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2024届高三数学二轮复习专题集训专题3三角函数与平面向量312024届高三数学二轮复习专题集训专题3三角函数与平面向量31三角函数与平面向量是高中数学中的重要内容，也是数学二轮复习中的重点。
学好这一部分知识点，对于提高数学成绩至关重要。
本文将重点介绍2024届高三数学(理)二轮复习专题集训中的专题3三角函数与平面向量的内容，包括三角函数的基本概念、性质和一些重要公式，以及平面向量的基本概念、运算法则和应用等内容。
首先，我们来介绍三角函数的基本概念和性质。
三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们代表了角度和直角三角形边之间的关系。
正弦函数表示的是一个角的对边与斜边的比值，余弦函数表示的是一个角的邻边与斜边的比值，正切函数表示的是一个角的对边与邻边的比值。
三角函数的周期都是360度或2π弧度，可以通过函数图像的变化规律和一些基本特点进行分析和运用。
在学习三角函数的过程中，我们要掌握一些基本的三角函数公式，例如，和差化积公式、倍角公式、半角公式等。
这些公式可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，转化为更简单的形式，从而更好地解决问题。
接下来，我们介绍平面向量的基本概念和运算法则。
平面向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
平面向量有加法和乘法（数量乘法和点乘）两种运算法则。
向量加法满足交换律、结合律和有零向量的存在性质，可以通过平行四边形法则和三角法则进行计算。
向量乘法有数量乘法和点乘法。
数量乘法是将向量与一个实数相乘，使向量的长度发生变化，方向与原来一致（或相反）。
点乘法是将两个向量的对应分量相乘再相加，得到的是一个实数，表示了两个向量之间的夹角关系。
最后，我们要了解平面向量的应用。
平面向量在几何、力学等领域中有着广泛的应用。
例如，可以使用向量来表示平面上的几何图形，计算它们的面积、周长等属性。
还可以使用向量进行力的合成、分解和计算，探究力的平衡、作用和应用等。
此外，还可以利用向量的性质解决一些几何问题，例如直线的垂直、平行关系，点和直线的位置关系等。
三角函数与平面向量一、要点归纳三角函数部分一．三角函数定义1．定义---在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为(0)r r =>，那么sin y r α=； cos x r α=； tan yxα=； 2．三角函数定义域与值域3二．三角函数基本公式 1．同角三角函数关系平方关系：22sin cos 1αα+=，商数关系：sin tan cos ααα= 2．诱导公式 （1）sin()cos ,cos()sin ,tan()cot 222πππαααααα±=±=±=±（2）sin()sin ,cos()cos ,tan()tan πααπααπαα±=±=-±=±（3）333sin()cos ,cos()sin ,tan()cot 222πππαααααα±=-±=±±=± 3．和、差、倍角公式（1）sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±，sin 22sin cos ααα=（2）cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=，22cos 2cos sin ααα=-（3）tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=，22tan tan 21tan ααα=-三．三角函数的基本性质1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， y tanx =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3.函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，A 叫振幅，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
专题四：平面向量校对：李炳璋（原名李东升）---全国唯一一位曾经连续三年命中过高考试题中理科和文科一些试题的人一.专题综述平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.在高考试题中，其一主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查考生掌握平面向量的和、差、数乘和内积的运算法则，理解其几何意义，并能正确的进行计算；其二是考查向量的坐标表示，向量的线性运算；其三是和其它数学知识结合在一起，如和曲线、数列等知识结合．向量的平行与垂直，向量的夹角及距离，向量的物理、几何意义，平面向量基本定理，向量数量积的运算、化简与解析几何、三角、不等式、数列等知识的结合，始终是命题的重点．二．考纲解读1.理解平面向量的概念和向量相等的含义．理解向量的几何表示．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．2．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．了解向量线性运算的性质及其几何意义．3.理解平面向量的基本定理及其意义．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．4.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．三．高考命题趋向1.对向量的加减运算及实数与向量的积的考查向量的加减运算以及实数与向量的积是高考中常考查的问题,常以选择题的形式考查,特别是以平面几何为载体综合考查向量加减法的几何意义,以及实数与向量的积的问题经常出现在高考选择、填空题中,但是难度不大,为中、低档题.2.对向量与其他知识相结合问题的考查平面向量与三角、解析几何等知识相交汇的问题是每年高考的必考内容,并且均出现在解答题中,所占分值较高.其中向量与三角相结合的问题较容易,属中、低档题;而向量与解析几何等知识的结合问题则有一定难度,为中、高档题. 3．在复习中要把知识点、训练目标有机结合．重点掌握相关概念、性质、运算公式、法则等．明确平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，能够把向量的非坐标公式和坐标公式进行有机结合，注意“数”与“形”的相互转换．在复习中要注意分层复习，既要复习基本概念、基本运算，又要能把向量知识和其它知识(如曲线、数列、函数、三角等)进行横向联系，以体现向量的工具性．四．高频考点解读考点一 向量的几何运算例1 [2011·四川卷] 如图1－2，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )图1－2A ．0 【答案】D【解析】 BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →－BC →＝BF →－BC →＝CF →，所以选D. 【解题技巧点睛】当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN ON OM =-(其中O 为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．考点三 向量平行与垂直例4[2011·广东卷] 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1, 0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )C ．1D ．2 【答案】B【解析】因为a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，又因为(a ＋λb )∥c ，所以(1＋λ)×4－2×3＝0，解得λ＝12.例5[2011·课标全国卷] 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________. 【答案】1 【解析】 由题意，得(a ＋b )·(k a －b )＝k ||a 2－a ·b ＋k a ·b －||b 2＝k ＋(k －1)a ·b －1＝(k －1)(1＋a ·b )＝0，因为a 与b 不共线，所以a ·b ≠－1，所以k －1＝0，解得k ＝1.考点四 向量的数量积、夹角与模例6[2011·广东卷] 若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D【解析】因为a ∥b 且a ⊥c ，所以b ⊥c ，所以c·(a ＋2b )＝c·a ＋2b·c ＝0.例7[2011·湖南卷] 在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.【答案】－14【解析】 由题知，D 为BC 中点，E 为CE 三等分点，以BC 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，可得A ⎝⎛⎭⎫0，32，D (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，0，E ⎝⎛⎭⎫13，36，故AD →＝⎝⎛⎭⎫0，－32，BE →＝⎝⎛⎭⎫56，36，所以AD →·BE →＝－32×36＝－14.例8[2011·江西卷] 已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________．【答案】 π3【解析】 设a 与b 的夹角为θ，由(a ＋2b )(a －b )＝－2得|a |2＋a ·b －2|b |2＝4＋2×2×cos θ－2×4＝－2，解得cos θ＝12，∴θ＝π3.例9[2011·课标全国卷] 已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3；p 2：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤2π3，π p 3：|a －b |＞1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，π3；p 4：|a －b |＞1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π. 其中的真命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 1，p 3C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 【答案】A【解析】 因为||a ＋b >1⇔||a 2＋2a ·b ＋||b 2>1⇔a ·b >－12⇔||a ||b cos θ＝cos θ>－12⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3，所以p 1为真命题，p 2为假命题．又因为||a －b >1⇔||a 2－2a ·b ＋||b 2>1⇔a ·b <12⇔||a ||b cos θ＝cos θ<12⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π，所以p 4为真命题，p 3为假命题． 【解题技巧点睛】求向量的数量积的公式有两个:一是定义式a ·b=|a||b|cos θ;二是坐标式a ·b=x 1x 2+y 1y 2.定义式的特点是具有强烈的几何含义,需要明确两个向量的模及夹角,夹角的求解方法灵活多样,一般通过具体的图形可确定,因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积的一个重要途径.坐标式的特点是具有明显的代数特征,解题时需要引入直角坐标系,明确向量的坐标进行求解,即向量问题“坐标化”,使得问题操作起来容易、方便.考点五 向量的应用例10[2011·山东卷] 设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( ) A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D【解析】若C 、D 调和分割点A ；B ，则AC →＝λAB →(λ∈R )，AD →＝μAB →(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2.对于A ：若C 是线段AB 的中点，则AC →＝12AB →⇒λ＝12⇒1μ＝0，故A 选项错误；同理B 选项错误；对于C ：若C 、A 同时在线段AB 上，则0<λ<1,0<μ<1⇒1λ＋1μ>2，C 选项错误；对于D ：若C 、D 同时在线段AB 的延长线上，则λ>1，μ>1⇒1λ＋1μ<2，故C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上，D 选项正确．例11[2011·福建卷] 已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[0,2] D ．[－1,2] 【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图1－2)， 又OA →·OM →＝－x ＋y ，取目标函数z ＝－x ＋y ，即y ＝x ＋z ，作斜率为1的一组平行线，当它经过点C (1,1)时，z 有最小值，即z min ＝－1＋1＝0； 当它经过点B (0,2)时，z 有最大值，即z max ＝－0＋2＝2.∴ z 的取值范围是[0,2]，即OA →·OM →的取值范围是[0,2]，故选C. 例12[2011·陕西卷] 叙述并证明余弦定理．【解答】 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .证法一：如图1－9，a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →) ＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2 ＝AC →2－2|AC →|·|AB →|cos A ＋AB →2 ＝b 2－2bc cos A ＋c 2， 即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .证法二：已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图1－10)，则C (b cos A ，b sin A )，B (c,0)，∴a 2＝|BC |2＝(b cos A －c )2＋(b sin A )2 ＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A ＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 【解题技巧点睛】平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中．在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题，这类问题可以和三角函数中的一些题型相互对比；解析几何中向量知识只要是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何量之间的关系，最后的解题还得落实到解析几何方面．考点六 与向量相关的最值问题例12[2011·全国卷] 设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于( )A ．2 D ．1 【答案】A【解析】设向量a ，b ，c 的起点为O ，终点分别为A ，B ，C ，由已知条件得，∠AOB ＝120°，∠ACB ＝60°，则点C 在△AOB 的外接圆上，当OC 经过圆心时，|c |最大，在△AOB 中，求得AB ＝3，由正弦定理得△AOB 外接圆的直径是3sin120°＝2，||c 的最大值是2，故选A.例13[2011·辽宁卷] 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )－1 B ．1 D ．2 【答案】 B【解析】 |a ＋b －c |＝(a ＋b －c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，由于a ·b ＝0，所以上式＝3－2c ·(a ＋b )，又由于(a －c )·(b －c )≤0，得(a ＋b )·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c |＝3－2c ·(a ＋b )≤1，故选B. 例14[2011·天津卷] 已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________． 【答案】5【解析】建立如图1－6所示的坐标系，设DC ＝h ，则A (2,0)，B (1，h )．设P (0，y )，(0≤y ≤h ) 则P A →＝(2，－y )，PB →＝(1，h －y )， ∴||P A →＋3PB →＝25＋(3h －4y )2≥25＝5.例15[2011·浙江卷] 若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．【答案】⎣⎡⎦⎤π6，5π6【解析】 由题意得：||α||βsin θ＝12，∵||α＝1，||β≤1，∴sin θ＝12||β≥12.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6.【解题技巧点睛】平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如一个向量模的最值、两个向量夹角的范围等．最值和范围问题都是在变动的情况下，某个量在一个特殊情况上取得极端值，也就是在动态的情况下确定一个静态的情况，使得这个情况下某个量具有特殊的性质(如最大、最小、其余情况下都比这个量大等)．在数学上解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，这个思想在平面向量的最值、范围问题中也是适用的，但平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．针对训练一．选择题1.【湖北省孝感市2011—2012学年度高中三年级第一次统一考试】设向量31(,cos ),(sin ,),//,23a b a b θθθ==向量且则锐角为 （ ）A ．60°B ．30°C ．75°D ．45°答案：D .解析：31,cos sin 0,sin 2 1.(0,90),290,45.23a b θθθθθθ∴⨯-⨯=∴=∈∴=∴=∥2.【2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考】已知()()2,1,1,3-=-=b a ，若()()b k a b a ++-∥2，则实数k 的值是( )A. -17B. 21- C. 1819 D.35 答案：B解析： 由已知得2(7,4)a b -+=-，(3,12)a kb k k +=-+-，又因为两向量平行，所以7(12)4(3)k k -=--+，计算可得实数k 的值是12-。
2017届高考数学考前回扣教材-三角函数、平面向量回扣3三角函数、平面向量1准确记忆六组诱导公式对于“π2±α，∈Z”的三角函数值，与α角的三角函数值的关系可按口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限2同角三角函数的基本关系式sin2α＋s2α＝1，tan α＝sin αs α(s α≠0)3两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αs β±s αsin β(2)s(α±β)＝s αs β∓sin αsin β(3)ta n(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β(4)asin α＋bs α＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)4二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αs α(2)s 2α＝s2α－sin2α＝2s2α－1＝1－2sin2α(3)tan 2α＝2tan α1－tan2α三种三角函数的性质函数＝sin x＝s x＝tan x图象单调性在[－π2＋2π，π2＋2π] (∈Z)上单调递增；在[π2＋2π，3π2＋2π] (∈Z)上单调递减在[－π＋2π，2π] (∈Z)上单调递增；在[2π，π＋2π](∈Z)上单调递减在(－π2＋π，π2＋π)(∈Z)上单调递增对称性对称中心：(π，0)(∈Z)；对称轴：x＝π2＋π (∈Z)对称中心：(π2＋π，0)(∈Z)；对称轴：x＝π(∈Z)对称中心：(π2，0) (∈Z)6函数＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象(1)“五点法”作图：设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x的值与的值，描点、连线可得(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口(3)图象变换：＝sin x――――――――――→向左φ>0或向右φ<0平移|φ|个单位＝sin(x＋φ)――――――――――――→横坐标变为原的1ωω>0倍纵坐标不变＝sin(ωx＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原的AA>0倍横坐标不变＝Asin(ωx＋φ)7正弦定理及其变形asin A＝bsin B＝sin ＝2R(2R为△AB外接圆的直径)变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，＝2Rsinsin A＝a2R，sin B＝b2R，sin ＝2Ra∶b∶＝sin A∶sin B∶sin8余弦定理及其推论、变形a2＝b2＋2－2bs A，b2＝a2＋2－2as B，2＝a2＋b2－2abs推论：s A＝b2＋2－a22b，s B＝a2＋2－b22a，s ＝a2＋b2－22ab变形：b2＋2－a2＝2bs A，a2＋2－b2＝2as B，a2＋b2－2＝2abs9面积公式S△AB＝12bsin A＝12asin B＝12absin10解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解(4)已知三边，利用余弦定理求解11平面向量的数量积(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a•b＝|a||b|s θ(2)设a＝(x1，1)，b＝(x2，2)，则a•b＝x1x2＋1212两个非零向量平行、垂直的充要条若a＝(x1，1)，b＝(x2，2)，则(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x12－x21＝0(2)a⊥b⇔a•b＝0⇔x1x2＋12＝013利用数量积求长度(1)若a＝(x，)，则|a|＝a•a＝x2＋2(2)若A(x1，1)，B(x2，2)，则|AB→|＝x2－x12＋2－1214利用数量积求夹角若a＝(x1，1)，b＝(x2，2)，θ为a与b的夹角，则s θ＝a•b|a||b|＝x1x2＋12x21＋21 x22＋221三角形“四心”向量形式的充要条设为△AB所在平面上一点，角A，B，所对的边长分别为a，b，，则(1)为△AB的外心⇔|A→|＝|B→|＝|→|＝a2sin A(2)为△AB的重心⇔A→＋B→＋→＝0(3)为△AB的垂心⇔A→•B→＝B→•→＝→•A→(4)为△AB的内心⇔aA→＋bB→＋→＝01利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号2在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围3求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解4三角函数图象变换中，注意由＝sin ωx的图象变换得＝sin(ωx＋φ)时，平移量为φω，而不是φ在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解6要特别注意零向量带的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行7a•b>0是〈a，b〉为锐角的必要不充分条；a•b<0是〈a，b〉为钝角的必要不充分条12sin 4°s 1°－sin 30°的值等于()A12 B22 32 D1答案解析2sin 4°s 1°－sin 30°＝2sin 4°s 1°－sin(4°－1°)＝2sin 4°s 1°－(sin 4°s 1°－s 4°sin 1°)＝sin 4°s 1°＋s 4°sin 1°＝sin 60°＝32故选2要得到函数＝sin 2x的图象，可由函数＝s(2x－π3)()A向左平移π6个单位长度得到B向右平移π6个单位长度得到向左平移π12个单位长度得到D向右平移π12个单位长度得到答案 D解析由于函数＝sin 2x＝s(π2－2x)＝s(2x－π2)＝s[2(x－π12)－π3]，所以可由函数＝s(2x－π3)向右平移π12个单位长度得到函数＝sin 2x 的图象，故选D3在△AB中，内角A，B，所对的边分别是a，b，若2＝(a－b)2＋6，＝π3，则△AB的面积是()A3 B932 332 D33答案解析2＝(a－b)2＋6，即2＝a2＋b2－2ab＋6，①∵＝π3，由余弦定理得2＝a2＋b2－ab，②由①和②得ab＝6，∴S△AB＝12absin ＝12×6×32＝332，故选4(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是()A3 B1＋2 2 D2(tan 18°＋tan 27°)答案解析由题意得，tan(18°＋27°)＝tan 18°＋tan 27°1－tan 18°tan 27°，即tan 18°＋tan 27°1－tan 18°tan 27°＝1，所以tan 18°＋tan 27°＝1－tan 18°tan 27°，所以(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝2，故选设△AB的内角A，B，所对的边分别为a，b，，若bs ＋s B＝asin A，则△AB的形状为()A锐角三角形B直角三角形钝角三角形D不确定答案 B解析∵bs ＋s B＝asin A，∴sin Bs ＋s Bsin ＝sin2A，∴sin(B＋)＝sin2A，∴sin A＝1，∴A＝π2，三角形为直角三角形6已知A，B，是锐角△AB的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－s B)，则p与q的夹角是()A锐角B钝角直角D不确定答案 A解析∵A、B、是锐角△AB的三个内角，∴A＋B>π2，即A>π2－B>0，∴sin A>sin(π2－B)＝s B，∴p•q＝sin A－s B>0再根据p，q的坐标可得p，q不共线，故p与q的夹角为锐角7 f(x)＝12sin(2x－π3)＋32s(2x－π3)是()A最小正周期为2π的偶函数B最小正周期为2π的奇函数最小正周期为π的奇函数D最小正周期为π的偶函数答案解析f(x)＝12sin(2x－π3)＋32s(2x－π3)＝sin(2x－π3＋π3)＝sin 2x，是最小正周期为π的奇函数，故选8已知a，b为同一平面内的两个向量，且a＝(1，2)，|b|＝12|a|，若a ＋2b与2a－b垂直，则a与b的夹角为()A0 Bπ4 2π3 Dπ答案 D解析|b|＝12|a|＝2，而(a＋2b)•(2a－b)＝0ͤ2a2－2b2＋3b•a＝0ͤb•a＝－2，从而s〈b，a〉＝b•a|b|•|a|＝－1，〈b，a〉＝π，故选D9在△AB中，内角A，B，所对的边分别是a，b，有下列命题：①若A>B>，则sin A>sin B>sin ；②若s Aa＝s Bb＝s ，则△AB为等边三角形；③若sin 2A＝sin 2B，则△AB为等腰三角形；④若(1＋tan A)(1＋tan B)＝2，则△AB为钝角三角形；⑤存在A，B，使得tan Atan Btan <tan A＋tan B＋tan 成立其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号)答案①②④解析若A>B>，则a>b>ͤsin A>sin B>sin ；若s Aa＝s Bb＝s ，则s Asin A＝s Bsin Bͤsin(A－B)＝0ͤA ＝Bͤa＝b，同理可得a＝，所以△AB为等边三角形；若sin 2A ＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，因此△AB为等腰或直角三角形；若(1＋tan A)(1＋tan B)＝2，则tan A＋tan B＝1－tan Atan B，因此tan(A＋B)＝1ͤ＝3π4，△AB为钝角三角形；在△AB中，tan Atan Btan ＝tan A＋tan B＋tan 恒成立，因此正确的命题为①②④10若△AB的三边a，b，及面积S满足S＝a2－(b－)2，则sin A＝________答案817解析由余弦定理得S＝a2－(b－)2＝2b－2bs A＝12bsin A，所以sin A＋4s A＝4，由sin2A＋s2A＝1，解得sin2A＋(1－sin A4)2＝1，sin A ＝817(0舍去)11若tan θ＝3，则s2θ＋sin θs θ＝________答案 2解析∵tan θ＝3，∴s2θ＋sin θs θ＝s2θ＋sin θs θsin2θ＋s2θ＝1＋tan θtan2θ＋1＝1＋332＋1＝212已知单位向量a，b，，且a⊥b，若＝ta＋(1－t)b，则实数t的值为________答案1或0解析＝ta＋(1－t)bͤ2＝t2＋(1－t)2＝||2＝1ͤt＝0或t＝1 13在△AB中，角A，B，的对边分别为a，b，，且满足bs A＝(2＋a)s(A ＋)(1)求角B的大小；(2)求函数f(x)＝2sin 2x＋sin(2x－B)(x∈R)的最大值解(1)由已知，bs A＝(2＋a)s(π－B)，即sin Bs A＝－(2sin ＋sin A)s B，即sin(A＋B)＝－2sin s B，则sin ＝－2sin s B，∴s B＝－12，即B＝2π3(2)f(x)＝2sin 2x＋sin 2xs 2π3－s 2xsin 2π3＝32sin 2x－32s 2x＝3sin(2x－π6)，即x＝π3＋π，∈Z时，f(x)取得最大值314已知函数f(x)＝2s x(sin x－s x)＋1(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)在△AB中，角A，B，的对边分别是a，b，，且锐角A满足f(A)＝1，b＝2，＝3，求a的值解(1)f(x)＝2sin xs x－2s2x＋1＝sin 2x－s 2x＝2sin(2x－π4)，所以f(x)的最小正周期为π由－π2＋2π≤2x－π4≤π2＋2π(∈Z)，得π－π8≤x≤π＋3π8(∈Z)，所以f(x)的单调增区间为[π－π8，π＋3π8](∈Z) (2)由题意知f(A)＝2sin(2A－π4)＝1，sin(2A－π4)＝22，又∵A是锐角，∴2A－π4＝π4，∴A＝π4，由余弦定理得a2＝2＋9－2×2×3×s π4＝，∴a＝。
高考攻略 第二轮复习专题四 三角函数与平面向量图象是函数个个个个）上是增函数的个数是，（，且在其中周期在四个函数个单位右移个单位左移个单位右移个单位左移的图象的图象，只需将要得到函数的是下列各式中值为一、选择题)2,230(cos |tan |.44.3.2.1.20|,|sin )4(2cos2tan )3(|sin |)2(sin )1(.34.4.8.8.2sin )42cos(.25.22tan 15.22tan .26cos 1.12sin 12cos .15cos 15sin .21.12222ππππππππππππ≠<≤⋅===-====-=︒-︒--︒︒x x x x y D C B A T x y x x y x y xy D C B A x y x y D C B A)22,2.()2,2.()22,22.()22,232.(0)(,cos )(],0[),()()(.7},434|.{},44|.{},45242|.{},42432|.{,cos sin .63.3.6..)3sin()3cos(3)(.522ππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππθθθ+++-+->=∈-=+∈+<<+∈+<<-∈+<<+∈+<<->-++---=k k D k k C k k B k k A x f x x f x x f x f x f R Z k k x k x D Z k k x k x C Z k k x k x B Z k k x k x A x x x k D k C k B k A x x x f 集是的解则时解析为若满足上的偶函数定义在的取值范围是则若等于是奇函数，则函数的值、，求常数，若函数值域为函数已知的值域求函数三、解答题垂直，则与，要使的夹角为与，若则，的边长为已知正方形的最小正周期是④函数是奇函数③函数的单调增区间是②函数，的最大值是则①若下列命题正确的是则若二、填空题等于，那么夹角为均为单位向量，它们的、已知夹角为与∥则已知其他等于则已知b a x b a x a x a y a x x y k a a kb b a b a c b a c b a AB x x y x x xx x f Z k k k x y x y y x D C B A b a b a b a D ba Cb a b a B b a A b a D C B A b a b a b a ]15[],2,0[,22sin 32cos ,0.1633.1545,2||2||.14||,,,1.13sin 12tan cos sin 1cos sin 1)()](83,8[)24sin(34cos sin ,31sin sin .122cos ,53)2sin(.114.7.10.13.|3|60.10..)().(.),sin ,(cos )sin ,(cos .9.6563.6563.6563.cos ),16,8(),8,2(.82-∈++--=≠-+==-︒===++===-=++-+=∈+--=-=+==++︒+-⊥+⊥==±->⋅<-=--=+πππππππααπβαββαα。
保温特训(三) 三角函数与平面向量基础回扣训练(限时30分钟)1．已知函数f (x )＝2 cos 2x －3，则下列选项正确的是( )．A ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递增B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的值域为[－3，－1]2．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x,2)，若a ⊥b ，则|b |＝( )．A. 5 B ．2 5 C ．5D ．203．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 图象的一条对称轴是 ( )．A ．x ＝π8B ．x ＝π4C ．x ＝π2D ．x ＝π4．设向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝2，a ·(a ＋b )＝0，则a 与b 的夹角是( )．A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°5．函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)＝( )．A ．－12B ．－1C ．－32D ．－ 36．函数y ＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－x 具有性质( )．A ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0对称，最大值为1B ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称，最大值为2 C ．图象关于直线x ＝－π3对称，最大值为2D ．图象关于直线x ＝－π6对称，最大值为17．在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( )．A.π6B.π4C.π3D.56π 8．若△ABC 的外接圆半径R 和△ABC 的面积都等于1，则sin A sin B sin C 的值为( )．A.14B.32C.34D.129．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的射影的数量为( )．A.32B.32 C ．3D ．－3210．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( )．A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形11．已知cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 12．已知|a |＝|b |＝|a －b |＝2，则|3a －2b |＝________.13．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12，则|AB →|＝________. 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2A ＋B2－cos 2C ＝72，且c ＝7，则△ABC 的面积的最大值为________．15．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin A ，127，q ＝(cos 2A,2sin A )，且p ∥q . (1)求sin A 的值；(2)若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a .临考易错提醒1．应注意角的集合的表示形式不是唯一的，如终边在y 轴的负半轴上的角的集合可以表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π－π2，k ∈Z，也可以表示为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .2．应注意所有周期函数不一定都有最小正周期，例如，常函数就不存在最小正周期．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期时，如果没有ω>0的限制条件，则其最小正周期是2π|ω|；求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期时，如果没有ω>0的限制条件，则其最小正周期是π|ω|. 3．易混淆y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换顺序，不清楚每一次变换都是对自变量而言的，要看自变量的变化，而不是看ω，φ的变化．4．应注意正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心是函数图象与x 轴的交点，对称轴是过函数图象的最高点或者最低点与x 轴垂直的直线；正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心是函数图象与x 轴的交点以及在定义域内被排除掉的点．5．注意向量加法的三角形法则适用于任意两个非零向量相加，并且可以推广到两个以上的非零向量相加．向量的减法是被减向量加上减向量的相反向量，特别要注意对平面上任意一点O ，向量AB →＝AO →＋OB →(加法的三角形法则)＝OB →－OA →(减法的三角形法则)． 6．易混淆向量共线与直线共线的区别，向量共线是指向量所在的直线平行或者重合，而直线共线是指它们重合．7．应注意向量与它的坐标之间是一一对应的关系，即向量确定，则坐标唯一；坐标确定，则向量唯一，但表示向量的有向线段不唯一，根据AB →＝(x B －x A ，y B －y A )，无论向量AB →在平面上如何移动，向量AB →的坐标是唯一的．8．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行；λ0＝0，而不是等于0，0与任意向量的数量积等于0，即0·a ＝0. 9．易误认向量的数量积的运算定律与实数相同，实际上在一般情况下(a·b )·c ≠a·(b·c )；a·b ＝0时未必有a ＝0或b ＝0.10．已知两边及其中一边的对角解三角形时，应注意对解的情况进行讨论，讨论的根据一是所求的正弦值是否大于1，当正弦值小于或等于1时，还应判断各角之和与180°的关系，二是两边的大小关系．参考答案保温特训(三)1．D [当cos x ＝0时，f (x )取最小值，f (x )min ＝－3；当cos x ＝±1时，f (x )取最大值，f (x )max ＝－1，所以函数f (x )的值域为[－3，－1]．]2．B [因为a ⊥b ，所以a ·b ＝x －4＝0，解得x ＝4，所以|b |＝x 2＋4＝25，选B.]3．B [y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝1＋sin 2x ， ∵x ＝π4时，y ＝1＋1＝2，∴x ＝π4是函数图象的一条对称轴．]4．D [由a ·(a ＋b )＝0得a ·a ＋a ·b ＝0，即|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，将已知数据代入解得cos 〈a ，b 〉＝－12，∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝120°.]5．B [由题图可知，函数的最大值为2，因此A ＝2.又因为函数经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝2，即2×π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋2k π，k ∈Z.f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2k π＝－1.] 6．A [因为y ＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin x ＋sin π3cos x －cos π3sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以最大值为1，又当x ＝－π3时，y ＝0，故选A.]7．A [由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35，则sin A ＝45，445＝52sin B ，sin B ＝12.又a >b ，B 必为锐角，所以B ＝π6.]8．D [根据三角形面积公式和正弦定理S ＝12ab sin C ＝122R sin A ·2R sin B ·sin C ＝2R 2sin A sin B sin C ，将R ＝1和S ＝1代入得sin A sin B sin C ＝12.]9．A [由已知可知，△ABC 的外接圆的圆心在线段BC 的中点O 处，因此△ABC 是直角三角形．且A ＝π2，又因为|OA →|＝|CA →|，∴C ＝π3，B ＝π6，∴AB ＝3，AC ＝1，故BA →在BC→上的射影|BA →|cos π6＝32.]10．D [∵AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，∴AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →，∴AB →(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →)，∴AB →·CB →＝BC →2，∴CB →·(BC →＋AB →)＝0， ∴CB →·AC →＝0，∴AC ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形．]11．解析 ∵cos α＝－45且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝35. ∴tan α＝－34.∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan α·tanπ4＝17.答案 1712．解析 因为|a －b |2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝4＋4－2a·b ＝4，所以解得a·b ＝2，所以|3a －2b |2＝9|a |2＋4|b |2－12a·b ＝36＋16－24＝28，故|3a －2b |＝27. 答案 2713．解析 ∵AB →·AC →＝4，∴bc cos A ＝b 2＋c 2－a 22＝4，∴b 2＋c 2－a 2＝8，同理a 2＋c 2－b 2＝24，∴c 2＝16，∴c ＝4. 答案 414．解析 因为4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，所以2[1－cos(A ＋B )]－2cos 2C ＋1＝72，2＋2cos C －2cos 2C ＋1＝72，即cos 2C －cos C ＋14＝0，解得cos C ＝12.由余弦定理得cos C ＝12＝a 2＋b 2－72ab ，ab ＝a 2＋b 2－7≥2ab －7，ab ≤7.(当且仅当a ＝b ＝7时，“＝”成立)从而S ＝12ab sin C ≤12·7·32＝734，即S 的最大值为734.答案73415．解 (1)∵p ∥q ，∴127cos 2A ＝(1－sin A )·2sin A ，∴6(1－2sin 2A )＝7sin A (1－sin A )，5sin 2A ＋7sin A －6＝0，∴sin A ＝35，sin A ＝－2(舍)．(2)由S △ABC ＝12bc sin A ＝3，b ＝2，得c ＝5，又cos A ＝±1－sin 2A ＝±45，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋25－2×2×5cos A ＝29－20cos A .当cos A ＝45时，a 2＝13，a ＝13；当cos A ＝－45时，a 2＝45，a ＝3 5.。
