4-2 目标规划的图解法

目标规划——建模与图解法

目标规划模型一般形式
L K min Pl [ ( lk d k lk d k )] l 1 k 1 n s.t. ckj x j d k d k g k , k 1,2, , K (LGP ) j 1 n aij x j (, )bi , i 1,2,, m j 1 x j , d k , d k 0, j 1,2, , n, k 1,2, , K
目标规划问题的提出
例5.1 某公司分厂用一条生产线生产两种产品A和B ，每周生产线运行时间为 60小时，生产一台A产品需要4小时，生产一台B产品需要6小时．根据市场预测， A、B产品平均销售量分别为每周9、8 台，它们销售利润分别为12、18万元。在制定生产计划时，经理考虑下述4项目标：
首先，产量不能超过市场预测的需求；
目标函数的基本形式有三种：（1）要求恰好达到目标值，即使相应目标约束的正、负偏差变量都要尽可能地小。这时取 min（d+ + d- )；（2）要求不超过目标值，即使相应目标约束的正偏差变量要尽可能地小。这时取 min（d+ )；（3）要求不低于目标值，即使相应目标约束的负偏差变量要尽可能地小。这时取 min （d- )；
不等式需要找到一个目标上界，这里可以估计为 252（=129 + 188），于是有
12x1 + 18x2 252；第四个目标为: x1 9，x2 8；
目标规划模型的基本概念
（1）正、负偏差变量d+，d我们用正偏差变量d+ 表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量d- 表示决策值不足目标值的部分。因决策值不可能既超过目标值同时又末达到目标值，故恒有 d+ d- ＝ 0 ．（2）绝对约束和目标约束我们把所有等式、不等式约束分为两部分：绝对约束和目标约束。

目标规划的图解法

解作图3-3：
(l1 ) (l 2 ) (l3 )
Min Z Pd P d P d 1 1 2 2 3 3
x1 x2 d1 d1 10 2 x1 x2 d 2 d 2 26 x 2 x d d 1 2 3 3 6 x , x 0, d , d 0, (i 1, 2,3) i i 1 2 x2
d2
(l1 ) (l2 ) (l3 ) (l4 ) 最后考虑P3 级，此时要求目标越小越好，由图3-2可知R3 为四按优先级高低，首先边形CDEF 区域，考虑P1 级目标，要求目标越小越好，就在绝约束的可行解域 △OAB中进一步缩小为△OAC，记作R1来自Bl3l4
d1
l2
C
d3
s.t
5 x1 10 x2 60 x 2 x d d 0 1 2 1 1 4 x1 4 x2 d 2 d 2 36 再考虑 P2 级目标， 6 x 8 x d d 48 1 2 3 3 x , x 0, d , d要求目标越小越 ( i 1, 2, 3) i i 0, 1 2 好，因而解空间 x2 R2为△OCD 区域
(l1 ) (l2 ) (l3 ) (l4 )
解
将约束方程以直线形式画在图上，这里只使用决策变量（即 x , x ），偏差变量在画直线时被去掉，直线画好后，在该直线上标出目标函数中与该直线相关的偏差变量增大时直线的平移方向（用垂直于直线的箭头来反映）．如图 32．
Min Z Pd 1 1 P 2d2 P 3d3
(l1 )
考虑P2 级目标，由于直线 l2 与R1不相 ( l3 ) 交，所以在R1 内无法使 d 2 0 因此在不退化P1 级目标时，不可能使P2 级目标完全满足．这样R2 就缩为一点， d 因为在R1中，使达到最小的为 A点，所以：x* = (10 ,0), d

运筹学第4章上

min z f (d , d )
（2）要求决策值不超过目标值，即正偏差尽可能的小，其构造形式为：

min z f (d )
（3）要求决策值可以超过目标值，即负偏差尽可能的小，其构造形式为：

min z f (d )
China University of Mining and Technology
China University of Mining and Technology
-9-
运筹学
目标规划的数学模型
如：在引例中,利润的目标值为32，可能目标值会达不到，所以加上一个负偏差变量d3-≥0，把目标函数变成
3x1 5 x2 d3 32
但是同样，目标值也有可能会超出，所以减去一个正偏差变量 d3+≥0，把目标函数变成
另一种差别是相对的，这些目标具有相同的优先因子，它们的重要程度可用权系数wj的不同来表示。
-13-
China University of Mining and Technology
运筹学
4. 目标函数
目标规划的数学模型
目标函数由于偏差变量、优先因子和权系数的出现，显然其构造与线性规划时的构造要有所不同. 决策者的目标是要做到决策值与目标值的偏差能够尽可能的小，因此目标函数应该是一个与偏差有关的函数：
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运筹学
3. 目标的优先级与权系数
不同目标的主次轻重有两种差别：
目标规划的数学模型
一种差别是绝对的，可用优先因子Pj来表示。
只有在高级优先因子对应的目标已满足的基础上，才能考虑较低级优先因子对应的目标；在考虑低级优先因子对应的目标时，绝不允许违背已满足的高级优先因子对应的目标。优先因子间的关系为Pj >> Pj+1 ，即Pj对应的目标比Pj+1对应的目标有绝对的优先性。

运筹学习题答案(第四章)

9 page 9 23 May 2012
School of Management
运筹学教程
第四章习题解答
4.5 某成品酒有三种商标红、黄、蓝)，都是由某成品酒有三种商标(红，三种原料酒(等级 Ⅱ 等级Ⅰ 兑制而成。三种原料酒等级 Ⅰ ,Ⅱ， Ⅲ )兑制而成。三种等级的原兑制而成料酒的日供应量和成本见表4-13，三种商标的成品酒料酒的日供应量和成本见表，的兑制要求和售价见表4-14。决策者规定：首先必须的兑制要求和售价见表。决策者规定：严格按规定比例兑制各商标的酒；其次是获利最大；严格按规定比例兑制各商标的酒；其次是获利最大；再次是红商标的酒每天至少生产2 000kg。试列出该问再次是红商标的酒每天至少生产。题的数学模型。题的数学模型。
13 page 13 23 May 2012
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运筹学教程
第四章习题解答
已知单位牛奶、牛肉、 4.7 已知单位牛奶、牛肉、鸡蛋中的维生素及胆固醇含量等有关数据见表4 15。固醇含量等有关数据见表4 - 15 。如果只考虑这三种食并且设立了下列三个目标：物，并且设立了下列三个目标：第一，满足三种维生素的每日最小需要量；第一，满足三种维生素的每日最小需要量；第二，使每日摄人的胆固醇最少；第二，使每日摄人的胆固醇最少；第三，使每日购买食品的费用最少。第三，使每日购买食品的费用最少。要求建立问题的目标规划模型。要求建立问题的目标规划模型。
售价（ /kg）售价（元/kg） 5.5 5.0 4.8
解： x11 = 1125 , x12 = 300 , x13 = 75 , x 21 = 1125 , x 22 = 200 , x 23 = 675 , x 31 = 0 , x 32 = 1000 , x 33 = 0 , d 1− = 225 , d 3− = 50 , d 5− = 375 , d 7+ = 250 满足所有目标

韩伯棠管理运筹学(第三版)_第九章_目标规划

• step • • • • • • • • • • • • •
3 目标函数值为 : 1100 变量解相差值 --------------------x1 166.667 0 x2 250 0 d10 0 d1+ 36666.667 0 d233.333 0 d2+ 0 15.167 d30 26 d3+ 0 26 d41100 0 d4+ 0 2
练习：某厂生产Ⅰ、Ⅱ 两种产品，有关数据如表所示。试求获利最大的生产方案？
Ⅰ 原材料设备(台时) 2 1
Ⅱ 1 2
拥有量 11 10
单件利润
8
10
在此基础上考虑： 1、产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量； 2、充分利用设备有效台时，不加班； 3、利润不小于 56 元。解: 分析第一目标：P1d1 即产品Ⅰ的产量不大于Ⅱ的产量。第二目标： P2 ( d2 d2 )
运筹学
运筹谋划
一石多鸟
第九章目标规划
1
第七章
目标规划
• §1 目标规划问题举例 • §2 目标规划的图解法
• §3 复杂情况下的目标规划
• §4.加权目标规划
2
§1 目标规划问题举例
例1．企业生产 • 不同企业的生产目标是不同的。多数企业追求最大的经济效益。但随着环境问题的日益突出，可持续发展已经成为全社会所必须考虑的问题。因此，企业生产就不能再如以往那样只考虑企业利润，必须承担起社会责任，要考虑环境污染、社会效益、公众形象等多个方面。兼顾好这几者关系，企业才可能过引入目标值和偏差变量，可以将目标函数转化为目标约束。目标值：是指预先给定的某个目标的一个期望值。实现值或决策值：是指当决策变量xj 选定以后，目标函数的对应值。偏差变量（事先无法确定的未知数）：是指实现值和目标值之间的差异,记为 d 。正偏差变量：表示实现值超过目标值的部分，记为 d＋。负偏差变量：表示实现值未达到目标值的部分，记为 d－。

目标规划的图解法共33页

σmn+2m
（二）、单纯形法的计算步骤
1、建立初始单纯形表。
一般假定初始解在原点，即以约束条件中的所有负偏差变量或松弛变量为初始基变量，按目标优先等级从左至右分别计算出各列的检验数，填入表的下半部。
2、检验是否为满意解。判别准则如下： ⑴.首先检查αk (k=1.2…K)是否全部为零？如果全部为零，则表示目标均已全部达到，获得满意解，停止计算转到第6步；否则转入⑵。
1×60＝60
1×58.3＝58.3 < 100 由上可知：若A、B的计划产量为60件和58.3件时，
所需甲资源数量将超过现有库存。在现有条件下，此
解为非可行解。为此，企业必须采取措施降低A、B产
品对甲资源的消耗量，由原来的100％降至78.5％
（140÷178.3＝0.785），才能使生产方案（60，
2、考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产
量不超过 60 件和 100 件；
3、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。
试建立目标规划模型，并用图解法求解。
解：以产品 A、B 的单件利润比 2.5 ：1 为权系数，
模型如下：
min
Z
P1
d
1
P2
(
2
.5
d
3
d
4
)
P3
d
2
30 2
d
2
d
2
)
P3
d
3
d
1
⑴
x1 x1
x2
d
1
d
1
0
2 x2
d
2
d
2
10
d
1
8
x

运筹学课堂PPT4.2目标规划的图解法

x1
,
x2
,
d
j
,
d
j
d1 0
d1
80
(3)
最优解空间：ABCD
(2) C
B
x1
(1) (3)
min
Z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3
(d
3
d
3
)
P4d
4
3x1 12
(1)
x2
4 x2 16
复习：两平行直线间的距离公式
Ax By d d C（目标约束）
y
d d 0
Ax By C
d 0 ( x0 , y0 )
d
正负偏差变量中至少有一个零，如：
A2 B2
x Ax By C
Ax By d d C d 0, d 0
Ax By d C
Ax By C d C（在下半平面）
P2d4
P3d
3
P4 (2d1
d
2
)
x1 30 x2 20 / 3
x2
d1 0
d1 0
d
2
25 /
3
d2 0
d
3
680
d
3
0
d
4
0
d4 0
D
E(35/2,15)
(2)
min Z (0, 0, 680, 25 / 3)
F(30,20/3)
A
B
x1
(1)
(4) (3)
4.2 目标规划的图解法
差变量大于零的区域。
(1) (2) (3)
（平行） (4)
(2)
x1

运筹学目标规划

3600 2000 3000
若在例a中提出下列要求： (1) 首先完成或超额完成利润指标 50000元； (2) 其次，产品甲不超过 200件，产品乙不低于 250件； (3) 再次，现有钢材 3600吨必须用完。
若在例a中提出下列要求： (1) 首先，完成或超额完成利润指标 50000元； (2) 其次，产品甲不超过 200件，产品乙不低于 250件； (3)再次，现有钢材 3600吨必须用完。试建立目标规划模型。分析：本例引入3个优先因子P1, P2, P3；
例如m，i目n z标i和P目k(标idj具i 有相jd同j 的) 优先因子Pk准则函数：
譬如：P2
(7d
2
12d
3
)
5、满意解（具有层次意义的解）
对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部分实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现，有些可能就不能实现。
• 例1.
产品I 产品II 拥有量
max Z 30 x1 12 x2
2 x1 x2 140 (甲资源)
x1
60 (乙资源) x2 100 (丙资源)
x12 0
其中目标函数为总利润，x1,x2 为产品A、B产量。现
有下列目标：
1、要求总利润必须超过 2500 元；
⑵. 不超过目标值，即f(xj) g ，正偏差变量d＋尽可能小，则min z = f (d＋)。
⑶. 超过目标值，即f(xj) g ，负偏差变量d-尽可能小，则min z = f (d-)。
4、优先因子(优先等级)Pk与优先权系数ωk
为了将不同级别的目标的重要性用数量表示，引进P1,
P2,….，用它表示一级目标，二级目标，….的重要程度，

第六章目标规划

X1 , X2 , di- , di+ 0（i=1，…，4）
minZ=P1d1-+P2(d2++d2-)+P3 [3(d3+ +d3- ）+ d4+] 2X1+2X2 12 2X1 +3X2+d1- -d1+=15 2X1 - X2 +d2- -d2+=0 4X1 +d3- -d3+=16
① ② ③
X1 +2X2 +d2- -d2+=10
8X1 +10X2 +d3- -d3+=56 X1 , X2 , di- , di+ 0
建模：
(1)、设定约束条件。(目标约束、绝对约束)
(2)、规定目标约束优先级 (3)、建立模型 Pk>>Pk+1
三、应用实例电视机厂装配25寸和21寸两种彩电，每台电视机需装备时间1小时，每周装配线计划开动40小时，预计每周25寸彩电销售24台，每台可获利80元，每周21 寸彩电销售30台，每台可获利40元。该厂目标： 1、充分利用装配线，避免开工不足。
第六章目标规划
第一节第二节第三节目标规划问题及其数学模型目标规划问题的图解法目标规划问题的单纯形法
第一节目标规划问题及其数学模型
线性规划(LP)：单一目标函数追求目标的极端值
目标规划(GP) ：多个目标函数从总体上离规定目标的差距最小
一、引例甲金工装配收益 2 4 100 乙 4 2 80 有效工时 500 400
5X2+d4- -d4+=15 ④ X1 , X2 , di- , di+ 0（i=1，…，4）

运筹学第4章

3x15x2d332
综合考虑后，得到结果
3x15x2d3 d3 32 其中 d3 , d3 0
目标规划的数学模型
产品甲乙资源量
可以用同样的方式来处理其它提出的资源
决策要求：
设备/台时 3
2
18
原料A/吨
1
0
4
（1）要求甲产品产量不大于乙产品产量。原料B/吨 0 2 12
如：在引例中，利润的目标值为32，可能目标值会达不到，所以加上一个
产品资源
甲乙资源量
设备/台时 3
2
18
负偏差变量d3-≥0，把目标函数变成
原料A/吨
1
0
4
3x15x2d332
原料B/吨单位赢利/
0 3
2 5
12
万元
但是同样，目标值也有可能会超出，所以减去一个正偏差变量
d3+≥0，把目标函数变成
A）恰好达到目标值 B）允许超过目标值 C）不允许超过目标值
构造一个由优先因子和权系数相对应的偏差变量组成的，要求实现极小化的目标函数.
用目标规划求解问题的过程：
明确问题，列出目标的优先级和
权系数
构造目标规划模型
N
满意否？
Y
据此制定出决策方案
目标规划的数学模型
求出满意解分析各项目标
完成情况
p （3 3）计划利润指标32，并且尽可能达到或超过这个利润指标.
问：如何安排生产可以使得获利最大？
分析：
p（1 1）要求甲产品的产量不大于乙产品的产量；
（1）产量偏差变量
d1 , d1 0
p 2（2）尽可能充分利用设备台时，不希望加班生产；

清华大学-《运筹学》课程教学大纲

《运筹学》课程教学大纲课程名称：运筹学编号.20345144：学时：72 编者姓名：曾鸿能单位：中山大学职称：副教授主审姓名：单位：职称：教授对象：本科生专业：资源与环境规划年级：三年级编写日期：2001年9月一、课程目的与教学基本要求学习本课程后，使学生掌握运筹学有关分支的基本理论和方法，牢固掌握解题算法步骤，培养学生应用规划论、优化技术解决实际问题能力。

为专业课在系统规划、最优设计、参数优选、最优管理与运行等数学方法及计算机算法打下必要的基础。

在已学过微积分、初等集合论和线性代数基础上学习本课程，通过教授、自学、复习、作业练习、辅导、编程上机等教学环节达到上述目的。

学习中要注意到学科系统性，数学概念和逻辑的严密性、准确性和完整性，但不偏重纯数学方法论证。

着重基本概念、基本思路、基本方法、算法步骤、几何直观解析。

了解各种方法特点和实用价值，提高建立模型、分析求解能力和技巧。

应注重实际应用中建立模型，选择可行求解的理论方法，编制算法的计算机程序这三方面训练的有机结合。

二、课程内容（含学时分配）绪言：运筹学简史、性质和特点、工作步骤、模型、分支及应用、运筹学展望（1学时）i.线性规划与目标规划（共30学时）1-1 线性规划问题及其数学模型（2学时）一、应用实例二、线性规划的数学模型三、标准形式1-2 线性规划问题的图解法（1学时）教学要求：1．初步掌握建立线性规划模型方法2．掌握线性规划模型特征；如何化线性规划模型为标准型3．掌握两个变量线性规划问题的图解法重点：通过图解法初步了解基本概念和求解思路1-3 线性规划的基本概念和基本定理（4学时）教学要求：1．掌握可行解、基、凸集、凸组合、顶点的概念2．了解线性规划理论依据---几个基本定理、求解线性规划问题基本思路重点：三个基本定理难点：基本定理的证明1-4 单纯形法（4学时）1．单纯形法求解过程说明2．单纯形表（1）单纯形表的结构和原理（2）换基Ⅰ确定换入变量Ⅱ确定换出变量Ⅲ旋转迭代教学要求：牢固掌握线性规划的单纯形求解方法重点：单纯形方法求解步骤和公式难点：单纯形表构成原理，换基迭代公式推导1-5 单纯形法进一步讨论（2学时）（一）大M单纯形法（二）两阶段法（三）退化问题（四）检验数的几种表示法（五）单纯形法小结教学要求：1．了解引入工人变量目的2．牢固掌握大M法和两阶段法求解过程、判别什么情况下无解3．牢固掌握单纯形法计算框图重点：两阶段法及单纯形法计算框图1-6 改进单纯形法（2学时）教学要求：1．了解改进单纯形方法的思想2．掌握改进单纯形法计算步骤重点：改进单纯形法计算步骤（主要用于计算机计算）难点：新基逆矩阵求解公式及其实质1-7 线性对偶规划（4学时）一、对偶问题提出二、对偶规则三、线性对偶理论四、对偶问题的经济学解释——影子价格五、对偶单纯形法教学要求：1．掌握对偶规则2．了解线性对偶理论、影子价格的意义3．牢固掌握对偶单纯形法重点：对偶单纯形法计算步骤及对偶单纯形法应用范围难点：线性对偶理论的证明1-8 灵敏度分析与参数线性规划（3学时）教学要求：1．掌握系数变化范围的确定及增加新变量、新约束灵敏度分析2．掌握参数连续变化对最优解及最优值的影响重点：灵敏度分析与参数线性规划的应用。

求解多目标决策常用的三种方法Read

1) 4.000000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
D4PLUS 4.000000 0.000000
X1
4.000000 0.000000
X2
12.000000 0.000000
D1MINUS 0.000000 0.800000
D1PLUS 6.000000 0.000000
1
d
1
10
x1
d
2
d
2
4
5 x1
3 x2
d
3
d
3
56
x1
x2
d
4
d
4
12
d
3
0
x1 ,
x
2
,
d
i
,
d
i
0,
i 1,2,3,4
求出最优目标值为z＝ 2d1++3d2+=12。
3. 只取第三优先级为目标函数，将上次求解结果的目标值2d1++3d2+=12变为约束
min
z
d
4
缺点：难处在于如何寻到合理的权系数。例如建设高速公路时，既希望减少开支又希望降低交通伤亡事故，此时能否用金钱来衡量一个人的生命价值呢？
2. 序列或优先级法：
序列或优先级法不是对每个目标加权，而是按照目标的轻重缓急，将其分为不同等级再求解。
优点：避免了权系数的困扰，绝大多数决策者都能采用，事实上他们在许多决策中也正是这样做的。例如决定人员的提升时，许多单位是按其工作态度、工作能力及对单位的有效价值等这样一个先后顺序来进行评定的。
例1 利润最大化问题：
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、 Ⅱ两种产品，已知有关数据如下表所示：

目标规划的图解法课件

50 E D
2、先满足P1，OD线段
3、再满足P2，ED线段（满意解） O
50
E (500/11,500/11) ,
d1
d1
d
2
d
2
0
D (360/7,360/7)
,
d1
d1
d
2
0,
d
2
92 / 7
C 100 l2
150
d
2
x1 l1
d
2
l4
第一节目旳规划旳基本概念与数学模型一、问题旳提出二、目旳规划旳基本概念
有关最优解：线性规划是在可行解域内寻找某一点，
使单个目旳到达最优值（最大值或最小值）．而目旳规
划是在可行域内，首先寻找到一种使P1级目旳均满足旳区域R1，然后再在R1中寻找一种使P2级目旳均满足或尽最大可能满足旳区域R2（R1），再在R2中寻找一种满足P3旳各目旳旳区域R3（R2R1），…,如此下去，直到寻找到一种区域Rk(Rk-1…R1)，满足Pk级旳各目旳，这个Rk即为所求旳解域，假如某一种Ri (1 i k)已退化为一点，则计算终止，这一点即为满意解，它只能满足
min
z
P1 (d1
d1 )
P2d
2
s.t 2x1 3x2 300
l1
2x1 1.5x2 180
l 2x2
x1 x2 d1 d1 0
l3
10x1
12 x2
d
2
d
2
1000
1l450
x1,x2
,di
,d
i
0
i 1,2
A
100
l3 d1
B
d1

目标规划图解法

P1：厂内的储存成本不超过23000元． P2：A销售量必须完成1500单位． P3：甲、乙两工厂的设备应全力运转，避免有空闲时
间，两厂的单位运转成本当作它们的权系数．
A药甲厂 2h 乙厂 2.5h 存贮费 8元利润 20元
B药 4h 1.5h 15元 23元
12台，每天8h，每月25天 7台，每天16h，每月25天
例4:已知一个生产计划的线性规划模型为
max Z 30x1 12x2 （利润）
2 x1 x2 140 (甲资源)
x1
60 (乙 x1 2 0
其中目标函数为总利润，x1,x2 为产品A、B产量。现有下列目标：
1、要求总利润必须超过 2500 元； 2、考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产量不超过 60 件和 100 件； 3、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。试建立目标规划模型，并用图解法求解。
(4.8 , 2.4)，故满意解可表示为：
(x ,x ) ( , ) ( , ) ( , ) ( . , . ) ( . , . )
其中： , i ( i , , , )
这种满足所有目标要求的情况，即：mizn0 ，在实际中并不多见，很多目标规划问题只能满足前面几级目标要求．
作图： x2
140 120 100 80 60
⑶
d
3
d
3
d
1
d
1
BA
d
2
d
2
C
d
4
⑷
d
4
m in
z
P1
d
1
P2
(
2
.
5
d
3
d
4

4-2 目标规划的图解法

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目标规划——建模与图解法

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目标规划图解法

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