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Ain 1 Ai 1 1 Ai 2 1 Ai 3
a11 ai 1,1 1 ai 1,1 a n1 a1n ai 1,n 1 ai 1,n ann
分析：
Ai 1 Ai 2 Ai 3
a11 ai 1,1 D ai 1 ai 1,1 a n1
21
1 Ain
解：
(1) A11 A12 A13 A14
1 1 1 2
1 1 3
1 0 1
1 5 r4 r3 3
4 1 3
r3 r1
23
r4 r3
1 1
1 1
1
1
r3 r1
0 5 ( 1)1 3 2 2 2 2 0 2 1 1 1 1 0 0
n
D , 当i j , aki Akj D ij k 1 0 , 当i j ;
n
1 , 当 i j ， 其中 ij 0 , 当 i j .
20
问题：设 D det (aij ) 中 aij 对应的代数余子式记为 Aij ,
那么
(1) Ai 1 Ai 2 Ai 3 Ain ? (2) b1 A1 j b2 A2 j b3 A3 j bn Anj ?
ai 1 A j 1 a i 2 A j 2 ain Ajn ?
a11 a1 n ain
i j.
分析
ai 1 A j 1 a i 2 A j 2 ain Ajn
ai 1 ai 1 a n1
0
ain ann
故 , 当 i j 时 , ai 1 A j 1 ai 2 A j 2
a1n 0 ann
a11 0 a n1
a12 ai 2 an 2
a1n 0 ann
a11 0 a n1
a12 0 an 2
a1n ain ann
ai 1 a n1
ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
13
ain Ain .
i 1, 2,
, n
□
例1
D
3 5 2 1
6
5 5
5
例2 计算行列式
3
1 2 0 2 3 3 5 2 1 0 5 0
1 7 D 0 2 0 2 5 2 1 0 5 0
0 4 1 4 0 5
解
3
1 2 0 2 3 3
1 7 D 0 2 0 2
0 4 1 4 0
15
5 3 1 2 2 3 1 3 1 2 5 0 2 1 2 2 5 4 1 4 0 4 1 4 2 3 5 0 2 3 5
a1 j ai 1, j a ij a nj
a1n ai 1,n 0 ann 0 a1n
aij 在
ai 1,1 0 a n1 aij
中的余子式
与 aij 在
a1 j ai 1, j anj
中的余子式 相同 ,
ai 1,n 设为 M ij . ann
10
a11 ai 1,1 0 a n1 aij a1 j 1
( i j ).
ai 1 A j 1 ai 2 A j 2
ain Ajn 0, i j ,
a1i A1 j a2 i A2 j
ani Anj 0, i j .
关于代数余子式的重要性质
D , 当i j , aik Ajk D ij k 1 0 , 当i j ;
a24 1 3 3 a a 33 21 0 a41 a44
a11
a12 a22 a42
a14 a24 . a44
5
引理 6.1 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元 素除 aij 外都为零，那么这行列式等于 aij 与 它的代数余子式的乘积，即 D aij Aij ． （1）当 aij 位于第一行第一列时, 证明 ：
D a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44
a11 M 23 a31 a41
a12 a32 a42
2 3
a14 a34 a44
A23 1
M 23 M 23 .
说明：余子式和代数余子式与aij的值无关, 与其所在的 行、列的元素无关，而只与 元素的下标 (位置) 有关 .
ai 1 A j 1 a i 2 A j 2 ain Ajn
ani Anj 0, i j .
a11 ai 1 ai 1 a n1 a1 n ain
0
ain ann
故 , 当 i j 时 , ai 1 A j 1 ai 2 A j 2
19
ain Ajn 0,
a11 D a21 a n1 0 a22 an 2 0 a2 n ann
(P14例10结论)
有 D a11 M11 ,
因 A11 1 M11 M11 ,
11
故 D a11 A11 .
6
（2）一般情形
a11 D 0 a n1
a1 j aij a nj
a1n 0 ann
把 D 的第 i 行依次与 第 i 1 行, 第 i 2 行,
a1n ai 1,n ain ai 1,n ann
同理可知
a11
b1 A1 j b2 A2 j b3 A3 j
bn Anj
a1, j 1
b1
a1, j 1 a n , j 1 a1, j 1 a n , j 1
a1n . ann a1n ann
a n1 a11 D a n1
0 a11
i 1
0 a12 ai 1,2 an 2
aij a1 j ai 1, j anj
0 a1n ai 1,n ann
…, 第1行对调, 得
D 1
ai 1,1 a n1
7
再把第 j 列依次与第 j 1列 , 第 j 2列 , … , 第1 列对调 .
aij a1 j 0 a11 ai 1,1 a n1 0 a12 ai 1,2 an 2 0 0 ai 1,n a nn
anj Anj .
, n
i , j 1,2,
12
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
证明：
a11 a12 0 0 ai 2 an 2 0
ain Ain
a1n 0 0 ain ann
D ai 1 0 a n1
a11
a12 0 an 2
一般地，对于一个n阶行列式，
D？ ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
3
ain Ain
i 1,2, , n.
定理 （Laplace展开定理、降阶定理） 行列式
等于它的任一行（列）的各元素与其
对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
D a1 j A1 j a2 j A2 j
§6
行列式按行(列)展开
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
引例 a11 a12 a13
a21 a22 a31 a32 a23 a33
a11 a22a33 a23a32 a12 a21a33 a23a31
a13 a21a32 a22a31
a22 a11 a32
a23 a21 a12 a33 a31
a23 a33
a13
a21 a22 a31 a32
1
一、余子式与代数余子式
定义 6.1 在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和 第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做 记作 M ij . 元素 aij 的余子式， i j 叫做元素 a ij的代数余子式 ． 记 Aij 1 M ij ， 例如
2
引例
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a22 a23 a11 a32 a33
a13
a23 a21 a a33 12 a31
a23 a33
a13
a21 a22 a31 a32
a11 A11 a12 A12 a13 A13 ？ a21 A21 a22 A22 a23 A23 ？ a31 A31 a32 A32 a 1
1
j 1
ai 1, j anj
8
aij a1 j i j2 D ( 1) ai 1, j anj aij a1 j i j ( 1) ai 1, j anj
0 a11 ai 1,1 an1 0 a11 ai 1,1 an1
aij Aij .
□
11
二、行列式按行（列）展开法则
定理 6.2 （Laplace展开定理、降阶定理） 行列式 等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
D a1 j A1 j a2 j A2 j
ain Ain
2 3 1 7 2 r2 2r1 10 0 7 2 10 2 6 6 r3 r1 0 6 6
20 42 12 1080.
16
二、行列式按行（列）展开法则
定理 6.2 （Laplace展开定理、降阶定理） 行列式
等于它的任一行（列）的各元素与其
ain Ain
anj Anj .
, n
i , j 1,2,
