2016年秋季学期新版北师大版期九年级数学上册拓展资源：古代文献中的相似三角形问题

构造相似基本恩图形，为解题打开一扇智慧之门相似三角形问题解答时，常遇到或构造一个重要解题基本图形，这个基本图形构成元件非常简单，但是这个图形的解题内涵非常丰富，能为很多问题的破解提供强有力的方法支撑.一起走进这个基本图形.一、认识基本图形如图1，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC上的点，且DE∥BC.则△ADE∽△ABC.常见基本结论：一“=”型比例式：AD:BD=AE:EC；AD:AB=AE:AC；AD:AE=BD:CE.连“=”型比例式：AD:AB=AE:AC=DE:BC.二、基本图形的解题应用（一）.直接应用型1.1探求被截线段的长度例1（2019年四川内江市）如图2，在△ABC中，DE∥BC，AD=9，DB=3，CE=2，则AC的长为（）A．6B．7C．8D．9解析：因为DE∥BC，所以=，即=，所以AE=6，所以AC=AE+EC=6+2=8．所以选C．点评：这是平行线分线段成比例定理的简易图形，是定理的一个重要缩影，更是解题的一个重要工具性图形，识记图形是基础，活用图形解题是根本，据图正确选择比例式是解题的关键.1.2探求与截线平行线段的长度例2（2019年广西贺州市）如图3，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD=2，AB=3，DE=4，则BC等于（）A．5B．6C．7D．8解析：因为DE∥BC，所以ADE∽ABC，所以=，即=，解得：BC=6，所以选B．点评：基本图形中，当求与截线平行的线段长时，要转换解题思路，把平行线分线段成比例定理转型为“A”字型的三角形相似问题解决，这种转化思想很重要．1.3探求非比例线段，非平行线段的线段的长度例3（2019年广西贵港市）如图4，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD=∠B，若AD=2BD，BC=6，则线段CD的长为（）A．2B．3C．2D．5解析：设AD=2x，BD=x，所以AB=3x，因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以=，所以=，所以DE=4，=，因为∠ACD=∠B，∠ADE=∠B，所以∠ADE=∠ACD，因为∠A=∠A，所以△ADE∽△ACD，所以所以==，设AE=2y，AC=3y，所以，所以CD=2，所以选：C．=，所以AD=y，点评：在“A”字型基本图形中解题，实现三个维度的目标：一是三角形相似，构造连等比例式；二是巧妙引进未知数表示未知线段，化抽象线段为具体表达线段，利于计算；三是依托基本图形为基础，提供新条件，为新三角形的相似奠基，为问题的最终解决搭桥．1.4甄别比例式例4（2019年浙江省杭州市）如图5，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M 为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（）A．=B．=C．=D．=所以=(FH)2=()2=,设S解析：因为DN∥BM，所以△ADN∽△ABM，所以=，因为NE∥MC，所以△ANE∽△AMC，所以=，所以=．所以选C．点评：平行“A”字型基本图形中的比例式，有两个来源，一个来源是平行线分线段成比例定理及其变式；一个来源是基本图形中的三角形相似所满足的三边关系比例式，解题时，要注意知识的选择，更要注意比例式的选择，不能混淆导致错误．1.5等腰三角形中，探求图形的面积例5（2019年湖南省常德市）如图6，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（）A．20B．22C．24D．26解析：如图6，根据题意得△AFH∽△ADE，39DE416∇AFH=9x，则S∇ADE=16x，所以16x﹣9x=7，解得x=1，所以S∇ADE=16，所以四边形DBCE的面积=42﹣16=26．所以选D．点评：解题不仅需要知识综合能力，方法选择能力，也需要有高超的图形识别能力，入微的图形观察能力，拓展细小知识点的能力，如这里“所有三角形都相似”意味着这里的三角形都是等腰三角形，FH∥DE∥BC，必须清楚；其次，全等三角形是一种特殊的相似三角形，因此所有小等腰三角形是全等的，因此其底是相等的，从而发掘了一个重要的隐含条件，△AFH与△ADE的相似比为3:4，从而彻底打开了问题解决的大门，使得解题走向成功.1.6直角三角形中，探求动点问题例6（2019年海南省）如图7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（）A．B．C．D．解析：因为∠C=90°，AB=5，BC=4，所以AC=AB2-BC2=3，1△A'ED=S=()2=()2=2=，所以=或=-，因为PQ∥AB，所以∠ABD=∠BDQ，又∠ABD=∠QBD，所以∠QBD=∠BDQ，所以QB=QD，所以QP=2QB，因为PQ∥AB，所以△CPQ∽△CAB，所以==，即==，解得，CP=，所以AP=CA﹣CP=，所以选B．点评：利用基本图形，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，角平分线的性质定理和直角三角形特有的勾股定理都为解题提供强有力的条件支撑．1.7巧用相似性质，探求平移问题例7（2019年山东省枣庄市）如图8，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′=1，则A′D等于（）A．2B．3C．4D．解析：设平移后的三角形与BC的交点分别E,F，因为S△ABC=16,S△A'EF=9,且AD为BC边的中线，所以S S2△ABC=8,S19=△,因为将ABC沿BC边上的中2△A'EF2线AD平移得到△A'B'C'，所以A′E∥AB，所以△DA′E∽△DAB，设A′D=x，根据题意，9S得△SA'ED△ABDA'D x9x3x3AD x+1816x+14x+14解得x=3或x=-37(舍去），所以A′D=3，所以选B．点评：本题就有如下特点：一是借助平移构造生成解题需要的基本图形，这是运用相似三角形性质的关键所在；二是三角形中线等分三角形面积的性质，为计算面积比奠定基础；三是相似三角形面积比等于相似比的平方，这是构造等式的关键．1.8平行四边形中，探求相似三角形的对数例8（2019年广西玉林市）如图9，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（）A．3对B．5对C．6对D．8对解析：图中的三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA，因为AB∥EF∥DC，AD∥BC所以AEF∽△ABC，所以EF所以△AEG∽△ADC∽CFG∽△CBA，所以一共6对相似三角形，分别是：△AEG∽△ADC，△AEG∽CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽CFG，△ADC∽△CBA，CFG∽△CBA，所以选C.点评：通过解题，获得如下解题经验：一是借助基本图形寻找相似三角形，这是一条非常基本且有效的途径；二是利用相似的传递性寻找相似三角形，这是防止漏落的高效策略；三是紧盯全等三角形这个特殊组合，不能因大意而失荆州.1.9正方形中，探求截取问题例9（2019年贵州省毕节市）如图10，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC=1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm2解析：设AF=x，则AC=3x，因为四边形CDEF为正方形，所以EF=CF=2x，EF∥BC，AF1==,所以BC=6x，BC AC3在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，所以302=(3x)2+(6x)2，解得，x=25，x=-25（舍去），所以AC=65，BC=125，所以剩余部分的面积=×125×65﹣45×45=100（cm2），所以选A．点评：看似是图形的截取问题，实质是三角形的相似问题，是两个知识点的有机融合：一是相似三角形提供比例式，确定线段之间的比例关系，为解题提供数量关系；二是直角三角形的勾股定理，把分散的数量关系集中的股沟定理的等式中，把比例的数量关系转化为定量的具体值，从而实现解题目标．（二）.构造应用型2.1直角三角形内，构造基本图形探求线段长例10（2019年安徽省）如图11，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC 上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF=EG，则CD的长为（）A．3.6B．4C．4.8D．5所以OF解析：如图11，作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，所以，因为EF⊥AC，∠C=90°，所以∠EFA=∠C=90°，所以EF∥CD，所以△AEF∽△ADC，所以，所以，因为EG=EF，所以DH=CD，设DH=x，则CD=x，因为BC=12，AC=6，所以BD=12﹣x，因为EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，所以EG∥AC∥DH，所以△BDH∽△BCA，所以，即，解得，x=4，所以CD=4，所以选B．点评：明确题意，作出合适的辅助线，构造解题需要的基本图形是解题的关键，利用好数形结合的思想是解题成功的根本．2.2一般三角形内，构造基本图形探求线段的比例11（2019年四川省凉山州）如图12，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD 的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE：EC＝（）A．1：2B．1：3C．1：4D．2：3（1）形内构造基本图形，中位线定理辅助证明型解法1：如图13，过点O作OF∥BC，交AC于点F，则DO:BO=DF:FC,因为DO=BO，所以BC=2OF，DF=FC，所以DC=2FC=2DF，因为AD：DC＝1：2，所以DC=2AD，所以AD=DF=FC，因为OF∥BC，AD212EC3==,所以BC=EC，所以=,所以BE:EC=1:3.所以选B.EC AC323BC4解法2：如图14，过点D作DF∥AE，交BC于点F，则DO:BO=EF:BE,因为DO=BO，所以BE=EF，因为DF∥AE，所以AD:DC=EF:FC,因为AD：DC＝1：2，所以EF:FC=1:2，所以FC=2EF=2BE,所以BE:EC=BE:(EF+FC)=BE:(BE+2BE)=1:3.所以选B.解法3：如图15，过点O作OF∥AC，交BC于点F，则DO:BO=CF:BF,因为DO=BO，所以BF=CF，DC=2OF,因为AD：D C＝1：2，所以OF=AD，所以AC=AD+DC=3OF，因为OF∥A C，所以OF:AC=EF:EC=1:3,所以FC=2EF，因为FC=BF，所以2EF=BE+EF，所以EF=BE，所以BE:EC=1:3.所以选B.点评：上述三种解法，都涉及到了三角形的中位线定理，巧妙运用三角形的中位线等于三角形第三边的一半作为解题的桥梁，把问题一步步化解，最终实现解题目标.通过解题，得到如下重要启示：遇到中点，构造平行线，构造三角形中位线定理是一种有效的解题方法，要熟练驾驭，灵活运用.（2）形内构造基本图形，面积辅助证明型解法4：如图16，过O作OG∥BC，交AC于G，因为O是BD的中点，所以G是DC的中点．因为AD：DC=1：2，所以AD=DG=GC，所以AG：GC=2：1，AO：OE=2：1，所以△SAOB△：SB OE=2，设△SBOE=S，S△AOB=2S，因为BO=OD，所以△SAOD＝2S，S△ABD＝4S，因为AD：DC=1：2，所以△SBDC=2S△ABD=8S，S四边形CDOE=7S，所以△SA EC=9S，S△ABE=3S，所以，故选：B．点评：三角形面积辅助型解题，重要掌握好如下几点：1.三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形.2.等高的三角形面积之比等于对应底的比.3.相似三角形的面积之比等于相似比的平方.这些都是与三角形面积相关问题解决的主要知识源，要熟记活用.（3）性外构造基本图形辅助证明型解法5：如图17，过点C作CF∥BD，交AE的延长线于点F，所以∠ADO=∠ACF，∠AOD=∠AFC，所以△AOD∽△AFC，所以OD:FC=AD:AC,因为AD：DC＝1：2，所以DC=2AD，所以OD:FC=AD:(AD+2AD)=1:3，因为DO=OB，所以OB:FC=1:3，因为OB∥CF，所以∠OBE=∠FCE，∠BOE=∠CFE，所以△BOE∽△CFE，所以BE:EC=OB:FC=1:3.所以选B.解法6：如图18，过点C作CF∥AE，交BD的延长线于点F，所以∠ADO=∠CDF，∠AOD=∠CFD，所以△AOD∽△CFD，所以OD:DF=AD:DC,因为AD：DC＝1：2，所以OD:DF=1:2,因为DO=OB，所以OB:OF=1:3，因为OE∥CF，所以BE:EC=OB:OF=1:3.所以选B.解法7：如图19，过点A作AF∥BD，交CB的延长线于点F，因为AF∥BD，所以AD:DC=FB:BC，BD:AF=DC:AC，因为AD:DC=1:2，所以FB:BC=1:2，BD:AF=2:3,因为BO=OD，所以BD=2BO，所以2BO:AF=2:3,所以BO:AF=1:3,因为AF∥BD，所以BE:EF=1:3，所以EF=3BE，所以FB=2BE，因为BC=2FB，所以BE+EC=4BE,所以EC=3BE，所以BE：EC=1:3,所以选B.解法8：如图20，过点B作BF∥AE，交CA的延长线于点F，因为BF∥AE，所以BE:EC=FA:AC，因为BO=OD，所以FA=AD，因为AD:DC=1:2，所以FA:AC=1:3，所以BE：EC=1:3,所以选B.点评：“A”字型图是利用相似三角形解决问题中最常见也是最常用的基本图形，发现或构造这个基本图形是解题能力不断提升的关键，构造了基本图形，不仅把三角形相似的知识得以运用，而且把三角形的全等，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理等重要知识也有机融合在一起，为解决问题提供了广阔的解题方法空间，思维空间，为数学解题能力的提升也有极大帮助.。

顶角相等
A
第
A'
一
种
情
B'
C'
况
B
C
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
底角相等 A
第
A'
二
种
情
B'
C' 况
B
C
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A
顶角与底角相等
A'
B'
B
C
两三角形不类似
第 三 种 C' 情 况
例：如图,D,E分别是△ ABC边AB,AC上的点, DE∥BC. （1）△ ADE 与 △ ABC 类似吗？为什么？
能否像判断三角形全等那样，利用尽可 能少的条件判断两个三角形类似吗？
1、如果两个三角形只有一个内角对应相等，那么 这两个三角形一定类似吗？能举例说明吗？
一个角对应相等的两个三角形不一定类似。
2、如果两个三角形有两个内角对应相等，那 么这两个三角形一定类似吗？
请根据下列条件画三角形：同桌两人一组， 一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使∠A= ∠A′＝45 ° ，∠B= ∠B′＝60 °。
解： DE / /BC, ADE B,AED C, ADE∽ ABC(两角分别相等的两个三角形相似) AD DE .
AB BC BC AB DE 710 14
AD 5
图3-13
2、判断下列说法是否正确,并说明理由. （1）有一个锐角相等的两个直角三角形类似.( ) （2）顶角相的两个等腰三角形都类似。( )
3. 如图，要使△ABC∽△ACD，需要添加条
件 ∠ACD=∠B 或∠ADC=∠. ACB

板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求相似三角形 了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H====''''''''（k 为相似比）．H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”．1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母A B C，，恰为ABC△的顶点；分母的两条线段是BE和BF，三个字母B E F，，恰为BEF△的三个顶点．因此只需证ABC EBF△∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母A B C，，恰为ABC△的顶点；右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母D E F，，恰为DEF△的三个顶点．因此只需证ABC DEF△∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。

讲授新课
一 探究定理“两角分别相等的两个三角形相似”
问题：画△ABC，使∠A=30°,∠B=45°，再画
△A′B′C′，使∠A′=30°,∠B′=45°.观察这两个三 角形形状相同吗？你能证明∠C=∠C′吗？量出这两 个三角形的三边，计算对应边是否对应成比例？由 此你可以得出什么结论？
这两三角形是相似的
∠F=60 ° ．求证：△ABC∽△DEF. A
D
B
CE
F
证明：∵ 在ΔABC中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ，
∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=180 °－40 °－80 °=60 °.
∵ 在ΔDEF中，∠E=80 °，∠F=60 °.
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.
∴ △ABC∽△DEF（两角对应相等，两三角形相似）.
下面我们来证明一下：
已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
A
A’
B
C
D
E
B’
C’
证明：在△A′B′C′的边A′B′、A′C′上，分 别截取A′D=AB，A′E=AC，连接DE.
∵A′D=AB，∠A=∠A′，A′E=AC， ∴△A′DE≌△ABC,∴∠A′DE=∠B， 又∵∠B′=∠B，∴∠A′DE=∠B′， ∴DE∥B′C′， ∴△A′DE∽△A′B′C′， ∴△A′B′C′∽△ABC.
∴ AD DE .
AB BC
B
∴BC=14.
A E C
例2：如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB，
求证：△ADE∽△EFC.
A
解: ∵ DE∥BC，EF∥AB.
∴∠AED＝∠C，

定 定理2:两边成比例且夹角相等的
理 证
两个三角形类似.
明
类似三角形
定理3：三边成比例的两个三
判定定理的
角形类似.
证明
定理的运用
再见
∴BACB＝BBDE ， 即：BBCE＝BADB .
在△DBE和△ABC中，∠CBE＝∠ABD， ∴∠CBE＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC， ∴∠DBE＝∠ABC且 BBCE＝BADB. ∴△DBE∽△ABC.
练习 1.如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是 三边上的点，AE=BF=CD，那么△ABC与△DEF类似 吗？请证明你的结论.
∴ ΔADE≌ΔA'B'C'， ∴ ∠ADE=∠B'，
A A'
又∵ ∠B'=∠B，
∴ ∠ADE=∠B， ∴ DE//BC， ∴ ΔADE∽ΔABC。
D
E
B
C B'
C'
∴ Δ A'B'C' ∽ΔABC
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形类似.
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
分析：由已知条件∠ABD＝∠CBE， ∠DBC公用，所以∠DBE＝∠ABC，要证 的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证 两个三角形类似，可再找一对角相等，或
者找夹这个角的两边对应成比例．从已知条件中可看 到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例 的线段，问题就可以得到解决．
证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD， ∠BCE＝∠BAD，∴△CBE∽△ABD，
2．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中 点，点F在BC上，且FC= 1 BC．图中类似

初中数学北师大版九年级上册
第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
第1课时 相似三角形的判定（1）
类比引入
可否用比较少的条件来判定三角形相似呢？ 类比全等三角形
相似多边形
各角分别相等、各边成比例
相似三角形
三角分别相等、三边成比例
复习回顾
[——北师版 七年级 数学下册 教材P93、P98、P101、P103]
A
C B A'
C' B'
例1 如图，D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，
DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长. A
平行
角相等
△相似
解：∵ DE∥BC，
D
∴∠ADE＝∠B，∠AED=∠C.
B
∴△ADE∽△ABC （两角分别相等的两个三角形相似）.
∴ AD DE .
AB BC
CP AC
3. 如图，画一个三角形，使它与△ABC相似，且相 似比为1:2.
A
E
B
F
C
①取AB、BC的中点 E、F，连接EF. 则△ABC∽△EBF， 且相似比为1:2
3. 如图，画一个三角形，使它与△ABC相似，且相
似比为1:2.
E
A
则△ABC∽△EBF，
且相似比为1:2
B
C
F
②分别延长AB、BC，使EB=2AB，FB=2CB.
AB AC
∴△ABC∽△A′B′C′
B′
A
C A′
C′
例 如图，D，E分别是△ABC的边 AC ，AB上的点，AE＝1.5，
AC＝2，BC＝3，且 AD ，3 求DE的长 .
AB 4

角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 6、判定直角三角形相似的方法： (1)、以上各种判定均适用．(2)、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．知识点8 、相似三角形常见的图形1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2)、如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A 共角型”、 “反A 共角共边型”、 “蝶型”）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”ABCD E12AABBCC DDEE12412(1)E ABCD(3)DBCAE (2)CDEAB（1）、位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点. （2）、位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.（3）、位似图形的对应边互相平行或共线.3、位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.注：位似图形具有相似图形的所有性质.4、画位似图形的一般步骤：（1）、确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）（2）、分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.（3）、根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.（4）、顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤注意：①、位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。

②、外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）③、内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）（5）、在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),相似三角形经典例题透析类型一、相似三角形的概念1、判断对错：(1)、两个直角三角形一定相似吗？为什么？(2)、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？(3)、两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？(4)、两个等边三角形一定相似吗？为什么？(5)、两个全等三角形一定相似吗？为什么？思路点拨：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例.要说明不相似，则只要否定其中的一个条件.解：(1)、不一定相似.反例直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不一定相似.(2)、不一定相似.反例等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定相似.(3)、一定相似.在直角三角形ABC与直角三角形A′B′C′中(4)、一定相似.因为等边三角形各边都相等，各角都等于60度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，因此两个等边三角形一定相似.(5)、一定相似.全等三角形对应角相等，对应边相等，所以对应边比为1，所以全等三角形一定相似，且相似比为1.【变式2】下列能够相似的一组三角形为( )A、所有的直角三角形B、所有的等腰三角形C、所有的等腰直角三角形D、所有的一边和这边上的高相等的三角形类型二、相似三角形的判定1、如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.2、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？举一反三【变式1】、已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．.【变式3】、已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．求证：△DFE∽△ABC．类型三、相似三角形的性质1、△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.2、如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.举一反三【变式1】△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求.类型四、相似三角形的应用举一反三【变式1】、如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．【变式2】、已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？类型五、相似三角形的周长与面积1、已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．【变式2】、如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．(1)、当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；(2)、当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；类型六、综合探究1、如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P为垂足，PE交DC于点E，(1)、设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；(2)、请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由.中考链接：例1、 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE 2＝EF·EG证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2， 即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CE EF∴EC 2＝EG· EF ，故EB 2=EF·EG【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证 明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到 相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。

激情导课:片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG,则AG 的长为（）4A . 1B . jC .31D . 2（检查学生做的情况，大部分学生利用勾股定理计 算。

） 这道题目也可以利用相似三角形来计算。

有时利用 相似三角形解决问题较简便。

今天我们复习相似三 角形。

（出示课题）二、民主导学在我们学习相似三角形这一章时同学们做了许 多题目，今天我们来回顾一下，看看他们之间有没 有联系，同时检验一下同学们对图形的感觉。

1、如图（1）,已知 CA=8,CB=6 , AB=5 , CD=4 （1）若 CE= 3，贝U DE= _16⑵如图（2）若CE= 了 ，贝U DE= _______ .2、 如图(3),在"ABC 中，D 为AC 边上一点，/ DBC= / A ,BC=, AC=3 ,则 CD 的长为()35(A ) 1( B ) 2( C ) [(D )[3、 如图(4), / ABC=90 埃？SPAN>BD 丄AC 于 D , DC=4 , AD=9，贝U BD 的长为()16(A ) 36( B ) 16( C ) 6(D ) 「4、 如图，F 、C 、D 共线，BD 丄 FD, EF 丄 FD , BC 丄EC ,若 DC=2 , BD=3 , FC=9,则 EF 的长为( )如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4 , AD=3，折叠纸 检查学生做的情 况，大部分学生利用 勾股定理计算。

也可以利用相似 三角形来计算由此引 出课题（这四道题 目先留时间 给学生在下 面做，再让一 个学生上黑 板讲解。

）学习相似三角形 这一章时同学们做了 许多题目，今天我们 来回顾一下，看看他 们之间有没有联系， 同时检验一下同学们 对图形的感觉。

由这四条题目让学生 感受图形从一般到特 殊的变化。

(A)6 ( B) 16 ( C) 26 (D)2检查学生归纳小结的相似三角形基本图形：对双垂直型图形蕴含的一些等式关系进行回顾总结：1、勾股关系A B=BD+A D AC 2=AD+C D BC2=A B+A C师生共同在黑板上逐一画出基本图形回顾双垂直型中重要的定理和关系式重要图形重点强调2、射影定理A B=BD*BC A C=CD*BC A D=BD*CD3、等面积关系AB*AC=BC*AD探索一、多媒体演示双垂直型通过平移转变为三垂直型让学生感受三垂直型与双垂直型的联系。

探索三角形相似的条件（一）
福鼎一中
林刚
如图，为了测量一个大峡谷的宽度，位于峡谷一侧的地质 勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O，再 在他们所在的这一侧选点A、B、D，使得AB AO,DB AB, 然后确定DO和AB的交点C，测AC=120m,CB=60m,BD=50m, 你能帮助他们算出峡谷的宽AO吗？
D C O
解：△AOB∽△COD
∵AB∥CD ∴∠CDO=∠ABO A ∠DCO=∠BAO B
AD D E 2.如图，在△ABC中，DE∥BC,EF∥AB,求证: EF FC
证明：∵DE∥BC ∴∠AED=∠C ∵EF∥AB ∴∠CEF=∠A ∴△ADE∽△EFC(两角 分别相等的两个三角形相似)
A
D
E C
AD D E ∴ EF FC
B
F
题后反思(小结)
1.如何找两角相等？谈谈你的经验…
(原题重现)
2.在解题过程中我们有哪些细节需要注意？谈谈你的 体会…
O
D
B A C
C O
D
A
B
A
D
E C
B
F
课后作业：
1、课本习题4.5 1 ，2，3（必做）
2、拓展延伸
提升
三边都不相等的锐角三角形ABC的边AC上有一点D,过点 D可画________条直线，使截得的三角形与原三角形相似.
A
D
C
B
如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且 △ABC≌△DEF,将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不 动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运 动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点. (1)△ABE∽△ECM (2)探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三 角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；

古代文献中的相似三角形问题
古塔测高有一座古塔，不知有多高，测得
影长为11.3米。

现将一长为0.8米的竹竿直立，
使其影子的末端与塔影的末端重合，测得竹竿的影
长为0.2米。

求塔高。

（图2）
这个例子源于古希腊哲学家泰勒斯测量金字
塔高度的传说以及欧几里得《光学》中对物体高度
的测量。

隔河测距在A和B之间有一条河。

在BA延长线上取一点C，作BC的垂线AD和CE，点D位于BE上。

测得AC=5米，CE=3.3米，AD=3米。

求AB之间的距离。

这个问题源于古希腊海伦《Dioptra》中的间接测量问题。

推求邑方今有邑方不知大小，各开中门。

出北门三十步有木。

出西门七百五十步见木。

问：邑方几何？。