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1．2反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数y＝kx(k＞0)的图象与性质01基础题知识点1反比例函数y＝kx(k>0)的图象1．函数y＝1x的图象可能是(A)2．下列各点在反比例函数y＝2x的图象上的是(C)A．(1，0.5) B．(2，－1) C．(－1，－2) D．(－2，1)3．反比例函数y＝3x的图象与x轴的交点有(A)A．0个B．1个C．2个D．3个4．反比例函数y＝k＋1x的图象如图所示，则k的取值范围是k＞－1．5．反比例函数y＝k2x的图象的两个分支分别位于第一、三象限．6．画出反比例函数y＝4x的图象．解：列表：x …－8 －4 －3 －2 －1 －12121 2 3 4 8 …y＝4 x …－12－1 －43－2 －4 －8 8 4 243112…描点、连线：知识点2 反比例函数y ＝kx (k ＞0)的性质7．对于反比例函数y ＝4x ，下列说法正确的是(C)A ．图象经过点(4，－1)B ．图象位于第二、四象限C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大8．已知反比例函数y ＝6x ，当1＜x ＜3时，y 的取值范围是(A)A ．2＜y ＜6B ．－2＜y ＜－6C ．－1＜y ＜0D ．0＜y ＜69．对于反比例函数y ＝3x 的图象的对称性，下列叙述错误的是(D)A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于直线y ＝－x 对称D ．关于x 轴对称10．反比例函数y ＝2x 的图象上有两个点(2，y 1)、(4，y 2)，则y 1＞y 2.(填“＞”“＜”或“＝”)11．在反比例函数y ＝k －2 017x的图象的每一条曲线上，y 随x 的增大而减小． (1)函数经过哪些象限？ (2)求k 的取值范围． 解：(1)∵反比例函数y ＝k －2 017x的图象的每一条曲线上，y 随x 的增大而减小， ∴函数图象经过第一、三象限．(2)∵函数图象在每个象限内，y 随x 的增大而减小， ∴k －2 017＞0，即k ＞2 017.02中档题12．如图，反比例函数y＝8x的图象的一个分支为(D)A．①B．②C．③D．④13．姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随x值的增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是(C)A．y＝2x B．y＝－2xC．y＝5x D．y＝－5x14．已知三点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在函数y＝5x的图象上，当x1＞x2＞0＞x3时，下列结论正确的是(A)A．y2＞y1＞y3B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y215．已知反比例函数y＝kx的图象经过点(3，4)．(1)求k的值，并在坐标系中画出此函数的图象；(2)x取何值时y小于0?解：(1)将(3，4)代入y＝kx中，得k＝12，图象如图所示．(2)x＜0时，y小于0.16．如图是反比例函数y＝2k＋4x的一支，根据图象回答下列问题：(1)图象的另一支在哪个象限？常数k的取值范围是什么？(2)取一个你认为符合条件的k值，写出反比例函数的表达式，并求出当x＝－6时反比例函数y的值．解：(1)另一支位于第三象限.2k＋4＞0，解得k＞－2.(2)答案不唯一，如：k＝－1，函数表达式为y＝2 x.当x＝－6时，y＝－1 3.03综合题17．设p，q都是实数，且p＜q.我们规定：满足不等式p≤x≤q的实数x的所有取值的全体叫作闭区间，表示为[p，q]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当p≤x≤q时，有p≤y≤q，我们就称此函数是闭区间[p，q]上的“闭函数”．(1)反比例函数y＝2 017x是闭区间[1，2 017]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；(2)若一次函数y＝kx＋b(k≠0)是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此一次函数的表达式．解：(1)是．理由：由函数y＝2 017x的图象可知，当1≤x≤2 017时，函数值y随着自变量x的增大而减小；而当x＝1时，y＝2 017；x＝2 017时，y＝1，故也有1≤y≤2 017，∴函数y ＝2 017x是闭区间[1，2 017]上的“闭函数”． (2)∵一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)是闭区间[m ，n]上的“闭函数”， ∴根据一次函数的图象与性质，有：①当k ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧km ＋b ＝m ，kn ＋b ＝n.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝0. ∴一次函数的表达式为y ＝x ；②当k ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧km ＋b ＝n ，kn ＋b ＝m.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝m ＋n.∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋m ＋n.综上所述，一次函数的表达式为y ＝x 或y ＝－x ＋m ＋n.。
1.2 反比例函数的图象与性质第1课时 反比例函数y=k x(k>0)的图象与性质要点感知1 画反比例函数图象的三个步骤是 、 、 .列表时，自变量x 可以取任意的非零实数；连线时，将y 轴右边各点与左边各点分别用光滑曲线连接起来；图象的两支与x 轴、y 轴逐渐接近，但不与坐标轴相交. 预习练习1-1 画出反比例函数y=3x的图象. （1）列表(请将表格补充完整)：（2）描点连线（请在所给的平面直角坐标系中画图）.要点感知2 当k ＞0时，反比例函数y=k x的图象的两支曲线分别位于第 象限，且在每一象限内，函数值随自变量取值的增大而 .预习练习2-1 (2011·福州)如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是( )A.y=x 2B.y=4xC.y=-3xD.y=12x知识点1 反比例函数y=k x(k>0)的图象 1.(2011·邵阳)已知点(1，1)在反比例函数y=k x (k 为常数，k ≠0)的图象上，则这个反比例函数的大致图象是( )2.如图所示，反比例函数y=k x的图象经过点A(2，3). (1)求这个函数的表达式；(2)请你判断，B(1，6)是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由.知识点2 反比例函数y=k x(k>0)的图象的特征 3.已知反比例函数的图象y=k x 过点P(1，3)，则该反比例函数图象位于( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限4.对于反比例函数y=3x，下列说法中正确的是( ) A.随自变量x 的增大，函数值y 也增大 B.它的图象与x 轴能够相交C.它的两支曲线与y 轴都不相交D.点(1，3)与(-1，3)都在函数的图象上5.已知反比例函数y=1m x-的图象如图所示，则m 的取值范围是 .6.对于函数y=8x，下列说法错误的是( ) A.它的图象分布在第一、三象限 B.它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C.当x>0时，y 的值随x 的增大而增大D.当x<0时，y 的值随x 的增大而减小7.(2013·青岛)已知矩形的面积为36 cm 2，相邻的两条边长分别为x cm 和y cm ，则y 与x 之间的函数图象大致是( )8.(2013·沈阳)在同一平面直角坐标系中，函数y=x-1与函数y=1x的图象可能是( )9.(2012·菏泽)反比例函数y=2x图象上有两个点为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且x 1<x 2，则下列关系成立的是( ) A.y 1>y 2 B.y 1<y 2 C.y 1=y 2 D.不能确定10.已知反比例函数y=2k x-，当x>0时，y 值随x 值的增大而减小，则k 的值可以是 (写出满足条件的一个值即可).11.如图是反比例函数y=5m x的图象的一支，根据图象回答下列问题： (1)图象的另一支在哪个象限？常数m 的取值范围是什么？(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a ，b)和B(a ′，b ′)，如果a>a ′，那么b 和b ′有怎样的大小关系？挑战自我 12.(2013·佛山)已知正比例函数y=ax 与反比例函数y=b x的图象有一个公共点A(1，2). (1)求这两个函数的表达式；(2)画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围.参考答案课前预习要点感知1 列表 描点 连线预习练习1-1 如图所示.要点感知2 一、三 减小预习练习2-1 B当堂训练1. C2.(1)因为反比例函数y=k x的图象经过点A(2，3)，所以3=2k ，k=6， 故所求函数的表达式为y=6x . (2)点B(1，6)在这个反比例函数的图象上，理由：把x=1代入y=6x ，得y=6，所以点B(1，6)在反比例函数y=6x的图象上. 3. B 4.C 5. m ＜1课后作业6.C7. A8.C9.D 10.3(只要满足大于2即可)11.(1)另一支在第三象限.由题意可知，m-5>0，解得m>5.(2)由图象可知，在每一象限内，函数值随自变量的增大而减小，∴当a>a ′时，b<b ′.12.(1)把A(1，2)代入y=ax得a=2，所以正比例函数解析式为y=2x；把A(1，2)代入y=bx，得b=1×2=2，所以反比例函数解析式为y=2x.(2)如图，当-1<x<0或x>1时，正比例函数值大于反比例函数值.。
反比例函数的图象和性质在数学的世界里，函数就像是一座神秘的城堡，每一种函数都有着独特的特征和规律。
今天，咱们就一起来探索反比例函数这座城堡，深入了解一下反比例函数的图象和性质。
首先，咱们得知道啥是反比例函数。
一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是x 的反比例函数。
接下来，咱们重点聊聊反比例函数的图象。
反比例函数的图象是双曲线，它有两条分支。
这两条分支要么在一、三象限，要么在二、四象限，具体在哪个象限，得看常数 k 的正负。
当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限。
在第一象限内，y 随 x 的增大而减小；在第三象限内，y 也随 x 的增大而减小。
打个比方，就好像你跑步的速度越快，所用的时间就越短。
这里的速度和时间就是成反比例关系，当速度快（k 大）的时候，时间就短（y 小），而且速度越来越快（x 增大），时间就越来越短（y 减小）。
当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限。
在第二象限内，y 随 x 的增大而增大；在第四象限内，y 也随 x 的增大而增大。
比如说，你背的东西越重，走得就越慢。
这里的重量和速度成反比例关系，重量越重（k 小），速度越慢（y 大），而且重量越来越重（x 增大），速度就越来越慢（y 增大）。
再来说说反比例函数图象的对称性。
这双曲线可神奇了，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。
对称轴有两条，分别是直线 y ＝ x 和直线 y ＝ x 。
对称中心呢，就是坐标原点（0，0）。
咱们再看看反比例函数的性质。
从增减性来说，刚才已经提到了，就不再啰嗦。
还有一点很重要，就是反比例函数的图象永远不会与坐标轴相交。
为啥呢？因为当 x ＝ 0 时，这个函数就没有意义啦，分母不能为 0 嘛。
那知道了反比例函数的图象和性质有啥用呢？用处可大啦！比如说在实际生活中，我们计算工程的进度、计算电阻和电流的关系等等，都可能用到反比例函数。
1。
2 反比例函数的图象与性质第2课时 反比例函数x k y =（k >0）的图象与性质 【学习目标】1.能画出反比例函数x k y =（k 为常数，k ＜0)的图象。
2.根据反比例函数xk y =（k 为常数，k ＜0)的图象探索并理解其性质. 3。
在自主探究反比例函数的性质的过程中，让学生初步感知反比例函数的图象的对称性. 重点难点 重点:反比例函数xk y =(k 为常数，k ＜0)的图象的画法及其性质。
难点：由反比例函数x k y =(k 为常数，k ＜0)的图象探究出其性质。
【预习导学】自主预习教材P7-9完成下列各题：1.反比例函xk y =(k 为常数，k ≠0)的图象是由两支曲线围成的,这两支曲线称为 . 2。
当k ﹤0时，反比例函数xk y = 的图象与 的图象关于x 轴对称。
3。
当k ﹤0时，反比例函数x k y =的图象由分别在第 象限内的两支曲线组成，它们与x 轴、y 轴都 ，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而 。
【探究展示】 （一）合作探究探究1:如何画反比例函数x y 6-=的图象？x y 6-=的图象与x y 6=的图象有什么关系？当x 取任一非零实数a 时，x y 6-=的函数值为ay 6-= ,而x y 6=的函数值为a y 6=,从而点P （a ，a 6- ）与点Q （a ，a 6）关于 轴对称,因此xy 6-=的图象与x y 6=的图象关于 轴对称,于是只要把xy 6=的图象沿着 轴翻折并将图象“复制”出来，就得到了 的图象. 因此可用画反比例函数x y 6=的图象的方式与步骤画反比例函数 xy 6-=的图象。
由图可知，x y 6-=的图象由分别在第 象限的两支曲线组成,它们与x 轴、y 轴都 ，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而 。
由此归纳得出：反比例函数x k y =的图象与x k y -=图象关于 轴对称，当k ﹤0时，反比例函数xk y =的图象由分别在第 象限内的两支曲线组成,它们与x 轴、y 轴都不相交,在每个象限内,函数值y 随自变量x 的增大而 。
第1章反比例函数1.2反比例函数的图象与性质第2课时反比例函数y＝kx(k<0)的图象与性质素材一新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣归纳导入两个同学分工，一个同学在坐标纸上分别画出函数y＝2x，y＝4x，y＝6x的图象，另一个同学在坐标纸上分别画出函数y＝－2x，y＝－4x，y＝－6x的图象．[说明与建议] 说明：一是让学生进一步熟悉作反比例函数图象的步骤，规范学生的作图；二是本节课动手操作，为继续探究反比例函数的图象与性质做准备．建议：通过展示，学生间相互找问题，能够将反比例函数图象作得标准规范．这样做能够暴露出学生在画图中存在的问题，比直接展示课件图象效果要好得多，同时也节省了上课画图所用的时间．复习导入回答下列问题．问题1：下列函数中，哪些是反比例函数？(1)y＝1x＋1；(2)y＝－3x；(3)y＝1x2；(4)y＝2x.问题2：函数y＝2x的图象是什么形状？位于第几象限？这个函数有什么性质？问题3：你知道反比例函数y＝－3x的图象有哪些特点吗？这个函数又具有什么性质呢？[说明与建议] 说明：让学生进一步学习反比例函数的定义以及反比例函数y＝kx(k＞0)的图象的特点，为进行本节内容的学习做知识储备．本环节避免单纯的复习定义以及对知识的简单复述，力图通过具体问题，让学生在解决问题的过程中加深对知识本身的理解，培养学生对知识的实际运用能力．建议：问题1由学生口答，并说出理由，进而复习反比例函数的定义；问题2让学生回顾反比例函数y＝2x的图象，并说出函数的图象特点，在具体问题中加深对反比例函数定义以及图象的再认识．老师及时给予指导纠错，再通过问题3引入本节课的内容.．素材二 考情考向分析[命题角度1] 反比例函数y ＝k x (k ＜0)的图象反比例函数y ＝k x(k ＜0)的图象是由分布在第二、四象限的两支曲线组成的，以后称这两支曲线为双曲线，它们与x 轴、y 轴都不相交．题型以选择题为主，考查方向：一是给定函数表达式，直接考查函数图象分布在哪两个象限；二是在同一个平面直角坐标系内，含相同字母系数的正比例函数(或一次函数)与反比例函数的图象是怎样的．例 [甘孜州中考] 在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝－2x的图象的两支分别在( C ) A ．第一、三象限 B ．第一、二象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限[命题角度2] 根据k 值，判断反比例函数的增减情况给出反比例函数y ＝k x(k ≠0)中k 的值或k 的符号，判断y 随自变量x 的变化情况，或已知一些点的横(纵)坐标，而纵(横)坐标用字母表示，试比较这些字母的大小．例 [兰州中考] 若反比例函数y ＝k －1x的图象位于第二、四象限，则k 的取值可能是( A ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4[命题角度3] 求反比例函数中字母系数的取值范围已知在每一个象限内，y 随x 的增大而增大的条件，或已知图象的两个分支分布在第二、四象限的条件，求字母系数的取值范围．例 [连云港中考] 若函数y ＝m －1x的图象在同一象限内，y 随x 的增大而增大，则m 的值可以是__答案不唯一，只要m<1即可，如m ＝0，－1，－2等__(写出一个即可)．[命题角度4] 考查反比例函数的图象与图形面积的关系由双曲线y ＝k x上的任意一点向一条坐标轴引垂线，这一点与垂足及原点所确定的三角形的面积均为定值12|k|. 例 [娄底中考] 如图1－2－6，M 为反比例函数y ＝k x的图象上的一点，MA ⊥y 轴，垂足为A ，△MAO 的面积为2，则k 的值为__4__．图1－2－6素材三 教材习题答案P9练习画出下列反比例函数的图象：(1)y ＝－3x ； (2)y ＝－12x. [答案] 略素材四 图书增值练习素材五 数学素养提升反比例函数比例系数k 的几何意义反比例函数还有一个更重要的性质：如图所示，（1）过双曲线上任意一点A （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线AB 、AC ，所得的矩形（第19章将会学习）ABOC 的面积S=AC ∙AB=y x ∙=xy ……①；∵y=xk （k ≠0），∴xy=k……②,由①、②，S ABCO 矩形=xy =k ；（2）过双曲线上任意一点D （x ，y ）作其中一坐标轴的垂线DE ，连结OD ，则S DOE ∆=21∙OE ∙DE=21∙y x ∙=21xy =21k ．。
课题： 反比例函数y ＝k
x (k ＞0)的图象与性质
【学习目标】
1．能用描点法画出反比例函数y ＝k
x
(k>0)的图象．
2．通过观察、分析，理解和掌握反比例函数y ＝k
x (k>0)的图象与性质．
3．体会数形结合的思想方法，学会从函数图象中获取信息．
【学习重点】
掌握画反比例函数图象的方法，理解反比例函数y ＝k
x (k>0)的性质．
【学习难点】
运用反比例函数的性质解题.
情景导入 生成问题
回顾：
(1)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线．
(2)当k >0，b >0时，一次函数y ＝kx ＋b 经过第一、二、三象限，y 随x 的增大而增大．
(3)画一次函数的图象最少需要确定两个点，我们能用类似的方法画反比例函数y ＝k
x
(k >0)的图象吗？
自学互研 生成能力
知识模块一 画反比例函数y ＝k
x (k ＞0)的图象
阅读教材P5～P6，完成下面的内容：
1．画反比例函数y ＝6
x 的图象时先要列表，列表时自变量x 可取哪些值？
(提示：x 是不为零的任何实数，所以可以以零为基准，左右均匀、对称地取值) 2．取值以后再描点．
3．描点之后再连线：怎样连线？可在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的曲线把所描的点连接起来．
师生合作探究并归纳出y ＝k
x
的图象特征．
归纳：反比例函数y ＝k
x (k ＞0)的图象是两支分别分布在一、三象限的光滑曲线．
【例1】 作反比例函数y ＝2
x
的图象．
解：(1)列表：由于函数中x ≠0，使得函数图象分成了两个部分．
x
－5
－4
－2 －1 －12 －13 13 12 1 2 4 5 y ＝2
x －0.4 －0.5 －1
－2
－4
－6
6
4
2
1
0.5
0.4
(2)描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点． (3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到函数y ＝2
x
的图象．(如图)
【变例】 作出反比例函数y ＝
12
x
的图象，并根据图象解答下列问题： (1)当x ＝4时，求y 的值；(2)当y ＝－2时，求x 的值；(3)当y>2时，求x 的范围． 解：列表：
x … －3 －2 －1 1 2 3 … y
…
－4
－6
－12
12
6
4
…
由图知：(1)y ＝3；(2)x ＝－6；(3)0<x<6.
知识模块二 反比例函数y ＝k
x (k >0)的图象与性质
阅读教材P7，完成下面的内容： 反比例函数y ＝6x ，y ＝3
x 的共同点有哪些？
(1)它们的解析式中比例系数k >0；
(2)它们的图象的两个分支都分别位于第一、三象限； (3)在每一象限内，y 随x 的增大而减小； (4)它们的图象的两个分支都与x 轴、y 轴不相交． 师生合作探究并归纳出反比例函数y ＝k
x
(k >0)的性质．
归纳：当k >0时，反比例函数y ＝k
x 的图象中两支曲线都与x 轴、y 轴不相交，图象在第一、三象限，在每一
象限内，函数值随自变量取值的增大而减小．
【例2】 已知反比例函数y ＝
2m ＋1
x
的图象如图所示，求m 的取值范围． 解：∵由图象可知，反比例函数y ＝
2m ＋1x 的图象位于第一、三象限，∴2m ＋1>0，解得m>－1
2
. 交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 反比例函数y ＝k
x (k>0)的图象
知识模块二 反比例函数y ＝k
x
(k>0)的图象与性质
检测反馈 达成目标
1．当x>0时，函数y ＝－5
x
的图象在( A )
A ．第四象限
B ．第三象限
C ．第二象限
D ．第一象限
2．若函数y ＝m ＋2
x 的图象在其所在的每一个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则m 的取值范围
是( A )
A ．m<－2
B ．m<0
C ．m>－2
D ．m>0
3．已知A(－1，y 1)，B(2，y 2)两点在双曲线y ＝3＋2m
x
上，且y 1>y 2，则m 的取值范围是( D ) A ．m<0 B ．m>0 C ．m>－32 D ．m<－3
2
4．已知反比例函数y ＝k
x (k 是常数，k ≠0)，在其图象所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值的增大而增大，
那么这个反比例函数的表达式是__y ＝－1
x
(不唯一)__(只需写一个)．
5．已知反比例函数的图象过点(1，－2)． (1)求这个函数的表达式；
(2)若点A(－5，m)在图象上，则点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？
解：(1)设：反比例函数的表达式为：y ＝k
x (k ≠0)．而反比例函数的图象过点(1，－2)，即当x ＝1时，
y ＝－2.所以－2＝k 1，k ＝－2.∴y ＝－2
x
(2)点A(－5，m)在反比例函数y ＝－2x 图象上．所以m ＝－2－5＝2
5，
点A 的坐标为⎝
⎛⎭⎫－5，2
5. 点A 关于x 轴的对称点⎝
⎛⎭⎫－5，－2
5不在这个图象上； 点A 关于y 轴的对称点⎝⎛⎭⎫5，25不在这个图象上；点A 关于原点的对称点⎝
⎛⎭⎫5，－2
5在这个图象上. 课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
