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2019-2020年高中数学 《基本不等式的证明（2）》教案4 苏教版必修5【三维目标】：一、知识与技能1.进一步掌握基本不等式；2.学会推导并掌握均值不等式定理；3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。
4.使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用。
二、过程与方法通过几个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
三、情感、态度与价值观引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点与难点】：重点：均值不等式定理的证明及应用。
难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。
【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a2．基本不等式：如果,是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 我们称的算术平均数，称的几何平均数，ab b a ab b a≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求,都是实数，而后者要求,都是正数。
二、研探新知最值定理：已知都是正数， ①如果积是定值，那么当时，和有最小值；②如果和是定值，那么当时，积有最大值．证明：∵， ∴ ，①当 (定值)时， ∴，∵上式当时取“”， ∴当时有；②当 (定值)时， ∴，∵上式当时取“”∴当时有．说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：①最值的含义（“”取最小值，“”取最大值）；②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。
③函数式中各项必须都是正数;④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （1）求 的最值，并求取最值时的的值。
2019-2020学年高二数学 不等式教案8 苏教版教材：不等式证明三（分析法）目的：要求学生学会用分析法证明不等式。
过程：一、 介绍“分析法”：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。
二、 例一、求证：5273<+证： ∵052,073>>+ 综合法：只需证明：22)52()73(<+ ∵21 < 25 展开得： 2021210<+ ∴521<即： 10212< ∴10212< ∴ 521< ∴2021210<+ 即： 21 < 25（显然成立） ∴22)52()73(<+ ∴5273<+ ∴5273<+例二、设x > 0，y > 0，证明不等式：31332122)()(y x y x +>+ 证一：（分析法）所证不等式即：233322)()(y x y x +>+ 即：33662222662)(3y x y x y x y x y x ++>+++ 即：3322222)(3y x y x y x >+只需证：xy y x 3222>+ ∵xy xy y x 32222>≥+成立∴ 31332122)()(y x y x +>+证二：（综合法）∵33662222663226)(3)(y x y x y x y x y x y x ++≥+++=+ 2333366)(2y x y x y x +=++> ∵x > 0，y > 0， ∴31332122)()(y x y x +>+ 例三、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0证一：（综合法）∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c )2= 0展开得：2222c b a ca bc ab ++-=++∴ab + bc + ca ≤ 0 证二：（分析法）要证ab + bc + ca ≤ 0 ∵a + b + c = 0故只需证 ab + bc + ca ≤ (a + b + c )2即证：0222≥+++++ca bc ab c b a即：0])()()[(21222≥+++++a c c b b a （显然） ∴原式成立证三：∵a + b + c = 0 ∴ c = a + b∴ab + bc + ca = ab + (a + b )c = ab (a + b )2=a 2b 2 ab= 0]43)2[(22≤++-b b a 例四、（课本例）证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。
2019-2020学年高二数学 不等式教案5 苏教版教材：极值定理的应用目的：要求学生更熟悉基本不等式和极值定理，从而更熟练地处理一些最值问题。
过程：一、 复习：基本不等式、极值定理二、 例题：1．求函数)0(,322>+=x x x y 的最大值，下列解法是否正确？为什么？ 解一： 3322243212311232=⋅⋅≥++=+=xx x x x x x x y ∴3min 43=y 解二：x x x x x y 623223222=⋅≥+=当x x 322=即2123=x 时 633min 3242123221262==⋅=y 答：以上两种解法均有错误。
解一错在取不到“=”，即不存在x 使得x x x 2122==；解二错在x 62不是定值（常数） 正确的解法是：33322236232932323232323232==⋅⋅≥++=+=x x x x x x x x y 当且仅当x x 2322=即263=x 时3min 3623=y 2．若14<<-x ，求22222-+-x x x 的最值 解：])1(1)1([21]11)1[(2111)1(21222222--+---=-+-=-+-⋅=-+-x x x x x x x x x ∵14<<-x ∴0)1(>--x 0)1(1>--x 从而2])1(1)1([≥--+--x x 1])1(1)1([21-≤--+---x x 即1)2222(min 2-=-+-x x x3．设+∈R x 且1222=+y x ，求21y x +的最大值 解：∵0>x ∴)221(21222y x y x +⋅=+ 又2321)2()221(2222=++=++y x y x ∴423)2321(212=⋅≤+y x 即423)1(max 2=+y x 4．已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x +的最小值 解：y x +y xb x ay b a y b x ay x y x +++=++=⋅+=))((1)( 2)(2b a yxb x ay b a +=⋅++≥ 当且仅当y xb x ay =即ba y x =时2min )()(b a y x +=+ 三、 关于应用题1．P11例（即本章开头提出的问题）（略）2．将一块边长为a 的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？ 解：设剪去的小正方形的边长为x则其容积为)20(,)2(2a x x a x V <<-= )2()2(441x a x a x V -⋅-⋅⋅= 272]3)2()2(4[4133a x a x a x =-+-+≤ 当且仅当x a x 24-=即6a x =时取“=”即当剪去的小正方形的边长为6a 时，铁盒的容积为2723a 四、 作业：P12 练习4 习题6.2 7补充：1．求下列函数的最值： 1 )(,422+∈+=R x xx y (min=6) 2)20(,)2(2a x x a x y <<-= (272max 3a =) 2．10>x 时求236x x y +=的最小值，x xy 362+=的最小值)429,9(3 2设]27,91[∈x ，求)3(log 27log 33x x y ⋅=的最大值(5) 3若10<<x , 求)1(24x x y -=的最大值)332,274(=x 4若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx 11+的最小值)223(+ 3．若0>>b a ，求证：)(1b a b a -+的最小值为3 4．制作一个容积为316m π的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）)4,2(m h m R ==。
2019-2020年高考数学大一轮复习7.4基本不等式及其应用学案理苏教版导学目标：1. 了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大 (小)值问题.自主梳理—a + b1 .基本不等式:.....ab w 2(1) 基本不等式成立的条件： ____________ . (2) 等号成立的条件：当且仅当 _______ 时取等号. 2. 几个重要的不等式2 2(1) a + b > ______ ( a , b € R).b a r(2) a + b 》——(a , b 同号).2. 已知函数 f (x ) = 2 x , a 、b € (0,+^), A = f 宁, B = f ( . ab ),则A B 、C 的大小关系是 _________________ .3.下列函数中，最小值为 4的函数是(填上正确的序号).4① y = x + x ； ② y = sin x + (0< x <n );sin x ③ y = e x + 4e ；④ y = log 3X + log x 81.设a >0, b >0，则a , b 的算术平均数为 ____________ ，几何平均数为 式可叙述为： ________________________________________ .，基本不等4. 利用基本不等式求最值问题 已知x >0, y >0,贝U (1) 如果积xy 是定值p ,那么当且仅当 _________ 时，x + y 有最 ______值是 定和最小).(2) 如果和x + y 是定值p ,那么当且仅当 _________ 时，xy 有最 ______值是 (简记：积 __(简记：和定积最大).自我检测1. a >b >0” 是“ ab <_______________ 条件. 3.算术平均数与几何平均数课堂活动医突破考点研析热点14 .设函数f (x) = 2x + 一一1( x<0)，贝U f (x)最大值为_____________xx5. (xx •山东)若对任意x>0, 2丄3丄4 w a恒成立，则a的取值范围为__________x十3x十1探究点一利用基本不等式求最值1 9例1 (1)已知x>0, y>0,且- + -= 1，求x+ y的最小值;x y5 1⑵已知x<-，求函数y= 4x—2+ 的最大值；4 4x—5y € (0,+^)且2x + 8y—xy = 0,求x+ y 的最小值.⑶若X,、 1 4变式迁移1 (xx •重庆改编)已知a>0, b>0, a+ b= 2，贝U y=-+匚的最小值是 ____________a b探究点二基本不等式在证明不等式中的应用1 1例 2 已知a>0, b>0, a+ b= 1,求证：(1 +-)(1 +-) >9.a b变式迁移2 已知x>0, y>0, z>0.求证：y+z x+yz+z > 8探究点三基本不等式的实际应用例3 (xx •镇江模拟)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x> 10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+ 48x(单位：元).(1) 写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；(2) 该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？购地总费用(注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用= 建筑总面积)课堂活动医突破考点研析热点变式迁移3某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在 xx 年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量 x 万件与年促销费t万元之间满足3-x 与t + 1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是 1万件，已知xx 年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的 150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完.（1） 将xx 年的利润y （万元）表示为促销费t （万元）的函数. （2）该企业xx 年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：禾叶润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）1. a + bab 对a 、b € R 都成立；ab 成立的条件是 a 》0, b 》0； -+二》2成2a b立的条件是ab >0，即a , b 同号.2.利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时, 积有最大值，积为定值时，和有最小值.（满分：90分）一、填空题（每小题6分，共48分）1 11 .设 a >0, b >0, 若.3是才与才的等比中项，则a +b 的最小值为3.使用基本不等式求最值时,当a >0,0), (0 , + O ）上是减函数；当若等号不成立，应改用单调性法.一般地函数y = ax + -,Xa <0,b >0时，函数在（—O , b 一一 OO,b -km? |0）, （0 ,+O ）上是增函数；当a >0,b >0 时函数在 —yj ^, 0 , 上是增函数；当a <0,b <0时，可作如下变形：y =—axx 来解决最值问题. b是减函数,0,2. 已知不等式(x+ y) g+ a >9对任意正实数x, y恒成立，则正实数a的最小值为3. ___________________________________________ 已知a>0，b>0，则a+ b+ 2寸ab的最小值是______________________________________________ .4. (xx •南京模拟)一批货物随17列货车从A市以a km/h的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400 km,为了安全，两列车之间的距离不得小于20 1 2 3 km,那么这批货物全部运到B市，最快需要_________ h.r3x —y —6W05. 设x, y满足约束条件J x—y+2>0 ，若目标函数z = ax+ by ( a>0, b>0)的最/A0, y>02 3大值为12,则-+厂的最小值为a b ------------6. _________________________________________________________________ (xx •浙江)若正实数x, y满足2x+ y + 6 = xy，则xy的最小值是___________________________ .一一27. (xx •江苏，二、解答题(共42分)49. (14分)(1)已知0<x<3，求x(4 —3x)的最大值；3⑵点(x, y)在直线x+ 2y= 3上移动，求2 + 4y的最小值.10. (14分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千920v 米/小时)之间有函数关系y = v2+ 3v+ 1 600 (v>0).2 在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？3 为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？11. (14分)某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为 1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗8)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数 f (x) = ■-的图象交于P, Q两点，则线段PC长的最小值是__________ .&已知f (x) = 32x—(k+ 1)3x+ 2,当x€ R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围为原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管).(1) 设该厂每x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在 关于x 的函数关系式； (2) 求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用 小值.x 天内总的保管费用 y i y 最小，并求出这个最学案34基本不等式及其应用答案自主梳理1. (1) a >0, b >0 (2) a = b2.(1)2 ab (2)2 (4) w 3* ab 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 4.(1) x = y 小 2 p (2) x = y 大 自我检测 1.充分不必要 15.【5，+s) 课堂活动区 例1解题导引 2. A w B< C 3.③ 4. — 2 2— 1 使用基本不等式求最 值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式 (一般是凑和 或积为定值的形式)，构造出基本不等式的形式再进行求解•基本不等式成立的条件是“一 正、二定、三相等”，“三相等”就是必须验证等号成立的条件.“ 1 9解 (1) - x >0, y >0, -+ = 1,x y 9) y 9x二x + y = (x + y) -^ = +一 + 10>6+ 10= 16. x y x yy 9x当且仅当x =-时，上式等号成立，又xy x = 4, y = 12 时，(x + y ) min = 16.5 ⑵ T x < ,. 5 — 4x >0. 4 1 y =4x — 2+ 厂基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化, 5 - 4x + 11 9x +y =1,+ 3 5 — 4x1+ 3= 1,5 — 4x ' 1当且仅当5 — 4x =5 — 4x即x = 1时，上式等号成立，故当 x = 1时，y max = 1.2 8(3)由 2x + 8y — xy = 0,得 2x + 8y = xy ,. y + -= 1.w — 2 -4x纠F 訪!0+汨=10 + 2 4y + x> 10+ 2X 2X••• x + y = (x + y ) 4y v x y 丿 \4y x 当且仅当丄=-，即x = 2y 时取等号.x y又 2x + 8y — xy = 0,「. x = 12 , y = 6. •••当 x = 12, xy =18,变式迁移1y = 6时，x + y 取最小值 9 2 18. 解析•/ a + b = 2,「. a + b ~ =1.5 )=2+(T +2a )》2+ b 92a b 亦 2a =2(当且仅当"b =亦，即b = 2a1 4 1 4 a + b 52a b •a +b =(a +b )(2 2「'b 空a 1 4 9时，“=”成立)，故y = -+-的最小值为-. a b 2例2解题导引 “ 1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到，也会给解决问题提供简 捷的方法. 在不等式证明时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤， 有误的一种方法. 证明 方法一 因为a >0, b >0, a + b = 1, 1 a + b b 1 a所以 1 + 二=1 + = 2+ .同理 1 +- = 2+匚.a a ab b1 1 b a 所以(1 + 詐 + b =(2+a )(2 + bb a=5+ 2( — +-) > 5+ 4 = 9.a b1 1 所以(1 + a )(1 + b )》9(当且仅当 1 1 1 万法二(1 + 詐 + 6)=1+a +b +aba +b 1 2=1+ + —= 1 + ，因为 a , b 为正数，a + b = 1, ab ab ab a + b 2 1 所以 ab <(-^)2= 4，于1 1 + -) > 1+ 8= 9(当且仅当a = 时等号成立). b2 变式迁移2 证明 ■/ x >0, y >0, z >0, y z 2 yz x z 2 xz• +-> >0, - + -》 >0, x x x y y yx y 2 'xy + > >0. z z z.y +z x + z x + y…x x y y z z 》8@ •辰•顶=8a =b = 1时等号成立).1 1而且也是检验转化是否 因此(1 + xyz当且仅当x = y = z 时等号成立.y z x z 所以(y +x )(y +?(x + y )> 8. zz2•在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点： （1）先理解题意，设变量,般把要求最值的变量定为函数；（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问题；（3）在定义域内求函数最值；（4）正确写出答案.解（1）依题意得2 160 X 10 000y= （560 + 48x ） + —2"000^10 800 *=560+ 48x + -------- （ x > 10, x € N ）. x10 800 f ---------------------- （2） T x >0,「. 48x + ——48X 10 800 = 1 440 ,X10 800当且仅当48x = ，即x = 15时取到“=”，x此时，平均综合费用的最小值为 560 + 1 440 = 2 000（元）.答 当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为元.k3解（1）由题意可设3-x =-, t + 12x = 1 代入，得 k = 2. • x = 3-苻1.由题意，生产x 万件化妆品正好销完，由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,—t + 98t + 35得年利润y = （ t > 0）.-12+ 98t + 35 （2）y =[+ —=50 -+ 132•当促销费投入7万元时，企业的年利润最大. 课后练习区 1. 4 2. 4解析不等式（x + y ）： +对任意正实数x,y 恒成立，则1+ a +E +齐a + 2^+1> 9,,a 》2或〔a w — 4（舍去）.•••正实数a 的最小值为4. 3. 4例3解题导引 1.用基本不等式解应用题的思维程序为: 变形 转化由题设写 出函数利用基本 不等式求得最值结论解析因为】+1+ 2a b2 000变式迁移将 t = 0,当年生产 •• •年生产成本=年生产费用+固定费用，•年生产成本为 32x + 3= 32 3 -占 当销售x （万件）时，年销售收入为 1 150%+ 尹 x 万件时,+ 3.32 3-占 + 32 X t + 1= 50- 2 16= 42（万兀）， t + 1 32 加 》—=，即 t = 7 时，y max = 42,当且仅当 +豊< 50-=2Tb + ab》4当且仅当a =b 且:ab ， 即a = b = 1时，取“=”号.4. 8=> 4.& (―汽 2 '2— 1)解析由f (x )>0得3 2x—(k + 1)x+ 2>0,解得 k + 1<3x + 彳，而 3x + #>2 . 2, 解析第一列货车到达B 市的时间为4a 0 h ，由于两列货车的间距不得小于a400，不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线 + 2 = 0与直线3x — y — 6= 0的交点(4,6)时，目标函数 3〕. b 丿12,即 4a + 6b = 12,即 2a + 3b = 6，而| + 3= : + a b \a ax + by = z ( a >0, b >0)过直线 x — yz = ax + by ( a >0, b >0)取得最大值2a + 3b 13 b a 13 25 =6 + a + b + 2=6(a=b = 6时，取“=”).6. 18解析 由 x >0, y >0,2x + y + 6= xy ,得xy >2 2xy + 6(当且仅当 2x = y 时，取“=”),即(xy )2— 2 2 .xy — 6>0,「•( xy — 3 ,；2) •( xy + .* 2) > 0. 又■/ ,xy >0,^ .'xy >3 2，即 xy > 18.故xy 的最小值为18.7. 42解析 过原点的直线与f (x )= -交于P 、Q 两点,x则直线的斜率 k >0,设直线方程为y =kx ,由 $y=kx ,2y=x ,y =-V2k ,k ，-畅),Q二PQ =km ,所以第17列货车到达时间为 ，当且仅当400 16akm/h 时成立，所以最快需要25 5.6 解析••• k + 1<2 2 , k<2 2 - 1.” 49•解 (1) T 0<x <3，二 0<3x <4.3 1 1 ,<3x +4 - 3x\ 4 八• x (4 - 3x ) = (3x )(4 - 3x ) < 22= , (5 分) 3 3,2,32当且仅当3x = 4- 3x ，即x = 3时，"=”成立. 2 4•••当x = 3时,x (4 — 3x )的最大值为 亍(7分) (2)已知点(x , y )在直线x + 2y = 3上移动，• X + 2y = 3.• 2x + 4y >2 2x 4y = 2 2x +2y = 2 23 = 4 2.(12 分)3 3••当 x = 2， y = 4时,2 + 4的最小值为4 2.(14 分)1 600当v = v —，即v = 40千米/小时时，车流量最大,（2）据题意有- > 10, （11分）v + 3v + 1 600 2 化简得 v - 89v + 1 600 < 0, 即 卩（V — 25）（ v -64） < 0, 所以 25W v < 64. 所以汽车的平均速度应控制在 [25,64]这个范围内. （14 分）11.解（1）每次购买原材料后，当天用掉的 400千克原材料不需要保管费，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管 2天，第四天用掉的 400千克原材料需保管 3天，…，第x 天（也就是下次购买原材料的前一天 ）用掉最后的400 千克原材料需保管（x - 1）天.•每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用 y 1 = 400X 0.03 X [1 + 2 + 3+ — + （x -1）]2=6x - 6x .（6 分）（2）由（1）可知，购买一次原材料的总费用为 •购买一次原材料平均每天支付的总费用为y = l(6x 2— 6x + 600) + 1.5 X 400= 600+ 6x + 594.(9 分)x x当且仅当 f x y2 = 4,x + 2y = 3,即x =2，y =3时，“=”成立.10.解,y 920v (1) y= v 2+ 3v + 1 600 920 1 600 v + -v920920-11.08.(6最大值为11.08千辆/小时.（9分）26x —6x + 1 600v600 八• y>2 f _ ・6x + 594 = 714, (12 分)当且仅当600= 6x,即x= 10时，取等号x•该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最小，且最小为714元.（14导学目标：1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.自主梳理1 •多面体的结构特征(1) 棱柱的上下底面_________ ，侧棱都__________ 且 __________ ，上底面和下底面是_______ 的多边形.侧棱和底面___________ 的棱柱叫做直棱柱. 底面为 _________ 的直棱柱叫正棱柱.(2) 棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个 _______ 的三角形.棱锥的底面是_______ ，且顶点在底面的正投影是___________ ，这样的棱锥为正棱锥.(3) 棱台可由___________________ 的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形_______ . _________ 被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台.2. 旋转体的结构特征将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做_________ 、_______ 、________ ，这条直线叫做____ .垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做__________ .半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做_____________ ，球面围成的几何体叫做________ ，简称____ .3. 空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用 _________ 画法，其规则是：(1) 在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使/ xOz= 90°, 且/ yOz= 90°.(2) 画直观图时把它们画成对应的x'轴、y'轴和z'轴，它们相交于点0'，并使/x' O' y'= ______________________ ，/ x' O' z'= 90°, x'轴和y'轴所确定的平面表示水平面.(3) 已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于的线段.⑷已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度______________ ，平行于y轴的线段，长度变为_____________ .自我检测1 .下列四个条件能使棱柱为正四棱柱的是____________ (填序号).①底面是正方形，有两个侧面是矩形；②底面是正方形，有两个侧面垂直于底面；③底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直；④每个侧面都是全等矩形的四棱柱.2. 用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是 _______ .3•如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________ .4. 长方体AG中，从同一个顶点出发的三条棱长分别是a, b, c,则这个长方体的外接球的半径是_________ .5. _____________________________ 如图所示，直观图四边形A B' C' D'是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是.课堂活动医突破考点研析热点探究点一空间几何体的结构例1给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平 面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台； ③若三棱锥的三条侧棱两两垂直， 则其三 个侧面也两两垂直；④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；⑥棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是 _________ •变式迁移1下列结论正确的是 __________ （填序号）•① 各个面都是三角形的几何体是三棱锥；② 以三角形的一条边所在直线为旋转轴， 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆 锥；③ 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；④ 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线. 探究点二空间几何体的直观图例2 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形，则原平面四边形的面积等于 _________ •变式迁移2 等腰梯形ABCD 上底CD= 1,腰AD= CB= Q 2,下底AB= 3,以下底所在直 线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图 A B' C D'的面积为 _____________ •探究点三简单组合体的有关计算例3棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 图所示，求图中三角形（正四面体的截面变式迁移3如图，一个正方体内接于高为40 cm 底面半径为的棱长是 ________ cm.1 •熟练掌握几何体的结构特征与对应直观图之间的相互转化，正确地识别和画出空间 几何体的直观图是解决空间几何体问题的基础和保证.若过该球球心的一个截面如 30 cm 的圆锥，则正方体直棱柱底面为正多边形正棱柱 、斜棱柱3•正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形、内切圆半径、外接圆半 径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决.4•圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点，弄清旋转轴、旋转面、轴截 面.5.用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积（满分：90分）一、填空题（每小题6分，共48分） 1 .下列命题正确的是 _________ （填序号）.① 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ② 有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体叫棱锥；③ 有两个面平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的 几何体叫棱柱.2•如图为一个简单多面体的表面展开图 （沿虚线折叠即可还原）则这个多面体的顶点数为 ________ .3.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3倍，轴截面的面积等于 392 cm?,母线与轴的夹角为 45°,则这个圆台的高为 _____________ c m,母线长为 _________ cm,上、下底面半径 分另寸为 ______ cm 禾廿 ______ cm.4. _________________________________ 如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为 顶点的圆锥而得到的， 现用一个平面去截这个几何体， 若这个平面垂直于圆柱底面所在的平 面，那么所截得的图形可能是图中的 .（把所有可能的图的序号都填上 ）① ② ③ ④5. 已知水平放置的△ ABC 勺直观图△ A B C （斜二测画法）是边长为«2a 的正三角形，2.棱柱的分类（按侧棱与底面的位置关系）：棱柱＜S'与原平面图形的面积 S 之间的关则原△ ABC勺面积为_____________________________________________________________ .6. 棱长为1的正方体ABC—ABCD的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA、DD的中点，则直线EF被球0截得的线段长为_________ .7. （xx •四川）如图，半径为 R 的球0中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的 表面积与该圆柱的侧面积之差是 ______________ .& （xx •连云港模拟）棱长为a 的正四面体ABCD 勺四个顶点均在一个球面上，则此球的 半径R 为 _____________ .二、解答题（共42分）9. （12分）正四棱台AC 的高是17 cm ，两底面的边长分别是 4 cm 和16 cm ，求这个棱 台的侧棱长和斜高.10. （14分）用斜二测画法画出如图中水平放置的四边形11. （16分）一个圆锥的底面半径为 （1）用x 表示圆柱的轴截面面积 S ;⑵当x 为何值时，S 最大?学案38 空间几何体答案自主梳理1. (1)平行平行长度相等全等垂直正多边形 (2)公共顶点 正多边形底 面中心 (3)平行于棱锥底面 相似正棱锥2.圆柱 圆锥 圆台 轴底面 球面球体 球3.斜二测 (2)45 ° (或135°) (3) x '轴、y '轴或z '轴(4)不变 原来的一半自我检测1.③OABC 勺直观图.2，高为6,在其中有一个高为 x 的内接圆柱.2. 球体3. 60°解析设母线长为I，底面半径为r，则n l = 2 n r.r 1•••「= - ,•••母线与高的夹角为30°.•••圆锥的顶角为60°.解析长方体的外接球的直径长为长方体的体对角线长，即2R= a2+ b2+ c2,所以R a2+ b2+ c25. 2+ 2解析把直观图还原为平面图形得：直角梯形ABCDK AB= 2,BC= 2+ 1, AD= 1,•面积为(2 + 2) X 2= 2+〔 2.课堂活动区例1解题导引解决这种判断题的关键是：①准确理解棱柱、棱锥、棱台的概念；② 正确运用平行、垂直的判定及性质定理进行判断，整体把握立体几何知识.答案③④⑤⑥解析①错误，因为棱柱的底面不一定是正多边形；②错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到棱台；③正确，因为三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；④正确, 因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；⑤正确，如图所示，正方体AC中的四棱锥C—ABC四个面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知•因此，正确命题的序号是③④⑤⑥.变式迁移1④ 解析2 's① 错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体， 各面都是三角形，但它不是棱锥.② 错误•如下图，若△ ABC 不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所 得的几何体都不是圆锥.③错误•若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.④正确.例2解题导引 本题是已知直观图，探求原平面图形，考查逆向思维能力.要熟悉运 用斜二测画法画水平放置的直观图的基本规则， 注意直观图中的线段、 角与原图中的对应线段、角的关系.答案 2 :'2a 4 5解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知， 在x 轴上（或与x 轴平行）的线段，其长度保持不变；在 y 轴上（或与y 轴平行）的线段，其长度变为原来的一半，且/x ' O' y '= 45° （或135° ），所以，若设原平面图形的面积为 S,则其直观图的面积为S'变式迁移2 解析5C D 的面积为 S'= 2 X (1 + 3) x 例3解题导引 解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征， 间想象能力，把立体图和截面图对照分析，有机结合，找出几何体中的数量关系, 图形的直观性，常常画一个截面圆作为衬托.解 如图所示，△ ABE 为题中的三角形，=2—22. s = js.可以得出个平面图形的面积S 与它的直观图的面积 S'之间的关系是a 2,所以原平面四边形的面积2a乜42 .：a2 '•/ OE = 22- 1= 1•••直观图A B发挥自己的空为了增加由已知得 AB= 2, BE = 2X#= ：'3, BF = #BE= 2^3,二寸 4 - 4 二寸3,•••△ ABE 勺面积为 S= 2x BEX AF= 2x ;'3 x ^= ,''2.•••所求的三角形的面积为.-'2. 变式迁移3 120（3 - 2 ：2）解析作轴截面，P0= 40 cm , OA= 30 cm ,OC OP 刚 240- x —=——，即 = —, OA OP 3040 ' • x = 120(3 - 2 2).课后练习区 1.③2. 7解析 沿虚线折叠还原得几何体的直观图如下，则这个多面体的顶点数为 7.解析 画出圆台的轴截面， 如图，设O 、O 分别是上、下底面的中心，作AE 1 DC 于 E, 则有/ DA = 45° .由于下底面周长是上底面周长的 3倍，所以下底面半径是上底面半径的 3 倍，若设 AE= x ，贝U DE= x , AB= x , CD= 3x , AD= 2x ，于是轴截面的面积为：12 - x - (3x + x ) = 392，解得x = 14,则圆台的高等于14 cm,母线长为14, 2cm,上、下 底面半径分别为 7 cm 和21 cm.4. ①③5. ,6a 23. 14 14 2 7 2123A O r BD E解析 在斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为 1 ：孑，则易知解析 由题知球0半径为冷，球心0到直线EF 的距离为2由垂径定理可知直线 EF 被球O 截得的线段长A JF! =e7. 2n 氏解析 方法一 设圆柱的轴与球的半径的夹角为 a ，则圆柱高为2R COS a ，圆柱底面 半径为 R sin a ,• S 圆柱侧=2 n • R sin a ・2 R?os a = 2 n R sin 2 a .当 sin 2 a = 1 时，S 圆柱侧 最大为2n R ,此时， S 球表一 S 圆柱侧=4 n 氏一2n 氏=2 n R\方法二 设圆柱底面半径为r ，则其高为2 R — r 2.• S 圆柱侧=2 n r ・2 R —S'圆柱侧=4 n R — r 2 —」_ A /R — 令 S 圆柱侧=0,此时 S 球表——S 圆柱侧= 4 n R — 2 n R = 2 n R . 方法三 设圆柱底面半径为r ，则其高为2 jR — r 2,• S 圆柱侧=2 n r •2 R — r 2= 4 n r 2 R 2—W4n 」一一 = 2n R （当且仅当r 2= R — r ［即卩r = #R 时取“ =”）.•••当r =# R 时，S 圆柱侧 最大为2 n 巨此时S 球表一 S 圆柱侧=4 n R — 2 n R = 2 n R .8.解析如图所示，设正四面体 ABCD 内接于球O,由D 点向底面 ABC 乍垂线，垂足为 H 连结 AH OA则可求得AH=^a ,DH = a 2 —•• S = j6a .6. ,2d = 2X 一2r , 24n r _2. r ,S' >0;当<R 时，S' <0. •••当 r =,S 圆柱侧取得最大值2 n R .〒a —R 2= R, 在Rt△ AOH中,解得社召9.解如图所示，设棱台的两底面的中心分别是 O 、O B 1C 1和BC 的中点分别是 日和E 连结 OO EE 、OB 、OB OE 、OE 则四边形 OB E O 和OEEO 都是直角梯形.（4分）■/ AB = 4 cm , AB= 16 cm ,••• OE = 2 cm , OE = 8 cm ,OB = 2 2 cm , OE = 8 2 cm , （8 分）• B B= O O+ （OB- OB 1） 2= 361 cm 2, E W= Od + （OE- OE 1）2= 325 cm 2, （10 分） • BB= 19 cm , EE = 5屮3 cm.答 这个棱台的侧棱长为19 cm ,斜高为5 13 cm.（12 分）10.解⑴画 x '轴，y '轴，使/ x ' O' y '= 45° .（4 分） x '轴上取D '、B'1 O' c' = 2OC在O' x '轴下方过点1使 D ' A = q DAO O（3）连结 O A , A '图.（14分）11. 上取C',使 D'作 D A ' // O' y ', B' = 0B 如图所示），在O' y '轴B ' ,C B',所得四边形 O A B' C 就是四边形 OABC 勺直观解（1）画出圆柱和圆锥的轴截面，如图，设圆柱的底面半径为 zQ x 2 — r ”x 八得6=〒，解得r = 2— 3.（6分）圆柱的轴截面面积小 xS = 2r • x = 2（2 — 3） • x2 2 八=—-x + 4x .（12 分） 32 2 2 2（2） T S =— 3X + 4x =— 3（ x — 3） + 6 •••当x = 3时，S 的最大值为6.（16分） /E F F r ，则由三角形相似可。
2019-2020年高考数学复习函数问题的题型与方法教案苏教版一．复习目标：1．了解映射的概念，理解函数的概念。
2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。
3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。
4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。
5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质。
6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。
二．考试要求：1．灵活运用函数概念、性质和不等式等知识以及分类讨论等方法，解函数综合题。
2．应用函数知识及思想方法，解决函数的最值问题、探索性问题与应用性问题，提高分析问题和解决问题的能力。
三．教学过程：（Ⅰ）函数的概念型问题函数概念的复习当然应该从函数的定义开始．函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．具体要求是：1．深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系．2．系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法．在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用．3．通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础．本部分内容的重点是不仅从认识上，而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体上把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识，对于给出解析式的函数，会求其反函数．本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导．其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合．函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础，不能仅满足会背诵定义，会做一些有关题目，要从联系、应用的角度求得理解上的深度，还要对确定函数三要素的类型、方法作好系统梳理，这样才能进一步为综合运用打好基础．复习的重点是求得对这些问题的系统认识，而不是急于做过难的综合题．㈠深化对函数概念的认识例1．下列函数中，不存在反函数的是（）分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法，请读者自己一试．此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D中函数不存在反函数．于是决定本题选D．说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键．由于函数三要素在函数概念中的重要地位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当然成了函数概念复习中的重要课题．㈡系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法1．求函数定义域的基本类型和常用方法由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围．它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练．这里的最高层次要求是给出的解析式还含有其他字例2．已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：分析：x的函数f(x)是由u=x与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量．由于f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知0＜u＜2，即0＜x＜2．求x的取值范围．解：(1)由0＜x＜2，得说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出f(x)的解析式，由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域．关键在于理解复合函数的意义，用好换元法．(2)是二种类型的综合．求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到．2．求函数值域的基本类型和常用方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的．其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．3．求函数解析式举例例3．已知xy＜0，并且4x-9y=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．分析： 4x-9y=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x)，但加上条件xy＜0呢？所以因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞，0)∪(0，＋∞)．说明：本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系．任何一个函数的解析式都可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式．求函数解析式还有两类问题：(1)求常见函数的解析式．由于常见函数(一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式．这里不再举例．(2)从生产、生活中产生的函数关系的确定．这要把有关学科知识，生活经验与函数概念结合起来，举例也宜放在函数复习的以后部分．（Ⅱ）函数与方程的思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
第一教时教材：不等式、不等式的综合性质目的：第一让学生掌握不等式的一个等价关系，认识并会证明不等式的基天性质ⅠⅡ。
过程：一、引入新课1．世界上全部的事物不等是绝对的，相等是相对的。
2．过去我们已经接触过很多不等式进而提出课题二、几个与不等式相关的名称（例略）1．“同向不等式与异向不等式”2．“绝对不等式与矛盾不等式”三、不等式的一个等价关系（充要条件）1．从实数与数轴上的点一一对应谈起a b a b 0 a b a b 0 a b a b 02．应用：例一比较(a 3)(a 5) 与 (a 2)(a 4) 的大小解：（取差） (a 3)(a 5) ( a 2)(a 4)(a 2 2a 15) (a 2 2a 8) 7 0∴ (a 3)(a 5) < ( a 2)(a 4)例二已知 x 0,比较 ( x 2 1) 2与 x4 x2 1的大小解：（取差） (x 21) 2 ( x 4 x 2 1)x4 2x 2 1 x 4 x2 1 x2∵ x 0 ∴ x2 0 进而 ( x 2 1) 2> x4 x2 1 小结：步骤：作差—变形—判断—结论1 和10例三比较大小 1．3 21 3 2解：∵3 2∵ ( 3 2) 2 ( 10) 2 2 6 5 24 25 0 ∴1 < 103 22．b和bm ( , ,m R) a a m a b解：（取差） b b m m(b a) ∵ ( a, b,m R )a a m a(a m)∴当 b a 时b>b m；当 b a 时b=b m；当 b a 时b<b m a a m a a m a a m3．设a 0 且 a 1 ， t 0比较1log a t 与 log a t1的大小2 2解：t 1t ( t 1)2 0 ∴ t 1 t2 2 2当 a 1 时1log a t ≤ log at 1；当0 a 1 时1log a t ≥ log a t 12 2 2 2四、不等式的性质1．性质 1：假如a b ，那么 b a；假如 b a ，那么 a b （对称性）证：∵ a b ∴ a b 0 由正数的相反数是负数(a b) 0 b a 0 b a2 ．性质 2：假如a b ， b c 那么 a c （传达性）证：∵ a b ， b c ∴a b 0 ， b c 0∵两个正数的和还是正数∴ (a b) (b c) 0a c 0 ∴ a c由对称性、性质 2 能够表示为假如 c b 且 b a 那么c a五、小结： 1．不等式的观点 2 ．一个充要条件3 ．性质 1、 2六、作业：P5 练习P8 习题 6.1 1 — 3增补题： 1．若 2 x 4 y 1 ，比较x 2 y2 与 1 的大小20解：x 1 4 y x2 y 2 1 == (5 y 1)2 0 ∴ x 2 y2 ≥12 20 5 202．比较 2sin 与 sin2 的大小 (0< <2 )略解： 2sin sin2 =2sin (1 cos )当(0, ) 时 2sin (1 cos ) ≥ 0 2sin ≥ sin2当( ,2 ) 时 2sin (1 cos )<0 2sin <sin23．设a 0 且 a 1 比较log a(a3 1) 与 log a (a 2 1) 的大小解： (a 3 1) (a 2 1) a2 (a 1)当 0 a 1时a3 1 a2 1 ∴ log a ( a3 1) > log a(a2 1)当 a 1 时a3 1 a 2 1 ∴ log a ( a3 1) > log a (a 2 1)∴总有 log a (a3 1) > log a (a2 1)。
高三数学专题复习-不等式苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：专题复习-不等式【高考要求】掌握基本不等式与一元二次不等式。
了解线性规划二. 学法指导：1、对于解含有参数的不等式，常常需要分类讨论，分类的原则是不重复、不遗漏，最后结果要按参数的不同范围分别表达。
（注意：此时不能取并集，这与对变量x 的分段讨论不同。
）2、不等式的应用不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式，求不等式中参数的取值范围；另一类是建立函数关系式，利用平均值不等式求解实际问题中的最大（小）值。
运用平均值不等式求最值：（a ＞0，b ＞0） 当为常数时，用求的最小值，当且仅当时“”ab a b ab a b a b +≥+==2 成立。
当为常数时，用求的最大值，当且仅当a b ab a b a b ab a b +≤+⎛⎝ ⎫⎭⎪≤+=22222时“＝”成立。
注意满足条件“一正，二定，三等”。
3、不等式的证明有以下常用方法 1）比较法：（1）作差法：欲证0B A B A >-⇔>即“作差→变形（因式分解或通分）→判定符号→结论” （2）作商法 ：欲证()0B 1BA0B A >>⇔>> 即“作商→变形→与1比大小→结论” 2）分析法：从待证的不等式出发，寻求不等式成立的充分条件的方法叫分析法，即“执果索因”。
即“要证原不等式成立只要证…只要证已知题设正确结论”⇐⇐⇐() 3）综合法：由已知条件和所学过的定义、定理、公理不断推导出所证命题成立的必要条件（由因导果），直至推导出命题的结论的方法叫综合法。
即：已知条件…结论⇒⇒⇒⇒A B在证明过程中，常用的不等式：（），，则，10022a b R a a b ∈≥-≥()（），，则2222a b R a b ab ∈+≥当且仅当时，“”成立。
a b ==（），，则32a b R a b ab ∈+≥+当且仅当时，“”成立。
a b ==（），，则422222a b R ab a b a b ∈≤+≤++()当且仅当时，“”成立。
2019-2020年高考数学答题策略与技巧教案一、每分必争1.答题时间共120分，而你要答分数为150分的考卷，算一算就知道，每分钟应该解答1分多的题目，所以每1分钟的时间都是重要的。
试卷发到手中首先完成必要的检查（是否有印刷不清楚的地方）与填涂。
之后剩下的时间就马上看试卷中可能使用到的公式，做到心中有数。
用心算简单的题目，必要时动一动笔也不是不行（你是写名字或是写一个字母没有人去区分）。
2.在分数上也是每分必争。
你得到89分与得到90分，虽然只差1分，但是有本质的不同，一个是不合格一个是合格。
高考中，你得556分与得557分，虽然只差1分，但是它决定你是否可以上重本线，关系到你的一生。
所以，在答卷的时候要精益求精。
对选择题的每一个选择支进行评估，看与你选的相似的那个是不是更准确？填空题的范围书写是不是集合形式，是不是少或多了一个端点？是不是有一个解应该舍去而没舍？解答题的步骤是不是按照公式、代数、结果的格式完成的，应用题是不是设、列、画（线性归化）、解、答？根据已知条件你还能联想到什么？把它写在考卷上，也许它就是你需要的关键的1分，为什么不去做呢？3.答题的时间紧张是所有同学的感觉，想让它变成宽松的方法只有一个，那就是学会放弃，准确的判断把该放弃的放弃，就为你多得1分提供了前提。
4.冷静一下，表面是耽误了时间，其实是为自己赢得了机会，可能创造出奇迹。
在头脑混乱的时候，不防停下来，喝口水，深吸一口气，再慢慢呼出，就在呼出的同时，你就会得到灵感。
5.题目分析受挫，很可能是一个重要的已知条件被你忽略，所以重新读题，仔细读题才能有所发现，不能停留在某一固定的思维层面不变。
联想你做过的类似的题目的解题方法，把不熟悉的转化为你熟悉的也许就是成功。
6.高考只是人生的重要考试之一，其实人生是由每一分钟组成的。
把握好人生的每一分钟才能真正把握人生。
高考就是广州三模罢了，其实真正的高考是在你生活的每1分钟里。
二、答题策略选择1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而数学卷上显得更为重要。
2019-2020年高考数学第二轮复习 不等式教学案考纲指要：利用基本不等式解决像函数的单调性或解决有关最值问题是考察的重点和热点，解答题以含参数的不等式的证明、求解为主.考点扫描：1．不等关系通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；2．基本不等式：（a ,b ≥0）①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。
3．常用的证明不等式的方法:（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法。
4．不等式及它的解法：（1）一元一次不等式； （2）一元二次不等式； （3）分式不等式；（4）简单的绝对值不等式； （5）指数不等式；（6）对数不等式；（7）二元一次不等式（线性规划）。
考题先知：例1． 设函数，其中。
（1）解不等式； （2）当时，求函数的最小值。
分析：（1）所解不等式即为，从知，实施等价变形后对a 分类讨论可得解；（2）求函数的最小值，可从单调性入手，因此，细化函数表达（即去绝对值符号）成为解决问题的第一步。
解：（1）由得，，原不等式可化为， 当时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+>->>a a x a a x x 110，而，故； 当时，有； 当时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+>-<>a a x a a x x 110，而，故；综上所述，当时，解集为；当时，解集为。
（2）由⎩⎨⎧<++-≥--=--=)(,)1()(,)1()(a x a x a a x a x a ax a x x f 得当时，在为增函数，在为减函数，所以；当时，，所以，综上所述，。
点评：本题第（1）题也可作出函数与的图象，利用数形结合的数学思想求之。
例2．已知：且，求证：。
分析：观察条件不等式的特征，存在不少证法，若从消元角度入手，可构造一元二次方程，用判别式法证之；若从基本不等式出发，可用放缩法证之；若着眼，则可用均值换元法证之；若无从下手，则可用分析法或反证法证之；若从不等式的几何意义出发，又可用几何法证之。
2019-2020年高考数学复习不等式问题的题型与方法教案苏教版一．复习目标：1．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力；2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；4．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；5．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题．6．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．．二．考试要求：1．理解不等式的性质及其证明。
2．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。
3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。
4．掌握简单不等式的解法。
5．理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。
三．教学过程：（Ⅰ）基础知识详析1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰．2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用．4．比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维等，将会起到很好的促进作用．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．6．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．7．不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
8．不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．利用不等式解应用题的基本步骤：10审题，20建立不等式模型，30解数学问题，40作答。
9．注意事项：⑴解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解，。
⑵解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。
⑶不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。
如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。
⑷根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。
（Ⅱ）范例分析b)∈M，且对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a，则a=____．分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口．怎样理解“对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a”？M中的元素又有什么特点？解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)(2)当1≤y≤3时，所以当y=1时，xmin=4．说明：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示其数学实质．即求集合M中的元素满足关系式例2．解关于x 的不等式： ()0922>≤-a a a x x 分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。
本题的关键不是对参数a 进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。
解：当()⎩⎨⎧≤--≥⎩⎨⎧≤-≥≥029929222a ax x a x a a x x a x a x 即时，不等式可转化为 a bx a 173+≤≤∴ ⎩⎨⎧≥+-<⎩⎨⎧≤-<<02992)(222a ax x a x a x a ax a x a x 即时不等式可化为当 ]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋃-∞<≤≤∴a a a a x a a x 6173,323,(323故不等式的解集为或。
例3． 己知三个不等式：①x x -<-542 ②12322≥+-+x x x ③0122<-+mx x (1)若同时满足①、②的x 值也满足③，求m 的取值范围；(2)若满足的③x 值至少满足①和②中的一个，求m 的取值范围。
分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解本题的关键弄清同时满足①、②的x 值的满足③的充要条件是：③对应的方程的两根分别在()0,∞-和[),3+∞内。
不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系。
解：记①的解集为A ，②的解集为B ，③的解集为C 。
解①得A=（-1，3）；解②得B=][[)3,2()1,0B A ,4,2()1,0⋃=⋂∴⋃（1） 因同时满足①、②的x 值也满足③，A ⋂B ⊆C设12)(2++=mx x x f ，由)(x f 的图象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时，即可满足3170173010)3(0)0(-≤∴⎩⎨⎧≤+<-⎩⎨⎧≤<⊆∴⋂m m f f B A 即 （2） 因满足③的x 值至少满足①和②中的一个，]4,1(,-=⋃⋃⊆∴B A B A C 而因 此]0124,1(2=-+∴-⊆mx x C 方程小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<-≤≤-≥+=≥-=-4411431,0314)4(01)1(m m m f m f 解之得 说明：同时满足①②的x 值满足③的充要条件是：③对应的方程2x 2+mx-1=0的两根分别在(-∞，0)和[3，+∞)内，因此有f(0)＜0且f(3)≤0，否则不能对A ∩B 中的所有x 值满足条件．不等式和与之对应的方程及图象是有着密不可分的内在联系的，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系．例4.已知对于自然数a ，存在一个以a 为首项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根，求证：a ≥5．分析：回忆二次函数的几种特殊形式．设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)．①顶点式．f(x)=a(x-x 0)2+f(x 0)(a ≠0)．这里(x 0，f(x 0))是二次函数的顶点，x 0=-))、(x 2，f(x 2))、(x 3，f(x 3))是二次函数图象上的不同三点，则系数a ，b ，c 可由证明：设二次三项式为：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)，a ∈N ．依题意知：0＜x 1＜1，0＜x 2＜1，且x 1≠x 2．于是有f(0)＞0，f(1)＞0．又f(x)=ax 2-a(x 1+x 2)x+ax 1x 2为整系数二次三项式，所以f(0)=ax 1x 2、f(1)=a ·(1-x 1)(1-x 2)为正整数．故f(0)≥1，f(1)≥1． 从而 f(0)·f(1)≥1． ① 另一方面，且由x 1≠x 2知等号不同时成立，所以由①、②得，a 2＞16．又a ∈N ，所以a ≥5．说明：二次函数是一类被广泛应用的函数，用它构造的不等式证明问题，往往比较灵活．根据题设条件恰当选择二次函数的表达形式，是解决这类问题的关键．例5.设等差数列{a n }的首项a 1＞0且S m =S n (m ≠n)．问：它的前多少项的和最大？分析:要求前n项和的最大值，首先要分析此数列是递增数列还是递减数列．解:设等差数列{a}的公差为d，由S m=S n得na k≥0，且a k+1＜0．(k∈N)．说明：诸多数学问题可归结为解某一不等式(组)．正确列出不等式(组)，并分析其解在具体问题的意义，是得到合理结论的关键．例6．若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范围．分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组)．由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来．即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解．解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx．于是解法一(利用基本不等式的性质)不等式组(Ⅰ)变形得(Ⅰ)所以f(-2)的取值范围是[6，10]．解法二(数形结合)建立直角坐标系aob ，作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域，如图6中的阴影部分．因为f(-2)=4a-2b ，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系．如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范围是：6≤f(-2)≤10．解法三(利用方程的思想)又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4， ①所以 3≤3f(-1)≤6． ②①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．说明：(1)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：2b ，8≤4a ≤12，-3≤-2b ≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．(2)对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高．例7．( 江苏)己知2)(,0bx ax x f a -=>函数， （1）();2,10b a x f R x b ≤≤∈>证明：都有时，若对任意当（2）时当1>b ，证明：对任意]1,0[∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件是b a b 21≤≤-； （3）时，当10≤<b 讨论：对任意]1,0[∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件。
