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有限元法的基本构架目前在工程领域内常用的数值模拟方法有：有限元法、边界元法、离散单元法和有限差分法，就其广泛性而言，主要还是有限单元法。
它的基本思想是将问题的求解域划分为一系列的单元，单元之间仅靠节点相连。
单元内部的待求量可由单元节点量通过选定的函数关系插值得到。
由于单元形状简单，易于平衡关系和能量关系建立节点量的方程式，然后将各单元方程集组成总体代数方程组，计入边界条件后可对方程求解。
有限元的基本构成：1. 节点（Node）：就是考虑工程系统中的一个点的坐标位置，构成有限元系统的基本对象。
具有其物理意义的自由度，该自由度为结构系统受到外力后，系统的反应。
2. 元素（Element）：元素是节点与节点相连而成，元素的组合由各节点相互连接。
不同特性的工程统，可选用不同种类的元素，ANSYS提供了一百多种元素，故使用是必须慎重选则元素型号。
3. 自由度（Degree Of Freedom）：上面提到节点具有某种程度的自由度，以表示工程系统受到外力后的反应结果。
要知道节点的自由度数，请查看ANSYS自带的帮助文档（Help/Element Refrence），那里有每种元素类型的详尽介绍。
典型的分析过程ANSYS分析过程包含三个主要的步骤：1.创建有限元模型1）创建或读入限元模型2）定义材料属性3）划分网格2.施加载荷并求解1）施加载荷及设定约束条件2）求解3.查看结果1）查看分析结果2）检查结果是否正确ANSYS 文件及工作文件名ANSYS在分析过程中需要读写文件，文件格式为jobname.ext，其中jobname是设定的工作文件名，ext是由ANSYS定义的扩展名，用于区分文件的用途和类型，默认的工作文件名是file。
ANSYS分析中有一些特殊的文件，其中主要的几个是数据库文件jobname.db、记录文件jobname.log、输出文件jobname.out、错误文件jobname.err、结果文件jobname.rxx 及图形文件jobname.grph。
有限域密码学
有限域密码学（finite field cryptography）是一种基于有限域（finite field）的密码学方法。
有限域是一个具有有限元素的数学结构，它具有特定的加法和乘法运算。
在有限域密码学中，使用有限域上的加法和乘法运算进行加密、解密和其他密码学操作。
有限域密码学广泛应用于公钥密码学中的椭圆曲线密码学（Elliptic Curve Cryptography，ECC）。
椭圆曲线密码学基于有限域上的椭圆曲线上的点的数学性质，利用椭圆曲线运算实现安全的加密和签名操作。
相比传统的RSA算法，椭圆曲线密码学具有更高的安全性和更小的密钥长度。
除了椭圆曲线密码学，有限域密码学还可以应用于其他密码学算法，如椭圆曲线Diffie-Hellman密钥交换、椭圆曲线数字签名算法等。
有限域密码学的研究和应用不仅在理论上具有重要意义，也在实际应用中得到了广泛的应用。
3.16 有限域
1.域
加法 +
封闭;零元;负元;结合律;交换律
乘法
封闭;单位元;非零元有逆元;结合律;交换律
乘法,关于加法+满足分配律
例1：
实数域=;复数域C;有理数域<;模素数域
非负实数集合，关于数的加法乘法，不是域
2.有限域
命题：对每个,恰好有一个含有p个元素的有限域；所有的有限域也仅限于此。
定义：含p个元素的有限域称为Galois Field，记作GF。
3. GF构造方法：
step1：选取多项式集合；
step2：选取次数为n 的不可约多项式
step3：令GF为模.
例2 构造GF
step1：选取多项式集合；
step2：选取次数为2的不可约多项式
step3：令GF为模.
得：
(
4.1.3.1
)
例3 构造step1：；step2：；
step3：GF =模.得：在GF =模
，其中
：
故
（2）将GF 的元素表示成二进制串：
中计算：
11101001+10101001
=；
目录。
＄有限域的结构对于这一节,我们将要证明三个结构定理:定理1 设F 就是一个特征p 的有限域,那么F 的元素个数一定就是p 的一个幂。
定理2 设p 就是任一素数而n 就是任一正整数,那么总存在着一个恰含n p 个元素的有限域。
定理3 设F 就是一个有限域,它含有一个q 个元素的有限域q F 作为子域,那么F 的元素个数一定就是q 的一个幂。
证明:先将q F 改记为1F 、如果1F F =,那么F 就就是恰含有q 个元素的有限域,因此定理成立。
如果1F F ≠,那么F 就含有一个元素2e ,而12F e ∉、令},:{1212212F a a e a a F ∈+=、下面我们来证明:如果12121221221,,,,F b b a a e b b e a a ∈+=+,则一定有2211,b a b a ==、因为从上式可以推出11222)(a b e b a -=-、若22b a ≠,那么有1111222)()(F a b b a e ∈--=-、这与12F e ∉相矛盾。
所以有22b a =、于就是有11b a =、则2F 恰含2q 个两两不同的元素。
如果2F F =,那么F 就就是恰含2q 个元素的有限域,此时定理成立。
如果2F F ≠,那么F 就会有一个元素3e ,而23F e ∉、令 },,:{1321332213F a a a e a e a a F ∈++=、假设133********,,F b a e b e b b e a e a a i i ∈++=++、那么)()()(11222333a b e a b e b a -+-=-、若33b a ≠,那么有2111332221333)()()()(F a b b a e a b b a e ∈--+--=--、这与23F e ∉相矛盾。
故有33b a =、于就是有221221e b b e a a +=+、由此知,2211,b a b a ==。
有限域算法⼀、有限域介绍有限域亦称伽罗⽡域（Galois Fields），是伽罗⽡于 18 世纪 30 年代研究代数⽅程根式求解问题时引出的概念。
有限域在密码学、近代编码、计算机理论、组合数学等⽅⾯有着⼴泛的应⽤在抽象代数中，域是⼀个对加法和乘法封闭的集合，其中要求每个元素都有加法逆元，每个⾮零元素都有乘法逆元。
若域 F 只包含有限个元素，则称为有限域，有限域中元素的个数称为有限域的阶。
可以证明，有限域的阶必为素数的幂，即有限域的阶可表⽰为 p n（p 是素数，n 是正整数）。
有限域通常记为 GF(p n)有限域 GF(p n) 中的元素可以看成有限域 GF(p) 上次数⼩于 n 的多项式，因此 GF(p n) 构成 GF(p) 上的 n 维线性空间，其中的⼀组基为 {1, x, x2, ......, x n-1}，所以有限域 GF(p n) 中的所有元素可以⽤基 {1, x, x2, ......, x n-1} 的线性组合来表⽰，其线性组合的系数在 GF(p) 中，即 GF(p n) = {a0 + a1 x + a2 x2 + ... + a n-1 x n-1 | a i ∈ GF(p), i = 0, 1, 2, ..., n-1}。
若将 GF(p) 上的加法单位元记作 0，乘法单位元记作 1，元素 a 的加法逆元记作 -a，⾮零元素 b 的乘法逆元记作 b-1，则有：a + (-a) = 0 (mod p), b × b-1 = 1 (mod p)。
针对GF(p) 中的元素 a 和⾮零元素 b，加法是 (a + b) mod p，减法是 (a + (-b)) mod p，乘法是 a × b mod p，除法是 a × b-1 mod p，该算法对多项式运算同样成⽴，因此GF(p n) 上的四则运算可以由 GF(p) 上多项式的四则运算导出。
特别地，当 p=2 时，GF(2n) 中的元素 a0 + a1 x + a2 x2 + ... + a n-1 x n-1 可以转化为⼆进制数 a n-1 ... a2 a1 a0。
有限域GF（2n）运算在研究的数字电路系统中，如加解密算法、信道编码和数字信号处理等领域会涉及近似代数的相关理论，如群伦、Galois域等基础知识。
同时我们引入概念，域。
一个域是一组元素的集合，它可以在集合中完成加减乘除等四则运算。
加法和乘法必须满足交换、结合和分配的规律。
给定一个集合G，在其上定于了一个二元运算*。
交换：对于G中任意的元素a和b，满足a*b=b*a，则G称为交换群（Abel群）结合：二元运算*具有结合性，即对任何a,b,c属于G，a*(b*c)=(a*b)*c.分配：对于F域中任意三个元素a,b,c，有a*(b+c)=a*b+a*c;域中元素的个数称为域的阶（order），此时该域的阶为3.有限域多项式：GF(2)=x^6+x^4+x^2+x+1等价于比特串01010111，即16进制表示的57。
1、有限域加法多项式之和等于先对具有相同x次幂的系数求和，然后各项再相加。
而各系数求和是在域F中进行的；c(x)=a(x)+b(x) 等价于ci=ai+bi2、有限域乘法多项式乘法关于多项式加法满足结合律、交换律和分配律。
单元元素为x0项的系数等于1和0次多项式。
为使乘法运算在F域上具有封闭性，选取一个1次多项式m(x),当多项式a （x）和b(x)的乘积定义为模多项式m(x)下的多项式乘积：C(x)=a(x).b(x)等价于c(x)恒=a(x)*b(x) (mod m(x))二进制域GF（2）在编码理论扮演重要的角色，而在数字计算机和数据传输或是存储系统中同样得到了普遍的运用。
在多项式表达中，有限域2^8内的乘法就是乘法所得到的结果经一个不可约简的8次二进制多项式取模后的结果。
不可约简的多项式是指多项式除了它本身和1以外没有其他的因式。
Rijndael中这个多项式被命名为m（x），定义如下：m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1(b7b6b5b4b3b2b1b0)* '01' = （b7b6b5b4b3b2b1b0）(b7b6b5b4b3b2b1b0)* '02' = （b6b5b4b3b2b1b00）+(000b7b70b7b7)(b7b6b5b4b3b2b1b0)* '03' = （b7b6b5b4b3b2b1b0）* '01'+ (b7b6b5b4b3b2b1b0)* '02'记为xtime（）。
数学中的抽象代数与有限域一、抽象代数基础1.1 集合论基础：集合、元素、集合运算（并集、交集、补集）、集合的性质（互异性、无序性、确定性）。
1.2 代数结构：群、环、域、域扩张。
1.3 群论：群的定义、性质、生成群、群同态、群同构、循环群、交换群、拉格朗日定理、西罗定理。
1.4 环论：环的定义、性质、交换环、整环、域、域的扩张。
1.5 域论：域的定义、性质、域的扩张、伽罗瓦理论、有限域、多项式环。
二、有限域及其应用2.1 有限域的定义：有限域是一种具有加法和乘法运算的代数结构，其元素个数为有限个，且满足交换律、结合律、分配律。
2.2 有限域的性质：有限域的元素个数为素数的幂，有限域的子域为有限个，有限域的乘法群为循环群。
2.3 有限域的表示：多项式表示、二进制表示。
2.4 有限域的扩张：有限域的扩张是通过添加元素来实现的，扩张过程中保持原有运算规律。
2.5 伽罗瓦理论：伽罗瓦理论是研究域扩张性质的理论，核心概念是域的自同构和域的子域。
2.6 有限域的应用：密码学、编码理论、计算机科学、信息安全。
三、抽象代数在中小学数学中的应用3.1 整数：整数是加法和减法的代数结构，满足群性质。
3.2 分数：分数是整数的扩张，通过域的扩张实现。
3.3 多项式：多项式是代数表达式，可以通过域的扩张来定义。
3.4 方程：方程是通过代数结构来描述的数学问题，解方程的过程涉及到群、环、域等概念。
3.5 线性代数：线性代数中的向量空间、线性映射与抽象代数中的域、群、环等概念密切相关。
四、抽象代数与实际生活的联系4.1 密码学：抽象代数中的群、环、域等概念在密码学中具有重要意义，如哈希函数、公钥加密等。
4.2 计算机科学：抽象代数在计算机科学中有着广泛应用，如数据结构、算法、编程语言等。
4.3 信息安全：抽象代数在信息安全领域中发挥着重要作用，如数字签名、身份认证等。
4.4 编码理论：抽象代数中的有限域在编码理论中具有重要意义，如错误检测、纠正码等。
