3个D ．4个7．（导数）已知函数)3()(2+=x x x f ，则A ．0=x 是)(x f 的极大值点B ． 0=x 是)(x f 的极小值点（第6题）C ．23-=x 是)(x f 的极小值点 D ． 2-=x 是)(x f 的极小值点 8．（算法）下图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．i ＞10？B ．i <10？C ．i ＞20？D ．i <20？ 9．（算法）下列程序的输出结果是（ ） A ．2，2 B ．3，2 C ．2，3 D ．3，310．（统计）下图是2012年举行的全国少数民族运动会上，七位评委 为某民族舞蹈打出的分的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低 分后，所剩数据的平均数和中位数分别为（ ）A ．85，84B ．85，84.5C ．85，85D ．85，85.5 11．（概率）抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，则与A 的互斥的事件为（ ）A ．恰有两件次品B ．恰有一件次品C ．.恰有两件正品D ．至少两件正品 12．（统计）如某校高中三年级的300名学生已经编号为0，1，……，299，为了了解学生的学习情况，要抽取一个样本数为60的样本，用系统抽样的方法进行抽取，若第59段所抽到的编号为293，则第1段抽到的编号为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,请将正确答案填空在答题卡上） 13．（统计）一支田径运动队有男运动员48人，女运动员36人. 现用分层抽样的方法抽取一个容量为35的样本，则抽取的女运动员有 人．1514．（概率）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，它们的点数之和为4的概率为 .1/1215．（导数）曲线32+=x y 在点(1,4)处的切线方程为 22+=x y16．（圆）以点（2，-1）为圆心，以3为半径的圆的标准方程是_____________________．9)1()2(22=++-y x17．（算法）二进制数化为十进制数：=)2(10111____________(10)．2318．（圆锥曲线）设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲(第8题)a=2b=3t=aa=b b=t PRINT a ，b（第9题） （第10题）线的渐近线方程为________．x y 22±= 19．（统计）为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区5月份至7月份使用疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三个月本地区平均每月注射了疫苗的鸡的数量为 万只．9020．（导数）函数)0(3>+=x xx y 的极小值是 ．32三、解答题（本大题共5小题，每题10分，共50分.请将详细解答过程写在答题卡上） 21．（逻辑估级3）设：P: 指数函数x a y =在x ∈R 内单调递减；Q ：曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴交于不同的两点。

学期综合测评(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若函数f (x )的导数为－2x 2＋1，则f (x )可以等于( ) A ．－2x 3＋1 B ．x ＋1 C ．－4x D ．－23x 3＋x答案 D解析 选项A 中函数的导数为f ′(x )＝－6x 2；选项B 中函数的导数为f ′(x )＝1；选项C 中函数的导数为f ′(x )＝－4；选项D 中函数的导数为f ′(x )＝－2x 2＋1.故选D.2．给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题； ②“若lg x 2＝0，则x ＝－1”的逆命题；③“若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |”的逆否命题． 其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 对于①，否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x |＝| y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.3．若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }，则P 是綈Q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }， ∴綈Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }， ∴P ⇒綈Q ，但綈Q ⇒/P ，∴P 是綈Q 的充分不必要条件，选A.4．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 因为全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定綈p 是特称命题：∃x 0∈M ，綈p (x 0)，所以綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，故选C.5．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0，命题q ：∀x ∈R ，sin x <x ，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题 答案 C解析 对于命题p ：取x ＝10，则有10－2>lg 10， 即8>1，故命题p 为真命题； 对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1， 此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题， 命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题， 故选C.6．我们把离心率之差的绝对值小于12的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线C ：x 24－y 212＝1，则下列双曲线中与C 是“相近双曲线”的为( ) A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1C ．y 2－2x 2＝1 D.y 29－x 272＝1 答案 B解析 双曲线C 的离心率为2，对于A ，其离心率为2，不符合题意；对于B ，其离心率为3，符合题意；对于C ，其离心率为62，不符合题意；对于D ，其离心率为3，不符合题意．故选B.7．从双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T .延长F 1T交双曲线右支于P 点，若M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |与b －a 的大小关系为( )A ．|MO |－|MT |>b －aB ．|MO |－|MT |＝b －aC ．|MO |－|MT |<b －aD ．不确定 答案 B解析 ∵F 1T 是圆的切线， ∴OT ⊥TF 1，∵|OF 1|＝c ，|OT |＝a ，∴|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝c 2－a 2＝b . 设接双曲线的右焦点为F 2， 连接PF 2，则|OM |＝12|PF 2|，又∵|F 1M |＝|MP |，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴12|PF 1|－12|PF 2|＝a ， ∴|PM |－|OM |＝a ， ∴b ＋|TM |－|OM |＝a ， ∴|OM |－|TM |＝b －a ，故选B.8．函数y ＝x 2e x的单调递减区间是( ) A ．(－1,2)B ．(－∞，－1)与(1，＋∞)C ．(－∞，－2)与(0，＋∞)D ．(－2,0) 答案 D解析 y ′＝(x 2e x )′＝2x e x ＋x 2e x ＝x e x (x ＋2)．∵e x >0，∴x e x(x ＋2)<0，即－2<x <0，故函数y ＝x 2e x的单调递减区间是(－2,0)．故选D.9．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )答案 C解析 因为f (x )在x ＝－2处取得极小值，所以在x ＝－2附近的左侧f ′(x )<0，当x <－2时，xf ′(x )>0；在x ＝－2附近的右侧f ′(x )>0，当－2<x <0时，xf ′(x )<0，故选C.10．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )A ．1∶2B ．1∶πC ．2∶1D ．2∶π答案 C解析 设圆柱的高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 2π2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)．当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4,4∶2＝2∶1，故选C.11．如图，F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 A解析 延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A ，在等腰三角形APF 1中，|PF 1|＝|AP |，从而|AF 2|＝|AP |＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝12|AF 2|＝a .12．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32答案 B解析 ∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)．设A (x 0，y 0)，如右图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)．∵|AK |＝2|AF |， 又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， ∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2， 即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题“∃x ∈{正实数}，使x <x ”的否定为________，是________(填“真”或“假”)命题．答案 ∀x ∈{正实数}，使x ≥x 假解析 原命题的否定为“∀x ∈{正实数}，使x ≥x ”，是假命题．14．如图，椭圆的中心在坐标原点，当FB →⊥A B →时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e ＝________.答案5－12解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎨⎧|AB |2＝a 2＋b 2，|BF |＝b 2＋c 2＝a ，|AF |＝a ＋c ，∵B F →⊥B A →，∴|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，∴(a ＋c )2＝a 2＋b 2＋a 2， ∴c 2＋ac －a 2＝0.∴e 2＋e －1＝0，又0<e <1， ∴e ＝5－12. 15．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于________．答案 1解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1. 当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a.又a >12，∴0<1a<2.当f ′(x )>0时，x <1a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上递增；当f ′(x )<0时，x >1a，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a ·1a＝－1，∴ln 1a＝0，得a ＝1.16．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 等于________．答案223解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.∴x 1＋x 2＝42－k2k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2， 又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2，代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4， ∴42－k2k 2＝5，∴k 2＝89，经检验Δ>0，又∵k >0，∴k ＝223.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，集合B ＝{y |y ＝x 2－2x ＋a }，集合C ＝{x |x 2－ax －4≤0}，命题p ：A ∩B ＝∅，命题q ：A ⊆C .(1)若命题p 为假命题，某某数a 的取值X 围； (2)若命题p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围． 解 ∵y ＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1≥a －1，∴B ＝{y |y ≥a －1}，A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，C ＝{x |x 2－ax －4≤0}． (1)由命题p 是假命题，可得A ∩B ≠∅，即得a －1≤2，∴a ≤3.(2)∵“p ∧q 为假命题”，则其反面为“p ∧q 为真命题”， ∴p ，q 都为真命题，即A ∩B ＝∅且A ⊆C ，∴有⎩⎪⎨⎪⎧a －1>2，1－a －4≤0，4－2a －4≤0，解得a >3.∴实数a 的取值X 围为a ≤3.18．(本小题满分12分)已知命题p ：∃x 0∈[－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，命题q ：∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，若命题p∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围．解 因为∃x 0∈ [－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，所以只需(x 20＋x 0－a ＋1)max ＞0，即3－a ＞0，所以命题p 真时，a ＜3.因为∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，所以t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＋1＞1，t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＞0，即(t －a )[t －(a ＋2)]＞0，对t ∈(0,1)恒成立，只需a ＋2≤0或a ≥1，得a ≤－2或a ≥1， 所以命题q 为真时，a ≤－2或a ≥1.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p ，q 两个命题一真一假． 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜3，－2＜a ＜1，所以－2＜a ＜1.若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ≤－2或a ≥1，所以a ≥3.综上所述：a 的取值X 围是(－2,1)∪[3，＋∞)． 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k <0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M . 解 f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1. (1)当k ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋23>0， ∴f (x )在R 上单调递增．(2)当k <0时，f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，其开口向上，对称轴x ＝k3，且过点(0,1)．①当Δ＝4k 2－12＝4(k ＋3)(k －3)≤0， 即－3≤k <0时，f ′(x )≥0，f (x )在[k ，－k ]上单调递增．∴m ＝f (x )min ＝f (k )＝k ，M ＝f (x )max ＝f (－k )＝－2k 3－k .②当Δ＝4k 2－12>0，即k <－3时，令f ′(x )＝0 得x 1＝k ＋k 2－33，x 2＝k －k 2－33，且k <x 2<x 1<0.∴m ＝min{f (k )，f (x 1)}，M ＝max{f (－k )，f (x 2)}．又f (x 1)－f (k )＝x 31－kx 21＋x 1－k ＝(x 1－k )(x 21＋1)>0， ∴m ＝f (k )＝k ，又f (x 2)－f (－k )＝x 32－kx 22＋x 2－(－k 3－k ·k 2－k )＝(x 2＋k )[(x 2－k )2＋k 2＋1]<0， ∴M ＝f (－k )＝－2k 3－k .综上，当k <0时，f (x )的最小值m ＝k ， 最大值M ＝－2k 3－k .20．(本小题满分12分)设椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心及C 2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表：(1)求曲线C 1，C 2(2)设直线l 过抛物线C 2的焦点F ，l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，当OM →·ON →＝0时，求直线l 的方程．解 (1)由题意，可知点(－2,0)是椭圆的左顶点，再根据椭圆上点的横、纵坐标的取值X 围，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22在椭圆上． 设椭圆C 1的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由此可得a ＝2，24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.由点(3，－23)，(4，－4)在抛物线C 2上，知抛物线开口向右． 设其方程为y 2＝2px (p >0)，∴12＝6p ，∴p ＝2， ∴抛物线C 2的标准方程为y 2＝4x .(2)由(1)，知F (1,0)．当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y 2＝1，得l 与椭圆C 1的两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，∴OM →·ON →＝14≠0，∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(1＋4k 2)(4k 2－4)＝48k 2＋16>0，x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.∵OM →·ON →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k (x 1－1)·k (x 2－1)＝(1＋k 2)·x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(1＋k 2)·4k 2－41＋4k 2－k 2·8k 21＋4k2＋k 2＝0，解得k ＝±2，∴直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值X 围．解 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝0，即ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0.(*)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9a －1a －9≤0，得1≤a ≤9，即a 的取值X 围是[1,9]．22．(本小题满分12分)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径． 解 (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5， 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆C 的方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 22＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.word - 11 - / 11。

最新人教A版高中数学必修二全册同步课时跟踪练习棱柱、棱锥、棱台的结构特征圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征中心投影与平行投影及空间几何体的三视图空间几何体的直观图柱体、锥体、台体的表面积与体积球的体积和表面积平面空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系直线与平面、平面与平面平行的判定直线与平面、平面与平面平行的性质直线与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质倾斜角与斜率两条直线平行与垂直的判定直线的点斜式方程直线的两点式方程直线的一般式方程两条直线的交点坐标、两点间的距离点到直线的距离、两条平行线间的距离圆的标准方程圆的一般方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用空间直角坐标系棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、题组对点训练对点练一棱柱的结构特征1．下面没有体对角线的一种几何体是()A．三棱柱B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱解析：选A三棱柱只有面对角线，没有体对角线．2．关于如图所示的4个几何体，说法正确的是()A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱 D.只有①②④是棱柱解析：选D解决这类问题，要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义，正确；图③不满足侧面都是平行四边形，不正确．3．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________．解析：由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱．答案：四棱柱对点练二棱锥、棱台的结构特征4．三棱锥的四个面中可以作为底面的有()A．1个B．2个C．3个 D.4个解析：选D三棱锥的每一个面均可作为底面，应选D.5．下面说法中，正确的是()A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形解析：选B由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．6．下列四个几何体为棱台的是()解析：选C棱台的底面为多边形，各个侧面为梯形，侧棱延长后又交于一点，只有C 项满足这些要求．对点练三多面体的表面展开图7．下列图形中，不是三棱柱展开图的是()解析：选C本题考查三棱柱展开图的形状．显然C无法将其折成三棱柱，故选C.8．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()A．①③B．②④C．③④ D.①②解析：选C可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．9．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：①点H与点C重合；②点D，M，R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合．其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．解析：将正方体的六个面分别用“前”“后”“左”“右”“上”“下”标记，若记面NPGF为“下”，面PSRN为“后”，则面PQHG，MNFE，EFCB，DEBA分别为“右”“左”“前”“上”．按各面的标记折成正方体，则点D，M，R重合；点G，C重合；点B，H重合；点A，S，Q重合．故②④正确，①③错误．答案：②④二、综合过关训练1．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：选D A、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱．2．以下有三个结论：①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；③侧面都是矩形的棱柱是长方体．正确的个数是()A．0 B．1C．2 D.3解析：选A由棱柱、棱锥定义知①②错；侧面都是矩形的棱柱可能是斜棱柱，故③错．3．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()解析：选A两个☆不能并列相邻，B、D错误；两个※不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定．4．下列说法正确的是()A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形解析：选D选项A错误，反例如图1；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．5．若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是________棱台．解析：由棱台的概念可知，棱台的上下底面为相似多边形，边数相同；侧面为梯形，侧面个数与底面多边形边数相同，可知该棱台为七棱台．答案：七6．如图所示平面图形沿虚线折起后，(1)为________，(2)为________，(3)为________．解析：结合棱柱、棱锥的概念可知，(1)是四棱柱，(2)是三棱锥，(3)是四棱锥．答案：四棱柱三棱锥四棱锥7．观察下列四张图片，结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征．解：(1)是上海世博会中国馆，其主体结构是四棱台．(2)是法国卢浮宫，其主体结构是四棱锥．(3)是国家游泳中心“水立方”，其主体结构是四棱柱．(4)是美国五角大楼，其主体结构是五棱柱．8．如图在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两夹角都是30°，在一条棱上取A、B两点，OA＝4 cm，OB＝3 cm，以A、B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)，求此绳在A、B两点间的最短绳长．解：作出三棱锥的侧面展开图，如图A、B两点间最短绳长就是线段AB的长度．在△AOB中，∠AOB＝30°×3＝90°，OA＝4 cm，OB＝3 cm，所以AB＝OA2＋OB2＝5 cm.所以此绳在A、B两点间的最短绳长为5 cm.圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征一、题组对点训练对点练一旋转体的结构特征1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①C．③和④ D.①和④解析：选D根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．2．下面几何体的轴截面(过旋转轴的截面)是圆面的是()A．圆柱B．圆锥C．球 D.圆台解析：选C圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，只有球的轴截面是圆面．3．有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点间的连线；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆．其中正确说法的序号是________．解析：利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必过球心；③不正确，因为得到的是一个圆面．答案：①对点练二简单组合体4．下列几何体是简单组合体的是()解析：选D A选项中的几何体是圆锥，B选项中的几何体是圆柱，C选项中的几何体是球，D选项中的几何体是一个圆台中挖去一个圆锥，是简单组合体．5．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是()A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析：选D如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．6．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解：分割图形，使它的每一部分都是简单几何体．图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．对点练三有关几何体的计算7．用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为()A．8 B.8π C.4π D.2π解析：选B由题意可知，假设围成的圆柱底面周长为4，高为2，设圆柱底面圆的半径为r，则2πr＝4，所以r＝2π，所以截面是长为2，宽为4π的矩形，所以截面面积为2×4π＝8π.同理，当围成的圆柱底面周长为2，高为4时，截面面积为8π.8．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.解析：h＝20 cos 30°＝103(cm)．答案：10 3二、综合过关训练1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：选B圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.2．下列说法中正确的个数是()①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．A．0 B．1 C．2 D.3解析：选C①中，必须用一个平行于底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．3.若圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是()解析：选D结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A、B、C错误．4．两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9 π和16 π，则这两个平面间的距离是()A．1B．7C．3或4 D.1或7解析：选D如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，则CD＝52－32－52－42＝1.如图(2)所示，若两个平行截面在球心两侧，则CD＝52－32＋52－42＝7.5．给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体，其中说法正确的是________．解析：①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长一定相交于一点；④不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．答案：①②6．已知圆锥的底面半径为1 cm，高为 2 cm，其内部有一个内接正方体，则这个内接正方体的棱长为________．解析：设正方体的棱长为a，则a2＝1－22a1，即a＝2 2.答案：22cm7.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．解：如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的简单组合体．8．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．解：圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm,3x cm，延长AA1交OO1的延长线于S，在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°，所以SO＝AO＝3x，SO1＝A1O1＝x，所以OO1＝2x.又S轴截面＝12(6x＋2x)·2x＝392，所以x＝7.所以圆台的高OO1＝14 (cm)，母线长l＝2OO1＝142(cm)，两底面半径分别为7 cm,21 cm.中心投影与平行投影及空间几何体的三视图一、题组对点训练对点练一平行投影和中心投影1．直线的平行投影可能是()A．点B．线段C．射线 D.曲线解析：选A直线的平行投影可能是直线也可能是点，故选A.2．下列的四个图形中采用中心投影画法的是()解析：选A根据平行投影和中心投影的画法规则，B、C、D选项中的图形均为平行投影下的图形，而A选项中的图形采用的是中心投影画法．3.如图，E，F分别是正方体ABCD-AB1C1D1的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________(把所有可能图形的序号都填上)．解析：图②是在平面DCC1D1或平面ABCD上的正投影；图③是在平面BCC1B1上的正投影．图①④均不符合．答案：②③对点练二简单几何体的三视图4．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为()A．上面为棱台，下面为棱柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱 D.上面为棱台，下面为圆柱解析：选C结合三视图，易知该几何体上面为圆台，下面为圆柱．5．如图所示的几何体中，正视图与侧视图都是长方形的是________．解析：(2)的侧视图是三角形，(5)的正视图和侧视图都是等腰梯形，其余的都符合条件．答案：(1)(3)(4)6．如图所示的螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体，试画出它的三视图．解：三视图如图所示．对点练三由三视图还原空间几何体7.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为() A．217 B．2 5C．3 D.2解析：选B先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图①所示．圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．∵ON＝14×16＝4，OM＝2，∴MN＝OM2＋ON2＝22＋42＝2 5.8．如图是一个几何体的三视图，则可以判断此几何体是________．解析：由三视图可知，此几何体为一个正四棱锥．答案：正四棱锥9．如图，图(1)、(2)、(3)是图(4)表示的几何体的三视图，其中图(1)是________，图(2)是________，图(3)是________(写出视图名称)．解析：由几何体的位置知，(1)为正视图，(2)为侧视图，(3)为俯视图．答案：正视图侧视图俯视图二、综合过关训练1．下列命题中正确的是()A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段的中点的平行投影仍是这条线段投影的中点解析：选D矩形的平行投影可能是线段，平行四边形或矩形，梯形的平行投影可能是线段或梯形，两条相交直线的投影是两条相交直线或是一条直线．因此A、B、C均错，故D 正确．2．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析：选B依题意，侧视图中棱的方向从左上角到右下角，故选B.3.某个游戏环节，玩家需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为()解析：选A由题意知，图中正方形、圆形、三角形对应某几何体的三视图，结合选项中给出的图形分析可知，A中几何体满足要求．故选A.4．在一个几何体的三视图中，正视图和侧视图是两个完全相同的图形，如图所示，则相应的俯视图可以为()A．①②B．②③C．③④ D.②④解析：选D若俯视图为图①，则该几何体的正视图的上方三角形应该没有高线，故俯视图不可能为图①，排除选项A；若俯视图为图③，则该几何体的侧视图的上方应该没有左边小三角形，故俯视图不可能为图③，排除选项B、C；若俯视图为图②，则该几何体是由上面是正四棱锥，下面是正方体组合而成的简单组合体；若俯视图为图④，则该几何体是由上面是正四棱锥，下面是圆柱组合而成的简单组合体．故选D.5．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则该几何体由________块小正方体木块搭成．解析：小木块的排列方式如图所示．由图知，几何体由7块小正方体木块搭成．答案：76．若一个正三棱柱(底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱)的三视图如图所示，则这个正三棱柱的侧棱长和底面边长分别为________、________.解析：侧视图中尺寸2为正三棱柱的侧棱长，尺寸23为俯视图正三角形的高，所以正三棱柱的底面边长为4.答案：2 47．某组合体的三视图如图所示，试画图说明此组合体的结构特征．解：该三视图表示的几何体是由一个四棱柱和一个四棱台拼接而成的组合体(如图所示)．8.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，点P是平面A1B1C1D1内的一个动点，求三棱锥P -ABC 的正视图与俯视图的面积的比值的最大值．解：点P 是平面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则三棱锥P -ABC 的正视图始终是一个底为1，高为2的三角形， 其面积S 1＝12×1×2＝1.当点P 在底面ABCD 内的投影点在△ABC 的内部或边界上时，其俯视图的面积最小， 最小面积S 2＝12×1×1＝12，所以三棱锥P -ABC 的正视图与俯视图的面积的比值的最大值为S 1S 2＝2.空间几何体的直观图一、题组对点训练 对点练一 斜二测画法1．用斜二测画法画水平放置的△ABC 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴、y 轴，且∠A ＝90°，则在直观图中∠A ′＝( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D.90°解析：选C 在画直观图时，∠A ′的两边依然分别平行于x ′轴、y ′轴，而∠x ′O ′y ′＝45°或135°.2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( ) A ．原来相交的仍相交 B ．原来垂直的仍垂直 C ．原来平行的仍平行 D ．原来共点的仍共点解析：选B 根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直． 3．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( ) A ．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B ．梯形的直观图是平行四边形 C ．正方形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图仍是平行四边形解析：选D 由斜二测画法规则可知，平行于y 轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D 正确．4．如图，已知等腰三角形ABC ，则如图所示的四个图中，可能是△ABC 的直观图的是 ( )A．①②B．②③C．②④ D.③④解析：选D原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，③④两图分别是∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．5.画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．解：(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图(1)所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.(2)如图(2)所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D，使得O′D′＝12OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝12EC.(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．对点练二由直观图还原平面图形6.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()解析：选A由直观图的画法可知，落在y轴上的对角线的长为22，结合各选项可知选A.7.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A．AB B．ACC．BC D.AD解析：选B由直观图可知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，所以斜边AC最长．8.如图所示，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是()A．2 2 B．1C. 2D.4 2解析：选C在△AOB中，OB＝O′B′＝1，OA＝2O′A′＝22，且∠AOB＝90°，S△AOB＝12OA·OB＝12×1×22＝ 2.二、综合过关训练1．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m,10 m，四棱锥的高为8 m，如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为() A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C直观图中长、宽、高应分别按原尺寸的1500，11 000，1500计算，最后单位转化为cm.2.如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A．6 cm B．8 cmC．(2＋32) cm D.(2＋23) cm解析：选B直观图中，O′B′＝2，原图形中OC＝AB＝(22)2＋12＝3，OA＝BC ＝1，∴原图形的周长是2×(3＋1)＝8.3．如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知O′B′＝4，A′B′∥y′轴，且△ABO的面积为16，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′的长为()A．2 2 B. 2C．16 2 D.1解析：选A 因为A ′B ′∥y ′轴，所以在△ABO 中，AB ⊥OB .又△ABO 的面积为16，所以12AB ·OB ＝16.所以AB ＝8，所以A ′B ′＝4.如图，作A ′C ′⊥O ′B ′于点C ′，所以B ′C ′＝A ′C ′，所以A ′C ′的长为4sin 45°＝2 2.4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5 cm ，在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.5．有一个长为5，宽为4 的矩形，则其直观图的面积为________． 解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20，所以由公式S ′＝24S ，得其直观图的面积为S ′＝24S ＝5 2. 答案：5 26.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ，如图所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则原平面图形的面积为________．解析：过A 作AE ⊥BC ，垂足为E .∵DC ⊥BC 且AD ∥BC ，∴ADCE 是矩形，∴EC ＝AD ＝1.由∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1知BE ＝22，∴原平面图形是梯形且上、下两底边长分别为1和1＋22，高为2， ∴原平面图形的面积为12×⎝⎛⎭⎫1＋1＋22×2＝2＋22.答案：2＋227.如图，四边形A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．解：画出平面直角坐标系xOy ，使点A 与O 重合， 在x 轴上取点C ，使AC ＝2， 再在y 轴上取点D ，使AD ＝2， 取AC 的中点E ，连接DE 并延长至点B ， 使DE ＝EB ，连接DC ，CB ，BA ，则四边形ABCD 为正方形A ′B ′C ′D ′的原图形(也可以过点C 作BC ∥y 轴，且使CB ＝AD ＝2，然后连接AB ，DC )，如图所示．易知四边形ABCD 为平行四边形，∵AD ＝2，AC ＝2，∴S ▱ABCD ＝2×2＝2 2. 8．如图为一几何体的展开图：沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．柱体、锥体、台体的表面积与体积一、题组对点训练对点练一 柱体、锥体、台体的侧面积与表面积 1．棱长为3的正方体的表面积为( ) A ．27 B ．64 C ．54D.36解析：选C 根据表面积的定义，组成正方体的面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×32＝54.2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶ 3 C ．1∶ 5D.3∶2解析：选C 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2.则S 底∶S 侧＝1∶ 5.3．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B ．16πC ．9πD.27π4解析：选A 如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，所以该球的表面积为4πr 2＝4π×⎝⎛⎭⎫94 2＝81π4.4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D.3解析：选A 设圆台较小底面半径为r ，则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________．解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S 表＝S底＋S 侧＝6π. 答案：6π对点练二 柱体、锥体、台体的体积6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D.8解析：选C 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的两底边长分别为1,2，高为2，∴该几何体的体积为V ＝12×(2＋1)×2×2＝6.7．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．解析：易知圆锥的母线长为2，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝12×2π×2，∴r ＝1，则高h ＝l 2－r 2＝ 3.∴V 圆锥＝13πr 2· h ＝13π×3＝3π3.答案：3π38．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是________．解析：几何体的直观图为正方体去掉以正方体中心为顶点，上底面为底面的四棱锥，其体积为2×2×2－13×1×22＝203.答案：203对点练三 求几何体体积的方法9.如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A -A 1EF 的体积是________．解析：因为在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，BB 1⊄平面AA 1C 1C ，所以BB 1∥平面AA 1C 1C ，从而点E 到平面AA 1C 1C 的距离就是点B 到平面AA 1C 1C 的距离，作BH ⊥AC ，垂足为点H ，由于△ABC 是正三角形且边长为4，所以BH ＝23，从而三棱锥A -A 1EF 的体积VA -A 1EF ＝VE -A 1AF ＝13S △A 1AF ·BH ＝13×12×6×4×23＝8 3.答案：8 3 二、综合过关训练1．如图，ABC -A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选C ∵V C -A ′B ′C ′＝13V 棱柱＝13，∴V C -AA ′B ′B ＝1－13＝23. 2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π解析：选A 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，。

珠海市2012--2013学年度第一学期期末学生学业质量监测高三文科数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1．已知集合),1(+∞-=M ，集合{}0)2(|≤+=x x x N ，则N M ⋂=A ．]2,0[B ． ),0(+∞C ． ]0,1(-D ． )0,1(-2．已知a ，b 是实数，则“⎩⎨⎧>>32b a ”是“5>+b a ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．74. 已知直线l ，m 和平面α， 则下列命题正确的是 A ．若l ∥m ，m ⊂α，则l ∥α B ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m C ．若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α D ．若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥m 5．已知是虚数单位，复数ii+3＝ A ．i 103101+ B ．i 103101+- C ．i 8381+- D ．i 8381--6． 函数y ＝sin (2x ＋π4)的图象可由函数y ＝sin 2x 的图象 A ．向左平移π8个单位长度而得到 B ．向右平移π8个单位长度而得到C ．向左平移π4个单位长度而得到D ．向右平移π4个单位长度而得到7．已知a r 、均为单位向量,)2()2(b a b a -⋅+=233-，a r与的夹角为A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°(第3题图)8．在递增等比数列{a n }中，4,2342=-=a a a ，则公比q ＝ A ．-1 B ．1 C ．2 D ．21 9．若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 则2x ＋4y 的最小值是A ．6B ．4C ．2-D ．6-10．对于直角坐标平面内的任意两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，定义它们之间的一种“距离”： ‖AB ‖=1212x x y y -+-，给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖；②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖； ③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖. 其中真命题的个数为A. 0B. 1C. 2D.3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. （一）必做题（11-13题）11．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有_______________. 12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝3π，3=b ，若△ABC 的面积为233 ，则c = ．13．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3 : 4 : 5，则双曲线的离心率为 .xy OA BF 1F 2(第13题图)(第15题图）（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系x O y 中，已知曲线1C ：⎩⎨⎧-=+=t y t x 212 , (为参数）与曲线2C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x ,（θ为参数）相交于两个点A 、B ，则线段AB 的长为 .15．（几何证明选讲选做题）如图，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD 等于 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）设向量a ＝)sin ,2(θ，b ＝)cos ,1(θ，θ为锐角． （1）若a ·b ＝136，求sin θ＋cos θ的值；（2）若a ∥b ，求sin(2θ＋π3)的值．17．（本小题满分12分）某种零件按质量标准分为5,4,3,2,1五个等级.现从一批该零件中随机抽取20个，对其等 级进行统计分析，得到频率分布表如下：（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求n m ,；（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率.18．（本小题满分14分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，（1）求证：N B C BC 11//平面；（2）求证：BN 11C B N ⊥平面； （3）求此几何体的体积.19．(本题满分14分)已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，左、右两个焦点分别为1F 、2F ，上顶点),0(b A ，21F AF ∆为正三角形且周长为6.（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）O 为坐标原点，直线A F 1上有一动点P ，求||||2PO PF +的最小值． 20．（本题满分14分） 已知函数()ln a xf x x x-=+，其中a 为常数，且0>a . （1）若曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线121+=x y 垂直，求a 的值； （2）若函数()f x 在区间[1，2]上的最小值为21，求a 的值. 21.（本题满分14分）在数列{}n a 中，*)(1,111N n a a a a n n n ∈+==+.（1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设nn n a b ⋅=21，求数列}{n b 的前n 项和n T ；（3）设∑=+++=201312121i i i a a P ，求不超过P 的最大整数的值.84主视图 侧视图俯视图44(第15题图）PD珠海市2012~2013学年第一学期普通高中学生学业质量监测高三文科数学试题参考答案及评分标准一、选择题：CABDA AACDB 二、填空题：（一）必做题（11-13题）11．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有_______________. 12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝3π，3=b ，若△ABC 的面积为233 ，则c = ．13．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3 : 4 : 5，则双曲线的离心率为 .（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系x O y 中，已知曲线1C ：⎩⎨⎧-=+=t y t x 212 , (为参数）与曲线2C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x ,（θ交于两个点A 、B ，则线段AB 的长为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线， 若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD 等于 .xy OA B F 1F 2(第13题图)11、150 12、 7 13、13 14、 4 15、 6三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 16．（本小题满分12分）设向量a ＝)sin ,2(θ，b ＝)cos ,1(θ，θ为锐角． （1）若a ·b ＝136，求sin θ＋cos θ的值；（2）若a ∥b ，求sin(2θ＋π3)的值．17．（本小题满分12分）某种零件按质量标准分为5,4,3,2,1五个等级.现从一批该零件中随机抽取20个，对其等 级进行统计分析，得到频率分布表如下：等级2 3 4 5频率0.05m0.15 0.35n（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求n m ,；（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率. 18．（本小题满分14分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，（1）求证：N B C BC 11//平面；（2）求证：BN 11C B N ⊥平面； （3）求此几何体的体积.88 4主视图侧视图44819．(本题满分14分)已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 两个焦点为1F 、2F ，上顶点),0(b A ，21F AF ∆为正三角形且周长为6.（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）O 为坐标原点，直线A F 1上有一动点P ，求||||2PO PF +的最小值．20．（本题满分14分） 已知函数()ln a xf x x x-=+，其中a 为常数，且0>a . （1）若曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线121+=x y 垂直，求a 的值； （2）若函数()f x 在区间[1，2]上的最小值为21，求a 的值. 21.（本题满分14分）在数列{}n a 中，*)(1,111N n a a a a n n n ∈+==+.（1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设nnn a b ⋅=21，求数列}{n b 的前n 项和为n T ； （3）设∑=+++=201312121i i i a a P ，求不超过P 的最大整数的值.16．（本小题满分14分）解：（1） 因为a ·b ＝2＋sin θcos θ＝136，所以sin θcos θ＝16． ……………… 3分所以 (sin θ＋cos θ)2＝1＋2 sin θcos θ＝43．又因为θ为锐角，所以sin θ＋cos θ＝233． ……………… 6分（2） 解法一 因为a ∥b ，所以tan θ＝2． ……………… 8分 所以 sin2θ＝2 sin θcos θ＝2 sin θcos θ sin 2θ＋cos 2θ＝ 2 tan θ tan 2θ＋1＝45，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ sin 2θ＋cos 2θ＝1－tan 2θ tan 2θ＋1＝－35．……………… 10分所以sin(2θ＋π3 )＝12sin2θ＋32cos2θ＝12×45＋32×(－35 )＝4－3310． ……………… 12分 解法二 因为a ∥b ，所以tan θ＝2． ……………… 8分 所以 sin θ＝255，cos θ＝55．因此 sin2θ＝2 sin θcos θ＝45， cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－35． (10)分所以sin(2θ＋π3 )＝12sin2θ＋32cos2θ＝12×45＋32×(－35 )＝4－3310． ……………… 12分 17．（本小题满分12分）某种零件按质量标准分为5,4,3,2,1五个等级.现从一批该零件中随机抽取20个，对其等 级进行统计分析，得到频率分布表如下：（Ⅰ）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求n m ,；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率. 参考答案：（Ⅰ）解：由频率分布表得 0.050.150.351m n ++++=，即 0.45m n +=. ………………2分 由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个， 得 1.0202==n . ………………4分所以0.450.10.35m =-=. ………………5分MB 1C 1NCBA（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，等级为3的零件有3个，记作123,,x x x ；等级为5的零件有2个，记作12,y y .从12312,,,,x x x y y 中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：12131112232122313212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)x x x x x y x y x x x y x y x y x y y y共计10种. ………………9分 记事件A 为“从零件12312,,,,x x x y y 中任取2件，其等级相等”.则A 包含的基本事件为12132312(,),(,),(,),(,)x x x x x x y y 共4个. ………………11分 故所求概率为 4()0.410P A ==.………………12分 18.解：（1）证明：Θ该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴1,,BB BC BA 两两互相垂直。

时量：120分钟 分值：150分参考公式：球的表面积24R S π=，球的体积334R V π=， 圆锥侧面积RL S π=侧 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1.（集合的运算）集合{}22A x x =-<<，}20{≤≤=x x B ，则A B =（ ）A ．()0,2B ．(]0,2C ．[]0,2D ．[)0,22.（函数的概念）下列四个函数中，与y x =表示同一函数的是（ ）A. 2()y x =B. 2x y x=C.2y x =D. 33y x =3.（直线的截距）直线52100x y --=在x 轴上的截距为a ，则（ ） A. 5=a B. 5-=a C. 2=a D. 2-=a4.（函数的单调性）下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（ ） A ．x y = B ．x y -=3 C ．xy 1=D ．42+-=x y 5.（直线平行）已知直线01=+-y x 和直线012=+-y x ，它们的交点坐标是（ ） A ．（0，1） B ．（1，0） C ．（-1，0） D ．（-2，-1）6.（函数的图像）当10<<a 时，在同一坐标系中，函数xa y -=与x y a log =的图象是（ ）(A) (B) (C)(D)7.（异面直线所成的角）在右图的正方体中，,M N 分别为棱BC 和棱1CC 的中点，则异面直线1AA 和MN 所成的角为（ ）A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o8.（函数的零点）已知函数()f x 的图像是连续不断的，有如下x ，()f x 对应值表：x1 2 3 4 5 6 ()f x132.5210.5-7.5611.5-53.76-126.8函数()f x 在区间[1,6]上有零点至少有（ ）A ． 2个 B. 3个 C .4个 D. 5个9.（球的体积与表面积）已知正方体的内切球（球与正方体的六个面都相切）的体积是323π，那么球的表面积等于（ ）A ．π4 B. π8 C. π12 D. π1610.（函数的奇偶性和单调性）若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)2()23()1(f f f <-<- C ．)23()1()2(-<-<f f f D ．)1()23()2(-<-<f f f11.（指对数的综合）三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ ）A. 60.70.70.7log 66<<B. 60.70.70.76log 6<< C ．0.760.7log 660.7<< D. 60.70.7log 60.76<< 12.(函数综合) 对于函数)(x f 定义域中任意的)(,2121x x x x ≠有如下结论① )()()(2121x f x f x x f ⋅=+ ② )()()(2121x f x f x x f +=⋅ ③0)()(2121<--x x x f x f ④ 2)()()2(2121x f x f x x f +>+当3()log f x x =时,上述结论中正确的序号是（ ）A. ①②B. ②④C. ①③D. ③④ 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．请将答案填在答题卡相应位置.13．（圆的标准方程）已知圆的方程为4)1()2(22=++-y x ，14.（三视图）如果一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm ），则此几何体的体积是15.（直线的斜率）直线0123=-+y x16.（幂函数）幂函数n x x f =)(的图象过点)2,2(，则=)9(f ______3 17.（定义域）函数32lg -=x y 的定义域为 . 18.（分段函数与解不等式）已知函数3log ,0,()1,0,3x x x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤⎪⎪⎝⎭⎩则))2((-f f 的值 ．219.（函数的奇偶性）已知函数()f x 是定义在上的奇函数，当0≥x 时，)1ln()(+=x x x f ，那么0x <时，()f x = . )1ln(+-x x 20.（立体几何的综合）已知两条不同直线m 、，两个不同平面α、β，给出下列命题： ①若垂直于α内的两条相交直线，则⊥α； ②若∥α，则平行于α内的所有直线； ③若m ⊂α， ⊂β且α∥β，则m ∥； ④若⊂β，α⊥l ，则α⊥β；三、解答题:本题共有5个小题，8分+10分+10分+10分+12分=50分． 21.(指数与对数的运算)（本题满分8分）计算：(1)8log 14log 42log 1000lg 433--+； (2)3112)278(3)2()3(++-+-22. (直线方程) （本题满分10分）已知ABC ∆三个顶点是(1,4)A -，(2,1)B --，(2,3)C (1)求BC 边上的垂直平分线的直线方程；（7分） ）B 又BC 的中点D 的坐标为(0,1)，所以BC 边的上的中垂线所在的直线方程为：10x y +-=………………………………………………………………………………（7分）（2）直线BC 的方程为：10x y -+=（10分）23.在三棱柱ABC EFG-中，侧棱垂直于底面，3,4,5,4,.AC BC AB AE D AB ====点是的中点(1) 求证：BFGC AE 平面//； (2) 求证：AC BG ⊥； （3）求三棱锥DBF C -的GFE体积.解：（1）证明：∵CG AE //，BFGC CG 平面⊂…………（2分）BFGC AE 平面⊄…∴BFGC AE 平面//……………（3分）（2）证明：在直三棱柱ABC EFG -中 AC CG ⊥……………………………（4分）22291625AC BC AB +=+== .AC BC ∴⊥……………………………（5分）G ,C BC C ⋂=又.AC GBC ∴⊥面……………………………………………（6分）,GB GBC ⊂面.AC BG ∴⊥……………………………………………………（7分） （3）134324CDB ABC S S ∆∆⨯===…………………………………………………（8分） 1344.33C DBF F CDB CDB V V S FB --∆⨯∴==⋅==……………………………………（10分）24. (函数与单调性) （本小题满分10分）右图是一个二次函数()y f x =的图象. (1)写出这个二次函数的零点； (2)求这个二次函数的解析式；(3)当实数k 在何范围内变化时，()()g x f x kx =-在区间[2,2]-上是单调函数．解：（1）由图可知二次函数的零点为3,1- ………………（2分）（2）设二次函数为(3)(1)y a x x =+-,点(1,4)-在函数上，解得1a =- 所以2(3)(1)23y x x x x =-+-=--+………………………………………………（6分）（3）22()23(2)3g x x x kx x k x =--+-=--++，开口向下，对称轴为减………………………………（8分）综上所述6k ≤-或2k ≥…………………………………………………………………（10分）注：第(1)小题中若零点写为(3,0)- ，(1,0)，扣1分。

高二上册数学期末模拟题（二）-人教A 版（2019）新高考一、单选题1．在数列{}n a 中，11a =，()1112n n a n a -=+≥，则4a =（ ） A ．32B ．53C ．74D ．852．双曲线2214y x -=的渐近线方程是（ ）A ．12y x =± B ．2y x =±C ．4x y =±D ．14x y =±3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，11A B b =，11A D c =，O 为底面ABCD 的中心，G 为11D C O 的重心，则AG =（ ）A ．215326a b c ++B ．2536a b c ++C ．121336a b c ++D ．1526a b c ++4．圆22(1)(2)2x y -++=关于直线:10l x y -+=对称的圆的方程为（ ） A ．22(1)(3)2x y ++-= B ．22(1)(3)2x y -++= C ．22(3)(2)2x y ++-= D ．22(3)(2)2x y -++=5．已知4ln 4a a -=，3ln 3-=b b ，22ln -=cc ，其中4a ≠，3b ≠，2c ≠，则（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<6．已知数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=，则数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和是（ ） A ．1021B ．1123C ．2021D ．22237．已知12F F ，为双曲线222:1(0)16x y C a a -=>的左､右焦点，点A 在双曲线的右支上，点(72)P ，是平面内一定点.若对任意实数m ，直线430x y m ++=与双曲线C 的渐近线平行，则2AP AF +的最小值为（ ） A．6B．10-C．8D．28．若曲线12,C C 存在到直线l 距离相等的点，则称12,C C 相对直线l “互关”.已知曲线22212:,:(4)2C y x a C x y =+-+=相对直线:0l x y -=“互关”，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,4]∞- B ．25(,]4∞- C ．25(2,]4D ．25()4∞+，二、多选题9．空间直角坐标系O xyz -中，已知()()1,2,2,0,1,1A B -，下列结论正确的有（ ） A ．(1,1,3)AB =--B ．若()2,1,1m =，则⊥m ABC ．点A 关于xOy 平面对称的点的坐标为()1,2,2- D．||AB =10．已知曲线C ：()224y m x =-，其中m 为非零常数，则下列结论中正确的是（ ）A ．当1m =-时，则曲线C 是一个圆B ．当0m >时，则曲线C 是一个双曲线C ．若3m =-时，则曲线是焦点为(0,±的椭圆 D ．若曲线C2m =- 11．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且214S a =，2a 是11a +与312a 的等差中项，数列{}nb 满足1nn n n a b S S +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列命题正确的是（ ）A ．数列{}n a 的通项公式123n n a -=⨯B ．31nn s =-C ．数列{}n b 的通项公式为()()1233131nn nn b +⨯=-- D ．n T 的取值范围是11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．函数()1,11ln ,1x e m x f x x x x -+⎧+<=⎨+-≥⎩的值域为[)2,+∞，则下列选项中一定正确的是（ ）A ．1m ≥B ．()()21f f m -<--C ．()()()ln 21f m f m +<+D ．ln 212e f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、填空题13．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱B 1C 1，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与BF 所成角的余弦值为___________.14．在平面直角坐标系中，以点(0,1)为圆心且与直线20mx y m --+=相切的圆中，半径最大的圆的标准方程为______15．已知椭圆C ：2214x y +=的左､右焦点分别是1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆于A ，B两点，则2ABF 的内切圆面积的最大值为___________.16．定义在R 上的函数()f x 满足()()13f x f x +=+，当[)0,1x ∈时，()24342x f x x +=+.设()f x 在[)()*,1n n n +∈N 上最小值为n a ，则6a =___________.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()*12,2n n n a S n N n -=+∈≥．（1）求证：数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；18．已知E ，F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC 和CD 的中点．（1）求1A D 与EF 所成角的大小； （2）求1A E 与平面1B FB 所成角的余弦值．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知两定点A (－2，2)，B (0，2)，动点P 满足2PA PB=（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点(0，1)的直线l 与轨迹C 相交于M 、N 两点，且||4MN =，求直线l 的方程． 20．已知E 是曲线221:143x y C +=上任一点，过点E 作x 轴的垂线，垂足为H ，动点D 满足32HE HD =（1）求点D 的轨迹2C 的方程;（2）若点P 是直线:250l x y --=上一点，过点P 作曲线2C 的切线，切点分别为M ，N ，求使四边形OMPN 面积最小时MN 的值.21．已知数列{}n a 满足a 1＝1，a n ＋1＝2,3,n na n a n ⎧⎨+⎩为奇数为偶数（1）从下面两个条件中选一个，写出b 1，b 2，并求数列{}n b 的通项公式； ①b n ＝a 2n －1＋3；②b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1． （2）求数列{}n a 的前n 项和为S n ．22．已知函数()()2ln f x x x ax x a R =-+∈.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个零点12,x x ，且122x x >，证明1228x x e >.参考答案1．B 【分析】分别将2n =，3，4代入递推关系式求出2a ，3a ，4a 的值即可求解. 【详解】数列{}n a 中，11a =，()1112n n a n a -=+≥， 令2n =，可得21111121a a =+=+=， 令3n =，可得321131122a a =+=+=， 令4n =，可得431251133a a =+=+=， 故选：B. 2．B 【分析】求出a 、b 的值，即可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】在双曲线2214y x -=中，1a =，2b =，所以，该双曲线的渐近线方程为2b y x x a =±=±. 故选：B. 3．A 【分析】结合空间线段的关系以及空间向量的线性运算即可求出结果. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，11A B b =，11A D c =，O 为底面ABCD 的中心，G 为11D C O 的重心，连接OG ，则()1111()23AG AO OG AB AD OD OC =+=+++111111()()()2322b c BA BC DD AB AD CC ⎡⎤=+++++++⎢⎥⎣⎦11111()()()26363b c b c a b c a =++-+++++ 215326a b c ++=．故选：A ． 4．C 【分析】圆关于直线的对称圆问题，第一步求圆心关于直线的对称点，半径不变，第二步直接写出圆的方程. 【详解】圆22(1)(2)2x y -++=的圆心(1,2)-，由:10l x y -+=得1l k =设对称点的坐标为(,)m n ，利用两圆心的连线与直线垂直，两圆心的中点在直线上列方程求解， 211{121022l n k m m n +⋅=--+--+=，化简得1050m n m n ++=⎧⎨-+=⎩，解得32m n =-⎧⎨=⎩所以对称圆的方程为22(3)(2)2x y ++-=.故选:C. 5．C 【分析】先令函数()ln f x x x =-，求导判断函数()f x 的单调性，并作出函数()f x 的图像，由函数()f x 的单调性判断()()()f c f b f a >>，再由对称性可得a b c <<.【详解】 由4ln4aa -=，则ln 4ln 4a a -=-，同理ln 3ln3b b -=-，ln 2ln 2c c -=-， 令()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-=，当()0,01f x x '<<<；当()0,1>>'f x x ，∴()f x 在()0,1上单调递减，()1,+∞单调递增，所以()()()432f f f >>，即可得()()()f a f b f c >>，又4a ≠，3b ≠，2c ≠由图的对称性可知，a b c <<.故选：C 6．C 【分析】用1n -替换已知式中的n ，然后两式相减求得n a ，然后由裂项相消法求和． 【详解】 因为123(21)2n a a n a n +++-=，所以2n ≥时，1213(23)2(1)n a a n a n -+++-=-，两式相减得(21)2n n a -=，221n a n =-， 又12a =，满足此式，所以221n a n =-， 21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-+-+-+， 所以数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为111111201133519212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：C ． 7．A 【分析】根据双曲线的性质可得直线430x y m ++=与双曲线的渐近线方程为4y x a=±，重合或平行，即可求出a ，再利用双曲线的定义转化可求最小值. 【详解】∵双曲线C ：()2221016x y a a -=>，∴双曲线的渐近线方程为4y x a =±，∵对任意实数m ，直线430x y m ++=与双曲线C 的渐近线平行， ∴直线430x y m ++=与双曲线的渐近线方程为4y x a=±平行， ∴3a =，∴5c =，∴1F 为()5,0-，∵()7,2P ，∴1PF =∴211666AP AF AP AF PF +=+-≥-=， ∴2APAF +的最小值为6. 故选：A. 8．B 【分析】由点到直线的距离公式求出圆心2(40)C ，到直线l 的距离，进而得出圆上点到直线l 的最大距离max d ，当0a ≤时满足题意；当0a >时，利用导数的几何意义求出曲线1C 的切点坐标，根据点到直线的距离公式求出切点到直线l 的距离2d ，结合2max d d ≤计算即可. 【详解】 由题意知，圆2C 的圆心坐标为2(40)C ，，半径为r = 圆心2(40)C ，到直线l的距离为1d ==所以圆上的点到直线l 的最大距离为max 1d d r =+=当0a ≤时，21C y x a =+：为开口向上的抛物线，1C 、2C 存在到直线l 距离相等的点，符合题意；当0a >时，由21C y x a =+：，得2y x '=，设点00()P x y ，为曲线1C 上的一点，则曲线上过点P 的切线方程的斜率为02x ，又过点P 且与直线l 平行的切线方程的斜率为1，所以02x =1，012x =，所以切点11()24P a +，，此时切点11()24P a +，到直线l的距离为2d =， 由2max d d ≤≤164a -≤，解得232544a -≤≤，所以2504a <≤综上所述，254 a≤故选：B9．AB【分析】利用向量的坐标公式，模的计算公式，对称点的坐标，及数量积公式依次计算即可得出结果. 【详解】()()1,2,2,0,1,1A B-，∴(1,1,3)AB=--,1AB=+A正确,D 错误.若()2,1,1m=，则()()=211113=0m AB⋅⨯-+⨯-+⨯,则⊥m AB,B正确，点A关于xOy平面对称的点的坐标为()1,2,2，故C错误，故选：AB.10．ABC【分析】根据曲线方程，结合各选项给定的参数值，将方程转为为22221x ya b±=的形式判断曲线的性质即知A、B、C的正误，由椭圆的离心率求参数m判断D.【详解】A：1m=-时，曲线可整理为224x y+=，即曲线C是一个圆，正确；B：0m>时，曲线可整理为22144x ym-=，即曲线C是一个双曲线，正确；C：3m=-时，曲线可整理为221124y x+=，即曲线是焦点为(0,±的椭圆，正确；D：由上分析知：若曲线C的椭圆，则m<⎧⎪=2m<⎧=，可得12m=-或2m=-，错误.故选：ABC.11．ABD【分析】根据已知条件求出等比数列{}n a 的公比和首项，进而可以求得n a 和n S ；利用裂项相消法可得111133131n n n b +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭和n T ，讨论数列{}n T 的单调性，即可得出n T 的范围. 【详解】A ：由214S a =可得213a a =，所以等比数列{}n a 的公比3q =，所以113n n a a -=⨯.由2a 是11a +与312a 的等差中项，可得2131212a a a =++，即()2111123132a a a ⨯=++⨯，解得12a =，所以123n n a -=⨯，所以A 正确；B ：()()1121331113nnnn a q S q-⨯-===---，所以B 正确；C ：()()111123111331313131n n n n n n n n n a b S S -+++⨯⎛⎫===- ⎪⋅----⎝⎭，所以C 不正确；D ：12n nT b b b =++⋅⋅⋅+1223111111111111113333231313131313131n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以数列{}n T 是递增数列，得11110326n T T ⎛⎫≤<⨯-= ⎪⎝⎭，所以1186n T ≤<，所以D 正确.故选：ABD. 12．ACD 【分析】判断函数在(),1-∞上的单调性，再根据函数的值域即可求出m 的范围，即可判断A ；根据函数在(),1-∞上的单调性即可判断B ；利用导数判断函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，令()()()1ln 2,1h x x x x =+-+≥，求出函数()h x 在[)1,+∞上的单调性，即可判断1m +与()ln 2m +的大小，从而可判断C ；令()ln xg x x=，求出函数()g x 在(]0,e 上的单调性，再根据函数在(),1-∞上的单调性即可判断D. 【详解】解：当1x ≤时，()1ln f x x x =+-，则()1110x f x x x-'=-=≥， 所以函数()f x 在[)1,+∞上递增，()()12f x f ≥=，当1x <时，()1x f x em -+=+在(),1-∞上递减， 则()()112f x f m >=+≥，解得m 1≥，故A 正确； 则12m --≤-，所以()()21f f m -≤--，故B 错误； 则23m +≥，故()ln 21m +>， 令()()()1ln 2,1h x x x x =+-+≥， 则()111022x h x x x +'=-=>++，所以函数()h x 在[)1,+∞上递增， 所以()()12ln30h x h ≥=->，所以()ln 12x x +>+，即()1ln 2m m +>+， 所以()()()ln 21f m f m +<+，故C 正确； 令()ln xg x x=，则()21ln x g x x -'=，当0x e <≤时，()0g x '≤，所以函数()g x 在(]0,e 上递增， 所以()()2g g e <，即ln 2112e<<， 所以ln 212e f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD. 13．25【分析】建立如图所示空间直角坐标系，利用数量积可求夹角的余弦值. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则1(0,0,2),(2,0,0),(2,1,2),(2,2,1)A B E F ， 则1(2,1,0),(0,2,1)A E BF ==，故1112,cos ,55||A E BF A E BF A E BF ⋅===.故答案为：2514．22(1)2x y +-= 【分析】把直线方程化为点斜式，根据题意知，当切点为P 点时，半径最大且为CP ，结合两点间的距离公式即可求解. 【详解】根据题意，直线20mx y m --+=，即()21y m x -=-，恒过定点()1,2，记P 为()1,2 设要求圆的半径为r ，其圆心C 的坐标为(0,1)， 其与直线20mx y m --+=相切的所有圆中，当切点为P 点时，半径最大且为CP ， 所以，()()22221021r CP ==-+-=2， 则所求圆的方程为22(1)2x y +-= 故答案为：22(1)2x y +-=． 15．4π 【分析】设直线AB 的方程为3x ty =，()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,y y y y +，由2121212ABF S F F y y =-△示面积，并变形后应用基本不等式得最大值，从而可得内切圆半径最大值，即得面积最大值． 【详解】解：直线AB 的斜率不能为0，但可不存在.设直线AB的方程为x ty =，()11,A x y ，()22,B x y ，由2214x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得()22410t y +--=，12y y +=12214y y t =-+， 则2121212ABF SF F y y =⋅-12=⋅====≤2=（当且仅当t =时等号成立）.设2ABF 的内切圆半径为r ，2248AF BF AB a ++==， 则()22122AF BF AB r ++⋅≤， 12r ≤，则2ABF 的内切圆面积的最大值为2124ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：4π． 16．19 【分析】根据基本不等式可知[)0,1x ∈时()min 1f x =，又()()13f x f x +=+，可得()()13f x f x =-+，进而可求出[)1,2x ∈时()1min 4f x a ==，由此可知[)()*1,2x n n n N ∈++∈时，可得13n n a a +=+，由此可证数列{}n a 是以4为首项，3为公差的等差数列，再根据等差数列的的通项公式，即可求出结果. 【详解】当[)0,1x ∈时，()22411414413122=11422422x x x f x x x x x ⎛⎫+++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎛⎫⎝ ⎪+⎝⎭==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎭ 因为32121,2x ∈+⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以()11121121f x x x ⎛⎫+-≥= ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪+⎝+⎭= 当且仅当11122x x +=+，即12x =时，取等号；所以当[)0,1x ∈时，()min 1f x =； 又()()13f x f x +=+ 所以()()13f x f x =-+； 当[)1,2x ∈时，则[)10,1x -∈， 所以()()min min 134f x f x =-+=；又()f x 在[)()*,1n n n +∈N 上最小值为n a ，所以14a =当[)()*1,2x n n n N∈++∈时，则[)()*1,1x n n n N -∈+∈所以()()min min 13f x f x =-+ 即13n n a a +=+，所以13n n a a +-=所以数列{}n a 是以4为首项，3为公差的等差数列，即()43131n a n n =+-=+ 所以619a =. 故答案为：19.17．（1）证明见解析；（2）1(1)2n n a n -=+⋅，*n N ∈.【分析】 （1）由题设可得11221n n n n S S ---=，即可证明结论； （2）由（1）可知2nn S n =⋅，再根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得；（1）由12a =，()*12,2n n n a S n N n -=+∈≥，∴112nn n n S S S ---=+，整理得：11221n n n n S S ---=，而11221S a ==， ∴2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭以1为首项，1为公差的等差数列，得证. （2）由（1）得：2nn S n =⋅，①当1n =时，112a S ==；②当2n ≥时，111(1)(1)222n n n n n n a S S n n n ---=-=--⋅=+⋅⋅，综上，1n =时1(1)2n n a n -=+⋅成立，∴1(1)2n n a n -=+⋅，*n N ∈. 18． （1）60°； （2）23.【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出异面直线所成角的余弦值，进而结合异面直线成角的范围即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出求出线面角的正弦值，进而结合线面角的范围即可求出结果； （1）以AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2a ，则1(0,0,2)A a ，(0,2,0)D a ，()2,,0E a a ，(),2,0F a a ， 所以1(0,2,2)A D a a =-，(,,0)EF a a =-，设1A D 与EF 所成角的大小为α， 则211222211cos cos ,244A D EF A D EF A D EFa a a a ⋅====⋅+⋅+α， 因为异面直线成角的范围是(0,90⎤⎦，所以1A D 与EF 所成角的大小为60°． （2）设平面1B FB 的法向量为()0000,,n x y z =，1A E 与平面1B FB 所成角为β，0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ．因为(2,0,0)B a ，1(2,0,2)B a a ，所以(,2,0)BF a a =-，1(0,0,2)BB a =，所以0000102020n BF ax ay n BB az ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令02x =，得0(2,1,0)n =为平面1B FB 的一个法向量，又因为1(2,,2)A E a a a =-，所以10102221045sin cos ,4414A E n a a A E n A E n a a a ⋅+====⋅++⋅+β 所以22cos 1sin 3=-ββ． 19．（1）22(2)(2)8x y -+-=； （2）x ＝0或3x ＋4y －4＝0﹒ 【分析】(1)设动点P 的坐标，直接利用已知的等式2PA PB=(2)分直线l 斜率存在和不存在两种情况进行分析，利用圆心到直线的距离列出方程求解即可． （1）设动点P 的坐标为(,)x y ，则PA PB==，整理得22(2)(2)8x y -+-=，故动点P 的轨迹是圆，方程为22(2)(2)8x y -+-=； （2）由(1)知动点P 的轨迹是圆心为(2,2)C，半径R = 设F 为MN 中点，则CF l ⊥，得||||2FM FN ==， 圆心C 到直线l 的距离||2d CF ==， 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为0x =， 此时||2CF =，符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，由题意得2d ==，解得34k =-；故直线l 的方程为3440x y +-=，综上直线l 的方程为0x =或3440x y +-=． 20．（1）224x y +=； （2【分析】（1）设(),D x y ，()00,E x y ，则()0,0H x ，由32HE HD =可得00x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，再代入2200143x y +=化简即可求解；（2）由圆的切线的性质可得PM PN =，OM PM ⊥，S OM PM =⋅=圆心O 到直线l 的距离即为OP 的最小值，进而可得面积S 的最小值，再由min min 12S OP MN =⋅即可得MN 的值. （1）设(),D x y ，()00,E x y ，则()0,0H x ， 由32HE HD =可得())000,,y x x y =-，所以)000x x y y -==，所以00x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为点()00,E x y 在椭圆221:143x y C +=上，所以2200143x y +=，所以22143yx ⎫⎪⎝⎭+=，整理可得：224x y +=，所以点D 的轨迹方程为224x y +=. （2）由圆的切线性质知，切线长PM PN =，OM PM ⊥，所以四边形面积2S OM PM PM =⋅===所以当OP 最小时，面积最小，而OP 的最小值即为点O 到直线:250l x y --=的距离d ==此时min 2S ==，又因为min min 11222S OP MN MN =⋅==，可得MN =， 所以四边形OMPN面积最小时MN21．（1）所选条件见解析，124,8b b ==；12n n b +=；（2）7246229212,2292212,2n n n n n n S n n +++⎧--⎪⎪=⎨⎪+--⎪⎩为奇数为偶数. 【分析】（1）分n 为奇数和n 为偶数进行讨论，分别构造数列即可求出结果.（2）分n 为奇数和n 为偶数进行讨论，然后结合等比数列的求和公式以及分组求和即可求出结果. （1）当n 为奇数时，21323n n n a a a ++=+=+，则()2323n n a a ++=+，且134a +=，则12342n n a ++=⋅，即3223n n a +=-，当n 为偶数时，()2122326n n n n a a a a ++==+=+，则()2626n n a a ++=+，且2122a a ==，268a +=，则12682n na ++=⋅，即4226n n a +=-，若选①，则213122132332n n n n b a -++-=+=-+=，则124,8b b ==；若选②，则2132132112221212323222n n n n n n n n b a a ++-+++++-⎛⎫=-=---=-= ⎪⎝⎭，则124,8b b ==，（2）当n 为偶数时，12n n S a a a =+++()()13124n n a a a a a a -=+++++++24233422232323262626n n ++⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭232221221236122122n nn n ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⋅+-⋅-- 4622922122n n n ++=+--当n 为奇数时，12n n S a a a =+++()()13241n n a a a a a a -=+++++++33233422232323262626n n ++⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1123222122121136122122n n n n +-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭=-⋅+-⋅-- 72921222n n +=--7246229212,2292212,2n n n n n n S n n +++⎧--⎪⎪=⎨⎪+--⎪⎩为奇数为偶数. 22．（1）单调增区间是21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调减区间是210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）证明见解析 【分析】（1）当0a =时，()ln 2f x x '=+，结合导数正负判断函数单调区间即可；（2）因12,x x 是函数零点，得2211112222ln 0,ln 0x x ax x x x ax x -+=-+=，分离得121122ln ln 11x x a x x x x =+=+，令21(2)x tx t =>，构造()12ln x x ⋅，代换成关于t 的函数表达式()h t ，通过()h t '求出()h t 最值，进而得证. （1）答案第17页，共17页当0a =时，()()ln ,ln 2f x x x x f x x =+∴=+',令()0f x '>得21x e >，令()0f x '<得210x e <<， ()f x ∴的单调增区间是21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调减区间是210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）若()f x 有两个零点12,x x ，则2211112222ln 0,ln 0x x ax x x x ax x -+=-+=， 得121122ln ln 11x x a x x x x =+=+. 2120x x >>，令21(2)x tx t =>，则()111111ln ln 11tx x x x tx tx +=+， 得1ln ln 11t x t =--， 则()211ln ln ln ln ln 11t t x tx t x t ==+=--， ()()12121ln ln ln ln ln ln 11 2.111t t t t t x x x x t t t +∴=+=-+-=---- 令()()1ln 2(2)1t t h t t t +=->-，则212ln ()(1)t t t h t t -+-'=-， 令()12ln (2)t t t t t ϕ=-+->，则()22221(1)10t t t t t ϕ-=-++=>'， ()t ϕ∴在()2,+∞上单调递增，()()3t 22ln202ϕϕ∴>=->. ()()20(1)t h t t ϕ∴=>-'，则()h t 在()2,+∞上单调递增， ()()2823ln 22ln h t h e∴>=-=，即()1228ln ln x x e >， 1228x x e ∴>.答案第18页，共1页。

上学期高二数学期末模拟试题01（完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、复数错误！未找到引用源。

的共轭复数是（）A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

2、已知错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

则动点错误！未找到引用源。

的轨迹是（）A．双曲线 B．双曲线右支 C．一条射线 D．不存在3、下列几种推理是演绎推理的是（）A.某校高二1班55人，2班54人，3班52人，由此推出高二所有班级人数超过50人B.两直线平行，内错角相等，如果错误！未找到引用源。

是两条平行直线的内错角，则错误！未找到引用源。

C.由平面三角形性质，推测空间四面体的性质D.在数列错误！未找到引用源。

中，错误！未找到引用源。

，由此归纳数列错误！未找到引用源。

的通项公式4、抛物线错误！未找到引用源。

的准线方程是（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

5、命题“设错误！未找到引用源。

,若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

”及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（）A． 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个6、若条件错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

则错误！未找到引用源。

的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7、双曲线错误！未找到引用源。

的焦距为（）A. 3错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 3错误！未找到引用源。

D. 4错误！未找到引用源。

8、用反证法证明命题“a、b、c、d中至少有一个是负数”时，假设正确的是（）A．a、b、c、d都是负数 B．a、b、c、d都是非负数C．a、b、c、d中至多有一个非负数 D．a、b、c、d中至多有两个是非负数9、焦距等于4，长轴长为8的椭圆标准方程为（）A．错误！未找到引用源。

专题05 直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2020·四川省高二期末（理））直线x =( ) A ．30B ．45C ．60D ．902．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））若直线1x =的倾斜角为α，则α=（ ） A ．0B ．3πC ．2π D ．π3．（2020·江苏省丹徒高中高一开学考试）直线10x y ++=的倾斜角为（ ）A ．4πB ．34π C ．54π D ．2π 4．（2019·江苏省扬州中学高一期中）如果()3,1A 、()2,B k -、()8,11C 在同一直线上，那么k 的值是( ) A ．-6B ．-7C ．-8D ．-95．（2019·山东省高二期中）若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒6．（2019·浙江省高三期中）以下哪个点在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上（ ） A ．（﹣2，3）B ．（0，1）C ．（3，3）D ．（3，2）7．（2020·四川省高二期末（理））已知一直线经过两点(2,4)A ，(,5)B a ，且倾斜角为135°，则a 的值为（ ） A ．-1B ．-2C ．2D ．18．（2019·浙江省高二期中）直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．3[0,][,)44πππ⋃ C ．[0,]4πD ．[0,][,)42πππ⋃9．（2019·内蒙古自治区高二期末（文））已知直线l 的倾斜角为α，若tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=（ ）A ．0B ．2π C ．56π D ．π10．（2019·浙江省镇海中学高一期末）已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（ ） A．⎡⎣B．(,-∞)+∞ C．⎡⎢⎣⎦D．,⎛-∞ ⎝⎦⎫+∞⎪⎪⎣⎭二、多选题11．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）下列说法中正确的是( ) A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤< B ．若k 是直线l 的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角12．（2020·江苏省苏州实验中学高一月考）有下列命题：其中错误的是（ ） A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； C ．坐标平面上所有的直线都有倾斜角； D ．坐标平面上所有的直线都有斜率．13．（2018·全国单元测试）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误．．的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．．三、填空题14．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知点P (1)，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则点Q 的坐标为_____．15．（2020·浙江省温州中学高三月考）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为______，一条直线可能经过______个象限.16．（2019·浙江省效实中学高一期中）若直线斜率k ∈(－1,1)，则直线倾斜角α∈________.17．（2018·山西省山西大附中高二期中（文））已知直线l 经过点()1,0P 且与以()2,1A ，()3,2B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____． 四、解答题18．（2019·全国高一课时练习）已知点()1,2A ，在y 轴上求一点P ，使直线AP 的倾斜角为120︒． 19．（2019·全国高一课时练习）点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围.20．（2020·广东省恒大足球学校高三期末）已知直线l ：320x y +-=的倾斜角为角α. （1）求tan α；（2）求sin α，cos2α的值.21．（上海市七宝中学高二期中）已知直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α. （1）写出α关于m 的函数解析式； （2）若3,34ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求m 的取值范围.22．（2019·全国高一课时练习）经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)(2,1)A B -、的线段总有公共点.（1）求直线l 斜率k 的范围； （2）直线l 倾斜角α的范围；23．（上海位育中学高二期中）直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(-2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,-3)，且AM t AB =（t ∈R ）.(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围.专题05 直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2020·四川省高二期末（理））直线x =( ) A ．30 B ．45C ．60D ．90【答案】D 【解析】直线x ∴其倾斜角为90. 故选：D .2．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））若直线1x =的倾斜角为α，则α=（ ） A ．0 B ．3πC ．2π D ．π【答案】C 【解析】直线1x =与x 轴垂直，故倾斜角为2π. 故选：C.3．（2020·江苏省丹徒高中高一开学考试）直线10x y ++=的倾斜角为（ ） A ．4π B ．34π C ．54π D ．2π 【答案】B 【解析】由题意，直线10x y ++=的斜率为1k =- 故3tan 14k παα==-∴= 故选:B4．（2019·江苏省扬州中学高一期中）如果()3,1A 、()2,B k -、()8,11C 在同一直线上，那么k 的值是( ) A ．-6 B ．-7C ．-8D ．-9【答案】D 【解析】(3,1)A 、(2,)B k -、(8,11)C 三点在同一条直线上，∴直线AB 和直线AC 的斜率相等， ∴11112383k --=---，解得9k =-．故选：D ．5．（2019·山东省高二期中）若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30︒ B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C 【解析】由题意知，直线的斜率k =即直线的倾斜角α满足tan α=， 又0180α︒︒≤<，120α︒∴=，故选：C6．（2019·浙江省高三期中）以下哪个点在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上（ ） A ．（﹣2，3） B ．（0，1）C ．（3，3）D ．（3，2）【答案】B 【解析】由直线的倾斜角为45°，则直线的斜率为tan 451k ==，则过点()2,3-与点（1，2）的直线的斜率为321213-=---，显然点()2,3-不满足题意；过点()0,1与点（1，2）的直线的斜率为12101-=-，显然点()0,1满足题意； 过点()3,3与点（1，2）的直线的斜率为321312-=-，显然点()3,3不满足题意； 过点()3,2与点（1，2）的直线的斜率为22031-=-，显然点()2,3-不满足题意； 即点()0,1在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上， 故选：B.7．（2020·四川省高二期末（理））已知一直线经过两点(2,4)A ，(,5)B a ，且倾斜角为135°，则a 的值为（ ）A ．-1B ．-2C ．2D ．1【答案】D 【解析】由直线斜率的定义知,tan1351AB k ==-, 由直线的斜率公式可得,542AB k a -=-， 所以5412a -=--,解得1a =. 故选:D8．（2019·浙江省高二期中）直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．3[0,][,)44πππ⋃ C ．[0,]4πD ．[0,][,)42πππ⋃ 【答案】B 【解析】直线xsinα+y +2＝0的斜率为k ＝﹣sinα， ∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k ≤1 ∴倾斜角的取值范围是[0，4π]∪[34π，π） 故选：B ．9．（2019·内蒙古自治区高二期末（文））已知直线l 的倾斜角为α，若tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=（ ） A ．0 B ．2π C ．56π D ．π【答案】A 【解析】tan 3πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭tan 0α=，0απ≤<，0α∴=.故选:A10．（2019·浙江省镇海中学高一期末）已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（ ） A．⎡⎣B．(,-∞)+∞ C．,33⎡-⎢⎣⎦D．,3⎛-∞-⎝⎦3⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】B 【解析】因为直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦,又直线的斜率tan k α=,,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦.故tan tan3πα≥=2tan tan3πα≤=故(,k ∈-∞)+∞. 故选：B 二、多选题11．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）下列说法中正确的是( ) A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤< B ．若k 是直线l 的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【答案】ABC 【解析】A. 若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤<,是正确的；B. 若k 是直线l 的斜率，则tan k α=∈R ，是正确的；C. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率，是正确的；D. 任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角，是错误的，倾斜角为90°的直线没有斜率. 故选：ABC12．（2020·江苏省苏州实验中学高一月考）有下列命题：其中错误的是（ ） A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； C ．坐标平面上所有的直线都有倾斜角；D ．坐标平面上所有的直线都有斜率． 【答案】BD 【解析】任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率 当倾斜角为90︒时，斜率不存在 故选：BD13．（2018·全国单元测试）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误．．的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．．【答案】AC 【解析】逐一考查所给的选项：A .存在0k =，使得2l 的方程为0x =，其倾斜角为90°，故选项不正确．B 直线1:10l x y --=过定点()0,1-，直线()()()2:1010l k x ky k k R k x y x +++=∈⇒+++=过定点()0,1-，故B 是正确的．C .当12x =-时，直线2l 的方程为1110222x y --=，即10x y --=，1l 与2l 都重合，选项C 错误；D .两直线重合，则：()()1110k k ⨯++-⨯=，方程无解，故对任意的k ，1l 与2l 都不垂直，选项D 正确． 故选：AC. 三、填空题14．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知点P (1)，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则点Q 的坐标为_____． 【答案】(0，－2) 【解析】因为Q 在y 轴上，所以可设Q 点坐标为()0,y ，又因为tan120︒==2y =-，因此()0,2Q -，故答案为()0,2-.15．（2020·浙江省温州中学高三月考）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为______，一条直线可能经过______个象限. 【答案】0, 0，2，3【解析】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为[)0,π，一条直线可能经过2个象限，如过原点，或平行于坐标轴； 也可能经过3个象限，如与坐标轴不平行且不过原点时； 也可能不经过任何象限，如坐标轴； 所以一条直线可能经过0或2或3个象限． 故答案为：[)0,π，0或2或3．16．（2019·浙江省效实中学高一期中）若直线斜率k ∈(－1,1)，则直线倾斜角α∈________. 【答案】[0°，45°)∪(135°，180°) 【解析】直线的斜率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大由于斜率有正也有负，且直线的斜率为正时，斜率随着倾斜角的增大而增大，故α∈(0°，45°)；又直线的斜率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大，故α∈(135°，180°)；斜率为0时，α＝0°.所以α∈[0°，45°)∪(135°，180°) 故答案为[0°，45°)∪(135°，180°) 17．（2018·山西省山西大附中高二期中（文））已知直线l 经过点()1,0P 且与以()2,1A ，()3,2B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____． 【答案】3[0,][,)44πππ 【解析】当直线l 过B 时，设直线l 的倾斜角为α，则3tan 14παα=-⇒=当直线l 过A 时，设直线l 的倾斜角为β，则tan 14πββ=⇒=综合：直线l 经过点()P 1,0且与以()A 2,1，()B 3,2-为端点的线段AB 有公共点时，直线l 的倾斜角的取值范围为][30,,44πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭四、解答题18．（2019·全国高一课时练习）已知点()1,2A ，在y 轴上求一点P ，使直线AP 的倾斜角为120︒．【答案】(0,2P 【解析】设(0,)P y ，201PA y k -=-，tan120︒∴＝201y --，2y ∴=P ∴点坐标为(0,2.19．（2019·全国高一课时练习）点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围. 【答案】15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】1(1)1(1)y y x x +--=+--的几何意义是过(,),(1,1)M x y N --两点的直线的斜率，点M 在线段28,[2,5]y x x =-+∈上运动，易知当2x =时，4y =，此时(2,4)M 与(1,1)N --两项连线的斜率最大，为53； 当5x =时，2y =-，此时(5,2)M -与(1,1)N --两点连线的斜率最小，为16-.115613y x +∴-+,即HF 的取值范围为15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20．（2020·广东省恒大足球学校高三期末）已知直线l ：320x y +-=的倾斜角为角α.（1）求tan α；（2）求sin α，cos2α的值.【答案】（1）13-；（2）10；45 【解析】（1）因为直线320x y +-=的斜率为13-，且直线的倾斜角为角α， 所以1tan 3α=- （2）由（1）知1tan 3α=-， 22sin 1tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==-⎪∴⎨⎪+=⎩解得sin 10cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin 10cos αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩224cos 22cos 1215αα⎛∴=-=⨯-= ⎝⎭21．（上海市七宝中学高二期中）已知直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α.（1）写出α关于m 的函数解析式；（2）若3,34ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求m 的取值范围. 【答案】（1）3arctan ,0,023arctan ,0m m m m m παπ⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎪⎩；（2）3,3m .【解析】（1）直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α，当0m =时，2πα=当0m >时，则斜率3tan k m α==，3arctan m α=， 当0m <时，则斜率3tan k m α==，3arctan mαπ=+， 所以3arctan ,0,023arctan ,0m m m m m παπ⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎪⎩； （2）当,32ππα时，33,,0,3k m m ，当2πα=时，0m =， 当3,24ππα时，3,1,3,0k m m ， 综上所述：3,3m .22．（2019·全国高一课时练习）经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)(2,1)A B -、的线段总有公共点.（1）求直线l 斜率k 的范围；（2）直线l 倾斜角α的范围；【答案】（1）11k -≤≤（2）3044ππααπ≤≤≤<或 【解析】（1）2(1)110pA k --==-- 1(1)120pB k --==- l 与线段AB 相交pA pB k k k ∴≤≤11k ∴-≤≤（2）由（1）知0tan 11tan 0αα≤≤-≤<或由于tan 0,2y x π⎡⎫=⎪⎢⎣⎭在及(,0)2π-均为减函数3044ππααπ∴≤≤≤<或 23．（上海位育中学高二期中）直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(-2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,-3)，且AM t AB =（t ∈R ）.(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围.【答案】(1) 15t =；(2) k ∈(-∞.,-1]⋃[2,+∞]，3[arctan 2,]4πθ∈ 【解析】(1)由题意可得()42,30(6,3)AB =+-=，(6,3)AM t AB t t ==， ()12,30(3,3)AC =+--=-，所以(63,33)CM AM AC t t =-=-+， ∵CM AB ⊥，则CM AB ⊥，∴()()6633334590CM AB t t t ⋅=-++=-=， ∴解得15t =； (2)由01t ≤≤，AM t AB =，可得点M 在线段AB 上，由题中A 、B 、C 点坐标，可得经过A 、C 两点的直线的斜率11k =-，对应的倾斜角为34π，经过C 、B 两点的直线的斜率22k =，对应的倾斜角为2arctan ,则由图像可知(如图所示)，直线CM 的斜率k 的取值范围为：1k ≤-或2k ≥，倾斜角的范围为：3[arctan 2,]4πθ∈.。