福建省福州市外国语学校2017-2018学年高三适应性考试(一)数学理试卷 Word版含解析

福建省福州外国语学校2017-2018学年高一上学期第一次月考数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.集合中*12{|}x N Z x∈∈含有的元素个数为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 【答案】B考点：集合的概念.2.下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．1()f x x=B ．()f x =．()22x xf x -=- D ．2()1f x x =+ 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，函数1()f x x=在区间(,0),(0,)-∞+∞单调递减，在定义域上不是单调函数，所以不正确；函数()f x =0x ≤，定义域不关于原点对称，非奇非偶函数，所以不正确；函数2()1f x x =+满足()()f x f x -=，所以函数是偶函数，所以不正确，故选C.考点：函数的单调性与奇偶性.3.方程220xx +-=的解所在的区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【解析】 试题分析：由题意得，设函数()22x f x x =+-，则()()0102021,12121f f =+-=-=+-=，所以()()010f f <，所以方程220xx +-=的解所在的区间为(0,1)，故选B.考点：函数的零点.4.设全集U R =，(2){|21}x x A x -=<，{|ln(1)}B x y x ==-，则如图中阴影部分表示的集合为 （ ）A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤< C. {|01}x x <≤ D ．{|1}x x ≤ 【答案】B考点：集合的运算.5.定义在R 上的函数()y f x =，在(,)a -∞上是增函数，且函数()y f x a =+是偶函数，当1x a <，2x a >，且12||||x a x a -<-时，有（ ）A ．12()()f x f x >B ．12()()f x f x ≥ C. 12()()f x f x < D ．12()()f x f x ≤【解析】试题分析：由函数()y f x a =+是偶函数，所以图象关于y 轴对称，可得函数()y f x =的图象关于x a =对称，又因为函数()y f x =，在(,)a -∞上是增函数，所以(,)a +∞为单调递减函数，又由12||||x a x a -<-，所以12()()f x f x >，故选A ． 考点：函数的图象的平移变换；函数的单调性与奇偶性的应用.6.国内快递重量在1000克以内的包裹邮资标准如下表：如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1300km 的某地，它应付的邮资是（ ） A ．5.00元 B ．6.00元 C.7.00元 D ．8.00元 【答案】C考点：分段函数的应用.【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用问题，其中解答中涉及到分段函数的解析式的求解、分段函数的求解、函数的表示等知识点的综合考查，本题解答的关键在于写出分段函数的解析式，判断出自变量属于那一段，然后将其代入其中一段的解析式，求出相应的函数值，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.已知函数()22x x f x -=-，,,a b c R ∈，且满足0a b +>，0b c +>，0c a +>，则()()()f a f b f c ++的值（ ）A ．一定大于零B ．一定小于零 C.一定等于零 D ．都有可能 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，函数()f x 的定义域为R ，因为()22(22)xxx xf x f x---=-=-+=-，所以函数为奇函数，因为0a b +>，0b c +>，0c a +>，所以,,a b b c c a >->->-，因为函数()22x x f x -=-为R 上的单调递减函数，所以函数()()()f a f b f b <-=-，即()()0f a f b +<，同理可得()()()()0,0f c f b f a f c +<+<，综上得()()()0f a f b f c ++<，故选B.考点：函数的单调性与奇偶性的应用.8.已知函数2()x f x m -=（0m >，且1m ≠）恒过定点(,)a b ，则在直角坐标系中函数||1()()x b g x a+=的图象为（ ）A ．B ． C. D ．【答案】D 【解析】试题分析：根据指数函数的性质，可得函数2()x f x m -=，恒经过定点(2,1)，即2,1a b ==，所以函数|1|1()()2x g x +=，当1x =-时(1)1g -=，且函数为偶函数，且在(1,)-+∞上函数为单调递减函数，所以函数的图象为D 项，故选D.考点：函数的图象.9.若函数(2),2()1()1,22x a x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．13(,]8-∞ C.(0,2) D ．13[,2)8【答案】B考点：函数的单调性的应用.10.已知函数,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+≤=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是 （ ）A ．(,1)-∞-B ．(,0)-∞ C.(1,0)- D ．[1,0)- 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，当0x >时，12102x x -=⇒=，满足题意，因为函数()f x 在R 上有两个零点，则当0x ≤时，0x e a +=必有一个零点，所以,(,0]xa e x =-∈-∞，所以[1,0)a ∈-，故选D.考点：函数的零点．11.若函数()(1)(0,1)xxf x k a a a a -=-->≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ． C. D ． 【答案】A考点：函数的性质与函数的图象.【方法点晴】本题主要考查了函数的图象问题，其中解答中涉及到函数的单调性和函数的奇偶性、函数的图象等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中根据函数的单调性与奇偶性，得出2,1k a =>是解答的关键，同时熟练掌握对数函数与指数函数的性质是解答此类问题的基础.12.设奇函数()f x 在区间[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-.当[1,1]x ∈-时，函数2()21f x t at ≤-+，对一切[1,1]a ∈-恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．22t -≤≤B ．2t ≤-或2t ≥ C.0t ≤或2t ≥ D ．2t ≤-或2t ≥或0t =【答案】D 【解析】试题分析：由奇函数()f x 在区间[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，所以在区间[1,1]x ∈-的最大值为1，所以2121t at ≤-+当0t =时显然成立，当0t ≠时，则220t at -≥成立，又[1,1]a ∈-，令()22,[1,1]g a at t a =-∈-，当0t >时，()g a 是减函数，故令()10g ≥，解得2t ≥；当0t <时，()g a 是增函数，故令()10g -≥，解得2t ≤-，综上所述，2t ≥或2t ≤-或0t =，故选D.考点：函数的单调性与函数的奇偶性的应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性与函数的最值等知识点的综合考查，对于函数的恒成立问题，此类问题的解答的关键是对题设关系的转化，借助函数的单调性确定函数的最值进行合理转化，这是函数恒成立问题解答的常用的转化技巧，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是 __________. 【答案】3a ≤-考点：二次函数的性质.14.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，设4(log 7)a f =，2(log 3)b f =，0.6(0.2)c f =，则,,a b c 的大小关系（从小到大排列）是___________.【答案】b a c << 【解析】试题分析：由题意得，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，所以函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，又因为0.6242log 3log 7log 10.20>=>>>，所以b ac <<.考点：函数的单调性与奇偶性的应用.15.已知函数22log (1),0()2,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是___________. 【答案】(0,1)考点：函数的零点与方程的根的关系.【方法点晴】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系问题，其中解答中涉及到分段函数的解析式及其函数的图象的应用，本题的解答中把方程函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为函数()y f x =与y m =的图象有3个交点是解得关键，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.16.设定义域为R 的函数()f x 满足下列条件：对任意x R ∈，()()0f x f x +-=，且对任意12[1,](1)x x a a ∈>，，当21x x >时，有21()()0f x f x >>.给出下列四个结论：①()(0)f a f >；②1()2a f f +>；③13()(3)1a f f a ->+；④13()()1af f a a->+. 其中所有的正确结论的序号是_______. 【答案】①②④考点：函数奇偶性与单调性的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的综合问题，其中解答中涉及到函数的单调性判定、函数的奇偶性的判定、实数与代数式的比较大小.本题的解答中利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解答的关键，试题综合性强，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（10分）已知集合{|32}A x x =-<<，{|4B x x =<-或1}x >，{|121,}C x m x m m R =-<<+∈.（1）求A B ，A B ；（2）若AB C ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|12}A B x x =<<，{|4A B x x =<-或3}x >；（2）122m ≤≤． 【解析】试题分析：（1）由题意得，根据集合的交集与并集的运算，即可求解A B ，A B ；（2）根据集合之间的关系，列出关系式，即可求解实数m 的取值范围. 试题解析：（1）{|12}A B x x =<<，{|4A B x x =<-或3}x >.………………5分（2）122m ≤≤.………………10分 考点：集合的运算.18.（12分）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，21()f x x x=+. （1）求()f x 的表达式；（2）判断并证明函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性.【答案】（1）2210()0,01,0x x f x x x x x ⎧+<⎪⎪==⎨⎪⎪-+>⎩；（2）函数()f x 在区间(0,)+∞上是减函数，证明见解析．试题解析：（1）∵()f x 是奇函数，∴对定义域R 内任意的x ，都有()()f x f x -=-.……1分令0x =得，(0)(0)f f =-，即(0)0f =.………………2分 又当0x >时，0x -<，此时2211()()[()()]f x f x x x x x=--=--+=-+-.………………4分综合可得：2210()0,01,0x x f x x x x x ⎧+<⎪⎪==⎨⎪⎪-+>⎩.………………6分（2）函数()f x 在区间(0,)+∞上是减函数，下面给予证明.………………6分 设120x x <<，则2212121211()()()()f x f x x x x x -=-+--+ 2121121()()x x x x x x =-++.………………8分∵120x x <<，∴210x x ->，210x x +>，120x x >， ∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，故函数()f x 在区间(0,)+∞上是减函数.………………12分 考点：函数的解析式与函数的单调性的定义.19.（12分）设定义域为R 的函数12()2x x af x b+-+=+（a b ，为实数）.（1）若()f x 是奇函数，求a b ，的值；（2）当()f x 是奇函数时，证明对任何实数x ，c 都有2()33f x c c <-+成立. 【答案】（1）1a =，2b =；（2）证明见解析．试题解析：（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(0)0f =，………………1分 即102ab-+=+，∴1a =，………………2分 ∴121()2xx f x b +-+=+，∵(1)(1)f f =--，∴1112241b b--=-++，∴2b =.………………4分（2）11211211()22212221x x x x xf x +--===-++++， ∵20x>，∴211x+>，10121x <<+，从而11()22f x -<<；………………10分 而2233333()244c c c -+=-+≥对任何实数c 成立，∴对任何实数x ，c 都有2()33f x c c <-+成立.………………12分 考点：函数的奇偶性；指数函数的性质.20.（12分）国庆黄金周及其前后是旅游旺季.某宾馆通过对9月26日至10月15日这20天的调查，得到部分日经济收入Q 与这20天中的第t 天*()t N ∈的部分数据如下表：（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最恰当的函数描述Q 与t 的变化关系：Q at b =+，2Q t at b =-++，t Q a b =，log b Q a t =，并求出该函数的解析式；（2）利用你选择的函数，确定日经济收入最高的是第几天；并求出最高日经济收入. 【答案】（1）219200Q t t =-++，*(120,)t t N ≤≤∈；（2）9t =或10时，Q 取得最大值290万元．试题解析：（1）由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入Q 与天数的变化关系的函数不可能为常数函数，从而用四个中的任意一个进行描述时都应有，而Q at b =+，tQ a b =，log b Q a t =三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，∴选取二次函数进行描述最恰当.………………4分将(1,218)、(8,288)代入2Q t at b =-++，可解得19a =，200b =.………………6分 ∴219200Q t t =-++，*(120,)t t N ≤≤∈；………………8分 （2）219200Q t t =-++，∵120t ≤≤，*t N ∈， ∴9t =或10时，Q 取得最大值290万元.………………12分 考点：函数模型与性质.21.（12分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≥时，1()()2xf x =，函数()f x 的值域 为集合A .（1）求(1)f -的值；（2）设函数()g x =B ，若A B ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1(1)2f -=；（2）{|1}a a ≥． 【解析】试题分析：（1）根据偶函数的性质可知，只需研究0x ≥时，()f x 的取值范围即为函数的值域，根据指数函数的单调性可求长所求；（2）根据偶次根式的倍开方大于等于零，以及A B ⊆建立关系式，可求出a 的取值范围.试题解析：（1）∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数，∴(1)(1)f f -=. 又0x ≥时，1()()2xf x =，∴1(1)2f =.则1(1)2f -=.………………4分考点：函数奇偶性的性质；集合关系中的参数取值问题.【方法点晴】本题主要考查了函数奇偶性的性质、集合关系中的参数取值问题，其中解答中涉及到函数的奇偶性的应用、函数单调性的应用，以及一元二次不等式的解法等知识点的综合考查，本题的解答中正确把握函数的奇偶性与单调性的判定与应用是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题.22.（12分）定义在[1,1]-上的奇函数()f x ，对任意,0m n ≠时，恒有()()0f m f n m n+>+.（1）比较1()2f 与1()3f 大小；（2）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并用定义证明；（3）若810a x -+>对满足不等式11()(2)024f x f x -+-<的任意x 恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）11()()23f f >；（2）函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，证明见解析；（3）4a >．【解析】试题分析：（1）利用作差法，即可比较1()2f 与1()3f 大小；（2）利用单调性定义证明步骤，即可得出结论；（3）先确定x 的范围，再分离参数求最值，即可求a 的取值范围.试题解析：（1）∵11()023+-≠，11()()23011()23f f +>+-， ∴11()()023f f +>，∴11()()23f f >--∴11()()23f f >.………………4分（2）任取12[1,1]x x ∈-，且12x x <，21212121212121()()()()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x x x -+--=-=--+-.∵2121()()0()f x f x x x +->+-，210x x ->，∴21()()0f x f x ->，∴函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数.………………8分 （3）4a >.………………12分 考点：函数奇偶性与单调性的综合问题.【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与单调性的综合问题，其中解答中涉及到单调性的证明、函数奇偶性的应用，以及作差法比较大小等知识点的综合考查，本题的解答中熟记函数的单调性的判定方法和函数奇偶性的性质的应用是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.。

2017福建省质检数学(理)word版篇一：福建省福州外国语学校2017届高三适应性考试(三)数学(理)试题 Word版含答案高三数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足(3?4i)?z?|4?3i|，i是虚数单位，则z的虚部为（） A．?4B．4 5C．4 D．?4 52.设集合P??x||x?1|?3?，Q??y|y?(),x?(?2,1)?，则P?Q?（）x??13??A．(?4,)19B．(,2]19C．(,2]13D．(,2)133.已知命题p：?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)?0，则?p是（） A．?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)?0 B．?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)?0 C．?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)?0 D．?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)?04.若??(A．??2,?)，3cos2??sin(B．?4??)，则sin2?的值为（）C．?171****8118D．1 185.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入x的取值范围是（） A．(4,10]B．(2,??)C．(2,4]D．(4,??)6.有关以下命题：①用相关指数R来刻画回归效果，R越小，说明模型的拟合效果越好；②已知随机变量?服从正态分布N(2,?2)，P(??4)?，则P(2)?；③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60；其中正确的命题个数为（） A．3个B．2个C．1个D．0个227. 一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（） A．2?B．16?C．8?D．8?3x?y?a?0,?8. 设x，y满足约束条件?x?y?0,若目标函数z?x?y的最大值为2，则实数a的?2x?y?0,?值为（） A．2B．1C．?1D．?29.已知等差数列?an?的公差d?0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1?1，Sn为数列?an?的前n项和，则2Sn?16的最小值为（）an?3B．3C．2D．2A．4bx2y210.过双曲线2?2?1（a?0，b?0）的右焦点F作直线y??x的垂线，垂足为A，aab交双曲线的左支于B点，若FB?2FA，则该双曲线的离心率为（）AB．2CD11.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为则bd和（a，b，c，d?N*），acb?d是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道，若令a?c314916，则第一次用“调日法”后得是?的更为精确的过剩近似值，即101553116，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得?的近似分数为（） 105226378109A． B． C． D．720352512.已知函数f(x)??根的根数是（） A．8B．6C．4D．2?2x，g(x)?xcosx?sinx，当x3?,3??时，方程f(x)?g(x)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知(x?为．162?)展开式的常数项是540，则由区县y?x和y?x围成的封闭图形的面积axB，C，14.△ABC的三个内交为A，的最大值为．7?则2cosB?sin2C?tan(?)，122????215.在平行四边形ABCD中，AC?CB?0，2BC?AC?4?0，若将其沿AC 折成二面角D?AC?B，则三棱锥D?AC?B的外接球的表面积为．??x3?x2,x?e16.设函数y??的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点?alnx,x?e的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?2an?1，设bn?2(log2an?1)，n?N*．（1）求数列?an?的通项公式；（2）求数列?bn?an?的前n 项和Tn．18.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，?DAB??DBF?60?，且FA?FC．（1）求证：AC?平面BDEF；（2）求证：FC//平面EAD；（3）求二面角A?FC?B的余弦值．19.某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如下：方式实施地点大雨中雨小雨模拟实验总次数A B甲乙丙4次 3次 2次6次 6次 2次2次 3次 8次12次 12次 12次C假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟实验的统计数据：（1）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概念；（2）考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只能是小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量?，求随机变量?的分布列和数学期望E?．x2y220.已知椭圆?：2?2?1（a?b?0）的右焦点为，且椭圆?上一点M到其ab两焦点F1，F2的距离之和为（1）求椭圆?的标准方程；（2）设直线l：y?x?m（m?R）与椭圆?交于不同两点A，B，且|AB|?，若点P(x0,2)满足|PA|?|PB|，求x0的值． 21.已知a?R，函数f(x)?(x?a)|x?1|．（1）若a?3，求f(x)的单调递增区间；（2）函数f(x)在?a1,b?上的值域为??1,1?，求a，b需要满足的条件．??请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-1：几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，弦CD?AB于点M，E是CD延长线上一点，AB?10，CD?8，3ED?4OM，EF切圆O于F，BF交CD于G．（1）求证：△EFG为等腰三角形；（2）求线段MG的长．篇二：福建省福州第一中学2016届高三下学期模拟考试(5月质检)数学(理)试题 Word版含答案2016届福州一中高中毕业班理科数学模拟试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若集合A?x?2?16，B?xlog3(x?2x)?1，则A?B等于(A)?3,4? (B) ?3,4?(C) (??,0)??0,4? (D) (??,?1)??0,4? （2）计算sin46??cos16??cos314??sin16???x??2?1(C)2（3）已知随机变量?服从正态分布N(3,?2)，若P(??6)?，则P(03)? (A) (B) (C) (D)x03（4）设命题p:?x0?(0,??),3?x0，则?p为(A) ?x?(0,??),3x?x3 (B) ?x?(0,??),3x?x3 (C)?x?(0,??),3?x (D) ?x?(0,??),3?x（5）二项式(2xx3x35的展开式中x的系数等于（6）设向量OA?e1,OB?e2,若e1与e2不共线，且AP?6PB，则OP?(A) ?40 (B) 40 (C) ?20(D) 201??6??6??1??1??6??6??1??(A) e1?e2 (B) e1?e2 (C) e1?e2 (D) e1?e2777777771?8?（7）已知函数f(x)?sin(x?)(x?R)，把函数f(x)的图象向右平移个单位得函数463g(x)的图象，则下面结论正确的是(A) 函数g(x)是奇函数(B) 函数g(x)在区间??,2??上是增函数(C) 函数g(x)的最小正周期是4? (D) 函数g(x)的图象关于直线x??对称（8）在一球面上有A,B,C三点，如果AB??ACB?60?，球心O到平面ABC的距离为3，则球O的表面积为(A) 36? (B) 64? (C) 100? (D) 144? （9）右边程序框图的算法思路，源于我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作中提出的秦九韶算法，执行该程序框图，若输入的n,an,x分别为5,1,?2，且a4?5,a3?10,a2?10,a1?5,a0?1，则输出的v=(A) 1 (B) 2 (C) ?1 (D) ?25（10）某三棱锥的三视图如上图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于 (A) (D)x2y2(11) 已知O,F分别为双曲线E:2?2?1(a?0,b?0)的中心和右焦点，点G,M分别在abE的渐近线和右支，FG?OG，GM//x轴，且OM?OF，则E的离心率为43x(12) 设定义在(0,??)的函数f(x)的导函数是f?(x)，且xf?(x)?3xf(x)?e，e3f(3)?，则x?0时，f(x)81(A) 有极大值，无极小值(B) 有极小值，无极大值(C) 既无极大值，又无极小值 (D) 既有极大值，又有极小值第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）已知复数z的共轭复数z?1?i，则复数z的虚部是_______. 1?2i?y?x?（14）若x,y满足约束条件?x?y?2, 且z?3x?y的最小值是最大值的?3倍，则a的值是?x?a?_____.（15）若椭圆的中心在原点，一个焦点为(1,0)，直线2x?2y?3?0与椭圆相交，所得弦的中点的横坐标为1，则这个椭圆的方程为_________.（16）若?ABC的内角满足sinA?2sinC?B，则角C的最大值是_______. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等差数列?an?的前n项和为Sn，且S6?5S2?18,a3n?3an，数列?bn?满足 b1?b2bn?4Sn.（Ⅰ）求数列?an?，?bn?的通项公式；（Ⅱ）令cn?log2bn，且数列?（18）（本小题满分12分）?1??的前n项和为Tn，求T2016.?cn?cn?1?ABCD，底面ABCD为直如图，在四棱柱ABCD?A1BC11D1中，侧面ADD1A1?底面AB?BC?4. 角梯形，其中BC//AD,AB?AD,AD?12,AD11?（Ⅰ）在线段AD上求一点N，使得CN//平面ABB1A1，并加以证明；（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点N，求锐二面角D?ND1?C1的余弦值.（19）（本小题满分12分）某商场每天以每件100元的价格购入A商品若干件，并以每件200元的价格出售，若所购进的A商品前8小时没有售完，则商场对没卖出的A商品以每件60元的低价当天处理完毕（假定A商品当天能够处理完）.该商场统计了100天A商品在每天的前8小时的销售量，（Ⅰ）某天该商场共购入8件A商品，在前8个小时售出6件. 若这些产品被8名不同的顾客购买，现从这8名顾客中随机选4人进行回访，求恰有三人是以每件200元的价格购买的概率；（Ⅱ）将频率视为概率，要使商场每天购进A商品时所获得的平均利润最大，则每天应购进几件A商品，并说明理由.（20）（本小题满分12分）已知抛物线E:y2?2px(p?0)的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线E交于A,B两点，E的准线与x轴交于点C，?CAB的面积为4，以点D(3,0)为圆心的圆D过点A,B.（Ⅰ）求抛物线E和圆D的方程；（Ⅱ）若斜率为k(k?1)的直线m与圆D相切，且与抛物线E交于M,N两点，求FM?FN的取值范围.（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)?ax2?bx?2lnx(a?0,b?R)，若对任意x?0,f(x)?f(2). （Ⅰ）写出b?g(a)的表达式；（Ⅱ）已知c,d为不相等的两个整数，且c?k?d时lna?kb?0恒成立，求c的最小值与d的最大值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD内接于圆O，AD与BC的延长线交于圆O外一点E，自E引一直线平行于AC，交BD的延长线于M，自M引MT切圆O于T.（Ⅰ）求证：MT?ME；（Ⅱ）若AE?BM,MT?3,MD?1，求BE的长.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x?y?1，在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为??228.cos??2sin?（Ⅰ）将C1上的所有点的横坐标和纵坐标分别伸长为原来的2C2，求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若P,Q分别为曲线C2与直线l上的两个动点，求PQ的最小值以及此时点P的坐标.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲如果关于x 的不等式x??x?6?a的解集为空集. （Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若实数b与实数a取值范围相同，求证：ab?25?5a?b.篇三：福建省福州市第八中学2017届高三上学期第四次质量检查数学(理)试题 Word版含答案福州八中2016—2017学年高三毕业班第四次质量检查数学(理)试题考试时间：120分钟试卷满分：150分第Ⅰ卷(60分)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合A?{x|?1?2x?1?3}，B?{x|A．{x|?1?x?0} C．{x|0?x?2} 2．复数z?x?2?0}，则A?B? xB．{x|0?x?1} D．{x|0?x?1}2i?i3（i为虚数单位）的共轭复数为 i?1C．1?iD．1?2iA．1?2i3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为B. D.234.已知命题p：?x?R，32x?1?0，命题q：0?x?2是log2x?1的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是A．?pB．p?qC．p?(?q) D．?p?q5.已知直线l1：(3＋a)x＋4y＝5－3a和直线l2：2x＋(5＋a)y ＝8平行，则a＝ A．－7B．－7或－1C．－1D．7或1?x?y?2?0,?6.若实数x,y满足?x?y?0,若z?x?2y的最小值是?y?0,?A．?2B．?1D．2是7. 直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于 A.4 3C.838.若两个正实数x,y满足?1xy4?1，且不等式x??m2?3m有解，则实数m的取值范围4yA．(??,?1)?(4,??) C．(?4,1) 9.已知函数B．(??,0)?(3,??) D．(?1,4)?2f(x)?Acos(?x??)的图象如图所示,f()??,则f(0)等于23232C.3A.?B. ?D.1 2x2y210.已知双曲线ab1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若双曲1 2ac线上存在点P，则该双曲线的离心率的取值范围为sin∠PF1F2sin∠PF2F1A．2＋1，＋∞) C．(13)B．3，＋∞) D．(1，2＋1)?|log3x|,0?x?3?11.已知函数f(x)??，若存在实数x1，x2，x3，x4，当??x),3?x?9?3?x1?x2?x3?x4时，满足f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)，则x1?x2?x3?x4的取值范围是135135) ) C．[27,30) D．(27,4412x12.已知函数f(x)?x?e?(x?0)与g(x)?x2?ln(x?a)的图象上存在2A．(7,B．(21,29) 4关于y轴对称的点,则a的取值范围是A．(?,??) B．(?1,) eC．(?,11) D．(?,??) e第Ⅱ卷（主观题90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）rrr1r13.已知向量a?(,b?(1,0)，则b在a上的投影等于______________.214.已知圆x+y=m与圆x+y+6x-8y-11=0相交,则实数m的取值范围是215.已知数列{an}满足a1?1,a2?2,an?2?(1?cos2222n?n?)an?sin2，则该数列的前1222项和为16.已知边长为2的菱形ABCD中，?BAD?600，沿对角线BD折成二面角为120的四面体，则四面体的外接球的表面积为________.三、解答题：解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.(本小题满分12分）等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.(1)求an与bn；(2)求证：18.(本小题满分12分）1113(n?N?) S1S2Sn4??已知函数f?x??m?n,且m?sin?x?cos?x?x,???n??cos?x?sin?x,2sin?x?，其中??0，若函数f?x?相邻两条对称轴的距离大于等于?. 2（1）求?的取值范围；（2）在锐角?ABC中，当?最大时，f?A??1，且a?a,b,c分别是角A,B,C的对边，求b?c的取值范围.19.(本小题满分12分）如图, 已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD//BC，CE//BG，且?BCD??BCE?平面ABCD⊥平面BCEG,?2，BC?CD?CE?2AD?2BG?2.（Ⅰ）证明：AG//平面BDE;（Ⅱ）求平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值.y2x220.(本小题满分12分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)，以原点为圆ab心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x?y?0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y?kx(k?0)与椭圆相交于E、F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．21.(本小题满分12分）设函数f(x)?(x?1)lnx?a(x?1).（1）若函数f(x)在x?e处的切线与y轴相交于点(0,2?e)，求a的值；（2）当1?x?2时，求证：211. ??x?1lnxln(2?x)请考生在第22,23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。

2018年福建省福州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z 满足（i+1）z=﹣2，则在复平面内，z 对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按年龄段分层抽样D．系统抽样3．（5分）已知双曲线E：mx2﹣y2=1 的两顶点间的距离为4，则E 的渐近线方程为（）A．B．C．y=±2x D．y=±x4．（5分）若角α 的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线上，则cos2α=（）A．B．C．D．5．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的表上，PA⊥平面ABC，AB ⊥BC，且PA=8，若平面ABC截球O所得截面的面积为9π，则球O的表面积为（）A．10πB．25πC．50πD．100π6．（5分）函数f（x）=x2+ln（e﹣x）ln（e+x）的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）如图程序框图是为了求出满足1+++…+＜1000的最大正整数n的值，那么在和两个空白框中，可以分别填（）A．“S＜1000”和“输出i﹣1” B．“S＜1000”和“输出i﹣2”C．“S≥1000”和“输出i﹣1” D．“S≥1000”和“输出i﹣2”8．（5分）福州西湖公园花展期间，安排6 位志愿者到4 个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有（）A．90 种B．180 种C．270 种D．360 种9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．π+6 B．C．D．10．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x2﹣2）＞f（x）的x 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l．过F的直线交C于A，B两点，交l于点E，直线AO交l于点D．若|BE|=2|BF|，且|AF|=3，则|BD|=（）A．1 B．3 C．3 或9 D．1 或912．（5分）已知函数f （x）=sin 2x 的图象与直线2kx﹣2y﹣kπ=0 （k＞0）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为x1，x2，x3，则（x1﹣x3）tan（x2﹣2x3）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二、填空题本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知集合A={1，3，4，7}，B={x|x=2k+1，k属于A}，则集合A∪B 中元素的个数为．14．（5分）在钝角三角形ABC中，AB=3，BC=，∠A=30°，则△ABC的面积为15．（5分）设变量x，y满足约束条件则z=2x+2y的取值范围为．16．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠DCA=2∠BAC，若=x+y（x，y∈R），则x﹣y的值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，且=+5（1）求a n（2）若b n=a n•4求数列{b n}的前n项的和T n．18．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为正三角形，点D在棱BC上，且CD=3BD，点E，F分别为棱AB，BB1的中点．（1）证明：A1C∥平面DEF；（2）若A1C⊥EF，求直线A1C1与平面DEF所成的角的正弦值．19．（12分）从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值（记为Z），由测量结果得如下频率分布直方图：（1）公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z＜95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（2）由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．①利用该正态分布，求P（87.8＜Z＜112.2）；②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间（87.8，112.2）的产品件数，利用①的结果，求E（X）．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．20．（12分）设点A为圆C：x2+y2=4上的动点，点A在x轴上的投影为Q．动点M满足2=，动点M的轨迹为E．（1）求E的方程；（2）设E与y轴正半轴的交点为B，过点B的直线l的斜率为k（k≠0），l与E 交于另一点为P．若以点B为圆心，以线段BP长为半径的圆与E有4个公共点，求k的取值范围．21．（12分）（1）求函数f（x）=xlnx+a（a＜0）的零点个数；（2）证明：当a∈[﹣4e，0），函数g（x）=2x2lnx﹣x2+ax有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2．已知点Q为曲线C1的动点，点P在线段OQ上，且满足|OQ|•|OP|=4，动点P的轨迹为C2．（1）求C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△AOB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x2﹣|x|+1．（1）求不等式f（x）≥2x 的解集；（2）若关于x 的不等式f（x）在[0，+∞）上恒成立，求 a 的取值范围．2018年福建省福州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵（i+1）z=﹣2，∴z=，∴z 对应的点的坐标为（﹣1，1），位于第二象限．故选：B．2．【解答】解：根据该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，男女“微信健步走”活动情况差异不大；在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是按年龄段分层抽样．故选：C．3．【解答】解：根据题意，双曲线E的方程为mx2﹣y2=1，则其标准方程为﹣y2=1，若双曲线的两顶点间的距离为4，则有2=4，解可得m=，则双曲线的标准方程为﹣y2=1；其渐近线方程为y=±x；故选：B．4．【解答】解：由已知可得，tanα=，则cos2α=．故选：B．5．【解答】解：由题意，平面ABC截球O所得截面的面积为9π，可得AC=2r=2=6PC为球O的直径，PC==10，∴球O的半径为，5，∴球O的表面积为4π•52=100π，故选：D．6．【解答】解：根据题意，f（x）=x2+ln（e﹣x）ln（e+x），有，解可得﹣e＜x＜e，即函数f（x）的定义域为（﹣e，e）；且f（﹣x）=（﹣x）2+ln（e+x）ln（e﹣x）=x2+ln（e﹣x）ln（e+x）=f（x），函数f（x）为偶函数，f（x）=x2+ln（e﹣x）ln（e+x），当x→e时，ln（e﹣x）→﹣∞，此时f（x）→﹣∞，同理：当x→﹣e时，ln（e+x）→﹣∞，此时f（x）→﹣∞，分析选项，A符合；故选：A．7．【解答】解：由于程序框图是为了求出满足1+++…+＜1000 的最大正整数n的值，故退出循环的条件应为S≥1000，由于满足1+++…+≥1000 后，（此时i值比程序要求的i值多一），又执行了一次i=i+1，故输出的应为i﹣2的值．故选：D．8．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①，在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有C61=6种情况，②，在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有C51=5种情况，③，将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区，有×A22=6种情况，则一共有6×5×6=180种不同的安排方案；故选：B．9．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是上部为半圆锥，下部为平放的四棱柱，如图所示；结合图中数据，计算它的体积为：V=••π•12•2+•（1+2）•2•2=+6．故选：C．10．【解答】解：由题意x＞0时，f（x）递增，故f（x）＞f（0）=0，而x≤0时，x=0，故若f（x2﹣2）＞f（x），则x2﹣2＞x，且x2﹣2＞0，解得：x＞2或x＜﹣，故选：C．11．【解答】解：当A位于x轴下方是，设A（x1，y1），y1＜0，B（x2，y2），y2＞0，抛物线C：y2=2px焦点F（，0），准线方程为：x=﹣，直线AB过抛物线的焦点F，则y1y2=﹣p2．直线OA的方程y=x，当x=﹣时，y=﹣=﹣=y2，则BD⊥l，过A作AC⊥l，垂足为C，准线l交x轴于H，由|BE|=2|BF|，则F为BE的中点，由|AF|=3，设|AE|=m，则|AC|=3，由抛物线的性质可知：|AC|=3，|BD|=|BF|=|EF|=3+m，则=，则|FH|=，由2|FH|=|BD|，解得：m=6，则|BD|=9，当A位于x轴上方时，设A（x1，y1），y1＞0，B（x2，y2），y2＜0，直线OA的方程y=x，当x=﹣时，y=﹣=﹣=y2，则BD⊥l，过A作AC⊥l，垂足为C，准线l交x轴于H，由|BE|=2|BF|，设|BF|=m，则|BE|=2m，由抛物线的定义可知：|BD|=|BF|=m，|AF|=|AC|=3，则=，即=，解得：m=1，故|BD|=1或9，故选：D．12．【解答】解：由题意，直线2kx﹣2y﹣kπ=0，可得y=恒过定点（，0），即x2=；∵k＞0恰有三个公共点，其直线必过f（x）的最高点和最低点，那么x1+x3=π．∴x1=π﹣x3∴sin 2x3==∴f′（2x3）=2cos 2x3=k．则（x1﹣x3）tan（x2﹣2x3）=（π﹣2x3）tan（﹣2x3）=（π﹣2x3）=（π﹣2x3）=﹣1故选：B．二、填空题本大题共4小题，每小题5分．13．【解答】解：集合A={1，3，4，7}，B={x|x=2k+1，k∈A}={3，7，9，15}，则集合A∪B={1，3，4，7，9，15}．∴A∪B中元素的个数为6．故答案为：6．14．【解答】解：当∠B为钝角时，由正弦定理可得：=，解得：sinC=，解得C=60°，可得：B=90°，矛盾．当∠C为钝角时，如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，∵∠BAC=30°，∴BD=AB，∵AB=3，∴BD=，∵BC=，∴由勾股定理得：CD==，AD==，∴AC=AD﹣DC=，=AC•BD=××=．∴S△ABC故答案为：．15．【解答】解：作出变量x，y满足约束条件对于的平面区域如图：由z=2x+2y，则y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时，直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，无最大值．由，解得A（3，0），此时z min=2×3+2×0=6，故z≥4，故答案为：[6，+∞）．16．【解答】解：过D作BC的垂线，交BC延长线于M，设∠BAC=α，则∠ACD=2α，∠ACB=90°﹣α，∴∠DCM=180°﹣2α﹣（90°﹣α）=90°﹣α．∴Rt△ABC∽Rt△DMC，∴，∵=x+y，∴x==k，y===k+1，∴x﹣y=﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（1）设公差为d，a1=2，且=+5，∴（a1+a10）=（a1+a5）+5，∴a10﹣a5=10=5d，∴d=2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n，（2）S n===n（n+1），∴=，∴4=2n+1，∴b n=a n•4=2n×2n+1=n×2n+2，，∴T n=1×23+2×24+3×45+…+n×2n+2，①2T n=1×24+2×25+3×26+…+n×2n+3，②，由①﹣②可得﹣T n=23+24+25+…+2n+2﹣n×2n+3=﹣n×2n+3=2n+3﹣8﹣n×2n+3=（1﹣n）•2n+3﹣8，∴T n=（n﹣1）•2n+3+818．【解答】解：（1）证明：设A1B∩EF=H，连接DH，可得，∵CD=3BD，∴，DH∥CA1，且DH⊂平面DEF，A1C⊄平面DEF，∴A1C∥平面DEF；（2）∵△ABC 为正三角形，点E为棱AB的中点，∴CE⊥AB∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CE⊥面ABB1A1，故以E为原点，建立空间直角坐标系（如图），设AB=2，AA1=2k，则C（0，0，），F（﹣1，k，0），A1（1，2k，0），若A1C⊥EF，则，∴，∴．∴，，F（﹣1，，0），B（﹣1，0，0），，，设面EDF的法向量为=（x，y，z），由，可取=（1，，）．=，∴直线A1C1与平面DEF 所成的角的正弦值为．19．【解答】解：（1）由频率分布直方图可得：P（Z＜95）=0.02+0.08+0.09=0.19，P （Z≥95）=1﹣0.19=0.81．随机变量ξ 的取值为90，﹣30，且P（ξ=90）=0.81，P（ξ=﹣30）=0.19．则随机变量ξ 的分布列为：Eξ=90×0.81﹣30×0.19=67.2；（2）①=70×0.02+80×0.09+90×0.22+100×0.33+110×0.24+120×0.08+130×0.02=100；s2=302×0.02+202×0.09+102×0.22+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．∴μ=100，σ=12.2．∴P（87.8＜Z＜112.2）=P（100﹣12.2＜Z＜100+12.2）=0.6826；②由①知，P（87.8＜Z＜112.2）=0.6826，∴E（X）=500×0.6826=341.3．20．【解答】解：（1）设M（x，y），由动点M满足2=，得A（x，2y），∵点A在圆C：x2+y2=4上，则x2+4y2=4，∴点M的轨迹E的方程为=1．（2）∵E的方程为=1．E与y轴正半轴交点为B，∴B（0，1），∴过点B斜率为k的直线l的方程为y=kx+1，（k≠0），由，得（1+4k2）x2+8kx=0，设B（x1，y1），P（x2，y2），则，|BP|=|x1﹣x2|=，∵圆与椭圆有4个公共点，∴由对称性可设在y轴左侧的椭圆上有两个不同的公共点P、T，满足|BP|=|BT|，此时直线BP斜率k＞0，记直线BT的斜率为k1，且k1＞0，k1≠k，则|BT|=，∴=，∴﹣=0，∴（1+4k2）=（1+4k12），∴（）（1+k2+﹣8k2）=0，∵k1≠k，∴1+k2+=0，∴=，∵k2＞0，∴8k12﹣1＞0，∴k2=＞，∵k＞0，∴k＞，又k1≠k，∴1+k2+k2﹣8k2k2≠0，∴8k4﹣2k2﹣1≠0，∵k＞0，∴解得k，∴k∈（）∪（，+∞），根据椭圆的对称性，k∈（﹣∞，﹣）∪（﹣）也满足条件．综上所述，k的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）∪（，）∪（，+∞）．21．【解答】解：（1）令f（x）=0得a=﹣xlnx，令m（x）=﹣xlnx，则m′（x）=﹣lnx﹣1，∴当0＜x＜时，m′（x）＞0，当x＞时，m′（x）＜0，∴m（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴m max（x）=m（）=，又x→0时，m（x）＞0，当x→+∞时，m（x）→﹣∞，∴m（x）在（，+∞）上存在唯一一个零点x=1，作出m（x）的大致函数图象如图所示：∴当a≤0或a=时，f（x）有1个零点，当0＜a＜时，f（x）有2个零点，当a＞时，f（x）没有零点．（2）∵g（x）=2x2lnx﹣x2+ax，∴g′（x）=2（2xlnx+x）﹣2x+a=4xlnx+a，令φ（x）=4xlnx+a，∴φ′（x）=4（1+lnx），当0＜x＜时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，当x＞时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，∴φ（x）min=φ（）=﹣+a＜0，当x→+∞时，φ（x）→+∞，当x→0时，φ（x）→0，∴存在x0∈（0，+∞），使得φ（x0）=0，即4x0lnx0+a=0∴当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，∴g（x）min=g（x0）=2x02lnx0﹣x02+ax0，∴h（a）=2x02lnx0﹣x02+ax0=﹣2x02lnx0﹣x02，∵﹣a=4x0lnx0，a∈[﹣4e，0），∴0＜x0lnx0≤e，∴0＜x0≤e令t（x）=﹣2x2lnx﹣x2，0＜x＜e，∴t′（x）=﹣4xlnx﹣4x，令t′（x）=0，解得x=，当（0，）时，t′（x）＞0，函数t（x）单调递增，当（，e）时，t′（x）＜0，函数t（x）单调递减，∴t（x）max=t（）=，∵t（e）=﹣8e，当x→0时，t（x）→0，∴t（x）∈[﹣8e，]，∴函数h（a）的值域为[﹣8e，]请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22．【解答】解：（1）设P的极坐标为（ρ，θ），（ρ＞0），Q的极坐标方程为（ρ1，θ），（ρ1＞θ），由题设知|OP|=ρ，|OQ|=ρ1=，由题设知|OP|=ρ，|OQ|=ρ1=，由|OQ|•|OP|=4，得C2的极坐标方程为，（ρ＞0），∴C2的直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣）2=1，但不包含（0，0）．（2）设点B的极坐标为（ρB，α），（ρB＞0），由题设知|OA|=2，ρB=2cos（），∴△AOB的面积S=|OA|•ρB•sin∠AOB=2cos（）•|sin（）|=2|sin2α﹣|．当α=0时，S取得最大值为．∴△AOB面积的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）x≥0时，f（x）=x2﹣x+1≥2x，解得：0≤x≤或x≥，x＜0时，f（x）=x2+x+1≥2x，解得：x＜0，综上，x∈（﹣∞，]∪[，+∞）；（2）f（x）≥|+a|，x∈[0，+∞），故x2﹣x+1≥|+a|，故，解得：﹣≤a≤．。

2018年福州市高考模拟试卷（一）数学试题（理科）( 完卷时间：120 分钟 满分：150 分 )参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C P P -=- 球的表面积公式S ＝24R π其中R 表示球的半径 球的体积公式V ＝343R π其中R 表示球的半径注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 复数2)1(i i +的模等于A ．2B ．2C ． 22D ．4 2． 已知()1{|10},{|(),1},2xM x x x N y y x =-<==>则MN =A ．φB ． MC ．ND ．（1,12）3．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，39S S =，则与5S 相等的是A ．7SB ．8SC ． 10SD ． 11S4．直线y =与圆22()12x a y -+=相切，则实数a 的值是 A ． 2 B ． 4 C ．2或－2 D ．4或- 45． 函数()22cos sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数6．下列四个命题中正确的是①垂直于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两条直线平行； ④垂直于同一平面的两个平面平行． A ．①、②B ．①、③C ．②、③D ．③、④7．已知函数24(1)()3log (1)x x f x x x -⎧≥=⎨-<⎩则=-)4(1fA . 4B . 3C . 2D .218．从6人中选出4人参加数学、物理、化学、英语比赛，每人只能参加其中一项，其中 甲、乙两人都不参加英语比赛，则不同的参赛方案的种数共有A ．96B ．180C ．240D ．29．设0q >,则lim 11nnn q q q →∞+=+的充分必要条件是A ．0>qB ．1≥qC ．10<<qD ．10≤<q 10. 在平面四边形ABCD 中，AB BC BC CD CD DA DA AB ⋅=⋅=⋅=⋅,则四边形ABCD 是A ．等腰梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形 11．函数()y f x =的定义域是R ，若对于任意的正数a ，函数()()()g x f x a f x =+- 都是其定义域上的减函数，则函数()y f x =的图象可能是12．如图，已知F 1、F 2是双曲线222(0)x y a a -=>的两焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重合，过焦点F 2作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A ，若1OA =，则双曲线的焦距等于A ．1 BC ．D ．第II 卷（非选择题 满分90分）二、填空题：本大题共 4 小题；每小题 4 分，满分 16 分．请把答案填在下面横线上． 13．82)2(-x 的展开式中，14x 的系数为_______________________（用数字作答）；14．若球内接正方体1111D C B A ABCD -的对角面11D DBB 面积为24，则球的表面积为____________________；15．直角坐标平面内，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥)1(311||x y x y 所表示的平面区域的面积为 ； 16．对于函数1()13x f x x+=-，设1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x +=，令(){}R x x x f x M ∈-==,2006，则集合M 的元素有 个.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边的长，且32)4tan(--=+πB ．（1）求角B 的大小；（2）若b =3a c +=，求ABC ∆的面积．18．（本小题满分12分）某宾馆有16间客房，可分为四类：A 类客房有n 间且2n ≥,B 类客房有4间，C 类客房有6间，余下的是D 类客房．现有3位旅游者要入住宾馆，他们每人住一间客房，且入住各房间是等可能的．若3位旅游者入住同一类客房但不是D 类客房的概率是370，试求：（1）n 的值；（2）3位旅游者入住的客房中含有A 类客房的期望．19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，AC ∩BD O =，PA ＝2．（1）求证BD ⊥平面PAC ；（2）求PC 与平面PBD 所成角的大小（用反三角函数表示）；（3）求点C 到平面PBD 的距离．20．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足1(1)1n n S k S +=++，121,3a a ==，(*N n ∈，k 为常数)（1）求k 的值，并求}{n a 的通项公式；（2）设数列)12(+=n n S n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T ； （3）证明：n n n S S S 212122>++-．BP21．（本小题满分12分） 设函数（1） 求的单调区间；（2）若关于x 的方程在上恰有两个不同的实数根，求实数a的取值范围. 22．（本小题满分14分）设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的两点，且1122,,0x y x y a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，O 为坐标原点． （1）若点A 坐标为)0,(a ，求点B 的坐标；（2）设cos sin OA OB OM θθ=⋅+⋅，证明点M 在椭圆上；（3）若点P 、Q 为椭圆上的两点，且PQ ∥OB ,试问：线段PQ 能否被直线OA 平分?若平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由.2018年福州市高考数学（理科）模拟试卷（一）参考答案一、选择题13．-16 ； 14．12π； 15．2； 16．2 . 三、解答题 17．（本小题满分12分） 【解】（1）∵32)4tan(--=+πB ，∴32tan 11tan --=-+BB ，解得3tan =B ， （4分） ∵),0(π∈B ，∴3B π=；（6分）（2）由余弦定理有222cos 2a c b B ac+-=，又1cos 2B =，∴222122a cb ac +-=，∴222a c b ac +-=， （8分） ∴22()3a c b ac +-=，∵b =3a c +=，∴ac =2， （11分）∴ABC ∆的面积1sin 2S ac B == (12分） 18．（本小题满分12分）【解】设（1） “3位旅游者入住A 类客房”为事件A ，“3位旅游者入住B 类客房”为事件B ，“3位旅游者入住C 类客房”为事件C ．由于3位旅游者入住客房的种数为316A ， （1分） 336433161615(),()140140A A PB PC A A ====， （3分） 又 ∵A 、B 、C 为互斥事件，∴)()()()(C P B P A P C B A P ++=++， （5分）即315()()070140140P A P A =++∴=， （7分） ∴入住A 类客房旅游者不足3个，即3n <，∵2≥n ，∴2=n ； （8分） （2）设3位旅游者入住的客房中含有A 类客房的间数为变量ξ．则31431613(0)20A P A ξ==＝；1232143316C C 13(1)40A P A ξ==＝；2132143316C C 1(2)40A P A ξ==＝， ∴E ξ（）＝131********⨯⨯⨯13＋1＋＝40 即3位旅游者进住的客房中含有A 类客房的期望为38． (12分)注：若只考虑被入住的房间的类型，用组合数求解概率也正确.19．（本小题满分12分）【解】法一：(1) ∵PA ⊥平面ABCD ，B D ∈平面ABCD ∴PA ⊥BD ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，∵A AC PA =⋂，∴BD ⊥平面PAC . （3分） （2）∵BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAC ，∴PC 在平面PBD 的射影是PO ，即PC 与平面PBD 所成角是CPO ∠， （5分） 由已知显然有CO=在Rt △P AC 中，PC===在Rt △P AO 中，PO==∴cos CPO ∠＝2222PO PC CO PO PC +-⋅==， ∵20π≤∠≤CPQ ，∴CPO∠=即PC 与平面PBD 的成角为CPO∠arccos 3= （8分）（3）过C 作CE ⊥PO ，垂足为E ，∵平面PBD ⊥平面PAC ，且两平面相交于直线PO ，CE PBD ∴⊥平面. （10分） 在Rt PCE ∆中，cos CPE∠3=， ∴sin CPE∠==13=．∴C 到平面PBD 的距离CE sin PC CPE =⋅∠=（12分）【解】法二：（１）由已知AP 、AB 、AD 两两垂直，故可分别以AP 、AB 、AD 为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵(2,0,0),AP =(0,2,2)BD =-，∴0AP BD ⋅=，∴AP BD ⊥， ∵四边形ABCD 是正方形，∴BD AC ⊥，∵AC 与AP 相交于点A ，∴BD ⊥平面PAC ． （3分） （２）由(0,2,2)C 知(2,2,2)PC =-，设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，∵(2,2,0)PB =-，(2,0,2)PD =-，n PB ⊥，n PD ⊥，∴220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，解得x yx z =⎧⎨=⎩，取1x =，(1,1,1)n =． （6分）设PC 与n 所成角为θ，则cos n PC n PCθ⋅=⋅13=，∴θ1arccos 3=，∴PC 与平面PBD 所成角为1arccos 23π-． （8分）（３）由（２）知平面PBD 的法向量为(1,1,1)n =，而(2,2,2)PC =-， ∴点C 到平面PBD的距离2PC n d n⋅-+===（12分） 20．（本小题满分12分）【解】（1）∵2112(1)1,1,3S k S a a =++==，∴1)1(121++=+a k a a ，∴2=k ， （2分） ∴131+=+n n S S ，131n n S S -=+（)2≥n ， ∴)(311-+-=-n n n n S S S S ，即n n a a 31=+， 又213a a =，∴()13n na n N a *+=∈， ∴}{n a 是以首项为1，公比为3的等比数列，且)(3*111N n q a a n n n ∈=⋅=-- （4分）(2) ∵*)(21331311)1(1N n q q a S n n n n ∈-=--=--⋅=，∴=n b n n n S n 3)12(⋅=+， （6分） ∴n n n T 3...3433323432⨯++⨯+⨯+⨯+=， ∴2345133233343...3n n T n +=+⨯+⨯+⨯++⨯，两式相减得 234123333 (33)nn n T n +-=+++++-⨯1113(13)13(33)3132n n n n n n +++-=-⨯=--⨯-，∴1113()3224n n T n +=-⨯+。

福建省福州外国语学校2017届高三数学适应性考试试题（一）理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)2. 已知R m ∈，i 为虚数单位，若12i0im ->-，则m = A ．1 B ．21C ．31D ．2-3. 已知向量,a b ，其中2,2a b ==，且()a b a -⊥，则向量,a b 的夹角是（ ）.A.6π B. 4π C. 3π D. 2π4．某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为0.8155y x =-，后因某未知原因第5组数据的y 值模糊不清，此位置数据记为m （如下表所示），则利用回归方程可求得实数m 的值为（A 、8.3B 、8.2C 、8.1D 、8 6．如图，该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的a =3，则输入的a ，b 分别可能为( )A ．15、18B ．14、18C ．13、18D ．12、187．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（ ）A ．310 B ．35 C ．25D ．158．已知函数()()(sin 20f x x ϕϕ=+<<)2π的图象的一个对称中心为3,08π⎛⎫⎪⎝⎭, 则函数()f x 的单调递减区间是（ ）A ． 32,2(88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ) B ． 52,2(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ) C ． 3,(88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ) D ． 5,(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ) 9．已知实数x 、y 满足条件2450x x y ax y ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，若目标函数3z x y =+的最小值为5，则a 的值为( )A ．﹣2B ．﹣17C ．2D ．1710．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图的轮廓是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ） A ．2B ．4C ．2D ．211．已知双曲线22221x y a b－＝的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1做圆222x y a ＋＝的切线分别交双曲线的左、右两支于点B ，C ，且｜BC ｜＝｜CF 2｜，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y ＝±3x B ．y＝±．y＋1）x D ．y＝1)x ± 12. 设函数()f x 的定义域为R , ()()()(),2f x f x f x f x -==-, 当[]0,1x ∈时,()3f x x =, 则函数()()()cos g x x f x π=-在区间15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点的和为（ ）.A ． 7B ．6C ． 3D ．2第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．若3*21()()ny x n N x y+∈的展开式中存在常数项，则常数项为 ．14．已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ，点F 关于直线12y x =的对称点 在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为 .15. 设正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，1BC =，,E F 分别是,AB BC 的中点，EF DE ⊥，则球O 的半径为 .16.已知数列{}n a 满足),2,(2,1111≥∈=--=--n N n a a a n n n 且21{}n a -是递减数列，2{}n a 是递增数列，则=2016a _____ ___.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

福建省福州市2017届高三毕业班适应性数学(理)试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合{}30,2,1,0,11x A xB x +⎧⎫==--⎨⎬+⎩⎭…，则A B 的子集个数为（ ）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4(2) 已知i 是虚数单位，且()1i 7i m n +=+（m n ∈R ,），则i2im n m n +-的虚部等于（ ）（A ）17（B ）314 （C ）15（D ）35(3) 已知命题4:0,4p x x x∀>+>，则p ⌝为（ ） （A ）4:04p x x x⌝∀+，剟（B ）4:04p x x x⌝∃+，剟（C ）4:04p x x x ⌝∃>+=， （D ）4:04p x x x⌝∃>+，… (4) 某市组织了一次高三调研考试，考后统计的数学成绩()80,100N ξ，则下列说法中不正确的是（ ）（A ）该市这次考试的数学平均成绩为80分（B ）分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 （C ）分数在110以上的人数与分数在50分以下的人数相同 （D ）该市这次考试的数学成绩的标准差为10(5) 已知圆锥曲线221mx y +=的一个焦点与抛物线28x y =的焦点重合，则此圆锥曲线的离心率为（ ） （A ）2（B（C（D ）不能确定(6) 某几何体的正（主）视图与侧（左）视图均为边长为1的正方形，则下列图形一定不是该几何体俯视图的是（ ）(7) 执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 值是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）（A ）2017 （B ）1008 （C ）3024（D ）3025(8) 若将函数()cos sin f x x x =-的图象向右平移m 个单位后恰好与函数()y f x '=-的图象重合,则m 的值可以为（ ） （A ）π4（B ）π2（C ）3π4（D ）π(9) 我国古代数学名著《数学九章》中有“天池盆测雨”：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量约为（ ）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸，1寸约等于33mm ） （A ）33mm（B ）66mm（C ）99mm（D ）132mm(10) 已知,,a b c 分别是ABC △的内角,,A B C 所对的边，点M 为ABC △的重心．若3aMA bMB cMC ++=0，则C =（ ） （A ）π4（B ）π2（C ）5π6（D ）2π3(11) 过抛物线:C 28y x =的焦点作直线l 与C 交于A B ,两点，它们到直线3x =-的距离之和等于7，则满足条件的l （ ） （A ）恰有一条（B ）恰有两条（C ）有无数多条（D ）不存在(12) 已知函数2017()sin f x x x x =--+，若π0,2θ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭,()()2cos 3sin 320f m f m θθ++-->恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（B ）1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦（C ）1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（D ）1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．(13) 随着智能手机的普及，网络购物越来越受到人们的青睐，某研究性学习小组对使用智能手机的利与弊随机调查了10位同学，得到的满意度打分如茎叶图所示．若这组数据的中位数、平均数分别为,a b ，则,a b 的大小关系是 ．(14) 若2017220170122017(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅-，则20171222017333a a a ++⋅⋅⋅+= ． (15) 如图，在直角坐标系xOy 中，将直线2xy =与直线1x =及x 轴所围成的图形（阴影部分）绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积211300πππd 21212x V x x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰圆锥．据此类比：将曲线3y x =（0x …）与直线8y =及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V = ．(16) 若函数22()(4)|2|2f x x x a x a =---+有四个零点,则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17) （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2115,(1)n n a nS n S n n +=-+=+．（Ⅰ）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（Ⅱ）若()121n nb n a =+，判断{}n b 的前n 项和n T 与16的大小关系，并说明理由．5439973187657(18) （本小题满分12分）为了开一家汽车租赁公司，小王调查了市面上A B ,两种车型的出租情况，他随机抽取了某租赁公司的这两种车型各100辆，分别统计了每辆车在某一周内的出租天数，得到下表的统计数据：Ａ型车以这（Ⅰ）根据上述统计数据，估计该公司一辆Ａ型车，一辆Ｂ型车一周内合计出租天数恰好为４天的概率；（Ⅱ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，在不考虑其他因素的情况下，运用所学的统计学知识，你会建议小王选择购买哪种车型的车，请说明选择的依据．(19) （本小题满分12分）如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，矩形BFED 所在的平面与平面ABCD 垂直，且12AD DC CB BF AB ====．（Ⅰ）求证：平面ADE ⊥平面BFED ；F A（Ⅱ）若P 为线段EF 上一点，平面PAB 与平面ADE 所成的锐二面角为θ，求θ的最小值．(20) （本小题满分12分）已知,i j 为直角坐标平面xOy 内x y ,轴正方向上的单位向量，()1,x y =++a i j ()1x y =-+b i j （,x y ∈R ），且6+=a b ．（Ⅰ）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点()0,1作直线l 与曲线C 交于A B ,两点，OP OA OB =+，是否存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．(21) （本小题满分12分）已知函数()()()ln 11f x x k x =+++． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()1f x -…恒成立，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）求证：2ln (1)14ni i n n i =-<+∑．（2n n ∈N 且…）请考生在第()22、()23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. (22) （本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为23,24x t y t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=． （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若1C 与2C 交于A B ,两点，点P 的极坐标为π4⎛⎫- ⎪⎝⎭，求11||||PA PB +的值．(23) （本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程 已知函数()211,()f x x x g x x a x a =-++=-++． （Ⅰ）解不等式()9f x >；（Ⅱ）12,x x ∀∈∃∈R R ，使得12()()f x g x =，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题 （1）B （2）D （3）D （4）B （5）A （6）D （7）D （8）B（9）C（10）D（11）D（12）A二、填空题 （13）a b = （14）20174()13-（15）96π5（16）256(8,0)(0,){}27-+∞-三、解答题(17) 解：（Ⅰ）∵211(1),(), 5.n n nS n S n n n N a *+-+=+∈= ∴111(1)(1),1,511n n n n S S SnS n S n n n n ++-+=+-==+ 数列{}nS n是首项为5,公差为1的等差数列, （Ⅱ）25(1)4,4,nn S n n S n n n=+-=+=+ 当2n ≥时,123,1n n n a S S n n -=-=+=时也符合, 故23,()n a n n *=+∈N 1111().(21)(23)22123n b n n n n ==-++++11111111111()()23557212323236n T n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<+++.(18) 解：（Ⅰ）设事件i A 表示一辆A 型车在一周内出租的天数恰好为i 天; 事件j B 表示一辆B 型车在一周内出租的天数恰好为j 天; 其中,123,7,i j =⋅⋅⋅，，，则估计该公司一辆A 型车,一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为:1322319()125P A B A B A B ++=， 估计该公司一辆A 型车,一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率是9125． （Ⅱ）设X 为A 型车出租的天数,则X 的分布列为设Y 为BE (X )=1×0.05+2×0.10+3×0.30+4×0.35+5×0.15+6×0.03+7×0.02=3.62, E (Y )=1×0.14+2×0.20+3×0.20+4×0.16+5×0.15+6×0.10+7×0.05=3.48,一辆A 型车一周的平均出租天数为3.62, 一辆B 型车一周的平均出租天数为3.48,所以选择购买A 型车.(19) 解：（Ⅰ）取AB 中点F ,连接DF ,因为AB //CD, 1.2AD AB BF == 所以四边形BCDF 为平行四边形,,DF CB = 依题意,ADF ∆为正三角形,.AD BD ⊥ 因为平面BFED ⊥平面ABCD , 平面BFED平面ABCD DB =,,AD DB AD ⊥⊂平面ABCD ,所以AD ⊥平面BFED .又AD ⊂平面ADE , ∴平面ADE ⊥平面BFED ; （Ⅱ）因为四边形BFED 为矩形,所以ED ⊥DB , 如图建立空间直角坐标系D-xyz .设AD =1,则(100),(0(0,,1)(0A B P t t ≤≤，，(1,,1),(AP t AB =-=-,设(,,)m x y z =是平面P AB 的法向量,则0,0.x ty z x -++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩取(3,1,m t =-+ 又平面ADE 的一个法向量为(0,1,0).n =min 1cos ,[0,),223ππθθθ=≤∈=.(20) 解：（Ⅰ）依题意,点(,)M x y 到点12(10),(10)F F -，，的距离之和为6>12||2F F =.所以点M 的轨迹是以12F F 、为焦点,长轴长为6的椭圆,其方程为：22198x y +=.（Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx =+，代入22198x y +=得22(98)18630k x kx ++-=,设1122(,),(,)A x y B x y .则1212221863,.9898k x x x x k k -+=-=++ ∴四边形OAPB 为平行四边形,若四边形OAPB 为矩形,则.OA OB ⊥ 即212121212(1)()10,OA OB x x y y k x x k x x ⋅=+=++++=222226318(1)10,7255.9898k k k k k -+⋅-+=-=++所以满足条件的直线不存在.(21) 解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(1,).-+∞1'().1f x k x =++ ①0k ≥时,'()0,f x > ()f x 的递增区间为(1,),-+∞无递减区间;②0k <时,令'()0f x >得()f x 的递增区间为1(1,1),k ---递减区间为1(1,)k --+∞.（Ⅱ）由(Ⅰ)知，0k ≥时, ()f x 在(1,)-+∞上递增,(0)0f k =≥,不合题意,故只考虑0k <的情况,由(Ⅰ)知max 1()(1)1ln()1f x f k k =--=---≤-，ln()01 1.k k k -≥-≥∴≤-，，（Ⅲ）由(Ⅱ)得ln 1x x <-当2x ≥恒成立. 则22ln 1(,2)n n n N n *<-∈≥即2ln (1)(1),n n n <-+ln 1(2).12n n n N n n *-∴<∈≥+， 2ln ln 2ln3ln 4ln 1231(1).(2)1345122224ni in n n n n N n i n =--=+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+=∈≥++∑且即2ln (1).(2)14ni i n n n N n i =-<∈≥+∑且 (22) 解：（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为4320;x y +-= 曲线2C 的直角坐标方程为:2y x =.（Ⅱ）1C 的参数方程的标准形式为32,5(42.5x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)代入2y x =得 29801500,t t -+=设12,t t 是A B 、对应的参数,则121280500.93t t t t +==>， 1212||11||||8.||||||||||15t t PA PB PA PB PA PB t t ++∴+===⋅(23) 解：（Ⅰ）13,,21()2,1,23, 1.x xf x x xx x⎧≥⎪⎪⎪=--<<⎨⎪-≤⎪⎪⎩2分()9f x>等价于111, ,1,2230 3929xx xxx x⎧⎧≤-≥-<<⎧⎪⎪⎨⎨⎨->⎩⎪⎪>->⎩⎩或或综上,原不等式的解集为{|33}.x x x><-或（Ⅱ）||||2||.x a x a a-++≥由(Ⅰ)知13 ()().22 f x f≥=所以32||2a≤，实数a的取值范围是33 [,].44 -。

福建省福州外国语学校2017届高三上学期期中考试理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知函数是幂函数错误！未找到引用源。

且幂函数是(0,+∞)上的增函数,则错误！未找到引用源。

的值为（）A．2 B．－1 C．－1或2 D．0【答案】B考点：幂函数的性质.2.设函数错误！未找到引用源。

定义在实数集上,错误！未找到引用源。

,且当错误！未找到引用源。

≥1时,错误！未找到引用源。

,则有（）A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

【答案】C【解析】试题分析：∵错误！未找到引用源。

∴函数的对称轴为错误！未找到引用源。

，∵错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，∴函数以错误！未找到引用源。

为对称轴且左减右增，故当错误！未找到引用源。

时函数有最小值，离错误！未找到引用源。

越远，函数值越大，故选C．考点：对数值大小比较.3.等比数列错误！未找到引用源。

的各项为正数,且错误！未找到引用源。

,则log3错误！未找到引用源。

+log3错误！未找到引用源。

+…+log3错误！未找到引用源。

=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log35 【答案】B【解析】试题分析：等比数列错误！未找到引用源。

的各项为正数,且错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

，故选B.考点：等比数列的性质；对数的运算.4.如图,已知错误！未找到引用源。

是边长为1的正六边形,则错误！未找到引用源。

的值为（）A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．－错误！未找到引用源。

【答案】C考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算.5.将函数错误！未找到引用源。

的图象向右平移错误！未找到引用源。

个单位长度后,所得到的图象关于错误！未找到引用源。

轴对称,则错误！未找到引用源。

高三数学(理科)试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1。

已知函数是幂函数25m 3f(x)=(m m 1)x－－－－且幂函数是（0，+∞）上的增函数,则m 的值为( ）A ．2B ．－1C ．－1或2D ．0 2.设函数f(x)定义在实数集上，f(2x)=f(x)－，且当x ≥1时，f(x)=lnx ，则有（ )A ．11f()<f(2)<f()32B ．11f()<f(2)<f()23C ．11f()<f()<f(2)23D ．11f(2)<f()<f()233。

等比数列n{a }的各项为正数,且5647a a+a a =18，则log 31a +log 32a +…+log 310a =（ )A ．12B ．10C ．8D ．2+log 35 4.如图，已知ABCDEF 是边长为1的正六边形，则BA (BC+CF)⋅的值为( )A ．34B 3C ．32D ．－325。

将函数y=3cosx+sinx,(x R)∈的图象向右平移θ(θ>0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则θ的最小值是( )A ．π12B ．π6C 。

π3D ．5π66.已知定义域为R 的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（ )A ．x R,f(x)f(x)∀∈≠－B ．x R,f(x)f(x)∀∈≠－－C ．xR,f(x )f(x )∃∈≠000－D ．xR,f(x )f(x )∃∈≠000－－7。

下列三个结论：①设a,b 为向量，若|a b ||a ||b |⋅=，则a ∥b 恒成立； ②命题“若x sinx=0－，则x=0"的逆命题为“若x 0≠,则x sinx 0≠－”； ③“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件； 其中正确的结论的个数为（ )A ．1个B ．2个C 。

18.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识， 考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分 12 分． 【解析】解法一： （Ⅰ）依题意，得 BCD DAB 60 ，· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 因为 △CDE 的面积 S
1 1 1 1 1 4 3 3 5 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 · 2n 1 2n 1
所以 Sn c1 c2
cn

1 1 1 4 2n 1

n ．· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 4n 2
福州市 2017-2018 学年第一学期高三期末考试 理科数学参考答案及评分细则
评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分 数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

福州外国语学校2017-2018学年高三9月月考数学试题（理）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合错误！未找到引用源。

，集合错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（）A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

【答案】B考点：集合的基本运算.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.2.已知复数错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

是实数，则实数错误！未找到引用源。

等于（）A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

【答案】C【解析】试题分析：错误！未找到引用源。

，故选C.考点：复数及其运算.3.下列函数中，既是偶函数，又是在区间错误！未找到引用源。

上单调递减的函数是（）A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

【答案】A【解析】试题分析：选项B是奇函数，选项C是增函数，选项D非单调函数，故选A.考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出错误！未找到引用源。

的值为（）A．3 B．4 C. 5 D．6【答案】B考点：程序框图.【方法点晴】本题主要考查程序框，属于较易题型.高考中对于程序框图的考查主要有：输出结果型、完善框图型、确定循环变量取值型、实际应用型等，最常见的题型是以循环结构为主，求解程序框图问题的关键是能够应用算法思想列出并计算每一次循环结果，注意输出值和循环变量以及判断框中的限制条件的关系.5.等比数列错误！未找到引用源。

福建省福州外国语学校2017届高三数学适应性考试试题（一）文本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．．已知全集U =R ，集合2{0}M x x x =->，则CuM （ ） A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x ≤≤C ．{|01}x x x <>或D ．{|01}x x x ≤≥或2．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+ 是（ ） A ．i -1 B ．i +-1 C ．i +1 D ．i --13．设命题p 和q ，在下列结论中，正确的是（ ） ①""q p ∧为真是""q p ∨为真的充分不必要条件； ②""q p ∧为假是""q p ∨为真的充分不必要条件； ③""q p ∨为真是""p ⌝为假的必要不充分条件； ④""p ⌝为真是""q p ∧为假的必要不充分条件. A. ①② B. ②④ C.①③ D. ③④4．已知数列{}n a ln 是等差数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ， 已知2,57123=+=a a a S ，则=5a （ ）A ．21 B ．21- C ．2 D ．2- 5．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的结果为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．86．已知()414tan ,52tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+πββα， 则ααααsin cos sin cos -+的值为 （ ） A 、1813 B 、 61 C 、 2213 D 、2237．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．316 B ．332 C ．16 D ．328．已知点P 是抛物线241y x =上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为( )A ．2B ．1C ．5D ．15-9．已知m >1，在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y x y 下，目标函数z =x +my 的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A ． )21,1(+B ．),21(∞++C ．)3,1(D ． ),3(∞+10．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为（ ）A ．3B ．4C．2 D ．9211．已知双曲线以锐角△ABC 的顶点B 、C 为焦点，经过点A ，若△ABC 内角的对边分别为a 、b 、c ，且a =2，b =3，23sin =a A c ，则此双曲线的离心率为（ ） A.273+ B. 273-C. 73-D. 73+12．关于函数()2ln f x x x=+，下列说法错误．．的是（ ） A ．2x =是()f x 的极小值点 B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点 C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知平面向量a ,b 满足()5a a b ⋅+=，且2a =,1b =,则向量a 与b 夹角的正切值为___________.14．点内部的点是圆1)1(),(22=-+y x y x P ，则y x ≥的概率__________.15．在一组样本数据112266(,),(,),,(,)x y x y x y L 的散点图中，若所有样本点(,)i i x y(1,2,,6)i =L 都在曲线213y bx =-附近波动．经计算6111i i x ==∑，6113i i y ==∑，62121i i x ==∑，则实数b 的值为 ．16．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切，则a = 三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

福州外国语学校2017届高三9月月考数学试题（理）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{|14}A x x =<<，集合2{|230}B x x x =--≤，则()R AC B =（ ）A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)(3,4)【答案】B考点：集合的基本运算.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.2.已知复数134z i =+，2z t i =+，且12z z 是实数，则实数t 等于（ ）A ．34B ．43C ．34-D ．43-【答案】C 【解析】试题分析：12334(43)4304z z t t i t t =-++⇒+=⇒=-，故选C. 考点：复数及其运算.3.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ）A ．1ln||y x = B ．3y x =C ．ln(y x =D ．2sin y x =【答案】A 【解析】试题分析：选项B 是奇函数，选项C 是增函数，选项D 非单调函数，故选A. 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（ ）A ．3B ．4 C. 5 D ．6 【答案】B考点：程序框图.【方法点晴】本题主要考查程序框，属于较易题型.高考中对于程序框图的考查主要有：输出结果型、完善框图型、确定循环变量取值型、实际应用型等，最常见的题型是以循环结构为主，求解程序框图问题的关键是能够应用算法思想列出并计算每一次循环结果，注意输出值和循环变量以及判断框中的限制条件的关系.5.等比数列{}n a 中，42a =，55a =，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）A ．6B ．5 C. 4 D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：441281845lg lg lg lg lg()lg104a a a a a a a a ++=∙∙===，故选C.考点：1、等差数列；2、对数的基本运算.6.为得到函数sin cos y x x =+的图象，只需将函数y x =的图象（ ）A ．向左平移4π个长度单位 B 向右平移4π个长度单位 C. 向左平移8π个长度单位 D ．向右平移8π个长度单位【答案】A 【解析】试题分析：sin cos )4y x x x π=+=+⇒向左平移4π个长度单位,故选A.考点：图象的平移.7.设,,a b c 是单位向量，且0a b =，则()()a c b c --的最小值为（ ）A ．-2B 2 C.-1D ．1【答案】D考点：向量的基本运算． 8.下列命题中正确的有（ ）①设有一个回归方程ˆ23yx =-，变量x 增加一个单位时，y 平均增加3个单位；②命题:p “0x R ∃∈，20010x x -->”的否定p ⌝“x R ∀∈，210x x --≤”；③“命题p 或q 为真”是“命题p 且q 为真”必要不充分条件；④在一个22⨯列联表中，由计算得26.679k =，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系.A ．1个B ．2个 C.3个 D ．4个本题可以参考独立性检验临界值表【答案】B 【解析】试题分析：命题①应是变量x 增加一个单位时，y 平均减少3个单位，因此命题①错误；命题②正确；命题③正确；命题④，99%的把握，因此命题④错误，综上正确命题为②③，故选B.考点：命题的真假.9.已知二次函数2()f x ax bx c =++满足22ca b +>且0c <，则含有()f x 的零点的一个区间是 （ ）A ．(0,2)B ．(1,0)- C. (0,1) D ．(2,0)- 【答案】D考点：函数的零点.10.已知直线l 与平面α平行，P 是直线l 上的一定点，平面α内的动点B 满足：PB 与直线l成30.那么B点轨迹是（）A．两直线 B．椭圆 C. 双曲线D．抛物线【答案】C【解析】试题分析：题意画图如下，P是直线l上的定点，有一平面α与直线l平行，平面α内的动点B满足PB的连线与l成30角，因为空间中过P与l成30角的直线组成两个相对顶点的圆锥，α即为平行于圆锥轴的平面，点B可理解为是截面α与圆锥侧面的交点，所以点B的轨迹为双曲线,故选C.考点：1、空间点、线、面的位置关系；2、圆锥曲线的定义.11.一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（）A．2 B．32C. 1D．1 2【答案】D考点：1、三视图；2、体积.【方法点晴】本题主要考查三视图和锥体的体积，计算量较大，属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐 （简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称．此外本题应注意掌握锥体的体积公式. 12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥，2221()(|||2|3)2f x x a x a a =-+--，若x R ∀∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11[,]66-B ．11[,]33- C. [66-D ．[,33-【答案】 C 【解析】试题分析：当a x ≤≤0时2221()(23)2f x a x a x a x =-+--=-，当222a x a ≤≤时, 22221()(23)2f x x a a x a a =-+--=-，当22a x >时,22221()(23)32f x x a x a a x a =-+--=-称,画出y 轴左侧()f x 图象,从而得到()f x 的图象,如下图，(1)f x -的图象是将()f x 的图象向右平移1个单位,若(1)()f x f x -≤恒成立,需(1)f x -的图象恒在()f x 图象的下方(可以部分重合)那么需要)0,3(2a -点至少移到)0,3(2a 点,即需162≤a [a ⇒∈，故选C.考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、函数与不等式.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知tan 2x =，则224sin 3sin cos 5cos x x x x --=____________. 【答案】1考点：三角恒等变换．【方法点晴】本题主要考查三角恒等变换，涉及转化化归思想和等价代换思想，考查逻辑推理能力、化归能力，具有一定的综合性，属于较难题型. 首先利用等价代换思想，将已知条件化简为22224sin 3sin cos 5cos sin cos x x x x x x --+，tan 2θ=，然后分子分母同除以2cos θ将弦化切得224tan 3tan 5tan 1x x x --+， 进而求得正解. 14.设20162015m =，20152016n =，则,m n 的从大到小关系为_____________.【答案】m n >考点：实数的大小比较.15.已知实数,x y 满足1354y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则x y 的最小值是_____________.【答案】32【解析】试题分析：由下图可得⇒=32max k min 32x y =．考点：线性规划．【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型．考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤：（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）由目标函数by ax z +=变形为bzx b a y +-=；（3）作平行线：将直线0=+by ax 平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使bz最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z 的最大（小）值．16.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围为____________. 【答案】(2,)+∞考点：函数的零点.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，AB =1BC =，P 为ABC ∆内一点，90BPC ∠=.（I ）若12PB =，求PA ； （II ）若150APB ∠=，设PBA α∠=，求tan 2α的值.【答案】（I ）PA =（II ）tan 2α= 【解析】试题分析：（I ）由已知得：60PBC ∠=⇒30PBA ∠=，由余弦定理得PA =；（II ）由已知得sin PB α=，由正弦定理得sinsin150sin(30)αα=-⇒4sin αα=⇒tan α=⇒tan 2α=.考点：1、解三角形；2、三角恒等变换.18.（本小题满分12分）如图，E 是以AB 为直径的半圆上异于点A B 、的一点，矩形ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面，且22AB AD ==.（I ）求证：EA EC ⊥；（II ）设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F ，1EF =，求三棱锥E ADF -的体积.【答案】（I ）证明见解析；（II .试题解析：（I ）证明：矩形ABCD ⊥面ABE ，CB ⊂面ABCD ，且CB AB ⊥，∴CB ⊥面ABE ，从而AE BC ⊥，①………………3分又在半圆ABE 中，AB 为直径，∴90AEB ∠=，即AE BE ⊥，②由①②知：AE ⊥面BCE ，故有：EA EC ⊥.………………6分（II ）//AB CD ，∴//AB 面DCE .又面DCE ⊥面ABE EF =，∴//AB EF .在等腰梯形ABEF 中，1EF =，1AF =，120AFE ∠=，………………9分 ∴13sin12024S EF AF =⨯⨯⨯=，11133E ADF D AEF AEF V V S AD --∆==⨯⨯==.………………12分 考点：1、线面垂直；2、面面垂直；3、线面平行.19.（本小题满分12分）某校高三年级在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算并排序，选出前300名学生，并对这300名学生按成绩分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列.（I ）请在图中补全频率直方图；（II ）若B 大学决定在成绩高的第4,5组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并且分成2组，每组3人进行面试，求95分（包括95分）以上的同学被分在同一个小组的概率.【答案】（I ）频率直方图见解析；（II ）25．试题解析： （I ）由图象可知第五组为：0.02530030⨯⨯=人，第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次是一个以30分为首项，总和为300的等差数列，所以第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次是30人，45人，60人，75人，90人.则绘制的频率分布直方图如右图所示.考点：1、频率分布直方图；2、古典概型.20.（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 满足12a =且22*11(1)0()n n n n n a a a na n N ++++-=∈.（I ）证明数列{}n a 为等差数列；（II ）若记24n n b a =，12n n S b b b =+++求证：53n S <. 【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析.【解析】试题分析：（I ）将原式变形得11()[(1)]0n n n n a a n a na ++++-=⇒11n n a n a n++=，利用累乘法得：*2()n a n n N =∈，{}n a 是以2为首项，以2为公差的等差数列；（II ）由（I ）知244112()4(21)(21)2121n b n n n n n =<=-+--+⇒11111112()2()2()35572121n S n n <+-+-++--+22513213n =+-<+. 试题解析： （I ）证明：将原式变形得：11()[(1)]0n n n n a a n a na ++++-=，………………2分由于{}n a 为正项数列，故有：11n n a n a n++=，利用累乘法得：*2()n a n n N =∈. 从而得知：数列{}n a 是以2为首项，以2为公差的等差数列.………………6分考点：1、等差数列；2、累积法；3、裂项相消法.【方法点晴】本题考查等差数列、累积法和裂项相消法，涉及转化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合性较高，属于较难题型. 第二小题利用转化化归思想将原式变形得11()[(1)]0n n n n a a n a na ++++-=⇒11n n a n a n++=，利用累乘法得：*2()n a n n N =∈可得{}n a 是等差数列.第二小题利用放缩法和裂项相消法即可证明原命题成立．21.（本小题满分13分）已知抛物线2:4C y x =，过点(1,0)A -的直线交抛物线C 于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两点，设AP AQ λ=.（I ）试求12,x x 的值（λ用表示）； （II ）若11[,]32λ∈，求当||PQ 最大时，直线PQ 的方程.【答案】（I ）21x λ=，1x λ=；（II 20y ±+=. 【解析】试题分析：（I ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，11()M x y -.利用AP AQ λ=⇒121(1)x x λ+=+⇒⇒21x λ=，1x λ=；（II ）由（I ）知：21x λ=，1x λ=⇒111x x =，2212121616y y x x ==⇒124y y =⇒2211||()4()12PQ λλλλ=+++-.又1510[,]23λλ+∈，根据二次函数的知识得：当1103λλ+=，即13λ=时，||PQ 有最小值3⇒1(,33P ±，(3,P ±⇒PQ 的方20y ±+=.试题解析：（I ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，11()M x y -.∵AP AQ λ=，∴121(1)x x λ+=+，12y y λ=，∴22212y y λ=，2114y x =，2224y x =，212x x λ=，∴2221(1)x x λλ+=+，2(1)1x λλλ-=-，∵1λ≠， ∴21x λ=，1x λ=.………………5分考点：1、直线与抛物线；2、向量及其运算.22.（本小题满分13分）已知函数()(1)ln u x x x =-， ()v x x a =-，()a w x x=，三个函数的定义域均为集合{|1}A x x =>.（1）若{|,()()}B a R x A u x v x =∈∀∈≥，试判断集合A 与B 的关系，并说明理由；（2）记()()[()()][()]2w x G x u x w x v x =--，是否存在*m N ∈，使得对任意的实数(,)a m ∈+∞，函数()G x有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数m ；若不存在，说明理由.（以下数据供参考：2.7183e ≈，1)0.8814≈）【答案】（1）B A ⊆；（2）01)x ∈．【解析】试题分析：（1）()()ln ln ()u x v x a x x x x m x ≥⇒≥-+=，利用导数工具得0000011()m x x x x x =-+= 00011(1)x x x +->⇒1a >⇒B A ⊆；（2）令()()()ln ln a f x u x w x x x x x =-=--，()()(),(1,)22w x a g x v x x a x x=-=--∈+∞.利用导数工具和零点存在性定理可知：21'()ln 10a f x x x x=+-+>，(1,)x ∈+∞，由于(,)1a m a ∈+∞⇒>，(1)0f a =-<，x →+∞，()f x →+∞，由零点存在性定理可知：(1,)a ∀∈+∞，函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点. (1,)a ∀∈+∞，函数()g x 在定义域内有且仅有一个零点.假设存在0x 使得00()()0f x g x ==，2000000ln ln 2a x x x x a x a x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩⇒ 002002ln 021x x x x -=--，令22()l n 21x h x x x x =---，利用导数工具可得01)x ∈．（2）令()()()ln ln a f x u x w x x x x x=-=--，()()(),(1,)22w x a g x v x x a x x=-=--∈+∞. ①21'()ln 10a f x x x x =+-+>，(1,)x ∈+∞，由于(,)1a m a ∈+∞⇒>， (1)0f a =-<，x →+∞，()f x →+∞，由零点存在性定理可知：(1,)a ∀∈+∞，函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点.………………8分 ②2'()102a g x x =+>，(1,)x ∈+∞，3(1)102a g =-<，x →+∞，()g x →+∞， 同理可知： (1,)a ∀∈+∞，函数()g x 在定义域内有且仅有一个零点.………………10分③假设存在0x 使得00()()0f x g x ==，2000000ln ln 2a x x x x a x a x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩消a 得002002ln 021x x x x -=--， 令22()ln 21x h x x x x =---，222142'()0(21)x h x x x x +=+>--， ∴()h x 递增.∵44132(2)ln 2ln 055h e =-=<，1)0.881403h =->，∴01)x ∈， 此时200001181(,2)11254()22x a x x x ==++-∈++， 所以满足条件的最小整数2m =.……………………13分考点：1、集合；2、函数的性质；3、函数的导数.【方法点晴】本题考查集合,函数的性质,函数的导数,不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.。

2017-2018学年福建省福州市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R，集合M={﹣1，1，2，4}，N={x|x2﹣2x＞3}，则M∩（∁R N）=（）A．{﹣1，1，2}B．{1，2}C．{4}D．{x|﹣1≤x≤2}2．复数z满足z（1﹣i）=|1+i|，则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）在x=处取得最小值，则（）A．f（x+）是奇函数B．f（x+）是偶函数C．f（x﹣）是奇函数D．f（x﹣）是偶函数4．在△ABC中，=5，=4，则AB=（）A．9 B．3 C．2 D．15．已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X（单位：mm）A．0.1 B．0.3 C．0.42 D．0.56．若x，y满足约束条件且目标函数z=ax﹣y取得最大值的点有无数个，则z 的最小值等于（）A．﹣2 B．﹣C．﹣D．7．执行如图的程序框图，若输入n值为4，则输出的结果为（）A．8 B．21 C．34 D．558．（x+2+）5的展开式中，x2的系数为（）A．45 B．60 C．90 D．1209．正项等比数列{a n}满足a1=1，a2a6+a3a5=128，则下列结论正确的是（）A．∀n∈N*，a n a n+1≤a n+2B．∃n∈N*，a n+a n+2=2a n+1C．∀n∈N*，S n＜a n+1 D．∃n∈N*，a n+a n+3=a n+1+a n+210．双曲线的左右焦点为F1，F2，P是双曲线上一点，满足|PF2|=|F1F2|，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于（）A．2 B．C．D．312．设m∈R，函数f（x）=（x﹣m）2+（e2x﹣2m）2，若存在x0使得f（x0）≤成立，则m=（）A．B．C．D．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13．若函数f（x）=，g（x）=f（x）+ax，x∈[﹣2，2]为偶函数，则实数a=．14．所有棱长均为2的正四棱锥的外接球的表面积等于．15．抛物线C：y2=4x的准线与x轴交于M，过焦点F作倾斜角为60°的直线与C交于A，B 两点，则tan∠AMB=．16．数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=2，S n+1+（﹣1）n S n=2n，则S100=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知1+=．（I）求A；（Ⅱ）若BC边上的中线AM=2，高线AH=，求△ABC的面积．18．为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率．K2=．19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，且AB∥CD，AB⊥平面PAD，E是PB中点，CD=PD=AD=AB．（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAB；（Ⅱ）若CE=，AB=4，求直线CE与平面PDC所成角的大小．20．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0）．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是﹣．记点P的轨迹为Г．（Ⅰ）求Г的方程；（Ⅱ）已知直线AP，BP分别交直线l：x=4于点M，N，轨迹Г在点P处的切线与线段MN交于点Q，求的值．21．已知a∈R，函数f（x）=e x﹣1﹣ax的图象与x轴相切．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，f（x）＞m（x﹣1）lnx，求实数m的取值范围．四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，△ABC内接于圆O，D是的中点，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点E，F．（Ⅰ）求证：BF是△ABE外接圆的切线；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，求DB2﹣DA2的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出C1的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C2： +y2=1经伸缩变换后得到曲线C3，射线θ=（ρ＞0）分别与C1和C3交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x+3|＜2x+1的解集为{x|x＞m}．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有解，求实数t的值．2016年福建省福州市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R，集合M={﹣1，1，2，4}，N={x|x2﹣2x＞3}，则M∩（∁R N）=（）A．{﹣1，1，2}B．{1，2}C．{4}D．{x|﹣1≤x≤2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出N中不等式的解集确定出N，根据全集R，求出N的补集，找出M与N补集的交集即可．【解答】解：由N中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＞0，解得：x＜﹣1或x＞3，即N=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），∵全集为R，∴∁R N=[﹣1，3]，∵M={﹣1，1，2，4}，∴M∩（∁R N）={﹣1，1，2}，故选：A．2．复数z满足z（1﹣i）=|1+i|，则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：z（1﹣i）=|1+i|，∴z（1﹣i）（1+i）=（1+i），∴z=+i，则复数z的共轭复数+i在复平面内的对应点位于第四象限．故选：D．3．函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）在x=处取得最小值，则（）A．f（x+）是奇函数B．f（x+）是偶函数C．f（x﹣）是奇函数D．f（x﹣）是偶函数【考点】正弦函数的图象．【分析】由f（）=f min（x）可知直线x=是f（x）的一条对称轴．故将f（x）图象向左平移个单位后关于y轴对称．【解答】解：∵f（x）在x=处取得最小值，∴直线x=是f（x）的一条对称轴．∴将f（x）的函数图象向左平移个单位后关于y轴对称，∴f（x+）是偶函数．故选B．4．在△ABC中，=5，=4，则AB=（）A．9 B．3 C．2 D．1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由=4，得，与=5作和，然后结合向量加法的运算法则求得得答案．【解答】解：由=4，得，即，又=5，∴﹣=，即．∴AB=3．故选：B．5．已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X（单位：mm）Y PA．0.1 B．0.3 C．0.42 D．0.5【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】分别求出两个事件发生的概率，利用条件概率公式求得答案．【解答】解：降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率P，设：降水量X至少是100为事件A，工期延误不超过15天的事件B，P（A）=0.6，P（AB）=0.3，P=P（B丨A）==0.5，故答案选：D．6．若x，y满足约束条件且目标函数z=ax﹣y取得最大值的点有无数个，则z 的最小值等于（）A．﹣2 B．﹣C．﹣D．【考点】简单线性规划．【分析】化简可得y=ax﹣z，再作出平面区域，从而可得a=﹣，化简直线y=﹣x﹣z，从而可知过点（﹣1，1）时有最小值，代入求之即可．【解答】解：∵z=ax﹣y，∴y=ax﹣z，故直线y=ax﹣z的截距为﹣z，作平面区域如下，，故a=﹣，故直线y=﹣x﹣z，故过点（﹣1，1）时，有最小值z=﹣×（﹣1）﹣1=﹣，故选C．7．执行如图的程序框图，若输入n值为4，则输出的结果为（）A．8 B．21 C．34 D．55【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，t，i的值，当n=4时不满足条件i＜4，退出循环，输出s+t的值为21，从而得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=4，s=1，t=1，i=1满足条件i＜4，执行循环体，可得：s=2，t=3，i=2满足条件i＜4，执行循环体，可得：s=4，t=7，i=3满足条件i＜4，执行循环体，可得：s=7，t=14，i=4不满足条件i＜4，退出循环，输出s+t的值为21．故选：B．8．（x+2+）5的展开式中，x2的系数为（）A．45 B．60 C．90 D．120【考点】二项式定理的应用．【分析】利用完全平方公式对原式变形可知，问题即求（+）10的展开式中x2的系数，进而计算可得结论．【解答】解：∵x+2+=（+）2，∴（x+2+）5=（+）10，∴T k+1=•=x5﹣k，令5﹣k=2，则k=3，故x2的系数为=120，故选：D．9．正项等比数列{a n}满足a1=1，a2a6+a3a5=128，则下列结论正确的是（）A．∀n∈N*，a n a n+1≤a n+2B．∃n∈N*，a n+a n+2=2a n+1C．∀n∈N*，S n＜a n+1 D．∃n∈N*，a n+a n+3=a n+1+a n+2【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据题意先求出q，求出通项公式，再分别判断即可．【解答】解：设公比为q，正项等比数列{a n}满足a1=1，a2a6+a3a5=128，∴q6+q6=128，∴q6=64=26，解得q=2，∴a n=2n﹣1，∴a n+1=2n，a n+2=2n+1，若a n a n+1≤a n+2，∴22n﹣1≤2n+1，∴2n﹣1≤n+1，解得n≤2，故A不正确，若a n+a n+2=2a n+1，∴2n﹣1+2n+1=2•2n，则1+4=2×2，显然不成立，故B不正确，∵S n==2n﹣1，若S n＜a n+1，∴2n﹣1＜2n，恒成立，故C正确，∵a n+3=2n+2，若a n+a n+3=a n+1+a n+2，∴2n﹣1+2n+2=2n+2n+1，即1+8=2+4，显然不成立，故D不正确，故选：C．10．双曲线的左右焦点为F1，F2，P是双曲线上一点，满足|PF2|=|F1F2|，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先设PF1与圆相切于点M，利用|PF2|=|F1F2|，及直线PF1与圆x2+y2=a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值．【解答】解：设PF1与圆相切于点M，因为|PF2|=|F1F2|，所以△PF1F2为等腰三角形，所以|F1M|=|PF1|，又因为在直角△F1MO中，|F1M|2=|F1O|2﹣a2=c2﹣a2，所以|F1M|=b=|PF1|①又|PF1|=|PF2|+2a=2c+2a ②，c2=a2+b2③由①②③解得=．故选D．11．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于（）A．2 B．C．D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为2的正方体一部分，画出几何体的直观图，根据切割补形法和椎体的体积公式求出该三棱锥的体积．【解答】解根据三视图知几何体是：三棱锥P﹣ABC为棱长为2的正方体一部分，直观图如图所示：且B是棱的中点，由图得，该三棱锥是：由正方体截去两个相同的四棱锥P﹣ADEC、P﹣CEFB，两个三棱锥P﹣ABM、C﹣ANB，由正方体的性质可得，四棱锥P﹣ADEC的体积是=2，三棱锥P﹣ABM的体积是=三棱锥C﹣ANB的体积是=，所以该三棱锥的体积：V=2×2×2﹣4﹣﹣=2，故选：A．12．设m∈R，函数f（x）=（x﹣m）2+（e2x﹣2m）2，若存在x0使得f（x0）≤成立，则m=（）A．B．C．D．【考点】特称．【分析】函数f（x）=（x﹣m）2+（e2x﹣2m）2，表示两点P（x，e2x），Q（m，2m）之间的距离的平方．分别令f（x）=e2x，g（x）=2x．利用导数研究切线方程的斜率，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：函数f（x）=（x﹣m）2+（e2x﹣2m）2，表示两点P（x，e2x），Q（m，2m）之间的距离的平方．分别令f（x）=e2x，g（x）=2x．f′（x）=2e2x，令=2，解得x0=0，可得P（0，1）．则点P（0，1）到直线y=2x的距离d=，∴d2=．因此存在x0=0使得f（x0）≤成立，联立，解得x=．故选：B．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13．若函数f（x）=，g（x）=f（x）+ax，x∈[﹣2，2]为偶函数，则实数a=﹣．【考点】分段函数的应用；函数奇偶性的性质．【分析】依题意，可求得g（x）=，依题意，g（﹣1）=g（1）即可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=，∴g（x）=f（x）+ax=，∵g（x）=为偶函数，∴g（﹣1）=g（1），即﹣a﹣1=1+a﹣1=a，∴2a=﹣1，∴a=﹣．故答案为：﹣．14．所有棱长均为2的正四棱锥的外接球的表面积等于8π．【考点】球的体积和表面积．【分析】作出棱长均为2的正四棱锥O﹣ABCD，如图所示，四边形ABCD为正方形，△OAD，△OAB，△OBC，△OCD都为等边三角形，得到8条边相等，再由OE=DE=AE=BE=CE=r，即为正四棱锥的外接球半径，求出球的表面积即可．【解答】解：作出棱长均为2的正四棱锥O﹣ABCD，如图所示，∵四边形ABCD为正方形，△OAD，△OAB，△OBC，△OCD都为等边三角形，∴AD=DC=CB=AB=OA=OD=OB=OC=2，∴AE=EC=DE=BE=OE=，∴正四棱锥的外接球的半径r=，则正四棱锥的外接球的表面积S=4π•r2=8π，故答案为：8π15．抛物线C：y2=4x的准线与x轴交于M，过焦点F作倾斜角为60°的直线与C交于A，B两点，则tan∠AMB=4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设AB方程y=（x﹣1），与抛物线方程y2=4x联立，求出A，B的坐标，利用夹角公式求出tan∠AMB．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），M（﹣1，0），设AB方程y=（x﹣1），y=（x﹣1），与y2=4x联立可得3x2﹣10x+3=0可得x=或3，∴A（，﹣），B（3，2），∴k AM=﹣，k BM=∴tan∠AMB==4．故答案为：4．16．数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=2，S n+1+（﹣1）n S n=2n，则S100=198．【考点】数列递推式．【分析】当n为偶数时，由题意可推出S n+2+S n=4n+2，从而可得S n+4﹣S n=8，再由a1=2知S2=4，S4=6，再利用累加法求和．【解答】解：当n为偶数时，S n+1+S n=2n，S n+2﹣S n+1=2n+2，故S n+2+S n=4n+2，故S n+4+S n+2=4（n+2）+2，故S n+4﹣S n=8，而由a1=2知，S1=2，S2﹣S1=2，故S2=4，∵S4+S2=4×2+2=10，∴S4=6，∴S8﹣S4=8，S12﹣S8=8，…，S100﹣S96=8，∴S100=24×8+S4=192+6=198．故答案为：198．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知1+=．（I）求A；（Ⅱ）若BC边上的中线AM=2，高线AH=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由和三角函数公式和正弦定理可得cosA=，A=；（Ⅱ）可得MH=，以M为原点，BC的垂直平分线为y轴建系，由向量的数量积可得a的方程，解得a2=4，a=2，代入三角形的面积公式计算可得．【解答】解：（I）∵在△ABC中1+=，∴1+=，∴=，∴=，∴=，∴由正弦定理可得=，∴cosA=，∵A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）由题意和勾股定理可得MH==，以M为原点，BC的垂直平分线为y轴建立如图所示的坐标系，并设C（a，0），则B（﹣a，0），其中a＞0，则由题意可得A（，），cos＜，＞=cos=，又可得=（﹣a﹣，﹣），=（a﹣，﹣），由数量积可得（﹣a﹣）（a﹣）+3=••，整理可得a4﹣20a2+64=0，故（a2﹣4）（a2﹣16）=0，解得a2=4或a2=16经验证当a2=16时矛盾，应舍去，故a2=4，a=2，故可得△ABC的面积S=•BC•AH=×4×=2．18．为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．i2210%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率．K2=．【考点】频率分布直方图；茎叶图；独立性检验．【分析】（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整，计算观测值k，对照数表得出概率结论；（Ⅱ）利用频率视作概率，得出X服从二项分布，求出对应的概率值．22列联表补充完整如下：假设H0：该学科成绩与性别无关，则K2的观测值k===3.125，因为3.125＞2.706，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关；（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率f==0.4视作概率；设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X，则X服从二项分布B（3，0.4），所求概率P=P（X=2）+P（X=3）=×0.42×0.6+×0.43=0.352． 19．如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是梯形，且AB ∥CD ，AB ⊥平面PAD ，E 是PB 中点，CD=PD=AD=AB ．（Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAB ；（Ⅱ）若CE=，AB=4，求直线CE 与平面PDC 所成角的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定． 【分析】（I ）取AP 的中点F ，连结DF ，EF ，由四边形CDFE 是平行四边形可转而证明DF ⊥平面PAB ；（II ）设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，OP ，则可证OA ，OG ，OP 两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系，求出和 平面PDC 的法向量，于是直线CE 与平面PDC所成角的正弦值等于|cos ＜＞|．【解答】证明：（Ⅰ）取AP 的中点F ，连结DF ，EF ． ∵PD=AD ，∴DF ⊥AP ．∵AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ， ∴AB ⊥DF ．又∵AP ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，AP ∩AB=A ， ∴DF ⊥平面PAB ．∵E 是PB 的中点，F 是PA 的中点，∴EF ∥AB ，EF=AB ．又AB ∥CD ，CD=AB ，∴EF ∥CD ，EF=CD ，∴四边形EFDC 为平行四边形， ∴CE ∥DF ，∴CE ⊥平面PAB ．（Ⅱ）解：设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则OG ∥AB ， ∵AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴AB ⊥AD ，∴OG ⊥AD ．∵BC=，由（Ⅰ）知，DF=， 又AB=4，∴AD=2，∴AP=2AF=2=2，∴△APD 为正三角形，∴PO ⊥AD ，∵AB⊥平面PAD，PO⊂平面PAD，∴AB⊥PO．又AD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD∩AB=A，∴PO⊥平面ABCD．以点O为原点，分别以OA，OG，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．则P（0，0，），C（﹣1，2，0），D（﹣1，0，0），E（，2，），∴=（﹣1，0，﹣），=（﹣1，2，﹣），=（﹣，0，﹣），设平面PDC的法向量为=（x，y，z），则，∴，取z=1，则=（﹣，0，1），∴cos＜＞===设EC与平面PDC所成的角为α，则sinα=cos＜＞=，∵α∈[0，]，∴α=，∴EC与平面PDC所成角的大小为．20．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0）．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是﹣．记点P的轨迹为Г．（Ⅰ）求Г的方程；（Ⅱ）已知直线AP，BP分别交直线l：x=4于点M，N，轨迹Г在点P处的切线与线段MN交于点Q，求的值．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（Ⅰ）设出P点坐标，求得AP、BP所在直线的斜率，由斜率之积是﹣列式整理即可得到Г的方程；（Ⅱ）设出P点坐标，得到AP、BP的方程，进一步求出M、N的纵坐标，再写出椭圆在P 点的切线方程，由判别式等于0得到过P的斜率（用P的坐标表示），再代入切线方程，求得Q点纵坐标，设，转化为坐标的关系即可求得λ，从而得到的值．【解答】解：（Ⅰ）设点P坐标为（x，y），则直线AP的斜率（x≠﹣2）；直线BP的斜率（x≠2）．由已知有（x≠±2），化简得点P的轨迹Г的方程为（x≠±2）．（Ⅱ）设P（x1，y1）（x1≠±2），则．直线AP的方程为，令x=4，得点M纵坐标为；直线BP的方程为，令x=4，得点N纵坐标为；设在点P处的切线方程为y﹣y1=k（x﹣x1），由，得．由△=0，得=0，整理得．将代入上式并整理得：，解得，∴切线方程为．令x=4得，点Q纵坐标为=．设，则y Q﹣y M=λ（y N﹣y Q），∴．∴．将代入上式，得，解得λ=1，即=1．21．已知a∈R，函数f（x）=e x﹣1﹣ax的图象与x轴相切．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，f（x）＞m（x﹣1）lnx，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数图象与x轴相切，求出a的值，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）求出g（x）的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性以及f（x）＞m（x﹣1）lnx，求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=e x﹣1﹣a，设切点为（x0，0），依题意，，解得所以f′（x）=e x﹣1﹣1．当x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1），单调递增区间为（1，+∞）．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣m（x﹣1）lnx，x＞0．则g′（x）=e x﹣1﹣m（lnx+）﹣1，令h（x）=g′（x），则h′（x）=e x﹣1﹣m（+），（ⅰ）若m≤，因为当x＞1时，e x﹣1＞1，m（+）＜1，所以h′（x）＞0，所以h（x）即g′（x）在（1，+∞）上单调递增．又因为g′（1）=0，所以当x＞1时，g′（x）＞0，从而g（x）在[1，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以g（x）＞0，即f（x）＞m（x﹣1）lnx成立．（ⅱ）若m＞，可得h′（x）在（0，+∞）上单调递增．因为h′（1）=1﹣2m＜0，h′（1+ln（2m））＞0，所以存在x1∈（1，1+ln（2m）），使得h′（x1）=0，且当x∈（1，x1）时，h′（x）＜0，所以h（x）即g′（x）在（1，x1）上单调递减，又因为g′（1）=0，所以当x∈（1，x1）时，g′（x）＜0，从而g（x）在（1，x1）上单调递减，而g（1）=0，所以当x∈（1，x1）时，g（x）＜0，即f（x）＞m（x﹣1）lnx不成立．纵上所述，k的取值范围是（﹣∞，]．四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，△ABC内接于圆O，D是的中点，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点E，F．（Ⅰ）求证：BF是△ABE外接圆的切线；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，求DB2﹣DA2的值．【考点】圆周角定理；平行截割定理．【分析】（Ⅰ）设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE，则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE，可证∠FBE=∠BAE，进而证明∠FBG=90°，即可得证BF是△ABE 外接圆的切线．（Ⅱ）连接DF，则DF⊥BC，由勾股定理可得BD2﹣DA2=AF2﹣BF2，利用相似三角形的性质可得AB•AC=AE•AF=（AF﹣EF）•AF，由△FBE∽△FAB，从而BF2=FE•FA，得AB﹣AC=AF2﹣BF2，进而可求BD2﹣DA2=AB•AC=6．【解答】（本题满分为10分）．解：（Ⅰ）设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE，则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE．因为AF平分∠BAC，所以，所以∠FBE=∠BAE，所以∠FBG=∠FBE+∠EBG=∠BGE+∠EBG=180°﹣∠BEG=90°，所以O′B⊥BF，所以BF是△ABE外接圆的切线…（Ⅱ）连接DF，则DF⊥BC，所以DF是圆O的直径，因为BD2+BF2=DF2，DA2+AF2=DF2，所以BD2﹣DA2=AF2﹣BF2．因为AF平分∠BAC，所以△ABF∽△AEC，所以=，所以AB•AC=AE•AF=（AF﹣EF）•AF，因为∠FBE=∠BAE，所以△FBE∽△FAB，从而BF2=FE•FA，所以AB﹣AC=AF2﹣BF2，所以BD2﹣DA2=AB•AC=6…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出C1的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C2： +y2=1经伸缩变换后得到曲线C3，射线θ=（ρ＞0）分别与C1和C3交于A，B两点，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；平面直角坐标轴中的伸缩变换；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据题意，消去参数，即可解得方程C1的极坐标方程；（Ⅱ）求得C3的方程，即可由OA，OB的长解得AB的长．【解答】解：（Ⅰ）将（α为参数）．消去参数α，化为普通方程为（x﹣2）2+y2=4，即C1：x2+y2﹣4x=0，将代入C1：x2+y2﹣4x=0，得ρ2=4ρcosθ，所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）将代入C2得x′2+y′2=1，所以C3的方程为x2+y2=1．C3的极坐标方程为ρ=1，所以|OB=1|．又|OA|=4cos=2，所以|AB|=|OA|﹣|OB|=1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x+3|＜2x+1的解集为{x|x＞m}．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有解，求实数t的值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由不等式|x+3|＜2x+1，可得或，解出即可得出．（Ⅱ）由于|x﹣t|+|x+|≥==|t|+，已知关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有解，|t|+≥2，另一方面，|t|+=2，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由不等式|x+3|＜2x+1，可得或，解得x＞2．依题意m=2．（Ⅱ）∵|x﹣t|+|x+|≥==|t|+，当且仅当（x﹣t）=0时取等号，∵关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有解，|t|+≥2，另一方面，|t|+=2，∴|t|+=2，解得t=±1．2016年8月16日。

福建省福州市外国语学校2017届高三适应性考试理科综合试卷（物理部分）二、选择题：本题共8小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，第14~18题只有一项符合题目要求，第19~21题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

14． 下列关于物理学思想方法的叙述错误．．的是（ ） A ．探究加速度与力和质量关系的实验中运用了控制变量法 B ．加速度mFa =、磁感应强度IL F B =的定义都运用了比值法C ．光滑的水平面，轻质弹簧等运用了理想化模型法D ．平均速度、合力、有效值等概念的建立运用了等效替代法15．下面各图中A 球系在绝缘细线的下端，B 球固定在绝缘平面上，它们带电的种类以及位置已在图中标出。

A 球不．能保持静止的是 （ ）16．“笛音雷”是春节期间常放的一种鞭炮，其引线着火后一段时间内的速度一时间图像如右图所示（不计空气阻力，取竖直向上为正方向），其中0t 时刻为笛音雷起飞时刻、DE 段是斜率大小为g 的直线，则关于笛音雷的运动，下列说法正确的是（ ）A ．“笛音雷”在2t 时刻上升至最高点B ．3t ~4t 时间内“笛音雷”做自由落体运动C ．0~3t 时间内“笛音雷”的平均速度可能为32v D ．若另一颗“笛音雷”紧挨着在'0t 时刻起飞，其后的运动情况与0t 时刻起飞的“笛音雷”一样，则两者之间先越来越近、后又越来越远17、某卫星在半径为r 的轨道1上做圆周运动，动能为1E ，变轨到轨道2上后，动能比在轨道1上减小了E ∆，在轨道2上也做圆周运动，则轨道2的半径为( )A 、11E r E E -∆ B 、1E r E ∆ C 、1Er E E∆-∆ D 、1E E r E -∆∆18．在家庭电路中，为了安全，一般在电能表后面的电路中安装一个漏电保护器，如图所示。

当漏电保护器的ef 两端没有电压时，脱扣开关S 能始终保持接通；当ef 两端一旦有电压时，脱扣开关立即会自动断开，以起到保护作用。

2017-2018学年福建省福州市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=（）A．2 B．2C．D．2．已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞03．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（）A．[0，2）B．[2，7]C．[2，4]D．[0，7]4．若2cos2α=sin（α﹣），且α∈（，π），则cos2α的值为（）A．﹣B．﹣C．1 D．5．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．26．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．3++B．6+2+2C．3+2D．2++7．（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．48．已知抛物线C：y2=8x与直线y=k（x+2）（k＞0）相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．9．已知f （x ）=，若函数g （x ）=f （x ）﹣k 有两个零点，则两零点所在的区间为（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（0，1） C ．（1，2） D ．（1，+∞）10．已知三棱锥O ﹣ABC 底面ABC 的顶点在半径为4的球O 表面上，且AB=6，BC=2，AC=4，则三棱锥O ﹣ABC 的体积为（ ）A ．4B ．12C ．18D ．3611．设F 1，F 2是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使（）•=0（O 为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．+1C ．D ．12．已知偶函数f （x ）是定义在R 上的可导函数，其导函数为f ′（x ），当x ＜0时有2f （x ）+xf ′（x ）＞x 2，C ，则不等式（x +2014）2f （x +2014）﹣4f （﹣2）＜0的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣2012） B ．（﹣2016，﹣2012） C ．（﹣∞，﹣2016） D ．（﹣2016，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 13．在等比数列{a n }中，a 3a 7=8，a 4+a 6=6，则a 2+a 8=______．14．已知在△ABC 中，AB=4，AC=6，BC=，其外接圆的圆心为O ，则______．15．以下命题正确的是：______．①把函数y=3sin （2x +）的图象向右平移个单位，可得到y=3sin2x 的图象；②四边形ABCD 为长方形，AB=2，BC=1，O 为AB 中点，在长方形ABCD 内随机取一点P ，取得的P 点到O 的距离大于1的概率为1﹣；③某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．16．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且（3+b ）（sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）sinC ，且a=3，则△ABC 面积的最大值为______．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =3a n ﹣1，其中n ∈N *． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设a n b n =，求数列{b n }的前n 项和为T n ．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校高三学生视力在5.0以上的人数；（Ⅱ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.2～4.4和5.0～5.2的学生中抽取9人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2～4.4的学生人数为X，求X 的分布列和数学期望．19．已知：矩形A1ABB1，且AB=2AA1，C1，C分别是A1B1、AB的中点，D为C1C中点，将矩形A1ABB1沿着直线C1C折成一个60°的二面角，如图所示．（Ⅰ）求证：AB1⊥A1D；（Ⅱ）求AB1与平面A1B1D所成角的正弦值．．20．已知以A为圆心的圆（x﹣2）2+y2=64上有一个动点M，B（﹣2，0），线段BM的垂直平分线交AM于点P，点P的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线E于D，E，F，G四个点，求|DE|+|FG|的取值范围．21．已知函数f（x）=lnx+，a∈R，且函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．（Ⅰ）实数a的值；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得x0+＜mf（x0）成立，求实数m的取值范围．四.本题有（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-1：几何证明讲]22．如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；（Ⅱ）若AC=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．2016年福建省福州市高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=（）A．2 B．2C．D．【考点】复数求模．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简复数，然后求解复数的模．【解答】解：复数z满足zi=2i+x（x∈R），可得z==2﹣xi．若z的虚部为2，可得x=﹣2．z=2﹣2i．∴|z|=2故选：B．2．已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞0【考点】特称命题；命题的否定．【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，可写出命题的否定．【解答】解：∵命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，∴命题￢p：∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0，故选：A3．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（）A．[0，2）B．[2，7]C．[2，4]D．[0，7]【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来．【解答】解：根据题意，得当x∈（﹣2，2）时，f（x）=2x，∴1≤2x≤8，∴0≤x≤3；当x∉（﹣2，2）时，f（x）=x+1，∴1≤x+1≤8，∴0≤x≤7，∴x的取值范围是[0，7]．故选：D．4．若2cos2α=sin（α﹣），且α∈（，π），则cos2α的值为（）A．﹣B．﹣C．1 D．【考点】二倍角的余弦；三角函数的化简求值．【分析】法一、由已知推导出cosα+sinα=，cosα﹣sinα=﹣，解得cosα=，由此利用二倍角的余弦求得cos2α的值．法二、利用诱导公式及倍角公式把已知变形，求出cos（α）=﹣，由α得范围求出的范围，进一步求得sin（α），再由倍角公式得答案．【解答】解：法一、∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∵2cos2α=sin（α﹣），∴2（cos2α﹣sin2α）=（sinα﹣cosα），∴cosα+sinα=，①∴1+2sinαcosα=，则2sinαcosα=﹣，（cosα﹣sinα）2=1﹣2sinαcosα=1+，∴cosα﹣sinα=，②联立①②，解得cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2（）2﹣1=．法二、由2cos2α=sin（α﹣），得2sin（）=sin（α﹣），则4sin（）cos（α）=sin（α﹣），∴cos（α）=﹣，∵α∈（，π），∴∈（），则sin（）=﹣，则cos2α=sin（）=2sin（）cos（α）=2×．故选：D．5．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数z=x﹣2y的最大值为2，确定约束条件中a的值即可．【解答】解：画出约束条件表示的可行域由⇒A（2，0）是最优解，直线x+2y﹣a=0，过点A（2，0），所以a=2，故选D6．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．3++B ．6+2+2C ．3+2D ．2++ 【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，画出该几何体的直观图，结合图形求出答案来． 【解答】解：根据几何体的三视图得，该几何体是底面为直角三角形的三棱锥，如图所示； ∴它的表面积为 S=S 底+S 侧=××+（××2+×2×2+××）=1+（+2+）=3++． 故选：A ．7．（1﹣x ）6（1+x ）4的展开式中x 2的系数是（ ） A ．﹣4 B ．﹣3 C ．3 D ．4 【考点】二项式系数的性质．【分析】把已知二项式变形，然后展开二项式定理，则展开式中x 2的系数可求． 【解答】解：（1﹣x ）6（1+x ）4 =（1﹣2x +x 2）（1﹣x 2）4=（1﹣2x +x 2）．∴（1﹣x ）6（1+x ）4的展开式中x 2的系数是．故选：B ．8．已知抛物线C ：y 2=8x 与直线y=k （x +2）（k ＞0）相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |=2|FB |，则k=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，可知|OB|=|AF|，推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2，直线y=k（x+2）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，∵k＞0，∴点B的坐标为（1，2），∴k==．故选：A．9．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k有两个零点，则两零点所在的区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】求得x≥2时，x＜2时，可得函数f（x）的单调性和值域，即有y=f（x）的图象和直线y=k有两个交点．通过图象观察，即可得到所求区间．【解答】解：f（x）=，可得x≥2时，f（x）=递减，且f（x）∈（0，1]；当x＜2时，f（x）=（x﹣1）3递增，且f（x）∈（﹣∞，1）．画出函数f（x）的图象，如图：令g（x）=f（x）﹣k=0，即有y=f（x）的图象和直线y=k有两个交点．由图象可得，当0＜k＜1时，直线y=k和y=f（x）有两个交点，可得函数g（x）=f（x）﹣k的两个零点在（1，+∞）．故选：D．10．已知三棱锥O﹣ABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上，且AB=6，BC=2，AC=4，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．4B．12C．18D．36【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由勾股定理的逆定理得出AB⊥BC，故O在底面ABC上的投影为斜边AC的中点，利用勾股定理计算出棱锥的高，代入体积公式计算．【解答】解：∵AB=6，BC=2，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC．过O作OD⊥平面ABC，则D为AC的中点．∴OD===2．===4．∴V O﹣ABC故选A．11．设F1，F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（）•=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（）A．B． +1 C．D．【考点】双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算．【分析】取PF 2的中点A ，利用=2，可得⊥，从而可得PF 1⊥PF 2，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论．【解答】解：取PF 2的中点A ，则=2∵（）•=0，∴2•=0∴⊥∵O 是F 1F 2的中点 ∴OA ∥PF 1， ∴PF 1⊥PF 2，∵|PF 1|=|PF 2|，∴2a=|PF 1|﹣|PF 2|=（﹣1）|PF 2|，∵|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2， ∴c=|PF 2|，∴e===故选B12．已知偶函数f （x ）是定义在R 上的可导函数，其导函数为f ′（x ），当x ＜0时有2f （x ）+xf ′（x ）＞x 2，C ，则不等式（x +2014）2f （x +2014）﹣4f （﹣2）＜0的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣2012） B ．（﹣2016，﹣2012） C ．（﹣∞，﹣2016） D ．（﹣2016，0） 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】通过观察2f （x ）+xf ′（x ）＞x 2，不等式的左边像一个函数的导数，又直接写不出来，对该不等式两边同乘以x ，∵x ＜0，∴会得到2xf （x ）+x 2f ′（x ）＜x 3，而这时不等式的左边是（x 2f （x ））′，所以构造函数F （x ）=x 2f （x ），则能判断该函数在（﹣∞，0）上是减函数，根据函数f （x ）的奇偶性，得到F （x ）是偶函数，发现不等式（x +2014）2f （x +2014）﹣4f（﹣2）＜0可以变成F （x +2014）＜F （﹣2）=F （2），从而|x +2014|＜2，解这个不等式便可．【解答】解：由2f （x ）+xf ′（x ）＞x 2，（x ＜0）； 得：2xf （x ）+x 2f ′（x ）＜x 3 即[x 2f （x ）]′＜x 3＜0； 令F （x ）=x 2f （x ）；则当x ＜0时，F'（x ）＜0，即F （x ）在（﹣∞，0）上是减函数； ∴F （x +2014）=（x +2014）2f （x +2014），F （﹣2）=4f （﹣2）； 即不等式等价为F （x +2014）﹣F （﹣2）＜0； ∵F （x ）在（﹣∞，0）是减函数；偶函数f （x ）是定义在R 上的可导函数，f （﹣x ）=f （x ）， ∴F （﹣x ）=F （x ），F （x ）在（0，+∞）递增，∴由F （x +2014）＜F （﹣2）=F （2）得，|x +2014|＜2， ∴﹣2016＜x ＜﹣2012．∴原不等式的解集是（﹣2016，﹣2012）． 故选：B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．在等比数列{a n}中，a3a7=8，a4+a6=6，则a2+a8=9．【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a3a7=8=a4a6，a4+a6=6，解得，．可得q2．于是a2+a8=．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3a7=8=a4a6，a4+a6=6，解得，．∴q2=2或．则a2+a8==9．故答案为：9．14．已知在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=，其外接圆的圆心为O，则10．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的几何意义即可得到答案．【解答】解：=（）=﹣•，如图，根据向量数量积的几何意义得）﹣•=6||﹣4||=6×3﹣4×2=10，故答案为：10．15．以下命题正确的是：①③④．①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得到y=3sin2x的图象；②四边形ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点P，取得的P点到O的距离大于1的概率为1﹣；③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据三角函数的图象平移关系进行判断．②根据几何概型的概率公式进行判断．③根据排列组合的计数原理进行判断．④根据正态分布的概率关系进行判断．【解答】解：①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到y=3sin[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣+）=3sin2x，即可得到y=3sin2x的图象；故①正确，②解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为，因此取到的点到O的距离大于1的概率P==1﹣；故②错误；③可分以下2种情况：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种正确，故③正确，④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．则正态曲线关于x=2对称，若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在[1，2]的概率P（1＜x＜2）=0.5﹣0．=4，则在（2，3）内取值的概率P（2＜x＜3）=P（1＜x＜2）=0.4．故④正确，故答案为：①③④16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，且a=3，则△ABC面积的最大值为．【考点】正弦定理．【分析】由（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，a=3，利用正弦定理可得（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化简利用余弦定理可得A，再利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：∵（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，a=3，∴（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，∴b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∵A ∈（0，π），∴A=．∴b 2+c 2=9+bc ≥2bc ，化为bc ≤9，当且仅当b=c=3时取等号．∴S △ABC ==．故最大值为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =3a n ﹣1，其中n ∈N *． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设a n b n =，求数列{b n }的前n 项和为T n ．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（ I ）分n=1与n ≥2讨论，从而判断出{a n }是等比数列，从而求通项公式；（ II ）化简可得=3（﹣），利用裂项求和法求解．【解答】解：（ I ）∵，①当n=1时，a 1=a 1﹣，∴a 1=1，当n ≥2时，∵S n ﹣1=a n ﹣1﹣，② ①﹣②得：a n =a n ﹣a n ﹣1， 即：a n =3a n ﹣1（n ≥2）， 又∵a 1=1，a 2=3，∴对n ∈N *都成立，故{a n }是等比数列，∴．（ II ）∵，∴=3（﹣），∴，∴，即T n=．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校高三学生视力在5.0以上的人数；（Ⅱ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.2～4.4和5.0～5.2的学生中抽取9人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2～4.4的学生人数为X，求X 的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）设各组的频率为f1=0.03，f2=0.07，f3=0.27，f4=0.26，f5=0.23，由此求出视力在5.0以上的频率，从而能估计该校高三学生视力在5.0以上的人数．（II）依题意9人中视力在4.2～4.4和5.0～5.2的学生分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分12分）解：（I）设各组的频率为f i（i=1，2，3，4，5，6），f1=0.03，f2=0.07，f3=0.27，f4=0.26，f5=0.23，∴视力在5.0以上的频率为1﹣（0.03+0.07+0.27+0.26+0.23）=0.14，估计该校高三学生视力在5.0以上的人数约为1000×0.14=140人．…（II）依题意9人中视力在4.2～4.4和5.0～5.2的学生分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，，，，．…X的数学期望．…19．已知：矩形A1ABB1，且AB=2AA1，C1，C分别是A1B1、AB的中点，D为C1C中点，将矩形A1ABB1沿着直线C1C折成一个60°的二面角，如图所示．（Ⅰ）求证：AB1⊥A1D；（Ⅱ）求AB1与平面A1B1D所成角的正弦值．．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）连结AB、A1B1，则可证明几何体ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．取BC中点O，B1C1的中点O1，连结OA，OO1，以O为原点建立坐标系，设AA1=2，求出和的坐标，通过计算得出AB1⊥A1D；（II）求出平面A1B1D的法向量，则AB1与平面A1B1D所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】证明：（Ⅰ）连结AB、A1B1，∵C1，C分别是矩形A1ABB1边A1B1、AB的中点，∴AC⊥CC1，BC⊥CC1，AC∩BC=C∴CC1⊥面ABC∴∠ACB为二面角A﹣CC'﹣A'的平面角，则∠ACB=60°．∴△ABC为正三角形，即几何体ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．取BC中点O，B1C1的中点O1，连结OA，OO1，则OA⊥平面BB1C1C，OO1⊥BC．以O为原点，以OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设AA1=2，则A（0，0，），B1（1，2，0），D（﹣1，1，0），A1（0，2，）．∴=（1，2，﹣），，∴=1×（﹣1）+2×（﹣1）+（﹣）×（﹣）=0，∴∴AB1⊥A1D．（Ⅱ）=（1，0，﹣），设平面A1B1D的法向量为=（x，y，z）．则，．∴，令z=1，得．∴cos＜＞===﹣．∴AB1与平面A1B1D所成角的正弦值为．20．已知以A为圆心的圆（x﹣2）2+y2=64上有一个动点M，B（﹣2，0），线段BM的垂直平分线交AM于点P，点P的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线E于D，E，F，G四个点，求|DE|+|FG|的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）连接PB，依题意得PB=PM，从而推导出点P的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，由此能求出E的轨迹方程．（Ⅱ）当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|+|FG|=6+8=14，当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程y=k（x﹣2），联立，整理得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0，由此利用韦达定理、弦长公式，结合题意能求出|DE|+|FG|的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）连接PB，依题意得PB=PM，所以PB+PA=PM=8所以点P的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，所以a=4，c=2，，所以E的轨迹方程是．…（Ⅱ）当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|+|FG|=6+8=14，当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程y=k（x﹣2），设D（x1，y1），E（x2，y2），联立，整理得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0…，，所以DE===，…设直线l2的方程为，所以，所以，…设t=k2+1，所以t＞1，所以，因为t＞1，所以，所以|DE|+|FG|的取值范围是．…21．已知函数f（x）=lnx+，a∈R，且函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．（Ⅰ）实数a的值；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得x0+＜mf（x0）成立，求实数m的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的概念求解即可；（Ⅱ）构造函数，只需求出函数的最小值小于零即可，求出函数的导函数，对参数m进行分类讨论，判断函数的单调性，求出函数的最小值，最后得出m 的范围．．【解答】解：（Ⅰ）∵，函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．∴f'（1）=1﹣a=2∴a=﹣1（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得成立，构造函数的最小值小于零．…①当m+1≥e时，即m≥e﹣1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，…由可得，因为，所以；…②当m+1≤1，即m≤0时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，由h（1）=1+1+m＜0可得m＜﹣2；…③当1＜m+1＜e，即0＜m＜e﹣1时，最小值为h（1+m），因为0＜ln（1+m）＜1，所以，0＜mln（1+m）＜m，h（1+m）=2+m﹣mln（1+m）＞2此时，h（1+m）＜0不成立．综上所述：可得所求m的范围是：或m＜﹣2．…四.本题有（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-1：几何证明讲]22．如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；（Ⅱ）若AC=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．【考点】圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BF⊥FH，DH⊥BD，由此能证明B、D、F、H四点共圆．（2）因为AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2=AC•AD，解得AD=4，BF=BD=1，由△AFB∽△ADH，得DH=，由此能求出△BDF的外接圆半径．【解答】（Ⅰ）证明：因为AB为圆O一条直径，所以BF⊥FH，…又DH⊥BD，故B、D、F、H四点在以BH为直径的圆上，所以B、D、F、H四点共圆．…（2）解：因为AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2=AC•AD，即（2）2=2•AD，解得AD=4，…所以BD=，BF=BD=1，又△AFB∽△ADH，则，得DH=，…连接BH，由（1）知BH为DBDF的外接圆直径，BH=，故△BDF的外接圆半径为．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出圆的普通方程，然后求解圆C的参数方程；（Ⅱ）利用圆的参数方程，表示出x+y，通过两角和与差的三角函数，求解最大值，并求出此时点P的直角坐标．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，所以x2+y2=4x+4y﹣6，所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…x+y取到最大值为6．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）利用绝对值的意义，|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标，从而得出结论．（2）转化不等式为|x﹣1|+|x﹣2|≤，利用函数恒成立以及绝对值的几何意义，求出x的范围即可．【解答】解：（1）由f（x）＞2，即|x﹣1|+|x﹣2|＞2．而|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为和，故不等式|x﹣1|+|x﹣2|≥2的解集为﹛x|x≤或x≥﹜，（2）由题知，|x﹣1|+|x﹣2|≤恒成立，故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值．∵|a+b|+|a﹣b|≥|a+b+a﹣b|=2|a|，当且仅当（a+b）（a﹣b）≥0 时取等号，∴的最小值等于2，∴x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解．由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，又由于数轴上的、对应点到1和2对应点的距离之和等于2，故不等式的解集为[，]，故答案为[，]．2016年10月6日。