数字信号处理第三版武汉大学孙洪课后答案第七章

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数字信号处理课后习题答案(全)1-7章

（5）y(n)=x2(n)
（6）y(n)=x(n2)
（7）y(n)=
n
（8）y(n)=x(n)sin(ωxn(m) )
m0
解：（1）令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2) y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2)
所以 T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
第 1 章时域离散信号和时域离散系统
（2）令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=2x(n－n0)+3 y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n) 故该系统是非时变的。由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3 T［ax1(n)］=2ax1(n)+3 T［bx2(n)］=2bx2(n)+3 T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故该系统是非线性系统。
=2x(n)+x(n－1)+ x(n－2)
将x(n)的表示式代入上式，得到 1 y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(2n)+2δ(n－1)+δ(n－2)
+4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5)
第 1 章时域离散信号和时域离散系统
8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，
（3）如果|x(n)|≤M，则|y(n)|≤ nn0|x(k)|≤|2n0+1|M，因 k nn0

数字信号处理第七章习题解答

————第七章———— FIR 数字滤波器设计7.1 学习要点7.1.1 线性相位FIR 数字滤波器特点归纳1. 线性相位概念设()()[]n h FT eH j =ω为FIR 滤波器的频响特性函数。

()ωj e H 可表示为()()()ωθωωj g j e H e H =()ωg H 称为幅度函数，为ω的实函数。

应注意()ωg H 与幅频特性函数()ωj e H 的区别，()ωj e H 为ω的正实函数，而()ωg H 可取负值。

()ωθ称为相位特性函数，当()ωτωθ-=时，称为第一类（A 类）线性相位特性；当()ωτθωθ-=0时，称为第二类（B 类）线性相位特性。

2. 具有线性相位的FIR 滤波器的特点（()n h长度为N ）1）时域特点A 类：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=--=2121,1N N n n h n N h n h ωωθ偶对称关于 (7.1)B 类：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=-=---=21221,1N N n n h n N h n h ωπωθ奇对称关于 (7.2)群延时：()21-==-N d d τωωθ为常数，所以将A 类和B 类线性相位特性统称为恒定群时延特性。

2）频域特点A 类：N 为奇数（情况1）：()ωg H 关于ππω2,,0=三点偶对称。

N 为偶数（情况2）：()ωg H 关于πω=奇对称（()0=πg H ）。

B 类：N 为奇数（情况3）：()ωg H 关于ππω2,,0=三点奇对称。

N 为偶数（情况4）：()ωg H 关于πω2,0=奇对称，关于πω=偶对称。

3. 要点（1）情况1：可以实现所有滤波特性（低通、高通、带通、带阻和点阻等）。

（2）情况2：()0=πg H ，不能实现高通、带通和点阻滤波器。

（3）情况3：只能实现带通滤波器。

（4）情况4：不能实现低通、带阻和点阻滤波器。

7.1.2 FIR 数字滤波器设计方法 FIR 滤波器设计方法：（1）窗函数法（2）频率采样法（3）切比雪夫逼近法1. 窗函数法的设计步骤与要点设()()[]n h FT eH d j d =ω为希望逼近的频响特性函数，()()[]n h FT e H j d =ω为用窗函数法设计的实际滤波器的频响函数。

数字信号处理第7章答案

第７章
多采样率数字信号处理
下面对三种常用的采样率转换基本系统的重要知识点及相关公式进行归纳总结，以便读者复习巩固。值得注意，要理解采样率转换原理，必须熟悉时域采样概念、时域采样信号的频谱结构、时域采样定理。此外，时域离散线性时不变系统的时域分析和变换（Z变换、傅里叶变换）域分析理论是本章的分析工具。只有熟练掌握上述基础知识，才能掌握本章的知识，否则，无法理解本章内容。
(7.2.16)
图7.2.4中各点信号的时域表示式归纳如下：
第７章
多采样率数字信号处理
线性滤波器输出序列为
l x v(l ) = I 0
线性滤波器输出序列为
l = 0, ± I , ±2 I , ±3I , ⋯
(7.2.17)
其他
w(l ) =
k =−∞
∑ h(l − k )v(k ) = ∑ h(l − kI )x(k )
∑
jω y
(7.2.4)
Y (e
j 1 D −1 )= H D (e D k =0
∑
2 πk D
) X (e
j
2 πk D
)
(7.2.5)
第７章
多采样率数字信号处理
在主值区［－π, π］上Y(ejωy)为
Y (e
jω y
1 jω ) = H D (e D
y
/D
) X (e
jω y / D
)
－π≤|ωy|≤π
第７章
多采样率数字信号处理
7.3 采样率转换系统的高效实现采样率转换系统的高效实现
实际上，采样率转换系统的高效实现就是指其中的 FIR数字滤波器的高效实现。这里高效的含义有三个方面：在满足滤波指标要求的同时， ① 滤波器的总长度最小； ② 使滤波处理计算复杂度最低； ③ 对滤波器的处理速度要求最低。教材中介绍了采样率转换系统的两种实现方法：直接型FIR滤波器结构、多相滤波器实现。各种实现方法的原理、结构及其特点在教材中都有较详细的叙述，本书不再重复。

《数字信号处理》第三版课后习题答案

数字信号处理课后答案1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。

解：()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值；（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列；（3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形；（4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形；（5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。

解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。

（2）()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-（3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。

（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。

（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。

3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

（1）3()cos()78x n A n ππ=-，A 是常数；（2）1()8()j n x n e π-=。

解：（1）3214,73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；（2）12,168w wππ==，这是无理数，因此是非周期序列。

5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

《数字信号处理》第三版课后答案

数字信号处理(西电科大第三版)课后答案1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。

解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。

（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。

（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。

3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

（1）3()cos()78x n A n ππ=-，A 是常数；（2）1()8()j n x n e π-=。

解：（1）3214,73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；（2）12,168w wππ==，这是无理数，因此是非周期序列。

5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

数字信号处理(第三版)_课后习题答案全_(原题+答案+图)

第 1 章
（2）令输入为
x(n－n0) 输出为
时域离散信号和时域离散系统
y′(n)=2x(n－n0)+3
y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n)
故该系统是非时变的。由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3 T［ax1(n)］=2ax1(n)+3 T［bx2(n)］=2bx2(n)+3 T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故该系统是非线性系统。
m

第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
题7图
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
y(n)={－2,－1,－0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=－2, －1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
第 1 章
解法（二）
时域离散信号和时域离散系统
采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为
第 1 章
(4) y(n)=x(－n)
令输入为 x(n－n0) 输出为 y′(n)=x(－n+n0)
时域离散信号和时域离散系统
y(n－n0)=x(－n+n0)=y′(n) 因此系统是线性系统。由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(－n)+bx2(－n)
=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］因此系统是非时变系统。
n n0 k n n0
|x(k)|≤|2n0+1|M，因
此系统是稳定的；假设n0>0，系统是非因果的，因为输出
还和x(n)的将来值有关。

数字信号处理第三版第七章

h

N 1 2

0
，得到:
Hg(ω)关于 ω=0, π, 2π三点奇对称
情况3只能实现带通滤波器
当ω=0，π, 2π时，
sin［ω(n－τ)］=0, 且sin ［ω(n－τ)］
关于过零点奇对称
M1
Hg() 2h(n)sin[(n)] n0
情况4： h(n)=－h(N－n－1), N为偶数。
吉布斯效应是由于将hd(n)直接截断引起的，因此，也称为截断效应。
图7.2.2 吉普斯效应
Hd(ejω)是一个以2π为周期的函数，可以展为傅里叶级数，
即

Hd(ej) hd(n)ejn
n
hd(n)，当然就是Hd(ejω)对应的
单位脉冲响应。设计FIR滤波器就是根据要求找到N个傅
2. 线性相位FIR的时域约束条件线性相位FIR滤波器的时域约束条件是指满足线性
相位时，对h(n) 1) 第一类线性相位对h(n)
相位函数θ(ω)=－ωτ，由式（7.1.1）和（7.1.2）得到:
N1
H(ej) h(n)ejnHg()ej n0 N 1
h (n )(c o s n jsin n ) H g ( )(c o s jsin )
加矩窗形后窗的幅H滤度(e波特j器性) 的We2R1 幅πgj(度ωπ)π特的2H 1π性卷d等积g(ππ于。H )e理djg(想W )低W R 通Rg(滤g (波器))e的dj幅(度特)d性Hdg(ω)与
将H(ejω)写成H(ejω)=Hg(ω)e－jω ，则
2) 第二类线性相位对h(n)的约束条件
相位函数θ(ω)=－π/2－ωτ，由式（7.1.1）和（7.1.2），

《数字信号处理》第三版课后答案

《数字信号处理》第三版课后答案1 数字信号处理(西电科大第三版)课后答案1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。

解：()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+- 2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-??=≤≤其它（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值；（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列；（3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形；（4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形；（5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。

解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。

（2）()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+- （3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。

（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。

（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。

3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

（1）3()cos()78x n A n ππ=-，A 是常数；（2）1()8()j n x n eπ-=。

解：。

数字信号处理第七章习题答案

8 要求其最小阻带减为－45dB，过渡带宽为 π 51 求出 h( n)并画出 20lg H e jω 曲线（设ωc = 0.5π ）
( )
解：根据低通滤波器的最小阻减为－45dB，查表，应选择海明窗：
2π n w( n) = 0.54 − 0.46cos RN ( n) N −1
h （2） h1 ( n) ， 2 ( n)各构成一个低通滤波器，试问它们是否是线性相位的？延时是多少？
解：（1）根据题意可知
h2 ( ( n) )8 = h1 ( ( n − 4) )8
则
i =n−4
H2 ( k ) = ∑h1 ( ( n − 4) )8W R8 ( n)
n=0 nk 8
7
=
i=− i =−4
% h ( i ) 8kiW 4k ∑1 W 8
3
% = W 4k ∑h ( i ) 8ki W 8 1
i= i =0
7
= H1 ( k )W
由上式可以看出
4k 8
教材125页表3-3：序号2性质
H2 ( k ) = H1 ( k )
2π θ2 ( k ) = θ1 ( k ) − ⋅ 4k = θ1 ( k ) − kπ 8
20lg H ( e jω ) 曲线。
e− jωα Hd (e jω ) = 0
其单位抽样响应：
解：线性相位理想低通滤波器
−ωc ≤ ω ≤ ωc −π ≤ ω ≤ −ωc ,ωc ≤ ω ≤ π
1 π hd ( n) = Hd ( e jω ) e jωndω 2π ∫−π
ωc sin ωc ( n −α ) 1 ωc − jωα jωn = = ∫−ωc e e dω π ωc ( n −α ) 2π

《数字信号处理》第三版答案(非常详细完整)

答案很详细，考试前或者平时作业的时候可以好好研究，祝各位考试成功！！电子科技大学微电子与固体电子学陈钢教授著数字信号处理课后答案1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。

解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。

（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。

（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如 5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

（1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-；（3）0()()y n x n n =-，0n 为整常数；（5）2()()y n x n =；（7）0()()nm y n x m ==∑。

《数字信号处理》第三版课后习题答案

数字信号处理课后答案1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n 及其加权和表示题1图所示的序列。

解：()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3)0.5(4)2(6)x n nn n n n nnn n 2. 给定信号：25,41()6,040,nnx n n其它（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值；（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列；（3）令1()2(2)x n x n ，试画出1()x n 波形；（4）令2()2(2)x n x n ，试画出2()x n 波形；（5）令3()2(2)x n x n ，试画出3()x n 波形。

解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。

（2）()3(4)(3)(2)3(1)6()6(1)6(2)6(3)6(4)x n nnnn n n n n n （3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。

（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。

（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。

3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

（1）3()cos()78x n A n，A 是常数；（2）1()8()j n x n e 。

解：（1）3214,73w w ，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；（2）12,168ww，这是无理数，因此是非周期序列。

5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

（1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n；（3）0()()y n x n n ，0n 为整常数；（5）2()()y n x n ；（7）0()()n m y n x m 。

数字信号处理课后答案+第7章(高西全丁美玉第三版)

别为h(n)和H(ejω)，另一个滤波器的单位脉冲响应为h1(n)，
它与h(n)的关系是h1(n)=(－1)nh(n)。试证明滤波器h1(n)是一个高通滤波器。
（2）设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分
别为h(n)和H(ejω)，截止频率为ωc, 另一个滤波器的单位脉冲响应为h2(n)，它与h(n)的关系是h2(n)=2h(n)cosω0n，且 ωc<ω0<(π－ωc)。试证明滤波器h2(n)是一个带通滤波器。解: （1）由题意可知
H (e j( 0 ) ) H (e j( 0 ) ) j H 2 (e ) 2
因为低通滤波器H(ejω)通带中心位于ω=2kπ，且H2(ejω)为 H(ejω)左右平移ω0，所以H2(ejω)的通带中心位于ω=2kπ±ω0处，所以h2(n)具有带通特性。这一结论又为我们提供了一种设计带通滤波器的方法。 8．题8图中h1(n)和h2(n)是偶对称序列， N=8，设 H1(k)=DFT［h1(n)］ k=0， 1， …， N－1 H2(k)=DFT［h2(n)］ k=0， 1， …， N －1 （1）试确定H1(k)与 H2(k)的具体关系式。 | H1(k)|=| H2(k)| 是否成立？为什么？（2）用h1(n)和h2(n)分别构成的低通滤波器是否具有线性相位？群延时为多少？
解：（1）由所给h(n)的取值可知，h(n)满足h(n)=h(N－1
－n)，所以FIR滤波器具有A类线性相位特性：
N 1 ( ) 2.5 2
由于N=6为偶数(情况2)，所以幅度特性关于ω=π点奇对称。（2）由题中h(n)值可知， h(n)满足h(n)=－h(N－1－n)，所以FIR滤波器具有B类线性相位特性： π N 1 π () 3 2 2 2 由于7为奇数(情况3)，所以幅度特性关于ω=0, π, 2π三点奇对称。

《数字信号处理》第三版答案(非常详细完整)

解：()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3)0.5(4)2(6)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值；（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列；（3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形；（4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形；（5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。

解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。

（2）()3(4)(3)(2)3(1)6()6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-（3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。

（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。

（1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-；（3）0()()y n x n n =-，0n 为整常数；（5）2()()y n x n =；（7）0()()nm y n x m ==∑。

数字信号处理》第三版课后习题答案

数字信号处理课后答案教材第一章习题解答1.用单位脉冲序列()nδ及其加权和表示题1图所示的序列。

解：2.给定信号：25,41 ()6,040,n nx n n+-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它（1）画出()x n序列的波形，标上各序列的值；（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n序列；（3）令1()2(2)x n x n=-，试画出1()x n波形；（4）令2()2(2)x n x n=+，试画出2()x n波形；（5）令3()2(2)x n x n=-，试画出3()x n波形。

解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。

（2）（3）1()x n的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。

（4）2()x n的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。

（5）画3()x n时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n波形如题2解图（四）所示。

3.判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

（1）3()cos()78x n A n ππ=-，A 是常数；（2）1()8()j n x n e π-=。

解：（1）3214,73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；（2）12,168w wππ==，这是无理数，因此是非周期序列。

5.设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

（1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-；（3）0()()y n x n n =-，0n 为整常数；（5）2()()y n x n =；（7）0()()nm y n x m ==∑。

解：（1）令：输入为0()x n n -，输出为'000'0000()()2(1)3(2)()()2(1)3(2)()y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--=故该系统是时不变系统。

《数字信号处理》第三版答案(非常详细完整)

解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。

（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。

（1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-；（3）0()()y n x n n =-，0n 为整常数；（5）2()()y n x n =；（7）0()()nm y n x m ==∑。

数字信号处理(第三版)_课后习题答案全_(原题+答案+图)

第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
题2解图（一）
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
题2解图（二）
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
题2解图（三）
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
题2解图（四）
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
3．判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的，确定其周期。
第 1 章
（5）y(n)=x2(n) （6）y(n)=x(n2) （7）y(n)= n
时域离散信号和时域离散系统
x(m) （8）y(n)=x(n)sin(ωn)
m 0

解：（1）令输入为 x(n－n0)
输出为
y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2) y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2) =y′(n)
第 1 章
（6） y(n)=x(n2) 令输入为
时域离散信号和时域离散系统
x(n－n0)
输出为 y′(n)=x((n－n0)2) y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n)
故系统是非时变系统。由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n2)+bx2(n2) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故系统是线性系统。
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
故该系统是非时变系统。因为 y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］ =ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］
+3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］

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第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
故该系统是非时变系统。因为 y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］ =ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］
+3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］
T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2) T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2) 所以 T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故该系统是线性系统。
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
题4解图（一）
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
题4解图（二）
第 1 章
时域离散信
(4) 很容易证明：
时域离散信号和时域离散系统
x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n) 上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。偶对称序列可以用题中(2)的公式计算，奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。 5．设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。（1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2) （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(n－n0) （4）y(n)=x(－n) n0为整常数

m 4
(2m 5) (n m) 6 (n m)
m 0
1
4
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。 (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。 (5) 画x3(n)时，先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180°)，然后再右移2位， x3(n)波形如题2解图（四）所示。

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Chapter 7
7.1
1 ⎧ ⎪ , 0 ≤ n ≤ M − 1, Impulse response of the moving average filter is: h[ n] = ⎨ M ⎪ otherwise. ⎩ 0,
Its frequency response is: H (e jω ) =
1 − A1 ( z ) ⎨= 0, if z = 1, Thus, A1 ( z ) ⎨= 1, if z = 1, Thus, Eq. (7.20) holds ⎪ < 0, if z < 1. ⎪ > 1, if z < 1. ⎩ ⎩ for any first-order allpass function. A higher-order allpass function can br factored into a product of first-order allpass functions. Since, Eq. (7.20) holds true each of these factors individually, hence, it also holds true for the product.
177
7.3
An m –th order stable, real allpass transfer function can be expressed as a product
Ai (e jω ) =
jω 1 −d * ie
e
jω
− di
= e − jω
jω * jω (1 − d * i e )(1 − d i e ) jω (1 − di e )(1 − d * ie ) − jθ jω 2
z − M D* M (1 / z*) , where DM ( z)
A M ( z ) = A M ( z ) A* M (1 / z*) =
2
D* M (1 / z*) ⋅ D M ( z ) = 1. D M ( z) D* M (1 / z*)
(1 + az −1 )(1 + az )
z = e jω
aw
0
⎡ α sin(θ − ω) ⎤ = − ω + 2 tan −1 ⎢ ⎥. We can show similarly, ⎣1 − α cos(θ − ω) ⎦ ⎡ α sin(θ + ω) ⎤ arg{ Ai' (e jω )} = − ω + 2 tan −1 ⎢ ⎥. ⎣1 − α cos(θ + ω) ⎦
1 sin( Mω / 2) ≤ 1, ∀ω. Now, for M sin(ω / 2)
M = 2, H (e jω ) =
We assume next that
1 sin( mω / 2) ≤ 1 for 1 ≤ m ≤ M − 1. We can express m sin(ω / 2)
1 sin( Mω / 2) 1 sin (( M − 1)ω / 2 ) cos(ω / 2) + cos(( M − 1)ω / 2 )sin(ω / 2) = M sin(ω / 2) M sin(ω / 2)
* * z z )(1 − d1z*) 1 − d1 (1 − d1 2 . Therefore, . A( z ) = A( z ) A * ( z ) = * z − d1 ( z − d1 )( z * − d1 )
* * ( z − d1 )( z * − d1 ) − (1 − d1 z )(1 − d1z*)
v[ n] = x[ − n] O * h[ n], and u[ n] = v[ − n] = x[ n] O * h[ − n]. Hence,
equivalent frequency response is real and has zero phase. 7.6 Now, AM ( z) = ±
D M ( z ) = 1 + d1z −1 + d 2 z −2 + L + d M z − M .
z = e jω
.k hd
Therefore, H ( z )H ( z −1 ) = (i) H ( z ) =
3(1 + 0.25z −1 )(1 − 0.7 z −1 ) (1 + 0.6 z −1 )(1 + 0.8 z −1 )
⎡ α sin ω ⎤ If d i = α is real, then arg{Ai (e jω )} = − ω + 2 tan −1 ⎢ ⎥. Now for real di , ⎣1 − α cos ω ⎦
w
w
7.4
w
.k hd
( )
π π 0 0
m
arg{A i (e j 0 )} − arg{A i (e jπ )} = {−0 + 2 tan −1 (−0)} − {− π + 2 tan −1 ( −0)} = π. For
Now, for a BR transfer function, H (e jω ) ≤ 1, ∀ω. For the moving-average filter, H ( e jω ) = 1 sin( Mω / 2) . We shall show by induction that M sin(ω / 2)
of first-order allpass transfer functions of the form Ai ( z) =
have a zero-phase frequency response, the imaginary part of must be equal to zero for all values of ω. Hence, for a zero-phase response, a1 = − a5 and a2 = − a4 . 7.5
w
=
* * z + d 1 − d1 z * − d1 z − 1 − d 1 z + d1z * + d1 z * ( z − d1 )( z * − d1 )
2
aw
2 2 2
1 sin(ω) 1 2 sin(ω / 2) cos(ω / 2) = = cos(ω / 2) ≤ 1, ∀ω. 2 sin(ω / 2) 2 sin(ω / 2)
7.2
w
1 − A( z ) =
2
2
.k hd
≤
A( z ) =
* ( z − d1 )( z * − d1 )
⎤ 1 ⎡ sin(( M − 1)ω / 2 ) cos(ω / 2) + cos(( M − 1)ω / 2 ) ⎥. Now, cos(mω / 2 ) ≤ 1 for ⎢ M⎣ sin(ω / 2) ⎦ 1 sin( Mω / 2) 1 all values of m. Hence, ≤ [M − 1 + 1] ≤ 1. M sin(ω / 2) M
(iii) H ( z ) =
3(1 + 0.25z )(1 − 0.7z )
w
(1 + 0.6 z −1 )(1 + 0.8z −1 )
,
(iv)
H (z) =
The zero locations of the four FIR transfer functions are given below:
complex di , arg{A i (e j 0 )} + arg{ A i' (e j 0 )} − arg{A i (e jπ )} − arg{ A i' (e jπ )} = ⎡ α sin θ ⎤ ⎡ − α sin θ ⎤ = −0 + 2 tan −1 ⎢ − 0 + 2 tan −1 ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ 1 − α cos θ ⎦ ⎣ 1 − α cos θ ⎦ ⎡ α sin θ ⎤ ⎡ α sin θ ⎤ + π − 2 tan −1 ⎢ + π − 2 tan −1 ⎢ ⎥ ⎥ = 2π. Now, ⎣ 1 + α cos θ ⎦ ⎣ 1 + α cos θ ⎦ d arg{A(e jω )} . Therefore, τ ( ω) = − dω
= (1 + a 2 ) + 2 a cos ω. We thus rewrite the given square-
magnitude function as
H (e
jω
) = H ( z)H ( z
2
−1
)
aw
=
, (ii) H ( z ) =
பைடு நூலகம்7.7
Consider the first-order factor 1 + az −1 . Its square-magnitude function is given by
H (e jω ) = a1e j 2 ω − a 2 e jω − a3 + a 4 e − jω − a 5 e −2 ω
= a1 (cos 2ω + j sin 2ω) − a1 (cos ω + j sin ω) − a3 + a 4 (cos ω − j sin ω) − a3 + a 4 (cos ω − j sin ω) − a5 (cos 2ω − j sin 2ω) = (a1 − a5 ) cos 2ω − (a2 − a4 ) cos ω − a3 + j ((a1 + a5 ) sin 2ω − (a2 + a 4 ) sin ω). To
w
2⎪
⎧ > 0, if z > 1,

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