第四章 四边形性质探索(含答案)

第四章《四边形性质探索》水平测试（二）一、选择题（每小题3分，共24分）1、如图1，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O则图中全等三角形的对数为（）A.2B.3C.4D.5图1图22、下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正三角形3、在等腰梯形中，下列结论错误的是（）A.两条对角线相等B.上底中点到下底两端点的距离相等C.相邻的两个角相等D.过上、下底中点的直线是它的对称轴4、已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形5、如图2，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（）A.bc－ab+ac+c2；B.ab－bc－ac+c2；C.a2+ab+bc－ac；D.b2－bc+a2－ab6、菱形的边长为5，一条对角线长为8，另一条对角线长为（）A.4B.6C.8D.107、如图3，周长为68的矩形ABCD被分成了7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）A.98B.196C.280D.284图3图4图58、在正方形ABCD中，点E是BC边的中点，若DE=5，则四边形ABED的面积为（）A.10B.15C.20D.25二、填空题（每小题3分，共24分）9、一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于_______.10、用同一种正多边形作平面镶嵌应满足的条件是__________________.11、平行四边形的一边长为8，一条对角线长为6,则另一对角线a的长应为_______.12、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使EC=AC，连结AE交CD于F，那么∠AFC等于_______；若AB△=2，那么ACE的面积为_______.13、矩形的面积为12cm2，一条边长为3cm，则矩形的对角线长为_______.14、菱形的周长为40cm，两个相邻内角的度数的比为1∶2，则菱形的面积为_______.15、如图4，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=DC，∠A=45°，DE⊥AB于E，且DE=1，那么梯形ABCD的周长为_______，面积为_______.16、如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，△BCD为正三角形，BC=8cm，则梯形ABCD的面积等于_______.三、解答题（17~22题每题6分，23、24小题每题8分，共52分）、在ABCD中，E、F是对角线AC上两点，且AE=CF，四边形DEBF是平行四边形吗？17□请说明理由.18、M□为ABCD的边AD的中点，且MB=MC，你能说明□ABCD一定为矩形吗？写出你的说明过程.19、在正方形 ABCD 中，分别过 A 、C 两点作 l 1∥l 2，作 BM ⊥l 2 于 M ，DN ⊥l 2 于 N ，直线MB 、ND 分别交 l 1 于 G 、P .那么四边形 PGMN 也是正方形，请你说明理由.20、如图，四边形 ABCD 为矩形，四边形 ABDE 为等腰梯形，AE ∥△BD ，那么BED 与△BCD全等吗？为什么？21、矩形 ABCD 的对角线相交于点 O ，DE ∥AC ，CE ∥DB ，DE 、CE 交于 E ，那么四边形DOCE 是菱形，请你写出说明过程.22、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形A′B′C′O绕点O无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的四分之一，你能说明这是为什么吗？23、如图，矩形A BCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于F，若DE=2，矩形ABCD的周长为16，且CE=EF，求AE的长.24、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，若AD+BC=42cm，求：（1）对角线AC的长；（2）梯形ABCD的面积.9.参考答案一、1.C 2.D 3.C 4.B 5.B 6.B7.C8.B二、120°10.正多边形的一个内角度数能整除360°11.10<a<2212.112.5°2213.5cm14.503cm215.42+22+116.243cm2三、17.四边形DEBF是平行四边形，连接BD交AC于O，OB=OD，OE=OF.18.△AMB≌△DM C.∠A=∠D,∠A+∠D=180°∠A=∠D=90°.19.Rt△ABM≌△Rt DAN,AM=DN同理AN=DP，AM+AN=DN+DP，MN=PN.四边形PNMQ是矩形.20.全等BC=AD=BE，CD=AB=DE.21.四边形DOCE是平行四边形，AC=BD，OD=OC.22.△AOE≌△BOF23.324.(1)4cm(2)8cm2。

八年级上册数学第四章四边形性质探索复习试题及答案学习是无止境的，是一个不断积累创新的过程。

下面小编为大家整理了八年级上册数学第四章四边形性质探索复习试题及答案，欢迎大家参考！一、精心选一选！1•如图1, □中，,为垂足•如果ZA二125° ,贝UZBCE=60°（ B ）A. 55°B. 35°C. 25°D. 30°2. 如图2,四边形是菱形，过点作的平行线交的延长线于点，则下列式子不成立的是（B ）A. DA二DEB. BD=CEC. ZEAC=90°D. ZABC二2ZE3. （2019年广州市）如图3,每个小正方形的边长为1,把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（C ）A. B. 2 C . D .4. 在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点0,则下面条件能判定平行四边形ABCD是矩形的是（B ）A.AC 丄BDB. AC=BDC. AC二BD 且AC 丄BDD. AB二AD5•如图4,已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（D ）A、当AB二BC时，它是菱形B、当AC丄BD时，它是菱形C、当ZABC=900时，它是矩形D、当AC=BD时，它是正方形6•如图5,菱形ABCD 中，ZB=60° , AB二2,E、F 分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF,则AAEF的周长为（B ）A. B. C. D. 37. 如图6,已知梯形ABCD 中，AD〃BC, AB二CD二AD, AC, BD 相交于0点，ZBCD二60°,则下列说法不正确的是（B）A.梯形ABCD是轴对称图形；B.梯形ABCD是中心对称图形；C.BC二2AD D.AC 平分ZDCB8•—个多边形内角和是，则这个多边形是（C ）A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形9•下列图形（图5）中，中心对称图形的是（B）10•将矩形纸片ABCD按如图7所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB二3,则BC的长为（D ）A. 1B. 2C.D.二、细心填一填！1•将一张等边三角形纸片沿着一边上的高剪开，可以拼成不同形状的四边形.试写出其中一种四边形的名称.2.如图8,在矩形ABCD中，对角线AC, BD相交于点0,若ZA0B=60° AB二4cm,则AC 的长为—cm.3•如图9所示，根据四边形的不稳定性制作的边长均为15cm的可活动菱形衣架，若墙上钉子间的距离AB=BC=15cm,则Z1 二________ .4.如图10,正方形的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为cm2. 5•如图"，在梯形ABCD中，AD〃BC,E为BC上一点，DE〃AB,AD的长为1, BC的长为2,则CE的长为__________________ .6•如图12所示，菱形中，对角线相交于点，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是（只填一个条件即可）.7.在如图13所示的四边形中，若去掉一个的角得到一个五边形，则度.8•如图14（1）是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图（2）所示的一个菱形.对于图⑴中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：.9. 如图15所示，已知等边三角形ABC的边长为1,按图中所示的规律，用个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是O10. 如图16,矩形的面积为5,它的两条对角线交于点，以、为两邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以、为两邻边作平行四边形，……，依次类推, 则平行四边形的面积为.三、耐心做一做！1 •如图17,在平行四边形ABCD中，ZABC的平分线交CD于点E, ZADC的平分线交AB于点F.试判断AF与CE是否相等，并说明理由.2.如图18所示，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm,求：(1)对角线AC的长度；⑵菱形ABCD的面积.3•在四边形ABCD中，AD〃BC, AB=CD,你认为这样的四边形ABCD 是平行四边形吗？小强：我认为这样的四边形ABCD是平行四边形，我画出的图形如图19 ；小明：我认为这样的四边形ABCD不是平行四边形，我画出的图形如图20 ；你同意谁的说法？并说明理由。

初中数学北师大版《八年级上》《第四章四边形性质探索》同步精初中数学北师大版《八年级上》《第四章四边形性质探索》同步精选课后训练【36】(含答案考点及解析)班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________1.如图，直线为一次函数的图象，则，.【答案】6【考点】初中数学知识点》函数及其图像》一次函数【解析】由图象可知直线经过点（0，6），（4，0），代入即可求出，的值.2.黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富.一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼.捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航.渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛.下图是渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象.（假设渔船与渔政船沿同一航线航行）(1)直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式. (2)求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离.(3)在渔政船驶往黄岩岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？【答案】（1）当0≤t≤5时s =30t；当5＜t≤8时s=150；当8＜t≤13时s=－30t+390 【考点】初中数学知识点》函数及其图像》一次函数【解析】试题分析：由图可知（1）设直线解析式为y=kx+b当0≤t≤5时图像经过原点，所以b=0，经过点（5,150）代入可得s =30t 当5＜t≤8时直线平行于x轴，y值都等于150，故s=150当8＜t≤13时直线从左往右下降，经过点（8,150）和点（13,0）。

代入求出s=－30t+390 （2）渔政船离港口的距离与渔船离开港口的时间的函数关系式设为s=kt+b解得： k=45 b=－360 ∴s=45t－360解得 t=10 s=90渔船离黄岩岛距离为 150－90=\（海里） (3) S渔=－30t+390 S渔政=45t －360 分两种情况：① S渔－S渔政=30 －30t+390－（45t－360）=30 解得t=（或9.6）② S渔政－S渔=3045t－360－（－30t+390）=30 解得 t=（或10.4）∴当渔船离开港口9.6小时或10.4小时时，两船相距30海里. 考点：一次函数点评：本题难度较低，主要考查学生对一次函数图像及性质知识点的掌握，为中考常考题型，要求学生牢固掌握解题技巧。

四边形性质探索2基础知识（一） 1、梯形的相关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。

梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。

梯形的两底的距离叫做梯形的高。

2、梯形的判定（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。

（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

（二）直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

一般地，梯形的分类如下：一般梯形梯形直角梯形特殊梯形等腰梯形（三）等腰梯形1、等腰梯形的定义两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2、等腰梯形的性质（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。

（2）等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补。

（3）等腰梯形的对角线相等。

（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。

3、等腰梯形的判定（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。

（选择题和填空题可直接用）（四）梯形的面积（1）如图，（2）梯形中有关图形的面积：①；②；③七、有关中点四边形问题的知识点：（1）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形；（2）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；（3）顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形；（4）顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形；（5）顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形；（6）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形；（7）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形；八、中心对称图形1、定义在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

一、填空题1.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是________.2.已知：平行四边形一边AB =12 cm,它的长是周长的61，则BC =______ cm,CD =______ cm. 3.如图1,在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，图中全等三角形共有 图1________对. 4.如图1，如果该平行四边形的一条边长是8，一条对角线长为6，那么它的另一条对角线长m 的取值范围是_____.（运用三角形两边之和大和第三边，两边之差小于第三边来解此题。

）5. ABCD 中，若∠A ∶∠B =1∶3,那么∠A =________，∠B =________，∠C =________，∠D =________. 二、选择题1.平行四边形的两邻边分别为3、4，那么其对角线必（ ）A.大于1B.小于7C.大于1且小于7D.小于7或大于1 2.在ABCD 中，M 为CD 的中点，如DC =2AD ，则AM 、BM 夹角度数是（ ）A.90°B.95°C.85°D.100° 3.如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠D =120°，∠CAD =32°.则∠ABC 、∠CAB 的度数分别为（ ）A.28°，120°B.120°，28°C.32°，120°D.120°，32° 三、求解与证明1.如图，已知ABCD 的对角线交于O ，过O 作直线交AB 、CD 的反向延长线于E 、F ， OE =OF 吗？试说明理由.2.如图4，四边形ABCD 是平行四边形，BD ⊥AD ，求BC ，CD 及OB 的长.3. 平行四边形ABCD 的两条对角线AC,BD 相交于O.图4.13(1) 图4.13中有哪些三角形全等? 有哪些相等的线段?(2) 若平行四边形ABCD 的周长是20cm,△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm.求AB,AD 的长.一、选择题1.在□ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是（ ） A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.1∶1∶2∶2 D.2∶1∶2∶12.平行四边行的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（ ）A.2B.4C.6D.8 3.在□ABCD 中，∠A 、∠B 的度数之比为5∶4，则∠C 等于（ ）A.60°B.80°C.100°D.120° 4.□ABCD 的周长为36 cm ，AB =75BC ，则较长边的长为（ ）A.15 cmB.7.5 cmC.21 cmD.10.5 cm§四边形性质的探索 §四边形性质的探索5.如图，□ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为（）B.9.6二、填空题6.已知□ABCD中，∠B=70°，则∠A=______，∠C=______，∠D=______.7.在□ABCD中，AB=3，BC=4，则□ABCD的周长等于_______.8.平行四边形的周长等于56 cm，两邻边长的比为3∶1，那么这个平行四边形较长的边长为_______.9.在□ABCD中，∠A+∠C=270°，则∠B=______，∠C=______.10.和直线l距离为8 cm的直线有______条.三、解答题11.平行四边形的周长为36 cm，一组邻边之差为4 cm，求平行四边形各边的长.12.如图，在□ABCD中，AB=AC，若□ABCD 的周长为38 cm，△ABC的周长比□ABCD的周长少10 cm，求□ABCD的一组邻边的长. 13.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，MN是过O点的直线，交BC于M，交AD于N，BM=2，AN=2.8，求BC和AD的长.14.如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD 上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由.15.如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？为什么？一、选择题1.A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC=AD；④BC∥AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）A.3种B.4种C.5种D.6种2.在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下六个说法中，正确的说法有（）（1）如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（2）如果再加上条件“AB=CD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（3）如果再加上条件“∠DAB=∠DCB”那么四边形ABCD一定是平行四边形；（4）如果再加上“BC=AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（5）如果再加上条件“AO=CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（6）如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形.A.3个B.4个C.5个D.6个3.如图1，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC为∠BAD的平分线，图中与∠AOE相等（不含∠AOE）的角有（）A.2个B.3个C.4个D.5个二、如图2，BD 是ABCD的对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，请问四边形AECF为平行四边形吗?如果是请说明理由。

第四章四边形性质探索回顾与思考◆基础训练一、填空题1．平行四边形的对角线_______，矩形的对角线_______，菱形的对角线______、_______，正方形的对角线______、_______、_______．2．对角线_____________的四边形是平行四边形；对角线_________•的四边形是矩形；对角线_________的四边形是菱形，对角线_________的四边形是正方形．3．如果一个平行四边形的两邻边之比为2：3，周长为30cm，•那么两邻边长为________．4．在 ABCD中，∠A的余角与∠B的和为190°，则∠BAD=________．5．在 ABCD中，∠ADC=125°，∠CAD=34°，则∠ABC=______，∠CAB=______．6．已知菱形的两条对角线的长分别是4cm和8cm，则它的边长为_______cm．7．在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，若AB=4cm，∠C=45°，则CD=_____cm．二、解答题8．如图，已知四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，•猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）．（1）连结________；（2）猜想：________=________．（3）证明：◆能力提高三、解答题9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD=3，BC=6，高DC的长及梯形的周长和面积．10．如图，已知△ABC中，DF∥AC，EF∥AB，AF平分∠BAC．（1）你能判断四边形ADFE是菱形吗？请说明理由．（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形？11．如图，将矩形ABCD折叠，使A与C重合，折痕为EF，若AB=3，AD=4，问题：能求出折痕EF的长吗？◆拓展训练12．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，•动点P从点A开始，沿AD边以1cm/s的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边以3cm/s•的速度向点B运动．已知P、Q两点分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．假设运动时间为t秒，问：（1）t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？（2）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？（3）t为何值时，四边形PQCD是直角梯形？答案:1．互相平分 相等 互相平分 垂直平分 且平分每一组对角 相等 垂直平分 且平分每一组对角2．互相平分 相等且互相平分 垂直平分 相等且垂直平分3．6cm ，9cm 4．40° 5．125° 21° 6．．8．（1）AF （2）AE AF （3）连结AC ，交EF 于O ，可证△AEO ≌△AFO ，得到AE=AF ．9．DC=3.5，周长为16，面积为 10．（1）四边形ADEF 是菱形，理由略．（2）△ABC 是直角三角形时，四边形ADFE 是正方形．11．连结AC ，交EF 于O ，由于A ，C 两点关于EF 对称，所以AO=CO ， •∵AC•⊥EF ，•从而∠AOE=∠COF=90°，由四边形ABCD 是矩形， 可得到AD ∥BC ，于是∠AEF=∠EFC ． 于是△AEO ≌△CFO ，所以EO=FO ，CF=AE ． 由EF ⊥AC 且平分AC ，可知AF=CF ．设AE=x ，则AF=x ，BF=4-x ，在Rt △ABF 中，利用勾股定理可知：x 2=32+（4-x ）2，解得x=258．•而AO=12AC=1212==12×5=52．所以158==，从而EF=154． 12．（1）当PD=CQ 时，24-t=3t ，∴t=6．当t=6秒时，四边形PQCD 为平行四边形．（2）过D 作DE ⊥BC 于E ，CE=26-24=2，．当PQCD 是平行四边形时，CQ=•18，CD ≠CQ ，∴四边形PQCD 不可能是菱形． （3）AP=BQ 时，t=26-3t ，t=132．当t=132秒时，四边形PQCD 是直角梯形．。

第四章 四边形性质探索(2)——菱形的性质和判别一、选择题1、下列说法中，正确的是（ ）A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形;B.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形;D.对角线相等的四边形是菱形2、菱形的周长为16 cm ，相邻两角之比为2∶1,那么菱形对边间的距离是（ ）A.6 cmB. 23cmC.3 cmD.2 cm3、在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点， （如图1）则∠EAF 等于（ ）A.75°B.60°C.45°D.30°图1 图24、已知菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24，且AE =6，则菱形的边长为（ ）A.12B.8C.4D.25、菱形的边长是2 cm ，一条对角线的长是23cm,则另一条对角线的长是（ ）A.4 cmB.3 cmC.2 cmD.23 cm6、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等7、菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（ ） A.43B.83C.103D.123 二、填空题1、菱形的一边与两条对角线所构成两角之比为5∶4，则它的各内角度数为_______。

2、若一条对角线平分平行四边形的一组对角，且一边长为a 时，其他三边长为______；周长为______。

3、菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O 点，若∠OBC =21∠BAC ，则菱形的四个内角的度数为 ___________。

4、若菱形的两条对角线的比为3∶4，且周长为20 cm,则它的较短的对角线等于_________cm,它的面积等于________ cm 2。

5、菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为10 cm ，菱形的周长为______ cm 。

初中数学北师大版《八年级上》《第四章四边形性质探索》《4.5班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________1.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点。

现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x 上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．在旋转正方形OABC的过程中，△MBN的周长为。

【答案】4．【考点】初中数学知识点》图形与变换》图形的对称、平移与旋转【解析】试题分析：利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子即可．试题解析：如图所示：延长BA交y轴于E点，则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，∴∠AOE=∠CON．又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN，在△OAE和△OCN中，∴△OAE≌△OCN（ASA）．∴OE=ON，AE=CN．在△OME和△OMN中∴△OME≌△OMN（SAS）．∴MN=ME=AM+AE．∴MN=AM+CN，∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．考点：1．旋转的性质；2．全等三角形的判定与性质．2.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝6，则BC的长为( ) A．1B．2C．2D．12【答案】C．【考点】初中数学知识点》图形与证明》四边形【解析】试题分析：：∵菱形AECF，AB=6，∴假设BE=x，∴AE=6-x，∴CE=6-x，∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO=∠ECO，∵∠ECO=∠ECB，∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°， 2BE=CE，∴CE=2x，∴2x=6-x，解得：x=2，∴CE=4，利用勾股定理得出： BC+BE=EC，，故选：C．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．菱形的性质；3．矩形的性质．2223.把下图折成正方体后，如果相对面所对应的值相等，那么x的平方根与y的算术平方根之积为．【答案】±【考点】初中数学知识点》数与式》二次根式【解析】由于x��y的相对面是1，x+y的相对面是3，所以x��y=1，x+y=3，由此即可解得x和y的值，然后即可求出x的平方根与y的算术平方根之积．解：依题意得x��y的相对面是1，x+y的相对面是3，∴x��y=1，x+y=3，∴x=2，y=1，∴x的平方根与y的算术平方根之积为±故答案为：±．．4.二次根式A．x<1【答案】B．在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）B．x≥1C．x≤-1D．x【考点】初中数学知识点》数与式》二次根式【解析】试题分析：根据题意得：x-1≥0，解得：x≥1．故选B．考点: 二次根式有意义的条件．5.若【答案】a≤2．，则a的取值范围是【考点】初中数学知识点》数与式》二次根式【解析】试题分析：根据二次根式的性质，等式左边为算术平方根，结果为非负数．试题解析：∵∴a-2≤0．即a≤2．考点: 二次根式的性质与化简．6.如图，?ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是_________ ．【答案】1.【考点】初中数学知识点》图形与证明》四边形【解析】试题分析：根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四边形ABDE，推出DE=DC=AB，根据直角三角形性质求出CE长，即可求出AB的长．试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE=CD，即D为CE中点，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∵AB∥CD，∴∠DCF=∠ABC=60°，∴∠CEF=30°，∵EF=∴∴AB=1.考点: 1.平行四边形的判定与性质；2.含30°角的直角三角形；3.勾股定理.，，7.“四边形是多边形”的逆命题是．【答案】多边形是四边形.【考点】初中数学知识点》图形与证明》四边形【解析】试题分析：逆命题的概念就是把原来的题设和结论互换，因此可得到命题“四边形是多边形”的逆命题．试题解析：命题“四边形是多边形”的逆命题是“多边形是四边形”．考点: 命题与定理．8.若【答案】27，则.【考点】初中数学知识点》数与式》二次根式【解析】因为，所以，所以.9.若四边形的两条对角线相等，则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是( ) A．梯形【答案】C【考点】初中数学知识点》图形与证明》四边形【解析】由四边形的两条对角线相等，知顺次连接该四边形各边中点所得的四边形的四条边相等，即所得四边形是菱形.B．矩形 C．菱形 D．正方形10.如图，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证：EO=FO(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.【答案】（1）见解析；（2）当O为AC中点时【考点】初中数学北师大版》八年级上》第四章四边形性质探索》4.4 矩形、正方形【解析】试题分析：（1）由MN∥BC可得∠BCE=∠CEO，再结合∠BCE=∠ECO可得OE=OC，同理OC=OF，即可证得结论；（2）先根据对角线互相平分的四边形的证得AECF为平行四边形，再根据CE、CF为△ABC内外角的平分线可得∠EOF=90°，即可证得结论. （1）∵MN∥BC，∴∠BCE=∠CEO 又∵∠BCE=∠ECO ∴∠OEC=∠OCE ∴OE=OC,同理OC=OF ∴OE=OF；（2）当O为AC中点时，AECF为矩形感谢您的阅读，祝您生活愉快。

第四章四边形性质探究课后练习题答案〔人教版〕查字典数学网初中频道提供大量初中资料，在第一时间更新初中资讯。

以下是初二数学课后题答案：第四章四边形性质探究随堂练习4.1 平行四边形的性质1.(1)56，124(2)25，30.2.对边可以通过平移互相得到，平移的间隔等于另一组对边的长.习题4.1知识技能1.132，48，3cm.2.125.343.线段AB与CD，BC，AD，AC都是相等的线段;ABC，ADC，BAC，ACD.ACB，DAC等都是彼此相等的角.随堂练习1. 其余各边的长都是5cm，两条对角线的长分别为6 cm 8cm. 习题4.2知识技能1.根据平行四边形性质得 AB=CD，即X+3=1 6，解得：X=13所以周长为50cm2. 根据勾股定理得：AD2+DO2=AO2，根据平行四边形的对角线互相平分，得OA=OC.OB=OD，即：62一32=AD2，AD=27=33cm，AC=26=12cm.数学理解3.(1)对角线把平行四边形分成全等的两部分;(2)略4.2 平行四边形的判别随堂练习1.(1)DA与DC，0B与OD分别相等，理由是：线段AC，BD分别是四边形ABCD的两条对角线，它们互相平分;(2)四边形BFDE是平行四边形，理由是：四边形BFDE的两条对角线EF、 BD互相平分(即OE=OF，OB=OD).习题 4.3知识技能1.∵DF、EB是四边形DEBF的一组平行且相等的对边四边形DEBF是平行四边形.2.∵在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分.EO=0A/2=OC/2=OG，Fo=BO/2= DO/2=HO，即四边形EFGH的两条对角线EG，FH互相平分数学理解3.∵A1B1=AB，A1B1∥AB，□AB B1A1是平行四边形.随堂练习1.假设相等的两组边分别是对边，那么这个四边形一定是平行四边形;假设相等的边分别是邻边，那么这个四边形未必是平行四边形2.图中的平行四边形有口A1A2A5A3，口A2A4A5A3，口A2A5A6A3;习题4.4知识技能1.判别方法有多种，如：(1)由DCA=BAC，得AB∥CD;再结合AB=CD即可断定四边形ABCD是平行四边形;(2)在△ABC，△CDA中，由条件以及AC=CA，可得△ABC△CDA(边角边)，因此AD=CB，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可断定四边形ABCD是平行四边形; (3)在△ABC、△CDA中，由条件以及AC=CA，可得△ABC≌△CDA，得AB∥CD，即可断定四边形ABCD是平行四边形.。

学大教育科技（北京）有限公司 Beijing XueDa Century Education Technology第四章(四边形性质探索)评价试题一、选择题(共5小题，每小题4分，共20分.在四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合要求一项的字母代号填在题后括号内.)1.下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是( )A.AB=CD，AD∥BCB.AB=CD，AB∥CDC.AB∥CD，AD∥BCD.AB=CD，AD=BC2.正方形具有而矩形不具有的性质是( )A.四个角都是直角B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直3.用两个全等(但不是等腰)的直角三角形，一定能拼成下列图形中的( )①等腰三角形；②平行四边形；③矩形；④菱形；⑤正方形.A.①②③B.②③④C.①③⑤D.①②③④⑤4.一个多边形的内角和为540°，则其对角线的条数是( )A.3条B.5条C.6条D.12条5.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点(如图)，则∠EAF等于( )A.75°B.45°C.60°D.30°二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上.)6.在□ABCD中，AB=3，BC=4，则□ABCD的周长等于_______.7.已知□ABCD中，∠B=70°，则∠A=______，∠D=_____.8.如图，□ABCD中，当____时，□ABCD是菱形(只填一个正确结论).9.在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，若∠AOB=100°，则∠OAB= ________.10.每个内角都是144°的多边形是____边形.11.将一张纸对折再对折(两折痕互相垂直)，当AO=BO时，沿图中虚线剪开可得到的图形是____.三、解答题(共5小题，第12题8分，第13～15题各10分，第16题12分，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)12.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D.则四边形ABCD是平行四边形吗? 说明理由.13.如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=12，AB=13，BD⊥AD，求BC，CD及OB的长.14.如图，梯形ABCD中，AB∥CD， AD=BC，∠A=60°，CD=2，AB=6.求BC的长.15.如图，四边形ABCD为矩形，四边形ABDE为等腰梯形，AE∥BD，那么△BED与△BCD全等吗？为什么？16.如下图，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥AB.(1)四边形AEDF是菱形吗？请说明你的理由；(2)四边形AEDF是正方形吗？若不是，则当∠BAC符合什么条件时，AEDF才是正方形？附加题(10分)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A是直角，AD=21cm，BC=24cm，点M从点A开始沿AD边向点D以1cm/s 的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以2cm/s的速度移动，如果M、N分别从A、C两点同出发，试问多长时间后四边形MNCD是等腰梯形？多长时间后四边形MNCD是平行四边形？参考答案及评分标准一、1.B 2.A 3.D 4.B 5.C二、6.14 7.110°，70° 8.AB=BC (或AC⊥BD) 9. 10.40° 11.正方形三、12.答：四边形ABCD是平行四边形.……2分理由：∵AB∥CD,∴∠B＋∠C=180°.……4分∵∠B=∠D，∴∠D＋∠C=180°.……6分∴AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形.……8分13.解:∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=12，CD=AB=13.……4分∵BD⊥AD，∴在Rt△ABCD中，.……8分∴.……10分14.解：过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED=90°.……2分∵CD=2，AB=6，∴AE=(AB-CD)=2.……4分∵∠AED=90°，∠A=60°，∴∠ADE=180°-∠AED－∠A=30°.……6分∴AD=2AE=4.……8分又∵BC=AD，∴BC=4.……10分15.解：△BED≌△BCD.……1分理由：∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB，DC∥AB.……2分∵DC∥AB，∴∠ABD=∠CDB.……3分∵四边形ABCD是等腰梯形，∴ED=AB，∠ABD=∠EDB.∴ED=CD，∠EDB=∠CDB.……6分在△BED和△CDB中，……9分∴△BED≌△CDB.……10分16.(1)答：四边形AEDF是菱形.……1分∵DF∥AB，DE∥AC，∴∠EAD=∠ADF，∠FAD=∠ADE，四边形AEDF是平行四边形.……3分∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD.∴∠ADF=∠ADE.……5分在△ADE和△ADF中，∴△ADE≌△ADF∴AE=AF.∴平行四边形AEDF是菱形. …10分(2)四边形AEDF不一定是正方形，当∠BAC是90°时四边形AEDF是正方形.……12分附加题解：过M作MG∥DC交BC于G.……1分若四边形MNCD是等腰梯形，则NG=CN-MD=2(BC-AD)=2(24-21)=6cm.……3分设t秒后四边形MNCD是等腰梯形，则CN=2t,MD=21-t,∴NG=2t-(21-t)=3t-21=6.∴t=9.……5分即9s后四边形MNCD是等腰梯形.……6分若四边形MNCD是平行四边形,则MD=NC,∴21-t=2t.∴t=7.……9分即7s后四边形MNCD是平行四边形.……10分。

八年级数学单元卷一、填空题：（每小题2分，共26分）ABCD 中，若∠A+∠C ＝1300，则∠A ＝ ，∠D ＝ 。

中，AB ＝2BC ，CD ＝10cm ，则AD ＝ cm 。

3. 如图，已知AD ∥BC ，要使四边形ABCD 为平行四边形，则需添加一个条件是 。

（填写一个你认为正确的条件） A DB C4. 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，对角线一定相等的是 。

5. 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ，∠C 分别为680，1120，则∠D ＝ ，∠B ＝ 。

6. 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，如果满足 或 ，则梯形ABCD 为等腰梯形。

7. 用四边形密铺的图案中，每个拼接点处有 个角，这些角的和为 度。

8. 内角和为18000的多边形是 ；每个外角都是600的多边形是 边形。

9. 四边形ABCD 中，已知AB=7cm, BC=5cm, CD=7cm, AD=______ 时，四边形ABCD 是平行四边形。

10. 菱形ABCD 中，对角线AC ＝6cm ，BD ＝8cm ，则这个菱形的边长是 cm ，面积是 cm 2．11. 如图， 中，AC 与BD相交于点O ，⊿ABO 的周长为15cm ，BD ＝6cm ，AB+CD ＝14cm ，则AC ＝ ．12. 矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15厘米，则短边长为__________。

13、如图：把一张平行四边形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点 落在E 处，BE 与AD 相交于点O. 若∠DBC ＝15°，则∠BOD ＝＿＿＿。

ABCDODOCBODCBA二、选择题：（每小题3分，共27分，每小题只有一个答案正确）14. 下列正多边形中，能够铺满地面的正多边形有（ ） ①正六边形 ② 正方形 ③ 正五边形 ④ 正三角形 （A ）1种 （B ）2种 （C ）3种 （D ）415. 一个菱形两条对角线之比为1：2，一条较短的对角线长为4cm ，那么菱形的边长为（ ）（A ）2cm （B ） 4cm （C ）cm )522( （D ）2cm 516. 如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°，所得的图形与原来的图形重合，那么这个四边形是（ ）（A ）平行四边形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）正方形 17. （n+1）边形的内角和比n 边形的内角和大（ ） （A ）1° （B ）180° （C ）360° （D ）以上都不对 18.下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） （A ）线段 （B ）矩形 （C ）等腰梯形 （D ）正方形 19. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是（ ） ．（A ）矩形 （B ）菱形 （C ）平行四边形 （D ）等腰梯形20. 连接矩形的四条边的中点所组成的图形一定是（ ） （A ） 矩形 （B ）菱形 （C ）正方形 （D ）任意的平行四边形 21. 不能用来密铺的正多边形组合是（ ）．（A ）正五边形和正十边形 （B ）正六边形和正三角形 （C ）正三角形、正方形和正六边形 （D ）正八边形和正方形 22. 如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交 于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则图中 的全等三角形共有（ ）（A ） 2对 （B ）4对 （C ）6对 （D ）8对 三、解答题（共47分）23.（6分）如图，在矩形ABCD 中，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，AB=4cm ,AD=34cm （1）判定△AOB 的形状；（2）计算△BOC 的面积。

撒拉溪中学八年级四边形的性质测试题班级姓名________ 学号得分_______一、填空题(每题３分,共３３分)1、若正方形的对角线为6，则它的面积为。

2、一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是。

3、一个正多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数是。

4、菱形的一个内角是60º，边长是5，则这个菱形的较短的对角线长是。

5、等腰梯形的上、下底边长分别为5 、11 ，高为4 ，则这个等腰梯形的的周长为。

6、若矩形的面积S =16 cm2,其中一边是a = 22cm,则另一边b =_______cm.7、已知菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的周长是，面积是。

8、若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为60°，则该矩形的面积为cm2。

9、若菱形的两对角线之比为3∶4，对角线之差为2cm，则该菱形的周长为cm。

10、若矩形的对角线长为10cm，一边长为6 cm，则另一边长为cm。

11、正方形的边长为2，则对角线长为，若对角线长为1，则正方形的边长为二、选择题。

(每题３分,共３３分)1、以不在同一直线上的三点这三点A、B、C为顶点画平行四边形，可画（）A、4个B、3个C、2个D、1个2、若多边形的边数由3开始增加，则其外角和（）A、增加B、减少C、不变D、（n－2）×180°3、如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，AB=6，BC=8，且AB∥DE，△DEC的周长是（）A、3B、12C、15D、19E DCB AFOED CBA图1 图2 图3F ED CBA4、如 图2，□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB = 4，AD = 3，OF = 1.3，则四边形BCEF 的周长为( ） A 、8.3B 、9.6C 、12.6D 、13.65、当矩形的对角线互相垂直时, 矩形变成( )A 、菱形B 、等腰梯形C 、正方形D 、无法确定. 6、平行四边形一边长为12cm ，那么它的两条对角线的长度可以是（ ）A 、8cm 和14cmB 、10cm 和14cmC 、18cm 和20cmD 、10cm 和34cm 7、如图3，在矩形ABCD 中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形，照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（ ） A 、bc －ab +ac +c 2B 、ab －bc －ac +c 2C 、a 2+ab +bc －acD 、b 2－bc +a 2－ab8、已知一个四边形ABCD 的边长分别为a 、b 、c 、d ，其中a 、c 为对边，且a 2+b 2+c 2+d 2=2ac+2bd ，则四边形是（ ）A 、任意四边形B 、梯形C 、平行四边形D 、对角线互相垂直的四边形； 9、以下图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）A 、平行四边形B 、矩形C 、菱形D 、等腰梯形 10、已知矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O 点，OF ⊥AB ，若AC=2AD ，OF=9，则BD 的长为（ ）Ａ、９０ Ｂ、３６ Ｃ、93 Ｄ、183 11、如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 处，如果∠BAF=60°，则∠DAE=（ ）A 、15°B 、30°C 、45°D 、60° 三、解答题：1、如图，四边形ABCD 是平行四边形，BD ⊥AD ，求BC ，CD 及OB 的长．（６分）1312O D CBA2、已知：Ｅ、Ｆ分别为正方形ＡＢＣＤ中ＢＣ、ＣＤ上的点，且△ＡＥＦ为等边三角形，若正方形的边长为１，求ＥＦ的长。

第四章 四边形性质探索本章综合解说学习目标1. 经历特殊四边形性质的探索过程，丰富从事数学活动的体验，进一步培养推理能力，增强简单逻辑推理意识，掌握说理的基本方法。

2. 掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的关系。

3. 探索并掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法。

，4. 探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解多边形的概念。

5. 通过探索平面图形的密铺，了解三角形、四边形、正六边形可以密铺，能运用这三种图形进行简单的密铺设计。

学法建议四边形和三角形一样，也是基本的平面图形，在前面，“空间与图形”有关知识的基础上，探索并掌握四边形的基本性质，进一步学习说理和进行简单推理，将为同学们空间与图形后继内容的学习打下基础，作为第三学段“四边形”的主要内容，本章主要从多种角度引导同学们探索四边形的性质，重点研究平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形等四边形的有关性质和常用判别方法，并进行简单推理，而对于严密的论证问题，将放置到今后几册再研究。

在已经掌握平行线和相交线的有关几何事实以及初步的观察、操作等活动经验的基础上，本章按照“先特殊多边形（四边形），再一般的多边形的密铺”的设计思路，利用各种手段（包括直观操作，图形的平移、旋转和轴对称，以及简单的说理和初步的推理），比较系统的研究特殊四这形的基础性质和常用判别方法；探究多边形的内角、外角和，研究平面图形的密铺；同时，结合具体内容进一步学习简单推理。

具体地，本章首先能过拼图引入平行四边形，逐步探索平行四边形的对边、对角、对角线的有关性质以及平行四边形的常用判别方法；然后，借助直观或现实的情境分别探索并研究菱形、矩形、正方形、梯形等特点四边形的有关性质和常用判别方法；最后，通过“多边形广场”等实情境，比较自然引导同学们进行多边形内角和、外角和的探索活动，并在平面图形的密铺中进一步强化同学们对多边形内角和及其有关几何事实的认识。

第四章：四边形性质探索一、中考要求：1．经历特殊四边形性质的探索过程，丰富我们从事数学活动的经验和体验，进一步培养合情推理能力，增强简单逻辑推理能力，和掌握说理的基本方法．2．掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的关系．3．探索并掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用的判别方法．4．探索并了解正多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形概念．5．通过探索平面图形的密铺，了解三角形、四边形、正六边形可以密铺，能运用这三种图形进行简单的密铺设计．二、中考卷研究(一)中考对知识点的考查：2004、2005年部分省市课标中考涉及的知识点如下表:(二)中考热点：四边形的折叠问题与函数图象一起考查是2004、2005年中考试题中的热点题型．三、中考命题趋势及复习对策四边形尤其是特殊的四边形，在近几年的中考试题中所占的比例较大，一般有两道题，一个是填空题或选择题，另一个是解答题，分值大约占总分的9％左右，多边形内角和的考题一般以填空题的形式出现；考查平行四边形及特殊的平行四边形时，可能出简单的填空、选择，考查它们的判定条件时多以开放型试题出现的较多，或利用性质计算等；一般情况下有关平行四边形的试题多数为解答题，它将把几种四边形综合在一起，有时也将三角形的知识添加进来，题型比较灵活，复习时要以基础知识和基本技能为主，但要注意各知识点的结合；近年来对平面图形的镶嵌考查的力度有所增加，主要以填空、选择为主，复习时要注重理解概念．★★★(I)考点突破★★★考点1：平行四边形的性质和判定一、考点讲解：平行四边形是四边形中应用广泛的一种图形，它是研究特殊四边形的基础，是研究线段相等、角相等和直线平行的根据之一．1．平行四边形的定义。

两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的定义要抓住两点，即“四边形”和“两组对边分别平行”．四边形的边角按位置关系可分为两类：对边（没有公共端点的两条边）邻边（有一个公共端点的两条边）对角（没有公共边的两个角）邻角（有一条公共边的两个角）对角线：不相邻的两个顶点连成的线段．2．两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离．两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等．3．平行四边形的性质：文字表达：平行四边形的两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．图形如图1－4－1符号语言表达：四边形ABCD是平行四边形4．平行四边形的判定：文字表达：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．图形如图l－4－2：符号语言表达：AB∥CD.BC∥AD⇒四边形ABCD是平行四边形AB=CD，BC=AD⇒四边形ABCD是平行四边形．AB平行且相等CD或BC平行且相等AD⇒四边形ABCD是平行四边形．OA=OC，OB=OD⇒四边形ABCD是平行四边形．∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB⇒边形ABCD是平行四边形．二、经典考题剖析：【考题1－1】（2004、宁安）如图1―4―3，在□ABCD中，如果点M为CD中点，AM与BD相交于点N那么SΔDMN：S□ABCD为（）A．1：12 B．1：9 C．1：8 D．1：6【考题1－2】（2004、海口）如图1―4―4，□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（）A．1＜m＜11 B．2＜m＜22 C．10＜m＜12 D．5＜m＜6【考题1－3】（2004、南宁，2分）顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个___________四边形．【考题1－4】（2004、深圳南山）如图1―4―5，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由，解：添加的条件__________，理由：解：条件：对角线相等．理由：如图l－4－6，连结AC、BD，因为在△ABC中，AE=BE，PF＝CF，所以EF是△ABC的中位线．所以EF=·AC．同理可得FG=12BD，GH=12AC，HE=12BD．又因为AC=BD（添加条件）所以EF=FG=GH=HE．故四边形EFGH为菱形．点拨：主要考查三角形的中位线定理和菱形的判定定理．【考题1－5】（2004、青岛）已知：如图1―4―7在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长；(2)写出图中的两对相似三角形（不需证明）；(3)M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.解：（1）∵PM∥AB，QM∥AC∴四边形AQMP为平行四边形且∠1＝∠C，∠2＝∠B 又∵AB＝AC＝a∴∠B＝∠C ∴∠1＝∠B＝∠C＝∠2∴QB＝QM，PM＝PC∴四边形AQMP的周长为：AQ＋QM＋MP＋PA＝AP＋QB＋PC＋PA＝AB＋AC＝2a；（2）△ABC∽△QBM∽△PMC；（三对中写出任意两对即可）（3）当M为底边BC的中点时，四边形AQMP为菱形. 当M为BC中点时∵PM∥AB. QM∥AC ∴PM12=AB＝2aQM12=AC＝2a∴PM＝QM由（1）知：四边形AQMP为平行四边形∴四边形AQMP为菱形.点拨：通过对四边形的基础知识的考查来增强同学们的探索能力和逻辑思维能力．三、针对性训练：(45 分钟) (答案：233 )1．在□ABCD中，∠C＝∠B+∠D，则∠A＝____2．已知□ABCD的周长为30㎝，AB：BC=2：3，那么AB=___________㎝.3．平行四边形的面积为144㎝2，若相邻两边上的高分别为8cm和12cm，则这两个邻边的长分别是_______和______，平行四边形的周长是_______．4．四边形任意两个相邻的角都互补，那么这个四边形是________．5．在四边形ABCD中，给出下列条件：①AB∥CD，②AD=BC，③∠A＝∠C，④AD∥BC．能判断四边形是平行四边形的组合是_______．6．下面给出四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判别四边形ABCD是平行四边形的是（）A．l：2：3：4 B．2：3：2：3C．2：3：3：2 D．1：2：2：37．平行四边形一组对角的平分线（）A．在同一条直线上．B．平行C．相交D．平行或在同一直线上8．以不在同一直线上的三点作平行四边形的三个顶点，则可作出平行四边形（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如果图1―4―9四边形ABCD是平行四边形，BD⊥AD，OB=3，AD=4，求AB、AC、BC的长及S□ABCD10如图1―4―10，在□ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB=6，BC=4，E、EF、FB为多少？11 现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45○角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并说明你的方案正确的理由．12 如图1―4―11，已知等边三角形ABC的边长为a，P是△ABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF ∥AC，点D、E、F分别在BC、AC、AB上，猜想：PD＋PE+PF=______，并证明你的猜想．13 如图1―4―12，在平行四边形ABCD中，点E、F 在对角线AC上，且AE=CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一个点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等．（只需说明一组线段相等即可）（1）连接_______；（2）猜想________（3）说明理由.14 如图1―4―13，某村有一块四边形池塘，在它的四个角A、B、C、D处均有一棵大核桃树，此村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘的面积扩大一倍，又保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形状，你认为该村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能请说明理由．考点2：矩形、菱形、正方形的性质和判定一、考点讲解：l．菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③具有平行四边形所有性质．2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．7．平行四边形与特殊平行四边形的关系如图1―4―14所示．二、经典考题剖析：【考题2－1】（2004、深圳南山）如图1―4―15，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）A．3 B．4 C．5 D．7解：A 点拨：△AEF≌△DCE，【考题2－2】（2004、贵阳）如图1―4―16，菱形A B CD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点（点P 不与点A 、C 重合）且PE ∥BC 交AB 于 E ，PF ∥CD 交AD 于F ，则阴影部分的面积是___解：2.5 点拨：由题可知，PE ∥BC ，PF ∥CD ．则四边形AEPF 为菱形．由菱形的性质可知，S ΔAEP =S ΔFEP ，所以阴影的面积为S 阴=S ΔABC =12S 菱形=12 ×12×2×5=2.5【考题2－3】（2004、宁安）如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，那么图中阴影部分的面积是_________【考题2－4】（2004、贵阳，10分）如图13，四边形ABCD 中，AC =6，BD =8且AC ⊥BD 顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1；再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2……如此进行下去得到四边形A n B n C n D n . （1）证明：四边形A 1B 1C 1D 1是矩形；（6分）（2）写出四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2的面积； （3）写出四边形A n B n C n D n 的面积；（2分） （4）求四边形A 5B 5C 5D 5的周长.（4分）（1）证明∵点A 1，D 1 分 别是AB 、AD 的中点， ∴A 1D 1是△ABD 的中 位线 ∴A 1D 1∥BD ， 1112A D BD =，同理： B 1C 1∥BD ，1112B C BD =∴11A D ∥11B C ，11A D =11B C ，∴四边形1111ABC D 是平行四边形∵AC ⊥BD ，AC ∥A 1B 1，BD ∥11A D ，∴A 1B 1⊥11A D 即∠B 1A 1D 1=90° ∴四边形1111ABC D 是矩形 （2）四边形1111ABC D 的面积为12；四边形2222A B C D 的面积为6；（3）四边形n n n n A B C D 的面积为1242n⨯； （4）方法一：由（1）得矩形1111ABC D 的长为4，宽为3； ∵矩形5555A B C D ∽矩形1111ABC D ；∴可设矩形5555A B C D 的长为4x ,宽为3x ，则514324,2x x =⨯ 解得14x =；∴341,34x x ==； ∴矩形5555A B C D 的周长=372(1)42+= .方法二：矩形5555A B C D 的面积/矩形1111ABC D 的面积 =（矩形5555A B C D 的周长）2/（矩形1111ABC D 的周长）2即34∶12 =（矩形5555A B C D 的周长）2∶142点拨：本题是识图题，除考查基本的数学知识外，特别考查观察能力和想象能力，第比⑶、⑷题既可以从几何的角度写出结论，也可以从代数的角度写出结论．适合于不同的思维特征的考查．三、针对性训练：( 60分钟) (答案：233 )1．延长等腰三角形ABC顶角平分线AD到E，使DE=AD，连结BE、CE，则四边形ABEC是_____形．2．菱形的周长为40cm，它的一条对角线长为10cm，则菱形相邻的两个角分别是_______和_________．3．菱形的一边与两条对角线所构成的两角之比为5：4, 则它的各内角度数为_______．4．对角线AC=13cm，BC=12cm的矩形ABCD，其面积为_____5．若菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（）A．60○B．45○C．30○D．15○6．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．四个角都是直角B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直7．正方形的对角线长为a，则它的对角线的交点到各边的距离为（）A、22 a B、24 a C、a2D、2 2 a8．如图1―4―19，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC= 10cm，AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，则四边形AEFD的面积为（）A．28cm2 B．26 cm2 C．24 cm2 D 20 cm29．如图1―4―20，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，且CA：BD=l： 3 ,若AB=2，求菱形ABCD的面积．10 如图1―4―2l，在边长为a的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满足A E＋CF=a，说明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正三角形．11 已知如图l－4－22，E是矩形ABCD边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G，则PF＋PG=AB成立吗？为什么？12 已知：如图l－4－23，以△ABC的三边长为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△ACF、△BCE，请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？13在一次数学兴趣小组活动中，组长将两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，并问同学，重叠部分是一个什么样的四边形？同学说：这是一个平行四边形．乙同学说：这是一个菱形．请问：你同意谁的看法．要解决此题，需建构数学模型，将实际问题转化成数学问题来解决，即已知：如图1－4－24，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，边CD与边BC上的高相等，试判断四边形ABCD的形状．14 检查你家（或教室）的门框（或方桌面）是不是矩形，如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？并解释其中的道理。

第四章《四边形性质探索》一、选择题1. 用两块完全重合的等腰直角三角形纸片拼下列图形：①平行四边形（不包括菱形，正方形）②矩形（不是正方形）③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形，一定能拼成的图形是……………………………………………（）A. ①②③B. ①③⑤C. ②③⑤D. ①③④⑤2. 用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形②矩形③菱形④正方形⑤等腰三角形⑥等边三角形，一定能拼成的图形是…（）A. ①④⑤B. ②⑤⑥C. ①②③D. ①②⑤3. 用长为100cm的金属丝制成一个矩形框子，框子的面积不可能是…（）A. 325cmB. 500cmC. 625cmD. 800cm﹡﹡4.剪掉多边形的一个角，则所成的新多边形的内角和…………………（）A. 减少180°B. 增加180°C. 减少所剪掉的角的度数D. 增加180°或减少180°或不变5. 如图，△BDC′是将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形……………………………………………（）A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对6. 2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）。

如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么（ a+b）2的值为……………………………………………………………（）A. 13B.19C.25D.1697. 如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB=5，BC=3，则EC长…………………………………………………………………………（）A. 1B. 1.5C. 2D. 38. 一个多边形的内角和为540°，则其对角线的条数是……………（）A. 3条B. 5条C. 6条D. 12条9. 一个多边形每一个顶点取一个外角，这些外角中钝角最多的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. 国旗上每个五角星……………………………………………………（）A.是中心对称图形而不是轴对称图形B.是轴对称图形而不是中心对称图形C.即是中心对称图形又是轴对称图形D.即不是中心对称图形又不是轴对称图形11. 等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为……………（）A. 120°B. 60°C. 45°D. 135°12. 当一个多边形的边数增加1时，它的外角和增加…………………（）A. 180°B. 0°C. n·180°D. 360°13. 两个多边形的边数之比为2:1，内角之比为8:3，则她们的边数之和为…………………………………………………………………………………（） A. 15 B. 12 C. 21 D. 18二、填空题1. 依次连接等腰梯形的各边中点所成的四边形是________。