数量关系—数学运算 必背 资料整理
（一） 数的整除特性
一、数的整除检定
除数 整除检定性质 举例
被2/4/8
整除
特点 2 若一个数个位能被2整除，则这个数能被2整除 2能被2整除→422
4 若一个数末两位能被4整除，则这个数能被4整除 48能被4整除→348
8 若一个数末三位能被8整除，则这个数能被8整除 544能被8整除→2544
被3/9
整除
特点 3 若一个数的数字和能被3整除，则这个数能被3整除 1+5+6=12能被3整除→156
9 若一个数的数字和能被9整除，则这个数能被9整除 6+5+7=18能被9整除→657
被5/25
整除
特点 5 若一个数个位数能被5整除，则这个数能被5整除 0能被5整除→430
25 若一个数末两位能被25整除，则这个数能被25整除 75能被25整除→4375
被11
整除特点 11 若一个数奇数位置上的数字和与偶数位置上的数字和之差
能被11整除，则这个数能被11整除 （9+5）-（6+8）=0能被11
整除→9658
被7/13
整除
特点 7 若一个数末三位与前面部分数字之差能被7整除，则
这个数能被7整除 322-14=308能被7整除→
14322
13 若一个数末三位与前面部分数字之差能被13整除，则
这个数能被13整除 274-1=273能被13整除→1274
二、数的整除性质
1．如果两个整数a、b都能被c整除，那么a+b／a-b也能被c整除
2．如果两个整数a、b都不能被c整除．那么a与b的和（或差）能或不能被c整除．这是一个不肯定的结论。
3．如果整数a能被c整除，ｍ为任意整数，那么am也能被c整除
4．如果a、b、c这三个数中，a能被b整除，b又能被c整除，那么a一定能被c整除（这是整除的传递性）．
5. 如果a能被b整除，a又能被c整除，且b和c互质，那么a能被bc整除
三、完全平方数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
121 144 169 196 225 256 289 324 361 400
（二）数的约数和倍数（对于求大数之间的最大公约数问题，一般采用辗转相除法）
EG：6731÷2809＝2……1113；
2809÷1113＝2……583；
1113÷583＝1……530 ；
583÷530＝1……53 ；
530÷53＝10
所以6731和2809的最大公因数是53
（三）同余与剩余问题
一、余数性质：
1．基本公式：被除数=除数×商+余数
2．余数总是小于除数，即0≤d＜b
二、同余问题：
1．两个整数a、b,若他们除以m所得的余数相同，则称a与b对于m同余，或称a与b同余。
EG：23÷5余3；18÷5余3；则23与15同余。
2．对于同一个除数m,两个数和（差、积）的余数与余数的和同余。
EG:15÷7余1；18÷7余4；则：18+15=33,1+4=5,33÷7的余数与5同余。
18-15=3, 4-1=3,3÷7的余数与3同余。
18×15=270,1×4=4,270÷7的余数与4同余。
三、剩余问题：
1．同时满足被A整除余X，被B整除余Y……的数可以表示为nk+m，其中k为A、B的最小公倍数，m为同时满足被A整除余X，被B整除余Y……的最小的整数。
EG:11被3整除余2，被5整除余1的数字中的最小的数字，则15n+11也一定满足相同条件。
（四）自然数n次方尾数变化情况
0n的尾数始终是0；1n的尾数始终是1；
2n的尾数以“2、4、8、6”循环变化，循环周期是4；
3n的尾数以“3、9、7、1”循环变化，循环周期是4；
4n的尾数以“4、6”循环变化，循环周期是2；
5n、6n尾数不变始终是5、6；
7n的尾数以“7、9、3、1”循环变化，循环周期是4；
8n的尾数以“8、4、2、6”循环变化，循环周期是4；
9n的尾数以“9、1”循环变化，循环周期是2。
（五）常用计算技巧
一、尾数法：
1．两个数的尾数之和等于和的尾数，两个数的尾数之差等于差的尾数，两个数的尾数之积等于积的尾数。
2．如果出现了除法，请尽量不要使用尾数法。
EG: 199+1919+9999的尾数等于9+9+9=27→尾数是7。
二、弃九法：
1．把一个数的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是9，要减去9得0），这个数就叫做原数的弃九数。
2．当尾数法不能使用的时候，可以考虑采用“弃九法”， 两个数的弃九数之和等于和的弃九数，两个数的弃九数之差等于差的弃九数，两个数的弃九数之积等于积的弃九数。
三、提取公因式法：
（六）解不定方程
一、利用数的奇偶性解不定方程：
奇数+奇数=偶数；偶数+偶数=偶数；奇数+偶数=奇数；奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数
二、利用数的质合性解不定方程：
1既不是质数也不是合数；2是唯一的一个偶质数；20以内的质数：2,3,5,7,11,13,17,19
三、利用数的整除性解不定方程：
四、利用数的尾数法等技巧解不定方程：
（七）计算公式及应用
一、基本运算律：
加法交换律a+b=b+a;加法结合律（a+b）+c=a+(b+c);乘法交换律a*b=b*a;乘法结合律（a×b）×c=a×（b×c）；乘法分配律a*(b+c)=a*b+a*c；幂次交换律：am×an= an×am = am+n; 幂次结合律：(am)n= (an)m = amn; 幂次分配律：(a×b)n= an×bn 除法同乘法。
二、运算公式：
完全平方公式：(a士b)2= a2±2ab+ b2；平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全立方公式：(a±b)
3=a3±3a2b+3ab2±b3；立方和差公式：a3±b3=(a±b)(a2ab+b2)；阶乘：n!=1×2×3×…×n
0!=1.
三、数列求和：
1．等差数列
通项公式：an=a1+(n-1)d ；递推公式：an=am+(n-m)d ; 求和公式：Sn= ；对称公式：am+an=ai+aj，其中m+n=i+j ; 中项求和公式：①当n为奇数时，等差中项为：
即 ; ②当n为偶数时，等差中项为：
③ 等差中项：若a、ｂ、c成等差数列，则ａ＋ｃ＝２ｂ→ｂ＝（ａ＋ｃ）／２
２．等比数列
通项公式： 递推公式： 求和公式：
对称公式：
３．平方数列
求和公式：
４．立方数列
求和公式：
５．裂项公式
（八）几何公式及应用
一、必备公式：
１．角度公式：ｎ边形内角和＝（ｎ－２）×１８０°
２．平面几何公式：
三角形 正方形 长方形 圆形 梯形 平行四边形 菱形 扇形
周长
面积
备注
３．立体几何公式
表面积 体积
长方体
正方体
球体
圆柱体
圆锥体
二、必备结论：
１．平面图形：①周长一定，越趋近于圆，面积越大；②面积一定，越趋近于圆，周长越小。
２．立体图形：①表面积一定，越趋近于球，体积越大；体积一定，越趋近于球，表面积越小。
３．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；较小的角对应边也较小。
（九）容斥问题
１．当题目中出现两个集合时：A∪B=A+B-A∩B
２．当题目中出现三个集合时：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C
３．利用公式法与图示法
（十）抽屉原理
１．数学运算提干中要求“至少和保证。。。”的一些题目们可以应用该原理解决。
２．将多于ｎ件的物品任意放到ｎ个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品件数不少于２件。
３．将多于ｍ×ｎ件的物品任意放到ｎ个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于（ｍ＋１）件。
（十一）平均数问题
一、公式：
１．算术平均数：
２．几何平均数：
３．加权平均数：
二、十字交叉法：
找出各部分平均值及总体的平均值；平均值间交叉作差，写出部分对应量或对应量的比，得到十字竖式；利用比例关系解答；
两部分混合，第一部分平均值为ａ，第二部分平均值为ｂ（假设ａ＞ｂ），混合后的平均值为ｒ，利用十字交叉法有：
（十二）和差倍比问题
一、 基本概念：
1．和倍关系：已知两个及两个以上的数之和与他们之间的倍数关系，求这两个数或这些数各是多少的问题，称为和倍问题。
2．差倍关系：已知两个数的差及其倍数关系，求这两个数各是多少的问题，称为差倍问题。
二、基本公式：
1．和倍关系：和÷（倍数+1）=1倍量，1倍量×倍数=几倍量；
2．差倍关系：差÷（倍数-1）=1倍量，1倍量×倍数=几倍量；
（十三）浓度问题
1．浓度问题的基本公式：浓度=溶液溶质=溶剂溶质溶质=溶液溶剂溶液
2．浓度问题中的蒸发情况：“溶质”量是不会因为蒸发而增多或减少的，“蒸发”时，浓度的变化只与溶剂的变化有关。
3.一种高浓度的溶液A和一种低浓度的溶液C混合成一种溶液B，那么溶液B的浓度肯定介于溶液A的浓度和溶液C的浓度之间。
4.解答溶液的多次混合问题时，要把握好混合的先后顺序：
设原溶液为M毫升，每次操作先倒出N毫升溶液，再倒入N毫升清水，反复操作n次时，
新溶液浓度=原溶液浓度×（MNM）n；
设原溶液为M毫升，每次操作先倒入N毫升清水，再倒出N毫升溶液，反复操作n次时，
新溶液浓度=原溶液浓度×（NMM）n。
5．解题多用十字交叉法。
（十四）日期问题
一、闰年判定：
1．非100的倍数的年份，能被4整除的是闰年（如2008年）
2．是100的倍数的年份，能被400整除的是闰年（如2000年，1900年不是闰年）
3．特例：能被400整除的年份中3200年不是闰年
二、掌握日期与星期数的关系
1.相邻相同“星期数”时，日期的奇偶交替变化：同一月份中，若星期N的日期数为奇数，则与之相邻的星期N必为偶数；与之对应的，若星期N的日期数为偶数，则与之相邻的星期N必为奇数。
2.有关M天后是星期几问题：（M+今天的星期数）÷7，余数余几，星期数的增长数即为几。
三、掌握年份与周数的关系
1．平年共有52周余一天，闰年有52周余两天。
2．若N年时，某天的星期数为A，那么M年的同一天星期数为A+(M-N+X)。（X为N年与M年间闰年的个数）
四、掌握日期与周数的关系
