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SUUNTO SPARTAN ULTRA 2.6用户指南2021-06-171. 安全 (5)2. 快速入门 (6)2.1. SuuntoLink (6)2.2. 软件更新 (6)2.3. Suunto App (7)2.4. 触摸屏和按钮 (7)2.5. 图标 (8)2.6. 调整设置 (10)3. 功能 (12)3.1. 活动监测 (12)3.2. 飞行模式 (13)3.3. 高度计 (13)3.3.1. FusedAlti (13)3.4. 自动暂停 (13)3.5. 背光灯 (14)3.6. 蓝牙连接 (14)3.7. 按钮和屏幕锁定 (15)3.8. 指南针 (15)3.8.1. 校准指南针 (15)3.8.2. 设置磁偏角 (15)3.9. 设备信息 (16)3.10. 显示屏主题 (16)3.11. “请勿打扰”模式 (16)3.12. 感觉 (16)3.13. 查找回程 (17)3.14. FusedSpeed (18)3.15. GLONASS (19)3.16. GPS 精度和节电 (19)3.17. 心率传感器 (20)3.18. 强度区间 (20)3.18.1. 心率区间 (21)3.18.2. 配速区间 (22)3.18.3. 功率区间 (24)3.19. 间歇训练 (25)3.20. 语言和单位制 (26)3.21. 日志 (26)3.22. 月相 (26)3.23. 通知 (26)3.24. 户外洞察 (27)3.25. 配对 POD 和传感器 (28)23.25.1. 校准自行车 POD (28)3.25.2. 校准 Foot POD (29)3.25.3. 校准 Power POD (29)3.26. 兴趣点 (29)3.26.1. 添加和删除 POI (29)3.26.2. 导航到 POI (30)3.26.3. POI 类型 (31)3.27. 位置格式 (32)3.28. 记录锻炼 (33)3.28.1. 锻炼时使用目标 (34)3.28.2. 锻炼期间的导航 (35)3.28.3. 运动模式节能选项 (35)3.29. 恢复时间 (36)3.30. 路线 (36)3.30.1. 海拔导航 (37)3.31. 由 Komoot 提供支持的转向导航 (37)3.32. 睡眠跟踪 (38)3.33. 运动模式 (39)3.33.1. 游泳 (39)3.34. 暴风雨警报 (39)3.35. 日出和日落闹铃 (40)3.36. 时间和日期 (40)3.36.1. 闹钟 (41)3.37. 计时器 (41)3.38. 提示音和振动 (42)3.39. 训练洞察 (42)3.40. 表盘 (43)4. 保养与支持 (44)4.1. 操作指南 (44)4.2. 电池 (44)4.3. 废弃处置 (44)5. 参考资料 (45)5.1. 技术规格 (45)5.2. 合规性 (46)5.2.1. CE (46)5.2.2. FCC 合规性 (46)5.2.3. IC (46)5.2.4. NOM-121-SCT1-2009 (46)5.3. 商标 (46)5.4. 专利公告 (47)5.5. 国际有限保修 (47)35.6. 版权所有 (48)41. 安全安全预防措施的类型警告 - 结合操作程序或实际情况使用，用于可能导致严重人身伤害或死亡的情况。

均值不等式练习题及答案均值不等式练习题及答案均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。

是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。

尤其要注意它的使用条件。

a2?b21. 若a,b?R，则a?b?2ab 若a,b?R，则ab? 22 2. 若a,b?R，则时取“=”） *a?b?ab2若a,b?R，则a?b?*2ab 2?*a?ba2?b2ab??3. 均值不等式链：若a、b都是正数，则，当且仅当a?b22?ab2时等号成立。

平均数）一、基本技巧技巧1：凑项例已知x?技巧2：分离配凑4，求函数y?4x?2?1的最大值。

x?5 x2?7x?10的值域。

例求y?x?1技巧3：利用函数单调性例求函数y?2的值域。

技巧4：整体代换例已知x?0,y?0，且19??1，求x?y的最小值。

xy典型例题1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ，则XY 的最小值是a?b?22. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值cd是A.0B.1C.D.23. 若不等式x+ax+4≥0对一切x∈平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则2+1的最小值是abA.1B.C.4D.3+225. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是 .6. 已知x,y?R?，且满足xy??1，则xy的最大值为34 ab11?的最小值为 ab1A B C 1 D 7. 设a?0,b?0.3与3的等比中项，则8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是A.428B.C.D.659. 若a?0,b?0,a?b?2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是．①ab?1；②；③ a2?b2?2；④a3?b3?3；⑤11??ab210.设a＞b＞0，则a?11?的最小值是 abaa?b1234 11.下列命题中正确的是12A、y?x?的最小值是B、y?的最小值是xC、y?2?3x?4x的最大值是2? D值是2?12. 若x?2y?1，则2x?4y的最小值是______ 、y?2?3x?4x的最小均值不等式应用一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2*a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2； x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时， y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y4x?2?14x?5的最大值。

江苏省宿迁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类一．实数的运算（共1小题）1．（2023•宿迁）计算：．二．分式的化简求值（共1小题）2．（2023•宿迁）先化简，再求值：，其中．三．二次函数的应用（共1小题）3．（2023•宿迁）某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A 种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．（1）求A、B两种商品的销售单价；（2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？四．二次函数综合题（共3小题）4．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是 （填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 、 ；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．5．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．（1）求二次函数的表达式；（2）①求证：△OCD∽△A′BD；②求的最小值；（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．6．（2021•宿迁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y 轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC 于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．五．三角形综合题（共1小题）7．（2023•宿迁）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即∠CEF＝∠AEF）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD＝1.7m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度；【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1＝2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE2＝3.4m．经测得，小军的眼睛离地面距离CD＝1.7m，BD＝10m，求这个广告牌AG的高度；【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图③）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD＝1.7m），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE＝2.8m；③测出坡长AD＝17m；④测出坡比为8：15（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．六．四边形综合题（共1小题）8．（2021•宿迁）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．（1）如图①，连接BG、CF，求的值；（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN 扫过的面积．七．直线与圆的位置关系（共1小题）9．（2022•宿迁）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC 交于点D．（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．八．切线的判定与性质（共1小题）10．（2023•宿迁）（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB， ．求证： ；从①DE与⊙O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程；（2）在（1）的前提下，若AB＝6，∠BAD＝30°，求阴影部分的面积．九．圆的综合题（共1小题）11．（2022•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点．【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，在Rt△CDE中， ，所以tan∠BAC＝tan∠DCE．所以∠BAC＝∠DCE．因为∠ACP+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠ACP+∠BAC＝90°，所以∠APC＝90°，即AB⊥CD．【拓展应用】（1）如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使＝，写出作法，并给出证明；（2）如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P．使AM2＝AP•AB，写出作法，不用证明．一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）12．（2021•宿迁）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．一十一．列表法与树状图法（共1小题）13．（2021•宿迁）即将举行的2022年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 ．（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率．（请用树状图或列表的方法求解）江苏省宿迁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．实数的运算（共1小题）1．（2023•宿迁）计算：．【答案】0．【解答】解：原式＝，＝0．二．分式的化简求值（共1小题）2．（2023•宿迁）先化简，再求值：，其中．【答案】x﹣1；．【解答】解：＝＝＝x﹣1，当时，原式＝．三．二次函数的应用（共1小题）3．（2023•宿迁）某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A 种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．（1）求A、B两种商品的销售单价；（2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）A种商品的销售单价为30元，B种商品的销售单价为24元；（2）m取5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．【解答】解：（1）设A种商品的销售单价为a元，B种商品的销售单价为b元，由题意可得：，解得，答：（2）设利润为w元，由题意可得：w＝（30﹣m﹣20）（40+10m）+（24﹣20）（40+10m）＝﹣10（m﹣5）2+810，∵A种商品售价不低于B种商品售价，∴30﹣m≥24，解得m≤6，∴当m＝5时，w取得最大值，此时w＝810，答：m取5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．四．二次函数综合题（共3小题）4．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是　②　（填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 、 ；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．【答案】（1）②；（2）①2；②，；（3）＞16．【解答】解：（1）如图：由图可知，与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3有3个交点的是y＝﹣，∴与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是②，故答案为：②；（2）①把x＝1代入得y＝﹣1，把x＝1，y＝﹣1代入函数得，a＝2；②∵2x2﹣5x+2＝﹣，∴2x3﹣5x2+2x+1＝0，∴2x3﹣2x2﹣2x2+2x﹣x2+1＝0，∴（2x3﹣2x2）﹣（2x2﹣2x）﹣（x2﹣1）＝0，∴2x2（x﹣1）﹣2x（x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（2x2﹣2x﹣x﹣1）＝0，∴2x2﹣3x﹣1＝0，∴x＝或x＝．故答案为：，．（3）x1满足方程﹣x+m＝﹣，即﹣mx1＝2，x2，x3满足方程x﹣m＝﹣，即x2，x3是方程x2﹣mx+2＝0的两个根，∴Δ＝m2﹣8＞0，即m2＞8，x2+x3＝m，∴＝（m﹣2x1）2＝m2﹣4mx1+4＝m2+4（﹣mx1）＝m2+8＞16．5．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．（1）求二次函数的表达式；（2）①求证：△OCD∽△A′BD；②求的最小值；（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x；（2）①证明见解答；②；（3）．【解答】（1）解：∵二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，∴二次函数的解析式为：y＝（x﹣0）（x﹣4）＝x2﹣2x；（2）①证明：如图1，由翻折得：∠OAC＝∠A'，由对称得：OC＝AC，∴∠AOC＝∠OAC，∴∠COA＝∠A'，∵∠A'DB＝∠ODC，∴△OCD∽△A′BD；②解：∵△OCD∽△A′BD，∴＝，∵AB＝A'B，∴＝，∴的最小值就是的最小值，y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，∴C（2，﹣2），∴OC＝2，∴当CD⊥OA时，CD最小，的值最小，当CD＝2时，的最小值为＝；（3）解法一：∵S△OCD＝8S△A'BD，∴S△OCD：S△A'BD＝8，∵△OCD∽△A′BD，∴＝（）2＝8，∴＝2，∵OC＝2，∴A'B＝AB＝1，∴BF＝2﹣1＝1，如图2，连接AA'，过点A'作A'G⊥OA于G，延长CB交AA'于H，设抛物线的对称轴与x 轴交于点F，由翻折得：AA'⊥CH，∵∠AHB＝∠BFC＝90°，∠ABH＝∠CBD，∴∠BCF＝∠BAH，tan∠BCF＝tan∠GAA'，∴＝＝，设A'G＝a，则AG＝2a，BG＝2a﹣1，在Rt△A'GB中，由勾股定理得：BG2+A'G2＝A'B2，∴a2+（2a﹣1）2＝12，∴a1＝0（舍），a2＝，∴BG＝2a﹣1＝﹣1＝，∵A'G∥OQ，∴△A'GB∽△QOB，∴＝，即＝，∴OQ＝4，∴Q（0，4），设直线A'B的解析式为：y＝kx+m，∴，解得：，∴直线A'B的解析式为：y＝﹣x+4，∴﹣x+4＝x2﹣2x，3x2﹣4x﹣24＝0，解得：x＝，∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是．（3）解法二：如图3，过点M作MH⊥OA于H，∵△OCD∽△A′BD，∴＝＝＝2，∵OC＝2，∴A'B＝AB＝1，设BD＝t，则CD＝2t，∴A'D＝2﹣2t，OD＝2A'D＝8﹣8t，∵OB＝OD+BD＝4﹣1＝3，∴8﹣8t+t＝3，∴t＝，∴A'D＝2﹣＝，∵A'B＝AB，∠A'＝∠OAC，∠A'BD＝∠ABN，∴△A'BD≌△ABM（ASA），∴AM＝A'D＝，∵△AHM是等腰直角三角形，∴AH＝MH＝，∴M（，﹣），易得BM的解析式为：y＝﹣x+4，∴﹣x+4＝x2﹣2x，解得：3x2﹣4x﹣24＝0，解得：x＝，∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是．6．（2021•宿迁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y 轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC 于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．【答案】（1）y＝；（2）P的坐标是（6，﹣7）；（3）当FP＝FH时，PH＝；当PF＝PH时，PH＝；当HF＝HP时，PH＝；【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（4，0）是抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点，且二次项系数a＝，∴根据抛物线的两点式知，y＝．（2）根据抛物线表达式可求C（0，2），即OC＝2．∴＝＝2，∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴∠ACO＝∠CBO，∴∠QAB＝∠QAC+∠CAO＝∠CBA+45°+∠CAO＝∠ACO+∠CAO+45°＝135°，∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝45°，设P（m，n），且过点P作PD⊥x轴于D，则△ADP是等腰直角三角形，∴AD＝PD，即m+1＝﹣n①，又∵P在抛物线上，∴②，联立①②两式，解得m＝6（﹣1舍去），此时n＝﹣7，∴点P的坐标是（6，﹣7）．（3）设PH与x轴的交点为Q1，P（a，），则H（a，），PH＝，若FP＝FH，则∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ1＝∠BCO，∴tan∠APQ1＝tan∠BCO＝2，∴AQ1＝2PQ1，即a+1＝2（），解得a＝3（﹣1舍去），此时PH＝．若PF＝PH，过点F作FM⊥y轴于点M，∴∠PFH＝∠PHF，∵∠CFA＝∠PFH，∠Q1HB＝∠PHF，∴∠CFA＝∠Q1HB，又∵∠ACF＝∠BQ1H＝90°，∴△ACF∽△BQ1H，∴CF＝AC＝，在Rt△CMF中，MF＝1，CM＝，F（1，），∴AF：，将上式和抛物线解析式联立并解得x＝（﹣1舍去），此时PH＝．若HF＝HP，过点C作CE∥AB交AP于点E（见上图），∵∠CAF+∠CFA＝90°，∠PAQ+∠HPF＝90°，∠CFA＝∠HFP＝∠HPF，∴∠CAF＝∠PAQ1，即AP平分∠CAB，∴CE＝CA＝，∴E（，2），∴AE：，联立抛物线解析式，解得x＝5﹣（﹣1舍去）．此时PH＝．∴当FP＝FH时，PH＝；当PF＝PH时，PH＝；当HF＝HP时，PH＝；五．三角形综合题（共1小题）7．（2023•宿迁）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即∠CEF＝∠AEF）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD＝1.7m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度；【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1＝2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE2＝3.4m．经测得，小军的眼睛离地面距离CD＝1.7m，BD＝10m，求这个广告牌AG的高度；【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图③）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD＝1.7m），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE＝2.8m；③测出坡长AD＝17m；④测出坡比为8：15（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．【答案】【问题背景】17m；【活动探究】3.5m；【应用拓展】信号塔AB的高度约为20m．【解答】解：【问题背景】由题意得：AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，∴∠ABE＝∠CDE＝∠FEB＝∠FED＝90°，∵∠CEF＝∠AEF，∴∠FEB﹣∠AEF＝∠FED﹣∠CEF，即∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED，∴＝，∴AB＝＝＝17（m），答：建筑物AB的高度为17m；【活动探究】如图②，过点E1作E1F⊥BD，过点E2作E2H⊥BD，由题意得：GB⊥BD，CD⊥BD，∴∠GBE1＝∠CDE1＝∠ABE2＝∠CDE2＝∠FE1B＝∠FE1D＝∠HE2B＝∠HE2D＝90°，∵∠CE2H＝∠AE2H，∠CE1F＝∠GE1F，∴∠FE1B﹣∠GE1F＝∠FE1D﹣∠CE1F，∠HE2B﹣∠AE2H＝∠HE2D﹣∠CE2H，即∠GE1B＝∠CE1D，∠AE2B＝∠CE2D，∴△GE1B∽△CE1D，△AE2B∽△CE2D，∴＝，＝，∴BE1＝BD﹣DE1＝10﹣2＝8（m），BE2＝BD﹣DE2＝10﹣3.4＝6.6（m），∴GB＝＝＝6.8（m），AB＝＝＝3.3（m），∴AG＝GB﹣AB＝6.8﹣3.3＝3.5（m），答：这个广告牌AG的高度为3.5m；【应用拓展】如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点C作CN⊥AD于点N，由题意得：BG⊥DG，CD⊥DG，∴∠AGD＝∠CDG＝∠BMA＝∠CND＝90°，∵∠BAM＝∠GAD，∴90°﹣∠BAM＝90°﹣∠GAD，即∠ABM＝∠ADG，∵∠ADG+∠DAG＝90°，∠ADG+∠CDN＝90°，∴∠CDN＝∠DAG，∴90°﹣∠CDN＝90°﹣∠DAG，即∠DCN＝∠ADG，∴∠DCN＝∠ADG＝∠ABM，∴△DCN∽△ABM，∴＝，由题意得：AE＝AD﹣DE＝17﹣2.8＝14.2（m），∵tan∠ADG＝，∴tan∠DCN＝＝，tan∠ABM＝＝，设DN＝am，AM＝bm，则CN＝，BM＝，∵CN2+DN2＝CD2，∴（）2+a2＝1.72，解得：a＝0.8（m）（负值已舍去），∴EN＝DE﹣DN＝2.8﹣0.8＝2（m），CN＝＝1.5（m），∴＝，∴AB＝，同【问题背景】得：△BME∽△CNE，∴＝，∴＝，解得：b＝（m），∴AB＝×≈20（m），答：信号塔AB的高度约为20m．六．四边形综合题（共1小题）8．（2021•宿迁）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．（1）如图①，连接BG、CF，求的值；（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN 扫过的面积．【答案】（1）＝；（2）BE＝2MN，MN⊥BE，理由见解析过程；（3）9π．【解答】解：（1）如图①，连接AF，AC，∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴AC＝AB，AF＝AG，∠CAB＝∠GAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠CAF＝∠BAG，，∴△CAF∽△BAG，∴＝；（2）BE＝2MN，MN⊥BE，理由如下：如图②，连接ME，过点C作CH∥EF，交直线ME于H，连接BH，设CF 与AD交点为P，CF与AG交点为R，∵CH∥EF，∴∠FCH＝∠CFE，∵点M是CF的中点，∴CM＝MF，又∵∠CMH＝∠FME，∴△CMH≌△FME（ASA），∴CH＝EF，ME＝HM，∴AE＝CH，∵CH∥EF，AG∥EF，∴CH∥AG，∴∠HCF＝∠CRA，∵AD∥BC，∴∠BCF＝∠APR，∴∠BCH＝∠BCF+∠HCF＝∠APR+∠ARC，∵∠DAG+∠APR+∠ARC＝180°，∠BAE+∠DAG＝180°，∴∠BAE＝∠BCH，又∵BC＝AB，CH＝AE，∴△BCH≌△BAE（SAS），∴BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，∴∠HBE＝∠CBA＝90°，∵MH＝ME，点N是BE中点，∴BH＝2MN，MN∥BH，∴BE＝2MN，MN⊥BE；（3）如图③，取AB中点O，连接ON，OQ，AF，∵AE＝6，∴AF＝6，∵点N是BE的中点，点Q是BF的中点，点O是AB的中点，∴OQ＝AF＝3，ON＝AE＝3，∴点Q在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，点N在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，∴线段QN扫过的面积＝π×（3）2﹣π×32＝9π．七．直线与圆的位置关系（共1小题）9．（2022•宿迁）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC 交于点D．（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）直线AC与⊙O相切，理由见解答；（2）6﹣π．【解答】解：（1）直线AC与⊙O相切，理由如下：∵∠ABC＝45°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣2×45°＝90°，∴BA⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴直线AC与⊙O相切；（2）连接OD，AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∠AOD＝90°，∵AO＝OB，AB＝4，∴S△ABD＝•AB•OD＝×4×2＝4，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△BOD﹣S扇形OAD＝×4×4﹣×4﹣＝8﹣2﹣π＝6﹣π．八．切线的判定与性质（共1小题）10．（2023•宿迁）（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，　①（答案不唯一）　．求证：　②（答案不唯一）　；从①DE与⊙O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程；（2）在（1）的前提下，若AB＝6，∠BAD＝30°，求阴影部分的面积．【答案】（1）①（答案不唯一）；②（答案不唯一）；证明过程见解答；（2）阴影部分的面积为．【解答】解：（1）若选择：①作为条件，②作为结论，如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，DE与⊙O相切，求证：DE⊥AC，证明：连接OD，∵DE与⊙O相切于点D，∴∠ODE＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥DO，∴∠AED＝180°﹣∠ODE＝90°，∴DE⊥AC；若选择：②作为条件，①作为结论，如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，DE⊥AC，求证：DE与⊙O相切，证明：连接OD，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥DO，∴∠ODE＝180°﹣∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切；故答案为：①（答案不唯一）；②（答案不唯一）；（2）连接OF，DF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝6，∠BAD＝30°，∴BD＝AB＝3，AD＝BD＝3，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB＝30°，在Rt△AED中，DE＝AD＝，AE＝DE＝，∵∠EAD＝∠DAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°，∠DOF＝2∠EAD＝60°，∵OD＝OF，∴△DOF都是等边三角形，∴∠ODF＝60°，∴∠DOB＝∠ODF＝60°，∴DF∥AB，∴△ADF的面积＝△ODF的面积，∴阴影部分的面积＝△AED的面积﹣扇形DOF的面积＝AE•DE﹣＝××﹣＝﹣＝，∴阴影部分的面积为．九．圆的综合题（共1小题）11．（2022•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点．【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，在Rt△CDE中，　tan∠DCE＝　，所以tan∠BAC＝tan∠DCE．所以∠BAC＝∠DCE．因为∠ACP+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠ACP+∠BAC＝90°，所以∠APC＝90°，即AB⊥CD．【拓展应用】（1）如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使＝，写出作法，并给出证明；（2）如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P．使AM2＝AP•AB，写出作法，不用证明．【答案】【操作探究】tan∠DCE＝；【拓展应用】（1）见解析部分；（2）见解析部分．【解答】解：【操作探究】在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，在Rt△CDE中，tan∠DCE＝，所以tan∠BAC＝tan∠DCE．所以∠BAC＝∠DCE．因为∠ACP+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠ACP+∠BAC＝90°，所以∠APC＝90°，即AB⊥CD．故答案为：tan∠DCE＝；【拓展应用】（1）如图②中，点P即为所求．作法：取格点T，连接AT交⊙O于点P，点P即为所求；证明：由作图可知，OM⊥AP，OM是半径，∴＝；（2）如图③中，点P即为所求．作法：取格点J，K，连接JK交AB于点P，点P即为所求．一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）12．（2021•宿迁）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．【答案】约为14米．【解答】解：过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C，如图所示：设AC＝x米，由题意得：PQ＝5米，∠APC＝30°，∠BQC＝45°，在Rt△APC中，tan∠APC＝＝tan30°＝，∴PC＝AC＝x（米），在Rt△BCQ中，tan∠BQC＝＝tan45°＝1，∴QC＝BC＝AC+AB＝（x+3）米，∵PC﹣QC＝PQ＝5米，∴x﹣（x+3）＝5，解得：x＝4（+1），∴BC＝4（+1）+3＝4+7≈14（米），答：无人机飞行的高度约为14米．一十一．列表法与树状图法（共1小题）13．（2021•宿迁）即将举行的2022年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 ．（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率．（请用树状图或列表的方法求解）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是，故答案为：；（2）把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”三张卡片分别记为A、B、C，画树状图如图：共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片图案相同的结果有3种，∴两次抽取的卡片图案相同的概率为＝．。

3x+1猜想不循环的思路3x+1猜想（又称考拉兹猜想）是一个历史悠久、备受研究者关注的数学难题。

猜想的表述非常简单，即对于任何一个正整数n，如果它是奇数，则对它进行如下操作：n → 3n + 1如果它是偶数，则对它进行如下操作：得到的结果再进行同样的操作，直到结果变成1。

众所周知，无论以什么数作为起点，最终都会到达1。

虽然这个猜想看上去很简单，但实际上仍然是一个未解决问题，它至今仍是数学界的一个挑战。

在这篇文章中，我们要介绍的是一个不循环的思路来研究3x+1猜想。

我们会探讨如何通过数学证明来解决这个难题。

首先，我们要考虑的是奇数的情况。

对于任意一个奇数n，经过一次操作后得到的结果是3n+1，如果继续进行下去，最终所得到的结果应该是一个偶数，因为它一定可以被2整除，即：3n + 1 → 3(3n + 1) + 1 → 9n + 4 → 3(3n + 2) + 1 → 27n + 13 → ...显然，上面的计算过程会一直进行下去，但我们知道，最终得到的一定是一个偶数。

因此，我们可以通过逆向思维，证明在偶数序列中每个数的紧随着的一个数都拥有更小的环长，即证明每个偶数序列都会在某个数处进入奇数序列，从而达到1。

假设我们有一个偶数m，且将它除以2得到的结果为n。

我们令m的环长为L(m)，n的环长为L(n)，则根据上面的假设，有：L(m) > L(n)但是，我们还可以从另一个角度来看待这个问题。

我们可以将严格大于号转化成不等式，即：这个不等式的意义是：如果将m除以2得到n，则m的环长至少比n的环长多1。

因此，如果我们有一个偶数序列：m1 → m2 → m3 → ...根据上面的不等式，每次进行除以2的操作后，序列的环长减少至少1。

根据这个性质，所有偶数序列最终都会进入一个奇数序列，然后继续按照猜想所述的操作，最终走到1。

综上所述，我们可以利用逆向思维，通过数学证明来解决3x+1猜想。

我们证明了每个偶数序列都会在某个数处进入奇数序列，最终达到1。

2024-2025九年级上第二次数学教学评估总分120分 时间100分钟一、选择题（每小题3分，共10题，满分30分）1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列是一元二次方程的是（ ）A ．210x +=B ．21x y +=C ．2210x x ++=D ．211x x +=3．关于x 的一元二次方程ax 2﹣5x +a 2+a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．0或﹣14．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（ ）A ．11B ．12C ．22D ．335．如图，AB 是O e 的直径，点C ，D 在O e 上，70AC AD AOD =Ð=°，，则BCO Ð的度数是（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．55°6．已知点()12,A y -，()21,B y ，()35,C y 在二次函数23y x k =-+的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<7．函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则选项中函数()2y a x b c =-+的图象正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知⊙O 的半径为3 cm ，点P 是直线l 上一点，OP 长为5 cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交、相切、相离都有可能9．如图，AB 为O e 的直径，PB ，PC 分别与⊙O 相切于点B ，C ，过点C 作AB 的垂线，垂足为E ，交O e 于点D ．若CD PB ==BE 长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数22y x x c =-+（c 为常数）在14x -<<的图象上存在两个二倍点，则c 的取值范围是（ ）A ．54c -<<B ．01c <<C ．51c -<<D ．04c <<二、填空题（每小题3分，共5题，满分15分）11．若关于x 的方程()21230k x x -+-=是一元二次方程，则k 的值可以是 ．（写出一个即可）12．如果正三角形ABC 的内切圆半径为1，那么三角形的边长为 ．13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =5cm ，BC =12cm ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE ，连接DC 交AB 于点F ，则△ACF 与△BDF 的周长之和为 cm ．14．已知二次函数222022y x x =--的图象上有两点(),1A a -和(),1B b -，则223a b +-的值等于 ．15．如图，已知直线y=34x ﹣3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 在以C （0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA 、PB ，则△PAB 面积的最大值是 ．三、解答题（共8题，满分75分）16．解方程(1)2210x x +-=(2)()221 42x x -=-17．已知关于x 的一元二次方程22210x mx m -+-=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m 的取值范围．18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径作⊙O 交AB 于D 点，连接CD ．（1）求证：∠A=∠BCD ；（2）若M 为线段BC 上一点，试问当点M 在什么位置时，直线DM 与⊙O 相切？并说明理由．19．如图，是一个抛物线形拱桥的截面图，在正常水位时，水位线AB 与拱桥最高点的距离为9m ，水面宽30m AB =．(1)请你建立合适的平面直角坐标系xOy ，并根据建立的平面直角坐标系求出该抛物线的解析式．(2)已知一艘船（可近似看成长方体）在此航行时露出水面的高度为4m ，若这艘船的宽度为18m ，当水位线比正常水位线高出1m 时，这艘船能否从该抛物线形拱桥下方顺利通过，请说明理由．20．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 是O e 的直径，点C 为 BD的中点，弦CE AB ^于点F ，与BD 交于点G ．(1)求证：BG CG =；(2)若1OF =，求AD 的长．21．某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量y （个）与销售单价x （元）满足如图所示的一次函数关系．(1)求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；(2)每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？(3)当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？22．定义：在平面直角坐标系中，图形G 上点P (x,y )的纵坐标y 与其横坐标x 的差y x -称为P 点的“坐标差”，而图形G 上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G 的“特征值”．(1)①点()1,3A 的“坐标差”为 ；②抛物线233y x x =-++的“特征值”为 ；(2)某二次函数()20y x bx c c =-++¹的“特征值”为1，点(),0B m 与点C 分别是此二次函数的图象与x 轴和y 轴的交点，且点B 与点C 的“坐标差”相等．①直接写出m = ；（用含c 的式子表示）②求b 的值．23．如图，△ABC 与△CDE 是等边三角形，连接AD ，取AD 的中点P ，连接BP 并延长至点M ，使PM=BP ，连接AM ，EM ，AE ，将△CDE 绕点C 顺时针旋转．（1）观察猜想在图1中，当点D 在BC 上，点E 在AC 上时，AE 与AM 的数量关系是________，∠MAE=________；（2）探究证明将△CDE 绕点C 顺时针旋转至图2的位置，（1）中的结论是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展应用若CD=12BC ，将△CDE 由图1位置绕点C 顺时针旋转α（0°＜α＜360°），当时，请直接写出α的值．1．D【分析】本题考查了中心对称图形：一个图形绕着某固定点旋转180°后能够与原来的图形重合；根据此定义判断即可．【详解】解：A ．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；B ．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；C ．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；D ．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D ．2．C【分析】一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐项判断即可．【详解】解：A 中方程的未知数的最高次数是1次，故不是一元二次方程，不符合题意；B 中方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意；C 中方程是一元二次方程，符合题意；D 中方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念，熟知一元二次方程满足的条件是解答的关键．3．C【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a 2+a ＝0，解得a 1＝0，a 2＝﹣1，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a 的值．【详解】解：把x ＝0代入ax 2﹣5x +a 2+a ＝0得a 2+a ＝0，解得a 1＝0，a 2＝﹣1，而a ≠0，所以a ＝﹣1．故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．4．B【分析】可设参加会议有x 人，每个人都与其他()1x -人握手，共握手次数为()112x x -，根据一共握了66次手列出方程求解．【详解】解：设参加会议有x 人，依题意得，()11662x x -=，整理，得21320x x --=，解得112x =，211x =-，(舍去)则参加这次会议的有12人．故选：B ．【点睛】考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为()112x x -．5．B【分析】首先由70AC AD AOD =Ð=°，可得70AOC AOD Ð=Ð=°，再由OB OC =可得出1352OBC OCB AOC Ð=Ð=Ð=°．【详解】解：∵在O e 中，70AC AD AOD =Ð=°，∴70AOC AOD Ð=Ð=°，∵OB OC =，∴1352OBC OCB AOC Ð=Ð=Ð=°， 故选：B ．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．6．C【分析】根据题意可得二次函数23y x k =-+的图象的对称轴为y 轴，从而得到点()12,A y -关于对称轴的对称点为()12,y ，再由当0x >时，y 随x 的增大而减小，即可求解．【详解】解：∵二次函数23y x k =-+的图象的对称轴为y 轴，∴点()12,A y -关于对称轴的对称点为()12,y ，∵30-<，∴当0x >时，y 随x 的增大而减小，∵125<<，∴312y y y <<．故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．7．B【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系．先根据函数2y ax bx c =++的图象判断出0,0,0a c b <>>，再根据二次函数的图象特点逐一判断选项即可．【详解】解：∵函数2y ax bx c =++的开口向下，与y 轴的交点位于正半轴，且对称轴位于y 轴的右侧，0,0,02b a c a\<>->，>0b \，∴函数()2y a x b c =-+的开口向下，对称轴为直线0x b =>，与y 轴的交点位于负半轴，观察四个选项可知，只有选项B 符合，故选：B ．8．D【分析】直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若d ＜r ，则直线与圆相交；若d=r ，则直线于圆相切；若d ＞r ，则直线与圆相离．【详解】因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于5.此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交、相切、相离都有可能.故答案为相切，相交或相离.【点睛】考查直线和圆的位置关系，需要求出圆心到直线的距离，与半径进行比较即可得出结论.9．C【分析】作CH PB ^于H ，由垂径定理得到CE 的长，从而求出PH 的长，由勾股定理求出CH 的长，即可求出BE 的长．【详解】解：作CH PB ^于H ，∵直径AB CD ^于H ，∴12CE DE CD ==，∵PC ，PB 分别切O e 于C ，B ，∴PB PC CD ===AB PB ^，∴四边形ECHB 是矩形，∴BH CE ==，BE CH =，∴.PH PB BH =-==∴.3CH ===，∴3BE CH ==．故选：C ．【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理，关键是通过辅助线构造直角三角形，应用勾股定理求出CH 的长．10．D【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线2y x =上，由14x -<<可得二倍点所在线段AB 的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解．【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为2y x =，将1x =-代入2y x =得2y =-，将4x =代入2y x =得8y =，设(1,2)A --，(4,8)B ，如图，联立2y x =与22y x x c =-+，得方程222x x c x -+=，即240x x c -+=Q 抛物线与直线2y x =有两个交点，\2440c D =->，解得4c <，当直线1x =-和直线4x =与抛物线交点在点A ，B 上方时，抛物线与线段AB 有两个交点，把1x =-代入22y x x c =-+，得3y c =+，把4x =代入22y x x c =-+得8y c =+，\3288c c +>-ìí+>î，解得0c >，04c \<<．故选D ．【点睛】本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．11．0（答案不唯一）【分析】根据一元二次方程的定义，可得二次项系数不为0，据此即可求解．【详解】解：∵关于x 的方程()21230k x x -+-=是一元二次方程，∴10k -¹解得：1k ¹，∴k 的值可以是0（答案不唯一）．故答案为：0（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．12．【分析】本题主要考查等边三角形的性质、三角形内切圆的性质、解直角三角形，关键在于作辅助线构建直角三角形．过O 点作OD AB ^，则1OD =，在Rt OAD V 中，即可解答；【详解】解：如图，过O 点作OD AB ^，则1OD =．∵O 是ABC V 的内心，ABC V 是等边三角形，∴30,OAD OA OB AD BD Ð=°==，，在Rt OAD V 中，301OAD OD Ð=°=，，∴tan 30OD AD ==°，∴2AB AD ==故答案为：13．42【详解】∵将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE ，∴△ABC ≌△BDE ，∠CBD =60°，∴BD =BC =12cm ，△BCD 为等边三角形，∴CD =BC =BD =12cm ，在Rt △ACB 中，AB =13，△ACF 与△BDF 的周长之和=AC +AF +CF +BF +DF +BD =AC +AB +CD +BD =5+13+12+12=42（cm ），故答案为：42．14．2022【分析】由题意可得a 、b 是方程2220221x x --=-的两个根，则有2a b +=，又由222021a a =+，将所求式子变形为2232202123a b a b +-=++-，然后再求值即可．【详解】解：Q 点(),1A a -和(),1B b -在二次函数222022y x x =--的图象上，a \、b 是方程2220221x x --=-的两个根，2a b \+=，Q 将(),1A a -代入222022y x x =--，\2220221a a --=-，\222021a a =+，\22()2322021232201842018202a b a b a b +-=++-=++=+=，故答案为：2022．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与方程之间的关系是解题的关键．15．212【详解】由题意得：A(4，0)，B(0,-3)，作CD AB ^ ，sin CD OA CBD BC ABÐ== ,即416455CD CD == ，则max 2115h CD =+= ，则△PAB 面积的最大值是211215=522´´ .16．(1)11x =-+21x =-(2)1213,22x x ==【分析】（1）运用配方法求解；（2）先化成一般式，再运用公式法或配方法求解．【详解】（1）2210x x +-=，2(1)2x +=，∴1x +=1x +=∴11x =-21x =-（2）()221 42x x -=-，23204x x -+=，21(1)4x -=，∴112x -=或112x -=-．∴1213,22x x ==【点睛】本题考查一元二次方程的求解；掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键．17．(1)见解析(2)12m <<【分析】（1）表示出D ，根据D 的数值判断即可；（2）利用公式求出两根，根据两根及其条件列出不等式，并解不等式即可．【详解】（1）解：依题意，得∵()2222(2)41144440m m m m D =--´´-=-+=>∴方程总有两个实数根；（2）解：方程22210x mx m -+-=由（1）得Δ4=∴1x m ==±，∴11x m =+，21x m =-，∵方程的一根大于2，一根小于1，11m m +>-∴1211m m +>ìí-<î∴12m <<．∴m 的取值范围是12m <<．【点睛】本题考查了一元二次方程，相关知识点有：根的判别式、解一元二次方程等，熟悉一元二次方程的知识点是解题关键．18．（1）证明见试题解析；（2）M 为BC 的中点．【详解】试题分析：（1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A ；（2）当MC=MD 时，直线DM 与⊙O 相切，连接DO ，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM 与⊙O 相切．试题解析：（1）证明：∵AC 为直径，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A ；（2）当MC=MD （或点M 是BC 的中点）时，直线DM 与⊙O 相切；解：连接DO ，∵DO=CO ，∴∠1=∠2，∵DM=CM ，∴∠4=∠3，∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴直线DM 与⊙O 相切，故当MC=MD （或点M 是BC 的中点）时，直线DM 与⊙O 相切．考点：切线的判定．19．(1)抛物线的解析式为2125y x =-（答案不唯一，建立的平面直角坐标系不同则答案不同）(2)这艘船能从该抛物线形拱桥下方顺利通过，理由见解析【分析】（1）根据拱桥的实际问题建立直角坐标系，再根据建立直角坐标系得到抛物线的解析式即可解答；（2）根据题意得到船的最高点的纵坐标为4-，再根据抛物线的解析式为2125y x =-得到10x =±，进而得到这艘船最高点在同一水平面的拱桥的宽度为20m 即可解答．【详解】（1）解：建立的平面直角坐标系xOy 如解图所示．观察图象，可知该抛物线的顶点为()0,0，点()15,9A --．∴可设该抛物线的解析式为2y ax =．将点()15,9A --代入2y ax =中，得9225a -=，解得125a =-．∴该抛物线的解析式为2125y x =-；（答案不唯一，建立的平面直角坐标系不同则答案不同）；（2）解：能，理由如下：当水位线比正常水位线高出1m 时，此时船的最高点的纵坐标为9144-++=-．将4y =-代入2125y x =-中，解得10x =±，∴此时与这艘船最高点在同一水平面的拱桥的宽度为10220´=（m ）．∵2018>，∴这艘船能从该抛物线形拱桥下方顺利通过．【点睛】本题考查了二次函数与实际问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．20．(1)见解析(2)2【分析】（1）根据垂径定理以及圆周角定理可得 BCBE CD ==，进而得到CBD CDB BCE Ð=Ð=Ð，再根据等腰三角形的判定可得BG CG =；（2）利用圆心角、弦、弧之间的关系以及垂径定理证得()Rt Rt HL BOM EOF =△△，可得1OM OF ==，再结合三角形中位线定理可得答案．【详解】（1）证明：∵点C 为 BD的中点，∴ BCCD =，又∵弦CE AB ^，AB 是直径，∴ BCBE =，∴ BCBE CD ==，∴CBD CDB BCE Ð=Ð=Ð，∴BG CG =；（2）解：如图，过点O 作OM BD ^，垂足为M ，连接OD ，OE ，∵ BCBE CD ==，∴ BCCD BC BE +=+，即 BDCE =，∴BD CE =，又∵OM BD ^，OF CE ^，∴12DM BM BD ==，12EF CF CE ==，则BM EF =，又∵OB OE =，∴()Rt Rt HL BOM EOF =△△，∴1OM OF ==，∵OA OB =，∴OM 是ABD △的中位线，∴12OM AD =，∴22AD OM ==．【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理以及圆心角、弦、弧、圆心距之间的关系定理，掌握垂径定理、圆周角定理，圆心角、弦、弧之间的关系定理以及等腰三角形的判定方法、全等三角形的判定及性质、三角形中位线定理是正确解答的前提．21．(1)2220y x =-+，4072x ££(2)70元(3)当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元【分析】本题考查了一次函数及二次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数解析式及方程是解决本题的关键．(1)设()0y kx b k =+¹，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，再根据销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，即可求得x 的取值范围；(2)根据题意即可列出一元二次方程，解方程即可求解；(3)设每天获得的利润为w 元，根据题意即可求得二次函数，再根据二次函数的性质，即可求解．【详解】（1）解：设()0y kx b k =+¹，把点()50,120，()60,100分别代入解析式，得5012060100k b k b +=ìí+=î，解得：2220k b =-ìí=î，∴2220y x =-+，∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，∴自变量x 的取值范围是：4072x ££；（2）解：根据题意得：()()2220402400x x -+-=，整理得：215056000x x -+=，解得170x =，280x =，∵4072x ££，∴280x =不合题意，舍去，答：每个吉祥物“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元；（3）解：设每天获得的利润为w 元，根据题意得：()()()22222040230088002752450w x x x x x =-+-=-+-=--+∵20-<，∴抛物线开口向下，∵抛物线对称轴为75x =，销售单价不得高于72元，∴当4072x ££时，w 随x 的增大而增大，∴当72x =时，w 有最大值，最大值为()22727524502432-´-+=，答：当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元．22．(1)①2；②4(2)①m c =-；②3-3+【分析】（1）①由题中所给“坐标差”的定义即可得到点()1,3A 的坐标差．②由坐标差的定义可得：二次函数233y x x =-++图象上点的坐标差为：223323y x x x x x x -=-++-=-++，利用二次函数求最值，即可得出“特征值”．（2）①由题意可得：00m c -=-，由此可得：m c =-．②由m c =-可得点B 的坐标为(),0c -，把点B 的坐标代入()20y x bx c c =++¹中可得()10c c b -+=，由0c ¹可得10c b -+=，即1b c =+，再由()()210y x x b x c c -=-+-+¹的特征值为1可得：()2114b c -+=，两者即可解得b 和c 的值．【详解】（1）解：①由题意，得：点()1,3A 的“坐标差”为312-=，故答案为2；②抛物线233y x x =-++的“坐标差”为()222332314y x x x x x x x -=-++-=-++=--+，∴当1x =时，y x -的值最大，为4，所以抛物线233y x x =-++的“特征值”为4．故答案为4；（2）①∵点C 是此二次函数的图象与y 轴的交点，∴()0,C c ，∵点B 与点C 的“坐标差”相等．∴00c m-=-∴m c =-，故答案为：m c =-．②∵m c=-∴B (),0c -将其代入2y x bx c =-++中，得20c bc c --+=∴()10c c b -+-=∵0c ¹∴10c b +-=，∴1b c =-+①∴其“坐标差”为：()221y x x bx c x x b x c -=-++-=-+-+．∴()221124b b y x x c -éù-æö-=--++ç÷êúèøëû∵“特征值”为1，∴()2114b c -+=②．将①代入②中，244c c +=解得=±-2c ，当2c =，()1213b c =-+=--+=-当2c =-，()1213b c =-+=--+=+综上：b 的值为：3-或3+．【点睛】本题考查新定义“坐标差”“特征值”，仔细阅读，掌握新定义的特征，二次函数的性质，一元二次方程的解法，解题的解题关键是能够正确利用题意进行计算，正确利用“特征值”的定义计算．23．（1）观察猜想：相等，60°；（2）探究证明：成立，见解析；（3）拓展应用：60°或300°【分析】（1）证明四边形ABDM是平行四边形即可解决问题．（2）如图2中，连接BD，DM，BD交AC于点H．证明△BCD@△ACE，推出BD=AE，∠CBD=∠CAE，即可解决问题．（3）首先证明△AEM是等边三角形，画出图形分别求解即可．【详解】解：（1）结论：AM=AE，∠MAE=60°．理由：如图1中，∵AP=PD，BP=PM，∴四边形ABDM是平行四边形，∴AM∥BC，∴∠MAE=∠C=60°，∠MDC=∠ABC=60°∴△MAE和△CDE为等边三角形，∴MA=AE．故答案为AM=AE，60°．（2）如图2中，连接BD，DM，BD交AC于点O，交AE于G．∵△ABC与△CDE是等边三角形，，∴BC=AC，CD=CE，∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD =∠ACE ，∴△BCD @△ACE ，∴BD=AE ，∠CBD =∠CAE ，∴∠ABD +∠CAE=∠CBD +∠ABD =∠ABC=60°，∴∠BAC +∠HAC +∠ABH =60°+60°=120°，∴∠AHB =60°∵AP =PD ，BP =PM ，∴四边形ABDM 是平行四边形，∴AM ∥BD ，AM =BD ，∴∠MAE =∠BHA =60°，AM=AE ，（3）结合（1）的结论，当CD=12BC ，0°＜α＜360°时，，如图3，∴，又ME=AE ，∴△AEC 为直角三角形，∴∠ACE=60°，∴α的值可能为60°或300°综上所述，满足条件的α的值为60°或300°．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。

因为分子的最高次幂与分母的最高次幂相同，所以该极限等于分子与分母的最高次项系数之比让我们来探讨一下极限的概念。

极限是微积分中非常重要的概念之一，它描述了一个函数在某个点附近的行为。

当我们谈论一个函数在某个点的极限时，实际上是在讨论当自变量趋向于这个点的时候，函数的取值会趋向于什么样的结果。

在这篇文章中，我们将讨论的是一个特定的极限形式：当分子的最高次幂与分母的最高次幂相该极限的结果等于分子与分母的最高次项系数之比。

这个性质在求极限的过程中非常有用，下面我们将从简单的例子开始，慢慢深入探讨这一性质。

1. 简单例子让我们先来看一个简单的例子：\[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \]我们可以直接将 x = 2 代入分子和分母，得到：\[ \frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0} \]显然分母为0是不合法的，因此我们需要进行因式分解：\[ \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \]我们可以约去分子和分母的公因式(x-2)，得到：\[ x+2 \]这个例子很直观地展示了当分子和分母的最高次幂相极限的结果等于分子和分母的最高次项系数之比。

在这个例子中，分子和分母的最高次幂都是 x，且它们的系数分别是 1 和 1，因此极限的结果就是 1。

2. 更深入的探讨上面的例子是非常简单的情况，接下来让我们来看一个稍微复杂一点的例子：\[ \lim_{x \to 0} \frac{2x^3 - 3x^2}{4x^3 + 5x^2} \]同样地，我们可以直接代入 x = 0，得到：\[ \frac{2 \cdot 0^3 - 3 \cdot 0^2}{4 \cdot 0^3 + 5 \cdot 0^2} = \frac{0}{0} \]这里同样需要进行因式分解：\[ \frac{2x^3 - 3x^2}{4x^3 + 5x^2} = \frac{x^2(2x - 3)}{x^2(4x + 5)} \]约去公因式 x^2，得到：\[ \frac{2x - 3}{4x + 5} \]在这个例子中，我们可以看到分子和分母的最高次幂都是 x^2，而它们的系数分别是 2/-3 和 4/5。

陕西西工大附中2025届高三第一次调研测试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数22,0,()1,0,x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩，则((1))f f -=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．已知集合{}2{|23,},|1=-<<∈=>A x x x N B x x A ，则集合AB =（ ） A ．{2} B ．{1,0,1}-C ．{2,2}-D ．{1,0,1,2}-3．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．174πB ．214πC ．4πD ．5π4．已知集合{}|0A x x =<，{}2|120B x x mx =+-=，若{}2A B =-，则m =（ ）A ．4B ．－4C ．8D ．－8 5．已知(1)2i ai bi -=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则ab 等于（ ）A ．2B ．-2C ．12D ．12- 6．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()R A B =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x - 7．已知1011M dx x =+⎰，20cos N xdx π=⎰，由程序框图输出的S 为（ ）A ．1B ．0C ．2πD ．ln 28．复数2(1)i i +的模为（ ）．A ．12B ．1C ．2D ．229．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．010．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18%11．函数2sin 1x x y x +=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83C ．4D ．43二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

多项式,整式知识点总结一、整式。

1. 整式的概念。

- 整式为单项式和多项式的统称。

- 整式中的分母不含有字母。

例如，(1)/(x)不是整式，因为分母含有字母x；而3x + 2，5，-(2)/(3)x^2y等都是整式。

2. 整式的分类。

- 单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。

例如，5x，-3，a都是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

例如，在单项式-3x^2y中，系数是-3，次数是2 + 1=3。

- 多项式：几个单项式的和叫做多项式。

例如，2x^2+3x - 1是多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。

多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

如多项式x^3 - 2x^2+5x - 3，它的项分别是x^3、-2x^2、5x、-3，常数项是-3，次数是3。

二、多项式。

1. 多项式的项与次数。

- 项：如前面所述，多项式是由几个单项式相加组成的，其中的每个单项式就是多项式的项。

例如，多项式3x^2 - 2x+1有三项，分别是3x^2、-2x、1。

- 次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数。

在多项式4x^3 -2x^2+5中，次数最高的项是4x^3，其次数为3，所以这个多项式的次数是3。

2. 多项式的排列。

- 升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

例如，多项式x^2+3x^3 - 2x + 1按x的升幂排列为1 - 2x+x^2+3x^3。

- 降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。

例如，上述多项式按x的降幂排列为3x^3+x^2 -2x+1。

3. 同类项与合并同类项。

- 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

几个常数项也是同类项。

乌鲁木齐一中登顶U18三人篮球亚洲杯以普通高中生为班底，代表中国队出战国际赛事，这在各级别国字号男篮中还不多见，但在三人篮球赛场上已经成为了现实。

在近日结束的国际篮联U18三人篮球亚洲杯上，由乌鲁木齐一中队员组成的中国男队击败多支劲旅，获得冠军。

而中国女队在主力受伤无法轮换的不利情况下，也通过自己的努力获到了第3名。

据中国篮协三人篮球办公室负责人柴文胜介绍，我国参加本次亚洲杯的两支队伍是通过2017年年初的全国U18三人篮球锦标赛产生的，由比赛的男女冠亚军队员各8人组成初步集训队伍，在秦皇岛进行了为期半个月左右的集训。

最终中国男队全部由乌鲁木齐一中的4名队员组成，主教练是来自该校的吴昱斐。

中国女队由中山体校和潍坊一中组成。

柴文胜表示：“通过国内锦标赛选拔参加洲际比赛队伍的模式已经实行了两三年，效果不错，适合三人篮球项目初级阶段的现状，给了普通中学生代表国家出战国际比赛的机会。

他们通过在国外的比赛和学习，回来之后可以带动地方篮球的发展。

”乌鲁木齐一中是当地的重点中学，4位出战亚洲杯的校队成员均为1999年以后出生，分别是1.97米的李浩楠、1.92米的杨子腾、2.08米的鲁吐布拉和1.91米的阿合卓力·努尔多拉。

主教练吴昱斐大学毕业刚两年，之前参加了CUBA 联赛。

这支队伍代表中国出战，最大的优势就是配合默契。

小组赛阶段，中国男队击败印尼，输给中国台北，以小组第二的身份出线。

四分之一决赛他们以21：12击败斯里兰卡，半决赛以同样的比分战胜卫冕冠军卡塔尔。

决赛再次与中国台北相遇，球队做好了充分的思想和战术准备，比赛中完全发挥出了自己的优势，最终以17：12胜出，登上冠军领奖台。

决赛中拿下9分，全部比赛贡献33分的李浩楠荣膺赛事MVP 。

中国女队小组赛开局就发挥强势，连续击败新加坡和吉尔吉斯斯坦，四分之一决赛又完胜黎巴嫩。

遗憾的是，在这场比赛中一名主力球员受伤，缺席了之后的全部比赛，结果无法轮换的女队在半决赛以16：19惜败印尼。

2025届浙江省杭州地区重点中学数学高三第一学期期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）A ．48B ．60C ．72D ．1202．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ）A ．33-B ．3C ．332-D ．32 3．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫=⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0 B ．55 C ．66 D ．784．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于（ ） A ．345i +- B ．345i + C ．34i -+ D ．345i -+6．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．6⎛ ⎝⎦B ．,15⎫⎪⎪⎣⎭C ．0,5⎛ ⎝⎦D ．,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭7．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．12⎛ ⎝B ．12⎡⎢⎣C ．1,2e ⎛ ⎝⎦D ．12⎛ ⎝⎭8．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ）A ．163iB ．6iC ．203iD ．2010．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是A ．2()(2)3-∞+∞，， B ．2(2)3， C ．22()33-， D ．22()()33-∞-+∞，， 11．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ）A ．1427B ．2C ．1D ．312．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（ ）A ．58B ．25C ．35D ．78二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市东城区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．3x =是关于x 的方程220x x m --=的一个根，则m 的值是（）15-．3-3．关于二次函数21)2y =+，下列说法正确的是（）．当1x =时，有最小值为2．当1x =时，有最大值为．当=1x -时，有最小值为2．当=1x -时，有最大值为．在下列事件中，随机事件是（）．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球．通常情况下，自来水在10℃结冰．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2．如图，正方形ABCD 的边长为6，且顶点B ，C ，D 都在）A ．3B ．6326．北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续．某地滑雪场第一周接待游客人，第三周接待游客8470人．设该地滑雪场游客人数的周平均增长率为A ．2m 10π8．如图，O 是ABC 半径为2，6AB =，A ．123B ．24二、填空题9．将抛物线22y x =向下平移310．若一元二次方程261x x +-为．11．为了解某品种小麦的发芽率，某农业合作小组在相同条件下对该小麦做发芽试验，试验数据如下表：种子个数n 550发芽种子个数m44415．如图1，一名男生推铅球，铅球的运动路线近似是抛物线的一部分，铅球出手位置的高度为5m 3，当铅球行进的水平距离为y （单位：m ）与水平距离过原点的水平直线为式为2112y x =-．若以过出手点且与地面垂直的直线为建立如图3所示的平面直角坐标系16．某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需施工要求如下：①先完成工序A ，B ，②完成工序A 后方可进行工序③完成工序D 后方可进行工序④完成各道工序所需时间如下表所示：工序AB三、解答题作法：①作边AB 的垂直平分线，交AB ②以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．则O 为所求作的圆．(1)利用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明．证明：连接OC ．由作图可知，12OB OA AB ==∴点B 在O 上，在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，12OC ∴=（）（填推理依据）．OC OA ∴=．∴点C 在O 上．ACB ∴ 的三个顶点都在O 上．19．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数(3)当03x <<时，对于x 的每一个值，都有2kx x bx >+，直接写出k 的取值范围．20．某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A ，B ，C ，D ，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．(1)请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；(2)求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．21．如图，AB 是O 的弦，半径OD AB ⊥于点C ，若16AB =，2CD =，求O 的半径的长．22．已知关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m -++-=．(1)当该方程有两个不相等的实数根时，求m 的取值范围；(2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求m 的值．23．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O ，B 为格点（每个小正方形的顶点叫做格点），3OA =，4OB =，且150AOB ∠=︒，线段OA 关于直线OB 对称的线段为OA '，将线段OB 绕点O 逆时针旋转45︒得到线段OB '．(1)画出线段OA '、OB '；(2)将线段OB 绕点O 逆时针旋转()4590αα︒<<︒得到线段OC '，连接A C '．若5A C ''=，(1)求证：直线DE 是O (2)若30BAC ∠=︒，BC =25．食用果蔬前，适当浸泡可降低农药的残留．某小组针对同种果蔬研究了不同浸泡方式对某种农药去除率的影响．方式一：采用清水浸泡．记浸泡时间为t 分钟，农药的去除率为t （分）5810()1%y 305057方式二：采用不同浓度的食用碱溶液浸泡相同时间．记食用碱溶液的浓度为x ()%x 257(2)利用方式一的函数关系可以推断，降低该种农药残留的最佳浸泡时间约为______分钟；(3)利用方式一和方式二的函数关系可以推断，用食用碱溶液浸泡含该种农药的这种果蔬时，要想不低于清水浸泡的最大去除率，食用碱溶液的浓度%x 中，x 的取值范围可以是_____．26．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)c 在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设该抛物线的对称轴为直线x t =．(1)求t 的值；(2)已知()11,M x y ，()22,N x y 是该抛物线上的任意两点，对于11m x m <<+，212m x m +<<+，都有12y y <，求m 的取值范围．27．在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，D 为BC 上一点，连接DA ，将线段DA 绕点D 顺时针旋转60︒得到线段DE ．(1)如图1，当点D 与点B 重合时，连接AE ，交BC 于点H ，求证：AE BC ⊥；(2)当BD CD ≠时（图2中BD CD <，图3中BD CD >），F 为线段AC 的中点，连接EF ．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题：①依题意，补全图形．②猜想AFE ∠的大小，并证明．(1)在点1(3,0)P ，2(1,2)P -，3(4,1)P -(2)若P 是直线3y x =-+上的动点，(3)已知点(0,3)A ，A 的半径为1线36y x =+的“和距离”d 的取值范围．。

福建省厦门2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题本试卷共4页。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若经过两点的直线的倾斜角为，则等于（）A.-3B.-1C.0D.22.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.3.已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（）A. B. C. D.4.已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于A，B两点，若，则的斜率为（）5.如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形若该椭圆恰好平分的另两边，则椭圆的离心率为（）(3,1)(2,1)A y B+-、3π4y22221(0,0)x ya ba b-=>>542y x=±12y x=±43y x=±34y x=±22:(1)(2)1M x y+++=22(3)(4)1N x y-++=：l l 250x y++=250x y--=250x y++=250x y--=2:4C y x=F F l C16||3AB=l22221(0)x ya ba b+=>>12,F F12F F12AF F 12AF FV12,AF AF6.已知为双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为E ，O 为坐标原点，若的面积为1，则的焦距的最小值为（ ）A.1B.2C.4D.7.如图，已知直线与抛物线交于A ，B 两点，且交AB 于点，点的坐标为，则方程为（ ）A. B. C. D.8.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（ ）A.的虚轴长为6B.的离心率为C.的渐近线方程为D.点到的一条渐近线的距离为410.已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A 、B ，则下列描述正确的有（ ）1-F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>F C OEF V C l 22y x =,OA OB OD AB ⊥⊥D D (1,1)l 20x y +-=20x y ++=20x y -+=20x y --=12,F F P 12PF PF >1PF 2F 1e 2e 2114e e +(5,)+∞(6,)+∞(7,)+∞(6,7)F 22:1169x y Γ-=ΓΓ54Γ430x y ±=F ΓP :60l x y +-=Q 22:(1)(1)4C x y -+-=P CA.直线与圆相交B.|PQ |的最小值为C.四边形PACB 面积的最小值为4D.存在点，使得11.如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值，则（ ）A.曲线关于直线对称B.曲线经过点，其方程为C.曲线围成的图形面积小于D.存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆的焦距是2，则的值是_____________.13.已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过抛物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为____________.14.双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数的图象是双曲线，它的实轴在直线上，虚轴在直线上，实轴顶点是，焦点坐标是，已知函数.则其在一象限内的焦点横坐标是__________.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知圆与轴交于A ，B 两点，动点与点A 的距离是它与点距离倍.（1）求点的轨迹方程;l C 2-P 120APB ︒∠=C C (0)a a >C y x =C (1,1)--()322||x yxy +=C 2π8a (2,6)a ∈C 221(4)4x y m m +=>m 24y x =A x B C ABC V 1y x=y x =y x =-(1,1),(1,1)--(y x =+e 22O :4x y +=x P B P（2）过点作倾斜角为直线交点的轨迹于M ，N 两点，求弦长|MN |.16.（本小题15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点.（1）求双曲线的方程;（2）直线与双曲线相交于两点，若线段AB 的中点坐标为，求直线的方程.17.（本小题15分）已知椭圆分别为椭圆的左、右顶点.（1）求椭圆的方程;（2）过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点，记AP 的斜率为的斜率为.求证:为定值.18.（本小题17分）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.（1）求抛物线的方程;（2）设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段AB 的中点.（i ）求证:点N 在定直线上;（ii ）若的面积为6，求点A 的坐标.19.（本小题17分）通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点，（1）已知平面内点，点，把点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标；（2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆，B 45︒l P 2222:100x y C a b a b-=>>（，）0x -=P C l C ,A B (3,2)l 2222:1(0)x y C a b a b+=>>,F A B C C (1,0)D l l C M 1,k BQ 2k 12k k 2:2(0)C y px p =>F (,2)M t C ||2MF =C ()()1122,,,A x y B x y 12x x <C M AMB ∠x N MAB ∆(,)AB x y =AB A θ(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+B A θP (A B -B A π3P P 221x y xy +-=22221(0)x y a b a b+=>>O π4C（i ）求斜椭圆的离心率;（ii ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆于点M 、N ，过原点作直线与直线垂直，直线交斜椭圆于点G 、H是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.C Q 1l C O 2l 1l 2l C 21||OH +福建省厦门2026届高二上期中考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

一元二次方程知识点总结一、一元二次方程的概念。

1. 定义。

- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

2. 判断方程是否为一元二次方程。

- 首先看方程是否为整式方程。

- 然后看是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，同时二次项系数不为0。

例如x^2+2x - 1 = 0是一元二次方程；而x^2+(1)/(x)=1不是一元二次方程，因为它是分式方程。

二、一元二次方程的解法。

1. 直接开平方法。

- 对于方程x^2=p(p≥0)，解为x=±√(p)。

- 例如方程(x - 3)^2=4，则x - 3=±2，解得x = 1或x = 5。

2. 配方法。

- 步骤：- 把方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的常数项移到等号右边，得到ax^2+bx=-c。

- 二次项系数化为1，即x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)。

- 在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。

- 左边写成完全平方式(x +(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}，然后用直接开平方法求解。

- 例如解方程x^2+6x - 7 = 0，移项得x^2+6x = 7，配方得x^2+6x + 9 = 7+9，即(x + 3)^2=16，解得x = 1或x=-7。

3. 公式法。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}(b^2-4ac≥0)。

- 步骤：- 确定a、b、c的值。

- 计算b^2-4ac的值，判断方程是否有实数根。

- 当b^2-4ac≥0时，代入求根公式求解。