章建跃--把握数学核心概念,提高课堂教学有效性

发挥老师主导作用 助学生一臂之力谈2020年高考数学复习华师附中 郭键高三是个特殊的学段，几乎每个学生都在尽其所能全身心备考。

他们学习效率高不高，复习效果好不好，能否充分激发潜能，并最终在高考中取得优异成绩，我个人认为和高三老师的教学工作十分相关。

这里我不是要有意夸大老师的主导作用，更不是说我们的工作做的好，希望大家能通过交流，共同提高。

新课标理念指导下的新高考即将来临，我们该如何面对呢？关键词：新课标、高考●人教社中数科章建跃报告：一、针对问题进行改革1．数学教学“不自然”，强加于人。

2．缺乏问题意识。

3．重结果轻过程，“掐头去尾烧中段”。

4．重解题技能技巧轻普适性思考方法的概括，方法论层次的内容渗透不够，机械模仿多独立思考少，数学思维层次不高。

5．讲逻辑而不讲思想。

二、改革的重点1．“亲和力”：以生动活泼的呈现方式，激发兴趣和美感，引发学习激情。

2．“问题性”：以恰时恰点的问题引导数学活动，培养问题意识，孕育创新精神。

3．“思想性”：螺旋上升地安排核心数学概念和重要数学思想，加强数学思想方法的渗透与概括。

4．“联系性”：通过不同数学内容的联系与启发，强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用，学习数学地思考问题的方式，提高数学思维能力，培育理性精神。

5．“时代性”与“应用性”：以具有时代性和现实感的素材创设情境，加强数学活动，发展应用意识。

三、编写实验教材的指导思想1．讲背景，讲思想，讲应用知识的引入强调背景，使教材生动、自然而亲切，让学生感到知识的发展水到渠成而不是强加于人。

螺旋上升地安排核心数学概念和重要数学思想；把握数学本质，保证科学性；强调数学形式下的思考和推理训练。

通过解决具有真实背景的问题，引导学生体会数学的作用与力量，发展应用意识。

2．强调问题性、启发性，引导教、学方式的变革遵循认知规律，以问题引导学习，体现数学知识、学生认知的过程性，促使学生主动探究，培养学生的创新意识和应用意识，引导教、学方式的改进。

关山初度尘未洗，策马扬鞭再奋蹄——优化复习策略，提升教学效果讲稿各位老师同仁，大家上午好！首先很感谢吴老师给我这个机会，进修学习给我提供这个平台，让我可以向大家学习，一起交流我们学校去年中考前的一些的措施和方法。

说实话星期一上午刚接到这个任务的时候我很忐忑，觉得自己无法胜任，在座的很多老师资历比我高，专业水平比我深，我没有勇气站在台上胡言乱语。

让我跟大家交流一下我们学校的一些做法，或许对大家会有帮助。

所以我今天斗胆在这里班门弄斧，由于时间仓促，这一周里学校事多课多，准备很不充分。

讲的不好的地方请大家海涵，讲的不对的地方请大家指正，谢谢大家！下面通过一个短视频开始我今天的话题。

我想这是多数老师的烦恼和困惑。

我们很卖力的教，恨不得使出浑身解数，只希望学生能如我们所愿掌握该掌握的知识，考出我们期待的成绩，然而理想很丰满，现实很骨感！都说教材是训练思维的重要载体，课堂是培养思维能力的主渠道。

然而无计可施，因为我们的现状是：学生学习缺乏兴趣和动力，课堂上学生睡觉、抄袭作业、做小动作、开小差，无精打采，完全找不到毕业班的紧张气氛；作业更是字迹潦草、错误连篇。

面对这样的一群学生我们不可避免的要接受全县倒二、倒三的残酷现实。

那么我们应该怎么办呢，“雄关漫道真如铁，而今迈步从头越”正如毛泽东的这句诗句，不管为了学生还是自己或是学校，我们必须正视现状并努力改变现状。

所以我们备课组四个成员开始撸起袖子埋头苦干。

章建跃博士认为，“三个理解”是教师专业发展的三大基石，教学质量的根本保证：理解数学----提高教学质量的前提，理解学生-----实现有效教学的基础，理解教学-----实施有效教学的关键。

所以我们首先必须理解学生。

一、分层教学前苏联赞科夫所说:“要求一律,就会压制个性,从而也就压制了学生的精神力量。

”当代世界著名心理学家和教育家霍华德•加德纳认为，每个人都或多或少具有8种智力，只是其组合和发挥程度不同。

著名心理学家奥苏泊尔曾提出成功的驱动力有三部分：一是认识内驱力，即获得知识解决问题为目的的内驱力；二是自我提高内驱力，即个人通过自己胜任能力和工作成就的提高来赢得相应的地位和自尊心的内驱力；三是附属内驱力，即以获得长者或集体的赞许为目的的内驱力。

章建跃简介章建跃，男，1958年8月4日出生，数学本科，北京师范大学课程与教学论（数学）硕士、发展与教育心理学博士。

现任人民教育出版社中学数学室主任、资深编辑。

人民教育出版社编审，课程教材研究所研究员。

主要研究方向：数学教育心理学，中学数学课程及教材编写，数学课堂教学。

社会兼职：中国教育学会中学数学教学专业委员会副理事长、学术委员会副主任（常务）；中国统计教育学会常务。

一、闻思修得智慧本期我们集中刊登了关于高中数学课标教材必修模块的一组实验经验交流文章。

薛红霞、张曜光、李学军、李昌官、吴明华都是一线教研员，其他都是一线教师，他们是本次课改的亲历亲为者，可说是尝遍课改的酸甜苦辣，因而对课改是最有发言权的，因此这组文章可以算得上是“闻思修”而得的智慧成果。

众所周知，本次课改是为了适应我国社会发展新需要，以提高教育质量为核心，全面推进素质教育，切实减轻学生负担，努力提高青少年思想道德、科学文化和健康素质，着力培养青少年的社会责任感、创新精神和实践能力，因此其大方向是完全正确的。

但是，由于种种原因，课改实施过程中存在许多不尽如人意的地方。

一段时间以来，急功近利倾向甚至把课改引入歧途，严重损害了课改的声誉。

对此，有各种不同的态度。

怨天尤人者有之，我行我素者有之，盲目跟风者有之。

而大多数老师则是理性思考、谨慎行动，薛红霞等老师的文章就是例证。

教育改革不以人的意志为转移。

客观地说，当前我国数学教学确实存在许多需要改进的地方，其中特别突出的是数学教学缺少亲和力，问题意识淡薄，重结果轻过程，讲逻辑不讲思想，重题型、技巧轻通性通法引导。

因此，需要广大数学教育工作者“闻思修”以获得走向课改成功的智慧，使改革的成果惠及学生，达到学得轻松、愉快而成效显著。

由于思维惯性所致，人们面对新事物的第一反应是排斥。

然而明智的做法是静心听闻，而且要善听、会听，听到“无声之声”。

所谓兼听则明，这样才能了解改革的真实意图，才能“闻所成慧”。

探究教学规律，造就教学名师章建跃各位代表，老师们，同志们，大家好：受本届全国初中青年数学老师优秀课观摩与评比活动组委会、评委会的委托，我给大会作总结报告。

一、本次活动受到全国初中数学老师、数学教研部门、各会员单位的高度重视，来自全国除了西藏、港澳台以外的所有省、直辖市、自治区，行业的2000多名代表参加了本次活动，覆盖范围广，参与热情高。

各会员单位做了大量前期工作，很多会员单位从两年前就开始布置、落实本项活动，把工作细化在过程中，积极组织当地广大初中青年数学教师参与观摩活动，引领广大老师交流教学经验，以观摩与评比活动带动课堂教学研究，在研究中不断深化课堂教学改革，切实提高课堂教学质量和效益。

我代表组委会对各会员单位为本次活动作出的贡献表示衷心感谢。

承办方湖北省教育学会中学数学专业委员会、湖北省教学研究室为本次活动投入了很大精力，付出了辛苦的劳动。

承办大型活动非常不易，需要考虑的问题很多，需要做的具体工作很繁重，承担的风险很大。

我代表组委会对你们做出的努力表示衷心的感谢！武汉二中、武汉二中广雅中学、武汉六中、武汉七一中学、武汉81中、武汉育才高中不仅为本次大会提供了观摩场地，而且还派出服务人员，为本次活动的顺利进行做出了特别的贡献， .... 技术、奖品以及人力、物力的大力支持，我代表组委会对他们做出的贡献表示衷心的感谢！特别要感谢各位参赛选手，在123名参赛选手中，有122名老师获得了一等奖。

其中：魏胜寒、李庆、杨成、王广辉、王磊和王宇等老师的录像课展示与自述更加突出。

你们付出了巨大的智力劳动，承受了巨大的心理压力，展示了良好的精神风貌，为本次活动做出了特殊的贡献。

我代表大会组委会、评委会对你们的付出表示衷心的感谢，祝贺你们取得的成绩，祝贺你们在教师专业化成长的道路上迈出了重要而坚实的一步。

由于本次活动组织方式的改变，对评委提出了高要求。

各位评委不仅要事先对参赛选手的教学设计、教学设计说明和课堂实录进行仔细阅读、观摩，在现场还要聚精会神地观察选手的表现，根据参赛选手的预设和现场生成，做出评判，二、满意度的调查总体评价：满意49%，基本满意46%，不满意5% ;参会代表最感兴趣的环节：选手讲述23%，代表互动36%，评委点评59%――我们把这看成是与会代表对评委会的鞭策，达到这个要求，真正满足您的要求，我们还需要努力，我们愿意付出努力！对评委点评满意度的五级水平表三面版本多：本次活动中，我国大陆目前经教育部审查通过的所有初中数学教材版本都到了展示，充分说明了活动的广泛性、代表性。

高考复习如何回归教材（之二）——从2024年高考综合改革适应性测试卷得到的启示章建跃2024年，吉林、黑龙江、安徽、江西、广西、贵州、甘肃等第四批高考综合改革省份将首考落地，为实现平稳过渡，相关省份在1月19日、20日组织了适应性演练。

数学科适应性测试题由教育部教育考试院命制。

适应性测试卷公布后，网上又出现了大量吐槽，还有危言耸听的“高考数学大变天了”。

认真看了老师们的说法，说句不中听的话，许多老师并不懂得如何研究高考题，大家的关注点是多少道题目、各板块题目位置的变化、题目赋分的变化、考所有板块还是选考几个（解答题只考了导数、统计概率、立体、解析几何、新定义）、题目的解法有多少种，更令人哭笑不得的是还有“立体图形怎么这么斜？”的疑问。

特别是对最后这道题目：老师们都说这道题目“超纲了”，这是不是要让学生去学奥数？至少要学数论的相关知识，有“专家”还真的介绍了这道题的“背景知识”，如“整除性”、“同余及其基本性质”、“完全剩余系和既约剩余系”、“费马小定理”、“离散对数”等等。

显然，这些讨论有表面化的嫌疑，其中还有许多牢骚。

发牢骚不能解决问题，对广大教师把握高考数学命题改革大方向没什么益处。

那么，我们该如何客观、正确地分析这份卷子呢？如何从中得到一些高考复习的启示？这里我想谈一点不成熟的想法。

不当之处敬请批评。

首先，这份卷子减少了题目数量，这一改革方向非常正确，应该给予充分肯定。

我认为题目还可以再少些，我当年参加高考时，数学试卷就是10道题左右。

试题数量适当（当然，多少题才“适当”需要研究，但现在题目太多是肯定的），好处就是可以加强对数学思维过程的考查，这是符合数学学科特点的，也反映了数学课程的育人功能。

实际上，数学高考试卷搞到20多道题，有点受美国“标准化考试”的影响，试图通过选择题、填空题等等增加所谓的覆盖面并提高公平性，愿望是好的，但效果不理想，而且是导致高中数学教学搞题型、套路和机械刷题，通过“刺激-反应”训练以提高解题速度等等的根源。

围绕核心概念发展知识章建跃围绕核心概念，提出问题，建立知识的联系，发现新的知识，加深理解知识核心概念具有基础性、本质性，其自我生长能力强，迁移能力强，但只有孤立的核心概念，而不能以核心概念为中心，把相关概念有机地串联起来，形成命题系统，核心概念的教育价值将大打折扣。

“运算”是代数的核心概念，“距离”、“角”是几何的核心概念，斜率是解析几何的核心概念…… 如何利用这些核心概念，在坐标法思想指导下，提升对二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的认识水平，并在此基础上发现新性质、提出新命题？引导学生围绕圆锥曲线的要素、相关要素进行思考：焦点、顶点、轴、准线、弦及其中点、切线、焦距、长（短）轴的长、焦半径、面积、内接图形（特别是内接三角形）、角（与焦点、中心等相关）等等。

用a ，b ，c ，p 等表示相关结论。

1．重新认识定义椭圆：动点到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹；双曲线：动点到两个定点的距离之差为常数的点的轨迹；圆：到两定点距离之比等于定值（≠1）的点轨迹是圆；卡西尼卵形线：到两定点距离之积等于定长a 2的点的轨迹。

抛物线：动点到定点的距离等于到定直线的距离。

围绕距离，通过运算——运算中的不变性，得出定义。

2．统一定义动点到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹。

——点在运动过程中，与定点和定直线的距离的伸缩率保持不变。

也是运算中的不变性。

3．以斜率为核心，通过运算发现性质（1）已知)0,(a A -和)0,(a B 是平面直角坐标系上的两点，动点(,)P x y 分别与此两定点连线的斜率之积是－1，则动点的轨迹方程是222(0)x y a y +=≠；——从直径上的圆周角为直角可以想到，当学生往往“不是做不到，而是想不到”。

（2）已知)0,(a A -和)0,(a B 是平面直角坐标系上的两点，动点(,)P x y 分别与此两定点连线的斜率之积是22ab -，则动点的轨迹方程是)0(12222≠=+y by a x ；（3）已知)0,(a A -和)0,(a B 是平面直角坐标系上的两点，动点(,)P x y 分别与此两定点连线的斜率之积是22ab ，则动点的轨迹方程是)0(12222≠=-y b y a x ； （4）已知(0,)2pA -和(0,)(0)2pB p >是平面直角坐标系上的两点，动点(,)P x y 分别与此两定点连线的斜率的平方之差为1，则动点的轨迹方程是)0(22≠=y py x 。

理解数学课堂教学的三要素说明：本⽂是我在参加了⼈教社组织的“中学数学核⼼概念、思想⽅法及其教学设计的理论与实践”初中课题组活动之后写的，已发表在《中学数学教学参考》2010年第7期（中旬）。

《中学数学教学参考》（中旬）连载了⼈教社中数室主任章建跃博⼠的⽂章《中学数学课改的⼗个论题》，读后感触很深，特别是他提出的“理解数学、理解学⽣、理解教学是课改的三⼤基⽯”，笔者深有同感，深受启发．教师只有在“三个理解”上狠下功夫并取得进步，才能使数学课堂教学质量得到保证．“理解数学”、“理解学⽣”、“理解教学”共同构成了理解数学课堂教学、提⾼课堂教学有效性的基本要素．本⽂拟结合⼈教版课标实验教科书⼋年级（下）第⼗七章“ 17.1.2 反⽐例函数的图象和性质”（第1课时），谈谈对数学课堂教学的“理解”．1 理解数学理解数学，是数学课堂教学“预设”的前提，也是数学课堂教学“⽣成”的关键．作为教师，只有清晰地知道“教什么”，理解所教内容“是什么”，深知数学知识所蕴含的思想⽅法和⾃⾝的科学价值，才有可能在课堂教学中予以表达．1.1 理解内容本⾝反⽐例函数是最基本的初等函数之⼀，“反⽐例函数的图象和性质”（第1课时），是在已经学习了平⾯直⾓坐标系和⼀次函数的基础上，进⼀步研究反⽐例函数的图象，并通过图象的研究和分析，来确定反⽐例函数的性质．其内容的核⼼，是反⽐例函数图象的“特征”，反⽐例函数的“特性”，以及它们之间相互转化的关系．要理解这部分内容，可分解为三个层次：（1）知觉⽔平的理解，也可称为低级⽔平的理解，即⾸先要知道反⽐例函数的图象和性质“是什么”，可以采⽤列表、描点的⽅式，画出反⽐例函数的图象，再根据图象进⾏观察、分析、归纳得出反⽐例函数的性质；（2）中级⽔平的理解，就是在可以辨认和识别“反⽐例函数的图象”、可以由图象知道“反⽐例函数的性质”的基础上，能够揭⽰反⽐例函数的“特性”与其图象的“特征”之间的内在联系，知道它是“怎么样”；（3）⾼级⽔平的理解，是指可以将“反⽐例函数的图象和性质”融⼊原有的认知结构之中，懂得可以从函数的列表法、解析式法和图象法三种表⽰⽅法的⾓度，进⾏探究和概括，知道它是“为什么”，然后，再进⾏⼴泛的迁移．1．2 理解思想⽅法思想⽅法，是数学知识的精髓．反⽐例函数作为⼀种基本的初等函数类型，那么，凡是函数所具备的⼀般性质，以往研究函数时（主要是⼀次函数）所运⽤的思想⽅法，在这⾥也都是适⽤的．充分的揭⽰和利⽤这些思想⽅法，是“领会”本节课教学内容的关键．反⽐例函数的图象和性质中蕴含着数形结合、对应、转化等重要的数学思想⽅法．反⽐例函数图象和性质，是“数”与“形”的统⼀体，由“解析式”到“作图”，再到“性质”，都充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，是数形结合思想、转化思想的具体应⽤．其次，将函数中变量、之间的对应关系，借助平⾯直⾓坐标系中点的坐标和双曲线，直观地予以呈现，可以充分体现变化与对应的函数思想．1.3 理解科学价值反⽐例函数图象和性质的学习，可以进⼀步体现函数学习的⼀般规律和⽅法．教材中呈现的通过“描点”画图，到“观察”图象，到分析图象“特征”，再到确定函数中变量、之间的“变化规律”，从⽽得出函数的“特性”，这⼀探究的过程和⽅法，是学习初等函数时不可或缺的．事实上，初中学段后续研究的⼆次函数，⾼中学段研究的指数函数、对数函数、幂函数等，体现的也都是这样⼀种研究的“模式”．使学⽣理解这种研究模式的科学价值，对于明确学习任务，建⽴完善的认知结构将是⾮常有意义的．其次，⽤描点法画反⽐例函数的图象时，先由函数解析式考虑⾃变量的取值范围，赋予⾃变量⼀些具体的数值，根据、的对应关系，得到相应的函数值，在坐标系中，描出这些以（，）为坐标的点，再将这⼀系列的点依次“连接”起来，得到函数的图象，这⼀过程，反映了作函数图象的⼀般规律．基于对“反⽐例函数图象和性质”的内容、思想⽅法、科学价值的理解，在考虑本节课的课堂教学设计与相关内容的展开时，就⼀定要考虑教学问题设置的“梯度”，以及设计的“针对性”和“可操作性”，其中，特别要关注学⽣的实际情况．2 理解学⽣学⽣是课堂教学的主体，“理解学⽣”就是要解决“教给谁”的问题．在课堂教学中，教师将已经“理解”的数学知识，要传授给学⽣，那么，就⼀定要知道学⽣在“这个问题”上“已经知道了什么”；在将要学习的内容中，可能遇到的思维障碍是什么；以及对于“这个问题”，是如何展开“思考”的．2.1 理解学⽣的认知起点认知起点，是⼀切知识结构得以发展的基础，课堂教学，就是要借助于学⽣已有的“知识储备”，帮助学⽣建⽴新知识与原有认知结构中相应知识之间的联系．对于本节课，平⾯直⾓坐标系、⼀次函数的图象和性质、⽤描点法画出函数的图象，学⽣已经学过，学习反⽐例函数的切⼊点，就可以定位在这样的认知结构和学习经验的基础上，通过类⽐“⼀次函数”的学习⽅法和经历，从问题“我们已经学习了正⽐例函数的哪些内容？是如何研究的？”开始，展开本节课的教学内容．2.2 理解学⽣的思维障碍对于⽤描点法画函数的图象，学⽣已经学过，但因当时处于函数学习的初始阶段，重点只是让学⽣掌握⽤描点法画函数图象的“三步曲（列表、描点、连线）”，所以，学⽣对每步要求的理解并不深刻．因此，在画反⽐例函数图象时，常会遇到如下问题：（1）“列表”时，确定⾃变量的取值，会出现缺乏代表性及忽略等现象；（2）“连线”时，由于⼀次函数图象是⼀条直线，容易使学⽣产⽣知识上的负迁移，把双曲线画成折线；（3）对双曲线与轴、轴“越来越靠近”但不相交的趋势不易理解．因此，课堂教学中，应注意从反⽐例函数解析式的分析⼊⼿，让学⽣先进⾏“数”（， ,）、“式”（解析式中、的反⽐例关系）的分析，再过渡到对“形”（图象）的认识．此外，还可以借助信息技术⼯具，探究反⽐例函数（）的图象和性质．例如，可以利⽤⼏何画板软件，对于⼀个确定的反⽐例函数（如），辅以“点跟踪”等⼿段，绘制图象，通过动态的演⽰，观察相关数值的变化，研究图象的变化趋势，抽象概括当⾃变量变化时，对应的函数值的变化规律．然后，赋予不同的值（可以分解为或两类情况），重复上述操作，加强从图象“特征”归纳得出函数“特性”的“认同感”，使学⽣在直观“感知”的同时，经历由“特殊”到“⼀般”，由“具体”到“抽象”的过程．2.3 理解学⽣的认知规律学⽣的学习，应该始终是处于⼀种⾃然⽣成的状态，新知识的发⽣、形成、应⽤，也不是教师强加于学⽣的，要遵从于⼀般的认知规律．对于反⽐例函数（），要获得函数值随⾃变量变化⽽变化的规律，可以采⽤“抽象问题具体化、⼀般问题特殊化”的基本策略，先讨论、等，由“特殊”到“⼀般”，归纳出时，随的增⼤⽽减⼩；同理，再类似地得出时，随的增⼤⽽增⼤，符合学⽣“思考”问题的习惯．当教师可以站在每⼀个学⽣的⾓度，理解学⽣的“所思”、“所想”、“所得”的时候，这样的理解，才能有助于教师对课堂教学“预设”与“⽣成”的把握．3 理解教学教学过程，应该是以数学知识发⽣发展过程为载体的学⽣的认知过程．基于教师对课堂教学中的载体“数学知识”的理解，对教学对象“学⽣认知”的理解，接下来，就是要解决“途径”的问题，即讨论“怎样教”，才能使学⽣获得最⼤的学习效益．按照杜威的教学思想，教学过程不外乎五个步骤：设计问题情境；产⽣⼀个真实的问题；从事必要的观察；展开解决问题可能的途径和⽅法；检验或验证解决问题的⽅法是否有效．为此，对于本节课的教学，依据问题引导的原则，可以进⾏如下的设计：问题1：我们已经学习了正⽐例函数的哪些内容？是如何研究的？问题2：反⽐例函数的图象是什么样的？问题3：请观察反⽐例函数的图象，有哪些特征？问题4：是不是所有的反⽐例函数的图象都具有这样的特征呢？问题5：反⽐例函数与的图象有什么共同特征？有什么不同点？是由什么决定的？问题6：当取不同的值，上述结论是否适⽤于所有的反⽐例函数？问题7：总结反⽐例函数（）图象的特征和性质．问题8：通过本节课的学习，你有哪些收获？这样的设计，层层递进，⾃然顺畅，可以使课堂真正回归数学知识⽣成、学⽣思维发⽣的“原⽣态”．其基本脉络是：由问题1复习正⽐例函数的内容以及研究⽅法，引出问题2，以反⽐例函数的图象为例，让学⽣经历“列表、描点、连线”的过程，为“反⽐例函数的图象是什么样的”积累资料；提出问题3，思考反⽐例函数的图象“特征”；进⼀步提出假设，呈现问题4，是不是所有的反⽐例函数的图象都具有这样的“特征”，将问题拓⼴，以讨论反⽐例函数为例；得到问题5，关注反⽐例系数“”的作⽤，获得“特殊的”反⽐例函数的“特性”；推⼴⾄⼀般情况，设置问题6，当取不同的值，上述结论是否适⽤于所有的反⽐例函数，引导学⽣归纳“变化中的规律性”，分析结论的合理因素；进⽽有问题7，使学⽣获得反⽐例函数（）图象的特征和性质；最后，设置问题8，让学⽣⾃⼰梳理学习的收获，使学⽣对反⽐例函数的图象和性质有⼀个较为整体、全⾯的认识，从⽽养成良好的学习习惯．总之，“理解是拂过⼼灵的⼀缕春风，阵阵暖意随风⽽⾄；理解是淌⼊⼼⽥的⼀条溪流，滴滴润泽顺⽔⽽下；理解是洒进⼼房的⼀抹星辉，层层剪影由光⽽落．”对数学课堂教学的理解，也正是如此，教师将⾃⼰对数学课堂教学的理解，化作“春风”、“溪流”和“星辉”，以“数学”为载体，以“课堂”为途径，“拂过”学⽣的⼼灵、“淌⼊”学⽣的⼼⽥和“洒进”学⽣的⼼房．我们的⽬标，就是要通过课堂，使学⽣真正可以获得良好的数学教育．备注：最后⼀段，在本期杂志上发表时，编辑给删掉了，可是我⾃⼰很是喜欢的，就留在⾃⼰的博客⾥吧～另外，⽂中的数学符号，在这⾥却显⽰不出来，我试了⼏次都不⾏，只好先这样了，如果有朋友知道，能告之为盼，谢谢！。

践行“四个理解” 落实核心素养作者：史承灼魏大付来源：《安徽教育科研》2019年第02期摘要：理解数学，有助于整体把握数学结构，准确确定教学目标;理解学生，才能关注学生思维的最近发展区，选择合适的教学方法;理解技术，掌握并运用信息技术辅助教学，为数学课堂教学插翅添翼;理解教学，才能科学合理地处理怎样教和为什么这样教，有助于处理好教师的教与学生的学的统一，从而使学生获得最大的学习效益。

“理解数学、理解学生、理解技术、理解教学”共同构成了理解数学课堂教学，使学生真正可以获得良好的数学教育。

关键词：理解数学;理解学生;理解技术;理解教学章建跃先生早在2010年“第五届全国高中数学教师优秀课观摩与评比活动”的大会报告中，就提出了中学数学教学的“三个理解”——理解数学，理解学生，理解教学。

2017年4月的“以‘核心素养为纲的数学教学改革’全国初中数学教学研讨会”上，章建跃先生在报告《核心素养统领下的数学教学变革》中，将其发展为“四个理解”——理解数学、理解学生、理解技术、理解教学。

“四个理解”是基于“互联网+”新时代下对“三个理解”的丰富和发展，是数学教师专业发展的基础，是在课堂教学中落实数学核心素养的关键。

本文以工作室成员魏大付老师执教的沪科版义务教育实验教科书数学九年级上册，第21章第5节“反比例函数的图像和性质”为例，谈谈如何践行“四个理解”，培养学生的数学核心素养。

一、理解数学，整体把握数学结构理解数学是备好课的前提，备好课是上好课的前提，而备好课的条件之一是理解教材。

理解数学，就是要准确把握知识点产生的背景，在教材中的地位和前后联系，对后续学习的重要作用，从整体上把握数学结构，以及其中蕴含的数学思想方法及这些数学思想方法在学习其他知识时能否类比、推广等。

理解数学，不仅要“知其然”，还要“知其所以然”，作为教师更要“知何由以知其所以然”。

否则，以师昏昏，又怎能使学生昭昭呢？函数是揭示运动变化过程中数量关系和变化规律的重要数学概念，是刻画现实世界变化规律的重要数学模型。

课堂教学案例研究：让数学核心素养落地的重要途径课堂教学案例研究是探索如何使学科核心素养落地的重要途径。

聚焦初中数学核心素养的课堂应“以人为本”，要把学生放在课堂的中央。

2014年《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》（以下简称《意见》）提出“研究制订学生发展核心素养体系”，使“学生具备适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，突出强调个人修养、社会关爱、家国情怀，更加注重自主发展、合作参与、创新实践”。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》又提出“三会，四基四能，六核”，“三会”即会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。

人人获得数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

六核是指发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养。

所以，数学课堂既要重视数学学科特有的数学核心素养，又要重视培养“全人”的综合素养。

章建跃说：“教好数学就是落实核心素养”。

什么是好的数学教学，好的数学教学应该是能使学生感兴趣的、引人思考的、抓住学科本质的，好的数学教学能让学生在丰富多彩的课堂活动中主动参与、主动探索、主动思考和主动解决问题。

一、抓住数学本质，落实数学核心素养章建跃说：“教好数学就是落实核心素养”。

什么是好的数学教学，好的数学教学应该是能使学生感兴趣的、引人思考的、抓住学科本质的，好的数学教学能让学生在丰富多彩的课堂活动中主动参与、主动探索、主动思考和主动解决问题。

（一）在“概念理解”中培养学生的抽象概括能力概念教学的核心就是“抽象概括”，应着力还原数学家的思维活动。

所以，概念教学要强调引导学生经历概念的概括过程，教学中要“讲背景、讲思想、讲应用”。

如在“平移”概念的教学过程中，我们提供一些生活中常见的具有共同特点的平移图案，让学生直观感知，促进学生发现其共同特征，然后让学生觉得“平移”的两个要素的规定是合理的，最后让学生动手操作画平移图形，从而实现正确理解平移的定义。

数学课堂教学设计研究章建跃(人民教育出版社中学数学室 100081)1 教育观与教学设计教育需要随着社会发展对人才需求的变化而不断进行改革.随着改革的深入及其出现的种种问题,提出强调人与自然的和谐发展,强调全面、可持续发展的科学发展观,这无疑是非常及时和必要的.对于教育来讲,则要构建学习型社会,强调人的终身学习与发展.为了追求升学率,教学中不惜加班加点,搞机械重复训练,消耗学生大量的时间、精力和体力,牺牲学生其它的兴趣爱好.这种做法在短时间内能够提高考试分数,但学生的心理健康、知识结构、能力结构乃至道德水平等出现或多或少的问题,而且缺乏发展后劲.中学(特别是重点中学)的升学率显然是一个重要的指标,就像经济建设中的GDP指标一样.但社会发展到今天,基础教育的性质在发生变化,由 双重任务 演变为 提高国民素质、面向大众 , 为学生的终身发展奠定基础 的教育.所以,树立以学生为本的教育观是时代发展的要求.以学生为本的教育观,本质与核心是 以学生的发展为本 ,而且应当是全面的、和谐的、可持续的发展.这就要求教师在教学中,不仅要看到所教的学科知识,而且要看到相应的知识在学生发展中起什么作用,在提高人的知识水平的同时,提高他的素质,丰富他的精神世界.以学生为本 的教育观是教学设计的根本指导思想,对教师的专业化水平提出了高要求.只以升学率为评价指标时,教师可以只考虑如何提高考试分数,但从 全面 和谐 可持续 的要求来看,在 以学生为本 教育观下,对教学质量的内涵要有与时俱进的认识,即要把学生得到全面、和谐、可持续发展作为衡量教学质量的根本标准.另外,为了体现以学生的发展为本,就要研究学生的身心发展规律,思考学习与发展的关系,研究学生是如何学习的,等等.对于课堂教学,只有经过精心设计的教学对学生的发展才会产生优质、高效的促进作用.2 教学设计的内涵教学设计就是为达到教学目标,教师对课堂教学的过程与行为所进行的系统规划.主要解决两个问题:(1)教什么:教学目标的设计,包括显性目标和隐性目标.基于对教学内容、学生情况的分析.(2)怎样教:教学手段的选择、教学过程的设计.基于对教学资源、学生和教师自身情况的分析.教学为什么要设计?有许多理由,但下面两点大概是最重要的.(1)由学校教育的性质决定的.我们知道,学校教育的目的是使学生的身体和心理获得发展.心理发展包括智力发展和个性特征(情感、意志、性格等)的发展.智力发展包括观察力、记忆力、想象力、思维力的发展,其中最主要的是学生思维能力的发展.就智力发展而言,只有科学的、规律性的知识和有目的、有计划、有指导的启发式教学,才能真正产生作用.无数事实证明,学生智力的发展,既不能脱离科学的、系统的知识传授和技能训练,又必须在传授知识和训练技能中有意识地加以培养.掌握 双基 与发展智力是密切相关但又不是同步的,教学中必须有意识地把发展智力(核心是发展思维能力)作为重要任务.也就是说,学生智力的发展是在 双基 教学中经过有意识培养而实现的.这里, 有意识 的含义就是 教学需要设计 .顺便提及,正因为学生的智力发展需要有意识地培养,所以教师在教学中的主导作用是不能否定的.把教师定位在 数学活动的组织者、引导者、合作者 ,否定了教师的主导地位,是不正确的.(2)实现教学过程科学化的需要,其深层次的目的就是提高教学质量和效益 使学生以尽量少的投入(时间、精力等),获得尽量多的收获.教学过程科学化体现了对教师的专业化要求,这就是说,就像医生看病开处方、律师开业打官司一样,当教师也是需要专门的职业训练、有特殊的职业要求的.会加减乘除就可以教数学的现象是不能允许的.对教学设计的专门要求是教师专业化的重要体现.如何提高教学质量和效益?实践中的偏差是:视学生为被动接受的容器,无视学生接受能力而任意拔高教学要求,片面加大知识传授的总量,以此作为学生学习收获的增值途径.但是,任意拔高要求,搞注入式教学,只能导致学生死记硬背,学习效果不会好,因此也就谈不上什么学习效益了.更何况教学目标不仅是知识,还是思维、能力、理性精神等其他东西.教学设计的基础是对学生如何学习的准确把握.在研究学生知识、技能、思维、能力等是如何发展的问题时,除了认真考察知识、能力等的内涵外,必须深入考察它们是如何被学生获得的,即要对 学什么 和 如何学 这两个问题进行科学分析.3 关于教学目标的思考我们知道,教学目标是教学目的的系统化、具体化,是教学活动每一阶段所要实现的教学结果,是衡量教学质量的标准.因此,教学目标几乎成了全部教学设计的依据,其地位是相当重要的.从前面的论述可以看到,准确制定教学目标是提高教学质量和效益的前提,教学目标应当全面、合理,要体现个性差异.另外,既然是一种 质量标准 ,那么教学目标必须是可观测的.对于教学目标问题,国内外都有大量研究.如布鲁姆、加涅等的研究都非常著名.从有利于指导教学的角度考虑,我们认为将教学目标按层级分类 是比较合适的:第一层级,主成分以记忆因素为主要标志,培养的是以记忆为主的基本能力,目标测试应当看基本事实、方法的记忆水平,标准是:获得的知识量以及掌握的准确性.第二层级,主成分以理解因素为主要标志,培养的是以理解为主的基本能力,目标测试看能否对解决常规性、通用性问题,包括能否满意地解决综合性问题.这里,解决问题的前提是理解,是对知识的实质性领会以及经过自己的检验因而具有广泛迁移性的领会.标准是:运用知识的水平,如正确性、灵活性、敏捷性、深刻性等.第三层级,主成分以探究因素为主要标志,培养的是以评判为主的基本能力,目标测试看能否对解决问题的过程进行反思,即检验过程的正确性、合理性及其优劣.标准是思维的深刻性、批判性、全面性、独创性.数学教学目标应当反映数学学科特点.为了使目标更加具体、实用,应当结合当前的教学内容陈述教学目标,阐述清楚经过教学,学生将会有哪些变化,会做哪些以前不会做的事,以使目标成为有效教学的依据,防止教学中的 见木不见林 ,同时为检查学习效果提供依据.例如:在探索直线与平面垂直的位置关系的过程中,掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理,体会几何推理证明的思考方法、基本规则和严谨性,发展空间想象力和逻辑思维能力;在掌握用图解法求最优解的基本方法的过程中,体会线性规划的基本思想,培养数学应用意识.下面从对比的角度再看两个例子.例1 理解函数单调性概念.这一陈述中, 理解 的含义不清,难以作为判断学生是否已经 理解 的标准.实际上, 理解 的基本含义是学生能用概念作出判断.因此可以改述为:能给出增函数、减函数的具体例证和图象特征;能用函数单调性定义判断一个函数的单调性.在教学目标的陈述中, 了解 理解 掌握 灵活应用 的区分并不容易,需要教师经过较长时间的有意识的经验积累.例2 掌握一元二次方程根的判别式.这个陈述中,没有对 掌握 的内涵给出具体界定,容易引起歧义.例如会陈述判别式还是能写出具体方程的判别式?是否对判别式的来龙去脉要清楚?等等.用判别式判断一个含字母系数的一元二次方程的解的情况(综合应用)与用判别式判断一个具体方程是否有解(单一应用)是不一样的.一般地,对于根的判别式这样的重要数学概顾泠沅.教学改革的行动与诠释,人民教育出版社,2003年8月版,第130页.念,应当对目标进行分解.例如可以作如下表述:(1)在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中,掌握判别式的结构和作用;(2)能用判别式判断一个一元二次方程是否有解;(3)能用判别式讨论一个含字母系数的一元二次方程的解;(4)能灵活应用判别式解决其他情境中的问题.数学教学科学化,从制定教学目标上看,一要全面,二要具有可操作性.这是建立在对教学内容、学生数学学习规律的准确把握基础上的,需要有对细节的不断追求.制定目标的水平是衡量教师专业化水平的重要标志.从当前的实际情况看,许多教师对自己所教的数学内容并没有一个清晰的 目标分类细目结构图 ,有的甚至对数学知识结构图也是模糊不清的.简言之,教师的数学素养和对数学教材的理解水平都有很大的提高空间,这是提高教师素质急需解决的问题.当前,一个值得注意的问题是,教学目标 高大全 ,一堂数学课所承载的目标太重.有的甚至是目标 远大 、空洞,形同虚设.例如:培养学生的数学思维能力和科学的思维方式;培养学生勇于探索、创新的个性品质;体验数学的魅力,激发爱国主义热情;等等.4 教学设计的基本原则教学设计可以区分为立足于教师主导为主的设计和立足于学生自主活动为主的设计.无论是哪种设计,都需要遵循如下一些原则.(1)激发动机与兴趣 情意原则.如何组织和指导学生,才能使他们以最大的热情、最佳的精神状态投入数学学习?这是一个需要认真考虑的问题.激发动机与兴趣是一个老生常谈的问题,老师们常常觉得 没招 .这个问题的解决,如下三个方面值得关注:问题性:创设问题情境,以问题引导学习,形成认知冲突,激发求知欲,激活思维.同时,通过 追问 等方式,使学生的这种心理倾向保持在一个适度状态.思维最近发展区内的学习任务:采取有步骤地设置思维障碍等方法,铺设恰当的认知阶梯,呈现与学生思维最近发展区相适应的学习任务,可以激发学生的学习热情.不过,一个班级那么多学生,学习基础千差万别,设置的学习任务要适应个别差异,也是一个难题,需要教师的智慧.上述两方面有内在联系.提问的关键是要把握好 度 ,要做到 道而弗牵,强而弗抑,开而弗达 .这是课堂教学的关键,也是衡量教师教学水平的关键之一.使用 反馈 调节 机制:学习任务难易不当,都不利于学生保持高水平学习热情.应通过教学反馈,及时发现问题,通过调整设问方式,增加提示信息或进一步设置障碍等方法调整学习任务的难度.例3 三角函数诱导公式 教学中几种提问的比较.你能利用圆的几何性质推导出三角函数的诱导公式吗?的终边、 +180 的终边与单位圆的交点有什么关系?你能由此得出sin 与sin( +180 )之间的关系吗?我们可以通过查表求锐角三角函数值,那么,如何求任意角的三角函数值呢?能否将任意角的三角函数转化为锐角三角函数?问题情境:三角函数与(单位)圆是紧密联系的,它的基本性质是圆的几何性质的代数表示,例如,同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系.圆有很好的对称性:以圆心为对称中心的中心对称图形;以任意直径为对称轴的轴对称图形.你能否利用这种对称性,借助单位圆,讨论一下终边与角 的终边关于原点、x轴、y轴以及直线y=x对称的角与角 的关系以及它们的三角函数之间的关系?问题 过于宽泛,没有对 圆的几何性质 与 三角函数 两者的关系作任何说明,指向不明,学生 够不着 ;问题 过于具体,学生只要按照问题提出的步骤进行操作就能获得答案,思考力度不够;问题 与当前学习任务没有关系, 功利 而且肤浅,没有思想内涵,与诱导公式的本质相去甚远,不能导致探究诱导公式的思维活动.问题 体现了如下特点:从沟通联系、强调数学思想方法的角度出发,在学生思维的 最近发展区 内,提出恰当的、对学生数学思维有适度启发的问题,所以具有适切性、联系性、思想性,可以直接导致学生探究、发现诱导公式的思维活动.(2)教学内容结构化,保持思想方法的一致性 结构原则.结构化教学内容具有如下特点:核心知识(基本概念及由内容所反映的数学思想方法)为联结点,精中求简,易学、好懂、能懂、会用,能切实减轻学生负担;形成概念的网络系统,联系通畅,便于记忆与检索;具有自我生长的活力,容易在新情境中引发新思想和新方法.有上述理由,所以在考虑课程、教材和教学改革时, 结构化 值得关注.在教学设计中,专家教师与新手教师的重要差别在于教学内容的组织.优秀教师通过深入钻研大纲、教材,对教材的整体把握准确,对各部分内容的地位及其内在逻辑关系了如指掌,他们对数学问题的深层结构很敏感,他们习惯于按问题答案所涉及的数学概念、原理对问题进行分类;他们掌握并善于运用能揭示知识本质的典型材料,能从学生的现状出发重新组织教材,能自然地将学过的知识融入新情境,以旧引新,以新固旧.在对学生进行 双基 训练时也是紧紧围绕这种逻辑关系,有计划地设置障碍,使知识得到前后呼应.总之,优秀教师能根据教材和学生特点,使课堂教学呈现精当的层次序列(优秀教师的这种能力,显然是以他的学科功底、教育心理理论修养以及教学经验的积累为基础的).所以,知识结构化是教学设计应遵循的一个重要原则.根据结构化原则,教学设计中应当做到:(1)教学目标明确,削支强干,重点突出,集中精力于核心内容.(2)教学内容安排注重层次结构,张弛有序,循序渐进.由浅入深,由易到难,先简后繁,先单一后综合.(3)每堂课都围绕一个中心论题而展开和深化,精心组织相关的数学成分,使相应的核心概念或重要思想成为一个有机整体,相关的数学术语、定义、符号、概念、技能等因素都得到仔细的展开;课与课之间建立精当的序列关系,保持知识的连贯性,思想方法的一致性.易错、易混淆的问题有计划地复现和纠正,使知识得到螺旋式的巩固和提高.例4 平面向量的结构化设计.我们知道,位置是空间最基本原始的概念.空间中由A到B的有向线段AB就是A,B两点所标记的两个位置之间的差别的具体化描述.位移向量(自由向量)则是一个将这种 位置差别 加以定量化的基本几何量,其本质内涵是AB的方向与长度,也就是当两个有向线段为同向平行且大小相等时,两者所表达的位移向量定义为相等.与物理学中的位移合成类似,在此基础上,可以通过位移向量的合成定义向量的加法.与数及其运算类似,在定义向量的加法的基础上,可以定义向量的减法和数乘运算.从几何角度考察向量运算,则有如下结果:一个点A、一个方向e可以定性刻画一条直线;引进向量数乘运算k e,那么直线上每一个点X就可以定量表示为k1e;一个点A、两个不平行的方向e1,e2在 原则上确定了平面(定性刻画);引入向量的加法运算e1 +e2,那么平面上每一个点X就可以定量表示为k1e1+k2e2.同样地,引进向量的数量积的定义a b=|a| |b| cos ,几何中讨论的长度、角度、面积等就转化为对向量的表达和运算.另一方面,从代数的角度考虑,引进一个量及其运算就自然要考察其运算律.而从对运算律的几何含义的考察中发现,空间的基本性质和几何的基本定理都能有系统地转换成向量代数中的运算律.例如:向量加法的定义植根于空间的平行性.在欧氏几何中,关于平行的基本定理就是平行四边形各种特征性质之间的转换,而平行四边形定理所转换而得者,就是向量加法的交换律;相似放缩是欧氏空间的特色,这也就是向量的数乘运算的来源.而关于相似形的基本定理,即相似三角形定理,用向量数乘运算来表达就是数乘分配律;关于长度和角度的基本定理,即勾股定理和余弦定理,可以用向量的数量积来有效地计算,而数量积本身又有一套十分简明有力的运算律,特别是分配律. 本质上,数量积的分配律是勾股定理的提升和精简所得,也可以说是勾股定理代数化的最佳形式 .根据上述分析,我们可以这样来构建平面向量教学的结构系列:借助位移、有向线段引入向量概念;借助位移的合成定义向量的加法运算,再类比数的减法、乘法运算引进向量的减法运算和数乘运算;考察向量运算的几何意义,运算律及其几何含义;从度量长度、角度等的需要出发,引入向量的数量积概念,考察其几何意义,运算律;与解析法建立联系,考察向量的分解(平面向量基本定理)及坐标表示,并考察在坐标表示下的一些基本问题(向量运算的坐标表示,向量度量关系的坐标表示,等等).概念是知识结构化的关键 .概念按照从具体形象到表象再到抽象的等级排列,概念的拥有量、抽象水平以及使用概念的灵活性是一个认知行为的基本要素.可以说,课堂教学是形成概念序列的思维活动.因此,从结构化角度加强概念教学,使学生形成逻辑关系清晰、联系紧密的概念序列,对于掌握知识、发展能力是至关重要的.下列做法值得关注:概念教学遵循从具体到抽象的原则,采取 归纳式 ,让学生经历从典型、丰富的具体事例中概括概念本质的活动,而不是给出概念定义,举例说明,练习巩固;正确、充分地提供概念的各种变式: 适当应用反例,罗列一些似是而非、容易产生错误的对象让学生辨析,是促进学生认识概念的本质、确定概念的外延的有效手段;在概念的系统中学习概念,使学生有机会从不同角度认识概念,建立概念的 多元联系表示 ,这不仅便于发挥知识的结构功能,使概念具有 生长活力 ,有益于知识的获得、保持和应用,而且对发展学生的概括能力有特殊意义;精心设计练习,在应用中强化概念间的联系,巩固概念网络,加深概念理解.(3) 两个过程 有机整合,精心设计概括过程 过程原则.两个过程 就是数学知识的发生发展过程和学生的数学学习过程.改进教师的教学方式和学生学习方式是时代发展的要求.把改革的基点放在使全体学生都能独立思考上,使讲授式教学与活动式教学相结合,接受式学习和发现式学习相结合,形成互补,从而使学生被动接受的局面得到改变.这里, 结合 互补 都是在 两个过程 的有机整合中,不断引导学生的概括活动实现的.贯彻过程原则,必须做好两个还原 .第一个是还原知识的原发现过程,这就要求我们在教学设计中思考数学知识结构的建立、推广和发展过程;数学概念的产生过程;解题思路的探索过程;数学思想方法的概括过程;等等.第二个是学生思维过程的还原,这就要求我们在教学设计中,为学生构建一条 从具体到抽象,由此及彼、由表及里,从个别到一般,从片面到全面 的思维通道.有了这两个还原,概括过程的主导思路也就明确了,以这条思路为依据设置问题情境,引导学生开展类比、猜想、特殊化和推广等思维活动,使他们经历概括过程.显然,强调 过程性 的核心是强调教学过程的思想性,使学生在课堂中有高度的思维参与,经历实质性的数学思维过程.在设计概括过程时,如下措施值得注意:通过分析 两个过程 ,明确概括过程的主导思路,围绕这条思路确定猜想和发现的方案;在把概括的结论具体化的过程中,推动对概念细节的认识;通过变式、反思、系统化,建立概念的联系,形成概念体系;强调类比、特殊化、推广等具有普适性的逻辑思考方法的应用.具体的,我们可以尝试以科学认识的形成与发展途径为参照设计概括过程:创设问题情境,引起学生对新知识的注意与思考;开展观察、试验、类比、猜想、归纳、概括、特殊化、一般化等活动,形成假设;利用已有知识进行推理论证活动,检验假设,获得新知识,并纳入到已有认知结构中;曹才翰.曹才翰数学教育文选.人民教育出版社,2005年10月版,第149页.顾泠沅.教学改革的行动与诠释.人民教育出版社,2003年8月版,第167页.项武义.基础数学讲义丛书 基础几何学.人民教育出版社,2004年9月版,第142页.新知识的应用,加深理解(理在用中方知妙),建立相关知识的联系,巩固新知识.例5 不等式基本性质的猜想、证明和应用.知识的发生发展过程:从等式到不等式;在运算过程中的 不变性 .思维的过程:类比等式的基本性质得到关于不等式基本性质的猜想,并以实数大小的基本事实为依据进行推理论证.因此,概括过程的主导思路是:类比等式的基本性质猜想不等式的基本性质,以实数大小的基本事实为依据进行证明或证伪.教学设计思路如下:引导学生回忆规定实数大小方法(顺序公理,数形结合);引导学生认识实数大小的基本事实的本质和作用(实数大小比较归结为统一的与0的大小比较或判断差的符号问题);引导学生回忆等式基本性质的获得过程及其基本思想(考察运算中的不变性);引导学生类比等式的基本性质提出一些不等式的基本性质的猜想;尝试用实数大小的基本事实证明性质;辨析不等式的基本性质(与等式问题比较,考察异同;不同语言表述性质;等等);尝试从基本性质出发,得出一些新的结论(如a>b,c>d,则a+c>b+d;a>b>0,则1 b >1a>0;等等);概括思想方法(与实数性质、等式性质的联系性;在数与运算的系统中考察关于实数大小的基本定理;等等).(4)强调 反馈 调节 机制的应用,有效监控教学活动 调控原则.任何有计划的活动都需要有一个调控机制,这样才能使活动目标有效达成,否则是 脚踩西瓜皮,滑到哪里算哪里 .为了使教学活动维持在最佳状态,追求教学的高效益, 反馈 调节 机制的使用是必须的.实际上就是通过及时调控,始终使学生在自己的思维 最近发展区 内活动.在 反馈 调节 机制的使用中,非常重要的是学生自我监控的参与,因此这是一个涉及 元认知 的问题,对于提高学生的数学能力,特别是思维能力是至关重要的.自我监控能力的培养是一个重要但未被重视的问题.反馈信息要注重差异,调节则要有意识地采取分化性措施 .在课堂教学设计中,下面几个方面值得考虑:给不同需求的学生提供不同类别的专门帮助;布置可选择的作业集合,满足不同学生的不同需求;认真考虑学生的个人爱好,机智地将其纳入课堂教学.5 课堂教学结构的选择在课堂教学设计中,需要根据教学内容和教学条件,选择适当的课堂教学结构.应当说,课堂教学结构并不能一概而论,原因是教学条件复杂多样,学生之间存在个性差异,教学内容也千差万别.因此在教育理论研究中,课堂教学结构历来是风格各异、流派纷呈.不同的教学流派主张的课堂教学结构往往各有千秋.当前要防止千篇一律的 问题情境 建立模型 解释、应用与拓展 的结构模式,应当注意探索教学结构多样化的途径.从扎实搞好 双基 教学,提高学生数学能力,逐步发展学生探索数学规律的能力,培育理性精神的要求出发,我们认为下面的课堂教学结构具有普适性,它包括有层次的五个环节 .(1)创设问题情境,明确学习目标.以问题为教学的出发点,激发学生的好奇心和学习兴趣,使学生产生 看个究竟 的冲动.学习目标一定要让学生非常清楚地知道,只有这样才能使学生把握学习方向.一般的,学习目标中,掌握数学概念的内涵(知识点),领悟概念所反映的数学思想方法,建立相关知识的联系,学会数学地思考与表达等,应当成为基本内容,最重要的是要形成数学的思维方式.(2)指导学生开展尝试活动.在学习目标的指引下,通过适当的问题引导学生回忆已有的相关知识.新的学习建立在已有学习基础上.许多时候,建立已有知识之间的联系就是学习目标.例如,用顾泠沅.教学改革的行动与诠释.人民教育出版社,2003年8月版,第184页.顾泠沅.教学改革的行动与诠释.人民教育出版社,2003年8月版,第182页.。